36 · โครงงานคณิตศาสตร์. เรื่อง...

โครงงานคณตศาสตร เรอง การหาพนทรป n เหลยมดานเทามมเทาทแนบในวงกลม

2 2 0x y Ax By C

โดย เดกหญงฐดาภา ปกครองบาน เดกหญงเมธาพร ประสพ นางสาววนสนนท ผดกนตย

ครทปรกษา

นายอาหนง ชไวย นางรตตยา วงศวฒ

รายงานฉบบนเปนสวนประกอบของโครงงานคณตศาสตร ประเภท การสรางทฤษฎหรอค าอธบาย ระดบ มธยมศกษาตอนตน

โรงเรยนเทงวทยาคม ต.เวยง อ.เทง จ.เชยงราย 57160 ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 36 (เชยงราย – พะเยา)

เนองในงานแขงขนทกษะความสามารถทางวชาการของนกเรยน ประจ าปการศกษา 2561

ก

โครงงานประเภทการสรางทฤษฎหรอค าอธบาย เรอง การหาพนทรป n เหลยมดานเทามมเทาทแนบในวงกลม

2 2 0x y Ax By C

คณะผศกษา

ครทปรกษา 1. นายอาหนง ชไวย 2. นางรตตยา วงศวฒ

ระดบการศกษา มธยมศกษาตอนตน สถานศกษา โรงเรยนเทงวทยาคม อ าเภอเทง จงหวดเชยงราย 57160 ปการศกษา 2561

บทคดยอ

การศกษาในครงน มจดมงหมายเพอศกษาสตรการหาพนทรป n เหลยมดานเทามมเทาทแนบในวงกลมทมสมการรปแบบทวไปเปน 2 2 0x y Ax By C ผลการศกษาพบวา พนทมคาเทากบ

2 21 3604 sin

8n A B C

n

และขนาดของมมแตละมมของรป n เหลยมดานเทามมเทามขนาด

1

2 180nn

1. เดกหญงฐดาภา ปกครองบาน 2. เดกหญงเมธาพร ประสพ 3. นางสาววนสนนท ผดกนตย

ข

กตตกรรมประกาศ

การศกษาโครงงานคณตศาสตรประเภทสรางทฤษฎหรอค าอธบาย เรอง การหาพนทรป n เหลยมดานเทามมเทาทแนบในวงกลม 2 2 0x y Ax By C เลมน ส าเรจลลวงโดยไดรบความอนเคราะหอยางดจากครอาหนง ชไวย และครรตตยา วงศวฒ ซงไดกรณาใหค าปรกษาแนะน าแนวคดวธการและสละเวลาอนมคาแกไขขอบกพรองของเนอหา และส านวนภาษาดวยความเอาใจใสอยางดยง คณะผศกษาขอกราบขอบพระคณเปนอยางสง ณ โอกาสน ขอขอบพระคณคณะผบรหารโรงเรยนเทงวทยาคมทกทาน หวหนากลมสาระการเรยนรคณตศาสตร และคณะครในกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนเทงวทยาคมทกทานทใหการสนบสนนการด าเนนการศกษาโครงงานเลมนจนส าเรจดวยด คณคาและสารตถประโยชน อนพงมาจากโครงงานคณตศาสตรเลมนในครงน คณะผศกษาขอนอมเปนเครองบชาพระคณแด บดา มารดา ตลอดจนครอาจารยทกทาน ทประสทธประสาทวชาความรแกคณะ ผศกษาตลอดมา

คณะผศกษา

ค

สารบญ

เรอง หนา บทคดยอ กตตกรรมประกาศ บทท 1 บทน า ทมาและความส าคญของโครงงาน จดประสงคของการศกษา ขอบเขตของการศกษา นยามศพทเฉพาะ กรอบแนวคดการศกษา บทท 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของ บทท 3 วธการด าเนนโครงงาน บทท 4 ผลการศกษา บทท 5 สรปผลการศกษาและขอเสนอแนะ

