4. game theory.pptx
TRANSCRIPT
Kehidupan penuh dengan konflik dan kompetisi, dalam kehidupan banyak contoh yang melibatkan
lawan dalam konflik, di antaranya kampanye politik, pemasaran barang, penerimaan mahasiswa di suatu
daerah untuk beberapa perguruan tinggi favorit.
Berdasarkan hal tersebut, maka pada materi ini akan diperkenalkan suatu situasi pengambilan keputusan
yang mencerminkan adanya kompetitor.
Teori permainan (game theory) adalah bagian dari ilmu pengetahuan yang
berkaitan dengan pembuatan keputusan pada saat dua pihak atau lebih berada dalam kondisi persaingan atau konflik
dimana tujuannya untuk memenangkan permainan dari pesaingnya.
Pada teori permainan, semua pihak diasumsikan akan melakukan strategi
tindakan yang rasional untuk memenangkan persaingan, dan masing-masing pihak
mengetahui strategi pihak lawan, setiap lawan berkeinginan untuk mengoptimumkan
keputusannya sendiri dengan kerugian lawannya.
GOAL
• Mahasiswa dapat memahami konsep dasar pengambilan keputusan dalam situasi multi alternatif.
• Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam ilustrasi dalam penyelesaian masalah keputusan dengan metode teori permainan.
OUTLINE
PENDAHULUAN
ELEMEN – ELEMEN DASAR TEORI PERMAINAN
TWO – PERSON, ZERO – SUM GAME
• PURE – STRATEGY GAME• MIXED – STRATEGY GAME
• SOLUSI GRAFIS DARI PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)• SOLUSI PERMAINAN (m x n ) DENGAN PROGRAM
LINIER
LATIHAN SOAL
PENDAHULUAN
• Definisi: bagian dari ilmu pengetahuan yang berkaitan dengan pembuatan keputusan pada saat dua pihak atau lebih berada dalam kondisi persaingan atau konflik, dimana setiap lawan berkeinginan untuk mengoptimumkan keputusannya sendiri dengan kerugian lawannya.
• Contoh : kampanye iklan peluncuran produk-produk yang bersaing dan perencanaan taktik-taktik perang melawan tentara musuh.
PENDAHULUAN
• Model-model teori permainan ini dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara, bergantung pada faktor-faktor berikut: • banyaknya pemain, • jumlah keuntungan dan kerugian, • banyaknya strategi yang dilakukan dalam
permainan
Klasifikasi Model Game Theory
• Banyaknya pemain:• Two Person Game; banyaknya pemain dua
pihak(baik individu atau kelompok)• N Person Game; banyaknya pemain adalah N
pihak (N>2)• Jumlah keuntungan dan kerugian:
• Zero-sum Game / Constant-Sum Game; jumlah kerugian dan keuntungan dari permainannya adalah nol
• Non Zero-sum Game; jumlah kerugian dan keuntungan dari permainannya bukan nol
Klasifikasi Model Game Theory
• Jadi, TWO PERSON ZERO SUM; sebuah permainan dengan dua pemain, dimana keuntungan satu pemain sama dengan kerugian pemain lainnya.
• Contoh dari N-person Non Zero-sum Game; sejumlah perusahaan melakukan kampanye advertensi yang intensif untuk memperoleh daerah pemasaran yang lebih besar.
Persoalan two-person zero-sum game
Perhatikan matriks payoff berikut ini!
Pemain B
B1 B2 B3
Pemain A A1
A2
6 9 2
8 5 4
Persoalan two-person zero-sum game
Perhatikan matriks payoff berikut ini!
Pemain B
B1 B2 B3
Pemain A A1
A2
6 9 2
8 5 4
menyatakan outcome atau pembayaran dari strategi permainan yang berbeda
Persoalan two-person zero-sum game
Perhatikan matriks payoff berikut ini!
Pemain B
B1 B2 B3
Pemain A A1
A2
6 9 2
8 5 4
bilangan-bilangan positif ini menyatakan perolehan keuntungan bagi pihak yang ditulis pada baris sebagai pemain yang akan
memaksimumkan, dan sekaligus merupakan kerugian bagi pihak yang ditulis pada kolom sebagai pemain yang akan
meminimumkan
Strategi
• Strategi adalah tindakan pilihan• Aturan permainan menjelaskan tentang
bagaimana cara para pemain memilih strategi-strategi mereka
• Suatu strategi dinyatakan dominan apabila payoff yang ada pada suatu strategi bersifat superior (paling tinggi) dibandingkan dengan setiap payoff pada strategi lainnya
• Nilai permainan menyatakan ekspektasi outcome per permainan jika kedua pemain melakukan strategi terbaik (strategi optimum) mereka.
Strategi
• Strategi optimum adalah strategi yang menjadikan seorang pemain berada pada posisi pilihan terbaik, tanpa memperhatikan tindakan-tindakan pemain lawan.
