26 probleme, concursuri, olimpiade probleme de fizicĂ

26 Probleme, concursuri, olimpiade

FIZICA SI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 9, nr. 1-2, 2011

PROBLEME DE FIZICĂ PENTRU LICEU Ion SCUTELNIC

Prof. grad didactic superior Liceul Teoretic „Mihai Eminescu", Făleşti

Cea mai simplă şi mai des întâlnită formă de mişcare este mişcarea mecanică. De

multe ori însă fenomenele termice, electromagnetice, optice sau cele din fizica atomului au loc simultan cu fenomene mecanice.

Autorul propune rezolvările unor probleme cu grad ridicat de dificultate din diferite capitole ale fizicii, în care se impune şi aplicarea legilor mecanicii. Problemele, inclusiv cele selectate din diverse surse sunt rezolvate în sistemul de referinţă legat de Pământ. Rezolvarea acestui tip de probleme contribuie la aprofundarea cunoştinţelor de fizică. De asemenea, este propusă pentru rezolvare o serie de probleme care pot fi abordate la orele opţionale sau în cadrul pregătirii pentru concursuri sau pentru examenul de fizică. I. MECANICĂ ÎN TEORIA CINETICO-MOLECULARĂ ŞI TERMODINAMICĂ

1. Un piston subţire având masa egală cu 5 kg împarte un cilindru orizontal închis la capete în două compartimente egale. Presiunea de ambele părţi ale pistonului este egală cu 104 Pa. Aflaţi raportul volumelor la deplasarea orizontală fără frecare a cilindrului cu acceleraţia constantă egală cu 4 m/s2. Aria secţiunii transversale a cilindrului este egală cu 100 cm2. Frecarea dintre`pereţii cilindrului şi piston lipseşte, iar gazul nu poate trece dintr-un compartiment în altul.

Rezolvare Pistonul se deplasează cu acceleraţie egală cu cea a cilindrului. Acceleraţia pistonului este cauzată de diferenţa forţelor de presiune care acţionează asupra feţelor lui. Forţa rezultantă orizontală ce acţionează

asupra pistonului F = (p1- p2)S. În baza legii a doua a lui Newton:

Sppam )( 21 (1) Dacă notăm cu V1 şi V2 volumele respective ale gazului (fig.1. ) şi admitem că în timpul mişcării temperatura rămăne constantă, în acord cu legea Boyle – Mariotte avem:

11VpVp şi 22VpVp (2)

Exprimăm1

1 V

pVp şi

22 V

pVp , apoi substituim în (1):

SVV

pVma )11

(21

. (3)

Între volumele gazului există o relaţie evidentă: V1 + V2 = 2V, de unde ).(5,0 21 VVV

Se cere: V2/V1 Se dă: p = 104 Pa S = 100 cm2 = 10-2 m2

m = 5 kg a = 4 m/s2

V V

2V1V a

1p 2p

p pm

m

1.Fig

S S

Probleme, concursuri, olimpiade 27


Înlocuim în (3) şi obţinem SVV

VVpS

ma)

11)((

2

2121 ,

de unde avem )(2

2

1

1

2

V

V

V

V

pS

ma .

După înmulţirea ambelor părţi cu 1

2

V

V, vom obţine:

.012

1

2

2

1

2

V

V

pS

ma

V

V

Soluţia pozitivă a ecuaţiei este:

.12

1

2

pS

ma

pS

ma

V

V

Răspuns: 22,11

2 V

V.

Propunem cititorului să determine raportul volumelor la mişcarea cilindrului cu aceeaşi acceleraţie vertical în sus. R.: 1,92.

2. În interiorul unui tub subţire cu lungimea de 1 m şi aria secţiunii

transversale egală cu 20 mm2, la distanţa de 0,8 m de la capătul sudat, se află o picătură de mercur. Cu ce viteză unghiulară trebuie rotit tubul în plan orizontal în jurul axei verticale ce trece prin capătul sudat, pentru ca mercurul cu masa de 1g să ajungă la capătul deschis? Presiunea atmosferică este normală, iar temperatura constantă. Frecarea lipseşte, picătura se consideră punct material. Rezolvare La rotirea tubului

picătura de mercur se va deplasa spre capătul deschis şi se va roti cu acceleraţie centripetă, cauzată de diferenţa de presiuni (fig. 2). Scriem legea a doua a lui Newton:

Sppam )( 10 (1)

unde acceleraţia picăturii ce se află la capătul deschis al tubului La 2 , p0 - presiunea exterioară (atmosferică), p1 - presiunea gazului din tub la momentul când picătura a ajuns la capătul tubului.

