Lenguaje formal de la Lógica Cuantificacional

Lógica 2 (2013-2)Mtro. Cristian Gutiérrez

Lenguaje Formal de la Lógica de Cuantificadores

Vocabulario:1) Conectivas lógicas: ~, ⊃, ≡, ∧, ∨.2) Igualdad: =3) Símbolos auxiliares: (, ), , .4) Cuantificadores: ∀, ∃.5) Variables: x', x'', x''', x'''', ....6) Constantes: a', a'', a''',a'''', ....7) Letras de predicado: P',P'', P''', ...

8) Letras de relaciones: R2,R

2', R

2'', R

2''', ....

R3,R

3', R

3'', R

3''', ....

R4,R

4', R

4'', R

4''', ....

...9) Letras de funciones:f

1, f

1',f

1'', f

1''', f

1'''', ....

f 2, f

2',f

2'', f

2''', f

2'''', ....

f 3, f

3',f

3'', f

3''', f

3'''', ....

...

Definición recursiva de términos.

1) Todas las constantes son términos.2) Todas las variables son términos.3) Si α

1, ..., α

n son términos y f

n es una

función de n argumentos, entonces fn(α

1,...,α

n)

es un término.4) Nada más es un término.

Ejemplos de términos1. a2. x3. f

1(a)

4. a'5. f

2(a,x)

6. f3(a,a',x')

7. f1(f

1'(a))

8. f3(a,f

1(a),x)

9. f1(f

1(f

2(x,a)))

10. f3(a,f

1(f

1(a)),f

2(a',x'))

¿Cómo saber cuando algo es término?

La respuesta es algo es término si lo podemos construir con las reglas de formación de términos. Si no lo podemos construir con tales reglas, entonces no es un término.

Para estar seguro podemos hacer explícita tal construcción.

Construcción de un término

Supongamos que queremos saber si f1(f

1(f

3(a,f

1(x),x'))) es un término.

1. a es un término por la regla 1 (1t)2. x es un término por la regla 2 (2t)3. x' es un término por la regla 2 (2t)4. f

1(x) es un término por la regla 3 (3t) y dado

que x es un término y f1 es una letra de función.

Construcción de un término (2)

5. f3(a,f

1(x),x') es un término por la regla 3 (3t) y

dado que x, a, f1(x) son términos y f

3 es una letra

de función de 3 argumentos.6. f

1(f

3(a,f

1(x),x')) es un término por la regla 3

(3t) y dado que f3(a,f

1(x),x') es un término y f

1 es

una letra de función.7. f

1(f

1(f

3(a,f

1(x),x'))) es un término por la regla 3

(3t) y dado que f1(f

3(a,f

1(x),x')) es un término y

f1 es una letra de función.

Una versión resumida

1. a es un término por (1t)2. x es un término por (2t)3. x' es un término por (2t)4. f

1(x) es un término por (3t)

5. f3(a,f

1(x),x') es un término por (3t)

6. f1(f

3(a,f

1(x),x')) es un término por (3t)

7. f1(f

1(f

3(a,f

1(x),x'))) es un término por (3t)

Simbolización de términos

Los términos nos permiten recuperar pedazos del español que nos ayudan a referirnos a un objeto determinado, términos singulares. Los pedazos del lenguaje natural que se pueden recuperar con los términos son nombre propios, frases nominales, descripciones definidas, etc.Por ejemplo:1. Juan2. El que me regaló mi Xbox

Nombres

Para hacer una formalización tenemos que dar un diccionario.Nombres: los nombres se simbolizan como constantes.Diccionario:a: Juan

Simbolización:a

Descripciones o funciones

Descripciones o funciones: Las funciones nos permiten hablar de un objeto (o sujeto) mediante un o más objetos.

El padre de JuanDiccionariof1x: el padre de x.

a: JuanNuestra simbolizacción quedaría: f

1(a)

Ejemplo de simbolización

El mejor amigo del hermano mayor de Pedro.Diccionario:a: Pedro f

1x:El hermano mayor de x.

f1'x: El mejor amigo de x.

Formalización: f

1'(f

1(a))

Definición recursiva de fórmula atómica

1) Si t1 y t2 son términos entonces, (t1= t

2) es un

fórmula atómica.2) Si P es una letra de predicado y t

1 es un

término, entonces P(t1) es una fórmula atómica.3) Si R

n es una letra de predicado de n lugares y

t1, ..., t

n son términos, entonces R(t

1,t

2,...,t

n) es

una fórmula atómica.4) ⊥ es una fórmula atómica.5) Nada más es una fórmula atómica.

