3-vibrazioni libere

7/26/2019 3-vibrazioni libere

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Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

La risposta in vibrazioni libere di un sistema

lineare viscoso a un grado di libert


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Richiami di algebra complessa 1/4

Nel seguito alcune variabili fisiche saranno indicate in notazione complessa. Si richiamanoqui alcuni concetti elementari.

Notazione algebrica

In notazione algebrica un numero complesso csi scrive come somma di una parte reale ae diuna parte immaginaria b, cio

c = a+ ib

i = !1in cui lunit immaginaria.

Rappresentazione geometrica

Un numero complesso cpu essere rappresentato graficamente in un piano cartesiano medianteun punto C, di cui arappresenta lascissa e blordinata.

Il piano cartesiano prende il nome dipiano complesso opiano di Argand. Le ascisse sono indicate con il simbolo

Re, mentre le ordinate con il simbolo Im. La parte reale equella immaginaria possono essere espresse con le notazioni

a =Re c( ); b = Im c( )


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Numeri complessi e coniugati

Due numeri complessi ce si dicono coniugati quando hanno la stessa parte reale e la parte

immaginaria di segno opposto, cioc = a+ ib c = a! ib

Notazione trigonometrica

Nel piano complesso, il numero complesso cpu anche essere rappresentato mediante il vettoreorientato OC, avente modulo

!= a

2

+b

2

e angolo di fase(o argomento)

! = tan!1

b a( )

positivo se antiorario. In notazione trigonometrica,quindi, il numero complesso csi pu scrivere

c =!cos"+ i!sin"=! cos"+ isin!( )

C


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c =! cos"+ isin!( )

Inoltre, poich si pu dimostrare che vale la relazione

ei!= cos!+ isin!

dettaformula di Eulero, si pu anche scrivere

c =! cos"+ isin"( ) =!ei"

Il numero complesso e coniugato assume la forma

c =! cos"! isin"( ) =!e!i"

Inoltre, poich risultacos

2!+ sin

2! =1

si osserva che lesponenziale con esponente immaginarioe

i!= cos!+ isin!

rappresenta un numero complesso di modulo unitario e argomento .!


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Prodotto tra due numeri complessi

In notazione trigonometrica il prodotto tra due numeri complessi

c =!ei"

d =#ei$

uguale a un numero complesso che ha per modulo il prodottodei moduli e per argomento la somma degli argomenti, cio

cd=!"ei !+"( )

Ne segue che se dha modulo unitario, cio se

il prodotto cdequivale a ruotare il vettore rappresentativo dicin senso antiorario di un angolo".

d = ei!


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Vibrazioni libere

Per vibrazioni libere si intendono quei moti che avvengono in assenza di forze applicate e che

sono dovuti a condizioni iniziali diverse dallo stato di quiete. Queste condizioni possono essereespresse in termini dello spostamento e della velocit del sistema allistante iniziale del moto.In questo caso lequazione che governa il moto omogenea e si scrive

m!!u t( )+ c !u t( )+ ku t( ) = 0

La risposta in vibrazioni libere pu essere espressa nella forma

u t( ) = Cest

in cui Ced ssono costanti arbitrarie, in generale complesse, che dipendono dalle proprietdinamiche del sistema e dalle condizioni iniziali del moto.Poich risulta

!u t( ) = sCest e !!u t( ) = s2Cest

ms2+ cs + k( )Cest = 0

sostituendo nellequazione del moto si ha


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Equazione caratteristica 1/2

ms2+ cs + k( )Cest = 0

Poich la quantit Cest diversa da zero, lequazione precedente soddisfatta se risulta

ms2+ cs + k= 0

La relazione rappresenta lequazione caratteristica dellequazione differenziale del moto.I valori di sche la soddisfano dipendono dalle propriet dinamiche del sistema, cio dalla

massa m, dallo smorzamento ce dalla rigidezza k. Dividendo tutti i termini per me ponendo

!2=

k

m

lequazione caratteristica assume la forma

s2+

c

m

s +!2= 0


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s2+

c

m

s +!2= 0

Le radici dellequazione caratteristica assumono la forma

s1,2

=! c

2m!

c

2m

"#$

%&'

2

!(2 =( ! c

2m(!

c

2m(

"#$

%&'

2

!1)

*

++

,

-

.

