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7/22/2019 38536748 Teoria Dos Jogos e Da Cooperacao Para Filosofos

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TEORIA DOS JOGOS E DA COOPERAO PARA FILSOFOS

Por Antnio Rogrio da Silva

ndice

I parte Teoria dos Jogos e da Cooperao

Captulo 1: Histria e Conceitos Bsicos 21.1 A Estrutura do Jogo: Conceitos e princpios 91.2 Estratgias Dominantes, Maximin, Mistas e Noo de Equilbrio 181.3 A Irracionalidade do Agente Racional 27

Captulo 2: O Papel da Comunicao 362.1 Informao Perfeita, Ameaas e Outros Conceitos. 45

2.2 Jogos com Comunicao e seus modelos. 522.3 A Razo Comunicativa x Estratgica. 57

Captulo 3:A Evoluo da Cooperao 663.1 A Centopia, Induo Reversa, o Papel do Tempo. 693.2 Problemas com o Modelo Padro. 743.3 Estratgias Vitoriosas nas Variantes do Modelo Padro. 783.4 Rudo, Alternncia e Evoluo. 83

II parte Modelos de Jogos

Captulo 4: DPI 894.1 As Simulaes dos Principais Jogos e suas Consequncias 904.2 O Dilema dos Prisioneiros Iterado 914.3 Os Torneios e a Estratgia TIT FOR TAT. 934.4 Uma Famlia Campe. 984.5 Condies para Cooperao. 102

Captulo 5: Bens Pblicos 1075.1 O Bem de Todos. 1095.2 O Carona Free-rider. 1135.3 Punio e Estado. 1185.4 A Cooperao nos Bens Pblicos. 123

Captulo 6: Ultimato 128

6.1 Um Teste de Thomas Schelling 1356.2 A Busca do Homem Econmico 1396.3 A Emerso da Equidade 144

Captulo 7: Novos Campos Interdisciplinares 1497.1 Computadores X Estudos Acadmicos 1517.2 A Construo de Jogos e sua Utilizao Prtica 1577.3 As Diversas Disciplinas que Empregam os Modelos de Jogos 1617.4 Uma Nova Viso da tica 1667.5 Concluso 172

Bibliografia 176


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Teoria dos Jogos e da Cooperao 2

I parte Teoria dos Jogos e da Cooperao

Captulo 1: Histria e Conceitos Bsicos

Jogos de tabuleiro, dados, cartas ou, em geral, jogos de salo divertem ahumanidade desde a formao das primeiras civilizaes. Escavaes feitas em stiosarqueolgicos localizados na regio do Oriente Mdio conhecida como Mesopotmiaencontraram, em tmulos de nobres e membros da famlia real que dominaram a antigacidade de Ur - importante centro da civilizao sumria, por volta de 3000 a.C. -, um

jogo de tabuleiro que foi batizado como Jogo Real de Ur - provvel ancestral da srie dejogos que evoluram at o gamo moderno. A se acreditar nas lendas indianas, aatividade ldica, alm de entreter seus praticantes, tambm serviria como simulaoalegrica de batalhas ou deliberaes que as pessoas tm de fazer ao longo de sua vidacotidiana - o xadrez e o j mencionado gamo seriam exemplos disto. Por colocar aspessoas em situaes nas quais vencer ou perder dependem das escolhas feitasadequadamente logo no incio das partidas, os jogos se mostraram como excelenteferramenta para o desenvolvimento da personalidade e da inteligncia das crianas.

Entretanto, apesar desse aspecto pedaggico, os jogos raramente eramconsiderados objetos de estudo srio. Foi a curiosidade do nobre Cavaleiro de Mr einveterado jogador, Antoine Gombaud (1607-1684), que, em 1654, incentivou o filsofofrancs Blaise Pascal (1623-1662) a iniciar correspondncia com outro brilhantematemtico francs, Pierre de Fermat (1601-1665), no intuito de solucionar com maiorrapidez o problema dos pontos, num jogo de dados que fora interrompido, e cujodinheiro das apostas teria de ser dividido justamente de acordo com as probabilidades

iguais de ganho de cada jogador, caso o jogo tivesse continuado at o final. A respostafornecida por ambos ao problema de Gombaud revelou as regras matemticas quesubjazem aos jogos de azar, desenvolvendo a teoria da probabilidade que de um modoindependente, outro genial matemtico e famoso trapaceiro, o italiano GirolamoCardano (1501-1576), havia iniciado antes. Contudo, a soluo encontrada por Pascal eFermat s foi publicada mais tarde atravs do primeiro livro exclusivo sobre teoria daprobabilidade, chamado Sobre o Raciocnio em Jogos de Azar, do fsico e astrnomoholands Christian Huygens (1629-1695), lanado em 1657. Isso porque, na metade dosculo XVII, mesmo a matemtica era considerada uma atividade amadora de eruditosque no deveria ter consequncias srias para as vidas dos demais mortais.

No obstante, alm dos jogos de azar - dados e roleta -, que foram cruciais para o

desdobramento da teoria da probabilidade, jogos de estratgia, aqueles que nodependem apenas da sorte, mas oferecem alternativas para que os jogadores possamescolher qual a melhor linha de ao que deve adotar para atingir um resultadoesperado, tendo em mente o que a outra parte far - pquer e damas -, tambm sopassveis de formalizao matemtica por intermdio de simplificaes que permitem asimulao de cada tipo de jogo, constitudo por regras bem definidas. A Teoria dosJogos trata, portanto, de sistematizar matematicamente, atravs dos modelos de jogos,as situaes que envolvem duas ou mais pessoas, cujas decises por uma estratgia deao adequada influenciaro o resultado da interao e o comportamento subsequentedas partes interessadas.

Em 1730, a matemtica j havia alcanado um respeito considervel, devido ao

sucesso dos trabalhos do filsofo ingls Isaac Newton (1642-1727). Nesta poca, o


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suo Daniel Bernoulli (1700-1782), membro de uma ilustre famlia de matemticos, jpodia ser visto como um solucionador de problemas profissional, contratado paraensinar sua matria em diversas cortes europias. Em So Petersburgo, Rssia, ele pdeconceber a noo de utilidade como um valor de incremento inversamente proporcional

quantidade inicial. Isto , tendo em vista o comportamento dos jogadores, haveria umamedida subjetiva de satisfao que explicaria a reao das pessoas em situaes derisco, nos termos de maximizao de sua utilidade. Circunstncia que s dois sculosdepois, receberia uma formulao moderna pela mo do matemtico francs mileBorel (1871-1956), na forma do teorema minimax. Usando a noo de estratgias mistas- que aplicam as estratgias puras a uma taxa de variao proporcional aos ganhos -, em1927, Borel conseguiu resolver jogos com duas pessoas que tivessem at cinco opesde estratgias a sua escolha. Uma soluo geral, entretanto, s viria a ser alcanada pelomatemtico hngaro John Von Neumann (1903-1957), em 1928, consolidando as basesde uma moderna Teoria dos Jogos, em que o conceito de utilidade fundamental.

Outro conceito chave dessa teoria comeou a ser trabalhado pelo filsofo eeconomista francs Antoine Augustin Cournot (1801-1877). Em suas anlises sobre oscasos de duoplio, Cournot formalizou uma verso restrita do conceito de equilbrioqueiria ser generalizada, no sculo seguinte, por John Forbes Nash Jr. em trabalhos quetornaram a Teoria dos Jogos pertinente a situaes em que um lado pode vencer, semprecisar, necessariamente, derrotar o adversrio. Cenrios que filsofos como o inglsThomas Hobbes (1588-1679), o escocs David Hume (1711-1776) e o suo Jean-Jacques Rousseau (1712-1778) descreveram de modo intuitivo em suas respectivasobras:Leviat(1651), Tratado da Natureza Humana(1739) eDiscurso sobre a Origeme os Fundamentos da Desigualdade entre os Homens(1755).

Hobbes descreveu, de modo bastante criativo, a soluo cooperativa a qual podem

chegar agentes racionais motivados apenas pelas satisfao imediata de seus interesses,em conflito no estado de natureza. Dada a simetria e fragilidade de cada um dos que seenfrentam na natureza, apenas a busca da cooperao poderia atender os anseios detodos os envolvidos, preservando a paz necessria para realizao de seus projetospessoais. Contudo, de modo espontneo, ningum abriria mo de lutar pela posse detodos os meios indispensveis para sua sobrevivncia se seus potenciais rivais nofizessem o mesmo1. Hume, por sua vez, imaginou a situao vivida por dois fazendeirosque vem ameaadas as suas safras pela dificuldade de convencerem um ao outro acolaborar nas suas respectivas colheitas, considerando que ambos so naturalmenteegostas e no nutrem simpatias mtuas2. Enquanto Rousseau imaginou o contexto decaadores que dependem da atuao de vrios participantes, a fim de que se obtenha

caa suficiente para todos, embora seja provvel esperar a desero daqueles quetenham a oportunidade de, individualmente, capturar uma presa menor, mas que ossatisfizesse a ponto de estimular o abandono do grupo3.

Inspiraes como estas no so exclusivas da literatura moderna oucontempornea, ou de uma concepo de indivduo tpica apenas da modernidade. Notempo em que Hammurabi (sculo XVIII a.C) reinava sobre toda Mesopotmia, acoleo de sentenas que este rei babilnico mandou gravar em estelas de pedra negra epublicar em frente a seus monumentos, a fim de difundir sua noo de direito, fundada

1. Veja HOBBES, Th.Leviat, I part., cap. XIV, pp. 78/9.2. Veja HUME, D. Treatise of Human Nature, III, part. II, se. V, pp. 287/8.3

. Veja ROUSSEAU, J. J.Discurso sobre a Origem e os Fundamentos da Desigualdade entre osHomens, II part., p. 261.


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na reciprocidade, que ainda hoje serve de lastro s leis contemporneas. Suas clebressentenas "olho por olho; dente por dente"4 esto subjacentes s tradies judaicas,crists e todas as demais que propuseram variaes da Regra de Ouro (fazer ao outro oque se quer que faa a si mesmo).

Sobre outro aspecto, em A Vida dos Doze Csares (c. 120), Caio SuetnioTranquilo (69-141) narrou uma atitude que frequentemente Caio Jlio Csar (101-44a.C.) tomava para evitar a desero de seus soldados. Csar, quando pressentia que umabatalha seria difcil de prever a vitria, afugentava todos os cavalos, incluindo o seuprprio, com o objetivo de impedir a fuga dos menos corajosos, obrigando todos alutarem com afinco, j que no teriam outra opo disponvel5. Soluo semelhante aque Hernn Corts (1485-1547) tomou quando fez destruir os barcos que poderiamservir de meio para fuga de seus soldados, antes da iniciativa de derrubar o imprioasteca, forando os descontentes a se unirem a ele, pois estavam inferiorizados, emterritrio hostil, sem qualquer outra sada. Mas antes de todos, o estrategista chins SunTzu (sc. V a.C.) j recomendava em seu manualA Arte da Guerra(500 a.C.):

Lance suas tropas em situaes das quais no h sada; seushomens preferiro enfrentar a morte a desertar. E, uma vez queestiverem prontos para morrer, voc no poder tirar menos do que omximo de seus oficiais e soldados (SUN TZU. A Arte da Guerra,cap. 11, p. 91).