Scriem legea Boyle - Mariotte pentru masa constantă a gazului închis în tub la temperatură constantă, luând în consideraţie faptul că până la rotire presiunea gazului în tubul situat orizontal era egală cu presiunea atmosferică:

110 VpVp , unde dSV şi LSV 1 .

Obţinem LSpdSp 10 . Exprimăm presiunea L

dpp 0

1 şi substituim în (1).

Rezultă: SL

dpLm )1(0

2 , de unde exprimăm viteza unghiulară

Se cere: Se dă:

Pap

kgm

md

mS

mL

50

3

25

10

10

8.0

102

1



mL

SL

dp )1(0

.

Numeric: srad /20 .

3. [2] În interiorul unui vas cilindric lung, izolat termic, se află două pistoane de mase 1 kg şi 2 kg, ţinute în repaus. Spaţiul dintre ele are volumul egal cu 4 l şi este ocupat de un gaz monoatomic la presiunea de 5102 Pa. Determinaţi vitezele maxime ale pistoanelor după eliberarea lor. Frecarea şi presiunea exterioară lipsesc (pistoanele nu conduc căldura).

Masa gazului este mult mai mică decât masele pistoanelor.

Rezolvare Energia iniţială a sistemului o constituie energia internă a gazului ideal monoatomic:

oVpRTW 001 5,15,1

(fig. 3). Energia finală a sistemului este energia cinetică totală a pistoanelor (vasul izolat ternic este foarte lung - pistoanele vor avea viteze maxime la momentul când presiunea gazului ideal şi energia lui internă se

micşorează până la zero): 222

2112 5,05,0 mmW

În baza legii conservării energiei scriem: 222

21100 5,05,05,1 mmVp (1)

Impulsul total al pistoanelor la orice moment este egal cu cel iniţial,care este nul. În baza legii conservării impulsului: 22110

mm

În proiecţii 0 = m1υ1 – m2υ2. (2)

Rezolvăm sistemul de ecuaţii (1) - (2) şi obţinem:

211

2001

3

mmm

mVp

şi 212

1002

3

mmm

mVp

.

Răspuns: υ1 = 40 m/s; υ2. = 20 m/s II. MECANICĂ ÎN ELECTROSTATICĂ

1. Un inel metalic subţire cu raza de 50 cm este fixat orizontal în vid şi are distribuită uniform pe el sarcina de + 0,l μC. l) Stabiliţi dependenţa intensităţii câmpului electric al inelului în punctele de pe axa lui în funcţie de distanţa acestora de la centru. 2) O bilă mică electrizată ce are sarcina - 5 μC şi masa de 1 g începe să cadă din centrul inelului. Determinaţi acceleraţia bilei la momentul când ea trece printr-un punct aflat pe axa inelului la distanţa de 2 m de la centrul lui.

Se cere: υ1

υ 2 Se dă: m1 = 1 kg m2 = 2 kg V0 = 0,004 m3

p0 = 2· 105 Pa

Se cere: E (x) a Se dă: R = 0,5 m Q = 10-5 C q = -5 · 10-6 C m = 10-3 kg d = 2 m

1m2m0p

0V

.3.Fig



Rezolvare 1) Vom considera sarcina distribuită uniform pe inel echivalentă cu un număr foarte

mare de sarcini elementare qi , sarcina totală a inelului fiind Q =Σqi . (1) Reprezentăm, pentru simplitate, vectorii intensităţii Ei ai câmpurilor electrice create de două sarcini qi diametral opuse într-un punct arbitrar de pe axa inelului (numărul vectorilor Ei este foarte mare, egal cu cel al sarcinilor qi )

Modulul Ei = ,22 xR

qk i

unde x este distanţa de la centrul inelului până la punct. Reprezentăm

componentele Ei : pe axa inelului E1i; şi perpendicular pe ea E2i. Componentele E2i se anulează, fiind egale în modul şi opuse ca sens: rezultanta lor este egală cu zero (fig. 4.).

Modulul componentelor pe axa inelului OX:

E1i = cos22 xR

qk i

, unde cos β =

22 xR

x

. (2)

Modulul rezultantei tuturor componentelor pe axa OX:

E1= cos22 xR

qk i . (3)

Luând în consideraţie formulele (1) şi (2), obţinem din (3 ) dependenţa modulului intensităţii câmpului electric al inelului în punctele de pe axa lui în funcţie de distanţa acestor puncte de la centru.

E (x) = k 2

322 xR

Qx

.

2) Asupra bilei acţionează în orice moment forţa de

greutate G

şi forţele de atracţie din partea sarcinilor elementare qi. (În figura 5 sunt prezentaţi vectorii forţelor de interacţiune a sarcinii q cu două sarcini elementare qi diametral opuse (simetrice)). Scriem legea a doua a lui Newton sub

formă vectorială: amFG i

(4)

şi legea lui Coulomb: 22 dR

qqkF i

i .