.

! =

k

m

in cui

prende il nome di frequenza naturale circolare non smorzata. Assumendo che me ksiano

assegnati, le radici dellequazione caratteristica mostrano che la risposta in vibrazioni liberedipende dalla quantit di smorzamento cpresente nel sistema.

Equazione caratteristica 2/2


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Vibrazioni libere non smorzate 1/8

Per un sistema non smorzato risulta c= 0 e lequazione caratteristica ammette le radici seguenti

s1,2

=! ! !

1( ) =!i!

che risultano complesse e coniugate, puramente immaginarie, in cui lunitimmaginaria. La risposta in vibrazioni libere, quindi, data dalla somma di due termini, cio

i = !1

u t( ) =C1es1t+C

2e

s2t=C

1e!i!t

+C2e

i!t

dove le costanti C1e C2rappresentano le ampiezze incognite delle vibrazioni corrispondenti.Affinch la risposta in vibrazioni libere sia una funzione reale del tempo t, i due terminicomplessi devono anche essere coniugati. Pertanto, poich i due esponenziali sono coniugati,anche le costanti complesse C1e C2devono essere coniugate, cio

C2 =C

1

u t( ) =C1e!i!t

+C1

ei!tLa risposta si scrive quindi


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u t( ) =C1e!i!t

+C1

ei!t

I due termini a secondo membro della possono essere rappresentati graficamente come vettorirotanti nel piano complesso. Si consideri inizialmente il primo termine

u1 t( ) =C1e

!i!t

e si ponga

C1=

1

2A+ iB( )

Al tempo t= 0 risultau1 0( ) =C1

il cui vettore rappresentativo indicato con OD in figura.

Per t > 0, poich il termine un numero complesso di modulounitario, il vettore che corrisponde a u1(t), OD, si ottiene ruotandodi #tin verso orario il vettore OD, come indicato sempre in figura.

e! i"t


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Allo scorrere del tempo t, il vettore che rappresenta u1(t) ruota in verso orario con una velocitangolare costante uguale ad #. Per questa ragione #, che si misura in radianti al secondo,

assume il significato di frequenza naturale circolaredel sistema. Il tempo impiegato dalvettore OD a compiere un intero giro, pari a 2$radianti, prende il nome di periodo naturale divibrazionee si indica con T. Si ha cio

!T = 2"

T =2!

"

f =!

2"

T =1

f

Considerando un giro completo del vettore OD come unciclodi vibrazione, si pu introdurre la frequenza ciclica

da cui si ottiene

che si misura in cicli al secondo, comunemente indicati Hertz (Hz).Il periodo naturale di vibrazione anche pari allinverso della

frequenza ciclica, cio

e rappresenta il tempo impiegato a compiere un ciclo completo di vibrazione.


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Dal confronto tra le figure precedenti, si pu osservare che i vettori OD e OE sono simmetricirispetto allasse reale per qualunque valore di t. Per questa ragione il vettore che rappresenta la

risposta complessiva, ottenuto dalla somma dei vettori OD e OE e indicato con OR in figura,giace sempre sullasse reale.

Di conseguenza, la risposta in termini di spostamento pu essere calcolata attraverso la relazione

u t( ) = 2Re C1e!i!t

( ) = 2Re 1

2A+ iB( ) cos!t! isin!t( )

"

#$%

&'= Acos!t+Bsin!t

mentre quella in termini di velocit assume la forma

!u t( ) =! !Asin!t+ Bcos!t( )


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u t( ) = Acos!t+ Bsin!t !u t( ) =! !Asin!t+ Bcos!t( )

Le costantiAeBpossono essere determinate attraverso le condizioni iniziali del moto in terminidi spostamento e di velocit.

u 0( ) = u0 = A

!u 0( ) =!u0 =!B

!

