3º trimestre SALA DE ESTUDOS Data: 25/09/18 Ensino Médio 2º ano classe:___ Prof. Maurício Nome:______________________________________ nº___

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1. (Uem 2018) Sobre geometria espacial, assinale o que for correto. 01) Dois planos sempre se interceptam. 02) Duas retas perpendiculares determinam um único

plano. 04) Dado um ponto qualquer P em um plano ,π existe

uma única reta passando por P perpendicular ao plano.

08) Se duas retas não são paralelas, então elas são reversas.

16) Se uma reta não intercepta um determinado plano, então necessariamente ela é paralela a ele.

2. (Uem 2017) Considere uma reta r e um plano ,π no

espaço tridimensional. Assinale o que for correto. 01) Se existe uma reta no plano ,π paralela à reta r,

então a reta r é paralela ao plano π ou está

contida nele. 02) Se a reta r é perpendicular a uma reta de ,π então

a reta r é perpendicular a .π 04) Se um plano 'π é paralelo ao plano ,π então o

plano 'π tem interseção com r . 08) Se um plano 'π é perpendicular ao plano π e se a

reta r também é perpendicular a ,π então a reta

r está contida em '.π 16) Se dois pontos de r estão contidos em ,π então r

está contida em .π 3. (Uepg 2016) Considerando os planos α e ,β e as

retas r e s, assinale o que for correto.

01) Se s,α β r s, r α e r ,β então r α e

r .β 02) Se ,α β r,α β s ,α s r, então s .β

04) Se r β e s r, então s .β 08) Se ,α β r ,α então r .β

16) Se r α e r ,β então .α β

4. (Ita 2018) Um poliedro convexo tem faces triangulares e quadrangulares. Sabe-se que o número de arestas, o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 5. Determine o número de vértices do poliedro. 5. (Enem PPL 2017) O hábito cristalino é um termo utilizado por mineralogistas para descrever a aparência típica de um cristal em termos de tamanho e forma. A

granada é um mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 30 arestas e 20 vértices. Um mineralogista construiu um modelo ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos polígonos correspondentes às faces. Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, então a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal é igual a a) 10. b) 12. c) 25. d) 42. e) 50. 6. (Uerj 2016) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura.

Considere o número de vértices V, de faces F e de

arestas A desse poliedro côncavo.

A soma V F A é igual a: a) 102 b) 106 c) 110 d) 112 7. (Enem 2ª aplicação 2016) Um lapidador recebeu de um joalheiro a encomenda para trabalhar em uma pedra preciosa cujo formato é o de uma pirâmide, conforme ilustra a Figura 1. Para tanto, o lapidador fará quatro cortes de formatos iguais nos cantos da base. Os cantos retirados correspondem a pequenas pirâmides,

nos vértices P, Q, R e S, ao longo dos segmentos

tracejados, ilustrados na Figura 2.

Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a partir da pedra maior, uma joia poliédrica cujos números de faces, arestas e vértices são, respectivamente, iguais a a) 9, 20 e 13. b) 3, 24 e 13.

c) 7, 15 e 12. d) 10,16 e 5.

e) 11, 16 e 5.

8. (Enem PPL 2016) Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de

Platão respeitam a relação de Euler V A F 2, em

que V, A e F são os números de vértices, arestas e

faces do poliedro, respectivamente. Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces? a) 2V 4F 4 b) 2V 2F 4 c) 2V F 4 d) 2V F 4 e) 2V 5F 4 9. (Uece 2016) Um poliedro convexo com 32 vértices

possui apenas faces triangulares. O número de arestas deste poliedro é a) 100. b) 120. c) 90. d) 80. 10. (Uern 2015) Um tetraedro regular é um tipo particular de pirâmide regular no qual qualquer uma de suas faces pode ser considerada base, haja vista ser formado por quatro regiões triangulares congruentes e equiláteras. Considerando essa informação, a área total de um tetraedro regular cuja aresta mede 6cm é, em

2cm :

