3 control de calidad procesos

Carrera de Ingeniera Mecnica Facultad de Ingeniera - UMSA

Luis Armando Rosas Rivera

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Control Estadstico de Procesos El control estadstico surge como una necesidad de poder vigilar y controlar la estabilidad de los procesos y as determinar cundo las causas de falla han dejado de ser fortuitas para considerarse causas atribuibles a alguna causa o momento del proceso que afecte el proceso en general. Por ello, el Control Estadstico de Procesos se puede definir con la actividad tcnica mediante la cual se miden la variabilidad de un producto, con respecto a especificaciones o requisitos, permitiendo efectuar las acciones correctivas apropiadas cuando exista una discrepancia entre el funcionamiento real y los estndares. Es conocido tambin, como el mtodo cientfico-tcnico para el aseguramiento de la calidad. 6.1 Ciclo de Control de la Calidad A lo largo de toda una lnea de trabajo o proceso de fabricacin, los productos se ven sometidos a toda forma de manipulaciones para poder alcanzar el estado final de producto terminado. Sin embargo, puede ocurrir que, aunque el diseo de las piezas que componen el producto sea bueno o el mantenimiento de las mquinas o herramientas sea el adecuado, exista cierta variabilidad de un producto a otro motivado por una acumulacin de causas fortuitas. Es as que un proceso es considerado bajo control estadstico siempre y cuando existan slo causas fortuitas de variabilidad. En el caso de estar presentes causas de variabilidad debido a un ajuste incorrecto de maquinaria, , defectos en las materias primas o alguna combinacin de estos y otros factores, nos encontraremos ante una variabilidad mayor debido a causas fortuitas por un lado y a factores descontrolado por otro. Esa situacin dar entonces lugar a un nivel inaceptable de funcionamiento del proceso que se traducir en una mayor cantidad de productos defectuosos y por consiguiente un proceso fuera de control. Recordemos que el ciclo de control de calidad contiene las siguientes fases: Especificacin. Seala aquello que se desea como paso previo al establecimiento de una norma de calidad. Se tienen en cuenta la opinin tanto del fabricante como del consumidor, seleccionando las caractersticas de calidad ms importantes de acuerdo con la finalidad del producto. Fabricacin. El control de fabricacin tambin llamado control de procesos o control en lnea (SPC) se ejerce durante el proceso productivo. Su objetivo es mantener una calidad uniforme del producto, previniendo la produccin de artculos que se salgan de la especificacin. Inspeccin. La inspeccin o control de recepcin se realiza en productos ya existentes, para verificar la calidad de las partidas presentadas corresponde a la especificacin de aceptacin. La inspeccin no impide la fabricacin de artculos defectuosos, pero permite separar los artculos conformes de los disconformes. El principal dispositivo para el control estadstico de recepcin son las tablas de muestreo 6.2 Atributos y Variables Para controlar y medir las caractersticas de calidad considerando la variacin de un artculo a otro; debemos considerar caractersticas del tipo de atributos y variables. Atributos. No siempre ocurre que la evaluacin de una caracterstica de calidad deba implicar necesariamente una medicin; la variacin de la calidad del artculo se puede describir por la presencia o ausencia de un determinado atributo (pasa o no pasa). El resultado de la evaluacin de un atributo podr expresarse por un nmero, como consecuencia de un conteo. Se suele atribuir el valor uno (1) cuando se comprueba la ausencia de atributo en el artculo (no pasa) y el



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valor cero (0) cuando se verifica su presencia (pasa). La evaluacin de la caracterstica es por tanto discreta. El uso de atributos para los grficos de control tiene como principal ventaja su facilidad de implementacin y su bajo coste econmico; sin embargo, no permite hacer mediciones ms complejas imprescindibles en ciertos procesos productivos. Su aplicacin generalmente depende del uso de una matriz o modelo. Variables. Se denominan variables a las caractersticas de calidad basadas en mediciones y que se corresponden con la lectura de una escala. Por tanto, cada medicin origina un nico nmero que describir la caracterstica que est siendo examinada, es decir, el valor de una variable. La variable ser entonces continua, pudiendo tomar cualquier valor en un intervalo de escala. La desventaja que presenta este tipo de medicin es el mayor coste econmico por el hecho de requerirse muchas veces, el uso de equipos capaces de medir magnitudes fsicas que no podran evaluarse con un simple pasa no pasa. Los modelos probabilsticos asociados a la tcnica de control estadstico de calidad, dependen del tipo de control realizado; es decir, si se traba de atributos, las variables aleatorias son de Bernoulli, binomial, de Poisson y la hipergeomtrica. La tcnica de variables se fundamenta en la distribucin ms importante conocida como la normal o de Gauss. Cuando las caractersticas de calidad son dependientes del tiempo (fiabilidad), son de uso comn la distribucin normal, la exponencial, la distribucin T, la distribucin de Erlang y la distribucin de Weibull. Tambin se presenta especial inters en las variables asociadas con muestras como la 2 de Pearson, y la F de Fisher. 6.3 Comportamiento esperado de un proceso en estado de control Se define proceso en estado de control como aquel proceso en el que solamente acta un sistema estable de causas de variabilidad (causas no asignables) y cuya calidad final es, en consecuencia, predecible estadsticamente. la calidad del producto final ser entonces inversamente proporcional a esta variabilidad. Esta variabilidad conseguida en estado de control es medida a travs de la varianza de la variable que se emplee para caracterizar la calidad. Dichas variables cuantitativas generalmente son longitudes, pesos, tiempos, etc. Si la variabilidad de estas variables slo procede de causas asignables, ser muy razonable esperar que mediante la aplicacin del Teorema del Lmite Central, la distribucin de muestras se aproxime en gran medida a la normal. Las causas asignables sern muy numerosas y cada una de ellas tendr una aportacin que afectar al proceso. Consecuentemente, si el proceso est bajo control, todas las observaciones deben tener un comportamiento esencialmente aleatorio. 6.4 Grficos de Control Para la implementacin del control estadstico de procesos, ser el uso de los grficos de control o cartas de control, la ms importante herramienta utilizada, ya que el grfico de control representa los valores de algn tipo de medicin realizada durante el funcionamiento de un proceso continuo y que sirve para controlar dicho proceso. Supongamos que tenemos una mquina de inyeccin que produce piezas de plstico, por ejemplo de PVC. Una caracterstica de calidad importante es el peso de la pieza de plstico, porque indica la cantidad de PVC que la mquina inyect en la matriz. Si la cantidad de PVC es poca la pieza de plstico ser deficiente (dbil y posiblemente amorfa), y si la cantidad es excesiva, la produccin se encarecer por consumir mas materia prima. Para verificar que el proceso est bajo control, se ubicar un operario en el lugar de salida de las piezas producidas, que pesar en una balanza y registra la observacin muestras de las piezas de



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plstico producidas. Supongamos que estos datos se registran en un grfico de lneas en funcin del tiempo. Observaremos una lnea quebrada irregular que nos muestra las fluctuaciones del peso de las piezas a lo largo del tiempo. Los valores se mueven alrededor de un valor central (El promedio de los datos), la mayor parte del tiempo cerca del mismo, pero puede ocurrir que algunos valores se alejen bastante del promedio. Cmo podemos saber si esto se produce por casualidad o porque el proceso ya no est funcionando bien? Esta es la pregunta que el control estadstico de procesos trata de responder y a continuacin veremos como lo hace:

Figura 6.1 Proceso de Inyeccin de piezas de plstico

Figura 6.2 Grfico de Observaciones de produccin de piezas de plstico

En principio, todo proceso de fabricacin funciona bajo ciertas condiciones o variables que son establecidas por las personas que lo manejan para lograr una produccin satisfactoria. Estas son variables controlables:

Figura 6.3 Esquema de variables controlables en procesos

En el caso de la produccin de piezas de plstico, las variables a controlar podrn ser la temperatura de fusin del plstico, la velocidad de trabajo, la presin del pistn, la materia prima que se utiliza (Proveedor del plstico), etc. Un proceso de fabricacin es una suma compleja de eventos grandes y pequeos. Hay una gran cantidad de variables que sera imposible o muy difcil controlar. Estas se denominan variables no controlables. Para nuestro ejemplo, las variables

Piezas

55,10 grs 55,60 grs 52,60 grs 55,30 grs 57,90 grs



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difciles de controlar son pequeas variaciones de calidad del plstico, pequeos cambios en la velocidad del pistn, ligeras fluctuaciones de la corriente elctrica que alimenta la mquina, etc. Estos efectos que producen las variables no controlables son aleatorios; la contribucin de cada una de las variables no controlables a la variabilidad total es cuantitativamente pequea. Por lo tanto, son las variables no controlables las responsables de la variabilidad de las caractersticas de calidad del producto. Por el contrario, son los cambios en las variables controlables (denominadas Causas Asignables de variacin del proceso) las que deben controlarse, porque es posible identificarlas a travs de un anlisis del proceso. Podemos concluir entonces, que al medir alguna propiedad o caracterstica del producto fabricado, los valores fluctan -varan a lo largo del tiempo-, pudiendo afirmarse que existen dos tipos de causas que provocan la variabilidad: Causas Aleatorias: Son una multitud de causas no identificadas, ya sea por falta de medios tcnicos o porque no es econmico hacerlo, cada una de las cuales ejerce un pequeo efecto en la variacin total. Son inherentes al proceso mismo y no pueden ser reducidas o eliminadas a menos que se modifique el proceso. Por ejemplo, pequeas variaciones de calidad del plstico, ligeras variaciones de la corriente elctrica que alimenta la mquina, etc. Causas Asignables: Son causas que pueden ser identificadas y que conviene descubrir y eliminar, por ejemplo, una falla de la mquina por desgaste de una pieza, un cambio muy notorio en la calidad del plstico, etc. Estas causas provocan que el proceso no funcione como se desea y por lo tanto es necesario eliminar la causa para retornar el proceso a un funcionamiento correcto. El uso del control estadstico de procesos lleva implcitas algunas hiptesis que son:

1) Una vez que el proceso est en funcionamiento bajo condiciones establecidas, se supone que la variabilidad de los resultados en la medicin de una caracterstica de calidad del producto se debe slo a un sistema de Causas Aleatorias, que es inherente a cada proceso en particular.

2) Cuando se mide alguna caracterstica de calidad del producto que se obtiene, el sistema de causas aleatorias que acta sobre el proceso genera una poblacin hipottica de observaciones (mediciones) que tiene una distribucin normal.