Ejemplos:

1. (a=a')2. P(a)3. R

2(a,a')

4. P(f1(a))

5. R2(f

2(a,x),a)

6. (f3(a,a',x')=a)

7. R3(a,a',a'')

8. R3(f

3(a,f

1(a),x),a,x)

9. (x=x)10.P'( f

3(a,f

1(f

1(a)),f

2(a',x')))

¿Cómo saber si algo es una fórmula atómica?

La respuesta es: construyéndola a partir de las reglas de formación.Si por ejemplo queremos justificar que (a=a') es una fórmula atómica, hacemos lo siguiente:1. a es término por (1t)2. a' es término por (1t)3. (a=a') es una fórmula atómica por la regla 1 de fórmulas atómicas (1fa) y dado que a y a' son términos.

Ejemplo:

Justifiquemos que R3(f

3(a,f

1(a),x),a,x) es

fórmula atómica:1. a es término por (1t)2. x es término por (2t)3. f

1(a) es término por (3t)

4. f3(a,f

1(a),x) es término por (3t)

5. R3(f

3(a,f

1(a),x),a,x) es fórmula atómica por

(3fa)

Simbolización de fórmulas atómicas

1) Oraciones que predican identidad. En estas oraciones, se tienen dos términos unido por el verbo ser, que indica la relación de identidad.

Ejemplo: Juan es el hermano mayor de Arturo.En este caso los términos son: Juan y el hermano mayor de Arturo.

Diccionario:a: Juan, a': Arturo y f

1(x): el hermano mayor de x.

La simbolización: (a=f1(a'))

Simbolización de fórmulas atómicas (2)

2) Oraciones que predican propiedades. En este tipo de oraciones tenemos un término del que se dice que tiene una propiedad o que cumple con un predicado.

Ejemplo: Carlos es estudiante.

Diccionario: a: Carlos, Px: x es estudiante.

Nuestra simbolización: P(a)

Simbolización de fórmulas atómicas (3)

3) Ejemplo un poco más complejo de oraciones que predican propiedades o dicen que un individuo u objeto satisfacen un predicado.

Ejemplo: El mejor amigo de Alvarito es estudiante.

Diccionario: a: Alvarito, f1(x): El mejor amigo de x,

Px: x es estudiante.

Simbolización: P( f1(a))

Simbolización de fórmulas atómicas (4)

4) Oraciones que predican relaciones entre individuos.

Ejemplo: Nayeli es ayudante de Raymundo Morado.

Diccionario: a: Nayeli, a': Raymundo Morado,R

2xy: x es ayudantende y

Simbolización: R2(a,a')

Definición recursiva de fórmula

1) Todas las fórmulas atómicas son fórmulas.2) Si α es un fórmula, entonces ~α es una fórmula.3) Si α y β son fórmulas entonces (α ∧ β), (α ∨ β), (α ⊃ β), y (α ≡ β) son fórmulas.4) Si x es una varible y α es una fórmula, entonces ∃x(α) y ∀x(α) son fórmulas.5) Nada más es una fórmula.

Ejemplos:

1. (a=a')2. P(a)3. ~R

2(a,a')

4. ~P(f1(a))

5. (R2(f

2(a,x),a) ⊃ (x=x))

6. ∀x'(f3(a,a',x')=a)

7. (R3(a,a',a'') ≡ ~P(a))

8. ∃xR3(f

3(a,f

1(a),x),a,x)

9. ~(x=x)10.P'( f

3(a,f

1(f

1(a)),f

2(a',x')))

¿Cómo saber si algo es una fórmula?

La respuesta es: construyéndola a partir de las reglas de formación.Si por ejemplo queremos justificar que ∀x'(f

3(a,a',x')=a)

es una fórmula atómica, hacemos lo siguiente:1. a es término por (1t)2. a' es término por (1t)3. x' es término por (2t)4. f

3(a,a',x') es término por (3t)

5. (f3(a,a',x')=a) es fórmula atómica por (1fa)

6. (f3(a,a',x')=a) es fórmula por (1f)

7. ∀x'(f3(a,a',x')=a) es fórmula por (4f)

Ejemplo:

Justifiquemos que ∀x(R2(f

2(a,x),a) ⊃ (x=x)) es fórmula:

1. a es término por (1t)2. x es término por (2t)3. f

2(a,x) es término por (3t)

4. R2(f

2(a,x),a) es fórmula atómica por (3fa)

5. (x=x) es fórmula atómica por (1fa)6. R

2(f

2(a,x),a) es fórmula por (1f)

7. (x=x) es fórmula por (1f)8. (R

2(f

2(a,x),a) ⊃ (x=x)) es fórmula por (3f)

9. ∀x(R2(f

2(a,x),a) ⊃ (x=x)) es fórmula por (4f)