lyovasargsyanblog.files.wordpress.com · 2020. 9. 15. · 4 ¸²ê²¶ðøÆ Î²èàôòì²ÌøÀ...

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Ø²ÂºØ²îÆÎ²5

Ð³Ýñ³ÏñÃ³Ï³Ý ¹åñáóÇ 5-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ ¹³ë³·Çñù

4

¸²ê²¶ðøÆ Î²èàôòì²ÌøÀ ºì ÀÜ¸àôÜì²Ì ÜÞ²Ü²ÎàôØÜºðÀ

¸³ë³·ÇñùÁ Ï³½Ùí³Í ¿ Ý»ñ³ÍáõÃÛáõÝÇó ̈ 63 ¹³ë»ñÇó: ̧ ³ë»ñÁ ËÙµ³íáñí³Í »Ý6 ·ÉáõËÝ»ñáõÙ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ Ù»Ï áñáß³ÏÇ Ã»Ù³ÛÇ`1) µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÁ (1–9-ñ¹ ¹³ë»ñ), 2) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí(10–26¬ñ¹ ¹³ë»ñ), 3) Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ã³÷áõÙ (27–37-ñ¹ ¹³ë»ñ), 4) µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇµ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛáõÝÁ (38–46-ñ¹ ¹³ë»ñ), 5) ëáíáñ³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñ (47–58¬ñ¹ ¹³ë»ñ),6) Ë³éÁ Ãí»ñ (59–63¬ñ¹ ¹³ë»ñ):

¸³ë³·ñùÇ 63 ¹³ë»ñÇó 57¬Ý ÁÝ¹·ñÏáõÙ »Ý å³ñï³¹Çñ áõëáõÙÝ³Ï³Ý ÝÛáõÃÁ:ØÝ³ó³Í 6 ¹³ë»ñÁª §Ø»ÏÁ ¨ ½ñáÝ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇ §³ÕÛáõëÇÏÝ»ñÝ¦ »Ý. ÃíÇÑ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÁ ÑÇÝ ³ßË³ñÑÇ Ùï³ÍáÕÝ»ñÇ Ùáï¦, §Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ý ÙÇçÝ³¹³ñÛ³ÝÐ³Û³ëï³ÝáõÙ¦, §ºñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝÁ ̈ ×³ñï³ñ³å»ïáõÃÛáõÝÁ¦, §ä³ïÙáõÃÛáõÝÝ»ñÃí»ñÇ Ù³ëÇÝ¦, §ºñ³ÅßïáõÃÛáõÝÁ ¨ Ãí»ñÁ. äÛáõÃ³·áñ³ëÇ áÉáñïÝ»ñÇ Ù»Õ»¹ÇÝ¦,§Îáïáñ³Ï³ÛÇÝ Ãí»ñÁ ÑÇÝ ³ßË³ñÑáõÙ¦, ÁÝ¹·ñÏáõÙ »Ý áã å³ñï³¹Çñ ÝÛáõÃ ̈ Ýå³ï³ÏáõÝ»Ý Ýå³ëï»É ³ß³Ï»ñïÝ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ½³ñ·³óÙ³ÝÁ: ºíë Ù»Ï µ³ÅÇÝ å³ñáõÝ³ÏáõÙ¿ ³ÙµáÕç ÝÛáõÃÇÝ í»ñ³µ»ñáÕ Éñ³óáõóÇã Ñ³ñó»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ: ä³ñï³¹Çñ ÝÛáõÃÇÝí»ñ³µ»ñáÕ ³Ù»Ý ÙÇ ¹³ë áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù ÑÇÙÝ³Ï³Ý µ³Õ³¹ñÇãÝ»ñÁª ï»ë³Ï³ÝÙ³ë (Ýáñ ÝÛáõÃÇ ß³ñ³¹ñ³Ýù), Ýáñ ÝÛáõÃÇ Ñ»ï Ï³åí³Í Ñ³ñó»ñ ¨ í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ,Ñ³ñó»ñ ̈ í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ³ÙµáÕç ³Ýó³Í ÝÛáõÃÇ í»ñ³µ»ñÛ³É: àñáß ¹³ë»ñÇ ï»ë³Ï³ÝÙ³ëáõÙ µ»ñíáõÙ »Ý Ý³¨ ¹³ëÇ µáí³Ý¹³ÏáõÃÛ³ÝÝ ³éÝãíáÕ å³ïÙ³Ï³Ý ï»Õ»Ïáõ-ÃÛáõÝÝ»ñ: ²Û¹ å³ïÙ³Ï³Ý ï»Õ»ÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ýßí³Í »Ý ÑÇÝ Ó»é³·ñÇ Ã»ñÃ å³ïÏ»ñáÕÝß³Ýáí.

àõëáõÙÝ³ëÇñíáÕ ³é³ñÏ³Ý ³ß³Ï»ñïÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³í»ÉÇ ·ñ³íÇã ¹³ñÓÝ»ÉáõÝå³ï³Ïáí µáÉáñ ¹³ë»ñáõÙ ïñíáõÙ »Ý Ñ»ï³ùñùÇñ µáí³Ý¹³ÏáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕËÝ¹ÇñÝ»ñ: ¸ñ³Ýù ³ÝÙÇç³Ï³Ýáñ»Ý ã»Ý Ï³åíáõÙ ïíÛ³É ¹³ëÇ áõëáõÙÝ³Ï³Ý ÝÛáõÃÇÑ»ï ̈ áñ¨¿ Ï»ñå ãåÇïÇ ³½¹»Ý ³ß³Ï»ñïÝ»ñÇ ÏáÕÙÇó ¹³ëÇ Ûáõñ³óÙ³Ý ·Ý³Ñ³ïÙ³Ýíñ³: ²Û¹ ËÝ¹ÇñÝ»ñÁ ãáñë ï»ë³Ï »Ýª Ñ»ï³ùñùñ³ß³ñÅ, ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý, ï»ëï³ÛÇÝ¨ ÑÇÝ ËÝ¹ÇñÝ»ñ:

Ð»ï³ùñùñ³ß³ñÅ ËÝ¹ñÇ ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ Ñ³Ý¹»ë µ»ñ»É áã Ó¨³Ï³ÝÙáï»óáõÙ ¨ µ³í³Ï³Ý³ã³÷ ëñ³ÙïáõÃÛáõÝ: ø³ÝÇ áñ ³í³Ý¹³µ³ñ µáõÝ Ñ³Ù³ñí»É ¿ÇÙ³ëïáõÃÛ³Ý ËáñÑñ¹³ÝÇß, áõëïÇ Ñ»ï³ùñùñ³ß³ñÅ ËÝ¹ÇñÝ»ñÁ ¹³ë³·ñùáõÙ ÝßíáõÙ»Ý ³Ûëå»ë.

îñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ËÝ¹ñÇ ÉáõÍáõÙÁ ëï³óíáõÙ ¿ ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇóÑ»ï¨áÕ³Ï³Ý Ùï³Ñ³Ý·áõÙÝ»ñ Ï³ï³ñ»Éáõ, ³ÛëÇÝùÝª ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³ÝÙï³Í»É³Ï»ñå ¹ñë¨áñ»Éáõ ÙÇçáóáí: îñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ï»ùëï»ñÇ Ñ³Ù³ñµÝáõÃ³·ñ³Ï³Ý ¿ & Ýß³ÝÇ ·áñÍ³ÍáõÃÛáõÝÁ, áõëïÇ ³ÛëåÇëÇ ËÝ¹ÇñÝ»ñÁ¹³ë³·ñùáõÙ ÝßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.

î»ëï³ÛÇÝ ËÝ¹ÇñÁ ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿ Ñ³Ý¹»ë µ»ñ»É ³é³í»É³·áõÛÝ¹ÇïáÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¨ ÇñáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ áã µ³ó³Ñ³Ûï Ï³å»ñÁ ï»ëÝ»Éáõ áõÝ³Ïáõ-ÃÛáõÝ: àõß³¹Çñ ÉÇÝ»Éáõ å³Ñ³ÝçÁ ËáñÑñ¹³Ýß»Éáõ Ñ³Ù³ñ ¹³ë³·ñùáõÙ ·áñÍ³ÍíáõÙ ¿ ³Û¹ÇÙ³ëïáí ëáíáñ³µ³ñ ÏÇñ³éíáÕ Ýß³ÝÁ.

ÐÇÝ ËÝ¹ÇñÝ»ñÁ å³ïÏ»ñ³óáõÙ »Ý ï³ÉÇë, Ã» Ãí³µ³ÝáõÃÛ³Ý ÇÝã Ñ³ñó»ñ ¿ÇÝÑ»ï³ùñùñáõÙ Ù³ñ¹Ï³Ýó ³ÝóÛ³ÉáõÙ, ¨ ÇÝãåÇëÇÝ ¿ñ Ýñ³Ýó Ùï³Í»É³Ï»ñåÁ: Ø»ÝùµÝ³Ï³Ý »Ýù Ñ³Ù³ñ»É ÑÇÝ ËÝ¹ÇñÝ»ñÁ ¹³ë³·ñùáõÙ Ýß»Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍ»É Ù»ñÑÝ³·áõÛÝ å³ïÙ³Ï³Ý Ñáõß³ñÓ³ÝÝ»ñÇó Ù»ÏÇª ¶³éÝÇÇ ï³×³ñÇ áõñí³·Í»ñÁ.

5

Üºð²ÌàôÂÚàôÜ

ä²îÎºðÜºð, î²èºð, Âì²ÜÞ²ÜÜºð

²Ù»Ý Ù³ñ¹, Ñ»Ýó áñ ëÏëáõÙ ¿ Ù³ïÇï

û·ï³·áñÍ»É, ëáíáñ³µ³ñ ÷áñÓáõÙ ¿

ÇÝã¬áñ µ³Ý ÝÏ³ñ»É: ¸áõù ¿É »ñ¨Ç ëÇñáõÙ

»ù ÝÏ³ñ»É Í³é»ñ, ïÝ»ñ, ³ñ¨, å³ïÏ»ñ»É

Ù³ñ¹Ï³Ýó, Ï»Ý¹³ÝÇÝ»ñÇ: ÜÏ³ñÝ»ñÁ

³ñï³óáÉáõÙ »Ý ßñç³Ï³ ³ßË³ñÑÇ Ù»ñ

ÁÝÏ³ÉáõÙÁ ¨, µ³óÇ ¹ñ³ÝÇó, Ù»½ û·ÝáõÙ

»Ý Ñ³Õáñ¹³Ïóí»Éáõ ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï:

Þ³ï»ñÁ »ñµ»ù ã»Ý ï»ë»É, ûñÇÝ³Ï,

éÝ·»ÕçÛáõñ, ë³Ï³ÛÝ ÝÏ³ñÝ»ñÇ ßÝáñÑÇí

å³ñ½ å³ïÏ»ñ³óÝáõÙ »Ý ³Û¹

Ï»Ý¹³ÝáõÝ: ²ßË³ñÑÇ ï³ñµ»ñ »ñÏñÝ»ñÇ ß³ï »ñ»Ë³Ý»ñ ã»Ý ï»ë»É Ù»ñ

Ñ»ùÇ³Ã³ÛÇÝ ²ñ³ñ³ï É»éÁ, µ³Ûó ÝÏ³ñÝ»ñÁ Ýñ³Ýó ÑÝ³ñ³íáñáõÃÛáõÝ »Ý

ï³ÉÇë å³ïÏ»ñ³óÝ»Éáõ, Ã» Ý³ ÇÝã ï»ëù áõÝÇ:

²é³ñÏ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É Ý³¨ Ýñ³Ý ³Ù»Ý¨ÇÝ áã ÝÙ³Ý Ýß³Ýáí:

ÆÑ³ñÏ», áñå»ë½Ç ³Û¹ Ýß³ÝÁ µáÉáñÇÝ Ñ³ëÏ³Ý³ÉÇ ÉÇÝÇ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿

µ³ó³ïñ»É Ýñ³ ÇÙ³ëïÁ: ²é³ñÏ³Ý»ñÇ ³Û¹åÇëÇ å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ Ýñ³Ýó áã

ÝÙ³Ý, å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý Ýß³ÝÝ»ñáí (ËáñÑñ¹³Ýß³ÝÝ»ñáí) û·ï³·áñÍíáõÙ »Ý,

Ù³ëÝ³íáñ³å»ë, ³ßË³ñÑ³·ñ³Ï³Ý ù³ñï»½Ý»ñ Ï³½Ù»ÉÇë: úñÇÝ³Ïª

Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ Ñ³Ýù³ÛÇÝ ³ÕµÛáõñ, Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ ù³Õ³ù, ÇëÏ Ýß³ÝÁª

»ñÏ³ÃáõÕÇ:

ÊáñÑñ¹³Ýß³ÝÝ»ñáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ýß³-

Ý³Ï»É áã ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ, ÇÝã Ù»Ýù ï»ëÝáõÙ »Ýù,

³ÛÉ¨ ³ÛÝ, ÇÝã ÉëáõÙ »Ýù, ³ÛëÇÝùÝª

ÑÝãÛáõÝÝ»ñÁ: úñÇÝ³Ïª Ù»½ Ñ³Ù³ñ ³ÛÝù³Ý

ëáíáñ³Ï³Ý ³Ûµáõµ»ÝÁ ËáëùÇ ÑÝãÛáõÝÝ»ñÇ

å³ïÏ»ñáõÙÝ ¿: ÐÇß»Éáí, Ã» áñ ï³éÇÝ áñ

ÑÝãÛáõÝÝ ¿ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙª Ù»Ýù

Ï³ñáÕ »Ýù µ³ñÓñ³Ó³ÛÝ Ï³ñ¹³É

ï»ùëï»ñÁ:

6

¶ñÇ ³éÝ»É Ï³ñ»ÉÇ ¿ áã ÙÇ³ÛÝ ËáëùÁ, ³ÛÉ¨

»ñ³ÅßïáõÃÛáõÝÁª »ñ·»ñ, ëÇÙýáÝÇ³Ý»ñ, ûå»ñ³Ý»ñ:

²Û¹ µ³ÝáõÙ »ñ³ÅÇßïÝ»ñÇÝ û·ÝáõÙ »Ý Ýáï³Ý»ñÁ,

áñáÝù, ï³ñµ»ñ ïáÕ»ñáõÙ ·ñí»Éáí, ï³ñµ»ñ µ³ñÓ-

ñáõÃÛáõÝÝ»ñ áõÝ»óáÕ Ó³ÛÝ»ñ »Ý Ýß³Ý³ÏáõÙ:

Ò»½ ³ñ¹»Ý Í³ÝáÃ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ëå³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ »Ý: Üñ³Ýó ÙÇçáóáí Ù³ñ¹ÇÏ ·ñÇ »Ý³éÝáõÙ Ãí»ñÁ, áñáÝù û·ï³·áñÍíáõÙ »Ý ³é³ñÏ³-

Ý»ñÇ ù³Ý³ÏÝ»ñÁ Ñ³ßí»Éáõ ¨ Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ã³÷»Éáõ Ñ³Ù³ñ: ²ÛÝ Å³Ù³Ý³Ï,»ñµ ¹»é Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ ã¿ÇÝ ·áñÍ³ÍíáõÙ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÃÇí ·ñÇ ¿ñ ³éÝíáõÙÝñ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ùµ ·ÍÇÏÝ»ñáí: úñÇÝ³Ïª 12 ÃÇíÝ áõÝ»ñ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ï»ëùÁ, 27 ÃÇíÁ Ï·ñí»ñ ³Ûëå»ëª ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢,ÇëÏ 927689 ÃíÇ ·ñ³éáõÙÁ ãÇ ï»Õ³íáñíÇ ÝáõÛÝÇëÏ ÙÇ ù³ÝÇ ¿çáõÙ: ÐÇÙ³ï»ëÝáõ±Ù »ù, Ã» áñù³Ý Ñ³ñÙ³ñ ¿ Ãí»ñÁ ·ñÇ ³éÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñ·áñÍ³Í»ÉÁ: Âí»ñÇ ³Û¹åÇëÇ ë»ÕÙ ·ñ³éáõÙÁ ã³÷³½³Ýó Ï³ñ¨áñ ¿ Ý³¨ ³ÛÝå³ï×³éáí, áñ Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó ÏÛ³ÝùÁ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»É, Ñ³·»ó³Í ¿ Ãí»ñáí:ºÃ» Ãí»ñÁ ãÉÇÝ»ÇÝ, ¹Åí³ñ ÏÉÇÝ»ñ, ûñÇÝ³Ï, ÏáÕÙÝáñáßí»É Å³Ù³Ý³ÏÇ Ù»ç.Ù»Ýù ã¿ÇÝù ÇÙ³Ý³, Ã» ÑÇÙ³ áñ Ãí³Ï³ÝÝ ¿, ³ÙëÇ áñ ûñÁ, ¨ ÝáõÛÝÇëÏ Ã» Å³ÙÁù³ÝÇëÝ ¿: Ø»Ýù ã¿ÇÝù Ï³ñáÕ³Ý³ ³ë»É, Ã» ù³ÝÇ ï³ñ»Ï³Ý »Ýù, ÇÝã ³ñÅ»Ù»Ï ÏÇÉá·ñ³Ù Ñ³óÁ, Ï³Ù áñù³Ý ¿ ê¨³Ý³ É×Ç ËáñáõÃÛáõÝÁ: ²é³Ýó Ãí»ñÇÇÙ³óáõÃÛ³Ý` ³ÝÑÝ³ñ ÏÉÇÝ»ñ ³íïáÙ»ù»Ý³ ¨ ÇÝùÝ³ÃÇé ëï»ÕÍ»É, ·áñÍ³ñ³Ý¨ ¿É»Ïïñ³Ï³Û³Ý Ï³éáõó»É, Ñ³Ù³Ï³ñ·Çã Ý³Ë³·Í»É ¨ Ãéã»É ïÇ»½»ñù:

Âí»ñÇ ¨ Ýñ³Ýó Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ù³ëÇÝ ÏËáëíÇ ³Ûë ¹³ë³·ñùáõÙ: Ø»ÝùÏå³ïÙ»Ýù Ó»½, Ã» ÇÝãáõ ̈ ÇÝãå»ë »Ý Ç Ñ³Ûï »Ï»É Ãí»ñÁ, ÇÝã ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ»Ý Ýñ³Ýóáí Ï³ï³ñíáõÙ, ̈ ÇÝã Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ áõÝ»Ý ³Û¹ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:²Ûë ³Ù»ÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ãí³µ³ÝáõÃÛáõÝ: Âí³µ³ÝáõÃÛ³ÝÁ ïÇñ³å»ï»ÉÁ ß³ïÏ³ñ¨áñ ¿, ù³ÝÇ áñ ³ÛÝ Ó»ñ Ñ»ï³·³ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ·Çï»ÉÇùÝ»ñÇ ÑÇÙùÝ ¿¨ µ³óÇ ¹ñ³ÝÇó` ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ³éûñÛ³ ÏÛ³ÝùáõÙ:

7

´Ü²Î²Ü Âìºð ºì ¼ðà

1 = 11 + 1 = 21 + 1 + 1 = 31 + 1 + 1 + 1 = 41 + 1 + 1 + 1 + 1 = 51 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 61 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 71 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 81 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9

²ÕÛáõë³Ï 1

1. Âì²ÜÞ²ÜÜºð

²ñ¹»Ý µ³í³Ï³ÝÇÝ Å³Ù³Ý³Ï ¿, ÇÝã ¹áõù Í³ÝáÃ »ù Ãí»ñÇÝ ¨ Ýñ³ÝóáíÏ³ï³ñíáÕ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: Ò»½ÝÇó ß³ï»ñÁ, ³Ýßáõßï, ÝÏ³ï»É »Ý, áñÃí»ñÁ ·ñÇ »Ý ³éÝíáõÙ ÁÝ¹³Ù»ÝÁ ï³ëÁ Ýß³ÝÝ»ñÇ ÙÇçáóáí, áñáÝù ÏáãíáõÙ»Ý Ãí³Ýß³ÝÝ»ñª

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9:

î»ë»°ù, ûñÇÝ³Ïª 623, 14, 30019, 8531, 444, 963, 123456789:

Âí»ñÇ ³Ûë Ññ³ß³ÉÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ µ³ó³ïñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ »Ï»ù ÑÇß»Ýù,Ã» ÇÝã ÇÙ³ëï áõÝ»Ý ³Û¹ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ: ¸Çï»Ýù ³ÕÛáõë³ÏÁ.

1¬ÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ, ëÏë³Í2¬Çó, áñáß³ÏÇ ù³Ý³Ïáí Ù»Ï»ñÇ ·áõÙ³ñÇ Ýß³Ý³ÏáõÙÝ ¿: úñÇÝ³Ïª 3 Ãí³Ýß³ÝÁ»ñ»ù Ù»Ï»ñÇ ·áõÙ³ñÇ Ýß³Ý³ÏáõÙÝ ¿, 8 Ãí³Ýß³ÝÁª áõÃ Ù»Ï»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝß³Ý³ÏáõÙÁ: ØÇÝã¹»é 0 ¨ 1 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÝ ³Û¹åÇëÇÝ ã»Ý. Ýñ³ÝùÑ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ »Ý Ûáõñ³Ñ³ïáõÏ Ãí»ñÇ, áñáÝó Ù³ëÇÝ Ó»½ Ïå³ïÙ»Ýù³í»ÉÇ áõß: ²ÛëåÇëáíª Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ áñáß Ãí»ñÇ Ï³ñ×, ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï Ýß³Ýå³ñáõÝ³ÏáÕ ·ñ³éáõÙÝ»ñ »Ý:

8

Âí³Ýß³ÝÝ»ñÁ, áñáÝù Ù»Ýù ·áñÍ³ÍáõÙ »Ýù, ëï»ÕÍí»É »Ý ÐÝ¹Ï³ë-ï³ÝáõÙ Ù»ñ Ãí³ñÏáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ ¹³ñ»ñáõÙ: ÐÇÙ³ ¹ñ³Ýù ÏáãíáõÙ »Ý³ñ³µ³Ï³Ý, ù³ÝÇ áñ ³ñ³µÝ»ñÇ ÙÇçáóáí ¿ áõëÛ³É ³ßË³ñÑÁ, Ù³ëÝ³-íáñ³å»ë ºíñáå³Ý, Í³ÝáÃ³ó»É ¹ñ³Ýó:

ÜÏ. 1. ì»ñÇÝ ïáÕáõÙ óáõÛó ¿ ïñí³Í, Ã» ÇÝãå»ë ¿ÇÝ ·ñíáõÙ ³ñ³µ³Ï³ÝÃí³Ýß³ÝÝ»ñÁ ÑÝáõÙ:

ÜÏ. 2. ²Ûëå»ë ¿ÇÝ ·ñÇ ³éÝíáõÙ áñáß Ãí»ñ ÐÇÝ ÐéáÙáõÙ: ÐéáÙ»³Ï³Ý Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ»ñµ»ÙÝ û·ï³·áñÍíáõÙ »Ý Ý³¨ ³ÛÅÙ, ûñÇÝ³Ïª ¹³ñ»ñÁ Ýß»ÉÇë, ·ñù»ñÇ·ÉáõËÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ³Ï³ÉÙ³Ý Ù»ç, Å³Ù³óáõÛóÝ»ñÇ Ãí³ï³Ëï³ÏÝ»ñÇÝ:

1. Æ±Ýã ¿ Ãí³Ýß³ÝÁ:2. ø³ÝÇ± Ãí³Ýß³Ý ¿ ·áñÍ³ÍíáõÙ Ãí»ñÇ ·ñ³éÙ³Ý Ñ³Ù³ñ:3. ÆÝãå»±ë »Ý ÏáãíáõÙ ̈ áñï»±Õ »Ý ëï»ÕÍí»É ³ÛÝ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ, áñáÝù Ù»Ýù

·áñÍ³ÍáõÙ »Ýù:4. ²ÛÅÙ ·áñÍ³ÍíáÕ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó µ³óÇª Ç±Ýã Ãí³Ýß³ÝÝ»ñ »Ý Ó»½ Ñ³ÛïÝÇ:5. Âí³Ýß³ÝÝ»ñÇó áñá±Ýù Ù»Ï»ñÇ ·áõÙ³ñÇ Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñ ã»Ý:6. à±ñ Ãí³Ýß³Ýáí ¿ Ýß³Ý³ÏíáõÙ Ù»Ï Ó»éùÇ Ù³ïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:7. à±ñ Ãí³Ýß³Ýáí ¿ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ß³µ³Ãí³ ûñ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:8. à±ñÝ ¿ Ó»ñ ëÇñ³Í Ãí³Ýß³ÝÁ:

9

9. ÆÝãå»±ë »Ý Ýß³Ý³ÏíáõÙ Ñ»ï¨Û³É ·áõÙ³ñÝ»ñÁ` Áëï 1¬ÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÇ.³) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, ¹) 1 + 1 + 1 + 1 + 1,µ) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, ») 1 + 1 + 1,·) 1 + 1 + 1 + 1, ½) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1:

10. ø³ÝÇ± ï³ñµ»ñ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñ »Ý ·áñÍ³Íí³Í 8306388 ÃíÇ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç:11. Ð³Û³ëï³ÝÇ Ð³Ýñ³å»ïáõÃÛáõÝáõÙ ßñç³Ý³éáõÃÛ³Ý Ù»ç »Ý í»ó ï³ñµ»ñ

³ñÅáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí Ù»ï³Õ³¹ñ³ÙÝ»ñ: ¸ñ³Ýó ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ·ñ»Éáõ Ñ³Ù³ñÃí³Ýß³ÝÝ»ñÇó ù³ÝÇ±ëÝ »Ý ·áñÍ³Íí³Í:

12. Î³ï³ñ»°ù ·áõÙ³ñáõÙ.³) 54 + 134, ») 1021 + 1934, Ã) 673 + 154,µ) 222 + 472, ½) 235 + 7, Å) 1234 + 489,·) 24 + 2515, ¿) 188 + 42, Å³) 1162 + 4894,¹) 502 + 1390, Á) 113 + 469, Åµ) 4894 + 1162:

13. Î³ï³ñ»°ù Ñ³ÝáõÙ.³) 89 – 19, ») 448 – 240, Ã) 125 – 108,µ) 467 – 66, ½) 57 – 28, Å) 2974 – 15,·) 961 – 21, ¿) 135 – 26, Å³) 2142 – 228,¹) 967 – 110, Á) 312 – 62, Åµ) 3563 – 1338:

14. 93-ÇÝ ÙÇ ÃÇí ·áõÙ³ñ»Éáí` ëï³ó»É »Ý 130: Ð»ï¨Û³É Ãí»ñÇó á±ñÝ ¿·áõÙ³ñí»É 93-ÇÝ. 8, 25, 36, 37, 19, 27:

15. 109-Çó ÙÇ ÃÇí Ñ³Ý»Éáí` ëï³ó»É »Ý 76: Ð»ï¨Û³É Ãí»ñÇó á±ñÝ ¿ Ñ³Ýí»É109-Çó. 25, 18, 33, 45, 32, 29:

16. Ð»ÍÛ³ÉÁ ³é³çÇÝ ûñÁ ³Ýó³í 62 ÏÙ, »ñÏñáñ¹ ûñÁª 15 ÏÙ¬áí ³í»ÉÇ: ø³ÝÇ±ÏÇÉáÙ»ïñ ³Ýó³í Ñ»ÍÛ³ÉÁ »ñÏáõ ûñáõÙ:

17. ¶ÛáõÕÝ áõÝÇ 5632 µÝ³ÏÇã: Üñ³ÝóÇó 1920¬Á ïÕ³Ù³ñ¹ÇÏ »Ý, 2053¬ÁªÏ³Ý³Ûù, ÙÝ³ó³ÍÝ»ñÁª »ñ»Ë³Ý»ñ: ø³ÝÇ± »ñ»Ë³ ¿ ³åñáõÙ ·ÛáõÕáõÙ:

18. Î³ñÙÇñ ½³ñ¹³ïáõ÷áõÙ Ï³ 10 Ù³ï³ÝÇ, Ï³åáõÛï ½³ñ¹³ïáõ÷áõÙª 7Ù³ï³ÝÇáí ³í»ÉÇ, ÇëÏ Ï³Ý³ã ½³ñ¹³ïáõ÷áõÙª 3 Ù³ï³ÝÇáí ³í»ÉÇ, ù³ÝÏ³åáõÛïáõÙ: ÀÝ¹³Ù»ÝÁ ù³ÝÇ± Ù³ï³ÝÇ Ï³ »ñ»ù ½³ñ¹³ïáõ÷»ñáõÙ:

19. ¶³ñÝ³ÝÁ ³Û·áõÙ ïÝÏ»óÇÝ 200 Í³é, áñáÝóÇó 48-Á ÝéÝ»ÝÇÝ»ñ ¿ÇÝ,ÙÝ³ó³ÍÝ»ñÁª ¹»ÕÓ»ÝÇÝ»ñ: ̧ »ÕÓ»Ýáõ ïÝÏÇÝ»ñÇó 52-Á ã³ñÙ³ï³Ï³É»óÇÝ:²Û·áõÙ ù³ÝÇ± ¹»ÕÓ»ÝÇ Í³ÕÏ»ó ³Û¹ ·³ñÝ³ÝÁ:

20. Èñ³óñ»°ù ¹³ï³ñÏ í³Ý¹³ÏÝ»ñÁ` ·ñ»Éáí ³ÛÝåÇëÇ Ãí»ñ, áñ ó³ÝÏ³ó³ÍÑ³ñ¨³Ý Ãí»ñÇ ½áõÛ·áõÙ ³ç ÏáÕÙÇ ¨ Ó³Ë ÏáÕÙÇ Ãí»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁÑ³í³ë³ñ ÉÇÝÇ 5-Ç.

21. ØÇ Í³éÇÝ Ýëï³Í ¿ñ 15 ×Ý×ÕáõÏ, ÇëÏ ÙÛáõëÇÝª 19: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Í³éÇóÃé³í 7 ×Ý×ÕáõÏ, ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇÝ Ýëï»ó ¨ë 10 ×Ý×ÕáõÏ: ÀÝ¹³Ù»ÝÁù³ÝÇ± ×Ý×ÕáõÏ »Õ³í »ñÏáõ Í³éÇ íñ³:

23

10

22. ¸ÕÛ³ÏáõÙ »ñ»ù ¹³ÑÉÇ× Ï³: ¸ñ³ÝóÇó ³é³-çÇÝáõÙ í³éíáõÙ »Ý 300 ÙáÙ»ñ: ºñÏñáñ¹ ¹³Ñ-ÉÇ×áõÙ í³éíáõÙ »Ý ³é³çÇÝÇó 50¬áí å³Ï³ë,ÇëÏ »ññáñ¹áõÙª »ñÏñáñ¹Çó 70¬áí å³Ï³ë ÙáÙ»ñ:ø³ÝÇ± ÙáÙáí ¿ Éáõë³íáñíáõÙ ¹ÕÛ³ÏÇ »ññáñ¹¹³ÑÉÇ×Á:

23. Æ±Ýã ÃÇí å»ïù ¿ ·áõÙ³ñ»É 101-ÇÝ, áñå»ë½Ç ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝÇ258-Ç ¨ 49-Ç ·áõÙ³ñÇÝ:

24. Æ±Ýã ÃÇí å»ïù ¿ Ñ³Ý»É 512-Çó, áñå»ë½Ç ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝÇ 176-Ç¨ 167-Ç ·áõÙ³ñÇÝ:

25. ø³Õ³ù ï³ÝáÕ ×³Ý³å³ñÑÁ, áñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 350 ÏÙ ¿, Ï³½Ùí³Í ¿í»ñ»ÉùÇó, í³Ûñ¿çùÇó ¨ ¨ë Ù»Ï í»ñ»ÉùÇó: ²é³çÇÝ í»ñ»ÉùÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ120 ÏÙ ¿, í³Ûñ¿çùÇÝÁª 90 ÏÙ: ì»ñ»ÉùÝ»ñÇó á±ñÝ ¿ ³í»ÉÇ »ñÏ³ñª ³é³çÇ±ÝÁ,Ã»± »ñÏñáñ¹Á:

26. ¶ñùÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ Ù³ë»ñÇ ¿ç»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ù³Ý³ÏÁ 120-áí ³í»ÉÇ¿, ù³Ý »ññáñ¹ Ù³ëÇÝÁ: ø³ÝÇ± ¿ç Ï³ ·ñùÇ »ñÏñáñ¹ Ù³ëáõÙ, »Ã» ³é³çÇÝ¨ »ññáñ¹ Ù³ë»ñÇ ¿ç»ñÇ ù³Ý³ÏÝ»ñÁ ÝáõÛÝÝ »Ý:

27. ØÇ ïáåñ³ÏáõÙ Ï³ñ 264 ÁÝÏáõÛ½, ÇëÏ ÙÛáõëáõÙ` 305: ²é³çÇÝ ïáåñ³ÏÇó»ñÏñáñ¹Á ï»Õ³÷áË»óÇÝ 82 ÁÝÏáõÛ½, ³å³ »ñÏñáñ¹Çó ³é³çÇÝÁ` 117ÁÝÏáõÛ½: ø³ÝÇ± ÁÝÏáõÛ½ »Õ³í ïáåñ³ÏÝ»ñÇó ³Ù»Ý Ù»ÏáõÙ:

28. ²Ù³ÛÇ Íáí³ËáñßáõÙ Ë³ñÇëË ¿ñ ·ó»É Ý³í³ïáñÙÇÕÁ: ²ÛÝ µ³ÝÇó Ñ»ïá,»ñµ Ý³í³ïáñÙÇÕÇÝ ÙÇ³ó³í ̈ ë 11 Ý³í, ÇëÏ 7-Á áõÕ¨áñí»óÇÝ Ý³í³ñÏáõ-ÃÛ³Ý, Ý³í³ïáñÙÇÕÝ ³ñ¹»Ý Ï³½Ùí³Í ¿ñ 35 Ý³íÇó: êÏ½µáõÙ ù³ÝÇ± Ý³í¿ñ Ùï»É Íáí³ËáñßÁ:

29. ²ÕµÛáõñÇó ÏáõÅáí µ»ñ³Í çñÇó í»ñóñÇÝ 4 ·³í çáõñ` Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ 2 É:¸ñ³ÝÇó Ñ»ïá ÏáõÅÇ Ù»ç ÙÝ³ó 5 É çáõñ: ÎáõÅÇ Ù»ç ÙÝ³ó³Í çáõñÁ áñù³Ýá±í¿ å³Ï³ë í»ñóñ³ÍÇó:

6, 5, 4, 3, 2, 1 Ãí»ñÁ ï»Õ³¹ñ»°ù ßñç³Ý³ÏÝ»ñÇ Ù»ç³ÛÝå»ë, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áõÕÕÇ íñ³ ·ïÝíáÕ Ãí»ñÇ·áõÙ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝÇ 12¬Ç:

11

2. ÂìºðÆ ¶ð²èàôØÀ

²ñï³·ñ»Ýù 1¬ÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÁ Ñ»ï¨Û³É Ó¨áí.

1 = 11 + 1 = 21 + 1 + 1 = 2 + 1 = 31 + 1 + 1 + 1 = 3 + 1 = 41 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4 + 1 = 5 ²ÕÛáõë³Ï 21 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 + 1 = 61 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 + 1 = 71 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7 + 1 = 81 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8 + 1 = 9

2¬ñ¹ ³ÕÛáõë³ÏÁ Ý»ñÏ³Û³óÝ»Ýù ³í»ÉÇ ë»ÕÙ ï»ëùáí.

1 = 1 1 + 1 = 2 5 + 1 = 6

2 + 1 = 3 6 + 1 = 73 + 1 = 4 7 + 1 = 84 + 1 = 5 8 + 1 = 9

²ÕÛáõë³Ï 3

Ø»Ýù ï»ëÝáõÙ »Ýù, áñ 3¬ñ¹ ³ÕÛáõë³ÏáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÃÇí, ëÏë³Í 2¬Çó,ëï³óíáõÙ ¿ª Ý³Ëáñ¹ÇÝ 1 ³í»É³óÝ»Éáí: ²Û¹ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁª 1¬Ç ³í»É³óáõÙÁ,ÇÑ³ñÏ», Ï³ñ»ÉÇ ¿ ß³ñáõÝ³Ï»Éª ëï³Ý³Éáí Ýáñ³Ýáñ Ãí»ñ, áñáÝùå³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ý ³í»ÉÇ áõ ³í»ÉÇ Ù»Í ù³Ý³Ïáí Ù»Ï»ñ: ÆÝãå»±ë ·ñÇ ³éÝ»Ýù³Û¹ Ýáñ Ãí»ñÁ: Üáñ Ãí³Ýß³ÝÝ»±ñ ÑáñÇÝ»Ýù: ²Ù»Ý¨ÇÝ. Ýáñ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÑáñÇÝ»ÉÁ å³ñï³¹Çñ ã¿: ÂÇíÁ Ýß³Ý³Ï»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ û·ï³·áñÍ»É³ñ¹»Ý áõÝ»ó³Í Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁª Ýñ³ÝóÇó ÙÇ ù³ÝÇëÁ ÏáÕù ÏáÕùÇ ·ñ»Éáí: ÀÝ¹áñáõÙ å³ÛÙ³Ý³íáñíáõÙ »Ý, áñ ³Û¹åÇëÇ ·ñ³éÙ³Ý ¹»åùáõÙ ³çÇó ³é³çÇÝÃí³Ýß³ÝÁ ÝßáõÙ ¿ ÃíÇ Ù»ç »Õ³Í ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, »ñÏñáñ¹Áªï³ëÝÛ³ÏÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, »ññáñ¹Áª Ñ³ñÛáõñÛ³ÏÝ»ñÇÝÁ, ¨ ³ÛÉÝ:

úñÇÝ³ÏÝ»ñáí óáõÛó ï³Ýù, Ã» ³Û¹ ÇÝãå»ë ¿ ³ñíáõÙ:

1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 :

10 ÃíÇ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç 1 Ãí³Ýß³ÝÁ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë, áñ ³Û¹ ÃÇíÁå³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Ù»Ï ï³ëÝÛ³Ï Ù»Ï»ñ, ÇëÏ 0 Ãí³Ýß³ÝÁ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë, áñ ³Û¹ï³ëÝÛ³ÏÇó µ³óÇ` áõñÇß Ù»Ï»ñ ³Û¹ ÃíÇ Ù»ç ãÏ³Ý:

12

2) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +

1 + 1 + 1 + 1 = 24 :

24 ·ñ³éáõÙÁ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë, áñ ³Û¹ ÃÇíÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ »ñÏáõ ï³ëÝÛ³Ï¨ ãáñë ÙÇ³íáñ:

3) Ø»Ï Ñ³ñÛáõñÛ³Ï ¨ ÛáÃ ÙÇ³íáñ å³ñáõÝ³ÏáÕ ÃÇíÝ áõÝÇ 107 ï»ëùÁ:²Ûëï»Õ Ó³ËÇó ³é³çÇÝ ï»ÕáõÙ Ýßí³Í ¿ Ñ³ñÛáõñÛ³ÏÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁª 1, Ó³ËÇó»ññáñ¹ ï»ÕáõÙª ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁª 7, ÇëÏ ï³ëÝÛ³ÏÝ»ñÇ µ³ó³Ï³ÛáõÃÛ³Ýå³ï×³éáí Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ï»ÕáõÙ ·ñí³Í ¿ 0:

4) 555 ÃÇíÁ ·ñÇ ¿ ³éÝíáõÙ ÙÇ³ÛÝ 5 Ãí³Ýß³ÝÇ û·ï³·áñÍÙ³Ùµ: ê³Ï³ÛÝ³Ûë ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ãí³Ýß³Ý áõÝÇ Çñ ÇÙ³ëïÁ, áñÁ Ï³Ëí³Í ¿Ýñ³ ·ñ³í³Í ¹ÇñùÇó. Ó³ËÇó ³é³çÇÝ 5¬Á ÝßáõÙ ¿ Ñ³ñÛáõñÛ³ÏÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ,»ñÏñáñ¹Áª ï³ëÝÛ³ÏÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, »ññáñ¹Áª ÙÇ³íáñÝ»ñÇÝÁ:

²ÛëåÇëáíª ó³ÝÏ³ó³Í ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñÇ ³éÝ»É ï³ëÁÃí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ÙÇçáóáí ³ÛÝ µ³ÝÇ ßÝáñÑÇí, áñ ÃíÇ ·ñ³éÙ³Ý Ù»çÃí³Ýß³ÝÇ ÇÙ³ëïÁ Ï³Ëí³Í ¿ Ýñ³ ·ñ³í³Í ¹ÇñùÇó:

Âí»ñÇ ·ñ³éÙ³Ý ³ÛÝ »Õ³Ý³ÏÝ»ñÁ, áñáÝóáõÙ Ãí³Ýß³ÝÇ ÇÙ³ëïÁÏ³Ëí³Í ¿ Ýñ³ ·ñ³í³Í ¹ÇñùÇó, ÏáãíáõÙ »Ý ¹Çñù³ÛÇÝ: ²Û¹åÇëÇÝ ¿ Ãí»ñÇ³ÛÅÙ ·áñÍ³ÍíáÕ ·ñ³éÙ³Ý »Õ³Ý³ÏÁ: ²ÛÝ ÏáãáõÙ »Ý Ý³¨ ï³ë³Ï³Ý, ù³ÝÇáñ Ýñ³ÝáõÙ ·áñÍ³ÍíáõÙ ¿ ï³ëÁ Ãí³Ýß³Ý:

13

Âí»ñÇ ·ñ³éÙ³Ý ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ëï»ÕÍí»É ¿ ÙÇçÇÝ¹³ñ»ñáõÙ ÐÝ¹Ï³ëï³ÝáõÙ, ³å³ ï³ñ³Íí»É ¿ ³ÙµáÕç ³ßË³ñÑáõÙ:Ð³Û»ñÁ Ý³Ëù³Ý ¹Çñù³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ ³ÝóÝ»ÉÁ Ãí»ñÁ ·ñ³é»Éáõ

Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍáõÙ ¿ÇÝ ³Ûµáõµ»ÝÇ ï³é»ñÁ (ï»°ë 4¬ñ¹ ³ÕÛáõë³ÏÁ):²é³çÇÝ ÇÝÁ ï³é»ñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ÇÝ 1–9 Ãí»ñÁ, Ñ³çáñ¹ ÇÝÁ ï³é»ñÁª 10,20 ¨ ÙÛáõë ï³ëÝ³íáñÝ»ñÁ` ÙÇÝã¨ 90¬Á, ¨ë ÇÝÁ ï³é»ñáí Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ÇÝÑ³ñÛáõñ³íáñÝ»ñÁª 100, 200 ¨ ³ÛÉÝª ÙÇÝã¨ 900-Á, Ñ³çáñ¹ ÇÝÁ ï³é»ñáíªÑ³½³ñ³íáñÝ»ñÁ: ²ÛëåÇëáí, ï³é»ñÁ ÏáÕù ÏáÕùÇ ·ñ»Éáí, Ï³ñ»ÉÇ ¿ñ·ñÇ ³éÝ»É ÙÇÝã¨ 9999 »Õ³Í ó³ÝÏ³ó³Í ÃÇí:

²ÕÛáõë³Ï 4

Âí»ñÇ ·ñ³éÙ³Ý ³Ûë ÑÝ³Ù»ÝÇ »Õ³Ý³ÏÇ ³é³ÝÓÇÝ å³Ñå³Ýí³Í¹ñë¨áñáõÙÝ»ñÇ Ù»Ýù Ñ³Ý¹ÇåáõÙ »Ýù, ûñÇÝ³Ï, ·ñù»ñÇ Ñ³ïáñÝ»ñÇ Ï³Ù·ÉáõËÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ³Ï³ÉÙ³Ý Ù»ç, Ã³·³íáñÝ»ñÇ Ï³Ù Ï³ÃáÕÇÏáëÝ»ñÇ³ÝáõÝÝ»ñáõÙ: Ø³ï»Ý³¹³ñ³ÝÇ ÙáõïùÇ Ùáï ·ñí³Í ¿ Ýñ³ ÑÇÙÝ³¹ñÙ³Ýï³ñ»ÃÇíÁ (1957) Ñ³Û»ñ»ÝÇ ³Ûµáõµ»ÝÇ ï³é»ñáí: ²Û¹ ·ñ³éáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³Éï»ëùÁ. èæÌ¾:

30. Âí»ñÇ ÇÝãåÇëÇ± ·ñ³éáõÙÝ ¿ ÏáãíáõÙ ¹Çñù³ÛÇÝ:31. ÆÝãá±õ ¿ Ãí»ñÇ Ù»ñ û·ï³·áñÍ³Í ·ñ³éáõÙÁ ÏáãíáõÙ ï³ë³Ï³Ý:32. ø³ÝÇ± ï³ëÝÛ³Ï ¿ å³ñáõÝ³ÏíáõÙ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ.

91, 53, 62, 38, 77:33. ø³ÝÇ± Ñ³ñÛáõñÛ³Ï ¿ å³ñáõÝ³ÏíáõÙ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ.

105, 968, 444, 375, 320:34. ÂíÇ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç ·áñÍ³Íí³Í »Ý ÙÇ ù³ÝÇ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñ: à±ñ Ãí³Ýß³Ýáí

ãÇ Ï³ñáÕ ëÏëí»É ³Û¹ ÃíÇ ·ñ³éáõÙÁ:

14

35. Æ±Ýã ÇÙ³ëï áõÝÇ 6 Ãí³Ýß³ÝÁ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ·ñ³éÙ³ÝÙ»ç. 963, 79625, 60000, 706531, 26, 6:

36. Æ±Ýã ÇÙ³ëï áõÝÇ 0 Ãí³Ýß³ÝÁ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ·ñ³éÙ³ÝÙ»ç. 103, 90, 1032, 2007:

37. Âí³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñÇ° ³é»ù ³ÛÝ Ãí»ñÁ, áñáÝù å³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ýª³) ÑÇÝ· ï³ëÝÛ³Ï ¨ ÛáÃ ÙÇ³íáñ, µ) áõÃ ï³ëÝÛ³Ï ¨ »ñ»ù ÙÇ³íáñ,·) Ù»Ï Ñ³ñÛáõñÛ³Ï ¨ ÑÇÝ· ÙÇ³íáñ, ¹) Ù»Ï Ñ³½³ñÛ³Ï ¨ Ù»Ï ÙÇ³íáñ,») ãáñë Ñ³ñÛáõñÛ³Ï, áõÃ ï³ëÝÛ³Ï ¨ ÇÝÁ ÙÇ³íáñ,½) ÇÝÁ Ñ³ñÛáõñÛ³Ï, ÑÇÝ· ï³ëÝÛ³Ï ¨ ÛáÃ ÙÇ³íáñ,¿) ÛáÃ Ñ³½³ñÛ³Ï, »ñÏáõ Ñ³ñÛáõñÛ³Ï ¨ ÛáÃ ÙÇ³íáñ,Á) »ñ»ù Ñ³½³ñÛ³Ï, ÑÇÝ· Ñ³ñÛáõñÛ³Ï, »ñ»ù ï³ëÝÛ³Ï ¨ »ñÏáõ ÙÇ³íáñ:

38. ÂÇíÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 4 Ñ³ñÛáõñÛ³Ï, ¹ñ³Ýó ù³Ý³ÏÇó »ñÏáõ ³Ý·³Ù ³í»ÉÇï³ëÝÛ³Ï ¨ ï³ëÝÛ³ÏÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÇó »ñÏáõ ³Ý·³Ù å³Ï³ë ÙÇ³íáñ:ø³ÝÇ± ï³ñµ»ñ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñ »Ý ·áñÍ³ÍíáõÙ ³Û¹ ÃíÇ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç:

39. Âí³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñÇ° ³é»ù ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 40 ï³ëÝÛ³Ï ¨1 ÙÇ³íáñ:

40. Âí³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñÇ° ³é»ù ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 1000 Ñ³ñÛáõñ-Û³Ï ¨ 2 ï³ëÝÛ³Ï:

41. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) 733 + 834 – 430, ¹) 374 + 350 – 43, ¿) 1115 – 657 + 47,µ) 116 + 6799 – 78, ») 916 – 24 + 125, Á) 165 – 119 + 1039,·) 458 + 291 – 126, ½) 4910 – 622 + 87, Ã) 1087 – 291 + 2537:

42. ²é³çÇÝ ·ñùáõÙ Ï³ 436 ¿ç, »ñÏñáñ¹áõÙª ³é³çÇÝÇó 108 ¿çáí å³Ï³ë, ÇëÏ»ññáñ¹áõÙª »ñÏñáñ¹Çó 200 ¿çáí ³í»ÉÇ: ø³ÝÇ± ¿ç Ï³ »ññáñ¹ ·ñùáõÙ:

43. ²é³çÇÝ ßï»Ù³ñ³ÝáõÙ Ï³ñ 3100 å³ñÏ óáñ»Ý, ÇëÏ »ñÏñáñ¹áõÙª 750å³ñÏáí ³í»ÉÇ: ø³ÝÇ± å³ñÏ óáñ»Ý Ï³ñ »ññáñ¹ ßï»Ù³ñ³ÝáõÙ, »Ã»³ÛÝï»Õ »Õ³Í å³ñÏ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ 1130¬áí å³Ï³ë ¿ñ, ù³Ý ³é³çÇÝ ¨»ñÏñáñ¹ ßï»Ù³ñ³ÝÝ»ñáõÙ ÙÇ³ëÇÝ »Õ³ÍÁ:

44. ¶ñ³¹³ñ³ÝáõÙ Ï³ 12525 ·Çñù: ¸ñ³ÝóÇó 9325¬Á ·»Õ³ñí»ëï³Ï³Ý »Ý,2375¬Áª ·Çï³Ï³Ý, ÇëÏ ÙÝ³ó³ÍÝ»ñÁ ¹³ë³·ñù»ñ »Ý: àñù³Ýá±í ¿·Çï³Ï³Ý ·ñù»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ù»Í ¹³ë³·ñù»ñÇ ù³Ý³ÏÇó:

45. Î³ï³ñ»°ù µ³½Ù³å³ïÏáõÙ.³) 23 ⋅ 5, ¹) 383 ⋅ 30, ¿) 228 ⋅ 23, Å) 35 ⋅ 101,µ) 48 ⋅ 54, ») 454 ⋅ 15, Á) 282 ⋅ 63, Å³) 45 ⋅ 303,·) 84 ⋅ 49, ½) 642 ⋅ 21, Ã) 551 ⋅ 15, Åµ) 623 ⋅ 509:

46. A ¨ B ù³Õ³ùÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 140 ÏÙ ¿: Ð»ÍÛ³ÉÁ 1 Å³ÙáõÙ ³ÝóÝáõÙ¿ 35 ÏÙ: ø³ÝÇ± Å³ÙáõÙ Ñ»ÍÛ³ÉÁ ÏÑ³ëÝÇ A¬Çó B:

47. Î³éùÁ 5 Å³ÙáõÙ ³ÝóÝáõÙ ¿ 125 ÏÙ: ø³ÝÇ± Å³ÙáõÙ Ï³éùÁ Ï³ÝóÝÇ 300 ÏÙ:48. ¶³ÛÉÁ 8 Å³ÙáõÙ í³½»É ¿ 240 ÏÙ: ø³ÝÇ± ÏÇÉáÙ»ïñ Ï³ÝóÝÇ Ý³ 9 Å³ÙáõÙ:49. ²Õ³íÝÇÝ 3 Å³ÙáõÙ Ý³Ù³ÏÁ ÙÇ í³ÛñÇó Ñ³ëóñ»É ¿ ÙÛáõëÁ, áñÇ

Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ³é³çÇÝÇó 120 ÏÙ ¿: ä³ï³ëË³ÝÁ ï³Ý»ÉÇë Ýñ³ ÃéÇãùÁï¨»É ¿ 4 Å: ì»ñ³¹³éÝ³ÉÇë áñù³Ýá±í ¿ ³Õ³íÝáõ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ÷áùñ »Õ»É:

15

Î³Ý »ñÏáõ ÏáÕå»ùÝ»ñ ¨ Ýñ³Ýó »ñÏáõ µ³Ý³ÉÇÝ»ñÁ: ì»ñóÝáõÙ »ÝÙÇ µ³Ý³ÉÇÝ ¨ ëïáõ·áõÙ, Ã» ³ÛÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ ³ñ¹ÛáùÏáÕå»ùÝ»ñÇó Ù»ÏÇÝ: ́ ³í³ñ³±ñ ¿ ³Û¹ Ù»Ï ëïáõ·áõÙÁª ÇÙ³Ý³Éáõ Ñ³Ù³ñ,Ã» áñ ÏáÕå»ùÇÝÝ ¿ ³Û¹ µ³Ý³ÉÇÝ:

3. Î²ð¶ºð. Î²ð¶²ÚÆÜ ØÆ²ìàðÜºð

Âí³Ýß³ÝÇ ï»ÕÁ ÃíÇ ¹Çñù³ÛÇÝ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç ÏáãíáõÙ ¿ Ï³ñ·: Âí»ñÇï³ëÝáñ¹³Ï³Ý ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç Ï³Ý ÙÇ³íáñÝ»ñÇ, ï³ëÝ³íáñÝ»ñÇ, Ñ³ñ-Ûáõñ³íáñÝ»ñÇ, Ñ³½³ñ³íáñÝ»ñÇ, ï³ëÁ Ñ³½³ñ³íáñÝ»ñÇ ¨ áõñÇß Ï³ñ·»ñ:

²ÛÝ Ãí»ñÁ, áñáÝó ³Ù»Ý³Ù»Í Ï³ñ·áõÙ (·ñ³éÙ³Ý Ó³Ë »½ñáõÙ) ·ñí³Í ¿ 1,ÇëÏ »Õ³Í ÙÛáõë Ï³ñ·»ñáõÙª 0¬Ý»ñ, ÏáãíáõÙ »Ý Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñ:Î³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñ »Ý, ûñÇÝ³Ï, 1, 10, 100, 1000, 10000 Ãí»ñÁ:

Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï³ñ·áõÙ ·ïÝíáÕ Ãí³Ýß³ÝÁ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë, Ã» ïíÛ³Éï»ë³ÏÇ ù³ÝÇ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñ ¿ å³ñáõÝ³ÏíáõÙ ÃíáõÙ: úñÇÝ³Ïª 3245 ÃÇíÁå³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 3 Ñ³½³ñÛ³Ï, 2 Ñ³ñÛáõñÛ³Ï, 4 ï³ëÝÛ³Ï ¨ 5 ÙÇ³íáñ: ²ÛÉ Ï»ñå³ë³Íª

3245 = 3 ⋅ 1000 + 2 ⋅ 100 + 4 ⋅ 10 + 5 ⋅ 1 :

Âí»ñÇ Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý ³Ûë »Õ³Ý³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý»ñÏ³Û³óáõÙ Ï³ñ·³ÛÇÝ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí:

ÂÇíÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ³ÛÝù³Ý Ï³ñ·, ù³ÝÇ Ãí³Ýß³Ý áñ Ï³ Ýñ³ ·ñ³éÙ³ÝÙ»ç: ºÃ» ÃíÇ ·ñ³éÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áñÍ³ÍíáõÙ ¿ Ù»Ï Ãí³Ýß³Ý, ³å³ ³Û¹åÇëÇÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÙÇ³ÝÇß ÃÇí, »Ã» »ñÏáõ Ãí³Ýß³Ý,³å³ »ñÏÝÇß, »Ã» »ñ»ù,³å³ »é³ÝÇß, ¨ ³ÛÉÝ: úñÇÝ³Ïª 0, 5, 7 Ãí»ñÁ ÙÇ³ÝÇß Ãí»ñ »Ý, 86 ÃÇíÁ »ñÏÝÇß¿, ÇëÏ 32945 ÃÇíÁª ÑÝ·³ÝÇß: ´áÉáñ áã ÙÇ³ÝÇß Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ï³ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ³Ýí³ÝáõÙª µ³½Ù³ÝÇß Ãí»ñ:

ÐÇÝ Ð³Û³ëï³ÝáõÙ 10000 ÃÇíÁ, áñÝ ³ñ¹»Ý ã¿ñ Ï³ñáÕÝß³Ý³Ïí»É ³Ûµáõµ»ÝÇ ï³é»ñáí, ÏáãíáõÙ ¿ñ µÛáõñ: Ð»ï³·³ÛáõÙªÙÇçÇÝ ¹³ñ»ñáõÙ, ³Ýí³ÝáõÙÝ»ñ ëï»ÕÍí»óÇÝ Ý³¨ ³í»ÉÇ Ù»ÍÏ³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: î³ëÁ Ñ³½³ñ µÛáõñÁ ÏáãíáõÙ ¿ñ

·áõÝ¹ (10000 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10000 = 100000000), ï³ëÁ Ñ³½³ñ ·áõÝ¹Áª ³í³· ·áõÝ¹

(10000 ⋅⋅⋅⋅⋅ 100000000 = 1000000000000), ï³ëÁ Ñ³½³ñ ³í³· ·áõÝ¹Áª ³ñù³·áõÝ¹, ï³ëÁ Ñ³½³ñ ³ñù³ ·áõÝ¹Áª Ï³Ûëñ ·áõÝ¹:

16

50. Æ±Ýã ¿ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÁ:51. ø³ÝÇ± Ãí³Ýß³Ý ¿ ·áñÍ³ÍíáõÙ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç:52. ²éÝí³½Ý ù³ÝÇ± Ï³ñ· Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É µ³½Ù³ÝÇß ÃíÇ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç:53. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ± ³ñ¹Ûáù ³Ù»Ý³Ù»Í Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñ:54. ø³ÝÇ± Ï³ñ· Ï³ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ.