3) Cuando aparece alguna causa asignable provocando desviaciones adicionales en los resultados del proceso, se dice que el proceso est fuera de control.

La funcin del control estadstico de procesos es entonces, comprobar en forma permanente si los resultados que van surgiendo de las mediciones estn de acuerdo con las dos primeras hiptesis. Si aparecen uno o varios resultados que contradicen o se oponen a las mismas, se dice que el proceso est fuera de control. En este caso, es necesario detener el proceso, encontrar las causas por las cuales el proceso se apart de su funcionamiento habitual y corregirlas.

Figura 6.4 Puesta en Marcha del Control Estadstico de Procesos

5.4.1 Puesta en Marcha del Control Estadstico de Procesos



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La puesta en marcha de un programa de control estadstico en un proceso implica una etapa inicial de ajuste del mismo, durante la cual se calculan los Lmites de Control. En esta etapa se podran recoger unas 100-200 muestras con las cuales se calcula el promedio y la desviacin estndar: Antes de pasar a la segunda etapa, se verifica si el proceso est ajustado, caso contrario, se retorna a la primera etapa hasta ajustar completamente el sistema de produccin.

Figura 6.5 Diagrama de Flujo de Puesta en Marcha del Control Estadstico de Procesos

Con las 100-200 observaciones obtenidas al principio del proceso, se calcula el promedio y la desviacin estndar:

XX

Ni (6.1a);

NXX i

2 o 1

2

NXX

S i (6.1b)

Luego se calculan los lmites de control de la siguiente manera: 0.3XSuperiorLmite 6.2a 0.3XInferiorLmite 6.2b

Figura 6.6 Grfico de la Distribucin Normal

Estos lmites surgen de la hiptesis de que la distribucin de las observaciones es normal. En general se utilizan lmites de 2 sigmas de 3 sigmas alrededor del promedio. En la distribucin normal, el intervalo de 3,0sigma alrededor del promedio corresponde a una probabilidad de 0,997.

Figura 6.7 Lmites y Valor Promedio del Grfico de Control de la Inyeccin de Plstico



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Se construye un grfico de prueba y se traza una lnea recta a lo largo del eje de ordenadas (Eje Y), a la altura del promedio (Valor central de las observaciones) y otras dos lneas rectas a la altura de los lmites de control. En este grfico se representan los puntos correspondientes a las observaciones con las que se calcularon los lmites de control:

Figura 6.8 Grfico de Control de Prueba Inyeccin de Plstico

Este grfico de prueba se analiza detenidamente para verificar si est de acuerdo con la hiptesis de que la variabilidad del proceso se debe slo a un sistema de causas aleatorias o si por el contrario, existen causas asignables de variacin. Esto se puede establecer fcilmente ya que cuando la fluctuacin de las mediciones se debe a un sistema constante de causas aleatorias la distribucin de las observaciones es normal, siguiendo un patrn aleatorio alrededor del promedio del proceso. Si no se descubren causas asignables entonces se adoptan los lmites de control calculados como definitivos, y se construyen cartas de control con esos lmites. Si slo hay pocos puntos fuera de control (2 3), estos se eliminan, se recalculan la media, desviacin estndar y lmites de control con los restantes, y se construye un nuevo grfico de prueba. Cuando las observaciones no siguen un patrn aleatorio, indicando la existencia de causas asignables, se hace necesario investigar para descubrirlas y eliminarlas. Una vez hecho esto, se debern recoger nuevas observaciones y calcular nuevos lmites de control de prueba. En la etapa siguiente, las nuevas observaciones que van surgiendo del proceso se representan en el grfico y se controlan verificando que estn dentro de los lmites, y que no se produzcan patrones no aleatorios. Este grfico de prueba se analiza detenidamente para verificar si est de acuerdo con la hiptesis de que la variabilidad del proceso se debe slo a un sistema de causas aleatorias o si, por el contrario, existen causas asignables de variacin. Esto se puede establecer porque cuando la fluctuacin de las mediciones se debe a un sistema constante de causas aleatorias la distribucin de las observaciones es prcticamente normal: Si no se descubren causas asignables entonces se adoptan los lmites de control calculados como definitivos y se construyen cartas de control con esos lmites.

Figura 6.9 Grfico de Control Definitivo del Peso de Piezas Inyeccin de Plstico



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Si slo hay pocos puntos fuera de control (2 3), stos se podran eliminar, recalculando la media, desviacin estndar y lmites de control con los restantes, y construyendo un nuevo grfico de prueba. Cuando las observaciones no siguen un patrn aleatorio, indicando la existencia de causas asignables, se hace necesario investigar para descubrirlas y eliminarlas. Una vez hecho esto, se debern recoger nuevas observaciones y calcular nuevos lmites de control de prueba, comenzando otra vez con la primera etapa.

En la segunda etapa, las nuevas observaciones que van surgiendo del proceso se representan en el grfico y se controlan verificando que estn dentro de los lmites, cuidando que no se produzcan patrones no aleatorios.

Como hemos visto, el 99,75 % de las observaciones deben estar dentro de los lmites de 3-sigma alrededor de la media. Esto significa que slo una observacin en 500 puede estar por causas aleatorias fuera de los lmites de control. Entonces, cuando se encuentran 1 mas puntos fuera de los lmites de control, se deduce que el sistema de causas aleatorias que provocaba la variabilidad habitual de las observaciones ha sido alterado por la aparicin de una causa asignable que es necesario descubrir y eliminar. En ese caso, el supervisor del proceso debe detener la marcha del mismo e investigar con los que operan el proceso hasta saber la o las causas que desviaron al proceso de su comportamiento normal. Una vez eliminadas las causas del problema, se puede continuar con la produccin. Lmites de aviso Es frecuente encontrar en los grficos de control, adems de los lmites de control, lmites de aviso a una distancia de la lnea central de 2 . Estos lmites se denominan en ingls lower and upper warning limits, LWL y UWL, respectivamente. Probabilsticamente, un punto del proceso bajo control sobrepasar estos lmites con una probabilidad del 0.05, es decir nos encontraremos falsos avisos en 5 de cada 100 ocasiones. 6.4.2 Anlisis de Patrones en Diagramas de Control El Western Electric Handbook (1956) seala un conjunto de reglas de decisin para detectar patrones no aleatorios en diagramas de control Especficamente, sugiere llegar a la conclusin de que el proceso est fuera de control si se presenta cualquier de las situaciones siguientes:

a) Un punto cae fuera de los lmites de control de tres sigma b) Dos de tres puntos consecutivos caen ms all de los lmites de advertencia de dos sigma c) Cuatro de cinco puntos consecutivos se encuentran a una distancia de un sigma o ms de

la lnea central. d) Ocho puntos consecutivos se hallan al mismo lado de la lnea central.

Figura 6.10 Distribucin de mediciones en un ambiente productivo bajo control



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Estas reglas se aplican a un lado de la lnea central a la vez. Un punto por arriba del lmite superior de advertencia, seguido inmediatamente por otro por debajo del lmite inferior de advertencia no provocar una alarma de fuera de control. Se ha encontrado que estas reglas son muy eficaces en la prctica para mejorar la sensibilidad de los diagramas de control. Adicionalmente, tambin se puede realizar la inspeccin del diagrama de control y verificar si se cumple uno o ms de los criterios siguientes:

Figura 6.11 a) Sucesin de Puntos encima del promedio b) Sucesin de Puntos por debajo de la

lnea central

Figura 6.12 a) Serie creciente de 6 7 observaciones b) Serie decreciente de 6 7

observaciones

Figura 6.13 Serie de observaciones con dos puntos fuera de los lmites de control

1. Uno o ms puntos estn fuera de los lmites de control 2. Una corrida de por lo menos 7 u 8 puntos, donde el tipo de corrida podr ser ascendente o

descendente; una corrida sobre la lnea central o bajo de ella, o bien una por encima o por debajo de la mediana.

3. Dos o tres puntos consecutivos fuera de los lmites de advertencia de dos sigma, pero todava entre los lmites de control.

4. Cuatro o cinco puntos consecutivos ms all de los lmites sigma 5. Un patrn anormal o no aleatorio en los datos



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6. Uno o ms puntos cerca de un lmite de advertencia de control. Es importante notar que el uso simultneo de varios criterios para el estado fuera de control incrementa la sensibilidad del diagrama de control y por ende, tambin eleva la tasa global de falsas alarmas. 6.5 Grficos X -R Los grficos X -R se utilizan cuando la caracterstica de calidad que se desea controlar es una variable continua. Para entender los grficos X -R, es necesario conocer el concepto de Subgrupos (o Subgrupos racionales). Trabajar con subgrupos significa agrupar las mediciones que se obtienen de un proceso, de acuerdo a algn criterio. Los subgrupos se realizan agrupando las mediciones de tal modo que haya la mxima variabilidad entre subgrupos y la mnima variabilidad dentro de cada subgrupo. Por ejemplo, si hay cuatro turnos de trabajo en un da, las mediciones de cada turno podran constituir un subgrupo. Supongamos una fbrica que produce piezas cilndricas para la industria automotriz. La caracterstica de calidad que se desea controlar es el dimetro de las piezas. Hay dos maneras de obtener los subgrupos. Una de ellas es retirar varias piezas juntas a intervalos regulares, por ejemplo cada hora:

Figura 6.14 Proceso de Toma de Muestras para Control de Produccin

La otra forma es retirar piezas individuales a lo largo del intervalo de tiempo correspondiente al subgrupo:

Figura 6.15 Forma de obtener muestras de subgrupos a) intervalos regulares b) piezas

individuales en el intervalo de tiempo.

Muestra de6 piezas

PROCESO

Extraccin de muestras a las 07:00

Muestra de1 pieza

PROCESO

Extraccin de unamuestra a las 07:00



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Por cualquiera de los dos caminos, obtenemos grupos de igual nmero de mediciones. Para cada subgrupo calculamos el Promedio y el Rango (Diferencia entre el valor mximo y el valor mnimo). Como ya se ha visto, para calcular los Lmites de Control es necesario obtener un gran nmero de mediciones, divididas en subgrupos. En el diseo de diagramas de control, es siempre importante definir previamente tanto el tamao de la muestra con la frecuencia de su obtencin. En general, resulta siempre ms adecuado tener muestras compuestas de varias observaciones, ya que las mismas facilitarn detectar pequeos corrimientos de proceso; Si por el contrario, deseamos detectar desfases o corridas en procesos relativamente largos, debemos utilizas muestras compuestas de pocas observaciones. Es por esta razn, que siempre debemos tener en cuenta qu tipo de anlisis queremos realizar a objeto de proseguir con la definicin del tamao de la muestra.