(Considere 3 1,7. )

a) 27,2. b) 42,5. c) 61,2. d) 83,3. 11. (Upf 2015) O poliedro representado na figura (octaedro truncado) é construído a partir de um octaedro regular, cortando-se, para tal, em cada vértice, uma pirâmide regular de base quadrangular. A soma dos ângulos internos de todas as faces do octaedro truncado é:

a) 2160 b) 5760 c) 7920 d) 10080 e) 13680 12. (Uepg 2014) Em um poliedro convexo só há faces triangulares e quadrangulares e apenas ângulos tetraédricos e pentaédricos. Se esse poliedro tem 15 faces e 12 vértices, assinale o que for correto. 01) O número de arestas é 50. 02) O número de faces quadrangulares é a metade do

número de faces triangulares. 04) O número de ângulos tetraédricos é o dobro do

número de ângulos pentaédricos. 08) A soma dos ângulos das faces é igual a 40 retos. 16) O número de ângulos tetraédricos é 5. 13. (Uece 2014) Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexágonos e 12 pentágonos. O número de vértices deste polígono a) 90. b) 72. c) 60. d) 56. 14. (Ifsp 2013) A figura mostra uma peça feita em 1587 por Stefano Buonsignori, e está exposta no Museu Galileo, em Florença, na Itália. Esse instrumento tem a forma de um dodecaedro regular e, em cada uma de suas faces pentagonais, há a gravação de um tipo diferente de relógio.

Em 1758, o matemático Leonard Euler (1707-1783) descobriu o teorema conhecido por relação de Euler: em todo poliedro convexo com V vértices, A arestas e F

faces, vale a relação V A F 2. Ao se aplicar a relação de Euler no poliedro da figura, o número de arestas não visíveis é a) 10. b) 12. c) 15. d) 16. e) 18. 15. (Upe 2011) Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, todas triangulares. Nestas condições, assumindo que tal poliedro exista, o número esperado de vértices para este será a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 16. (Uem 2011) As arestas de um cubo medem 10 cm. De cada um de seus vértices, retira-se uma pirâmide de base triangular, cujas arestas ligadas ao vértice do cubo possuem todas a mesma medida a e são partes das arestas do cubo. Após a remoção das pirâmides, obtém-se um poliedro convexo P. Baseando-se nessas informações, assinale o que for correto. 01) Se a < 5 cm, o poliedro P tem 14 faces. 02) Se a < 5 cm, o poliedro P tem 36 arestas. 04) Se a < 5 cm, o poliedro P tem 24 vértices. 08) Se a = 5 cm, o poliedro P tem 30 arestas. 16) Se a = 5 cm, o poliedro P tem 16 vértices. 17. (Ufc 2008) O número de faces de um poliedro

convexo com 20 vértices e com todas as faces

triangulares é igual a:

a) 28 b) 30 c) 32

d) 34 e) 36 18. (Ufjf 2007) A figura a seguir representa a

planificação de um poliedro convexo.

O número de vértices deste poliedro é:

a) 12. b) 14. c) 16. d) 20. e) 22. 19. (Uerj 2005)

O poliedro acima, com exatamente trinta faces

quadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado como um

dado, em um jogo.

Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e

que, ao ser lançado, cada face tenha a mesma

probabilidade de ser sorteada.

Calcule:

a) a probabilidade de obter um número primo ou

múltiplo de 5, ao lançar esse dado uma única vez;

b) o número de vértices do poliedro.

20. (Pucpr 2004) Um poliedro convexo é formado por

faces quadrangulares e 4 faces triangulares. A soma dos

ângulos de todas as faces é igual a 12 retos.

