2.7 Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί στο επίπεδο και...
TRANSCRIPT
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών
Τομέας III : Αρχιτεκτονικής Γλώσσας, Επικοινωνίας & Σχεδιασμού
ntua ACADEMIC OPEN COURSES
Γεωμετρικές Απεικονίσεις Ι:
Γεωμετρικές Αρχές στην Αρχιτεκτονική Απεικόνιση 2.7 Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί στο επίπεδο και στον χώρο:
Κατάκλιση επίπεδου σχήματος. Ανάκληση επίπεδου σχήματος. Αλλαγή
συστήματος επιπέδων προβολής. Η μέθοδος της περιστροφής. Ισομετρικοί
μετασχηματισμοί. Μη ισομετρικοί μετασχηματισμοί.
Ανθή Μαρία Κουρνιάτη
Επίκουρη Καθηγήτρια, Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ΕΜΠ
Νίκος Κουρνιάτης
Λέκτωρ ΠΔ407/80, Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ΕΜΠ
Η κατασκευή του πολυμεσικού υλικού και των διαδραστικών αρχείων έγινε από τον Νίκο Κουρνιάτη.
Άδεια Χρήσης
Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου
τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
Οδηγίες για την ανάγνωση του ηλεκτρονικού υλικού
Η θεωρία παρουσιάζεται σε αρχεία τύπου:
(1) pdf για μια σύντομη ανάγνωση και σε (2) ppt με συνοδευτικά αρχεία αναλυτικών παραδειγμάτων
“βήμα προς βήμα”, που είναι συμπιεσμένα σε κοινό φάκελο με το πρόγραμμα WinRAR.
Προκειμένου να είναι δυνατή η πλήρης ανάγνωση των ppt απαιτείται η αποσυμπίεση του φακέλου
και η διατήρηση όλων των αρχείων σε κοινό φάκελο.
Η θεωρία και τα θέματα των ασκήσεων είναι διαθέσιμα σε αρχεία τύπου pdf, η ανάγνωση των οποίων
γίνεται με το πρόγραμμα Acrobat Reader.
Για την εγκατάσταση του προγράμματος Acrobat Reader επισκεφτείτε την ιστοσελίδα:
http://www.adobe.com/products/acrobat/readstep2.html
Οι παρουσιάσεις των μαθημάτων είναι διαθέσιμες σε αρχεία τύπου ppt. Τα αρχεία αυτά μαζί με τα
συνοδευτικά αρχεία είναι κατατμημένα και συμπιεσμένα με το πρόγραμμα WinZip. Η πρόσβαση σε
αυτά προϋποθέτει την αποθήκευση όλων των τμημάτων του αρχείου και την αποσυμπίεση του με
το πρόγραμμα WinZip.
Για την εγκατάσταση του προγράμματος WinZip επισκεφτείτε την ιστοσελίδα:
http://www.winzip.com/downwz.htm
Επίσης, προκειμένου να είναι δυνατή η πλήρης ανάγνωση των αρχείων ppt απαιτείται η εγκατάσταση
των προγραμμάτων:
Cabri Geometry II Plus Demo
http://education.ti.com/us/product/software/cabri/down/cabriwin.html
Macromedia Flash Player
http://www.macromedia.com/shockwave/download/download.cgi?P1_Prod_Version=Shockwav
eFlash
Rhino http://download.mcneel.com/rhino/3.0/eval/
Ο φάκελος που περιέχει τα αρχεία ppt περιλαμβάνει κρυφά αρχεία που είναι απαραίτητο να
συνοδεύουν πάντα το αρχείο ppt, προκειμένου να είναι δυνατή η πλήρης ανάγνωση του, κάτι που
πρέπει να λαμβάνεται υπόψη σε οποιαδήποτε αλλαγή πραγματοποιηθεί (πχ μεταφορά του
αρχείου).