Figura 6.16 Esquema de obtencin de Medidas de Tendencia Central de Muestras Otro factor importante es la decisin referente a la frecuencia en la que debemos obtener las muestras. Lo ms deseable en este caso, estar nuevamente basado en el propsito del control respecto a desfases en tiempos largos o tiempos cortos. En el primer caso, sera aconsejable obtener muestras muy frecuentemente. Lastimosamente, lo planteado no siempre resulta ptimo desde el punto de vista econmico, es por ello que es preferible siempre obtener muestras pequeas en pequeos intervalos de tiempo, o de manera inversa, grandes muestras en largos intervalos de tiempo. En la actualidad, las prcticas industriales aconsejan el primero modelo, particularmente en altos procesos con volmenes de produccin o donde existe la posibilidad de encontrar una gran cantidad de causas que inciden en el comportamiento del proceso.

Tabla 6.1 Tabla de Datos de Pesos de Piezas del Inyector de Plstico Muestra Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Muestra 4 Muestra 5 Muestra 6 Muestra 7

Obs. 1 50.04 50.14 49.99 50.03 50.06 50.10 50.11 Obs. 2 50.08 49.97 50.13 50.18 50.01 50.14 49.96 Obs. 3 50.09 50.07 50.18 50.08 50.06 50.07 50.07 Obs.4 50.10 49.97 50.04 50.08 50.03 50.12 49.95 Obs.5 50.24 50.03 50.08 50.10 50.18 50.08 50.03 Obs. 6 50.04 50.10 50.08 50.12 50.03 50.10 50.10

Suma de obs. 300.59 300.28 300.50 300.59 300.37 300.61 300.22

Promedio de muestra 50.10 50.05 50.08 50.10 50.06 50.10 50.04

Rango de muestra 0.20 0.17 0.19 0.15 0.17 0.07 0.16

No podemos tampoco olvidar el hecho que el gran avance tecnolgico tanto en la medicin como en el control, est logrando incrementar las frecuencias de obtencin de datos. De hecho, se

Muestra de 6 piezas 50,04 grs50,09 grs49,98 grs

......

......50,01 grs

mediciones

X,R



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podra decir que es posible analizar cada una de las unidades elaboradas en un determinado proceso. Esto, sin embargo, no indica necesariamente que el control de calidad sea eliminado del proceso de control. De hecho, el incremento de datos ser til para incrementar tambin la efectividad del control estadstico y por ende de la calidad en general.

Grfico 6.17 Grficos de Control X y R de Produccin para el Peso de Piezas Inyeccin de

Plstico En nuestro ejemplo entonces, podramos obtener 30 subgrupos de 6 datos cada uno, de los cuales se calcula el promedio y el rango de cada subgrupo (diferencia entre el valor mayor y el valor menor), para obtener una tabla como la mostrada en la tabla 6.1. A partir de esta tabla se calculan el promedio general de promedios de subgrupo y el promedio de rangos de subgrupo:

N

RR

Nx

x ii ; 6.3 donde: N = Nmero de Subgrupos R = Rango del Subgrupo = Xmx - xmin La desviacin estndar del proceso se puede estimar a partir del rango promedio, utilizando el coeficiente d2, que depende del nmero de mediciones en el subgrupo:

2d

R 6.4 Con ello, podemos calcular los lmites de control para el grfico de X: XCentralLnea 6.5

nXLIC

nXLSC

ControldeLneas

3

3 6.6

La desviacin estndar del rango (R) se puede calcular utilizando el coeficiente d3, que tambin depende del nmero de mediciones en el subgrupo:

2

3

dRd

R 6.7 Y as podemos calcular los Lmites de Control para el Grfico de R:

_RCentralLnea 6.8



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R

R

RLIC

RLSCControldeLneas

3

3 6.9

La tabla 6.2 muestra los coeficientes d2 y d3 para subgrupos de hasta 10 observaciones. Cuando se usan muestras preliminares para construir los diagramas X-R, se acostumbra tratar los lmites de control como valores de prueba. Luego se grafican los valores medios y las amplitudes de la muestra en los diagramas, para posteriormente investigar cualquier punto que caiga fuera de los lmites de control. En caso de que puedan hallarse causas atribuibles para tales puntos, stos se descartan y se determinan nuevos lmites de control de prueba. Construimos entonces los grficos X y R de prueba y representamos los promedios y rangos de los subgrupos; si no hay puntos fuera de los lmites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los lmites calculados para controlar la produccin futura.

Tabla 6.2 Tabla de Coeficientes para el Clculo de Lmites de Control de Rango y

desviacin estndar de Muestras Cantidad de

Observaciones n

Coeficiente c4 Coeficiente d2 Coeficiente d3

2 0.7979 1.128 0.853 3 0.8862 1.693 0.888 4 0.9213 2.059 0.880 5 0.9400 2.326 0.864 6 0.9515 2.534 0.848 7 0.9594 2.704 0.833 8 0.9650 2.847 0.820 9 0.9693 2.970 0.808

10 0.9727 3.078 0.797 Ejemplo 6.1 Se fabrican anillos de pistn para motores de automviles mediante un proceso de forjado. Se desea controlar el proceso por medio de diagramas -R. Se tomaron 25 muestras de tamao cinco cada una cuando se consider que el proceso estaba bajo control. Los datos de estas muestras se muestran a continuacin: Como los lmites de control de la grfica de x dependen de la variabilidad del proceso, estos lmites no tendrn mucho sentido a menos que la variabilidad del proceso est bajo control. A partir de los datos de la tabla, la lnea central para la grfica de R es:

023,0)25(

569,0)(

25

1 m

RR i

i

Para muestras de n= 5, se obtiene de la tabla que d1 = y d4 =. Por lo tanto, los lmites de control para la grfica de R son:

00,0)0086,0(3023,03 RSRLICControldeInferiorLmite

0488,0)0086,0(3023,03 RSRLSCControldeSuperiorLmite

El diagrama de R se presenta en la figura. Cuando se grafican las 25 amplitudes en este diagrama no hay indicios de una condicin fuera de control. Sin embargo, se podra investigar algn efecto cclico que se observa en la grfica de las 25 amplitudes.



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Tabla 6.3 Datos de anillos de pistones forjados

Nmero de muestra

Observaciones Promedio de muestra Rango de muestra

1 74,030 74,002 74,019 73,992 74,008 74,010 0,038 2 73,995 73,992 74,001 74,011 74,004 74,001 0,019 3 73,988 74,024 74,021 74,005 74,002 74,008 0,036 4 74,002 73,996 73,993 74,015 74,009 74,003 0,022 5 73,992 74,007 74,015 73,989 74,014 74,003 0,026 6 74,009 73,994 73,997 73,985 73,993 73,996 0,024 7 73,995 74,006 73,994 74,000 74,005 74,000 0,012 8 73,985 74,003 73,993 74,015 73,988 73,997 0,030 9 74,008 73,995 74,009 74,005 74,004 74,004 0,014 10 73,998 74,000 73,990 74,007 73,995 73,998 0,017 11 73,994 73,998 73,994 73,995 73,990 73,994 0,008 12 74,004 74,000 74,007 74,000 73,996 74,001 0,011 13 73,983 74,002 73,998 73,997 74,012 73,998 0,029 14 74,006 73,967 73,994 74,000 73,984 73,990 0,039 15 74,012 74,014 73,998 73,999 74,007 74,006 0,016 16 74,000 73,984 74,005 73,998 73,996 73,997 0,021 17 73,994 74,012 73,986 74,005 74,007 74,001 0,026 18 74,006 74,010 74,018 74,003 74,000 74,007 0,018 19 73,984 74,002 74,003 74,005 73,997 73,998 0,021 20 74,000 74,010 74,013 74,020 74,003 74,009 0,020 21 73,988 74,001 74,009 74,005 73,996 74,000 0,021 22 74,004 73,999 73,990 74,006 74,009 74,002 0,019 23 74,010 73,989 73,990 74,009 74,014 74,002 0,025 24 74,015 74,008 73,993 74,000 74,010 74,005 0,022 25 73,982 73,984 73,995 74,017 74,013 73,998 0,035

Sumatoria: 1850.029 0.569 Promedio de promedios: 74.001 0.023

Como el diagrama de R indica que la variabilidad del proceso est bajo control, puede trazarse ahora el diagrama de x. La lnea central es:

001,74)25(024,1850

)(

25

1 m

XX i

i

y la desviacin estndar:

0099,0326,2023,0

2dR

Donde d2 es el valor para muestras de tamao cinco Con el fin de determinar los lmites de control del diagrama de x se utiliza de la tabla para muestras de tamao n= 5 obtenindose los lmites de control:

014,745

)0099,0(3001,74

3 n

XLSCControldeSuperiorLmite



156

988,735

)0099,0(3001,74

3 n

XLICControldeInferiorLmite

Los diagramas X-R proporcionan informacin sobre la capacidad de funcionamiento del proceso. Con el diagrama de x se puede estimar el dimetro medio de los anillos para pistn en 74.001 mm. Supongamos entonces que los lmites de especificacin para este tipo de anillos son 74.000 0.03 mm.

