48306996 mecanismo yugo escoces

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Prctica de mquinas

Amalia Luque Sendra

ndice

Introduccin __________________________________________________________2 Anlisis Cinemtico ____________________________________________________3 Anlisis dinmico ______________________________________________________6 Anexos _____________________________________________________________11

Clculo de s, Clculo de h,

s,

s y sus grficas _________________________________________ 11

h,

h y sus grficas _________________________________________ 12

Clculo del momento motriz y su grfica _____________________________________ 14 Clculo del trabajo realizado por el momento motriz y su grfica__________________ 15 Clculo de la energa cintica y su grfica ____________________________________ 16 Clculo de la energa potencial y su grfica ___________________________________ 17 Clculo del trabajo resistivo y su grfica _____________________________________ 18

Clculo del momento motriz y el trabajo por l realizado, en presencia de friccin con sus grficas ___________________________________________________________________ 19 Clculos para la comprobacin ____________________________________________ 21

Movimiento del mecanismo _____________________________________________23 Comprobacin _______________________________________________________25

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Prctica de mquinas

Amalia Luque Sendra

IntroduccinEl yugo escocs realiza bsicamente la misma funcin que una manivela simple, pero el movimiento de salida lineal es una sinusoide pura. Segn la definicin del Mechanical Engineering, se entiende por yugo escocs an apparatus with a four-bar linkage arrangement that converts rotary motion into simple harmonic motion (un aparato con un mecanismo de cuatro barras que convierte un movimiento rotatorio en un movimiento armnico simple). Vamos a analizar el movimiento de este mecanismo desde el punto de vista cinemtico y dinmico, durante una vuelta completa de la barra de entrada. Al dar dicha barra una vuelta completa, el movimiento lineal armnico de salida cubre un periodo completo 1. Podemos ver varias posiciones diferentes del mecanismo en el anexo. Observamos tambin, y as se puede constatar mediante los clculos que siguen, que las velocidades del pasador y la del seguidor son las proyecciones de la velocidad del disco segn las direcciones de los ejes coordenados. Todos los programas que se han usado para generar las funciones y las grficas se adjuntan en un disquete, en formato Mathematica.

1

Se puede ver la animacin de dicho movimiento en el disquete que adjunto, bajo el nombre de animacin.nb (archivo de Mathematica).

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Prctica de mquinas

Amalia Luque Sendra

Anlisis CinemticoEl yugo escocs est compuesto de varias piezas, que nosotros vamos a nombrar como sigue: Pieza 1: Barra fija Pieza 2: Barra de entrada Pieza 3: Pasador vertical Pieza 4: Seguidor

En el mecanismo se supone que la barra de entrada evoluciona con velocidad constante durante el recorrido considerado, por tanto = 0 + t ; siendo la velocidad angular, constante, y y 0 los valores iniciales y finales del ngulo que indica la posicin de la barra de entrada. Calculamos la posicin, velocidad, y aceleracin de la barra de salida en funcin del tiempo, para una vuelta completa. Para ello tomo como valor numrico para el ltimo dgito de mi DNI. Como mi DNI es 28811584, = 4 rad s . 32

Para todos los clculos se toma como origen de coordenadas el punto O.M o

r h 4 K

j

s

Por la geometra del problema deducimos que r cos (t ) = s (t ) r sen ( t ) = h( t ) Derivando respecto al tiempo obtenemos r sen [(t ) ] (t ) = s (t ) r cos[(t )] (t ) = h ( t ) De donde obtenemos la velocidad de salida (horizontal), as como la velocidad vertical del pasador: Pgina 3

Prctica de mquinas v salida = r sen[(t ) ] (t ) Sustituyendo por los valores numricos

Amalia Luque Sendra

r = 200 mm =4 obtenemos la velocidad de salida. Representamos la posicin de la barra de salida (s) y su velocidad (s ) en sendas grficas:s H mm L 200 100 tHsL

rad

s

0.25 -100 -200

0.5

0.75

1

1.25

1.5

sp H mm s L 750 500 250 0.25 -250 -500 -750 0.5 0.75 1 1.25 1.5 t H sL

Del mismo modo, aunque no son pedidas, representamos la posicin (h) y velocidad ( h ) del pasador:h Hmm L 200

100 tH s L 0.25 -100 0.5 0.75 1 1.25 1.5

-200

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Prctica de mquinash H mm s L

Amalia Luque Sendra

750 500 250 0.25 -250 -500 -750 0.5 0.75 1 1.25 1.5 t Hs L

Derivando de nuevo las ecuaciones de la velocidad obtenemos r cos[( t ) ] r sen [(t ) ] = s 2 2

r sen [(t ) ] + r cos[(t )] = h

Teniendo en cuenta que = = cte = 0 y las ecuaciones quedan r cos[(t )] = s 2 2

r sen [(t ) ] = h

Por ltimo representamos la aceleracin horizontal de la barra de salida ( s ) y la aceleracin vertical del pasador ( h ).s p 2 H mm s 2 L 3000 2000 1000 0.25 -1000 -2000 -3000 0.5 0.75 1 1.25 1.5 tH sL

h H mm s 2 L 3000 2000 1000 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 tHsL