Em ocasies como estas, onde sempre pode haver conflito de interesses entre duasou mais partes capazes de deliberarem sobre uma ao que implique numa reaorecproca consequente, a Teoria dos Jogos tenta encontrar uma formulao passvel deser tratada de modo to rigoroso quando possvel, com objetivo de apontar respostasfactveis.

ConcorrnciaAt que John von Neumann e Oskar Morgenstern (1902-1977) publicassem o

livro que deu origem a esse novo ramo da matemtica, diversos outros economistas ematemticos, alm dos j mencionados, contriburam com conceitos e teoremas quemais tarde foram incorporados, como por exemplo a regra de Thomas Bayes (1702-1761) para calcular a probabilidade de um evento ocorrer a partir de uma informaodada e o teorema de Ernst Zermelo (1871-1953) sobre a existncia de uma estratgiavitoriosa em jogos de informao perfeita e soma zero (em que um s ganha se outroperde). Essa distribuio inicial dos conceitos espalhada por vrios pases e autores aolongo da histria moderna dificultou a identificao de um marco histrico ntido para

fundao da Teoria dos Jogos. Os quatro artigos que Borel publicou no incio do sculopassado, introduzindo a noo de estratgias mistas e soluo minimax, serviram entopara reivindicao desta prerrogativa, por parte de autores franceses, em favor de seuilustre compatriota6.

No obstante, o polmata Herbert Alexander Simon (1916-2001), por sua vez,embora tenha preparado a verso preliminar de seu Comportamento Administrativo(1945) antes de surgir Theory of Games and Economic Behavior(1944), abriu mo dequalquer mrito de ter descoberto um novo conceito de jogos estratgicos, abordado em

4Veja BOUZON, E. O Cdigo de Hamurabi, 196 a 200, pp. 181/2.5. Veja SUETNIO TRANQUILO, C.A Vida dos Doze Csares, p. 38.6

. Em Games and Decisions, Luce e Raiffa citam o economista Maurice Frchet como um dos autoresdesta proposta. Veja LUCE, R.D. & RAIFFA, H. Games and Decisions, cap. 1, p. 2.


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seu livro sob a tica do homem administrativo, ao invs do homem econmicoenfocadopor von Neumann e Morgenstern. Segundo Simon, o carter administrador procuraria"'contemporizar' ao invs de 'maximizar', (...) [realizando] suas escolhas sem precisar deexaminar previamente todas as possveis alternativas de comportamento, e sem ter de

certificar-se de que essas sode fato todas as alternativas que se lhe oferecem"7. Se averso do homem administrativo, lanada por Simon tivesse prevalecido, no serianecessrio levar em conta todas as relaes dos objetos envolvidos para deliberao,como quer a Teoria dos Jogos. Bastaria apenas o apoio regras empricas simples queno sobrecarregassem o clculo para uma escolha razovel, ao invs de uma forteformao matemtica que, por vezes, alvo de crticas de psiclogos e antroplogos.

Para a Teoria dos Jogos que prevaleceu, entretanto, todo processo de deliberaoparte da noo de um agente cuja racionalidade instrumental mnima, tpica do homemeconmico, visa to somente maximizar os ganhos de seus esforos, encarando o mundoreal em toda sua complexidade de relacionamento. Em Theory of Games and Economic

Behavior, von Neumann e Morgenstern estabeleceram, como parmetros de sua teoria,os jogos de duas pessoas com soma zero, em geral, cooperativos, isto , quando jogadoscom mais de dois jogadores e com a permisso de transferncia de utilidade interna scoalizes que forem constitudas. Por conta disso, produziram uma consistenteaxiomatizao da teoria da utilidade que foi amplamente aplicada nos diversos domnioseconmicos e fora destes.

No entanto, por mais inspirada e detalhada que fossem a prova do teoremaminimax e a formalizao dos jogos de soma zero, a Teoria dos Jogos surgiuincompleta, ao deixar em segundo plano os jogos de soma varivel e os no-cooperativos. Cedo, matemticos brilhantes trabalharam para preencher as lacunasdeixadas. John Nash procurou generalizar o teorema de minimax de von Neumann para

todo tipo de jogo - soma zero ou varivel, com n-pessoas. A soluo encontrada foibatizada de "ponto de equilbrio", como se fosse um repouso natural nas ocasies emque nenhum jogador poderia melhorar sua posio, mudando de estratgia, sem quepiorasse os resultados dos demais envolvidos. Nash conseguiu provar que, paraqualquer tipo de jogo, existe pelo menos um ponto de equilbrio que pode serencontrado usando estratgias mistas, como uma variao na proporo em que soaplicadas as estratgias originais, puras. Com isso, ao lado do teorema minimax, oequilbrio de Nash tornou-se um dos alicerces fundamentais da Teoria dos Jogos, poispermitiu que os jogos no-cooperativos, que envolvem cooperao e competiopudessem ser tratados, alm dos chamados cooperativos - aqueles em que os jogadorespodem usar a comunicao e fazer acordos que forcem a colaborao dos demais.

A elegncia e preciso das provas matemticas de von Neumann e Nash, apesarde formarem uma base terica slida, levaram os pesquisadores interessados em obtercontra-exemplos que consolidassem a Teoria dos Jogos, a prepararem experimentoslaboratoriais que pudessem ou no confirmar na prtica aquelas teses duras acerca daracionalidade dos agentes. Em janeiro de 1950, os laboratrios da corporaoestadunidense Rand tinham em seus quadros matemticos astutos do porte de MelvinDresher e Merrill Flood que prepararam uma experincia que se tornou histrica, a fimde verificar se pessoas de "carne e osso" seriam capazes de encontrar as estratgias emequilbrio previstas pela teoria. Por cem vezes, realizaram os testes com a participaodo matemtico John Williams, chefe de departamento da Rand, e do economista Armen

7. SIMON, H. A. Comportamento Administrativo, pp. XXVIII-XXIX.


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A. Alchian, da UCLA, que interagiam entre si. Entretanto, em vez de buscarem suasestratgias dominantes e pararem num ponto de equilbrio, eles optaram por cooperarmais vezes, do que trair o outro. Este famoso experimento ficou conhecido, depois,comoDilema dos Prisioneiros, graas histria contada pelo canadense Albert William

Tucker (1905-1995) - que fora orientador de Nash - em um seminrio para psiclogos,na Universidade de Stanford8.

Na verso de Tucker, dois suspeitos de terem cometido um crime grave so presose interrogados separadamente. Na tentativa de incrimin-los, o inspetor encarregado dainvestigao, de modo reservado, oferece a cada um as opes de confessar o delito eentregar o comparsa, ou ficar calado. Caso um dos suspeitos denunciasse o outro queficasse calado, o denunciante obteria a liberdade, por colaborar com a justia, enquantoseu colega arcaria sozinho com a pena mxima. Se ambos permanecessem em silncio,pegariam uma sentena mais branda pelo crime leve que os levaram priso emflagrante. Contudo, se os dois se delatassem mutuamente seriam punidos com umamesma condenao: menor do que a mxima, mas maior do que a pena leve. Por contadisto, a nica estratgia que domina todas as outras a da confisso mtua, uma vezque, independente da reao do outro, o melhor que cada um faria por si mesmo confessar o crime grave, ao contrrio de se expor possibilidade de ficar mais tempo nacadeia pagando a maior pena. Tal previso, contradita pela experincia na Rand,mostrava a existncia de algum problema no tipo de racionalidade concebida, pois, emvez de buscar resultados mais favorveis para si, os jogadores tendiam a escolher acooperao para maximizar seus ganhos, sem buscar, aparentemente, o equilbrio Nash.Ao saber disso, Nash atribuiu a falha na experincia ao fato dos jogadores interagiremem "um grande jogo de movimentos mltiplos", lamentando a ineficincia deles emcomportarem-se mais racionalmente9.

Por outro lado, o conceito de utilidade - que no exclusivo da Teoria dos Jogos,mas pertence ao domnio prprio da economia - foi alvo de fortes questionamentos emdois aspectos: primeiro, devido a suposta impossibilidade de se medir coisasincomessurveis; depois, pela duvidosa manuteno de uma racionalidade capaz depreservar a intransitividade e substituio das preferncias, bem como a ateno sprobabilidades objetivas em detrimento das subjetivas. O economista francs Maurice F.Charles Allais, em seu artigo "Le Comportement de L'Homme Rationnel Devant Le

Risque"(1953), atacou a manuteno rgida do conceito de racionalidade para todo tipode situao. Em sua pesquisa, Allais constatou que, diante do risco e ou incerteza, osagentes racionais assumiam uma perspectiva subjetiva da probabilidade de um eventoacontecer, sem atentar para estatsticas objetivas. Alm do mais, no preservavam a

independncia de suas escolhas, quando na substituio de alternativas irrelevantes.Fatores psicolgicos que influenciavam decisivamente os processos deliberativos,virtualmente, impediam qualquer tentativa de formalizao.

Em verdade, as crticas relevantes de Allais, embora fossem direcionadas noode utilidade adotada pela teoria econmica estadunidense, atingiram tambm a Teoriados Jogos, que tem elementos comuns a esta. Nesse contexto, os ataques diretos que aTeoria dos Jogos comeava a receber, em parte, arrefecera o entusiasmo inicial daprimeira metade do sculo XX. Testes empricos mostravam que aspectos psicolgicosimpunham algumas restries e exigiam novas tcnicas de abordagem aos especialistas.

8

. Veja NASAR, S. Uma Mente Brilhante, cap. 12, p. 147.9. NASAR, S. Op. cit, cap. 13, p. 149.


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Limites e SuperaoEnquanto problemas prticos persistiam, outros autores ajudavam a desenvolver e

aplicar a Teoria dos Jogos em diversos setores do conhecimento. Em 1955, RichardBevan Braithwaite (1900-1990) lanou o primeiro livro de filosofia a tratar desta teoria,

chamado Theory os Games as a Tool the Moral Philosopher, onde props um princpioequitativo, segundo orientao fornecida por uma "fronteira de eficincia". Anos depois,outros filsofos, como o canadense David Gauthier que desenvolveu toda uma teoriacontratualista da moral fundada na Teoria dos Jogos, em Morals by Agreement(1986),reconheceram o novo instrumento de anlise que lhes surgia. Martin Hollis (1938-1998), por sua vez, com o auxlio da Teoria dos Jogos procurou atacar a noo limitadaque v a razo instrumental incompatvel com a confiana, buscando na reciprocidade eno bem comum as bases iluministas de racionalidade e identidade comprometidas com orelacionamento local e o universalizvel10.

Nos anos que se seguiram II Guerra Mundial, os modelos matemticos de jogosserviram de orientao para o desenvolvimento e teste de estratgias militaresempregadas durante a Guerra Fria. O que fez com que Von Neumann e outros "tericosdos jogos" inspirassem o caricato personagem principal do filme Dr. Strangelove(Dr.Fantstico, 1963), de Stanley Kubrick (1928-1999), interpretado por Peter Sellers(1925-1980). O apelo anti-militarista da maioria da populao mundial, naquela poca,somado aos problemas inerentes teoria emergente, mas incompleta, lanou umasombra sobre os propsitos nebulosos dos pesquisadores desta rea. Apesar de sua "m-fama", diversos novos conceitos foram criados no sentido de aproximar a teoria darealidade vivida pelas pessoas nos seus conflitos cotidianos. Estudos de jogosrepetitivos, com vrias rodadas seguidas; estocticos, cujos pagamentos sofrem variaonuma porcentagem fixa; novos modelos de jogos, como a Batalha dos Sexos; e as

representaes de jogos na forma extensiva, de rvores com ns e ramos queesquematizam os movimentos tomados, e estratgica, com matrizes onde figuram a listade estratgias de cada jogador e seus resultados cruzados em clulas individuais, soalguns exemplos dos muitos aspectos desenvolvidos depois de 1950.

