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  • 5 Ein Axiomensystem der euklidischen Geometrie

    5.1 Vorbemerkungen

    Im vorigen Kapitel haben wir gesehen, wie sich aus aus den Axiomen einer affinen Ebene Zahlbereiche entwickeln lassen, die im Pappusschen Fall Körper sind. Durch Hinzunah- me von Anordnungsaxiomen hätten wir am Ende sogar den Körper der reellen Zahlen erhalten. In diesem Kapitel ändern wir unser Vorgehen. Wir wollen die klassische euklidische Ebene unter expliziter Verwendung der reellen Zahlen axiomatisch beschreiben. 1932 hat G. D. Birkhoff ein Axiomensystem angegeben, das die Verwendung von Messlineal und Winkelmesser in der Zeichenebene formalisiert. Diese Ideen waren dann Grundla- ge des 1941 erschienenen Buches Basic Geometry von G. D. Birkhoff und R. Beatly . Wir verwenden im Folgenden ein Axiomensystem, das 1977 vom russischen Mathemati- ker Kolmogorov angegeben wurde. Es ist zum Hilbert’schen Axiomensystem äquivalent, vereinfacht aber manche Beweise.

    5.2 Das Axiomensystem

    Während üblicherweise eine große Abstraktheit bei der Einarbeitung in ein neues mathe- matisches Gebiet Schwierigkeiten bereitet,ist es hier umgekehrt.Gerade die (vermeintli- che) Konkretheit und Vertrautheit ist bei unserem Thema gefährlich. Jeder kennt die

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    euklidische Ebene. Daher besteht immer die Gefahr, dass wir bei der Argumentation nicht nur die Axiome verwenden, sondern unbewusst anschauliche Argumente einfließen lassen. Auch bekannte Mathematiker sind bei ihren „Beweisen“ des Parallelenaxioms dieser Ge- fahr erlegen (wir werden darauf später zurückkommen).

    Daher ist es hilfreich, bei den Überlegungen in diesem Kapitel neben dem uns vertrauten Modell der euklidischen Ebene E2 auch das folgende zu betrachten. Dazu sei der E2 eine Ebene π des E3. σN bzw. σS sei die stereographische Projektion aus dem Nordpol N bzw. aus dem Südpol S einer Sphäre Σ um einen Punkt M ∈ π in deren Äquatorebene π (siehe Abb. 3.14). Dann besteht σS(σ

    −1 N (π)) aus allen Punkten von π ohne M , vermehrt um

    einen Punkt ∞ (für das fehlende Bild des Punktes S unter σS). σ−1N bildet die Geraden von π auf die Kreise von Σ durch N (ohne N) ab. σS bildet einen solchen Kreis k auf einen Kreis durch M (ohne M) ab, falls S /∈ k gilt. Für S ∈ k ist σS(k) eine Gerade durch M (ohne M), vermehrt um den Punkt ∞. Nimmt man alle Begriffe des E2 (Geraden, Lot, Abstand, Kongruenz,. . . ) bei diesen Abbildungen mit, erhält man ein Modell der euklidischen Ebene mit der Punktmenge (E2 \ {M}) ∪ {∞}.

    Aufgabe: Man zeige, dass die Inversion ι am Äquatorkreis dasselbe Ergebnis liefert (siehe A 3.2 Bem. 4).

    Def. 1 Eine Inzidenzstruktur (P , G,∈) zusammen mit einer Abbildung

    d :

    { P × P → R (A, B) 7→ d(A, B) .

    heißt absolute Ebene, wenn sie den folgenden Axiomgruppen I bis IV genügt; sie heißt euklidische Ebene, wenn sie den Axiomgruppen I bis V genügt. d(A, B) heißt der Abstand der Punkte A und B.

    Hilbert verwendet in seinem Axiomensystem ebenfalls die Grundbegriffe Punkt, Gerade und Inzidenz, daneben die Grundbegriffe „zwischen“ (damit wird eine Ordnung auf den Geraden eingeführt) und „Kongruenz“. Das Axiomensystem von Kolmogorov verwendet statt dessen den Begriff „Abstand“.