Modulul rezultantei tuturor forţelor iF

este:

cos22 dR

qqkF i

i .

Substituim 22

cosdR

d

şi Qqi , apoi

scriem formula (4) în proiecţii:

ma

dR

qQdkmg

2

322 )(

; de unde

2

322 )( dRm

qQdkga

Răspuns: a 4,14 m/s2.

iq

iE2

iq

iE2

iE

iE

iE1

0 R

x.4.Fig

iq iq

d

mq

gmG

x

iF

iF

iF0 R

.5.Fig



3. [3] Trei bile identice au sarcini electrice de acelaşi semn q, masele m, sunt legate cu fire inextensibile izolatoare de lungimea l şi se află în vid pe o suprafaţă izolatoare netedă (fig. 6). Unul din fire este tăiat. Aflaţi vitezele maxime ale bilelor. Rezolvare

Energia potenţială iniţială de interacţiune a sarcinilor electrice este

l

qWp

2

01,

3

4

1

; (1)

La tăierea unui fir, bilele de la capătul lui se vor respinge şi va începe mişcarea tuturor bilelor. Vitezele vor fi maxime la momentul când toate bilele

vor fi pe aceeaşi dreaptă şi energia potenţială de interacţiune a sarcinilor este minimă (fig. 7).

Aplicăm legea conservării impulsului: 02 maxmax umm

.

În proiecţii: 02 maxmax mum

şi 2max

max

u . (2)

Energia potenţială de interacţiune a sarcinilor electrice la acest moment este:

l

qq

l

qWp 2

5

4

1

24

12

4

1 2

0

2

0

2

02,

; (3)

Observăm că 1,2, pp WW .

Energia potenţială de interacţiune a sarcinilor electrice s-a micşorat, dar a crescut cea cinetică. În conformitate cu legea conservării energiei: 1,2,2,1, ccpp WWWW , (4)

unde Wc,2 este energia cinetică totală a bilelor. Din formulele (1), (3) şi (4) avem:

02

2

22

5

4

13

4

1 2max

2max

2

0

2

0

mum

l

q

l

q

.

Ţinând cont de (2), obţinem:

4

3

2224

1 2max

2max

2max

2

0

mmm

l

q ,

de unde

ml

q

0

2

max 6 , şi

ml

qu

0

2

max 24 .

Se cere υmax Se dă: q m l



4. [3] Două corpuri mici legate cu un fir de lungimea l se află pe o suprafaţă orizontală, în vid. Corpurile au masele m fiecare şi sarcinile electrice q (fig. 8). Firul este tăiat. Determinaţi vitezele maxime ale corpurilor, dacă coeficientul de frecare dintre ele şi suprafaţă este .

Rezolvare După ce firul a fost tăiat, corpurile încep să se mişte sub acţiunea forţelor de

respingere electrostatică eF

.

Vitezele corpurilor vor creşte

până la momentul când această forţă va deveni egală cu forţa de frecare la alunecare fF

, iar

acceleraţia - egală cu zero. Iniţial, sistemul posedă energie potenţială de interacţiune electrostatică:

l

qWW p

intot

2

01 4

1

.

La momentul când fe FF şi viteza, corpurilor este maximă, energia sistemului este suma

energiilor potenţială şi cinetică: cpin

tot WWW 2

unde ld

qWp

24

1 2

02,

şi 2

22maxm

Wc

În baza legii conservării energiei mecanice pentru sisteme în care acţionează forţe neconservative (de frecare) avem:

Ffrin

totfin

tot LWW (1)

unde mgdLFfr 2 .

Substituim în (1) şi alcătuim sistemul de ecuaţii:

mgdl

qm

ld

q

24

1

)2(4

1 2

0

2max

2

0

2

2

0 )2(4

1

ld

qmg

; ( ef FF )

Rezolvând sistemul, obţinem:

gllm

q

0

max2

5. [2] Un electron a

intrat într-un condensator plan cu lungimea de 5 cm sub unghiul de 30° faţă de armăturile lui şi a ieşit paralel cu ele prin punctul aflat la jumătatea distanţei dintre armături. Intensitatea câmpului electrostatic este egală cu 8,66 kV/m. Calculaţi energia cinetică iniţială a electronului şi distanţa dintre armăturile aflate în vid.

Se cere:

max

Se dă: l ; m ; q ; ; 0

Se cere: in

CW

d Se dă:

05,0l m; 030

E = 8660 V/m -19101,6- e C -31109,1 m kg



Rezolvare Vom neglija forţa de greutate a electronului. Mişcarea lui are loc conform legilor

mişcării unui corp aruncat sub un unghi în raport cu planul orizontal în lipsa rezistenţei aerului. Acceleraţia particulei (cu rol de acceleraţie în căderea liberă g! ), obţinută sub acţiunea forţei câmpului electrostatic omogen este:

m

Eea .