Em 1960, Thomas C. Schelling descreveu os efeitos da comunicao implcita edo chamadoponto focalpara deliberao em jogos de motivao mista, intermedirios competio irrestrita e pura colaborao. Mais uma vez, destacou-se os aspectospsicolgicos e culturais que no eram passveis de uma abordagem meramentematemtica. Ao longo dessa dcada, outros dois autores - que, em 1994, dividiriam oprmio Nobel de economia com John Nash -, Reinhard Selten e John C. Harsanyi(1920-2000), propuseram, respectivamente, o conceito deperfeito equilbrio de subjogo

como refinamento do equilbrio de Nash e uma distino precisa dos compromissos,onde eles so obrigatrios e quando no so plenamente factveis; bem como a teoriados jogos de informao incompleta, para jogadores que tm de se valer daprobabilidade, a fim de encontrarem uma soluo.

Em 1972, John Maynard Smith (1920-2004), bilogo evolucionista ingls,introduz a idia de estratgias evolutivamente estveis (EEE, ou ESS, sigla deevolutionarily stable strategy) em uma teoria dos jogos evolucionrios que transformoua biologia em uma das disciplinas que mais empregam a teoria dos jogos na anlise dosproblemas trabalhados. Em 1979, Daniel Kahneman - psiclogo israelense que ganhouo prmio Nobel de economia de 2002 -, ao lado de seu colega e compatriota, Amos

10. Veja HOLLIS, M. Trust within Reason, cap.8, p. 162.


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Tversky (1937-1996), publicou a Teoria das Perspectivas (Prospect Theory) como umaresposta aos desafios e crticas feitos por Allais, anos antes, sobre os aspectospsicolgicos dos conceitos de utilidade e racionalidade adotados pela Teoria dos Jogos.

Os problemas que Nash havia percebido nos jogos repetidos foram aprofundados

na teoria de Maynard Smith, cujo principal livro, Evolution and the Theory of Games,fora lanado em 1982, e na Teoria da Cooperao de Robert Axelrod, iniciada em 1984no seu The Evolution of Cooperation. Da em diante, a Teoria dos Jogos deixa de serassunto exclusivo de economistas e matemticos, passando a ser discutida abertamentepor cientistas das mais diversas reas do conhecimento. A biologia evolutiva destacou-se, mas tambm a psicologia, a neurologia e alguns filsofos mais avanados foramatrados pelos jogos e sua capacidade de modelar o comportamento de agentes(racionais ou no) envolvidos numa interao e interessados nos resultados que osfavoream preferencialmente.

Estgio AtualMuitas correntes, alm daquelas apontadas aqui, derivaram da Teoria dos Jogos e

no exagero dizer que milhares de artigos nos mais diversos campos tm sidopublicados todos os anos. Depois que Axelrod popularizou os torneios com simulaesde estratgias para o Dilema do Prisioneiro Iterado (DPI), uma nova abordagemcompletamente diferente da tradio filosfica surgiu para avaliar a cooperao e omodo de interao entre agentes com um grau mnimo de racionalidade. Desde ento,comeou-se analisar como a cooperao, paradoxalmente, poderia emergir mesmo entresujeitos egostas, interessados, primeiro, em satisfazer seus desejos imediatos desobreviver e reproduzir.

Qualquer que fosse o cenrio, determinista ou indeterminista, simultneo ou

alternado, se constatou que o entendimento mtuo poderia ocorrer, desde que aplicada aestratgia adequada para cada situao. Outros modelos de jogos criados mostraram issomais de perto. No jogo conhecido como Ultimato, pode-se perceber com nitidez anecessidade da atuao do comportamento equitativo para a soluo alcanada. N'outromodelo, chamado de Bens Pblicos, o papel da punio e de um agente institucional sodetectados no sentido de fazer valer os compromissos estabelecidos. A tais atributos -equidade e funo do Estado -, que so centrais na filosofia poltica e na tica,acrescenta-se ainda o elemento discursivo, que em alguns jogos falados, nocooperativos, podem refinar a soluo, quando vrios equilbrios so acessveis.

A simulao por meio de jogos tornou-se ainda um elemento essencial naconcepo de um programa de pesquisa, chamado Vida Artificial, que amplia as

fronteiras da Inteligncia Artificial a todo sistema de interao dos seres vivos. Docomportamento dos vrus a grandes imprios da histria, o ciclo de "origem-escalada-apogeu-declnio" reproduzido vrias vezes em computadores, com objetivo dedesvendar o programa que subjaz evoluo, de um modo geral. Tamanha diversidadede aplicaes impede que o assunto tratado por este livro adote uma postura exaustiva edetalhada que mereceria o fenmeno interdisciplinar da Teoria dos Jogos. De acordocom os propsitos adotados, pretende-se enfatizar a apresentao nos conceitos eprincpios bsicos da Teoria dos Jogos e da Cooperao, nos pontos de interesse diretoaos filsofos prticos (tica e poltica), destacando, na primeira parte, o papel dacomunicao e, na segunda, o mtodo da simulao e os jogos onde se emerge aequidade e o papel de instituies, como o Estado.


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1.1 A Estrutura do Jogo: Conceitos e princpios

A palavra "jogo", que d nome teoria, foi alvo de diversos malentendidosdesnecessrios. Muitos consideravam a Teoria dos Jogos como algo frvolo, poucosrio, ou simplesmente no-cientfico, dada sua origem em estudos de jogos de salo,como pquer, xadrez ou "pedra, papel e tesoura". Por ter sido gerada num ambientepredominante de homens e antes dos movimentos sociais exigirem do mundoacadmico a colocao de expresses "politicamente corretas", a teoria est povoada porconceitos cujos termos fazem referncias "batalha dos sexos", "conversa barata"(cheap talk), "blefe" e "pato" (sucker), entre outros jarges menos chocantes.Tecnicamente, no entanto, essa m impresso desfaz-se quando se percebe que aaparente simplificao das relaes entre indivduos fornecida pela formalizaomatemtica da teoria permite analisar com uma preciso at ento desconhecida nascincias sociais o comportamento dos agentes "racionais", humanos ou no.

Para a Teoria dos Jogos, um jogo definido por um conjunto de regras queestabelece seus cinco elementos constitutivos11:

1. o nmero de participantes;2. as aes ou estratgias possveis;3. os resultados de cada jogador;4. a funo que permite a cada parte combinar suas estratgias e5. a relao de preferncias de cada um diante dos resultados.

Alm disso, as regras delimitam o grau de informao permitido aos agentes. Osjogos so representaes simplificadas de situaes onde pelo menos uma pessoa age nosentido de maximizar a utilidade de suas aes levando em conta as reaes de outrosagentes. Trata-se, portanto, da descrio formal de uma situao interativa estratgica

em que as partes devem resolver qual a melhor deciso a ser tomada, segundo o pontode vista de um agente capaz de computar quais meios sero necessrios para obtenodo fim esperado. Por conseguinte, um jogador possui como requisito mnimo umaracionalidade instrumental ou estratgica.

Jogos com apenas uma pessoa so considerados jogos contra a natureza(ou Sorte)- nico agente considerado no-racional, mas que pode gerar indeterminao aosresultados, que passam a ser influenciados pela lei da probabilidade. A rigor, no hempecilhos formais para o estudo de jogos com um nmero infinito de participantes,embora seja mais frequente a pesquisa dos casos que envolvem duas partes, cujavisualizao pode ser feita facilmente na forma dita normal, ou estratgica, e na formaextensiva. Na sua representao normal, os jogos so exibidos em matrizes nas quais as

estratgias de cada jogador so listadas respectivamente nas linhas e colunas. Em cadaclula da tabela aparecem os ganhos que cada uma das partes obter caso realize asaes s quais ambas esto vinculadas. Os ganhos do jogador da linha so grafados naprimeira posio, esquerda do par ordenado, e os do jogador da coluna vm aps avrgula que os separa, direita. A figura 1.1 traz a tabela geral da forma estratgica:

As matrizes so tabelas que servem para apresentar de forma compacta asrespostas que podem ser esperadas em funo das aes escolhidas simultaneamente.Aqui a ordem em que os jogadores atuam irrelevante ao resultado. Tambm so

11Para um jogo de forma normal, ou estratgica, apenas os trs primeiros elementos so necessrios

definio, mas para jogos no cooperativos os dois ltimos itens so relevantes, com ensina WERLANG,S.R.da C. Jogos de Informao Incompleta, p. 2.


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desconsideradas a quantidade de vezes que os jogos se repetem, sendo a sntese de todosjogos possveis em suas rodadas infinitas, ou indeterminadas. A matriz concentra asinformaes disponveis a cada jogador por igual. Por outro lado, dificulta a incluso deum nmero muito grande de jogadores. Acima de dois jogadores, a representao deixa

de ser bidimensional e passa a ser tridimensional, com trs participantes, oumultidimensional, para mais de quatro jogadores.

ColunaFigura 1.1 Matriz Geralde Estratgias Puras 1 2 .... y2 .... yn

1 f(1, 1) f(1, 2) .... f(1, y2) .... f(1, yn)

2 f(2, 1) f(2, 2) .... f(2, y2) .... f(2, yn)::

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x1 f(x1, 1) f(x1, 2) .... f(x1, y2) .... f(x1, yn):

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Linha

xm f(xm, 1) f(xm, 2) .... f(xm, y2) .... f(xm, yn)Jogos em que os detalhes omitidos pela forma estratgica so relevantes ficam

melhor representados na descrio completa fornecida pela forma extensiva, desenhadano modelo estrutural de "rvores". No esquema de rvores, a ordem deliberativa decada jogador observada, bem como o conjunto de informaes de cada um. Os pontosapresentados - ou "ns" - so as decises disponveis e os traos - ou "ramos" - asalternativas de movimento e as aes que levam de um n a outro, desde o ponto inicial- ou "raiz" - at o resultado final em cada terminal ou folha. O caminho traado, daraiz folha, delineia todas as estratgias que podem ser realizadas. Motivo pelo qual asrvores s devem ser empregadas em jogos finitos. A forma extensiva permite uma

anlise direta da situao, j que apresenta toda estrutura das jogadas e das informaesdisponveis de uma vez. Observando os ns e ramos da rvore, podem ser percebidos onmero de jogadores, suas opes nos pontos de deciso, as posies intermedirias -ou movimentos - at os pontos terminais e a quantidade de jogadas a cada passoexecutado12. O conjunto de informaode cada jogador limitado em cada rodada poruma linha que circunda os ns de deciso. Quando o jogador tem certeza em qual n seencontra, este conjunto de informao unitrio. Cada n e conjunto de informao rotulado com o nmero ou letra de cada jogador, enquanto os ramos so rotulados comas alternativas de ao que partem de cada n. As rvores so apropriadas para os jogossequenciais, onde os agentes se movimentam numa ordem predeterminada (figura 1.2).