"#

$#

A = u0

B =!u0

!

!

"#

$#

da cui si ottiene

La risposta in termini di spostamento di un sistema lineare non smorzato a un grado di libert

in vibrazioni libere assume quindi la forma

u t( ) = u0cos!t+!u0

!

sin!t


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u t( ) = u0cos!t+

!u0

!

sin!t

Tale moto pu essere interpretato nel piano complesso come la somma delle proiezioni sullassereale di due vettori, di ampiezza u0e , che ruotano in senso antiorario con velocit angolare#.

!u0 !

La risposta pu anche essere ottenuta come proiezionesullasse reale del vettore somma, cio

u t( ) =!cos "t!!( )

!= u0( )

2

+ !u0 !( )

2

in cui

il modulo e

! = tan!1 !u0

!u0

"

#

$%

&

'

langolo di fase.


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u t( ) =!cos "t!!( )

Landamento della risposta riportato nella figura seguente.

T =2!

"


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Vibrazioni libere smorzate 1/8

Se il sistema smorzato risulta c"0 e le radici dellequazione caratteristica assumono la forma

s1,2 =

! ! c2m!

! c

2m!"#$ %

&'

2

!1(

)**

+

,--

Introducendo il rapporto di smorzamento viscoso

! =c

2m"

in cui la quantit 2m#= ccprende il nome di smorzamento critico, si ha

s1,2

=! !"! "2 !1"#$%

A questa relazione corrispondono tre tipi di moto, che dipendono dal segno della quantit

sotto radice.


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Sistemi con smorzamento critico

Se c uguale a cc, risulta %= 1 e lo smorzamento si dice critico. Di conseguenza le radicidellequazione caratteristica sono reali e coincidenti, cio

s1,2 =

!!

In questo caso particolare la soluzione dellequazione del moto in termini di spostamentoassume la forma

u t

( )= C

1+C

2t

( )e!!t

in cui la costante C2moltiplica il tempo t, dato che le due radici sono coincidenti. Derivandorispetto al tempo tsi ottiene la risposta in termini di velocit

!u t( ) = !!C1 + 1!!t( )C2"# $%e!!t


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!u t( ) = !!C1 + 1!!t( )C2"# $%e

!!t

Poich lesponenziale reale, anche le costanti C1e C2devono essere reali. Queste costanti sideterminano attraverso le condizioni iniziali del moto in termini di spostamento e di velocit,cio

u t( ) = C1 +C2t( )e!!t

u 0( ) = u0 =C1!u 0( ) =!u0 = !!u0 +C2

"

#$

%$

C1= u

0

C2= !u

0+!u

0

!"#

$#

da cui si ottiene

Sostituendo si ha infine

u t( ) = u0 + !u0 + u0!( ) t!" #$e%!t

= u0 1+!t( )+!u0t!" #$e

%!t


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u t( ) = u0 + !u0 + u0!( ) t!" #$e

%!t= u

0 1+!t( )+!u0t!" #$e

%!t

che rappresentata graficamente in figura per valori positivi delle condizioni iniziali u0e !u

0.

Si nota che la risposta in vibrazioni libere di un sistema con smorzamento critico non presentaoscillazioni attorno alla posizione di spostamento nullo. Lo smorzamento critico di un sistemalineare si pu definire come il pi piccolo valore dello smorzamento per cui la risposta invibrazioni libere perde il carattere oscillatorio.


