1

บทท�� 1บทนำ��

หล�กก�รเหต�ผลแนำวค�ดท��ม�และคว�มสำ��ค�ญพระราชบ�ญญ�ตการศ กษาข��นพ��นฐาน พ�ทธศ�กราช 2544 โดย

ม��งเน�นพ�ฒนาค�ณภาพของน�กเร%ยนให�เป)นมน�ษย*ท%+สมบ-รณ*เป)นคนด% ม%ป.ญญา ม%ความส�ข และม%ความเป)นไทย ม%ศ�กยภาพในการศ กษาต�อและประกอบอาช%พ (กระทรวงศ กษาธการ, 2544. : 4) และนโยบายของร�ฐบาลและพระราชบ�ญญ�ตการศ กษาแห�งชาต พ�ทธศ�กราช 2542 ย ดหล�กว�า น�กเร%ยนท�กคนม%ความสามารถเร%ยนร- �และพ�ฒนาตนเองได�และถ�อว�าน�กเร%ยนม%ความส4าค�ญท%+ส�ด การจ�ดการเร%ยนร- �คณตศาสตร*ต�องส�งเสรมให�น�กเร%ยนพ�ฒนา โดยเน�นความส4าค�ญท��งด�านความร- � ด�านท�กษะ กระบวนการ ด�านค�ณธรรม จรยธรรมและค�านยมอ�นพ งประสงค* การจ�ดเน��อหาสาระและกจกรรม จะต�องสอดคล�องก�บว�ฒภาวะ ความสนใจ และความถน�ดของผ-�เร%ยน การจ�ดกจกรรมควรเป7ดโอกาสให�ผ-�เร%ยนได�เร%ยนร- �จากประสบการณ*จรง จากการฝ9กปฏบ�ตให�น�กเร%ยนคดวเคราะห*และ การแก�ป.ญหาการเร%ยนร- �ในสถานการณ*จรงของผ-�เร%ยนแต�ละคนไม�เหม�อนก�น ( กรมวชาการ, 2545 : 193 )

คณตศาสตร*เป)นวชาหน +งท%+ม%ความส4าค�ญและจ4าเป)นส4าหร�บมน�ษย*มาก โดยเฉพาะในส�วนท%+จะน4าไปใช�ประโยชน*ในการด4าเนนช%วต เพราะคณตศาสตร*เป)นวชาท%+สร�างสรรค*จตใจของมน�ษย* ซ +งเก%+ยวข�องก�บความคด กระบวนการและเหต�ผล คณตศาสตร*ฝ9กให�คนคดอย�างม%ระบบ ระเบ%ยบและเป)นรากฐานของวทยาการสาขาต�าง ๆ แต�คณตศาสตร*ม%ล�กษณะเป)นนามธรรม เน��อหาบางตอนก>ยากท%+คร-จะอธบายให�น�กเร%ยนเข�าใจและไม�เบ�+อหน�าย ตลอดจนช�วยให�น�กเร%ยนม%ความเจรญงอกงามท��งทางร�างกาย สตป.ญญา อารมณ*และส�งคม

กจกรรมโครงงานคณตศาสตร* ประเภทสร�างทฤษฎ%หร�อค4าอธบายทางคณตศาสตร* เร�+อง บทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของ

2

คอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า ระด�บช��นม�ธยมศ กษาตอนต�น โรงเร%ยนกาญจนาภเษกวทยาล�ย เพชรบ-รณ* น%�เป)นการสร�างองค*ความร- � และการบ-รณาการเน��อหาวชาของคณตศาสตร*ระด�บช��นม�ธยมศ กษาตอนต�น และเป)นการน4าความร- �มาประย�กต*และพ�ฒนาการน4าคณตศาสตร*ไปใช�ในการประมาณค�าเพ�+ออ4านวยความสะดวกในการคดค4านวณได�ด%ย+งข �น ซ +งเป)นกระบวนการคดท%+สร�างสรรค*ผลงาน

คว�มม��งหม�ยของก�รศ!กษ�ค#นำคว#�1. เพ�+อสร�างค4าอธบายการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลม และบท

แทรกในการอธบายการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า โดยใช�ความร- �คณตศาสตร* ระด�บช��นม�ธยมศ กษาตอนต�น ปAการศ กษา 2555 โรงเร%ยนกาญจนาภเษกวทยาล�ย เพชรบ-รณ*

2. เพ�+อตรวจสอบค4าอธบายการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลม และบทแทรกในการอธบายการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า โดยใช�โปรแกรม Geometer’s Sketchpad

3. เพ�+อน4าความร- �เร�+องการหาพ��นท%+ของคอร*ดไปใช�ในช%วตประจ4าว�น

คว�มสำ��ค�ญของก�รศ!กษ�ค#นำคว#�การศ กษาค�นคว�าคร��งน%� สามารถสร�างค4าอธบายการหาพ��นท%+ของ

คอร*ดวงกลม และบทแทรกในการอธบายการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า พร�อมท��งสามารถตรวจสอบค4าอธบาย การหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลม และบทแทรกในการอธบายการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า โดยใช�โปรแกรม Geometer’s Sketchpad น%�เป)นการสร�างองค*ความร- � และการบ-รณาการเน��อหาวชาของคณตศาสตร*ระด�บช��นม�ธยมศ กษาตอนต�น และเป)นการน4าความร- �มาประย�กต*และพ�ฒนาการน4าคณตศาสตร*ไปใช�ในการประมาณค�าเพ�+ออ4านวยความสะดวกในการคดค4านวณได�ด%ย+งข �น ซ +งเป)นกระบวนการคดท%+สร�างสรรค*ผลงาน

3

นำ�ย�มศ�พท%เฉพ�ะ1. คอร*ด หมายถ ง ส�วนของเส�นตรงท%+ลากจากจ�ดสองจ�ดท%+อย-�บน

เส�นรอบวงของวงกลม2. การหาพ��นท%+ของคอร*ด หมายถ ง การหาพ��นท%+บรเวณส�วนของ

เส�นตรงท%+ลากจากจ�ดสองจ�ดท%+อย-�บนเส�นรอบวงของวงกลม

ผลท��ค�ดว��จะได#ร�บ1. สามารถสร�างค4าอธบายการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลม

และบทแทรกในการอธบายการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า โดยใช�ความร- �คณตศาสตร* ระด�บช��นม�ธยมศ กษาตอนต�น ปAการศ กษา 2555