No exemplo da figura 1.2, v-se a raiz, representada pelo ponto aberto "a",corresponder ao conjunto unitrio de informao inicial do jogador I, que tem duaslinhas de ao a sua escolha, 1 ou 2. O jogador II dever na sequncia escolher tambmentre suas opes 1 ou 2. Contudo, dependendo do n em que se localize, "b" ou "c",poder levar com que a natureza, jogador 0, venha executar o prximo movimento, casosua alternativa 1 seja adotada a partir do n "b". Assim, haveria a probabilidade dosresultados de "R1" a "R3", ocorrerem nas propores que nomeiam seus respectivosramos. De outro modo, se II selecionasse a estratgia 2, desde o ponto de deciso "c", o

jogador III entraria em cena para optar por uma de suas trs aes que conduzem aosganhos de "R8" a "R10". Do contrrio, as demais alternativas retornam a I a chance deescolher entre "R4" e "R5", decidindo a partir de "e", ou "R6" e "R7", saindo de "f". Todos

12. Veja SHUBIK, M. Teora de Juegos en las Ciencias Sociales, III.3.1 a III.3.3, pp. 48-53.


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os dez resultados possveis deste exemplo distribuiriam, ao final, os pagamentosdevidos aos trs jogadores envolvidos (I, II, III), j que a natureza (0), embora possaatuar como um agente irracional gerador de incerteza, no obtm nenhum ganho dasaes empreitadas.

Figura 1.2

A definio mais geral da forma extensiva para jogos com n-pessoas foiestabelecida por Harold W. Kuhn, em 1953, no artigo "Extensive Games and theProblem of Information", ampliando a verso apresentada por John von Neumann, em1928. A chamada rvore de Kuhnatende a sete condies:

i. Um conjunto de njogadores;ii. Estrutura de rvore enraizada, chamada rvore do jogo;

iii. Partiodo conjunto de ns em diversos subconjuntos, entre os jogadores;iv. Distribuio de probabilidade rotulando cada ramo brotado de um n do

subconjunto da natureza, jogador 0;v. A formao de conjunto de informaespara cada subconjunto de ns de um

jogador deve respeitar (a) o mesmo nmero de ramos correspondentes, saindo decada n diferente, e (b) cada caminho, partindo da raiz folha, s pode cruzarum conjunto de informao uma nica vez;

vi. Cada folha contm, ao final, ospagamentosresultantes a cada jogador;vii. E, por fim, a descrio completa da rvore de conhecimento comuma todos

jogadores. Ou seja, cada um sabe o que os outros tambm sabem13.Tantos os jogos cooperativos como os no-cooperativos - duas das principais

divises dos modelos de jogos tericos que so abordadas a seguir - podem ocorrer emcondies cujas tomadas de decises dos participantes so feitas simultaneamente, emsequncia ou a cada vez que os jogos so repetidos. Os jogos simultneosso aquelesem que as escolhas das estratgias acontecem ao mesmo tempo, sendo de prefernciarepresentados por matrizes. Quando a ordem de atuao influencia o seudesenvolvimento, os jogos so chamados sequnciais. Nos jogos sequenciais finitos, amelhor forma de representao se d por meio do esquema de rvores. Por fim, os jogosrepetidos exigem que as mesmas opes de estratgias sejam exibidas em rodadassucessivas, nas quais os jogadores tm de decidir novamente se mantm suas escolhas

13

. Veja HART, S. "Games in Extensive and Strategic Forms", in AUMANN, R. & HART, S.Handbookof Game Theory with Economic Application, vol. 1, cap. 2, 1, pp. 22/5.


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anteriores ou trocam de alternativa. A iterao que ocorre nesse ltimo tipo de jogo fazsurgir misturas de estratgias que no poderiam levar a uma soluo equilibrada,quando jogadas de uma nica vez, na condio pura do jogo base apresentado naprimeira rodada. Jogos repetitivos tambm so chamados de superjogos. Nos

superjogos, a memria exerce um papel crucial na construo de um equilbrio que setorna muito difcil quando as aes dos jogadores no so plenamente recordadas ou soperturbadas pelo acaso. Os superjogos servem de base aos modelos de simulaoutilizados em larga escala pela biologia, cincia da computao e demais cincias.

InformaesConforme a possibilidade ou no de comunicao e a quantidade de informao

acessvel, os jogos podem ser divididos em cooperativos ou no-cooperativos, deinformao completa ou incompleta, perfeita ou imperfeita. Jogos cooperativos soaqueles em que a comunicao prvia permitida entre os jogadores, antes de decidirema estratgia que adotaro durante o jogo. Com isso, acordos irrevogveis e auto-motivantes so passveis de estabelecimento. Para ser eficaz, a comunicao precisa serlivre de distoro e sem qualquer custo para os falantes, isto , a emisso de mensagensno implica em uma alterao direta da matriz original do jogo. Entretanto, embora acomunicao, primeira vista, parea facilitar a realizao de contratos, tambm abreespao para imposio de coalizes, ameaas e blefes que perturbam a produo dosmelhores resultados para uma das partes. Uma viso mais abrangente do papel dacomunicao ser discutida de perto no prximo captulo, dedicado a esse temaimportante para a Teoria dos Jogos.

Jogos no-cooperativos probem que a comunicao prvia seja estabelecida,apesar de haver situaes em que a sinalizao acontece, bem como o encontro de

convenesque ajudam a coordenar as aes dos agentes, com base no conhecimentocomum partilhado pela cultura, convvio social ou capacidade cognitiva dos jogadores.Nestas ocasies, um efeito chamado de "telepatia" emerge como forma de comunicaoimplcita entre falantes de uma mesma lngua ou habitantes de uma mesma regio ougrupo social, dotados de mentes semelhantes e conhecimento comum.

De todo modo, sendo ou no implementada a comunicao, quando os jogadorestm pleno conhecimento do nmero de participantes, da posio que cada um ocupa emcada etapa do jogo e dos resultados que todos podem obter, diz-se que o jogo deinformao completa. Na falta de um desses elementos informativos, o jogo deinformao incompletae as caractersticas sobre o tipo dos jogadores deixam de ser deconhecimento comum, quebrando a simetria entre eles. Em jogos de informao

perfeita, por meio de induo reversa, os jogadores podem conhecer toda histria dojogo, antes mesmo de tomarem suas decises. Todos conjuntos de informao de umarvore de jogo de informao perfeita so unitrios. O que vale dizer que cada partesabe em qual n de um jogo sequencial est. Caso contrrio, o jogo chamado deinformao imperfeita. Os participantes que se lembram, a cada rodada, de todos oslances anteriores efetuados desde o incio do jogo possuem memria perfeita, enquantonos jogos em que no possvel ter toda essa informao do passado so chamados dememria imperfeita.

Uma maneira de trabalhar a falta de informao na modelagem dos jogos introduzir a natureza como uma parte atuante em alguma jogada. Assim, as incertezasdos demais jogadores, em relao definio das regras, podem ser interpretadas como

probabilidades subjetivas, que a psicologia dos jogadores trata de estabelecer. Em


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diversos textos do final dos anos 1960 - onde se destaca "Games with IncompleteInformation Played by 'Bayesian' Players"(1967-68) -, John Harsanyi sistematizou essasituao tratando os agentes como jogadores "bayesianos", isto , aqueles cujasincertezas podem ser operadas atravs de uma distribuio da probabilidade subjetiva

conjunta partilhada por todos14. Embora a aplicao destas idias seja dficil de serobservada por humanos e outros animais no seu dia-a-dia, o modelo de Harsanyi serviupara descrever as circunstncias em que a informao assimtrica, quando algumdispe de um conhecimento privilegiado sobre os ingredientes do jogo que no dedomnio dos outros envolvidos na mesma situao dos jogos chamados de informaoincompleta. De uma certa forma, tambm foi uma resposta proposta feita por ThomasSchelling no segundo apndice de The Strategy of Conflictpara o abandono da simetriana Teoria dos Jogos. A adoo desta sugesto trazia algumas dificuldades para a teoria,uma vez que o equilbrio de Nash tinha como condio a simetria entre os jogadores,apesar da maioria dos casos interessantes envolver movimentos assimtricos. A soluode Harsanyi produziu, ento, equilbrios Bayes-Nash para cada tipo de jogador quemaximiza os valores esperados de acordo com as estratgias seguidas pelos outros,subentendendo a incerteza quanto ao tipo do outro jogador, que pode ser diferente tendoem vista a crena subjetiva na probabilidade prvia de distribuio desses tipos nanatureza15. A crena prvia comum a expectativa que todos jogadores tm sobre omodo da natureza produzir alternativas de forma aleatria. Tal crena nada mais ,portanto, que o conhecimento comum da probabilidade estimada de que um tipo de

jogador venha fazer parte do jogo. De posse dessas informaes os jogadores podemavaliar suas escolhas a partir de probabilidades predeterminadas de que estejaenfrentando um tipo diferente ou semelhante de respectivos oponentes. Toda essadiscusso, entretanto, depende da maneira que a comunicao tratada, tema que ser

mais desenvolvido, como j foi prometido, no segundo captulo.Soma Zero ou Varivel

Jogos no-cooperativos incluem, entre outras, uma categoria de confronto deinteresses que definida como estritamente competitiva. So situaes extremas nasquais para um jogador ganhar, o outro tem necessariamente de perder, ou ento as partesterminam o jogo sem saldo algum. Nos assim chamados jogos de soma zero, no hpossibilidade de cooperao entre dois agentes egostas, j que seus interesses sototalmente opostos. Contudo, com mais de duas pessoas, coalizes de jogadores podemser formadas contra a outra parte, motivo pelo qual os jogos passam a ser considerados

14. Harsanyi aplicou em trs artigos sucessivos chamados Game with Incomplete Information Played byBayesian Players(Jogos com Informao Incompleta Jogados por Jogadores Bayesianos, 1967-68)a estatstica bayesiana em jogos em que os participantes no so totalmente informados e tm incertezaquanto aos resultados obtidos, com intuito de achar uma soluo racional para esses casos. A contribuiode Thomas Bayes (1702-1761), neste caso, resume-se ao seu mtodo de encontrar a probabilidade deocorrncia de determindas causas, antes do evento qualquer ser observado. Pelo teorema de Bayes, aprobabilidade (P) de uma hiptese (h), ou informao, dada a sua evidncia (e), ou evento, igual aoproduto das probabilidades da hiptese e da evidncia dividida pela hiptese, sendo o resultado umafrao da probabilidade da evidncia, ou P(h|e) = [P(h) P(e/h)] P(e). A frmula de Bayes um mtodoalgbrico til para determinao dos valores quando o esquema de rvore tem muitas alternativas quetornam sua construo muito complexa.15. Veja SCHELLING, Th. C. The Strategy of Conflict, ap. B, pp. 277 e ss; VARIAN, H. R.Intermediate

Microeconomics, cap. 15, 15.12-13, pp. 279/82 e FIANI, R. Teoria dos Jogos, cap. 7, pp. 175 e ss.para introduo ao assunto.