ก ข 1 1 1 1 2 2 3 6 7 11

ผลการศกษาจากการด าเนนโครงงาน ขอเสนอแนะจากการด าเนนการศกษาโครงงาน บรรณานกรม ภาคผนวก ภาคผนวก ก ประวตผจดท า ภาคผนวก ข ประมวลภาพการด าเนนการศกษา

11 11

ง

สารบญตาราง ตาราง หนา ตารางท 1 ตารางการด าเนนงาน 6

จ

สารบญภาพ ภาพ หนา ภาพท 1 กรอบแนวคดการศกษา 2 ภาพท 2 รปวงกลมตามสมการวงกลมทก าหนดจดศนยกลางตางๆ กน 3

ภาพท 3 กราฟของสมการวงกลมทมจดศนยกลาง ,h k คอ ,2 2

A B

และรศม R 4

ภาพท 4 ความสมพนธของดานของรปสามเหลยมมมฉากทเกดเปนอตราสวนตรโกณมต 5 ภาพท 5 แนวคดการสรางรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบในรปวงกลมรศม

R ใดๆ 7

1

บทท 1 บทน ำ

ทมำและควำมส ำคญ

คณตศาสตรเปนศาสตรทเกยวของกบชวตประจ าวนของทกคน โดยคนสวนใหญมกมความคดวา คณตศาสตรเปนเรองยากตอการท าความเขาใจและไมอยากศกษาตอ อนเนองจากความคดทวา คณตศาสตรเปนเรองของหลกการทฤษฎมความซบซอน และไมนาสนใจ

การหาพนทรป n เหลยมดานเทามมเทาตางๆ มกเปนปญหาทนาสนใจและนยมสรางรปทตองการหานนแนบในรปวงกลม เพราะสามารถหาพนทจากการประยกตแบงมมทจดศนยกลางของวงกลมซงมขนาด 360 องศา ได

ดวยเหตนคณะผศกษาจงมความสนใจศกษาการหาพนทรป n เหลยมดานเทามมเทาตางๆ ทแนบในสมการวงกลมในรป 2 2 0x y Ax By C

วตถประสงค

1. เพอศกษาสตรการหาพนทรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบในวงกลมทมสมการรปแบบทวไปเปน 2 2 0x y Ax By C ผลทคำดวำจะไดรบ

1. ไดสตรการหาพนทรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบในวงกลมทมสมการรปแบบทวไปเปน 2 2 0x y Ax By C 2. ไดพฒนาเจตคตทมตอวชาคณตศาสตร ขอบเขตกำรศกษำ

ขอบเขตกำรศกษำดำนเนอหำ

การศกษาคนควาในเรองน มงศกษาศกษาการหาพนทรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบในวงกลมทมสมการรปแบบทวไปเปน 2 2 0x y Ax By C

ขอบเขตดำนระยะเวลำ

เดอนกรกฎาคม 2561 – เดอนกนยายน 2561

2

นยำมศพทเฉพำะและสญลกษณทใชในกำรศกษำ

สตรค ำนวณ หมายถง สตรการหาพนทรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบในวงกลมทมสมการรปแบบทวไปเปน 2 2 0x y Ax By C

กรอบแนวคดกำรศกษำ

ศกษาสตรการหาพนทรป n เหลยมดานเทามมเทาทแนบในสมการวงกลม

สมการวงกลมในรปแบบ

ศกษาความสมพนธของกำรแบงมมทจดศนยกลำงของวงกลมเพอใชในกำรสรำงรป n เหลยมดานเทามมเทา

ศกษำกำรหำพนทของรป n เหลยมดานเทามมเทา ทแนบในวงกลม ในรป

ภำพท 1 กรอบแนวคดกำรศกษำ

ขอคนพบจากการศกษา

ไดความสมพนธของกำรแบงมมทจดศนยกลำงของวงกลมเพอใชในกำรสรำงรป n เหลยมดานเทามมเทา

ไดสตรกำรหำพนทของรป n เหลยมดานเทามมเทา ทแนบในวงกลม ในรป

3

12

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

15 10 5 5 10 15

8

6

4

2

2

4

6

8

10

12

10 5 5 10 15

y

x

(h,k)

o

บทท 2 เอกสำรทเกยวของ

ในการด าเนนการศกษาโครงงาน เรอง การหาพนทรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบในวงกลมทมสมการรปแบบทวไปเปน 2 2 0x y Ax By C คณะผศกษาไดคนควาเอกสารทเกยวของโดยล าดบเนอหาทเปนสาระส าคญดงตอไปน 1. วงกลม

