4.5-Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Instructor: Roberto C. Toro Rodríguez Curso: Precálculo I (MATE 3171) Semestre: Agosto-Diciembre Año: 2012-2013

Contenido 9Ecuaciones Exponenciales

9Ecuaciones Logarítmicas

9Aplicaciones

Una ecuación exponencial es una ecuación en la cual la variable ocurre en el exponente. La variable en el exponente representa una dificultad, pues hasta el momento no hemos estudiado técnicas para resolver estos casos. En la mayoría de los casos que discutiremos, utilizaremos las dos técnicas que se muestran a continuación. Para ejemplos más complicados, la técnica se mostrará mediante ejemplos. Técnica 1: Bases Iguales- Cuando podemos escribir una ecuación exponencial de manera que en ambos lados de la igualdad aparezcan cantidades con bases iguales, se procede a igualar los exponentes para resolver la ecuación. Esto es

𝑎 = 𝑎 ⇒ 𝑥 = 𝑛 Técnica 2: Bases Diferentes- Si no podemos utilizar la técnica anterior, entonces utilizamos logaritmos. Esta técnica es menos limitada y se aplica de la siguiente forma:

𝑎 = 𝑏

log 𝑎 = log 𝑏

𝑥 = log 𝑏

Aplicando log

Por definición, log 𝑎 = 𝑥

Para resolver este tipo de ecuaciones exponenciales se deben seguir los siguientes pasos: (1) Aislar la expresión exponencial a un lado de la ecuación.

(2) Aplicar logaritmo en ambos lados de la igualdad. Se puede aplicar logaritmo con cualquier

base, pero se debe hacer por conveniencia. Si se requiere aproximar la solución mediante decimales, se debe aplicar log ó ln , para luego hallar su valor con calculadora.

(3) Resolver para la variable.

NOTA: A no ser que se indique lo contrario, la solución debe ser exacta, es decir, debe ser expresada con logaritmos. EN LOS EJEMPLOS QUE SE DISCUTIRAN EN DONDE SE REQUIERA APLICAR LOGARITMOS, SE APLICARA EL LOGARITMO NATURAL. EL PROPOSITO DE ESTO ES TENER UNA EXPRESION QUE SE PUEDE APROXIMAR CON CALCULADORA.

Ejemplo Resuelve la ecuación.

4 = 16

Ejemplo Resuelve la ecuación.

9 − 27 = 0

Ejemplo Resuelve la ecuación.

2 3 / = 12

Ejemplo Resuelve la ecuación.

2 = 5

Ejemplo Resuelve la ecuación.

5 = 7

Ejemplo Resuelve la ecuación.

𝑒 − 9𝑒 + 20 = 0

Ejemplo Resuelve la ecuación.

4 − 3 2 − 4 = 0

Ejemplo Resuelve la ecuación.

10 + 7 10 − 8 = 0

Ejemplo Resuelve la ecuación.

𝑒 − 12𝑒 − 1 = 0

Ejemplo Resuelve la ecuación.

𝑥 3 − 4 3 = 0

Ejemplo Resuelve la ecuación.

𝑥 𝑒 − 10𝑥𝑒 = 11𝑒

Ejemplo Hallar la función inversa.

𝑓 𝑥 = 2 + 3

Una ecuación logarítmica es una ecuación en la cual aparece el logaritmo de una variable. Para resolver ecuaciones logarítmicas se deben seguir los siguientes pasos: (1) Aislar el término con logaritmo a un lado de la ecuación. Si aparece más de un término con

logaritmo, combinarlos utilizando las leyes de los logaritmos.

(2) Escribir la ecuación logarítmica en forma exponencial, esto es,

log 𝐴 𝑥 = 𝐵

𝑎 = 𝑎

𝐴 𝑥 = 𝑎 , donde 𝐴 𝑥 es una función de 𝑥. (3) Resolver para la variable.

(4) Recordar que el dominio de una función logarítmica esta restringido (Argumento > 0), por

lo tanto,

HAY QUE VERIFICAR LAS SOLUCIONES OBTENIDAS.

Ejemplo Resuelve la ecuación.

log 𝑥 = −4

Ejemplo Resuelve la ecuación.

log 𝑥 − 1 = 5

Ejemplo Resuelve la ecuación.

5 − ln 4 − 𝑥 = 3

Ejemplo Resuelve la ecuación.

log 𝑥 − 2𝑥 + 1 = 2

Ejemplo Resuelve la ecuación.

log 𝑥 + log 𝑥 + 3 = 1

Ejemplo Resuelve la ecuación.

log 𝑥 − 1 + log 𝑥 + 1 = log 3

Ejemplo Resuelve la ecuación.

ln log 𝑥 = 3

Ejemplo Hallar la función inversa.

𝑓 𝑥 = ln 𝑥 − 5 + 4

Las funciones exponenciales y logarítmicas tienen una gran cantidad de aplicaciones. Se discutirán ejemplos variados, prestando especial atención a problemas de interés compuesto. Recordemos las fórmulas de interés compuesto discutidas anteriormente:

𝐼 𝑡 = 𝑃 1 +𝑟𝑛

𝐼 𝑡 = 𝑃𝑒

También veremos aplicaciones a la ingeniería eléctrica y la geología.

Interés compuesto 𝑛 veces al año

Interés compuesto continuamente

Ejemplo Una hombre invierte $5,000 en una cuenta a una tasa de interés anual de 8.5%, compuesto trimestralmente. ¿Cuánto tiempo tomará para que la inversión se duplique?

Ejemplo Una mujer invierte $7,000 en una cuenta a un interés anual de 7%, compuesto continuamente. ¿Cuánto tiempo tomará para que el valor de la inversión sea $9,000?

Ejemplo Un circuito eléctrico contiene una batería que produce un voltaje de 60𝑉, un resistor con una resistencia de 13Ω y un inductor con inductancia de 5𝐻. Se puede demostrar que la corriente 𝐼 = 𝐼 𝑡 (en amperes 𝐴) 𝑡 segundos después de cerrar el interruptor es

𝐼 𝑡 =6013 1 − 𝑒 / .

¿Cuántos segundos tomará para que la corriente sea 2𝐴?

Ejemplo Los sismólogos utilizan la escala Richter para medir la magnitud de un terremoto. La escala de Richter de un terremoto depende de la razón de la intensidad 𝐼 del terremoto y la intensidad de referencia 𝐼 , la cual es el movimiento mínimo que puede ser medido por un sismógrafo. El número de Richter está dado por

𝑅 = log𝐼𝐼   .

Un terremoto en San Francisco en 1989 tuvo una intensidad de 6.90 en la escala Richter. ¿Cómo se compara la intensidad del terremoto con la intensidad de referencia?

FIN DE LA SECCION 4.5 TRABAJAR LOS EJERCICIOS

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