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cooperativos, admitindo a influncia da comunicao prvia. No obstante, a soma dosresultados de todos os jogadores envolvidos nessa interao sempre igual a zero. Namatriz de jogos de duas pessoas e soma zero, por conveno omite-se os relativos coluna, que passam a ser inferidos a partir do resultado expresso para a linha,

multiplicado por menos um (figura 1.3).ColunaFigura 1.3 Matriz de

Jogo de Soma Zero EstratgiasPedra Papel TesouraPedra 0 -1 1Papel 1 0 -1Linha

Tesoura -1 1 0

De acordo com o teorema de Zermelo, publicado em 1913, no artigo "ber eineAnwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels"(Sobre uma Aplicaoda Doutrina Mista Teoria do Jogo de Xadrez), jogos finitos de soma zero cominformao perfeita so estritamente determinados. Qualquer um dos jogadores tem asua disposio uma estratgia capaz de garantir a vitria, ou ao menos o empate, adespeito de como o adversrio atuar. Tal pressuposto pode ser demonstrado porcontradio: ao admitir-se que um jogo soma zero finito, com informao perfeita, no estritamente determinado, deve-se supor que nenhum jogador possui uma linha de aoque, desde o incio do jogo lhe traga a vitria, posto que, do contrrio, o oponente nopoderia encontrar outra que o permitisse vencer. Assim, o primeiro lance do jogo noser uma posio vitoriosa, qualquer que seja a posio inicial. Caso houvesse, oprimeiro jogador mover-se-ia imediatamente para l. Alm disso, tal posio tambmno ser vitoriosa para o adversrio, pois se fosse assim teria desde o incio condiesde ganhar o jogo.

Por conseguinte, se a primeira jogada no assegura vitria, a segunda tambm noa garante, muito menos as demais, at o infinito. Contudo, se o jogo finito, tem dehaver uma posio final, na qual um dos jogadores alcance a vitria ou o empate. Logo,a condio da finitude do jogo contradiz a afirmao de que o jogo no estritamentedeterminado, demonstrando, ento, a validade do Teorema16. Pedra, Papel ou Tesourano um jogo estritamente determinado por ser simultneo e, portanto, de informaoimperfeita, pois, qualquer estratgia que venha a ser adotada pode ser vencida por umaoutra adequada do adversrio17. Ambos escolhem suas aes ao mesmo tempo, semsaber qual ser a deciso do outro, o que torna impossvel uma soluo usando apenasas estratgias puras. No h, como se ver mais adiante, uma estratgia dominante,ponto de sela, ou equilbrio entre as opes dos jogadores nessa circunstncia. J o

xadrez, tal como ojogo da velha, estritamente determinado.Os jogos de soma zero tiveram sua anlise esgotada em Theory of Games andEconomic Behavior, de John von Neumann e Oskar Morgenstern. E durante o curtoperodo que antecedeu a tese de John Nash, mesmo os jogos de soma diferente de zeropoderiam ser tratados como de soma zero, bastando para tanto, introduzir um jogador amais que assumisse as perdas da totalidade ganha pelos outros jogadores. Comopropunham Von Neumann e Morgenstern, esse jogador "no teria influncia direta no

16. Veja DAVIS, M. Teoria dos Jogos, cap. 2, apndice, p. 32/4.17O tradicional Pedra, Papel ou Tesoura(originrio do Japo) um tpico jogo simultneo de soma zero.Quem escolhe a estratgia "pedra" (mo fechada) quebra "tesoura" (dedos indicador e mdio abertos),

empata com "pedra" e perde de "papel" (mo aberta). "Papel" cobre a "pedra", empata com "papel" eperde de "tesoura". Esta, por fim, corta "papel", empata com "tesoura" e perde de "pedra".


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curso do jogo"18. Seu papel, embora fictcio, muitas vezes poderia ser associado funo exercida pela natureza, ou o tesouro nacional de um pas qualquer, nos jogos deuma ou mais pessoas em que os recursos naturais ou monetrios so partilhados pelos

jogadores que tomam a deciso de dividir esses bens entre si. Nesses casos, a natureza

ou o tesouro assumiriam os prejuzos ou absorveriam os excedentes gerados pelainterao dos demais jogadores. Muitos autores consideram a reduo dos modelos de

jogos soma zero de pouca utilidade para as cincias sociais, pois, como lembra SilviaNasar, "at mesmo na guerra h, quase sempre, algo a ser obtido da cooperao"19. Noobstante essas opinies, reconhecer jogos de soma zero, numa escala mais ampla, ajudaa entender melhor os problemas ambientais, na perspectiva da tragdia dos comunsapresentada pelo bilogo Garrett Hardin (1915-2003) no artigo The Tragedy of theCommons, de 1968.

Hardin imaginou a situao de pecuaristas que mantm a maior quantidade degado possvel em terras devolutas, sem dono, mas de uso comum. Tudo vai bemenquanto o crescimento vegetativo da populao fica abaixo da capacidade da terra serecuperar. Porm, paradoxalmente, quando as metas de bem estar social conseguemtornar prsperas as vidas das pessoas, o nmero crescente de gado no pasto, acaba porlevar runa os criadores que buscam maximizar o seu ganho com a venda de carne ouleite, uma vez que o custo de manuteno de cada animal no pode mais ser suportadopelos recursos "gratuitos", mas limitados da natureza20. O mesmo acontece com ocrescimento populacional, a poluio, a devastao das florestas e todo tipo de ao quevise tirar proveito das externalidadesdos bens pblicos.

No obstante, jogos que no so estritamente competitivos permitem aosparticipantes preferirem opes que no esto em total oposio entre eles. Um jogadorpode desejar obter um resultado que o favorea, sem necessariamente causar prejuzo ao

outro. O que no possvel em jogos de duas pessoas e soma zero. Ademais, jogos desoma variante, diferente de zero, ao serem repetidos vrias vezes podem promover acooperao, apesar de nenhuma comunicao prvia ter ocorrido. Atravs de viasindiretas, como a sinalizao, convenesou encontro depontos focais, tacitamente, asescolhas de estratgias favorveis entre as partes acontecem assim que uma soluonica se mostre ntida a todos de modo semelhante.

Ao contrrio dos jogos de soma zero, onde uma soluo direta passvel de serencontrada por meio de estratgias minimax, ou maximin- abordadas no prximo ponto-, os de soma varivel apresentam caractersticas de competio e cooperao quedificultam bastante a busca de uma soluo que seja aplicvel a todos os casos. Semembargo, a abordagem ampla de jogos no estritamente competitivos e de soma

diferente de zero s foi possvel depois de John Nash ter descoberto para os jogos no-cooperativos uma soluo geral que abrangeu tambm os cooperativos. Enquanto nosjogos cooperativos os acordos obtidos tornavam obrigatria sua execuo, nos jogosno-cooperativos no fica claro se os contratos possveis sero cumpridos, em parte ouem sua totalidade, como ocorre quando se defrontam seres egostas, dotados deracionalidade instrumental, que usam de qualquer meio para satisfazerem seusinteresses imediatos. A prova da existncia de umponto de equilbrio, do qual nenhum

jogador poderia fugir unilateralmente sem afetar o resultado do outro, serviu no s para

18.VON NEUMANN, J. & MORGENSTERN, O. Theory of Games and Economic Behavior, p.506.19

. Veja NASAR, S. Uma Mente Brilhante, cap. 9, p. 120.20. Veja HARDIN, G. "The Tragedy of the Commons".


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resolver os problemas formais restritivos da Teoria dos Jogos cooperativos, mas fezcom que as cincias sociais pudessem aplicar esse tipo de ferramenta de anlise fora dosdomnios da economia e da matemtica.

De qualquer maneira, todos os jogos proporcionam a oportunidade de avaliar

formalmente a relao das listas de preferncias manifestas, de duas ou mais pessoas.Contudo, durante o desenrolar das partidas, aspectos psicolgicos esto a todo momentoameaando a manuteno da racionalidade estratgica pressuposta pela Teoria daUtilidade adotada no modelo de jogos. Utilidade um dos diversos termos da teoria quecausam confuso entre os filsofos, uma vez que a moderna teoria da utilidade traadapor Von Neumann e Morgenstern difere em muitos pontos da antiga noo de utilidadeque subjaz, principalmente, ao Utilitarismo dos seguidores de Jeremy Bentham (1748-1832) - sobretudo o carter moral que obrigaria aos governos maximizar a utilidade damaioria da populao, sem considerar os ganhos individuais em primeiro lugar21.

UtilidadeTudo que Von Neumann e Morgenstern pretendiam construir com o livro de 1944

era um mero procedimento matemtico que pudesse servir como instrumento de anlisede situaes em que se pode comparar as utilidades das pessoas envolvidas. Em outraspalavras, o problema da comparao das utilidades era visto como uma tentativa deavaliar o conjunto de possibilidades de atuao de um agente (indivduo ou grupo), comobjetivo de maximizar ou minimizar a sua satisfao ou frustrao, segundo uma listade preferncias. O que no quer dizer que a maximizao da utilidade tenha decontemplar apenas interesses mesquinhos ou egostas, no sentido de exclusividade. IrmDulce (1914-1992) ou a Madre Teresa de Calcut (1910-1997), ao buscarem fornecer omximo de recursos aos pobres e miserveis, no Brasil e na ndia, respectivamente,

estavam tambm, do ponto de vista da teoria dos jogos, maximizando seus prpriosinteresses. Como diria o psiclogo e matemtico canadense Anatol Rapoport, "no hcontradio entre esse impulso de caridade e a maximizao da utilidade"22.

A seleo da linha de ao que ser adotada faz-se sob condies de certeza,risco, incertezaou, como Luce e Raiffa acrescentaram, luz de evidncias empricasque misturam risco e incerteza23. Num cenrio de certeza, sabe-se que cada aoconduzir invariavelmente a um resultado especfico. Sob riscoso tomadas as decisescujas aes levam a um dos possveis resultados esperados a uma taxa de probabilidadeconhecida - como os 50% de chances de sair ou cara ou coroa no lanamento de umamoeda ao ar. A incertezadiferencia-se do risco pelo fato da probabilidade no ter umaproporo fixa predeterminada - as chances de chover amanh, por exemplo. Para que

as escolhas sejam plausveis, um conjunto de axiomas propostos por Von Neumann eMorgenstern e sustentado por vrios autores postula, em geral, que haja pelo menos:a. ordenamento das alternativas;b. transitividade das preferncias;c. continuidade;

21. O que no impediu o psiclogo Daniel Kahneman de tentar uma aproximao entre os dois conceitosno artigo "Experienced Utility and Objective Happiness"(2000), includo na coletnea KAHNEMAN, D.& TVERSKY, A. Choice, Values and Frames, bem como Harsanyi de defender a validade do utilitarismofrente a outras teorias morais, com base na teoria dos jogos (em HARSANYI, J. "Game and DecisionTheoric Models in Ethics").22

. RAPOPORT, A.Lutas, Jogos e Debates, part. II, cap. VI, p. 97.23. De acordo com LUCE, R. D. & RAIFFA, H. Games and Decisions, 2.9, p. 37.


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d. combinao e substituio delas por chances de obteno de um ganho ao qualse indiferente.

