4h4 ce:=7]< - mcgill universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf ·...

21

Upload: others

Post on 07-Oct-2020

9 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

����������� ������ ���������������������! #"%$&�'���(�)�*� +&,��-����.

/10325456879;:=<�>?25456�@ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ2MLN6PO�Q /�6PRE032-STCELN254�U I�2�RDV;08:W6PRYXZ2M[\4H4�CE:=7]<_^

`�acbDdfeHgih8djlknm8ofprqtsvuxwzy{8uxpMq;w|ux}5~�oD���?���_kn�Tsiwzo?sEu8wny{8u8p���{8oDu8�To��W��k���{x�Wq8si������kn�Wo��G���Wq8��ox�����8ofwno��Wu8p

ux���Tu8�Wo�{8oDpiof��q;wnwzyNq!��o���u8��wzknpio���of{x��oDp��W���Tkzp&���i�Wofo��ikz�Tofpv�_knu8pMq8w����M��wnkn�ioDq;p&��sMqx��o8�|�Bo�fu8pM��kn�iof�\�W�io�si�Wu8}MwzoD��u8�5�fu8�Tsi�5�WkzpM{�q�mHq;�Wkzof��y�u8�] _pik���oP¡|sMq;��q;wnwzoDwv�¢u8�����iux{8��q;si�ik��D�vsi�Wu;~�oP�£�WkzuxpM�u8�)���io�u8}5~�oP�£�P¤¦¥�o-�_�iuH�§�W�MqH�?{8knm8oDp¨q!{xofpioD�Wq8w�sEu8wny{8u8pvq;w�ux}5~�oD���?�fu8pM��k����Wkzpi{©u;��ªYwnknpio��of{x��oDp��W�Zkzp«�_sMqx��ox���5oP��k��5knpi{1���Mo����Mof�Bk¬��q8�5�Tkz�W�|q?­�®�¯H°�°�±³²´;µ·¶�®W¸W¸Zsi�Wu;~�oP�£�Wkzuxp��fq8p�}vo��5uxpio�knp¹T�¢ª�º\wzux{�ª�»?¼i�½�Wkz�To�q8pM�(¹T��ª�ºE»?¼M�¾�_sMqx��ox�;���iof�Wo�¼1kn�]���io'p�i�1}voD��u;�¿oD�i{8o�knpx�Wof���_oP�£�WkzuxpM�¾u;���ux��}ik��i�5oDp�À��Mq8�i��knwnq;��oD�Wq8wn���¢k�¤ o8¤)��o��lu;���5kn��oP�£�WkzuxpM�'�W�MqH�)q8�i��kz�W�lq��f��u�����knpi{���q8pM��mHq;�WknoD�����Wu8�Á of�WuÂ�Wu(¹T�¢ª\Ã3��¤�Ä|�ik��|kz�TsiwnkzoP�|��u8�|ofÅ5q8�Tsiwzol�W�MqH�'{xkzmxofp�qT��kz�Tsiwno�svuxwzy{xu8p�knp�ÆH�=�_svq8��ol�Bo��Dq;p�5of��oD���Tknpio�k¬�¿�W�iof�Wo�o�Å5k�������q�siw�q;pio�uxp����Mkn���T�W�io�si�Wu;~�oD����knu8pTk���q)�_kn�Tsiwno�svuxwzy{8uxp��8��kz���MkzpT�W�io�Wq;�To��fu8�Tsiwno�Å5k¬��yx¤cÇM�i�����ioD���Tu8�Wo8�xk¬�����M����q)sM��u8~�oD�£�Wkzuxp��5uoD��piu;�Bo�Å5kn�_�D�q(È�±³²M±³È�É5È1µ_­f®�¯H°W°£±³²´si�Wu;~�oP�£�Wkzuxp��fq;pÂ}voB��u8�MpM��knp1¹T��ª\ÃH����kn��o�q8pM����sMq8�fo8¤�¥�o|�_�iuH�-�W�MqH�]q;pÂu8}5~�oP�£�cq8wz�|q3y5��qx�5�Tk¬���qt��oD{8�iw�q;�Tsi�Wu;~�oP�£�Wkzuxp���u8��knp���of�WoD�_�T��u-�piu;�T�W�iofux��yi�£�Bq;pM�����vqH���_�v���Nq�si�Wu;~�oP�£��knu8pN�fq8p©}Eoux}5�Wq8kzpioP��kzpT¹T��ª�º3�¿�Wkz�To|q;pM����sMqx��o�ux��knp1¹T��ª�Ê3����kn��oBq;pM��wzknpioDq8�c��sMqx��o8¤cË��5oP���f��kns5�Wkzuxp�u;�5�W�io��o��|u;�¾q;wnw¿�ikz�WoD����knu8pM�B���ik�����yknofw����Wof{x�iw�q;�Bsi��u8~�oD����knu8pM�B�fq8p�}Eo��fu8�Tsi�5�WoD��kzp�¹T��ª�Ê�wzux{�ªT»!¼i��Wkz�ToT�5���iof�Wo)¼(k��B���iolp�i�Â}Eof��u8��kzp��Wof���_oP�£��knu8pv�Zu8�½q��_of�|u8�cÀ��Mqx�5�Wq;��k���q8�W�D��uxp��W�io)�5kz�WoD����knu8p��si�ioD��oBq;pM�)mHq8��knoD������ux�̹T��ª�Ê3�\�Wu�¹T�¢ª�ÍP��¤cÇcknpMq;wnwny8�H���ioDp����MoZux}5~�oD���W�¾q;�Wo�sEu8wny�{xu8pM�cq;pv�)���WofoP�knp���sMq8�fo8�8�Bo��fu8pM��k��5of�'È(¯H²¿¯HÎ=¯H²v±¢­�sM��u8~�oD�£�WkzuxpM�D�8kG¤ ox¤z��si�Wu;~�oD����knu8pM�Z�_�v���T���Mq;�Zofmxof�Wy1svqH���T���Wu8��W�io���uu;�|u;�����io��W��oDo��Wu�oDm8oD��yTwnoDqH�ckn�B�Tu8pMu;��uxpik���knp?q1�fu8�T�Tu8p��ikz�WoD����knu8p«u8p��W�io�si�Wu;~�oD����knu8psiw�q;pMo8¤c¥to'��u8wnm8o�q�mHq;�Wkzof��y�u;�\���M���Tsi��ux}iwnof�(�f¤¾Çiux�]o�Åiq;�Tsiwno8�x{8knm8oDp�q�sEu8wny{8u8pvq;wi���Mq8kzpTÏT�8�Bo�Dq;pT�5o��Wof�W��knpio�knp�¹T��ª��c�Wkz�To'kz�\Ϩk��]�Tu8piu8��uxpikn�|uxp����io�si�Wu;~�oP�£�Wkzuxp1siw�q;pMo8�xq8pM��kzp�¹T�¢ªlwnu8{Zª���Wkz�ToT�ZoT�fq8p�ÐvpM�NÑ;Ò³ÒE���ioTmkzoD��kzpM{?�ikz�WoD����knu8pM�l��kz������oP�_sEoD���l�Wu?���ikn����ÏÓk����Tu8piu8��u8pMkn�8¤ÂÔ=pqx�i�5kz��knu8p��iknp�¹T��ª�º3�B�Wkz�To8�v�Zo1�fq;p��5of��oD���Tknpio�q;wnw½�5kn�WoD�£�WkzuxpM����kz�����WoD��svoP�£���Wu(���ikn����qT{xkzmxofp�W��oDolux�'�_kn�TsiwnolsEu8wny{8uxp�k��|�Tu8piu8��u8pMkn�8¤

Õ�ÖZ×�Ø=×�ÙfÚ�Û_ÜÂÝfÞEß�Üx×�àxÚ�Øáß�ÙDâ8ß�Ü�ÝDÚcã]ÙDØcØ=â�ä�ä5ÝfÚ=ß�×£å)æHç)è�é8ê�Ö�ëtìZÚ_ÙDíHß�î�ì|ï�ð8ñ£òDóPòPôPô;õcÖZ×WØ=×£ÙfÚ�Û_Ü1ÝfÞvß�Üx×BØ=×�ÛWÝPíåÂÙDí�åß�Üxö÷Ú_å�Ùfâxß�ÜxÝDÚ�ØBã¾ÙDØ�Û£Ù�Ú=Ú�ö¬×�å�ÝDâxß�å8âxÚ�ö·í�ø)ß�Üx×�ö÷Ú�ù;ö¬Ø=ö÷ß|ß�Ý�ú�Û�ìBö·û·û�üBí�ö·ù3×�Ú�Ø=ö·ß�çTö·í�ñ£ýPýPþ1ÙfíåTã]ÙfØ�Ø=×�û÷Þnÿ¢Ø=â�äxä5ÝDÚ=ß�×£åiõ��¾Ü�×ÞnÝPâ8Ú=ß�Ü(ÙDâ8ß�Ü�ÝDÚ�ã¾ÙDØ�Ø=â�äxä5ÝDÚ=ß�×£åÂæ;çÂè|éxê�Ö�ë ìZÚ_ÙDíHß�í�Ýxõ½î�ì|ï�ðPðDðPý��DýPóÂÙDí�å��Eë��ZÖNìZÚ_ÙDíHß�í�Ýxõ½ýDófÿ�ê�Ö�ÿ�ð��fý8ñPõ é8Û_Ü�ÝHÝPûcÝDÞBëcÝ�)äxâxß�×WÚ�é8Û�ö·×�íxÛ�×��cë¾ÙfÚ�û·×Wß�ÝDítüZí�ö·ù3×WÚ�Ø=ö÷ß�ç��]ñPñ �Dþ�ëcÝDû·ÝPí�×Wû���ç��BÚ�ö·ù3×��cîZß=ß_Ù�ã]Ù��cîBí;ß_Ù�Ú�ö·Ý��cë¾ÙDí�ÙPå�Ù��

� ñ£éTþ������ �áö÷ß��BØ=Û�Ø�õ Û£Ù�Ú�û¬×�ß�ÝPívõ Û£Ù���õ� ê�Ø=Û�âx×�û¬ÙlüBíxö·ù3×WÚ�Ø=ö÷ß_ÙfÚ�ö¬Ù)åx×��GíxÞnÝDÚ "!Ù�ß�ö¬Û�Ù#�ü�õ ï\õ ú�õ$�úTÙPå8Ú�ö¬å%�5ê�Ø=äÙ'&íÙ(��Þ)�Ù�Ú=ß�ö·í*�B×�âxö�õ âxä'Tõ ×�Ø+�, �ÙDÛ�âxû÷ß_ÙPå�å8×-�Gí8Þ�ÝDÚ "!Ù�ß�ö·Û£Ù#�xü�õ ï¿õ ú�õ.�5úTÙPå;Ú�özå%�ê�Ø=äÙ'&íÙ/�³ä8Ú_Ù�)ÝPØ+�Zàvõ â�ä'Tõ ×�Ø+�0 é8Û_Ü�ÝHÝPûMÝDÞ�ëcÝ�)ä�â8ß�×WÚZé8ÛWö¬×Wí�Û�×��ú�Û�ìBö·û·û¿üBíxö·ù3×WÚ�Ø=ö÷ßGç��xú�ÝDí;ß=Ú�×�ÙDû1�%2Bâx×�æ5×�Û��ë¾ÙDí�ÙPå�Ù3�³øPÝ;å8ÞzÚ�ö·×£å4�BÛ�Ø�õ )Û�øDö·û¬û³õ Û£Ù��

5

Page 2: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

� ��������� �����������

�����������������! "��#%$�&('*),+-#�),�.��#"��/1032($�45/"��6�),��2(7829#�:;�<#�/=�<#��<&('!>�29#":?$�4"���.�,@A/�29BC��#�6�2(+-#��<&EDGFH@AI�JK��29:-29/+<7MLN��),$�6O29#PFH@AIQ6SRT�<),�<U�V�+W0X�.Y<�.��Z0[�\+<�]$S��#^4��WY<�C��$�+- "��/�296SR�+-6��<&_+-#�&('?�;`H@AIaBC��/�29 8B?Z86� �)b4^�<6R8��R��.��+<�c�d),+-B R8 "$S�.�S@e:<����RT4�29).6�6�),���.��#Zf+-#1034�29)b4�$S+g/�2h6SR8&9�W'^�g#���),��6�6�����29&9'^29#�),+-B R8&(�.$S�C���.R����,@6S��#i$���$�29+-#^+<�OR82h),$� "����+<�j$�4��k+<7MLS��),$�6O0[�\������29#i$S�.����6S$S��/*29#Umlm4"�.���.��+<����2($�2963/"��6�2(����78&(�k$S+�+<7�$��<2h#`H@AIn���.R�����6S��#%$���$�2(+-#�6o+<�p+- "�q+<7MLS��),$�6j$�48��$j��R�R���+WrM29Bs��$S�X$�4��E�����<&M+<7MLS��),$�6t�<6o�u�<2($�4"�u �&9&('��<6qR�+-6�6�2(78&(�29#16S+-B �;6S��#86S�Pv wK��&�x<FzyeZmv|{O�<&hx<}�yeU^~�6� "7"@G�T��&9/�+<�K�W���b�������9���<�u�G���5).&(+-6S��&9'�����&9��$S��/=$S+^$�4"��).&9�<6�6c+<�R���+<78&(��Bs6E),+-#�6�29/"�.����/?4"�.����296m�-�N�b�T�i�N�<�N���q�]�%�?v IO���tlml�xz�<yeUX�O#"�K+<��$�4"������)b4"�.$A'!R8�<&�R���+<78&(��Bs6E29#:<����R84M@A/"�b��0329#�:\),+-#�6�296S$�6X+<�f�<6S�M29#":"ZM�]+<�m�\:-2(Y<��#�:<����R84Z"�*�S#�29),����/"�b��0329#�:c+<��2($.Uj~�:<����RT4;2h#s$�4�2h6),+-#i$S�,rM$�2963#�+<$��s��2(:-29/g+<7MLN��),$O29#PFH@AIQ6SR8�<),�\78 "$���B +<���c��786�$S���<),$O$S+<Rp+-&9+<:-29).�<&f6�$S�� �),$� "���c034�29)b4Rp�.�bB 2($�6K$�4"��6�4"+<��$S��#�2h#":"Zf&(��#�:<$�4"��#�29#":?�<#�/17���#�/�29#":�+<�E2($�6K��/�:<��6k$S+P�<)�4�2(�.Y<��$�4"��/���6�2(����/*:<+-�<&GU�[';),+-#i$S�b�<6S$.Z"0[�O�����O),+-#�),�.��#"��/�0�2($�4 ��29:-29/d�s�.�u� �G¡����%+<7MLN��),$�6E2h#;FH@AI¢6SR8�<),��034�29)b4�������),+-BCR�+-6S��/+<�pR�+-29#%$�63D]Y<�.��$�2h),��6bJq�<#�/s&929#"�E6S�.:-BC��#%$�6�D]��/�:<��6bJq�<#�/ 0[�m0X+- �&9/s&92(�<�E$S+�+<7�$��<2h#5�S#�29),�����p�N�N£���¡W�u�u�<�"�+<��$�4���6S��+<7MLS��),$�6m+-#d6�+-BC��R8&9�<#���$�48��$m0329&9&��z¤�+<��/?$�4"��BdU

���d�����?),+-#�),�.��#"��/¥4��.����0�2($�41�M���S�����9�,�mD]+<��$�4�+<:<+-#��<&�JcR���+zLS��),$�2(+-#�6?v ¦�YMI�¦oVOx�§<yE����$�4"�.�C$�48�<#Rp�.�b6SR���),$�2(Y<�cR8��+zLN��),$�29+-#�6.UO¨����b�<&9&(��&fR���+zLS��),$�2(+-#�6OB ��'^7��c),+-#�6�2h/"�.����/P�<6�R��.��6�Rp��),$�29Y<�cR���+zLN��),$�2(+-#8629#©$�4"�g&92hB 2($��<6 $�4"�dYM2(�.0ªR�+-29#%$ ��R�R���+-�<)b4"��6s�1&(+!).��$�29+-#«29#M�T#82($S��&('��u���s��0���'«�]��+-B¬$�4��?+<7MLN��),$7p��2h#": YM2(�.0[��/_Um­®#%$� �2($�29Y<��&('<Z80X�\Bs��'d$�4�2h#"��+<�q+- "��+<7"LN��),$O�<6O�s0329���,@e���b�<BC�k6�2($S$�2h#":s29#PFH@AIa6SRT�<),���7p+HY<�k$�4"��4�+<��2(>.+-#%$��<&_¯8°%@eR8&9�<#��<ZM�<#8/?$�4"��R8���b�<&9&(��&pR���+zLS��),$�2(+-#?+<�o$�4"�K+<7MLS��),$3+-#d$�4"�K¯8°%@eR8&9�<#"���<6$�4"�C6�4��</"+H0±).�<6�$K7%'d$�4��c0329���c�]���<BC�\034"��#P��&92(:-4%$�6�+- "��),��6�4�29#"��6��]��+-B²��R�+-29#%$�2h#M�T#�2($S��&9'�482(:-4�<&(+-#":?$�4"�CR�+-6�2($�29Y<��³<@A�zrM296�U���7�$��<29#�2h#":´�S#829),����R8�����<&9&9��&fR8��+zLN��),$�29+-#�6O+<�X�<#5+<7MLN��),$k$�4"��#�����/� 8),��6$S+\$�4���R8��+<78&(��Ba+<��T#�/829#":k��6� �29$���78&(��FH@AIa�S�<�e�<�u�G���s�]+<��$�4"�O+<7MLN��),$E6� 8)�4;$�4���$E2($�6�6�4��</"+H0n+-#�$�4��¯8°%@eR8&9�<#"��),+-#%$��<29#�6E$�4��k/"��6�2(����/�R���+<R��.��$�2(��6.U

l�+´/���$S�g6� 8)�4¥R���+<78&(��B 6C4��WY<�g����),��29Y<��/µ6�).�<#%$���$S$S��#%$�2(+-#µ2h#¥$�4"�g),+-BCRT "$���$�2(+-#��<&E:<�.+-B �.$S��'&92($S�.����$� "���<U1�n4"��#©$�4"��+<7MLS��),$�6 �����d),+-#%Y<�,r©R�+-&('M4"��/"�b�=Du6S+-&92h/=7�+M/�2(��6bJk6S�.Y<�.���<&3�% "��6�$�2(+-#�6�4���Y<�7p�.��#P�,rMR8&(+<����/_UO¦�+<���,rM�<B R8&(�<Z�;R���+<78&(��B¶+<�t29#%$S�.����6S$K29#^��+<7�+<$�29).6O),+-#�),�.��#86O$�4"�C/"�.$S�.��B 29#8��$�2(+-#+<�f034��.$�4"�.�m�C),+-#iY<�,r?R�+-&('M4"��/"��+-#;·¸B �W'�7��O$S���<#�6�&h��$S��/�$�4"��+- ":-4?�*�S/"+!+<����$�4���$m4��<6�$�4���6�4���R��+<�o�s),+-#iY<�,rdR�+-&('!:<+-#UX{��.+-B �.$S��29).�<&9&(';$�4�296mR���+<78&(��B¹����/� �),��6E$S+;/"�.$S�.��B 29#829#":�2(�f$�4���R�+-&('!4���/"��+-#4��<6k�d6�4��</"+W0a$�4���$��T$�6�29#�$�4"��/"+%+<��v|º!$S�b»<`HyeZEv l�+- T»<}zyeU;~�&(:<+<��29$�4�B 6K4��WY<�;�<&96�+d7��.��#���+- 8#�/*��+<�/"�.$S�.��B 29#829#":\$�4"�KR���+zLS��),$�2(+-#�6�+<�o�C),+-#iY<�,r?R�+-&('M4"��/"��+-#�$�4���$mB 2h#�29B 2(>.��+<�mB �zr"29B 2(>.�O$�4"�s�<�S���K+<�$�4"� 6�4��</"+H0¼$�4���$�$�4��CRp+-&9'!4"��/���+-#^Bs���<��6�+-#5��R8&h�<#"��034"��#*R8&9�<).2h#":;�g&92(:-4%$O6�+- "��),� ��$�29#M�p#�2($A'v ½*º"»<}�yeZ�v �m{Owkx<}zyeU�­N#=),+-B R8 "$S�.��:<����R84�2h).6.Zq:<+%+M/´R���+zLS��),$�2(+-#�6c��+<�����</82(+-6�2($¾'1),+-BCR8 "$���$�29+-#´�����$�4"+-6S��$�4���$t'M2(��&9/C$�4���BC+-6S$X#% 8Bk7��.�t+<���u�<),�.$�6XY!296�2(78&(�E�]��+-B¼$�4��3YM2(�.0mR�+-29#%$3v|¿X+-&hx�§zyeU[�O#s$�4"�3+<$�4"�.�4��<#�/Z034���#*$�4"�C+<7MLS��),$�6������sFH@AI¹R�+-&('!:<+-#��<&�+<7MLN��),$�6;Du6S�<��&(�.$S+-#�6�+<��032(���,@e�]���<BC��6 JmY<�.��'P&929$S$�&(�\2h6�!#"+H03#U\V�2(�b��$����.$��<&eU(Ztv V�½Plml3xz�<yq:-2(Y<�C7�+- �#8/�63+-#*$�4��\0X+<��6S$N@A).�<6��s),+-Bk7T29#���$S+<��29�<&o),+-BCRT&(�,rM29$A'+<�j$�4"��6�29BCR8&9��6S$mR���+zLS��),$�2(+-#�6�+<�j$�4"��6S�<��&(�.$S+-#86�+<�XFH@AIQ),+-#%Y<�,r*6� �7�/82(Y!2h6�2(+-#�6[+-#i$S+?��R8&9�<#"�<UKºM �)b46�29BCR8&9�\R8��+zLN��),$�29+-#�6k4��WY<����R�RT&929).��$�2(+-#*$S+d$�4���/"��6�29:-#*+<�X�,À;).2(��#i$�FH@AIªR�+-29#%$�&(+!).��$�29+-#5�% ��.��'P�<&(@:<+<��2($�4�B 6Cv ¨[l3x<`HyeUc¿�&(+-6S�.�O29#P6SR82(�b2($m$S+;$�4"��0[+<���gR�����6S��#%$S��/*4"�.���<Zw��<B �</��;�<#�/*w��W0X�<2Ev w�wk»<»�yR�����6S��#%$k�<#´ÁsD]Â_Ã�&(+<:tÂfJ�$�29B �s�<&(:<+<��2($�48B²��+<�\),+-BCR8 "$�29#�:?$�4"� R���+zLS��),$�2(+-#�+<�E�?0�2(���,@e�]���<BC�<Z�$�48��$29#^�;6S��#�6��cB �zr"29B 2(>.��6�$�4"�\R���+zLS��),$S��/*B 29#�29B\ �B�/8296S$��<#�),�c7p�.$¾0[�.��#PR8���b�<&9&(��&�6��.:-BC��#i$�6�UO¦o29#8�<&9&('<Z�X48��$S$��<)�4�����'-�©�<#�/µÄm+-6S��#"�]��&9/�v ��Ä�xz�iy34���Y<�P6S$� �/�29��/¥�56SR���).29�<&E).&9�<6�6 +<��+<��$�4"+<:<����R84�2h)�R���+zLS��) @$�2(+-#�6E).�<&9&(��/;�n2(��$�29#�:<�.�ER���+zLS��),$�2(+-#�6X��+<�3FH@AI±R�+-&('!:<+-#�6.Uo­N#�/"�.R���#�/"��#%$X+<��$�4�296X0X+<���pZ��X�������% "�.$3�.$�<&GUhv ��I��Xx<Å�yf6�$� �/�2(��/;+<��$�4"+<:<�b��R84�29)OR���+zLN��),$�2(+-#86E��+<�3$�4"�k6SR���).29�<&).�<6S�k+<�o6�29BCR8&(��R�+-&('!:<+-#�6.U

