29. Maxwell’s Equations & Electromagnetic Waves馬克斯威爾方程式和電磁波1. The Four Laws of Electromagnetism 電磁學的四個定律2. Ambiguity in Ampere’s Law 安培定律的含糊3. Maxwell’s Equations 馬克斯威爾方程式4. Electromagnetic Waves 電磁波5. Properties of Electromagnetic Waves 電磁波的性質6. The Electromagnetic Spectrum 電磁波譜7. Producing Electromagetic Waves 產生電磁波8. Energy & Momentum in Electromagetic Waves 電磁波的能量和動量

How does a conversation travel between cell phones?對話如何在手機間傳送？By EM waves. 由電磁波。

29.1. The Four Laws of Electromagnetism電磁學的四個定律Law定律 Mathematical 數學

Statement 陳述 Physical 物理Meaning 意義

Gauss for EE 的高斯 0

qd

E A How q produces E; q 怎樣產生 E ；E lines begin & end on q’s. E 線始和終於 q 。

Gauss for BB 的高斯Faraday法拉第

Ampere 安培(Steady I only)( 限用於穩 I )

4 Laws of EM (incomplete) 電磁學的四個定律 ( 不完整 )

0d B A

Bddd t

E r

0d IB r

No magnetic monopole; 無磁單極；B lines form loops. B 線必成圈。Changing B gives emf. B 變動即產生 emf

Moving charges give B.電荷移動即生 B 。

Note E-B asymmetry between the Faraday & Ampere laws.留意法拉第和安培定律間 E-B 並不對稱。

29.2. Ambiguity in Ampere’s Law 安培定律的含糊B in a RC circuit. RC 線路中的 B

Ampere’s law 安培定律 :

0Cd IB r

I is current through any open surface S bounded by C.I 是通過任何被 C 圍住的開放式表面的電流。Current flows through surfaces 1,2,& 4. 1, 2 和 4 面有電流通過。But not 3. 3 則沒有。 Ampere’s law fails ( for non-steady current ).安培定律用於非穩定電流時失敗。

Maxwell’s modification 馬克斯威爾的修正 :

0 0 0E

C

dd Id t

B r

0 Displacement curre ntEdd t

Changing E gives I , which in turn gives B.變動 E 產生 I ，以產生 B 。

位移電流

Example 29.1. A Capacitor 電容器A parallel plate capacitor with plate area A and spacing d is charging at the rate dV/dt.一個平行板式電容器 ( 板面積為 A ，板間隔為 d ) 以速率 dV/dt 充電。Show that the displacement current is equal to the current in the wires feeding the capacitor.証明位移電流等於連往電容器的電線裏的電流。

Capacitor :電容器： q C VdqId t

dVCdt

(Current feeding capacitor) 輸入電容器的電流

Displacement current :位移電流：

0E

ddId t

E E A V Ad

0 A dVd d t

dVCdt

I QED

29.3. Maxwell’s Equations馬克斯威爾方程式Law定律 Mathematical Statement數學陳述 Physical Meaning物理意義

Gauss for EE 的高斯 0

qd

E A How q produces E; q 怎樣產生 E ；E lines begin & end on q’s. E 線始和終於 q 。

Gauss for BB 的高斯Faraday法拉第

Ampere-Maxwell 安培 - 馬克斯威爾

0d B A

Bddd t

E r

No magnetic monopole; 無磁單極；B lines form loops. B 線必成圈。Changing B gives emf. B 變動即產生 emf

Moving charges & changing E give B.電荷移動和 E 變動都產生 B。

Maxwell’s Eqs (1864). 馬克斯威爾方程式 (1864)Classical electromagnetism. 古典電磁學

0 0 0Edd I

d t

B r

Maxwell’s Equations in Vacuum真空中的馬克斯威爾方程式Gauss for EE 的高斯 0d E A

Gauss for BB 的高斯

Faraday法拉第

Ampere-Maxwell 安培 - 馬克斯

0d B A

Bddd t

E r

0 0Edd

d t

B r

29.4. Electromagnetic Waves 電磁波

Electromagnetic (EM) waves

電磁波

Faraday’s law 法拉第定律：Ampere-Maxwell’s law 安培 - 馬克斯威爾定律：

changing B gives E. 變 B 生 E。changing E gives B. 變 E 生 B。

Plane Electromagnetic Wave平面電磁波EM wave in vacuum is transverse: E B k (direction of propagation).電磁波在真空中是橫的： E B k ( 進行方司 )