โรงเร%ยนกาญจนาภเษกวทยาล�ย เพชรบ-รณ*2. สามารถใช�โปรแกรม Geometer’s Sketchpad ตรวจ

สอบค4าอธบายการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลม และบทแทรกในการอธบายการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�าได�

3. สามารถน4าความร- �เร�+องการหาพ��นท%+ของคอร*ดไปใช�ในช%วตประจ4าว�น

4

บทท�� 2

เอกสำ�รและทฤษฎ�ท��เก��ยวข#องโครงงานคณตศาสตร* ประเภทสร�างทฤษฎ%บทหร�อค4าอธบาย

ทางคณตศาสตร* เร�+อง บทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า ม%เอกสารท%+เก%+ยวข�อง ด�งน%�

1. วงกลมและส�วนประกอบของวงกลม2. ทฤษฎ%บทพ%ทาโกร�ส3. ตร%โกณมต4. การหาพ��นท%+และสมบ�ตของร-ปส%+เหล%+ยม สามเหล%+ยม และ

วงกลม5. การประมาณค�า6. ความเท�าก�นท�กประการ7. โปรแกรม Geometer’s Sketchpad

วงกลมและสำ�วนำประกอบของวงกลมวงกลมเป)นร-ปป7ดบนระนาบ ซ +งประกอบด�วยจ�ดท�กจ�ดท%+อย-�ห�าง

จากจ�ดคงท%+จ�ดหน +งบนระนาบเด%ยวก�นเป)นระยะทางเท�าๆ ก�น จ�ดคงท%+ เร%ยกว�า จ�ดศ-นย*กลางของวงกลมระยะทางคงท%+ เร%ยกว�า ร�ศม%ของวงกลม

สำ�วนำประกอบต��งๆ ของวงกลม ส�วนโค�ง

5

BA O

C

E F

ทฤษฎ�บทพ�ท�โกร�สำในำร/ปสำ�มเหล��ยมม�มฉ�กใดๆ พ01นำท��ของร/ปสำ��เหล��ยมจ�ต�ร�สำบนำ

ด#�นำตรงข#�มม�มฉ�ก จะเท��ก�บผลบวกของพ01นำท��ของร/ปสำ��เหล��ยมจ�ต�ร�สำบนำด#�นำประกอบม�มฉ�กรวมก�นำ

จากร-ป ABC เป)นร-ปสามเหล%+ยมม�มฉาก ซ +งม% a เป)นด�านตรงข�ามม�ม A , ม% b เป)นด�าน ตรงข�ามม�ม B และม% c เป)นด�านตรงข�ามม�ม C จากทฤษฏ%บทพ%ทาโกร�สจะสร�ปได�ว�า

c2 = a2+b2

ร�ศม%

เส�นผ�าน

จ�ดศ-นย*กคอร*ด

ส�วนโค�ง

6

ต�วอย��งก�รนำ��คว�มร/#ม�ใช#แก#ป3ญห�      จากร-ปสามเหล%+ยมม�มฉาก จงหาความยาวของด�านท%+เหล�อ

จากทฤษฎ%บทปAทาโกร�ส   c2 = a2+b2

132 = x2 + 52                 x2 = 169 - 25

= 144                             ด�งน��น x  = 12

ตร�โกณม�ต�ถ�าให� ABC เป)นร-ปสามเหล%+ยมม�มฉากท%+ม%ม�มฉากท%+ c และม% a ,

b , c เป)นความยาวของด�านตรงข�ามม�ม A , B , C ตามล4าด�บ B

c a

A b C

อ�ตราส�วนตร%โกณมต ค�อ อ�ตราส�วนท%+เกดจากความยาวของด�านของร-ปสามเหล%+ยมม�มฉาก 1. อ�ตราส�วนของความยาวของด�านตรงข�ามม�ม A ต�อความยาวของด�าน

ตรงข�ามม�มฉาก หร�อ ca

เร%ยกว�า ไซน* (sine) ของม�ม A2. อ�ตราส�วนของความยาวของด�านประชต ม�ม A ต�อความยาวของด�าน

ตรงข�ามม�มฉาก หร�อ cb

เร%ยกว�า โคไซน* (cosine) ของม�ม A3. อ�ตราส�วนของความยาวของด�านตรงข�ามม�ม A ต�อความยาวของด�าน

ประชต ม�ม A หร�อ ba

เร%ยกว�า แทนเจนต* (tangent) ของม�ม Aเร%ยกอ�ตราส�วนท��งสามน%+ว�า อ�ตราส�วนตร%โกณมต ค�าของอ�ตราส�วน

ตร%โกณมต ของ A เม�+อ A เป)นม�มแหลมในร-ปสามเหล%+ยมม�มฉาก

7

หร�ออาจสร�ปได�ว�า

Sin A =

Aความยาวของด�านตรงข�ามม�มความยาวของด�านตรงข�ามม�มฉาก

Cos A =

Aความยาวของด�านประชดม�มความยาวของด�านตรงข�ามม�มฉาก

Tan A =

Aความยาวของด�านตรงข�ามม�ม Aความยาวของด�านประชตม�ม

ต�วอย��ง หาค�า sin A, cos A และ tan A โดยการพจารณาท%+ม�ม A

Sin A =

Aความยาวของด�านตรงข�ามม�มความยาวของด�านตรงข�ามม�มฉาก =BC

AB= 6

10=3

5

Cos A =

Aความยาวของด�านประชดม�มความยาวของด�านตรงข�ามม�มฉาก

= ACAB

= 810

=45

Tan A =

Aความยาวของด�านตรงข�ามม�ม Aความยาวของด�านประชตม�ม = BC

AC= 6

8= 3

4

ก�รห�พ01นำท��และสำมบ�ต�ของร/ปสำ��เหล��ยม สำ�มเหล��ยม และวงกลมสำ�มเหล��ยมชนดของร-ปสามเหล%+ยม การเร%ยกช�+อร-ปสามเหล%+ยมตามความยาว

ของด�านช�+อ ภาพ สมบ�ต

ร- ป ส า ม เ ห ล%+ ย มด�านเท�า

ด� า น ท� ก ด� า น ม%ความยาวเท�าก�น

ร- ป ส า ม เ ห ล%+ ย มหน�าจ�+ว

ม%ด�านยาวเท�าก�นสองด�าน

ร- ป ส า ม เ ห ล%+ ย มด�านไม�เท�า

ความยาวของด�านท�กด�าน

h

b

8

แตกต�างก�นการใช�ส�ญล�กษณ* / หร�อการข%ดบนด�านของร-ปสามเหล%+ยมเพ�+อ

แสดงว�าด�านท�กด�านท%+ม%ส�ญล�กษณ*เหม�อนก�นม%ความยาวเท�าก�นชนดของร-ปสามเหล%+ยม การเร%ยกช�+อร-ปสามเหล%+ยมตามขนาดของม�ม