    Es ist durchaus sinnvoll, die Menge R als Bildmenge der Abbildung d zu wählen. Einerseits reichen die rationalen Zahlen sicher nicht aus, da schon die Diagonale des Einheitsquadrats die Länge

    √ 2 hat. Andererseits sind die komplexen Zahlen unbrauchbar, da ihnen die

    Anordnung fehlt.

    Um deutlich zu machen, welche Aussagen welche Axiome voraussetzen, werden wir nach jeder Gruppe die Sätze beweisen und Definitionen aussprechen, die ohne die späteren Axiome auskommen. Wichtig ist insbesondere, welche Aussagen nicht von der Gültigkeit des Parallelenaxioms V abhängen, also Sätze der absoluten Geometrie sind.

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    I Inzidenzaxiome

    (1) Zu zwei verschiedenen Punkten P, Q gibt es genau eine Gerade g, die beide Punkte enthält (Bezeichnung: g = PQ).

    (2) Jede Gerade enthält mindestens zwei Punkte.

    (3) Es gibt drei Punkte, die nicht derselben Geraden angehören.

    Satz 1 (i) Zwei verschiedene Geraden haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

    (ii) Es gibt mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

    Beweis: (i) folgt aus I(1).

    (ii) Nach I(3) gibt es nichtkollineare Punkte A, B, C, die nach I(1) paarweise verschieden sind. Die drei Geraden AB, AC, BC sind dann ebenfalls paarweise verschieden. 2

    Wir werden die gewohnten Sprechweisen verwenden. So werden wir für P ∈ g auch „P liegt auf g“ oder „P inzidiert mit g“ oder „P ist ein Punkt von g“ sagen. Explizit festhalten wollen wir die Begriffe der folgenden

    Def. 2 (i) Zwei Geraden, die sich nicht schneiden, heißen parallel.

    (ii) Punkte A, B, C, . . . einer Geraden heißen kollinear.

    Wir betrachten einige Beispiele.

    Beispiel 1 P = {A, B, C} und G = {{A, B}, {A, C}, {B, C}} erfüllen die Axiome I (Minimalmodell).

    Beispiel 2 Sei P = {A, B, C, D}. (i) P und G = {{A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D}} erfüllen die Axiome I. (ii) P und G = {{A, B, C}, {A, B, D}, {A, C, D}, {B, C, D}} erfüllen die Axiome I nicht.

    Beispiel 3 P = { (x, y) | x, y ∈ R } und

    G = { { (x, y) | ax + by + c = 0 } | a, b, c ∈ R; a2 + b2 6= 0 }

    erfüllen die Axiome I.

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    II Abstandsaxiome

    (1) Für alle Punkte A, B gilt d(A, B) ≥ 0 und d(A, B) = 0 genau für A = B. (2) Für alle Punkte A, B gilt d(A, B) = d(B, A).

    (3) Für alle Punkte A, B, C gilt

    d(A, B) + d(B, C) ≥ d(A, C) .

    Die Punkte sind genau dann kollinear, wenn eine der folgenden Gleichungen erfüllt ist.

    d(A, B) + d(B, C) = d(A, C) , (22)

    d(A, C) + d(C, B) = d(A, B) , (23)

    d(B, A) + d(A, C) = d(B, C) . (24)

    In den Beispielen 1 und 2 (i) lässt sich ein Abstand einfach durch d(A, B) = 1 für A 6= B definieren. (d(A, A) = 0 ist ja durch II(1) vorgeschrieben.) In Beispiel 3 kann man einen Abstand durch

    d(A, B) = d((a1, a2), (b1, b2)) = √

    (a1 − b1)2 + (a2 − b2)2

    einführen.

    Die Abstandsaxiome machen die absolute Ebene zum metrischen Raum. Dies ist zwar eine starke Forderung, doch zeigen die oben erwähnten Metriken, dass dieser Begriff an- dererseits recht allgemein ist. Wir werden mit Hilfe der Metrik Bewegungen definieren. Man könnte auch umgekehrt vorgehen und sich eine Menge von Abbildungen vorgeben, die die Metrik festlegen. In Teil III werden wir so vorgehen.