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

nmero de muestras

R

Rango de muestras Promedio del proceso LSC= 0,0488

Figura 6.18 Grfico R de Rangos de dimetro de las anillas de pistones

73,97

73,98

73,99

74

74,01

74,02

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

nmero de muestras

Prom

edio

LIC = 73,988 Rango de muestrasPromedio del proceso LSC= 74,014

Figura 6.19 Grfico X de promedios de dimetro de las anillas de pistones

En la figura 6.19 se presenta el diagrama de x. No se observa indicio alguno de una condicin fuera de control cuando se grafican las medias de las muestras preliminares en este diagrama. Por consiguiente, se concluye que el proceso est controlado a los niveles establecidos, ya que ambos diagramas indican y se adoptan los lmites de control de prueba para utilizarlos en el control en lnea del proceso. Sin embargo, es aconsejable analizar el comportamiento de la muestra 14. Es posible usar la grfica de control para describir la capacidad del proceso con el fin de producir anillos de pistn conforme a estas especificaciones. Puede estimarse la fraccin de anillos disconformes producidos suponiendo que el dimetro es una variable aleatoria normal con media 74.001 y desviacin estndar 0.0099, de la manera siguiente:



157

00256,0))93,2(1()13,3(

0099,0001,74030,741

0099,0001,74970,73

]030,74[]970,73[

pp

p

xpxpp

Es decir, aproximadamente 0,256% de los anillos producidos estaran fuera de las especificaciones. Finalmente, para disear los diagramas X-R, es necesario especificar el tamao muestral, la amplitud de los lmites de control y la frecuencia de muestreo que se vaya a utilizar. No es posible dar una solucin exacta al problema de diseo, a menos que el analista tenga informacin detallada sobre las caractersticas estadsticas de las pruebas del los diagramas de control y los factores econmicos que influyen en el problema. Por otra parte, si se usa los diagramas de control X-R para detectar cambios moderadamente grandes en el proceso del orden de 2 o mayores, se utilizarn muestras relativamente pequeas pero eficientes con un tamao que flucta entre 4 y 6. Si se quiere detectar pequeos cambios, entonces es necesario utilizar muestras de tamaos mayores, probablemente de n = 15 a n = 26. La grfica R es relativamente insensible a cambios en la desviacin estndar del proceso para muestras pequeas. Por ejemplo, si se trabaja con muetras con n = 5, se tiene slo un 40% de probabilidad de detectar un cambio en la desviacin estndar de a 2 en la primera muestra. 6.6 Grficos X S Si el tamao de la muestra es mayor a 10 12 observaciones o s variable, los diagramas X-R pierden eficiencia estadstica para detectar cambios pequeos en el proceso; por lo que se recomienda el uso de diagramas X-S. De esta forma, se puede estimar la variacin de la desviacin estndar directamente en lugar de hacerlo indirectamente a travs del Rango. Los lmites de control para el grfico S se determinan a partir de la media y la desviacin estndar de S, ya que en este caso, es el estadstico que se grafica. Por ello, los lmites se obtienen con la expresin

Lmites de Control = S 3S S significa la media o valor esperado de S y S es la desviacin estndar de S, valores que estn dados por:

S = C4 y S2 = ((1-c42))1/2 es la desviacin estndar del proceso y c4 es una constante que depende del tamao de la muestra de subgrupo tabulado en la tabla 6.2. Por lo general, el valor de la desviacin estndar de poblacin es desconocido, por lo que puede estimarse a partir de:

4c

S 6.10 Y las desviaciones estndar:

1

)(1

2

2

n

XXS

n

ii

6.11



158

Donde S es la media de las desviaciones estndar de cada muestra. La razn de que no se estime directamente con el promedio de las desviaciones estndar, es que S no es un estimador no sesgado de . Por ello, al dividir entre la constante c4, se obtiene un estimador no sesgado. As, los lmites de control para una carta S estn dador por:

6.12

Los valores correspondientes al control del promedio, podrn obtenerse a partir de:

6.13

6.7 Grficos de Control por Atributos Muchas caractersticas de calidad se evalan dando resultados como: conforme o disconforme, defectuoso o no defectuoso. Estas caractersticas de calidad se conocen como atributos. Supongamos un proceso en el que se fabrican tornillos; una manera de ensayar cada tornillo sera probarlo con una rosca calibrada:

Si el tornillo no entra en la rosca, se lo considera defectuoso o disconforme.

Figura 6.20 Proceso de Prueba de Conformidad Tornillos

El resultado de este ensayo slo tiene dos posibles resultados: Defectuoso-No Defectuoso (o Conforme-Disconforme). La variable aleatoria nmero de defectuosos es una variable aleatoria discreta, porque puede tomar un nmero finito de valores, o infinito numerable. Los grficos por atributos se utilizan para controlar el nmero de defectuosos en una muestra; entonces, para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la lnea de produccin y cada hora retira una muestra de n = 50 tornillos (por ejemplo), y se comprueba cada tornillo con la rosca anotando el nmero de defectuosos. Si se tomara del proceso un slo tornillo Cul es la probabilidad de que sea defectuoso? Imaginando la poblacin de tornillos que podra fabricar el proceso trabajando siempre en las mismas condiciones, una cierta proporcin p de estos seran defectuosos. Entonces, la probabilidad de tomar un tornillo y que sea defectuoso es p.

24

4

24

4

13

13

ccSSLIC

ScentralLnea

ccSSLSC

ScontroldeLmites

ncSXLIC

XcentralLnea

ncSXLSC

XcontroldeLmites

4

4

3

3



159

0 defectuosos 1 defectuoso 2 defectuosos ... ... ... ... ... n defectuosos

Est dada por una distribucin binomial con parmetros n y p.

Muestra N de Defectuosos 1 3 2 2 3 4 4 3 5 4 6 2 7 5 -- --

Figura 6.21 Esquema del Proceso de Conformidad Tornillos

En una muestra de n tornillos, la probabilidad de encontrar:

Tabla 6.4 Tabla modelo Cantidad de Tornillos Defectuosos 5.7.1 Construccin de Grficos de Control de la Fraccin Defectuosa p El grfico de control de la fraccin defectuosa p sirve para controlar el porcentaje de piezas defectuosas que se genera en un proceso. La principal caracterstica de este diagrama es que resulta ms adecuado para el caso en que las muestras sean de diferentes tamaos ya que en l se representa la proporcin de piezas defectuosas en cada muestra; lo que, de ninguna manera inhabilita est grfica al anlisis de lotes de tamao constante. As mismo, aunque se acostumbra trabajar con la fraccin de disconformes, podramos analizar tambin, con la misma facilidad, la fraccin de conformes. Lo que da como resultado un diagrama de control para el rendimiento del proceso. Es importante indicar que para la construccin de estos grficos se requieren observaciones de muestras mayores o iguales a veinte (20). Los principios estadsticos que sirven de base al diagrama de control de la fraccin o proporcin disconforme se basan en la distribucin binomial. Por tanto para analizar la proporcin de defectuosos de la muestra, debemos considerar la variable:

nxPi 5.14

Donde X es el nmero de defectuosos que sigue una distribucin Binomial B(n,p) siendo la media de P:

PnxE

nxEpEp )()()( 5.15

Y su varianza:



160

n

ppXVarnn

xVarpVarp)1()(1)()(2 5.16

Por lo tanto, si las muestras son de diferente tamao, es decir, para cada muestra i de tamao ni, la proporcin de piezas defectuosas calculada por 5.14, tendr desviacin tpica de:

i

pi npp )1( 5.17

Luego, los lmites de control del grfico para la fraccin disconforme, utilizando el modelo de las 3 desviaciones tpicas, ser:

i

i

npppLIC

pLC

npppLSC

pGrfico

)1(3

)1(3

5.,18

Donde p puede ser un po dado o bien su estimacin p Ejemplo 6.2 Se envasa jugo de naranja concentrado y congelado en botes de cartn de 6 oz. Estos envases los produce una mquina formando un tubo a partir de una pieza de cartn y aplicando luego un fondo metlico. Al inspeccionar un bote puede determinarse al llenado si gotear por la junta lateral o la del fondo debido a que el bote disconforme tiene un sellado inadecuado en la junta lateral o del fondo. Se desea elaborar un diagrama de control para vigilar la fraccin de envases disconformes producidos por esta mquina. Para establecer el diagrama de control, se seleccionaron 30 muestras de n = 50 botes cada media hora durante un periodo de tres turnos en los que la mquina oper continuamente. Los datos se presentan en la tabla 6.6. Se construye el diagrama de control preliminar para ver si el proceso estaba bajo control cuando se obtuvieron esos datos. Como las 30 muestras contienen un total de 347 botes disconformes, obtenemos la fraccin promedio de defectuosos como:

2313,0)50)(30(

347))((

1

nm

Dp

m

ii

Utilizando p como estimacin para la fraccin disconforme real del proceso, es posible calcular ahora los lmites superior e inferior de control como:

50)7687,0(2313,0(2313,0)1(

npppLC

Por lo tanto:

4102,01789,02313,050

)7687,0)(2313,0(32313,0)1(3 n

pppLSCControldeSuperiorLmite

0524,01789,02313,050

)7687,0)(2313,0(32313,0)1(3 n

pppLSCControldeInferiorLmite

En la figura 6.22 se presenta el diagrama de control con lnea central en P = 0.2313 y los lmites superior e inferior de control, calculados anteriormente. La fraccin muestral disconforme para cada muestra preliminar se grafica en este diagrama. Se puede observar que dos puntos correspondientes a las muestras 15 y 23, se encuentran por arriba del lmite superior de control y



161

por lo tanto, el proceso no est bajo control. Hay que investigar estos puntos para ver si se puede determinar una causa atribuible.