ช0�อ ภ�พ สำมบ�ต�

ร-ปสามเหล%+ยมม�มแหลม

ขนาดของม�มท�กม�มเป)นม�มแหลม (น�อยกว�า 90 4)

ร- ป ส า ม เ ห ล%+ ย มม�มฉาก

ขนาดของม�มใดม� ม ห น + ง เ ป) นม�มฉาก (เท�าก�บ 90 4)

ร-ปสามเหล%+ยมม�มปCาน

ขนาดของม�มใดม� ม ห น + ง เ ป) น ม� มปC า น (ม า ก ก ว� า 90 4)

ก�รห�พ01นำท��ของร/ปสำ�มเหล��ยม

ให� b แทนความยาวของฐานของร-ปสามเหล%+ยม h แทนความส-งของร-ปสามเหล%+ยม

พ�� น ท%+ ข อ ง ร- ป ส า ม เ ห ล%+ ย ม =12 b h

ตารางหน�วย

9

ส-ตรการหาพ��นท%+ร-ปสามเหล%+ยม = 12 ความยาวของฐาน

ความส-งสำ��เหล��ยมสำ/ตรก�รห�พ01นำท��ของร/ปสำ��เหล��ยม

พ��นท%+ร-ปส%+เหล%+ยมจ�ต�ร�ส = ด�าน ด�านพ��นท%+ร-ปส%+เหล%+ยมผ�นผ�า = กว�าง ยาวพ��นท%+ร-ปส%+เหล%+ยมด�านขนาน = ความส-ง ความยาวของ

ฐาน

พ��นท%+ร-ปส%+เหล%+ยมคางหม- = 12ความส-ง ผลบวกของ

ความยาวของด�านค-�ขนาน

พ��นท%+ร-ปส%+เหล%+ยมร-ปว�าว = 12 ผลค-ณของความยาวของ

เส�นทแยงม�ม

วงกลมสำ/ตรก�รห�พ01นำท��ของวงกลม = r2 เม0�อ r แทนำ คว�ม

ย�วของร�ศม�ของวงกลม

ก�รประม�ณค��ในช%วตประจ4าว�นของคนเรา บ�อยคร��งท%+ต�องอาศ�ยข�อม-ลจากการ

ค4านวณมาประกอบการต�ดสนใจ และการค4านวนเป)นการค4านวณคร�าว ๆ  ค�าท%+ได�ไม�ใช�ค�าท%+แท�จรงแต�ม%ความใกล�เค%ยงพอท%+จะตอป.ญหา     หร�อ ต�ดสนใจได�  ใช�ส�ญล�กษณ*        แทนค4าว�า   ม�ค��ประม�ณต�วอย��ง    1.  8.6  +  5.3   ม%ค�าเท�าใด  ?

ค�าท%+แท�จรงได�จากการค4านวณ        8.6  +  5.3   =   13.9

เข%ยนแทนด�วยส�ญล�กษณ*               8.6  +  5.3    14

ค�าประมาณค�อ                              14

10

คว�มเท��ก�นำท�กประก�รร-ปสองร-ปท%+ม%ร-ปร�างและขนาดเท�าก�น และท�บก�นสนทพอด% จะม%

ความเท�าก�นท�กประการ เราใช�ส�ญล�กษณ* ¿ แทนค4าว�า "เท�าก�นท�กประการ"

ส�วนของเส�นตรงสองเส�นเท�าก�นท�กประการ เม�+อส�วนของเส�นตรงท��งสองน��นม%ความยาวเท�าก�น

ม�มสองม�มเท�าก�นท�กประการ เม�+อม�มท��งสองน��นม%ขนาดเท�าก�น

ต�วอย�าง ABC และ DEF ช +งเท�าก�นท�กประการ

เม�+อตรวจสอบความยาวของด�านค-�ท%+สมน�ยก�น จะได�ว�า AB = DE,

BC = EF และ CA = FD

เม�+อตรวจสอบขนาดม�มของท%+สมน�ยก�น จะได�ว�า A=D , B=Eและ C=F1. ถ�าร-ปสามเหล%+ยมสองร-ปม%ความส�มพ�นธ*ก�นแบบ ด�าน ม�ม – –

ด�าน (ด.ม.ด.) กล�าวค�อ ม%ความยาวเท�าก�นสองค-� และม�มในระหว�างด�านค-�ท%+ยาวเท�าก�นม%ขนาดเท�าก�น แล�วร-ปสามเหล%+ยมท��งสองร-ปน��นเท�าก�นท�กประการ

ต�วอย�าง จากร-ปก4าหนดให� AB ต�ดก�บ CD ท%+จ�ด O ม% AO

=BO และ CO=DO จงพส-จน*ว�า AOC≃¿ ¿ BOD

ก4าหนดให� AB ต�ดก�บ CD ท%+จ�ด O ม% AO =BO และ CO=DO

B C EF

A

C O

D

B

AD

11

ต�องการพส-จน*ว�า AOC≃¿ ¿ BOD

พส-จน* AOC และ BOD

ข�อความ เหต�ผล1. AO =BO2. AOC=BO D3. CO=DO4. AOC≃¿ ¿ BOD

1. ก4าหนดให� (ด)

2. ม�มตรงข�าม (ม)

3. ก4าหนดให� (ด)

4. จาก 1 – 3 (ด.ม.ด.)

2. ถ�าร-ปสามเหล%+ยมสองร-ปม%ความส�มพ�นธ*ก�นแบบ ม�ม ด�าน – –

ม�ม (ม.ด.ม.) กล�าวค�อ ม�มท%+ม%ขนาดเท�าก�นสองค-� และด�านซ +งเป)นแขนร�วมท��งสองยาวเท�าก�นแล�ว ร-ปสามเหล%+ยมสองร-ปน��นเท�าก�นท�กประการ

ต�วอย�าง จากร-ป ก4าหนดให� AB ต�ดก�บ CB ท%+จ�ด Oจงพส-จน*ว�า BO=DO

ก4าหนดให� AB ต�ดก�บ CB ท%+จ�ดต�องการพส-จน*ว�า BO=DO

พส-จน* ABO และ CDO

ข�อความ เหต�ผล1. B AO=DC O2. AO=CO

3. AOB=CO D

1. ก4าหนดให� (ม)

2. ก4าหนดให� (ด)

3. ม�มตรงข�าม (ม)

D

A

B

C

O

12

4. ABO¿ CDO5. BO=DO

4. จาก 1 – 3 (ม.ด.ม.)