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Sistemi con smorzamento superiore a quello critico

molto raro che nei sistemi strutturali lo smorzamento sia superiore al valore critico, anche se

talvolta ci pu accadere come, ad esempio, per alcuni tipi di sistemi meccanici. In questo casosi ha %>1 e la quantit sotto radice della relazione

risulta positiva. Le soluzioni dellequazione caratteristica sono quindi reali e distinte, cio

s1,2

=! !"! "2 !1"#$%

s1,2 =

!!"! " !

2

!1 =

!!"! "

Sostituendo, dopo alcuni passaggi si ottiene

u t( ) = C1 cosh !t+C2 sinh !t( )e!!"t

in cui le costanti C1e C2, anche questa volta reali, possono essere determinate attraverso le

condizioni iniziali del moto. Si pu facilmente mostrare che la risposta di un sistema consmorzamento superiore a quello critico qualitativamente simile a quella di un sistema consmorzamento critico. Tuttavia il ritorno verso la posizione di spostamento nullo pi lento edipende dalla quantit di smorzamento presente nel sistema.


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Sistemi con smorzamento inferiore a quello critico

Se lo smorzamento inferiore al valore critico, cio se risulta 0 < %< 1, la quantit sotto radice

nella relazione

negativa e si ha

s1,2

=! !"! "2 !1"#$%

Introducendo lafrequenza naturale smorzata

s1,2

= !!"! " !2!1 = !!"! i" 1!!

2

!D

=! 1!"2

s1,2

= !!"! i!D

si pu scrivere

La relazione mostra che, cos come per i sistemi non smorzati, anche per i sistemi con

smorzamento inferiore a quello critico le radici dellequazione caratteristica sono complesse econiugate. La risposta in vibrazioni libere si scrive pertanto

u t( ) =C1es1t+C

2e

s2t= C

1e!i!Dt

+C2

ei!Dt( )e!!"t


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u t( ) =C1e

s1t+C

2e

s2t= C

1e!i!Dt

+C2

ei!Dt( )e!!"t

in cui le costanti C1e C2devono essere complesse e coniugate affinch u(t) sia reale. Come nelcaso dei sistemi non smorzati, anche i due termini della relazione precedente possono essererappresentati come vettori rotanti nel piano complesso, con le uniche differenze che la frequenzacircolare ora #De che lampiezza dei vettori si riduce nel tempo per effetto dellesponenziale.Utilizzando lo stesso procedimento, la risposta pu essere espressa nella forma trigonometricaequivalente

u t( ) = Acos!Dt+ Bsin!Dt( )e!!"t

da cui, derivando rispetto al tempo, si ha

!u t( ) = ! !"cos"Dt+"Dsin"Dt( )A+ !"sin"Dt!"Dcos"Dt( )B"# $%e!!"t

Analogamente ai casi precedenti, le costantiAeBsi ricavano imponendo le condizioni inizialidel moto. Si ha

u 0( ) = u0 = A!u 0( ) = !u0 = !!"A+"DB

"

#$

%$

A = u0

B =!u0+!"u

0

"D

!

"#

$#


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Sostituendo si ha

u t

( )= u

0

cos!D

t+!u0+!"u

0

"D

sin"D

t

!

"#

$

%&e'!"t

u0e!!"t

!u0+!"u

0( ) !D!" #$e%"!t

Il moto rappresentato dalla relazione precedente pu essere interpretato nel piano complessocome la somma delle proiezioni sullasse reale di due vettori di modulo e

che ruotano in senso antiorario con velocit angolare #D, come indicato nella figura seguente.

!


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La risposta pu anche essere ottenuta come la proiezione sullasse reale del vettore somma, cio

u t( )=

!cos "Dt!#( )e

!!"t

!= u0( )

2

+

!u0+!"u

0

"D

!

"#

$

%&

2

in cui

il modulo e

! = tan!1 !u0 +!"u0

"Du0

"

#$

%

&'

langolo di fase.

!