-1000 -2000 -3000

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Amalia Luque Sendra

Anlisis dinmicoCalculamos el par motriz (M) en funcin del tiempo, cuando el mecanismo efecta una vuelta completa y est sometido a la fuerza resistente del muelle. Para ello, elijo los siguientes valores de las masas: m2 = 2 Kg m3 = 1 Kg m4 = 10 Kg El centro de gravedad de la barra 1 est en punto fijo O (dicha barra se puede considerar como un disco que efecta una rotacin pura). El centro de gravedad del pasador 3 est en el punto medio de dicho pasador, y el del seguidor 4 est en eje se simetra de dicho seguidor, coincidiendo con el eje x. Representamos la evolucin frente al tiempo del par motriz, el trabajo desarrollado por ste, la energa cintica del sistema, la energa potencial gravitatoria y el trabajo de la fuerza resistente. La fuerza resistente es la provocada por el muelle. El valor numrico de la rigidez ser el del penltimo dgito del DNI, en mi caso 8 KN m. Posteriormente realizo los mismos clculos suponiendo que en la deslizadera existe friccin, siendo el coeficiente = 0.2 . En primer lugar calculamos el valor del momento motriz M: & g =0 M Fmuelle s m3 h h m 3 s s m 4 s s + m 3 h En esta ecuacin de potencias virtuales no incluimos el trmino debido a la masa 2 porque su centro de gravedad es un punto fijo. Por otra parte, tampoco aadimos el trmino causado por la masa 4, pues su velocidad es horizontal y la gravedad es vertical. Despejando M: M= Fmuelle s + m3 h h + m 3 s s + m4 s s

=

& g k ( r + s ) s + m3 h h +( m3 + m4 ) s s m3 h

Representamos el momento respecto al tiempo:

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Prctica de mquinas

Momento HN*mL 310 6 210 1106 6

Amalia Luque Sendra

tHsL 1 2 3 4

-1 10 6 -2 10 -3 106 6

Sabemos por otra parte que el trabajo desarrollado por dicho par es W = M d = &g k ( r + s ) s + m3 h h + ( m3 + m4 ) s && s & m3 h

d

y la evolucin del trabajo respecto al tiempo es la siguiente:Trabajo 1.5 10 motriz HN*mL6

110 6 500000 t 1 -500000 -110 6 -1.5 106

2

3

4

Sabemos que la energa cintica del sistema es la suma de las energas cinticas de cada componente, es decir, Ec = Ec2 + Ec3 + Ec4 . Calculamos por separado cada una de esas energas: 2 1 Ec 2 = I G 2 2 2 1 Ec 3 = m 3 ( h + s ) 2 2 1 Ec 4 = m4 s 2 Necesitamos calcular el tensor de inercia del disco.

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Prctica de mquinas 1 m2 r 2 4 I G = 0 0 Y por lo tanto la energa cintica queda Ec =

Amalia Luque Sendra 1 m r2 0 4 2 2 1 0 2 m2 r 0 0

2 2 1 2 m h + ( m + m ) s + I 3 3 4 G 2

Y su representacin grfica es la siguiente:Energa cintica H JL

3.5 10 6 3 10 6 2.5 106

2 10 6 1.5 10 6 1 2 3 4 tH sL

Por otra parte la energa potencial gravitatoria del sistema es la suma de las energas potenciales de cada una de las piezas, es decir, Ep = Ep2 + Ep3 + Ep4 . Si tomamos como origen de potencial el eje x, slo tiene energa potencial no nula el pasador, pues tanto la barra de entrada como el seguidor tienen su centro de masas permanentemente en dicho eje (aunque el centro del seguidor no es un punto fijo, realiza un movimiento horizontal). Ep = m3 g h que representado respecto al tiempo queda:

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Prctica de mquinasEnerga potencial 2000

Amalia Luque SendraHJ L

1000 tHs L

1 -1000

2

3

4

-2000

El trabajo de la fuerza resistente es el realizado por el muelle, as W resistente = Fmuelle ds cuya representacin esH N *m L tH s L

Trabajo

resistivo

100000 1 -100000 -200000 -300000 -400000 2 3 4

Por ltimo, si consideramos que existe friccin en la deslizadera, el momento motriz y el trabajo realizado por este cambian, y quedan de la siguiente forma:

M=

& g + N h Fmuelle s + m3 h h + m 3 s s + m4 s s m 3 h

,

donde la normal N se debe calcular por equilibrio.N 34 Fx

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Prctica de mquinas

Amalia Luque Sendra

Haciendo un equilibrio de fuerzas horizontales en el seguidor obtenemos que r r r N Fx = m 4 a 4 = m 4 s

De esta ecuacin podemos obtener la normal y con ella el momento: r & g + (m 4 s + Fmuelle ) h Fmuelle s + m3 h h + m 3 s s + m4 s s m3 h

M=

W = M d Si los representamos frente al tiempo obtenemos las siguientes grficas:

,

Momento H N*mL 4 106

3 10 6 2 106

1 10 6 1 -1 10 -2 106 6

t HsL 2 3 4