5. ด�านค-�ท%+สมน�ยก�นของร-ปสามเหล%+ยมท%+เท�าก�นท�กประการ จะยาวเท�าก�น

3. ถ�าของร-ปสามเหล%+ยมสองร-ปม%ความส�มพ�นธ*ก�นแบบ ด�าน –

ด�าน ด�าน – (ด.ด.ด.) กล�าวค�อ ม%ความยาวเท�าก�นสามค-� แล�วร-ปสามเหล%+ยมสองร-ปน��นเท�าก�นท�กประการ

ต�วอย�าง จากร-ป ก4าหนดให� SEA และ TEAม% SE=TE และ SA=TAจงพส-จน*ว�า SEA¿ TEAและ S A E=T A E

ก4าหนดให� SEA และ TEAม% SE=TE และ SA=TAต�องการพส-จน*ว�า SEA¿ TEAและ S A E=T A Eพส-จน* SEA และ TEA

ข�อความ เหต�ผล1. SE=TE2. SA=TA3. EA=EA4. SEA¿ TEA

6. S A E=T A E

1. ก4าหนดให� (ด)

2. ก4าหนดให� (ด)

3. ด�านร�วม (ด)

4. จาก 1 – 3 (ด.ด.ด.)

5. ม�มค-�ท%+สมน�ยก�นของร-ปสามเหล%+ยมท%+เท�าก�นท�กประการ จะม%ขนาดเท�าก�น

T

E

A

S

13

โปรแกรม Geometer’s Sketchpad

โปรแกรม Geometer’s Sketchpad เป)นโปรแกรมคณตศาสตร*ท%+ผลตจากประเทศสหร�ฐอเมรกา เป)นโปรแกรมท%+ม%ประสทธภาพโปรแกรมหน +ง สามารถน4าไปใช�ในวชาคณตศาสตร*ได�หลายวชา เช�น วชาเรขาคณต พ%ชคณต ตร%โกณมตและแคลค-ล�ส

Sketchpad ท��อะไรได#บ#�ง?

       Sketchpad สามารถสร�างและว�ดค�าต�างๆ ของร-ปเรขาคณตได�อย�างแม�นย4าด�วยเคร�+องม�อและค4าส�+งใน Sketchpad สามารถสร�างร-ปเรขาคณตและวเคราะห*ได�แทบท�กร-ป ล�กร/ปเพ0�อสำ��รวจและศ!กษ�คว�มสำ�มพ�นำธ%ต��งๆ       ภาพน+งบนกระดานด4า ในสม�ดโน�ตหร�อ หน�งส�อน��น ไม�แสดงให�เห>นความส�มพ�นธ*ระหว�างก�นได�เท�าก�บภาพท%+เป)นพลว�ตโดย Sketchpad

จากร-ปเพ%ยงร-ปเด%ยว สามารถลากส�วนต�างๆของร-ปให�เกดการเคล�+อนไหว ท4าให�สามารถศ กษาต�วอย�าง ได�หลาย ๆ ต�วอย�างพร�อมท��งสร�างข�อความคาดการณ*ท%+เป)นจรงส4าหร�บร-ปเรขาคณตต�าง ๆ   สำร#�งผลง�นำด#วย Sketchpad  สามารถใช�ความสามารถในการจ�ดร-ปแบบอ�กษรของ Sketchpad ในการแสดงค4าบรรยายประกอบการสอน หร�อค�ดลอกภาพจาก Sketchpad ไปย�งโปรแกรมประย�กต*อ�+น ๆ ได� ภาพท%+สร�างจาก Sketchpad อย�างสวยงาม ท4าให�ผลงานโดดเด�นได�อย�างม�ออาช%พ นอกจากน%�ย�งสามารถใส�ร-ปภาพอ�+น ๆ หร�อภาพเคล�+อนไหวต�าง ๆ ใน Sketchpad และย�งสามารถเช�+อมโยงไปย�งแหล�งข�อม-ลทางอนเทอร*เน>ตได�อ%กด�วย

น4ามาใช�ในการเร%ยนการสอนอย�างไร1) ช�วยพ�ฒนาผ-�เร%ยนให�สามารถสร�างองค*ความร- � สามารถเร%ยนร- �

ด�วยตนเองได�  เป)นการเร%ยนร- �อย�างม%ความหมาย2) ช�วยเสรมสร�างกระบวนการแก�ป.ญหา สร�างท�กษะ ด�าน

จนตนาการ

14

3) ช�วยให�ผ-�เร%ยนม%การพ�ฒนาท�กษะต�างๆด%ข �น ได�แก� การพ�ฒนาในร-ปแบบของพห�ป.ญญา  ท��งทางด�านภาษา  ด�านตรรกศาสตร*  ด�านมตส�มพ�นธ*  และศลปะ

4) ช�วยกระต��นความสนใจของผ-�เร%ยน ให�ผ-�เร%ยนม%ความสน�กสนาน  เพลดเพลนก�บการเร%ยน  ก�อให�เกดเจตคตท%+ด%ต�อคร-  และวชาคณตศาสตร* และวชาคณตศาสตร* อ�นน�าจะช�วยให�ส�มฤทธผลทางการเร%ยนส-งข �นด�วย

5) ช�วยให�คร-เตร%ยมการสอนได�ง�าย และสะดวกรวดเร>วจ-งใจให�น�กเร%ยนม%ความสนใจวชาคณตศาสตร*มากข �น

6) ช�วยให�น�กเร%ยนสน�กก�บการเร%ยนและเพลดเพลนก�บการสร�างช�นงานด�วยตนเอง

15

บทท�� 3ว�ธ�ด��เนำ�นำก�รด��เนำ�นำก�ร

การศ กษาคร��งน%�ด4าเนนการโดยผ-�รายงาน ซ +งม%บทบาทหน�าท%+ในฐานะผ-�เร%ยน ในการเร%ยนร- �กล��มสาระการเร%ยนร- �คณตศาสตร* ช�วงช��นท%+ 3 ปAท%+ 3 โรงเร%ยนกาญจนาภเษกวทยาล�ย เพชรบ-รณ* อ4าเภอหล�มส�ก จ�งหว�ดเพชรบ-รณ* ส4าน�กงานเขตพ��นท%+การศ กษาม�ธยมศ กษา เขต 40 ปAการศ กษา 2555 ด�งน%�

ว�สำด�อ�ปกรณ%ท��ใช#ในำก�รศ!กษ�เคร�+องม�อส4าหร�บการเร%ยนร- �ท%+ใช�ในการรายงานคร��งน%�ม%ด�งน%�1. หน�งส�อเร%ยนสาระการเร%ยนร- �คณตศาสตร* 2. ค-�ม�อคร-สาระการเร%ยนร- �คณตศาสตร* 3. หน�งส�ออ�านเพ+มเตมสาระการเร%ยนร- �คณตศาสตร*4. Internet

ว�ธ�ด��เนำ�นำก�รศ!กษ� การจ�ดท4าบทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดโดยการประมาณค�า

ม%วธ%การด4าเนนการด�งน%�ข�1นำตอนำท�� 1 ก�รศ!กษ�ก�รจ�ดก�รเร�ยนำร/#

เป)นข��นตอนท%+น�กเร%ยนศ กษาวเคราะห*องค*ประกอบและป.จจ�ยต�างๆ ท%+เก%+ยวข�องก�บการเร%ยนร- � โดยโครงงาน ได�แก� ประเภทของโครงงานคณตศาสตร* ข� �นตอนการจ�ดท4าโครงงาน ประสบการณ*และ พ��นฐานความร- �เดม วธ%การเร%ยนร- � เพ�+อเป)นข�อม-ลท%+น4าไปใช�ในการก4าหนดเปCาหมายของการวางแผนและออกแบบกจกรรมเพ�+อน4าไปจ�ดท4าโครงงานให�สอดคล�องก�บความถน�ด ความสนใจและวธ%การเร%ยนร- �และ สภาพท%+แท�จรง และน4าข�อม-ลท%+น�กเร%ยนม%ความสนใจในการด4าเนนโครงงาน มาค�ดเล�อกในเร�+องท%+จะด4าเนนการท4าเป)นโครงงานคณตศาสตร* ในท%+น%�ผ-�

16

รายงานสนใจในเร�+องการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมท%+สามารถน4าส-ตรการหาพ��นท%+ไปใช�ในการประเมนค�าได�อย�างรวดเร>วและใกล�เค%ยงก�บค4าตอบให�มากท%+ส�ด เพ�+อความสะดวกในการคดค4านวณและสร�างทฤษฎ%บทใหม�ๆ เกดข �นโดยสามารถตรวจสอบได�

ข�1นำตอนำท�� 2 ก�รว�งแผนำ การวางแผนการจ�ดท4าโครงงาน การศ กษาความร- �ในเร�+องการหา

พ��นท%+ของคอร*ดวงกลมน��น ผ-�รายงานได�วางแผนในการด4าเนนการ ด�งน%� จ�ดเตร%ยมอ�ปกรณ*ส4าหร�บการเร%ยนร- �เพ�+อศ กษาค�นคว�า และวางแผนการน4าเสนอโครงงานให�คร-ท%+ปร กษาได�แสดงข�อเสนอแนะต�อไป

ข�1นำตอนำท�� 3 ด��เนำ�นำก�ร ผ-�รายงานได�ด4าเนนการจ�ดท4าบทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดโดย

การประมาณค�า ด�งต�อไปน%� 1. ศ กษาความร- �ในเร�+อง วงกลม สามเหล%+ยม ส%+เหล%+ยม และการหา

พ��นท%+ของวงกลม สามเหล%+ยม และส%+เหล%+ยม, สมบ�ตของวงกลม สามเหล%+ยมและส%+เหล%+ยม, ทฤษฎ%บทพ%ทาโกร�ส, ตร%โกณมต ,การประมาณค�า และความเท�าก�นท�กประการ เพ�+อเป)นแนวทางในการด4าเนนงานสร�างบทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดโดยการประมาณค�า ต�อไป

2. สร�างข�อความอธบายการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมในภาพรวม และบทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า โดยใช�หล�กการทางคณตศาสตร*ในการให�เหต�ผล อธบายในแต�ละข��นตอนการหาพ��นท%+ของคอร*ดในแต�ละร-ปแบบ

3. น4าข�อความอธบายการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมในภาพรวม และบทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า เร%ยนปร กษาก�บคร-ท%+ปร กษาเพ�+อขอร�บค4าแนะน4าในการแสดงเหต�ผลทางคณตศาสตร*ได�อย�างถ-กต�องและเหมาะสม

ข�1นำตอนำท�� 4 ก�รว�เคร�ะห%ข#อม/ลน4าข�อเสนอแนะของคร-ท%+ปร กษามาปร�บปร�งแก�ไขข�อความอธบายการ

หาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลม ในภาพรวม และบทแทรกการหาส-ตร

17

พ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า ให�ม%ความสมบ-รณ*เพ+มมากข �นและจ�ดท4าน4าเสนอข�อม-ลเป)นร-ปของโครงงานต�อไป

ข�1นำตอนำท�� 5 ก�รนำ��เสำนำอข#อม/ล น4าผลจากการศ กษาค�นคว�ามาเข%ยนเป)นข�อความอธบายการหาพ��นท%+

ของคอร*ดวงกลมในภาพรวม และบทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า ในร-ปของการน4าเสนอข�อม-ลในร-ปแบบการแสดงข�อความพส-จน*และอ�างเหต�ผลทางคณตศาสตร* และแสดงการตรวจค4าตอบโดยใช�โปรแกรม Geometer’s Sketchpad เข�ามาช�วยในการอธบายข�อความและบทแทรกให�ได�เห>นภาพช�ดเจนมากย+งข �น

18

บทท�� 4ผลก�รด��เนำ�นำก�ร

จาการด4าเนนการคร��งน%� ผ-�รายงานน4าเสนอผลการด4าเนนงานตามว�ตถ�ประสงค*ของการศ กษา ค�อ การสร�างข�อความอธบายการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมในภาพรวม และบทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า ด�งน%�

ข#อคว�มอธ�บ�ยก�รห�พ01นำท��ของคอร%ดวงกลมในำภ�พรวม

C

D

O

จ�ดเปล��ยนำขนำ�ดวงกลม

BA

พจารณาวงกลมใดๆ จะม%จ�ดศ-นย*กลางเป)นจ�ดคงท%+ โดยก4าหนดให�เป)นจ�ด O และม%ความยาวร�ศม% r หน�วยในการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมใดๆ จะส�งเกตได�ว�าจ�ดปลายของคอร*ดเป)นจ�ดท%+อย-�บนวงกลม ซ +งเม�+อลากจ�ดปลายของคอร*ดแต�ละจ�ดมาเช�+อมหาจ�ดศ-นย*กลาง จะยาว r หน�วย และท4าม�ม องศา

จะแสำดงว�� สำ/ตรก�รห�พ01นำท��ของคอร%ดวงกลม ค0อ [ (r 2)360 ]−[( 1

2 )r2 sin ]

พ�สำ/จนำ%

rr

19

การหาพ��นท%+ของเซกเตอร* BOA = พ��นท%+ของคอร*ด AB +

พ��นท%+ของสามเหล%+ยม BOA

ด�งน��น พ��นท%+ของคอร*ด AB = พ��นท%+ของเซกเตอร* BOA - พ��นท%+ของสามเหล%+ยม BOA

เน�+องด�วย พ��นท%+ของเซกเตอร* BOA = r2

360

และ พจารณา

จ�กนำ�ย�มฟ3งก%ช�นำตร�โกณม�ต� จะได#ว�� sin = y

ด�งนำ�1นำ sin = BFr

จะได# BF = r sin

ด�งน��น

จะได� พ��นท%+ของร-ปสามเหล%+ยม BOA = 12×ความส-ง×ฐาน

= 12×rsinθ×r

= r2 sinθ

2

1

1

(1,0)

0

OA

B

r

r

F

X

P(x,y)

Y

20

ด�งน��นจะได�ว�า พ��นท%+ของคอร*ด AB = พ��นท%+ของเซกเตอร* BOA -

พ��นท%+ของสามเหล%+ยม BOA

พ��นท%+ของคอร*ด AB = [ (r 2)360 ]−[( 1

2 )r2 sin ]

บทแทรกก�รห�สำ/ตรพ01นำท��ของคอร%ดวงกลมโดยก�รประม�ณค��

พจารณาวงกลมใดๆ จะม%จ�ดศ-นย*กลางเป)นจ�ดคงท%+ โดยก4าหนดให�เป)นจ�ด A และม%ความยาวร�ศม% r หน�วยในการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมใดๆ จะส�งเกตได�ว�าจ�ดปลายของคอร*ดเป)นจ�ดท%+อย-�บนวงกลม ซ +งเม�+อลากจ�ดปลายของคอร*ดแต�ละจ�ดมาเช�+อมหาจ�ดศ-นย*กลาง จะยาว r หน�วย และท4าม�ม 90 องศา

จะแสำดงว�� สำ/ตรก�รห�พ01นำท��ของคอร%ดวงกลมโดยก�รประม�ณค�� ค0อ 27r2

พ�สำ/จนำ%

r r

r r

21

เน�+องด�วย 1. เส�นทแยงม�มของร-ปส%+เหล%+ยมสองเส�นต�ดก�นท4าม�ม 90 องศา จากสมบ�ตของร-ปส%+เหล%+ยมจะได�ว�าส%+เหล%+ยม BCDE

เป)นร-ปส%+เหล%+ยมจ�ต�ร�ส หร�อขนมเปAยกป-น2. เน�+องจาก ความยาวของส�วนของเส�นตรง AB, AC , AD

และ AE ม%ความยาวเท�าก�นค�อ r หน�วย ซ +งเป)นร�ศม% ท4าให�สามเหล%+ยมท��งส%+ร-ปค�อ สามเหล%+ยม ABC ,ABD , ADE และ AEC เป)นสามเหล%+ยมเท�าก�นท�กประการ จากค�ณสมบ�ต ด�านม�มด�าน

3. พจารณาแต�ละสามเหล%+ยมจากท��งส%+ พบว�าเป)นสามเหล%+ยมหน�าจ�+ว เพราะม%ความยาวของด�านประกอบจ4านวนสองด�านท%+ยาวเท�าก�น ท4าให�เม�+อลากเส�นแบ�งคร +งม�มจากม�มยอดมาต��งฉากท%+ฐานท4าให�เกดม�มท%+ฐานม%ขนาดของม�มเท�าก�นและจ งท4าให�ม�มท%+ฐานต�องกาง 45 องศา จากค�ณสมบ�ตม�มภายในของร-ปสามเหล%+ยมกางรวมก�นได� 180 องศา จ งสร�ปได�ว�าส%+เหล%+ยม BCDE เป)นร-ปส%+เหล%+ยมจ�ต�ร�ส

4. ร-ปส%+เหล%+ยม BCDE เป)นร-ปส%+เหล%+ยมจ�ต�ร�ส ซ +งม%ความยาวด�านแต�ละด�านจะยาวเท�าก�นโดยหาความยาวแต�ละด�านได�จากทฤษฎ%บทพ%ทาโกร�ส โดยพจารณาเป)นรายด�าน ซ +งจะได�จาก พจารณา ร-ปสามเหล%+ยม ABC เป)นร-ปสามเหล%+ยมม�มฉาก

จะได�ว�า ¿¿ = r2 + r2

CB=√2 r

ด�งน��น ความยาวของด�านส%+เหล%+ยมจ�ต�ร�ส BCDE = √2 r หน�วย

C

BA r

r

22

ด�งน��น พ��นท%+ของร-ปส%+เหล%+ยม BCDE เป)นร-ปส%+เหล%+ยมจ�ต�ร�ส =

√2 r×√2 r ตารางหน�วย= 2r2 ตารางหน�วย

5. เน�+องด�วย สามเหล%+ยมท��งส%+ร-ปค�อ สามเหล%+ยม ABC ,ABD

, ADE และ AEC เป)นสามเหล%+ยมเท�าก�นท�กประการ จากค�ณสมบ�ต ด�านม�มด�าน ม%ผลท4าให�เซกเตอร*ท��งส%+ก>ม%พ��นท%+เท�าก�นเพราะความยาวของฐานส�วนโค�งยาวเท�าก�น จ งม%ผลท4าให�พ��นท%+ของคอร*ดท��งส%+ก>ม%พ��นท%+เท�าก�นด�วย ด�งน��น พ��นท%+ของวงกลม = r2 ตารางหน�วยจะได�ว�า พ��นท%+ของคอร*ด BC = พ��นท%+ของวงกลม−พ��นท%+ของร-ปส%+เหล%+ยมBCDE