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΤΟΥ
ΧΩΡΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
Κατάκλιση επιπέδου σχήματος
ΚΑΤΑΚΛΙΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ
Κατάκλιση επιπέδου σχήματος
με την μέθοδο της ομολογίας
ΚΑΤΑΚΛΙΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ
α) Ανάκλιση επιπέδου σχήματος β) Ανάκλιση επιπέδου σχήματος
με τη μέθοδο της ομολογίας
ΚΑΤΑΚΛΙΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ
Κατασκευές
ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΠΡΟΒΟΛΗΣ
Κατασκευές
ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΠΡΟΒΟΛΗΣ
ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΠΡΟΒΟΛΗΣ
ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ
Περιστροφή ευθείας ώστε να γίνει παράλληλη σε επίπεδο προβολής.
ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ
Περιστροφή επιπέδου ώστε να γίνει κάθετο ή παράλληλο σε επίπεδο προβολής.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΑΙ ΤΟ ΧΩΡΟ
Οι γεωμετρικές απεικονίσεις των στοιχείων του Ευκλείδειου χώρου είναι κατά κανόνα
ομογραφικές. Στον επεκτεταμένο Ευκλείδειο χώρο μια απεικόνιση είναι μία ομογραφία εάν
οι εικόνες των σημείων κάθε ευθείας του χώρου ανήκουν σε ευθεία. Αντίστοιχα η εικόνα ενός
επιπέδου είναι ένα επίπεδο. Στο επίπεδο, μία ομογραφία p καλείται ομολογία εάν υπάρχει μία ευθεία κ του επιπέδου,
όλα τα σημεία της οποίας είναι ενωμένα σημεία του μετασχηματισμού.
Η ευθεία κ είναι ενωμένη ευθεία του
μετασχηματισμού και ονομάζεται
άξονας της ομολογίας. Εάν Α και Α΄
ζεύγος αντιστοίχων σημείων της p, το
Α΄ ονομάζεται ομόλογο του Α.
Η ευθεία ΑΑ΄ είναι μία ενωμένη ευθεία
του μετασχηματισμού.
Σε κάθε ομολογία p, τα ζεύγη α και α΄
των ομολόγων ευθειών τέμνονται επί
του άξονος ομολογίας κ.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΑΙ ΤΟ ΧΩΡΟ
Κεντρική ομολογία.
Μία ομολογία ονομάζεται κεντρική εάν έχει μία κεντρική
δέσμη ενωμένων ευθειών με κέντρο το κέντρο της
ομολογίας Ο.
Εάν το κέντρο της ομολογίας είναι σημείο του άξονα κ, η
ομολογία ονομάζεται ειδική (elation).
Παράλληλη ομολογία.
Εάν το κέντρο ομολογίας Ο είναι επάπειρον σημείο του
επιπέδου, ο μετασχηματισμός p ονομάζεται παράλληλη
ομολογία.
Στην παράλληλη ομολογία τα ζεύγη των ομολόγων
σημείων ορίζουν παράλληλη δέσμη ενωμένων ευθειών η
διεύθυνση των οποίων ονομάζεται διεύθυνση δ της
ομολογίας.
Εάν η διεύθυνση της ομολογίας είναι κάθετη προς τον
άξονα κ, ο μετασχηματισμός είναι μια ορθή ομολογία.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΑΙ ΤΟ ΧΩΡΟ
Εάν η διεύθυνση της ομολογίας είναι
παράλληλη προς τον άξονα, πρόκειται για
ειδική παράλληλη ομολογία που ονομάζεται
ψαλιδισμός (Shearing).
Στον επεκτεταμένο Ευκλείδειο χώρο
ισχύουν αντίστοιχα οι προηγούμενοι
μετασχηματισμοί με αντικατάσταση του
άξονα ομολογίας κ με το επίπεδο ομολογίας
Π.
ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ –ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ- ΟΜΟΛΟΓΙΚΟΙ
ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΣΑΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
Ισομετρικός μετασχηματισμός στο επίπεδο ή το χώρο είναι κάθε μετασχηματισμός που
αφήνει αναλλοίωτες τις αποστάσεις.
Ομόρροποι και αντίρροποι ισομετρικοί μετασχηματισμοί.