`

Page 3: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

­®#�$�4"��0[+<���CR�����6S��#%$S��/�4��.����$�4��3+<7MLS��),$�6�),+-#�6�29/"�.����/s������R�+-&('%:<+-#8�<&86S$S�� 8),$� "����6X29#�FH@AI\U8ºM �)b4+<7MLN��),$�6K2h#�).&9 �/"�c6S�.$�6�+<�t/�296]LS+-29#%$3&929#��k6S�.:-BC��#%$�6.Z�FH@AI 6�29BCR8&9��R�+-&('%:<+-#86.ZT�M#"+<$�6.Z�$S���.��6�Z��<#8/^BC+<���:<��#"�.���<&9&('<ZM6S�.$�6X+<��6S�.:-B ��#i$�6E29#s034�29)b4s$�4���6S�.:-BC��#%$�6EB �W' $S+- �)�4;���<)b4�+<$�4"�.�E��$[$�4"��29�[��#�/�R�+-29#%$�6.Z6� �)�4s�<6j6S�<��&(�.$S+-#�6j+<��FH@AI��q+<��+-#"+-28/�29��:<���<B 6o+<�t+<$�4"�.�t6� "7/�29Y!296�2(+-#�6_6� 8)�4C�<6q$�4"+-6��m29#dv V�½Plml3xz�-yeUlm4"�.���O�����OB �<#i';6SR���).2 �T)E:<�.+-B �.$S��29).�<&)�48�����<),$S�.��296S$�2h).6�+<�_$�4"��Yz��:- "�K#"+<$�29+-#�+<��$�4"�;�S#829),��#"��6�6��c+<���R���+zLS��),$�2(Y<��/"���W0329#":\+<���<#�+<7"LN��),$.UXºM+-BC�O+<�f$�4"��6��������KBC+<����/"��6�29����78&(��$�4��<#�+<$�4"�.��6m/��.Rp��#8/�29#":+-#5$�4"� ��R�RT&929).��$�2(+-#�29#�Bs29#�/Us�O#"�C�����% �29����BC��#%$�+<�C�S#�2h),���?296K$�4���$k�<&h&o$�4"�s6�2(:-#82 �T).�<#%$��]����$� "����6+<��$�4��gFH@AI²+<7MLN��),$�6�4"+- �&9/©7���YM296�2(78&9�;29#©$�4��?R���+zLS��),$�2(+-#U¥­N#©+<$�4"�.�s0X+<��/�6.ZX#"+�Y<�.��$S�,r«6�4"+- 8&9/&92(�g7���4�2h#�/¥�<#"+<$�4"�.��Z�#"+1��/":<��6�4�+- �&9/«&(+!+<�«&92(�<�P�1Y<�.��$S�,r �<#�/ #"+1��/":<��6�4�+- �&9/«4�2h/"�g�<#"+<$�4"�.���/":<�<U^¦� ���$�4"�.��BC+<���<Zo#�+d$�4"���.�;��/":<��6\B ��'148��Y<���<#=29#%$S�.��2(+<�cR�+-29#i$c29#1),+-B B +-#Uglm4�2h6K$A'!R��s+<�R���+zLS��),$�2(+-#Zq).&(+-6S��&('�����&9��$S��/1$S+P�n2(��$�29#":<�.�cR���+zLS��),$�2(+-#�6;v �XÄ�xz�-yeZq296c �6S�.�u �&t29#1Y!2h6� ��<&92(>�2h#":��!#"+<$�6�Z�<#�/^2h#d�M#"+<$3$�4"�.+<��'g2963).�<&h&(��/g�^�S�A�<�M�(���3R���+zLN��),$�2(+-#´v Äm��2hF<`�yeZov �f2(YMx<F�yeU3~�#�+<$�4"�.�������% �29����BC��#%$m��+<��,¤p��),$�2(Y<�;YM296� ��<&929>���$�2(+-#5296�� �����T���G¡.�u���zU^�K#"�sBC���<6� ����s+<�E6�29B R8&929).2($¾'^296k$�4"�s#! �Bc7p�.�k+<�m),��+-6�6�29#�:-6+<�c��/":<��6g29# $�4"�*R���+zLS��),$�2(+-#U ­¾$?296�/"��6�29����78&(�P$S+¥+<7�$��<29#n$�4"�*R���+zLN��),$�2(+-#n$�48��$dB 29#�29Bs2(>.��6s$�4��#% �Bc7��.�E+<��),��+-6�6�29#":-6�U����k0329&9&T���.�]�.�m$S+ 6� �)b4�R���+zLS��),$�2(+-#�6m�<6K���]���]�\�M���S¡.�S�z��� ���%�kR���+zLS��),$�2(+-#�6�Uq­¾�$�4"��B 2h#�29B\ �B #% 8Bk7��.�k+<�m),��+-6�6�29#":-6c296�>.�.��+^0X��).�<&9&[6� �)b41R���+zLN��),$�2(+-#86�¡.�S�z�b�b�]�%�<���b�����.Ug­N#16S+-B ���R�R8&929).��$�29+-#�6k0X�?B ��'©4��WY<����FH@AI²/�2(����),$S��/=$S���.�d�<6C�<#=+<7"LN��),$C+<��29#i$S�.����6S$.U=ºM �)b4´�P$S���.�dBs��'���.R�����6S��#%$E��6S'!6�$S��B¹+<��Y<��29#�6�29#�$�4"�K4! �B �<#;7����<29#��]+<�X�,r"�<BCR8&9�<Z!0�4"�.����$�4"�K/�2(����),$�2(+-#�+<�f�<#���/�:<����.R�����6S��#%$�6_$�4��[/�2(����),$�2(+-#K+<�M78&(+!+!/�T+W0=2h#K$�4"�[),+<������6SR�+-#�/�29#�:XY<��2h#�6S�.:-BC��#%$.UqV3�.���X2($�296_+<�M2h#i$S�.����6�$$S+ /"�.$S�.��B 29#���2(��$�4"�.���O�,rM2h6S$�6���R���+zLS��),$�2(+-#�6� �)�4�$�48��$��<&h&T$�4��O/82(����),$�2(+-#�6X+<�f$�4"�O��/":<��6�+<��$�4"�K$S���.�������BC+-#"+<$S+-#�2h).�<&9&('s29#8),�����<6�29#":�29#;�C6SR���).2 �8��/;/�2(����),$�29+-#�+-#�$�4���R8��+zLN��),$�29+-#�R8&9�<#"�<Uo­N#�:<��#"�.���<&�0X�).�<&9&[6� �)�4=R���+zLS��),$�2(+-#�6�� ���T�<�e���8�u¡�R8��+zLN��),$�29+-#�6.Ug½^+<����6SR���).2 �T).�<&9&('<Z��gR8��+zLN��),$�29+-#=296cBC+-#"+<$S+-#�2h)2(�t$�4"�CR8��+zLN��),$S��/129B ��:<�C+-#�$�4"�CR8��+zLN��),$�29+-#*R8&9�<#"�C296KBC+-#�+<$S+-#�29)�UC~QRT&9�<#����OR�+-&('%:<+-#8�<&q)�4��<29#�2h6BC+-#"+<$S+-#�29)k2(�f$�4��.�����,r"296S$�6m� /82(����),$�2(+-#d6� �)�4?$�48��$3�.Y<�.��'?&929#���+<��$�4"+<:<+-#��<&f$S+ $�4�296m/82(����),$�2(+-#Z"$�48��$29#i$S�.�b6S��),$�6k$�4���)�48�<29#Z�'!2(��&h/�6��dR�+-29#%$��<6c$�4"��29#%$S�.��6S��),$�29+-#U?~¹R8&9�<#�����R�+-&('!:<+-#12h6kBC+-#"+<$S+-#829) 2(�2($�).�<#P7���R8����$�29$�2(+-#"��/g2h#i$S+�$A0X+�)b4��<29#�63���<)�4*+<�q034829)�4^2963BC+-#�+<$S+-#�29)�0�2($�4d����6�Rp��),$�$S+s$�4��\6��<B �/�2(����),$�2(+-#_Uµ~²$S���.�g296sBC+-#"+<$S+-#�29)g2(��29$s),+-#i$��<2h#�6s����+%+<$s�<#8/µ�5/�29����),$�2(+-#«6� 8)�4¥$�4���$;�<&9&ER8��$�486����+-B $�4"�k��+%+<$�$S+s$�4"�k&9����Y<��6O�����cB +-#"+<$S+-#�29)K0�2($�4?����6SR���),$�$S+s$�4���$�/�2(����),$�2(+-#_Ut­N#d$�4�296mR8��R��.�30X�29#iY<��6�$�2(:-��$S�d$�4"�?��7�+WY<�?�]+- "�C$A'!R���6�+<�3R���+zLN��),$�2(+-#86���+<�C+<7MLS��),$�6C034829)�4©�����?6S�.$�6C+<��/�296]LS+-29#%$\&h29#"�6S�.:-BC��#%$�6.ZT6�2hBCR8&(��R�+-&('%:<+-#86.Z"R�+-&('%:<+-#8�<&)�4��<29#86m�<#�/�$S���.��6.U

����6�4"+- �&9/µ�</�/µ4"�.���g$�4���$;$�4"�^#�+<$�2(+-#�6 +<��Bs29#�29B\ �B ),��+-6�6�29#":1/�����032h#":-6s�<#�/ BC+-#"+<$S+-#�2h)/"����0�29#":-6k������).&9�<6�6�29) YM296� ��<&h2(>���$�2(+-#�R���+<78&(��B 6K$�48��$\4��WY<��7��.��#10[��&9&[6S$� �/�29��/529#5$�4���),+-#%$S�,r!$�+<�:<����R84�/"���W0329#":�v I����[lml3xz�<yeUjlm4���:<��#"�.�b�<&p�! "��6S$�29+-#�+<��:-2(Y<��#��c:<�b��R84ZM).�<#�+-#����p#�/s�<#;��Bc7p��/"@/�29#":s2h#?$�4"�kRT&9�<#"��$�4���$�B 29#�2hB 2(>.��6E$�4"�\#% 8Bk7��.�m+<�j),��+-6�6�29#": ��/�:<��6.Zp2h6��¨q@A),+-BCR8&9�.$S��v|{ �%»<FzyeUE­N#�]�<),$�$�4�296ER8��+<78&(��B�2h63�<&96S+��¨j@A),+-BCR8&(�.$S�\��+<��� Y�����2(�.$¾'?+<�j6SR���).29�<&_).�<6S��6�v|º�º��Kxz�<yeUE~¸&(+<$m+<�q0X+<���4��<6k7��.��#=/"+-#"�s�]+<�c/�����032h#":d:<����R8486k29#5�PBC+-#"+<$S+-#829)C0���'129#1$�4"�sRT&9�<#"�<U?lm4"��6S��/"����0�29#":-6k������!#"+H03#P29#d$�4"�\:<����R84"@A/"����0�29#":s&929$S�.����$� "���k�<6\�H�T�t���S�\�p� ���p����/�����032h#":-6.U�¿X+-BCRT "$�29#":s�<#P "R!0X���b/R8&9�<#����E/"���W0329#":c+<�f�\:<����R84;���.�]�.��6X$S+�$�4"�O:<��#"�.���<&�R���+<78&(��Ba+<��/"�.$S�.��B 2h#�29#":c��+<�E�\:-2(Y<��#?/�2(����),$S��/:<����R84ZM034"�.$�4��.��29$X).�<#�7��O/"����0�#;2h#s$�4"�OR8&h�<#"��6� 8)�4;$�4���$E�.Y<�.��'���/":<�K296�BC+-#"+<$S+-#�29).�<&h&('s29#�),�����<6N@29#":c2h# $�4"��Y<�.��$�29).�<&p/�2(����),$�29+-#s�<#�/;#"+k$¾0[+���/":<��6�),��+-6�6.Ujlm4�296tR���+<78&9��B¼296��¨j@A),+-BCR8&(�.$S�<Z"�<6�296j$�4��R���+<78&(��B +<��/"��).29/�29#�:c2(���<#? 8#�/�2(����),$S��/�:<����R84�).�<#?7��O/"���W03#�29#;$�4"�OR8&9�<#"�O6� �)b4�$�48��$E�.Y<�.��'���/�:<�296m�C4"+<��29>.+-#i$��<&�+<�mY<�.��$�29).�<&_6��.:-BC��#i$��<#�/d#"+C$¾0[+���/":<��63),��+-6�6kv|{Ol3x<}�yeU

­®#^$�4�296�R8��R��.��ZT0[��),+-#�6�29/��.�3$�4"��BC+-6S$�:<��#"�.���<&fR�+-&('%:<+-#8�<&�+<7MLS��),$.Z2GU �<U(Z���6S�.$�+<�t/�2h6]LN+-2h#i$3&h29#"�6S�.:-BC��#%$�6.Uj���K6�4"+H0 $�4���$X:-2(Y<��#;�c6��.$[+<�_ÂP&929#"�m6��.:-BC��#i$�6E2h#s6SR8�<),�<Z"/"��).2h/�29#":K034��.$�4"�.�X29$[�</�B 29$�6

F

Page 4: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

�s),��+-6�6�29#":�@e�]���.��R���+zLS��),$�2(+-#P).�<#d7��k/"+-#��k29#PÁsD]Â���&(+<:jÂ�����J�$�29BC�c�<#�/PÁsD]Â�������JE6SRT�<),�<ZT034��.����?296E$�4"��#! �Bc7��.�E+<����/�:<�k29#%$S�.��6S��),$�2(+-#�6m+<���]+<��782h/�/"��#��% 8�</"��29&9��$S�.�b�<&96�Du2GU �<Ut6S�.$3+<�o/82(����),$�2(+-#�6�$�48��$�</�B 2($�6K�?),��+-6�6�29#":%J��<#�/��aÁsD]Â��WJbU�l34�296�29BCR8&929��63�]+<���,r"�<BCR8&(��$�4���$K:-2(Y<��#1�?6�29BCR8&9�kR�+-&('!:<+-#29#µFH@A6SR8�<),�^0[�P).�<#µ/"�.$S�.�bB 29#"�d2(��$�4"�.���g�,rM296�$�6s��R8&h�<#"�?+-#«034829)�4¥$�4��dR���+zLS��),$�2(+-#µ2h6 �56�29B R8&(�Rp+-&9'%:<+-#Z�032($�4�29#^$�4"� 6��<B �s),+-BCR8&(�,r"2($¾'<U ¦� "��$�4"�.�bBC+<���<Z�2(�X6� �)b45��R���+zLS��),$�2(+-#5/"+!��6K#"+<$��,r"296S$.Zf��\�]���]���!���S¡.�S�z��� ���!�kR8��+zLN��),$�29+-#d).�<#d7��O��+- 8#�/?29#^ÁsD] � J[$�2hBC���<#�/d6SRT�<),�<U

���d6�4"+H0ª$�4���$C�P6��.$\+<��&929#"�;6S�.:-BC��#%$�6 29#´6SR8�<),�5D]034�2h)�4©29#�).&9 8/"��6�R�+-&('!:<+-#��<&X+<7MLS��),$�6C�<6C�6SR���).29�<&).�<6S�HJ��<&(0���'M6m�</�Bs2($�6������.:- �&9���ER���+zLN��),$�2(+-#=D]+<��29#%$S�.����6S$E$S+C�M#"+<$E$�4"�.+<��'"JbZ��<#�/�$�48��$36� �)b4��R���+zLS��),$�2(+-#5).�<#�7���+<7�$��<29#"��/�2h#�ÁsD]Â��WJ�$�29BC�C�<#�/�6SRT�<),�C+<�k29#1Á D]Â� �J�$�29B ���<#8/�&929#"�����K6SR8�<),�<U~a/"��6�),��2(R�$�2(+-#^+<�t$�4�� 6S�.$O+<�X�<&9&o/�29����),$�2(+-#�6�034�2h)�4P'!29��&9/g���.:- �&9���KR���+zLS��),$�2(+-#�6O).�<#�7���),+-BCR8 "$S��/29#5Á D]Â� �&(+<:tÂ�����J�$�2hBC��Z0�4"�.�����P296�$�4"�C#% �Bc7��.��+<�X29#%$S�.��6S��),$�2(+-#�6O+<�X��6S�.$K+<�[�! ��</"����$�2h)c����).6+-#«$�4"�g/82(����),$�2(+-#«6�R84"�.���d�<#�/µYz���b2(��6C�]��+-B ÁsD] J�$S+©Á D] à JbUn¦o29#��<&9&('<ZX034"��#«$�4"�d+<7MLS��),$�6������Rp+-&9'%:<+-#�6��<#�/?$S���.��6�29#d6�R8�<),�<ZT0X�c),+-#86�29/"�.��� ���p�<�e�����G¡�R���+zLS��),$�2(+-#�6.Zp2GU �<U(Z8R8��+zLN��),$�29+-#�636� 8)�4d$�48��$�.Y<�.��'5R8��$�4=����+-B $�4"�;��+!+<$k+<�m$�4��s$S���.�;$S+^�.Y<�.��'1&(�����3296cBC+-#"+<$S+-#�2h)s29#=6S+-BC��/�2(����),$�2(+-#1+-#1$�4��R���+zLS��),$�2(+-#�R8&9�<#"�<U����m6S+-&(Y<�E��Y�����2(�.$A'\+<�T6� �)�4\R���+<7T&(��B 6.U�¦"+<�j�,r"�<BCR8&(�<Z<:-2(Y<��#C��R�+-&('!:<+-#��<&M)�4��<2h#·CZ_0X� ).�<#5/"�.$S�.��B 2h#"�\2h#�QÁsD]ÂfJ�$�29BC�C2(�t· 296OBC+-#"+<$S+-#�29)�+-#*$�4��CR���+zLS��),$�2(+-#*R8&9�<#"�<Z_�<#8/�29#Á D]Â�&(+<:[ÂfJf$�29BC�m0X�3).�<#C�p#�/d���]�z$�4��mY!29�.0329#":K/�2(����),$�2(+-#�6o032($�4�����6SR���),$j$S+�034�2h)�4 ·�2h6jBC+-#"+<$S+-#�2h)�U­®#��</�/82($�2(+-#Z�29#5Á D]Â���J�$�29BC�<Z0X�C).�<#5/"�.$S�.��Bs29#"���<&9&o/�2(����),$�2(+-#86�0�2($�4P����6SR���),$O$S+?034�29)b4P�;:-2(Y<��#$S���.��+<��� :-2(Y<��#d6�29B R8&(��Rp+-&9'%:<+-#d2h6EBC+-#"+<$S+-#�29)�U