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Landamento della risposta riportato nella seguente figura

Anche in questo caso la risposta oscillatoria attorno alla posizione di spostamento nullo, maper la presenza dello smorzamento lampiezza del moto si riduce progressivamente nel tempo,

fino ad annullarsi per tche tende a infinito. Questa volta la frequenza del moto pari a #De il tempo impiegato a compiere unoscillazione completa, che prende il nome diperiodo divibrazione smorzato, risulta

TD

=

2!

"DPoich #D< #, risulta TD> T.

u t( ) =!cos "Dt!#( )e!!"t


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La relazione tra il rapporto #D/#e il rapporto di smorzamento %

pu essere rappresentata graficamente con un cerchio di raggio unitario. Si ha infatti

Si osserva che, per valori del rapporto di smorzamento %< 0,1 (10%), tipici della maggior partedelle strutture, la frequenza #D molto prossima a #e cos anche TDa T.

!D

=! 1!"2

!2 +"

D

"

#$%

&'(

2

= 1


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Nella figura seguente sono mostrate, a confronto tra di loro, le risposte di un sistema lineareviscoso ad un grado di libert nei tre casi di smorzamento critico %=1, di smorzamento

superiore al valore critico, %= 2, e di smorzamento inferiore al valore critico, %= 0,1.


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Vibrazioni libere smorzate: il decremento logaritmico 1/3

Si consideri un sistema lineare viscoso a un grado di libert in vibrazioni libere dovute acondizioni iniziali di velocit nulla e di spostamento diverso da zero. La risposta assume la forma

Si indichino con une un+mle ampiezze di due picchi e siano tn= nTDe tn+m= (n+m)TDgli istantidi tempo corrispondenti. Poich per tne tn+mrisulta

cos !Dt"#( ) $ 1

tnt

tn+m

un+m

un

0

u0

-u0

(t)

!e-"#t

-!e-"#t

u t( ) =!cos "Dt!#( )e!!"t

!= u0( )

2

+!u0+ "#u

0

#D

$%&

'()

2

=u0

1* "2

!= tan"1 !u

0+#$u

0

$Du

0

%&'

()* = tan

"1 #

1" #2%

&'

(

)*


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cos !

Dt"#( ) $ 1

dalla relazione u t( ) =!cos "Dt!#( )e!!"t

si ottieneu

n =!e

"#$tn

un+m

=!e"#$tn+m

Dividendo la prima per la seconda, si ha

un

un+m

=

e!"#tn

e!"#tn+m

=

e"#(n+m)TD

e"#nTD

=

e"#nTDe

"#mTD

e"#nTD

= e"#mTD

Calcolando il logaritmo naturale di ambo i membri si ottiene

!m = ln

un

un+m

= "#mTD

in cui &mprende il nome di decremento logaritmico.


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Poich risulta

il decremento logaritmico assume la forma

che, se % piccolo rispetto a uno, si scrive

!m = ln

un

un+m

= "#mTD

!TD

=2" !

!D

=

2"

1#$2

!m = ln u

n

un+m

= 2m" #

1$#2

!m = 2m"#


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Determinazione sperimentale del rapporto di smorzamento

Le espressioni!m = 2m"

#

1$ #2

!m !2m"#

consentono di esprimere il rapporto di smorzamento viscoso in funzione del decrementologaritmico mediante le relazioni

!="m

"m

2+ 2m#( )2

! !"m

2m#

rappresentate graficamente nella seguente figura. Si nota che la

abbastanza precisa per %< 20%, circostanza cheriguarda la maggior parte dei casi di interesse.

Le relazioni precedenti possono essere utilizzate per stimare ilrapporto di smorzamento %, dopo aver valutato il decrementologaritmico &mattraverso una prova sperimentale in vibrazionilibere. Per sistemi debolmente smorzati, la velocit di riduzionedellampiezza piccola. In questo caso consigliabile che il

decremento logaritmico sia calcolato attraverso la misura didue picchi di spostamento separati da numerosi cicli divibrazione, in modo da ridurre leffetto degli inevitabili erroridi lettura.