4

= π r2−2r 2

4

227r2−2 r2

4

87r2

4

27r2

ซ +งในการตรวจค4าตอบ สามารถตรวจค4าตอบได�จากภาพท%+น4าเสนอโดยใช�โปรแกรม Geometer’s Sketchpad

23

บทท�� 5

สำร�ป อภ�ปร�ยผลและข#อเสำนำอแนำะ

โครงงานคณตศาสตร* ประเภทสร�างทฤษฎ%หร�อค4าอธบายทางคณตศาสตร* เร�+อง บทแทรก การหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดโดยการประมาณค�า ระด�บช��นม�ธยมศ กษาตอนต�น

คว�มม��งหม�ยของก�รศ!กษ�ค#นำคว#�1. เพ�+อสร�างค4าอธบายการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลม และบท

แทรกในการอธบายการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า โดยใช�ความร- �คณตศาสตร* ระด�บช��นม�ธยมศ กษาตอนต�น ปAการศ กษา 2555 โรงเร%ยนกาญจนาภเษกวทยาล�ย เพชรบ-รณ*

2. เพ�+อตรวจสอบค4าอธบายการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลม และบทแทรกในการอธบายการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า โดยใช�โปรแกรม Geometer’s Sketchpad

3. เพ�+อน4าความร- �เร�+องการหาพ��นท%+ของคอร*ดไปใช�ในช%วตประจ4าว�น

คว�มสำ��ค�ญของก�รศ!กษ�ค#นำคว#�การศ กษาค�นคว�าคร��งน%� สามารถสร�างค4าอธบายการหาพ��นท%+ของ

คอร*ดวงกลม และบทแทรก

24

ในการอธบายการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า พร�อมท��งสามารถตรวจสอบค4าอธบาย การหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลม และบทแทรกในการอธบายการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า โดยใช�โปรแกรม Geometer’s Sketchpad น%�เป)นการสร�างองค*ความร- � และการบ-รณาการเน��อหาวชาของคณตศาสตร*ระด�บช��นม�ธยมศ กษาตอนต�น และเป)นการน4าความร- �มาประย�กต*และพ�ฒนาการน4าคณตศาสตร*ไปใช�ในการประมาณค�าเพ�+ออ4านวยความสะดวกในการคดค4านวณได�ด%ย+งข �น ซ +งเป)นกระบวนการคดท%+สร�างสรรค*ผลงาน

ว�สำด�อ�ปกรณ%ท��ใช#ในำก�รศ!กษ�เคร�+องม�อส4าหร�บการเร%ยนร- �ท%+ใช�ในการรายงานคร��งน%�ม%ด�งน%�1. หน�งส�อเร%ยนสาระการเร%ยนร- �คณตศาสตร* 2. ค-�ม�อคร-สาระการเร%ยนร- �คณตศาสตร* 3. หน�งส�ออ�านเพ+มเตมสาระการเร%ยนร- �คณตศาสตร*4. Internet

ว�ธ�ด��เนำ�นำก�รศ!กษ� ข�1นำตอนำท�� 1 ก�รศ!กษ�ก�รจ�ดก�รเร�ยนำร/# น�กเร%ยนศ กษาวเคราะห*องค*ประกอบและป.จจ�ยต�างๆ ท%+เก%+ยวข�อง

ก�บการเร%ยนร- � โดยโครงงาน ได�แก� ประเภทของโครงงานคณตศาสตร* ข� �นตอนการจ�ดท4าโครงงาน ประสบการณ*และพ��นฐานความร- �เดม วธ%การเร%ยนร- � และน4าข�อม-ลท%+น�กเร%ยนม%ความสนใจในการด4าเนนโครงงาน มาค�ดเล�อกในเร�+องท%+จะด4าเนนการท4าเป)นโครงงานคณตศาสตร* ในท%+น%�ผ-�รายงานสนใจในเร�+องการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมท%+สามารถน4าส-ตรการหาพ��นท%+ไปใช�ในการประเมนค�าได�อย�างรวดเร>วและใกล�เค%ยงก�บค4าตอบให�มากท%+ส�ด เพ�+อความสะดวกในการคดค4านวณและสร�างทฤษฎ%บทใหม�ๆ เกดข �นโดยสามารถตรวจสอบได�

ข�1นำตอนำท�� 2 ก�รว�งแผนำ

25

การวางแผนการจ�ดท4าโครงงาน การศ กษาความร- �ในเร�+องการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมน��น ผ-�รายงานได�วางแผนในการด4าเนนการ ด�งน%� จ�ดเตร%ยมอ�ปกรณ*ส4าหร�บการเร%ยนร- �เพ�+อศ กษาค�นคว�า และวางแผนการน4าเสนอโครงงานให�คร-ท%+ปร กษาได�แสดงข�อเสนอแนะต�อไป

ข�1นำตอนำท�� 3 ด��เนำ�นำก�ร ผ-�รายงานได�ด4าเนนการจ�ดท4าบทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดโดย

การประมาณค�า ด�งต�อไปน%� 1. ศ กษาความร- �ในเร�+อง วงกลม สามเหล%+ยม ส%+เหล%+ยม และการหา

พ��นท%+ของวงกลม สามเหล%+ยม และส%+เหล%+ยม, สมบ�ตของวงกลม สามเหล%+ยมและส%+เหล%+ยม, ทฤษฎ%บทพ%ทาโกร�ส, ตร%โกณมต ,การประมาณค�า และความเท�าก�นท�กประการ เพ�+อเป)นแนวทางในการด4าเนนงานสร�างบทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดโดยการประมาณค�า ต�อไป

2. สร�างข�อความอธบายการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมในภาพรวม และบทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า โดยใช�หล�กการทางคณตศาสตร*ในการให�เหต�ผล อธบายในแต�ละข��นตอนการหาพ��นท%+ของคอร*ดในแต�ละร-ปแบบ

3. น4าข�อความอธบายการหาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมในภาพรวม และบทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า เร%ยนปร กษาก�บคร-ท%+ปร กษาเพ�+อขอร�บค4าแนะน4าในการแสดงเหต�ผลทางคณตศาสตร*ได�อย�างถ-กต�องและเหมาะสม

ข�1นำตอนำท�� 4 ก�รว�เคร�ะห%ข#อม/ลน4าข�อเสนอแนะของคร-ท%+ปร กษามาปร�บปร�งแก�ไขข�อความอธบายการ