� �����������E���m���� ���p��������j� ����"!#�j���������$

�_�.$&% 7��?�P6��.$C+<��Ân/�296S$�2h#�),$\�<#8/¥/�296]LS+-29#%$c&929#��;6S�.:-B ��#i$�6 2h#(') �6SR���).2 �8��/=7%'=$�4"�^¿�����$S��6�2h�<#),+%+<��/829#���$S��6X+<��$�4"��29�X��#8/M@eR�+-29#i$�6OD]Y<�.��$�29),��6�+<�*%jJt�<#�/�&(�.$"+ 7����cR8&9�<#"�<U ���.$,%�-n7���$�4"��R8�����<&h&(��&R���+zLS��),$�2(+-#�+<�.%1+-#%$S+�+1Uj~ R8�����<&9&(��&TR���+zLS��),$�2(+-#;+<�.%=296�6��<2h/�$S+�7��\�S�A�<�M� �<�X2(�f#"+�$�4"���.�OR�+-29#i$�6[+<�%PR���+zLS��),$q$S+K$�4"�m6��<BC�ER�+-29#%$o+-#�+ �<#8/C#"+KY<�.��$S�,rC+<�/%PR8��+zLN��),$�6j$S+K$�4"�m6��<BC�ER�+-29#%$o+-#�+¶�<6j�<#%'+<$�4"�.��Rp+-2h#i$j+-#0%µv �f2(Y"x<FzyeUqlm4�296j/��,�T#�2($�2(+-#s29BCR8&929��6o$�4���$[�]+<��/�296]LS+-29#%$j&929#"�m6S�.:-B ��#i$�6KD 5 Jt#"+kR�+-29#%$+<�1%�- ),+<������6SR�+-#�/�6j$S+cBC+<����$�4��<# +-#��3Y<�.��$S�,rs+<�1%�ZpDG`-Jt#"+kR�+-29#%$q+<�1%�- ),+<������6SR�+-#�/86q$S+c�kY<�.��$S�,r+<�2%��<#8/=�<#´29#%$S�.��2(+<�\Rp+-2h#i$�+<���<#1��/":<�;+<�2%XZq�<#�/nDGF-Jk#"+^R�+-29#%$�+<�2%�-a),+<������6SR�+-#�/�6k$S+PBC+<���$�4��<#1$¾0[+*29#%$S�.��2(+<��R�+-29#%$�6�+<�E��/�:<��6k+<��%XU?lm4��.���.��+<���s$�4"��+-#�&('*),��+-6�6�29#�:dR�+-29#i$�6;Du29#%$S�.��6S��),$�2(+-#�6 J�<&9&(+W0X��/�29#;�k���.:- 8&9���[R8��+zLN��),$�29+-#������O$�4"+-6���R�+-29#%$�6t$�48��$[7���&(+-#":c$S+�$�4"��2h#i$S�.��29+<��6j+<�_R8����).296S��&('C$¾0[+��/":<��6k+<��%�U�l34�296�),+-#�/82($�2(+-#5296c),�� �).29�<&j��+<�\$�4"��6� �).),��6�6S�u �&qYM296� ��<&h2(>���$�2(+-#��<#�/=B �<#�2(R8 8&9��$�2(+-#*+<��!#"+<$�6?v �f2(YMx<FHyeU*w�#"+<$�6�������/"�,�T#���/=�<6\R�+-&('!:<+-#�6k29#©FH@AI �<#�/=�����;6SR���).29�<&[).�<6S��6�+<�36S�.$�6\+<�3&h29#"�6S�.:-BC��#%$�6t034��.���E#"+<$t�<&9&"6S�.:-B ��#i$�6[�����3/�296uLN+-29#%$.U �+<$S�3$�48��$t�OY<�.��$S�,r 034"�.���X$¾0[+c��/":<��6t������LN+-29#���/$S+<:<�.$�4"�.�C29#*$�4"�s).�<6S��034"��#*$�4"��&929#"�C6S�.:-BC��#%$�6c��+<��B �gFH@AIªR�+-&('!:<+-#5),+- �#%$�6k�<6�Du#�+<$k$A0X+g7T "$bJ+-#"�kY<�.��$S�,r�UmÄm�.:- 8&9���3R���+zLN��),$�2(+-#86m+<�tFH@AI¼R�+-&('!:<+-#�6E0X�.���k�8��6S$36�$� �/�2(��/�7!'?$�4"���M#"+<$3$�4��.+<��296S$3w UÄm��29/"��B ��296S$S�.�329# 5 x<F<`Pv Äm��2�F<`Hy�034"+ 6�4�+W0X��/d$�4���$3�<&h&�FH@AI±R�+-&('%:<+-#86m�</�B 2($m� ���.:- �&9���mR8��+zLN��),$�29+-#�<#�/d29#��u�<),$3�<&9BC+-6�$m�<&9&�R���+zLS��),$�2(+-#�6�+<�oR�+-&('!:<+-#�6E�����K���.:- �&h����Ujlm4�296X����6� �&($�0X�<63���,@A/�296�),+WY<�.����/?7!'�X48��$S$��<)�4�����'-�P�<#�/5Ä3+-6S��#"�]��&9/«v ��Ä�xz�<y[��+<�k������6S$S��29),$S��/5).&h�<6�6K+<�X���.:- �&9����R8��+zLN��),$�29+-#�6O�!#�+W03#5�<63?���,�u�]�%�%�.��R8��+zLN��),$�29+-#�6.U�Ä3�.:- �&9���cR���+zLS��),$�2(+-#�6��<&9&9+W0Q$¾0[+P),+-#�6S��). "$�29Y<�s��/":<��6c+<�E�gFH@AIªR�+-&('!:<+-#$S+dR���+zLS��),$K$S+?$A0X+g),+-&9&92h#"�����K),+-#�6S��). "$�2(Y<�C��/�:<��6K+-#�+=U\lm4��.���.��+<����6�+-BC� 6�4���R���������$� �����6O+<�[$�4��Rp+-&9'%:<+-#n������&(+-6S$?29# ���.:- 8&9����R���+zLS��),$�2(+-#�6.U¼¦"+<�gY!296� ��<&92(>���$�2(+-# ��R�R8&h29).��$�2(+-#�6�$�4�296;B ��'n#"+<$�7��/"��6�2(����7T&(�<Uglm4"+-6��s���.:- �&h���cR���+zLN��),$�2(+-#86c29#1034�29)b4=29$c296c�<&96S+P�����% 82(����/5$�48��$\#"+^$A0X+�),+-#�6S��). "$�2(Y<�

Page 5: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

��/":<��6\+<�E$�4"�;FH@AI Rp+-&9'%:<+-#548��Y<��),+-&9&929#"�����cR���+zLS��),$�2(+-#�6.Zo�������!#"+H03#1�<6 3?�]�,�u���%�!�,�OR���+zLS��),$�2(+-#�6�Ulm4"�3��7�+WY<���< "$�4"+<��6[/�29/C#"+<$[�</�/"����6�6j$�4"�3�<&(:<+<��29$�4�B 29)E),+-BCRT&(�,rM29$A'�+<��<),$� ��<&9&('c�T#�/�2h#":O���.:- �&9���j+<�� 2(��$�29#":<�.�oR���+zLS��),$�2(+-#�6.U�­N#�$�4�296o6S��),$�2(+-#�0X�E6S$� �/"'�$�4��m),+-BCR8&(�,r"2($A'c+<�T),+-BCRT "$�29#":O�O6�29#":-&(�X���.:- �&h���+<�3�n2(��$�29#":<�.�ER8��+zLN��),$�29+-#d�<6m0X��&9&�<63),+-#86S$S�� �),$�29#�: � /"��6�),��29R�$�2(+-#�+<�o�<&9&_6� �)b4?R���+zLS��),$�2(+-#�6m��+<�m$�4��BC+<���P:<��#"�.���<&O29#"R8 �$ ),+-#�6�296S$�2h#":5+<�k/�2h6]LN+-2h#i$s&h29#"�g6S�.:-B ��#i$�6.U±lm4"��6��g����6� 8&($�6�2h#�).&9 �/"�?$�4��.���.��+<�������6� �&($�6m��+<�OFH@AI¼)�4��<2h#�6.Z"R�+-&('!:<+-#�6.Z"$S���.��6��<#�/?:<�.+-BC�.$S�b29)�:<����RT4�6m29#?:<��#��.���<&GU[l34"��/"��6�),��29R�$�2(+-#�+<��<&9&�R���+zLN��),$�2(+-#86t�<&9&(+H036t 86j$S+k+<78$��<29# ���.:- 8&9���t+<�X� 29��$�29#":<�.�jR8��+zLN��),$�29+-#�6j$�4���$[+<R�$�29B 29>.�3�</�/�2($�29+-#��<&R���+<R��.��$�2(��6.Uo¦"+<�X�,rM�<B R8&(�<Zi+-#��3B ��'C7��32h#i$S�.����6�$S��/s29#C+<78$��<29#�29#":K$�4��3BC+-6S$[$S+-&(�.���<#%$tR���+zLS��),$�2(+-#�29#$�4"�m6S��#�6S��$�4���$j29$oBs�zrM29Bs2(>.��6�$�4"�m/"�.YM29��$�2(+-#\+<�T$�4��XYM2(�.0E@eR�+-29#%$������% 82(����/\$S+KY!29+-&9��$S��$�4"�E���.:- �&9���b2($A'R���+<R��.��$A'<U*���?7��.:-29#=7%'=6�4"+W0�29#":g$�48��$\�.Y<�.��'=6S�.$�+<�3/�2h6]LN+-2h#i$\&929#"�s6��.:-BC��#i$�6s�<&(0X�W'!6C�</8B 2($�6\����.:- �&9���mR8��+zLN��),$�29+-#U

�����������Q���.��� �K�����p�k���e�-� �.�8�]���]�^�A�M�-¡ �C�����t� �z�\�-�����u�]�\���S�A�<�M� �<�E�T�S�N£���¡��u�G��� �������� ���������T��6S$�),+-#86�29/"�.��$�4"�C).�<6S��+<�[��R�+-29#i$�29#^$�4"��R���+zLS��),$�2(+-#*),+-B 29#":;����+-B $�4"���.�\+<�KBC+<���Rp+-2h#i$�6q+<��%XUq~n&929#"��$�4���$[29#i$S�.�b6S��),$�6j$�4"���.�m+<�tBC+<����&929#"�E6S�.:-BC��#%$�6t/��.$S�.��B 29#"��6t�K��+<��7829/�/"��#�/�29����) @$�2(+-#g+<�qR8��+zLN��),$�29+-#UElm4"��6S�\&929#"��6m),+-#86S$�2($� "$S�c$�4"�k�u�<B 29&(';+<�q$S���<#�6�Y<�.��6��<&96�+<�q$�4"���.�\&929#"��6S�.:-B ��#i$�6.U�_�.$� �6O),+-#�6�2h/"�.�O$�4"� &929#"��6�:<+-29#":�$�4"��+- ":-4*$�4"�C&929#"�\6S�.:-BC��#%$�6�+<� %XUclm4��\6S�.$K+<�[$S���<#�6SY<�.�b6��<&96O+<��<#i'�$�4"���.�k+<�f$�4"��6��k&929#"��6��]+<��B 6��

5 U��c� �b�"�.������� �<�u� � �3���p�m���M�b�.�M034���#c$�4��m&929#"��6������m6S�<�.0«�<#�/C#�+<$�RT�����<&9&(��&%$S+��K),+-B BC+-#�R8&h�<#"�<Z`!U��;� �b�"�.���������u¡O�M���S�������(���G�\034"��#?$�4���&929#"��6E�����c6S�<�.0 �<#�/?RT�����<&9&(��&�$S+s�s),+-B BC+-#?R8&h�<#"�<ZF!Uc�u�t���T�(���p�,�E29��$A0X+s+<��$�4"�k&h29#"��6�BC�.�.$���$��CR�+-29#i$.Z

�"U��c�T�(���p��2(�f$A0X+s+<��$�4"�k&92h#"��6������k),+<R8&9�<#8���3�<#�/?$�4"�k$�4�2(��/;+-#"�k2h#i$S�.��6���),$�6E$�4"��R8&h�<#"�<U

l��b�<#�6SY<�.��6��<&h6m������0X��&9& @A6S$� 8/�2(��/;+<7MLS��),$�63�<#�/?$�4��K�����</"�.��2h6����.���.������/?$S+^v �X+<�bÅ<xzyeZ�v VO¿��K»<FzyeZ�+<�v ~�� »<»�yq�]+<��R8��+%+<�u6�+<�t$�4"�C��7�+WY<���u�<),$�6.Uk~�#i'^+<�j$�4"��$�4"���.�C6� "���]�<),��6O296��� �&(��/P�<#�/P:<��#"�.����$S��/*7!'� �#�2 @eRT�����<BC�.$S��29)��u�<B 29&('�+<�q&929#"��6.U ���.$3 �6m�<#8�<&('%>.�k$�4"��6S$S�� �),$� �����+<��$�4"�k6S�.$m+<�q/�29����),$�2(+-#�6�:-2(Y<��#7%'�$�4"��6S��6� "���u�<),��6��

5 U3­®�f$�4���6� "���u�<),��296m� 4%'!Rp�.��7p+-&9+-29/s+<��+-#"�k6�4"�.�.$.Z�$�4"��#d29$�6m).�<#"+-#�29).�<&_���% ���$�29+-#d296

¯ �� � � ° �� ��� ³ � � 5 �"! � !� $# §�% D 5 J

ºM �786S$�2($� "$�2h#":k$�4"�k��+-&9&9+W0329#�:"Z

¯ �� � � ° �� � '& ¯ � ),+-6HD)(SJ�� ° � 6�2h#_D)(SJ+* � �,& ¯ � 6�2h#�D)(�J � ° � ),+-6HD)(�J+* � !29#%$S+ �t�TU3D 5 J�'M2(��&9/86

}

Page 6: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

& ¯ � ),+-6zD)(SJ�� ° � 6�29#_D)(�J+* � � & ¯ � 6�29#_D)(�J � ° � ),+-6HD)(�J+* � � ³ � � 5 �& ¯ � ),+-6zD)(SJ�� ° � 6�29#_D)(�J+* � � ³ � � 5 � & ¯ � 6�29#_D)(�J � ° � ),+-6WD)(SJ+* � �

�������� ������

¯ � 6�29#_D)(�J � ° � ),+-6WD)(SJ� 5

¯ � ),+-6HD)(�J�� ° � 6�29#D)(SJ � ³ n§�%DG`-J

�[�8U=DG`-Jk'M2(��&9/�6�$A0X+PRT&9�<#"��6�0�4"+-6S��29#i$S�.�b6S��),$�2(+-#´296k�P&929#"��),+-#i$��<29#���/´2h#5$�4"�;4i'!R��.��7�+-&(+-29/+<�[+-#"� 6�4"�.�.$.UC~�6 (�Y�����2(��6K2h#^$�4�� 29#i$S�.��Yz�<&mv § ! `��pyeZ�$�4"�C �#�2 @eRT�����<BC�.$S��29)c�u�<B 29&('d+<��&929#���6�2h6:<��#"�.�b��$S��/U;l34"�s),��+-6�6kR���+M/� �),$O+<��$�4"��#�+<��B �<&qY<��),$S+<��6c+<��$�4"� R8&h�<#"��6K:-2(Y<��#17%'��t�TUPDG`-JR���+!/� 8),��6�$�4"��/�2(����),$�29+-#�6�+<�o$�4"�K:<��#"�.����$�29#�:s&929#"��6�U

& 5� ),+-6HD)(�J ! 5� 6�29#D)(�J ! � 5 *� & 5� 6�29#D)(SJ ! � 5� ),+-6WD)(�J ! § *� & 5� ),+-6WD)(SJ ! 5� 6�2h#�D)(�J ! 5� � * %~�6m).�<#d7��K6S�.��#Z8$�4"�k��7�+WY<�k6��.$m+<�q/�2(����),$�2(+-#86E/"�.$S�.��B 29#���6E�<#?��&9&92(R8$�29)�),+-#��<U

`!U3­®�f$�4���6� "���u�<),��296m� 4%'!Rp�.��7p+-&h29)mR8���b��7p+-&9+-29/ZM$�4"��#d2($�63).�<#"+-#�29).�<&���! ���$�2(+-#g296��¯ �� � � ° �� � `�³ �"! � # §�% DGF-J

­®�f0X��6S�.$

¯ � � ° � ( ! ( #n§�%�<#�/\6� "7T6S$�2($� "$S�j$�48296��,rMR�����6�6�2(+-#k2h#i$S+O�t�TUXDGF-JbZ-$�4���#k$�4"�X�]+-&9&(+W0�29#":m$¾0[+OR8&9�<#���6f�����X+<7�$��<29#���/��

¯ �� � � ° �� � `�³ � & ¯ � � ° � *� & ¯ � � ° � * `�³ �

������ ����¯ � � ° � (¯ � � ° � � `�³( §�%

D]�%J

~�:-�<29#Z%$�4"�.' 29#%$S�.��6S��),$t���<)b4;+<$�4"�.�[:-29Y!29#�:K��296S�m$S+c$�4"��),+<������6SR�+-#�/�29#�:K�]�<B 2h&('c+<�_&h29#"��6o034"+-6��/�29����),$�2(+-#�6������k),+-#%$��<29#"��/^29#?�CR8&h�<#"�K�<#�/?:-2(Y<��#?7!' �

& 5� ! � 5� ! § *� & 5� ! � 5� ! � `( *�'& `� ( ! `� ( ! `� � * %Å

Page 7: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

1a

2a 2b

1b

S2

¦o2(:- "��� 5 �t¦�+<��7829/�/���#?�% ��</���29&9��$S�.���<&h6.UF!U3­®�t$�4"� 6� "���u�<),��2h6K��R8&9�<#"�<Z$�4"�C:<��#��.����$�29#":d&92h#"��6O����� ),+-#�6S$S�� 8),$S��/�7%'P$����M29#":d�<&9&�$�4"� &92h#"��6),+-#%$��<29#"��/d2h#?�CR8&9�<#"�O$�4"��+- ":-4d�C:-2(Y<��#dRp+-2h#i$.U

lm4"�O/�2(����),$�29+-#�6t6SR���).2 �T��/ 7!' $�4"��6S�O&929#"��6�Zi034"��#����.R�����6S��#i$S��/;+-#�$�4"�O6SR84"�.����+<��/�2(����),$�2(+-#�6 %.�zZ:-2(Y<���b296S�s$S+P��2($�4"�.�\��&9&929R86S��6K+<��:<������$�).2(��).&(��6�UPºM29#�),��0[�;����6S$S�b29),$S��/1+- ���6S��&(Y<��6c$S+P&h29#"�s6S�.:-B ��#i$�629#�6S$S���</?+<�o&929#���6.ZM$�4"���]+<��7829/�/���#;/82(����),$�2(+-#�6E),+-#86�296S$E+<�o����).6m+<����&9&929R86S��6X+<�3:<������$�).2(��).&(��6.U

���k#"+H0�$� "��#;+- "�m��$S$S��#%$�2(+-#?$S+C$�4"��).�<6��k29#;034�29)b4���Y<�.��$S�,r;+<��%´296�R���+zLN��),$S��/�+-#%$S+s�<#"+<$�4"�.�&929#"�g6��.:-BC��#i$�Du).�<6S��6?`=�<#�/ F1+<�K$�4"�*/"�,�T#�2($�29+-#TJbU l34"�g�]+<��7829/8/"��#«/�2(����),$�2(+-#�6 �����P�]+<��BC��/«7!'$�4"�P&h29#"�d$S���<#86SY<�.��6��<&96�+<�k�=Y<�.��$S�,r �<#8/ �´&929#"�d6��.:-BC��#i$.U ���.$���� � � � �;�<#�/�� � � � � � 7��$A0X+56S�.:-BC��#%$�6 29# %XU5lm4"�?/�29����),$�2(+-#�6c$�4���$�R���+zLS��),$ � �C+-#�� � Zj�]+<�C�,r"�<BCR8&(�<Zt�����;:-29Y<��#=7!'1$�4��&929#"��6\:<+-29#":�$�4���+- ":-4 � � �<#�/¥�<#%'´Rp+-2h#i$�+<��� � U´l34"+-6S�d&929#���6c�����d),+-#%$��<29#"��/µ29#´$�4"�?$S��29�<#":- 8&9���0[��/":<�;/"�.$S�.��B 2h#"��/*7%' � � ! � � �<#8/ � � D]���.���.�c$S+g¦o2(:- "��� 5 JbU;¦"+<�k���<)b41Y<�.��$S�,r�Z�$�4"�s&929#���6��.:-BC��#i$$�4���$K/"+%��6O#"+<$O),+-#%$��<29#*2($�/��.$S�.��B 29#"��6�$�4"���.�\+<$�4"�.�O0X��/":<��6.Uk�O#P$�4"��6SR84"�.���c+<�t/�2(����),$�2(+-#�6.Z�6� �)b40[��/":<��6OR8��+!/8 �),�c�;�% 8�</"��29&9��$S�.�b�<&�),+-BCR�+-6S��/P+<�t����).6�+<�j:<������$O).29��).&(��6.UO¦o29#��<&9&('<Zp�;Y<�.��$S�,rP).�<#P7��R���+zLS��),$S��/�+-#i$S+?$�4���&h29#"��6S�.:-BC��#%$K$S+;0�4�29)�4*2($O7���&(+-#":-6�U�lm4"�C&929#"�c$�4"��+- ":-4*$�4���6��.:-BC��#i$�2h6�$�4��+-#�&(';$S���<#�6SY<�.��6��<&_�<#�/d���]+<��7829/8/"��#;Rp+-2h#i$E����6� �&($�6�+-#?$�4"�c6SR84"�.���<U

lm4"����+<��7T29/�/"��#C/�29����),$�2(+-#�6j������),+-BCR�+-6S��/�+<�_�K�T#82($S�m#% 8Bk7��.�t+<�_���b).6j+<�_BC���<6� ����3>.�.��+c+-#s$�4��6SR84"�.�����<#8/?$�4"�.���.�]+<����).�<#�#"+<$�),+WY<�.�K2($.U

l�+�),+-BCRT "$S�;�^���.:- �&h���cR���+zLN��),$�2(+-#´+<�3�P6S�.$�+<�3&92h#"�s6S�.:-BC��#%$�6.Zj+<�C�P/"��6�),��29R�$�2(+-#5+<���<&9&t$�4��/�2(����),$�2(+-#86�$�4���$3�</�B 29$m�C���.:- �&9���3R���+zLS��),$�2(+-#Z"+-#"�kBs��'?29#�$�4"�.+<��'?),+-BCRT "$S��$�4"�k�������<#":<��BC��#%$m+<�$�4"�?ÁsD] JK����).6c+-#1$�4���6SR84��.���<UdV3+H0[�.Y<�.�WZj$�4"��2h#i$S�.��6���),$�2(+-#1+<�E$¾0[+��! ��</"����$�2h) 6� "���u�<),��6c'!2(��&h/�6

Page 8: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

����).63+-#g$�4"�c6�R84"�.���K$�4���$������c6�R8�<),�c). "��Y<��63+<�q/"�.:<���.�c��+- ����<#�/^),+-BCR8 "$�29#�:C$�4"�c�����b�<#":<��BC��#%$3+<�6� �)�41). "��Y<��6k2h6K/�2 À�). �&9$O2h#*R����<),$�29),�<Us~ B\ �)�417p�.$S$S�.�c��R�R���+-�<)b41296O$S+dR8��+zLN��),$k$�4"��6S�s����).6k����+-B$�4"�K6SR84"�.���O$S+�$�4"�OR8&9�<#���³� 5 6�29#�),�O$�4"��#;0X�K+-#�&('s#"�.��/;$S+ ),+-BCRT "$S�O$�4"�K�������<#":<��BC��#%$E+<�f�C6��.$+<�o�! ��</"�b��$�29)K����).6E+-#g$�4"�KR8&9�<#"�sDu6��.�kV�������296�v VOx<`zy��]+<�3�CR���+!+<�bJbU

��� � � ����� �����]���,�5�����.��� �������p�\�.�e�-�s�,�8�]�k�]�P�e�M�i¡b���E�;�S�A�<�M�(���E�T�S�N£���¡W�u�u���©¡������b�����.�e�<���p���;���Á D]Â� WJK�u�]�s�����T�;�����������K�A�M�-¡ ���������� ����l�+c),+-BCR8 "$S�3�K/82(����),$�2(+-#�+<�����.:- �&h���qR���+zLS��),$�2(+-#C0X�3#"�.��/C$S+k)b4"+!+-6S�3�KR�+-29#%$o+-# $�4"�ER8&h�<#"�+<�j/�2(����),$�2(+-#86m6� �)b4d$�4���$�2($3#"��2($�4��.�m7���&(+-#":-6E$S+;�<#d��/":<�\+<�o$�4"�c�����b�<#":<��BC��#%$�#"+<��296m� �]+<��782h/�/"��#Rp+-2h#i$.U5V��.����0[��R�����6S��#i$��<#¥�<&(:<+<��29$�4�B �]+<�C),+-BCR8 "$�2h#":P�*6S�.$�+<�����.:- �&9���C/�2(����),$�2(+-#�6�DuÄm�.�]�.�C$S+¦�29:- "���k`-JbU