• Tujuan model permainan adalah untuk mengidentifikasi strategi optimum bagi masing-masing pemain
PURE – STRATEGY GAME
Permainan yang posisi pilihan terbaiknya bagi setiap pemain dicapai dengan memilih satu strategi tunggal
(strategi murni)
PURE – STRATEGY GAME
Pemain A yang akan memaksimumkan akan mengidentifikasi strategi
optimumya dengan menggunakan maximin criteria, sedangkan pemain B
yang akan meminimumkan akan mengidentifikasi strategi optimumnya
dengan menggunakan minimax criteria.
PURE – STRATEGY GAME
• Jika nilai maximin = minimax maka permainan selesai (disebut saddle point)
• Jika maximin ≠minimax permainan harus diselesaikan dengan strategi campuran (mixed-strategy game)
PURE – STRATEGY GAME
Contoh: Dua buah perusahaan sedang dalam proses perencanaan strategi advertensi masing-masing.
Struktur strategi dan payoff-nya sebagai berikut:
PERUSAHAAN B
B1 B2 B3
Perusahaan
A
A1 1 9 2
A2 8 5 4
Carilah nilai permainan dan strateginya!
PURE – STRATEGY GAME
Jawab : cari nilai maximinnya dan minimaxnya.Struktur strategi dan payoff-nya sbb:
Minimax = maximin,
Jadi strategi optimum bagi A adalah A2 dan strategi untuk B adalah B3, dengan nilai permainan 4.
Perusahaan B Minimum
BarisB1 B2 B3
Perusahaan
A
A1 1 9 2 1
A2 8 5 4* 4 maximin
Maksimum
Kolom
8 9 4
minimax
PURE – STRATEGY GAME
Prinsip zero-sum keseimbangan hasil bagi kedua belah pihak.Untuk menyeimbangkan, setiap pihak akan memilih pilihan paling menguntungkan di antara yang paling merugikan dari setiap alternatif strategi.
PURE – STRATEGY GAME
Latihan: Dua buah perusahaan sedang dalam proses perencanaan strategi advertensi masing-masing.
Struktur strategi dan payoff-nya sebagai berikut:
PERUSAHAAN B
B1 B2 B3
Perusahaan
A
A1 7 3 1
A2 6 8 2
Carilah nilai permainan dan strateginya!
MIXED – STRATEGY GAME
Pada game yang tidak mempunyai saddle point, penyelesaiannya harus
dilakukan dengan menggunakan strategi campuran.
MIXED – STRATEGY GAME
Perhatikan matriks payoff dari suatu game berikut ini:
Perusahaan B
B1 B2 B3
Perusahaan
A
1 0 -2 2
2 5 4 -3
3 2 3 -4
MIXED – STRATEGY GAME
Struktur strategi dan payoff-nya sbb:
maximin ≠ nilai minimax, maka permainan di atas tidak mempunyai saddle point
Perusahaan B Minimum
barisB1 B2 B3
Perusahaan
A
1 0 -2 2 -2 <MAXIMIN
2 5 4 -3 -3
3 2 3 -4 -4
Maksimum
Kolom
5 4 2
MINIMAX
MIXED – STRATEGY GAME
• pada permainan yang tidak mempunyai saddle point ini para pemain dapat memainkan seluruh strateginya sesuai dengan set probabilitas yang telah ditetapkan.
Xi = probabilitas pemain A memilih strategi i (i = 1,2,…,m)
Yj = probabilitas pemain B memilih strategi j (j = 1,2,…,n)
∑ xi = ∑ yj = 1
Xi, Yj ≥ 0 untuk setiap i dan j
MIXED – STRATEGY GAMEDalam bentuk matriks:
Solusi persoalan strategi campuran ini masih didasarkan pada kriteria maximin dan minimax.
B
Y1 Y2 ……... Yn
A
X1 a11 a12 a1n
X2 a21 a22 a2n
. . . .
. . . .
. . . .
Xm am1 am2 amn
MIXED – STRATEGY GAME
• Secara matematis:• Pemain A akan memilih :
xi (xi ≥ 0, ∑ xi = 1) yang menghasilkan:
• Pemain B akan memilih :
yj (yj ≥ 0, ∑ yj = 1) yang menghasilkan:
MIXED – STRATEGY GAME
• Jika xi dan yj berkorespondensi dengan solusi optimum maka v = v
• Jika xi* dan yj* = solusi optimum maka ekspektasi optimum dari permainan:
• Mixed strategy game dapat diselesaikan dengan cara grafis dan dengan menggunakan program linier.
SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)
• Syarat penggunaan: salah seorang dari pemain hanya mempunyai 2 buah strategi.