    Def. 3 (i) Ein Punkt B liegt zwischen den Punkten A und C (in Zeichen: Zw(A, B, C)), wenn (22) sowie B 6= A und B 6= C gilt. (ii) Für A, B ∈ P (A 6= B) heißt

    (AB) := { P ∈ P | Zw(A, P, B) }

    die offene Strecke und AB := (AB) ∪ {A, B }

    die (abgeschlossene) Strecke zwischen A und B oder die Verbindungsstrecke dieser Punkte. A, B heißen die Endpunkte der Strecke, d(A, B) heißt ihre Länge.

    (iii) Sind A, B verschiedene Punkte, so heißen die Mengen

    AB+ := { P ∈ P | Zw(A, P, B) oder Zw(A, B, P ) oder P = B oder P = A } (25)

    und AB− := { P ∈ P | Zw(P, A, B) oder P = A } (26)

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    (abgeschlossene) Halbgeraden oder Strahlen mit dem Anfangspunkt A. Entfernt man den Anfangspunkt, erhält man offene Halbgeraden.

    Bem. 1 (i) Wegen II(2) gilt Zw(A, B, C) genau dann, wenn Zw(C, B, A) gilt.

    (ii) Gilt Zw(A, B, C), so sind die Punkte wegen II(3) kollinear. Außerdem sind sie paar- weise verschieden (Nach Def. wäre höchstens A = C möglich. Dann liefert aber (22) A = B = C.)

    (iii) Ebenfalls nach II(3) liegt von drei (verschiedenen) kollinearen Punkten A, B, C genau einer zwischen den beiden anderen. Gilt sowohl (22) als auch (23), folgt nämlich d(B, C) = 0, also nach II(1) B = C. Wir notieren nochmals die Zusammenhänge.

    A, B, C kollinear ⇐⇒ ( Zw(A, B, C) oder Zw(A, C, B) oder Zw(B, A, C)

    )

    m m m ⇐⇒

    ( Zw(C, B, A) oder Zw(B, C, A) oder Zw(C, A, B)

    )

    m m m ⇐⇒

    ( (22) oder (23) oder (24)

    )

    (iv) Wie Beispiel 1 zeigt, muss es keine Punkte geben, welche die Zwischenbeziehung erfüllen. Offene Halbgeraden können also leer sein.

    Satz 2 Es gilt AB+ ∩ AB− = {A} und AB+ ∪ AB− = AB.

    Beweis: A ∈ AB+ ∩AB− ist klar. Für P ∈ AB− \ {A} gilt nach Def. 3 (iii) Zw(P, A, B) und daher nach Bem. 1 (iii) P /∈ AB+. AB+ ∪ AB− ⊂ AB ist klar. Gilt umgekehrt Q ∈ AB, so gilt Q ∈ {A, B} oder nach Bem. 1 (iii) eine der Zwischenbeziehungen in (25) oder (26). 2

    III Anordnungsaxiome

    (1) Zu jedem Punkt P und jeder reellen Zahl a ≥ 0 gibt es auf jeder Halbgeraden mit dem Anfangspunkt P genau einen Punkt R mit d(P, R) = a.

    (2) Jede Gerade g teilt die Menge P \ g so in zwei nichtleere Mengen (genannt die offenen Halbebenen mit der Randgeraden g), dass

    (a) die Verbindungsstrecke zweier Punkte, die nicht in derselben Menge liegen, die Gerade g schneidet,

    (b) die Verbindungsstrecke zweier Punkte, die in derselben Menge liegen, die Gerade g nicht schneidet.

    Nimmt man die Randgerade hinzu, so erhält man (abgeschlossene) Halbebenen. Wir bezeichnen eine Halbebene H mit der Randgeraden g = AB mit gC+ oder ABC+, wenn H den Punkt C /∈ g enthält, und mit gC− oder ABC−, wenn H den Punkt C nicht enthält.

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