5 U�¦"+<�bB²$�4"�C6S�.$��n+<�[�<&9&��]+<��7829/8/"��#^���b).6O+<�[/�2(����),$�2(+-#�6�$�4���$K:<+?$�4"��+- ":-4P$�4"�C#"+<��$�4^R�+-&(��<#�/1�����s:-2(Y<��#=7!'P$¾0[+*6S�.:-BC��#%$�6c+<��%XU�­¾���¢296���BCR8$A'<ZoR829)��*�<#%'*R�+-29#i$�ª+-#=$�4"� R8&h�<#"�³) 5 �<#�/?:<+ $S+�6S$S�.R^F!U

`!U�¦o29#�/O$¾0[+�),+-#�6S��). "$�29Y<�t��&(��BC��#%$�6�2h#��g0�2($�4K/�296S$�2h#�),$_6�&(+<R���6 �����<#�/ � � Uo¿X+-#�6�$S�� �),$��m6��.:-BC��#i$ �±0329$�4?6�&(+<R��O7p�.$¾0[�.��# � �m�<#�/ � � UF!U3­N#i$S�.�b6S��),$k�<&9&o�]+<��7829/8/"��#^/82(����),$�2(+-#�6K#�+<$�29#���032($�4 ��UC~�BC+-#":g�<&h&�2h#i$S�.��6���),$�2(+-#�R�+-29#%$�6.ZR82h)��;$�4"�KR�+-29#i$E).&(+-6���6S$m$S+�=U �_�.$��±7p�K$�48��$mR�+-29#i$.U

�"U��jrM2($�0329$�4���¸�<6��<#?+<R���#d6S�.:-BC��#%$m+<�o���.:- �&9����/�2(����),$�2(+-#86.U

����$� "��#K$S+�$�4"�[),+<������),$�#"��6�6�+<�"$�4"�X�<&(:<+<��2($�4�BdUoºM "R8Rp+-6��q$�4���$���«),+-#%$��<29#"��/��mR�+-29#%$��\:-2(Y!2h#":�c#"+-#"@e���.:- �&9���XR���+zLS��),$�2(+-#U[ºM 8)�4;�kR�+-29#%$��?),+- �&9/;#"+<$X7p���<#�296S+-&9��$S��/�R�+-29#i$.Uo­®�_2($t0X�.���<Z"2($[0[+- �&h/),+-BC�k�]��+-B��<#^29#i$S�.�b6S��),$�2(+-#?+<�o�]+<��7829/�/���#�R�+-29#%$�6E+<���% ��</�����$�29)K). "��Y<��63+<�36S�.:-BC��#%$�6�#"+<$mR8�����<&h&(��&$S+����U V�+W0X�.Y<�.��Zq6S$S�.R=F?+<�[$�4"���<&(:<+<��2($�4�B²�b �&(��6O+- "$�6� 8)�45�?R�+-6�6�2(7829&929$A'<Ucl34"�.���.�]+<���<Z_R�+-29#%$��).�<#�#"+<$E7��K296S+-&9��$S��/��<#�/�$�4"�.���OB\ �6S$��,r"296S$E�C&929#���6S�.:-BC��#%$m+<�f��+<��7T29/�/"��#�/�2(����),$�2(+-#86X),+-#%$��<29#"��/g29#���U�lm4���$�6��.:-BC��#i$KB\ �6S$�),+-#i$��<29#�¬6�2h#�),�c29#^6S$S�.R�F!Z���:-�<2h#Zp6��.:-BC��#i$�6K#�+<$3:<+-29#":;$�4"��+- �:-4�0[�.����/�296S���.:-����/"��/Uolm4�296q),+-#%$S���</�2h),$�6t$�4"�3�]�<),$[$�4���$��� 4��<6t�c/�2 ¤��.����#%$j6�&(+<R��E����+-BQ�<#%'�6��.:-BC��#i$:<+-29#": $�4"��+- ":-4�1U

lm4"� 6S�.$���#"�.��/5#"+<$K7�� �<),$� ��<&h&('P),+-#86S$S�� �),$S��/���2($�296K6� "À�).2(��#%$K$S+?��#% �B �.����$S�s2($�6K��&9��BC��#i$�6�Ulm4"�.���.�]+<���K$�4"�k��7�+HY<�c�<&(:<+<��29$�4�Bª �6S��6E+-#8&('�&92h#"�����m6SR8�<),�<U

V3+H0[�.Y<�.�WZ8$�4"�O$�29BC�O),+-BCR8&9�,rM2($¾' +<��$�48296��<&(:<+<��2($�4�B¹).�<#�7�������/� �),��/;�]��+-B�Á D]Â� �Jt$S+ ÁsD]Â��WJ[��$$�4"�E�,r!R���#�6��X+<�p29#�),�����<6�29#":O$�4"�E6SR8�<),�m),+-BCRT&(�,rM29$A'k�]��+-BQÁsD]ÂfJf$S+cÁ D] � JbZi�<6q0X�m#"+W0«/���BC+-#�6S$S����$S�<U

��� � � ������� ���]���,�5�����.��� �������p�\�.�e�-�s�,�8�]�k�]�P�e�M�i¡b���E�;�S�A�<�M�(���E�T�S�N£���¡W�u�u���©¡������b�����.�e�<���p���;���Á D]Â��WJK�u�]�s�����T���A�M�-¡b� �������� ����~�6O29#g$�4��\��7�+WY<�C�<&(:<+<�b2($�4�B?ZT0[�\�8��6�$�),+-BCR8 �$S�\6S�.:-B ��#i$! �Q�<#8/^#"�,rM$�+<7�$��<29#P�<&9&�$�4��29#i$S�.�b6S��),$�2(+-# Rp+-2h#i$�6C7��.$¾0[�.��#"�� �<#�/ �<&9&E$�4"�P). "��Y<��6�+<�O/��.:<���.�g+-#"�P#"+<$s:<+-2h#":5$�4"��+- �:-4#=U

»

Page 9: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

N

NN

N

L

QQ

R

L

(1) (2)

(3) (4)

¦o2(:- �����` ��¿X+-BCRT "$�29#":��C���.:- �&h���3/�2(����),$�29+-#?29#gÁ D]Â� �JX$�29B ���<#�/?&929#"�����m6�R8�<),�<U�_�.$ � � 7p�\$�4"��29#%$S�.��6S��),$�2(+-#*R�+-29#%$�).&(+-6���6S$O$S+ 1U�lm4��\6S�.:-B ��#i$! � � 2h6�#"+<$K#"��),��6�6�����29&('?�]���.��+<���+<��7T29/�/"��#5/82(����),$�2(+-#�6c6�29#�),��$�4"���! ��</"�b��$�29)s). "��Y<��6\48��Y<��#"+<$c7��.��#=$����<��#©29#i$S+P�<).),+- �#%$\'<�.$.U*~�% ��</�����$�29)E). "��Y<�E0�4�29)�4\:<+!��6j$�4"��+- ":-4 ),�.��$��<2h#�&('c48�<6q$S+�7��E),+-#�6�29/"�.����/\6�29#�),�E2($j),+- �&9/C2h#i$S�.��6���),$�� � U �+W0 &(�.$ �6C),+-BCRT "$S�d$�4"�?R���+zLN��),$�2(+-#«+<� %±+-#i$S+5$�4��d¯8°%@eR8&9�<#"�?�<#�/µ2($�6C),+<������6SR�+-#�/829#":�������<#":<��BC��#%$���D %jJ�D]���.�]�.�q$S+�¦�29:- "���EF-JbUj~�&9&!�! ��</"����$�29)�). "��Y<��6o:<+-29#":O$�4"��+- ":-4¶�����m/"�.$S�.��B 2h#"��/7%'\$�4"�3Á D]Â���J�),+-#�). "������#i$j6��.:-BC��#i$�6t29#\$�4"�m�������<#":<��B ��#i$���D %jJbU �_�.$j �6q2h#i$S�.��6���),$j6� �)�4C�! ��</"�b��$�29)). "��Y<��6�0�2($�4 �� � 6S+g�d#"�.0a&929#"�C6S�.:-BC��#%$� � � � 296O+<7�$��<2h#"��/Us¦"��+-B $�4"� ����B �<29#�29#�:��! ��</"�b��$�29)). "��Y<��6.Z�+-#8&('�$�4�+-6S��:-2(Y<��#g7%';$�4"�k6S�.:-B ��#i$�63+<��$S�b29�<#":- �&9���E�u�<),��632h#�$�4"�k�������<#�:<��BC��#i$��\D %tJ�4���Y<�$S+�7���),+-#�6�2h/"�.����/UX­®#8/"�.��/Z82(�o0X�cBC+HY<�\�<&9+-#":s6S�.:-BC��#%$ �� � � Z8$�4���#g$�4"���8��6S$32h#i$S�.��6���),$�2(+-#dR�+-29#%$��#�),+- �#%$S�.����/k0�2($�4k��). "��Y<�[B\ �6S$f),+-BC�[�]��+-B $�4"���.�t6S�.:-B ��#i$�6��]+<��B 29#":m�3$S��29�<#":- 8&9���_�u�<),�<Ujº" "R�R�+-6S�$�4�296t2h6[#"+<$[$�4"�O).�<6S�<Utlm4"��#s$�4"���.��6S�.:-BC��#%$�6�$�4���$[/�2h/s#"+<$[��+<��B �c$S��29�<#":- �&h���t�u�<),��0X+- �&9/s7p��),+-B �),+-#�). "������#%$.U©V3+H0[�.Y<�.��Z��]+<� $�4�296\$S+54���R8Rp��#_Zj��$s6S+-BC��R�+-29#%$\+-#��?+<�3$�4"��2(�CY<�.��$�29),��6 B\ �6S$C4���Y<�7p�.��#�),+-#%$��<29#"��/129#��<#"+<$�4"�.�k6��.:-BC��#i$.U l34�296O296K�?),+-#%$S���</�29),$�2(+-#16�29#�),�C6� �)b4��?).�<6S�s4��<6k�<&(�����</"'7p�.��#P�� 8&(��/g+- �$�7!'g$�4���),+-#86S$S�� �),$�2(+-#P+<� �� � � U�¦o29#��<&h&('<Z�0[�C29#%$S�.��6S��),$K�<&9&�$�4"�C�! ��</"����$�29)\). "��Y<��6/"�.$S�.��B 29#���/g7!'g$�4"��$S��2h�<#":- �&9�����]�<),��6K2h#���D %jJ��<#�/P),+-BCR8 "$S��$�4"��R�+-29#%$ � ).&(+-6S��6�$�$S+�$�4"�C#"+<��$�4Rp+-&9��1U[º!�.:-B ��#i$ ��¸296�$�4��k/"��6�2(����/�+<R���#d6��.:-BC��#i$�+<�f���.:- �&9���3/�29����),$�2(+-#�6.U

ºM29#�),��$�4"��#! �Bc7p�.�X+<��$S�b29�<#":- �&9�����u�<),��6m29#��\D %tJX296mÁ D]Â���JbZ"$�4"�O$S+<$��<&$�29BC�K),+-BCRT&(�,rM29$A's296��<&96�+Á D] � JbUq~�6o�]+<�q$�4"�m6SRT�<),�m),+-BCR8&(�,r"2($A'<Zi$�4"�m�������<#":<��B ��#i$���D %jJ�).�<#C7��E6S$S+<����/C 86�29#":�Á D] � Jf6SR8�<),�<U

��� � � ������ ¼�%� �,¡��b� �p�u�G���P� ���]�M�K�.���q� �O�<���_���]�S��¡��u�G���"�O�o�i�G¡,�����e�,�(�����e�<�M�(���[�T�S�N£.��¡��u�G���"�k¡��<� ���¡������T�"�A���;�]�dÁ D] &(+<:jÂ��(��JK�u�]� � �j�o�M�,������h���]�M�k���M� ���.�k� �K���T�A�,�b�.��¡W�u�u�<�"�c� ���]�M�\���S¡,�c���*�]�M���������¡W�u�u�<���e�8�"�,�������T�����ÁsD]Â_ÃWJ �������� ���5­N#©+<��/"�.�s$S+1),+-BCR8 "$S�^��/"��6�),��2(R8$�2(+-#©+<���<&h&����.:- �&9���s/82(����),$�2(+-#�6�0X�g),+- �&h/¥ �6S�d6S�.Y<�.���<&+<�m$�4"�;�,rM296�$�29#":g+<R8$�29B �<&X6S�.:-BC��#%$N@A29#i$S�.�b6S��),$�2(+-#¥�<&(:<+<��29$�4�B 6��]+<�C),+-BCR8 "$�2h#":g$�4"��29#%$S�.��6S��),$�2(+-#=+<�

x

Page 10: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

N

N

Q'

Q''

R

A(S)

¦�29:- "���kF �X¿X+-B R8 "$�29#":C�����.:- 8&9���3/�2(����),$�2(+-#?29#gÁ D]Â���JX$�2hBC���<#�/d6SRT�<),�<U�?6S�.$O+<�[����).6K+-#P$�4"�CRT&9�<#"�<U�lm4"�C�<&(:<+<�b2($�4�B 6�+<��¿E4���>.��&9&(���¹�t/"��&h6S7��� �#8#"�.�cv|¿��Xx<`zyq+<��~�B ��$S+"Z{�+%+M/"��2h)�4s�<#8/�Ä��<BC+-6�v ~3{KÄ�x<}�y�/"+c#�+<$[��R�R������t$S+\7��3��78&(��$S+c7��3B +!/�2(�8��/C$S+c48�<#�/�&(�3�! ��</"�b��$�29)). "��Y<�s6S�.:-B ��#i$�6.U V�+W0X�.Y<�.��Zo����),��#%$�&('*�X�<&h��78�<#µv ���<&hx<}zyt/�2h6�),+WY<�.����/=�<#�+<R�$�29Bs�<&q�<&(:<+<��2($�4�B²$�48��$),+-BCR8 "$S��6��<&9&�2h#i$S�.��6���),$�2(+-#�6�+<�j�% �29$S�k:<��#"�.���<&�). "��Y<��6�ZT29#�).&h �/�29#":C�! ��</"����$�2h).6.Z8$�4���$�4��<6�$�29BC�c�<#8/6SR8�<),�s),+-BCRT&(�,rM29$�2(��6kÁ D]Â�&(+<:tÂ�� ��JO�<#�/1ÁsD]ÂfJbZ_����6SR���),$�2(Y<��&9'<Z�034"�.�����*2h6O$�4"�s#! �Bk7��.�O+<��29#i$S�.��@6S��),$�2(+-#�6��<BC+-#":;$�4"�c). ���Y<��6.Um�X'd �6�29#�: 4�2963�<&9:<+<��2($�4�B?Z80[�\�<)�4�2(�.Y<��$�4"�\/"��6�2(����/?$�29BC�k�<#8/^6SRT�<),�),+-BCR8&(�,r"2($�2(��6.U

�O#"�CB �W'g0X+-#�/"�.�K2(�j2($O296�0[+<��$�4� �6�29#":�$�4"�\+<R�$�29B �<&o�! ��</"����$�29)\). "��Y<�C6S�.:-B ��#i$K29#%$S�.��6S��),$�2(+-#�<&(:<+<��2($�4�B¼+<�����<&9��7T�<#s29#�R��b�<),$�29),�m:-2(Y<��#s$�4���$j$�4"�.����296q�k6� �7p+<R8$�29B �<&!78 "$qY<�.��'C6�2hBCR8&(���<&(:<+<��2($�48B/� "�X$S+O�X��#%$�&(�.'k�<#�/ ��$S$�Bs�<#�v �m� ��x�y!$�4���$q�<&96�+�4��<#8/�&(��6��! ��</"�b��$�29)[). ���Y<�X6��.:-BC��#i$�6q�<#8/\48�<6f$�2hBC��<#�/s6SRT�<),�3),+-BCR8&(�,r"2($�2(��6XÁ D]Â�&(+<:j � ��&(+<:[ÂfJo�<#�/�ÁsD]ÂfJbZi����6SR���),$�2(Y<��&9'<Zi034"�.��� �C296q$�4"��#% �Bc7��.�j+<�29#i$S�.�b6S��),$�2(+-#�6[�<BC+-#":k$�4��3). "��Y<��6.Uj���<&9��7T�<#s4��<6[),+-#�/� �),$S��/s�,r!R��.��29B ��#i$�6j),+-B R8����29#":c4�296o+<R�$�29Bs�<&�<&(:<+<��2($�4�B¶$S+;$�4"�\�X��#%$�&(�.'%@®��$S$�B �<#*�<&(:<+<��2($�48B �]+<���<6OB �<#%'d�<6�� ! §<§<§?6S�.:-BC��#%$�6O�<#�/g$�4��\&9��$S$S�.��<&(:<+<��2($�4�B 0X�<6;$¾0329),�^�<6;�u�<6S$.U�­N#«�u�<),$.Z3���<&9��78�<# 6� ":<:<��6S$�6;$�4���$�29#¥R8���<),$�29),�P$�4"�^6� �7p+<R8$�29B �<&�<&(:<+<��2($�4�B 6�4"+- �&9/;7��� �6S��/? 8#�&(��6�6�$�4"�c#% �Bc7��.�E+<��6��.:-BC��#i$�6�296E��$3&9���<6S$�`�§<§ ! §<§<§MU

Äm��).�<&9&�$�4���$��s� 29��$�29#":<�.�mR8��+zLN��),$�29+-#1v ��Ä�xz�-yf+<�j�sFH@AI¼R�+-&('!:<+-#d296m��6SR���).29�<&�$A'!R��k+<�o���.:- �&h���R���+zLS��),$�2(+-#g29#d034�29)b4d#"+s$¾0[+;�</zL��<),��#i$���/":<��6�R���+zLS��),$m$S+��sR8�<2(�m+<�j),+-&9&h29#"�����E��/":<��6.U�����).�<#^ 86S�$�4"�k��7�+WY<�k��R8R���+-�<)�4g$S+s),+-BCR8 �$S��� 29��$�29#":<�.�ER���+zLN��),$�2(+-#86E+<�oRp+-&9'%:<+-#�6E�<&h6S+"U

��� � � ������� ���]���,�¢�P�M�������i���n· �]���A�M�-¡b� ��� 3?���,�u�]�%�%�.� �T�S�N£���¡W�u�u���¼� ��· ¡b��� �b�5�����e���]�p������ ÁsD] J^�u�]�s�����T�5ÁsD]ÂfJ?�A�M�-¡ ��� ¬�i�,�,¡.� � �p�u�u�<� � �^�]�"�^�.���\� �*���]�����]�S��¡��u�G���"�P�o�i�u¡.� ���G�.� �¥�3?���,�u�]�%�%�.�E�T�S�N£���¡��u�G���=� ��· ¡������b��¡������T�"�A�������gÁsD]Â� &(+<:jÂ&� ��Jc�u�]�s���t�o�M�.�S� �1���k�]�M�\�8�!� �b�,�� ���]�8�A�,�b�.��¡��u�G���"�\� �\���N¡.�\���T���-�S���<�E¡.�]�N¡��(�,�c�����]�M�����]�S��¡��u�G���*�e�8�"�,���C���T�����ÁsD] à J

������� ���C¦"+<���n2(��$�2h#":<�.�KR���+zLS��),$�2(+-#�6O0X� 4���Y<�<Z�29#*�</�/�2($�29+-#^$S+?$�4�� ÁsD] J���+<��7829/�/"��#^). "��Y<� 6S�.:�@BC��#i$�6k+-#5$�4"��/�2(����),$�2(+-#16SR84"�.���<Zf�d6S�.$k+<��«�</�/82($�2(+-#��<&o�]+<��7829/8/"��#P:<������$c).2(�b).&(��6.Us�[�<)�4=R8�<2(�K+<��</zLS�<),��#%$O��/":<��6�+<�j$�4"�\FH@AIQR�+-&('%:<+-#g'!29��&9/�63�sR8&9�<#"�k$�4���$�),+-#%$��<29#�6�$�4"��B?U�l����<#86�&9��$S�k$�48296mR8&h�<#"�

5 §

Page 11: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

¦�29:- "���O� �[~¢6�29/"�OYM2(�.0�+<�o$�4"�KY<��29#86m29#�$�4"�K7��b�<29#U

¦o2(:- "���k} �t~¢$S+<RdY!29�.0�+<�fY<��2h#�6m29#�$�4"�k7����<29#U

$S+ $�4"��+<��29:-29#?�<#�/?29#%$S�.��6S��),$329$E032($�4�$�4"�k6�R84"�.���O+<�q/�2(����),$�29+-#�6.Uqlm4�296E2h#i$S�.��6���),$�2(+-#d296E�C�]+<��782h/�/"��#:<������$�).2(�b).&(�?+<�K/�2(����),$�2(+-#86C6�29#�),���]+<�s���<)�4µY!29�.0�R�+-29#i$C+-#«$�4�296 ).2(�b).&(��$�4"�d$A0X+=�</�LS�<),��#%$s��/":<��6��R�R������\$S+�7��;),+-&9&929#"�����WUP­N#´$S+<$��<&�0[�?6S$�2h&9&[48��Y<�^Á D]Â� �Jk�]+<��7829/�/���#1). "��Y<�?6S�.:-B ��#i$�6C�<#�/´:<������$).2(��).&(��6.U

� � ���C��� �����%�q���$ $������ ����"!#�j����������$

~�R���+zLS��),$�2(+-#�0329$�4�B �<#%'�),��+-6�6�29#":-6�296�BC+<���O/82 À�). �&($[$S+CY!2h6� ��<&92(>.��$�4��<#;+-#"�K032($�4��]�.0�),��+-6�6�29#�:-6.U¿X+-#�6�29/��.�\$�4��g¦o2(:- "����6��5�<#�/«}�$�4���$ 6�4"+H0 /�2 ¤��.����#%$\R8��+zLN��),$�29+-#�6C+<��$�4"�?Y<��29#�6C29#©$�4��d4% �Bs�<#7����<29#U?lm4�� R���+zLS��),$�2(+-#´29#5¦o2(:- "���;}g4��<6k���.0X�.��),��+-6�6�29#�:-6�$�4��<#=$�4"�s+<$�4��.��Udlm4"�.���.�]+<���<Zq2($k2h6�+<�29#i$S�.����6S$m$S+s),+-BCRT "$S�kB 29#829Bc 8B�@A),��+-6�6�2h#":kR���+zLN��),$�2(+-#86.U

� 4��.�����<6O� ���.:- �&h���3R���+zLS��),$�2(+-#^+<�j�s6S�.$�+<�j&929#"��6��.:-BC��#i$�6O�<&(0���'M6��,rM2h6S$�6.Z8$�48296m296�#"+<$3$S�� ��k+<�),��+-6�6�29#�:�@e�����.��R���+zLN��),$�2(+-#86.U�l�+���6S$���7T&9296�4^$�4�296O2($O6� MÀ�),��6�$S+d),+-#�6�$S�� �),$K��),+- �#i$S�.�K�,r"�<BCR8&9�\0�2($�4