536, 25, 7, 8394, 956630:55. ¸á°õñë ·ñ»ù ³ÛÝ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ, áñáÝù ·ñí³Í »Ý Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÇ

Ñ³ñÛáõñ³íáñÝ»ñÇ Ï³ñ·áõÙ.735, 1096, 8001, 30672, 284441:

56. ºÃ» 1235 ÃíÇ ·ñ³éÙ³ÝÁ ³çÇó Ïó³·ñ»Ýù ½ñá, ³å³ Ýáñ ëï³óí³Í ÃíáõÙá±ñ Ãí³Ýß³ÝÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³ñÛáõñ³íáñÝ»ñÇ Ï³ñ·áõÙ:

57. à±ñÝ ¿ í»ó³ÝÇß ÃíÇ ³Ù»Ý³Ù»Í Ï³ñ·Á:58. ê¨³Ý³ É×Ç ËáñáõÃÛáõÝÁ 89 Ù ¿: ºÃ» ê¨³Ý³ É×Ç ËáñáõÃÛáõÝÁ 11 Ù»ïñáí

³í»ÉÇÝ ÉÇÝ»ñ, ³å³ ù³ÝÇ± Ï³ñ· ÏáõÝ»Ý³ñ ³ÛÝ ³ñï³Ñ³ÛïáÕ ÃÇíÁ:59. Ð»ï¨Û³É Ãí»ñÁ Ý»ñÏ³Û³óí³Í »Ý Ï³ñ·³ÛÇÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ

ï»ëùáí: ÆÝãåÇëÇ±Ý ÏÉÇÝ»Ý ¹ñ³Ýó ¹Çñù³ÛÇÝ ·ñ³éáõÙÝ»ñÁ:³) 8 ⋅ 1000 + 5 ⋅ 100 + 6 ⋅ 1, µ) 7 ⋅ 1000000 + 1 ⋅ 100,·) 8 ⋅ 10000 + 3 ⋅ 1000 + 4 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 9 ⋅ 1,¹) 5 ⋅ 1000000 + 6 ⋅ 100000 + 7 ⋅ 10000 + 3 ⋅ 10 + 8 ⋅ 1:

60. Ð»ï¨Û³É Ãí»ñÁ ·ñ³é»°ù Ï³ñ·³ÛÇÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí.³) 3893, ·) 45399, ») 300201, ¿) 80006,µ) 104, ¹) 1734, ½) 40550, Á) 671000:

61. Î³½Ù»°ù ãáñë »é³ÝÇß ÃÇí 1, 0, 7 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó:62. Î³½Ù»°ù »ñ»ù ù³é³ÝÇß ÃÇí 5 ¨ 6 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó:63. ØÇ³ÝÇß ÃíÇ ·ñ³éÙ³ÝÁ Ïó³·ñ»°ù ÝáõÛÝ Ãí³Ýß³ÝÁ: ø³ÝÇ± ³Ý·³Ù

ÏÙ»Í³Ý³ ÃÇíÁ:

64. Î³ï³ñ»°ù µ³Å³ÝáõÙ.³) 441 : 3, ¹) 2665 : 13, ¿) 9152 : 416,µ) 225 : 15, ») 5208 : 24, Á) 23616 : 24,·) 1053 : 27, ½) 2023 : 289, Ã) 11420 : 2284:

65. ¶ï»°ù 1¬Çó ÙÇÝã¨ 10 Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:66. 537 ÃÇíÁ 210¬áí ÷áùñ ¿ Ù»Ï áõñÇß ÃíÇó: ÆÝãÇ± Ñ³í³ë³ñ ÏÉÇÝÇ ³Û¹ ÃíÇ

¨ 537¬Ç ·áõÙ³ñÁ:67. 216 ÃÇíÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ÷áùñ ¿ Ù»Ï áõñÇß ÃíÇó: Æ±Ýã ÃÇí Ïëï³óíÇ, »Ã»

216¬Á Ñ³Ý»Ýù ³Û¹ ÃíÇó:68. ØÇ ÃÇí 240¬áí Ù»Í ¿ ÙÛáõëÇó: ²Û¹ Ãí»ñÁ ·áõÙ³ñ»Éáíª Ïëï³Ý³Ýù 500:

àñá±Ýù »Ý ³Û¹ Ãí»ñÁ:69. ø³ÝÇ± »ñÏÝÇß ÃÇí Ï³, áñáÝó ·ñ³éÙ³Ý Ù»çª

³) 1¬Á ³é³çÇÝ Ãí³Ýß³ÝÝ ¿, µ) 7¬Á í»ñçÇÝ Ãí³Ýß³ÝÝ ¿:

17

70. Î³ÙáõñçÝ áõÝÇ »ñ»ù Ï³Ùñç³Ù³ë (ï»°ë ÝÏ. 3): ²é³çÇÝÇ ¨ »ññáñ¹Ç »ñÏ³-ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÝáõÛÝÝ »Ý ¨ Ñ³í³ë³ñ »Ý 3 Ù»ïñÇ: ºñÏñáñ¹ Ï³Ùñç³Ù³ëÁÙÛáõëÝ»ñÇó »ñÏ³ñ ¿ »ñ»ù ³Ý·³Ù: àñù³±Ý ¿ Ï³ÙáõñçÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ:

71. 3 Å³ÙáõÙ Ï³éùÝ ³Ýó³í 65 ÏÙ: ²é³çÇÝ Å³ÙáõÙ ³ÛÝ ³Ýó³í 25 ÏÙ,»ñÏñáñ¹áõÙª 4 ÏÙ¬áí å³Ï³ë: ø³ÝÇ± ÏÇÉáÙ»ïñ ³Ýó³í Ï³éùÁ »ññáñ¹Å³ÙáõÙ:

72. Ð»ÍÛ³ÉÁ å»ïù ¿ ³ÝóÝ»ñ 140 ÏÙ ×³Ý³å³ñÑ: Ü³ 3 Å³Ù ÁÝÃ³ó»É ¿ 20 ÏÙ/Å³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ¨ 4 Å³Ùª 14 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ: Ð»ÍÛ³ÉÇÝ ÇÝãù³±Ý×³Ý³å³ñÑ ¿ ÙÝ³ó»É ³ÝóÝ»Éáõ:

73. ØÇ ¹åñáóáõÙ Ï³ 217 ³ß³Ï»ñï, ÇëÏ ÙÛáõëáõÙª »ñÏáõ ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ:ºñÏñáñ¹ ¹åñáóáõÙ áñù³Ýá±í ³í»ÉÇ ³ß³Ï»ñï Ï³, ù³Ý ³é³çÇÝáõÙ:ÀÝ¹³Ù»ÝÁ ù³ÝÇ± ³ß³Ï»ñï Ï³ »ñÏáõ ¹åñáóÝ»ñáõÙ:

74. Ü³íÁ 2 ûñáõÙ ³Ýó»É ¿ 300 ÏÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ ³é³çÇÝ ûñÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù³í»ÉÇ »ñÏ³ñ ×³Ý³å³ñÑ ¿ ³Ýó»É, ù³Ý »ñÏñáñ¹ ûñÁ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñûñÁ ù³ÝÇ± ÏÇÉáÙ»ïñ ¿ ³Ýó»É Ý³íÁ:

ºñµ 1993Ã. ßñç³Ý³éáõÃÛ³Ý Ù»ç ¹ñí»ó Ñ³ÛÏ³Ï³Ý ¹ñ³ÙÁ, ÃÕÃ³-¹ñ³ÙÝ»ñÇó µ³óÇ` ÃáÕ³ñÏí»óÇÝ Ý³¨ Ù»Ï¹ñ³Ù³Ýáó, »ñ»ù¹ñ³Ù³Ýáó,ÑÇÝ·¹ñ³Ù³Ýáó ¨ ï³ë¹ñ³Ù³Ýáó Ù»ï³Õ³¹ñ³ÙÝ»ñ: ÆëÏ ÑÇÙ³å³ï³ëË³Ý»°ù Ñ»ï¨Û³É Ñ³ñóÇÝ: îÕ³ÛÇ ·ñå³ÝáõÙ áõÃ ¹ñ³Ù

ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³ñÅáÕáõÃÛ³Ùµ »ñÏáõ Ù»ï³Õ³¹ñ³Ù Ï³ñ: Ø»ï³Õ³¹ñ³ÙÝ»ñÇóÙ»ÏÁ ÑÇÝ·¹ñ³Ù³Ýáó ã¿ñ: Æ±Ýã Ù»ï³Õ³¹ñ³ÙÝ»ñ ¿ÇÝ ¹ñ³Ýù:

4. ÂìºðÆ ÀÜÂºðòàôØÀ

Âí»ñÁ å»ïù ¿ Ï³ñáÕ³Ý³É áã ÙÇ³ÛÝ ·ñ»É, ³ÛÉ¨ Ï³ñ¹³É: ¸ñ³ Ñ³Ù³ñÃíÇ ·ñ³éáõÙÁ, ³çÇó ëÏë»Éáí, ïñáÑáõÙ »Ý ËÙµ»ñÇ (¹³ë»ñÇ)ª Ûáõñ³ù³Ý-ãÛáõñáõÙ »ñ»ù Ãí³Ýß³Ý: ²Û¹åÇëÇ ïñáÑÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï í»ñçÇÝ ËáõÙµÁ Ï³ñáÕ¿ å³ñáõÝ³Ï»É »ñ»ùÇó å³Ï³ë Ãí³Ýß³Ý:

úñÇÝ³Ï`973002545ª 973 002 54511572444ª 11 572 444

ÜÏ. 3

18

ΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣ

êï³óí³Í ËÙµ»ñÝ áõÝ»Ý Çñ»Ýó ³Ýí³ÝáõÙÝ»ñÁ: ²çÇó ³é³çÇÝ ËáõÙµÁÏáãíáõÙ ¿ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ¹³ë, ³å³ ·³ÉÇë ¿ Ñ³½³ñÝ»ñÇ ¹³ëÁ, Ñ»ïáªÙÇÉÇáÝÝ»ñÇ, ÙÇÉÇ³ñ¹Ý»ñÇ (Ï³Ù µÇÉÇáÝÝ»ñÇ), ïñÇÉÇáÝÝ»ñÇ ¹³ë»ñÁ ¨ ³ÛÉÝ(ï»°ë 5¬ñ¹ ³ÕÛáõë³ÏÁ): ÀÝÃ»ñóÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï Ñ³çáñ¹³µ³ñ, Ó³ËÇó ëÏë³Í,Ï³ñ¹áõÙ »Ý ³é³ÝÓÝ³óí³Í Ãí»ñÇóª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ` ³í»É³óÝ»ÉáíÑ³Ù³å³ï³ëË³Ý ¹³ëÇ ³Ýí³ÝáõÙÁ: ØÇ³íáñÝ»ñÇ ¹³ëÇ ³Ýí³ÝáõÙÁ ãÇ³ëíáõÙ: Î³ñ¹³Ýù, ûñÇÝ³Ï, 375004821 ÃÇíÁ: ²ÛÝ ïñáÑ»Ýù ¹³ë»ñÇ. 375 004821: Î³ñ¹áõÙ »Ýùª »ñ»ù Ñ³ñÛáõñ ÛáÃ³Ý³ëáõÝÑÇÝ· ÙÇÉÇáÝ ãáñë Ñ³½³ñ áõÃÑ³ñÛáõñ ùë³ÝÙ»Ï: ÀÝÃ»ñóÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï ãÇ ³ëíáõÙ Ý³¨ ³ÛÝ ¹³ëÇ ³Ýí³ÝáõÙÁ,áñÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ÙÇ³ÛÝ ½ñáÝ»ñ: úñÇÝ³Ïª 7 000 321 ÃÇíÝ ÁÝÃ»ñóíáõÙ ¿ª ÛáÃÙÇÉÇáÝ »ñ»ù Ñ³ñÛáõñ ùë³ÝÙ»Ï:

²ÕÛáõë³Ï 5

²é¨ïñÇ ½³ñ·³óÙ³ÝÁ ½áõ·ÁÝÃ³ó ³í»ÉÇ áõ³í»ÉÇ ¿ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¹³éÝáõÙ Ù»Í Ãí»ñÁ ·ñÇ³éÝ»Éáõ ¨ Ï³ñ¹³Éáõ áõÝ³ÏáõÃÛáõÝÁ: ÐáõÛÝ Ù»ÍÙ³Ã»Ù³ïÇÏáë ¨ ÇÝÅ»Ý»ñ ² ñ ù Ç Ù » ¹ Á

(Ù. Ã. ³. III ¹.) ¹ñ³Ý Ñ³ïáõÏ ³ßË³ïáõÃÛáõÝ ¿ ÝíÇñ»É,áñÁ Ïáã»É ¿ §²í³½Ç Ñ³ßíáõÙÁ¦ (§äë³ÙÙÇï¦): Þ³ïÙ»Í ÃíÇ å³ïÏ»ñ³óáõÙÁ ÑÝáõÙ Ñ³×³Ë ¿ñ Ï³åíáõÙ»ñÏñ³·Ý¹Ç íñ³ »Õ³Í ³í³½³Ñ³ïÇÏÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÇÑ»ï: ²ñùÇÙ»¹Ý ³Û¹ ·ñùáõÙ Ýå³ï³Ï ¿ñ ¹ñ»É óáõÛóï³Éáõ, áñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñÇ ³éÝ»É ó³ÝÏ³ó³Í ÃÇí, áñù³Ý¿É áñ ³ÛÝ Ù»Í ÉÇÝÇ: ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ Ý³ Ãí»ñÇ ·ñ³éÙ³Ý¨ ÁÝÃ»ñóÙ³Ý áõñáõÛÝ »Õ³Ý³Ï ¿ñ Ùß³Ï»É: àõ Ã»¨²ñùÇÙ»¹Ç ·áñÍ³¹ñ³Í »Õ³Ý³ÏÁ ÝÙ³Ý ¿ñ Ýñ³Ý, áñÇÙ³ëÇÝ Ó»½ å³ïÙ»É »Ýù, ³ÛÝáõ³Ù»Ý³ÛÝÇí ¹»é ¿ÉÇÅ³Ù³Ý³Ï ³Ýó³í, ÙÇÝã¨ Ù³ñ¹ÇÏ ëÏë»óÇÝ Ãí»ñÁ ·ñ»É¨ ÁÝÃ»ñó»É Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó Ó¨áí:

75. àñá±Ýù »Ý Ãí»ñÇ ³é³çÇÝ ÑÇÝ· ¹³ë»ñÁ:76. à±ñ ¹³ë»ñÇ ³Ýí³ÝáõÙÝ»ñÁ ã»Ý ³ëíáõÙ ÃíÇ ÁÝÃ»ñóÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï:

19

77. ²ë»°ù, Ã» ÇÝã Ï³ñ·»ñ »Ý ÙïÝáõÙ Ñ³½³ñÝ»ñÇ, ÙÇÉÇáÝÝ»ñÇ, ÙÇÉÇ³ñ¹Ý»ñÇ¹³ë»ñÇ Ù»ç:

78. Î³ñ¹³ó»°ù Ãí»ñÁ.³) 5058, ¹) 76438499, ¿) 9876543210,µ) 32001, ») 53810003, Á) 10101010,·) 6340078, ½) 73231, Ã) 10000001:

79. ¶ñ»°ù Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ¨ ÁÝÃ»ñó»°ù Ãí»ñÁ.³) 873 Ñ³½³ñ, ·) 610 ÙÇÉÇ³ñ¹, ») 70325 Ñ³½³ñ,µ) 1003 ÙÇÉÇáÝ, ¹) 1700 ÙÇÉÇáÝ, ½) 35741 ÙÇÉÇ³ñ¹:

80. Ø»Í Ãí»ñÁ ·ñÇ ³éÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍáõÙ »Ý Ïñ×³ïáõÙÝ»ñª Ñ³½.(Ñ³½³ñ), ÙÉÝ (ÙÇÉÇáÝ), ÙÉñ¹ (ÙÇÉÇ³ñ¹):

³)ú·ï³·áñÍ»Éáí ³Û¹ Ïñ×³ïáõÙÝ»ñÁª ·ñ»°ù 504071223, 7250613704,99320634001 Ãí»ñÁ:

µ) ØÇ³ÛÝ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñÇ° ³é»ù Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÁ. 302 ÙÉÝ 35 Ñ³½., 93 ÙÉñ¹ 701 ÙÉÝ 96 Ñ³½., 1 ÙÉñ¹ 200 Ñ³½.,

65 ÙÉñ¹ 5 ÙÉÝ 693 Ñ³½.:81. Âí³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñ»°ù Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÁ.

³) Ñ³ñÛáõñ »ñ»ëáõÝ»ñÏáõ Ñ³½³ñ ÇÝÁ Ñ³ñÛáõñ ÇÝÝëáõÝ»ñÏáõ,µ) »ñ»ù ÙÇÉÇáÝ »ñÏáõ Ñ³ñÛáõñ ÛáÃ³Ý³ëáõÝ Ñ³½³ñ ÇÝÁ Ñ³ñÛáõñ ÑÇëáõÝÙ»Ï,·) í»ó Ñ³ñÛáõñ »ñÏáõ ÙÇÉÇáÝ ÛáÃ Ñ³½³ñ »ñ»ù Ñ³ñÛáõñ ÑÇëáõÝáõÃ,¹) »ñÏáõ ÙÇÉÇ³ñ¹ ÛáÃ Ñ³ñÛáõñ ù³é³ëáõÝÛáÃ:

82. ºñÏñÇó ÈáõëÇÝ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ »ñ»ù Ñ³ñÛáõñ áõÃëáõÝãáñë Ñ³½³ñ »ñÏáõÏÇÉáÙ»ïñ ¿: ¶ñ»°ù ³Û¹ ÃÇíÁ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí:

83. ²ñ»·³ÏÇó ºñÏñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Ñ³ñÛáõñ ù³é³ëáõÝÇÝÁ ÙÇÉÇáÝ í»óÑ³ñÛáõñ ÏÇÉáÙ»ïñ ¿: ²Û¹ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ ³ñï³Ñ³ÛïáÕ ÃÇíÁ ·ñ»°ùÃí³Ýß³ÝÝ»ñáí:

84. ²ßË³ñÑÇ ³Ù»Ý³µ³ñÓñ É»éÝ³·³·³ÃÁª æáÙáÉáõÝ·Ù³Ý (¾í»ñ»ëïÁ), áõÝÇáõÃ Ñ³½³ñ áõÃ Ñ³ñÛáõñ ù³é³ëáõÝáõÃ Ù»ïñ µ³ñÓñáõÃÛáõÝ: ¶ñ»°ù ³Û¹ÃÇíÁ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí:

85. Ð³Ù³ßË³ñÑ³ÛÇÝ ûíÏÇ³ÝáëÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ËáñáõÃÛáõÝÁ (Ø³ñÇ³ÝÛ³Ý Ççí³Íù)ï³ëÝÙ»Ï Ñ³½³ñ ùë³Ý»ñÏáõ Ù»ïñ ¿: ²Û¹ ÃÇíÁ ·ñ»°ù Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí:

86. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) 15 ⋅ 6 ⋅ 4, ¹) 135 ⋅ 4 ⋅ 8, ¿) 10 ⋅ 100 ⋅ 13,µ) 3 ⋅ 7 ⋅ 25, ») 9 ⋅ 37 ⋅ 139, Á) 37 ⋅ 123 ⋅ 10,·) 18 ⋅ 14 ⋅ 9, ½) 324 ⋅ 25 ⋅ 6, Ã) 24 ⋅ 99 ⋅ 101:

87. ÎÇñ³ÏÇ ûñÁ Ã³Ý·³ñ³Ý ³Ûó»É»ó 70 Ù³ñ¹, »ñÏáõß³µÃÇª ÑÇÝ· ³Ý·³Ù å³-Ï³ë, ÇëÏ »ñ»ùß³µÃÇª »ñÏáõ ³Ý·³Ù å³Ï³ë, ù³Ý »ñÏáõß³µÃÇ: ø³ÝÇ±Ù³ñ¹ ³Ûó»É»ó Ã³Ý·³ñ³Ý »ñ»ùß³µÃÇ ûñÁ:

88. Â³·áõÑÇÝ 36 ï³ñ»Ï³Ý ¿: Ü³ ³ñù³Û³½ÝÇó Ù»Í ¿ »ñ»ù ³Ý·³Ù, ÇëÏ³ñù³Û³¹áõëïñÁ »ÕµáñÇó ÷áùñ ¿ ãáñë ³Ý·³Ù: ø³ÝÇ± ï³ñ»Ï³Ý ¿³ñù³Û³¹áõëïñÁ:

20

89. ÈáõÍ»°ù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý Ë³ãµ³éÁ.

90. ì»ñ³Ýáñá·Ù³Ý Å³Ù³Ý³Ï ³é³çÇÝ ë»ÝÛ³ÏÇ Ñ³ï³ÏÁ Ý»ñÏ»Éáõ Ñ³Ù³ñÍ³Ëëí»É ¿ 9 Ï· Ý»ñÏ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ë»ÝÛ³ÏÇ Ñ³ï³ÏÇ Ñ³Ù³ñª »ñ»ù ³Ý·³Ùå³Ï³ë: ø³ÝÇ± ÏÇÉá·ñ³Ùáí å³Ï³ë Ý»ñÏ ¿ Í³Ëëí»É »ñÏñáñ¹ ë»ÝÛ³ÏÇÑ³ï³ÏÁ Ý»ñÏ»ÉÇë:

91. ²Û·áõÙ ³×áÕ Í³é»ñÇó 48¬Á ÍÇñ³Ý»ÝÇÝ»ñ »Ý: ¸»ÕÓ»ÝÇÝ»ñÁ ÍÇñ³Ý»ÝÇ-Ý»ñÇó 6 ³Ý·³Ù å³Ï³ë »Ý, ÇëÏ ËÝÓáñ»ÝÇÝ»ñÁª 11¬áí ³í»ÉÇ, ù³ÝÍÇñ³Ý»ÝÇÝ»ñÝ áõ ¹»ÕÓ»ÝÇÝ»ñÁ ÙÇ³ëÇÝ: ø³ÝÇ± ËÝÓáñ»ÝÇ Ï³ ³Û·áõÙ:

92. ºñÏáõ ÑÛáõëÝ Ï³ï³ñ»óÇÝ ÝÏ³ñÇ ÙÇ³ÝÙ³Ý ßñç³Ý³ÏÝ»ñ å³ïñ³ëï»Éáõå³ïí»ñÁ ¨ ëï³ó³Ý 120000 ¹ñ³Ù: ø³ÝÇ± ¹ñ³Ù ëï³ó³í Ýñ³ÝóÇóÛáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ, »Ã» ³é³çÇÝÁ å³ïñ³ëï»É ¿ñ 20 ßñç³Ý³Ï, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª 40:

93. ÂéãÝ³å³ÑÝ áõÝ»ñ 30 ÃéãáõÝ: Üñ³Ýù µáÉáñÁ å³ÑíáõÙ ¿ÇÝ í³Ý¹³ÏÝ»ñáõÙ.÷áùñ»ñáõÙª Ù»Ï³Ï³Ý ÃéãáõÝ, Ù»Í»ñáõÙª »ñÏáõ³Ï³Ý: ÂéãáõÝÝ»ñáí½µ³Õ»óí³Í ù³ÝÇ± í³Ý¹³Ï áõÝ»ñ Ýñ³Ýó ï»ñÁ, »Ã» Ù»Í ̈ ÷áùñ í³Ý¹³Ï-Ý»ñÇ ù³Ý³ÏÝ»ñÁ ÝáõÛÝÝ ¿ÇÝ:

öáñÓ»°ù ½³ÙµÛáõÕáõÙ »Õ³Í 5 ËÝÓáñÁ µ³Å³Ý»É 5 Ñá·áõ³ÛÝå»ë, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ëï³Ý³ Ù»Ï ËÝÓáñ, ¨ Ù»Ï ËÝÓáñ ¿ÉÙÝ³ ½³ÙµÛáõÕáõÙ:

5. Ð²ÞÆì ºì ÂÆì. ´Ü²Î²Ü Âìºð

Ø»Ýù µáÉáñë Ï³ñáÕ³ÝáõÙ »Ýù Ñ³ßí»É ³é³ñÏ³Ý»ñÇ ù³Ý³ÏÁ: Ð³ßí»ÉÇë Ù»ÝùÃí»ñÇÝ, ëÏë³Í Ù»ÏÇó, ù³ÛÉ ³é ù³ÛÉ Ù»Ï »Ýù ·áõÙ³ñáõÙ` ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ ëï³Ý³Éáí

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...ß³ñùÇ Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ: Ð³ßí»ÉÇë ³é³ç³óáÕ Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý µÝ³Ï³ÝÃí»ñ, ÇëÏ ÇÝùÁ` ß³ñùÁ` µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñù:

ò³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ ÙÇßï Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ù»Ù³ï»É, ³ÛëÇÝùÝ`å³ñ½»É, Ã» Ãí»ñÇó áñÝ ¿ ³í»ÉÇ Ù»Í: ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùáõÙ ³Ù»Ý ÙÇ ÃÇí,ëÏë³Í »ñÏáõëÇó, Ù»Ïáí Ù»Í ¿ Ý³Ëáñ¹Çó ¨ Ù»Ïáí ÷áùñ ¿ Ñ³çáñ¹Çó: ²ÛÉ Ï»ñå³ë³Í` µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùáõÙ Ãí»ñÁ ¹³ë³íáñí³Í »Ý ³×Ù³Ý Ï³ñ·áí:àõñ»ÙÝ »ñÏáõ ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ³í»ÉÇ Ù»Í ¿ ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ µÝ³Ï³ÝÃí»ñÇ ß³ñùáõÙ (³ÛëÇÝù` Ñ³ßí»ÉÇë) ³í»ÉÇ áõß ¿ Ñ³Ý¹ÇåáõÙ:

Âí»ñÁ Ñ³Ù»Ù³ï»ÉÇë Ñ³ñÙ³ñ ¿ ·áñÍ³Í»É Ñ³ïáõÏ Ñ³Ù»Ù³ïÙ³ÝÝß³ÝÝ»ñ: §Ø»Í¦ µ³éÇ ÷áË³ñ»Ý ·áñÍ³ÍáõÙ »Ý > Ýß³ÝÁ, ÇëÏ §÷áùñ¦ µ³éÇ÷áË³ñ»Ý` < Ýß³ÝÁ: úñÇÝ³Ï` §ÐÇÝ·Á Ù»Í ¿ »ñÏáõëÇó¦ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ

³) µ)

21

ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ. 5 > 2, ÇëÏ §ºñ»ùÁ ÷áùñ ¿ ï³ëÇó¦³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ` 3 < 10: Âí»ñÇ Ñ³Ù»Ù³ïÙ³Ý Ýß³Ý ¿ Ý³¨ µáÉáñÇÝ Ñ³ÛïÝÇÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý = Ýß³ÝÁ:

Ð³Ù»Ù³ïÙ³Ý > ¨ < Ýß³ÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝß³ÝÝ»ñ, ÇëÏ 7 > 3 Ï³Ù 16 < 257 Ï³ñ·Ç ·ñ³éáõÙÝ»ñÁª ³ÝÑ³í³ë³ñáõ-ÃÛáõÝÝ»ñ:

Ð»ï³ùñùÇñ ¿ ÇÙ³Ý³É, Ã» áñï»Õ ¨ »ñµ »Ý ÑáñÇÝí»É Ãí»ñÇÑ³Ù»Ù³ïÙ³Ý Ýß³ÝÝ»ñÁ: = Ýß³ÝÁ ·áñÍ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñ»É³Ý·ÉÇ³óÇ ·ÇïÝ³Ï³Ý è » ù á ¹ Á “The Whetstone of Witte” (§ØïùÇÑ»ë³Ý³ù³ñ¦) ·ñùáõÙ 1557 Ã.. Ýñ³ Ï³ñÍÇùáíª §àã ÙÇ »ñÏáõ µ³Ý

ã»Ý Ï³ñáÕ ³í»ÉÇ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝ»É Çñ³ñ, ù³Ý »ñÏáõ ÷áùñÇÏ ½áõ·³Ñ»é·ÍÇÏÝ»ñÁ¦: ²ÝÑ³í³ ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ > ¨ < Ýß³ÝÝ»ñÝ ³é³çÇÝ ³Ý·³ÙÑ³Ý¹ÇåáõÙ »Ý ³Ý·ÉÇ³óÇ ·ÇïÝ³Ï³Ý Ð ³ ñ Ç á Ã Ç “Artis analyticae praxis”(§ì»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ³ñí»ëïÇ ÷áñÓ¦) ·ñùáõÙ 1631 Ã.:

94. ´Ý³Ï³Ý ÃÇ±í ¿ ³ñ¹Ûáù ½ñáÝ:95. ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùÁ Ï³ñá±Õ ¿ ëÏëí»É ½ñáÛáí:96. à±ñ Ãíáí ¿ ëÏëíáõÙ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùÁ:97. ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùáõÙ Ï³± ³ñ¹Ûáù Ù»ÏÇÝ Ý³Ëáñ¹áÕ ÃÇí:98. àñá±Ýù »Ý ³é³çÇÝ ï³ëÁ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ:99. Î³ñá±Õ ¿ 10-Á ÉÇÝ»É µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùÇ ëÏÇ½µÁ:100.¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ± ³ñ¹Ûáù ³ÛÝåÇëÇ µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÇÝ ãÇ Ñ³çáñ¹áõÙ

áõñÇßÁ:101.´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ù»ç Ï³± ³ñ¹Ûáù ³ÛÝåÇëÇÝ, áñÇÝ ãÇ Ý³Ëáñ¹áõÙ áõñÇßÁ:102.Âí»ñÁ ¹³ë³íáñ»°ù ³×Ù³Ý Ï³ñ·áí. 5, 9, 11, 2, 8, 1, 12, 4, 10, 7, 6, 3:103. ²ë»°ù áñ¨¿ µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ Ñ³ßíÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï Ñ³Ý¹ÇåáõÙ ¿ 867 ÃíÇó

Ñ»ïá:104. Âí»°ù ³ÛÝ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáÝù Ñ³ßí»ÉÇë Ñ³Ý¹ÇåáõÙ »Ý 14 ÃíÇó

³é³ç:105. îñí³Í 191, 85, 392, 45 Ãí»ñÇó ³é³ÝÓÝ³óñ»°ù Ýñ³Ýù, áñáÝù Ñ³ßí»ÉÇë

Ñ³Ý¹ÇåáõÙ »Ý 203 ÃíÇó ³é³ç:106. à±ñ ÃÇíÝ ¿ Ñ³çáñ¹áõÙ 19300584 ÃíÇÝ:107. à±ñ ÃÇíÝ ¿ Ý³Ëáñ¹áõÙ 38657¬ÇÝ:108. àñù³Ýá±í ¿ 1-Çó ï³ñµ»ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³çáñ¹ ÃÇíÁ Ù»Í

Ýñ³ Ý³Ëáñ¹Çó:109. ²ë»°ù ³ÛÝ µáÉáñ ÙÇ³ÝÇß Ãí»ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³çáñ¹ ÃÇíÁ

ÙÇ³ÝÇß µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿:110. à±ñÝ ¿ ³ÛÝ »é³ÝÇß ÃÇíÁ, áñÇ Ñ³çáñ¹ ÃÇíÁ »é³ÝÇß ã¿, ̈ á±ñÝ ¿ ³ÛÝ »ñÏÝÇß

ÃÇíÁ, áñÇ Ý³Ëáñ¹ ÃÇíÁ »ñÏÝÇß ã¿:

22

111. Æ±Ýã Ýß³ÝÝ»ñ »Ý ·áñÍ³ÍíáõÙ Ãí»ñÇ Ñ³Ù»Ù³ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ:112. ´»ñ»°ù ×Çßï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ ù³ÝÇ ûñÇÝ³Ï:113. Î³ñ¹³ó»°ù Ý³Ë³¹³ëáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ ¹ñ³Ýù ·ñ³é»°ù Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ¨

Ñ³Ù»Ù³ïÙ³Ý Ýß³ÝÝ»ñÇ ÙÇçáóáí.³) §ÐÇÝ· ³Ý·³Ù »ñ»ù¦¬Á Ù»Í ¿ §ãáñëÁ µ³Å³Ý³Í »ñÏáõëÇ¦¬Çó:µ) §øë³ÝÇÝ ·áõÙ³ñ³Í áõÃ¦¬Á ÷áùñ ¿ §ù³é³ëáõÝ ³Ý·³Ù »ñ»ù¦¬Çó:

114. ø³ÝÇ± Ï³ñ· Ï³ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ, ¨ áñá±Ýù »Ý ³Û¹Ï³ñ·»ñÁ.

566, 9501, 14724, 946202:115. à±ñ ¹³ë»ñÇó ¿ Ï³½Ùí³Í 532007289 ÃÇíÁ:116. Î³ñ¹³ó»°ù 27800391006 ÃÇíÁ: Üñ³Ý ³çÇó Ïó³·ñ»°ù 5 Ãí³Ýß³ÝÁ ¨

Ï³ñ¹³ó»°ù ëï³óí³Í ÃÇíÁ:117. Î³ñ¹³ó»°ù 770382964 ÃÇíÁ: Üñ³Ý Ó³ËÇó Ïó³·ñ»°ù 2 Ãí³Ýß³ÝÁ ¨

Ï³ñ¹³ó»°ù ëï³óí³Í ÃÇíÁ:118. Âí³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñ»°ùª »ñÏáõ ïñÇÉÇáÝ »ñ»ù Ñ³ñÛáõñ ÙÇÉÇ³ñ¹ ÛáÃ Ñ³ñÛáõñ

Ñ³½³ñ ùë³Ý:119. ºñÏáõ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 390 ¿: ¶áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó Ù»ÏÁ Ñ³ßíÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï

Ý³Ëáñ¹áõÙ ¿ 10 ÃíÇÝ: ¶ï»°ù ÙÛáõë ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ:120.îñí³Í »Ý 5, 3, 7 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ. ¹ñ³Ýóáí ·ñÇ° ³é»ù í»ó ï³ñµ»ñ »é³ÝÇß

Ãí»ñ (ÃíÇ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ ·áñÍ³Í»°ù Ù»Ï³Ï³Ý ³Ý·³Ù):ÀÝ¹·Í»°ù ³ÛÝ µáÉáñ Ãí»ñÁ, áñáÝóáõÙ 3 Ãí³Ýß³ÝÁ ·ñí³Í ¿ Ñ³ñÛáõñ-Û³ÏÝ»ñÇ Ï³ñ·áõÙ:

121.Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) (22 + 163) ⋅ 117, ·) (98 + 15) ⋅ 13, ») (294 – 180) ⋅ 77,µ) (58 + 151) ⋅ 19, ¹) (524 – 53) ⋅ 38, ½) (714 – 393) ⋅ 123:

122.ØÇ ·ñùáõÙ Ï³ 20 ¿ç, ÙÛáõëáõÙª 56: ø³ÝÇ± ¿ç Ï³ »ññáñ¹ ·ñùáõÙ, »Ã» Ýñ³¿ç»ñÇ ù³Ý³ÏÁ 7 ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ ¿, ù³Ý ³é³çÇÝ »ñÏáõ ·ñù»ñÇÝÁ ÙÇ³ëÇÝ:

123.¶ÇÝáõ »ñÏáõ Ï³ñ³ë Ï³: ²é³çÇÝáõÙ Ï³ñ 100 É ·ÇÝÇ: ²ÛÝ µ³ÝÇó Ñ»ïá, »ñµÝñ³ÝÇó í»ñóñÇÝ 30 É ·ÇÝÇ, Ýñ³ Ù»ç ÙÝ³ó »ñÏáõ ³Ý·³Ù å³Ï³ë ·ÇÝÇ,ù³Ý »ñÏñáñ¹áõÙ »Õ³ÍÝ ¿ñ: àñù³±Ý ·ÇÝÇ Ï³ñ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ³ëáõÙ:

124. ºñÏáõ Ï³Û³ñ³ÝÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 350 ÏÙ ¿: ²é³çÇÝ ·Ý³óùÝ ³Û¹×³Ý³å³ñÑÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ 2 Å³Ùáí å³Ï³ë Å³Ù³Ý³ÏáõÙ, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á:1 Å³ÙáõÙ ù³ÝÇ± ÏÇÉáÙ»ïñ ¿ ³ÝóÝáõÙ ³é³çÇÝ ·Ý³óùÁ, »Ã» »ñÏñáñ¹Á1 Å³ÙáõÙ ³ÝóÝáõÙ ¿ 50 ÏÙ:

125.ºñÏáõ Ý³í³Ù³ïáõÛóÝ»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í 120 ÏÙ ×³Ý³å³ñÑÁ Ý³í³ÏÝ ³Ýó-ÝáõÙ ¿ 6 Å³ÙáõÙ: ºÃ» Ý³í³ÏÁ ×³Ý³å³ñÑÇ ÙÇçÝ³Ï»ïáõÙ ëÏëÇ 1 Å³ÙáõÙ10 ÏÙ-áí ³í»ÉÇ ³ÝóÝ»É, ù³ÝÇ± Å³ÙáõÙ ÙÇ Ý³í³Ù³ïáõÛóÇó ÏÑ³ëÝÇÙÛáõëÁ:

23

126. ¶ñ³å³Ñ³ñ³ÝÇ »ñÏáõ ¹³ñ³ÏÝ»ñáõÙ Ï³ 102 ·Çñù: ºÃ» ³é³çÇÝ ¹³ñ³-ÏÇó 12 ·Çñù Ñ³Ý»Ýù, ³å³ ¹³ñ³ÏÝ»ñáõÙ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ù³Ý³Ïáí ·ñù»ñÏÉÇÝ»Ý: ø³ÝÇ± ·Çñù Ï³ ¹³ñ³ÏÝ»ñÇó ³Ù»Ý Ù»ÏáõÙ:

²í³Ý³ÏÝ áõ çáñÇÝ ÙÇ³ëÇÝ ·ÝáõÙ ¿ÇÝ` µ»éÝí³Í Ñ³í³ë³ñ ÏßÇé-Ý»ñ áõÝ»óáÕ å³ñÏ»ñáí: ²í³Ý³ÏÁ ¹Å·áÑáõÙ ¿ñ µ»éÇ Í³ÝñáõÃÛáõÝÇó:

– Æ±Ýã »ë ïñïÝçáõÙ, – ³ë³ó çáñÇÝ. – »Ã» ¹áõ ÇÝÓ ï³ë ùá å³ñÏ»-ñÇó Ù»ÏÁ, ³å³ ÇÙ µ»éÁ ùáÝÇó ÏñÏÝ³ÏÇ ß³ï Ï¹³éÝ³, ÇëÏ »Ã» »ë ù»½ï³Ù ÇÙ å³ñÏ»ñÇó Ù»ÏÁ, ³å³ Ù»ñ µ»éÝ»ñÁ Ýáñ ÙÇ³ÛÝ ÏÑ³í³ë³ñí»Ý:

ø³ÝÇ± å³ñÏ ¿ñ ï³ÝáõÙ Ýñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ:“Anthologia Graeca”

(§ÐáõÝ³Ï³Ý ³ÝÃáÉá·Ç³¦)·ñùÇó, X ¹ .

6. ´Ü²Î²Ü ÂìºðÆ Ð²ØºØ²îàôØÀ Üð²Üò ¶ð²èØ²Ü ÐÆØ²Ü ìð²

Ø»Ýù ·Çï»Ýù, áñ »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ³í»ÉÇ Ù»Í ¿ ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ Ñ³ßí»ÉÇë³í»ÉÇ áõß ¿ Ñ³Ý¹ÇåáõÙ: ºÃ» Ãí»ñÁ Ù»Í ã»Ý, ³å³ ÑÇß»Éáí Ýñ³Ýó¹³ë³íáñáõÃÛáõÝÁ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùáõÙª Ù»Ýù Ñ»ßïáõÃÛ³Ùµ Ñ³Ù»Ù³ïáõÙ»Ýù ¹ñ³Ýù. ³ÏÝÑ³Ûï ¿, ûñÇÝ³Ï, áñ 7¬Á Ù»Í ¿ 2¬Çó, ÇëÏ 67¬Á ÷áùñ ¿ 100¬Çó: ÆëÏÙ»Í Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿ ÏÇñ³é»É Ãí»ñÇ Ñ³Ù»Ù³ïÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ, áñÁ ÑÇÙÝí³Í¿ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·ñ³éÙ³Ý íñ³: ÐÇß»Ýù, áñ Ñ³ßí»ÉÇë Ãí»ñÁ Ñ³çáñ¹áõÙ »Ý Çñ³ñÑ»ï¨Û³É Ï»ñå. Ý³Ë ÙÇ³ÝÇß Ãí»ñÝ »Ý, Ýñ³ÝóÇó Ñ»ïáª »ñÏÝÇßÝ»ñÁ, ³å³ª»é³ÝÇßÝ»ñÁ, ù³é³ÝÇßÝ»ñÁ ¨ ³ÛÉÝ: Ð»ï¨³µ³ñ »Ã» »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ·ñ³éáõÙÝ»ñáõÙ ï³ñµ»ñ ù³Ý³ÏÝ»ñáí Ï³ñ·»ñ (Ãí³Ýß³ÝÝ»ñ) Ï³Ý,³å³ ³í»ÉÇ Ù»Í ¿ ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÇ Ï³ñ·»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³í»ÉÇ Ù»Í ¿: ÆëÏ»Ã» Ãí»ñáõÙ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ÝáõÛÝÝ ¿, ³å³ ³í»ÉÇ Ù»Í ¿ ³ÛÝ ÃÇíÁ,áñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í Ï³ñ·áõÙ ·ñí³Í ÃÇíÝ ³í»ÉÇ Ù»Í ¿: ºÃ» ³Ûë Ï³ñ·Ç Ãí»ñÁÝáõÛÝÝ »Ý, ³å³ Ñ³Ù»Ù³ïáõÙ »Ý Ñ³çáñ¹ Ï³ñ·»ñÁ ¨ ³Û¹å»ë ß³ñáõÝ³Ïª ÙÇÝã¨ÙÇ³íáñÝ»ñÇ Ï³ñ·Á:

úñÇÝ³Ï 1: àñáß»Ýù, Ã» áñ ÃÇíÝ ¿ ³í»ÉÇ Ù»Íª 86320¬Á, Ã» 354¬Á: ²é³çÇÝ ÃíÇ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ 5 ¿, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ÇÝáõÙª 3: ø³ÝÇ áñ 5¬Á3¬Çó Ù»Í ¿, Ñ»ï¨³µ³ñ ³é³çÇÝ ÃÇíÁ Ù»Í ¿ »ñÏñáñ¹Çó:

úñÇÝ³Ï 2: ¸Çï³ñÏ»Ýù 545 ¨ 845 Ãí»ñÁ: ²Ûë Ãí»ñáõÙ Ï³ñ·»ñÇ ù³Ý³ÏÁÝáõÛÝÝ ¿: àõñ»ÙÝ Ï³ÝáÝÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ` å»ïù ¿ Ñ³Ù»Ù³ï»É ³Ù»Ý³Ù»Í Ï³ñ·»ñÇÃí»ñÁ: ø³ÝÇ áñ 8¬Á 5¬Çó Ù»Í ¿, Ñ»ï¨³µ³ñ »ñÏñáñ¹ ÃÇíÁ Ù»Í ¿ ³é³çÇÝÇó:

24

úñÇÝ³Ï 3: Ð³Ù»Ù³ï»Ýù 8374 ¨ 8371 Ãí»ñÁ: Üñ³Ýó Ï³ñ·»ñÇ ù³Ý³ÏÁÝáõÛÝÝ ¿, ³é³çÇÝ »ñ»ù Ï³ñ·»ñáõÙ »Õ³Í Ãí»ñÁ ÝáõÛÝÝ »Ý, µ³Ûó ù³ÝÇ áñ³é³çÇÝ ÃíÇ í»ñçÇÝ Ï³ñ·Ç ÃÇíÁª 4¬Á, ³í»ÉÇ Ù»Í ¿, ù³Ý »ñÏñáñ¹ ÃíÇ í»ñçÇÝÏ³ñ·Ç ÃÇíÁª 1¬Á, áõñ»ÙÝ 8374 ¬Á Ù»Í ¿ 8371¬Çó:

127.ÆÝãå»±ë »Ý Ñ³Ù»Ù³ïáõÙ Ãí»ñÁ` ÑÇÙÝí»Éáí Ýñ³Ýó ·ñ³éÙ³Ý íñ³:128. à±ñ ÃÇíÝ ¿ Ñ³ßí»ÉÇë ³í»ÉÇ áõß Ñ³Ý¹ÇåáõÙª 37¬Á, Ã»± 33¬Á:129.à±ñÝ ¿ ³Ù»Ý³Ù»Í »ñÏÝÇß ÃÇíÁ:130.à±ñÝ ¿ ³Ù»Ý³÷áùñ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ:131. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ³Ù»Ý³Ù»Í ù³é³ÝÇß ÃÇíÁ Ý³Ëáñ¹áõÙ ¿ ³Ù»Ý³÷áùñ

ÑÝ·³ÝÇß ÃíÇÝ:132. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ³Ù»Ý³÷áùñ í»ó³ÝÇß ÃÇíÁ Ñ³çáñ¹áõÙ ¿ ³Ù»Ý³Ù»Í

ÑÝ·³ÝÇß ÃíÇÝ:133. ºñÏáõ Ãí»ñÇó á±ñÝ ¿ ³í»ÉÇ Ù»Í.

³) 12374 ¨ 9389, ¹) 874563 ¨ 785674,µ) 567213 ¨ 566213, ») 3766520032 ¨ 476389935,·) 9999 ¨ 11111, ½) 10010000 ¨ 100010000:

134. ºñÏáõ Ãí»ñÇó á±ñÝ ¿ ³í»ÉÇ ÷áùñ.³) 2367894 ¨ 2367994, ¹) 1111121111 ¨ 1111511111,µ) 13456 ¨ 53456, ») 9930399 ¨ 9931399,·) 89337658 ¨ 3321002567, ½) 67676776 ¨ 67677676:

135. ¶ñ³é»°ù Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ¨ Ñ³Ù»Ù³ï»°ù Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÁ.³) ÛáÃ Ñ³½³ñ áõÃ Ñ³ñÛáõñ »ñ»ëáõÝí»ó ¨ ÛáÃ Ñ³½³ñ áõÃ Ñ³ñÛáõñ

ùë³ÝÇÝÁ,µ) ï³ëÁ Ñ³½³ñ ÛáÃ Ñ³ñÛáõñ ù³é³ëáõÝãáñë ¨ ï³ëÁ Ñ³½³ñ í»ó

Ñ³ñÛáõñ ÇÝÝëáõÝÇÝÁ:136. ºÃ» ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Ýù áñ¨¿ Ãí³Ýß³Ý, ³å³ »ñÏáõ

Ãí»ñÇó á±ñÝ ³í»ÉÇ ÷áùñ ÏÉÇÝÇ.³) 5372 ¨ 3∗∗∗, ·) ∗11∗¨ 857, ») ∗277 ¨ 9287,µ) 9∗1 ¨ 1325, ¹) 405 ¨ 7∗1, ½) 51∗∗ ¨ 5041:

137. ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»°ù Ãí»ñÇ Ñ³Ù»Ù³ïÙ³Ý Ýß³ÝÝ»ñÇóÙ»ÏÁ (>, <, =) ³ÛÝå»ë, áñ ëï³óí³Í ·ñ³éáõÙÁ ×Çßï ÉÇÝÇ.

³) 316 ∗ 705, ·) 15 ∗ 17, ») 1437 ∗ 1437,µ) 21 ∗ 12, ¹) 1032 ∗ 2032, ½) 59962 ∗ 123745:

138. ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ·ñ»°ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ãí³Ýß³Ý, áñå»ë½Çëï³óí³Í ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ÉÇÝÇ.