Qual o número de arestas desse poliedro?

a) 8 b) 6 c) 4 d) 2

e) 1 21. (Pucrs 2003) Um poliedro convexo possui duas

faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número

de vértices deste poliedro é

a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

22. (Ufc 2000) Um poliedro convexo de nove vértices

possui quatro ângulos triédricos e cinco ângulos

tetraédricos. Então o número de faces deste poliedro é:

a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8

Gabarito: Resposta da questão 1: 02 + 04 + 16 = 22. [01] INCORRETA. Dois planos podem ser paralelos. [02] CORRETA. Duas retas concorrentes determinam um único plano. [04] CORRETA. Uma reta perpendicular a um plano cortará o mesmo em um único ponto. [08] INCORRETA. Se elas não são paralelas, podem ser reversas ou concorrentes. [16] CORRETA. Retas e planos que não se interceptam são ditos paralelos. Resposta da questão 2: 01 + 16 = 17. [01] VERDADEIRO. A reta r é paralela ou plano ou

pertence a ele. [02] FALSO. As retas podem ser perpendiculares entre

si e pertencerem a planos concorrentes. [04] FALSO. A reta r pode ser paralela a ambos os

planos. [08] FALSO. A reta r pode estar contida em outro

plano perpendicular a .π [16] VERDADEIRO. Se um segmento de reta de r (dois pontos) está contido no plano, então a reta r estará contida no plano Resposta da questão 3: 01 + 02 + 08 = 11. [01] Verdadeira. De fato, considere a figura.

Qualquer reta paralela a s que não esteja

contida nem em α e nem em β será paralela a

esses planos. [02] Verdadeira. Considere a figura, em que a reta s é

perpendicular ao plano .β

[04] Falsa. Considere a figura.

Basta que o ângulo entre os planos α e β não

seja reto. [08] Verdadeira. De fato, o resultado é imediato.

[16] Falsa. Considere a figura, em que α e β são

perpendiculares.

Resposta da questão 4:

Sejam n, n 5 e n 10, respectivamente, as

quantidades de arestas, faces triangulares e quadrangulares. Então,

3 n 5 4 n 10n

2

2n 3n 15 4n 40

n 11

Logo, o poliedro possui 11 arestas, 6 faces

triangulares e 1 face quadrangular, ou seja, possui 7 faces.

Dessa forma, sendo V o número de vértices do poliedro, temos:

Resposta: Seis vértices

V 11 7 2

V 6

Resposta da questão 5: [B]

Sendo V 20 e A 30, pelo Teorema de Euler,

segue que V A F 2 20 30 F 2

F 12.

Portanto, a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal é igual a 12. Resposta da questão 6: [D] Para o dodecaedro regular, temos: 12 faces pentagonais.

12 530

2

arestas.

Utilizando a relação de Euler, temos: V A F 2 2 30 12 V 20 (vértices) Portanto, o poliedro formado terá:

12 12 2 22 faces (F 22)

30 30 5 55 arestas (A 55)

20 20 5 35 vértices (V 35)

A soma pedida será dada por: V F A 35 22 55 112. Resposta da questão 7: [A] Uma pirâmide quadrangular possui 5 faces, 8 arestas e 5 vértices. Após os cortes, tais quantidades serão

acrescidas em 4, 12 e 8 unidades, respectivamente.

Portanto, a joia ficará com 9 faces, 20 arestas e 13 vértices. Resposta da questão 8: [C]

Poliedro de faces triangulares 3F

A2

3F FV A F 2 V F 2 V 2 2V F 4

2 2

Resposta da questão 9: [C] Sabendo que o poliedro possui 32 vértices, tem-se

V 32. Por conseguinte, sendo F e A,

respectivamente, o número de faces e o número de arestas, pelo Teorema de Euler, vem V F A 2 32 F A 2 F A 30. Daí, como o poliedro possui apenas faces triangulares, temos 3F 2A e, portanto,

3(A 30) 2A A 90.

Resposta da questão 10: [C] O tetraedro regular descrito no enunciado é formado por quatro faces triangulares de aresta (lado) igual a

6 cm. Sua área total, será, portanto:

22 2

tetraedro tetraedroL 3

S 4 6 3 S 61,2 cm4

Resposta da questão 11: [C] O octaedro possui 6 vértices. Ao retirarmos uma pirâmide regular de base quadrangular de cada vértice do octaedro, obtemos um octaedro truncado com 6 4 24 vértices. Portanto, a resposta é

360 (24 2) 7920 .