5*5

Page 12: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

$�4"���.�O&929#"�36��.:-BC��#i$�6XY<�.��'�).&(+-6S��$S+c���<)b4�+<$�4��.���<#8/sR8���b�<&9&(��&"$S+\$�4"��$�4"���.��+<��$�4"+<:<+-#��<&p�zr!��6X+<�_$�4��¿�����$S��6�29�<#*),+!+<��/�29#8��$S�c6S'M6S$S��B?UOV3�.���c0X�\������2h#i$S�.����6�$S��/^29#P),+-BCR8 �$�29#":��;/"��6�),�b2(R�$�2(+-#g+<�j�<&9&�$�4��/�2(����),$�2(+-#86�Du29�[�<#%'^�,r"296S$bJ�$�4���$��</8B 2($K),��+-6�6�2h#":�@e�����.�\R8��+zLN��),$�29+-#�6.U�¦� "��$�4"�.�bBC+<���<Z�2(�[#"+d),��+-6�6�2h#":�@�����.�cR���+zLS��),$�2(+-#�63�,rM296�$30X�c�����\29#i$S�.����6S$S��/g29#?�T#�/�29#�:CR���+zLS��),$�2(+-#�6m$�48��$�B 29#829B 2(>.�O$�4"�\#% �Bc7��.�m+<�),��+-6�6�29#�:-6.Us½P29#�29B\ �B�@A),��+-6�6�29#":�R���+zLS��),$�2(+-#�6k����� �<&96S+d+<��29#%$S�.����6S$k29#*�M#"+<$�$�4��.+<��'<U�lm4�� #% �Bc7��.�+<�j),��+-6�6�29#�:-6m29#?$�4"�cR���+zLS��),$�2(+-#d0�2($�4?$�4"�kBs29#�29B\ �Bª#! �Bk7��.�m+<�q),��+-6�6�29#":-6�296m).�<&9&(��/g$�4"��¡��N�z�b�b�]�%����M� �b�,�m+<�j���M#"+<$.U3Äm��).�<&h&�$�4���$��]+<��:<����RT4M@A/"���W0329#": R8��+<78&(��B 6�Z�+<7�$��<29#�2h#":s�sBs29#�29B\ �B�@A),��+-6�6�29#":/"����0�29#": 296 �¨q@A),+-B R8&(�.$S�;v|{Kl3x<}�yeZfv|º8º��Oxz�-yeUX�X'?),+-#i$S�b�<6S$.ZT�]+<�3$�4���R���+zLS��),$�2(Y<�c/�����032h#":CY<�.��6�2(+-#86+<��$�4���6S��R���+<7T&(��B 6X0[�kR���+WYM29/"�KR�+-&('M#"+-B 2h�<&8$�29B ��6S+-&9 "$�2(+-#86.U

��������� � ����.��� �3�<�h�]£,���]�8��� �]�p�E�.�e�-�s�,�8�]�E�]� �e�"�-¡b�O�-�<�\�u�]���\¡.�S�z��� ���%�-� � �����q�T�S�N£.��¡��u�G����� � �]�M�,������<��� �]�c�K�M���]�8�������]�M���e�8�"�,����� �c���]�S��¡��u�G���"�k�]�!�-�t�u�j���K�T�<��¡����<�,����� � ��� �.�����,�G�-�i�,�����"�i���b�]�(�<�A�,�S��� �������� ���s{O2(Y<��#*$¾0[+^&929#"�\6S�.:-BC��#%$�6�D]��/":<��6K+<�,%jJ�29#' Zf�<&9&o/�2(����),$�2(+-#86��� $�4���$K����6� �&9$O2h#P�?#�+-#M@),��+-6�6�29#�:�@e�����.��R���+zLS��),$�2(+-#�+<�1%=29# 034829)�4s0[�O4���Y<�O�cRp+-2h#i$[+<�1%�- $�4���$X),+<������6SR�+-#�/�6t$S+\$¾0[+\R�+-29#%$�6+<�X/�2(¤p�.����#%$O��/":<��6K+<�,%XZ������ 6�Rp��).2(�8��/P7%'^$�4"�C�]�<Bs29&('d+<��&929#"�\$S���<#�6�Y<�.��6��<&96O+<�X$�4"��$A0X+d��/":<��6c29#�% "��6�$�2(+-#U�­®# ' [$A0X+O��/":<��6�+<� %g'!2(��&h/k��$S�.$S���<4"��/"��+-#��<6o�O/"��6�),��29R�$�2(+-#�+<�8$�4�296_�u�<B 29&9'K+<��$S���<#�6SY<�.��@6��<&96.U?Du~3:-�<2h#����.�]�.��$S+d¦o2(:- "��� 5 U J´lm4�2h6�$S�.$S�b�<4"��/"��+-#�29#*$� ���#*/"�.$S�.��B 29#���6O��+- "�K:<������$N@A).2(��).&(��6K+-#$�4"�s �#�29$�6SR84"�.���C+<�E/�29����),$�2(+-#�6O$�4���$\/"�,�T#"� �dR8�<2(��+<�E�<#%$�2(R�+!/��<&q),+-#%Y<�,r=6SRT4"�.��29).�<&q�! ��</"��2h&9��$S�.�S@�<&96.U l34% �6 ���<)�4 R8�<2(� +<�K6S�.:-BC��#%$�6 +<� %¸'!2(��&h/�6C�5R8�<29�C+<�O�<#%$�2(R�+M/��<&E6SR84"�.�b29).�<&E�% 8�</"��29&9��$S�.�b�<&96+-#1$�4"��/�2(����),$�2(+-#16SRT4"�.��� $�4���$�),+<������6�Rp+-#8/5$S+^�P6S�.$\+<�m/�2(����),$�29+-#�6�034829)�41����6� �&($�6c29#5�P),��+-6�6�2h#":+!).). "����29#":O7��.$A0X�.��#s$�4���6S�m$A0X+k&92h#"�E6S�.:-BC��#%$�6.U[ºM �)b4 �% 8�</"��29&9��$S�.�b�<&96q�����m$S�.��B ��/ �,�<���.�u�-�%�,��Ujlm4���#�d),��+-6�6�2h#":�@e�����.� /�2(����),$�2(+-#*+<�XR���+zLS��),$�2(+-#5B\ �6S$�),+<������6SR�+-#�/*$S+g�?R�+-29#%$O034�29)b4�296O+- "$�6�2h/"�C+<�X�<#%'��+<��7T29/�/"��#;�% 8�</"��29&9��$S�.�b�<&GUt¿X+-#iY<�.�b6S��&('<Z���R�+-29#%$X7���&(+-#�:-29#":\$S+s�<#i';�]+<��7829/�/���#��! ��</"��2h&9��$S�.���<&pBc �6�$:-2(Y<�k�CR���+zLN��),$�2(+-#d032($�4?��$3&(���<6�$m+-#"��),��+-6�6�29#":"U

����R���+M),�.��/?7!'�6S+-&9Y!29#�:c$�4"�KR8��+<78&(��B +<�o/"��).29/�29#�:c034��.$�4"�.�m�C6S�.$E+<�o&929#"�O6S�.:-BC��#%$�6m�</�B 29$�6E�),��+-6�6�29#�:�@e�����.�kR���+zLS��),$�2(+-#U

��� � � ������ ���]���,�d�c���.�o� �3�������p�3���e�-� �.�8�]�3�]�;�e�M�-¡ ���t�i��¡.�G�����!�\�o�M�.�]�M�.���u�o�-�����]�]�K�C¡.�S�z��� ���!�<��b�������T�S�N£.��¡��u�G��� ¡���� ���d�i���p�d���´ÁsD] � &(+<:j � ��J;�u���s�^���T�^ÁsD] � � ��J��A�M�-¡b� �k�o�M�.�S�&�n���;�]�M����M� �b�,�c� �\�����!�c���T�A�,�b�.��¡W�u�u�<�"�\� � �.�����,�G�-�i�.��.���-��� ���(�<�A�.�N��� ���<�T�����Á D]Â��WJ �������� ����lm4"�36��.$j+<��Á D] � J��]+<��7829/�/���#\6�R84"�.��29).�<&"�! ��</"�b29&9��$S�.���<&96o:-29Y<��#C7%'C�<&9&�R8�<2(��6o+<�6S�.:-BC��#%$�6X29#' O/"�.$S�.��B 2h#"��6��C6SR84"�.��2h).�<&T�����b�<#":<��BC��#%$E+-#�$�4"�K6SR84"�.���O+<��/�2(����),$�2(+-#86.Uo­®#�6�$S���</�+<�����.R�����6S��#i$�2h#":�<&9&j/�2(����),$�2(+-#�6K29#5FH@A6SRT�<),�s7!'^$�4"��6SR84"�.���C+<��/�2(����),$�2(+-#�6 %.��Zf0[� 0�29&9&����.R�����6���#i$��<&9&t/�2(����),$�2(+-#86K29#' 7%'�R�+-29#i$�6[+-#�$�4"�K6� "���]�<),�O+<��$�4��O�zr"296N@eRT�����<&9&(��&p). "7������¢),��#%$S�.����/d��$�$�4"�O+<��2(:-29#dÁ¢�<#�/�0�2($�4��/":<�\&9��#":<$�4^`!UE~±R�+-29#%$ �P+-#�� �¼���.R�����6���#i$�6�$�4"�c/82(����),$�2(+-#��Á��_U 3+<$�2h),�k$�4���$�+-#g���<)b4^�u�<),�k$�4��29#i$S�.�b6S��),$�2(+-#�+<�8$�4��X�]+<��782h/�/"��#k�! ��</"�b29&9��$S�.���<&96f296���2($�4"�.�q�K),+-#%Y<�,r�6S�.$o+<�q$�4"����BCR8$A'c6��.$.Uo~�&($�4"+- �:-4$�4�296q���.R8����6S��#%$���$�2(+-#�2h6j#"+<$t6S$��<#8/�����/Z!2($j0329&h&!�<&h&(+W0 �6j$S+k 86S�3B �<#%' �<&(:<+<��2($�48B 6q034�2h)�4C+-#�&9'c0X+<�����+<�m6S$S�b�<2(:-4i$N@A&h29#"�3R�+-&('!:<+-#�6.Uqlf+C/"�.$S�.��B 29#���2(�1%=�</�Bs2($�6��\),��+-6�6�29#":�@e�]���.��R���+zLS��),$�2(+-#;$�4"��#�����/� 8),��6$S+�$�4"�mR���+<78&(��B¢+<�p/��.$S�.��B 29#�2h#":K2(�8$�4"�E$S�b�<#�6S�]+<��BC��/C6S$S���<29:-4i$N@A&92h#"�E�% ��</���29&9��$S�.���<&h6�),+HY<�.�[$�4��3). "7��<U���s).�<#�/"+�$�4�296�7!'^),+-BCR8 �$�29#":�$�4"�d¡����T�e���M��� �C�]�M�s�M���u�<�?+<�t$�4"��6S� �! ��</"�b29&9��$S�.���<&96�U 3+<$S� $�48��$$�4"�C �#�2(+-#^B ��'P#"+�7���6�29BCRT&('?),+-#�#"��),$S��/«Du2GU �<U�2($OB �W'g),+-#i$��<2h#�4"+-&(��6bJ34"+W0X�.Y<�.��Z�29�q$�4"�C),+-#i$S+- "�

5 `

Page 13: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

+<�q$�4"�k �#�29+-#d296E��BCR8$A'<Zp$�4"��#d$�4"�.���c296m#�+s/�2(����),$�29+-#?$�4���$3'M2(��&9/86m� R���+zLN��),$�2(+-#g032($�4"+- �$m),��+-6�6�29#�:-6Du2GU �<Uj�.Y<�.��'�R�+-29#%$E+-#?$�4"�k). "7��K296m),+HY<�.����/^7%'���$3&(���<6S$3+-#"���% 8�</"��29&9��$S�.�b�<&�JbU

º!�.Y<�.���<&E�<&(:<+<�b2($�4�B 6�4��WY<�?7p�.��#¥/��.Y<��&(+<R���/=�]+<� ),+-BCR8 �$�29#":P$�4"�?),+-#i$S+- "�C+<��$�4"�? �#�29+-#1+<���6S�.$�+<�ERp+-&9'%:<+-#�6�U*º!+-BC�;+<�E$�4"��6S��v|ºM�mº"x<`zyeZ3v|¿ ��»<xzyeZ3v �¨X»<`zyE�����;). 86S$S+-B 2(>.��/=Y<�.��6�2(+-#86k+<�m$�4���[��#%$�&(�.'%@®��$S$�B �<#C&92h#"�t6S�.:-BC��#%$q29#%$S�.��6S��),$�2(+-#��<&(:<+<��29$�4�B v �m� ��x�yeU�~�&9&%+<��$�4"��B¢),+-BCR8 "$S�X$�4"�X��#i$�2(����������<#":<��BC��#%$329#8/� �),��/�7%';$�4"�K�% 8�</"��29&9��$S�.�b�<&96��<#�/��<6�6�2(:-#�$S+C���<)b4d�u�<),��29#�$�4"�K�������<#":<��B ��#i$.Z�$�4��#% �Bc7��.�s+<���! ��</"��2h&9��$S�.���<&96C$�48��$;29#%$S�.��6S��),$;2($.U ¦��<),��6?#! �Bc7��.����/¥032($�4µ>.�.��+´��+<��B $�4"�*),+-#i$S+- "�+<�m$�4"�� �#�2(+-#U �29�.Y<�.��:<��&($��¶¨t���.R8������$��©v �¨[»<`�y�R�����6���#i$\�^Y<�.�b6�2(+-#=+<�m$�4"���<&(:<+<��2($�4�B $��<29&(+<����/6SR���).2 �T).�<&9&(';�]+<��),+-#%Y<�,r^R�+-&('!:<+-#�6m0�4"+-6S�k$�2hBC�k�<#�/P6SR8�<),�\),+-BCR8&(�,r"2($�2(��6������CÁsD]Â�&(+<:jÂ�����Jm�<#8/Á D]ÂfJbZ8����6SR���),$�2(Y<��&('<Z�034��.���KÂ1296�$�4"�\#% 8Bk7��.�E+<�o��/":<��6�29#�$�4"��R�+-&('!:<+-#�6m�<#�/ �?296E$�4"�c#% �Bc7��.�m+<�29#i$S�.�b6S��),$�2(+-#�6k+<�[$�4"�s��/":<��6.U�ºM+- "Yz�<2h#"� �ª��LN+<�b&929#":�@®ºM�<)b4�6sv|ºM�mº"x<`�yjR���+<R�+-6S� �<#"+<$�4"�.�\�<&(:<+<��2($�48B$�4���$X),+-B R8 "$S��6[$�4"��),+-#%$S+- "�X+<�$�4"�� �#82(+-#C�]��+-BQ$�4��k���.� �u�G¡��<�T� �b� 7!' �6�29#":K$S+<R�+-&(+<:-2h).�<&86S0X�.�.R?29#$�29BC�3&92h#"�����t29#C$�4��36�2(>.��+<�p$�4���B ��R_Uqlm48296q�<&(:<+<��2($�48B¼�<)�4�29�.Y<��6[$�4��36��<BC��$�29BC�3�<#�/�6SR8�<),�m7�+- �#8/�6�<6m$�4"�k�<&9:<+<��2($�4�B¹+<� �29�.Y<�.��:<��&($ �¼¨j���.R8���b��$��gv �¨X»<`zyeU

­¾����6S�.$t+<��&h29#"�E6S�.:-BC��#%$�6t/"+!��6j#"+<$[�</�B 2($q��),��+-6�6�29#":�@e�]���.�mR���+zLN��),$�2(+-#s2($j296o+<�29#%$S�.����6S$q$S+k),+-B�@R8 "$S��$�4"�cR���+zLS��),$�2(+-#d$�48��$�B 29#829B 2(>.��6�$�4"�\#% 8Bk7��.�m+<�j),��+-6�6�29#":-6.U�lf+�6S+-&(Y<�c$�4�296ER8��+<78&(��Bª0X�c).�<#R���+M),�.��/ 29#C�K6�29Bs29&9���oB �<#�#"�.�j$S+K$�48��$t/"��6�),��297p��/���7�+WY<�378 "$o$�4�296o$�29B �m6S������)�4 $�4"�m��#%$�2(���m�������<#�:<�,@BC��#i$E$S+ �T#�/;$�4"�K���.:-2(+-#?),+HY<�.����/^032($�4;$�4"��B 29#829Bc 8Ba#! �Bc7p�.��+<�o�% 8�</"��29&9��$S�.�b�<&96.Uolm4"�.���.�]+<���K0X�4���Y<�c$�4"�K��+-&h&(+W032h#":�����6� �&($.U

��� � � ������� ���]���,�©�?���.��� �C�=���]�p�����e�-� �.�8�]� �]�5�e�"�-¡b� �O�g�\�]���]���!���S¡.�S�z��� ���!�s�T�N�S£.��¡��u�G���µ¡������� �.���M�T�����gÁ D]Â��WJk�u���s�\���T���A�M�-¡ ����X��6�29/"��6C$�4��?+<7%YM2(+- �6 ��R8R8&929).��$�2(+-#´+<�KB 29#829Bc 8B�@A),��+-6�6�2h#":gR���+zLN��),$�2(+-#86�$S+5Y!2h6� ��<&92(>���$�29+-#Zj0X�

BC��#i$�29+-#g4"�.���k$�4���$3$�4"�.'d�<&h6S+s4��WY<�\��R�RT&929).��$�2(+-#�6�$S+�R�+-29#i$�&(+!).��$�29+-#dR���+<7T&(��B 6E29#gFH@AI\U_¿X+-#�6�2h/"�.��gFH@AIª),+-#iY<�,r56� �7�/82(Y!2h6�2(+-#d+<��6SR8�<),�<U Ä3��).�<&9&o$�4���$�$�4��CRp+-2h#i$K&(+M).��$�2(+-#5�<&(:<+<�b2($�4�B +<�E¨j���.R8���b��$���²lf�<B �<6�6�29�«v ¨tl�x<`HymR���+zLS��),$�6C$�4"�?6S�<��&(�.$S+-#¥+<��$�4"�?6� "7/�29Y!296�2(+-#�+-#%$S+5$�4"��¯8°%@eR8&9�<#"��$S+�+<7�$��<2h#��#"�.0¹R8&9�<#�����6� "7/�2(YM296�29+-#�032($�4´�</�/�2($�29+-#��<&tY<�.��$�29),��6 ��$C�<&9&�29#%$S�.��6S��),$�2(+-#´R�+-29#%$�6.U5lm4�296\R8&h�<#����6� "7/�2(YM296�2(+-#*296�$�4"��#1R8���,@eR���+M),��6�6S��/1��+<�\R8&9�<#����kRp+-2h#i$k&9+!).��$�2(+-#17��.��+<���;/"+-29#":g7829#�����'*6S������)b41+-#$�4"�?�\/82(����),$�2(+-#U?���?).�<#©��R�R8&9'P+- ��\�<&(:<+<�b2($�4�B $S+*$�4"��+<��2(:-29#8�<&t6� "7/�29Y!296�2(+-#P$S+PB 2h#�29B 2(>.�C$�4��BC��BC+<��'������! �2(����/;7!'�$�4���R8&9�<#����ER�+-29#%$E&(+M).��$�2(+-#?R�+<��$�2(+-#�+<�o$�4"��2(�m�<&9:<+<��2($�4�B?U

� � �����E�����C��� ���� ! �j����������$

lm4"�K:<��#"�.���<&�#"+<$�2(+-#�+<�qBC+-#"+<$S+-#�2h).2($A'�296E�<#"+<$�4"�.��)�4������<),$S�.�b296S$�29)K+<��R�+-&('!:<+-#��<&�+<7MLS��),$�6m$�4���$m�<29/8629#P$�4"��2(�KYM296� ��<&929>���$�2(+-#U�­N#*�]�<),$.Z�R���+zLS��),$�2(+-#�6O$�4���$KR�����6S�.��Y<� BC+-#"+<$S+-#829).2($A'P+<�t$S���.��6O�T#�/�6O��R�RT&92 @).��$�2(+-#^2h#?BC��/�29).�<&f29B ��:-29#":gDu6��.��ºM �#��.$��<&GU�v|º ��{Kxz�<y]JbU��q��29#�6��<#�/g����$S�.��2(��6m29#d$�4"��7�+!/�';�����\F�I$S���.�,@A&92(�<��6S$S�� �),$� �����6�$�4���$\6S+-BC�.$�29B ��6c������BC+-#"+<$S+-#829)�Zq�<#�/5R�����6S�.��YM29#":?$�4�296cBC+-#"+<$S+-#�2h).2($A'5�<29/8629#�Y!2h6� ��<&92(>���$�29+-#U�~±6�2hBCR8&(��Rp+-&9'%:<+-#��<&)b4��<29#d2h#�FH@AI¸Bs��'?#"+<$m�</�B 29$��s),��+-6�6�29#�:�@e�����.�KR8��+zLN��),$�29+-#78 "$t2($[B ��' �</�Bs2($t�KR���+zLN��),$�2(+-#�034�2h)�4 296tBC+-#"+<$S+-#�29)�29# 6S+-B ��/�2(����),$�2(+-#UoV3�.����0[��������29#%$S�.����6S$S��/29#©�<#�6S0X�.��29#":*�% ���6S$�2(+-#�6C6� 8)�4¥�<6���/"+!��6C�*:-2(Y<��#¥6S$S�� �),$� ����;�</8B 2($C�*BC+-#"+<$S+-#�29)�R8��+zLN��),$�29+-#¥29#6S+-BC�� 8#�6SR���).2 �8��/�/�29����),$�2(+-#��¸ºM 8)�45R8��+<78&(��B 6K).&9+-6S��&('*����6S��Bc78&(� $�4����¨q@A),+-BCR8&9�.$S�sR���+<7T&(��B +<�

5 F

Page 14: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

/"�.$S�.��B 29#829#":3�]+<�q�3:-29Y<��#C/�2(����),$S��/c:<����R84Z<0�4"�.$�4"�.�o2($�).�<#�7��X/"����0�#\2h#k$�4"�XR8&9�<#��X6� 8)�4\$�4���$��.Y<�.��'��/":<��296cBC+-#"+<$S+-#�2h).�<&9&('*29#�),�����<6�2h#":d29#�$�4"��Y<�.��$�29).�<&[/�2(����),$�2(+-#1�<#�/1#"+g$A0X+^��/":<��6\),��+-6�6�v|{Ol3x<}�yeU~3:-�<29#_Z-7%'\),+-#i$S�b�<6S$j0X�ER���+WYM29/"�XR�+-&('M#"+-B 29�<&%$�29BC�E6S+-&9 �$�2(+-#�6f$S+��OYz����29�.$A'\+<�T6�29Bs29&9����+<��$�4"+<:<����R84829)R���+zLS��),$�2(Y<��Y<�.�b6�2(+-#�6t+<�p$�4���6S��/"�b��0329#�:�R���+<78&9��B 6.Uo¦�29��6S$j0X��),+-#�6�29/"�.�j$�4"��BC+-#"+<$S+-#�2h).2($A'C+<�R�+-&('!:�@+-#��<&)�4��<2h#�6E29#0' U[º!R���).2 �p).�<&9&('<Z!0[�K�</�/"����6�6�$�4"���.�K�! "��6S$�2(+-#�6�U[{O2(Y<��#?��R�+-&('!:<+-#��<&�)�4��<29#?·¸�<#8/�g/�2(����),$�2(+-# �� Z�296�·¶BC+-#"+<$S+-#�29) 032($�4*����6SR���),$�$S+P/�2(����),$�29+-# �� �¢Ä3��).�<&9&q$�4���$\�?R�+-&('%:<+-#8�<&j)�4��<2h#· �� � ! � � ! ! ���\2h6��C�<�T�<�e�����G¡�29#C/�29����),$�2(+-# �� R���+HY!29/���/�$�4���$j$�4"�32h#i$S�.��6���),$�2(+-# +<��·�0329$�4��.Y<�.��'R8&9�<#"�C0329$�4P#�+<��B �<& �� 296O��BCR�$¾'<Zf+<�k��R�+-29#%$.U�����6�4�+W0Q4"+H0¼$S+g�<#�6�0[�.��$�48296K�% ���6S$�2(+-#�29#1ÁsD]ÂfJ$�29BC�<Zj034��.����Ân296\$�4"�?#! �Bk7��.�\+<�3Y<�.��$�2h),��6�+<��·CU ��,rM$.Zt:-2(Y<��#©�PR�+-&('%:<+-#8�<&X)b4��<29#©·CZj0X�?�<6S�2(�3· 296\BC+-#"+<$S+-#�2h);2h#=6S+-B ��/82(����),$�2(+-#��ª���?R�����6S��#%$C�<#©�<&(:<+<��2($�4�B $�4���$C/"�.$S�.�bB 29#"��6\034"�.$�4��.��?R�+-&('%:<+-#8�<&�)b4��<29#�296KB +-#"+<$S+-#�29)C29#1ÁsD]ÂfJ�$�29BC�<U�¦o29#��<&9&('<Z:-29Y<��#5��R�+-&('%:<+-#8�<&�)b4��<29#5· Z�2($K296O+<�29#i$S�.����6S$m$S+s/"�.$S�.�bB 29#"� ���]�"/�2(����),$�2(+-#86[+<�qBC+-#�+<$S+-#�29).2($¾'�+<�o·CUj���k6�4"+W0 4�+W0 $S+ ),+-B R8 "$S�k�<&9&�$�4��/�2(����),$�2(+-#86�032($�4�����6SR���),$m$S+s034�29)b4?·¼296mBC+-#�+<$S+-#�29)K29#gÁsD]Â�&(+<:tÂfJ[$�29B �<U

{O2(Y<��#�$¾0[+^R�+-29#i$�6 � �<#�/ � Zf&9�.$ �� � /"��#"+<$S�C$�4�� Y<��),$S+<�c/�29����),$S��/��]��+-B � $S+ � U ~aR8&9�<#���).�<#7p�^/"�,�T#"��/µ7%'«�1Rp+-2h#i$!�n),+-#i$��<2h#"��/ 2h#¥$�4���$;R8&9�<#"�g�<#8/«$�4"�P#"+<��B �<&EY<��),$S+<� � +<�K$�4"�gR8&h�<#"�<U{O2(Y<��#*�;Rp+-2h#i$ ���<#8/P��Y<��),$S+<� � Z�$�4"�cRT&9�<#"�c/��,�T#"��/^7%'d$�4���B 2h6�/���#"+<$S��/P7%' +©D � ! �ÂfJbUk{O2(Y<��#�*R8&9�<#"��� +´D � ! �ÂfJbZ[0[�d/��,�T#"��$�4"��$A0X+14��<&(��@A6SR8�<),��6C/��.$S�.��B 29#"��/´7!'=$�48296\R8&9�<#"���<6C�]+-&9&(+W0�6.Ulm4"�C+<R���#��<#�/5).&(+-6���/�4��<&(��@A6SR8�<),��6����n����� /"�,�T#"��/��<6�¯�� ��8¯ �Â� ¢§����<#8/��¯�� ��8¯ �Â��±§��-Z����6SR���),$�2(Y<��&('<UcºM2hB 29&9����&9'<Z�$�4"��+<R���#P�<#8/^).&(+-6���/�4��<&(��@A6SR8�<),��6����¥�����C/"�,�T#"��/P�<6��¯�� ��8¯ �Â�� §���<#�/��¯�� ��8¯ �Â���§��-Z[����6SR���),$�2(Y<��&('<U=V3��#�),�.�]+<��$�4Z[�<&9&�4��<&(��@A6SR8�<),��6�������+<R���#¥ �#�&(��6�6c�,rMR8&929).2($�&9'6S$���$S��/?+<$�4"�.��0�296S�<Ujlf+ ��Y<+-29/?�<Bc782(:- �29$A'��<#8/;6�29BCR8&929��'�$�4"�K/�296�). �6�6�2(+-#_Zi0X���</"+<R�$�$�4"�K),+-#iY<��#%$�2(+-#$�4���$k2(�t· 296OBC+-#"+<$S+-#�29)C2h#P/82(����),$�2(+-# �� Z_$�4"��#�� ��296K�?B 29#�2hBc �B¶�]+<��·ª032($�4P����6SR���),$K$S+ �� Uc����8��6S$\�</�/"����6�6c$�4"���% ���6S$�2(+-#=+<�3/"��).29/�2h#":d034"�.$�4��.���^R�+-&('!:<+-#��<&t)b4��<29#©296\BC+-#"+<$S+-#�29);29#=�g:-2(Y<��#/�2(����),$�2(+-#_Uµ~ �<�.'´R8��+<R��.��$A'´+<�K)�4��<29#86 BC+-#"+<$S+-#�2h)?032($�4©����6�Rp��),$s$S+=/�2(����),$�2(+-# �� 2h6C$�4���$ $�4"��29�6� "7"@A)b4��<29#�6E�����c�<&96S+ BC+-#"+<$S+-#829)K032($�4�����6SR���),$E$S+ �� U

lm4"�;��7p+HY<�?29BCR8&929��6O$�4���$\29$c6� MÀ;),��6k$S+*/"�.$S�.��B 2h#"�s�<&9&X/�2(����),$�29+-#�6�0329$�45����6SR���),$c$S+^034829)�4=�&929#"�O6S�.:-BC��#%$3296�BC+-#"+<$S+-#829)K29#;+<��/"�.�E$S+ ),+-BCRT "$S���<&9&�/�2(����),$�29+-#�6X��+<�E034829)�4���R�+-&('!:<+-#��<&�)�4��<29#?2h6BC+-#"+<$S+-#�29)�U �+W0a�^&929#"�C6S�.:-B ��#i$\296�BC+-#"+<$S+-#829) 29#*�.Y<�.��'5 8#M@e+<��2(��#%$S��/5/�2(����),$�2(+-#��,r"),�.R�$k$�4"+-6��Rp�.��Rp��#8/�29). �&9���k$S+P$�4���&h29#"��6��.:-BC��#i$.U´�X'1+- "�C),+-#%Y<��#i$�2(+-#_Zt0X��������2h#i$S�.����6�$S��/¥29#1$�4��;+<�b2(��#i$S��//�2(����),$�2(+-#86j034"�.���3&929#"��6S�.:-BC��#%$Ov � � yp296[BC+-#"+<$S+-#�29)��<#�/ � 296tB 2h#�29B\ �B±032($�4C����6SR���),$t$S+\$�4"�3:-2(Y<��#/�2(����),$�2(+-#_Uol34"�3R�+-29#%$ � 296X�\B 29#�29B\ �B±0329$�4s����6�Rp��),$[$S+\�<&h&T/�29����),$�2(+-#�6�� � �� � �� �� � µ§��-U ���.$�� +©DeÁ ! �� � JoD]034"�.���XÁ¥296_$�4"�q+<��2(:-29#pJbU_­¾$���+-&9&9+W036$�48��$��<&9&</�2(����),$�2(+-#�6��]+<�_034�29)b4sv � � y!296BC+-#"+<$S+-#�2h)).�<#17�� ���.R8����6S��#%$S��/17!'�$�4"�s29#%$S�.��6S��),$�29+-#1+<�E$�4"�;4��<&(��@A6SR8�<),� ���n032($�41$�4"�s �#82($k6SR84��.����%.�C$�48��$���.R�����6S��#%$�6K�<&9&o/�2(����),$�2(+-#�6�29#^6�R8�<),�gD]$�4"�C6SR84"�.���c+<�X/�2(����),$�2(+-#86bJbUc{O2(Y<��#��;R�+-&('!:<+-#��<&f)b4��<29#�· � � ! � � ! ! ���d�<#�/^��/82(����),$�2(+-# �� Z80X�\0[+- �&h/d&92(�<�c$S+�/"�.$S�.��Bs29#"�c29��· 2963B +-#"+<$S+-#�29)c032($�4?����6SR���),$$S+ �� Uq����6�29BCRT&('cY<�.�b2(��'s$�4���$[���<)b4?+<�_$�4"�O&929#���6S�.:-BC��#%$�6�+<��· ¼v � � ! � � y ! v � � ! � y ! v � � � � ! � � y�2h6BC+-#"+<$S+-#�29)�032($�4�����6SR���),$E$S+ �� Z�2GU �<U(Z�$�48��$ ��"!#�"! � � �� µ§MUt���k),+-#8).&9 �/"�K0329$�4�$�4"�K��+-&h&(+W032h#":"U��� � � �����%$ ���]���,�?�E�M�����.�%���T����¡,�!�<����· �<�T���c���]����¡��u�G��� �� �f��� Á D]ÂfJ��u�]�s�����<�p��¡����d�i���A�,� �\�]�p�� �3·¶�����C�<�T�<�e�����G¡��q�u�]�d�S�,�e�"��¡����e� �� �

��� ).�<#*/"�.$S�.��B 29#��c2(�j��R�+-&('%:<+-#8�<&f)b4��<29#*· �� � ! � � ! ! � � 296�B +-#"+<$S+-#�29)c032($�4^����6SR���),$�$S+6S+-BC��/�2(����),$�2(+-#k29#�$�4"�[��+-&h&(+W032h#":m0���'<U �_�.$&� �' ���.R�����6S��#%$�$�4"�X4��<&(��@A6SR8�<),�X/"�.$S�.��B 29#���/�7!'K$�4"�tR8&h�<#"�+´DeÁ ! �� ' � ' � � JbU �_�.$(� 7���$�4"�\29#%$S�.��6S��),$�2(+-#g+<�q$�4"�)� �' +WY<�.�O�<&9&+*�U�l34"��#d$�4"�\6S�.$3+<�q�<&9&f/�2(����),$�29+-#�6

5 �

Page 15: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

��+<�[034�29)b4 · 2h6jBC+-#"+<$S+-#�2h)m296t/���6�),��2(7���/�7!' � � %.�zUqI��.$S�.��B 29#�2h#":k2(���gZ%$�4"�329#%$S�.��6S��),$�29+-#s+<��k6��.$+<��48�<&(�h@A6�R8�<),��6�296K#"+-#"@e��BCR�$A'*).�<#57�� �<).),+-BCRT&9296�4"��/�2h#P&h29#"�����K$�29BC� 86�29#":?&929#������KR���+<:<���<B Bs29#":v ½g�.:i»<F-yeUq­¾��$�4"��2h#i$S�.��6���),$�2(+-#�+<�_$�4"�K4��<&(�u6SR8�<),��6�296X#"+-#"��B R�$A'<ZM$�4"��#�2($��<&96S+C29#%$S�.��6S��),$�6X$�4"�K6SR84��.���+<�o/82(����),$�2(+-#�6�Uol34"�.���.�]+<���K0[�c),+-#�).&9 �/"�K0�2($�4�$�4"�K�]+-&9&(+W0�29#":"U

��� � � ������� ���]���,� �d�M�������i���T�<��¡,�M�����¥·� ���p�P¡b�����i�.�A�.�b���]�p�^� � · ����� ���p�<�e�����G¡*�]�¥ÁsD]ÂfJ�u���s���

~�6t#"+<$S��/C��7�+WY<�<Z � � %*�[/"��6�),��2(7���6�$�4"�E6S�.$q+<�T�<&9&!$�4"�m/82(����),$�2(+-#�6��]��+-B¢034�29)b4�·�296oBC+-#"+<$S+-#�2h)�UºM29#�),��$�4"�O29#i$S�.�b6S��),$�2(+-#;+<�f�\6S�.$�+<�f4��<&9�h@A6SRT�<),��6X).�<#;7��O),+-BCR8 "$S��/�29#?Á D]Â�&(+<:[ÂfJq$�2hBC��v ¨�º"»<}zyeZM0X�),+-#�).&9 �/"�K0�2($�4�$�4"���]+-&9&(+H0329#":"U

��� � � ������� ���]���,�´�\�M�������i���p���[¡,�M�����P·�m���p��¡����©�i�.�A�.�b���]�p�C�]�PÁsD]Â�&(+<:jÂfJ��u�]�s� ���]�q�]�M� ���]��S��¡��u�G���"�k�q�u�]�d�S�,�e�"��¡����e���o�i�G¡,�s·¶�h��� ���T�-�e�����G¡ �

3+H0a0X� $� "�b#*$S+d$�4"�sBC+-#�+<$S+-#�29).2($¾'P+<��6�29B R8&(��R�+-&('%:<+-#86K�<#�/�$S���.��6c29#�' Usl34"�CR�+-&('%:<+-#8�<&)�4��<29#86.Z-6�29BCRT&(�jR�+-&('!:<+-#�6f�<#8/k$S���.��6q2h#)') t�����E�<&9&%:<����R84�6f��Bc7p��/8/"��/c2h#)') 3U�­®#\+<��/��.�f$S+K),+-#%$�29#% ��$�4"�K/�296�). �6�6�2(+-#s2h#�$�48296[B +<���O:<��#"�.���<&6S�.$S$�29#�:"Z"0[�K/"�,�T#����C�%�����s�.�u� �u¡O�-�N�b�T�iU[~¢�%���<� ���u�b�G¡��<�S�b�8�296k�g$A0X+�@e$� "R8&(��D�� ! '�JbZq034"�.����� 296��?�p#�2($S�s6S�.$c+<�m/�296S$�2h#�),$KR�+-29#i$�6c29#�:<��#"�.�b�<&tR�+-6�2($�29+-#529#�') �Z�<#�/�' 2h6K�?�]�<Bs29&('d+<��).&(+-6S��/56�$S���<2(:-4%$N@A&929#"�C6S�.:-BC��#%$�6�0�2($�4*��#�/M@eR�+-29#%$�6K29#��CU l34"�C��&(��BC��#%$�6K+<��ª�<#�/ 'ª�����C).�<&9&(��/=���.� �u�G¡b�,�3�<#�/«�����!� �bZ�����6�Rp��),$�29Y<��&('<UK¦"+<��BC+<����/"�,�T#�29$�2(+-#�6m�<#�/P$S�.��Bs29#"+-&(+<:<'),+-#�),�.��#�29#�:C:<����R84�6.ZM$�4"�k�����</"�.�3296����.���.������/�$S+^v ��½ ��Å<yeUq­®#?$�4��KR����.YM2(+- �6�6S��),$�2(+-#Z8$�4"�K:<�.+-BC�.$S��29):<����R84�6�$�4���$�0[�C),+-#�6�29/"�.����/^0[�.���\RT��$�4�6.U�­®#P$�4�296�6S��),$�2(+-#_Zp0X��),+-#�),��#i$S�b��$S� +-#P$S���.��6O�<#�/*),'!).&(��6D]Rp+-&9'%:<+-#�6 JbUq����7��.:-29#�7%';/"��6�),��297829#":�6S+-BC�KR���+<Rp�.��$�2(��6X+<�f:<�.+-BC�.$S�b29)K:<����R8486.Ut{O2(Y<��#d��Y<�.��$S�,r �+<�o� :<�.+-BC�.$S��29)K:<�b��R84�Z"0X�k/"��#�+<$S��$�4"��6S�.$m+<� �!/":<��6 ��/�LS�<),��#%$m$S+ �;7%'0'���D �MJbU� ��� � ��� ����� ��� ���8�.� �A� ���P�h�?�������8�����M�¬�q�]�]�©��� �e����¡��c�e� �� �,�<������A���P� �?���T�´��������� � �"!�#'���D �MJ � �����c���������]���M� �q�u�]����� �A�"��¡W�E�e� �� �,���$!��

{O2(Y<��#©�PY<�.��$S�,r ��+<���^:<�.+-B �.$S��29);:<����R84%�Zq0X�;/���#"+<$S��7%''&��*D �MJk$�4"��6S�.$�+<�3/�2(����),$�29+-#�6��+<�O034�2h)�4��?296��;B 29#�29B\ �B¹�]+<�O$�4"�c6S�.$ '���D �MJbU ���.$(! v � � ' y�7p�\�<#P��/":<�\2h# '���D �MJbUO�X' �!\0X�/"��#"+<$S�K$�4"�OY<��),$S+<� �� � ' U ���.$ �fD)!HJ +´DeÁ ! �!zJbUq����6��.��$�48��$*&��*D �MJX296[$�4"�K29#%$S�.��6S��),$�2(+-#�+<� ��D)!zJ �+WY<�.���<&9&+!�),+-#%$��<29#"��/P29# '���D �MJbU�~±Y<�.��$S�,r ��+<�j� :<�.+-BC�.$S��2h)k:<����RT4^296����T�S�b�"�.�C� �W¡����o�����8�����M�032($�45����6SR���),$c$S+*/�2(����),$�29+-# �� R���+HY!29/���/5$�4���$)��296c�^B 29#�2hBc �B ��+<�\$�4"��6��.$ ' �\D �"Jk2h#1/�2(����),$�2(+-#�� UK~¼Y<�.��$S�,r �g296��P� �W¡����q���]�������M� 032($�4^����6SR���),$�$S+?/�29����),$�2(+-# �� 2(���"!�# '���D �MJbZ_$�4��\��/�:<� !�2h6),+-#i$��<29#���/g29#�$�4"�c).&(+-6� "���O+<�*+ � D � ! �� JOU

���K#"+W0n�</�/"����6�6t6S�.Y<�.���<&p�! "��6S$�2(+-#�6[),+-#�),�.��#�2h#":k$�4"��BC+-#"+<$S+-#�2h).2($A'C+<�$S���.��6�U[ºM "R�R�+-6S�E0X�������:-2(Y<��#5����+!+<$S��/*$S���.� ,kZ_�<#8/��?/�2(����),$�2(+-# �� U\lm4��c�T��6S$K�% ���6S$�2(+-#P0[� �</8/"����6�6K296�$S+g/��.$S�.��B 29#"��2(�,ª2h6cBC+-#�+<$S+-#�29)s2h#=/�29����),$�2(+-# �� U 3+<$�29),�;$�4���$�$A0X+*$�4�29#":-6\������6SR���).2 �8��/=29#5$�4�2h6c�! "��6S$�2(+-#_Z�$�4���N���-��+<�m$�4"�;$S���.�;�<#8/=$�4���R���+<Rp+-6���/ ���]�S��¡��u�G����+<�3BC+-#�+<$S+-#�29).2($¾'<U*l34"��#"�,rM$\��+- "���! "��6S$�2(+-#�6c0X��</�/"����6�6c�����;$�4"�s�]+-&9&(+H0329#": ��D 5 Jc{O29Y<��#1�^��+%+<$S��/=$S���.�-,kZq/"+%��6k$�4"�.�����,rM296�$c�g/82(����),$�2(+-# �� 0�2($�4����6SR���),$[$S+�034829)�4-,�296[B +-#"+<$S+-#�29) �=DG`-J�{O2(Y<��#��<#� �#"��+!+<$S��/s$S���.�.,��<#�/;/�2(����),$�2(+-# �� ZM/"+%��6X$�4"�.����,rM296�$3�CY<�.��$S�,r �/#0, 6� 8)�4?$�4���$*, ��+!+<$S��/g��$ �;296mBC+-#�+<$S+-#�29)K0329$�4�����6SR���),$m$S+ �� �=DGF-J�{O2(Y<��#d�<# �#"��+!+<$S��/*$S���.�1,kZ_/"+!��6�$�4"�.���C�,r"296S$K��/�2(����),$�29+-# �� �<#�/���Y<�.��$S�,r��2#',Q6� �)b4*$�4���$$,¼��+%+<$S��/1��$

5 }

Page 16: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

�g296OBC+-#"+<$S+-#�2h)c0�2($�4g����6SR���),$ �� � D]�%JK{O2(Y<��#��<#* �#"��+!+<$S��/P$S���.�1,kZp�T#�/*�<&9&fY<�.��$�29),��6 �# ,Q�<#8//�2(����),$�2(+-#86 �� 6� 8)�4?$�4���$*, ��+!+<$S��/g��$ �;296mBC+-#"+<$S+-#829)K29#?/�2(����),$�2(+-# �� U

Äm��).�<&9&M$�48��$j�O$S���.� ,µ296q).�<&9&(��/����S���<�A���C�u�S�b�q2(�T�K �#�29�! "�XY<�.��$S�,r)�c+<� ,µ296q6�Rp��).2(�8��/c�<6t2($�6o��+!+<$.Z+<$�4"�.��03296���$�4���$S���.�O2h6��M���S���<�A����+<� � �����,Uj~ ��+!+<$S��/�$S���.�(, 296XBC+-#"+<$S+-#�29)O29#�/�29����),$�2(+-# �� R���+HY!2h/"��/$�4���$t$�4"�3R8��$�4 �]��+-B¼$�4��m��+!+<$j$S+k�.Y<�.��'CY<�.��$S�,rs296jBC+-#"+<$S+-#829)m29# /82(����),$�2(+-# �� Uqlm4"�m�<�.'C7���4�29#8/c$�4���,À�).2(��#%$t6S+-&9 "$�29+-#�+<�p�<&9&"��7�+HY<�,@ABC��#i$�29+-#"��/sR8��+<78&(��B 6o/"�.R���#�/86o+-#C$�4"�E�]+-&9&(+W0�29#":K)�4����b�<),$S�.��2(>���$�2(+-#+<��$�4���BC+-#"+<$S+-#�29).29$A'�+<�f��+%+<$S��/g$S���.��6.U