³) ∗36 > 836, ·) 9∗9 < 939, ») 83∗ >830, ¿) 1∗∗ < 3∗5,µ) 5∗0 > 560, ¹) 81∗ < 817, ½) ∗00 > 300, Á) 2∗∗ < 2∗7:

25

139.²×Ù³Ý Ï³ñ·áí ·ñ»°ù ³ÛÝ µáÉáñ »é³ÝÇß Ãí»ñÁ, áñáÝóáõÙ Ñ³ñÛáõñÛ³ÏÝ»ñÇÏ³ñ·áõÙ 5 Ãí³Ýß³ÝÝ ¿, ÇëÏ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ Ï³ñ·áõÙª 7¬Á:

140.Î³ï³ñ»°ù µ³Å³ÝáõÙ ¨ ëï³óí³Í Ãí»ñÁ ¹³ë³íáñ»°ù ³×Ù³Ý Ï³ñ·áí.236 : 4, 14056 : 7, 29400 : 1960, 4025 : 175:

141. Î³ñá±Õ ¿ ³ñ¹Ûáù µ³½Ù³ÝÇß ÃíÇ ·ñ³éáõÙÁ ëÏëí»É 0-áí:142. ²Ù»Ý³ß³ïÁ ù³ÝÇ± ½ñá Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É í»ó³ÝÇß ÃíÇ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç:143. àõÃ ³Ý·³Ù ·ñ»°ù 8 Ãí³Ýß³ÝÁ ¨ Ï³ñ¹³ó»°ù ëï³óí³Í ÃÇíÁ:144. ¶áñÍ³Ííáõ±Ù ¿ ³ñ¹Ûáù 7 Ãí³Ýß³ÝÁ ³Ù»Ý³Ù»Í ÛáÃ³ÝÇß ÃíÇ ·ñ³éÙ³Ý

Ù»ç:145.¶ñ»°ù ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ Ñ³ßíÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï Ý³Ëáñ¹áõÙ ¿ ïñí³Í ÃíÇÝ, ¨

³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ Ñ³çáñ¹áõÙ ¿ Ýñ³Ý.³) 300, µ) 890, ·) 1234, ¹) 88799, »)10001, ½) 99991:

146.Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç 2, 5, 8 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ Ù»Ï³Ï³Ý ³Ý·³Ù·áñÍ³Í»Éáíª Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ï³ñµ»ñ »é³ÝÇß Ãí»ñ: ²Û¹ Ãí»ñÇó á±ñÝ ¿³Ù»Ý³Ù»ÍÁ, ¨ á±ñÝ ¿ ³Ù»Ý³÷áùñÁ:

147.¸³ë³ñ³ÝÇ 33 ³ß³Ï»ñïÝ»ñÇó 17¬Á ³ÕçÇÏÝ»ñ »Ý: ¸³ë³ñ³ÝáõÙïÕ³Ý»±ñÝ »Ý ³í»ÉÇ ß³ï, Ã»± ³ÕçÇÏÝ»ñÁ:

148.îáõ÷áõÙ Ï³Ý 41 ·Ý¹ÇÏÝ»ñª Ï³ñÙÇñ, Ï³åáõÛï ¨ Ý³ñÝç³·áõÛÝ: Î³ñÙÇñ·Ý¹ÇÏÝ»ñÁ 20 ³Ý·³Ù ³í»ÉÇÝ »Ý, ù³Ý Ý³ñÝç³·áõÛÝÝ»ñÁ: ø³ÝÇ±Ï³åáõÛï ·Ý¹ÇÏ Ï³ ïáõ÷áõÙ:

149.²ß³Ï»ñïÁ, Ï³ñ¹³Éáí ûñ³Ï³Ý 10 ¿ç, 6 ûñí³ ÁÝÃ³óùáõÙ Ï³ñ¹³ó»É ¿·ñùÇ Ï»ëÁ: ø³ÝÇ± ¿ç Ï³ ·ñùáõÙ:

150.Ð³í³ù³Í Ë³ÕáÕÁ Éóñ»É »Ý 12 ³ñÏÕ ¨ 36 ½³ÙµÛáõÕ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ³ñÏÕáõÙ ï»Õ³íáñí»É ¿ 20 Ï· Ë³ÕáÕ, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ½³ÙµÛáõÕáõÙª15 Ï·: ø³ÝÇ± ÏÇÉá·ñ³Ù Ë³ÕáÕ »Ý Ñ³í³ù»É:

151.¼ñ³Ñ³íáñí³Í ³ëå»ïÇ ½³Ý·í³ÍÁ 120 Ï· ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ ³ëå»ïÇ½³Ý·í³ÍÁ 40 Ï·-áí Ù»Í ¿ ½ñ³ÑÇ ½³Ý·í³ÍÇó: ¶ï»°ù ³ëå»ïÇ ¨ ½ñ³ÑÇ½³Ý·í³ÍÝ»ñÝ ³é³ÝÓÇÝ-³é³ÝÓÇÝ:

152.²ëïÕ³ÝÇß»ñÇ ÷áË³ñ»Ý ¹Ý»Éáí Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝß³ÝÝ»ñª ëï³ó»°ù ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) 5 ∗ 3 = 30 ∗ 2, ¹) 32 ∗ 4 = 25 ∗ 17, ¿) 11 ∗ 20 = 17 ∗ 14,µ) 18 ∗ 3 = 2 ∗ 4, ») 48 ∗ 6 = 21 ∗ 13, Á) 32 ∗ 8 = 50 ∗ 10,·) 5 ∗ 7 = 90 ∗ 55, ½) 24 ∗ 18 = 60 ∗ 54, Ã) 51 ∗ 41 = 23 ∗ 4:

ÜÏ³ñÇãÁ ÝÏ³ñáõÙ ¿ Ï³ñÙÇñ, Ï³åáõÛï ¨ ¹»ÕÇÝ Ý»ñÏ»ñáí: ÆñëÇñ³Í ·áõÛÝÁ Ý³ ³Ù»ÝÇó Ñ³×³Ë ¿ û·ï³·áñÍáõÙ: Î³åáõÛï ·áõÛÝÁÝ³ û·ï³·áñÍáõÙ ¿ ¹»ÕÇÝÇó Ñ³½í³¹»å ¨ Ï³ñÙÇñÇó Ñ³×³Ë: à±ñÝ ¿ÝÏ³ñãÇ ³Ù»Ý³ëÇñ³Í ·áõÛÝÁ:

26

7. ØºÎÀ Úàôð²Ð²îàôÎ ÂÆì ¾

ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÝ ³é³ç³ó»É »Ý ³é³ñÏ³Ý»ñÁ Ñ³ßí»Éáõå³Ñ³ÝçÙáõÝùÇó. ³Ù»Ý ÙÇ Ñ³ßíÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ́ áÉáñ µÝ³Ï³ÝÃí»ñÇó ÙÇ³ÛÝ 1¬Ý ¿, áñ Ñ³ßíÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝù ã¿: ê³ 1 ÃíÇ Ûáõñ³Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ¿: 1¬Á ó³ÝÏ³ó³Í ³é³ÝÓÇÝ í»ñóí³Í ³é³ñÏ³ÛÇ (ÙÇ³íáñÇ) Ýß³Ý³ÏáõÙÝ¿: ØÇ³íáñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ù³ñ»É Ù»Ï ù³ñÁ, »Ã» Ñ³ßíáõÙ »Ýù Ñ³í³ù³Í ù³ñ»ñÇù³Ý³ÏÁ, Ï³Ù Ù»Ï ïáõÝÁ, »Ã» Ñ³ßíáõÙ »Ýù ïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ·ÛáõÕáõÙ. ·ÛáõÕÝÇÝùÁ Ï³ñáÕ ¿ í»ñóí»É áñå»ë ÙÇ³íáñ, »Ã» å»ïù ¿ Ñ³ßí»É ·ÛáõÕ»ñÇ ù³Ý³ÏÁßñç³ÝáõÙ:

Ø»Ï ÃÇíÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) Ù»ÏÁ ÷áùñ ¿ ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý ÃíÇó.µ) áñ¨¿ ÃÇí Ù»Ïáí µ³½Ù³å³ïÏ»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ ÃÇíÁ.·) áñ¨¿ ÃÇí Ù»ÏÇ µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ ÃÇíÁ:

153. à±ñÝ ¿ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùÇ ³é³çÇÝ ÃÇíÁ:154. Âí³ñÏ»°ù Ù»ÏÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:155. ¶ÛáõÕ³ïÝï»ë³Ï³Ý ³ßË³ï³ÝùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÑáÕ³·áñÍÁ ·Ý»É ¿ µ³Ñ,

·»ñ³Ý¹Ç, Ù³Ý·³Õ ¨ »Õ³Ý: ø³ÝÇ± ÙÇ³íáñ ·ÛáõÕ³ïÝï»ë³Ï³Ý ·áñÍÇù¿ ·Ý»É ÑáÕ³·áñÍÁ:

156. ø³ÝÇ± ï³é (ÙÇ³íáñ) ¿ å³ñáõÝ³ÏáõÙ Ñ³Û»ñ»ÝÇ ³Ûµáõµ»ÝÁ:157. ´»ñ»°ù ûñÇÝ³ÏÝ»ñ, »ñµ »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½Ù³å³ïÏáõÙáí

ëï³óíáÕ ÃÇíÁ Ù»Í ã¿ µ³½Ù³å³ïÏíáÕ Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇó:158. à±ñ ¹»åùáõÙ ¿ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ñ³í³ë³ñ

µ³½Ù³å³ïÏíáÕ Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇÝ:159. ºñÏáõ Ãí»ñÇó Ù»ÏÁ ÙÛáõëáí µ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ ¨ Ýñ³Ý µ³Å³Ý»Éáõ

¹»åùáõÙ ëï³óíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ 11 ÃÇíÁ: àñá±Ýù »Ý ³Û¹ Ãí»ñÁ:

27

160. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) 5 ⋅ 1 + 1 : 1 + 3 ⋅ 1 – 1 ⋅ 1, ¹) (45 : 9 – 24 : 6) ⋅ 1 + 2 ⋅ 1,µ) 1 : (10– 9) + 25 ⋅ 1 – 1 ⋅ 14, ») (1 + 1) : 1 + 1 : (3 – 2) + 4 ⋅ 1– 1 : 1,·) (1 ⋅ 38 – 1 ⋅ 37) : 1 – 1 : 1, ½) (25 – 24) ⋅ (6 – 5) + 1 : 1 + (8 – 7) ⋅ 1, ¿) (453 – 452) : (17 – 16) + 1 ⋅ 1:

161.²é³Ýó ·ñ³íáñ Ñ³ßíáõÙÝ»ñ Ï³ï³ñ»Éáõ` Ïé³Ñ»°ù, Ã» ÇÝãÇ ¿ Ñ³í³ë³ñ³é³çÇÝ ÑÇÝ· Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:

162.¶ñ»°ù ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ ù³é³ÝÇß ÃÇíÁ, áñÁ ãÇ ÷áËíáõÙ Ýñ³ ·ñ³éÙ³ÝÙ»ç Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ:

163.à±ñ ¹»åùáõÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ áñáß³ÏÇáñ»Ý ÇÙ³Ý³É, Ã» áñ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý Ýß³ÝÁåÇïÇ ÉÇÝÇ ³ëïÕ³ÝÇßÇ ï»ÕáõÙ.³) 1 * 1 = 0, µ) 1 * 1 = 1, ·) 1 * 1 = 2:

164.ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ÝáõÛÝ ù³Ý³Ïáí Ï³ñ·»ñ áõÝ»óáÕ Ãí»ñÇó³Ù»Ý³÷áùñÁ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñ ¿:

165. ¶áñÍ³Ííáõ±Ù ¿ ³ñ¹Ûáù 5 Ãí³Ýß³ÝÁ ³Ù»Ý³÷áùñ ÑÝ·³ÝÇß ÃíÇ ·ñ³éÙ³ÝÙ»ç:

166.êïáñ¨ ïñí³Í µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ¹³ë³íáñ»°ù ³×Ù³Ý Ï³ñ·áí.236627, 8563219, 93671111, 9534, 610003:

167. êïáñ¨ ïñí³Í µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ¹³ë³íáñ»°ù Ýí³½Ù³Ý Ï³ñ·áí.375, 2604, 3621159, 6360317, 9992015:

168. êïáõ·»°ù, Ã» ×Çßï »Ý ³ñ¹Ûáù Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) 537 + 18 + 625 > 793 + 614 + 5, ·) 699 – 13 + 1025 > 170 + 414 – 8,µ) 66 + 725 + 414 < 65 + 17 + 1032, ¹) 2025 – 1388 + 397 < 757 – 120:

169. êÏÛáõéÁ 10 ñáå»áõÙ áõïáõÙ ¿ 8 ÁÝÏáõÛ½: ø³ÝÇ± ñáå»áõÙ ëÏÛáõéÁ ÏáõïÇ40 ÁÝÏáõÛ½:

170. ´ñáõïÁ 1 ûñáõÙ å³ïñ³ëïáõÙ ¿ñ 5 Ï×áõ×: Üáñ ã³ñù ï»Õ³¹ñ»Éáõó Ñ»ïáÝ³ ëÏë»ó 1 ûñáõÙ 3 Ï×áõ×áí ³í»ÉÇ å³ïñ³ëï»É: ø³ÝÇ± Ï×áõ× Ïå³ï-ñ³ëïÇ µñáõïÁ 7 ûñáõÙ:

171. ºñÏáõ ÑáïáõÙ Ï³ 120 áãË³ñ: ºÃ» »ñÏñáñ¹ ÑáïÇÝ ³í»É³óÝ»Ý 40 áãË³ñ,³å³ »ñÏáõ Ñáï»ñáõÙ áãË³ñÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ»ñÁ ÏÑ³í³ë³ñí»Ý: ø³ÝÇ±áãË³ñ Ï³ ³Ù»Ý ÙÇ ÑáïáõÙ:

172.ºñÏáõ ³ñï»ñÇó óáñ»Ý Ñ³í³ù»óÇÝ. ³é³çÇÝ ³ñïÇóª 3200 Ï·, »ñÏñáñ-¹Çóª 8800 Ï·: ²å³ ³ÙµáÕç µ»ñùÁ ï³ñ³Ý ë³ÛÉ»ñáí: ø³ÝÇ± ë³ÛÉ å³-Ñ³Ýçí»ó, »Ã» Ýñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ 400 Ï· óáñ»Ý:

173.´³½Ù³Ñ³ñÏ ß»ÝùáõÙ Ï³ 64 µÝ³Ï³ñ³Ý, ÇëÏ Ýñ³ Ñ³ñ¨³ÝáõÃÛ³Ùµ·ïÝíáÕ ãáñë ÙÇ³ÝÙ³Ý ß»Ýù»ñáõÙ ÙÇ³ëÇÝª 144 µÝ³Ï³ñ³Ý: ²Û¹ß»Ýù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ áñù³Ýá±í ³í»ÉÇ ùÇã µÝ³Ï³ñ³Ý Ï³, ù³Ýµ³½Ù³Ñ³ñÏáõÙ:

174.Ø³ñ³ÃáÝÛ³Ý í³½ùÇ Å³Ù³Ý³Ï »ñÏáõ í³½áñ¹ ³é³ç ¿ÇÝ ÁÝÏ»ÉÙÛáõëÝ»ñÇó: ì³½ùÇ ³é³çÇÝ Å³ÙáõÙ Ýñ³Ýó ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÝáõÛÝÝ ¿ÇÝ,ÇëÏ Ñ»ïá Ù»ÏÁ í³½áõÙ ¿ñ 17 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ, ÙÛáõëÁª 14 ÏÙ/Å: ì³½ùÁëÏë»Éáõó 2 Å Ñ»ïá áñù³±Ý ÏÉÇÝÇ Ýñ³Ýó ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:

28

175. ¸»ñÓ³ÏÝ áõÝÇ Ù³Ñáõ¹Ç 16 Ù »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ ÙÇ Ïïáñ, áñÇó ³Ù»Ý ûñÏïñáõÙ ¿ 2 Ù: ø³ÝÇ± ûñ Ñ»ïá Ý³ ÏÏïñÇ í»ñçÇÝ ÏïáñÁ:

Îé³Ñ»°ù, Ã» ÇÝã Ãí»ñ å»ïù ¿ ·ñ»É ³ëïÕ³ÝÇß»ñÇ ÷áË³ñ»Ý.

∗∗∗∗∗ ⋅⋅⋅⋅⋅ 9 + ∗∗∗∗∗ = 11111

0 ⋅⋅⋅⋅⋅ 9 + 1 = 1 ∗∗∗∗∗ ⋅⋅⋅⋅⋅ 9 + ∗∗∗∗∗ = 111111

1 ⋅⋅⋅⋅⋅ 9 + 2 = 11 ∗∗∗∗∗ ⋅⋅⋅⋅⋅ 9 + ∗∗∗∗∗ = 1111111

12 ⋅⋅⋅⋅⋅ 9 + 3 = 111 ∗∗∗∗∗ ⋅⋅⋅⋅⋅ 9 + ∗∗∗∗∗ = 11111111

123 ⋅⋅⋅⋅⋅ 9 + 4 = 1111 ∗∗∗∗∗ ⋅⋅⋅⋅⋅ 9 + ∗∗∗∗∗ = 111111111

8. ¼ðàÜ ºì Üð² Ð²îÎàôÂÚàôÜÜºðÀ

¼ñáÝ µÝ³Ï³Ý ÃÇí ã¿, ù³ÝÇ áñ Ñ³ßí»ÉÇë ãÇ û·ï³·áñÍíáõÙ: ¼ñáÝ ÇÝã¬áñµ³ÝÇ µ³ó³Ï³ÛáõÃÛ³Ý Ýß³ÝÝ ¿: úñÇÝ³Ïª »Ã» ë»ÝÛ³ÏáõÙ áã áù ãÏ³, ³å³Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»É. §ê»ÝÛ³ÏáõÙ Ù³ñ¹Ï³Ýó ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ¦, Ï³Ù »Ã»ÃíÇ áñ¨¿ Ï³ñ·áõÙ ·ñí³Í ¿ ½ñá, Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ª Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï³ñ·³ÛÇÝÙÇ³íáñÁ µ³ó³Ï³ÛáõÙ ¿: ¼ñáÝ ·ñÇ ³éÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ µáÉáñÇëÍ³ÝáÃ 0 Ýß³ÝÁ:

0¬Ý áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) ½ñáÝ ÷áùñ ¿ ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý ÃíÇó.µ) áñ¨¿ ÃíÇ ½ñá ·áõÙ³ñ»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ ÃÇíÁ.·) ½ñáÛÇÝ áñ¨¿ ÃÇí ·áõÙ³ñ»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ ÃÇíÁ.¹) »Ã» ÃíÇó Ñ³Ý»Ýù ½ñá, ³å³ ÃÇíÁ ãÇ ÷áËíÇ.») ½ñáÝ áñ¨¿ Ãíáí µ³½Ù³å³ïÏ»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ ½ñá.½) ½ñáÝ ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý ÃíÇ µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ ½ñá.¿) ÃÇíÁ ½ñáÛÇ µ³Å³Ý»É ãÇ Ï³ñ»ÉÇ:

29

176. ´Ý³Ï³Ý ÃÇ±í ¿ ³ñ¹Ûáù 0¬Ý:177. Âí³ñÏ»°ù ½ñáÛÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:178. Î÷áËíÇ± ³ñ¹Ûáù ÃÇíÁ, »Ã» Ýñ³ÝÇó Ñ³Ý»Ýù 0 Ï³Ù Ýñ³Ý ·áõÙ³ñ»Ýù 0:179. Î³ñ»ÉÇ± ¿ ³ñ¹Ûáù µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ µ³Å³Ý»É 0¬Ç:180. Î³ñ»ÉÇ± ¿ 0¬Ý µ³Å³Ý»É µÝ³Ï³Ý ÃíÇ:181. Æ±Ýã ¿ Ýß³Ý³ÏáõÙ 0 Ãí³Ýß³ÝÁ ÃíÇ ¹Çñù³ÛÇÝ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç:182. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.

³) 1 ⋅ 0, ¹) 9 – 0, ¿) (25 – 75 : 3) : 2,µ) 0 : 8, ») 0 – 0 + 0, Á) 10 ⋅ (11 – 121 : 11),·) 0 + 6, ½) 0 ⋅ 0 – 0 ⋅ 0, Ã) 5 – 0 + 13 ⋅ 0 – 4 ⋅ 0:

183. êïáõ·»°ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ßïáõÃÛáõÝÁ.³) 20 ⋅ 3 – 120 : 2 < 5, ·) 3 ⋅ 24 – 56 > 6 ⋅ 0 – 13 ⋅ (12 – 24 : 2),µ) 5 ⋅ 0 –17 ⋅ 0 + 0 < 17, ¹) 1 + 0 – 0 + 1 – 0 ⋅ 0 + 2 : 2 > 1 – 1:

184. Î³ñá±Õ ¿ ³ñ¹Ûáù »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ñ³í³ë³ñÉÇÝ»É 0¬Ç:

185. ºñÏáõ Ãí»ñÇ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ 0 ¿: ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñµ³½Ù³å³ïÏíáÕ Ãí»ñÇó Ù»ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 0¬Ç:

186. à±ñÝ ¿ ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÝ Çñ»Ýáí µ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ ¹»åùáõÙ Ïëï³óíÇ ½ñá:187. ØÇ ÃíÇó ÙÛáõëÁ Ñ³Ý»Éáíª ëï³ó»É »Ý 0: ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ³Û¹ »ñÏáõ

Ãí»ñÝ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý:188. ¼ñáÛÇó ÙÇÝã¨ Ñ³ñÛáõñ Ãí»ñÇ ·ñ³éáõÙÝ»ñáõÙ ù³ÝÇ± ³Ý·³Ù ¿

·áñÍ³ÍíáõÙ 0 Ãí³Ýß³ÝÁ:189. ¶ñ³ï³Ëï³ÏÇÝ ·ñí³Í ¿ÇÝ 5, 13, 10025, 7699421 Ãí»ñÁ: ²ß³Ï»ñïÝ»ñÁ

Ñ³ÝÓÝ³ñ³ñáõÃÛáõÝ ëï³ó³Ýª ÁÝïñ»É áñ¨¿ ÃÇí ¨ ³ÛÝ ·áõÙ³ñ»É ïñí³ÍÃí»ñÇó ³Ù»Ý Ù»ÏÇÝ: ²ß³Ï»ñïÝ»ñÇó Ù»ÏÝ ³ÝÙÇç³å»ë Ï³ï³ñ»ó ³Û¹Ñ³ÝÓÝ³ñ³ñáõÃÛáõÝÁª ·ñ»Éáí ÝáõÛÝ Ãí»ñÁ: à±ñ ÃÇíÁ áñå»ë »ñÏñáñ¹·áõÙ³ñ»ÉÇ ÁÝïñ»ó ³ß³Ï»ñïÁ:

190. ¶ï»°ù 17¬Çó Ù»Í ¨ 23¬Çó ÷áùñ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:191. êïáõ·»°ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ßïáõÃÛáõÝÁ.

³) 5 ⋅ 37 > 4 ⋅ 18, ·) 25 ⋅ 13 > 18 ⋅ 14,µ) 40 ⋅ 81 < 10 ⋅ 23, ¹) 91 ⋅ 44 > 33 ⋅ 92:

192.ØÇ ÃíÇ ·ñ³éáõÙÁ ëÏëíáõÙ ¿ 5 Ãí³Ýß³Ýáí, ÇëÏ ÙÛáõëÇÝÁª 7¬áí: ÖÇ±ßï ¿³ñ¹Ûáù, áñ »ñÏñáñ¹ ÃÇíÝ ³é³çÇÝÇó Ù»Í ¿: ´»ñ»°ù ûñÇÝ³ÏÝ»ñ:

193.¶ñ»°ù ³ÛÝ µáÉáñ »é³ÝÇß Ãí»ñÁ, áñáÝù ·ñÇ »Ý ³éÝíáõÙ 5, 0, 2 Ãí³Ýß³Ý-Ý»ñÇ ÙÇçáóáí:

30

194.Ð»ï¨Û³É ·ñ³éáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý Ãí³-Ýß³ÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ·ñ»Éáíª ëï³ó»°ù ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) 10 – ∗ = 7, ¹) 438 – 21∗ = 225, ¿) 3∗∗ – ∗21 = 167,µ) 9∗ – 82 = 16, ») ∗59 – 3∗1 = 628, Á) 9∗7 – 50∗ = ∗23,·) 8∗ – ∗3 = 52, ½) ∗78 – 4∗6 = 12∗, Ã) 654 – 4∗∗ = ∗19:

195.Î³Ý µ³½Ù³ÝÇß Ãí»ñ, áñáÝù ·ñÇ »Ý ³éÝíáõÙ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÇû·ï³·áñÍáõÙáí, ûñÇÝ³Ï` 3333: àñù³±Ý ¿ ³Û¹å»ë Ï³½Ùí³Í »ñÏÝÇßÃí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ: ÆëÏ »é³ÝÇßÝ»ñÇ±ÝÁ:

196.¼µáë³ßñçÇÏÝ»ñÝ ³ñß³íÁ ëÏë»É »Ý ÑáõÝÇëÇ 13¬ÇÝª Å. 12¬ÇÝ, ̈ ×³Ý³å³ñÑÇÝ»Ý ·ïÝí»É 8 ûñ 19 Å: ²ÙëÇ ù³ÝÇëÇ±Ý »Ý Ýñ³Ýù Ñ³ë»É áñáßí³Í í³ÛñÁ:

197.ä³ß³ñí³Í ³ÙñáóÇó »ñÏáõ ëáõñÑ³Ý¹³Ï û·ÝáõÃÛáõÝ ËÝ¹ñ»Éáõ »Ý ßï³åáõÙÑ³Ï³¹Çñ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí: ²é³çÇÝÁ í³½áõÙ ¿ 17 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ,»ñÏñáñ¹Áª 14 ÏÙ/Å: àñù³±Ý ÏÉÇÝÇ Ýñ³Ýó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 4 Å Ñ»ïá:

198. ²ñ³ÙÝ ³ñÃÝ³ó»É ¿ ³é³íáïÛ³Ý Å³ÙÁ 7-Ý ³Ýó 10 ñáå»ÇÝ, ²ñÙ»ÝÁªÝñ³ÝÇó 25 ñ ßáõï, êáõñ»ÝÁª ²ñÙ»ÝÇó 17 ñ áõß, ÇëÏ èáõµ»ÝÁª êáõñ»ÝÇó 15 ñáõß: ¶ñ»°ù ïÕ³Ý»ñÇ ³ÝáõÝÝ»ñÁ Ýñ³Ýó ³ñÃÝ³Ý³Éáõ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµ:

199. ²Ûëûñ »ñ»ùß³µÃÇ ¿, »ñ»ÏáÛ³Ý Å. 7-Á: Þ³µ³Ãí³ Ç±Ýã ûñ ÏÉÇÝÇ, »ñµ ³Ýó³ÍÉÇÝÇ 18 Å, 1 ûñ, 5 ûñ, 8 ûñ 6 Å, 27 ûñ 3 Å:

200. ²×Ù³Ý Ï³ñ·áí ·ñ»°ù ³ÛÝ µáÉáñ »é³ÝÇß Ãí»ñÁ, áñáÝóáõÙ ÙÇ³íáñÝ»ñÇÏ³ñ·áõÙ ·ñíáõÙ ¿ 6 Ãí³Ýß³ÝÁ, ÇëÏ ï³ëÝÛ³ÏÝ»ñÇ Ï³ñ·áõÙª 4Ãí³Ýß³ÝÁ:

201. êïáõ·»°ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ßïáõÃÛáõÝÁ.³) (193484 – 74) : 1535 > (33041 – 22) : 623,µ) (37061128 + 23) : 507687< (1925 + 77) : 22,·) (42566 – 49) : 697 > (3715 – 229) : 498,¹) (37495 + 11) : 133 < (10042 + 2) : 27:

202.Ð»ÍÛ³ÉÝ ³é³çÇÝ Å³ÙáõÙ ³Ýó³í 15 ÏÙ, »ñÏñáñ¹áõÙª 4 ÏÙ¬áí ³í»ÉÇ, ÇëÏ»ññáñ¹áõÙª »ñÏñáñ¹Çó 2 ÏÙ¬áí ³í»ÉÇ: ø³ÝÇ± ÏÇÉáÙ»ïñ ³Ýó³í Ñ»ÍÛ³ÉÁ3 Å³ÙáõÙ:

¶²ÚÈÀ, ²ÚÌÀ ºì Î²Ô²Ø´À¶ÛáõÕ³óÇÝ åÇïÇ ·»ïÇ ÙÛáõë ³÷Ý ³ÝóÏ³óÝÇ ·³ÛÉÇÝ, ³ÛÍÇÝ ¨

Ï³Õ³ÙµÁ: ´³Ûó Ý³í³ÏÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ Ýñ³ Ù»ç Ï³ñáÕ »Ýï»Õ³íáñí»É ÙÇ³ÛÝ ·ÛáõÕ³óÇÝ ¨ Ýñ³ Ñ»ï Ï³°Ù ÙÇ³ÛÝ ·³ÛÉÁ, Ï³°Ù

ÙÇ³ÛÝ ³ÛÍÁ, Ï³°Ù ÙÇ³ÛÝ Ï³Õ³ÙµÁ: ê³Ï³ÛÝ »Ã» Ý³ ³ÛÍÇÝ ÃáÕÝÇ ·³ÛÉÇÑ»ï, ³å³ ·³ÛÉÁ ÏáõïÇ ³ÛÍÇÝ, ÇëÏ »Ã» ÃáÕÝÇ ³ÛÍÇÝ ¨ Ï³Õ³ÙµÁ, ³å³³ÛÍÁ ÏáõïÇ Ï³Õ³ÙµÁ: ÆÝãå»±ë ï»Õ³÷áËÇ Çñ µ»éÁ ·ÛáõÕ³óÇÝ:

üñ³ÝëÇ³óÇ ·ÇïÝ³Ï³Ý ¨ Ù³ÝÏ³í³ñÅ ²ÉÏáõÇÝÇ (735–804) §ÊÝ¹ÇñÝ»ñ Ýñµ³ÙïáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ¦ ÅáÕáí³ÍáõÇó

31

9. ØºÎÀ ºì ¼ðàÜ Ø²ÂºØ²îÆÎ²ÚÆ §²ÔÚàôêÆÎÜºðÜ¦ ºÜ.

ÂìÆ Ð²êÎ²òàôÂÚàôÜÀ ÐÆÜ ²ÞÊ²ðÐÆ Øî²ÌàÔÜºðÆ Øàî

Ø»Ýù ·Çï»Ýù, áñ Ù»ÏÁ ¨ ½ñáÝ Ûáõñ³Ñ³ïáõÏ Ãí»ñ »Ý: ØÇÝã µáÉáñÃí»ñÝ Çñ»Ýó Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ù³Ý³Ïáí Ù»Ï»ñÇ ·áõÙ³ñÝ »Ý Ýß³-Ý³ÏáõÙ (ÑÇß»Ýù 1¬ÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÁ), Ù»ÏÁ ¨ ½ñáÝ ³Û¹åÇëÇÝ ã»Ý. ¹ñ³Ýù»É³Ï»ï³ÛÇÝ, Ç ëÏ½µ³Ý» ïñí³Í Ãí»ñ »Ý: ò³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý ÃÇíÏ³ñ»ÉÇ ¿ ·ñÇ ³éÝ»É ÙÇ³ÛÝ 1 ¨ 0 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: Âí»ñÇ ³Û¹·ñ³éÙ³Ý Ù»ç ³çÇó ³é³çÇÝ Ãí³Ýß³ÝÁ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë ÃíÇ Ù»ç ÙÇ³-íáñÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ (0 Ï³Ù 1), »ñÏñáñ¹Á óáõÛó ¿ ï³ÉÇë Ù»Ï»ñÇ ½áõÛ·»ñÇù³Ý³ÏÁ (0 Ï³Ù 1), »ññáñ¹Áª ù³éÛ³ÏÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ (0 Ï³Ù 1), ãáññáñ¹ÁªáõÃÝÛ³ÏÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ (0 Ï³Ù 1), ¨ ³ÛÉÝ:

úñÇÝ³Ï` ÑÇÝ· ÃÇíÁ (1+1+1+1+1) ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É ·ñ³éáõÙÁ` 101:²Ûë ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç Ó³ËÇó ³é³çÇÝ Ãí³Ýß³ÝÁ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë Ù»Ï»ñÇù³éÛ³ÏÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, Ó³ËÇó »ññáñ¹ Ãí³Ýß³ÝÁ` ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ,ÇëÏ Ù»Ï»ñÇ ½áõÛ·»ñÇ µ³ó³Ï³ÛáõÃÛ³Ý å³ï×³éáí Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ýï»ÕáõÙ ·ñí³Í ¿ 0:

¸Çñù³ÛÇÝ ·ñ³éÙ³Ý ³ÛëåÇëÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏáõ³Ï³Ý,ù³ÝÇ áñ Ýñ³ÝáõÙ û·ï³·áñÍíáõÙ »Ý ÙÇ³ÛÝ »ñÏáõ Ãí³Ýß³Ý` 0 ¨ 1: 1¬ÇÝ³ÕÛáõë³ÏáõÙ ·ñí³Í Ãí»ñÁ »ñÏáõ³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·áí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³-Û³óÝ»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.

0 ~ 01 = 1 ~ 12 = 1 + 1 ~ 103 = 1 + 1 + 1 ~ 11 ²ÕÛáõë³Ï 64 = 1 + 1 + 1 + 1 ~ 1005 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ~ 1016 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ~ 1107 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ~ 1118 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ~ 10009 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ~ 1001

²Ûë Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁÏ³ï³ñíáõÙ »Ý ½³ñÙ³Ý³ÉÇ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùµ: úñÇÝ³Ï` Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý¨ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÁ µ³ÕÏ³ó³Í »Ý ÁÝ¹³Ù»ÝÁ ãáñë³Ï³ÝïáÕÇó ¨ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ.

0 + 0 = 0 0 ⋅ 0 = 00 + 1 = 1 0 ⋅ 1 = 01 + 0 = 1 1 ⋅ 0 = 01 + 1 = 10 1 ⋅ 1 = 1

32

´»ñ»Ýù »ñÏáõ³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ µ³½Ù³å³ïÏÙ³ÝÙÇ ù³ÝÇ ûñÇÝ³Ï.

ÐÇÝ ÷ÇÉÇëá÷³Ý»ñÁ É³í å³ïÏ»ñ³óÝáõÙ ¿ÇÝ Ù»ÏÇ ¨ ½ñáÛÇ áÕçÏ³ñ¨áñáõÃÛáõÝÁ: Üñ³Ýó Ñ³Û³óùÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª Ñ³Ï³¹ñáõÃÛáõÝ»ñÝÁÝÏ³Í »Ý ß³ï ÇñáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÑÇÙùáõÙ: ò»ñ»ÏÁ ¨ ¶Çß»ñÁ, Çñ³ñÑ³çáñ¹»Éáí, ÍÝáõÝ¹ »Ý ï³ÉÇë Å³Ù³Ý³ÏÇÝ. ²ñ³Ï³Ý ¨ Æ·³Ï³ÝëÏ½µÝ³ÑÇÙù»ñÁ ë»ñáõÙ »Ý ÎÛ³ÝùÁ. êåÇï³Ï ¨ ê¨ Ý»ñÏ»ñÁ ä³ïÏ»ñ »Ý³é³ç³óÝáõÙ. ÐÝãÛáõÝÁ ¨ ¸³¹³ñÁ ÍÝáõÙ »Ý ºñ³ÅßïáõÃÛáõÝÁ: ²ÛëÇÙ³ëïáíª 1¬Á ¨ 0¬Ý, ÝáõÛÝå»ë Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý»Éáí §Î³¦¬§âÏ³¦Ñ³Ï³¹ñáõÃÛ³ÝÁ, ë»ñáõÙ »Ý Âí»ñÁ:

ÜÏ. 4. ²Ûëï»Õ å³ïÏ»ñ-í³Í ¿ Ù»Í ãÇÝ³Ï³Ý Ù»-ÝáõÛÃÁ,áñÁ ËáñÑñ¹³ÝßáõÙ¿ Ñ³Ï³¹Çñ ëÏ½µáõÝùÝ»ñÁ(ÆÝ ¨ Ú³Ý) ¨ Ýñ³Ýó ÙÇ-³ëÝáõÃÛáõÝÁ:

´ÝáõÃÛ³Ý »ñ¨áõÛÃÝ»ñÇ ù³Ý³Ï³ÛÇÝ ÑÇÙù»ñÁ ÙÇßï ·ñ³í»É »Ý÷ÇÉÇëá÷³Ý»ñÇ áõß³¹ñáõÃÛáõÝÁ: ì»ñ³ÍÝÝ¹Ç ¹³ñ³ßñç³ÝÇ ÷ÇÉÇëá÷³Ü Ç Ï á É ³ áõ ë Î áõ ½ ³ ó Ç Ý ·ñ»É ¿. §Ø»ÏÝ Çñ ÙÇçÇó Í³í³ÉáõÙ ¿ ÃÇíÁ,ÇëÏ ó³ÝÏ³ó³Í ÃíÇ Ù»ç ·ïÝíáõÙ ¿ áã ³ÛÉ ÇÝã, »Ã» áã Ù»ÏÁ¦: àõß ßñç³ÝÇ³ÝïÇÏ Ëáßáñ³·áõÛÝ ÷ÇÉÇëá÷³ ä É á ï Ç Ý á ë Ý ³ë»É ¿. §Æ±Ýã ¿ Ù»ÏÁ:´áÉáñ Çñ»ñÇ Ý»ñáõÝ³Ï ÑÝ³ñ³íáñáõÃÛáõÝÁ¦: ÐÇÝ ÐáõÝ³ëï³ÝáõÙ Ù»Íä Û áõ Ã ³ · á ñ ³ ë Á (Ù. Ã. ³. VI ¹.) Ñ»Ýó ÃíÇ Ù»ç ¿ñ ï»ëÝáõÙ ³Ù»Ý ÇÝãÇ·áÛáõÃÛ³Ý ÑÇÙùÁ: ²ßË³ñÑÇ Í³·Ù³Ý ¨ ·áÛáõÃÛ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³É Ýñ³Ñ³Û³óùÝ»ñÇ ÑÇÙùáõÙ ¹ñí³Í ¿ÇÝ ³é³çÇÝ ï³ëÝÛ³ÏÇ µáÉáñ Ãí»ñÁ,ë³Ï³ÛÝ, Áëï ¿áõÃÛ³Ý, ³Ù»Ý ÇÝã µË»óíáõÙ ¿ñ Ù»ÏÇó:

111 + 110 + 111 + 111 110

110

+ 1 101 100 111 11 101 1000 1011 1011 1110 + 110 + 110

110 110 10010 11110

33

Ð³Û ÑÇÝ Ùï³ÍáÕÝ»ñÁ ¨ë ÑÇ³Ý³ÉÇ Ñ³ëÏ³ÝáõÙ ¿ÇÝ Ù»ÏÇ ¿áõÃÛáõÝÁ:Ð ³ Ù ³ Ù ² ñ ¨ » É ó Ç Ý IX ¹³ñáõÙ ·ñ»É ¿. §âÇ Ï³ñáÕ ÉÇÝ»É ÃÇíÁ ³é³ÝóÙ»ÏÇ, ¨ ·ÇÍÁ` ³é³Ýó Ï»ïÇ¦: ÆëÏ ² Ý ³ Ý Ç ³ Ü ³ ñ » Ï ³ ó Ç Ý (X ¹.)µ³ó³ïñáõÙ ¿ñ, áñ Ù»ÏÇó Ñ»ïá µáÉáñ Ãí»ñÁ µ³ñ¹ »Ý, ù³ÝÇ áñµ³ÕÏ³ó³Í »Ý Ù»Ï»ñÇó, áñáÝù ÏñÏÝí³Í »Ý ³ÛÝù³Ý ³Ý·³Ù, ÇÝã ³ÝáõÝáñ áõÝÇ ïíÛ³É ÃÇíÁ:

ÐÇÝ ³ßË³ñÑÇ ÷ÇÉÇëá÷³Ý»ñÇ ³Ûë ·³Õ³÷³ñÝ»ñÝ ³ñï³óáÉáõÙ »Ý·ï»É Ý³¨ Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó ·ÇïáõÃÛ³Ý Ýí³×áõÙÝ»ñáõÙ, Ù³ëÝ³íáñ³å»ë`Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇãÝ»ñáõÙ: Ø»Ýù ·Çï»Ýù, áñ Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó Ñ³Ù³Ï³ñ-·ÇãÝ»ñÁ Ï³ñáÕ »Ý ß³ï µ³Ý ³Ý»É. Ýñ³Ýù ³Ñé»ÉÇ Ñ³ßí³ñÏÝ»ñ »ÝÏ³ï³ñáõÙ, µ³½Ù³ÃÇí ï³ñµ»ñ³ÏÝ»ñÇó ÁÝïñáõÙ »Ý É³í³·áõÛÝÁ,í»ñ³ÑëÏáõÙ »Ý ³ñï³¹ñ³Ï³Ý ·áñÍÁÝÃ³óÝ»ñÁ ¨ ÝáõÛÝÇëÏ Ññ³ß³ÉÇß³ËÙ³ï »Ý Ë³ÕáõÙ: Î³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»Éª Ùï³ÍáõÙ »Ý: ÆëÏ Ñ³Ù³Ï³ñ·ãÇ³ßË³ï³ÝùÇ ÑÇÙùáõÙ ÁÝÏ³Í ¿ Ñ³ßíÙ³Ý »ñÏáõ³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·Á:Ð³Ù³Ï³ñ·ãáõÙ 1 ¨ 0 Ãí»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ »Ý ¿É»Ïïñ³Ï³ÝÇÙåáõÉëÇ ³éÏ³ÛáõÃÛ³ÝÁ Ï³Ù µ³ó³Ï³ÛáõÃÛ³ÝÁ:

²ÛëåÇëáíª ÑÇÝ Ùï³ÍáÕÝ»ñÇÝ Ñ³çáÕíáõÙ ¿ñ, Ñ³×³Ë ËÇëï ÁÝ¹Ñ³-Ýáõñ ÝÏ³ï³éáõÙÝ»ñÇó »ÉÝ»Éáí, ÁÙµéÝ»É Çñ»ñÇ ¿áõÃÛáõÝÁª ̈ µ³ó³Ñ³Ûï»ÉÝñ³Ýó ÑÇÙùáõÙ ÁÝÏ³Í Ï³ñ¨áñ ûñÇÝ³ã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñ:

XIX ¹³ñÇ ·»ñÙ³Ý³-óÇ Ñ³ÛïÝÇ Ù³Ã»Ù³ïÇ-Ïáë øñáÝ»ù»ñÁ, ó³Ý-Ï³Ý³Éáí ÁÝ¹·Í»É ÃíÇÑ³ëÏ³óáõÃÛ³Ý Ï³ñ¨á-ñáõÃÛáõÝÁ, ·ñ»É ¿. §²ëï-í³Í ëï»ÕÍ»É ¿ µÝ³Ï³ÝÃí»ñÁ, ÙÝ³ó³Í ³Ù»Ý ÇÝãÙ³ñ¹áõ ·áñÍÝ ¿¦: öáùñ-ÇÝã Ó¨³÷áË»Éáí ³ÛëÙÇïùÁ` Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»É.²ëïí³Í ëï»ÕÍ»É ¿ Ù»ÏÁ,ÙÝ³ó³Í ³Ù»Ý ÇÝã Ù³ñ-¹áõ ·áñÍÝ ¿:

Ð³ïí³Í Çï³É³óÇ ³-Ï³Ý³íáñ ÝÏ³ñÇã è³ý³Û»ÉÇ§²Ã»Ý³Ï³Ý ¹åñáó¦ áñÙ-Ý³ÝÏ³ñÇó (ÐéáÙ, ì³ïÇ-Ï³ÝÇ å³É³ï). ³Ûëï»Õå³ïÏ»ñí³Í »Ý àõëáõóÇãÁ ̈²ß³Ï»ñïÁ` ÐÇÝ ÐáõÝ³ëï³-ÝÇ Ù»Í Ùï³ÍáÕÝ»ñ äÉ³-ïáÝÁ ¨ ²ñÇëïáï»ÉÁ:

34

10. ´Ü²Î²Ü ÂìºðÆ ¶àôØ²ðàôØÀ.

¶àôØ²ðØ²Ü îºÔ²öàÊ²Î²Ü úðºÜøÀ

´áÉáñë ·Çï»Ýù, áñ 2 + 2 = 4: ê³Ï³ÛÝ µ³ó³ïñ»É, Ã» ÇÝãáõ ¿ 2 + 2 = 4,Ã»ñ¨ë, Ï³ñáÕ »Ý áã µáÉáñÁ: öáñÓ»Ýù ³Ý»É ³Û¹: 1¬ÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª

2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 :

ÜáõÛÝ ³ÕÛáõë³ÏáõÙ ï»ëÝáõÙ »Ýù, áñ 1 + 1 + 1 + 1 = 4, Ñ»ï¨³µ³ñ 2 + 2 = 4:

´»ñ»Ýù ¨ë Ù»Ï ûñÇÝ³Ï: ¶áõÙ³ñ»Ýù 3 ¨ 5 Ãí»ñÁ: àõÝ»Ýùª

3 = 1 + 1 + 1 , 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 :

Ð»ï¨³µ³ñ

3 + 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8:

ÆÝãå»ë ï»ëÝáõÙ »Ýù, »ñÏáõ ÃÇí ·áõÙ³ñ»É Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ ·ïÝ»É ÙÇ³ÛÝåÇëÇ ÃÇí, áñáõÙ å³ñáõÝ³ÏíáÕ Ù»Ï»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿³Û¹ Ãí»ñáõÙ å³ñáõÝ³ÏíáÕ Ù»Ï»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ù³Ý³ÏÇÝ:

¶áõÙ³ñíáÕ Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñ, ÇëÏ ·áõÙ³ñÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁª·áõÙ³ñ:

ú·ï³·áñÍ»Éáí ·áõÙ³ñÙ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÁª Ï³½Ù»Ýù ÙÇ³ÝÇß µÝ³Ï³ÝÃí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ýª Ó»½ ³ñ¹»Ý Í³ÝáÃ ³ÕÛáõë³ÏÁ:

¶áõÙ³ñÙ³Ý ³ÕÛáõë³Ï

1+1=2 2+1=3 3+1=4 4+1=5 5+1=6 6+1=7 7+1=8 8+1=9 9+1=10

1+2=3 2+2=4 3+2=5 4+2=6 5+2=7 6+2=8 7+2=9 8+2=10 9+2=11

1+3=4 2+3=5 3+3=6 4+3=7 5+3=8 6+3=9 7+3=10 8+3=11 9+3=12

1+4=5 2+4=6 3+4=7 4+4=8 5+4=9 6+4=10 7+4=11 8+4=12 9+4=13

1+5=6 2+5=7 3+5=8 4+5=9 5+5=10 6+5=11 7+5=12 8+5=13 9+5=14

1+6=7 2+6=8 3+6=9 4+6=10 5+6=11 6+6=12 7+6=13 8+6=14 9+6=15

1+7=8 2+7=9 3+7=10 4+7=11 5+7=12 6+7=13 7+7=14 8+7=15 9+7=16

1+8=9 2+8=10 3+8=11 4+8=12 5+8=13 6+8=14 7+8=15 8+8=16 9+8=17

1+9=10 2+9=11 3+9=12 4+9=13 5+9=14 6+9=15 7+9=16 8+9=17 9+9=18

¶àðÌàÔàôÂÚàôÜÜºð ´Ü²Î²ÜÂìºðàì

35

¶áõÙ³ñÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ Ï³ñ¨áñ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñáÝù ß³ï¹»åù»ñáõÙ ÃáõÛÉ »Ý ï³ÉÇë å³ñ½»óÝ»É ¨ ³ñ³·³óÝ»É Ñ³ßíáõÙÝ»ñÁ: ¸Çï³ñ-Ï»Éáí ·áõÙ³ñÙ³Ý ³ÕÛáõë³ÏÁ` Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ ÙÇ³ÝÇß ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇï»Õ»ñÁ ÷áË³Ý³Ï»ÉÇë ·áõÙ³ñÁ ãÇ ÷áËíáõÙ: ²Ûë Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ Ïå³Ñå³ÝíÇÝ³¨ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ Ãí»ñÁ ÙÇ³ÝÇß ã»Ý: â¿± áñ ÇÝã Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµ ¿É·áõÙ³ñ»Ýù Ãí»ñÁ, Ýñ³ÝóáõÙ å³ñáõÝ³ÏíáÕ Ù»Ï»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ù³Ý³ÏÁ (ÇëÏ¹³ ¿É Ñ»Ýó Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÝ ¿) ÏÙÝ³ ÝáõÛÝÁ:

²ÛëåÇëáíª ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ï»Õ»ñÁ ÷áË³Ý³Ï»ÉÇë ·áõÙ³ñÁ ãÇ ÷áË-íáõÙ:

´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ³Ûë Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·áõÙ³ñÙ³Ýï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»Ýù:

Üß»Ýù, áñ ½ñáÛÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ³ÝÙÇç³Ï³Ýáñ»Ý µËáõÙ ¿, áñ·áõÙ³ñÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ ×Çßï ¿ Ý³¨ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó ³éÝí³½Ý Ù»ÏÁ ½ñáÝ ¿:

203. ´³ó³ïñ»°ù, Ã» ÇÝã ¿ Ýß³Ý³ÏáõÙ Çñ³ñ ·áõÙ³ñ»É »ñÏáõ ÃÇí:204.Ò¨³Ï»ñå»°ù ·áõÙ³ñÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ:205.Æ±Ýã Ï³ÝáÝÝ»ñáí ¿ Ï³ï³ñíáõÙ »ñÏáõ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñáõÙÁ, »Ã» Ýñ³ÝóÇó

³éÝí³½Ý Ù»ÏÁ ½ñáÝ ¿:206.ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù ·áõÙ³ñÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ, »Ã» ·áõÙ³ñ»-

ÉÇÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ½ñáÝ ¿:207. ºÏ»ù Ãí»ñÁ å³ïÏ»ñ»Ýù áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ í³Ý¹³ÏáõÙ ï»Õ³íáñí³Í

Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ùµ Ï»ï»ñáí: Âí»ñÁ ·áõÙ³ñ»Éáõ Ñ³Ù³ñÏ³ñ»ÉÇ ¿ í³Ý¹³ÏÝ»ñÁ Ïó»É Çñ³ñ ̈ Ñ³Ý»É ¹ñ³Ýù µ³Å³ÝáÕ ·ÇÍÁ: î»ë»°ù,Ã» ÇÝãå»ë ¿ ³Û¹ ³ñíáõÙ.

öáñÓ»°ù ³Û¹å»ë Ñ³ßí»É Ñ»ï¨Û³É ·áõÙ³ñÝ»ñÁ.³) 5 + 6, ·) 4 + 12, ») 10 + 7,µ) 8 + 3, ¹) 7 + 9, ½) 11 + 6:

208. ì³Ý¹³ÏÝ»ñáí ·áõÙ³ñÙ³Ý ÙÇçáóáí Ñ³Ùá½í»°ù, áñ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³-ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ×Çßï »Ý.

³) 3 + 8 = 8 + 3, ·) 9 + 11 = 11 + 9, ») 4 + 17 = 17 + 4,µ) 7 + 5 = 5 + 7, ¹) 6 + 13 = 13 + 6, ½) 12 + 5 = 5 + 12:

209.Î³ï³ñ»°ù ·áõÙ³ñáõÙ.³) 25 + 0, ·) 0 + 411, ») 1 + 0,µ) 0 + 25, ¹) 411 + 0, ½) 0 + 1:

36

210.¶ï»°ù ³é³çÇÝ »ñ»ù Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:211. ¶ï»°ù ³Ù»Ý³Ù»Í »é³ÝÇß ÃíÇ ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ ù³é³ÝÇß ÃíÇ ·áõÙ³ñÁ:212.¶ï»°ù ³Ù»Ý³÷áùñ ÑÝ·³ÝÇß ÃíÇ ¨ ³Ù»Ý³Ù»Í »ñÏÝÇß ÃíÇ ·áõÙ³ñÁ:213.¶ñ»°ù ÑÇÝ· Ãí»ñÇó Ï³½Ùí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñáõÙ`

³) ³é³çÇÝ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 7-Ç, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹Á 5-áíÙ»Í ¿ Ý³Ëáñ¹Çó.µ) ³é³çÇÝ ÃÇíÁ 0-Ý ¿, »ñÏñáñ¹Á` 3-Á, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹ÁÑ³í³ë³ñ ¿ Ý³Ëáñ¹ »ñÏáõëÇ ·áõÙ³ñÇÝ:

214.¶ñ»°ù áñ¨¿ »ñÏáõ »é³ÝÇß ÃÇí, áñáÝó ·áõÙ³ñÁ »é³ÝÇß ¿, ¨ »ñÏáõ »é³ÝÇßÃÇí, áñáÝó ·áõÙ³ñÁ ù³é³ÝÇß ¿:

215.Ø»ù»Ý³Ý ³é³çÇÝ ûñÝ ³Ýó»É ¿ 115 ÏÙ, »ñÏñáñ¹ ûñÁ`15 ÏÙ¬áí ³í»ÉÇ:ºññáñ¹ ûñÁ Ù»ù»Ý³Ý ³Ýó»É ¿ 10 ÏÙ-áí ³í»ÉÇ, ù³Ý ³é³çÇÝ »ñÏáõ ûñáõÙ:ÀÝ¹³Ù»ÝÁ ù³ÝÇ± ÏÇÉáÙ»ïñ ¿ ³Ýó»É Ù»ù»Ý³Ý »ñ»ù ûñáõÙ:

216.ø³ÝÇ± ³ÛÝåÇëÇ µÝ³Ï³Ý ÃÇí Ï³, áñÇÝ Ñ³çáñ¹áõÙ ¿ ÙÇ³ÝÇß ÃÇí:217. ¶áñÍ³Í»Éáí ÙÇ³ÛÝ 0 ¨ 1 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁª ·ñ»°ù í»ó ÑÝ·³ÝÇß ÃÇí:218. ²×Ù³Ý Ï³ñ·áí ·ñ»°ù ³ÛÝ »é³ÝÇß Ãí»ñÁ, áñáÝóáõÙ Ñ³ñÛáõñ³íáñÝ»ñÇ

Ï³ñ·áõÙ ·ñíáõÙ ¿ 6 Ãí³Ýß³ÝÁ, ÇëÏ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ Ï³ñ·áõÙª 0-Ý:219. ºñÏáõ Ãí»ñÇó Ù»ÏÁ ÙÛáõëáí µ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ ¨ Ýñ³Ý µ³Å³Ý»Éáõ

¹»åùáõÙ ëï³óíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ 15 ÃÇíÁ: àñá±Ýù »Ý ³Û¹ Ãí»ñÁ:220. ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»°ù Ñ³Ù»Ù³ïÙ³Ý ×Çßï Ýß³ÝÁ.

³) 3 ⋅ (18 – 9) + 6 ⋅ 7 ∗ 24 : 3 : 2 + 91,µ) 68 : 2 + (13 – 3) ⋅ 2 ∗ (25 + 3) : 4 + 7 ⋅ 7 – 2,·) (51 – 31) ⋅ 2 – 30 ∗ 105 : 3 – 2 ⋅ (17 – 3) + 5:

221. ÐÇÝ· ÙÇ³ÝÙ³Ý ³Ãáé³ÏÝ»ñÝ ³ñÅ»Ý 18000 ¹ñ³Ù: ÆÝãù³±Ý å»ïù ¿í×³ñ»É 12 ³Û¹åÇëÇ ³Ãáé³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

222.¶áñÍí³ÍùÇª 36 Ù »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ ÏïáñÇó Ï³ñ»É »Ý 12 ÙÇ³ÝÙ³ÝÃÇÏÝáó: ø³ÝÇ± Ù»ïñ ·áñÍí³Íù ¿ ³ÝÑñ³Å»ßï 15 ³Û¹åÇëÇ ÃÇÏÝáóÏ³ñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ:

223.Ø³ñ¹³ï³ñ ·Ý³óùÁ Ï³½Ùí³Í ¿ 16 í³·áÝÇó, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙÏ³ 56 ï»Õ: ø³ÝÇ± ³½³ï ï»Õ ¿ ÙÝ³ó»É, »Ã» ·Ý³óù ¿ Ýëï»É 837 áõÕ¨áñ:

224.ºÃ» ÃÇíÁ ·áõÙ³ñ»Ýù ÇÝùÝ Çñ»Ý ¨ ³í»É³óÝ»Ýù 15, Ïëï³Ý³Ýù 137: à±ñÝ¿ ³Û¹ ÃÇíÁ:

37

225.¶ñ³ï³Ëï³ÏÇÝ ·ñí³Í »Ý »ñ»ù Ãí»ñ: ºñÏñáñ¹ ÃÇíÝ ³é³çÇÝÇó 99-áí÷áùñ ¿, »ññáñ¹Á` 74-áí Ù»Í: ¶ñí³Í Ãí»ñÇó á±ñÝ ¿ ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ: àñù³-Ýá±í ¿ ³Û¹ ÃÇíÁ ³Ù»Ý³÷áùñÇó Ù»Í:

226.²ÕçÇÏÁ 2 ï³ñ»Ï³Ý ¿: Ð³ÛñÁ Ýñ³ÝÇó Ù»Í ¿ 30 ï³ñáí: ø³ÝÇ± ³Ý·³Ù ¿Ñ³ÛñÁ Ù»Í ³ÕçÏ³ÝÇó: Ð³ÛñÝ ³ÕçÏ³ÝÇó ù³ÝÇ± ³Ý·³Ù Ù»Í ÏÉÇÝÇ 4 ï³ñÇ³Ýó:

ì³Ý¹³ÏáõÙ ÷³ëÇ³ÝÝ»ñ ̈ ×³·³ñÝ»ñ Ï³Ý: Üñ³Ýù µáÉáñÁ ÙÇ³ëÇÝáõÝ»Ý 35 ·ÉáõË ¨ 94 áïù: ì³Ý¹³ÏáõÙ ù³ÝÇ± ×³·³ñ ¨ ù³ÝÇ± ÷³ëÇ³ÝÏ³:

§ÎÇáõ-â³Ý·¦ (§Âí³µ³ÝáõÃÛ³Ý ÇÝÁ µ³ÅÇÝÝ»ñÁ¦) ·ñùÇó,âÇÝ³ëï³Ý, Ù. Ã. ³. XXVII ¹ .

11. ¶àôØ²ðØ²Ü ¼àô¶àð¸²Î²Ü úðºÜøÀ

ºÝÃ³¹ñ»Ýùª å»ïù ¿ 2 ¨ 6 Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ ³í»É³óÝ»É 4: ö³Ï³·Í»ñÁ·áñÍ³Í»Éáõ ¹»åùáõÙ ³Û¹ å³Ñ³ÝçÁ Ï·ñíÇ ³Ûëå»ë. (2 + 6) + 4: ÐÇÙ³ ÷³Ï³-·Í»ñÝ ³ÛÉ Ï»ñå ï»Õ³¹ñ»Ýù. 2 + (6 + 4), ³ÛëÇÝùÝª 2¬ÇÝ ·áõÙ³ñ»Ýù 6 + 4·áõÙ³ñÁ: Î³ï³ñ»Ýù ³Û¹ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.

(2 + 6) + 4 = ( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) + 1 + 1 + 1 + 1 =

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12,

2 + (6 + 4) = 1 + 1 + ( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) =

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12:

àõñ»ÙÝ (2 + 6) + 4 = 2 + (6 + 4): ²ÛëÇÝùÝ` ³ÝÏ³Ë Ýñ³ÝÇó, Ã» ÇÝãå»ë ¿ÇÝ¹³ë³íáñí³Í ÷³Ï³·Í»ñÁ, å³ï³ëË³ÝÁ ÝáõÛÝÝ ¿ ëï³óí»É: ²Ûë Ñ³ïÏáõ-ÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ù³ÝÇ áñ »ñ»ù µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ·áõÙ³ñÁ ÷³Ï³·Í»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ¹³ë³íáñáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ Ïå³ñáõÝ³ÏÇÝáõÛÝ ù³Ý³Ïáí Ù»Ï»ñ:

²ÛëåÇëáíª »Ã» »ñÏáõ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ ·áõÙ³ñíáõÙ ¿ »ññáñ¹ ÃÇíÁ,³ñ¹ÛáõÝùÁ Ñ³í³ë³ñ ÏÉÇÝÇ ³ÛÝ ÃíÇÝ, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿, »Ã» ³é³çÇÝÃíÇÝ ·áõÙ³ñíáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹ ¨ »ññáñ¹ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:

´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ³Ûë Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·áõÙ³ñÙ³Ý½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»Ýù:

38

227. Ò¨³Ï»ñå»°ù ·áõÙ³ñÙ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ:228.ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù ·áõÙ³ñÙ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ, »Ã» ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó

Ù»ÏÁ ½ñáÝ ¿:229. ú·ïí»Éáí ·áõÙ³ñÙ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÇó` Ñ³ßí»°ù ³é³í»É

Ñ³ñÙ³ñ »Õ³Ý³Ïáí.³) 39 + 13 + 87, ¹) 57 + 60 + 40,µ) 196 + 17 + 283, ») 101 + 999 + 1001,·) 1032 + 968 + 255, ½) 333 + 6667 + 1992:

230. ÎÇñ³é»Éáí ·áõÙ³ñÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñÁªÑ³ßí»°ù ³é³í»É Ñ³ñÙ³ñ »Õ³Ý³Ïáí.