Resposta da questão 12: 02 + 08 = 10. [01] Incorreto. Pela Relação de Euler, temos

V F A 2 12 15 A 2

A 25.

[02] Correto. Sejam 3F e 4F , respectivamente, o

número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares. Logo, tem-se

3 43F 4F 2A e 3 4F F 15. Portanto, como

A 25, segue que 3F 10 e 4F 5, o que

implica em 34

FF .

2

[04] Incorreto. Sabendo que em cada ângulo

tetraédrico concorrem 4 arestas, e que em cada ângulo pentaédrico concorrem 5 arestas, temos

4T 5P 2A e T P 12, sendo T e P,

respectivamente, o número de ângulos tetraédricos e o número de ângulos pentaédricos.

Desse modo, obtemos T 10 e P 2. Agora, é

fácil ver que T 5P. [08] Correto. Lembrando que a soma dos ângulos

internos das faces é igual a (V 2) 4r, com V

sendo o número de vértices do poliedro e

r 90 , temos (12 2) 4r 40r.

[16] Incorreto. Do item [04], sabemos que o número de ângulos tetraédricos é igual a 10. Resposta da questão 13: [C]

F: número de faces A: número de arestas V: número de vértices

20 6 12 5A 90

2

F = 32 V = 2 + A – F V = 2 + 90 – 32 V = 60. Resposta da questão 14: [A]

Número de arestas: 12 5 /2 30.

Número de arestas visíveis: 20. Número de arestas não visíveis: 30 – 20 10. Resposta da questão 15: [E] A = (8.3)/2 = 12 e F = 8 Logo, V – A + F = 2 V – 12 + 8 = 2 V = 6 Resposta da questão 16:

01 + 02 + 04 = 07. 01) Correto. Considere a figura.

Retirando-se uma pirâmide de base triangular de cada um dos vértices do cubo, de tal modo que

a 5cm, obtemos um poliedro com 6 faces

octogonais e 8 faces triangulares. Portanto, o

poliedro obtido apresenta 6 8 14 faces.

02) Correto. Se A é o número de arestas do poliedro, então

2A 6 8 8 3 A 36.

04) Correto. De (1) e (2), sabemos que F 14 e A 36. Logo, da Relação de Euler, vem

V F A 2 V 36 2 14 24,

sendo V o número de vértices do poliedro. 08) Incorreto. Considere a figura.

Retirando-se uma pirâmide de base triangular de cada um dos vértices do cubo, de tal modo que

a 5cm, obtemos um poliedro com 6 faces

quadrangulares e 8 faces triangulares. Portanto,

o poliedro obtido apresenta 6 8 14 faces.

Além disso, se A é o número de arestas do poliedro, então

2A 6 4 8 3 A 24 30.

16) Incorreto. De (08) e da Relação de Euler, vem que V F A 2 V 24 2 14 12 16. Resposta da questão 17: [E] Resposta da questão 18: [A] Resposta da questão 19:

a) O espaço amostral Ω é

Ω = {1, 2, 3, ..., 30}

Sejam os eventos:

A: número primo

B: múltiplo de 5

Temos:

A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}

e

B = {5, 10, 15, 20, 25, 30}

Donde P(A) = 10

30 e P(B) =

6

30.

Mas A ⋂ B = { 5 }, então P(A ⋂ B) = 1

30.

Logo

P(A⋃ B) = P(A) + P(B) - P(A ⋂ B)

P(A⋃ B) =

10 6 1 1 .

30 30 30 2

b) Como F = 30, o número de arestas é dado por

2A = 4F ⇔ A = 60

Da relação de Euler, temos:

V + F = A +2

V = 62 - 30 = 32.

Resposta da questão 20: [A] Resposta da questão 21: [E] Resposta da questão 22: [D]