Alegem originea sistemului de coordonate xOy în punctul prin care electronul a intrat în câmpul electrostatic (fig. 9).

Mişcarea electronului poate fi descompusă în două mişcări rectilinii: 1. mişcare uniformă de-a lungul axei Ox; 2. mişcare uniform accelerată de-a lungul axei Oy. Scriem ecuaţiile mişcării: 1) pe axa Ox: cos1tx (1)

2) pe axa Oy: 21

2

1 2sin

2sin t

m

Eet

atty . (2)

Proiecţiile vitezelor: cos1tx şi tm

Eey sin1 .

Din enunţul problemei rezultă că la momentul ieşirii din câmpul electric 0y , deoarece

vectorul vitezei particulei este orientat orizontal şi

tm

Ee sin1 . (3)

Din condiţiile problemei reiese:la ieşire, pe orizontală, particula a parcurs distanţa lx .

Din ( 1 ) exprimăm cos1

lt (4)

şi substituind în (3), obţinem:

cossin

21

eElm (5)

şi cossin2

eElW in

c

La ieşirea din câmp electronul s-a ridicat pe verticală la o înălţime egală cu jumătate din distanţa dintre armăturile condensatorului (înălţimea maximă a corpului aruncat sub un unghi faţă de orizont). Din (2),(4) şi (5) obţinem: ltgd Răspuns: Energia cinetică iniţială a electronului este egală cu 8-10-17 J.

Distanţa dintre armăturile condensatorului este de 2,89 cm. III. MECANICĂ ÎN ELECTROMAGNETISM

1.[3] Într-un câmp magnetic omogen cu inducţia B se află două şine verticale lungi, paralele, situate la distanţa l în acelaşi plan perpendicular pe liniile câmpului magnetic. Pe şinele legate la capetele de sus cu un rezistor ce are rezistenţa R, poate aluneca fără frecare o bară omogenă de masă m. Aflaţi viteza staţionară maximă a barei peste un anumit timp.



Rezolvare La eliberarea barei începe variaţia (creşterea) fluxului magnetic prin suprafaţa conturului închis. În contur apare curentul de inducţie şi forţa electromagnetică, care creşte până o egalează pe cea de greutate. Din acest moment viteza nu mai creşte (fig. 10). Conform legii inducţiei electromagnetice, t.e.m de inducţie lBvi max .

În baza legii lui Ohm R

lBIi

max .

Deoarece din acest moment viteza barei este constantă, energia cinetică a ei nu se mai modifică. Lucrul pozitiv al forţei de greutate va fi egal cu variaţia negativă a energiei potenţiale a barei:

pG WL ,

unde mghLG , iar th max

In baza legii conservării energiei (în lipsa rezistenţei firelor de conexiune şi a barei), căldura ce se degajă pe rezistorul R este GLQ ;

ori RtItmg i2

max .

Luând în consideraţie legea lui Ohm, obţinem:

RtR

lBtmg

2

2max

22

max

,

de unde 22max lB

mgR .

Propunem cititorilor: stabiliţi dependenţa de timp a vitezei barei care porneşte din starea de repaus, dacă rezistorul va fi înlocuit cu un condensator de capacitatea C.

Răspuns: 22lCBm

mgt

.

2. [1] O bilă are masa m , sarcina

electrică q > 0, este legată de un fir izolator ideal cu lungimea l, fiind suspendată într-un câmp magnetic omogen având inducţia B

şi unul

electric omogen cu intensitatea E

(fig. 11).

Ce viteză minimă orizontală trebuie imprimată bilei pentru ca ea să efectueze o rotaţie în plan vertical. Dar dacă firul este înlocuit cu o bară

subţire izolatoare de aceeaşi lungime l ? Analizaţi situaţiile când lipseşte unul din câmpuri ori lipsesc ambele. Rezolvare Reprezentăm forţele de greutate, electrică şi forţa Lorentz.

Se cere: υmax

υ( t ) Se dă: B m R l C

Se cere: υ0

Se dă: B E m l

m

G

B

meF

h

C

R .10.Fig



1) Bila electrizată este legată de fir. Scriem legea conservării energiei (forţa Lorentz nu efectuează lucru mecanic):

a) mglm

qElm

22

22

220

; (fig. 12) (1)

b) mglm

qElm

22

22

220

; (fig. 13) (2)

Scriem legea a doua a lui Newton (ţinând seama că din condiţia ca viteza υ0 să fie minimă rezultă că în punctul superior al traiectoriei tensiunea elastică din fir lipseşte):

pentru a): qEBqmgl

m 2

0 ;

şi pentru b): qEBqmgl

m 2

0 .