³) 64 + 18 + 36, ¹) 1035 + 49 + 465 + 101,µ) 393 + 8 + 92 + 107, ») 654 + 17 + 346 + 250 + 750,·) 276 + 9 + 24 + 91, ½) 2059 + 2311 + 441 + 689 + 14:

231.ÆÝãå»ë± Ï÷áËíÇ »ñÏáõ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, »Ã» Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÇÝ·áõÙ³ñ»Ýù 27: ÆëÏ ÙÇ ù³ÝÇ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ± ·áõÙ³ñÁ:

232.ÆÝãå»ë± Ï÷áËíÇ »ñÏáõ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, »Ã» Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÁÙ»Í³óÝ»Ýù 38-áí, ÇëÏ ÙÛáõëÁ` 83-áí:

233.ºñÏáõ ³ß³Ï»ñïÝ»ñ åÇïÇ ·Ý»ÇÝ ÙÇ³ï»ë³Ï ·ñÇã, ï»ïñ ¨ Ï³ñÏÇÝ:²é³çÇÝÁ Ý³Ë ·Ý»ó ·ñÇãÁ, ³å³` Ï³ñÏÇÝÁ, í»ñçáõÙ` ï»ïñÁ: ØÛáõëÁÝ³Ë ·Ý»ó ï»ïñÁ, ³å³` ·ñÇãÁ, í»ñçáõÙ` Ï³ñÏÇÝÁ: ø³ÝÇ± ¹ñ³Ù í×³ñ»óÇñ ·ÝáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ »ñÏñáñ¹ ³ß³Ï»ñïÁ, »Ã» ³é³çÇÝÁ í×³ñ»ó 350¹ñ³Ù:

234. ØÇ ³ñï³¹ñ³Ù³ëáõÙ Ï³ñ 53 Ñ³ëïáó, ÇëÏ ÙÛáõëáõÙ`12-áí ³í»ÉÇ:ºñÏñáñ¹ ³ñï³¹ñ³Ù³ëáõÙ ³í»É³óñÇÝ ̈ ë 17 Ñ³ëïáó: ÀÝ¹³Ù»ÝÁ ù³ÝÇ±Ñ³ëïáó »Õ³í »ñÏáõ ³ñï³¹ñ³Ù³ë»ñáõÙ: Î÷áËíÇ± ³ñ¹ÛáùÑ³ëïáóÝ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ù³Ý³ÏÁ, »Ã» ³Û¹ Ñ³ëïáóÝ»ñÝ ³í»É³óÝ»Ý³é³çÇÝ ³ñï³¹ñ³Ù³ëáõÙ:

235. ºñÏáõ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó Ù»ÏÁ Ù»Í³óñ»É »Ý 18-áí: ÆÝãå»ë± å»ïù ¿ ÷áË»ÉÙÛáõë ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ, áñå»ë½Ç ·áõÙ³ñÁ Ù»Í³Ý³ 45-áí:

236.²é³çÇÝ ·ñùáõÙ Ï³ 256 ¿ç, »ñÏñáñ¹áõÙ` 80 ¿çáí ³í»ÉÇ, ÇëÏ »ññáñ¹áõÙ`»ñÏñáñ¹Çó 112 ¿çáí ³í»ÉÇ: ø³ÝÇ± ¿ç Ï³ »ññáñ¹ ·ñùáõÙ: ÊÝ¹ÇñÁ ÉáõÍ»ù»ñÏáõ »Õ³Ý³Ïáí:

237. 365, 267, 934, 55, 1001, 674, 565 Ãí»ñÇó ÁÝïñ»°ù Ýñ³Ýù, áñáÝù 400¬Çó÷áùñ »Ý:

238. ¶ñ»°ù 770¬Çó Ù»Í ¨ 790¬Çó ÷áùñ ³ÛÝ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáÝóÙÇ³íáñÝ»ñÇ Ï³ñ·áõÙ ·ñí³Í ¿ 6 Ãí³Ýß³ÝÁ: ø³ÝÇ± ³Û¹åÇëÇ ÃÇí Ï³:

39

239. îñí³Í Ãí»ñÇ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó ÙÇ ù³ÝÇëÁ Ñ³ÛïÝÇ ã»Ý(÷áË³ñÇÝí³Í »Ý ³ëïÕ³ÝÇßáí): Ð³Ù»Ù³ï»°ù ïñí³Í Ãí»ñÁ.

³) ∗2∗∗∗ ¨ 4563, ·) 6∗∗∗ ¨ 4569∗, ») 26∗39 ¨ 26∗39∗,µ) ∗∗∗ ¨ ∗∗, ¹) 26∗39 ¨ 26949, ½) 26∗∗39 ¨ 26∗39:

240. ºñÏáõ ó³ÝÏ³å³ï Ý»ñÏ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï »Õ³í 25 ³Ù³Ý Ý»ñÏªÛáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ 3 Ï·: ²é³çÇÝ ó³ÝÏ³å³ïÁ Ý»ñÏ»Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ï³-·áñÍí»ó 24 Ï· Ý»ñÏ: ø³ÝÇ± ÏÇÉá·ñ³Ù Ý»ñÏ û·ï³·áñÍí»ó »ñÏñáñ¹ó³ÝÏ³å³ïÁ Ý»ñÏ»Éáõ Ñ³Ù³ñ:

241. 12 ÙÇ³ÝÙ³Ý ³ÝáÃÝ»ñÇ Ù»ç ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ 36 É Ë³ÕáÕÇ ÑÛáõÃ: ¸áõÛÉÇï³ñáÕáõÃÛáõÝÁ 4 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ ³ÝáÃÇ ï³ñáÕáõÃÛáõÝÇó: ø³ÝÇ± ¹áõÛÉÏå³Ñ³ÝçíÇ 120 É Ë³ÕáÕÇ ÑÛáõÃ ÉóÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ:

242. ÐáÕ³Ù³ëáõÙ ó³Ýí³Í ¿ñ 120 Ï· »·Çåï³óáñ»Ý: Î³ñïáýÇÉ ó³Ý»É ¿ÇÝ»·Çåï³óáñ»ÝÇó 5 ³Ý·³Ù å³Ï³ë, ÇëÏ óáñ»Ýª 3 ³Ý·³Ù å³Ï³ë, ù³ÝÏ³ñïáýÇÉÝ áõ »·Çåï³óáñ»ÝÁ ÙÇ³ëÇÝ: ÆÝãù³±Ý óáñ»Ý ¿ñ ó³Ýí³ÍÑáÕ³Ù³ëáõÙ:

243. ºñ»ù ·ñ³¹³ñ³ÏÝ»ñáõÙ ¹ñí³Í »Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ 42, 26 ¨ 37·ñù»ñ: ²é³çÇÝ ·ñ³¹³ñ³ÏÇó 7 ·Çñù ï»Õ³÷áË»É »Ý »ñÏñáñ¹Á: ø³ÝÇ±·Çñù å»ïù ¿ »ñÏñáñ¹ ·ñ³¹³ñ³ÏÁ ï»Õ³÷áË»É »ññáñ¹Çó, áñå»ë½Ç»ñ»ù ·ñ³¹³ñ³ÏÝ»ñáõÙ Ñ³í³ë³ñ ù³Ý³ÏÝ»ñáí ·ñù»ñ ÉÇÝ»Ý:

244. ºñÏáõ ³ß³Ï»ñïÝ»ñ ·ñ³¹³ñ³ÝÇó ·ñù»ñ í»ñóñÇÝ: ²é³çÇÝÁ ÝáõÛÝ ûñÁëÏë»ó Ï³ñ¹³Éª 1 ûñáõÙ Ï³ñ¹³Éáí 26 ¿ç: 2 ûñ ³Ýó Çñ ·ÇñùÁ ëÏë»óÏ³ñ¹³É ÙÛáõëÁ, áñÁ 1 ûñáõÙ Ï³ñ¹áõÙ ¿ñ 30 ¿ç: ¸ñ³ÝÇó ù³ÝÇ± ûñ ³ÝóÝñ³Ýó Ï³ñ¹³ó³Í ¿ç»ñÇ ù³Ý³ÏÝ»ñÁ ÏÑ³í³ë³ñí»Ý:

245. ²åñ³Ýù³ï³ñ ·Ý³óùÝ ³ñ¹»Ý 5 Å ¿ñ, ÇÝã ×³Ý³å³ñÑÇÝ ¿ñ, »ñµ ÝáõÛÝÏ³Û³ñ³ÝÇó ÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ß³ñÅí»ó ×»åÁÝÃ³ó ·Ý³óùÁ: ø³ÝÇ± Å³ÙÑ»ïá ×»åÁÝÃ³ó ·Ý³óùÁ ÏÑ³ëÝÇ ³åñ³Ýù³ï³ñÇÝ, »Ã» ³åñ³Ýù³ï³ñ·Ý³óùÁ 1 Å³ÙáõÙ ³ÝóÝáõÙ ¿ 60 ÏÙ, ÇëÏ ×»åÁÝÃ³óÁ` 90 ÏÙ:

246. ºñÏáõ ³í³½³ÝÝ»ñÁ ëÏë»óÇÝ çáõñ ÉóÝ»É, ÁÝ¹ áñáõÙ ³é³çÇÝáõÙ ³ñ¹»Ý15 ¹áõÛÉ çáõñ Ï³ñ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á ¹³ï³ñÏ ¿ñ: ø³ÝÇ± Å³Ù Ñ»ïá ³í³½³Ý-Ý»ñáõÙ ÝáõÛÝ ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ùµ çáõñ ÏÉÇÝÇ, »Ã» 1 Å³ÙáõÙ ³é³çÇÝÇ Ù»çÉóÝáõÙ »Ý 60 ¹áõÛÉ çáõñ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Ç Ù»çª 63 ¹áõÛÉ:

ÎáÕù ÏáÕùÇ ¹ñí³Í ¿ í»ó µ³Å³Ï, áñáÝóÇó ³é³çÇÝ »ñ»ùÁ ÑÛáõÃáíÉÇ »Ý: Æ±Ýã å»ïù ¿ ³Ý»É, áñå»ë½Ç ¹³ï³ñÏ ¨ ÉÇùÁ µ³Å³ÏÝ»ñÁÑ»ñÃ³·³Û»Ý, »Ã» ÃáõÛÉ³ïñíáõÙ ¿ Ó»éù ï³É µ³Å³ÏÝ»ñÇó ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÇÝ:

40

12. ´Ü²Î²Ü ÂìºðÆ ´²¼Ø²ä²îÎàôØÀ

î³ñµ»ñ ËÝ¹ÇñÝ»ñ ÉáõÍ»ÉÇë Ñ³×³Ë å»ïù ¿ ÉÇÝáõÙ ÝáõÛÝ ÃÇíÁ ÙÇ ù³ÝÇ³Ý·³Ù ·áõÙ³ñ»É ÇÝùÝ Çñ»Ý: ¸Çï³ñÏ»Ýù, ûñÇÝ³Ï, Ñ»ï¨Û³É ËÝ¹ÇñÁ. ß»ÝùÝáõÝÇ 5 Ùáõïù, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ Ï³ 16 µÝ³Ï³ñ³Ý. å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ÇÙ³Ý³É, Ã» ß»ÝùáõÙ ù³ÝÇ µÝ³Ï³ñ³Ý Ï³: ÈáõÍáõÙÁ å³ñ½ ¿.

16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80:²ÛëåÇëÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁª áñáß³ÏÇ ù³Ý³Ïáí ÝáõÛÝ³Ï³Ý ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñ

Çñ³ñ ·áõÙ³ñ»ÉÁ, ÏáãíáõÙ ¿ µ³½Ù³å³ïÏáõÙ:´³½Ù³å³ïÏíáÕ Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ³ñï³¹ñÇãÝ»ñ, ÇëÏ µ³½Ù³å³ïÏ-

Ù³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁª ³ñï³¹ñÛ³É:´³½Ù³å³ïÏáõÙÁ Ýß³Ý³Ï»Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍáõÙ »Ý Ï³Ù ⋅⋅⋅⋅⋅

Ýß³ÝÝ»ñÁ: ¸³ ß³ï Ñ³ñÙ³ñ ¿: úñÇÝ³Ïª »Ã» å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ 1000 ³Ý·³ÙÇÝùÝ Çñ»Ý ·áõÙ³ñ»É 15¬Á, ³å³ ·ñáõÙ »Ýùª 1000 15: ÆëÏ í»ñÁ µ»ñí³Í ËÝ¹ñÇÉáõÍáõÙÁ Ï·ñíÇ ³Ûëå»ë. 5 16=80:

ºÉÝ»Éáí µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇóª ÙÇ³ÝÇß Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ï³½Ù»Ýùµ³½Ù³å³ïÏÙ³Ýª Ù»½ ³ñ¹»Ý Í³ÝáÃ ³ÕÛáõë³ÏÁ.

´³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ÕÛáõë³Ï

1 1=1 2 1=2 3 1=3 4 1=4 5 1=5 6 1=6 7 1=7 8 1=8 9 1=91 2=2 2 2=4 3 2=6 4 2=8 5 2=10 6 2=12 7 2=14 8 2=16 9 2=181 3=3 2 3=6 3 3=9 4 3=12 5 3=15 6 3=18 7 3=21 8 3=24 9 3=271 4=4 2 4=8 3 4=12 4 4=16 5 4=20 6 4=24 7 4=28 8 4=32 9 4=361 5=5 2 5=10 3 5=15 4 5=20 5 5=25 6 5=30 7 5=35 8 5=40 9 5=451 6=6 2 6=12 3 6=18 4 6=24 5 6=30 6 6=36 7 6=42 8 6=48 9 6=541 7=7 2 7=14 3 7=21 4 7=28 5 7=35 6 7=42 7 7=49 8 7=56 9 7=631 8=8 2 8=16 3 8=24 4 8=32 5 8=40 6 8=48 7 8=56 8 8=64 9 8=721 9=9 2 9=18 3 9=27 4 9=36 5 9=45 6 9=54 7 9=63 8 9=72 9 9=81

´³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ÕÛáõë³ÏÁ å»ïù ¿ ³Ý·Çñ ÇÙ³Ý³É: ¸³ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿Ý³¨ µ³½Ù³ÝÇß Ãí»ñÇ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ ·áñÍ³Í»Éáõ Ñ³Ù³ñ:

247. Æ±Ýã ¿ Ýß³Ý³ÏáõÙ ÙÇ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ µ³½Ù³å³ïÏ»É Ù»Ï áõñÇßáí:248. Ð³ßí»°ù ·áõÙ³ñÁª ·áõÙ³ñáõÙÁ ÷áË³ñÇÝ»Éáí µ³½Ù³å³ïÏáõÙáí.

³) 87 + 87 + 87 + 87 + 87 + 87 + 87, ·) 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12,µ) 103 + 103 + 103 + 103 + 103, ¹) 47892 + 47892 + 47892 + 47892:

249. ÆÝãÇ± ¿ Ñ³í³ë³ñ Ñ»ï¨Û³É ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ.7 ⋅ 0, 0 ⋅ 8, 0 ⋅ 0, 1 ⋅ 6, 4 ⋅ 1, 1 ⋅ 1:

250. ºñÏáõ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ: Æ±Ýã Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»É ³Û¹Ãí»ñÇ Ù³ëÇÝ:

251. ºñÏáõ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 1¬Ç: Æ±Ýã Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»É ³Û¹ Ãí»ñÇÙ³ëÇÝ:

41

252. ÆÝãå»ë áñ ·áõÙ³ñáõÙÁ, µ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ ¨ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³ï³ñ»É í³Ý-¹³ÏÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: úñÇÝ³Ïª 3¬Á 4¬áí µ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇ íñ³ ¹Ý»É 4¬³Ï³Ý Ï»ï å³ñáõÝ³ÏáÕ 3 í³Ý¹³Ï ¨ Ñ³Ý»ÉÝñ³Ýó ÙÇç¨ »Õ³Í ·Í»ñÁ: êï³óí³Í í³Ý¹³ÏáõÙ »Õ³Í Ï»ï»ñÇ ù³Ý³ÏÝ¿É Ñ»Ýó ïíÛ³É Ãí»ñÇ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ ¿:

ì³Ý¹³ÏÝ»ñáí µ³½Ù³å³ïÏ»°ù. 9 ³Ý·³Ù 8, 6 ³Ý·³Ù 13, 4 ³Ý·³Ù 1:253. ì³Ý¹³ÏÝ»ñáí µ³½Ù³å³ïÏáõÙáí ëïáõ·»°ù Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.

³) 6 ⋅ 3 = 3 ⋅ 6, ·) 5 ⋅ 8 = 8 ⋅ 5, ») 1 ⋅ 9 = 9 ⋅ 1,µ) 7 ⋅ 4 = 4 ⋅ 7, ¹) 2 ⋅ 14 = 14 ⋅ 2, ½) 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3:

254. ÂÇíÁ Ý»ñÏ³Û³óñ»°ù Ù»ÏÇó ï³ñµ»ñ »ñÏáõ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»ëùáí.³) 25, µ) 24, ·) 27, ¹) 28, ») 21:

255. Æ±Ýã ÃÇí å»ïù ¿ ·ñ»É ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý, áñå»ë½Ç ëï³óíÇ ×ÇßïÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) ∗ ⋅⋅⋅⋅⋅ 1 = 1499, ·) 2 ⋅ ∗ = 84, ») 1300 = 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ ∗,µ) 7 ⋅⋅⋅⋅⋅ ∗ = 14, ¹) 10 ⋅ ∗ = 100, ½) 27 = ∗ ⋅⋅⋅⋅⋅ 9:

256. ¶ñ»°ù ³ÛÝåÇëÇ »ñÏÝÇß ÃÇí, áñÇ ·ñ³éáõÙÁ ëÏëíáõÙ ¿ 8 Ãí³Ýß³Ýáí, ¨áñÁ »ñÏáõ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É ¿:

257. Ø³ñáõÃ³ µ³ñÓñ ²ëïí³Í³ÍÇÝ í³ÝùÁ í»ñ³Ï³Ý·Ý»Éáõ Ñ³Ù³ñ ê³-ëáõÝóÇ ¸³íÇÃÁ Ñáñ»ÕµáñÇó å³Ñ³Ýç»ó 500 ù³ñ ÏïñáÕ, 500 ù³ñï³ßáÕ, 500 ËÇ× µ»ñáÕ, 500 çáõñ ÏñáÕ, 500 å³ï ß³ñáÕ, 500 ëí³Õ ³ÝáÕ,500 ÷³Ûï ÷áñáÕ: ø³ÝÇ± ³ßË³ïáÕ å³Ñ³Ýç»ó ¸³íÇÃÁ:

258. ´³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ÕÛáõë³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ëÛáõÝ³ÏáõÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÝÏ³-ï»É áñáß³ÏÇ ûñÇÝ³ã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñ: ²Ûëå»ë` »ññáñ¹ ëÛáõÝ³ÏáõÙ Ûáõñ³-ù³ÝãÛáõñ ³ñï³¹ñÛ³É Ý³Ëáñ¹Çó Ù»Í ¿ 3¬áí: ´³ó³ïñ»°ù ³Û¹ ûñÇÝ³ã³-÷áõÃÛáõÝÁ: Æ±Ýã ûñÇÝ³ã³÷áõÃÛáõÝ ¿ ·áñÍáõÙ ÑÇÝ·»ñáñ¹ ëÛáõÝ³ÏáõÙ: àñù³±Ý¿ Ñ³ñ¨³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ÛáÃ»ñáñ¹ ëÛáõÝ³ÏáõÙ:

259. ºñÏáõ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 0 ¿: àñá±Ýù »Ý ³Û¹ Ãí»ñÁ:260. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.

³) 30 ⋅ 47 + 80 : 16, ¹) 97 + 85 ⋅ 30 – 294,µ) 135 ⋅ 20 – 1024 : 8, ») (120 – 84) : (68 – 62),·) 11916 : 18 – 2348 : 4, ½) (25 + 34) ⋅ (85 – 79):

42

261. ¶ï»°ù ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ å»ïù ¿ ·ñ»É ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý, áñå»ë½Çëï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ÉÇÝÇ.

³) ∗ + 10 = 95, ¹) 375 + ∗ = 380, ¿) ∗ – 53 = 67,µ) ∗ – 81 = 32, ») ∗ – 25 ⋅ 7 = 94, Á) 857 = ∗ – 638,·) ∗ + 62 ⋅ 3 = 200, ½) 777 = ∗ + 776, Ã) 515 = ∗ + 515:

262. ²ëïÕ³ÝÇß»ñÇ ÷áË³ñ»Ý ·ñ»°ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ãí³Ýß³ÝÝ»ñ, áñ-å»ë½Ç ëï³óí»Ý ×Çßï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ.

³) ∗ > 4, µ) 637 > ∗42, ·) 1∗3645 > 26729, ¹) 3∗5 > 3∗6:263. à±ñ Ãí»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý, áñå»ë½Ç ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï

ï»ÕÇ áõÝ»Ý³Ý 2 ⋅ ∗ > 10 ¨ ∗ < 16 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:264. àñù³±Ý Å³Ù³Ý³Ï ¿ ³ÝóÏ³óÝáõÙ ³ß³Ï»ñïÁ ¹åñáóáõÙ ³ÛÝ ûñÁ, »ñµ

áõÝÇ 4 ¹³ëª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ 40 ñ ï¨áÕáõÃÛ³Ùµ, ÇëÏ ¹³ë³ÙÇçáóÝ»ñÇó»ñÏáõëÁ ï¨áõÙ »Ý 15 ñ, Ù»ÏÁª 20 ñ:

265. ØÇ¨ÝáõÛÝ ù³Õ³ùÇó ÙÇ¨ÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ¹áõñë »Ï³í»ñÏáõ Ù»ù»Ý³: Üñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ 1 Å³ÙáõÙ ³ÝóÝáõÙ ¿ñ 65 ÏÙ, ÙÛáõëÁª 80 ÏÙ:àñù³±Ý ÏÉÇÝÇ Ýñ³Ýó ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 7 Å³Ù Ñ»ïá:

266. Î³Û³ñ³ÝÇó ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ¹áõñë »Ï³Ý»ñÏáõ ·Ý³óùÝ»ñ: ²é³çÇÝ ·Ý³óùÁ 1 Å³ÙáõÙ ³ÝóÝáõÙ ¿ñ 60 ÏÙ, »ñÏñáñ¹Áª90 ÏÙ: Æ±Ýã Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝ ÏÉÇÝÇ Ýñ³Ýó ÙÇç¨ 14 Å³Ù ³Ýó:

267. Ð³Ýù³ÛÇÝ çáõñ ÉóÝáÕ ë³ñù»ñÇó Ù»ÏÁ 1 ñáå»áõÙ ÉóÝáõÙ ¿ 50 ßÇß, ÇëÏÙÛáõëÁª 10 ßßáí ³í»ÉÇ: ø³ÝÇ± Å³ÙáõÙ »ñÏáõ ë³ñù»ñÁ ÙÇ³ëÇÝ ÏÉóÝ»Ý13200 ßÇß:

268. ̧ ³ñµÇÝÁ 14 ûñáõÙ åÇïÇ å³ïñ³ëï»ñ 280 å³Ûïª ³Ù»Ý ûñ å³ïñ³ëï»ÉáíÑ³í³ë³ñ ù³Ý³Ïáí å³Ûï»ñ: ê³Ï³ÛÝ Ý³ ûñ³Ï³Ý 8 å³Ûïáí ³í»ÉÇ ¿ñå³ïñ³ëïáõÙ: ø³ÝÇ± ûñáõÙ ¹³ñµÇÝÁ Ï³ï³ñ»ó å³ïí»ñÁ:

269. ²Éñ³Õ³óáõÙ Ï³ 10 ï ³ÉÛáõñ: ²Û¹ ³ÙµáÕç ³ÉÛáõñÁ å³ÑíáõÙ ¿ 60 Ï·, 50Ï· ¨ 20 Ï· ï³ñáÕáõÃÛ³Ùµ å³ñÏ»ñáõÙ: 60 Ï· ¨ 50 Ï· ï³ñáÕáõÃÛ³ÙµÙ»Í å³ñÏ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ 70 ¨ 82 »Ý: ø³ÝÇ±÷áùñ å³ñÏ ³ÉÛáõñ Ï³ ³Éñ³Õ³óáõÙ:

270. ºñÏáõ í³×³éáÕÝ»ñÁ ûñí³ ÁÝÃ³óùáõÙ åÇïÇ í³×³é»ÇÝ 95 Ï³ñÏ³Ý¹³Ï:úñí³ í»ñçáõÙ »ñÏñáñ¹ í³×³éáÕÁ í³×³é»É ¿ñ 41 Ï³ñÏ³Ý¹³Ï, ÇëÏãí³×³éí³Í ¿ñ ÙÝ³ó»É 7 Ï³ñÏ³Ý¹³Ï: ì³×³éáÕÝ»ñÇó á±ñÝ ¿ñ ³í»ÉÇß³ï Ï³ñÏ³Ý¹³ÏÝ»ñ í³×³é»É ¨ áñù³Ýá±í ³í»ÉÇ:

ì³Ý¹³ÏÝ»ñÇ Ù»ç ·ñ»°ù ³ÛÝåÇëÇ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñ, áñáÝó ¹»åùáõÙÏëï³óí»Ý ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ.

43

13. ´²¼Ø²ä²îÎØ²Ü îºÔ²öàÊ²Î²Ü úðºÜøÀ

¸Çï³ñÏ»Éáí µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ÕÛáõë³ÏÁª Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï»ëÝ»É, áñ »ñÏáõÙÇ³ÝÇß Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ãÇ÷áËíáõÙ:

úñÇÝ³Ï` 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 =6, ¨ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 =6, Ï³Ù 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 4 =12, ¨ 4 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 =12: àõñ»ÙÝÏ³ñáÕ »Ýù ·ñ»É. 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 =3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2, Ï³Ù 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 4 =4 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3:

´³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³Ûë Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ µÝ³Ï³ÝÃí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ´³ÝÝ ³ÛÝ ¿, áñ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ï³ñ»ÉÇ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É áñå»ë §áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³Ó¨¦ ¹³ë³íáñí³Í Ù»Ï»ñÇ ·áõÙ³ñ,áñáõÙ ïáÕ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ³é³çÇÝ ³ñï³¹ñÇãÇÝ, ÇëÏ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇù³Ý³ÏÁ` »ñÏñáñ¹ÇÝ: î»ë»°ù, ûñÇÝ³Ï`

Ï³Ù

ÐÇÙ³ å³ñ½ ¿, áñ ³ÝÏ³Ë Ýñ³ÝÇó, Ã» Ù»Ýù §áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý¦ Ù»ç »Õ³Í Ù»Ï»ñÁïáÕ»ñáí »Ýù ·áõÙ³ñáõÙ, Ã» ëÛáõÝ³ÏÝ»ñáí (³ÛëÇÝùÝª ³ÝÏ³Ë Ýñ³ÝÇó, Ã» ÇÝãÑ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµ »Ý µ³½Ù³å³ïÏíáõÙ Ãí»ñÁ), ³ñ¹ÛáõÝùÁ (³ñï³¹ñÛ³ÉÁ)ÙÇßï Ñ³í³ë³ñ ÏÉÇÝÇ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ÃíÇÝª áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù»ç »Õ³Í Ù»Ï»ñÇ ù³Ý³ÏÇÝ:

²ÛëåÇëáíª ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ï»Õ»ñÁ ÷áË³Ý³Ï»ÉÇë ³ñï³¹ñÛ³ÉÁãÇ ÷áËíáõÙ:

´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³Ûë Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ µ³½Ù³-å³ïÏÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»Ýù:

²ñ¹»Ý ÑÇÝ ³ßË³ñÑÇ ·ÇïÝ³Ï³ÝÝ»ñÁ Ñ³ëÏ³ÝáõÙ ¿ÇÝ Ãí³-µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÏ³ñ¨áñáõÃÛáõÝÁ, áñáÝù ×Çßï »Ý µáÉáñ Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Û¹åÇëÇÃí³µ³Ý³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñÁ Ñ³ïÏ³å»ë Ï³ñ¨áñ »Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÝ»ñ

ëï»ÕÍ»ÉÇë ¨ ¹ñ³Ýù ÑÇÙÝ³íáñ»ÉÇë: ´³µ»ÉáÝáõÙ, ÐÝ¹Ï³ëï³ÝáõÙ, ÐÇÝÐáõÝ³ëï³ÝáõÙ ³Û¹åÇëÇ ûñÇÝ³ã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÑÇÙ³Ý íñ³ ëï»ÕÍí»É¿ÇÝ µ³½Ù³ÃÇí Ñ³ñÙ³ñ ¨ ëñ³ÙÇï Ñ³ßíáÕ³Ï³Ý ÑÝ³ñÝ»ñ, áñáÝùû·ï³·áñÍíáõÙ ¿ÇÝ Ñ³ßí³ñÏáõÙÝ»ñ Ï³ï³ñ»ÉÇë ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ ÉáõÍ»ÉÇë:

2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 = + 1+1+11+1+1

, 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 =1+11+11+1

++

,

1+1+11+1+11+1+1

++ :4 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 =

1+1+1+,

1+1+1+11+1+1+11+1+1+1

++3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 4 =

44

271. Ò¨³Ï»ñå»°ù µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ:272. ´³óÇ µ³½Ù³å³ïÏáõÙÇóª á±ñ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ¿

ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ ×Çßï:273. Ð»ï¨Û³É ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ Ý»ñÏ³Û³óñ»°ù áñå»ë §áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³Ó¨¦

¹³ë³íáñí³Í Ù»Ï»ñÇ ·áõÙ³ñ.³) 2 ⋅ 5 ¨ 5 ⋅ 2, ·) 5 ⋅ 4 ¨ 4 ⋅ 5, ») 5 ⋅ 6 ¨ 6 ⋅ 5,µ) 6 ⋅ 3 ¨ 3 ⋅ 6, ¹) 1 ⋅ 8 ¨ 8 ⋅ 1, ½) 2 ⋅ 9 ¨ 9 ⋅ 2:

274. ´³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ ³ÏÝ³éáõ ¿ Ý³¨ í³Ý¹³Ï-Ý»ñáí µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï: úñÇÝ³Ïª 3 ⋅ 4 = 4 ⋅ 3.

ì³Ý¹³ÏÝ»ñáí µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÙÇçáóáí ëïáõ·»°ù µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ýï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ.

³) 7 ¨ 8, µ) 5 ¨ 10, ·) 3 ¨ 9, ¹) 6 ¨ 4:275. ú·ïí»Éáí ½ñáÛÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇóª óáõ°Ûó ïí»ù, áñ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý

ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ ×Çßï ¿ Ý³¨ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇóÙ»ÏÁ ½ñáÝ ¿:

276. êïáõ·»°ù Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ` Ï³ï³ñ»Éáí µ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ.³) 87 ⋅ 9 = 9 ⋅ 87, ·) 192 ⋅ 16 = 16 ⋅ 192,µ) 25 ⋅ 33 = 33 ⋅ 25, ¹) 24 ⋅ 543 = 543 ⋅ 24:

277. îñí³Í Ãí»ñÁ µ³½Ù³å³ïÏ»Éáí ï³ñµ»ñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñáíªáñáß»°ù, Ã» ¹ñ³ÝóÇó áñÝ ¿ ³é³í»É Ñ³ñÙ³ñ:

³) 78 ¨ 2, µ) 46382 ¨ 25, ·) 3 ¨ 672, ¹) 32 ¨ 7281:278. ²é³çÇÝ ûñÁ å³Ñ»ëï µ»ñ»óÇÝ 30 ³ñÏÕª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ 70 Ý³ñÇÝç,

ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ûñÁª 70 ³ñÏÕª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ 30 Ý³ñÇÝç: ²é³ÝóÑ³ßíáõÙÝ»ñ Ï³ï³ñ»Éáõ` Ï³ñ»ÉÇ± ¿ åÝ¹»É, áñ »ñÏáõ ûñ»ñÇÝ µ»ñí³ÍÝ³ñÇÝçÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ»ñÝ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ ¿ÇÝ:

279. ºñÏáõ ÁÝÏ»ñÝ»ñ Ë³ÝáõÃ ·Ý³óÇÝ: ºñÏáõëÝ ¿É åÇïÇ ·Ý»ÇÝ 5¬³Ï³ÝÏÇÉá·ñ³Ù µñÇÝÓ ¨ 4¬³Ï³Ý ÏÇÉá·ñ³Ù Ù³Ï³ñáÝ: ²é³çÇÝÁ Ý³Ë ·Ý»óµñÇÝÓÁ, ³å³ª Ù³Ï³ñáÝÁ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª ÁÝ¹Ñ³Ï³é³ÏÁ: ÖÇ±ßï ¿³ñ¹Ûáù, áñ ÁÝÏ»ñÝ»ñÁ ·ÝáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Í³Ëë»óÇÝ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ·áõÙ³ñÁ:ä³ï³ëË³ÝÁ ÑÇÙÝ³íáñ»°ù:

280. ´³ÝíáñÁ åÇïÇ ù³é³ÏáõëÇ Ñ³Ë×³ë³ÉÇÏÝ»ñáí »ñ»ë³å³ïÇ »ñÏáõå³ï: ä³ï»ñÇó Ù»ÏÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ÙÛáõëÇ »ñÏ³ñáõÃÛ³ÝÁ,ÇëÏ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁª ÙÛáõëÇ µ³ñÓñáõÃÛ³ÝÁ: ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù µ³ÝíáñÇ ³ÛÝÑ³ßí³ñÏÁ, áñ »ñÏáõ å³ï»ñÁ »ñ»ë³å³ï»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï »ÝÙÇ¨ÝáõÛÝ ù³Ý³Ïáí Ñ³Ë×³ë³ÉÇÏÝ»ñ: ´

45

281. Ð³ßí»°ù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁª ·áõÙ³ñáõÙÁ ÷áË³ñÇÝ»Éáíµ³½Ù³å³ïÏáõÙáí.

³) 23 + 23 + 23 + 23 + 23, ¹) 40025 + 40025 + 40025,µ) 17 + 17 + 17 + 17 + 17 + 17 + 17, ») 986 + 986 + 986 + 986,·) 104 + 104 + 104 + 104 + 104, ½) 2388 + 2388 + 2388 + 2388:

282. Ð³ßí»°ùª µ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ ÷áË³ñÇÝ»Éáí ·áõÙ³ñáõÙáí, ³å³Ï³ï³ñ»°ù µ³½Ù³å³ïÏáõÙ ¨ Ñ³Ù»Ù³ï»°ù ëï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ:

³) 56 ⋅ 3, µ) 7 ⋅ 4, ·) 3089 ⋅ 2, ¹) 4 ⋅ 139:283. 0, 1, 2, 3 Ãí»ñÇó ¹á°õñë ·ñ»ù Ýñ³Ýù, áñáÝù ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý

·ñ»Éáõ ¹»åùáõÙ 23 ⋅ ∗ < 25 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ÏÉÇÝÇ:284. ºñÏáõ å³Ñ»ëïÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ Ï³ 90 ³ñÏÕ Ý³ñÇÝç:

Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ñÏÕáõÙ Ï³ 35 Ý³ñÇÝç: ÀÝ¹³Ù»ÝÁ ù³ÝÇ± Ý³ñÇÝç Ï³»ñÏáõ å³Ñ»ëïÝ»ñáõÙ:

285. æáÏáõÙ Ï³ 10 ½ÇÝíáñ: ¸³ë³ÏÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ 4 çáÏÇó, í³ßïÁª 4¹³ë³ÏÇó, ·áõÙ³ñï³ÏÁª 4 í³ßïÇó: ø³ÝÇ± ½ÇÝíáñ Ï³ ·áõÙ³ñï³ÏáõÙ:

286. Öáå³ÝáõÕáõÙ ûñ³Ï³Ý Ï³ï³ñíáõÙ ¿ 20 áõÕ»ñÃ: ø³ÝÇ± Ù³ñ¹ Ï³ñáÕ ¿û·ïí»É ×áå³ÝáõÕáõó 1 ß³µ³ÃáõÙ, »Ã» ËóÇÏáõÙ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ 15 Ù³ñ¹:

287. îÕ³Ý 2 ñáå»áõÙ ù³ÕáõÙ ¿ 12 ËÝÓáñ, ÇëÏ ³ÕçÇÏÁ` 3 ñáå»áõÙ 15 ËÝÓáñ:5 ñáå»áõÙ ù³ÝÇ± ËÝÓáñ »Ý ù³ÕáõÙ ïÕ³Ý ¨ ³ÕçÇÏÁ ÙÇ³ëÇÝ:

288. ÆÝãå»±ë Ï÷áËíÇ »ñ»ù ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, »Ã» ÙÇ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝÙ»Í³óÝ»Ýù 17-áí, ÇëÏ Ù»Ï áõñÇßÁ ÷áùñ³óÝ»Ýù 5¬áí:

289. ́ ÅÇßÏÁ ÑÇí³Ý¹ÇÝ Ñ³ÝÓÝ³ñ³ñ»É ¿ ûñÁ 3 ³Ý·³Ù 2-³Ï³Ý Ñ³µ ËÙ»É: îáõ÷ÇÙ»ç Ï³ 60 Ñ³µ: ø³ÝÇ± ûñ Ïµ³í³Ï³Ý³óÝ»Ý ÑÇí³Ý¹ÇÝ ³Û¹ Ñ³µ»ñÁ:

290. ´Ý³Ï³ñ³ÝÝ áõÝÇ »ñ»ù ë»ÝÛ³Ï, ËáÑ³Ýáó ¨ Ý³Ë³ë»ÝÛ³Ï: ê»ÝÛ³ÏÝ»ñÇó»ñÏáõëÁ ÝáõÛÝ ã³÷»ñÝ áõÝ»Ý, ÇëÏ »ññáñ¹Ý ³í»ÉÇ Ù»Í ¿: Ø»Í ë»ÝÛ³ÏÝáõÝÇ 4 Éáõë³Ùáõï, ÷áùñ ë»ÝÛ³ÏÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁª 2 ³Ý·³Ù å³Ï³ë,ù³Ý Ù»ÍÁ, ÇëÏ ËáÑ³ÝáóÁª 2 ³Ý·³Ù å³Ï³ë, ù³Ý ÷áùñ ë»ÝÛ³ÏÁ:Ü³Ë³ë»ÝÛ³ÏáõÙ Éáõë³Ùáõï ãÏ³: ÀÝ¹³Ù»ÝÁ ù³ÝÇ± Éáõë³Ùáõï Ï³µÝ³Ï³ñ³ÝáõÙ:

291. ºñÏáõ ù³Õ³ùÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 400 ÏÙ ¿: ºñÏáõ ·Ý³óùÝ»ñ ¹áõñë»Ï³Ý ³Û¹ Ï»ï»ñÇó Çñ³ñ ÁÝ¹³é³ç: ºñµ ³é³çÇÝ ·Ý³óùÇÝ 30 ÏÙ ¿ñÙÝ³ó»É ÙÇÝã¨ ×³Ý³å³ñÑÇ Ï»ëÝ ³ÝóÝ»ÉÁ, »ñÏñáñ¹Ç ß³ñÅí»Éáõ å³ÑÇó³Ýó»É ¿ñ 3 Å³Ù: àñù³±Ý ¿ñ ·Ý³óùÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ ³Û¹ å³ÑÇÝ,»Ã» »ñÏñáñ¹ ·Ý³óùÁ 1 Å³ÙáõÙ ³ÝóÝáõÙ ¿ñ 40 ÏÙ:

292. Æ±Ýã Ãí³Ýß³ÝÝ»ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý, áñå»ë½Çëï³óíÇ ×Çßï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) 1∗3 < 113, ·) ∗28 < 12∗, ») ∗ < 1,µ) 64∗ > 644, ¹) ∗29 < 1∗9, ½) 90918 > 9∗9∗9:

¶ñùÇó åáÏí»É ¨ ¹áõñë ¿ ÁÝÏ»É Ýñ³ ÙÇ Ù³ëÁ: ²Û¹ Ù³ëÇ ³é³çÇÝ¿çÇ Ñ³Ù³ñÁ 387 ¿, ÇëÏ í»ñçÇÝÇ Ñ³Ù³ñÁ Ï³½Ùí³Í ¿ ³Û¹ ÝáõÛÝ Ãí³-Ýß³ÝÝ»ñÇó, áñáÝù, ë³Ï³ÛÝ, áõñÇß Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµ »Ý ·ñí³Í:ø³ÝÇ± ¿ç ¿ å³Ï³ë»É ·ñùÇó:

46

14. ´²¼Ø²ä²îÎØ²Ü ¼àô¶àð¸²Î²Ü úðºÜøÀ

ºÝÃ³¹ñ»Ýùª å»ïù ¿ µ³½Ù³å³ïÏ»É 4, 3 ̈ 2 Ãí»ñÁ: àñå»ë½Ç Ñ³ëÏ³Ý³ÉÇÉÇÝÇ, Ã» ÇÝã Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµ »Ý µ³½Ù³å³ïÏíáõÙ ³Ûë Ãí»ñÁ, û·ïíáõÙ»Ý ÷³Ï³·Í»ñÇó: Î³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»Éª (4 ⋅ 3) ⋅ 2 Ï³Ù 4 ⋅ (3 ⋅ 2):

Î³ï³ñ»Éáí µ³½Ù³å³ïÏáõÙÁª Ñ³Ùá½íáõÙ »Ýù, áñ (4 ⋅ 3) ⋅ 2 = 4 ⋅ (3 ⋅ 2):ê³Ï³ÛÝ ³Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ëïáõ·»Ýù ³ÛÉ Ï»ñå:

1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + +

1 + 1 + 1 1 + 1 + 1àõÝ»Ýùª (4 ⋅ 3) ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 = + + +

1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + +

1 + 1 + 1 1 + 1 + 1

²å³ Ù»Ï»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í§áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ¦ ¹³ë³íáñ»Ýù ³ÛÝå»ë, áñÙ»ÏÇ ïáÕ»ñÁ ÉÇÝ»Ý ÙÛáõëÇ ïáÕ»ñÇ Ñ»ï¨áõÙ (ï»°ëÝÏ. 4): ÜÏ³ñÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ ëï³óí³Í å³ïÏ»ñÁÏ³½Ùí³Í ¿ ãáñë ß»ñï»ñÇó (§áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇó¦),áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ Ï³ 3 ⋅ 2 Ù»Ï: àõëïÇÙ»Ï»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ù³Ý³ÏÁ ÏÉÇÝÇ

3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 = 4 ⋅ (3 ⋅ 2):

²ÛëåÇëáí`

(4 ⋅ 3) ⋅ 2 = 4 ⋅ (3 ⋅ 2),

³ÛëÇÝùÝª µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ ÷³Ï³-·Í»ñÇ ï»ÕÇó Ï³Ëí³Í ã¿: ²Ûë Ï»ñå í³ñí»ÉáíªÏ³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ÛëÑ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ ó³ÝÏ³ó³Í »ñ»ù µÝ³Ï³ÝÃí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»Ýù ¨ Ó¨³Ï»ñåíáõÙ ¿ ³Ûëå»ë. »ñÏáõ Ãí»ñÇ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ »ññáñ¹ Ãíáí µ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ëï³Ý³Éª ³é³çÇÝ ÃÇíÁ »ñÏñáñ¹ ¨ »ññáñ¹ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³Éáíµ³½Ù³å³ïÏ»Éáí:

293. Ò¨³Ï»ñå»°ù µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ:294. ´³óÇ µ³½Ù³å³ïÏáõÙÇóª á±ñ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ¿

½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ ×Çßï:

ÜÏ. 4

47

295. êïáõ·»°ù Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ×ßïáõÃÛáõÝÁ.³) (8 ⋅ 3) ⋅ 5= 8 ⋅ (3 ⋅ 5), ·) 11 ⋅ (8 ⋅ 9) = (11 ⋅ 8) ⋅ 9,µ) (2 ⋅ 18) ⋅ 4 = 2 ⋅ (18 ⋅ 4), ¹) 27 ⋅ (5 ⋅ 6) = (27 ⋅ 5) ⋅ 6:

296. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ,»ñµ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ½ñáÝ ¿:

297.ú·ïí»Éáí µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÇóª Ñ³ßí»°ù ³é³í»ÉÑ³ñÙ³ñ »Õ³Ý³Ïáí.

³) 3 ⋅ 4 ⋅ 5, ·) 20 ⋅ 10 ⋅ 17, ») 72 ⋅ 6 ⋅ 0,µ) 25 ⋅ 4 ⋅ 7, ¹) 38 ⋅ 24 ⋅ 5, ½) 15 ⋅ 4 ⋅ 11:

298.ú·ï³·áñÍ»Éáí µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ½áõ·áñ¹³Ï³Ýûñ»ÝùÝ»ñÁª Ñ³ßí»°ù ³é³í»É Ñ³ñÙ³ñ »Õ³Ý³Ïáí.

³) 4 ⋅ 138 ⋅ 25, ·) 2 ⋅ 14 ⋅ 25 ⋅ 5, ») 6 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 20,µ) 8 ⋅ 3 ⋅ 5, ¹) 11 ⋅ 2 ⋅ 30 ⋅ 5, ½) 17 ⋅ 8 ⋅ 4 ⋅ 5:

299. ø³ÝÇ± ³Ý·³Ù ÏÙ»Í³Ý³ »ñÏáõ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, »Ã»³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó Ù»ÏÁ Ù»Í³óÝ»Ýù 3 ³Ý·³Ù: ÐÇÙÝ³íáñ»°ùå³ï³ëË³ÝÁ:

300. îñí³Í ¿ »ñÏáõ ÃÇí: àõëáõóÇãÁ ³é³çÇÝ ³ß³Ï»ñïÇÝ Ñ³ÝÓÝ³ñ³ñ»ó 5³Ý·³Ù Ù»Í³óÝ»É ³é³çÇÝ ÃÇíÁ, ³å³ ³ÛÝ µ³½Ù³å³ïÏ»É »ñÏñáñ¹áí:ºñÏñáñ¹ ³ß³Ï»ñïÇÝ Ý³ Ñ³ÝÓÝ³ñ³ñ»ó 5 ³Ý·³Ù Ù»Í³óÝ»É »ñÏñáñ¹ÃÇíÁ, ³å³ ³ÛÝ µ³½Ù³å³ïÏ»É ³é³çÇÝáí: ¶áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ×ÇßïÏ³ï³ñ»Éáí` »ñÏáõ ³ß³Ï»ñïÝ»ñÁ Ïëï³Ý³±Ý ³ñ¹Ûáù ÝáõÛÝ å³ï³ë-Ë³ÝÁ:

301. àõÝ»Ýù 2-³Ï³Ý Ù³ëÇó Ï³½Ùí³Í 3 ³ñÏÕ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ù³ëáõÙ Ï³8 ·Çñù: ÀÝ¹³Ù»ÝÁ ù³ÝÇ± ·Çñù Ï³ 3 ³ñÏÕ»ñáõÙ: ÊÝ¹ÇñÁ ÉáõÍ»°ù »ñÏáõ»Õ³Ý³Ïáí:

302. ¼ÇÝíáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñï³ÏÁ ß³ñí³Í ¿ »ñÏáõ ß³ñ³ëÛáõÝáí:Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ß³ñ³ëÛáõÝáõÙ Ï³ 14 ß³ñù, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ß³ñùáõÙª 16½ÇÝíáñ: ø³ÝÇ± ½ÇÝíáñ Ï³ ·áõÙ³ñï³ÏáõÙ: Ð³ßíáõÙÝ»ñÁ Ï³ï³ñ»°ù»ñÏáõ »Õ³Ý³Ïáí:

303. ¶ï»°ù µáÉáñ ÙÇ³ÝÇß µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:304. à±ñ ÃÇíÁ å»ïù ¿ ·ñ»É ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý, áñå»ë½Ç Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ

×Çßï ÉÇÝÇ.³) 3 ⋅ ∗ = 9, µ) 24 ⋅ ∗ = 48, ·) 5 ⋅ ∗ = 25, ¹) 6 ⋅ ∗ = 18:

305. ÆÝãå»±ë Ï÷áËíÇ ÙÇ ù³ÝÇ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, »Ã» ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇóÙ»ÏÁ ÷áùñ³óÝ»Ýù 5¬áí, ÇëÏ ÙÛáõëÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ Ù»Í³óÝ»Ýù 10¬áí:

306. àñá±Ýù »Ý ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ ù³é³ÝÇß Ãí»ñÁ, áñáÝù Ï³ñ»ÉÇ¿ ·ñÇ ³éÝ»É 1, 3, 5, 7 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí (³é³Ýó ¹ñ³Ýù ÏñÏÝ»Éáõ):

48

307. ¶ñ»°ù ³ÛÝ µáÉáñ Ãí»ñÁ, áñáÝù ³ëïÕ³ÝÇßÇ ï»ÕáõÙ ·ñ»Éáõ ¹»åùáõÙÏëï³óíÇ ×Çßï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) 3 ⋅ ∗ + 7 < 12, ·) 11 ⋅ ∗ + 7 < 18,µ) 13 > 2 ⋅ ∗ + 1, ¹) 32 + 5 ⋅ ∗ < 100:

308. Î³ñÙÇñ Ã»ÉÁ 6 ³Ý·³Ù Ï³ñ× ¿ Ï³åáõÛïÇó, ÇëÏ Ï³åáõÛïÁ 3 ³Ý·³ÙÏ³ñ× ¿ ¹»ÕÇÝÇó: àñù³±Ý ¿ µáÉáñ Ã»É»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã»¹»ÕÇÝÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 108 Ù ¿:

309. âí³óáõó³ÏÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ` ³íïáµáõëÇ áõÕ»ñÃÇ ï¨áÕáõÃÛáõÝÁ 5 Å³Ù ¿:ÎÏ³ñáÕ³Ý³± ³ñ¹Ûáù ³íïáµáõëÁ ³é³Ýó áõß³óÙ³Ý ï»Õ Ñ³ëÝ»É, »Ã»Ýñ³ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 55 ÏÙ/Å ¿, ÇëÏ ×³Ý³å³ñÑÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ` 270 ÏÙ:

310.¶ñ³å³Ñ³ñ³ÝÇ »ñÏáõ ¹³ñ³ÏÝ»ñáõÙ Ï³ 138 ·Çñù: ºÃ» ³é³çÇÝ ¹³ñ³-ÏÇó í»ñóÝ»Ý 7 ·Çñù, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Çó` 11, ³å³ ¹³ñ³ÏÝ»ñáõÙ Ñ³í³ë³ñù³Ý³ÏÝ»ñáí ·ñù»ñ ÏÙÝ³Ý: ø³ÝÇ± ·Çñù Ï³ ¹³ñ³ÏÝ»ñÇó ³Ù»Ý Ù»ÏáõÙ:

311. ºñÏáõ ·ÛáõÕ»ñÇó, áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 100 ÏÙ ¿, Çñ³ñ ÁÝ¹³é³ç »Ý¹áõñë »Ï»É »ñÏáõ Ñ»ÍÛ³ÉÝ»ñ: Ø»ÏÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 20 ÏÙ/Å ¿, ÙÛáõëÇÝÁª30 ÏÙ/Å: ø³ÝÇ± Å³Ù Ñ»ïá Ýñ³Ýù ÏÑ³Ý¹Çå»Ý:

312. Â³ïñáÝÇ ¹³ÑÉÇ×áõÙ Ï³ 350 ï»Õ: Ü»ñÏ³Û³óÙ³Ý ¿ »Ï»É 187 Ñ³Ý¹Ç-ë³ï»ë: Ü»ñÏ³Û³óÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï á±ñ ï»Õ»ñÁ ̈ áñù³Ýá±í »Ý ³í»ÉÇ ß³ïª³½³±ï ï»Õ»ñÁ, Ã»± ½µ³Õ»óí³ÍÝ»ñÁ:

313. üáõïµáÉÇ Ñ³í³ù³Ï³Ý ÃÇÙÁ Ï³½Ùí³Í ¿ñ 1–23 Ñ³Ù³ñÝ»ñ áõÝ»óáÕýáõïµáÉÇëïÝ»ñÇó: Ê³ÕÇÝ Ù³ëÝ³ÏóáõÙ ¿ÇÝ 11 ýáõïµáÉÇëïÝ»ñ, ÁÝ¹áñáõÙ ³Ù»Ý³Ù»Í Ñ³Ù³ñÝ áõÝ»ñ 18 Ñ³Ù³ñáí Ë³Õ³óáÕÁ: Æ±Ýã Ñ³Ù³ñ-Ý»ñáí ýáõïµáÉÇëïÝ»ñ ¿ÇÝ Ýëï³Í å³Ñ»ëï³ÛÇÝÝ»ñÇ Ýëï³ñ³ÝÇÝ, »Ã»Ë³Õ³óáÕ ýáõïµáÉÇëïÝ»ñÇó ï³ëÇ Ñ³Ù³ñÝ»ñÁ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùÇ³é³çÇÝ ï³ëÁ Ãí»ñÝ ¿ÇÝ:

314. Ø³ÛñÁ 30 ï³ñ»Ï³Ý ¿, ÝáõÛÝù³Ý ¿É »ñ»Ë³Ý»ñÇ ï³ñÇùÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ ¿:ºñ»Ë³Ý»ñÇó Ïñïë»ñÁ 7 ï³ñ»Ï³Ý ¿: ø³ÝÇ± »ñ»Ë³ áõÝÇ Ù³ÛñÁ, ̈ ù³ÝÇ±ï³ñ»Ï³Ý »Ý Ýñ³Ýù, »Ã» »ñ»Ë³Ý»ñÇ ï³ñÇùÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁÝáõÛÝÝ »Ý:

²ñù³Ý, ó³ÝÏ³Ý³Éáí ÷áñÓ»É Çñ »ñÏáõ ÇÙ³ëïáõÝÝ»ñÇÝ, ³ë³ó Ýñ³Ýó.– Ò»ñ ³éç¨ ¹ñí³Í ¿ »ñ»ù ·¹³Ïª Ù»ÏÁ ë¨, »ñÏáõëÁ ëåÇï³Ï: ²Ù»Ý

Ù»ÏÇ¹ ÏÑ³·óÝ»Ý ³Û¹ ·¹³ÏÝ»ñÇó Ù»ÏÁ: ÆÝÓ Ñ»ï³ùñùñáõÙ ¿ª Ó»½ÝÇóáí ³é³çÇÝÁ Ï·áõß³ÏÇ, Ã» ÇÝã ·áõÛÝÇ ·¹³Ï ¿ Çñ ·ÉËÇÝ:

¸ñ³ÝÇó Ñ»ïá ÇÙ³ëïáõÝÝ»ñÇÝ ï³ñ³Ý ï³ñµ»ñ ë»ÝÛ³ÏÝ»ñ ¨Ýñ³Ýó Ñ³·óñÇÝ ëåÇï³Ï ·¹³ÏÝ»ñÁ: ²å³ Ýñ³Ýó »ï µ»ñ»óÇÝ:

ÆÙ³ëïáõÝÝ»ñÁ »ñÏ³ñ Ý³ÛáõÙ¿ÇÝ Çñ³ñ: ì»ñç³å»ë Ýñ³ÝóÇó Ù»-ÏÁ µ³ó³Ï³Ýã»ó.