Tabla 6.5 Datos para evaluar los lmites de control de botes de jugo de naranja (n = 50)

Nmero de Muestra

Nmero de Disconformidades

Di

Fraccin disconforme muestral pi

1 12 0,2400 2 15 0,3000 3 8 0,1600 4 10 0,2000 5 4 0,0800 6 7 0,1400 7 16 0,3200 8 9 0,1800 9 14 0,2800 10 10 0,2000 11 5 0,1000 12 6 0,1200 13 17 0,3400 14 12 0,2400 15 22 0,4400 16 8 0,1600 17 10 0,2000 18 5 0,1000 19 13 0,2600 20 11 0,2200 21 20 0,4000 22 18 0,3600 23 24 0,4800 24 15 0,3000 25 9 0,1800 26 12 0,2400 27 7 0,1400 28 13 0,2600 29 9 0,1800 30 6 0,1200

Suma Total: 347 Promedio: 0,2313



162

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Nmero de muestraFr

acci

n d

isco

nfor

me

de la

mue

stra

LIC= 0,0524 Fraccin Disconf.LSC = 0,4102 Prom. proceso

Figura 6.22 Grfico de Fraccin de Defectuosos de botes de jugo de naranja

El anlisis de los datos de la muestra 15 indica que se utiliz una nueva remesa de materia prima de cartn en la produccin durante este lapso de media hora. El uso de nuevas remesas de materia prima, pueden provocar a veces, una produccin irregular, entonces es razonable pensar que esto sucedi en este proceso hipottico. Adicionalmente, durante el periodo de media hora, en el que se obtuvo la muestra 23, se haba asignado a esta mquina un operador con relativamente poca experiencia y ello podra explicar la alta fraccin disconforme de dicha muestra. Por consiguiente, se eliminan las muestras 15 y 23 y se determinan la nueva lnea central y los lmites de control revisados como se muestra a continuacin:

2150,0)50)(28(

301 p

3893,050

)7850,0)(2150,0(32150,0)1(3 n


0407,050

)7850,0)(2150,0(32150,0)1(3 n


Si se hubiera encontrado que el operario temporal que estaba trabajando cuando se tom la muestra 23 trabajaba realmente durante el periodo de dos horas en el que se obtuvieron las muestras 21-24, entonces habran tenido que descartarse las cuatro muestras, aunque slo la 21 es mayor que los lmites de control, pues este operario sin experiencia probablemente tuvo una influencia negativa en la fraccin de disconformes durante el periodo entero.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

Nmero de muestra

Frac

cin

dis

conf

orm

e de

la

mue

stra

LSC=0,3893 Fraccin Disconf.LIC = 0,0407 Promedio del Proceso

Figura 6.23 Grfico de Fraccin de Defectuosos corregido de botes de jugo de naranja

Observamos ahora que la fraccin disconforme de la muestra 20 (21 en la muestra original) es mayor que el lmite superior de control. Sin embargo, el anlisis de los datos no revela una causa atribuible razonable o lgica; consiguientemente, se decide conservar el punto. A veces, la



163

verificacin de datos de un diagrama de control proporciona informacin que afecta a otros puntos no necesariamente fuera de los lmites de control. Antes de concluir que el proceso est bajo control a este nivel, tenemos que examinar las 24 muestras restantes para detectar corridas u otros patrones no aleatorios. La ms larga es de longitud cinco, por arriba de la lnea central y parece no haber patrones evidentes en los datos, podemos afirmar que no existe fuerte evidencia de otra cosa que no sea un patrn aleatorio de variacin respecto de la lnea central.

Concluimos que el proceso est bajo control al nivel de p = 0.2150 y que se deben adoptar los lmites de control revisados para verificar la produccin actual. Sin embargo, se observa que la fraccin disconforme es demasiado grande, aunque el proceso est bajo control (21,50% del total producido!). Es decir, el proceso funciona de manera estable y no hay problemas anormales que no se pueda controlar por el operario. Es improbable que se pueda mejorar la calidad del proceso mediante acciones al nivel del trabajador. Los envases disconformes producidos entonces, los puede controlar la administracin, porque se necesita que sta intervenga en el proceso para mejorar el funcionamiento. La administracin de la fbrica est de acuerdo con esta observacin y determina que, adems de adoptar el programa de diagrama de control, el personal de ingeniera debe analizar el proceso para mejorar su rendimiento. Tal estudio indica que es posible realizar varios ajustes en la mquina, los cuales debern mejorar su funcionamiento. Durante los tres turnos que siguen a los ajustes de la mquina y a la introduccin del diagrama de control, se obtienen 24 muestras ms de n = 50 observaciones cada una. La tabla 6.6 presenta los datos correspondientes.

Tabla 6.6 Segundo lote de datos para evaluar los lmites de control

de botes de jugo de naranja. Tamao de muestra n= 50

Nmero de Muestra

Nmero de Disconformidades

D


1 9 0,1800 2 6 0,1200 3 12 0,2400 4 5 0,1000 5 6 0,1200 6 4 0,0800 7 5 0,1000 8 3 0,0600 9 7 0,1400 10 6 0,1200 11 3 0,0600 12 4 0,0800 13 3 0,0600 14 6 0,1200 15 5 0,1000 16 4 0,0800 17 8 0,1600 18 5 0,1000 19 6 0,1200 20 7 0,1400 21 5 0,1000



164

22 6 0,1200 23 4 0,0800 24 4 0,0800

Suma Total: 133 Promedio: 0,1108

Lnea Central = p = 0,1108

Al examinar la nueva grfica de control, se observa que el proceso funciona ahora en un nuevo nivel de calidad que es considerablemente menor que la lnea central de p = 0,2150. Es normal observar que el funcionamiento del proceso mejora despus de la introduccin de procedimientos formales de control estadstico de procesos; muchas veces, porque los operadores estn ms concientes de la calidad del proceso y el diagrama de control proporciona una representacin visual continua de su funcionamiento.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52Nmero de muestra

Frac

cin

dis

conf

orm

e de

la

mue

stra

LIC=0,047 Fraccin Disconf.Promedio Proceso LSC = 0,3893

Figura 6.24 Grfico de Fraccin de Defectuosos corregido con nuevas mediciones

Debemos sin embargo, advertir que a pesar de la mejora en la produccin, despus de los cambios tecnolgicos en el proceso y la introduccin del diagrama de control, el rechazo del proceso es de p = 0.1108, valor que podra ser todava elevado. Se necesitan entonces ms medidas por parte de la administracin para mejorar la produccin. Estas intervenciones administrativas, podran ser mayores ajustes en la mquina. Podemos tambin probar la hiptesis de que la fraccin disconforme del proceso durante el periodo actual de tres turnos difiere de la fraccin disconforme de los datos preliminares, usando el procedimiento de hiptesis:

Ho: p1 = p2 H1: p1 > p2

Donde p1 es la fraccin disconforme del proceso tomada de los datos preliminares y p2 es la fraccin disconforme del periodo actual. Podemos estimar p1 = p = 0,2150 y p2 = por:

1108,0)1200(

133)24)(50(

24

11

i

iDp

La estadstica de prueba para la hiptesis mencionada es, a partir de la Tabla 6.6:

21

21

11)1(nn

pp

ppZ o donde

21

2211

nnpnpn

p

En nuestro ejemplo:



165

1669,012001400

)1108,0)(1200()2150,0)(1400( p

22,7

12001

14001)8331,0)(1669,0(

1108,02150,0

oZ

Comparando esto con el punto 0,05 superior de la distribucin normal estndar, se encuentra que Z0 = 7.22 > > Z0.05 = 1.646. Por consiguiente, se rechaza Ho y concluimos que hubo una disminucin significativa de falla en el proceso. Parece lgico entonces revisar nuevamente los lmites de control, utilizando los datos de este periodo ms reciente de tres turnos que produce:

Tabla 6.7 Tercer lote de datos para evaluar los lmites de control de botes de jugo de naranja

Nmero de Muestra

Nmero de Disconformidades Di


1 8 0,1600 2 7 0,1400 3 5 0,1000 4 6 0,1200 5 4 0,0800 6 5 0,1000 7 2 0,0400 8 3 0,0600 9 4 0,0800

10 7 0,1400 11 6 0,1200 12 5 0,1000 13 5 0,1000 14 3 0,0600 15 7 0,1400 16 9 0,1800 17 6 0,1200 18 10 0,2000 19 4 0,0800 20 3 0,0600 21 5 0,1000 22 8 0,1600 23 11 0,2200 24 9 0,1800 25 7 0,1400 26 3 0,0600 27 5 0,1000 28 2 0,0400 29 1 0,0200 30 4 0,0800 31 5 0,1000 32 3 0,0600 33 7 0,1400 34 6 0,1200 35 4 0,0800 36 4 0,0800



166

37 6 0,1200 38 8 0,1600 39 5 0,1000 40 6 0,1200 Suma Total 218 Promedio 0,1090

2440,050

)8892,0)(1108,0(31108,0)1(3 n


0224,050

)8892,0)(1108,0(31108,0)1(3 n


0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39Nmero de muestra

Frac

cin

dis

conf

orm

e de

la m

uest

ra

Fraccin Disconf. Promedio Proceso LSC = 0,2440

Figura 6.25 Grfico de Fraccin de Defectuosos luego de la intervencin administrativa

Ya que el lmite inferior de control es menor que cero, establecemos que LIC = 0,00 y por la revisin del diagrama se observa que el sistema est bajo control. En resumen

es necesario durante la implementacin de los diagramas de control, observar aquellos puntos que se tienen fuera de los lmites de control para establecer si los mismos, deben ser o no considerados en el anlisis.

Es tambin importante que el responsable de la elaboracin de los diagramas de control

considere no slo mejoras tcnicas sino tambin administrativas, ya que las mismas podran tener un mayor impacto tal como se observa en el ejemplo desarrollado.

Finalmente, los diagramas de control, al indicar una escala de tiempo, permiten observar

cambios en el proceso y por ello se convierten en un diario en el que se pueden encontrar fcilmente el planeamiento de intervenciones en el proceso y sus efectos subsecuentes en el rendimiento.

Es importante tener en cuenta que el uso del grfico p est basado en el empleo de la distribucin binomial como distribucin de probabilidad y que por ende se asume una probabilidad constante de ocurrencia, lo que implica que las piezas defectuosas tuvieran una ocurrencia aleatoria. En algunos casos sin embargo, se observa fcilmente que la forma en la que se efecta la fabricacin o la misma inspeccin no es independiente lo que lleva a que el grfico p muestre la mayora de los puntos fuera de control. Situacin como la descrita se presenta principalmente e la manufactura de correas, alfombras, piezas de metal laminado o en inspecciones del 100% (Grant [1999]).



167

6.7.2 Construccin de Grfico de Control de Unidades Defectuosas np El diagrama np es un diagrama de control basado en el nmero disconforme en vez de la fraccin disconforme. Este diagrama se utiliza a menudo cuando no se dispone de un valor estndar para p, entonces se usar una estimacin de este parmetro. Por otra parte, mucho personal sin formacin en Estadstica encuentra el diagrama no ms fcil de interpretar que el de control de la fraccin disconforme comn. Para construir los grficos de control np, en una primera etapa se toman N muestras (ms de 20 25) a intervalos regulares. Se cuenta en cada muestra el nmero de defectuosos y se registra en una tabla. En cada muestra, la fraccin de defectuosos es:

nDisdefectuosodeFraccin 6.18

donde: Di = Cantidad de Defectuosos en la muestra N-sima n = Tamao de la muestra N-sima Entonces, a partir de la tabla podemos calcular p como promedio de las fracciones de defectuosos en las muestras:

N

nD

pi 6.19

La desviacin estndar es: )1( ppns 6.20

Los lmites de control para el grfico np sern entonces: pnCentralLnea 6.21 )1(3 ppnpLC 6.22 Construimos el Grfico np de prueba y representamos el nmero de defectuosos en las muestras. Si no hay puntos fuera de los lmites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los lmites calculados para controlar la produccin futura. Ejemplo 6.3 Tenemos los siguientes resultados de la inspeccin de 20 muestras de 400 tornillos realizada en una acera en das laborables. Se requiere la elaboracin del diagrama de control de calidad por atributos y cantidad de unidades defectuosas. El promedio de fraccin defectuosa esta dado por:

0083,0)20)(400(

66 N

nD

pi

Entonces, los lmites de control para el grfico np sern:

32,3)0083,0(400 pnCentralLnea

74,532,3)9917,0)(0083,0)(400()0083,0(400)1(3 ppnpnLC



168

032,306,9

LICnpLC

LSCnpGrfico

Como puede observarse en el grfico 6.26, existe una observacin por encima del lmite de control superior (4) y otra muy cerca al lmite de control (10). Ambas observaciones deben ser analizadas para decidir si las mismas permanecen en el grfico o deben ser extradas del diagrama final. En todo caso, es necesaria nuevamente la interaccin tcnica y administrativa para evaluar una posible mejora de la calidad del proceso.

