2.3 theorie linearer systeme - tu dresden · 2.3.3 faltungsintegral einheitsimpuls (t): antwort...

34
2.3 Theorie linearer Systeme

Upload: others

Post on 20-Oct-2019

4 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

2.3 Theorie linearer Systeme

Page 2: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

2.3.1 Grundsätzliche Methode

Page 3: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ ….. y(t) = y1(t)+y2(t)+y3(t)+ …..

zerlegen

einzeln berechnen

überlagern

Page 4: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ ….. y(t) = y1(t)+y2(t)+y3(t)+ …..

zerlegen

einzeln berechnen

überlagern

Definition: ElementarsignalUnter einem Elementarsignal versteht man eine Klasse von Zeitfunktionen,aus denen jeder beliebige Signalverlauf zusammensetzbar ist.

Page 5: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..

x1(t)

x2(t)

x3(t) …..

zerlegen

Page 6: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..

x1(t)

x2(t)

x3(t) …..

y1(t)

zerlegen

einzeln berechnen

Page 7: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..

x1(t)

x2(t)

x3(t) …..

y1(t)

y2(t)

zerlegen

einzeln berechnen

Page 8: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..

x1(t)

x2(t)

x3(t) …..

y1(t)

y2(t)

y3(t)…..

zerlegen

einzeln berechnen

Page 9: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ ….. y(t) = y1(t)+y2(t)+y3(t)+ …..

x1(t)

x2(t)

x3(t) …..

y1(t)

y2(t)

y3(t)…..

zerlegen

einzeln berechnen

überlagern

Page 10: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

2.3.2 Gültigkeitsvoraussetzungen

Page 11: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

y(t-t)y(t)

y

t

t

Drei Forderungen an Elementarsignale:

1. Jedes „vernünftige“ Eingangssignal muss sich aus ihnen zusammensetzenlassen Für Rechteck-Impulse erfüllt

2. Sie müssen mathematisch einfach behandelbar sein Für Rechteck-Impulse erfüllt

3. Sie müssen experimentell leicht nachgebildet werden können Für Rechteck-Impulse erfüllt

Page 12: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

Drei Forderungen an die Systeme:

1. Kausalität in natürlichen Systemen immer erfüllt

2. ZeitinvarianzAlterung, Drift, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein

3. Linearität Nichtlinearitäten müssen vernachlässigbar sein

Page 13: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

Definition: KausalitätEin System wird kausal genannt, wenn jedes Ausgangssignal y(t) bis zu irgendeinem Zeitpunkt t1 ausschließlich vom Verlauf des zugehörigen Eingangssignals x(t) bis zu diesem Zeitpunkt abhängt

Page 14: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

Drei Forderungen an die Systeme:

1. Kausalität in natürlichen Systemen immer erfüllt

2. ZeitinvarianzAlterung, Drift, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein

3. Linearität Nichtlinearitäten müssen vernachlässigbar sein

Page 15: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

t

t

t

t

x1(t)

x2(t) f(x2(t))

f(x1(t))

Zeitinvarianz:

Page 16: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

Drei Forderungen an die Systeme:

1. Kausalität in natürlichen Systemen immer erfüllt

2. ZeitinvarianzAlterung, Drift, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein

3. Linearität Nichtlinearitäten müssen vernachlässigbar sein

Page 17: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

SYSTEM

nichtlinear linearDas Superpositionsprinzip gilt nicht :

y1 = f( x1(t)) y2 = f( x2(t))

y y1 + y2 = f( x1(t)) + f( x2(t))

y(t) f( x1(t) + x2(t))

Es gilt das Superpositionsprinzip:

y1 = f( x1(t)) y2 = f( x2(t))

y = y1 + y2 = f( x1(t)) + f( x2(t))

y(t) = f( x1(t) + x2(t) )

Lineare Systeme werden durch

linerae Differentialgleichungen

mit konstanten Koeffizienten beschrieben

Wiederholung:

Page 18: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

Beispiel statisches SystemEingabe-Peripherie (z.B. Tastatur)

Meß-Peripherie(z.B. Sensoren)

Stell-Peripherie(z.B. Aktoren)

Ausgabe-Peripherie (z.B. Bildschirm)

Rechner

Aöffnen

Zschließen

MElektromotor

100 %

0 %Schieber-position

Durchfluß

Strömungs-geschwindigkeit VS

Sensor(Fotozelle)

Lampe

Flügel-rad

Informations-Verarbeitung

I-Eingabe I-Ausgabe

I-Nutzung I-Gewinnung

VS / %

PS / %100

100

0

SYSTEMPS VS

Wiederholung:

Page 19: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

statischeKennliniey=f(x)

Approxi-mations-fehler

?x y

Statisches Systemmodell dieser Maschine

Wiederholung:

Page 20: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

Verhalten eines linearen Systems (Superposition)

t

t

t

t

t

t

x1(t)

x2(t)

x1(t) + x2(t) f(x1(t) + x2(t))

f(x2(t))

f(x1(t))

Wiederholung:

Page 21: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

2.3.3 Faltungsintegral

Page 22: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls

Höhe=1/ , Breite=Fläche=1

t

g(t)

System(t) g(t)

t

(t)

t

(t)

falls Breite gegen Null t 0

wird Höhe=1/ unendlich Einheitsimpuls entartet zum Dirac-Stoß (t),

t

(t)

Page 23: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

t

g(t)

System(t) g(t)

t

(t)

normierter Einheitsimpuls (t): Antwort g(t)auf den normierten Impuls

Höhe=1 , Breite=Fläche=

Page 24: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

für zeitinvariante Systeme gilt:

System(t) g(t)

t

g(t)

t

(t)

WENN

t

g(t-)

t

(t-)

DANN

Sobald man den Eingangsimpulsum nach rechts verschiebt

Page 25: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

für lineare Systeme giltaußerdem: System(t) g(t)

t

g(t)

t

(t)

t

x()g(t-)

t

x(t-)

UND

DANN

WENN

UND

x()g(t-)x(t-)

tt

Sobald man die Summe aller Signale bildet

tt

x(t-) x()g(t-)

Page 26: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

Systemx(t) y(t)

tt

x(t-) x()g(t-)

x(t) ~ x()(t-)

mit f1() = x()(t-) für t=const

x(t) ~ f1()

~ Fläche unter f1() für 0

= f1()d

x(t) = x()(t-)d

y(t) ~ x()g(t-)

mit f2() = x()g(t-) für t=const

y(t) ~ f2()

~ Fläche unter f2() für 0

= f2()d

y(t) = x()g(t-)d

Funktionen von zwei Variablen: von t und . Hier interessiert aber nur der Wert bei einem t=const:

Page 27: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

2.3.4 Stabilität

Page 28: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

Systemx(t) y(t)

Kraft Brücke Weg

Kraft

x(t)

Weg

y(t)

harmlose Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke

Page 29: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

Systemx(t) y(t)

Kraft Brücke Weg

Kraft

x(t)

Weg

y(t)

gefährliche Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke: Schwingungen

Page 30: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

Definition der Stabilität

Page 31: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

Systemx(t) y(t)

Kraft Brücke Weg

Kraft

x(t)

Weg

y(t)

harmlose Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke: BIBO-stabil

Bx

By

Page 32: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

Systemx(t) y(t)

Kraft Brücke Weg

Kraft

x(t)

Weg

y(t)

Bx

By

?

gefährliche Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke: BIBO-instabil

Page 33: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1

Tacoma Narrows Bridge (Washington, 7. November 1940)

Page 34: 2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls Höhe=1/ , Breite= Fläche=1