B
Y1 Y2 ……... Yn
AX1 a11 a12 a1n
X2=1-X1 a21 a22 a2n
menyatakan probabilitas pemain A memilih strategi A2
adalah (1 – probabilitas pemain A memilih strategi A1)
SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)
• Berdasarkan strategi murni dari B, maka ekspektasi payoff untuk A adalah:
Strategi
murni B
Ekspektasi payoff A
1 (a11-a21)X1+a21
2 (a12-a22)X1+a22
. .
N (a1n-a2n)X1+a2n
SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)
• Berdasarkan strategi murni dari B, maka ekspektasi payoff untuk A adalah:
• Jika pemain B menggunakan strategi murni B1, maka ekspektasi payoff dari pemain A :
= (probabilitas pemain A memilih strategi murni A1)(payoff strategi murni A1 untuk pemain A) + (probabilitas pemain A memilih strategi murni A2)(payoff strategi murni A2 untuk pemain A)
= (x1)(a11) + (x2)(a21)
= (x1)(a11) + (1-x1)(a21)
= a11x11 + a21 – a21x1
= (a11 – a21)x1 + a21
SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)
• Berdasarkan kriteria minimax untuk permainan dengan strategi campuran, pemain A harus memilih nilai X1 yang akan memaksimumkan ekspetasi payoff minimumnya. Hal ini dpt dicari dgn cara menggambarkan fungsi-fungsi X1.
SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)
matriks payoff:
Carilah nilai permainan ini dan strateginya.
Contoh:
B
1 2 3
A1 0 -2 2
2 5 4 -3
SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)
Misalkan : probabilitas A menggunakan strategi A1 adalah x1 probabilitas A menggunakan strategi A2 adalah x2 probabilitas B menggunakan strategi B1 adalah y1 probabilitas B menggunakan strategi B2 adalah y2 probabilitas B menggunakan strategi B3 adalah y3
Dalam kasus ini, A hanya mempunyai dua strategi, dan total probabilitas penggunaan strategi A1 dan A2 adalah 1, maka dapat dimisalkan bahwa x2 = 1 – x1
Jawab
SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)
Berdasarkan strategi murni dari B, maka ekspektasi payoff untuk A adalah: jika B menggunakan strategi murni B1, maka ekspektasi pay
off untuk A = (0) x1 + (5) x2 = 0 + 5 (1 – x1) = -5x1 + 5. jika B menggunakan strategi murni B2, maka ekspektasi pay
off untuk A = (-2) x1 + (4) x2 = -2x1 + 4 (1 – x1) = -6x1 + 4. jika B menggunakan strategi murni B3, maka ekspektasi pay
off untuk A = (2) x1 + (-3) x2 = 2x1 - 3 (1 – x1) = 5x1 - 3.
Jawab
SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)
Berdasarkan strategi murni dari B, maka ekspektasi payoff untuk A adalah:
Jawab
Strategi
murni B
Ekspektasi
payoff A
1 -5 X1+ 5
2 -6 X1+ 4
3 5 X1+ -3
SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)
Jawab
-
-
-
-
-
-
-
-
-3
4
5
0maximin
1 x1
Ekspektasi payoff (menggunakan software TORA)
-
-
-
-
-
-
-2
2
3
1
-1
-
-B1
B2
B3
SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)
Jawab
1
1-1
-1
2
2
-2
-2
3
3
-3
-3
4
4
-4
-4
5
5
-5
-5
6
6
-6
-6
7
7
-7
-7
B1B2B3
X1
Y = nilai game
Ini adalah grafik ekspektasi pay off untuk A. Pay off yang ‘merugikan’ bagi A adalah
nilai pay off yang kecil. Maka area solusinya adalah area
yang berwarna hijau. Pay off paling ‘menguntungkan’ di
antara area solusi adalah titik yang berada di paling atas.
maximin
SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)
Maximin ekspektasi payoff V = maks xi { min (5 – 5x1), (4 – 6x1), (-3 + 5x1) }
V = maks xi { min (4 – 6x1), (-3 + 5x1) } pilih garis yang berpotongan pada titik maximin
Jawab
SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)
• Titik potong dicari secara aljabar biasa:4 – 6x1 = -3 + 5x1
11x1 = 7
X1* = 7/11
Karena x1* + x2* = 1, maka x2* = 4/11
Jawab
SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)
• Mencari koordinat Y:v = v* = -3 + 5(7/11) = 2/11
v* = dan v* = ∑∑aijxiyj.