หาพ��นท%+ของคอร*ดวงกลม ในภาพรวม และบทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดวงกลมโดยการประมาณค�า ให�ม%ความสมบ-รณ*เพ+มมากข �นและจ�ดท4าน4าเสนอข�อม-ลเป)นร-ปของโครงงานต�อไป

ข�1นำตอนำท�� 5 ก�รนำ��เสำนำอข#อม/ล น4าผลจากการศ กษาค�นคว�ามาเข%ยนเป)นข�อความอธบายการหาพ��นท%+

ของคอร*ดวงกลมในภาพรวม และบทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ด

26

วงกลมโดยการประมาณค�า ในร-ปของการน4าเสนอข�อม-ลในร-ปแบบการแสดงข�อความพส-จน*และอ�างเหต�ผลทางคณตศาสตร* และแสดงการตรวจค4าตอบโดยใช�โปรแกรม Geometer’s Sketchpad เข�ามาช�วยในการอธบายข�อความและบทแทรกให�ได�เห>นภาพช�ดเจนมากย+งข �น

สำร�ปผล1.

พ��นท%+ของคอร*ด AB = [ (r 2)360 ]−[( 1

2 )r2 sin ]

2.

พ01นำท��ของคอร%ด BC 27r2

อภ�ปร�ยผล

C

D

O

จ�ดเปล��ยนำขนำ�ดวงกลม

BA

rr

rr

27

1. พ��นท%+ของคอร*ด AB = [ (r 2)360 ]−[( 1

2 )r2 sin ] ข�อส�งเกตในการ

ใช�ส-ตรน%� ค�อการหาพ��นท%+ของคอร*ดโดยเซกเตอร*ของวงกลมโดยแขนของเซกเตอร*กางม�ม สามารถใช�ส-ตรน%�ในการหาท�กม�มได� โดยการแสดงการพส-จน*ด�งท%+กล�าวมาแล�วน��น

2. พ01นำท��ของคอร%ด BC 27r2 ข�อส�งเกตในการใช�ส-ตรน%�

ค�อการหาพ��นท%+ของคอร*ดโดยเซกเตอร*ของวงกลม โดยแขนของเซกเตอร*กางม�ม 90 องศา สามารถประมาณค�าในการหาพ��นท%+ของคอร*ดโดยใช�ส-ตรด�งกล�าวได�เลย ซ +งม%ความสะดวกในการน4าไปใช�ได�รวดเร>ว และใกล�เค%ยงก�บค4าตอบจรง

ข#อเสำนำอแนำะผ-�รายงานขอเสนอแนะแนวทางเพ�+อน4าข�อค�นพบในการท4าโครงงาน

คณตศาสตร* ประเภท สร�างทฤษฎ%หร�อค4าอธบายทางคณตศาสตร* เร�+อง บทแทรกการหาส-ตรพ��นท%+ของคอร*ดโดยการประมาณค�า ระด�บช��นม�ธยมศ กษาตอนต�น ไปใช�ในการพ�ฒนาการเร%ยนการสอนและการน4าไปใช�ในช%วตประจ4าว�น ด�งน%�

1. ในการน4าส-ตรการหาพ��นท%+ของคอร*ดไปใช� ต�องอาศ�ยเน��อหาสาระในหลายบทเร%ยน จ งต�องม%การให�ความร- �เร�+องท%+เก%+ยวข�องให�น�กเร%ยนได�ม%ความร- �พ��นฐาน จ งจะท4าให�น�กเร%ยนเข�าใจหล�กการและสามารถน4าไปใช�ได�อย�างคงทน

2. การจ�ดท4าบทแทรกควรม%ต�วอย�างในการน4าไปใช�ในช%วตประจ4าว�นด�วย

บรรณ�นำ�กรม

28

กระทรวงศ กษาธการ. (2544). หล�กสำ/ตรก�รศ!กษ�ข�1นำพ01นำฐ�นำ พ�ทธศ�กร�ช 2544. กรมวชาการ กระทรวงศ กษาธการ,

กร�งเทพฯ:

. (2554). ค/�ม0อคร/สำ�ระก�รเร�ยนำร/#พ01นำฐ�นำคณ�ตศ�สำตร% ช�1นำม�ธยมศ!กษ�ป:ท�� 1 ต�มหล�กสำ/ตรก�รศ!กษ�ข�1นำพ01นำฐ�นำ พ�ทธศ�กร�ช 2544. กรมวชาการ กระทรวงศ กษาธการ, กร�งเทพฯ: พมพ*คร��งท%+ 3.

. (2554). ค/�ม0อคร/สำ�ระก�รเร�ยนำร/#พ01นำฐ�นำคณ�ตศ�สำตร% ช�1นำม�ธยมศ!กษ�ป:ท�� 2 ต�มหล�กสำ/ตรก�รศ!กษ�ข�1นำพ01นำฐ�นำ พ�ทธศ�กร�ช 2544. กรมวชาการ กระทรวงศ กษาธการ, กร�งเทพฯ: พมพ*คร��งท%+ 3.

. (2554). ค/�ม0อคร/สำ�ระก�รเร�ยนำร/#พ01นำฐ�นำคณ�ตศ�สำตร% ช�1นำม�ธยมศ!กษ�ป:ท�� 3 ต�มหล�กสำ/ตรก�รศ!กษ�ข�1นำพ01นำฐ�นำ พ�ทธศ�กร�ช 2544. กรมวชาการ กระทรวงศ กษาธการ, กร�งเทพฯ: พมพ*คร��งท%+ 3.

สถาบ�นส�งเสรมการสอนวทยาศาสตร*และเทคโนโลย%. (2554). หนำ�งสำ0อเร�ยนำกล��มสำ�ระก�รเร�ยนำร/#คณ�ตศ�สำตร% ช�1นำม�ธยมศ!กษ�ป:ท�� 1 .

กร�งเทพฯ .พมพ*คร��งท%+ 3.

(2554). หนำ�งสำ0อเร�ยนำกล��มสำ�ระก�รเร�ยนำร/#คณ�ตศ�สำตร% ช�1นำม�ธยมศ!กษ�ป:ท�� 2 . กร�งเทพฯ : พมพ*คร��งท%+ 3.

(2554). หนำ�งสำ0อเร�ยนำกล��มสำ�ระก�รเร�ยนำร/#คณ�ตศ�สำตร% ช�1นำม�ธยมศ!กษ�ป:ท�� 3 . กร�งเทพฯ : .พมพ*คร��งท%+ 3.