��������� � ��S���<�A���*�u����� , �h��� ���T�<�e���8�u¡��]�´���]�S��¡��u�G��� �� � � ���T�P�������d� ���]�"�C�S���<� � � �$,¶���C��T�N� �"�,�\� �W¡������������]���M� ���T�;�p�;�-�]�M�,�c���,�,�A�������c��� ��¡b�������]���]�\�M�¶�q�]�]�d��� �A�"��¡W�X�e�����]����¡��u�G��� �� �������� ���D � J�~�6�6� �B � ,Q2h6KBC+-#"+<$S+-#�29)�0�2($�4P����6SR���),$K$S+ �� U�­®� � 296K#"+<$���R���+<Rp�.��&9+!).�<&qB 2h#�29B\ �B $�4���#

��$k&9���<6S$�+-#"����+%+<$k$S+g&(������R8��$�412h#2, 296�#�+<$kBC+-#"+<$S+-#�2h)�U�ºM "R8Rp+-6��\$�4��.��� �,r"296S$�6k�dY<�.��$S�,r�P+<� ,a$�4���$\296�#"+<$c$�4"�s��+%+<$.Zo6� �)b45$�4���$��*2h6��g&(+M).�<&tBs29#�29B\ �B?U ���.$)� +©D � ! �� JbU;���6S�.�k$�4���$ '���D �MJmBc 86S$E7���29#�$�4"�k).&(+-6� "���K+<� � � 6�29#8),���;2963� &(+M).�<&B 29#�29B\ �B 032($�4�����6SR���),$$S+ �� U �_�.$�·ª7���$�4"� �#�2h�% "�\R8��$�4*�]��+-B � $S+��^2h# ,cU�· Bc �6�$�7�� BC+-#�+<$S+-#�29)C6�29#8),� ,Q2h6BC+-#�+<$S+-#�29)�U ~�&96S+"Z�$�4��C��+%+<$ � 296k�?B 29#�29B\ �B²�<#�/��*296K�dB �zr"29B\ �B²�]+<�k·ª032($�4*����6SR���),$$S+P/�2(����),$�2(+-# �� Zo7!'�$�4"��),+-#%Y<��#i$�29+-#=+<�mB +-#"+<$S+-#�29)sR8��$�4�6.Udlm4��.���.��+<���<Zo· � "� �?Bc �6�$k7��),+-#%$��<29#"��/d2h#����qU �_�.$ � !�7���$�4���Y<�.��$S�,r?R�����),��/�2h#": �;29#?· U[ºM29#�),� �"!�2963�</zLS�<),��#%$m$S+ �TZ�0X�6S�.��$�4���$ v � � !.y # '���D �MJbU\�� "$�$�48296�2hBCR8&92(��63$�4���$ v � �"!,yj296�),+-#%$��<29#"��/�29#^$�4"�C).&(+-6� "���k+<� ���034829)�4?),+-#%$S���</�29),$�63$�4"��BC+-#"+<$S+-#829).2($A'�+<�o·CU

D����Jd{O29Y<��#d�CY<�.��$S�,r�Z80X��0329&h&T���.R�����6S��#%$E$�4"��R8&h�<#"���� +´D � ! �� JX7!'����-U[~�6�6� �BC�K$�4���$m$�4�����+!+<$� +<�", 296j$�4���+-#�&9'\R8��+<R��.�t&(+M).�<&TB 2h#�29B\ �B¸�<#�/s#�+k+<$�4"�.��Y<�.��$S�,rs+<�", 296[�k&(+M).�<&TBs29#�29B\ �B?U���.$(��7��c�<#*����7829$S������'�Y<�.��$S�,r^+<� ,cU3����0329&9&�6�4"+W0¢$�4���$O$�4"�cR8��$�4*·Q�]��+-B � $S+;B\ �6S$�7��BC+-#�+<$S+-#�29)�29#�/82(����),$�2(+-# �� U ���.$X$�4���R8��$�4�· �"� ��D � J ! � � ! ! ��� � � ! ���MD ��MJ �-UXº" "R�R�+-6S�·±296�#"+<$EBC+-#"+<$S+-#829)�032($�4�����6SR���),$�$S+ �� U �_�.$ � ' D 5 � * � ��Jt7���$�4����T��6S$XY<�.��$S�,r;+<��·¸6� �)b4$�4���$kv � ' � � � ' y�296E#"+<$mBC+-#"+<$S+-#829)K032($�4;����6�Rp��),$3$S+ �� Ujlm4���# � ' � �mB\ �6S$E7���),+-#%$��<29#"��/d29#�$�4��).&(+-6� "���\+<��� �� Ucº"29#�),�)� ' 296�#"+<$K�;&9+!).�<&oB 29#829Bc 8B?ZT�<#�/,Q296��<),'M).&929)�Z$�4"�.���CB\ �6S$��,rM2h6S$K�Y<�.��$S�,r �"!�29#�' �\D � ' JO/�2 ¤��.����#%$��]��+-B � ' � �.Z�6� 8)�45$�48��$��"!s2h6�),+-#i$��<2h#"��/=2h# ���� UdºM29B 2h&9����&('<Z6�2h#�),���"!C2h6K#"+<$���&(+!).�<&qBs29#�29B\ �B?Zp$�4"�.��� B\ �6S$O�,r"296S$K� ���Q29#'���D �"!zJ�/�2(¤p�.����#%$�����+-B �"!-Z6� 8)�4P$�4���$����¼296O),+-#i$��<2h#"��/�29#������� Uc�['P),+-#i$�2h#% �2h#":�$�48296O����:- �BC��#%$.Z_2($O��+-&h&(+W036�$�4���$�6�2h#�),�$�4"�.��� �����C+-#�&('*�;�T#�2($S�C#! �Bc7p�.�K+<�XY<�.��$�29),��6c29#2,kZ_$�4��.��� Bc 86S$K7����dY<�.��$S�,r �� m6� �)�4�$�48��$' �\D � J�296O),+-#i$��<2h#"��/�29#P$�4"�C).&(+-6� "���c+<� � ��� Z_),+-#%$S���</�2h),$�29#":�$�4"���]�<),$O$�4���$�#�+;Y<�.��$S�,rP+<� ,+<$�4"�.�3$�4��<#?$�4"����+%+<$32h6E� &(+M).�<&B 29#�29B\ �B?U

ºM "R�R�+-6S�K0X�c������:-2(Y<��#P�C$S���.� ,cZT�C��+!+<$ � +<��,±�<#�/g� /82(����),$�2(+-# �� Z8�<#�/g0X�<#%$3$S+;/"�.$S�.��B 2h#"�034"�.$�4"�.� ,Q2h6KBC+-#"+<$S+-#�29) 032($�4P����6SR���),$K$S+ �� U �[' �_��BsB �dF!Zf6�2h#�),� � 2h6O$�4"�C+-#�&('^R���+<R��.��&(+M).�<&B 29#�29B\ �Ba�<#�/?#"+\+<$�4"�.�EY<�.��$S�,r?296��\&9+!).�<&�B 29#829Bc 8BQ0329$�4s����6�Rp��),$�$S+ �� Z!$�4��O/82(����),$�2(+-# �� ).�<#�#�+<$7p�E),+-#%$��<29#"��/�29#\$�4"�m).&(+-6� "���X+<�"&��PD �"J���+<�j�<&h&MY<�.��$�29),��6q+<� ,µ+<$�4"�.�j$�48�<#�$�4"�E��+!+<$.U[ºM29#�),� &��*D �MJ

5 Å

Page 17: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

296��<#529#%$S�.��6S��),$�29+-#�+<�X48�<&(�h@A6�R8�<),��6.Z�/"�.$S�.�bB 29#�29#�:;0�4"�.$�4"�.�K+<�k#"+<$c�?/�2(����),$�2(+-# �� 296K),+-#%$��<29#"��/=29#&��*D �MJ�).�<#P7��\/�+-#"�\2h#*ÁsD � &��*D �MJ � J�$�2hBC�<UK�X �$�ÁsD � &��*D �MJ � J�2h6OÁsD � � D �MJ � JO034"�.��� � D �"J�2963$�4��/"�.:<���.�O+<� � 29#�$�4"�O$S���.�$,kUqlm4"�.���.��+<���<Z"6�2h#�),��$�4���6� 8Ba+<��$�4"��/��.:<���.��6�+<��$�4"��Y<�.��$�29),��6�+<���k$S���.�O2h6&929#"�����32h#�$�4"�k#! �Bk7��.�E+<�oY<�.��$�29),��6�+<�o$�4"��$S���.�<ZT0[�c),+-#�).&9 �/"�K$�48��$329#^ÁsD]ÂfJX$�29BC�sD]034��.����Â5296E$�4��#% �Bc7��.�t+<�_Y<�.��$�29),��6t+<� ,OJo0X��).�<#;/"�.$S�.��Bs29#"�32(�_�k��+!+<$S��/�$S���.��296XBC+-#"+<$S+-#�2h)329#���:-2(Y<��#�/�2(����),$�2(+-#�� U

��� � � ����� ��� ���]���.�=���S���<�A���^�u����� ,��m���T�^�d���]�S��¡��u�G��� �� �E�<�p� ¡b���´�i��¡.�G�i���]�PÁsD]ÂfJ\�u���s��� �.,�h��� ���T�-�e�����G¡��q�]�]�d��� �A�"��¡W���e� �� �

ºM "R�R�+-6S�O#"�,rM$�$�4���$�$�4"�O��+%+<$�+<�f$�4"�O$S���.��296�#"+C&(+-#":<�.�E6SR���).2 �8��/_Uol34"��#Z!$S+ /"�.$S�.��B 29#���2(� , 2h6BC+-#"+<$S+-#�29)�29#s/82(����),$�2(+-# �� Z%0X��B\ �6S$t�8��6S$j�T#�/ �k��+%+<$.Uj�X' ����B B �cF!Z!$�4"����+%+<$XBc 86S$t7��m$�4"��+-#�&('R���+<R��.�m&(+M).�<&_B 29#�2hBc �Ba032($�4d����6SR���),$E$S+s/�2(����),$�2(+-# �� �<#8/?#"+ +<$�4"�.�mY<�.��$S�,rg296E� &(+M).�<&_B 29#829Bc 8B?U

lm4"�.���.�]+<���<Z!$�4"�.����Bc �6�$j�,rM2h6S$t�,r"�<),$�&('C+-#"��Y<�.��$S�,r � +<�", 6� �)�4s$�4���$ �� 296[),+-#i$��<29#���/�29#-&��*D � JZ"034�29)b4�7���),+-BC��6�$�4�����+%+<$.Ut~�&9&p+<$�4"�.�EY<�.��$�2h),��6 � +<� , B\ �6S$E4��WY<�K$�4"�KR���+<R��.��$¾' $�4���$ �� 2h6X#�+<$m29#$�4"��).&(+-6� "���m+<� &��PD �"JbUj~3:-�<2h#s$�4�2h6j).�<#s7��3/��.$S�.��B 29#"��/s29# &929#������j$�29BC�<Uqlm4"�.���.��+<���<Z!0X��),+-#�).&9 8/"�032($�4�$�4"���]+-&9&(+H0329#":"U

��� � � ����� � � ���]���.�«���©�!�8�N���-�A�����u����� , �O���T�*�*���]�S��¡��u�G��� � �K���p��¡b���«�i��¡��u�i�����5Á D]ÂfJs�u���s��o�M�,�����?���3�]�M�����M� ���,�O� �m�<�,�,�u�u¡ � ��� � , �f� �3�]�M�,����� �<��� �]���c�N�W�<� � � � ,¢� ��¡,� �]�!�<��,±�h�m� ���p�<�e�����G¡�q�]�]�d��� �A�"��¡W�X�e� �� �

~�6�7��.��+<���<Z�0[�c �6S��$�4"�c). "7���� �¼�]+<�m���.R�����6���#i$�29#�:s/�2(����),$�29+-#�6�+<�qR���+zLS��),$�2(+-#U�3+H0�Zp6� "R�R�+-6S�$�4���$K$�4"�C��+!+<$ � +<� ,Q296K6SR���).2 �T��/g78 �$�$�4�� /�2(����),$�2(+-#*296K#�+<$.U\¦"+<� ,¼$S+?7���B +-#"+<$S+-#�29)C29#*6S+-B �/�2(����),$�2(+-# �� Zo0X��6S�.��$�4���$ �� B\ �6S$k7��s2h#�&��*D � JO78 �$�+- "$�6�29/��-&��*D �MJ��]+<�c�<&9&tY<�.��$�29),��6��P+<� ,cUlm4�296cR���+<78&9��B 296\29#=�]�<),$C�<6C/�2 À;). �&($k�<6\$�4"��:<��#"�.���<&XR���+<78&(��B 0�4"�.���;:-2(Y<��#©�<#´ 8#"��+!+<$S��/=$S���.�,kZf+-#��s#"�.��/�6k$S+d�T#�/��<&h&qR�+-6�6�2(78&9�\��+%+<$�6c�<#�/1/�29����),$�2(+-#�6K�]+<�k0�4�29)�42,¹296�BC+-#�+<$S+-#�29)�U�~�6\6� �)b40[��0�29&9&pR�����6S��#%$E$�4"�k6�+-&9 "$�2(+-#�$S+ $�4���:<��#"�.���<&R8��+<78&(��B¹7���&(+H0�Ujlm4"��29#%$S�.��6S��),$�29+-#?+<� &��*D �MJ��<#8/� � ���.R�����6S��#%$�6O$�4"�C6S�.$K+<�[/82(����),$�2(+-#�6��]+<�K034�29)b4 �^296O��R���+<R��.��&9+!).�<&qB 2h#�29B\ �B?U�ºM29#�),�1&��*D �MJ2963$�4��c29#%$S�.��6S��),$�2(+-#P+<�j�;6S�.$�+<�t4��<&(��@A6SR8�<),��6.Zp$�4"��29#%$S�.��6S��),$�2(+-#^+<� &��*D �MJ30329$�4g���]�<),�.$��a+<��� �2963��29$�4"�.����B R�$A'<Z�$�4"�\�]�<),�.$K2($�6���&(�¾ZT+<�K��),+-#%Y<�,r^R�+-&('!:<+-#U�¦�+<�����<)b4*�]�<),�.$�� ' +<����� D 5 ��* � Å-J�<#�/����<)�4=Y<�.��$S�,r �"!C+<� ,\D 5 ��� �±ÂfJbZf0[�s),+-B R8 "$S� $�4"��29#i$S�.�b6S��),$�2(+-#��pD * ! �%J &��PD �"!zJ � � ' U�O#1���<)b4´�]�<),�.$�� ' Zq#"+<$�29),��$�4���$\$�4"��6S�.$�� ' �pD * ! �%J � 5 �� �a �;296c6�29BCRT&('P�^),+-&9&(��),$�2(+-#=+<�),+-#iY<�,r;Rp+-&9'%:<+-#�6�U�lm48296j),+-&9&(��),$�29+-# +<�R�+-&('!:<+-#�6j4��<6t$�4"�3�]+-&9&(+H0329#":KR���+<Rp�.��$A'<Uq­®���kR�+-29#i$ �#�� ' 2h6),+-#i$��<29#���/g29#�$�4"��2h#i$S�.��29+<�E+<�.��R�+-&('!:<+-#�6�+<��$�4"�k6S�.$�� ' Z�$�4"��#d$�4"�.���������)�;Y<�.��$�29),��6m+<� , $�4���$3�����&(+!).�<&pB 29#829B �O032($�4s����6SR���),$t$S+\$�4"��/�2(����),$�2(+-# �Á �?�<#�/����<)�4;+<�$�4"��Y<�.��$�29),��6X$�4���$������3R���+<Rp�.�X&(+M).�<&B 29#�29Bs��2h6j29/"��#%$�2 �8��/�7!'�$�4"�mR�+-&('!:<+-#C034�29)b4C),+-#i$��<2h#�6 �Á��_Uqlm4���$t296�Zi2(� �;296q),+-#%$��<29#"��/;29#�R�+-&('!:<+-#�TD * ! F-J�$�4���#*Y<�.��$S�,r � 296O��R���+<R��.�O&(+M).�<&qB 29#�29B\ �B 032($�4P����6SR���),$O$S+d/�2(����),$�29+-# �Á��_Uclm4��.���.��+<���<Z$S+;/"�.$S�.�bB 29#"�k29��$�4��.���c�������<#%'d/�2(����),$�2(+-#86m032($�4d����6SR���),$3$S+;034�29)b4 ,±2963BC+-#�+<$S+-#�29)�Zp0[�\0X�<#%$�$S+/"�.$S�.��B 29#���2(�f$�4��.���k�����k�<#%'����.:-2(+-#�6329#?���<)�4^�u�<),�.$ � ' D 5 � *�� Å-J�$�4���$3�����k),+WY<�.����/^7!';+-#8&('�+-#��Rp+-&9'%:<+-#*+<�X$�4"� 6S�.$�� ' D 5 ��* �¼Å-JbUC­N#*�]�<),$.Zf0[�C0��<#i$k$S+?�T#�/*�<&9&o���.:-29+-#�6O$�4���$k����� ),+HY<�.����/57!'+-#�&(' +-#"�OR�+-&('!:<+-#Uqlm4�296X6S�.$�+<�����.:-2(+-#�6X���.R�����6���#i$�6�$�4"�O6S�.$E+<���<&h&T$�4��O/82(����),$�2(+-#�6X�<#�/;��+!+<$�6�����+-B034�29)b4/, 296mBC+-#�+<$S+-#�29)�U

�_�.$ � ' ���.R�����6���#i$c$�4"�;6� "7/�2(YM296�2(+-#*29#�/8 �),��/5+-#´�u�<),�.$�� ' 7!'5$�4"��6S�.$\+<�mR�+-&('%:<+-#86�� ' UPlm482966� "7/�2(YM296�2(+-#?).�<#*7���),+-BCR8 "$S��/*/"�.$S�.�bB 29#�296�$�29).�<&9&('?29#�Á D]Â�&(+<:tÂ0� ��Jm$�2hBC�c0�4"�.�����g2h6�$�4��c$S+<$��<&

5 �

Page 18: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

#% �Bc7��.�q+<�29#i$S�.�b6S��),$�2(+-#CR�+-29#%$�6q+<���<&9&"R�+-&('!:<+-#�6q29# � ' Uol34"�m),+-BCR8&(�,r"2($¾'\+<� � ' 2h6tÁ D]Â��WJbUt¿X+-#�6�2h/"�.�$�4"�K:<����R840 ' ��+<�E�.Y<�.��';),��&9&p+<� � ' Z��<#�/��<#���/":<�K7��.$A0X�.��#?$¾0[+ #"+M/"��6E2(��$�4"�K),+<������6SR�+-#�/�2h#":c),��&9&h6�����s29#�).2h/"��#i$O$S+d$�4�� 6��<BC�C��/":<� +<� � ' U l34"�C:<����R84' ' 296O�M#"+H03#5�<6K$�4"�sR8&9�<#�����/� 8�<&f:<�b��R84�+<�� ' Du6S�.�?v ��½ ��Å<yf�]+<��BC+<���c29#"�]+<��B ��$�29+-#?+-#^/8 ��<&96E+<�qR8&h�<#����3:<����RT4�6bJbUElm4"�c:<����R842 ' 4��<6OÁsD] � J#"+!/���6t�<#�/C��/�:<��6.U[º!$�����$t��$X�<#i' #�+!/"� � �t+<�+ ' �<#�/s),+-BCR8 "$S��29#�Á D]ÂfJo$�29BC�34"+H0 B �<#%'�R�+-&('%:<+-#86+<� � ' ),+WY<�.�\2($.U�º!$S+<���C$�4�296O#% 8Bk7��.�K032($�4 � �.UCº!$�����$K����+-B � �K032($�4*�?/"�.R�$�4P�T��6S$O6S������)�4_U��tY<�.��'��/":<�^D � � !�� �KJ�0X�C$S����Y<�.��6��s),+<������6SR�+-#�/86O$S+d:<+-29#":d29#86�29/"�c+<��+- "$�6�29/����dRp+-&9'%:<+-#P+<� � ' Zf29#*034�29)b4).�<6S�C0[�\$����<�C$�4"��#% 8Bk7��.��+<� � � �<#�/*�</�/P+<�K6� "78$S���<),$�+-#��c�]��+-B²2($O�<#�/^�<6�6�2(:-#P$�4�296�#% 8Bk7��.��$S+� �cU[lm4! �6E$�4"�k034"+-&(��R8��+!),��6�6E+<�q�<6�6�2(:-#�2h#":CYz�<&h "��6E$S+�#�+!/"��6m+<� ' ).�<#d7���/"+-#"�k2h#^Á D] � JX$�29B �<U�_�.$ & ' ���.R�����6���#i$�$�4"�K6S�.$�+<�f#�+!/"��6X0329$�4s$�4"�KB 2h#�29B\ �BQ#! �Bc7p�.���<6�6�29:-#"��/;$S+�29$.Uq­¾�_$�48296�#% �Bc7��.�296�+-#"�<Z"$�4"��#;���<)�4g+<��$�4"�K),��&9&h6����.R�����6S��#%$S��/�7!'��C#"+M/"�O29#�& ' ���.R�����6S��#%$�6m��6S�.$E+<��/�2(����),$�2(+-#86X�<#8/� ��+!+<$3�]��+-B�0�4�29)�4 ,¢296mB +-#"+<$S+-#�29)�UElm4"�k��+%+<$3+<� ,¢296m6�Rp��).2(�8��/?7!';$�4��kY<�.��$S�,rd:<��#"�.�b��$�29#":s$�4��),+-#iY<�,rdR�+-&('!:<+-#d),+WY<�.�b29#": $�4"�c),��&9&GU

��� � � ����� � ���b�nÁ D] � JP�u���s� � �[��¡����¢�i�.�A�.�b���]�p�1�<���O��������¡W�u�u�<�"�1���T�©�S���<�]�*�q�]�]� �S�,�e�"��¡�� �e��o�i�u¡.� , ����� ���T�<�e�<���u¡��

¿X+-#�6�2h/"�.�3#"+H0 $�4"�kR���+<78&(��B�+<�j/"�.$S�.��B 29#829#":�$�4"�cB +-#"+<$S+-#�29).2($¾'?+<�q�s6�29B R8&(�KR�+-&('!:<+-#d29# ') �U���;7��.:-29#5032($�41�^�]�.0 /"�,�p#�2($�2(+-#�6�U�~ª6�29BCR8&(�CR�+-&('!:<+-#12h# ' 296k�^:<�.+-BC�.$S��2h)s:<����RT41$�4���$�296c�),'!).&(�<Uj~ 6�29BCR8&(�3Rp+-&9'%:<+-#�· 296[BC+-#"+<$S+-#�2h)329#�/�2(����),$�2(+-# �� R���+WYM29/"��/ $�4"�.�����,rM296�$j$A0X+�Y<�.��$�29),��6�� ! �+<��· 6� �)b4 $�4���$j7�+<$�4CRT��$�4�6q�]��+-B��;$S+ �������3BC+-#"+<$S+-#829)m29# /82(����),$�2(+-# �� Uqlm4"�m)�48�����<),$S�.��2(>���$�2(+-#�+<�BC+-#"+<$S+-#�29).29$A';+<��6�2hBCR8&(��Rp+-&9'%:<+-#�6�29#�') O296�6�29B 29&h���[$S+C$�4���$E+<��$S���.��6m�<#8/�$�4"�.���.�]+<���K$�4"��6S+-&9 �$�2(+-#��+<�m$S���.��63296m��R8R8&929).��78&9��29#�$�48296E).�<6S�<U[l34"�.���.�]+<���<Z�0X��),+-#�).&9 �/"�K0�2($�4�$�4"���]+-&9&(+H0329#":"U

� �"� ���)� ��� � ���]���.� �P� �����T�9�C�M�����.�%���©· �]� ' ���p�=�=��������¡W�u�u�<� �� ���©Á D]ÂfJ��u�]�s�?�u��¡���� ����i�.�A�.�b���]�p���;� �3·¶�h��� ���T�-�e�����G¡��q�]�]�d��� �A�"��¡W���e� �� �� �"� ���)� ��� � ���]���.� �P�b�]���T�9�c�M�������i���©· �]� ' �K�]�´Á D]Â���J;�u�]� � �K�[�d¡��<� �i�.�A�.�b���]�p�^�������]�M���������¡W�u�u�<�"�c�q�u�]�?�S�,�e�"��¡����e�;�o�i�G¡,� · �h�K� ���T�<�e�<���u¡�� � ����������$������

�O "�m����6� �&($�6E+-#g���.:- �&9���3�<#8/dB 29#�2hBc �BC@A),��+-6�6�29#�:cR���+zLN��),$�2(+-#86m+<�q&929#"�K6S�.:-B ��#i$�6�4���Y<�\29B BC��/829��$S�),+<��+-&9&9����29��6m�]+<�3R�+-&('!:<+-#��<&�)b4��<29#�6.Z8Rp+-&9'%:<+-#�6�Z�$S���.��6O�<#�/gB +<���k:<��#"�.�b�<&_:<�.+-BC�.$S��2h)k:<����RT4�6329#^FH@AI6�29#�),�\$�4"��6S�C�����C�<&9&o6SR���).29�<&�).�<6S��6K+<�t6��.$�6O+<�[&929#��c6S�.:-BC��#%$�6.UC�O "������6� �&($�6��<&96S+?4��WY<� ��R�R8&92h).��$�2(+-#$S+?:<����R84*/"���W0329#":;��+<�O�M#"+<$N@e$�4"�.+<��2h6S$�6.U ���.$�� 7��\�;�M#"+<$O032($�4P´Y<�.��$�29),��6.U\l�+?6S$� �/�'d$�4"���!#�+<$),+-Bk782h#���$S+<��29�<&�R���+<R��.��$�29��6.Z8�M#"+<$O$�4"�.+<��296�$�63+<7�$��<2h#P�;R8&h�<#�����:<�b��R84 ).�<&h&(��/g$�4���/829��:<���<B¶+<���7%' �c���.:- �&9���[R���+zLS��),$�2(+-#�+<���=Uq½P�<#i's+<�$�4"��2(���<&(:<+<��2($�4�Bs6j�����O��R�R8&92(��/ $S+ �<#�/�$�4"�.���.�]+<���3$�4"��29�$�29BC�C),+-BCR8&(�,r"2($¾'^/"�.R���#�/�6�+-#*$�4"�C6SR8�<),� ),+-B R8&(�,r"2($A'^+<� �Uc�['*),+-Bc7829#�29#�:s+- "���<&(:<+<�b2($�4�B 6�0X�).�<#d+<7�$��<29#����.:- �&9���ER���+zLS��),$�2(+-#�6m032($�4;$�4"��B 29#829Bc 8B #! �Bc7��.�X+<�o),��+-6�6�29#":-6.Z"$�4"�.���.7%'�B 29#�2hB 2(>�29#":$�4"��$�29BC��),+-B R8&(�,r"2($A';+<�o$�4"��2(�m�<&(:<+<��29$�4�B 6.U

5 »

Page 19: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

� �¼���k����� ���j�� � �t�O� $

lm4"���< �$�4"+<��6X$�4��<#"��ºM 8#"�.�.$��cÄ��<B �<6S0��<B 2GZM¦��</"';V���7��b�MZ%­®Yz�<#;���<&9��78�<#Z"�X�.��#����b/�¿�48��>.��&9&(���<#8/½^2(�<��{�+%+M/"��2h)�4*�]+<�k),+<������6SR�+-#�/���#�),�<U������<&96S+?$�48�<#"�P¦��.�����<#5V� "��$��</"+?�]+<�k �6��.�] �&q/8296�). �6�6�2(+-#�6.U���g$�4��<#"�¥IO��YM29/ ½^�<).I�+-#��<&9/ �<#�/µÄ�29)��©V�+<:<�^+<�O$�4"�g½^+-#%$S�����<&���� "��+-&(+<:-2h).�<&m­N#�6S$�2($� "$S�d�<#8/½^)W{O2h&9&���#82(Y<�.��6�2($¾'d�]+<��R���+HY!29/829#":�/8��$��?�<#�/�29B ��:<��6.U�lm4"�C6S��),+-#8/5�< "$�4"+<�K$�4��<#��!6 ��+-&9����+<��4��.�6� "R�R�+<��$.U

���� �j���t���*��$

v ~3{OÄ�x<}Hy kU|½=U�~�B ��$S+"Zf½=U|lKUf{�+!+M/"��29)b4Z_�<#�/��mU|~cU_Ä3�<B +-6.Us¿X+-BCR8 "$�2h#":��u�<),��6k2h#P6��.:-BC��#i$�<#�/\6�29BCR8&9�,rO�����b�<#":<��BC��#%$�6�E�N��¡�� � ���3�"�z�b�]�M�Q�����]�M�����M���<� �k� ���q�����T�"�u�]�%�<Z 5 x<x<}!U

v ~�� »<»Hy I\Uf~�Y!296�Z��<#�/5ÄkU_����#":<�.��U;¨f+-&9'!4"��/����<&j&929#��\$S�b�<#�6SY<�.��6��<&h6�29#�6SR8�<),�<U��k�h�.¡.���.�A�;���T��q�����T�"�e�<�u�G���T�����3���<� ���u� ��Z�F � `<}��W@¾`<Å<}!Z 5 x<»<»!U

v �X�<&�x<}Hy ­bU[�X�<&h��78�<#U ~�#¥+<R�$�2hB �<&m�<&(:<+<��29$�4�B¬�]+<� �T#�/829#":*6S�.:-BC��#%$�6�29#%$S�.��6S��),$�29+-#�6.U�E�N��¡�����9�,�<�,�8�]� ����8�"�<� ������ ���3���j�����q�����T�"�e�<�u�G���T�����3���<� ���u� ��Z` 5*5 @¾` 5 x!Z 5 x<x<}!U

v �XIO�Xx<ÅHy {\U?���������% ��.$.Z1½1U?IO29)��<�.��6S+-# �<#�/ I\U��tR�R86S$S��2h#U �O# l��b29�<#":- �&9��$�2h#":Qlm4"���.�,@IO29BC��#�6�29+-#��<&"¨�+-&('%:<+-#86.U�E�N��¡������i�]� O��������� ������ �����M�z�����q����� � �3����� �hZMF<»! i� �%Z5 x<x<Å!U

v �E{Kwkx<}Hy lKUq�� "��:<�.��Zt¨�U[{��b2($S>�B �<#Zj�<#�/ �\Uqw�&(�.�<U1¨�+-&('!$S+<R���R���+zLS��),$�2(+-#�6.U"�$#&%k�('*)��+�-, ����¾�p� ���1�<�]�M�.�C�-�u�u¡.� ����� �G�.�/.f�8���<�,�b�b�u���zZ 5 x<x<}!U

v �X½ ��ÅHy �"U|~cU<�[+-#8/"'k�<#�/0�kU º�U|Ä�U<½^ ���$A'<U ���S�b�8�1���M���<� �����T� X�-�p� �G¡��<�u�G���"��� �+<��$�4M@AV�+-&9&9�<#8/Z3�.032j+<���pZ 5 x���Å!U

v �E� ��xHy �"U �tU��X��#%$�&(�.'<Zj�<#�/´lKU|~kUj��$S$�B �<#_Ug~�&9:<+<��2($�4�B 6k��+<�����.R�+<��$�2h#":g�<#�/=),+- �#i$�2h#":^:<�.+�@BC�.$S��29)k29#i$S�.�b6S��),$�2(+-#�6.U�� � � �4�"�S���"���5�q�����T�"� �hZp» � F�§<§z@¾F�§ �%Z 5 x���x!U

v �[+<� Å<xHy �kUp�X+<��6� "�pU5�*�M���u�G���]�s�,�"� �u���p����O�T�������u�G¡��3�����s�.�u� � ��¨�+-&9296�4^ºM).2(��#%$�2 �T)K¨[ "78&9296�4"�.��6.Z5 x<Å<x!U

v �XÄ�xz��y ¨�Up��4���$S$��<)b4�����'-�MZ_�<#�/P~kUpÄm+-6S��#�����&9/_Um¨f+-&9'%:<+-#�6�29#g$�4"���.�c/829BC��#�6�29+-#�6.U76M���M� �T���q� ��_���b�����8�q�����\�M���G¡��-�u�u���´���T� �b� ���%��#m�®�T��� �.�.�8�e�<�u�G����Z_}"DG`-J � 5 F<xH@ 5 � �%Z 5 x<xz�"U

v|¿��[x<`Hy ��Uf¿�4���>.��&9&(�<Z�<#�/*VcU�t/"��&96�7��� �#�#��.��U�~�#P+<R�$�29B �<&o�<&(:<+<��29$�4�B ��+<�K29#%$S�.��6S��),$�29#�:�&h29#"�6S�.:-BC��#%$�6�2h#�$�4"�KR8&9�<#"�<U96 � �����Z8F<x � 5 @¾}z�"Z 5 x<x<`!U

v|¿ ��»<xHy wCUo¿E4�29�<#":"ZjºpU ��<4�����Zq�<#�/©¿�U ��+"Uglm29B �,@e�,À�).2(��#%$ � ��º!­K����$¾0[+<���=�<#��<&('M6�296��<&(:<+�@��2($�4�Bs6E29#g{�+-�<&92(�W`!U � � � �:���N�<�"� �;�q�����T�"�A�,� � ��G�i���<�\�,�b�(�<��Z8F<x � Åz�-§z@¾Åz� �%Z 5 x<»<x!U

v|¿X+-&hx�§zy ¿�U�¿X+-&929#U�~� "$�4"+-B ��$�29)�),+-BCR8 "$���$�29+-#�+<�_�\6�),��#"�>=|6[:<+!+!/�Y!29�.036.U?� ��� 7�A@ '*BzZ 5 x<x�§MUv I����[lml3xz��yC{�UpIO2��X��$S$�2h6S$��MZ_¨�UT�t�</���6.ZÄ�UTl��<B �<6�6�29�MZp�<#8/g­ U {\U�l�+-&9&h296.Um~�&(:<+<��2($�4�Bs6m�]+<��:<����RT4

/"���W0329#": ���<#¥�<#�#"+<$���$S��/µ782(78&929+<:<����R84%'<U3�q�����T�"�e�<�u�u�<�T�����3�����s�.�u� �DC����M����� �=���T�X�i�T� �G¡��-�u�u�����bZp� � `<F<}H@¾`<»<`!Z 5 x<xz�"U

5 x

Page 20: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

v ¦fYMIO¦oV�x�§zy �"U|I\UM¦"+-&(�.'<Z!Yz�<#;IO�<B?Z"º�U|wCUi¦"��29#��.��Z!�<#8/��"U|¦XU!V� ":-4���6.U �q�����T�"�A�,� ���N� �8�i�G¡,� C E�b�]���¡.� �T�9� �c���T�<E�N�i¡��u�G¡b���X~�/�/�296�+-#M@e����6�&(�.'<Z 5 x<x�§MU

v|{O�<&hx<}Hy Ä�U ºpU_{O�<&9&h��:-4"�.��Zp��/�2($S+<��U �q�<�3�p�M�A�.���_���b�������(�W�<�u�G��� C ���S�b�8�i�G¡,� �T��¡,�i�8� �����,� �.��� ������<�]�p���.�b�]�%�?���p� �p¡.�e�,�8�u� � ¡ ��T�<� �z�b��� �t­N�t�t�n¿X+-BCR8 �$S�.�36S+M).2(�.$A'?¨j����6�6.Z 5 x<x<}!U

v|{ �i»<FHy ½1U|ÄkUo{O�����.'<Zo�<#8/1I\U ºpU �i4"+-#�6S+-#U?¿X��+-6�6�29#":d#! �Bk7��.�k2h6�^·K@A),+-BCR8&(�.$S�<U � � 7� 6���� �����k�h�.¡.���.�A���=�.�]�!�����bZ8� � F 5 `H@¾F 5 Å!Z 5 x<»<F!Uv|{Ol3x<}Hy ~kUf{K����:"Zf�<#�/�ÄkU_lf�<Bs�<6�6�29�MU �O#P$�4"� ),+-BCR8 �$���$�2(+-#��<&q),+-BCR8&9�,rM2($¾'^+<�X "R!0X����/��<#8/

����),$�29&92h#"�����ER8&9�<#����b2($A' $S��6�$�29#":"U���S��¡������N�b�T� �k�N���q�]�%� @ ' , ���f��¡��u�M����%k�-�A� �K��� �q������T�"�A�,� �p¡.�e�,�T¡ �,Z8»<xz� � `<»<ÅH@¾`<x��%Z 5 x<x<}!U

v V�x<`Hy �"U8V�������2h6.U �� �!� �.�N���G¡ �3���<� ���u� �*º!R���29#�:<�.�S@ �q�.��&9��:"Z 5 x<x<`!Uv VO¿��K»<FHy V�2h&(7��.��Z��<#�/ ¿�+-4�#M@ �q+-6�6S��#_U �3�����s�.�u� � ���T� �b� ���<�]�T�<�u�G��� �²¿�4"��&96����´¨[ "78&92h6�4�29#":

¿X+-BCR8�<#%'<Z 5 x<»<F!Uv V�½Plml3xz��y lKU-V�2(����$��MZ ��U-½^��$S+- �6��.�TZ��cU @AVcUil��<#Zi�<#�/ClKU-lf+<�M "'-�<B �MU�¿�+-BCR8&(�,r"2($A'c+<�TR8��+zLN��),$S��/

29B ��:<��63+<�o),+-#%Y<�,rd6� "7/�2(YM296�29+-#�6.U;�q�����T�"�e�<�u�G���T�<���3�����s�.�u� ��Z8� � `<x<FH@¾F�§-»!Z 5 x<xz�"Uv wK��&hx<FHy ½1U|½=U-wK��&9&9�.��Z<�<#�/�¨fU|ÄkU<wK��&9&(�.��U ���h� �"�<�$���8�,� C�E�N�i¡��u�G¡���� �\�<�e�2���h� �"�<� �9���<�u�G��� �8­N�t�t�

¿X+-BCR8 �$S�.��º!+M).2(�.$A'?¨j����6�6.Z 5 x<x<F!Uv w�wk»<»Hy lKUMw��<B �</��MZ"�<#�/?ºpU%wk��0��<2GUf~ 6�2hBCR8&(�3B �.$�4"+!/��]+<�X),+-BCRT "$�29#":c:<��#"�.���<&pR�+-6�2($�2(+-#�29#

/�296SRT&9��'M29#":?$�4"���.�,@A/�29BC��#�6�2(+-#��<&o+<7MLS��),$�6.U �q�����T�"�A�.� ���h� �u�<������S�b�8�%�u¡.�?���p� �b� ���%���S��¡b�,��� ���%�-Z8� 5 � �iFH@¾}<Å!Z 5 x<»<»!U

v ��2(Y"x<FHy ��2(YM29#":-6�$S+-#U��c�T�<�7���M����� � � �q+-&GUM��+<�7���M� �q��� �%�5�5�-�]�M�,� �<�u�G¡������5���T���<�S�b�8�-���Tl34"�½^��$�4���B ��$�29).�<&�~�6�6�+!).29��$�29+-#?+<��~�BC�.��2h).�MZ 5 x<x<F!U

v ½g�.:i»<FHy kUE½^�.:-29/�/"+"U �f29#"�����S@e$�29B �P�<&(:<+<�b2($�4�B 6���+<�?&92h#"������R8��+<:<���<B B 2h#":=29#"� U4� � ;�6M�<�!� �T���o� � �q�����T�"�u�]�%�<Z 5 ` � ��}<xH@ � ��Å!Z 5 x<»<F!U

v ½*º"»<}Hy ½1U<½P).wK��#�#��MZ<�<#�/\Ä�U-º!��29/���&GUi¦o29#�/�2h#":m$�4"�[+<R�$�29B �<&!6�4��</"+H036f+<�8��),+-#%Y<�,rcR�+-&('!$S+<R��<U��S��¡ � ������ ���3�"�z�b�]�M� �<� �q�<�3�p�M�e�-�u�u���p�����3�����s�.�u� ��Zp`z��@¾`<»!Z 5 x<»<}!U

v �¨X»<`Hy �"U �2(�.Y<�.��:<��&($.Zf�<#�/*¦[U_¨t���.R8������$��MU�¨t&h�<#"�,@A6S0X�.�.R5�<&(:<+<��2($�4�Bs6��]+<��29#%$S�.��6S��),$�29#�:;:<�.+�@BC�.$S��29)K�8:- "����6.U �q�������M���G¡��<�u�G���"�C� � �����Z8`<} � ��F<xH@ �H� �%Z 5 x<»<`!U

v ¨Xº"»<}Hy ¦XU[¨j���.R8������$��1�<#8/µ½=U ­bUEºM4��<BC+-6.U �q�����T�"�e�<�u�G���T����3���<� ���u� ��U º!R8��29#":<�.�S@ �q�.�b&9��:"Z5 x<»<}

v ¨tl3x<`Hy ¦XUt¨j���.RT������$��MZX�<#8/«Ä�Ujl��<B �<6�6�2h�MU©�jÀ�).2(��#%$CR�+-29#i$C&(+M).��$�2(+-#«2h#´�1),+-#iY<�,r«6SR8��$�2h�<&),��&9& @A),+-BCRT&(�,rpU�� � ;� 6"���M�b�T�<��� � �q�<�3�p�M�u�]�%�-ZT` 5 � `<Å��W@¾`<»�§MZ 5 x<x<`!U

v Äm��2hF<`Hy Ä�U8Ä3��29/"��BC��2h6S$S�.��U��c�T�<�A�.�8�]�M�����b�e�,UX�j��:<�.7T#�296�6S�K/"�.��½^��$�4"��Bs��$�29)�U�º!R8��29#":<�.�S@ �q�.�b&9��:"Z5 x<F<`!U �tU|¦XU-�[+<��+-#Z!¿�U �\Ui¿�4���296S$S��#�6�+-#\�<#8/\��U|~cU!ºMB 29$�4�Du�[#":-&9296�4k$S���<#86�&9��$�2(+-#TJ��c�T�-����M���<� ��Z��Eº8¿n~�6�6S+!).2h��$S��6.Z8½^+-6�),+W0�ZT­®/8�<4"+"Z 5 x<»<F!U

`�§

Page 21: 4H4 CE:=7]< - McGill Universitycgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/regular.pdf · /1032545687 9;:=< >?25456 @ AB0DCE7BF8:G45FH2&IKJ 2MLN6PO Q / 6PRE032-STCELN254U I2

v|ºM�mº"x<`Hy I\Upº!+- "Y��<29#"�<Z��<#�/ ��LS+<��&929#�:�@®ºM�<)�4�6�Uol34"��),+-#i$S+- ��3R���+<7T&(��B ��+<�m����6S$S��29),$S��/M@e+<�b2(��#i$S��/R�+-&('%:<+-#86.U���S��¡ �t� �k�]�M� � � � ��Z8»�§�� 5 �<�ixH@ 5 � �z§MZ 5 x<x<`!U

v|º�º��Kxz��y ¦XU�ºM4��<48����+<�!482GZ �tU�º!>.�.�<��&('<Zm�<#8/«2GU �q��$ = +"U ¿X��+-6�6�29#":�#! �Bc7p�.�b6C+<�K:<����R84�6�ZX&(+H0[�.�7�+- �#�/�63$S��)�4�#�2h�% "��6O�<#�/P�<&(:<+<��29$�4�B 6��m�;6� "��Y<�.'<U �f��¡��u�M����%c�<�A�,�c�]� �q�����T�"�A�,�0�p¡�����,�T¡ �,ZT»<xz� � 5 F 5 @ 5 �i`!Z 5 x<xz�"U

v|º!$S�b»<`Hy {\U\º!$S�b�<#":"U lm4��´0�29/"$�4¢+<��� )b4��<2(��U ���M� O� �.�b�G¡��<�Q� �<�]�M�.�C�-�u�u¡b���0�5�<�8�]�i���zZ»<x"DG»-J � }<`<xH@¾}<Fz�"Z 5 x<»<`!U

v|º ��{Kxz��y 2\UoºM �#��<#�/�­ U ��2h ��<#�/ �"U|w Uf{����</"'<UsÄ3��),+-#�6S$S�� 8),$�2(+-#�+<�mF�I¹$S���.�,@A&92(�<��6S$S�� �),$� "����6����+-B $�4"���.�^Bc "$� 8�<&9&('´+<��$�4"+<:<+-#��<&3R���+zLS��),$�2(+-#�6.U � � � � ���N�<�"� �7m�<� � ��p� � �5�-¡.� ��b�8�A�,�]� �9Z 5 Å ��`z� 5 @¾`z�i»!Z 5 x<xz�"U

v l�+- 8»<}Hy {\Ujlf+- �6�6��<29#%$.U �1���z� �,�9�;�.�®�M���S���,�]���]���¥� �;�.���]�bUt¿X+-BCR8 �$���$�2(+-#��<&m{��.+-BC�.$S��' 3+<��$�4V3+-&h&9�<#�/Z 5 x<»<}!U

` 5