02468

10121416

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Nmero de Muestra

Defe

ctuo

sos

defectuosos Promedio de defectuosos LSC = 9,06

Grfico 6.26 Grficos de Control np para tornillos defectuosos

6.8 Grficos C y U En algunos procesos interesa medir la cantidad de defectos que presentan las unidades de producto que se estn fabricando. Por ello es que, de manera anloga a los anteriores grficos de control los grficos C y U, se contabilizan defectos en piezas, pero esta vez, en vez de las piezas defectuosas, se contabilizan la cantidad de defectos por pieza analizada. Los defectos pueden ser de diferentes tipos y se cuenta el total de todos estos defectos en la unidad inspeccionada. Obtenemos un resultado que es el Nmero de Defectos por unidad de inspeccin. Es as que en el grfico C, se toman muestras del mismo tamao y se representa la cantidad de defectos encontrados en el conjunto de las n piezas Por ejemplo, si se fabrican telfonos celulares, se tomar entonces uno de ellos y se contar el nmero total de defectos. Estos podran ser:

Figura 6.27 Ejemplo de Tipo de defectos de produccin

El grfico U por su parte, tiene la propiedad de que el tamao de muestra puede variar, al igual que el grfico p, ya que en el mismo se representa el nmero de defectos por unidad; es decir, el

Rayaduras en la superficie. Rajaduras en el plstico Antena defectuosa Botn defectuoso. Etc.



169

nmero total de defectos encontrados en la muestra dividido por el tamao de la muestra o grupo de artculos. A medida que el proceso genera las unidades (Telfonos celulares), retiramos una unidad a intervalos regulares y contamos el nmero total de defectos. En cada unidad podemos encontrar:

Figura 6.28 Ejemplo de Muestreo de productos con varios tipos de defectos de produccin

6.8.1 Diagrama de Control de Defectos (Diagrama C) La variable X (Nmero de defectos o disconformidades) que se producen en una muestra aleatoria simple se ajusta bien a una distribucin de Poisson de media o parmetro c, siempre y cuando, el nmero potencial de defectos sea infinito y la probabilidad de que aparezca uno de ellos en un lugar concreto sea casi nula e independiente de que aparezca o no en otro lugar. Esto es, que los resultados que obtenemos al contar el nmero de defectos en unidades de inspeccin retiradas a intervalos regulares constituyen una variable aleatoria discreta, porque puede tomar valores 0, 1, 2, 3, ... n. Luego, la probabilidad de tener k defectos viene dado por:

,....3,2,1,0:!

)(

kdondekcexP

xc

6.23

Siendo su media y varianza: x = E(X) = c y 2 = Var(X) = c 6.24

Los grficos C se utilizan para controlar el nmero de defectos en una muestra del producto o unidad de inspeccin; entonces, para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la lnea de produccin y cada hora retira una unidad de inspeccin (En este caso un telfono celular), verificando y anotando el nmero total de defectos. Este resultado se anota en un grfico hora por hora y se denomina grfico C. De acuerdo a la Distribucin de Poisson.

0 defectos 1 defecto 2 defectos 3 defectos ... ... ... ... n defectos



170

Figura 6.29 Ejemplo de Procedimiento de inspeccin de tipos de defectos de produccin

Para construir los grficos de control C, en una primera etapa se toman N unidades de inspeccin (ms de 25 30) a intervalos regulares. Se cuenta en cada unidad de inspeccin el Nmero de Defectos y se registra. Entonces, a partir de la tabla podemos calcular C como promedio del Nmero de Defectos en las muestras (Unidades de Inspeccin):

N

nC i 6.25

donde: ni = Cantidad de Defectos por Unidad de Inspeccin

N = Nmero de Unidades de Inspeccin y la desviacin estndar: Cs 6.26 Con esto podemos calcular los Lmites de Control para el grfico C: cCentralLnea 6.27 ccLC 3 6.28 En caso de que el Lmite Inferior de Control resulte negativo, se le asigna valor cero. Construimos entonces un Grfico C de prueba y representamos el nmero de defectos en las muestras. Al igual que en los grficos de control ya estudiados, si no hay puntos fuera de los lmites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los lmites calculados para controlar la produccin futura.



171

-1012345678

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Unidad de Inspeccin

N d

e de

fect

os

N de Defectuosos promedio LSC LIC

Grfico 6.30 Grfico de Control C Los grficos C, se pueden utilizar para controlar procesos en la industria textil, donde es necesario controlar defectos superficiales en las telas; as, el grfico C se aplica para controlar el nmero de defectos sobre la superficie de un rea rectangular de tela. Tambin es aplicable cuando se fabrican pinturas y barnices. Un ensayo muy comn en estas industrias, es hacer un extendido sobre una placa de vidrio, dejar secar el producto y luego inspeccionar los defectos en la superficie. Se aplica el grfico C para controlar estos procesos, contando el nmero de defectos sobre la superficie del recubrimiento. Otra aplicacin sera controlar el nmero de defectos a la salida de una lnea de ensamblado de licuadoras. De igual manera podra ser una lnea de ensamblado de computadoras personales, cafeteras automticas, televisores, etc. Ejemplo 6.4 En la tabla 6.8 se presentan los nmeros de errores de alineacin observados en la inspeccin final de cierto modelo de un avin. Elaborar un grfico de control para el control de proceso de alineacin en los aviones.

Tabla 6.8 Errores de alineacin observados en la inspeccin final en aviones

Avin No. Nmero de errores de alineacin

Avin No. Nmero de errores de alineacin

201 7 226 7 202 6 227 13 203 6 228 4 204 7 229 5 205 4 230 9 206 7 231 3 207 8 232 4 208 12 233 6 209 9 234 7 210 9 235 14 211 8 236 18 212 5 237 11 213 5 238 11 214 9 239 11 215 8 240 8 216 15 241 10 217 6 242 8



172

218 4 243 7 219 13 244 16 220 7 245 13 221 8 246 12 222 15 247 9 223 6 248 11 224 6 249 11 225 10 250 8

Total 200 Total 236 En vista que el problema se refiere a alineaciones en general en un solo elemento, el diagrama que deber ser utilizado es el diagrama C, por ello, los valores de control (promedio del proceso, y lmites de control) se detallan a continuacin:

00,825

200 cCentralLnea

048,0830,83

50,164853,16830,83

ccLIC

ccLSC

Recuerde que si el valor del lmite inferior es negativo, se debe utilizar el cero por defecto si se trata de un grfico de control por atributos. Por otra parte, los lmites de control deben ser nmeros enteros en los diagramas de control por atributos; es as que si se utiliza el nmero entero inferior, se tendra un lmite superior ajustado que podra interferir con las mediciones realizadas, por otra parte un nmero entero superior dara lugar a una holgura no deseada. Por ello, el lmite superior de control, sin embargo. Por ello, elegimos un valor intermedio de 16,50 que indicar si un conteo de 16 se encuentra por debajo del lmite y otro conteo de 17 estar por encima de dicho lmite de control. Adicionalmente, con el propsito de realizar un anlisis gradual, se considerarn dos etapas de anlisis, la primera referida a la elaboracin del grfico de control considerando las primeras 25 observaciones y la segunda, aplicando el diagrama de control obtenido a las siguientes 25 observaciones.

0.02.04.06.08.0

10.012.014.016.018.0

201

203

205

207

209

211

213

215

217

219

221

223

225

Nmero de Avin

Erro

res

de a

linea

cin

Errores de alineacin C = 8,00 LSC = 16,50

Figura 6.31 Grfico de control C No conformidades Errores de alineacin Del anlisis realizado y revisado el grfico de control C, se observa que ninguno de los 25 puntos iniciales est fuera de los lmites de control y podramos por lo tanto, considerar que el nmero total de no conformidades co se puede considerar que es igual a y el grfico de control se puede continuar utilizando en el siguiente periodo.