Ori pentru a): 0)(2 m

qElg

m

qBl , de unde

m

qElgl

m

qBl

m

qB 2)

2(

2

; (3)

şi pentru b) 0)(2 m

qElg

m

qBl , de unde

m

qElgl

m

qBl

m

qB 2)

2(

2

. (4)

Din formulele (1), (3) şi (2), (4) obţinem:

pentru a): ))(4

11()2

(25

522

20 lBq

qEmgm

m

qBl

m

qElgl

, (5)

şi pentru b): ))(4

11()2

(25

522

20 lBq

qEmgm

m

qBl

m

qElgl

. (6)

În lipsa câmpului electric din (5) şi (6) obţinem:

o

0

gm

LF

B

)a E

eF

eL FFmg

.12.Fig

o

0

gm

LF

B

)b

E

eF

Le FFmg

.13.Fig



pentru a): )4

11()2

(2522

22

0 lBq

gm

m

qBlgl

şi pentru b): )4

11()2

(2522

22

0 lBq

gm

m

qBlgl ; (vezi problema 14.57 din [2])

În lipsa câmpului magnetic avem:

pentru a):

m

qEmg

m

qEg

5550 ; dacă mg = qE, atunci υ0 = 0 şi

bila urcă singură la înălţimea 2 ;

pentru b):

m

qEmg

m

qEg

5550 .

Dacă corpul mic m este fixat de o bară rigidă uşoară, atunci în punctul superior al traiectoriei viteza se anulează (şi FL = 0 !). Aplicăm legea conservării energiei:

în cazul a): mgqEm

222

20

; de unde

m

qEmg

40 . (7)

Dacă mg = qE, atunci υ0 = 0 şi bila va urca singură la înălţimea 2 !

în cazul b ) mgqEm

222

20

; de unde

m

qEmg

40 . (8)

În lipsa ambelor câmpuri, din (5) ori (6) avem: υ0 = g5 , pentru fir,

şi din (7) ori (8): υ0 = g4 , pentru bară (vezi problema 6.37 din [ 4 ]).

3. [1] Un corp mic are masa m, sarcina electrică

q> 0 şi începe să alunece din punctul superior al unui cilindru neted fixat, având raza R.La ce înălţime se va desprinde corpul ? Mişcarea are loc într-un câmp magnetic omogen (fig.14).

Rezolvare. Reprezentăm forţele în punctul

în care corpul mic se desprinde de pe suprafaţa cilindrului. (fig. 15). Scriem legea conservării energiei:

2mR = 0,5mυ2 + mgh (1)

şi legea a doua a dinamicii în proiecţii:

mgcosα + qBυ = R

m 2, (2)

undeR

Rh cos . (3)

Rezolvând sistemul acestor trei ecuaţii, obţinem:

3

56

9 2

22 R

gm

RBqRg

m

qBR

mg

qBRh

.

Se cere: h Se dă: B q R m



În lipsa câmpului magnetic 3

5Rh (vezi problema 6.49 din [4]).

IV. Mecanică în optică

1. O lentilă ce are convergenţa egală cu 0,2 D este fixată orizontal la o înălţime mare. Dintr-un punct aflat pe axa optică principală la distanţa de 22,5 m sub lentilă este lansată vertical în sus o bilă cu viteza iniţială de 20 m/s. Neglijaţi rezistenţa aerului şi determinaţi cât timp va exista imaginea reală micşorartă, reală mărită şi virtuală a bilei. Care era viteza bilei la momentul când imaginea ei era la infinit ? Care este mărirea la momentul când bila se afla la înălţimea maximă?

Rezolvare Calculăm distanţa focală a lentilei

Cf

1 = 5 m.

Orientăm axa OY vertical în sus - ea coincide cu axa optică principală a lentilei (fig. 16). Focarul real al lentilei se află la distanţa de 17,5 m de la originea axei. Scriem ecuaţia mişcării bilei, considerând g = 10 m/s2

y = 20t - 5t2 . Din condiţia y = 0 obţinem timpul total de

zbor t0 = 4 s. Imaginea bilei va fi reală şi micşorată pe primii 12,5 m de zbor (până în punctul 2F).

Rezolvăm ecuaţia 12,5 = 20t-5t2 şi obţinem că peste t11 = 0,78 s bila se află la înălţimea

de 12,5 m pentru prima oară, iar peste t21= 3,22s - a doua oară, mişcându-se în jos din acest

punct până la punctul de lansare timp de 0,78 s. Imaginea va fi reală şi micşorată timp de t1 = 2t1

1 = 1,56 s. Imaginea bilei va fi reală şi mărită pe următorii 5 m (distanţa dintre 2F şi F).