2. อตราสวนตรโกณมต ซงแตละหวขอมรายละเอยด ดงน

1. วงกลม นยาม วงกลม คอ เซตของจดทกจดบนระนาบทอยหางจากจดคงทจดหนง เปนระยะทางเทากน จดคงทคอจดศนยกลางของวงกลม ใชเปนพกด ( h ,k) ระยะทางคงทคอรศมของวงกลมใชเปน r

ภำพท 2 รปวงกลมตำมสมกำรวงกลมทก ำหนดจดศนยกลำงตำงๆ กน

เมอกระจายเทอม ก าลงสอง จะไดสมการวงกลมเปน

ให -2h = D ; -2k = E ; F จะไดสมการวงกลมรปแบบทวไปเปน โดย

x

y

x

สมการของวงกลมเมอ จดศนยกลางอยทจด (0 , 0)

( ) ( )

สมการของวงกลมเมอ จดศนยกลางอยทจด (h , k)

4

8

6

4

2

2

4

6

8

10

12

10 5 5 10 15

y

x

(h,k)

o

จากสมการวงกลมทมรปแบบทวไป คอ 2 2 0x y Ax By C ซงจากรปแบบดงกลาวท าใหไดวา

2 2x Ax y By C 0 2 2 2 2

2 22 2

2 2 2 2 2 2

Ax A A By B Bx y C

0 2 2 2 2

2 2 2 2

A B A Bx y C

0

2 2

2 2

A Bx y

2 2

2 2

A BC

2 2

2 2

A Bx y

2 2

4 4

A BC

2 2

2 2

A Bx y

2 2 4

4

A B C

2 2

2 2

A Bx y

22 2 4

4

A B C

2 2

2 2

A Bx y

22 2 4

2

A B C

ซงจะไดจดศนยกลาง ,h k คอ ,2 2

A B

และ 2 2 4

2

A B Cr

‘

ภำพท 3 กรำฟของสมกำรวงกลมทมจดศนยกลำง ,h k คอ ,2 2

A B

และรศม R

ซงในรายงานการศกษาเลมน จะใหรศม r แทนดวย R

5

2. อตรำสวนตรโกณมต ให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก ทมมม C เปนมมฉาก

ภำพท 4 ควำมสมพนธของดำนของรปสำมเหลยมมมฉำกทเกดเปนอตรำสวนตรโกณมต

จากรปจะได sin A = c

a , cos B = c

a

sin A = cos B

cos A = c

b , sin B = c

b

cos A = sin B

tan A = b

a , tan B = a

b

= a

b

1

tan A = Btan

1

กฎของไซน (The Law of Sine)

ในรปสามเหลยม ABC ใดๆ ถา a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมม A, B และ C ตามล าดบ แลวจะไดความส าพนธดงน

a

Asin = b

Bsin = c

Csin

หรอ

A

a

sin =

B

b

sin =

C

c

sin

A

B

Cb

ac

6

บทท 3 วธกำรด ำเนนกำรศกษำ

1. ตำรำงกำรด ำเนนงำน ตำรำงท 1 ตารางการด าเนนงาน

ท วน เดอน ป กจกรรม กำรด ำเนนกำรศกษำ ผรบผดชอบ 1 3-10 ก.ค. 2561 คดเลอกหวขอโครงงาน คณะผศกษาทกคน 2 11-15 ก.ค. 2561 สงหวขอโครงงานปรกษาครทปรกษา คณะผศกษาทกคน 3 16-20 ก.ค. 2561 ก าหนดแนวทางและขอบเขตของการศกษา