173

0.02.04.06.08.0

10.012.014.016.018.020.0

201

204

207

210

213

216

219

222

225

228

231

234

237

240

243

246

249

Nmero de Avin

Erro

res

de a

linea

cin

Errores de alineacin C = 8,00 LSC = 16,50

Figura 6.32 Grfico de control C aplicado a las 50 observaciones de la tabla 6.9

En este caso sin embargo, se debe considerar que los lmites fueron aceptados y aplicados en las siguientes 25 observaciones para conocer el resultado de la segunda parte del anlisis, el mismo que muestra que el avin 236 correspondiente al segundo lote de 25 est por arriba del lmite de control superior y que el promedio de errores en esta segunda etapa es de 9.44 (236/25). Se observa adems que existen corridas de ms de 4 puntos en el espacio superior as como una tendencia del grfico a desfasarse hacia la parte superior adems de un posible ciclo de comportamiento (observaciones 201-220 y 221-240). La conclusin del anlisis indica que la calidad del producto ha desmejorado y que se hace urgente la intervencin del personal tcnico para corregir los errores de alineado. Esta vez, posiblemente no sea necesaria la intervencin de la administracin en temas relacionados con mejorar el proceso pero s con ajustar el control de los trabajos de ensamblaje. 6.8.2 Diagrama de Control de Defectos por Unidad (Diagrama U) Un grfico alternativo al C es el del nmero de defectos por unidad denominado Grfico U. Como dijimos anteriormente, el grfico U se diferencia del anterior en que permite que el tamao de la muestra puede variar. Este grfico tiene muchas aplicaciones especialmente cuando c es muy pequeo y un solo defecto basta para sacar el valor fuera de control. Es as que muchas veces ocurre que las unidades que produce el proceso presentan una tasa de defectos muy baja. Por ejemplo, supongamos un proceso automatizado que fabrica tarjetas de sonido. A la salida del mismo se inspecciona una tarjeta a intervalos de media hora y se cuenta el nmero de defectos. El resultado podra ser algo como lo que se muestra a continuacin:

Tabla 6.9 Cantidad de defectuosos en un lote de inspeccin con pocos defectos

Tarjeta 1 2 3 4 5 6 7 8 -- Etc. Cantidad de Defectuosos 0 0 0 0 0 1 0 0 0 --

Este comportamiento se debe a que la fabricacin se estara realizando por medio de un proceso totalmente automatizado donde ocurren pocos errores. Por lo tanto, el promedio de defectos ser cercano a cero y el Lmite Inferior de Control seguramente ser negativo. Para evitar esto, es conveniente redefinir la Unidad de Inspeccin. Por ejemplo, se puede tomar como unidad de inspeccin la cantidad de 100 tarjetas de sonido. Es decir, cada media hora se retiran del proceso 100 tarjetas y se cuentan los defectos del total de las mismas. De esta manera la cantidad de



174

defectos promedio por unidad de inspeccin ser ms alta y es posible tambin que el LIC sea mayor que cero. Siguiendo la notacin anterior donde X es la variable aleatoria que representa el nmero de defectos, que sigue una distribucin de Poisson con parmetro c, la variable de defectos por unidad U ser obtenida:

mXU 6.29

Siendo su media y varianza:

umc

mXEUEU )()( 6.30

mu

mc

mXVarUVar 22 )()( 6.31

En caso de que las muestras sean de diferente tamao tendremos en general que la desviacin tpica para Ui estar dada por:

i

ii m

XU y la varianza muU 6.32

En consecuencia, el grfico U de control de defectos por unidad tendr los siguientes lmites de control a 3 desviaciones segn el modelo de 3:

i

i

nuuLIC

uLCnuuLSC

UGrfico

3

3

6.33

Ejemplo 6.5 Supongamos que se est controlando el nmero de defectos en un proceso de ensamblado de motores y se define una unidad de inspeccin de 5 motores. Es posible, en este caso, trabajar con un grfico C, como ya hemos visto anteriormente, pero tal vez se desee controlar el promedio de defectos por cada motor (unidad de produccin) en lugar del total de defectos para los 5 motores (unidad de inspeccin): Como en el caso de los grficos C, en una primera etapa se toman N unidades de inspeccin (ms de 25 30) a intervalos regulares. Se cuenta en cada unidad de inspeccin el nmero de defectos y se registra. Luego se divide el Nmero de Defectos de cada unidad de inspeccin por m (Nmero de unidades de produccin en cada unidad de inspeccin). En nuestro ejemplo (m = 5) la tabla quedara as: Entonces, a partir de la tabla podemos calcular el parmetro U como promedio del Nmero de Defectos por motor:

N

mn

Ui 6.34

Donde: ni = Cantidad de Defectos por Unidad de Inspeccin

m = Nm. de Unidades producidas en la Unidad de Inspeccin N = Nmero de Unidades de Inspeccin

y la Desviacin Estndar:



175

mUs 6.35

Tabla 6.10 Cantidad de defectuosos en un lote de inspeccin de motores para un grfico U Unidad en Inspeccin 1 2 3 4 5 6 7 8 -- Etc.

Cantidad de Defectuosos 5 8 6 10 5 15 12 5 -- --

Nmero de Defectos por

motor

(5/5) = 1.0

(2/5) = 1.6

(6/5) = 1.2

(10/5) = 2.0

(5/5) = 1.0

(15/5) = 3.0

(12/5) = 2.4

(5/5) = 1.0 -- --

Entonces: UCentralLnea 6.36

mUULC 3 6.37

Nota: nicamente cuando el tamao de muestra de n es constante, los lmites de los grficos C y U son proporcionales. Es obvio adems, que cuando existen tamaos de muestras variables, el grfico C no tiene sentido!!

n

CLICLSCnc

nc

nuULICLSC )(/33)(/ 6.38

6.8.2.2 Sistema de Demrito En el caso de productos complejos tales como automviles, computadores o aparatos mayores, se suele observar el hecho de que pueden ocurrir muchos tipos de disconformidades o defectos. Es por ello que se debe proceder a clasificar dichos defectos considerando su importancia. Probablemente una unidad del producto con un defecto muy grave se clasifique cono no conforme respecto a algunos requisitos, pero una unidad con varios defectos menores no necesariamente tendra que ser disconforme. En tales situaciones, se debe adecuar la calificacin y clasificacin de los defectos a un mtodo que valore la gravedad de los defectos, ponderando los diversos tipos de defectos de manera razonable, segn se detalla a continuacin. Defectos Clase A: Muy graves. La unidad es completamente inadecuada para el uso o fallar en servicio de tal manera que se no se pueda reparara con facilidad en el lugar de trabajo o bien ocasionar lesiones personales o daos materiales. Defectos Clase B: Graves. La unidad sufrir tal vez una falla Clase A durante el servicio, generar seguramente problemas operacionales menos graves, o con seguridad reducir su duracin o incrementar los costos de mantenimiento. Defectos Clase C: Moderadamente importantes. La unidad probablemente fallar durante el servicio, causar problemas menos graves que una falla de operacin, tendr tal vez duracin reducida, producir un aumento en los costos de mantenimiento o bien tendr un defecto importante en el acabado, la presentacin o la calidad del trabajo. Defectos Clase D: Poco Importantes. La unidad no fallar durante el servicio, pero presenta defectos menores en el acabado, la presentacin o la calidad del trabajo. Si definimos que CA, CB, CC Y CD sean los nmeros de defectos de las clases A, B, C y D respectivamente, en una unidad de inspeccin, tendremos que la ocurrencia de disconformidades



176

en cada clase se modela mediante una distribucin de Poisson, Entonces el nmero de demritos en la unidad de inspeccin ser: D = 100 CA + 50 CB + 10 CC + CD 6.39 Las ponderaciones o pesos en los demritos de las clases A-100, B-50, C-10 y D-1 se emplean en la prctica comn; sin embargo se podra utilizar cualquier conjunto razonable d e ponderaciones apropiadas para un problema especfico.

Ejemplo 6.6 Supongamos un problema similar al anterior, con la diferencia de que ahora se consideran subconjuntos de aviones. Es decir, se tienen en la planta de ensamble tres turnos de trabajo dos en el da y uno en la noche (diurno, vespertino y nocturno). Adems, el nmero de unidades ensambladas vara de un turno a otro. Para medir la produccin en cada turno, se requiri establecer un sistema de ponderacin de las diferentes operaciones de ensamblaje. Por ejemplo, si en un centro de produccin cualquiera se llevaba a cabo las operaciones 251, 252 y 253, podra ocurrir en un da cualquiera, debido al flujo irregular de piezas a esa unidad de ensamblaje, que el turno de da trabajara casi siempre en las operaciones 251 y 252 y el turno vespertino se concentrara en la operacin 253. Otro da ocurrira lo contrario. Es por ello que al darle a cada operacin un factor adecuado de ponderacin, la produccin real en las diferentes operaciones se podra convertir a un nmero equivalente de unidades de produccin como se detalla a continuacin: El sistema de Demrito ser entonces la cantidad de aviones en ensamblaje slo en las operaciones citadas, las otras operaciones se asumen como completas, es decir:

Tabla 6.10 Tabla de Ponderacin para el ensamble de aviones

No. De Operacin de ensamblaje

Factor de Ponderacin

Produccin en operacin

de ensamblaje

Unidades equivalentes producidas en el turno.

251 0.450 6 2.70 252 0.300 8 2.40 253 0.250 4 1.00

Totales 1.000 6.10

Tabla 6.11 No conformidades observadas en tres turnos de ensamblaje de aviones

Fecha Turno

Nmero de errores de alineacin

observadas en el turno

Unidades equivalentes producidas

n

No conformidades por unidad u

3 LSC o+3 LIC o-3

Junio 9 D 13 6.00 2.20 2.28 6.8 1.2 V 12 4.30 2.80 2.70 6.2 0.8 N 7 2.90 2.40 3.29 6.8 0.2 Junio 11 D 19 6.50 3.50 2.39 6.9 1.1 V 14 4.40 3.20 2.67 6.1 0.8 N 9 2.00 4.50 3.96 7.4 0.0 Junio 12 D 18 6.50 3.30 2.39 6.9 1.1 V 13 4.00 3.20 2.80 6.3 0.7 N 6 2.00 3.00 3.96 7.4 0.0



177

Junio 13 D 24 6.10 3.90 2.27 6.7 1.2 V 15 4.90 3.10 2.53 6.0 1.0 N 6 2.90 2.10 3.29 6.8 0.2 Junio 14 D 16 6.60 2.40 2.18 6.7 1.3 V 11 4.10 2.70 2.76 6.2 0.7 N 20 2.50 8.00 3.54 7.0 0.0 Junio 15 D 16 4.30 3.70 2.70 6.2 0.8 V 29 4.20 6.90 2.73 6.2 0.7 N 3 2.20 1.40 3.77 7.2 0.0 Junio 16 D 21 6.10 3.40 2.27 6.7 1.2 V 20 4.20 4.80 2.73 6.2 0.7 N 2 1.80 1.10 4.17 7.6 0.0 Junio 17 D 14 2.90 4.80 3.29 6.8 0.2 V 10 1.90 6.30 4.06 7.5 0.0 N 3 1.00 3.00 6.59 9.1 0.0 Totales 321 92.30

D = (Cantidad en Actividad251)*0.45+(Cantidad en Actividad252)*0.30+(Cantidad en Actividad253)*0.25 Es decir, las operaciones efectuadas en cada turno, se consideran equivalentes a realizar en las tres operaciones de ensamblaje requeridas en 6.10 aviones. En la tabla 6.11 se presenta el nmero de no-conformidades registradas por el Departamento de Inspeccin de cada turno en periodo de ocho das. Tambin se muestra el nmero de unidades producidas. Es importante considerar tambin el hecho de que es ideal que los factores de ponderacin se escojan en una forma que sea proporcional a la frecuencia relativa de las no conformidades en cada operacin de ensamble que se pondera. La ponderacin real, basada en algn factor tal como horas de mano de obra directa estndar para cada operacin, pueden medirlo bastante bien en la mayora de los casos, salvo que algunas de las operaciones de ensamblaje sean ms difciles que otras. Debe notarse que los puntos de anlisis muestral del grfico 6.33 no estn conectados. Esto se debe al hecho de que se efecta un anlisis comparativo de tres diferentes turnos. En caso de querer conectar los puntos, sera mejor trazar lneas separadas para cada turno, en vez de una sola lnea que conecte todos los puntos.