Rezolvăm ecuaţia 17,5 = 20t-5t2 şi obţinem soluţiile: peste 13t = 1,29 s bila trece prin

punctul cu coordonata 17,5 m prima dată, mişcându-se în sus, iar peste 14t = 2,58 s - a doua

oară, mişcându-se în jos. Imaginea ei va fi reală şi mărită timp de: t2 = \11

32 tt = 2(1,29 s -0,78 s) = 1,02 s. Imaginea bilei în lentilă va fi virtuală în intervalul

de timp cât se va afla între lentilă şi focar: t3 = 2 (0,5t0 –

\3t ) = 2 (2 s – 1,29 s) = 1,42 s.

Verificăm dacă t0 = t1 + t2 + t3: t0 = 1,56 s + 1,02 s + 1,42 s = 4 s.

La momentul când bila trece prin focar, imaginea ei este la infinit. Din formula lui Galileo Galilei:

gfh

2

20

2

,

obţinem viteza bilei atunci când ea trece prin focar: υ = 7,07 m/s.

Calculăm înălţimea maximă de zbor g

h2

20

max

= 20 m. La acest moment bila se află

la distanţa x1 = 2,5 m de la lentilă, imaginea ei fiind virtuală. Scriem formula lentilei subţiri la acest moment:

Se cere: t1 t2

t3

υ β Se dă: C = 0,2 Dpt υ = 20 m/s h = 22.5 m



21

111

xxf ,

de unde 1

12 xf

fxx

= 5 m (construiţi imaginea aflată în focar !).

Mărirea dată de lentilă1

2

x

x = 2.

2. (MФТИ, admitere 1990 ) Paralel cu axa optică principală a unei lentile convergente subţiri ce are distanţa focală de 6 cm, la distanţa h = 3 cm de la ea se mişcă rectiliniu o gâză cu viteza constantă de 2 mm/s. Aflaţi viteza deplasării imaginii gâzei la momentul când ea trece prin punctul aflat la distanţa de 3 cm de la lentilă (fig. 17). Rezolvare

Imaginea gâzei în lentilă va fi virtuală, deoarece x1 < f (fig.18).

Scriem formula lentilei subţiri

21

111

xxf , (1)

de unde

1

12 xf

fxx

. (2)

Fie tx 1 deplasarea gâzei într-un interval foarte mic de timp; în acelaşi interval de timp imaginea se va deplasa cu cos2 tux , unde

22cos

hf

f

. (3)

Distanţa obiect-lentilă x1 = 0,5 f se va micşora cu Δx1 = υΔt, iar distanţa lentilă - imagine se va micşora cu Δx2 = uΔt cos a. Substituim în formula (1):

21

12

2121

11

cos

111

xx

xx

xxtuxtxf

.

După efectuarea transformărilor algebrice şi omiterea termenului υΔt 2u cos a (el fiind foarte mic), avem:

Se cere: u – viteza imaginii Se dă: f = 6 cm h = 3 cm υ = 2 mm/s x1 = 0,5f = 3 cm

F

h

.17.Fig



cos21

22

x

xu . (4)

Substituind formulele (2) şi (3) în (4) obţinem:

f

hfu

224

.

Numeric: s

cmu 54,0 .

3. (МИФИ) O bilă mică este aruncată

orizontal cu viteza de 20 m/s şi se mişcă în lungul axei optice principale a unei lentile convergente cu distanţa focală f =10 cm, ciocnindu- se perfect elastic cu ea. Lentila subţire este fixată de un suport care se poate deplasa orizontal fără frecare. După ciocnire, bila are viteza opusă celei iniţiale. Cât timp va exista imaginea virtuală a bilei în lentilă ? Rezistenţa aerului nu se consideră. Masele m şi M nu se cunosc.

Rezolvare. Vom neglija forţa de greutate a bilei (fig.19). Imaginea bilei va fi vituală atât timp cât ea se mişcă pe distanţa d<f.

unde f

t 1 este timpul în care bila parcurge distanţa focală până la

ciocnirea cu lentila, iar 21

2 uu

ft

este timpul în care imaginea bilei

va fi virtuală după ciocnire; u1+ u2 este viteza relativă a bilei în raport cu suportul (lentila ) după ciocnire. Trebuie aflat timpul t = t1 + t2. Pentru a determina vitezele u1 şi u2 scriem legea conservării energiei:

222

22

21

2 Mumum

, (1)

unde u1 şi u2 sunt vitezele bilei şi, respectiv, a suportului şi lentilei după ciocnirea perfect elastică.