•Παράλληλη μεταφορά στο επίπεδο και το χώρο(Move-Copy) (ομόρροπος).
•Συμμετρία ως προς άξονα ή ως προς επίπεδο (Mirror- Mirror 3D) (αντίρροπος).
•Περιστροφή περί κέντρο ή περί άξονα (Rotate – Rotate-3D) (ομόρροπος).
•Μεταφορική συμμετρία (Glide Reflexion) ( Γινόμενο μετασχηματισμών. Αντίρροπος).
•Ελίκωση (Orient 3D) (Γινόμενο μετασχηματισμών. Ομόρροπος).
Η τυχούσα ισομετρία στον επίπεδο ή στο χώρο μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο δύο
ισομετριών
Κάθε ισομετρία μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο δύο συμμετριών.
ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
Παράλληλη μεταφορά και
ταυτοτικός μετασχηματισμός.
(Move – Copy).
Η παράλληλη μεταφορά στο επίπεδο και
το χώρο γίνεται κατά τη διεύθυνση ενός
διανύσματος δ και είναι ένας ομόρροπος
ισομετρικός μετασχηματισμός
ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
Συμμετρία (Mirror – Mirror 3D)
Αντίρροπος ισομετρικός μετασχηματισμός.
ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
Περιστροφή Rotate-Rotate 3D
Ομόρροπος ισομετρικός μετασχηματισμός
• Περιστροφή περί κέντρο (στο επίπεδο).
Κάθε σημείο διαγράφει κύκλο στο επίπεδο της στροφής με
κέντρο το κέντρο Ο της στροφής.
• Περιστροφή περί άξονα (στο χώρο).
Κάθε σημείο διαγράφει κύκλο σε επίπεδο δια του σημείου
κάθετο στον άξονα στροφής και κέντρο τη τομή του άξονα
με το επίπεδο αυτό.
ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
Μεταφορική συμμετρία ή συμμετρία
ολισθήσεως (Glide reflexion).
Αντίρροπος μετασχηματισμός που προκύπτει από το
μεταθετικό γινόμενο μιας συμμετρίας ως προς άξονα
επί μία μεταφορά παράλληλη στον άξονα συμμετρίας. Στο χώρο, ο μετασχηματισμός αυτός, προκύπτει από
το γινόμενο μιας συμμετρίας ως προς επίπεδο επί μία
μεταφορά παράλληλα προς το επίπεδο συμμετρίας.
ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
Ελίκωση (Orient 3 points).
Γενικός ισομετρικός μετασχηματισμός στο χώρο.
Αναλύεται σε μεταθετικό γινόμενο στροφής περί άξονα κατά
γωνία φ, επί μεταφορά παράλληλη προς τον άξονα στροφής
κατά διάνυσμα δ.
ΜΗ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
Ορθή ομολογία στο επίπεδο και το χώρο (Scale 1D).
Στο επίπεδο Άξονας ομολογίας η ενωμένη ευθεία κ=κ1.
Διεύθυνση ομολογίας ΜΜ1 κάθετη στον άξονα.
Οι ομόλογες ευθείες τέμνονται στον άξονα ομολογίας.
Στο χώρο. Επίπεδο ομολογίας Π (ενωμένο επίπεδο).
Διεύθυνση ομολογίας ΑΑ1 κάθετη στο επίπεδο ομολογίας.
Οι ομόλογες ευθείες τέμνονται σε σημεία του επιπέδου
ομολογίας Π.
ΜΗ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
Αξονική ομολογία (Scale 2D).
Στην ορθή αξονική ομολογία άξονας είναι η
ευθεία κ, κάθετος στο επίπεδο κατασκευής.
Δύο ομόλογα σημεία Ρ1 και Ρ2 ορίζουν
ευθεία κάθετη στον άξονα ομολογίας και
τέμνει τη κ σε ένα σημείο Ο (origin point)
καθορίζοντας το λόγο της ομολογίας
(ΟΡ1)/(Ορ2).