O ordenamentodas preferncias, ou indiferena, exige que o jogador prefira umaoportunidade a outra ou seja indiferente s duas. Assim, para o terico dos jogos no

haveria coisa alguma que no fosse passvel de comparao com outro objeto, alvo decrena ou desejo. Na comparao entre objetos, a probabilidade de obteno de umoutro qualquer, sorteios compostos, nos quais se passa de um sorteio para o outro,podem ser reduzidos a uma simples loteriaem que a probabilidade final de alcanar umresultado incorpora as chances de cada ramo que traa o caminho que leva at o nterminal. A transitividade das preferncias e indiferenas das coisas e loterias umarelao que evita a circularidade e inconsistncia que tornariam praticamente intratvela teoria da utilidade. Pois, se algum prefere "A" a "B" (A > B) e "B" a "C" (B > C),conclui-se que tambm prefira "A" a "C" (A > C), ou seja indiferente caso hajaindiferena entre "A" e "B" (A = B) e "B" e "C" (B = C). Se a probabilidade de ganharalgo desejado for indiferente posse de um outro objeto de ganho certo, o jogadordever arriscar-se ao sorteio sempre que existir um nmero racional entre 0 e 1 ao qualse esteja indiferente entre uma loteria que envolva o objeto mais querido e a posse deoutra coisa inferior. O que, em resumo, equivale a dizer haver uma continuidadena listade preferncias de um agente e um ponto em que se possa estabelecer comparaesentre elas: "tudo tem seu preo". Por conseguinte, exige-se que um sorteio possa ter umde seus prmios substitudopor outro, permanecendo as demais alternativas inalteradas,sem que se mude as preferncias do jogador entre o prmio original e o substituto, demodo que a primeira loteria e a nova sejam indiferentes. Ou seja, um jogador que semostrar indiferente entre um prmio novo e o anterior, tambm dever s-lo quanto sduas loterias propostas nas mesmas condies. Assim, se uma substituio provocar

uma melhoria na premiao, a loteria modificada dever ser melhor que a original. Talpressuposto conhecido ainda como a hiptese de independncia das alternativasrelevantes, ponto crucial na discusso que o economista francs Maurice Allaisestabeleceu em 1953. Afinal, havendo a possibilidade de mais de um sorteio ocorrer,aquele cuja probabilidade de obteno de algo que seja melhor for maior dever ser oescolhido, de acordo com uma ltima condio chamada monotonicidade.

A funo de utilidade, portanto, faz a associao de nmeros s preferncias e scircunstncias em que a sorte leva a resultados finais almejados. Ela permite acomparao das utilidades de diferentes pessoas como medidas intervalares de escalasdiferentes ou mesmo desconhecidas. Como explica Rapoport, o ponto zero e a unidadedas escalas podem ser arbitrrios, bastando apenas a determinao da proporo de cada

par de diferenas da utilidade, do mesmo modo que se comparam as escalas detemperatura, seja em graus Celsius, Fahrenheit ou Kelvin24. Entretanto, a pretenso dequantificar qualquer objeto que seja alvo do interesse de um agente, incluindosentimentos subjetivos, abriu espao para diversas especulaes, apoiadas emexperimentos laboratoriais e de campo. Allais argumentou que indivduos, em geral, noconsideram as probabilidades objetivas em suas decises, mas adotam probabilidadessubjetivas, representaes psicolgicas, quando defrontados a situaes de risco. Naprtica, isso poria abaixo os axiomas de independncia forte ou substituio.

Entre escolhas de ganhos certos e indeterminados como neste exemplo em que a...

24

. Veja RAPOPORT, A. Op. cit., part. II, cap. VI, pp. 98 e ss. para conhecer essa passagem e os detalhesdo exemplo esclarecedor da temperatura.


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A. certeza de receber 100 milhes ou aB. probabilidade de 10% de ganhar 500 milhes e 89% de ganhar 100 milhes e

1% de nada obter;...a maioria das pessoas prefere a opo "A" mais do que "B" (A > B). Contudo, quando

o quadro muda e so oferecidas as chances de...C. ganhar 100 milhes a 11% e 89% de nada ganhar ouD. 10% de ganhar 500 milhes e 90% de obter zero

...agora a maior parte responde preferir "C" a "D" (C > D), embora o valor de cadaalternativa seja respectivamente: 100 milhes para "A"; 139 milhes a "B"; 11 milhesa "C" e 50 milhes a "D". O que significa que a relao de preferncias entre essesresultados no preserva os mesmos valores em circunstncias objetivamentesemelhantes, pois o desejo pelo ganho certo que a maioria das pessoas manifesta,quando indica "A > B", no se repete na variao presente em "C > D", cuja diferenade 39 milhes igual nas duas loterias25.

Este exemplo fornecido por Allais apontou para uma forte deformao provocadapelos valores psicolgicos sobre a expectativa de resultados, cuja pretenso desatisfao absoluta da utilidade, atravs de escolhas aleatrias, se mostrou invivel,devido aos desvios empreendidos s estratgias preferidas na presena de fatores derisco. Os componentes psicolgicos, que tanto influenciam as decises corretas, tiveramento de serem melhor avaliados pelos psiclogos e tericos dos jogos que, emborareconhecessem as dificuldades de formalizao do processo amplo de deliberao queenvolve os sentimentos emersos de cenrios incertos, percebiam que suas principaisfalhas recaam sobre a descrio da condio natural do agente e no sobre o mtodo deaxiomatizao, propriamente dito, empregado na teoria. As tentativas de Harsanyi ouKahneman e Tversky, para citar apenas os laureados com Nobel, ajudaram a traar com

maior preciso a maneira adequada de se chegar a uma soluo com o uso do clculodas probabilidades e com a percepo dos efeitos da averso e busca do risco nos casosde ganhos e perdas, respectivamente.

1.2 Estratgias Dominantes, Maximin, Mistas e Noo de Equilbrio

Aps estabelecer a lista ordenada de suas preferncias e relacion-las a umafuno de utilidade, os agentes devem estar aptos agora para preencherem as matrizes eos esquemas de rvores, segundo as linhas de ao disponveis. Os valores que cadaparte receber com o encontro dessas estratgias depender das escolhas que fizerindividualmente. Por princpio, supe-se que todos busquem maximizar seus resultados

e, ainda que no consigam, se empenhem para que isto ocorra. A Teoria dos Jogos teminstrumental suficiente para analisar jogos de azar - dados e roleta, por exemplo -, masvai alm da simples teoria dos jogos de azar que tem sua sustentao na teoria daprobabilidade. Enquanto no jogo de azar, a natureza o nico jogador com o qual setem que defrontar, bastando apenas apurar a utilidade esperada com base no clculo daschances de um resultado acontecer, nosjogos de estratgias- desde o jogo da velha aoxadrez, passando pelos jogos de cartas como pquer, bridgeou sueca - presume-se quehaja mais de um jogador racional, cujas deliberaes levam em conta, recursivamente,aquilo que o adversrio far em consequncia de seu raciocnio pressuposto. Ademais

jogos de estratgias que envolvem habilidade dos jogadores - como o duelo e os

25. Veja ALLAIS, M. F. Ch. "Le Comportement de l'Homme Rationnel Devant le Risque", p. 527.


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esportes olmpicos, em geral - tambm so passveis de estudos semelhantes aos feitospor Martin Shubik em Teoria dos Jogos nas Cincias Sociais, de 1982, onde se avalia omomento exato de se realizar as melhores estratgias disponveis, com as chancesadequadas de se acertar o alvo.

Para no sobrecarregar demais esta introduo Teoria dos Jogos e daCooperao, nos concentramos nos jogos de estratgia entre dois jogadores quedisponham de duas estratgias (2 x 2) que, embora faam forosas simplificaes,servem de modelo explicativo para um vasto espectro de situaes cotidianas em que osinteresses dos jogadores podem coincidir ou divergir em parte. Na perspectiva dos

jogos, estratgiasso programas que instruem qual linha de ao um jogador adotardurante toda partida, antes mesmo dela comear, dependendo do que o adversrio far.Em termos de jogos extensivos, uma estratgia descreve o caminho que um jogadorpercorrer desde o seu primeiro lance at o n terminal. Quando o jogo ou a interaoentre mais de um agente interessado em satisfazer ao mximo sua utilidade acontece emmais de uma etapa de deciso, as estratgias devem traar um plano de escolhas paracada ponto de deciso, formando uma sequncia completa de movimentos, atravs dosconjuntos de informaes disponveis, tendo em vista os melhores valores oferecidos nofinal. H uma forte interdependncia das decises que os adversrios tomaro em suasexpectativas recprocas do comportamento do outro. O processo de deliberao que visamaximizar os ganhos finais tem, portanto, de compreender adequadamente a capacidadedo oponente reagir a suas aes, conforme a conduta esperada entre seres semelhantes,nem sempre racionais de todo.

Cada jogador dispe de um conjunto de estratgias puras que podem sermisturadas entre si e combinadas com as dos outros agentes. De acordo com acombinao especfica para as estratgias de diferentes jogadores, os resultados finais

para cada indivduo corresponder um ganho prprio que relacionado ou no com asoluo do jogo. Na matriz simples, desenhada na figura 1.4...Coluna

Figura 1.4Estratgias Esquerda Direita

Alto 1, 1 1, 0Linha

Baixo 0, 1 0, 0...no difcil para as partes coordenarem suas aes em direo ao resultado do alto, esquerda. Pois ambos possuem estratgias dominantesque se encontram naquela clulada matriz 2 x 2. Para Linha, Alto a estratgia que domina Baixo, qualquer que seja aescolha que a Coluna faa. Isto , garante-lhe o melhor ganho (1) caso Coluna jogue

Esquerda ou Direita, frente aos ganhos de Baixo (0). Por sua vez, Coluna tem emEsquerda a sua dominante, j que a nica a lhe fornecer um a mais do que o zero daDireita, a despeito do que Linha jogue. Assim, (1, 1) ser o par de recompensas quesoluciona facilmente interaes desse tipo entre agentes racionais, sem muitos sustos,graas dominncia de suas estratgias mtuas. Os interesses de ambos convergem parao alto, esquerda.

At aqui, nenhum problema em relao aos aspectos psicolgicos da outra partepoder afetar os ganhos esperados de um jogador racional. Coisa diferente enfrentam aspessoas quando uma pequena mudana nos ganhos da matriz passa a comprometer umaeficiente coordenao das aes. A figura 1.5 apresenta dois resultados conjuntos quefavorecem ambos jogadores. Agora no h uma estratgia dominante a orientar as

escolhas dos dois. No entanto, preciso que os atores cheguem a um acordo sobre quais


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de suas estratgias conjuntas, (alto, esquerda) ou (baixo, direita), ambos adotaro a fimde maximizar suas utilidades esperadas. Na ausncia de qualquer meio de comunicaoou de uma dica que indique uma regra de coordenao, os jogadores precisam buscarum ponto focal que sirva como sinal para o encontro no lugar adequado. Esse sinal deve

estar oculto de tal modo que permita sua localizao de forma rpida, mas no to fcilcomo no jogo da figura 1.4. A soluo desse enigma s possvel se estiver ao alcanceda capacidade racional dos agentes. Alguma experincia comum prvia dever ter sidopartilhada antes pelos jogadores, para facilitar o estabelecimento de uma convenoque, na ausncia de uma outra "cola", ser adotada tacitamente pelos participantes deuma mesma cultura. Por exemplo, membros da cultura ocidental, que desde a infnciaso acostumados a iniciar a escrita da esquerda para a direita e de cima para baixo,poderiam concordar em selecionar as estratgias "alto-esquerda". Contudo essa dicapoderia ser confusa caso "baixo, direita" viesse grafada com letras maisculas ou ummediador confivel sugerisse sua escolha. Segundo Thomas C. Schelling, para situaescomo essas a Teoria dos Jogos deveria incorporar habilidades ao agente que vo almda mera racionalidade estratgica, tais como restries estticas, casusticas egeomtricas que eliminassem as ambiguidades que perturbam os acordos tcitos26.