For uniqueness, see Prob 46唯一性請參考習題 46 。Sinusoidal plane waves going in x-direction:正弦波朝 x- 方向走： ˆ, ,yx t E x tE j

ˆ, ,zx t B x tB k

ˆ k E B Right-hand rule 右手法則

ˆsinpE kx t j

ˆsinpB kx t k

Gauss’s Laws 高斯定律 ˆsinpE kx t j

Both E & B field lines are straightlines, E 和 B 的場線都是直線，so their flux over any closed surfaces vanish identically.

因此它們通過任何密閉曲面的通量為零。Hence the Gauss’s laws are satisfied.

所以兩個高斯定律都滿足。

Plane wave :平面波： ˆ, ,yx t E x tE j

ˆ, ,zx t B x tB k ˆsinpB kx t k

Faraday’s Law 法拉第定律

For loop at x of height h & width dx :在 x 處長 h 寬 dx 的廻路： , ,d E x t h E x dx t h E r

, , EE x t h E x t d x hx

E d x hx

B B h dx Bd B h dxd t t

Faraday’s Law :法拉第定律：E Bx t

Faraday’s law expressed as a differential eq :法拉第定律以微分方程表示： t

BE

Bddd t

E r

ˆEE y

ˆBB z

y zE Bx t

x y z

x y zV V V

i j k

V

d E A dt

B A

Ampere-Maxwell Law 安培 -馬克斯威爾定律0 0

EC

ddd t

B r

C

d B x h B x dx h B r

I = 0

, , BB x t h B x t d x hx

B d x hx

E E h dx Ed E h dxd t t

Ampere-Maxwell Law :安培 - 馬克斯威爾定律： 0 0B Ex t

Ampere-Maxwell law expressed as a differential eq :安培 - 馬克斯威爾定律以微分方程表示：

0 0 t

EB in vacuum真空中

For loop at x of height h & width dx :在 x 處長 h 寬 dx 的廻路：

ˆEE y

ˆBB z

0 0yz EB

x t

Conditions on Wave Fields 波場的條件

Faraday’s Law :法拉第定律：E Bx t

Ampere-Maxwell Law :安培 - 馬克斯威爾定律： 0 0B Ex t

For E = E(x,t) j & B = B(x,t) k,

For a plane wave平面波 ˆ, sinpx t E kx t E j ˆ, sinpx t B kx t B k

cos cosp pk E k x t B k x t Faraday’s Law :法拉第定律： p pk E B

Ampere-Maxwell Law :安培 - 馬克斯威爾定律： 0 0cos cosp pk B k x t E k x t

0 0p pk B E

x y z

x y zV V V

i j k

V

29.5. Properties of Electromagnetic Waves電磁波的性質p pk E B 0 0p pk B E

2 20 0k

0 0

1k

speed of wave =波的速率 . 7 2 2 2

9

114 10 / /

4 9 10N A C N m

83 10 /m s = speed of light in vacuum 光在真空中的速率 = c

Maxwell : light is EM wave.馬克斯威爾：光是一種電磁波1983: meter is defined so that c is exactly 299,792,458 m/s.1983: 米的定義改成 c 剛好是 299,792,458 m/s 。Hence, 0 = 1 / (4 c2 107 ) C2/Nm2, where c = 299,792,458.因此 0 = 1 / (4 c2 107 ) C2/Nm2, 此處 c = 299,792,458 。

GOT IT? 29.1

At a particular point E of an EM wave points in the +y direction, while B points in the z direction.一 EM 波在某點的 E 指向 +y ，其 B 則指向 z 。Is the propagation direction 其進行方向(a) +x ; (a) +x ;

(b) x ; (b) x ;

(c) either +x or x but you can’t tell which; (c) 不是 +x 就是 x ，很難說 ;

(d) y ; (d) y ;