รวมกบครทปรกษา คณะผศกษาทกคนและครทปรกษา

4 21-23 ส.ค. 2561 ทบทวนความรเบองตนเกยวกบก าลงสองสมบรณสองตวแปรและสมการวงกลมในรป

2 2 0x y Ax By C

คณะผศกษาทกคนและครทปรกษา

5 24-25 ส.ค. 2561 ศกษารปแบบความสมพนธของการแบงรป n เหลยมดานเทามมเทา


6 25-26 ส.ค. 2561 ทบทวนความรเบองตนเกยวกบอตราสวนตรโกณมต


7 27-31 ส.ค. 2561 หาสตรการหาพนทของรป n เหลยม ดานเทามมเทาตางๆ ทแนบในสมการวงกลมในรป 2 2 0x y Ax By C


8 1-5 ก.ย. 2561 สรปการศกษารวบรวมขอคนพบความร ทฤษฎ หลกการ แนวคด ระเบยบวธ และผลลพธจากการศกษาตอครทปรกษา เพอรบการวพากษและแกไขจากครทปรกษา

คณะผศกษาทกคน

9 6-10 ก.ย. 2561 จดพมพรปเลมโครงงาน คณะผศกษาทกคน 10 11-15 ก.ย. 2561 จดท าบอรดน าเสนอโครงงานและแผนพบ

แนะน าโครงงาน คณะผศกษาทกคน

ล ำดบกำรด ำเนนกำรศกษำ

1. ศกษาสตรการหาพนทของรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบในรปวงกลมใดๆ 2. ศกษาสตรการหาพนทของรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบในรปวงกลมใดๆ

ทมสมการรปแบบทวไปเปน 2 2 0x y Ax By C

7

RR

l

บทท 4 ผลกำรด ำเนนกำรศกษำ

จากผลการด าเนนการศกษาโครงงานประเภทสรางทฤษฎหรอค าอธบาย เรอง การหาพนทรป n เ ห ล ย ม ด า น เ ท า ม ม เ ท า โ ด ย ท 3n ท แ น บ ใ น ว ง ก ล ม ท ม ส ม ก า ร ร ป แ บ บ ท ว ไ ป เ ป น

2 2 0x y Ax By C ในครงน คณะผศกษาไดผลการศกษาแบงเปน 2 ตอน ตามล าดบดงน ตอนท 1 การศกษาสตรการหาพนทของรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบใน

รปวงกลมใดๆ ตอนท 2 การศกษาสตรการหาพนทของรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบใน

รปวงกลมใดๆ ทม สมการรปแบบทวไปเปน 2 2 0x y Ax By C ซงแตละตอนมรายละเอยดดงตอไปน

ตอนท 1 กำรศกษำสตรกำรหำพนทของรป n เหลยมดำนเทำมมเทำ โดยท 3n ทแนบในรปวงกลมใดๆ จากทเราทราบวาผลรวมของมมภายในของรปวงกลมเทากบ 360 ซงถาหากเราตองการสรางรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบในรปวงกลมรศม R ใดๆ เราสามารถสรางไดดงรป

ภำพท 5 แนวคดกำรสรำงรป n เหลยมดำนเทำมมเทำ โดยท 3n ทแนบในรปวงกลมรศม R ใดๆ

จากภาพท 5 และกฎของไซน (หนา 5) ท าใหไดวา AOB BOC ซงท าใหไดวา พนทของรปสามเหลยมหนาจว AOB

1

2OM AB

1

sin2

R A BC

8

1

sin2

R A l

1sin

2Rl A

จากสามเหลยม AOB เปนสามเหลยมหนาจว และผลรวมของมมภายในของรปสามเหลยมใดๆ เปน 180 ท าใหไดวา

พนทของรปสามเหลยมหนาจว AOB 1sin

2Rl A

360180

1sin

2 2

nRl

1 180 360sin

2 2

nRl

n

180 21sin

2 2

nRl

n

90 21sin

2

nRl

n

ตารางหนวย

ซงจะได พนทของรปสามเหลยมหนาจว 90 21sin

2

nAOB Rl

n

ตารางหนวย ----------->

พนทของรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบในรปวงกลมรศม R ใดๆ ทประกอบดวย