!m

! 2m"#


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Lenergia di un sistema in vibrazioni libere

Lenergia di un sistema in vibrazioni libere pari alla somma di una parte elastica e di unacinetica, cio

E(t) =1

2 k u(t)[ ]2

+

1

2 m !u(t)[ ]2

Nel caso di smorzamento nullo, si ha

E(t) =1

2k!2 cos2 ("t#$)+

1

2m"2!2 sin2 ("t#$)

da cui si ottiene

E(t) = 12

k!2 cos2("t#$)+ sin2("t#$)%& '( = 12k!2 = 1

2k u

02+ !

u02

"2%&) '

(* = 1

2ku

02+ 12

m !u02= E(0)

In un sistema non smorzato in vibrazioni libere, lenergia indipendente dal tempo ed pari aquella che il sistema possiede allistante iniziale del moto, t= 0.In un sistema viscoso in vibrazioni libere, lenergia diminuisce nel tempo per effetto dellenergiadissipata, pari al lavoro compiuto dalla forza dissipativa. Si ha

Per tutta lenergia che il sistema ha allistante iniziale del moto sar dissipata e ilsistema torner nella condizione di quiete.

t!"

ED (t) = fD (t)du =0

t

! c !u(t)du =0t

! c !u(t)[ ]2dt

0

t

!


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Il portale a un piano indicato in figura costituito da una trave infinitamente rigida sostenutada due pilastri privi di massa.

Esercizio 1/4

Si vogliono valutare le propriet dinamiche del sistema, cio la rigidezza k, la massa me lacostante di smorzamento c. Per questo scopo stata eseguita una prova sperimentale in vibrazionilibere, spostando lateralmente la trave e rilasciandola improvvisamente. Durante le operazioni dispinta, si osservato che alla forza massima F= 1.0105N corrisposto uno spostamentou0= 0.50 cm. In seguito al rilascio istantaneo, sono stati misurati il tempo impiegato a compiere

il primo ciclo di vibrazione, TD= 1.40 s, che coincide con il periodo di vibrazione smorzato, e lospostamento massimo relativo, u1= 0.35 cm.


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La rigidezza ksi ottiene dalla relazione

Esercizio 2/4

k =F

u0

=

1.0 !105

0.50=2.0

!105

N

cm=2.0

!107

N

m

Il rapporto di smorzamento viscoso %si pu stimare mediante il metodo del decrementologaritmico, che risulta

! =ln u

0

u1

"

#$%

&' =ln

0.50

0.35

"#$

%&' =0.357

!="

"2 + 2#( )2=

0,357

0,3572+ 2#( )

2=0.0567 = 5.67%

da cui

La frequenza naturale di vibrazione smorzata vale

!D

=

2"

TD

=

2"

1.40= 4.488 s

#1


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Noto %, si possono calcolare la frequenza e il periodo di vibrazionenon smorzati

Esercizio 3/4

! =!

D

1"#2

=

4.488

1" 0.05672

=4.495 s

"1

T =2!

"

= 1.398 s

La massa della trave si ottiene dalla relazione

! =

k

mda cui

m =k

!2 =

2.0 "107

4.4952 =9.899 "10

5Ns2

m=9.899 "10

5kg

Avendo determinato la massa m, si pu calcolare il coefficiente di smorzamento

c = !"cc = !"2m# =0.0567 "2 "9.899 "10

5"4.495 =5.046 "10

5 Ns

m


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Si possono anche calcolare, infine, il peso Pdella trave e lafrequenza ciclica smorzata e non smorzata,f efD. Si ha:

Esercizio 4/4

P = 9.899 !105kgf

P =mg =9.899 !105!9.81=9.711!10

6N

f = 1T

=1

1.398= 0.715 Hz

fD =1

TD=

1

1.40= 0.714 Hz

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