0,002,004,006,008,00

10,00

D V N D V N D V N D V N D V N D V N D V N D V N

9 11 12 13 14 15 16 17

Fecha y Turno

No c

onfo

rmid

ades

No Conformidad Diurno No Conformidad VespertinoNo Conformidad Nocturno Lmite Inferior de ControlValor Promedio Nominal = 3,48 Lmite Superior de Control

Figura 6.33 Grfico de control U para subgrupo variable de ensamble de aviones



178

Para finalizar este tema, el siguiente diagrama muestra la clasificacin de las grficas de control para atributos y variables:

Figura 6.34 Diagrama de seleccin de grficos de control Bibliografa: BISGAARD SOREN, Spencer Graves and Rene Valverde (1998), Quality Quandaries. The impact of measurement error on specifications. Center for Quality and productivity. Wisconsin. BOX, G. E. P.,S .Hunter and W. G. Hunter (1978). Statistics for Experimenters. John Wiley and Sons, New York. BREYFOGLE III Forest W. (2003). Six Sigma: Smarter Solutions Using statistical Methods. Segunda Edicin .Wile and Sons, .Austin Texas. GEORGE, M. L., Gooch, J. and D. C. Montgomery (1986), America Can Compete, SMU Press, Dallas, TX. GUTIRREZ PULIDO Humberto y Romn De la Vara Salazar. (2004). Control Estadstico de la Calidad.Mac Graw Hill. Mxico DF. GRANT E.L. and Leavenworth (1999), Control Estadstico de Calidad, Editorial CECSA HINES, W. W. and D. C., Montgomery (1990), Probability and Statistics in Engineering and Management Science, 3rd edition, John Wiley & Sons, New York. (1st edition 1972, 2nd edition 1980). JOHNSON, L. A. and D. C. Montgomery (1974), Operations Research in Production Planning, Scheduling, and Inventory Control, John Wiley & Sons, New York. KEATS, J. B. and D. C. Montgomery (editors) (1991), Statistical Process Control in Manufacturing, Marcel Dekker, New York. MONTGOMERY, D. C. and E. A. Peck (1992), Introduction to Linear Regression Analysis, 2nd edition, John Wiley & Sons, New York. (Probability and Statistics Series; 1st edition, 1983). MONTGOMERY,D.(1991). Control Estadstico de la Calidad. Iberoamericana SA. California. MONTGOMERY, D. C. (1996), Introduction to Statistical Quality Control, 3rd edition, John Wiley & Sons, New York. (1st edition, 1985, 2nd edition, 1991).



179

WHEELER D, (2005). The six Sigma Practitioners Guide to data analysis. Statistical process Control Inc.



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Capacidad de Proceso

Como se estudi anteriormente, un proceso de fabricacin es un conjunto de equipos, materiales, personas y mtodos de trabajo que genera un producto fabricado. Para analizar el comportamiento del proceso de fabricacin, se acostumbre tomar muestras de los productos fabricados y dichas muestras se someten a ensayos para determinar el valor de una caracterstica de calidad seleccionada previamente con respecto a un patrn o estndar. Desde el punto de vista del control estadstico, es conveniente incluir la etapa de muestreo y ensayo dentro del proceso mismo de fabricacin. Es importante considerar que cualquier modificacin en las condiciones del proceso (Modificacin en el equipo, cambio de materias primas, etc.) conceptualmente debe considerarse como que se trata de otro proceso, diferente del anterior. 7.1 Definicin Caracterstica de Calidad El primer paso para aplicar una tcnica estadstica es definir la caracterstica de calidad que se va a medir en el producto fabricado. Esta caracterstica de calidad, desde el punto de vista estadstico, constituye una variable aleatoria, porque an despus de realizar una serie de mediciones, el valor que se obtendra en la siguiente medicin no puede predecirse por clculo.

Figura 7.1 Elementos que intervienen en un proceso de produccin

Figura 7.2 Esquema de toma de muestras para ensayos de calidad

Antes de aplicar cualquier tcnica estadstica, es necesario establecer algunas hiptesis bajo las cuales se va a desarrollar el anlisis. En primer lugar, vamos a suponer que la caracterstica de calidad (Variable aleatoria) es continua y de distribucin normal. En segundo lugar, consideraremos que el proceso est bajo control estadstico, es decir que la variabilidad se debe solamente a un sistema constante de causas aleatorias (No intervienen causas asignables). Si los datos tuvieran una distribucin notablemente asimtrica, las probabilidades basadas en el modelo normal no seran muy buenos estimadores de las verdaderas probabilidades de producir unidades que no cumplan con las especificaciones. En tal caso, podramos optar por: usar transformaciones de datos para lograr una distribucin aproximadamente normal o usar el modelo Weibull. En nuestro caso, consideraremos solamente distribuciones de tipo normal.



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Al realizar una sucesin de mediciones de la caracterstica de calidad sobre muestras del producto fabricado, encontramos que los valores fluctan alrededor de un valor central. Esto es lo que llamamos la fluctuacin natural y esperable del proceso. Esta variacin de la caracterstica de calidad medida se debe a un conjunto muy grande de causas que afectan el proceso y cuyo efecto individual es pequeo actuando en forma aleatoria (Sistema constante de causas aleatorias). La fluctuacin natural del proceso es inherente al mismo y no puede eliminarse, slo puede reducirse realizando modificaciones al proceso mismo, lo cual significa, como ya hemos dicho, trabajar con otro proceso. La fluctuacin natural de un proceso puede cuantificarse a travs de la desviacin estndar del mismo, con la cual podemos calcular lmites de tolerancia natural del proceso. Se debe insistir en que estos lmites no pueden fijarse voluntariamente, dependen del proceso y de las variables no controlables del mismo. Generalmente se toma un rango para la fluctuacin natural de 6 sigmas.

Figura 7.3 Diferencia entre sistemas o procesos estables e inestables

Una vez que hayamos comprobado que el proceso est bajo control, estaremos interesados en saber si es un proceso capaz, es decir, si cumple con las especificaciones tcnicas deseadas, ya que produccin bajo control no significa necesariamente que satisfaga las especificaciones de calidad fijadas por el diseo, el comprador, la norma o el fabricante. Por lo tanto la medicin de la capacidad de proceso trata de averiguar si el proceso es capaz o no de satisfacer las especificaciones. 7.2 Capacidad de Proceso La capacidad de proceso a travs de la denominacin Seis Sigma naci a mediados de los aos 80 en Estados Unidos de Norteamrica (EE.UU). como una iniciativa de la firma Motorola para hacer frente a la competencia de la industria japonesa. Seis Sigma es una metodologa que permite una reduccin drstica de los defectos en el producto a travs del seguimiento diario de todas las actividades de la empresa, que permite minimizar sus desperdicios e incrementar la satisfaccin de los clientes. Bsicamente consiste en un proceso de hacerse preguntas cuyas respuestas, tangibles y cuantificables, producirn al final resultados rentables. Desde el punto de vista tcnico, la filosofa Seis Sigma es aplicada a la reduccin de variacin mediante el clculo de capacidad de proceso. Desde el punto de vista administrativo, es un enfoque genuino en el cliente ya que las mejoras se definen por su impacto en la satisfaccin y creacin del valor para el cliente. La Capacidad de un Proceso es definida entonces como la aptitud para generar un producto que cumpla con determinadas especificaciones, de manera que la cantidad de defectuosos, debido a variabilidad, sea minimizado en base a la reduccin de la variabilidad del proceso dentro los lmites de especificacin o tolerancia mxima permitida en el producto; de esta manera se asegura que toda la produccin cumplir con las especificaciones requeridas. Las especificaciones y/o tolerancias de un producto son definidas voluntariamente por el cliente, por el fabricante o establecidas en base a alguna norma reconocida. Estos lmites constituyen



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un requisito a cumplir por el producto y no deben confundirse en ningn caso con los Lmites de Control o con los Lmites de Variacin Natural del proceso.

Figura 7.4 Filosofa de la Capacidad de Proceso

El anlisis de capacidad del proceso es una parte vital de un programa integral de mejoramiento de calidad. Entre los usos principales de los datos de un anlisis de capacidad del proceso se encuentran los siguientes: 1. Predecir el grado de variabilidad que exhibirn los procesos. Esta informacin de capacidad

proporcionar informacin importante para establecer lmites de especificacin realistas. 2. Seleccionar, entre procesos que compiten, el proceso ms adecuado para que las tolerancias

se cumplan. 3. Planear la interrelacin entre procesos secuenciales. La cuantificacin de las capacidades

respectivas del proceso con frecuencia seala el camino para encontrar una solucin. 4. Proporcionar una base cuantitativa para establecer un programa de verificacin de control

peridico del proceso y reajustes. 5. Asignar mquinas a los tipos de trabajos para los cuales son ms adecuadas. 6. Probar las teoras de las causas de defectos durante los programas de mejoramiento de

calidad. 7. Servir como base para la especificacin de los requerimientos de calidad para las mquinas

compradas. Por tanto, el anlisis de capacidad de proceso es una tcnica que tiene aplicacin en muchos segmentos del ciclo del producto, incluyendo el diseo de producto y procesos, la fuente de proveedores, la planeacin de la produccin o la manufactura, y la propia manufactura. Para cuantificar la Capacidad de Proceso (Cp) se utilizan coeficientes que permiten comparar el rango de especificaciones con la fluctuacin natural del proceso. Esto es, se compara el ancho de las especificaciones o variacin tolerada para el proceso con la amplitud de la variacin real del proceso:

TotalVariacin

ToleradaVariacinC p 7.1 Segn la ISO reporte tcnico 12783, la Capacidad de proceso general est definido por:



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135,0865,99 PP

3 control de calidad procesos

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