รปสามเหลยมหนาจวทเทากนทกประการ n รป 90 21sin

2

nnRl

n


จากรปสามเหลยมหนาจว BOC ซงเทากนทกประการกบรปสามเหลยมหนาจว AOB ดงภาพท 5 (หนา 8) เปนรปสามเหลยมหนาจว 1 รป ใน n รปทเทากนทกประการกบรปสามเหลยมหนาจวรปอนๆ ทเกด

จากการแบงออกเปน n รป ทแนบในรปวงกลมรศม R ใดๆ ท าใหเราทราบวา 360

n

และกฎของไซน (หนา 5) ท าใหไดวา sin B

R

sin

l

sinl B sinR l

sin

sin

R

B

9

l

360sin

90 2sin

Rn

n

n

ดงนนความยาวของฐานของรปสามเหลยมหนาจว ซงยาว l หนวย ทแนบในรปวงกลมทมรศมยาว R หนวย สามารถค านวณไดดงน

l

360sin

90 2sin

Rn

n

n

หนวย ----------->

จากสมการท และ จะไดวา พนทของรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบในรปวงกลมรศม R ใดๆ ทประกอบดวย รปสามเหลยมหนาจวทเทากนทกประการ n รป

2

360sin

90 21sin

2 90 2sin

nnnR

nn

n

2

360sin

90 21sin

2 90 2sin

nnnR

nn

n

21 360

sin2

nRn


ตอนท 2 กำรศกษำสตรกำรหำพนทของรป n เหลยมดำนเทำมมเทำ โดยท 3n ทแนบในรปวงกลมใดๆ ทม สมกำรรปแบบทวไปเปน 2 2 0x y Ax By C

จากวงกลมใดๆ ทม สมการรปแบบทวไปเปน 2 2 0x y Ax By C

ทมรศม 2 2 4

2

A B CR

และจากสมการท จะได

10

พนทของรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบในรปวงกลมรศม R ใดๆ ทประกอบดวย รปสามเหลยมหนาจวทเทากนทกประการ n รป

22 21 4 360

sin2 2

A B Cn

n

22 2

2

41 360sin

2 2

A B Cn

n

2 2 41 360

sin2 4

A B Cn

n

2 21 3604 sin

8A B C n

n

หรอ 2 2 360

4 sin

8

n A B Cn

ตารางหนวย ---------->

11

บทท 5 สรปผลกำรศกษำและขอเสนอแนะ

จากผลการด าเนนการศกษาโครงงานประเภทสรางทฤษฎหรอค าอธบาย เรอง การหาพนทรป n เ ห ล ย ม ด า น เ ท า ม ม เ ท า โ ด ย ท 3n ท แ น บ ใ น ว ง ก ล ม ท ม ส ม ก า ร ร ป แ บ บ ท ว ไ ป เ ป น

2 2 0x y Ax By C ในครงน คณะผศกษาไดขอสรปของผลการศกษาดงน วตถประสงค

1. เพอศกษาสตรการหาพนทรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบในวงกลมทมสมการรปแบบทวไปเปน 2 2 0x y Ax By C

ผลกำรศกษำ

สตรการหาพนทรป n เหลยมดานเทามมเทา โดยท 3n ทแนบในวงกลมทมสมการรปแบบทวไปเปน 2 2 0x y Ax By C

คอ พนท = 2 21 3604 sin

8A B C n

n


หรอ พนท = 2 2 360

4 sin

8

n A B Cn


ขอเสนอแนะจำกกำรด ำเนนกำรศกษำในครงนและครงตอไป

1. ควรศกษาการหาพนทในสมการรปแบบอนๆ 2. ควรใชโปรแกรมทางคณตศาสตร/วศวกรรมศาสตร/สถต ชวยตรวจสอบความถกตองแมนย า