– ÆÙ ·ÉËÇÝ ëåÇï³Ï ·¹³Ï ¿:ÆÝãå»±ë Ý³ Ï³ñáÕ³ó³í ·áõ-

ß³Ï»É:

49

15. ´²¼Ø²ä²îÎØ²Ü ´²ÞÊ²Î²Ü úðºÜøÀ ¶àôØ²ðØ²Ü ÜÎ²îØ²Ø´

¼áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ` »Ã» Ñ³ßíáõÙÝ»ñáõÙ û·ï³·áñÍíáõÙ¿ ÙÇ³ÛÝ ·áõÙ³ñáõÙ Ï³Ù ÙÇ³ÛÝ µ³½Ù³å³ïÏáõÙ, ³å³ ÷³Ï³·Í»ñÇ ÏÇñ³-éáõÙÁ å³ñï³¹Çñ ã¿: ́ ³Ûó »Ã» Ñ³ßíáõÙÝ»ñÇ Ù»ç Ñ³Ý¹ÇåáõÙ »Ý ̈ ° ·áõÙ³ñáõÙÁ,¨° µ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ, Çñ³íÇ×³ÏÁ ÷áËíáõÙ ¿: ²ñ¹ÛáõÝùÁ Ï³Ëí³Í ÏÉÇÝÇÝñ³ÝÇó, Ã» áñï»Õ »Ý ¹ñí³Í ÷³Ï³·Í»ñÁ: úñÇÝ³Ïª

2 ⋅⋅⋅⋅⋅ (3 + 4) = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 7 = 14, ÇëÏ (2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3) + 4 = 6 + 4 = 10:

Ð»ï¨³µ³ñ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ (3 + 4) ≠≠≠≠≠ (2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3) + 4:ê³Ï³ÛÝ áñáß ÷á÷áËáõÃÛ³Ùµ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ:

²Ñ³ ³ÛÝ.2 ⋅⋅⋅⋅⋅ (3 + 4) = (2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3) + (2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 4):

²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ»ßï ¿ ëïáõ·»É` å³ñ½³å»ë Ï³ï³ñ»Éáí ·áñÍá-ÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, µ³Ûó Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ÛÝå»ë í³ñí»É, áñ ³ÏÝÑ³Ûï ÉÇÝÇ, áñ Ãí»ñÇ³Ûë Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ ó³ÝÏ³ó³Í »ñ»ù µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: î»ë»°ù,Ã» ¹³ ÇÝãå»ë ¿ ³ñíáõÙ.

1+1+1+1+1+1+1 1+1+1 1+1+1+12 ⋅ (3 + 4) = 2 ⋅ 7 = + = + + + = (2 ⋅ 3) + (2 ⋅ 4):

1+1+1+1+1+1+1 1+1+1 1+1+1+1

àõñ»ÙÝ ÃÇíÁ »ñÏáõ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñáí µ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿³ÛÝ µ³½Ù³å³ïÏ»É ³Ù»Ý ÙÇ ·áõÙ³ñ»ÉÇáí ³é³ÝÓÇÝ, ³å³ ·áõÙ³ñ»Éëï³óí³Í ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ:

êï³óí³Í ûñ»ÝùÁ ÏáãíáõÙ ¿ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý µ³ßË³Ï³Ý ûñ»Ýù·áõÙ³ñÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùµ ¨ Ó¨³Ï»ñåíáõÙ ¿ ³Ûëå»ë. áñ¨¿ ÃÇí »ñÏáõ Ãí»ñÇ·áõÙ³ñáí µ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³Éª ÃÇíÁµ³½Ù³å³ïÏ»Éáí Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·áõÙ³ñ»ÉÇáí ¨ ëï³óí³Í Ãí»ñÁ·áõÙ³ñ»Éáí Çñ³ñ:

²í»Éáñ¹ ÷³Ï³·Í»ñ ã¹Ý»Éáõ Ñ³Ù³ñ å³ÛÙ³Ý³íáñíáõÙ »Ý, áñ »Ã»·áõÙ³ñáõÙ ̈ µ³½Ù³å³ïÏáõÙ å³ñáõÝ³ÏáÕ Ñ³ßíáõÙÝ»ñáõÙ ÷³Ï³·Í»ñ ãÏ³Ý,³å³ Ý³Ë Ï³ï³ñáõÙ »Ý µ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ: úñÇÝ³Ïª Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É.

2 ⋅⋅⋅⋅⋅ (3 + 4) ===== 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 + 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 4 :

50

315. Ò¨³Ï»ñå»°ù µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý µ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ ·áõÙ³ñÙ³Ý ÝÏ³ï-Ù³Ùµ:

316. êïáõ·»°ù µ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÇ ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁ.³) 18 ⋅ (7 + 5) = 18 ⋅ 7 + 18 ⋅ 5,µ) 634 ⋅ (91 + 64) = 634 ⋅ 91 + 634 ⋅ 64,·) (375 + 58) ⋅ 27 = 375 ⋅ 27 + 58 ⋅ 27,¹) (119 + 32) ⋅ 101 = 119 ⋅ 101 + 32 ⋅ 101:

317.ú·ï³·áñÍ»Éáí µ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁª Ñ³ßí»°ù ³é³í»É Ñ³ñÙ³ñ »Õ³-Ý³Ïáí.

³) 193 ⋅ 40 + 193 ⋅ 60, ·) 973 ⋅ 37 + 27 ⋅ 37, ») 388 ⋅ 99 + 12 ⋅ 99,µ) 18 ⋅ 5 + 18 ⋅ 95, ¹) 130 ⋅ 78 + 70 ⋅ 78, ½) 657 ⋅ 33 + 657 ⋅ 67:

318. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù ·áõÙ³ñÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùµ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý µ³ßË³Ï³Ýûñ»ÝùÁ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¨ ½ñáÛÇ Ñ³Ù³ñ:

319. ²ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó Ù»ÏÁ Ý»ñÏ³Û³óÝ»Éáí áñå»ë »ñÏáõ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñ`Ñ³ßíáõÙÝ»ñÁ Ï³ï³ñ»°ù ³é³í»É Ñ³ñÙ³ñ »Õ³Ý³Ïáí.

³) 51 ⋅ 4, ·) 6 ⋅ 35, ») 11 ⋅ 36,µ) 27 ⋅ 5, ¹) 4 ⋅ 25, ½) 5 ⋅ 92:

320. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁª û·ï³·áñÍ»Éáí µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ýµ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ ·áõÙ³ñÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùµ.

³) 38 ⋅ 275 + 38 ⋅ 25, ·) 66 ⋅ 432 + 66 ⋅ 97,µ) 103 ⋅ 87 + 103 ⋅ 29, ¹) 73 ⋅ 205 + 73 ⋅ 56:

321.Ð³ßí»°ù ³é³í»É Ñ³ñÙ³ñ »Õ³Ý³Ïáí.³) 7 ⋅ 3 + 7 ⋅ 5 + 7 ⋅ 2, ·) 25 ⋅ 2 + 25 ⋅ 3 + 25 ⋅ 5,µ) 4 ⋅ 9 + 4 ⋅ 11 + 4 ⋅ 3, ¹) 32 ⋅ 16 + 32 ⋅ 4 + 32 ⋅ 5:

322.Æ±Ýã ÃÇí å»ïù ¿ ·ñ»É ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý, áñå»ë½Ç ëï³óíÇ ×ÇßïÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) 25= 5 ⋅ ∗ + 5 ⋅ 3, ·) 4 ⋅ 3 + 3 ⋅ ∗ = 24,µ) ∗ ⋅ 6 + 3 ⋅ 6 = 36, ¹) ∗ ⋅ 8 + ∗ ⋅ 7 = 60:

323. ¶Ý³óùÁ A Ï³Û³ñ³ÝÇó B Ï³Û³ñ³ÝÁ Ñ³ë³í 5 Å³ÙáõÙ` ÁÝÃ³Ý³Éáí 70 ÏÙ/Å³ñ³·áõÃÛ³Ùµ, ÇëÏ B Ï³Û³ñ³ÝÇó C Ï³Û³ñ³ÝÁª 6 Å³ÙáõÙª 80 ÏÙ/Å³ñ³·áõÃÛ³Ùµ: ÆÝãù³±Ý ×³Ý³å³ñÑ ³Ýó³í ·Ý³óùÁ:

324. æñ³í³½³ÝÇ Ù»ç ÙïÝáõÙ ¿ 2 ËáÕáí³Ï: ²é³çÇÝáí Ù»Ï Å³ÙáõÙ ÉóíáõÙ ¿120 É çáõñ, »ñÏñáñ¹áíª 140 É: ºÃ» ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï µ³óí»Ý »ñÏáõ ËáÕá-í³ÏÝ»ñÇ Íáñ³ÏÝ»ñÁ, ³å³ 5 Å³ÙáõÙ áñù³±Ý çáõñ ÏÉóíÇ çñ³í³½³ÝÁ:

325. Æ±Ýã ÃÇí å»ïù ¿ ·ñ»É ³ëïÕ³ÝÇßÇ ï»ÕáõÙ, áñå»ë½Ç Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ×Çßï ÉÇÝÇ.

³) 6 ⋅ ∗ = 18, ·) ∗ + 14 = 26, ») 12 ⋅ ∗ = 0,µ) 6 ⋅ ∗ ⋅ 7 = 84, ¹) 36 + ∗ = 100, ½) 12 ⋅ ∗ =12:

51

326. Âí»ñÇó á±ñÝ ¿ ³í»ÉÇ Ù»Íª³) 3276259321¬Á, Ã»± 62399216188¬Á,µ) 4569972563¬Á, Ã»± 81593372110¬Á:

327. ¶ñ»°ù ³ÛÝ µáÉáñ Ãí»ñÁ, áñáÝù ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ·ñ»Éáõ ¹»åùáõÙ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³.

³) ∗ < 5, µ) ∗ < 11, ·) ∗ < 7, ¹) ∗ < 3:328. ¶ñ»°ù áñ¨¿ »ñÏÝÇß ÃÇí, ³å³ Ýñ³Ý Ïó³·ñ»°ù ÝáõÛÝ ÃÇíÁ: Ð³Ùá½í»°ù,

áñ ëï³óí³Í ù³é³ÝÇß ÃÇíÁ 101 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ Ó»ñ ·ñ³Í »ñÏÝÇß ÃíÇó:329. ÆÝãå»±ë Ï÷áËíÇ ÙÇ ù³ÝÇ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, »Ã» Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ

Ù»Í³óÝ»Ýù 1325¬áí, ÇëÏ ÙÇ áõñÇßÁª 2700¬áí:330. ¶ñùáõÙ Ï³ 532 ¿ç: îÕ³Ý ³Ù»Ý ûñ Ï³ñ¹áõÙ ¿ 37 ¿ç: ÎÏ³ñáÕ³Ý³± Ý³

Ï³ñ¹³É ³ÙµáÕç ·ÇñùÁ 2 ß³µ³ÃáõÙ:331. ¶ÛáõÕÇó É×³÷ Ñ³ëÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ×³Ù÷áñ¹Á åÇïÇ ëÏ½µáõÙ 6 ÏÙ ·Ý³

ë³ñÝ Ç í»ñ, ³å³ 18 ÏÙª ë³ñÝ Ç í³ñ: ÆÝãù³±Ý Å³Ù³Ý³ÏáõÙ ×³Ù÷áñ¹Á·ÛáõÕÇó ÏÑ³ëÝÇ É×³÷ ¨ Ïí»ñ³¹³éÝ³, »Ã» Ýñ³ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ í»ñ»ÉùÇÅ³Ù³Ý³Ï 2 ÏÙ/Å ¿, ÇëÏ í³Ûñ¿çùÇ Å³Ù³Ý³Ïª 6 ÏÙ/Å:

332.Ð³ñë³ÝÇùÇ Ñ³Ù³ñ ·Ý»óÇÝ 10 ïáõ÷ ù³Õóñ³í»ÝÇùª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ1600 ¹ñ³Ùáí, ̈ 5 ÙÇ³ÝÙ³Ý ïáñÃ: ²Û¹ ³Ù»ÝÇ Ñ³Ù³ñ í×³ñ»óÇÝ 36000 ¹ñ³Ù:ø³ÝÇ± ¹ñ³Ù í×³ñ»óÇÝ Ù»Ï ïáñÃÇ Ñ³Ù³ñ:

333.Ð³óÇ ·áñÍ³ñ³Ý å»ïù ¿ ï³Ý»É 240000 Ï· ³ÉÛáõñ: ´»éÝ³ï³ñ Ù»ù»Ý³-ÛáõÙ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ 3 ï ³ÉÛáõñ: ø³ÝÇ± Ù»ù»Ý³ Ïå³Ñ³ÝçíÇ, »Ã»Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ù»ù»Ý³Ý Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É 4 áõÕ»ñÃ:

334. Ð³Ùá½í»°ù, áñ ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ãí³Ýß³Ýáí ·ñÇ ³éÝí³Í ó³ÝÏ³ó³Í »é³ÝÇßÃÇí µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 37-Ç:

335. ºñÏáõ Ù³ñ¹Ï³Ýó Ñ³ë³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 3 Ù 50 ëÙ ¿: Üñ³ÝóÇó Ù»ÏÇÑ³ë³ÏÁ ÙÛáõëÇ Ñ³ë³ÏÇó Ù»Í ¿ 10 ëÙ¬áí: àñù³±Ý ¿ Ýñ³ÝóÇóÛáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³ë³ÏÁ:

336. Ø³ÛñÁ Ù»Í ¿ ³ÕçÏ³ÝÇó 6 ³Ý·³Ù, áñ¹áõóª 4 ³Ý·³Ù: ø³ÝÇ± ï³ñ»Ï³Ý ¿Ù³ÛñÁ, »Ã» Ýñ³ 30 ï³ñÇÝ ¹»é ãÇ Éñ³ó»É:

Â³í³ÛáõÙ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ 2 µÉÇÃ: ²Ù»Ý µÉÇÃÁ ÙÇ ÏáÕÙÇó ï³å³Ï»Éáõ

Ñ³Ù³ñ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ 1 ñáå»: ÆÝãå»±ë ¿ ÑÝ³ñ³íáñ 3 µÉÇÃÁ »ñÏáõ ÏáÕÙÇó

ï³å³Ï»É 3 ñáå»áõÙ:

52

16. ´Ü²Î²Ü ÂìºðÆ ¶àôØ²ðØ²Ü Ð²ÞìºÎ²ÜàÜÀ

ºì Üð² ´²ò²îðàôÂÚàôÜÀ

´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ ÑÇÙÝí³Í ¿ Ãí»ñÇ ¹Çñù³ÛÇÝ·ñ³éÙ³Ý íñ³ ¨ å³Ñ³ÝçáõÙ ¿ ·áõÙ³ñÙ³Ý ³ÕÛáõë³ÏÇ ÇÙ³óáõÃÛáõÝÁ: ºÏ»ùÑÇß»Ýù ³Û¹ Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ 5432 ¨ 31247 Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ûñÇÝ³Ïáí: ²Ñ³ ³ÛÝ.

1) ¶áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÁ ·ñíáõÙ »Ý ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³ÝóÇóÙ»ÏÇ Ï³ñ·»ñÁ ·ñí³Í ÉÇÝ»Ý ÙÛáõëÇ ÝáõÛÝ Ï³ñ·»ñÇï³Ï:

2) Âí»ñÇ ÙÇç¨ ¹ñíáõÙ ¿ + Ýß³ÝÁ, ÇëÏ ëïáñÇÝÃíÇ ï³Ï ·ÇÍ ¿ ï³ñíáõÙ:

3) êÏë³Í ³çÇóª Ñ³çáñ¹³µ³ñ ·áõÙ³ñíáõÙ »ÝÝáõÛÝ Ï³ñ·»ñÇ Ãí»ñÁ, ¨ ³ñ¹ÛáõÝùÁ ·ñíáõÙ ¿ ·ÍÇï³Ï: ºÃ» ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó Ù»ÏÇ áñ¨¿ Ï³ñ·áõÙ »Õ³ÍÃíÇÝ áãÇÝã ãÇ ·áõÙ³ñíáõÙ, ³å³ ³Û¹ ÃÇíÝ áõÕÕ³ÏÇ·ñíáõÙ ¿ ·ÍÇ ï³Ïª ïíÛ³É Ï³ñ·Ç ï»ÕáõÙ:

êï³óí³Í ÃÇíÝ ¿É ·áõÙ³ñíáÕ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÝ ¿:

ºÏ»ù Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ ·áõÙ³ñÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ ×Çßï ¿:²Û¹ ³Ý»Ýù 537 ̈ 321 Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ûñÇÝ³Ïáí: Î³ñ·³ÛÇÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇ-

Ý»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí ³Û¹ Ãí»ñÁ Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.537 = 5 ⋅ 100 + 3 ⋅ 10 + 7,321 = 3 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 1:

àõñ»ÙÝ Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É.537 + 321 = 5 ⋅ 100 + 3 ⋅ 10 + 7 + 3 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 1:

ú·ï³·áñÍ»Éáí ·áõÙ³ñÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ½áõ·áñ¹³Ï³Ýûñ»ÝùÝ»ñÁª Ïëï³Ý³Ýù.

537 + 321 = (5 ⋅ 100 + 3 ⋅ 100) + (3 ⋅ 10 + 2 ⋅ 10) + (7 + 1):

ú·ï³·áñÍ»Éáí µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý µ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ ·áõÙ³ñÙ³ÝÝÏ³ïÙ³Ùµª Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É.537 + 321 = (5 + 3) ⋅ 100 + (3 + 2) ⋅ 10 + (7 + 1) = 8 ⋅ 100 + 5 ⋅ 10 + 8 = 858:

543231247

543231247

+

5432 31247 36679

+

53

î»ëÝáõÙ »Ýù, áñ, Çñáù, Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³ï³ñ»É ÁëïÏ³ñ·»ñÇ, ³ÛëÇÝùÝ` í³ñí»É ·áõÙ³ñÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ: ²Û¹å»ëÏ³ï³ñíáÕ ·áõÙ³ñáõÙÁ Ñ³ñÙ³ñ ¿ ·ñÇ ³éÝ»É ëÛáõÝ³Ïáí:

Î³ñáÕ ¿ å³ï³Ñ»É, áñ Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ ÏÇñ³é»ÉÇë Ï³ñ·»ñÇó Ù»ÏáõÙ »Õ³ÍÃí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ »ñÏÝÇß ÃÇí ÉÇÝÇ (Ýß»Ýù, áñ ³Û¹ »ñÏÝÇß ÃíáõÙ ï³ëÝÛ³ÏÝ»ñÇù³Ý³ÏÁ ÙÇßï Ù»ÏÇ ¿ Ñ³í³ë³ñ): ²Û¹ ¹»åùáõÙ ïíÛ³É Ï³ñ·áõÙ ·ñÇ ¿ ³éÝíáõÙ³Û¹ ÃíÇ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, ÇëÏ Ó³ËÇó Ñ³çáñ¹ Ï³ñ·Ç Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ³í»É³óíáõÙ ¿ 1: úñÇÝ³Ïª

êáíáñ³µ³ñ Ñ³çáñ¹ Ï³ñ·ÇÝ Ù»ÏÇ ³í»É³óáõÙÁ Ï³ï³ñáõÙ »Ý ÙïùáõÙ:

337. Âí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ á±ñ ûñ»ÝùÝ»ñÝ »Ý ÏÇñ³éí»É·áõÙ³ñÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ µ³ó³ïñ»ÉÇë:

338. Ü»ñÏ³Û³óñ»°ù Ï³ñ·³ÛÇÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí ¨ ·áõÙ³ñ»°ùÃí»ñÁ.

³) 25 ¨ 34, ·) 11 ¨ 85, ») 5941 ¨ 3028,µ) 123 ¨ 76, ¹) 2372 ¨ 1007, ½) 63451 ¨ 22547:

339. Ð³ßí»°ùª û·ï³·áñÍ»Éáí ·áõÙ³ñÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ.³) 3249 + 9815, ·) 564 + 21857, ») 65417 + 41136,µ) 723008 + 6945, ¹) 93725 + 698911, ½) 593795 + 89000397:

340. Î³ï³ñ»°ù ·áõÙ³ñáõÙ.³) 761 + 349, ¹) 418 + 7095, ¿) 9999 + 1111,µ) 492 + 564, ») 5992 + 3779, Á) 23051 + 4158,·) 2328 + 807, ½) 3207 + 8034, Ã) 77528 + 19056:

341. ¶áõÙ³ñíáõÙ »Ý 751201 ¨ 378 Ãí»ñÁ: Üß»°ù ³ÛÝ Ï³ñ·»ñÁ, áñáÝóáõÙ·áõÙ³ñáõÙ ãÇ Ï³ï³ñíáõÙ ·áõÙ³ñÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ ÏÇñ³é»ÉÇë:

342. êïáõ·»°ù, áñ »Ã» »ñÏáõ ÙÇ³ÝÇß Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñáõÙÇó ëï³óíáõÙ ¿ »ñÏÝÇßÃÇí, ³å³ ï³ëÝÛ³ÏÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Û¹ ÃíáõÙ ÙÇßï Ñ³í³ë³ñ ¿ Ù»ÏÇ:

343. ¶áõÙ³ñíáõÙ »Ý ÝáõÛÝ ù³Ý³Ïáí Ï³ñ·»ñ áõÝ»óáÕ »ñÏáõ Ãí»ñ: ²Û¹ Ãí»ñÇ³Ù»Ý³Ù»Í Ï³ñ·áõÙ »Õ³Í Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï ëï³óíáõÙ ¿»ñÏÝÇß ÃÇí: à±ñ Ãí³Ýß³Ýáí ¿ ëÏëíáõÙ ³Û¹ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ·ñ³éáõÙÁ:

Ï³Ù

1

+ 36 57 93

1 1

+235 467 702

54

344. ²ëïÕ³ÝÇß»ñÁ ÷áË³ñÇÝ»°ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí,áñå»ë½Ç ëï³óíÇ ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) + ∗5 ·) + 3∗7 ») + 7∗∗ ¿) + 58∗32 3∗ ∗2∗ ∗43 ∗110∗ 86 759 965 ∗0∗0∗0

µ) + 4∗ ¹) + ∗∗6 ½) + 63∗5 Á) + 61002 34 222 ∗70∗ ∗∗∗∗∗∗ ∗7 34∗ 8018 245960

345.²ëïÕ³ÝÇß»ñÁ ÷áË³ñÇÝ»°ù ³ÛÝ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí, áñáÝó ¹»åùáõÙ Ï³-ï³ñí³Í ·áõÙ³ñáõÙÁ ×Çßï ÏÉÇÝÇ.

³) + 68∗4 µ) + 5∗∗7 ·) + 71∗37 ¹) + 163∗∗ ») + ∗763 4∗67 ∗41∗ 2∗9∗∗ 3∗781 999∗ 1∗27∗ 7848 ∗∗1200 ∗7∗75 ∗3∗∗2

346. êÛáõÝ³Ïáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·áõÙ³ñ»É áã ÙÇ³ÛÝ »ñÏáõ, ³ÛÉ¨ ³í»ÉÇ Ãí»ñ: Î³ï³-ñ»°ù ·áõÙ³ñáõÙ.

³) 3421 µ) 9355 ·) 4852 ¹) 85634 ») 77777+ 5620 + 8100 + 2756 + 32001 + 33333

8984 6377 9003 63459 55555

347. àñá±Ýù »Ý ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ í»ó³ÝÇß Ãí»ñÁ, áñáÝù Ï³ñ»ÉÇ¿ ·ñÇ ³éÝ»Éª Ù»Ï³Ï³Ý ³Ý·³Ù ·áñÍ³Í»Éáí 2, 7, 1, 0, 3, 5 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ:

348. ²ÕçÇÏÝ ³Ù»Ý ûñ Ï³ñ¹áõÙ ¿ 30 ¿ç, áñÇó Ñ»ïá ¿ç³Ýß³Ý ¿ ¹ÝáõÙ ·ñùÇÙ»ç: ²ÛÝ µ³ÝÇó Ñ»ïá, »ñµ Ý³ ¿ç³Ýß³ÝÁ ·ñùÇ Ù»ç ¹ñ»É ¿ 6 ³Ý·³Ù, Ýñ³ÝÙÝ³ó»É ¿ Ï³ñ¹³Éáõ 18 ¿ç: ø³ÝÇ± ¿ç Ï³ ·ñùáõÙ:

349. ÆÝùÝ³ÃÇéÁ 3000 ÏÙ ³Ýó³í 6 Å³ÙáõÙ, ÇëÏ áõÕÕ³ÃÇéÁª 15 Å³ÙáõÙ:àñù³Ýá±í ¿ ÇÝùÝ³ÃÇéÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ Ù»Í áõÕÕ³ÃÇéÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó:

350. Ð»ïÇáïÝÁ ¹áõñë »Ï³í A Ï»ïÇó Å³ÙÁ 6¬Ý ³Ýó 12 ñáå»ÇÝ ¨ B Ï»ïÁÑ³ë³í Ñ³çáñ¹ ûñÁª Å³ÙÁ 23¬Ý ³Ýó 9 ñáå»ÇÝ: ÆÝãù³±Ý Å³Ù³Ý³ÏáõÙÑ»ïÇáïÝÁ ³Ýó³í ×³Ý³å³ñÑÁ:

351. ä³Ñ»ëïáõÙ Ï³ñ 7200 ³Ù³Ý Ý»ñÏ, áñáÝóÇó Ë³ÝáõÃÝ»ñÁ ï³ñ³Ý 5400³Ù³Ý: ø³ÝÇ± ³Ý·³Ù ÷áùñ³ó³í å³Ñ»ëïáõÙ »Õ³Í Ý»ñÏÇ ³Ù³ÝÝ»ñÇù³Ý³ÏÁ:

352. Ð³ÛñÁ 65 ï³ñ»Ï³Ý ¿, ¹áõëïñÁª 41: ø³ÝÇ± ï³ñ»Ï³Ý ¿ñ Ñ³ÛñÁ, »ñµ¹áõëïñÁ 16 ï³ñ»Ï³Ý ¿ñ:

353. ØÇ ³ß³Ï»ñïÇ ³é³ç³¹ñ³Ýù ¿ñ ïñí³Íª ÙÇ ÃÇí µ³Å³Ý»É 18-Ç, ÇëÏ»ñÏñáñ¹ÇÝª ÝáõÛÝ ÃÇíÁ µ³Å³Ý»É 54¬Ç: ²é³çÇÝÇ ëï³ó³Í å³ï³ëË³ÝÁ27 ¿ñ: Æ±Ýã ÃÇí ¿ñ ëï³ó»É »ñÏñáñ¹Á, »Ã» »ñÏáõëÝ ¿É ×Çßï ¿ÇÝ Ï³ï³ñ»Éµ³Å³ÝáõÙÁ:

55

354. ¶ñ»°ù ÑÇÝ· µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñáÝóÇó ³é³çÇÝÁ 97¬Çó 15-áí Ù»Í ¿, ÇëÏÑ³çáñ¹ ãáñëÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ 15¬áí Ù»Í ¿ Çñ Ý³Ëáñ¹Çó:

355. Üáñ ï³ñáõó ³é³ç` ¹»Ïï»Ùµ»ñÇ 31-ÇÝ, Ë³ÝáõÃÁ í³×³é»ó 56 ïáõ÷ÏáÝý»ï, ÇëÏ Ñ³çáñ¹ ûñÁ` ÑáõÝí³ñÇ 1-ÇÝ` ÙÇ³ÛÝ 8-Á: ¸ñ³ Ñ»ï¨³ÝùáíË³ÝáõÃÁ ¹»Ïï»Ùµ»ñÇ 31-ÇÝ 32400 ¹ñ³Ùáí ³í»ÉÇ ëï³ó³í, ù³ÝÑáõÝí³ñÇ 1-ÇÝ: Æ±Ýã ³ñÅ»ñ Ù»Ï ïáõ÷ ÏáÝý»ïÁ:

ºñ»ù ÝáõÛÝ³ñÅ»ù Ù»ï³Õ³¹ñ³ÙÝ»ñÇó Ù»ÏÁ Ï»ÕÍ ¿ ¨ ÇëÏ³-Ï³ÝÝ»ñÇó Ã»Ã¨ ¿: Î³ñ»ÉÇ± ¿ ³ñ¹Ûáù, ÝÅ³ñ³íáñ Ïß»éùáí Ù»Ï ÏßéáõÙÏ³ï³ñ»Éáí, áñáß»É, Ã» áñ Ù»ï³Õ³¹ñ³ÙÝ ¿ Ï»ÕÍ:

17. Î²ð¶²ÚÆÜ ØÆ²ìàðÜºðÆ ´²¼Ø²ä²îÎàôØÀ

Ø»Ýù ·Çï»Ýù, áñ 1, 10, 100, 1000, 10000 ¨ ÝÙ³Ý ï»ëù áõÝ»óáÕ Ãí»ñÁÏ³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñ »Ý: ø³ÝÇ áñ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñÁ Ûáõñ³Ñ³ïáõÏÃí»ñ »Ý, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ýñ³Ýó µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý å³ñ½ Ï³ÝáÝ, áñÁ ÃáõÛÉ ¿ï³ÉÇë Ñ»ßïáõÃÛ³Ùµ ëï³Ý³É Ýñ³Ýó ³ñï³¹ñÛ³ÉÁª ³é³Ýó µ³½Ù³å³ïÏáõÙÁÏ³ï³ñ»Éáõ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñ ëï³óíáõÙ ¿Ý³Ëáñ¹Çóª ³ÛÝ 10¬áí µ³½Ù³å³ïÏ»Éáí: î³ëÇó Ù»Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï³ñ·³ÛÇÝÙÇ³íáñ Ñ³í³ë³ñ ¿ ³ÛÝù³Ý ï³ëÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ, áñù³Ý ½ñá Ï³ Ýñ³Ù»ç. ûñÇÝ³Ïª

100 = 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10, 1000 = 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10, 10000 = 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10,100000 = 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10:

²Ûëï»ÕÇó µËáõÙ ¿, áñ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñÁ µ³½Ù³å³ïÏ»ÉÇëëï³óíáõÙ ¿ ¹³ñÓÛ³É Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñ, áñÇ Ù»ç Ï³ ³ÛÝù³Ý ½ñá,ù³ÝÇ ½ñá áñ Ï³ µ³½Ù³å³ïÏíáÕ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñáõÙ:

úñÇÝ³Ïª 1000 ⋅⋅⋅⋅⋅ 100 = 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10 = 100000 :ÆÙ³Ý³Éáí, Ã» ÇÝãå»ë »Ý µ³½Ù³å³ïÏíáõÙ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñÁª

Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý³¨ Ñ³ëÏ³Ý³É, Ã» ÇÝãå»ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ µ³½Ù³å³ïÏ»ÉÏ³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñáí:

¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ûñÇÝ³ÏÁ.324 ⋅⋅⋅⋅⋅ 100 = (3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 100 + 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10 + 4) ⋅⋅⋅⋅⋅ 100 == 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 100 ⋅⋅⋅⋅⋅ 100 + 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10 ⋅⋅⋅⋅⋅ 100 + 4 ⋅⋅⋅⋅⋅ 100 == 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10000 + 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 1000 + 4 ⋅⋅⋅⋅⋅ 100 = 32400:

î»ëÝáõÙ »Ýù, áñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ëï³Ý³Éáõ Ñ³Ù³ñ å³ñ½³å»ë Ï³ñ»ÉÇ ¿µÝ³Ï³Ý ÃíÇÝ Ïó³·ñ»É ³ÛÝù³Ý ½ñá, áñù³Ý Ï³ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñáõÙ: ¸³×Çßï ¿ ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý ÃíÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÇ Ñ³Ù³ñ:

56

²ÛëåÇëáíª µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñáí µ³½Ù³å³ïÏ»ÉáõÑ³Ù³ñ Ýñ³Ý å»ïù ¿ ³çÇó Ïó³·ñ»É ³ÛÝù³Ý ½ñá, ù³ÝÇ ½ñá áñ Ï³Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñáõÙ:

356. Æ±Ýã Ãíáí å»ïù ¿ µ³½Ù³å³ïÏ»É ïñí³Í Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÁª Ñ³çáñ¹Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÁ ëï³Ý³Éáõ Ñ³Ù³ñ:

357. Ò¨³Ï»ñå»°ù Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ:358. Ò¨³Ï»ñå»°ù µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñáí µ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ

Ï³ÝáÝÁ:359. Î³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íá±ñ ¿ ³ñ¹Ûáù ÙÇÉÇáÝÁ: ÆëÏ ÙÇÉÇ³±ñ¹Á:360. ø³ÝÇ± ³Ý·³Ù ¿ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÁ Ù»Í Çñ

Ý³Ëáñ¹Çó:361. à±ñ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ ¿ Ñ³çáñ¹áõÙ 10000000 Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÇÝ:362. à±ñ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ ¿ Ý³Ëáñ¹áõÙ 10000000¬ÇÝ:363. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ± ³ñ¹Ûáù ³Ù»Ý³Ù»Í Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñ: ÆëÏ ³Ù»Ý³÷áùñ

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ±: ä³ï³ëË³ÝÁ ÑÇÙÝ³íáñ»°ù:364. ´³½Ù³å³ïÏ»°ù Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñÁ.

³) 100 ⋅ 1000, ·) 100000 ⋅ 1000000,µ) 1000 ⋅ 10000, ¹) 100 ⋅ 1000000:

365. Î³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íá±ñ ÏÉÇÝÇ ³ñ¹Ûáù »ñ»ù Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ³ñï³-¹ñÛ³ÉÁ:

366. ´³½Ù³å³ïÏ»°ù Ãí»ñÁ.³) 10000 ⋅ 100000, ¹) 10000 ⋅ 1200, ¿) 10000 ⋅ 3807,µ) 500 ⋅ 10000, ») 539 ⋅ 1000, Á) 370 ⋅ 1000000,·) 100 ⋅ 7625, ½) 3289 ⋅ 100000, Ã) 4375 ⋅ 100:

367. ºñÏáõ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó Ù»ÏÁ 17 ¿: àñù³Ýá±í ÏÙ»Í³Ý³ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ,»Ã» ÙÛáõë ³ñï³¹ñÇãÁ Ù»Í³óíÇ 12¬áí:

368. ö³Ï³·Í»°ñ ï»Õ³¹ñ»ù ³ÛÝå»ë, áñ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ÉÇÝÇ.³) 320 – 60 : 4 – 2 = 303, ·) 320 – 60 : 4 – 2 = 290,µ) 320 – 60 : 4 – 2 = 130, ¹) 320 – 60 : 4 – 2 = 63:

369. ÚáÃ³ÝÇß ÃíÇ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç Ï³Ý í»ó 0-Ý»ñ: à±ñ Ï³ñ·áõÙ ¿ 0-Çó ï³ñµ»ñÃÇíÁ: à±ñ ¹³ëÇ Ù»ç ¿ ÙïÝáõÙ ³Û¹ Ï³ñ·Á:

370. ²ëïÕ³ÝÇß»ñÇ ÷áË³ñ»Ý ·ñ»°ù ³ÝÑñ³Å»ßï Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ.³) 18 µ)

54 ·)

92

3∗ 7∗ ∗5

+ 1∗8 432 ∗60 5∗ + 37∗ + 1∗4

∗∗8 ∗2∗2 ∗∗∗0

57

ÜÏ. 5

371. Æ±Ýã Ãí»ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É í³Ý¹³ÏÝ»ñÇ Ù»ç, áñå»ë½Ç ëï³óí»Ý ×Çßï³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ (ï»°ë ÝÏ. 5):

372. Î³ñá±Õ ¿ ³ñ¹Ûáù »ñÏáõ »é³ÝÇß Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁÉÇÝ»É ù³é³ÝÇß ÃÇí: ÆëÏ »ñÏáõ »ñÏÝÇßÝ»ñÇ±ÝÁ:

373. ¸Çïáñ¹Ý»ñÁ ÝÏ³ï»É »Ý, áñ »ñ³ÙáõÙ ÉÇÝáõÙ »Ý40-Çó áã å³Ï³ë ¨ 50-Çó áã ³í»ÉÇ ÃéãáõÝÝ»ñ:ø³ÝÇ± ÃéãáõÝ Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É »ñ³ÙáõÙ. ·ñ»°ùµáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ ù³Ý³ÏÝ»ñÁ:

374. ²é³çÇÝ ÑáÕ³ÏïáñÇ 1 Ñ»Ïï³ñÇó Ñ³í³ùí³Íóáñ»ÝÇ µ»ñùÁ 34 ó ¿, »ñÏñáñ¹Ç 1 Ñ»Ïï³ñÇóÑ³í³ùí³ÍÁª 44 ó: ÀÝ¹³Ù»ÝÁ ù³ÝÇ±ó»ÝïÝ»ñ óáñ»Ý »Ý Ñ³í³ù»É »ñÏáõÑáÕ³ÏïáñÝ»ñÇó, »Ã» Ýñ³ÝóÇó ³é³çÇÝÇÙ³Ï»ñ»ëÁ 300 Ñ³ ¿, »ñÏñáñ¹ÇÝÁª 740 Ñ³:

375. ä»ïù ¿ í»ñ³Ýáñá·»É 100 ÏÙ, 105 ÏÙ ¨ 150 ÏÙ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ áõÝ»óáÕ»ñ»ù ×³Ý³å³ñÑÝ»ñ: àñáß»°ù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ×³Ý³å³ñÑÇ í»ñ³-Ýáñá·Ù³Ý Í³Ëë»ñÁ, »Ã» 1 ÏÙ ×³Ý³å³ñÑÇ í»ñ³Ýáñá·Ù³Ý ³ñÅ»ùÁ»ñ»ù ¹»åùáõÙ ¿É ÝáõÛÝÝ ¿, ¨ ³é³çÇÝ ×³Ý³å³ñÑÇ í»ñ³Ýáñá·Ù³ÝÑ³Ù³ñ 10000000 ¹ñ³Ùáí å³Ï³ë ·áõÙ³ñ ¿ å³Ñ³ÝçíáõÙ, ù³Ý»ñÏñáñ¹Ç í»ñ³Ýáñá·Ù³Ý Ñ³Ù³ñ:

376. ºñÏáõ ³ÝáÃÝ»ñáõÙ Ï³ 18 É çáõñ: ºñµ ³é³çÇÝ ³ÝáÃÇó »ñÏñáñ¹Ç Ù»çÉóñÇÝ 1 É çáõñ, ³ÝáÃÝ»ñáõÙ »Õ³Í çñÇ ù³Ý³ÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ-í»óÇÝ: ø³ÝÇ± ÉÇïñ çáõñ Ï³ñ ³Ù»Ý ÙÇ ³ÝáÃáõÙ:

377. ÎÑ³ëóÝÇ± ³ñ¹Ûáù Ë³é³ïÁ 8 Å³ÙáõÙ Ùß³Ï»É 20 Ù³Ýñ³Ï, »Ã» Ûáõñ³-ù³ÝãÛáõñ Ù³Ýñ³ÏÁ Ý³ Ùß³ÏáõÙ ¿ 25 ñáå»áõÙ:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Ãí»ñÁ ï»Õ³¹ñ»°ùßñç³Ý³ÏÝ»ñÇ Ù»ç ³ÛÝå»ë, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áõÕÕÇíñ³ ·ïÝíáÕ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝÇ 20¬Ç:

18. ´²¼Ø²ä²îÎØ²Ü Ð²ÞìºÎ²ÜàÜÀ ºì Üð² ´²ò²îðàôÂÚàôÜÀ

²Ûë ¹³ëáõÙ Ó»½ ÏÑÇß»óÝ»Ýù µ³½Ù³ÝÇß Ãí»ñÇ µ³½Ù³å³ïÏÙ³ÝÑ³ßí»Ï³ÝáÝÁ: ²ÛÝ µ³½Ù³ÝÇß Ãí»ñÇ µ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ Ñ³Ý·»óÝáõÙ ¿ ÙÇ³ÝÇßÃí»ñÇ µ³½Ù³å³ïÏÙ³ÝÁ: êÏë»Ýù µ³½Ù³ÝÇß ÃÇíÁ ÙÇ³ÝÇßáí µ³½Ù³å³ï-Ï»Éáõó:

ºÝÃ³¹ñ»Ýùª å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ 235¬Á µ³½Ù³å³ïÏ»É 7¬áí: ¸ñ³ Ñ³Ù³ñª

1) ØÇ ÃÇíÁ ·ñáõÙ »Ýù ÙÛáõëÇ ï³Ï, Ó³ËÇó ¹ÝáõÙµ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ýß³ÝÁ, ÇëÏ ëïáñÇÝ ÃíÇ ï³Ï ·ÇÍ»Ýù ï³ÝáõÙ:

235 7

58

235

7 1645

2) ØÇ³ÝÇß ÃÇíÁ µ³½Ù³å³ïÏáõÙ »Ýù µ³½Ù³ÝÇßÃíÇ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ Ï³ñ·áõÙ »Õ³Í Ãíáí ¨ ³ñ¹ÛáõÝùÁ·ñáõÙ ·ÍÇ ï³Ï:

3) ØÇ³ÝÇß ÃÇíÁ µ³½Ù³å³ïÏáõÙ »Ýù µ³½Ù³ÝÇßÃíÇ ï³ëÝ³íáñÝ»ñÇ Ï³ñ·áõÙ »Õ³Í Ãíáí ¨ ³ñ¹ÛáõÝùÁ·ñáõÙ »ñÏñáñ¹ ïáÕáõÙª Ý³Ëáñ¹Çó Ù»Ï Ï³ñ· ¹»åÇÓ³Ë:

4) ØÇ³ÝÇß ÃÇíÁ µ³½Ù³å³ïÏáõÙ »Ýù µ³½Ù³ÝÇßÃíÇ Ñ³ñÛáõñ³íáñÝ»ñÇ Ï³ñ·áõÙ »Õ³Í Ãíáí ¨³ñ¹ÛáõÝùÁ ·ñáõÙ »ññáñ¹ ïáÕáõÙª Ý³Ëáñ¹Çó Ù»ÏÏ³ñ· ¹»åÇ Ó³Ë:

5) ºíë Ù»Ï ·ÇÍ »Ýù ï³ÝáõÙ ¨ ·áõÙ³ñáõÙ Çñ³ñ ï³Ï·ñí³Í Ãí»ñÁ: ²ñ¹ÛáõÝùÁ ·ñáõÙ »Ýù ·ÍÇ ï³Ï:

êï³óí³Í ÃÇíÝ ¿É áñáÝ»ÉÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ¿:

´³í³ñ³ñ ã³÷áí í³ñÅí»Éáõó Ñ»ïá ³Û¹ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ-Ý»ñÁ Ñ»ßï ¿ Ï³ï³ñ»É ÙïùáõÙ ¨ ¹ñ³ ßÝáñÑÇí ·ÍÇ ï³ÏÙÇ³Ý·³ÙÇó ·ñ»É ³ñ¹ÛáõÝùÁ:

ºÏ»ù Ñ³ëÏ³Ý³Ýù, Ã» ÇÝãáõ ¿ ³Ûë Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ï³ï³ñíáÕµ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ ×Çßï: 235¬Á Ý»ñÏ³Û³óÝ»Ýù Ï³ñ·³ÛÇÝ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí. 235 = 2 ⋅ 100 + 3 ⋅ 10 + 5:

ú·ï³·áñÍ»Éáí µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý µ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ ·áõÙ³ñÙ³ÝÝÏ³ïÙ³Ùµª ·ñ»Ýù.

235 ⋅ 7 = (2 ⋅ 100 + 3 ⋅ 10 + 5) ⋅ 7 = (2 ⋅ 100) ⋅ 7 + (3 ⋅ 10) ⋅ 7 + 5 ⋅ 7:´³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñÇ Ñ³-

Ù³Ó³ÛÝª Ï³ñáÕ »Ýù ß³ñáõÝ³Ï»É.235 ⋅ 7 = (2 ⋅7) ⋅ 100 + (3 ⋅ 7) ⋅ 10 + 5 ⋅ 7 = 14 ⋅ 100 + 21 ⋅ 10 + 35 = 1400 + 210

+ 35:¶áõÙ³ñÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ ÃáõÛÉ ¿ ï³ÉÇë ·ñ»É.

235 ⋅ 7 = 35 + 210 + 1400 = 1645:ºÃ» ³Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ·ñÇ ³éÝ»Ýù ëÛáõÝ³Ïáí, ³å³ ³Û¹ ·ñ³éÙ³Ý

Ù»ç Ï×³Ý³ã»Ýù µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ:ºñÏáõ µ³½Ù³ÝÇß Ãí»ñÇ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï å»ïù ¿ ÙÇ ù³ÝÇ

³Ý·³Ù Ï³ï³ñ»É ÙÇ³ÝÇß ÃíÇ µ³½Ù³å³ïÏáõÙ µ³½Ù³ÝÇß Ãíáí: ´³½Ù³ÝÇßÃí»ñÇó Ù»ÏÇ Ï³ñ·»ñáõÙ ·ñí³Í Ãí»ñÁ Ñ³çáñ¹³µ³ñ, ëÏë³Í ÙÇ³íáñÝ»ñÇ

235

7 35+ 21 14 1645

235

7

35

21

14

235 7

35

235 7

35

21

59

375

24

+ 1500 750 9000

Ï³ñ·Çó, µ³½Ù³å³ïÏíáõÙ »Ý ÙÛáõë Ãíáí: ²ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ ·ñíáõÙ »Ý Ûáõñ³ù³Ý-ãÛáõñÝ Çñ Ý³Ëáñ¹Çó Ù»Ï Ï³ñ· ¹»åÇ Ó³Ë ¨ ³å³ ·áõÙ³ñíáõÙ »Ý:

úñÇÝ³Ïª

378. Âí»ñÇ Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý Ç±Ýã »Õ³Ý³ÏÇó Ù»Ýù û·ïí»óÇÝù µ³½Ù³å³ïÏ-Ù³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÇ µ³ó³ïñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ:

379. Âí³µ³Ý³Ï³Ý á±ñ ûñ»ÝùÝ»ñÇó û·ïí»óÇÝù µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ñ³ßí»-Ï³ÝáÝÁ µ³ó³ïñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ:

380. à±ñ ¹»åùáõÙ ¿ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ ÏÇñ³é»ÉÝ ³í»ÉÇ Ñ»ßïª³) ÙÇ³ÝÇß ÃÇíÁ µ³½Ù³ÝÇßá±í µ³½Ù³å³ïÏ»ÉÇë, Ã»± Ñ³Ï³é³ÏÁ,µ) »ñÏÝÇß ÃÇíÁ »é³ÝÇßá±í µ³½Ù³å³ïÏ»ÉÇë, Ã»± Ñ³Ï³é³ÏÁ,·) ³í»ÉÇ ùÇã Ï³ñ·»ñ áõÝ»óáÕ ÃÇíÁ ³í»ÉÇ ß³ï Ï³ñ·»ñ áõÝ»óáÕ Ãíá±íµ³½Ù³å³ïÏ»ÉÇë, Ã»± Ñ³Ï³é³ÏÁ:

381. ¶ï»°ù ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ.³) 94 ⋅ 84, ·) 81 ⋅ 317, ») 567 ⋅ 1239,µ) 314 ⋅ 25, ¹) 189 ⋅ 563, ½) 9584 ⋅ 657:

382. ´³½Ù³å³ïÏ»°ù Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÁ.³) 2375 ⋅ 809, µ) 4072 ⋅ 206, ·) 1172 ⋅ 9008, ¹) 376 ⋅ 40503:

383. Î³ï³ñ»°ù µ³½Ù³å³ïÏáõÙ.³) 392 ⋅ 443, ¹) 122 ⋅ 5608, ¿) 1024 ⋅ 9648,µ) 208 ⋅ 911, ») 6374 ⋅ 285, Á) 5678 ⋅ 1234,·) 735 ⋅ 624, ½) 827 ⋅ 3701, Ã) 3000 ⋅ 1000:

384. Î³ï³ñ»°ù µ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ ³é³í»É Ñ³ñÙ³ñ »Õ³Ý³Ïáí.³) 9 ⋅ 1075, ·) 935 ⋅ 43, ») 182 ⋅ 3746,µ) 576 ⋅ 7, ¹) 72 ⋅ 409, ½) 19074 ⋅ 87:

385. ²ëïÕ³ÝÇß»ñÇ ÷áË³ñ»Ý ·ñ»°ù µ³ó ÃáÕÝí³Í Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ.³) 2∗ µ) ∗5 ·) ∗3 ¹) 1∗3 ») 5∗2 ½) ∗4∗

3 4 ∗ 3 7 7∗4 10∗ 46 ∗2∗ ∗∗2∗ 10∗5

386. Ð»ï¨Û³É Ãí»ñÁ Ý»ñÏ³Û³óÝ»Éáí Ï³ñ·³ÛÇÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇï»ëùáí ¨ ¹ñ³Ýù µ³½Ù³å³ïÏ»Éáíª µ³ó³ïñ»°ù µ³½Ù³å³ïÏÙ³ÝÑ³ßí»Ï³ÝáÝÁ.

³) 32 ¨ 17, ¹) 19 ¨ 84, ¿) 100 ¨ 76,µ) 139 ¨ 56, ») 103 ¨ 205, Á) 7492 ¨ 53,·) 257 ¨ 132, ½) 64 ¨ 381, Ã) 11 ¨ 4807:

60

389. ö³Ï³·Í»°ñ ï»Õ³¹ñ»ù ³ÛÝå»ë, áñ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ÉÇÝÇ.³) 5 ⋅ 4 + 6 ⋅ 10 = 260, ¹) 52 + 8 ⋅ 3 + 7 = 600,µ) 8 ⋅ 6 + 2 ⋅ 7 = 350, ») 30 + 10 + 6 ⋅ 9 = 174,·) 3 ⋅ 4 + 6 ⋅ 5 = 150, ½) 5 ⋅ 30 + 11 + 84 = 289:

390. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) (6518818 + 2372) : (4331 – 1341),µ) (77073217 + 3023) : (68906 – 576),·) (5817362 + 1986) : (1940 – 1024):

391. ºñÏáõ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 0 ¿, ·áõÙ³ñÁª 178: ¶ï»°ù ³Û¹ Ãí»ñÁ:392. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁª Áëï Ñ»ï¨Û³É ·Í³å³ïÏ»ñÇ.

393. ¶ñ»°ù ³ÛÝ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ½áõÛ·»ñÁ, áñáÝó ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿12¬Ç:

394. ²é³çÇÝ Ñ³óÃáõËÁ, 4 Å³Ù ³ßË³ï»Éáí, »ñÏñáñ¹Çó 20 Ñ³óáí ³í»ÉÇÃË»ó: Ä³ÙáõÙ ù³ÝÇ± Ñ³ó ¿ ÃËáõÙ ³é³çÇÝ Ñ³óÃáõËÁ, »Ã» »ñÏñáñ¹ÁÃËáõÙ ¿ Å³ÙáõÙ 10 Ñ³ó:

395. ºñÏáõ ·ñ³¹³ñ³ÏÝ»ñáõÙ Ï³ 74 ·Çñù: ºÃ» Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÇó ÙÛáõëÇ Ù»çï»Õ³÷áË»Ýù 13 ·Çñù, ³å³ ·ñ³¹³ñ³ÏÝ»ñáõÙ ¹ñí³Í ·ñù»ñÇ ù³Ý³Ï-Ý»ñÁ ÏÑ³í³ë³ñí»Ý: ø³ÝÇ± ·Çñù Ï³ ·ñ³¹³ñ³ÏÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ:

396. Ð³óÇ ·áñÍ³ñ³Ý å»ïù ¿ ï³Ý»É ³ÉÛáõñÇ 690 å³ñÏª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ50 Ï· ³ÉÛáõñ: Ø»Ï µ»éÝ³ï³ñ Ù»ù»Ý³Ý Ï³ñáÕ ¿ ï»Õ³÷áË»É 4 ï ³ÉÛáõñ:ø³ÝÇ± ³Û¹åÇëÇ Ù»ù»Ý³ ³ÝÑñ³Å»ßï ÏÉÇÝÇ ³ÙµáÕç ³ÉÛáõñÁ Ù»Ï áõÕ»ñ-Ãáí ·áñÍ³ñ³Ý Ñ³ëóÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ:

397. Ð³Ý¹Çë³ëñ³ÑáõÙ Ï³ 35 Ï³ñ·ª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ 12 ³Ãáé: ø³ÝÇ± Ï³ñ·ÏÉÇÝÇ Ñ³Ý¹Çë³ëñ³ÑáõÙ, »Ã» ³ÃáéÝ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ù³Ý³ÏÁ ÝáõÛÝÁ ÙÝ³,ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï³ñ·áõÙ »Õ³Í ³ÃáéÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ¹³ñÓíÇ 15:

386. ú·ï³·áñÍ»Éáí ëÛáõÝ³Ïáí µ³½Ù³å³ïÏáõÙÁª µ³½Ù³å³ïÏ»°ù Ï³ñ·³-ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñÁ ¨ Ñ³Ùá½í»°ù, áñ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ µ³½Ù³-å³ïÏÙ³Ý Ó»½ Ñ³ÛïÝÇ »Õ³Ý³ÏÁ ×Çßï ¿.

³) 10 ⋅ 100, µ) 100 ⋅ 1000, ·) 1000 ⋅ 10, ¹) 100 ⋅ 100:387. ú·ï³·áñÍ»Éáí ëÛáõÝ³Ïáí µ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ` ÃÇíÁ µ³½Ù³å³ïÏ»°ù

Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñáí.³) 93 ⋅ 10, µ) 80 ⋅ 100, ·) 100 ⋅ 685, ¹) 1000 ⋅ 74:

61

398. Ðñáõß³Ï³·áñÍÁ 5 ûñáõÙ åÇïÇ ÃË»ñ 320 ·³Ã³: ²é³çÇÝ 2 ûñÁ Ý³ ÃËáõÙ¿ñ ûñ³Ï³Ý 70 ·³Ã³, ÙÝ³ó³Í ûñ»ñÁª 65¬³Ï³Ý: Ð³ëóñ»±ó ³ñ¹ÛáùÑñáõß³Ï³·áñÍÁ ÃË»É ·³Ã³Ý»ñÁ ³Û¹ Å³Ù³Ý³Ï³ÙÇçáóáõÙ:

ÆÝãå»±ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÑÇÝ·ÉÇïñ³Ýáó Ï³Ãë³ÛÇ ̈ »ñ»ùÉÇïñ³Ýáó ³ÝáÃÇÙÇçáóáí çñÇ Íáñ³ÏÇó ¹áõÛÉÇ Ù»ç ÉóÝ»É 4 É çáõñ:

19. ´Ü²Î²Ü ÂìºðÆ Ð²ÜàôØÀ

Ø»Ýù ·Çï»Ýù, áñ ÙÇßï Ï³ñ»ÉÇ ¿ áñáß»É, Ã» »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó áñÝ ¿³í»ÉÇ Ù»Í: ê³Ï³ÛÝ Ñ³×³Ë ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÉÇÝáõÙ Ý³¨ ÇÙ³Ý³É, Ã» ³Û¹ Ãí»ñÇóÙ»ÍÁ ÷áùñÇó áñù³Ýáí ¿ Ù»Í: ¸³ Ï³ï³ñíáõÙ ¿ Ñ³ÝÙ³Ý ÙÇçáóáí: Ð³ÝáõÙÁÃí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ ¿, áñÇ ÙÇçáóáí ·ïÝíáõÙ ¿ ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ ïñí³ÍÃí»ñÇó ÷áùñÇÝ ·áõÙ³ñ»Éáí` Ïëï³Ý³Ýù Ù»ÍÁ:

ºÝÃ³¹ñ»Ýùª å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ 10¬Çó Ñ³Ý»É 7: Ü»ñÏ³Û³óÝ»Ýù 10¬Á Ñ»ï¨Û³ÉÏ»ñå.

10 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 7 + 1 + 1 + 1 = 7 + 3:î»ëÝáõÙ »Ýù, áñ 10¬Á 3 ÙÇ³íáñáí ³í»ÉÇ ¿ å³ñáõÝ³ÏáõÙ, ù³Ý 7¬Á, áõñ»ÙÝ

áñáÝ»ÉÇ ÃÇíÁ 3-Ý ¿, ³ÛëÇÝùÝ` 10-Çó Ñ³Ý³Í 7 Ñ³í³ë³ñ ¿ 3-Ç:¸³ ·ñíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.