Legea conservării impulsului în formă vectorială este 21 uMumm

, iar în proiecţii:

21 Mumum (2) Din formulele (1) şi (2) alcătuim şi rezolvăm sistemul de ecuaţii:

22

21

2 )( Muum

21)( Muum

Obţinem: 21 uu .

În final : v

fttt

221 , t = 0,01 s.

Remarcă: 1. Timpul cât există imaginea virtuală nu depinde de masele m şi M.

2. Dacă m << M, atunci 12 ,0 uu , iar v

ftt

22 1 .

Se cere: t Se dă: υ = 20 mm/s f = 10 cm = 0,1 m



V. Mecanică în fizica atomului 2. [l] Un proton ce are energia 1 MeV se ciocneşte cu o particulă α şi ricoşează sub un

unghi de 90°. Aflaţi energia protonului şi a particulei α după ciocnirea perfect elastică.

Rezolvare Scriem şi

reprezentăm legea conservării impulsului sub formă vectorială:

aapppp umumm

În baza teoremei lui Pitagora (fig.20):

222222 umumm pppp (1)

Scriem legea conservării energiei cinetice

222

222

umumm pppp (2)

Din datele problemei şi ecuaţiile (1) şi (2), rezultă sistemul de ecuaţii:

22222 )( umum ppp

2222 )( umum ppp => 22

2

5pp u

pmm 4

Răspuns: MeVWW pp 6,06,01 , MeVW 4,0 .

3.[l] Un proton zboară orizontal cu viteza de 4,6◌۟•106 m/s şi se ciocneşte frontal cu un atom de heliu imobil, liber. După ciocnire, protonul ricoşează înapoi cu o viteză de două ori

mai mică, iar atomul se excită. Calculaţi lungimea de undă a radiaţiei emise de către atomul de heliu la revenirea acestuia în starea iniţială, neexcitată. Rezolvare Vom aplica legea conservării impulsului în proiecţii pe direcţia orizontală (1) şi legea conservării energiei (2) (fig.21). Rezolvăm sistemul de ecuaţii:

211 5,0 ummm Hepp ; (1)

chummmHepp 282

22

21

21 ,(2)

pHe mm 4

şi obţinem:

)3

1(3

8

21

He

pp m

mm

hc

. Numeric:

nm600 .

Se cere: Wp

1

Wa

Se dă: mp = 1 u . a ma = 4 u . a Wp = 1 MeV

Se cere: λ Se dă: υ1 = 4,6•106 m/s u1 = 0,5 υ1

phe mm 4

h = 6,63• 10- 34 J• s c = 3• 108 m / s



Probleme propuse pentru rezolvare

1. [2] La mijlocul unui cilindru lung, închis la capete, se află un piston mobil subţire cu masa de 1 kg şi aria secţiunii egală cu 20 cm2. Presiunea de ambele părţi este normală. Determinaţi raportul volumelor aerului din cilindru, dacă el este pus în mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară de 110 s în plan orizontal în jurul axei verticale ce trece prin unul din capete. In timpul rotaţiei distanţa de la axa verticală până la piston este de l m. Temperatura este constantă. Frecarea lipseşte. (R.: 1,62)

2. [2] În interiorul unui vas cilindric lung, izolat termic două pistoane de masă 1,5 kg fiecare au vitezele iniţiale 30 m/s şi 10 m/s orientate spre dreapta. Temperatura gazului monoatomic, în cantitate de un mol, la acest moment este egală cu 300 K. Până la ce temperatură maximă se va încălzi gazul închis între pistoane? Determinaţi temperatura maximă a gazului, dacă viteza mai mică este orientată spre stânga. Frecarea şi presiunea externă lipsesc. (R.: 312 K ; 348 K )

3. [2] Un electron, având viteza iniţială egală cu 1 Mm/s, se apropie de la o distanţă mare de alt electron, liber, aflat în repaus. Determinaţi forţa de interacţiune maximă dintre particule. (R.: 0,226 nN)

4. [3] Doi electroni aflaţi la moment la distanţa d (fig. 22) au vectorii vitezelor

in acelaşi plan şi

formează unghiul α cu orizontul. La ce distanţă minimă se vor apropia electronii ?