ColunaFigura 1.5

Estratgias Esquerda DireitaAlto 1, 1 0, 0

LinhaBaixo 0, 0 1, 1

Tanto "alto-esquerda", como "baixo-direita", no constituem a rigor uma soluopara jogos do tipo da figura 1.5. De fato, no sentido que Duncan Luce e Howard Raiffaderam soluo no estrito senso, para ocorrer em jogos no-cooperativos seria preciso:

1. existir um par em equilbrioentre os conjuntos de pares de estratgias

admissveis; e2. que todos os pares em equilbrio admissveis fossem ambos intercambiveiseequivalentes27

Desde John Nash, um ponto de equilbrio todo aquele que seja o encontro dasestratgias timas de cada jogador com as dos adversrio28. Por exemplo, "alto-esquerda" est em equilbrio nas Figuras 1.4 e 1.5, enquanto "baixo-direita" apenas nasegunda matriz. Entretanto, na Figura 1.4, s "alto-esquerda" uma soluo no estritosenso, embora no seja na Figura 1.5, bem como "baixo-direita". Pois, neste caso, nose pode trocar as estratgias da linha pelas da coluna de modo a formar outros paresequivalentes, ou seja: "alto-esquerda" (1, 1) e "baixo-direita" (1, 1) no sointercambiveis, porque "alto-direita" (0, 0) ou "baixo-esquerda" (0, 0) no formam os

mesmos resultados em equilbrio. Para soluo de jogos onde os interesses dosparticipantes coincidem, a comunicao pode vir a resolver satisfatoriamente,promovendo a cooperao e coordenando as aes. Contudo, em jogos tcitos, quandoela no possvel explicitamente, as dificuldades tcnicas podem ser superadas pornormas culturais, convenes ou pontos focais partilhados e pela simetria que asseguraum comportamento semelhante aos agentes em jogos cooperativos. Assim que aestratgia comum percebida, no h porque desviar do consenso, sem perdas mtuas.

26. Veja SCHELLING, Th. C. The Strategy of Conflict, ap. C, p. 295.27

. LUCE, R. D. & RAIFFA, H. Games and Decisions, 5.9, p. 107.28. NASH, J. "Non-Cooperative Games", p. 287.


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Se nenhum acordo implcito previsto, s se pode esperar que o resultado alcanadoseja a mdia dos pares em equilbrio, no caso da figura 1.5, meio para ambos jogadores.

Ao transformar a matriz da figura 1.5 em jogo de soma zero, como na figura 1.6:Coluna Mnimo MximoFigura

1.6 EstratgiasEsquerda Direita linha linhaAlto 1, -1 0, 0 0 0

LinhaBaixo 0, 0 -1, 1 -1 1

Mximo coluna 1 0 0 -Mnimo coluna -1 0 - 0

Desaparece o interesse por uma soluo que vise coordenar as escolhas conjuntas, umavez que cada um procura jogar sua estratgia dominante alto e direita, respectivamente,para a Linha e Coluna. O encontro dessas duas estratgias resulta em zero para ambos

jogadores, em "alto direita". Um ponto de equilbrio que corresponde ao chamadoponto de sela dos jogos de soma zero. Este representa, para Linha, o mximo dos

ganhos mnimos em suas linhas e o mnimo dos mximos de suas colunas. De modoinverso, para Coluna, o mnimo dos mximos em suas linhas e o mximo dos mnimosde suas colunas. Em outras palavras, do ponto de vista da Linha, o ganho menor emuma linha que seja o maior na mesma coluna (maximin); ou, da perspectiva da Coluna,o maior ganho de uma linha que tambm o menor da coluna. Trata-se de uma posioem que cada um dos jogadores procura fazer o melhor para si tendo em vista a oposiodo outro, diminuindo ao mnimo suas perdas esperadas. Aqui, a comunicao em nadaajuda a melhorar o resultado final do jogo, pois os interesses so totalmente opostos:para Linha escolher "alto" a nica soluo admissvel, j que se optasse por "baixo",Coluna, ao selecionar "direita", lhe proporcionaria o pior resultado (-1), ao passo quepermanecendo no "alto", o mnimo que ganharia seria zero. Por outro lado, Coluna

tambm sabe que, se escolhesse "esquerda", poderia perder -1, enquanto "direita" lhegarante ao menos zero29.

No jogo de soma zero, o encontro de duas estratgias dominantes correspondem aum ponto de sela. Entretanto, quando no h uma dominncia entre as estratgias, podehaver mais de um ponto de sela ou mesmo nenhum. A existncia de pontos de selasignifica que h possibilidade de uma soluo minimax, ou maximin, como foraprevisto por Von Neumann e Morgenstern30. Sempre que houver mais de um ponto desela, todos os resultados sero iguais. No caso desses resultados serem intercambiveis,o jogo ter ento uma soluo no estrito senso, como nos jogos de soma varivel.

Estratgias MistasEmbora a soluo maximin parea razovel para jogos de soma constante, quando

no h uma um ponto de sela ou a soma diferente de zero, ser necessrio fazer umamistura que diminua os riscos de perdas ou promova outro ponto de equilbrio que nopode ser alcanado apenas como recurso de estratgias puras ou estritas - aquelas queso listadas nas matrizes bsicas. Quando os interesses no so totalmente opostos oucoincidentes, possvel achar estratgias mistas que ofeream um melhor saldo paraambos jogadores, em equilbrio de Nash. Na prxima matriz, figura 1.7, as

29. Os detalhes tcnicos dos pontos de sela podem ser apreciados diretamente em VON NEUMANN, J. &MORGENSTERN, O. Theory of Games and Economic Behavior, 13.4.1 a 3, pp. 93-5. Para uma

explicao informal, veja RAPOPORT, A.Lutas, Jogos e Debates, part. II, cap. VII, pp. 104 a 109.30. Veja VON NEUMANN, J. & MORGENSTERN, O. Op. cit., 17.6, pp. 153-155.


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circunstncias no so plenamente competitivas ou de mera coordenao das aes. Osagentes devem buscar um consenso sobre qual dos resultados mostrados eles seencontraro, a fim de evitar os piores resultados.

ColunaFigura

1.7 Estratgias Esquerda DireitaAlto 2, 1 0, 0


primeira vista, uma rodada de comunicao prvia poderia solucionar oproblema, no fosse a tentao de um deles ameaar jogar sua estratgia favorita,cortando, em seguida, a ligao entre os dois. Linha, por exemplo, caso falasseprimeiro, afirmaria a disposio de jogar "alto", e ponto final! Sem deixar Colunaoutra opo alm de seguir pela "esquerda", pois ganhar um seria melhor do que nada.Imaginar o inverso disso faria com que Coluna dissesse "direita", obrigando Linha jogar"baixo". Tem-se, ento, a situao interpretada por Luce e Raiffa como uma "Batalhados Sexos", onde um casal teria de decidir qual programa para a noite: ir ao bal ouassistir uma luta de boxe31. A senhorita Linha prefere ir ao Bal com o senhor Coluna,em primeiro lugar. Sua segunda preferncia ir ao Boxe com ele. Ao contrrio, osenhor Coluna prefere esta ltima possibilidade antes de tudo, sendo seu "plano B" ir aoBal com ela.

Na Batalha dos Sexos, nenhuma estratgia pura garante uma soluo para o jogo.Ainda que algum ameace seguir sua estratgia favorita, no raro a retaliao do outroocorre na escolha de sua prpria estratgia preferida, com intuito de preservar areputao de pessoa firme que no se curva a ameaas. S o recurso a uma mistura desuas estratgias estritas permite encontrar um resultado que parea satisfatrio paraambos os jogadores. O teorema minimax, ou maximin, ofereceu como soluo para

essas circunstncias a aplicao das estratgias disponveis segundo uma taxa defrequncia determinada32. A fim de obter-se a melhor mistura, que garanta, ao menos, omais alto ganho entre os piores, o mtodo simples para jogos 2 x 2, descrito porRapoport33consiste em encontrar a diferena entre as notaes das duas estratgias Altoe Baixo, para o jogador da linha, fazendo depois a razo da segunda diferena emrelao primeira. Na figura 1.7, para descobrir sua mistura minimax, a Linha devesubtrair zero de um na estratgia "Alto" e zero de dois na estratgia "Baixo", cuja razoem relao primeira produz 2:1, o que leva a uma proporo de (2/3 Alto, 1/3 Baixo).Por sua vez, Coluna diminui zero de dois e zero de um, esquerda e direita, gerando1:2 e, em consequncia, (1/3 Esquerda, 2/3 Direita). Agora, ambos jogadores podemcalcular o valor esperado para a situao em que se encontram. Linha multiplica a

proporo de Alto com a probabilidade da Coluna fornecer-lhe dois ou zero, somando aproporo de Baixo e multiplicando as chances de obter zero ou um, do seguinte modo:v(l) = 2/3(1/3 2) + 2/3(2/3 0) + 1/3(1/3 0) + 1/3(2/3 1) =

= 2/3 2/3 + 1/3 2/3 == 4/9 + 2/9 = 6/9 = 2/3

E conclui que seu valor ser de 0.66 util (unidade padro da utilidade, na teoria dosjogos; pural utiles). Menos do que um util certo que ganharia em Baixo-Direita.Fazendo as contas de seu valor, Coluna chega concluso semelhante, simetricamente:

31. Em LUCE, R. D. & RAIFFA, H. Op. cit., 5.3, pp. 90 e ss.32

. Veja RAPOPORT, A.Lutas, Jogos e Debates, cap. IX, pp. 122 e ss.33. Em RAPOPORT, A. Op. cit., cap. IX, p. 123.


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v(c) = 1/3(2/3 1) + 1/3(1/3 0) + 2/3(2/3 0) + 2/3(1/3 2) == 1/3 2/3 + 2/3 2/3 == 2/9 + 4/9 = 6/9 = 2/3

Por causa da simetria do jogo, as misturas de estratgias minimax ou maximin

garantem aos dois jogadores os mesmos resultados conjuntos (0.66, 0.66), nesta versoda Batalha dos Sexos34. O sucesso que a minimax oferece em jogos de soma zero, aoreduzir ao mnimo as perdas de cada parte, nem sempre garantia de boa escolha em

jogos de soma variante. A Batalha dos Sexos no um jogo de soma constante esolues melhores podem ser encontradas, como se ver quando osjogos faladosforemanalisados na segunda unidade deste curso. Quando se trata de ganhar ou perder, amistura minimax pode vir a ser o nico conselho a sugerir, como na figura 1.8, montadapor Rapoport35.

ColunaFigura 1.8

Estratgias Esquerda DireitaAlto -1 5

Linha Baixo 3 -5Semelhante Batalha dos Sexos, aqui no h um ponto de sela que represente a

maximin das estratgias puras. A estratgia mista maximin da Linha chega ao valor de5/7 utilcom a proporo (4/7 Alto, 3/7 Baixo), da mesma forma que mistura maximinda Coluna (5/7 Esquerda, 2/7 Direita). Com isso, Rapoport conclui que seria prejudicialaos jogadores fugir da aplicao das estratgias mistas, pois, a longo prazo, essa seria amelhor probabilidade para as partes envolvidas nessas circunstncias e outra alternativaseria desvantajosa. Inferncia que Morton Davis contestou em sua introduo no-tcnica intitulada Teoria dos Jogos, de 1970. Por ser um jogo de soma zero, no haveriaporque se acreditar que o uso da mistura maximin seria desvantajosa ou vantajosa paraambosoponentes, pois um ter necessariamente de ganhar ou perder ao realizar suasaes, o que inviabilizaria por contradio a bem sucedida aplicao da estratgia mistapelas partes, ao mesmo tempo. Optar por esta linha de ao seria atraente, graas suposta segurana oferecida de obter aquele resultado. Porm, para Davis isso no passade "uma questo de gosto pessoal" pela segurana36, uma vez que, ao buscarem outrasestratgias, jogadores audazes, amantes do risco tornariam imprevisvel qualquerresultado factual. Apenas um vencer com certeza. S no se sabe quem!?