ของสตร

12

บรรณำนกรม

มานพ ชยดเรก, 2553. รำกฐำนคณตศำสตร. ชลบร: ชลบรการพมพ พรรณ ศลปะวฒนานนท, 2521. คณตศำสตรฉบบสมบรณ ม.3(ฉบบปรบปรง 2533). กรงเทพมหานคร: ส านกพมพฟสกสเซนเตอร. ฝายวชาการ พบซ 2544. ยอดคณตศำสตร เรอง พท ำโกรสและตรโกณมต. กรงเทพมหานคร: ส านกพมพ พบซ สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย กระทรวงศกษาธการ, 2551.คณตศำสตรเพมเตม 2 ม.4 กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค. ลาดพราว. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย กระทรวงศกษาธการ,2551.คณตศำสตรเพมเตม 1 ม.5 กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค. ลาดพราว.

13

ภำคผนวก

14

ภำคผนวก ก ประวตผศกษำ

15

ประวตผศกษำ

ชอ เดกหญงฐดาภา ปกครองบาน วนเดอนปเกด วนองคาร ท 21 เดอนกนยายน พ.ศ. 2547 ทอยปจจบน บานเลขท 75 หม 11

บานพระเนตร ต าบลตา อ าเภอขนตาล จงหวดเชยงราย รหสไปรษณย 57340

ประวตกำรศกษำ จบระดบชนปการศกษาท 6 จากโรงเรยนอนบาลบานพระเนตร ปจจบนก าลงศกษาอยใน ชนมธยมศกษาปท 2/11 โรงเรยนเทงวทยาคม

16


ชอ เดกหญงเมธาพร ประสพ วนเดอนปเกด วนพฤหสบด ท 20 เดอนเมษายน พ.ศ. 2547 ทอยปจจบน บานเลขท 209 หม 4 บานเวยงหวาย

ต าบลเมงราย อ าเภอพญาเมงราย จงหวดเชยงราย รหสไปรษณย 57290

ประวตกำรศกษำ จบระดบชนประถมศกษาปท 6 จากโรงเรยนกฤษณาทววทย ปจจบนก าลงศกษาอยใน ชนมธยมศกษาปท 2/11 โรงเรยนเทงวทยาคม

17


ชอ นางสาววนสนนท ผดกนตย วนเดอนปเกด วนอาทตย ท 18 เดอนกรกฎาคม พ.ศ. 2546 ทอยปจจบน บานเลขท37 หม 2 บานตบเตา

ต าบลตบเตา อ าเภอเทง จงหวดเชยงราย รหสไปรษณย 57160

ประวตกำรศกษำ จบระดบชนประถมศกษาปท 6 จากโรงเรยนอนบาลตบเตา (ไครสามคควทยา) ปจจบนก าลงศกษาอยใน ชนมธยมศกษาปท 3/10 โรงเรยนเทงวทยาคม

18

ภำคผนวก ข เอกสำรประกอบกำรศกษำ

เลขท สพม.๓๖-น.๗๕๕๙/๒๕๖๑

เดกหญงฐดาภา ปกครองบาน

โรงเรยนเทงวทยาคม

ไดรบรางวลระดบเหรยญทอง ชนะเลศ

กจกรรม การประกวดโครงงานคณตศาสตร ประเภทสรางทฤษฎหรอคำอธบายทางคณตศาสตร ระดบชน ม.๑ - ม.๓

เลขท สพม.๓๖-น.๗๕๕๘/๒๕๖๑

นางสาววนสนนท ผดกนตย




เลขท สพม.๓๖-น.๗๕๗๐/๒๕๖๑

เดกหญงเมธาพร ประสพ




เลขท สพม.๓๖-ค.๑๒๑๘๒/๒๕๖๑

นางรตตยา วงศวฒ


ครผสอนนกเรยน ไดรบรางวลระดบเหรยญทอง ชนะเลศ


เลขท สพม.๓๖-ค.๑๒๑๗๘/๒๕๖๑

นายอาหนง ชไวย


ครผสอนนกเรยน ไดรบรางวลระดบเหรยญทอง ชนะเลศ


36 · โครงงานคณิตศาสตร์. เรื่อง...

Documents