(e) +z ; or (e) +z ; 或(f) not along any of the coordinate axes ? (f) 不在任何座標軸上

Example 29.2. Laser Light 雷射光A laser beam with wavelength 633 nm is propagating through air in the +z direction.一條波長 633 nm 的雷射光束在空氣中朝 +z 方向進行。Its electric field is parallel to the x axis and has magnitude 6.0 kV/m. Find它的電場平行於 x 軸，大小則為 6.0 kV/m 。求(a) the wave frequency, (a) 波的頻率，(b) the amplitude of the magnetic field, and (b) 磁場的大小，和(c) the direction of the magnetic field. (c) 磁場的方向。

cf

(a)8

9

3.0 10 /633 10

m sm

144.7 10 Hz

EBc

(b)

(c) y axis 軸 .

3

8

6.0 10 /3.0 10 /

V mm s

52.0 10 T

20 T

Polarization 偏振 ( 極 )

Polarization 偏振 // E. Radiation from antennas are polarized.從天線發出的輻射是偏振的E.g., radio, TV, …. 例：電台，電視，…Light from hot sources are unpolarized.從熱源發出的輻射無偏振E.g., sun, light bulb, … 例：太陽，燈泡

Reflection from surfaces polarizes. 從表面反射會偏振化。E.g., light reflecting off car hoods is partially polarized in horizontal direction.例：光從車子的引擎蓋反射後會在水平方向偏振化。Transmission through crystal / some plastics polarizes.穿透晶體或某些塑料會偏振化。E.g., Polaroid sunglasses, … 例：寶麗來太陽鏡。

Law of Malus :馬勒定律：

Only component of E // preferred direction e is transmitted.祇有平行於傳輸軸 e 的 E 分量才能通過。

2 2 2costrans inc E E

ˆ ˆtrans inc E E e e ˆcosincE e = angle between Einc & e. Einc 與 e 的夾角

2costrans incS S or

ˆˆ ε j

ˆˆ ε k

20 cosS S

2 polarizers with mutually perpendicular transmission axes.兩塊傳輸軸互相垂直的偏振片。No light gets through where they overlap.它們重叠的地方光不能通過。

Polarization of EM wave gives info about its source & the medium it passes through.EM 波的偏振含有它的來源和它經過的介質的資訊。Applications: astronomy, geological survey, material stress analysis, …應用：天文學，地質測量，材料應力分析，…

Liquid crystal display 液晶顯示器 (LCD)

Vertical polarizer passes only Ev .垂直偏振片祗通過 Ev 。

Unpolarized light無偏振光

LC molecules rotate polarization to horizontal direction.液晶分子把偏振轉到水平方向

Horizontal polarizer passes light.水平偏振片讓光通過

Applied V aligns molecules; polarization not rotated.外加電壓使分子排序；偏振不被轉向。

Horizontal polarizer blocks light.水平偏振片把光擋下

29.6. The Electromagnetic Spectrum 電磁波譜

Earth’s atmosphere 地球的大氣 :

Transparent to : most radio, visible light.透明的： 大部份的無線電波，可見光。 Opaque to: most IR, upper UV, X-rays, rays. 不透明的： 大部份的紅外線，上紫外線， X 光，伽瑪射線。

UV is absorbed by ozone layer 紫外線由臭氧層吸收IR by green house gases. 紅外線則由温室氣體

29.7. Producing Electromagetic Waves 產生電磁波Any changing E or B will create EM waves. E 或 B 的任何變化都會產生電磁波Any accelerated charge produces radiation. 任何電荷加速就會產生輻射。Radio transmitter: e’s oscillate in antenna driven by LC circuit.無線電發射器： e 由 LC 電路驅動而在天線振動。X-ray tube: accelerated e’s slammed into target. X- 射線管： e 加速後撞上標靶。MW magnetron tube: e’s circle in B. 微波磁控管： e 在 B 中繞圈。

EM wave 電磁波 : f = f of q motion 運動Most efficient: ~ dimension of emitter / reciever効率最高： ~ 發射 / 接收器 大小

Waves emit / receive axis of dipole.發射 / 接收的波 雙極的軸。Source replenishes radiated energy能源補充輻射掉的能量

LC oscillator drives I in antennaLC 振動器驅動天線的 I.

