OLEH :

DWI HARTINI, S.T., M.T.

5. ELASTISITAS STRUKTUR

POKOK BAHASAN

1. STRESS (TEGANGAN)

PERSAMAAN KESETIMBANGAN TEGANGAN

TEGANGAN BIDANG

KONDISI BATAS

PENENTUAN TEGANGAN PADA BIDANG MIRING

2. STRAIN (REGANGAN)

PERSAMAAN KOMPATIBILITAS

REGANGAN BIDANG

PENENTUAN REGANGAN PADA BIDANG MIRING

3.HUBUNGAN STRESS- STRAIN (TEGANGAN –REGANGAN)

STRESS (TEGANGAN)

Pada gambar, benda tiga dimensi adalah dalam kesetimbangan di bawah aksi eksternal dengan gaya yang bekerja adalah P1, P2, P3, P4, P5 dan diasumsikan terdiri dari material yang kontinyu dan deformable sehingga gaya ditransmisikan ke seluruh volumenya. Oleh karena itu pada setiap titik internal O terdapat adanya gaya resultan δP. Partikel dari material di O dikenai gaya δP berada dalam kesetimbangan sehingga harus ada gaya yang sama tetapi berlawanan dengan gaya δP yang bekerja pada partikel pada saat yang sama.

Jika sekarang kita membagi benda dengan suatu bidang n-n yang dimana titik O berada pada bidang n-n, maka kedua gaya δP dapat dianggap sebagai gaya yang terdistribusi secara merata di daerah/luasan yang kecil δA. Stress di O kemudian didefinisikan oleh persamaan:

Arah gaya δP pada gambar menghasilkan tegangan tarik di penampang bidang n-n. Meskipun arah tegangan di O akan selalu ke arah δP, besarnya tegangan tergantung pada bidang yang sebenarnya dipilih karena bidang yang berbeda akan memiliki kemiringan yang berbeda dan oleh karena itu akan dihasilkan nilai yang berbeda untuk daerah δA.

Hal ini dapat lebih mudah dipahami dengan mengacu pada bar dalam tegangan sederhana pada gambar. Pada penampang bidang m-m, tegangan seragam diberikan oleh P / A, sementara di bidang miring m’-m’, tegangan adalah besarnya P / A’. Dalam kedua kasus, tegangan paralel dengan arah P.

Umumnya, arah δP tidak normal ke area δA, dalam hal ini adalah biasa untuk menyelesaikan δP menjadi dua komponen: satu, δPn, normal terhadap bidang dan lainnya, δPs, bertindak dalam bidang itu sendiri. Perhatikan bahwa pada gambar, bidang yang mengandung δP tegak lurus terhadap δA. Tegangan yang terkait dengan komponen ini adalah tegangan normal atau langsung didefinisikan sebagai

Dan tegangan geser didefinisikan sebagai

Tegangan resultan dihitung dari komponen-komponennya dengan aturan normal penjumlahan vektor, yaitu

(Tegangan normal) (Tegangan geser)

Notasi untuk Gaya dan Tegangan

Pada gambar, benda dipotong oleh suatu bidang yang sejajar dengan arah sumbu x. Resultan gaya δP yang bekerja pada titik O, dapat diselesaikan menjadi komponen normal dan dua komponen sejajar bidang seperti ditunjukkan pada gambar sehingga menghasilkan salah satu komponen tegangan normal dan dua komponen tegangan geser.

Komponen tegangan normal ditentukan dengan mengacu pada bidang yang bekerja, tapi komponen tegangan memerlukan spesifikasi arah di samping bidang. Oleh karena itu, perlu mengalokasikan subscript yang ada, untuk subscript tunggal diberikan untuk tegangan normal yaitu untuk menunjukkan bidang yang bekerja dan dua subskript untuk tegangan geser, dimana subscript pertama menunjukkan bidang yang bekerja, subscript dua untuk arahnya. Oleh karena itu pada gambar, komponen tegangan geser yaitu τzx dan τzy bertindak di bidang z dengan arah x dan y, sedangkan komponen tegangan normal adalah σz.

Kondisi tegangan pada titik O dapat digambarkan dengan menentukan komponen geser dan normal pada penampang dari suatu sisi elemen δx, δy, δz, dibentuk pada titik O oleh bidang pemotongan seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Sisi elemen sangat kecil sehingga tegangan dapat diasumsikan terdistribusi secara merata di seluruh permukaan penampang masing-masing. Pada masing-masing penampang yang berlawanan akan ada tegangan yang sama tetapi berlawanan arah.

PERSAMAAN KESETIMBANGAN TEGANGAN

Persamaan keseimbangan harus dipenuhi di semua titik interior dalam benda yang mampu terdeformsi di bawah sistem gaya tiga dimensi.