(R.: 22

02

2

cos4 dme

de

)

5. [2] Două corpuri mici au masele 9 g fiecare şi sunt legate de un fir cu lungimea de 2

m. Corpurile au sarcinile egale cu 10 μC fiecare şi se află pe o suprafaţă orizontală mare. Firul este tăiat. Calculaţi distanţele parcurse de fiecare corp până la oprire şi vitezele maxime ale corpurilor. Determinaţi forţa de respingere a corpurilor la momentul când ele au viteze maxime. Coeficientul de frecare dintre corpuri şi suprafaţă este egal cu 0,1. (R.:5,25 m; 0,67 m/s; 9 mN)

6. [2] O particulă a intrat perpendicular pe liniile câmpului electric omogen al unui condensator plan, deplasându-se la ieşire cu 8,8 mm spre armătura cu sarcină pozitivă. Identificaţi particula, dacă ea a părăsit câmpul cu intensitatea de 1000 V/m peste timpul egal cu 10 ns. Aflaţi variaţia energiei cinetice a particulei.(R.: electronul, cW = 8,8 eV).

7. [2] Un inel subţire cu raza R este încărcat cu sarcină electrică pozitivă, având

densitatea liniară (C/m). Stabiliţi dependenţa potenţialului în punctele de pe axa inelului în funcţie de distanţa acestora de la centrul lui. Cu ce viteză va trece un electron prin centrul inelului fixat ce are sarcina electrică pozitivă cu densitatea liniară 0,1 nC/m ? Iniţial electronul se afla în repaus pe axa inelului la o distanţă la centrul lui egală cu raza.

(R.: 22

02

1)(

xR

Rx

; 7,6 Mm/s.)

8. [3] O sferă cu pereţii subţiri din material izolator are masa M, raza R L

A

.23.Fig



şi sarcina electrică Q. În pereţii sferei sunt două găuri mici diametral opuse. La momentul iniţial sfera este în repaus. De la depărtare mare, pe dreapta care trece prin cele două găuri, se mişcă cu viteza iniţială υ o particulă cu masa m şi sarcina electrică q de acelaşi semn. Cât timp se va mişca particula în interiorul sferei ?

R.: )]2

)(1(

2[

20 RMm

mMqQR

9. [2] O bară omogenă de aluminiu se deplasează fără frecare cu o viteză staţionară de 0,84 m/s pe două conductoare paralele, lungi, verticale, fiind în contact permanent cu ele. Determinaţi inducţia câmpului magnetic omogen, liniile căruia sunt orientate orizontal. Rezistenţa conductoarelor nu se consideră. (R.: 30 mT).

10. O lentilă convergentă cu puterea optică de 10 Dpt, are masa de 100 g şi cade fără viteză iniţială, în lipsa rezistenţei aerului, din poziţia arătată pe desen (fig. 23) peste un resort uşor, vertical ce are lungimea L = 10 cm, constanta de elasticitate egală cu 50 N/m şi rămâne lipit de el. Determinaţi distanţa de la lentilă până la imaginea punctului A la momentul când viteza lentilei este maximă. (R.: 0,4 m)

11. O lentilă ce are convergenţa egală cu 0,04 Dpt este fixată orizontal la o înălţime mare. De la înălţimea de 45 m în lungul axei optice principale a lentilei începe să cadă spre lentilă fără viteză iniţială o bilă. Neglijaţi rezistenţa aerului şi determinaţi cât timp va exista imaginea reală a bilei şi cât timp - cea virtuală. (R.: 2 s; 1 s).

12. (МФТИ, admitere 1990) Un ţânţar zboară cu viteza de 55 mm/s spre o lentilă divergentă subţire în lungul unei drepte ce trece prin unul din focare şi care formează unghiul de 300 cu axa optică principală (fig. 24). Aflaţi viteza deplasării imaginii la momentul când ţânţarul trece

prin planul focal. R.: [ 8

3mm/s]

13. (МИФИ [1]) După ciocnirea centrală a unui proton cu un atom de hidrogen imobil, liber, protonul îşi continuă mişcarea în aceeaşi direcţie cu viteza de 4105.1 m/s. Atomul trece în stare excitată, apoi după un timp emite o radiaţie electromagnetică cu lungimea de undă egală cu 132 nm. Aflaţi viteza protonului până la ciocnire. (R.: 7,5·104 m/s). REFERINŢE 1. Revista „KBАHT", Colecţia 1971- 2001. 2. Culegere de probleme de fizică pentru clasele 10 -12. M. Marinciuc, S. Rusu, I. Scutelnic,V. Gheţu, A. Homenco, M. Miglei. – Chişinău, Universul pedagogic, 2008. 3. Задачи по физике, noд peд. O. H. Caвчeнкo. – MOCKВА, Hayкa, 1988. 4. Н. И. Гольдфарб. Сбopник вoпросов и задач по общей физике. – Москва, Высшая школа, 1973. 5. Fizica şi Tehnologiile Moderne, vol.1, nr.2, 2003.

Primit la redacţie: 12 iunie 2011

F

030

F

.24.Fig

26 probleme, concursuri, olimpiade probleme de fizicĂ

Documents