10 – 7 = 3 :ÖÇßï ³Û¹å»ë ¿Éª

8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 + 1 + 1 = 6 + 2,Ñ»ï¨³µ³ñ

8 – 6 = 2 :²ÛÝ ÃÇíÁ, áñÇó Ñ³ÝáõÙ »Ý ÙÇ áõñÇß ÃÇí, ÏáãíáõÙ ¿ Ýí³½»ÉÇ, ³ÛÝ ÃÇíÁ,

áñÁ Ñ³ÝáõÙ »Ýª Ñ³Ý»ÉÇ, ÇëÏ Ñ³ÝÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁª ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ:Ð»ßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ Ýí³½»ÉÇÝ Ñ³Ý»ÉÇÇ ¨ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý ·áõÙ³ñÝ ¿, ÇëÏ

Ñ³Ý»ÉÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É` Ýí³½»ÉÇÇó Ñ³Ý»Éáí ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:ºÉÝ»Éáí Ñ³ÝÙ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇóª Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³½Ù»É Ñ³ÝÙ³Ý ³ÕÛáõë³ÏÁ, áñÝ

³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÇÙ³Ý³É Ý³¨ µ³½Ù³ÝÇß Ãí»ñÇ Ñ³ÝáõÙÁ Ï³ï³ñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ:

2–1=1 3–2=1 4–3=1 5–4=1 6–5=1 7–6=1 8–7=1 9–8=1 10–9=1 3–1=2 4–2=2 5–3=2 6–4=2 7–5=2 8–6=2 9–7=2 10–8=2 11–9=2 4–1=3 5–2=3 6–3=3 7–4=3 8–5=3 9–6=3 10–7=3 11–8=3 12–9=3 5–1=4 6–2=4 7–3=4 8–4=4 9–5=4 10–6=4 11–7=4 12–8=4 13–9=4 6–1=5 7–2=5 8–3=5 9–4=5 10–5=5 11–6=5 12–7=5 13–8=5 14–9=5 7–1=6 8–2=6 9–3=6 10–4=6 11–5=6 12–6=6 13–7=6 14–8=6 15–9=6 8–1=7 9–2=7 10–3=7 11–4=7 12–5=7 13–6=7 14–7=7 15–8=7 16–9=7 9–1=8 10–2=8 11–3=8 12–4=8 13–5=8 14–6=8 15–7=8 16–8=8 17–9=810–1=9 11–2=9 12–3=9 13–4=9 14–5=9 15–6=9 16–7=9 17–8=9 18–9=9

Ð³ÝÙ³Ý ³ÕÛáõë³Ï

62

ÆÝãå»ë áñ ·áõÙ³ñÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùµ, Ñ³ÝÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùµ ¨ë ï»ÕÇ áõÝÇµ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý µ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ:

àñ¨¿ ÃíÇ ¨ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ³Û¹ ÃíÇ áõÝí³½»ÉÇÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ¨ ³Û¹ ÃíÇ áõ Ñ³Ý»ÉÇÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇï³ñµ»ñáõÃÛ³ÝÁ:

úñÇÝ³Ïª í»ñóÝ»Ýù »ñ»ù µÝ³Ï³Ý ÃÇíª 3, 25, 16, ¨ Ï³ï³ñ»Ýù Ñ»ï¨Û³ÉÑ³ßíáõÙÝ»ñÁ.

3 ⋅ (25 – 16) = 3 ⋅ 9 = 27, 3 ⋅ 25 – 3 ⋅ 16 = 75 – 48 = 27:î»ëÝáõÙ »Ýù, áñ

3 ⋅ (25 – 16) = 3 ⋅ 25 – 3 ⋅ 16:

399. Æ±Ýã ¿ Ýß³Ý³ÏáõÙ ÙÇ ÃíÇó Ñ³Ý»É ÙÇ áõñÇß ÃÇí:400. Ð³ÝÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï Ãí»ñÇó á±ñÝ ¿ ÏáãíáõÙ Ýí³½»ÉÇ, á±ñÁª Ñ³Ý»ÉÇ, ¨ á±ñÁª

ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ:401. Æ±Ýã Ïëï³Ý³Ýù, »Ã» Çñ³ñ ·áõÙ³ñ»Ýù Ñ³Ý»ÉÇÝ ¨ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:402. Æ±Ýã Ïëï³Ý³Ýù, »Ã» Ýí³½»ÉÇÇó Ñ³Ý»Ýù ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:403. Ò¨³Ï»ñå»°ù µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý µ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ Ñ³ÝÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùµ:404. ÖÇ±ßï ÏÉÇÝÇ ³ñ¹Ûáù µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý µ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ Ñ³ÝÙ³Ý

ÝÏ³ïÙ³Ùµ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¨ ½ñáÛÇ Ñ³Ù³ñ:405. Æ±Ýã ÃÇí Ïëï³Ý³Ýù áñ¨¿ µÝ³Ï³Ý ÃíÇó ½ñá Ñ³Ý»ÉÇë:406. Ð³ÝÙ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó µËáõÙ ¿, áñ ó³ÝÏ³ó³Í ÃÇí ÇÝùÁ Çñ»ÝÇó Ñ³Ý»Éáõ

³ñ¹ÛáõÝùÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 0-Ç: úñÇÝ³Ï` 25 – 25 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ×Çßï ¿: ¼ñáÛÇ á±ñ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó ¿ ³ÛÝ µËáõÙ:

407. ¶ï»°ù ³ÝÑ³Ûï ÃÇíÁ, áñÁ Ýß³Ý³Ïí³Í ¿ ³ëïÕ³ÝÇßáí.³) 2 + ∗ = 5, ·) 11 + ∗ = 29, ») 83 + ∗ = 83,µ) ∗ + 8 = 14, ¹) ∗ + 40 = 57, ½) ∗ + 0 = 90:

408. ¶ï»°ù ³ëïÕ³ÝÇßáí ÷áË³ñÇÝí³Í ÃÇíÁ.³) ∗ – 12 = 49, ·) ∗ – 77 = 251 ») ∗ – 276 = 490,µ) ∗ – 108 = 108, ¹) ∗ – 305 = 198, ½) ∗ – 351 = 784:

409. ¶ï»°ù ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÝ ³ëïÕ³ÝÇßÇ ï»ÕáõÙ ·ñ»Éáí` Ïëï³Ý³Ýù ×ÇßïÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) 36 – ∗ = 27, ·) 55 – ∗ = 18, ») 346 – ∗ = 223,µ) 80 – ∗ = 69, ¹) 174 – ∗ = 100, ½) 217 – ∗ = 169:

410. îñí³Í ¿ 392541 + 88905 = 481446 ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²é³ÝóÑ³ßíáõÙÝ»ñ Ï³ï³ñ»Éáõ` ³ë»°ù, Ã» ÇÝãÇ »Ý Ñ³í³ë³ñ 481446 – 88905¨ 481446 – 392541 ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

411. ¶ñùáõÙ Ï³ 1036 ¿ç, áñÇó ÁÝÃ»ñóáÕÁ Ï³ñ¹³ó»É ¿ 257 ¿ç: ØÝ³ó³Í ¿ç»ñÇù³Ý³ÏÁ áñù³Ýá±í ¿ Ù»Í Ï³ñ¹³ó³Í ¿ç»ñÇ ù³Ý³ÏÇó:

412. ºñ»ù Ãí»ñÇó »ñÏñáñ¹Á ³é³çÇÝÇó 81¬áí ÷áùñ ¿, »ññáñ¹Áª 75¬áí Ù»Í:²Û¹ Ãí»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ áñù³Ýá±í ¿ Ù»Í ³Ù»Ý³÷áùñÇó:

63

413. Ð³ßí»°ù` ÏÇñ³é»Éáí µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý µ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ Ñ³ÝÙ³ÝÝÏ³ïÙ³Ùµ.

³) 64 ⋅ 68 – 64 ⋅ 18, ¹) 574 ⋅ 43 – 33 ⋅ 43 – 41 ⋅ 43,µ) 2001 ⋅ 132 – 2001 ⋅ 32, ») 69 ⋅ 559 – 69 ⋅ 87 – 69 ⋅ 72,·) 175 ⋅ 37 – 25 ⋅ 37, ½) 131 ⋅ 421 – 131 ⋅ 20 – 131 ⋅ 51:

414. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) (5453 : 287) ⋅ (627 : 11), ·) (231840 : 345) ⋅ (3250 : 325),µ) (42840 : 420) ⋅ (51376 : 169), ¹) (20028 : 4) ⋅ (242792 : 1364):

415. ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ·ñ»°ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ÃÇíÁ, áñå»ë½Ç ëï³óíÇ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) 3 ⋅ ∗ ⋅ 2 = 12, ·) 2 ⋅ 5 ⋅ ∗ = 100, ») 5 ⋅ 7 = ∗ ⋅ 7,µ) 4 ⋅ ∗ ⋅ 6 = 48, ¹) ∗ ⋅ 7 ⋅ 2 = 28, ½) 3 ⋅ 6 = ∗ ⋅ 9:

416. Î³ñá±Õ ¿ »é³ÝÇß ¨ ÙÇ³ÝÇß Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ù³é³ÝÇß ÃÇí ÉÇÝ»É:417. ºñÏáõ ·ñù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ½³Ý·í³ÍÁ 1 Ï· ¿ (ï»°ë ÝÏ. 6): àñù³±Ý ¿

ÓÙ»ñáõÏÇ ½³Ý·í³ÍÁ:

418. Æ±Ýã ³é³í»É³·áõÛÝ ¨ Ýí³½³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñ Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É »ñÏáõ»é³ÝÇß Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:

419. ì³Ý¹³ÏÝ»ñÇ ÙÇç¨ ¹ñ»°ù Ñ³Ù»Ù³ïÙ³Ý ³ÛÝÝß³ÝÝ»ñÁ, áñáÝóáí Ïëï³óí»Ý ×Çßï ³ÝÑ³í³-ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ (ï»°ë ÝÏ. 7):

420. È×³÷ ¿ñ »Ï»É 317 Ù³ñ¹: Üñ³ÝóÇó 222¬Á Ùï³ÝçáõñÁ: àñáß Å³Ù³Ý³Ï ³Ýó çñÇó ³÷ ¹áõñë »Ï³í146 Ù³ñ¹: ø³ÝÇ± Ù³ñ¹ »Õ³í ³÷ÇÝ, ¨ ù³ÝÇ±ëÁ`çñáõÙ:

421. ÎÇÝá÷³é³ïáÝÇ ÁÝÃ³óùáõÙ óáõó³-¹ñí»óÇÝ 15 ·»Õ³ñí»ëï³Ï³Ý ¨ 40í³í»ñ³·ñ³Ï³Ý ÏÇÝáÝÏ³ñÝ»ñ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·»Õ³ñí»ëï³Ï³Ý ÏÇÝá-ÝÏ³ñÇ ï¨áÕáõÃÛáõÝÁ 1 Å 30 ñ-Çó ³í»ÉÇ ã¿, ÇëÏ í³í»ñ³·ñ³Ï³Ý ÏÇÝá-ÝÏ³ñÇÝÁ 35 ñáå»Çó å³Ï³ë ã¿: à±ñ ÏÇÝáÝÏ³ñÝ»ñÇ ¹ÇïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ¿ñÏÇÝá÷³é³ïáÝÇ ÙñóáõÛÃ³ÛÇÝ Ñ³ÝÓÝ³ÅáÕáíÇÝ ³í»ÉÇ ß³ï Å³Ù³Ý³Ï³ÝÑñ³Å»ßï` ·»Õ³ñí»ëï³Ï³±Ý, Ã»± í³í»ñ³·ñ³Ï³Ý:

ÜÏ. 6

ÜÏ. 7

64

20. Ð²ÜØ²Ü Ð²ÞìºÎ²ÜàÜÀ ºì Üð² ´²ò²îðàôÂÚàôÜÀ

êïáñ¨ ÏÑÇß»óÝ»Ýù Ó»½ µ³½Ù³ÝÇß Ãí»ñÇ Ñ³ÝÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ: ̧ Çóáõùªå³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ 785 ÃíÇó Ñ³Ý»É 321 ÃÇíÁ: ì³ñíáõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.

1) Ð³Ý»ÉÇÝ ·ñáõÙ »Ýù Ýí³½»ÉÇÇ ï³Ï ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³Ï³ñ·»ñÁ ÉÇÝ»Ý Ýí³½»ÉÇÇ ÝáõÛÝ Ï³ñ·»ñÇ ï³Ï:

2) Âí»ñÇ ÙÇç¨ ¹ÝáõÙ »Ýù Ñ³ÝÙ³Ý Ýß³ÝÁ, ÇëÏÝ»ñù¨áõÙ ·ÇÍ »Ýù ï³ÝáõÙ:

3) Àëï Ï³ñ·»ñÇ` Ï³ï³ñáõÙ »Ýù ÙÇ³ÝÇß Ãí»ñÇ Ñ³ÝáõÙ,³å³ ³ñ¹ÛáõÝùÁ ·ñáõÙ »Ýù ·ÍÇ ï³Ïª ïíÛ³É Ï³ñ·Çï»ÕáõÙ:

êï³óí³Í ÃÇíÝ ¿É ÏÉÇÝÇ áñáÝ»ÉÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:

ÐÇÙ³ ï»ëÝ»Ýù, Ã» ÇÝãáõ ¿ Ï³ñ»ÉÇ ³Ûëå»ë Ï³ï³ñ»É µ³½Ù³ÝÇß Ãí»ñÇÑ³ÝáõÙÁ: ¶ñ»Ýù.

785 = 7 ⋅ 100 + 8 ⋅ 10 + 5, 321 = 3 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 1:ÎÇñ³é»Éáí Ñ³ÝÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùµ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý µ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁª

Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É.785 – 321 = (7 ⋅ 100 – 3 ⋅ 100) + (8 ⋅ 10 – 2 ⋅ 10) + (5 – 1) =

= (7 – 3) ⋅ 100 + (8 – 2) ⋅ 10 + (5 – 1) = 4 ⋅ 100 + 6 ⋅ 10 + 4 = 464:ºÃ» ³ÛÅÙ ³Ûë ³Ù»ÝÁ ·ñ»Ýù ëÛáõÝ³Ïáí, ³å³ Ïï»ëÝ»Ýù, áñ Ù»Ýù ÙÇ ÃÇíÁ

ÙÛáõëÇó Ñ³Ý»É »Ýùª Ñ³ÝÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ:¸Çï³ñÏí³Í ûñÇÝ³ÏáõÙ 785 Ýí³½»ÉÇÇ µáÉáñ Ï³ñ·»ñáõÙ »Õ³Í Ãí»ñÝ

³í»ÉÇ Ù»Í »Ý, ù³Ý 321 Ñ³Ý»ÉÇÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï³ñ·»ñáõÙ »Õ³Í Ãí»ñÁ:ê³Ï³ÛÝ Ýí³½»ÉÇÇ áñ¨¿ Ï³ñ·áõÙ ·ñí³Í ÃÇíÁ Ï³ñáÕ ¿ ÷áùñ ÉÇÝ»É

Ñ³Ý»ÉÇÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï³ñ·áõÙ ·ñí³Í ÃíÇó: ²Û¹ ¹»åùáõÙ å»ïù ¿Ýí³½»ÉÇÇ ïíÛ³É Ï³ñ·Ç Ñ³çáñ¹ (³í»ÉÇ Ù»Í) Ï³ñ·Ç ÃíÇó Ñ³Ý»É 1 ¨ ïíÛ³ÉÏ³ñ·Ç ÃíÇÝ ·áõÙ³ñ»É 10: ºÝÃ³¹ñ»Ýùª 785¬Çó å»ïù ¿ Ñ³Ý»É 593:

Î³ñáÕ »Ýù ·ñ»É.785 = 7 ⋅ 100 + 8 ⋅ 10 + 5 = 6 ⋅ 100 + 100 + 8 ⋅ 10 + 5 =

= 6 ⋅ 100 + 10 ⋅ 10 + 8 ⋅ 10 + 5 = 6 ⋅ 100 + (10 + 8) ⋅ 10 + 5 == 6 ⋅ 100 + 18 ⋅ 10 + 5,

593 = 5 ⋅ 100 + 9 ⋅ 10 + 3:²Ûëï»Õ ï³ëÝ³íáñÝ»ñÇ Ï³ñ·Á Ù»Ï Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñ ¿ §÷áË ³éÝáõÙ¦

Ñ³ñÛáõñ³íáñÝ»ñÇ Ï³ñ·Çó: ²ÛÝáõÑ»ï¨ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É Ñ³ÝÙ³Ý Ñ³ßí»-

785321

–785 321 464

–785

321

422. ºÃ» ÃÇíÁ µ³½Ù³å³ïÏ»Ýù 16-áí ¨ ëï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ ·áõÙ³ñ»Ýù80, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù 400: ¶ï»°ù ³Û¹ ÃÇíÁ:

423. ¶Ý³óùáõÙ, áñÁ Ï³½Ùí³Í ¿ 15 í³·áÝÇó, ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ µ»éÝ»ñáí ÉÇ4500 ³ñÏÕ: ø³ÝÇ± ³Û¹åÇëÇ ³ñÏÕ Ïï»Õ³íáñíÇ 9 í³·áÝáõÙ:

¶ï»°ù ³ÛÝ »ñÏáõ Ãí»ñÁ, áñáÝó ·áõÙ³ñÁ 20 ¿, ÇëÏ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ` 96:¸Çáý³Ýï»ë ²É»ùë³Ý¹ñÇ³óáõ §Âí³µ³ÝáõÃÛáõÝ¦

³ßË³ïáõÃÛáõÝÇó, ÐáõÝ³ëï³Ý, II–III ¹³ñ»ñ

65

–785 593 192

Ï³ÝáÝÁ: àõÝ»Ýùª785 – 593 = 6 ⋅ 100 + 18 ⋅ 10 + 5 – (5 ⋅ 100 + 9 ⋅ 10 + 3)=

= (6 – 5) ⋅ 100 + (18 – 9) ⋅ 10 + (5 – 3) = 100 + 9 ⋅ 10 + 2 = 192:êáíáñ³µ³ñ ³Ûë ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁª ÙÇ³íáñ ÷áË ³éÝ»ÉÁ, Ï³ï³ñ-

íáõÙ ¿ ÙïùáõÙ ¨ ãÇ ³ñï³óáÉíáõÙ Ãí»ñÇ Ñ³ÝÙ³Ý ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç:

ºÃ» ³ÛÝ Ï³ñ·áõÙ, áñÇó å»ïù ¿ ÙÇ³íáñ í»ñóÝ»É, ·ñí³Í ¿ ½ñá,³å³ 1¬Á Ñ³ÝáõÙ »Ýù Ñ³çáñ¹ Ï³ñ·Ç ÃíÇó, 0¬Ç ï»ÕáõÙ ·ñáõÙ »Ýù9 ¨ 10 »Ýù ·áõÙ³ñáõÙ ïíÛ³É Ï³ñ·Ç ÃíÇÝ: úñÇÝ³Ïª »ÝÃ³¹ñ»Ýùªå»ïù ¿ 307¬Çó Ñ³Ý»É 38: Î³ñáÕ »Ýù ·ñ»É.

307 = 3 ⋅ 100 + 7 = (2 + 1) ⋅ 100 + 7 = 2 ⋅ 100 + 100 + 7 == 2 ⋅ 100 + 10 ⋅ 10 + 7 = 2 ⋅ 100 + (9 + 1) ⋅ 10 + 7 == 2 ⋅ 100 + 9 ⋅ 10 + 10 + 7 = 2 ⋅ 100 + 9 ⋅ 10 + 17,38 = 3 ⋅ 10 + 8:Ð»ï¨³µ³ñ307 - 38 = 2 ⋅ 100 + (9 – 3) ⋅ 10 + 17 – 8 = 2 ⋅ 100 + 6 ⋅ 10 + 9 = 269:

424. ÆÝãå»±ë ¿ ÏÇñ³éíáõÙ Ñ³ÝÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ, »ñµ Ýí³½»ÉÇÇ áñ¨¿ Ï³ñ-·áõÙ »Õ³Í ÃÇíÁ ÷áùñ ¿ Ñ³Ý»ÉÇÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï³ñ·áõÙ »Õ³Í ÃíÇó:

425. Âí»ñÁ Ï³ñ·³ÛÇÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí Ý»ñÏ³Û³óÝ»Éáíª 598ÃíÇó Ñ³Ý»°ù 327 ÃÇíÁ:

426. Î³ï³ñ»°ù Ãí»ñÇ Ñ³ÝáõÙ` ÏÇñ³é»Éáí Ñ³ÝÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ.³) 8888 – 2222, ·) 3895 – 1614, ») 8095 – 6043,µ) 762 – 451, ¹) 6382 – 3150, ½) 18391 – 211:

427. Î³ï³ñ»°ù Ñ³ÝáõÙ.³) 538 – 271, ·) 894 – 675, ») 13985 – 6667,µ) 1208 – 109, ¹) 4285 – 364, ½) 38992 – 847:

428. ´³ó³ïñ»°ù, Ã» ÇÝãå»ë å»ïù ¿ áñ¨¿ ÃÇí Ñ³Ý»É Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÇó:429. Î³ï³ñ»°ù Ñ³ÝáõÙ.

³) 100 – 63, ·) 1000 – 273, ») 7000 – 354,µ) 10000 – 672, ¹) 3000 – 875, ½) 8000 – 782:

430. Ð³ßí»°ù.³) 856 – 746, ¹) 5600 – 5309, ¿) 10000 – 9027,µ) 7832 – 5439, ») 9121 – 7311, Á) 25344 – 7608,·) 4025 – 2983, ½) 6008 – 4013, Ã) 37295 – 12542:

431. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) (324 – 17) ⋅ (30 – 25), ») (777 – 205) ⋅ (603 – 29),µ) (894 – 633) ⋅ (972 – 69), ½) (2379 – 12) ⋅ (101 – 93),·) (1007 – 388) ⋅ (59 – 46), ¿) (906 – 35) ⋅ (496 – 57),¹) (800 – 445) ⋅ (378 – 211), Á) (55 – 9) ⋅ (137 –62):

66

432. Î³½Ù»°ù 8 ¨ 3 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñÇ ³éÝíáÕ µáÉáñ »ñÏÝÇß Ãí»ñÁ: ¸ñ³Ý-óÇó á±ñ »ñÏáõëÁ å»ïù ¿ ÁÝïñ»É áñå»ë Ýí³½»ÉÇ ¨ Ñ³Ý»ÉÇ, áñå»ë½ÇÑ³ÝÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÇ ÏÇñ³éáõÙÝ ³é³í»É å³ñ½ ÉÇÝÇ:

433. ²ëïÕ³ÝÇß»ñÁ ÷áË³ñÇÝ»°ù Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ³ÛÝå»ë, áñ ëï³óí³Í·ñ³éáõÙÝ»ñÁ ×Çßï ÉÇÝ»Ý.

³) – 63∗7 µ) –∗7∗5∗ ·) –∗3∗6 ¹) –99∗8 62∗ ∗8∗2 ∗7∗ 62∗ ∗∗86 29561 428 ∗∗87

434. îñí³Í »Ý »ñ»ù Ãí»ñ: ²é³çÇÝ ÃÇíÁ` 82-Á, 17-áí Ù»Í ¿ »ñÏñáñ¹Çó, ÇëÏ»ññáñ¹ ÃÇíÁ »ñÏñáñ¹Çó 21-áí ÷áùñ ¿: ¶ï»°ù »ñÏñáñ¹ ¨ »ññáñ¹ Ãí»ñÁ¨ áñáß»°ù, Ã» áñù³Ýáí ¿ ³é³çÇÝ ÃÇíÁ Ù»Í »ññáñ¹Çó:

435. ²íïá·áñÍ³ñ³ÝÁ Ù»Ï ï³ñáõÙ ³ñï³¹ñ»É ¿ 5560 Ù»ù»Ý³: ¸ñ³ÝóÇó 2707-ÁÙ³ñ¹³ï³ñ »Ý, ÙÛáõëÝ»ñÁ` µ»éÝ³ï³ñ: ÆÝãåÇëÇ± Ù»ù»Ý³Ý»ñ »Ý ³í»ÉÇß³ï ³ñï³¹ñí»É ¨ áñù³Ýá±í ß³ï:

436. à±ñ ÃÇíÝ ¿ ³í»ÉÇ ÷áùñª 537212936259¬Á, Ã»± 832400027317¬Á:437. ¶ñ»°ù ³ÛÝ Ãí»ñÇ ½áõÛ·»ñÁ, áñáÝó ·áõÙ³ñÝ»ñÁ Ï³Ù ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ

Ñ³í³ë³ñ »Ý 12¬Ç:438. ºñÏáõ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 0 ¿: ÆÝãÇ± ¿ Ñ³í³ë³ñ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó Ûáõñ³-

ù³ÝãÛáõñÁ:439. ºñÏáõ Ãí»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ 0 ¿: ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ³Û¹ Ãí»ñÝ Çñ³ñ

Ñ³í³ë³ñ »Ý:440. ¶ñ»°ù ³ÛÝ µáÉáñ Ãí»ñÁ, áñáÝù ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Éáõ

¹»åùáõÙ ¹»åùáõÙ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ×Çßï ÏÉÇÝ»Ý »ñÏáõ ³ÝÑ³í³ë³ñáõ-ÃÛáõÝÝ»ñÁ.

³) ∗ > 1 ¨ ∗ < 5, ·) ∗ > 12 ¨ ∗ < 17,µ) ∗ > 6 ¨ ∗ < 10, ¹) ∗ > 101 ¨ ∗ < 115:

441. ö³Ï³·Í»°ñ ï»Õ³¹ñ»ù ³ÛÝå»ë, áñ ëï³óí»Ý ×Çßï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ.³) 5 ⋅ 6 + 12 : 2 + 8 > 5 ⋅ 6 + 12 : 2 + 8,µ) 17 ⋅ 3 + 40 : 8 + 16 ⋅ 15 < 17 ⋅ 3 + 40 : 8 + 16 ⋅15:

442. ºñÏáõ ï³Ï³éÝ»ñÇó ³é³çÇÝáõÙ Ï³ñ 48 É çáõñ, »ñÏñáñ¹áõÙª 30 É: ÆÝãù³±Ýçáõñ åÇïÇ í»ñóíÇ ³é³çÇÝ ï³Ï³éÇó, áñå»ë½Ç »ñÏáõ ï³Ï³éÝ»ñáõÙÙÝ³ ÁÝ¹³Ù»ÝÁ 60 É çáõñ:

443. ºñÏáõ ïáõ÷»ñÇ Ù»ç ÁÝ¹³Ù»ÝÁ 150 Ïá×³Ï Ï³ñ: ºñµ ÙÇ ïáõ÷Ç Ù»ç ¹ñ»óÇÝ¨ë 30 Ïá×³Ï, ÇëÏ ÙÛáõëÇ Ù»ç` ¨ë 20 Ïá×³Ï, ïáõ÷»ñáõÙ Ïá×³ÏÝ»ñÇù³Ý³ÏÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñí»óÇÝ: ø³ÝÇ± Ïá×³Ï Ï³ñ ïáõ÷»ñÇó Ûáõñ³ù³Ý-ãÛáõñáõÙ:

444. æ³ÑÇ É³Ùå»ñÇó 100-Á Ù»Í ¿ÇÝ, ÇëÏ ÙÛáõëÝ»ñÁ` ÷áùñ: ºñµ Ù»Í É³Ùå»ñÇó9-Á ¨ ÷áùñ»ñÇó 27-Á ³Ûñí»óÇÝ, ¹³ÑÉÇ×Á Éáõë³íáñíáõÙ ¿ñ 323 É³Ùåáí:ø³ÝÇ± ÷áùñ É³Ùå Ï³ñ ç³ÑÇ íñ³:

445. ºñÏáõ µÝ³Ï³í³Ûñ»ñÇó, áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 18 ÏÙ ¿, ÙÇ³Å³Ù³Ý³ÏÇñ³ñ ÁÝ¹³é³ç »Ý ¹áõñë »Ï»É »ñÏáõ Ñ»Í³Ýíáñ¹Ý»ñ: Ð»Í³Ýíáñ¹Ý»ñÇóÙ»ÏÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 10 ÏÙ/Å ¿: àñù³±Ý ¿ ÙÛáõë Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç ³ñ³·áõ-ÃÛáõÝÁ, »Ã» Ýñ³Ýù Ñ³Ý¹Çå»É »Ý 1 Å Ñ»ïá:

67

446. Ð³Ù»ñ·ÇÝ Ý»ñÏ³ ¿ñ 938 áõÝÏÝ¹Çñ: Üñ³ÝóÇó 265-Á ïáÙëÇ Ñ³Ù³ñ í×³-ñ»É ¿ÇÝ 5000-³Ï³Ý ¹ñ³Ù, 326-Áª 3000-³Ï³Ý, ÇëÏ ÙÛáõëÝ»ñÁª 1500-³Ï³Ý:Æ±Ýã ·áõÙ³ñ ¿ñ Ñ³í³ùí»É Ñ³Ù»ñ·³ÛÇÝ ¹³ÑÉÇ×Ç ïáÙë³ñÏÕáõÙ:

447. ²ß³Ï»ñïÁ ï³ÝÁ ·ñ³íáñ ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ Ï³ï³ñ»É ¿ 55 ñáå»áõÙ:àñù³±Ý Å³Ù³Ý³Ï ¿ Ý³ Ñ³ïÏ³óñ»É µ³Ý³íáñ ¹³ë»ñÇÝ, »Ã» ëÏë»É ¿Ï³ï³ñ»É Ñ³ÝÓÝ³ñ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Å. 18.15-ÇÝ ¨ í»ñç³óñ»É ¿ Å. 20.10-ÇÝ:

21. ´Ü²Î²Ü ÂìºðÆ ´²Ä²ÜàôØÀ

ºÃ» Ó»½ ³é³ç³ñÏ»Ý 12 ï³ÝÓÁ µ³Å³Ý»É »ñ»ù ÁÝÏ»ñÝ»ñÇ, Ï³ëÏ³Í ãÏ³,áñ ¹áõù ³ñ¹³ñ³óÇ Ïí³ñí»ù, ¨ ³Ù»Ý Ù»ÏÇÝ Ñ³í³ë³ñ³å»ë µ³ÅÇÝ ÏÁÝÏÝÇ4 ï³ÝÓ: ¸³ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ ¹áõù Ïé³Ñ»É »ù, Ã» áñ ÃÇíÁ å»ïù ¿ »ñ»ù ³Ý·³Ùí»ñóÝ»É áñå»ë ·áõÙ³ñ»ÉÇ, áñå»ë½Ç ëï³óíÇ 12: ¸³ 4 ÃÇíÝ ¿:

Æñáù, 12 = 4 + 4 + 4 :

²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ³ñï³·ñ»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.

12 = 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 4 :

àõñ»ÙÝ 12¬Á 3¬Ç µ³Å³Ý»ÉÇë Ù»Ýù ·ïÝáõÙ »Ýù ÙÇ ³ÛÝåÇëÇ ÃÇí, áñÁ 3¬áíµ³½Ù³å³ïÏ»Éáí` ëï³ÝáõÙ »Ýù 12: îíÛ³É ¹»åùáõÙ ³Û¹ ÃÇíÁ 4¬Ý ¿:

²ÛëåÇëáí` áñ¨¿ µÝ³Ï³Ý ÃÇí ÙÇ áõñÇß µÝ³Ï³Ý ÃíÇ µ³Å³Ý»É Ýß³-Ý³ÏáõÙ ¿ ·ïÝ»É ÙÇ ³ÛÝåÇëÇ µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ »ñÏñáñ¹ Ãíáí µ³½Ù³-å³ïÏ»Éáí` Ïëï³Ý³Ýù ³é³çÇÝÁ:

²ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿, ÏáãíáõÙ ¿ µ³Å³Ý»ÉÇ, ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÇÝ µ³Å³ÝáõÙ»Ý, ÏáãíáõÙ ¿ µ³Å³Ý³ñ³ñ, ÇëÏ µ³Å³ÝÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁª ù³Ýáñ¹:

´³Å³ÝÙ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ µ³Å³Ý»ÉÇÝ µ³Å³Ý³ñ³ñÇ ̈ù³Ýáñ¹Ç³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ¿, ÇëÏ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É` µ³Å³Ý»ÉÇÝ ù³Ýáñ¹ÇÝµ³Å³Ý»Éáí:

´Ý³Ï³Ý ÃÇíÁ 0¬Ç µ³Å³Ý»É ãÇ Ï³ñ»ÉÇ, ù³ÝÇ áñ ³Û¹ ÃÇíÁ åÇïÇ Ñ³í³ë³ñÉÇÝÇ áñ¨¿ ÃíÇ ̈0-Ç ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ: ê³Ï³ÛÝ ³Û¹åÇëÇ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁÙÇßï 0 ¿ ̈ãÇ Ï³ñáÕ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝ»É ïñí³Í ÃíÇÝ:

448. Æ±Ýã ¿ Ýß³Ý³ÏáõÙ µ³Å³Ý»É ÙÇ ÃÇíÁ ÙÛáõëÇÝ:449. ´³Å³ÝÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï á±ñ ÃÇíÝ ¿ ÏáãíáõÙ µ³Å³Ý»ÉÇ, á±ñÁª µ³Å³Ý³ñ³ñ,

¨ á±ñÁª ù³Ýáñ¹:450. ²ñ¹Ûáù ÙÇ±ßï Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÙÇ ÃÇíÁ µ³Å³Ý»É ÙÛáõëÇÝ: ºÃ» áã, µ»ñ»°ù

ûñÇÝ³ÏÝ»ñ:

¸³ñµÝÇÝ ïí»óÇÝ ßÕÃ³ÛÇ 5 Ïïáñª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ 3 ûÕ³Ï, ¨ËÝ¹ñ»óÇÝ ÙÇ³óÝ»É Çñ³ñ: ¸³ñµÇÝÁ Ï³ï³ñ»ó å³ïí»ñÁª µ³ó»ÉáíÁÝ¹³Ù»ÝÁ 3 ûÕ³Ï: ÆÝãå»±ë Ý³ ³ñ»ó ³Û¹:

68

451. ÆÝãå»±ë µ³Å³Ý³ñ³ñáí ¨ ù³Ýáñ¹áí ·ïÝ»Ýù µ³Å³Ý»ÉÇÝ:452. ÆÝãå»±ë µ³Å³Ý»ÉÇáí ¨ ù³Ýáñ¹áí ·ïÝ»Ýù µ³Å³Ý³ñ³ñÁ:453. Î³ñ»ÉÇ± ¿ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÙÇçáóáí ëïáõ·»É, Ã» ×Çßï ¿ ³ñ¹Ûáù Ï³-

ï³ñí³Í µ³Å³ÝáõÙÁ:454. Æ±Ýã ÃíÇ å»ïù ¿ µ³Å³Ý»É Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÁ, áñå»ë½Ç ëï³óíÇ Ý³-

Ëáñ¹ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÁ:455. Î³ï³ñ»°ù µ³Å³ÝáõÙ.

³) 16 : 4, ·) 75 : 3, ») 123 : 1,µ) 30 : 30, ¹) 105 : 5, ½) 1 : 1:

456. Æ±Ýã ÃÇí å»ïù ¿ ·ñ»É ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý, áñå»ë½Ç ëï³óíÇ ×ÇßïÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) ∗ : 18 = 4, ·) ∗ : 3 = 44, ») ∗ : 125 = 5,µ) ∗ : 11 = 11, ¹) ∗ : 1 = 247, ½) ∗ : 71 = 0:

457. Æ±Ýã ÃÇí å»ïù ¿ ·ñ»É ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý, áñå»ë½Ç Ñ³í³ë³-ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ÉÇÝÇ.

³) 18 : ∗ = 3, ·) 180 : ∗ = 18, ») 67 : ∗ = 1,µ) 49 : ∗ = 7, ¹) 24 : ∗ = 4, ½) 203 : ∗ = 203:

458. àõÝ»Ýù, áñ 228608 = 893 ⋅ 256: ²é³Ýó Ñ³ßíáõÙÝ»ñ Ï³ï³ñ»Éáõ` ·ñ»°ù228608 : 893 ¨ 228608 : 256 µ³Å³ÝáõÙÝ»ñÇ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ:

459. ØÇ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÁ ÙÇ áõñÇßÇ µ³Å³Ý»Éáõ ¹»åùáõÙ Ïëï³óíÇ± ³ñ¹ÛáùÏ³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñ: ´»ñ»°ù ûñÇÝ³ÏÝ»ñ:

460. ²í»ÉÇ Ù»Í Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÁ ÙÇßï Ïµ³Å³ÝíÇ± ³í»ÉÇ ÷áùñÇÝ:461. úñÇÝ³ÏÝ»ñáí ëïáõ·»°ù Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ µ³Å³ÝÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É

Ï³ÝáÝÁ. ÙÇ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÁ ÙÛáõëÇÝ µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ ¹³ñÓÛ³ÉÏ³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñ, áñÇ Ù»ç »Õ³Í ½ñáÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ µ³Å³-Ý»ÉÇÇ ¨ µ³Å³Ý³ñ³ñÇ ½ñáÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛ³ÝÁ:

462. 364 Ù³Ýñ³Ï å³ïñ³ëï»Éáõ Ñ³Ù³ñ µ³ÝíáñÁ 4 ûñ ³ßË³ï»ó 7-³Ï³ÝÅ³Ù ¨ 3 ûñª 8¬³Ï³Ý Å³Ù: Ø»Ï Å³ÙáõÙ ù³ÝÇ± Ù³Ýñ³Ï ¿ñ å³ïñ³ëïáõÙµ³ÝíáñÁ:

463. ºñÏáõ ³Û·»å³Ý, ÙÇ³ëÇÝ ³ßË³ï»Éáí, ïÝÏ»É »Ý 1200 í³ñ¹³Ï³Ï³ã:1 ûñáõÙ Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ ïÝÏ»É ¿ 25 í³ñ¹³Ï³Ï³ã, ÇëÏ ÙÛáõëÁª 35:ÀÝ¹³Ù»ÝÁ ù³ÝÇ± í³ñ¹³Ï³Ï³ã ¿ ïÝÏ»É ³Ù»Ý ÙÇ ³Û·»å³ÝÁ:

464. îÕ³Ý 4 ï³ñ»Ï³Ý ¿: Ø³ÛñÁ Ýñ³ÝÇó Ù»Í ¿ 28 ï³ñáí: ø³ÝÇ± ³Ý·³Ù ¿Ù³ÛñÁ ïÕ³ÛÇó Ù»Í: Ø³ÛñÁ ïÕ³ÛÇó ù³ÝÇ± ³Ý·³Ù Ù»Í ÏÉÇÝÇ 10 ï³ñÇ ³Ýó:

465. Ð³ßí»°ù` ÁÝïñ»Éáí ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ñÙ³ñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ.³) 54 ⋅ 2 ⋅ 5, ·) 5 ⋅ 3 ⋅ 9 ⋅ 2, ») 225 ⋅ 50 ⋅ 8 ⋅ 23,µ) 5 ⋅ 13 ⋅ 36, ¹) 25 ⋅ 57 ⋅ 40, ½) 95 ⋅ 1 ⋅ 10 ⋅ 100:

466. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁª û·ï³·áñÍ»Éáí µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý µ³ß-Ë³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ.

³) 26 ⋅ 107 + 74 ⋅ 107, ·) 96 ⋅ 127 + 84 ⋅ 127,µ) 120 ⋅ 18 + 80 ⋅ 18, ¹) 59 ⋅ 881 + 72 ⋅ 881:

69

467. ¶ï»°ù ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÝ ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ·ñ»Éáõ ¹»åùáõÙ Ïëï³óíÇ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) 2 ⋅ (∗ + 4) = 10, ·) 4 ⋅ (∗ + 7) = 44, ») (∗ + 7) ⋅ 7 = 49,µ) 3 ⋅ (∗ + 1) = 24, ¹) (∗ + 6) ⋅ 2 = 100, ½) (∗ + 8) ⋅ 6 = 54:

468. ²ëïÕ³ÝÇß»ñÇ ÷áË³ñ»Ý ·ñ»°ù ³ÛÝåÇëÇ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñ, áñáÝó ¹»åùáõÙÏëï³óíÇ ×Çßï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) 3∗25 < 37∗4, ·) ∗374 < 1999,µ) 6∗8∗9 > ∗∗∗∗, ¹) ∗8999 > 97999:

469. Ð³Ù³å³ï³ëË³Ý ï»Õ»ñáõÙ ÷³Ï³·Í»ñ ï»Õ³¹ñ»Éáíª ëï³ó»°ù ×ÇßïÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) 6 ⋅ 32 + 48 : 16 + 8 = 194, ·) 6 ⋅ 32 + 48 : 16 + 8 = 23,µ) 6 ⋅ 32 + 48 : 16 + 8 = 38, ¹) 6 ⋅ 32 + 48 : 16 + 8 = 218:

470. A ¨ B ù³Õ³ùÝ»ñÇó, áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 510 ÏÙ ¿, Çñ³ñ ÁÝ¹³é³ç »Ý¹áõñë ·³ÉÇë »ñÏáõ Ù»ù»Ý³: ²é³çÇÝ Ù»ù»Ý³Ý ÁÝÃ³ÝáõÙ ¿ 90 ÏÙ/Å³ñ³·áõÃÛ³Ùµ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª 80 ÏÙ/Å: ø³ÝÇ± ÏÇÉáÙ»ïñ ÏÉÇÝÇ Ù»ù»Ý³-Ý»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 5 Å³Ù Ñ»ïá:

471. ²íïáµáõëÁ Ù»ÏÝ»É ¿ Å. 10-Ý ³Ýó 30 ñáå»ÇÝ ¨ ï»Õ ¿ Ñ³ë»É Å. 17-Ý ³Ýó15 ñáå»ÇÝ, ÁÝ¹ áñáõÙ 2 Å³Ù 20 ñáå» ³ÛÝ ÁÝÃ³ó»É ¿ ·ÛáõÕ³ÙÇçÛ³Ý ×³Ý³-å³ñÑáí, ÇëÏ ÙÝ³ó³Í Å³Ù³Ý³ÏÁª Ë×áõÕáí: àñù³±Ý Å³Ù³Ý³Ï ¿ ³íïá-µáõëÝ ÁÝÃ³ó»É Ë×áõÕáí:

472. ºñÏáõ ·Ý³óùÝ»ñ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Çñ³ñ ÁÝ¹³é³ç »Ý ¹áõñë »Ï»É »ñÏáõù³Õ³ùÝ»ñÇó, áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 650 ÏÙ ¿: ø³ÝÇ± Å³Ù ³Ýó ·Ý³óù-Ý»ñÁ ÏÑ³Ý¹Çå»Ý, »Ã» Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 60 ÏÙ/Å ¿, ÙÛáõëÇ-ÝÁ` 70 ÏÙ/Å:

473. ºñÏáõ ÷»Ã³ÏÝ»ñÇó ù³Ù»É ¿ÇÝ 36 Ï· Ù»Õñ: ø³ÝÇ± ÏÇÉá·ñ³Ù Ù»Õñ ¿ñëï³óí»É ³Ù»Ý ÙÇ ÷»Ã³ÏÇó, »Ã» Ù»ÏÇó ëï³óí»É ¿ñ »ñÏáõ ³Ý·³Ùå³Ï³ë Ù»Õñ, ù³Ý ÙÛáõëÇó:

474. ¶ï»°ù Çñ³ñ Ñ³çáñ¹áÕ ³ÛÝ »ñ»ù µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáÝó ·áõÙ³ñÁ 123 ¿:

ºë »Ï»Õ»óÇ ¿Ç Ï³éáõóáõÙ: ì³ñ-Ó»óÇ ÙÇ áñÙÝ³¹Çñ, áñÁ ûñ³Ï³Ý 140ù³ñ ¿ñ ß³ñáõÙ: ²ßË³ï³ÝùÝ ëÏë»Éáõó39 ûñ Ñ»ïá í³ñÓ»óÇ Ù»Ï áõñÇß áñÙÝ³-

¹Çñ, áñÁ ûñ³Ï³Ý 218 ù³ñ ¿ñ ß³ñáõÙ: ºñµ»ñÏñáñ¹ áñÙÝ³¹ÇñÇ ß³ñ³Í ù³ñ»ñÇ ÃÇíÁÑ³í³ë³ñí»ó ³é³çÇÝÇÝ, »Ï»Õ»óáõ Ï³éáõ-óáõÙÁ ³í³ñïí»ó:

²ñ¹ª ÇÙ³óÇ°ñ, Ã» ù³ÝÇ± ûñáõÙ Ñ³í³-ë³ñí»ó:

²Ý³ÝÇ³ ÞÇñ³Ï³óÇ,§ÊÝ¹ñ³·Çñù¦, ï³ëÝí»ó»ñáñ¹ ËÝ¹Çñ,

Ð³Û³ëï³Ý, VII ¹ .

70

22. ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜàôØ

´³Å³ÝáõÙÁ, Ç ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý, áã ÙÇßï¿ ÑÝ³ñ³íáñ: ÆëÏ³å»ë, »ÝÃ³¹ñ»Ýùª å»ïù ¿ 17¬Á µ³Å³Ý»É 5¬Ç, ³ÛëÇÝùÝª·ïÝ»É ³ÛÝåÇëÇ µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ 5-áí µ³½Ù³å³ïÏ»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ 17:

²Û¹åÇëÇ ÃÇí ·ïÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ »Ï»ù 5-Á Ñ³çáñ¹³µ³ñ µ³½Ù³å³ïÏ»Ýù1, 2, 3, ... Ãí»ñáí:

5 ⋅⋅⋅⋅⋅ 1 = 5, 5 < 17.5 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 = 10, 10 < 17.5 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 = 15, 15 < 17.

àõß³¹ñáõÃÛáõ°Ý.5 ⋅⋅⋅⋅⋅ 4 = 20, 20 > 17.5 ⋅⋅⋅⋅⋅ 5 = 25, 25 > 17:

î»ëÝáõÙ »Ýù, áñ 3¬Ç ¨ 3¬Çó ÷áùñ ÃíÇ ¨ 5¬Ç ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÷áùñ ¿ 17¬Çó,ÇëÏ 3¬Çó Ù»Í ÃíÇ ¨ 5¬Ç ³ñï³¹ñÛ³ÉÁª 17¬Çó Ù»Í: ²ÛëåÇëáíª áã ÙÇ µÝ³Ï³ÝÃíÇ ¨ 5¬Ç ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ »ñµ»ù ãÇ Ï³ñáÕ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝ»É 17¬Ç, ¨ Ñ»ï¨³µ³ñ17¬Á 5¬Ç ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ: 3 ÃÇíÁ Ù»ñ ûñÇÝ³ÏáõÙ Ûáõñ³Ñ³ïáõÏ ¿: ¸³ ³ÛÝ³Ù»Ý³Ù»Í ÃÇíÝ ¿, áñÁ 5¬áí µ³½Ù³å³ïÏ»Éáíª ëï³ÝáõÙ »Ýù 17¬Çó ÷áùñ ÃÇí:

ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» 17 > 5 ⋅ 3 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÇÝ ·áõÙ³ñ»Ýù2, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ. 17 = 5 ⋅ 3 + 2:

²Ûë ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý, áñ 17¬Á 5¬Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáõÙ »Ý 3 ù³Ýáñ¹Á(³ëáõÙ »Ý Ý³¨` Ã»ñÇ ù³Ýáñ¹Á) ¨ 2 ÙÝ³óáñ¹Á: Üß»Ýù, áñ ÙÝ³óáñ¹Á ÙÇßïµ³Å³Ý³ñ³ñÇó ÷áùñ ¿:

¸Çï³ñÏ»Ýù ¨ë Ù»Ï ûñÇÝ³Ï: ºÝÃ³¹ñ»Ýù` å»ïù ¿ 25-Á µ³Å³Ý»É 7-Ç:Î³ñáÕ »Ýù ·ñ»É. 25 = 3 ⋅ 7 + 4: î»ëÝáõÙ »Ýù, áñ Ã»ñÇ ù³Ýáñ¹Á Ñ³í³ë³ñ ¿ 3-Ç,ÇëÏ ÙÝ³óáñ¹Á` 4-Ç:

²ÛëåÇëáí, Ç ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ µ³Å³ÝÙ³Ý, ÙÝ³óáñ¹áí µ³Å³ÝáõÙÁ ÙÇßïÑÝ³ñ³íáñ ¿:

475. ²ñ¹Ûáù ÙÇ±ßï ¿ ÑÝ³ñ³íáñ Ï³ï³ñ»É ÙÝ³óáñ¹áí µ³Å³ÝáõÙ:476. Î³ï³ñ»°ù ÙÝ³óáñ¹áí µ³Å³ÝáõÙ.

³) 13 : 2, ·) 83 : 6, ») 29 : 2, ¿) 38 : 14, Ã) 81 : 30,µ) 17 : 3, ¹) 34 : 5, ½) 24 : 15, Á) 53 : 7, Å) 93 : 47:

477. Î³ñá±Õ ¿ ³ñ¹Ûáù ÙÝ³óáñ¹Á µ³Å³Ý³ñ³ñÇó Ù»Í ÉÇÝ»É: ÆëÏ Ýñ³ÝÑ³í³ë³±ñ:

478. ºÃ» ÙÇ ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ÙÛáõëÇÝ, ÇÝãÇ± ¿ Ñ³í³ë³ñ ³Û¹ µ³Å³ÝÙ³ÝÙÝ³óáñ¹Á:

479. Æ±Ýã ÙÝ³óáñ¹Ý»ñ Ï³ñáÕ »Ý ëï³óí»É Ãí»ñÁ 3¬Ç, 6¬Ç, 9¬Ç µ³Å³Ý»ÉÇë:²Ù»Ý ¹»åùÇ Ñ³Ù³ñ Ýß»°ù ÑÝ³ñ³íáñ ÙÝ³óáñ¹Ý»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:

71

480. ¶ï»°ù µ³Å³Ý»ÉÇÝ, »Ã»ª³) µ³Å³Ý³ñ³ñÁ 5 ¿, Ã»ñÇ ù³Ýáñ¹Áª 3, ÙÝ³óáñ¹Áª 1,µ) Ã»ñÇ ù³Ýáñ¹Á 4 ¿, µ³Å³Ý³ñ³ñÁª 8, ÙÝ³óáñ¹Áª 3,·) ÙÝ³óáñ¹Á 7 ¿, µ³Å³Ý³ñ³ñÁª 9, Ã»ñÇ ù³Ýáñ¹Áª 2:

481. Èñ³óñ»°ù ³ÕÛáõë³ÏÁ.

482. ¶ñ»°ù ÙÇ ù³ÝÇ ÃÇí, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ 7-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ 2ÙÝ³óáñ¹:

483. Æ±Ýã ³Ù»Ý³Ù»Í ÙÝ³óáñ¹ Ï³ñáÕ ¿ ëï³óí»É µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ 9-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë:484. Æ±Ýã ³Ù»Ý³÷áùñ ÙÝ³óáñ¹ Ï³ñáÕ ¿ ëï³óí»É µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³Å³ÝÙ³Ý

Å³Ù³Ý³Ï:485. ¶ñ»°ù ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í »ñÏÝÇß ÃÇíÁ, áñÁ 5-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáÕ ÙÝ³-

óáñ¹Á 1 ¿:486. ÂÇíÁ 7¬Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óí³Í Ã»ñÇ ù³Ýáñ¹Á 9 ¿, ÙÝ³óáñ¹Á` 3: ²Û¹

µ³Å³Ý»ÉÇÇó ÷áùñ á±ñ ³Ù»Ý³Ù»Í µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ³é³Ýó ÙÝ³óáñ¹ÇÏµ³Å³ÝíÇ 7¬Ç:

487. ¼ÇÝíáñÝ»ñÇ »ñÏáõ í³ßï åÇïÇ ß³ñù»ñ Ï³½Ù»ÇÝª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ 9½ÇÝíáñ: Þ³ñí»Éáõó Ñ»ïá å³ñ½í»ó, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í³ßïÁ Ï³½Ùí³Í ¿5 ÉñÇí, ¨ ¨ë Ù»Ïª ÏÇë³ï ß³ñùÇó: ²é³çÇÝ í³ßïÇ ÏÇë³ï ß³ñùáõÙ Ï³ñ6 ½ÇÝíáñ, »ñÏñáñ¹Ç ÏÇë³ï ß³ñùáõÙª 4 ½ÇÝíáñ: à±ñ í³ßïáõÙ ³í»ÉÇß³ï ½ÇÝíáñÝ»ñ Ï³ÛÇÝ ̈ áñù³Ýá±í ³í»ÉÇ: ø³ÝÇ± ½ÇÝíáñ Ï³ñ í³ßï»ñÇó³Ù»Ý Ù»ÏáõÙ:

488. à±ñ ÃÇíÁ å»ïù ¿ µ³Å³Ý»É 827¬Ç, áñå»ë½Ç ëï³óíÇ 15:489. ¶ï»°ù ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ·ñ»Éáõ ¹»åùáõÙ Ñ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ÏÉÇÝÇ.³) ∗ : 2 = 12, ·) 120 : 40 = 3 ⋅ ∗, ») 14 : ∗ = 24 – 22,µ) 6 : ∗ = 2, ¹) 6 ⋅ ∗ = 240 : 2, ½) ∗ : 15 = 24 : 8:

490. Î³ï³ñ»°ù Ñ³ÝáõÙ.³) 5111 – 3862, ·) 4992 – 2323, ») 37002 – 15068,µ) 1000 – 895, ¹) 71314 – 29664, ½) 96457 – 80455:

491. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) (2158 – 208 : 104) – (394 – 2527 : 19),µ) (1567 + 891 : 33) : (78 – 2052 : 27),·) (291 – 138 : 23) ⋅ (374 + 1287 : 33),¹) (71 + 132342 : 14) + (1546 – 847 : 121):

72

492. ä³Ñ»ëï µ»ñ»óÇÝ 370 ïáõ÷, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ Ï³ñ ßáÏáÉ³¹Ç25 ë³ÉÇÏ: àñù³±Ý ¿ å³Ñ»ëï µ»ñí³Í ë³ÉÇÏÝ»ñÇ ½³Ý·í³ÍÁ, »Ã» Ù»Ïë³ÉÇÏÇ ½³Ý·í³ÍÁ 170 · ¿:

493. ´³ëÏ»ïµáÉÇëïÇ 50 Ý»ïáõÙÝ»ñÇó 22¬Á ã»Ý Ñ³ë»É Ýå³ï³ÏÇÝ: ¸ÇåáõÏÝ»ïáõÙÝ»ñÇó 9¬Á Ý³ ³ñ»É ¿ª ·ïÝí»Éáí ïáõ·³Ý³ÛÇÝ Ññ³å³ñ³ÏÇ ë³Ñ-Ù³ÝÝ»ñÇó ¹áõñë: îáõ·³Ý³ÛÇÝ Ññ³å³ñ³ÏÇ Ý»ñëÇó ³ñí³Í Ñ³çáÕÝ»ïáõÙÇó ÃÇÙÁ ëï³ÝáõÙ ¿ 2 ÙÇ³íáñ, ÇëÏ ¹ñëÇó ³ñí³ÍÇóª 3 ÙÇ³íáñ:Æñ ÃÇÙÇ Ñ³Ù³ñ ù³ÝÇ± ÙÇ³íáñ ¿ í³ëï³Ï»É µ³ëÏ»ïµáÉÇëïÁ:

494. ºñ»ù ½³ÙµÛáõÕÝ»ñáõÙ Ñ³í³ë³ñ ù³Ý³ÏÝ»ñáí Ýáõé Ï³ñ: ºñµ Ûáõñ³ù³Ý-ãÛáõñ ½³ÙµÛáõÕÇó í»ñóñÇÝ 3 Ýáõé, µáÉáñ ½³ÙµÛáõÕÝ»ñáõÙ ÙÇ³ëÇÝ ³ÛÝù³ÝÝáõé ÙÝ³ó, áñù³Ý ÙÇÝã ³Û¹ Ï³ñ »ñÏáõ ½³ÙµÛáõÕáõÙ: ø³ÝÇ± Ýáõé Ï³ñÛáõñ³ù³ÝãÛáõñ ½³ÙµÛáõÕáõÙ:

495. î³ëÝ»ñÏáõÙ³ë³Ýáó ÏÇÝáÝÏ³ñÇ Ñ»éáõëï³ï»ë³ÛÇÝ óáõó³¹ñáõÙÁï¨áõÙ ¿ 15 Å³Ù` Ý»ñ³éÛ³É ·áí³½¹Ç Å³Ù³Ý³ÏÁ: ÎÇÝáÝÏ³ñÇ µáÉáñÙ³ë»ñÁ ÝáõÛÝ ï¨áÕáõÃÛáõÝÝ áõÝ»Ý: àñù³±Ý ¿ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ù³ëÇï¨áÕáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ³ÛÝ áõÕ»ÏóíáõÙ ¿ ï³ëñáå»³Ýáó ·áí³½¹áí:

496. ºñ»ù ³é¨ïñ³Ï³ÝÝ»ñ ÙÇ³ëÇÝ í³ëï³Ï»É »Ý 80000 ¹ñ³Ù: ²é³çÇÝ ¨»ñÏñáñ¹ ³é¨ïñ³Ï³ÝÝ»ñÁ ÙÇ³ëÇÝ í³ëï³Ï»É »Ý 48000 ¹ñ³Ù, ÇëÏ»ñÏñáñ¹Ý áõ »ññáñ¹Á ÙÇ³ëÇÝª 78000 ¹ñ³Ù: àñù³±Ý ¿ í³ëï³Ï»É Ûáõñ³-ù³ÝãÛáõñÁ:

Âí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýß³ÝÝ»ñ(³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙª Ý³¨ ÷³Ï³·Í»ñ) ¹Ý»Éáíª ëï³ó»°ù ×ÇßïÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ.