Ειδική παράλληλη ομολογία στο
επίπεδο ή το χώρο. (Shear).
Στην ειδική παράλληλη ομολογία η
διεύθυνση ομολογίας είναι παράλληλη προς
τον άξονα ή το επίπεδο της ομολογίας.
ΜΗ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
Παράλληλη ομολογία ως γινόμενο μιας ορθής
ομολογίας (Scale 1-D) επί μία ειδική παράλληλη
ομολογία ( Ψαλιδισμός Shear).
Στο επίπεδο, εάν (κ) ο άξονας της ομολογίας και Α, Α1
ζεύγος ομολόγων σημείων της οριζόμενης παράλληλης
ομολογίας, το ομόλογο του κύκλου (c) είναι η έλλειψη
(c1) που προκύπτει ως γινόμενο ορθής ομολογία με τον
ίδιο άξονα και ζεύγους ομολόγων σημείων Α, Α2, επί μία
ειδική παράλληλη ομολογία με διεύθυνση που ορίζεται
από τα ομόλογα σημεία Α2 και Α1 η οποία είναι
παράλληλη στον άξονα (κ).
Στο χώρο, εάν Π το επίπεδο ομολογίας και Α, Α2 ζεύγος
ομολόγων σημείων, το ομόλογο (Σ1) του σχήματος (Σ)
προκύπτει επίσης ως γινόμενο μιας ορθής ομολογίας
μεταξύ των (Σ) και (Σ2) (scale 1-D) επί μία ειδική
παράλληλη ομολογία μεταξύ των (Σ2) και (Σ1)(shear).
ΜΗ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
Ομοιοθεσία (Scale 3-D).
Πρόκειται για ένα ομοπαραλληλικό
μετασχηματισμό στο επίπεδο ή το χώρο.
Μία ομοιοθεσία ορίζεται από το κέντρο της Ο
(origin Point) και από ένα ζεύγος αντιστοίχων
σημείων (First και Second Reference Point) ή
από το λόγο της ομοιοθεσίας (Scale Factor)
που ισούται με (ΟΑ1)/(ΟΑ2).
Η κατασκευή του πολυμεσικού υλικού και των διαδραστικών αρχείων έγινε από τον
Νίκο Κουρνιάτη.
Οι εργασίες που παρουσιάζονται (σκίτσα, σχέδια, πινακίδες παρουσίασης,
τρισδιάστατες αναπαραστάσεις) δημιουργήθηκαν από τους Σπουδαστές της Σχολής
Αρχιτεκτόνων ΕΜΠ, στο πλαίσιο του Μαθήματος.
Τα παραδείγματα (σχέδια, σκίτσα, τρισδιάστατες απεικονίσεις, κινούμενες
αναπαραστάσεις κα) δημιουργήθηκαν από τους Διδάσκοντες.
Η λοιπή εικονογράφηση προέρχεται από τα βιβλία που συνέγραψαν οι Διδάσκοντες
του μαθήματος (βλ. βιβλιογραφία), που αποτελούν πνευματική τους ιδιοκτησία.
Σε υλικό τρίτων υπάρχει ειδική αναφορά. Ευχαριστούμε θερμά τους Δημιουργούς
που μας παραχώρησαν υλικό για την παρούσα δημοσίευση.
Σημείωση: Υλικό με μη προσδιορισμένη προέλευση. Σε περίπτωση που είστε ο κάτοχος του κύριου δικαιώματος επικοινωνήστε μαζί μας.
Βιβλιογραφία
Αναφορές σε δημιουργούς
Νίκος Κουρνιάτης, Γεωμετρία και Αρχιτεκτονική, Αθήνα 2014.
Ανθή-Μαρία Κουρνιάτη, Νίκος Κουρνιάτης, Η Προοπτική στην Αρχιτεκτονική Απεικόνιση, εκδόσεις Τζιόλα, 2012, επανέκδοση 2015.
Χρηματοδότηση
Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού
έργου του διδάσκοντα.
Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.
Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος
«Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την
Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς
πόρους.