Outgoing EM waves外出電磁波

29.8. Energy & Momentum in Electromagetic Waves電磁波的能量和動量Consider box of thickness dx, & face A k of EM wave.假想一個盒子，厚 dx ，其面 A 電磁波的 k 。

20

12Eu EEnergy densities:能量密度：

2

0

12Bu

B

Energy in box 盒內能量 :

E BdU u u A dx 2 20

0

1 12

A dx

E B

Rate of energy moving through box:能量通過盒子的速率： /dU d Udt dx c

2 20

0

1 12

A c

E B

Intensity S = rate of energy flow per unit area 強度 S = 每單位面積通過能量的速率 2 2

00

1 12

S c

E B

Plane waves 平面波 :

EBc

00

1 12

S c E B cc

2

0 00

1 12

c E B

0

1 E B

0

1S E B

Plane waves:平面波：In general:通用：

0

1

S E B Poynting vector坡印廷向量see Prob 64

Average intensity for plane waves :平面波的平均強度：

0

1S E B

0

12

pk pkE B

E, B in phase 同相2

0

12pkEc

2

0

12pkBc

GOT IT? 29.3

Lasers 1 & 2 emit light of the same color 雷射 1 & 2 發射同樣顏色的光，& E in the beam from laser 1 is twice as strong as that in laser 2’s beam.且雷射 1 光束的 E 是雷射 2 光束的 2 倍。How do their 比較一下它們的(a) magnetic fields, (a) 磁場(b) intensities, and (b) 強度(c) wavelengths compare? (c) 波長

B1 = 2 B2

S1 = 4 S2

1 = 2

Example 29.3. Solar Energy 太陽能The average intensity of noontime sunlight on a clear day is about 1 kW/m2.晴天午時陽光的平均強度約為 1 kW/m2 。(a) What are the peak electric & magnetic fields in sunlight ?陽光的電和磁場的峰值為何？(b) At this intensity, what area of 40% efficient solar collectors would you need to replace a 4.8-kW water heater ? 據此強度，一個 40% 効率的陽光收集器需要多大面積才能取替一個 4.8-kW 的熱水器？

62.9 10 T

(a)2

0

12pkBS c

02

pkSB

c

7 3 2

8

2 4 10 / 10 /3 10 /H m W m

m s

2.9 T

pk pkE c B 28.7 10 /V m 0.87 /kV m

(b)Area needed is需要面積

22

4.8 1240% 1.0 /

kW mkW m

Waves from Localized Sources來自小範圍源頭的波Afar from localized source, wave is spherical : 離小範圍源頭甚遠處，波呈球狀：

24PSr

Intensity = power / area 強度 = 功率 / 面積

2 2,S E B 1,E Br

wave fields dominates static fields away from the sources. 離源頭甚遠處，波的場蓋過靜態場。

Example 29.4. Cell Phone Reception 手機收訊A cell phone’s typical average power output is about 0.6 W.一個手機的平均輸出功率通常是 0.6 W 左右。If the receiver at a cell tower can handle signals with peak electric fields as weak as 1.2 mV/m,如果基地台的接收器可以處理峰值低至 1.2 mV/m 的電場，what is the maximum allowable distance from cell phone to tower ?基地台的最大收發距離是多少？

24PSr

02

24 pk

c PrE

2

0

12pkEc

7 8

23

2 4 10 / 3 10 / 0.6

4 1.2 10 /

H m m s W

V m

5 km

Application: Cell Phones 手機Hexagonal cell area 25 km2.

六角細胞的面積 25 km2 。~ circle of radius 同面積的圓的半徑為

6 225 10 mr

2.8 km

Transmission & reception are at different frequencies.發射和接收的頻率不相同。

Momentum & Radiation Pressure 動量和輻射壓力Maxwell 馬克斯威爾 :

1 ˆrad U

cp S

1rad c

P S

radiation momentum輻射動量

radiation pressureon absorbing surface吸收面的輻射壓力

12rad cP S

radiation pressureon reflecting surface反射面的輻射壓力Cosmos 1, a solar light-sailing

spacecraft, failed at launch in 2005.宇宙一號，史上第一艘陽光帆太空船，在 2005年升空失敗。