1 2 3 4 = 21 2 3 4 5 = 21 2 3 4 5 6 = 21 2 3 4 5 6 7 = 2

23. ´²Ä²ÜØ²Ü Ð²îÎàôÂÚàôÜÜºðÀ

¸Çï³ñÏ»Ýù 15 ¨ 12 Ãí»ñÁ: Üñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3¬Ç.15 : 3 = 5, 12 : 3 = 4: 3-Ç µ³Å³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ 27-Á` Ýñ³Ýó ·áõÙ³ñÁ. 27 : 3 = 9:¸»é ³í»ÉÇÝ, ³Ûë ù³Ýáñ¹Á Ñ³í³ë³ñ ¿ 15-Á ¨ 12-Á 3-Ç µ³Å³Ý»Éáí ëï³óí³Íù³Ýáñ¹Ý»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ. 5 + 4 = 9: ²Û¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¿ µáÉáñµÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª ×Çßï ¿ µ³Å³ÝÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ.

1) ºÃ» »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ÙÇµÝ³Ï³Ý ÃíÇ, ³å³ Ýñ³Ýó ·áõÙ³ñÁ ÝáõÛÝå»ë µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ³Û¹ ÃíÇÝ,¨ ëï³óí³Í ù³Ýáñ¹Á Ñ³í³ë³ñ ¿ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ µ³Å³ÝáõÙÇóëï³óíáÕ ù³Ýáñ¹Ý»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ:

73

²ÛÅÙ ¹Çï³ñÏ»Ýù 7 ̈ 16 Ãí»ñÁ: 16-Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 4-Ç. 16 : 4 = 4: 4-Ç Ïµ³Å³ÝíÇÝ³¨ Ýñ³Ýó ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ`112-Á: Æñáù, 112 : 4 = 28: ÀÝ¹ áñáõÙ ëï³óí³Í ù³Ýáñ¹Á`28-Á, Ñ³í³ë³ñ ¿ 7-Ç ¨ 4-Ç (³ÛëÇÝùÝ` 16-Á µ³Å³Ý»Éáí ëï³óí³Í ù³Ýáñ¹Ç)³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ. 7 . 4 = 28: ²Ûë Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¿ µáÉáñ µÝ³Ï³ÝÃí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝ` ×Çßï ¿ µ³Å³ÝÙ³Ý Ý³¨ Ù»Ï ³ÛÉ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ.

2) ºÃ» »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ, »ÝÃ³¹ñ»Ýù` »ñÏñáñ¹Á,µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ÙÇ áõñÇß µÝ³Ï³Ý ÃíÇ, ³å³ Ýñ³Ýó ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáõÛÝ-å»ë Ïµ³Å³ÝíÇ ³Û¹ ÃíÇÝ, ÁÝ¹ áñáõÙ ³Û¹ µ³Å³ÝÙ³Ý ù³Ýáñ¹Á Ñ³í³-ë³ñ ÏÉÇÝÇ ³ÛÝ ÃíÇÝ, áñÁ Ïëï³óíÇ, »Ã» ³é³çÇÝ ÃÇíÁ µ³½Ù³å³ïÏ»Ýù»ñÏñáñ¹Ç µ³Å³ÝáõÙÇó ëï³óíáÕ ù³Ýáñ¹áí:

.

497. Ò¨³Ï»ñå»°ù µ³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:498. àõÝ»Ýù 1411 ¨ 3485 Ãí»ñÁ, áñáÝù µ³Å³ÝíáõÙ »Ý 17-Ç: Ð³Ùá½í»°ù, áñ

Ýñ³Ýó ·áõÙ³ñÁ ÝáõÛÝå»ë µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 17-Ç:499. àõÝ»Ýù 28 ¨ 16 Ãí»ñÁ: Üñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 4-Ç:

Ð³Ùá½í»°ù, áñ 4-Ç Ïµ³Å³ÝíÇ Ý³¨ Ýñ³Ýó ·áõÙ³ñÁ:500. ä»ïù ¿ 55-Ç ¨ 20-Ç ·áõÙ³ñÁ µ³Å³Ý»É 5-Ç: ¶ï»°ù ù³Ýáñ¹Á°

û·ï³·áñÍ»Éáí µ³Å³ÝÙ³Ý ³é³çÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ:501. àõÝ»Ýù 56 ÃÇíÁ, áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 14-Ç: Ð³Ùá½í»°ù, áñ 56-Ç ¨ 21-Ç

³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáõÛÝå»ë µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 14-Ç:502. ä»ïù ¿ 48-Ç ¨ 25-Ç ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ µ³Å³Ý»É 12-Ç: ¶ï»°ù ù³Ýáñ¹Á` û·ï³-

·áñÍ»Éáí µ³Å³ÝÙ³Ý »ñÏñáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ:503. Î·áñÍÇ± ³ñ¹Ûáù µ³Å³ÝÙ³Ý ³é³çÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ·áõÙ³ñ»ÉÇ-

Ý»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝÇ 0¬Ç:504. Î³ï³ñ»°ù Ñ³ßíáõÙÝ»ñÁ` ³é³Ýó µ³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÇó û·ïí»Éáõ.

³) (18 + 27) : 3, ¹) (18 ⋅ 132) : 6, ¿) (10372 ⋅ 51) : 17,µ) (16 + 28) : 4, ») (39 ⋅ 1205) : 13, Á) (2375 ⋅ 80) : 40,·) (3 ⋅ 25) : 5, ½) (48 ⋅ 5327) : 16, Ã) (4096 ⋅ 75) : 25:

505. ÆÝãå»±ë Ï÷áËíÇ ù³Ýáñ¹Á, »Ã» µ³Å³Ý»ÉÇÝ µ³½Ù³å³ïÏíÇ 2¬áí, ÇëÏµ³Å³Ý³ñ³ñÁ ÙÝ³ ÝáõÛÝÁ: ä³ï³ëË³ÝÁ ÑÇÙÝ³íáñ»°ù:

506. ´³Å³Ý³ñ³ñÁ ÝáõÛÝÁ ÃáÕÝ»Éáí` ÇÝãå»±ë å»ïù ¿ ÷áË»É µ³Å³Ý»ÉÇÝ,áñå»ë½Ç ù³Ýáñ¹Á Ù»Í³Ý³ 3 ³Ý·³Ù: ä³ï³ëË³ÝÁ ÑÇÙÝ³íáñ»°ù:

507. àõÝ»Ýù 3078 = 3 ⋅ 1026, 1026 = 9 ⋅ 114 ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:ºñÏáõ ³Ý·³Ù ÏÇñ³é»Éáí µ³Å³ÝÙ³Ý »ñÏñáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ¨ ³é³Ýóµ³Å³ÝáõÙÁ Ï³ï³ñ»Éáõ` Ñ³Ùá½í»°ù, áñ 3078 : 114 = 27:

508. Î³ñá±Õ ¿ ³ñ¹Ûáù ù³Ýáñ¹Á Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝ»É µ³Å³Ý»ÉÇÇÝ:509. ¶ñ»°ù ³ÛÝ Ãí»ñÇ ½áõÛ·»ñÁ, áñáÝó ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 96¬Ç:510. ²éÝí³½Ý ù³ÝÇ± 5 å»ïù ¿ ·áõÙ³ñ»É Çñ³ñ, áñå»ë½Ç ëï³óí³Í ·áõÙ³ñÁ

33¬Çó Ù»Í ÉÇÝÇ:

74

384 12

38°4 12

ÜÏ. 8

511. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) 531 + 1053 : 117– (443 – 399 : 57), ¹) 734175 – 779 : 19 + 795 ⋅ 23,µ) 57 ⋅ 2452 + 818 – (338 – 78 : 78), ») 309824 : 376 + 96514 : 902,·) 948 – 1359 : 9 + 206 ⋅ 42 – 272, ½) 488865 : 897 – 191875 : 625:

512. 27, 32, 64, 81, 243, 1003, 825, 964, 125, 17 Ãí»ñÇó ÁÝïñ»°ù ³ÛÝ Ãí»ñÇ½áõÛ·»ñÁ, áñáÝù áõÝ»Ý 1¬ÇÝ áã Ñ³í³ë³ñ ÙÇ¨-ÝáõÛÝ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ:

513. ¸³ï³ñÏ í³Ý¹³ÏÝ»ñáõÙ Ãí»°ñ ·ñ»ùª ¹ñ³ÝùÁÝïñ»Éáí ³ÛÝå»ë, áñ ëï³óí³Í ³ÝÑ³í³ë³-ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ×Çßï ÉÇÝ»Ý (ï»°ë ÝÏ. 8).

514. à±ñ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ÙÇç¨ ¿ ·ïÝíáõÙÃÇíÁ`

³) 893, µ) 27, ·) 9, ¹) 25679:515. ¶ñ»°ù ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 22 Ñ³½³ñ,

22 Ñ³ñÛáõñÛ³Ï ¨ 22 ÙÇ³íáñ:516. ´³ëÏ»ïµáÉÇëïÁ Ë³ÕÇ Å³Ù³Ý³Ï Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ý»ïáõÙáí

Ï³ñáÕ ¿ í³ëï³Ï»É 0 (íñÇåáõÙ), 1, 2 Ï³Ù 3 ÙÇ³íáñ: 35 Ý»ïáõÙÏ³ï³ñ»Éáíª Ý³ í³ëï³Ï»É ¿ 58 ÙÇ³íáñ, ÁÝ¹ áñáõÙ Ý»ïáõÙÝ»ñÇó 13¬ÇÑ³Ù³ñ Ý³ ëï³ó»É ¿ 2-³Ï³Ý ÙÇ³íáñ, 8-Ç Ñ³Ù³ñª 3-³Ï³Ý: ø³ÝÇ± ³Ý·³Ù¿ íñÇå»É µ³ëÏ»ïµáÉÇëïÁ:

517. Ø³ñ½³¹³ÑÉÇ×Ç ÙáõïùÇó ³ç Ýëï³Í ¿ÇÝ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ ß³ïÙ³ñ½³ë»ñÝ»ñ, ù³Ý ÙáõïùÇó Ó³Ë: ÀÝ¹ÙÇçáõÙÇó Ñ»ïá ¹³ÑÉÇ× »Ï³Ý ¨ë57 Ù³ñ½³ë»ñÝ»ñ, ¨ Ýñ³Ýó ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ù³Ý³ÏÁ ¹³ñÓ³í 387: ø³ÝÇ±Ù³ñ½³ë»ñ ¿ñ Ýëï³Í ¹³ÑÉÇ×Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÏáÕÙáõÙ ÙÇÝã¨ ÁÝ¹ÙÇçáõÙÁ:

Êáñ³Ý³ñ¹Ç ÝÇëï»ñÇÝ ·ñí³Í »Ý í»ó ï³ñµ»ñ Ãí³-Ýß³ÝÝ»ñ: Ð³Ï³¹Çñ ÝÇëï»ñÇÝ ·ñí³Í Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÝÇñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý: Æ±Ýã Ãí³Ýß³ÝÝ»ñ »Ý ·ñí³Í Ëáñ³-Ý³ñ¹Ç ã»ñ¨³óáÕ ÝÇëï»ñÇÝ:

24. ´²Ä²ÜØ²Ü Ð²ÞìºÎ²ÜàÜÀ ºì Üð² ´²ò²îðàôÂÚàôÜÀ

ºÏ»°ù 384 ÃÇíÁ 12¬Ç µ³Å³Ý»Éáõ ûñÇÝ³Ïáí ÑÇß»Ýù, Ã» ÇÝãå»ë ¿ ÏÇñ³éíáõÙµ³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ.

1) Âí»ñÁ ·ñáõÙ »Ýù ÏáÕù ÏáÕùÇª Ýñ³Ýó ÙÇç¨ï³Ý»Éáí ÙÇ ·ÇÍ, ³å³ ¨ë Ù»Ï ·ÇÍ »Ýù ï³ÝáõÙ µ³-Å³Ý³ñ³ñÇ ï³Ï:

2) êÏë»Éáí Ó³ËÇóª µ³Å³Ý»ÉÇÇó ·ÍÇÏáí ³é³ÝÓ-Ý³óÝáõÙ »Ýù Ýí³½³·áõÛÝ ù³Ý³Ïáí Ãí³Ýß³ÝÝ»ñ,áñå»ë½Ç Ýñ³Ýóáí Ï³½ÙíáÕ ÃÇíÁ µ³Å³Ý³ñ³ñÇóÙ»Í (Ï³Ù Ýñ³Ý Ñ³í³ë³ñ) ÉÇÝÇ:

75

–276 12 24 23 –36 36

0

–38°4 12 36 3 2

–38°4 12 36 32

–24 24 0

38°4 123

3) ¶ïÝáõÙ »Ýù ³é³ÝÓÝ³óí³Í ÃÇíÁ µ³Å³Ý³-ñ³ñÇÝ µ³Å³Ý»Éáí ëï³óíáÕ ù³Ýáñ¹Á (Ï³Ù Ã»ñÇù³Ýáñ¹Á) ¨ ³ÛÝ ·ñáõÙ ·ÍÇ ï³Ï: Ø»ñ ûñÇÝ³ÏáõÙ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ 3¬Ç:

4) Â»ñÇ ù³Ýáñ¹Á µ³½Ù³å³ïÏáõÙ »Ýù µ³Å³-Ý³ñ³ñáí ¨ ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ñ³ÝáõÙ Ù»ñ ³é³ÝÓÝ³óñ³ÍÃíÇóª ¹ñ³Ýáí ÇëÏ ëï³Ý³Éáí ÙÝ³óáñ¹Á, áñÁ 38¬Á 12¬Çµ³Å³Ý»ÉÇë Ñ³í³ë³ñ ¿ 2¬Ç:

5) ¶ÍÇÏÇó Ñ»ïá »Õ³Í Ãí³Ýß³ÝÁ ·ñáõÙ »ÝùÙÝ³óáñ¹Ç ÏáÕùÇÝ ¨ ëï³óí³Í ÃÇíÁ µ³Å³ÝáõÙ µ³-Å³Ý³ñ³ñÇÝª Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÇ 3¬ñ¹ ¨ 4¬ñ¹ ù³ÛÉ»ñÇÑ³Ù³Ó³ÛÝ:

²Ûëå»ë ß³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ýù, ÙÇÝã¨ áñ µ³Å³Ý»ÉÇÇ µáÉáñ Ãí³-Ýß³ÝÝ»ñÝ û·ï³·áñÍí³Í ÉÇÝ»Ý: ºÃ» ëï³óíáÕ Ãí»ñÇó í»ñçÇÝÁµ³Å³ÝíáõÙ ¿ µ³Å³Ý³ñ³ñÇÝ, Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ª ³é³Ýó ÙÝ³óáñ¹Ç µ³-Å³ÝáõÙÁ ÑÝ³ñ³íáñ ¿, ¨ Ýñ³ å³ï³ëË³ÝÁ ·ñí³Í ¿ áõÕÕ³ÓÇ··ÍÇó ³çª µ³Å³Ý³ñ³ñÇ ï³Ï: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ³é³Ýó ÙÝ³-óáñ¹Ç µ³Å³ÝáõÙÝ ³ÝÑÝ³ñ ¿, ÇëÏ í»ñçÇÝ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ¹Ç-ï³ñÏíáÕ Ãí»ñÇ µ³Å³ÝÙ³Ý ÙÝ³óáñ¹Ý ¿:´³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ ÑÇÙÝí³Í ¿ µ³Å³Ý»ÉÇÝ ³ÛÝåÇëÇ ·áõÙ³ñÇ

ï»ëùáí Ý»ñÏ³Û³óÝ»Éáõ íñ³, áñáõÙ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁµ³Å³ÝíáõÙ ¿ µ³Å³Ý³ñ³ñÇÝ: Ü³Ë ¹Çï³ñÏ»Ýù ÙÇ å³ñ½ ûñÇÝ³Ï: ²ë»Ýùªå»ïù ¿ 84¬Á µ³Å³Ý»É 2¬Ç: 84¬Á Ý»ñÏ³Û³óÝ»Ýù Ï³ñ·³ÛÇÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí. 84 = 8 ⋅ 10 + 4: ´³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ù»½ ÃáõÛÉ »Ýï³ÉÇë µ³Å³Ý»ÉÇÇ ï³ëÝÛ³ÏÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ áõ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³é³ÝÓÇÝ-³é³ÝÓÇÝ µ³Å³Ý»É 2¬Ç.

84 : 2 = (8 ⋅ 10 + 4) : 2 = (8 ⋅ 10) : 2 + 4 : 2 == (8 : 2) ⋅ 10 + 4 : 2 = 4 ⋅ 10 + 2 = 42:

ÜáõÛÝÁ Ù»Ýù ³ÝáõÙ »Ýù µ³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝáõÙ,ÙÇ³ÛÝ ³Ûë ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ·ñ³éáõÙ »Ýù ³ÛÉ, ³í»ÉÇ Ñ³ñÙ³ñÓ¨áí:

²ÛÅÙ ¹Çï³ñÏ»Ýù ³í»ÉÇ µ³ñ¹ ûñÇÝ³Ï: ºÝÃ³¹ñ»Ýùªå³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ 276¬Á µ³Å³Ý»É 12¬Ç: 276¬Á Ý»ñÏ³Û³óÝ»Ýù³ÛÝåÇëÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí, áñáõÙ µáÉáñ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÁ µ³-Å³ÝíáõÙ »Ý 12¬Ç: àõÝ»Ýùª

276 =27 ⋅ 10 + 6 = 24 ⋅ 10 + 3 ⋅ 10 + 6 = 24 ⋅ 10 + 36:àõëïÇ Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É.

276 : 12 = (24 ⋅ 10 + 36) : 12 = (24 ⋅ 10) : 12 + 36 : 12 == (24 : 12) ⋅ 10 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 = 23:

–84 2 8 42 –4 4 0

76

518. ´³Å³ÝÙ³Ý á±ñ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÝ »Ý û·ï³·áñÍíáõÙ µ³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ßí»-Ï³ÝáÝÁ µ³ó³ïñ»ÉÇë:

519. Î³ï³ñ»°ù µ³Å³ÝáõÙª µ³Å³Ý»ÉÇÝ Ý³Ë³å»ë Ý»ñÏ³Û³óÝ»Éáí Ñ³Ù³-å³ï³ëË³Ý ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí.

³) 945 : 3, ·) 144 : 12, ») 837 : 9,µ) 78 : 6, ¹) 105 : 5, ½) 180 : 15:

520. ´³Å³ÝáõÙ Ï³ï³ñ»ÉÇë ÇÝãå»±ë å»ïù ¿ í³ñí»É, »Ã» µ³Å³ÝÙ³Ý ÁÝÃ³ó-ùáõÙ ëï³óí³Í ÙÝ³óáñ¹ÇÝ µ³Å³Ý»ÉÇÇ Ñ³çáñ¹ Ãí³Ýß³ÝÁ Ïó³·ñ»ÉáõóÑ»ïá ¹³ñÓÛ³É ëï³óíáõÙ ¿ µ³Å³Ý³ñ³ñÇó ÷áùñ ÃÇí:

521. Î³ï³ñ»°ù µ³Å³ÝáõÙ.³) 7344 : 18, ·) 4784 : 23, ») 32334 : 317,µ) 3996 : 37, ¹) 14840 : 140, ½) 123372 : 596:

522. ´³Å³ÝáõÙ Ï³ï³ñ»ÉÇë ÇÝãå»±ë å»ïù ¿ í³ñí»É, »Ã» µ³Å³Ý»ÉÇÇó³Ýç³ïí³Í ÃÇíÁ µ³Å³Ý³ñ³ñÇÝ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ³é³Ýó ÙÝ³óáñ¹Ç, ÇëÏµ³Å³Ý»ÉÇáõÙ ¹»é Ãí³Ýß³ÝÝ»ñ Ï³Ý:

523. Î³ï³ñ»°ù µ³Å³ÝáõÙ.³) 213 : 3, ·) 25212 : 12, ») 4732994 : 47,µ) 7248 : 24, ¹) 62575 : 25, ½) 169169 : 13:

524. ÆÝãå»±ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ µ³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÇ ÙÇçáóáí ëïáõ·»É, Ã» µ³-Å³ÝíáõÙ ¿ ³ñ¹Ûáù ÙÇ ÃÇíÁ ÙÛáõëÇÝ:

525. ´³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÇ ÙÇçáóáí ëïáõ·»°ù, Ã» µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ³ñ¹Ûáù1368 ÃÇíÁ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÇÝ, ¨ »ñµ ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ, ·ï»°ù ÙÝ³óáñ¹Á.

³) 2-Ç, µ) 11-Ç, ·) 14-Ç, ¹) 4-Ç, ») 6-Ç, ½) 25-Ç:526. ¶ï»°ù µ³Å³ÝÙ³Ý Ã»ñÇ ù³Ýáñ¹Á.

³) 37 : 12, µ) 18 : 5, ·) 27 : 14, ¹) 51 : 27:527. Èñ³óñ»°ù ³ÕÛáõë³ÏÁ.

528. Î³ï³ñ»°ù µ³Å³ÝáõÙ.³) 1176 : 42, ·) 7137 : 549, ») 76923 : 189,µ) 1512 : 28, ¹) 8610 : 123, ½) 95918 : 398:

529. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) 6 ⋅ 4 ⋅ 86, ¹) 312 ⋅ 13 ⋅ 9, ¿) 263424 : 168 : 7,µ) 26 ⋅ 3 ⋅ 23, ») 9768 : 24 : 37, Á) 183260 : 77 : 5,·) 24 ⋅ 29 ⋅ 90, ½) 149736 : 24 : 367, Ã) 705222 : 63 : 58:

77

530. ¶ñ»°ù áñ¨¿ ÃÇí 8¬Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáÕ µáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ ÙÝ³óáñ¹Ý»ñÁ:531. ²ëïÕ³ÝÇß»ñÇ ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»°ù ³ÝÑñ³Å»ßï Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ, áñ-

å»ë½Ç ëï³óíÇ ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.³) 4∗ : 16 = 3, µ) 44∗ : 4 = ∗11, ·) 2∗2 : 2 = 11, ¹) 35∗ : 5 = 7∗:

532. 111, 235, 807, 333, 428, 3922 Ãí»ñÇó ³é³ÝÓÝ³óñ»°ù 37¬Ç µ³Å³ÝíáÕÃí»ñÁ:

533. î³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ Ýí³½»ÉÇÇó ÷áùñ ¿ 105¬áí: ÆÝãÇ± ¿ Ñ³í³ë³ñ Ñ³Ý»ÉÇÝ:534. ¶ï»°ù ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ 307¬Çó Ù»Í ¿ 854 ³Ý·³Ù:535. ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý Ç±Ýã ÃÇí ·ñ»Éáõ ¹»åùáõÙ ¿ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ

ï»ÕÇ áõÝ»ÝáõÙ.³) 7 ⋅ ∗ = 20 + 8, ¹) ∗ : 3 = (100 + 8) ⋅ 5,µ) ∗ ⋅ 12 = 4 ⋅ (15 + 3), ») 8 : ∗ = 78 – 2 ⋅ 38,·) 7 ⋅ (84 – 79) = ∗ ⋅ 7, ½) (91 – 36) ⋅ 2 = 110 : ∗:

536. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÝ Áëï Ñ»ï¨Û³É ·Í³å³ïÏ»ñÇ.

537. È³ñÇ ³é³çÇÝ ÏïáñÁ »ñÏñáñ¹Çó »ñÏ³ñ ¿ 6 ³Ý·³Ù, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ÏïáñÁ»ññáñ¹Çó Ï³ñ× ¿ 4 ³Ý·³Ù: àñù³±Ý ¿ ³Û¹ É³ñ»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ·áõÙ³ñÁ, »Ã» »ññáñ¹ É³ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 96 Ù ¿:

538. Ò»ÃÁ å³ÑíáõÙ ¿ñ 2 É, 3 É ¨ 6 É ï³ñáÕáõÃÛ³Ùµ ³ÝáÃÝ»ñáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙí»óÉÇïñ³Ýáó ³ÝáÃÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ 4 ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ ¿ñ, ù³Ý »ñÏáõÉÇïñ³-ÝáóÝ»ñÇÝÁ, ¨ 2 ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ, ù³Ý »ñ»ùÉÇïñ³ÝáóÝ»ñÇÝÁ: ÀÝ¹³Ù»ÝÁáñù³±Ý Ó»Ã Ï³ñ, »Ã» í»óÉÇïñ³Ýáó ³ÝáÃÝ»ñáõÙ »Õ³Í Ó»ÃÁ 48 É ¿ñ:

539. ²é³çÇÝ ïáõ÷áõÙ Ï³ñ 103 Ïá×³Ï, »ñÏñáñ¹áõÙª 97, »ññáñ¹áõÙª 89: ²é³çÇÝïáõ÷Çó »ñÏñáñ¹Ç Ù»ç ¹ñ»óÇÝ 36 Ïá×³Ï, »ñÏñáñ¹Çó »ññáñ¹Ç Ù»çª 22,»ññáñ¹Çó ³é³çÇÝÇ Ù»çª 21: ¸ñ³ÝÇó Ñ»ïá ³Ù»Ý³ß³ï Ïá×³ÏÝ»ñå³ñáõÝ³ÏáÕ ïáõ÷áõÙ ù³ÝÇ± Ïá×³Ïáí ³í»ÉÇ »Õ³í, ù³Ý ³Ù»Ý³ùÇãÏá×³ÏÝ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕáõÙ:

¶ï»°ù ³í»Éáñ¹ å³ïÏ»ñÁ.

78

25. Âì²ÚÆÜ ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜÜºð

î³ñµ»ñ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ·ñÇ ³éÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ µ³é»ñÇ÷áË³ñ»Ý í³Õáõó ÏÇñ³éíáõÙ »Ý Ñ³ïáõÏ Ýß³ÝÝ»ñ: §¶áõÙ³ñ»É¦ ¨ §Ñ³Ý»É¦µ³é»ñÇ ÷áË³ñ»Ý ·áñÍ³ÍíáõÙ »Ý + (§åÉÛáõë¦) ¨ – (§ÙÇÝáõë¦) Ýß³ÝÝ»ñÁ,µ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ⋅ Ï³Ù Ýß³ÝÝ»ñáí, ÇëÏ µ³Å³ÝáõÙÁª: Ýß³Ýáí:

²ÛÝåÇëÇ ·ñ³éáõÙÁ, áñáõÙ û·ï³·áñÍíáõÙ »Ý ÙÇ³ÛÝ Ãí»ñ, Ãí³µ³Ý³Ï³Ý·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýß³ÝÝ»ñ ¨ ÷³Ï³·Í»ñ, ÏáãíáõÙ ¿ Ãí³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³Û-ïáõÃÛáõÝ:

úñÇÝ³Ï` 12 ⋅ (30 – 4) + 20 : (7 + 3) ·ñ³éáõÙÁ Ãí³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝ ¿:Âí³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ù ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿

ïíÛ³É Ãí³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ù»ç Ýßí³Í µáÉáñ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõ-ÃÛáõÝÝ»ñÁ å³Ñ³ÝçíáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµ Ï³ï³ñ»Éáõ ¹»åùáõÙ:

Ð»ßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ í»ñÁ µ»ñí³Í Ãí³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁÑ³í³ë³ñ 314-Ç:

²éûñÛ³ ÏÛ³ÝùáõÙ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý Ñ³ßíáõÙÝ»ñÝ ³ñ³· ¨ ×ß·ñÇï Ï³ï³-ñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ É³ÛÝáñ»Ý û·ï³·áñÍíáõÙ »Ý Ñ³ïáõÏ ¿É»ÏïñáÝ³ÛÇÝ ë³ñù»ñªÙÇÏñáÑ³ßíÇãÝ»ñ: ²Ýßáõßï, ¹áõù Ñ³×³Ë ï»ë»É »ù, Ã» ÇÝãå»ë »Ý ÙÇÏñáÑ³ß-íÇãÇó û·ïíáõÙ Ë³ÝáõÃÝ»ñÇ í³×³éáÕÝ»ñÁ, Ó»ñ ÍÝáÕÝ»ñÁª ÁÝï³Ý»Ï³ÝÍ³Ëë»ñÁ Ñ³ßí»ÉÇë, ÇëÏ ³í»ÉÇ Ñ³í³Ý³Ï³Ý ¿, áñ ¹áõù ³ñ¹»Ý áõÝ»ù ³Û¹-åÇëÇ ë³ñù ¨ ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ û·ï³-·áñÍáõÙ »ù ³ÛÝ: Üß»Ýù Ý³¨, áñ ³ÛÅÙ ÙÇÏñáÑ³ß-íÇãÝ»ñ »Ý ÙïóíáõÙ µáÉáñ ³ÝÑ³ï³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ-·ÇãÝ»ñÇ ¨ µçç³ÛÇÝ Ñ»é³ËáëÝ»ñÇ Ù»ç: êïáñ¨ Ù»Ýùå³ñ½³å»ë ÏÑÇß»óÝ»Ýù Ó»½, Ã» ÇÝã ï»ëù áõÝÇ ÙÇ-ÏñáÑ³ßíÇãÁ, ¨ ÇÝãå»ë ¿ å»ïù ³ßË³ï»É Ýñ³Ýáí:

ØÇÏñáÑ³ßíÇãÝ»ñÇ µáÉáñ ï»ë³ÏÝ»ñÝ ÁÝ¹Ñ³-Ýáõñ ³éÙ³Ùµ áõÝ»Ý ÝÏ³ñáõÙ å³ïÏ»ñí³Í ï»ëùÁ(ï»°ë ÝÏ. 9) ¨ Ï³½Ùí³Í »Ý ¿Ïñ³ÝÇó áõ ëï»ÕÝ³-ß³ñÇó:

ØÇ³óí³Í ÙÇÏñáÑ³ßíÇãÇ ¿Ïñ³ÝÇÝ ·ñí³Í ¿ÉÇÝáõÙ 0 Ãí³Ýß³ÝÁ: àñ¨¿ ÃÇí Ùáõïù³·ñ»ÉáõÑ³Ù³ñ å»ïù ¿ Ñ³çáñ¹³µ³ñ, ëÏë»Éáí ³Ù»Ý³Ù»ÍÏ³ñ·Çó, Ùáõïù³·ñ»É Ýñ³ ·ñ³éÙ³Ý Ãí³Ýß³Ý-Ý»ñÁ: úñÇÝ³Ïª 9307 ÃÇíÁ Ùáõïù³·ñ»Éáõ Ñ³Ù³ñå»ïù ¿ Ñ³çáñ¹³µ³ñ ë»ÕÙ»É 9, 3, 0, 7 Ãí³Ýß³Ý-Ý»ñáí ëï»ÕÝ»ñÁ:

Âí»ñÁ ·áõÙ³ñ»Éáõ (µ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ, Ñ³Ý»-Éáõ, µ³Å³Ý»Éáõ) Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ª

ÜÏ. 9

79

+ –

=

5 4 1 6 + 7 2 9 3 =

1 1 2 2 0 7 4 8 =

1. Ùáõïù³·ñ»É ³é³çÇÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ (³ñï³¹ñÇãÁ, Ýí³½»ÉÇÝ, µ³Å³-Ý»ÉÇÝ),

2. ë»ÕÙ»É ( ) ëï»ÕÝÁ,

3. Ùáõïù³·ñ»É »ñÏñáñ¹ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ (³ñï³¹ñÇãÁ, Ñ³Ý»ÉÇÝ, µ³Å³Ý³-ñ³ñÁ),

4. ë»ÕÙ»É ëï»ÕÝÁ:úñÇÝ³Ïª1) ä»ïù ¿ Ñ³ßí»É 5416 ¨ 7293 Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:ê»ÕÙ»Ýù ëï»ÕÝ»ñÁ Ñ»ï¨Û³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµª

¾Ïñ³ÝÇÝ Ïëï³Ý³Ýù ·áõÙ³ñÁª 12709:2) ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ 11220-Á µ³Å³Ý»É 748-Ç:ø³Ýáñ¹Á ·ïÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿ ë»ÕÙ»É Ñ»ï¨Û³É ëï»ÕÝ»ñÁª

¾Ïñ³ÝÇÝ ÏÑ³ÛïÝíÇ å³ï³ëË³ÝÁª 15:

º±ñµ ̈ áíù»±ñ »Ý ·áñÍ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç Ùïóñ»É Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõ-

ÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýß³ÝÝ»ñÁ: ¶áõÙ³ñÙ³Ý + ̈ Ñ³ÝÙ³Ý – Ýß³ÝÝ»ñÁ ëÏë»É ¿ û·ï³-

·áñÍ»É ·»ñÙ³Ý³óÇ ·ÇïÝ³Ï³Ý ì Ç ¹ Ù ³ Ý Á 1489 Ã.: ́ ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý

xxxxx Ýß³ÝÝ ³é³çÇÝ ³Ý·³Ù Ñ³Ý¹ÇåáõÙ ¿ ³Ý·ÉÇ³óÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë ú Ã ñ Ç ¹ Ç

“Clavis Mathematica” (§Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇ µ³Ý³ÉÇ¦) ·ñùáõÙ 1631 Ã., ÇëÏ

µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ⋅ ̈ µ³Å³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³ñ : Ýß³ÝÝ»ñÁ ³é³çÇÝÝ û·ï³-

·áñÍ»É ¿ ·»ñÙ³Ý³óÇ Ù»Í ÷ÇÉÇëá÷³ ¨ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë È ³ Û µ Ý Ç ó Á 1693 Ã.:Ä³Ù³Ý³Ï³ÏÇó Ñ³ßíÇã ÙÇçáóÝ»ñÇ (Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇãÝ»ñ, Ñ³ßíÇãÝ»ñ,

ÙÇÏñáÑ³ßíÇãÝ»ñ ¨ ³ÛÉÝ) Ý³ËûñÇÝ³ÏÝ»ñÁ ëï»ÕÍí»É »Ý ¹»é¨ë XIX ¹³ñáõÙ:

²Ý·ÉÇ³óÇ Ýß³Ý³íáñ ·ÇïÝ³Ï³Ý ´ » µ Ç ç Á (1791–1871) å³ïÙáõÃÛ³Ý

Ù»ç Ñ³ÛïÝÇ ¿ ¹³ñÓ»É áñå»ë ³ßË³ñÑáõÙ ³é³çÇÝ ÇëÏ³å»ë Íñ³·ñ³ÛÇÝ

Ñ³Ù³Ï³ñ·ãÇ ëï»ÕÍáÕÁ: ²Ûë Ñ³ßíÇãÁ, áñÁ Ý³ ³Ýí³Ý»É ¿ §í»ñÉáõÍ³Ï³Ý

Ù»ù»Ý³¦, å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ñ ³ÛÅÙÛ³Ý Ñ³ßíÇã ÙÇçáóÝ»ñÇ µáÉáñ µ³Õ³¹ñÇã

ï³ññ»ñÁ (ÑÇßáÕáõÃÛáõÝ, Ãí³µ³Ý³Ï³Ý-ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ë³ñù³íáñáõÙ,

ÙáõïùÇ-»ÉùÇ ë³ñù³íáñáõÙ): ´»µÇçÇ ³ßË³ï³ÝùÝ»ñÁ áõÕÇ »Ý Ñ³ñÃ»É

Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó ³ñ³· ·áñÍáÕ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇãÝ»ñÇ ëï»ÕÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ:

540. Æ±Ýã »Ý Ãí³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ¨ Ýñ³ ³ñÅ»ùÁ:541. ´³Ý³íáñ Ñ³ßí»°ù Ãí³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.

³) 0 + 0 + 0, ·) 2 : (1 + 1), ») (21 : 21) : 157,µ) 1 + 0 + 1, ¹) (1 : 1) : (2 : 2), ½) 869 ⋅ (11 – 11):

80

542. Ð³ßí»°ù Ãí³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.³) 3 ⋅ (72 : 18) + 7 ⋅ (81 – 70),µ) (925 – 890) ⋅ 4 – 2 ⋅ (600 : 15),·) (379 + 621) : 125 + (94 – 31) ⋅ 8,¹) (32 ⋅ 5) ⋅ 4 + (600 : 100) : 3:

543. Î³½Ù»°ù Ãí³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝ ¨ Ñ³ßí»°ù Ýñ³ ³ñÅ»ùÁ.³) 134 ¨ 29 Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ` µ³½Ù³å³ïÏ³Í 38-áí,µ) 1001 ¨ 736 Ãí»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ` µ³Å³Ý³Í 15-Ç,·) 28 ¨ 81 Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ` µ³Å³Ý³Í 212 ¨ 149 Ãí»ñÇ ï³ñµ»-

ñáõÃÛáõÝÁ,¹) 112 ̈ 14 Ãí»ñÇ ù³Ýáñ¹Á` µ³½Ù³å³ïÏ³Í 901 ̈ 876 Ãí»ñÇ ï³ñµ»-

ñáõÃÛ³Ùµ:544. ²é³ç³¹ñ³ÝùÁ ·ñÇ° ³é»ù Ãí³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ï»ëùáí, ³ÛÝáõ-

Ñ»ï¨ Ñ³ßí»°ù Ýñ³ ³ñÅ»ùÁ.³) ÇÝÝëáõÝ»ñÏáõëÇ ¨ »ñ»ëáõÝãáñëÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ù»Í³óÝ»É

ùë³Ýáí,µ) ï³ëÝáõÃÇ ¨ ÇÝÝÇ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ ÷áùñ³óÝ»É ï³ëáí,·) ÛáÃ³Ý³ëáõÝÇó »ñ»ëáõÝãáñë Ñ³Ý»Éáõ ³ñ¹ÛáõÝùÁ ÷áùñ³óÝ»É »ñ»ù

³Ý·³Ù,¹) ù³é³ëáõÝãáñëÁ ï³ëÝÙ»ÏÇ µ³Å³Ý»Éáõ ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ù»Í³óÝ»É Ñ³ñ-

Ûáõñ »ñ»ëáõÝ»ñÏáõ ³Ý·³Ù:545. Î³½Ù»°ù Ãí³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝ, áñÇ ³ñÅ»ùÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ª

³) 1-Ç, µ) 24-Ç, ·) 0¬Ç, ¹) 35-Ç:546. ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»°ù 3 ÃÇíÁ ¨ Ñ³ßí»°ù Ãí³ÛÇÝ ³ñï³-

Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.³) 3 ⋅ ∗ + 386, ·) (17 – ∗) ⋅ 3, ») (78 : ∗ + 99 : ∗) ⋅ 5,µ) 27 : ∗ + 96 : ∗, ¹) (6 ⋅ ∗ + 3) ⋅ ∗, ½) ∗ ⋅ 2 + ∗ ⋅ 3 + ∗ ⋅ 4:

547. Ð³ßí»°ù Ãí³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ¨ Ñ³Ù»Ù³ï»°ù¹ñ³Ýù.

³) 731952 : (1773 – 447) ¨ 12892 : (577 + 9),µ) 294000 : (2471 – 511) ¨ 1508132 : (3178 + 555),·) 184640 : (2596 – 288) ¨ 817020 : (373 + 161):

548. âáñë ³Ý·³Ù û·ï³·áñÍ»Éáí 6 ÃÇíÁ, ÷³Ï³·Í»ñ ¨ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýß³ÝÝ»ñ` Ï³½Ù»°ù Ãí³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝ, áñÇ³ñÅ»ùÁ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝÇ`

³) 1-Ç, µ) 2-Ç, ·) 3-Ç, ¹) 5-Ç:549. Ð³ßíáõÙÝ»ñÁ Ï³ï³ñ»°ù ÙÇÏñáÑ³ßíÇãáí.

³) 6095 + 8127, ») 23 ⋅ 913µ) 12448 + 953 , ½) 358 ⋅ 72,·) 2662– 1771, ¿) 7448 : 98,¹) 37097– 28456, Á) 95232 : 256 :

81

550. Ð»ßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ 2 + 2 = 2 ⋅ 2: ´³óÇ 2¬Çóª á±ñ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»ÉÝÙ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ:

551. àõÝ»Ýù 137, 254, 66, 197, 1235, 11, 5, 42 Ãí»ñÁ: ²Û¹ Ãí»ñÇó Ï³½Ù»°ùãáñë³Ï³Ý ÃÇí å³ñáõÝ³ÏáÕ »ñÏáõ ³ÛÝåÇëÇ ËáõÙµ, áñáÝóÇó ³é³çÇÝÇÛáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÃÇí ÷áùñ ÉÇÝÇ »ñÏñáñ¹Ç ó³ÝÏ³ó³Í ÃíÇó:

552. Î³ñá±Õ ¿ ÙÝ³óáñ¹Á Ã»ñÇ ù³Ýáñ¹Çó Ù»Í ÉÇÝ»É:553. ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÁ 12-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë 0, 1, 3, 9, 12, 19, 25 Ãí»ñÇó áñá±Ýù

Ï³ñáÕ »Ý ëï³óí»É áñå»ë ÙÝ³óáñ¹: ä³ï³ëË³ÝÁ ÑÇÙÝ³íáñ»°ù:554. ÈáõÍ»°ù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý Ë³ãµ³éÁ.

²ÝÏÛáõÝ³·Í»ñáí². ÂÇí, áñÇó 80603 Ñ³Ý»Éáõ ³ñ¹ÛáõÝùÁ

·ñíáõÙ ¿ ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ãí³Ýß³Ýáí:¶. 18757¬Ç µ³Å³ÝíáÕ ÃÇí:

ÐáñÇ½áÝ³Ï³Ý². ÂÇí, áñÇ Ï³ñ·»ñáõÙ ·ñí³Í Ãí»ñÁ

Ñ³çáñ¹³µ³ñ 1¬áí ÷áùñ³ÝáõÙ »Ý:¶. ÂÇí, áñÇ Ï³ñ·»ñáõÙ ·ñí³Í Ãí»ñÇ

·áõÙ³ñÁ 13 ¿:àõÕÕ³ÓÇ·

². ²Ù»Ý³Ù»Í ÑÝ·³ÝÇß ÃÇíÁ:´. ÂÇí, áñÇÝ 1331 ·áõÙ³ñ»Éáõ ³ñ¹ÛáõÝùÁ ·ñíáõÙ ¿ ÙÇ¨ÝáõÛÝ

Ãí³Ýß³Ýáí:555. ²í³½³ÝÁ, áñÇ ï³ñáÕáõÃÛáõÝÁ 1000 É ¿, ëÏë»óÇÝ çáõñ ÉóÝ»É: êÏ½µáõÙ

1 Å³ÙáõÙ ÉóíáõÙ ¿ñ 110 É: 5 Å Ñ»ïá çñÇ ÑáëùÁ ÃáõÉ³ó³í, ¨ ³í³½³ÝÇÙ»ç 1 Å³ÙáõÙ ëÏë»ó Éóí»É 90 É çáõñ: ø³ÝÇ± Å³ÙáõÙ Éóí»ó ³í³½³ÝÁ:

556. Ê³ÝáõÃ »Ý µ»ñ»É 1200 Ï· Ó³í³ñ: 1 ï Ó³í³ñÁ å³ñÏ»ñáõÙ ¿, ÇëÏÙÝ³ó³ÍÁª ³ñÏÕ»ñÇ Ù»çª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ 10 Ï·: Ò³í³ñáí ÉÇ ù³ÝÇ±³ñÏÕ »Ý µ»ñ»É Ë³ÝáõÃ:

557. êÏ³Ñ³ÏáõÙ Ï³ñ 8 ï³ÝÓ ¨ 11 ËÝÓáñ: ²ÛÝï»ÕÇó í»ñóñÇÝ 10 åïáõÕ:êÏ³Ñ³ÏáõÙ ÙÝ³±ó ·áÝ» 1 ËÝÓáñ:

558. Æ±Ýã Ãí³Ýß³Ýáí ¿ í»ñç³ÝáõÙ µáÉáñ ÙÇ³ÝÇß µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³-¹ñÛ³ÉÇ ·ñ³éáõÙÁ:

559. Ð³í³ë³ñ³Ïßéí³Í Ïß»éùÇ ÙÇ ÝÅ³ñÇÝ ¹ñí³Í ¿ Ù»Ï ³ÕÛáõë, ÇëÏ ÙÛáõëÝÅ³ñÇÝª »ñÏáõÏÇÉá·ñ³Ù³Ýáó Ïßé³ù³ñ ¨ Ï»ë ³ÕÛáõë: àñù³±Ý ¿ ³ÕÛáõëÇ½³Ý·í³ÍÁ:

àõÝ»Ýù 9 Ù»ï³Õ³¹ñ³Ù, áñáÝù ï»ëùáí ã»Ý ï³ñµ»ñíáõÙ: Ð³ÛïÝÇ ¿,

áñ ³Û¹ ¹ñ³ÙÝ»ñÇó Ù»ÏÁ Ï»ÕÍ ¿ ̈ ÙÛáõëÝ»ñÇó Ã»Ã¨ ¿: ÆÝãå»±ë ÝÅ³ñ³íáñ

Ïß»éùáí ÙÇ³ÛÝ »ñÏáõ ÏßéáõÙáí ·ïÝ»Ýù Ï»ÕÍ ¹ñ³ÙÁ:

82

26. Ø²ÂºØ²îÆÎ²Ü ØÆæÜ²¸²ðÚ²Ü Ð²Ú²êî²ÜàôØ

Ð³Û³ëï³Ý. í³Õ ÙÇçÝ³¹³ñª V–VII ¹³ñ»ñ: Øß³ÏáõÛÃÝ áõ ·ÇïáõÃÛáõÝÁÐ³Û³ëï³ÝáõÙ ³ÛÝåÇëÇ µ³ñÓáõÝùÝ»ñÇ »Ý Ñ³ëÝáõÙ, áñ ³å³ÑáíáõÙ »ÝÝñ³ ï»ÕÝ ³ßË³ñÑÇ ³Ù»Ý³ù³Õ³ù³ÏÇñÃ »ñÏñÝ»ñÇ ß³ñùáõÙ:

Ø»ëñáå Ø³ßïáóÁ ëï»ÕÍáõÙ ¿ Ñ³ÛÏ³Ï³Ý ·ÇñÁ: Øáíë»ë Êáñ»Ý³óÇÝ·ñáõÙ ¿ Çñ §Ð³Ûáó å³ïÙáõÃÛáõÝ¦¬Á: º½ÝÇÏ ÎáÕµ³óÇÝ ¨ ¸³íÇÃ ²ÝÑ³ÕÃÁëï»ÕÍáõÙ »Ý Çñ»Ýó Ñéã³Ï³íáñ ÷ÇÉÇëá÷³Û³Ï³Ý ³ßË³ïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:Î³éáõóíáõÙ »Ý Ñ³ÛÏ³Ï³Ý ×³ñï³ñ³å»ïáõÃÛ³Ý ·áÑ³ñÝ»ñ ¼í³ñÃÝáóï³×³ñÁ ¨ êáõñµ ÐéÇ÷ëÇÙ» »Ï»Õ»óÇÝ:

ÜáõÛÝåÇëÇ ³ÝÝ³Ë³¹»å í»ñ»Éù »Ý ³åñáõÙ Ý³¨ µÝ³Ï³Ý ·Çïáõ-ÃÛáõÝÝ»ñÁ, Ù³ëÝ³íáñ³å»ë Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ý: Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ý ·áñÍáõÝÏ»ñåáí áõëáõÙÝ³ëÇñíáõÙ ¿ Ð³Û³ëï³ÝÇ ß³ï ·Çï³Ï³Ý ¨ ÏñÃ³Ï³Ýûç³ËÝ»ñáõÙ: Üñ³ ¹³ë³í³Ý¹áõÙÁ Ï³ï³ñíáõÙ ¿ ³ÛÝ Å³Ù³Ý³ÏÇ³Ù»Ý³µ³ñÓñ ã³÷³ÝÇßÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý:

²Û¹ ¹³ñ»ñÇ Ù»Í³·áõÛÝ·ÇïÝ³Ï³ÝÝ»ñÇ ß³ñùáõÙí»ñ ¿ Ñ³éÝáõÙ ² Ý ³ Ý Ç ³Þ Ç ñ ³ Ï ³ ó á õ í»Ñ³å³ÝÍÏ»ñå³ñÁ: Üñ³ µ³½Ù³ÃÇí»ñÏ»ñÁ ÝíÇñí³Í »Ý Ù³Ã»-Ù³ïÇÏ³ÛÇÝ, ÷ÇÉÇëá÷³Ûáõ-ÃÛ³ÝÁ, ³ßË³ñÑ³·ñáõÃÛ³ÝÁ,ïÇ»½»ñ³·ÇïáõÃÛ³ÝÁ:

ÞÇñ³Ï³óÇÝ ùÝÝáõÙ ¿ºñÏñÇ ·Ý¹³Ó¨áõÃÛ³Ý Ñ³ñ-óÁ, ëï»ÕÍáõÙ ¿ ÈáõëÝÇ Ë³-í³ñáõÙÝ»ñÇ ¨ ÈáõëÝÇ ÷áõ-É»ñÇ ûñ³óáõÛóÝ»ñ, Ï³½ÙáõÙ¿ ù³ñï»½Ý»ñ:

²Ý³ÝÇ³ ÞÇñ³Ï³óáõÙ³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ³ßË³-ïáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»½ Ñ³Ù³ñÑ³ïÏ³å»ë Ñ»ï³ùñùÇñ »ÝÝñ³ Ãí³µ³ÝáõÃÛ³Ý ¹³ë³-·ÇñùÁ ¨ ËÝ¹ñ³·ÇñùÁ: ¸³-ë³·ÇñùÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõ-ÃÛáõÝÝ»ñÇª Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇÓ»éÝ³ñÏÝ»ñáõÙ Ù»½ Ñ³ë³Í³Ù»Ý³ÑÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÁ:

83

´»ñ»Ýù ÞÇñ³Ï³óáõ Ï³½Ù³Í ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÇ áñáß ÝÙáõßÝ»ñª ·ñÇ³éÝí³Í ï³é»ñáí ¨ Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó Ó¨áíª Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí:

Ð³ïí³ÍÝ»ñ ·áõÙ³ñÙ³Ý ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÇó

³ ³ µ Ç Ç Ë é ï ñ³ µ · Ç É Í é ñ ó³ · ¹ Ç Ë Ï é ó õ³ ¹ » Ç Í Ñ é õ ÷³ » ½ Ç Ï Ó é ÷ ù

1 + 1 = 2 20 + 20 = 40 1000 + 4000 = 50001 + 2 = 3 20 + 30 = 50 1000 + 5000 = 60001 + 3 = 4 20 + 40 = 60 1000 + 6000 = 70001 + 4 = 5 20 + 50 = 70 1000 + 7000 = 80001 + 5 = 6 20 + 60 = 80 1000 + 8000 = 9000

Ð³ïí³ÍÝ»ñ Ñ³ÝÙ³Ý ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÇó

³ Å Ã É Õ Ï × é ç³ Ã Á É Ó Í × ç å³ Á ¿ É Ñ Ë × å ã³ ¿ ½ É Ï É × ã á³ ½ » É Í Ç × á ß

10 – 1 = 9 90 – 30 = 60 1000 – 100 = 9009 – 1 = 8 80 – 30 = 50 900 – 100 = 8008 – 1 = 7 70 – 30 = 40 800 – 100 = 7007 – 1 = 6 60 – 30 = 30 700 – 100 = 6006 – 1 = 5 50 – 30 = 20 600 – 100 = 500

Ð³ïí³ÍÝ»ñ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÇó

³ ³ ³ Ë Í ë Ù ¿ éÝ³ µ µ Ë Ï ëÝ Ù Á éá³ · · Ë Ñ ëå Ù Ã éå³ ¹ ¹ Ë Ó íÙ Ù Å ë³ » » Ë Õ íá Ù Ç ï

1 1 = 1 40 50 = 2000 200 7 = 14001 2 = 2 40 60 = 2400 200 8 = 16001 3 = 3 40 70 = 2800 200 9 = 18001 4 = 4 40 80 = 3200 200 10 = 20001 5 = 5 40 90 = 3600 200 20 = 4000

84

ÞÇñ³Ï³óáõ ËÝ¹ñ³·Çñ-ùÁ Ñ³ñáõëï ÝÛáõÃ ¿ å³ñáõ-Ý³ÏáõÙ Ñ³ßí³ñÏÙ³Ý ³ñ-í»ëïÇ í»ñ³µ»ñÛ³É: ÊÝ¹Çñ-Ý»ñÇ ß³ñ³¹ñ³ÝùáõÙ û·ï³-·áñÍí³Í »Ý ³ÛÝ Å³Ù³Ý³ÏÇÏÛ³ÝùÇó, ÇÝãå»ë Ý³¨ Ñ³-Û»ñÇ áõ ³ÛÉ ÅáÕáíáõñ¹Ý»ñÇå³ïÙáõÃÛáõÝÇó í»ñóí³ÍÇñ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñ: ÞÇñ³-Ï³óáõ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý·Çï»ÉÇùÝ»ñÇ µ³ñÓñ³·áõÛÝÙ³Ï³ñ¹³ÏÝ ³é³ÝÓÝ³Ñ³-ïáõÏ Ï»ñåáí ¹ñë¨áñíáõÙ ¿Ýñ³ ·ñù»ñáõÙ Ý»ñÏ³Û³ó-í³Í Ñ³ßíáõÙÝ»ñáõÙ: Þ³ïµ³Ý»ñ, áñáÝó ºíñáå³ÝÃí³µ³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ïÇñ³-å»ï»ó ³í»ÉÇ ù³Ý Ù»Ï Ñ³-½³ñ³ÙÛ³Ï ³Ýó, ÞÇñ³Ï³óáõ Ñ³Ù³ñ áñ¨¿ ¹Åí³ñáõÃÛáõÝ ã»Ý Ñ³ñáõóáõÙ:

²Ý³ÝÇ³ ÞÇñ³Ï³óáõó Ñ»ïá ¨ë Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ý Ð³Û³ëï³ÝáõÙß³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ½³ñ·³Ý³É: ²Û¹ »Ý íÏ³ÛáõÙ ¹³ë³Ï³Ý ß³ï ·áñÍ»ñÇÑ³Û»ñ»Ý Ã³ñ·Ù³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ëª XI ¹³ñáõÙ ÑáõÝ³ñ»ÝÇóÃ³ñ·Ù³ÝíáõÙ ¿ ¾ í Ï É Ç ¹ » ë Ç (Ù. Ã. ³. III ¹.) §êÏ½µáõÝùÝ»ñÁ¦, áñÁ¹³ñ»ñ ß³ñáõÝ³Ï »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ·Çï»ÉÇùÝ»ñÇ ÙÇ³Ï ̈ Ñ³ÙÁÝ¹Ñ³Ýáõñ×³Ý³ãáõÙ ·ï³Í Ó»éÝ³ñÏÝ ¿ñ: Â³ñ·Ù³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³ï³ñ»É ¿ Ýß³Ý³íáñ·ÇïÝ³Ï³Ý ¨ ù³Õ³ù³Ï³Ý ·áñÍÇã ¶ ñ Ç · á ñ Ø ³ · Ç ë ï ñ á ë Á : Ü³,Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇó µ³óÇ, ½µ³Õí»É ¿ Ý³¨ ÷ÇÉÇëá÷³ÛáõÃÛ³Ùµ, Ù³ÝÏ³í³ñ-ÅáõÃÛ³Ùµ, µÅßÏáõÃÛ³Ùµ, ù»ñ³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµ ¨ ³ÛÉÝ:

ÐÇß³ï³ÏáõÃÛ³Ý ³ñÅ³ÝÇ ¿ Ý³¨ Ð á í Ñ ³ Ý Ý » ë ê ³ ñ Ï ³ í ³ · Á(XI–XII ¹³ñ»ñ), áñÁ Õ»Ï³í³ñ»É ¿ Ð³Õå³ïÇ í³ÝùÇ Ñéã³Ï³íáñ¹åñáóÁ: Æñ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý Ñ³Û³óùÝ»ñáí Ý³ »Õ»É ¿ ÑáõÛÝÙ³Ã»Ù³ïÇÏáë Ü Ç Ï á Ù ³ ù á ë Ç (I ¹.) Ñ»ï¨áñ¹Á:

²ÛëåÇëáíª Ñ³Û»ñÁ áã ÙÇ³ÛÝ Ûáõñ³óñ»É »Ý ²é³ç³íáñ ²ëÇ³ÛÇ ¨ÐáõÝ³ëï³ÝÇ ¹³ë³Ï³Ý Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ³í³Ý¹áõÛÃÝ»ñÁ, ³ÛÉ¨½³ñ·³óñ»É »Ý ¹ñ³Ýùª ½·³ÉÇ ³í³Ý¹ Ý»ñ¹Ý»Éáí Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý·ÇïáõÃÛ³Ý Ù»ç:

²Ý³ÝÇ³ ÞÇñ³Ï³óáõ §ÈáõëÝÇ ÷áõÉ»ñÇ ßñç³ÝÁ¦

85

ØºÌàôÂÚàôÜÜºðÆ â²öàôØ

27. â²öØ²Ü ØÆ²ìàðÜºð

²éûñÛ³ ÏÛ³ÝùáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÉÇÝáõÙ ã³÷áõÙÝ»ñ Ï³ï³ñ»Éª ã³÷»Éù³Õ³ùÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ, Ù³ñÙÝÇ ½³Ý·í³ÍÁ Ï³Ù »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ,Å³Ù³Ý³ÏÁ, ß³ñÅÙ³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:

àñå»ë »ñÏ³ñáõÃÛ³Ý ã³÷Ù³Ý ÙÇ³íáñÝ»ñ ³Ù»ÝÇó Ñ³×³Ë ·áñÍ³ÍíáõÙ»Ý ÙÇÉÇÙ»ïñÁ (1 ÙÙ), ë³ÝïÇÙ»ïñÁ (1 ëÙ), ¹»óÇÙ»ïñÁ (1 ¹Ù), Ù»ïñÁ (1 Ù),ÏÇÉáÙ»ïñÁ (1 ÏÙ): Àëï áñáõÙ

1 ëÙ = 10 ÙÙ , 1 ¹Ù = 10 ëÙ ,

1 Ù = 10 ¹Ù , 1 Ù = 100 ëÙ ,

1 ÏÙ = 1000 Ù :

àñå»ë ½³Ý·í³ÍÇ ã³÷Ù³Ý ÙÇ³íáñÝ»ñ ·áñÍ³ÍíáõÙ »Ý ·ñ³ÙÁ (1 ·),ÏÇÉá·ñ³ÙÁ (1 Ï·), ó»ÝïÝ»ñÁ (1 ó), ïáÝÝ³Ý (1 ï): Àëï áñáõÙ

1 Ï· = 1000 · , 1 ó = 100 Ï· , 1 ï = 10 ó , 1 ï = 1000 Ï· :

Ä³Ù³Ý³ÏÇ ã³÷Ù³Ý Ñ³Ù³ñ áñå»ë ÙÇ³íáñÝ»ñ ·áñÍ³ÍíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³ÉÅ³Ù³Ý³Ï³Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁª í³ÛñÏÛ³Ý (1 í), ñáå» (1 ñ), Å³Ù (1 Å), ûñ,ï³ñÇ:

Ø»Ï ï³ñÇÝ ²ñ»·³ÏÇ ßáõñçÁ ºñÏñÇ Ù»Ï åïáõÛï Ï³ï³ñ»Éáõ Å³Ù³Ý³ÏÝ¿: êáíáñ³Ï³Ý ï³ñáõÙ Ï³ 365 ûñ: Ü³Ñ³Ýç ï³ñÇÝ 366 ûñ ¿: ²Û¹åÇëÇÝ »Ý³ÛÝ ï³ñÇÝ»ñÁ, áñáÝó Ýß³Ý³ÏÙ³Ý Ù»ç í»ñçÇÝ »ñÏáõ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ ½ñáÝ»ñ»Ý, Ï³Ù ¹ñ³Ýóáí Ï³½Ùí³Í ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 4-Ç: Ü³Ñ³Ýç ï³ñÇÝ»ñ »Ý,ûñÇÝ³Ï, 1956, 1980, 1996, 2000, 2004 Ãí³Ï³ÝÝ»ñÁ:

Ä³Ù³Ý³ÏÇ ÙÛáõë ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³ñ³-µ»ñ³ÏóáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.