sehingga: y1*(5-5x1) + y2*(4-6x1) + y3*(-3+5x1) = 2/11
20/11 y1* + 2/11 y2* + 2/11 y3* = 2/11
dengan y1* + y2* + y3* = 1
Jawab
SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)
Dalam hal ini, persamaan ∑ aij xi yang tidak melewati titik maximin berkorespondensi dengan yj* = 0 (supaya tidak menaikkan expected payoff); karena itu, y1* = 0 sehingga y2* + y3* = 1 atau y3* = 1- y2* masukkan pada persamaan (1), didapat:
jika x1 = 0 4y2* - 3y3* = 2/11 ; x1
x1 = 1 -2y2* + 2y3* = 2/11 ; x2
sehingga didapat: y3* = 6/11
y2* = 5/11
Jawab
SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)
Dengan demikian, maka solusi optimum untuk kedua pemain adalah:
Pemain A: (x1, x2) = (7/11, 4/11)
Pemain B: (y1,y2,y3) = (0, 5/11, 6/11)
dengan nilai game v* = 2/11
Jawab
SOLUSI PROGRAM LINIER PERMAINAN (m x n)
Seperti dikemukakan di muka, kriteria maximin dapat diformulasikan sebagai
Maks {min i1 xi, i2, …, in xi }
Dimana I = 1 dan xi ≥ 0 i = 1, …, m
Jika v = min ( i1 xi, i2 xi, …, in )
SOLUSI PROGRAM LINIER PERMAINAN (m x n)
Matriks payoff dari suatu permainan sebagai berikut:
Tentukanlah strategi optimum untuk masing-masing pemain!
Contoh:
B
1 2 3
1 3 -1 -3
A 2 -3 3 -1
3 -4 -3 3
SOLUSI PROGRAM LINIER PERMAINAN (m x n)
Dari matriks payoff di atas kita tahu bahwa nilai maximinnya adalah -3 sehingga nilai permainannya dapat berharga negatif atau nol.
Karena itu, diperlukan suatu konstanta k yang harganya paling sedikit sama dengan nilai maximin yang negatif itu.
Konstanta k itu kemudian ditambahkan kepada seluruh elemen matriks.
Jawab:
SOLUSI PROGRAM LINIER PERMAINAN (m x n)
Misalnya digunakan K = 5, maka matriksnya menjadi:
Jawab:
B
1 2 3
1 8 4 2
A 2 2 8 4
3 1 2 8
SOLUSI PROGRAM LINIER PERMAINAN (m x n)
Formulasi program linier untuk pemain B adalah:
Maks. W = Y1 + Y2 + Y3
s/t 8Y1 + 4Y2 + 2Y3 ≤ 1
2Y1 + 8Y2 + 4Y3 ≤ 1
Y1 + 2Y2 + 8Y3 ≤ 1
Y1, Y2, Y3 ≥ 0
Jawab:
SOLUSI PROGRAM LINIER PERMAINAN (m x n)
Setelah formulasi di atas diselesaikan dengan metode simpleks, maka didapat tabel optimum sebagai berikut:
Jawab:
Basis Y1 Y2 Y3 S1 S2 S3 solusi
W 0 0 0 5/49 11/196 1/14 45/196
Y1
Y2
Y3
1 0 0 1/7 -1/14 O
0 1 0 -3/196 31/196 -1/14
0 0 1 -1/98 -3/98 1/7
1/14
11/196
5/49
SOLUSI PROGRAM LINIER PERMAINAN (m x n)
Sehingga diperoleh solusi :
W = 45/196 ;Y1 = 1/14 ; Y2 = 11/196 ; Y3 = 5/49
Nilai Permainan :
V* = = = 196/45 – 5 = -29/45
Solusi Optimum pemain B :
Y1* = = = 14/45 ; Y2* = = = 11/45
Y3* = = = 20/45
Jawab:
kw
1
w
Y1
196/45
14/1w
Y2
196/45
196/11
5196/45
1
w
Y3
196/45
49/5
SOLUSI PROGRAM LINIER PERMAINAN (m x n)
Solusi Optimum untuk Pemain A diperoleh dari solusi dual dari formulasi strategi pemain B
Z = W = 45/196 ; X1 = 5/49 ; X2 = 11/196 ; X3 = 1/14
Solusi pemain A :
X1* = = = 20/45 ; X2* = = = 11/45
X3* = = = 14/45
Jawab:
z
X1
196/45
49/5z
X 2
196/45
196/11
z
X 3
196/45
14/1
SOLUSI PROGRAM LINIER PERMAINAN (m x n)
Dengan demikian, maka solusi optimum untuk kedua pemain adalah:
Pemain A: (X1, X2, X3) = (20/45, 11/45, 14/45)
Pemain B: (Y1, Y2, Y3) = (14/45, 11/45, 20/45)
dengan nilai game v* = -29/45
Jawab:
Soal 1.
Diketahui matriks payoff sebagai berikut:
Carilah nilai permainan ini dan strateginya!
B
1 2 3
A1 2 -3 -4
2 -6 -1 1
Soal 2.
Pertimbangkan permainan (2x4) berikut ini.
Carilah nilai permainan A dan B!
B
1 2 3 4
A1 2 2 3 -1
2 4 3 2 6