Em razo do teorema minimax, o jogo geral de duas-pessoas, soma-zero, tem boa base terica. Mas, sendo jogo de informao perfeita,raramente surge na prtica. A dificuldade est no requisito de o jogoser soma-zero.

A presuno essencial sobre que se assenta a teoria a oposio deinteresses de dois jogadores. Na medida em que a presuno no seja

34. A rigor a verso original deste jogo, criado por Luce e Raiffa, proporciona os resultados negativos (-1,-1) para as estratgias Alto-Direita e Baixo-Esquerda; enquanto David M. Kreps constri sua matriz deum modo mais realista assim:

ColunaEstratgiasEsquerda DireitaAlto 5, 4 1, 1


Para explorar as consequncias destas mudanas, veja 29 e KREPS, D. M. Games Theory and EconomicModelling, cap. 4, pp. 39 e ss.35

. Veja RAPOPORT, A.Idem, cap. IX, pp. 125 e ss.36. DAVIS, M. Teoria dos Jogos, cap. 3, p. 56.


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vlida, a teoria ser irrelevante e desorientadora. Frequentemente, apresuno parece estar satisfeita, mas, em realidade no o est. (...)(DAVIS, M. D. Teoria dos Jogos, cap. 3, p. 57).

Em jogos cuja soma dos resultados diferente de zero, a estratgia mista

maximin37 no a nica soluo existente, nem mesmo a melhor. Na Batalha dosSexos, apesar da comunicao gerar oportunidades de ameaas, em uma rodada prviaisolada, quando se busca a coordenao, a troca indeterminada de mensagens poderiafornecer melhores resultados que a estratgia maximin mista, ampliando o espao deresultados originais at a fronteira de eficincia conhecida como timo de Pareto, naqual nenhum agente obter melhor resultado sem diminuir os ganhos da outra parte,como sugeriram Luce e Raiffa, na possibilidade de comunicao, as partes poderiamconcordar em aceitar um mecanismo equnime que permitisse a mesma escolha dasestratgias "Alto-Esquerda" ou "Baixo-Direita" na mesma proporo meio a meio. Comisso, cada um obteria 3/2 - somando os ganhos (2, 1) e (1, 2), dividindo-os, depois, pordois, achando (3/2, 3/2) -, bem acima dos 2/3 anteriores38.

Equilbrio de NashO emprego de estratgias mistas recomendvel sempre que as estratgias puras

no indicarem uma estratgia dominante, uma soluo em ponto de sela, ou em umponto de equilbrio. A noo deponto de equilbrio, em termos da Teoria dos Jogos, foiformalizada por John Nash como uma generalizao da soluo maximin para jogosno-cooperativos de vrias pessoas e soma varivel, no se restringindo somente aoscooperativos de duas pessoas e soma zero. O ponto de equilbrio, nas palavras de Nash, o conjunto de resultados opostos que maximiza os ganhos de cada jogador em face damelhor estratgia do outro39. Nash mostrou que embora pudesse haver jogos em que as

estratgias puras no apontassem para ponto de equilbrio, o recurso mistura deestratgia sempre produziria um novo ponto de equilbrio em jogos finitos.Coluna

Figura 1.9Estratgias Esquerda Direita

Alto l2, 1 c 0, 0Linha

Baixo 0, 0 l1, 2 c

Batalha dos SexosUm equilbrio de Nash, ou ponto de equilbrio, portanto, uma combinao de

estratgias da qual nenhum jogador pode aumentar seu ganhos unilateralmente, aomudar de estratgia. Para localizar um ponto de equilbrio em uma matriz, existemalguns mtodos prticos e simples. O jogador deve descobrir a clula na qual o ganho

37. Em tempo, nos jogos de soma zero as estratgias maximin e minimax so equivalentes, entretanto, nosde soma variante podem haver diferenas. Em todo caso, a mistura maximin sempre corresponde proporo encontrada para as estratgias da Linha ou da Coluna tendo em vista a diferena de seusrespectivos resultados, enquanto a minimax calculada em funo dos ganhos recprocos dos oponentes.Veja, por exemplo, LUCE, R. D. & RAIFFA, H.Idem, 6.11, pp. 145 a 150.38Nesse caso, as estratgias correlacionadas permitem o encontro de um equilbrio correlacionadonoqual cada jogador aceita empregar um mecanismo distribuidor de probabilidades entre os equilbrios deNash observados, ampliando a utilidade dos jogadores, dentro do conjunto de resultados possveis. Veja

AUMANN, R.J. Correlated Equilibrium as an Expression of Bayesian Rationality, pp. 1-18.39. Veja nota 27.


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seja, simultaneamente, o mximo da Linha nas devidas colunas e o da Coluna nas suaslinhas. Visualmente, isto pode ser feito com o recurso de setas ou de letras quemarquem os mximos da Linha (l) e da Coluna (c), sendo equilbrios de Nash as clulasque contenham as marcas de ambos jogadores ou seja a convergncia das setas. Na

matriz da Batalha dos Sexos, descrita h pouco, os equilbrios surgem assim: o encontrodas estratgias (alto, esquerda) e (baixo, direita) indicam a existncia de dois pontos deequilbrio que impedem a escolha de uma nica soluo usando s as estratgias puras,motivo pelo qual a mistura de estratgias se faz necessria. Quando um jogo apresentaapenas um ponto de equilbrio pela combinao de estratgias puras sinal que houve ocruzamento de duas estratgias dominantes. Ou seja, estratgias que dominam as outrasestratgias de cada jogador, fornecendo o melhor ganho, independente do que o outrofaa. Assim, no modelo desenhado na figura 1.10, tambm conhecido como "Dilemados Prisioneiros", as estratgias "baixo" e "direita" superam as respectivas estratgias"alto" e "esquerda", da Linha e da Coluna. Contudo, a dominncia e a perfeio desteponto de equilbrio espanta a todos que se defrontam com este quadro pela primeira vez.

A soluo que dois agentes instrumentalmente racionais acabam por encontrarnunca a melhor para ambos, no contexto do Dilema dos Prisioneiros, pois o ponto deequilbrio (1, 1) subtimo em relao a (2, 2), que poderiam obter se adotassem aestratgia dominada. Porm, um agente racional, quando possui uma estratgiadominante, nunca escolhe outra que no esta. Note que a combinao de estratgiasdominantes conduz sempre a resultados que so equilbrio de Nash, mas nem todo pontode equilbrio formado por pares dominantes, como mostrou a Batalha dos Sexos, ondeh dois equilbrios de Nash em estratgias puras que no so dominantes.

ColunaFigura 1.10

EstratgiasEsquerda Direita

Alto 2, 2 0, 3 cLinha

Baixo l3, 0 l1, 1 c

Dilema dos PrisioneirosTodas essas tcnicas de solucionar um jogo, cooperativo ou no, esto apoiadas

numa concepo de racionalidade que, apesar da aparente preciso, geram resultadosparadoxais do ponto de vista filosfico, como no caso do Dilema dos Prisioneiros enestes dois outros apresentados por Mrio Henrique Simonsen (1935-1997) em suainacabada introduo Teoria dos Jogos. Para atacar a fragilidade da suposio de

racionalidade entre os participantes, Simonsen montou a matriz da figura 1.1140

.ColunaFigura 1.11

Estratgias Esquerda Direita

Alto l3, 3 c -3, 3 cLinha

Baixo 2, 2 c l1, 1

Alto-esquerda constitui o nico equilbrio de Nash desta matriz, sendo esquerda aestratgia dominante de Coluna. Tendo em mente, o pressuposto de racionalidade da

40. Para os prximos exemplos veja SIMONSEN, M.H. Teoria dos Jogos, 1.5, pp. 25-26.


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teoria, Linha no tem porque se preocupar em escolher a estratgia Alto, uma vez que adominante de Coluna lhe garante trs de ganho. Entretanto, Esquerda dominafracamente a direita, pois se Linha escolher Alto, Coluna nada perderia mudando dedominncia para a direita, amargando seu adversrio -3 de perda. Sem saber as reais

intenes de Coluna, Linha pode refletir que o melhor seria reduzir ao mnimo suasperdas seguindo a sua maximin localizada em Baixo. Assim, Linha obteria um, pelomenos, e Coluna o seu pior resultado, caso viesse a jogar Direita. Simonsen, ento,advertiu que poderia "ser extremamente imprudente escolher estratgias conducentes aum tal equilbrio sem a garantia de que todos os demais jogadores faam o mesmo"41.

Alm do mais, os equilbrios de Nash podem estar em combinaes totalmenteopostas como neste segundo exemplo fornecido por Simonsen e que foi adaptado figura 1.12. De novo, um problema de coordenao surge entre os participantes, masagora ambos preferem ganhar 2, fazendo com que o outro assumisse o prejuzo de -2.Contudo, se jogarem suas estratgias favoritas acabariam pior do que no Dilema dosPrisioneiros, obtendo o resultado mais baixo possvel (-3, -3). Para fugir deste destino, anica soluo seria adotar mais uma vez suas respectivas estratgias maximin, que evitao pior e neste caso garante (1, 1) para as partes. O apoio na racionalidade forte exige aaceitao de respostas que transformam o agente estratgico em um homo conomicuscaricatural, posto que pessoas que no fossem to "racional" poderiam alcanar umpatamar mais vantajoso do que as que agem de modo estritamente racional e egosta,como o defendido pela teoria. Isto revela uma certa ambiguidade na concepo deracionalidade defendida pelo equilbrio de Nash, que nem sempre corresponde aosmelhores resultados possveis. De fato, testes em laboratrios provaram que a maioriadas pessoas, formadas ou no em economia ou matemtica, procuram solues quesustentem ganhos prximo a uma distribuio justa para todos envolvidos.

ColunaFigura 1.12

Estratgias Esquerda Direita

Alto -3, -3 l2, -2 cLinha

Baixo l-2, 2 c 1, 1

Na complexidade do contexto social, onde vrios agentes racionais atuam nosentido de maximizar suas utilidades, satisfazendo seus desejos, no se pode esperartranquilamente que uma "mo invisvel" acomode todos interesses atravs do encontrodas melhores escolhas em equilbrio. O Dilema dos Prisioneiros, entre outros, representaas situaes nas quais a disputa entre agentes econmicos redunda em tragdia como ados comuns, esboada por Garrett Hardin. Solues, como as propostas por Nash, soconstrudas com base em conhecimento a posteriorie no podem servir idealmente a

prioripara determinar, em todas circunstncias, as decises racionais, seja l o que istosignifique. Para evitar o pior, faz-se necessrio olhar com maior ateno a maneira pelaqual as pessoas deliberam em meio a influncias emocionais ou culturais. Umaobservao que valeu o Nobel a Daniel Kahneman.

41. SIMONSEN, M.H. Op.cit., p. 25.

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