PLANE STRESS (TEGANGAN BIDANG)

Sebagian besar komponen struktur pesawat dibuat dari lembaran logam tipis sehingga tegangan dalam arah ketebalan lembaran biasanya diabaikan. Dengan asumsi, misalnya, bahwa sumbu z adalah arah ketebalan maka kasus tiga dimensi pada persamaan kesetimbangan berkurang menjadi kasus dua dimensi di mana σz, τxz dan τyz sama dengan nol. Kondisi ini dikenal sebagai plane stress (tegangan bidang). Persamaan kesetimbangan menjadi lebih sederhana :

KONDISI BATAS

Penjumlahan dari gaya dalam arah x :

dengan mengambil kondisi batas δx mendekati nol, menjadi

Derivatif dy / ds dan dx / ds adalah arah cosinus l dan m dari sudut yang normal untuk AB yang dibentuk oleh sumbu x dan y. Oleh karena itu

Untuk kasus 3D, menjadi :

di mana l, m dan n menjadi cosinus arah sudut yang normal ke permukaan benda yang dibentuk oleh sumbu x, y dan z.

PENENTUAN TEGANGAN PADA BIDANG MIRING

STRAIN (REGANGAN)

Gaya eksternal dan internal yang dijelaskan dalam bagian sebelumnya menyebabkan perpindahan linear dan sudut dalam benda yang mampu untuk diubah bentuknya. Perpindahan ini umumnya didefinisikan dalam hal regangan. Regangan longitudinal atau langsung (normal) berhubungan dengan gaya langsung (normal) σ dan berhubungan dengan perubahan panjang, sedangkan regangan geser menentukan perubahan sudut yang dihasilkan oleh tegangan geser. Regangan ini ditunjuk, dengan akhiran yang tepat, dengan simbol ε untuk regangan normal dan γ untuk regangan geser.

Perhatikan tiga elemen garis yang saling tegak lurus OA, OB dan OC pada titik O dalam deformable body. Panjang awal adalah δx, δy dan δz. Jika, sekarang, benda mengalami gaya yang menghasilkan sistem yang kompleks dari tegangan langsung/normal dan geser pada O, maka elemen garis akan berubah ke posisi O’A’, O’ B’ dan O’C’.

Koordinat O dalam kondisi awal benda adalah (x, y, z) sehingga A, B dan C adalah (x + δx, y, z), (x, y + δy, z) dan (x, y , z + δz). Komponen perpindahan O ke O’ sejajar dengan x, y dan z adalah sumbu yang u, v dan w. Dengan demikian, perpindahan dari A dalam arah sejajar dengan sumbu x adalah u + (∂u / ∂x) δx. Komponen yang lain akan ditemukan dengan cara yang sama dan ditunjukkan pada Gambar.

Kita sekarang mendefinisikan regangan langsung dalam istilah yang lebih kuantitatif. Jika panjang elemen garis adalah L pada titik dalam benda mengalami perubahan panjang L, maka regangan longitudinal pada saat itu di dalam benda ke arah elemen garis adalah :

Perubahan panjang elemen OA (O’A’ - OA) sehingga regangan langsung/normal di O dalam arah x diperoleh dari persamaan

Sekarang,

Atau,

yang dapat ditulis ketika istilah orde kedua diabaikan

Menerapkan ekspansi binomial

di mana derajat dan pangkat yang lebih tinggi dari ∂u / ∂x diabaikan. Menggantikan O’ A’ di Persamaan

didapat

Sekarang dan sebagai adalah kecil , kemudian

Untuk relasi trigonometri untuk triangle :

Subtitusi O’A’, O’C’ dan A’C’ ke dalam persamaan :

Menjadi:

Atau

(Regangan normal) (Regangan geser)

Kedua persamaan di atas yang diperoleh pada asumsi bahwa perpindahan yang terlibat kecil.

PERSAMAAN KOMPATIBILITAS

Dalam bagian sebelumnya telah dinyatakan enam komponen regangan pada suatu titik dalam benda yang mampu untuk dideformasi dalam hal tiga komponen perpindahan pada titik itu, u, v dan w.

Selama enam regangan didefinisikan dalam tiga fungsi perpindahan maka ketiganya memiliki beberapa hubungan satu sama lain dan tidak dapat memiliki nilai yang berdiri sendiri. Hubungan ini ditemukan sebagai berikut.

atau, karena fungsi dari u dan v adalah kontinu

Dengan :

Maka :

Kemudian subtitusi dari 2 persamaan :

dan

Didapat

Enam persamaan kompatibilitas regangan :

PLANE STRAIN (REGANGAN BIDANG)

PENENTUAN REGANGAN PADA BIDANG MIRING

HUBUNGAN TEGANGAN-REGANGAN

di mana E adalah konstanta yang dikenal sebagai modulus elastisitas atau modulus Young. Persamaan tersebut merupakan ekspresi hukum Hooke. Selanjutnya, εx disertai juga dengan regangan lateralnya, yaitu :

Dimana = Poisson’s ratio𝞾

Untuk benda yang mengalami tegangan normal σx, σy dan σz, regangan normal adalah, dari persamaan :

dan jg dari prinsip superposisi, sehingga didapat :

Persamaan terakhir dapat ditranspose untuk mendapatkan ekspresi untuk setiap tegangan dalam kaitannya dengan regangan. Prosedur yang diadopsi mungkin salah satu pendekatan matematika standar dan memberikan :