1 ûñ = 24 Å , 1 Å = 60 ñ , 1 ñ = 60 í :

²ñ³·áõÃÛáõÝÁ ã³÷»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ñ³×³Ë ·áñÍ³ÍíáõÙ »Ý ³ñ³·áõÃÛ³ÝÑ»ï¨Û³É ÙÇ³íáñÝ»ñÁª ÏÇÉáÙ»ïñ-Å³Ù (1 ÏÙ/Å), Ù»ïñ-Å³Ù (1 Ù/Å) ¨ Ù»ïñ-í³ÛñÏÛ³Ý (1 Ù/í): ²Ûë ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³ÉÑ³ñ³µ»ñ³ÏóáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.

1 ÏÙ/Å = 1000 Ù/Å, 1 Ù/í = 3600 Ù/Å:

86

ºñÏ³ñáõÃÛ³Ý ¨ ½³Ý·í³ÍÇ ã³÷Ù³Ý ÙÇ³íáñÝ»ñÇ Ù»ç ÑÇÙÝ³Ï³ÝÝ»ñÁÑ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ Ù»ïñÁ ¨ ÏÇÉá·ñ³ÙÝ »Ý: üñ³ÝëÇ³ÛáõÙ` ê¨ñù³Õ³ùáõÙ, ·ïÝíáõÙ ¿ ã³÷»ñÇ ¨ ÏßÇéÝ»ñÇ ÙÇç³½·³ÛÇÝ ·ñ³ë»ÝÛ³ÏÁ:²Ûëï»Õ å³ÑíáõÙ »Ý ÙÇ ÓáÕ, áñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ í»ñóí³Í ¿ áñå»ë 1 Ù,

¨ ÙÇ Ïßé³ù³ñ, áñÇ ½³Ý·í³ÍÁ Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿ 1 Ï·:ÐÇÝ Ð³Û³ëï³ÝáõÙ »ñÏ³ñáõÃÛ³Ý ã³÷Ù³Ý Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ÇÝ

Ûáõñ³Ñ³ïáõÏ ÙÇ³íáñÝ»ñ. ¹ñ³ÝóÇó ¿ÇÝ ÙÕáÝÁ, ³ëå³ñ»½Á (Ý»ï³ÓÇ·Á),ù³ÛÉÁ, áïÁ, Ù³ïÁ: ²Û¹ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ Ùáï³íáñ Ñ³ñ³µ»ñ³ÏóáõÃÛáõÝÁ»ñÏ³ñáõÃÛ³Ý ã³÷Ù³Ý Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó ÙÇ³íáñÝ»ñÇ Ñ»ï Ñ»ï¨Û³ÉÝ ¿. 1 ÙÕáÝÁ1598 Ù ¿, 1 ³ëå³ñ»½Áª 228 Ù, 1 ù³ÛÉÁª 1 Ù 50 ëÙ, 1 áïÁª 25 ëÙ, 1 Ù³ïÁª 1 ëÙ6 ÙÙ: VII ¹³ñáõÙ Ñ³ÛïÝÇ ¨ ÙÇÝã¨ XIX ¹³ñÇ í»ñç»ñÁ û·ï³·áñÍíáÕ ÙÇ³íáñ¿ñ Ï³Ý·áõÝÁ, áñÁ Ùáï³íáñ³å»ë 76 ëÙ ¿:

560. Âí³ñÏ»°ù »ñÏ³ñáõÃÛ³Ý ã³÷Ù³Ý ÙÇ³íáñÝ»ñÁ:561. Âí³ñÏ»°ù ½³Ý·í³ÍÇ ã³÷Ù³Ý ÙÇ³íáñÝ»ñÁ:562. Âí³ñÏ»°ù Å³Ù³Ý³ÏÇ ã³÷Ù³Ý ÙÇ³íáñÝ»ñÁ:563. Âí³ñÏ»°ù ³ñ³·áõÃÛ³Ý ã³÷Ù³Ý ÙÇ³íáñÝ»ñÁ:564. ø³ÝÇ± Ù»ïñ »Ý 10000 ëÙ¬Á, 1000000 ÙÙ¬Á:565. ø³ÝÇ± ë³ÝïÇÙ»ïñ Ï³ 1 ÏÙ¬áõÙ:566. ¸»óÇÙ»ïñ»ñáí ¨ ë³ÝïÇÙ»ïñ»ñáí ³ñï³Ñ³Ûï»°ù`

³) 29 ëÙ-Á, µ) 57 ëÙ-Á, ·) 94 ëÙ-Á:567. ÎÇÉáÙ»ïñ»ñáí ¨ Ù»ïñ»ñáí ³ñï³Ñ³Ûï»°ù`

³) 1837 Ù-Á, µ) 3805 Ù-Á, ·) 18569 Ù-Á:568. ø³ÝÇ± ÏÇÉá·ñ³Ù »Ý 10000 ·ñ³ÙÁ, 1000 ·ñ³ÙÁ:569. ø³ÝÇ± ó»ÝïÝ»ñ Ï³ 2 ïáÝÝ³ÛáõÙ:570. ²ñï³Ñ³Ûï»°ù ·ñ³ÙÝ»ñáí.

³) 2 Ï·, ·) 5 ó, ») 3 ó 18 Ï·,µ) 1 Ï· 50 ·, ¹) 6 ï, ½) 8 ï 9 ó 25 Ï·:

571. ø³ÝÇ± ³Ý·³Ù ¿ 50 ·ñ³ÙÁ ÷áùñ 1 ïáÝÝ³ÛÇó:572. ø³ÝÇ± ñáå» ¿ 5 ûñ 6 Å³ÙÁ:573. ø³ÝÇ± Å³ÙÝ ¿ Ï³½ÙáõÙ 300 ûñ:574. ø³ÝÇ± ³Ý·³Ù ¿ 20 Å³ÙÁ ³í»ÉÇ 5 ñáå»Çó:575. Ð³ßí»°ù.

³) 8 Ù 3 ëÙ 1 ÙÙ + 20 ëÙ 9 ÙÙ, ¹) 8 ó 39 Ï· + 1 ï 9 ó 70 Ï·,µ) 1 ÏÙ 300 Ù + 8 ÏÙ 4 Ù 30 ëÙ, ») 3 Å 20 ñ 30 í + 50 ñ 30 í,·) 1 ï 3 ó 4 Ï· + 10 ï 30 Ï·, ½) 8 Å 30 í – 5 Å 15 í:

576. ¶Ý³óùÁ Ï³Û³ñ³ÝÇó ¹áõñë »Ï³í Å. 6.40¬ÇÝ ¨ ï»Õ Ñ³ë³í ÝáõÛÝ ûñÁªÅ. 20.15¬ÇÝ: ÆÝãù³±Ý Å³Ù³Ý³Ï ¿ñ ·Ý³óùÁ ·ïÝíáõÙ ×³Ý³å³ñÑÇÝ:

577. ØÇ ÓÙ»ñáõÏÇ ½³Ý·í³ÍÁ 4 Ï· 700 · ¿, ÙÛáõëÇÝÁª »ñÏáõ ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ:àñù³±Ý ¿ »ñÏáõ ÓÙ»ñáõÏÝ»ñÇ ½³Ý·í³ÍÁ:

87

¶ï»°ù ûñÇÝ³ã³÷áõÃÛáõÝÁ ¨ ·ñ»°ù µ³óÃáÕÝí³Í ÃÇíÁ:

578. ÆÝùÝ³ÃÇéÁ ÃéãáõÙ ¿ 720 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ: ø³ÝÇ± ÏÇÉáÙ»ïñ Ï³ÝóÝÇÇÝùÝ³ÃÇéÁ 1 ñáå»áõÙ ¨ ù³ÝÇ± Ù»ïñ` 1 í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ:

579. ø³Ùáõ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 5 Ù/í ¿: ÆÝãù³±Ý ÏÉÇÝÇ Ýñ³ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ` ³ñï³-Ñ³Ûïí³Í ÏÇÉáÙ»ïñ-Å³Ù»ñáí:

580. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) (796+ 160) : 956, ») (16334 – 274) : 803,µ) (2234 + 22) : 24, ½) (1806 – 959) : 7,·) (5795 + 55) : 234, ¿) (9848 – 512) : 389,¹) (517 + 15) : 14, Á) (1121 – 679) : 13:

581. ¶ñ»°ù ÛáÃ ÑÝ·³ÝÇß ÃÇí 3 ¨ 0 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ¨ ³Û¹ Ãí»ñÁ ¹³ë³íáñ»°ùÝí³½Ù³Ý Ï³ñ·áí:

582. Âí³Ýß³ÝÝ»ñáí ¨ Ñ³Ù»Ù³ïÙ³Ý Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñ»°ù.³) »ñÏáõ Ñ³ñÛáõñ »ñÏáõëÁ Ù»Í ¿ Ñ³ñÛáõñÇó.µ) ù³é³ëáõÝÑÇÝ·Á ÷áùñ ¿ áõÃ Ñ³ñÛáõñ ù³é³ëáõÝ»ñÏáõëÇó:

583. ÐÇÝ· Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 960 ¿: ²é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 400 ¿,ãáññáñ¹ ¨ ÑÇÝ·»ñáñ¹ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁª 387: ¶ï»°ù »ññáñ¹ ÃÇíÁ:

584. Æ±Ýã ÃÇí å»ïù ¿ ·ñ»É ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý, áñå»ë½Ç Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ×Çßï ÉÇÝÇ.

³) 9 ⋅ ∗ + 1 = 10, ·) 8 = 3 ⋅ ∗ + 2, ») 7 ⋅ ∗ + 6 = 27,µ) 6 + ∗ = 17, ¹) 15 = 4 ⋅ ∗ + 3, ½) 38 = 5 ⋅ ∗ + 3:

585. Î³éáõóí³Í ß»Ýù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ Ï³ 8 µÝ³Ï³ñ³Ý: ´áÉáñµÝ³Ï³ñ³ÝÝ»ñÁ »ñ»ùë»ÝÛ³Ï³Ýáó »Ý: ²Û¹ ß»Ýù»ñáõÙ ë»ÝÛ³ÏÝ»ñÇÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ù³Ý³ÏÁ 720 ¿: ø³ÝÇ± ß»Ýù ¿ Ï³éáõóí³Í:

586. Ø»Í ÙÇç³½·³ÛÇÝ û¹³Ý³í³Ï³Û³ÝáõÙ ³é³íáïÛ³Ý Ï³Ý·Ý³Í ¿ñ 107û¹³Ý³í: Î»ëûñÇÝ ¹ñ³Ýó ù³Ý³ÏÁ ¹³ñÓ³í 125: ø³ÝÇ± û¹³Ý³í ¿ñí³Ûñ¿çù Ï³ï³ñ»É û¹³Ý³í³Ï³Û³ÝáõÙ ³é³íáïÇó ÙÇÝã¨ Ï»ëûñ, »Ã»³Û¹ Å³Ù³Ý³Ï³ÙÇçáóáõÙ û¹³Ý³í³Ï³Û³ÝÇó Ãé»É ¿ñ 22 û¹³Ý³í:

587. 60 ¨ 30 Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ¨ 20-Ç ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ßí»É »ñ»ù»Õ³Ý³Ïáíª Ï³°Ù 20¬Á Ñ³Ý»Éáí ·áõÙ³ñÇó, Ï³°Ù 20¬Á Ñ³Ý»Éáí·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇó ¨ ³å³ Ï³ï³ñ»Éáí ·áõÙ³ñáõÙÁ: ø³ÝÇ±»Õ³Ý³Ïáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ßí»É 60 ¨ 30 Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ¨ 70¬Çï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ± »Õ³Ý³Ïáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ßí»É ³Û¹ ÝáõÛÝ Ãí»ñÇ·áõÙ³ñÇ ¨ 40¬Ç ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:

588. ²é³çÇÝ ïáõ÷áõÙ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹Çó 10-áí ³í»ÉÇ Ù³ïÇï,»ññáñ¹ ïáõ÷áõÙ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ 10 Ù³ïÇï, ÇëÏ ãáññáñ¹áõÙª »ññáñ¹Çó³ÛÝù³Ýáí ³í»ÉÇ, ù³ÝÇ Ù³ïÇï áñ Ï³ »ñÏñáñ¹ ïáõ÷áõÙ: Ð³í³ë³ñÏÉÇÝ»±Ý ³ñ¹Ûáù ³é³çÇÝ ¨ ãáññáñ¹ ïáõ÷»ñáõÙ ï»Õ³íáñíáÕÙ³ïÇïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ»ñÁ:

88

28. Ð²îì²Ì ºì Üð² ºðÎ²ðàôÂÚàôÜÀ

Î³Ý µ³½Ù³ÃÇí ³é³ñÏ³Ý»ñ, áñáÝù µÝáõÃ³·ñáÕ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù»Íáõ-ÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ ¿: úñÇÝ³Ïª ÉáõóÏáõ Ñ³ïÇÏÁ, Ù»ï³Õ³É³ñÇáõÕÇÕ ÏïáñÁ, Ù³ïÇïÁ (ï»°ë ÝÏ. 10): ºÃ» Ñ»ï³ùñùñíáõÙ »Ý ³Û¹åÇëÇ³é³ñÏ³Ý»ñÇ ÙÇ³ÛÝ »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ, ÇëÏ Ýñ³Ýó ÙÛáõë Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ(·áõÛÝÁ, ÏßÇéÁ, É³ÛÝáõÃÛáõÝÁ ̈ ³ÛÉÝ) Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³Ýï»ë»É, ³å³ ³Û¹ ³é³ñÏ³Ý»ñÁÑ³ñÙ³ñ ¿ å³ïÏ»ñ»É Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ ï»ëùáí (ï»°ë ÝÏ. 11): Ð³ïí³ÍÝ»ñÁ³Ýí³Ý»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ýñ³Ýó Í³Ûñ³Ï»ï»ñÁ ÝßáõÙ »Ý É³ïÇÝ»ñ»Ý A, B, C, D, E,F ... ï³é»ñáí ¨ ûñÇÝ³Ïª ³ëáõÙ »Ý` AB Ñ³ïí³Í, CD Ñ³ïí³Í:

Ð³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ ã³÷»Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍáõÙ »Ý ù³ÝáÝ:ø³ÝáÝÁ ï»Õ³¹ñáõÙ »Ý Ñ³ïí³ÍÇÝ ½áõ·³Ñ»é ³ÛÝå»ë, áñ ù³ÝáÝÇ ë³Ý¹Õ³ÏÇëÏÇ½µÁ ÉÇÝÇ Ñ³ïí³ÍÇ ÙÇ Í³Ûñ³Ï»ïÇ ¹ÇÙ³ó: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ÙÛáõë Í³Ûñ³Ï»ïÇ¹ÇÙ³óÇ ·ÍÇÏÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ÏÉÇÝÇ Ñ³ïí³ÍÇ»ñÏ³ñáõÃÛ³ÝÁ: êáíáñ³µ³ñ Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³Ï»Éáõ Ñ³Ù³ñ·áñÍ³ÍáõÙ »Ý »ñÏáõ ·ÍÇÏ: úñÇÝ³Ïª »Ã» AB Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 4 ëÙ ¿,³å³ ·ñáõÙ »Ýª ⎢AB ⎢ = 4 ëÙ:

Üß»Ýù Ñ³ïí³ÍÇ Ñ»ï¨Û³É ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ.Ð³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ ÙÇßï ÷áùñ ¿ Ýñ³ Í³Ûñ³Ï»ï»ñÁ ÙÇ³óÝáÕ

ó³ÝÏ³ó³Í áõñÇß ·ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÇó:ºñÏáõ Ï»ï»ñÁ ÙÇ³óÝáÕ Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ Ï»ï»ñÇ

Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝ: Ð»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, »Ã» Ù»Í ã»Ý, ã³÷íáõÙ »Ý ù³ÝáÝáíÏ³Ù Ù»ïñáí: Ø»Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ã³÷»Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍáõÙ »ÝÑ³ïáõÏ ë³ñù»ñ:

589. ÆÝãå»±ë »Ý ã³÷áõÙ Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ:590. î»ïñáõÙ Ýß»°ù 5 Ï»ïª A, B, C, D, E: Î»ï»ñÁ ÙÇ³óñ»°ù Ñ³ïí³ÍÝ»ñáí:

²ë»°ù ëï³óí³Í Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ ³Ýí³ÝáõÙÝ»ñÁ: ø³ÝÇ± Ñ³ïí³Í ¿ ëï³ó-í»É:

ÜÏ. 10 ÜÏ. 11

89

591. ¶Í»°ù ÙÇ AB Ñ³ïí³Í ¨ Ýß»°ù áñ¨¿ 3 Ï»ï, áñáÝù ·ïÝíáõÙ »Ý ³Û¹Ñ³ïí³ÍÇ íñ³, ¨ áñ¨¿ 4 Ï»ï, áñáÝù ³Û¹ Ñ³ïí³ÍÇ íñ³ ã»Ý ·ïÝíáõÙ:

591. ÂÕÃÇ íñ³ Ýß»°ù áñ¨¿ A, B, C, D Ï»ï»ñ ¨ ã³÷»°ù AB, BC, CD, DA ¨ DBÑ³ïí³ÍÝ»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

593. ¶Í»°ù ÙÇ CD Ñ³ïí³Í, áñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ 25 ÙÙ:594. â³÷»°ù ¨ ·ñ»°ù 11¬ñ¹ ÝÏ³ñáõÙ å³ïÏ»ñí³Í Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ »ñÏ³ñáõ-

ÃÛáõÝÝ»ñÁ:595. ¶Í»°ù ÙÇ Ñ³ïí³Í, áñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 2 ëÙ¬áí Ù»Í ÉÇÝÇ AB Ñ³ïí³ÍÇ

»ñÏ³ñáõÃÛáõÝÇó (ï»°ë ÝÏ. 11):596. ¶Í»°ù ÙÇ Ñ³ïí³Í, áñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 1 ëÙ¬áí ÷áùñ ÉÇÝÇ CD Ñ³ïí³ÍÇ

»ñÏ³ñáõÃÛáõÝÇó (ï»°ë ÝÏ. 11):597. ¶Í»°ù ÙÇ Ñ³ïí³Í, áñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù Ù»Í ÉÇÝÇ EF

Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÇó (ï»°ë ÝÏ. 11):598. ¶Í»°ù ³ÛÝåÇëÇ MN ¨ KL Ñ³ïí³ÍÝ»ñ, áñáÝù µ³í³ñ³ñ»Ý Ñ»ï¨Û³É

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. ⎢MN ⎢= 3 ëÙ 7 ÙÙ, ⎢KL ⎢ = 5 ëÙ 2 ÙÙ:599. P Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ MN Ñ³ïí³ÍÇ íñ³: Ð³ÛïÝÇ ¿, áñ MP Ñ³ïí³ÍÇ

»ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ÷áùñ ¿ PN Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÇó:àñù³±Ý ¿ MN Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ⎢MP ⎢= 4 ëÙ:

600. Âí³Ýß³ÝÝ»ñÇó ù³ÝÇ±ëÁ ã»Ý ·áñÍ³ÍíáõÙ Ï³ñ·³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ·ñ³-éáõÙÝ»ñáõÙ:

601. ä³ñ½»°ù, Ã» ×Çßï ¿ ³ñ¹Ûáù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.³) 564 + 893 > 4808 – 3291, ·) 18000 – 16297 – 831 > 29077 – 25888,µ) 25614 – 586 < 36442 – 4239, ¹) 43508 – 39233 < 56727 + 2035 – 55444:

602. ºÃ» ÃÇíÁ ·áõÙ³ñ»Ýù ÇÝùÝ Çñ»Ý ¨ ³í»É³óÝ»Ýù 15, Ïëï³Ý³Ýù 137: à±ñÝ¿ ³Û¹ ÃÇíÁ:

603. ¶ñ»°ù ³ÛÝ µáÉáñ ÙÝ³óáñ¹Ý»ñÁ, áñáÝù Ï³ñáÕ »Ý ëï³óí»É Ãí»ñÁ 3-Ç,8-Ç, 12-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë:

604. ²ñï³Ñ³Ûï»°ù`³) ÙÇÉÇÙ»ïñ»ñáí. 1 ÏÙ 800 Ù 25 ëÙ,µ) í³ÛñÏÛ³ÝÝ»ñáí. 3 Å 15 ñ 35 í:

605. Ð³Ù»Ù³ï»°ù.³) 85 ÏÙ ¨ 850000000 ÙÙ, ¹) 157 ó ¨ 15 ï 70 Ï·,µ) 617 ëÙ ¨ 61 Ù 7 ëÙ, ») 1326517000 · ¨ 1ï 326 Ï· 517 ·,·) 2525 ¹Ù ¨ 25 Ù 25 ëÙ 25 ÙÙ, ½) 6754 Ï· 50· ¨ 6 ï 7 ó 5 Ï· 450 ·:

606. ¼µáë³ßñçÇÏÁ áñáß Å³Ù³Ý³Ï ù³ÛÉáõÙ ¿ñ 4 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ¨ ³Ýó³í20 ÏÙ: ø³ÝÇ± ÏÇÉáÙ»ïñ Ï³ÝóÝ»ñ Ý³ ÝáõÛÝù³Ý Å³Ù³Ý³ÏáõÙ, »Ã» ù³ÛÉ»ñ5 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ:

90

607. ºñ»ù ·ñ³¹³ñ³ÏÝ»ñáõÙ ¹ñí³Í »Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ 42, 26 ¨ 37·ñù»ñ: ²é³çÇÝ ·ñ³¹³ñ³ÏÇó 7 ·Çñù ï»Õ³÷áË»É »Ý »ñÏñáñ¹Á: ø³ÝÇ±·Çñù å»ïù ¿ »ññáñ¹ ·ñ³¹³ñ³ÏÇó ï»Õ³÷áË»É »ñÏñáñ¹Á, áñå»ë½Ç»ñ»ù ·ñ³¹³ñ³ÏÝ»ñáõÙ Ñ³í³ë³ñ ù³Ý³ÏÝ»ñáí ·ñù»ñ ÉÇÝ»Ý:

608. ´áõÛëÇ ³×Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÙÇë Ù»Í³ÝáõÙ ¿ 1 ëÙ-áí: Æ±Ýã»ñÏ³ñáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ µáõÛëÁ 4 ³ÙÇë ³Ýó, »Ã» ³é³çÇÝ ³ÙëáõÙ Ýñ³µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 3 ëÙ-Çó ¹³ñÓ»É ¿ 4 ëÙ:

Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ í³Ý¹³ÏáõÙÏ³°Ù ³Ï³Ý Ï³, Ï³°Ù ·ñí³Í ¿ ÙÇÃÇí, áñÁ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë, Ã» ù³ÝÇ³Ï³Ý Ï³ Ñ³ñ¨³Ý í³Ý¹³ÏÝ»ñáõÙ:

ä³ñ½»°ù, Ã» ¹³ï³ñÏ í³Ý¹³ÏÝ»ñÇóáñáÝóáõÙ ³Ï³ÝÝ»ñ Ï³Ý, ¨ ÇÝã Ãí»ñåÇïÇ ·ñí³Í ÉÇÝ»Ý ÙÝ³ó³ÍÝ»ñáõÙ:

29. Ö²è²¶²ÚÂ, àôÔÆÔ, Ð²ðÂàôÂÚàôÜ

Ü³Û»°ù 12¬ñ¹ ÝÏ³ñÇÝ. ³Ûëï»Õ å³ïÏ»ñí³Í ¿ áõÕÇÕ ×³Ý³å³ñÑ, áñÁÓ·íáõÙ ¿ ÙÇÝã¨ ÑáñÇ½áÝÁ: ÂíáõÙ ¿, Ã» ×³Ý³å³ñÑÇ »½ñ»ñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »ÝÙÇ Ï»ïáõÙ, áñÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ÑáñÇ½áÝÇ íñ³ ¨ µ³Å³ÝáõÙ ¿ ³ÛÝ »ñÏáõ áõÕÇÕ·Í»ñÇ, áñáÝù ëÏÇ½µ áõÝ»Ý ³Û¹ Ï»ïáõÙ, µ³Ûó í»ñç ãáõÝ»Ý: ÆëÏ ÑáñÇ½áÝÝ ÇÝùÁÁÝÏ³ÉíáõÙ ¿ áñå»ë ÙÇ áõÕÇÕ ·ÇÍ, áñÁ ãáõÝÇ á°ã ëÏÇ½µ, á°ã í»ñç:

²ÛÝ áõÕÇÕ ·ÇÍÁ, áñÝ áõÝÇ ëÏÇ½µ, µ³Ûó ãáõÝÇ í»ñç, ÏáãíáõÙ ¿ ×³é³·³ÛÃ,ÇëÏ ³ÛÝ áõÕÇÕ ·ÇÍÁ, áñÁ ãáõÝÇ á°ã ëÏÇ½µ, á°ã ¿É í»ñç, ÏáãíáõÙ ¿ áõÕÇÕ:

ÜÏ. 12

91

ÜÏ. 15

Ö³é³·³ÛÃÝ»ñÁ ï³ñµ»ñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ·áñÍ³ÍáõÙ »Ý É³ïÇÝ»ñ»Ý ï³é»ñ,áñáÝóáí Ýß³Ý³ÏíáõÙ »Ý ×³é³·³ÛÃÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ï»ñÁ. ³ëáõÙ »Ýª A ×³-é³·³ÛÃ, B ×³é³·³ÛÃ (ï»°ë ÝÏ. 13) ¨ ³ÛÉÝ:

àõÕÇÕÝ»ñÁ ï³ñµ»ñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ·áñÍ³ÍáõÙ »Ý »ñÏáõ ï³é, áñáÝóáíÝß³Ý³ÏíáõÙ »Ý áõÕÕÇ áñ¨¿ »ñÏáõ Ï»ï»ñ. ³ëáõÙ »Ýª AB áõÕÇÕ, CD áõÕÇÕ:²Û¹åÇëÇ Ýß³Ý³ÏáõÙÁ Ñ³ñÙ³ñ ¿, ù³ÝÇ áñ »ñÏáõ Ï»ïáí Ï³ñáÕ ¿ ³ÝóÝ»É ÙÇ³ÛÝÙ»Ï áõÕÇÕ:

Ø»Ýù ³ëáõÙ »Ýù, áñ ³Ûë Ï³Ù ³ÛÝ ³é³ñÏ³Ý Ñ³ñÃ ¿, »Ã» ³ÛÝ ÝÙ³ÝíáõÙ ¿,ûñÇÝ³Ï, ë»Õ³ÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇÝ, ÃÇÃ»ÕÇ Ã»ñÃÇ Ï³Ù ëïí³ñ³ÃÕÃÇ ÏïáñÇ:²Û¹ µáÉáñ ³é³ñÏ³Ý»ñÁ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ áõÝ»Ý: ê³Ï³ÛÝ »ñµ»ÙÝ Ñ³ñÃ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃ-Ý»ñÁ Ù»½ ³ÝÍ³Ûñ³ÍÇñ, ³ÛëÇÝùÝª ë³ÑÙ³Ý ãáõÝ»óáÕ »Ý ÃíáõÙ: ²Û¹åÇëÇ ïå³-íáñáõÃÛáõÝ ¿ ÃáÕÝáõÙ, ûñÇÝ³Ï, ÍáíÇ Ë³Õ³Õ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ Ý³í³·Ý³óÝ»ñÇíñ³: àñå»ë ³Ýë³ÑÙ³Ý Ñ³ñÃ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃ ¿ ÷éíáõÙ ³Ý³å³ïÁ ù³ñ³í³ÝÁùßáÕ áõÕï³å³ÝÝ»ñÇ ³éç¨ (ï»°ë ÝÏ. 15):

²Û¹åÇëÇ Ñ³ñÃ, ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ ãáõÝ»óáÕ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »ÝÑ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñ:

Ð³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ýß»É Ï»ï»ñ, ·Í»É Ñ³ïí³ÍÝ»ñ, ×³é³·³ÛÃÝ»ñ,áõÕÇÕÝ»ñ, ÇÝãå»ë Ý³¨ ³ÛÉ å³ïÏ»ñÝ»ñ: Ð³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ·ïÝíáÕ »ñÏáõáõÕÇÕÝ»ñ Ï³°Ù Ñ³ïíáõÙ »Ý, Ï³°Ù áã (ï»°ë ÝÏ. 16): ØÇ¨ÝáõÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁå³ïÏ³ÝáÕ »ñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñÁ, áñáÝù ã»Ý Ñ³ïíáõÙ, ÏáãíáõÙ »Ý ½áõ·³Ñ»éáõÕÇÕÝ»ñ: ¼áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÇ ïå³íáñáõÃÛáõÝ »Ý ÃáÕÝáõÙ, ûñÇÝ³Ï,»ñÏ³ÃáõÕ³·Í»ñÁ, ¿É»Ïïñ³Ñ³Õáñ¹Ù³Ý É³ñ»ñÁ, áõÕÇÕ Ë×áõÕáõ »½ñ»ñÁ:

ÜÏ. 13 ÜÏ. 14

92

²í»ÉÇ ù³Ý ÑÇÝ· Ñ³½³ñ ï³ñÇ ³é³çº·ÇåïáëáõÙ, ØÇç³·»ïùáõÙ ¨ ³ÛÉ í³Ûñ»ñáõÙÑáÕ³µ³Å³ÝáõÙ ³Ý»ÉÇë ã³÷áõÙÝ»ñ ¿ÇÝÏ³ï³ñáõÙ: ²ñ¹»Ý Ñ³ïí³ÍÇ å³ñ½ ã³÷Ù³Ý

Å³Ù³Ý³Ï Ù³ñ¹ÇÏ ÃÇíÁ ½áõ·³¹ñ»É »Ý »ñÏñ³ã³-÷áõÃÛ³Ý áõëáõÙÝ³ëÇñáõÃÛ³Ý ³é³ñÏ³ÛÇª Ñ³ïí³-ÍÇÝ: ²Ûëï»Õ Ãí³µ³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝÁÙÇ³ëÝ³µ³ñ »Ý Ñ³Ý¹»ë »Ï»É: ¸³ Ýå³ëï»É ¿Ãí³µ³ÝáõÃÛ³Ý ¨ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý ÷áË³¹³ñÓÑ³ñëï³óÙ³ÝÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨ Ýñ³Ýó Ñ»ï³·³ ½³ñ·³óÙ³ÝÁ:

609. Ð³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ á±ñ áõÕÇÕÝ»ñÝ »Ý ÏáãíáõÙ ½áõ·³Ñ»é:610. Î³ñá±Õ »Ý ³ñ¹Ûáù ÙÇ Ï»ïÇó ëÏÇ½µ ³éÝ»É ÙÇ ù³ÝÇ ×³é³·³ÛÃÝ»ñ:

611. î»ïñáõÙ Ýß»°ù áñ¨¿ »ñÏáõ Ï»ï: ²å³ ·Í»°ù ³Û¹ Ï»ï»ñÇó Ù»ÏáõÙëÏ½µÝ³íáñíáÕ ¨ ÙÛáõëáí ³ÝóÝáÕ×³é³·³ÛÃ:

612. ¶Í»°ù »ñÏáõ ×³é³·³ÛÃ ³ÛÝå»ë, áñÝñ³Ýù Ù»Ï ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ï»ï áõÝ»Ý³Ý:

613. î»ïñáõÙ Ýß»°ù áñ¨¿ »ñÏáõ Ï»ï: ²Û¹Ï»ï»ñáí áõÕÇ°Õ ï³ñ»ù: ø³ÝÇ± áõÕÇÕÏ³ñ»ÉÇ ¿ ï³Ý»É »ñÏáõ Ï»ïáí:

614. Üßí³Í Ï»ï»ñÇó (ÝÏ. 17) áñá±Ýù »Ýå³ïÏ³ÝáõÙ AB áõÕÕÇÝ, ¨ áñá±Ýùª CDáõÕÕÇÝ:

615. àñ¨¿ Ï»ïáí ï³ñ»°ù »ñÏáõ ï³ñµ»ñáõÕÇÕÝ»ñ: ²Û¹ Ï»ïáõÙ ëÏ½µÝ³íáñíáÕù³ÝÇ± ×³é³·³ÛÃ ëï³óí»ó:

616. ¶Í»°ù ÙÇ áõÕÇÕ ¨ Ýñ³ íñ³ Ýß»°ù áñ¨¿»ñÏáõ Ï»ï: ø³ÝÇ± Ñ³ïí³Í ¨ ù³ÝÇ±×³é³·³ÛÃ ëï³óí»ó:

ÜÏ. 17

ÜÏ. 16

Ð³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ·ïÝíáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ å³ïÏ»ñ ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏñ³-ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñ: Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇ ³ÛÝ µ³ÅÇÝÁ, áñÝ áõëáõÙÝ³ëÇñáõÙ ¿»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÝ»ñÁ ¨ Ýñ³Ýó Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏñ³-ã³÷áõÃÛáõÝ:

93

617. ´»ñ»°ù Ñ³ñÃ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñÇ ÙÇ ù³ÝÇ ûñÇÝ³Ï:618. ø³ÝÇ± Ñ³ñÃ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃ áõÝÇ ³ÕÛáõëÁ:619. ø³ÝÇ± Ñ³ñÃ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇó ¿ Ï³½Ùí³Í ëáíáñ³Ï³Ý ³Ïí³ñÇáõÙÁ:620. ¼áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÇó Ù»ÏÇ íñ³ í»ñóÝ»Ýù A ¨ B Ï»ï»ñÁ, ÙÛáõëÇ íñ³` A°

¨ B° Ï»ï»ñÁ: Î³ñá±Õ »Ý ³ñ¹Ûáù AB ¨ A°B° Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁ Ñ³ïí»É:

621. ÂÇíÁ, áñÇ ·ñ³éáõÙÝ ³í³ñïíáõÙ ¿ 7 Ãí³Ýß³Ýáí, Ù»Í ¿ 312-Çó ¨ ÷áùñ¿ 326-Çó: à±ñÝ ¿ ³Û¹ ÃÇíÁ:

622. Ð»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÝ»ñÇó áñá±Ýù »Ý ×Çßï.³) ºÃ» Ýí³½»ÉÇÝ Ù»Í³óíÇ 20-áí, ÇëÏ Ñ³Ý»ÉÇÝ ÃáÕÝíÇ ³Ý÷á÷áË,

³å³ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏÙ»Í³Ý³ 20-áí:µ) ºÃ» ¨° Ýí³½»ÉÇÝ, ¨° Ñ³Ý»ÉÇÝ Ù»Í³óí»Ý 20-áí, ³å³ ï³ñµ»ñáõ-

ÃÛáõÝÁ ãÇ ÷áËíÇ:·) ºÃ» Ýí³½»ÉÇÝ ÃáÕÝíÇ ³Ý÷á÷áË, ÇëÏ Ñ³Ý»ÉÇÝ ÷áùñ³óíÇ 20-áí,

³å³ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ Ï÷áùñ³Ý³ 20-áí:¹) ºÃ» Ýí³½»ÉÇÝ ÃáÕÝíÇ ³Ý÷á÷áË, ÇëÏ Ñ³Ý»ÉÇÝ Ù»Í³óíÇ 20-áí,

³å³ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏÙ»Í³Ý³ 20-áí:623. ²é³í»É Ñ³ñÙ³ñ »Õ³Ý³Ïáí Ñ³ßí»°ù µáÉáñ ÙÇ³ÝÇß Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:624. ú·ï³·áñÍ»Éáí µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý µ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ` ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ

Ý»ñÏ³Û³óñ»°ù »ñÏáõ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»ëùáí.³) 19 ⋅ 6 – 19 ⋅ 4, ·) 29 ⋅ 11 – 29 ⋅ 9,µ) 73 ⋅ 8 – 73 ⋅ 7, ¹) 41 ⋅ 40 – 41 ⋅ 39:

625. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) (4259472 + 6944) : (8617 – 1691),µ) (15658 + 1024) : (1024 – 1005),·) (112485 + 4251) : (505 – 391),¹) (9036980 + 8012) : (9396 – 563):

626. ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý 497, 200, 325, 183, 523 Ãí»ñÇó áñá±Ýù ·ñ»Éáõ¹»åùáõÙ ∗ – 125 > 228 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ÏÉÇÝÇ:

627. ²ñï³Ñ³Ûï»°ù`³) ·ñ³ÙÝ»ñáí. 1 ï, 15 ó, 4 ó 18 Ï·, 10 Ï· 17 ·.µ) ÏÇÉá·ñ³ÙÝ»ñáí. 23 ó 4 Ï·, 18 ï 7 ó 31 Ï·.·) ÏÇÉá·ñ³ÙÝ»ñáí ¨ ·ñ³ÙÝ»ñáí. 10356 ·, 1834679 ·.¹) ïáÝÝ³Ý»ñáí ¨ ÏÇÉá·ñ³ÙÝ»ñáí. 56389 Ï·, 7625991 Ï·, 1327 ó.») ë³ÝïÇÙ»ïñ»ñáí. 15 Ù 4 ëÙ, 325 Ù 44 ëÙ, 17 ¹Ù 5 ëÙ.½) Ù»ïñ»ñáí. 3 ÏÙ 156 Ù, 130 ÏÙ 99 Ù, 180 ¹Ù.¿) Ù»ïñ»ñáí ¨ ë³ÝïÇÙ»ïñ»ñáí. 65442 ëÙ, 3256 ëÙ, 73851 ¹Ù.Á) ÏÇÉáÙ»ïñ»ñáí ¨ Ù»ïñ»ñáí. 256397 Ù, 563996632 Ù, 876630 ¹Ù:

94

628. ÀÝ¹³Ù»ÝÁ ù³ÝÇ± Ñ³ïí³Í ¿ å³ïÏ»ñí³Í (ï»ë° ÝÏ. 18):

629. ¶Í»°ù 12 ëÙ »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ ÙÇ AB Ñ³ïí³Í: Üñ³ íñ³ Ýß»°ù áñ¨¿ C Ï»ï:êïáõ·»°ù, áñ ⏐AC⏐ + ⏐CB⏐ = ⏐AB⏐:

630. Ð³ÛïÝÇ ¿, áñ ⏐AB⏐ = 8 ëÙ, ⏐BC⏐ = 4 ëÙ (ï»°ë ÝÏ. 19): ¶ï»°ù AC Ñ³ïí³ÍÇ»ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ:

631. A ¨ B ù³Õ³ùÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 140 ÏÙ ¿: Ð»Í³Ýíáñ¹Á A¬Çó B·Ý³ÉÇë ëÏ½µáõÙ ß³ñÅíáõÙ ¿ñ 25 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ: ²ÛÝ å³ÑÇÝ, »ñµÝñ³Ý ÙÝáõÙ ¿ñ ³ÝóÝ»Éáõ 15 ÏÙ, Ý³ ÷áË»ó ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ± Å³Ù ¿ñÑ»Í³Ýíáñ¹Ý ÁÝÃ³ó»É 25 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ:

632. ºñÏáõ µñÇ·³¹Ý»ñ, ÙÇ³ëÇÝ ³ßË³ï»Éáí, å³ïñ³ëï»É »Ý 240 ³Ãáé: ØÇµñÇ·³¹Á å³ïñ³ëï»É ¿ ûñ³Ï³Ý 26 ³Ãáé, ÙÛáõëÁ` 22: ÀÝ¹³Ù»ÝÁ ù³ÝÇ±³Ãáé ¿ å³ïñ³ëï»É µñÇ·³¹Ý»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ:

îÕ³Ý ³ëáõÙ ¿ . §ºñ»Ï ã¿ ³é³çÇÝ ûñÁ »ë 10 ï³ñ»Ï³Ý ¿Ç, ÇëÏ ÙÛáõë

ï³ñÇ »ë Ï¹³éÝ³Ù 13 ï³ñ»Ï³Ý¦: Î³ñá±Õ ¿ ³Û¹åÇëÇ µ³Ý å³ï³Ñ»É:

ÜÏ. 19

µ)³)

ÜÏ. 18

30. ê²Ü¸Ô²ÎÜºð ºì Îààð¸ÆÜ²î²ÚÆÜ Ö²è²¶²ÚÂ

Ø»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ã³÷Ù³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ ³ÏÝ³éáõ Ï»ñåáí Ý»ñÏ³Û³óÝ»ÉáõÑ³Ù³ñ ÏÇñ³éíáõÙ »Ý ë³Ý¹Õ³ÏÝ»ñÁ: ê³Ý¹Õ³ÏÇ ³Ù»Ý³å³ñ½ ï»ë³ÏÁ áõÕÕÇÑ³ïí³Í ¿, áñÁ ·ÍÇÏÝ»ñáí µ³Å³Ýí³Í ¿Ñ³í³ë³ñ Ù³ë»ñÇ (ï»°ë ÝÏ. 20): ê³Ý¹Õ³ÏÇÑ³ñ¨³Ý ·ÍÇÏÝ»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ³ïí³ÍÁÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³ µ³Å³ÝáõÙ: Ø»Ï µ³Å³ÝáõÙÁÑ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ ã³÷Ù³Ý ÁÝïñí³ÍÙÇ³íáñÇÝ: úñÇÝ³Ïª ù³ÝáÝÇ íñ³ ¹³ Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É 1 ÙÙ Ï³Ù 1 ëÙ, ç»ñÙ³ã³÷Çíñ³ª 1 ³ëïÇ×³Ýª Áëï ò»ÉëÇáõëÇ (1ûC): ú·ï³·áñÍíáõÙ »Ý Ý³¨ ë³Ý¹Õ³ÏÝ»ñ,áñáÝù áõÝ»Ý ßñç³Ý³·ÍÇ ÙÇ Ù³ëÇ (³Õ»ÕÇ) ï»ëù. 21-ñ¹ ÝÏ³ñáõÙ å³ïÏ»ñí³Í¿ 70 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ÁÝÃ³óáÕ Ù»ù»Ý³ÛÇ ³ñ³·³ã³÷Ç ë³Ý¹Õ³ÏÁ:

ÜÏ. 20

95

¸Çï³ñÏ»Ýù ÙÇ ×³é³·³ÛÃ, áñÁ ëÏÇ½µ ¿³éÝáõÙ O Ï»ïÇó, ¨ ÙÇ Ñ³ïí³Í, áñÁ ÏÏáã»ÝùÙÇ³íáñ Ñ³ïí³Í: Ö³é³·³ÛÃÇ íñ³, ú Ï»-ïÇó ëÏë³Í, Ñ³çáñ¹³µ³ñ Ýß»Ýù Ï»ï»ñ³ÛÝå»ë, áñ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ Ñ³ñ¨³Ý Ï»ï»ñÇÑ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝÇ ÙÇ³íáñÑ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛ³ÝÁ: Ö³é³·³ÛÃÇ íñ³Ýßí³Í Ï»ï»ñÇ Ùáï, ëÏë»Éáí ú Ï»ïÇó,Ñ³çáñ¹³µ³ñ ·ñ»Ýù 0, 1, 2, 3, 4 ... Ãí»ñÁ(ï»°ë ÝÏ. 22): ²Û¹åÇëÇ ×³é³·³ÛÃÁ ÏáãíáõÙ ¿Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ×³é³·³ÛÃ, ÇëÏ Ï»ï»ñÇÙáï ·ñí³Í Ãí»ñÁª Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÏ³Ù å³ñ½³å»ëª Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñ: ºÃ», ûñÇÝ³Ï, áñ¨¿ C Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÁÑ³í³ë³ñ ¿ 9¬Ç, ¹³ ëáíáñ³µ³ñ ·ñÇ ¿ ³éÝíáõÙ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª C (9):

Îááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ×³é³·³ÛÃáí Ñ³ñÙ³ñ ¿ å³ïÏ»ñ»É µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ:úñÇÝ³Ïª 7 ÃÇíÁ ×³é³·³ÛÃÇ íñ³ å³ïÏ»ñíáõÙ ¿ ³ÛÝ Ï»ïáí, áñÇÏááñ¹ÇÝ³ïÁ 7 ¿:

Îááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ×³é³·³ÛÃÇ ÙÇçáóáí Ñ³ñÙ³ñ ¿ Ý³¨ ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ïÑ³Ù»Ù³ï»É µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ: ºñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ³í»ÉÇ Ù»ÍÇÝ Ïááñ¹ÇÝ³-ï³ÛÇÝ ×³é³·³ÛÃÇ íñ³ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ ³í»ÉÇ ³ç ·ïÝíáÕ Ï»ï, ÇëÏ³í»ÉÇ ÷áùñÇÝª ³í»ÉÇ Ó³Ë ·ïÝíáÕ Ï»ï:

ê³Ý¹Õ³ÏÝ»ñÁ Ð³Û³ëï³ÝáõÙ û·-

ï³·áñÍí»É »Ý ÑÇÝ Å³Ù³Ý³ÏÝ»ñÇó,

Ù³ëÝ³íáñ³å»ë` ³ñ¨³ÛÇÝ Å³Ù³-

óáõÛóÝ»ñáõÙ: ÐÇÙ³ ¿É Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³Û¹åÇëÇ

ë³Ý¹Õ³ÏÝ»ñ ï»ëÝ»É, ûñÇÝ³Ï, ¶»Õ³ñ¹Ç, Ð³-

Õ³ñÍÇÝÇ, Î»ã³éÇëÇ ¨ ³ÛÉ í³Ýù»ñÇ å³-

ï»ñÇÝ:

ÜÏ. 22ØÇ³íáñ Ñ³ïí³Í

ÜÏ. 21

96

ÜÏ. 23

633. ´»ñ»°ù ë³Ý¹Õ³ÏÝ»ñáí ã³÷Çã ë³ñù»ñÇ ÙÇ ù³ÝÇ ûñÇÝ³Ï ¨ ³ë»°ù, Ã»ã³÷Ù³Ý ÇÝã ÙÇ³íáñÇ »Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ³Û¹ ë³ñù»ñÇë³Ý¹Õ³ÏÝ»ñÇ µ³Å³ÝáõÙÝ»ñÁ:

634. ¶ï»°ù ³ÛÝ »ñ»ù Ãí»ñÁ, áñáÝù ·ñí³ÍåÇïÇ ÉÇÝ»ÇÝ ã³÷Çã ë³ñùÇ ë³Ý¹Õ³ÏÇíñ³ (ï»°ë ÝÏ. 23):

635. Øñó³ñß³í³ÛÇÝ Ù»ù»Ý³ÛÇ ³ñ³·³ã³÷ÁóáõÛó ¿ ï³ÉÇë 150 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛáõÝ:²ñ³·³ã³÷Ç ë³Ý¹Õ³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñµ³Å³ÝáõÙÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ ³ñ³·áõÃÛ³Ý ÷á÷á-ËáõÃÛ³ÝÁ 10 ÏÙ/Å¬áí: ä³ï³ëË³Ý»°ù Ñ»ï¨Û³É Ñ³ñó»ñÇÝ.

³) ø³ÝÇ± µ³Å³ÝáõÙáí ¹»åÇ ³ç Ïï»Õ³ß³ñÅíÇ ³ñ³·áõÃÛ³Ý óáõóÇãÁ,»Ã» Ùñó³ñß³íáñ¹Á Ù»Í³óÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 30 ÏÙ/Å¬áí:

µ) ø³ÝÇ± µ³Å³ÝáõÙáí ¹»åÇ Ó³Ë Ïï»Õ³ß³ñÅíÇ ³ñ³·áõÃÛ³Ý óáõ-óÇãÁ, »Ã» Ùñó³ñß³íáñ¹Á ÷áùñ³óÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 50 ÏÙ/Å¬áí:

·) àñù³±Ý ÏÉÇÝÇ Ù»ù»Ý³ÛÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ, »Ã» Ù»ù»Ý³ÛÇ ³ñ³·áõÃÛ³ÝóáõóÇãÁ 4 µ³Å³ÝáõÙáí ¹»åÇ ³ç ï»Õ³ß³ñÅíÇ:

¹) àñù³±Ý ÏÉÇÝÇ Ù»ù»Ý³ÛÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ, »Ã» Ù»ù»Ý³ÛÇ ³ñ³·áõÃÛ³ÝóáõóÇãÁ 6 µ³Å³ÝáõÙáí ¹»åÇ Ó³Ë ï»Õ³ß³ñÅíÇ:

636. ¶Í»°ù ú Ï»ïÇó ëÏÇ½µ ³éÝáÕ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ×³é³·³ÛÃ: 5 ÙÙ»ñÏ³ñáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ Ñ³ïí³ÍÁ í»ñóñ»°ù áñå»ë ÙÇ³íáñ Ñ³ïí³Í ¨×³é³·³ÛÃÇ íñ³ Ýß»°ù Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ Ï»ï»ñÁª

³) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. ¹) 5, 7, 8, 10, 11, 12.µ) 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12. ») 3, 6, 7, 9, 13, 14.·) 0, 1, 3, 5, 7, 9, 11. ½) 0, 2, 5, 6, 9, 10:

637. à±ñ Ãí»ñÇÝ »Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ A, B, C, D, E, F Ï»ï»ñÁ Ïááñ-¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ×³é³·³ÛÃÇ íñ³.

638. ú Ï»ïÇó Ç±Ýã Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý P, R, S, T Ï»ï»ñÁ.

³)

µ)

³)

µ)

97

639. Æ±Ýã Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñ áõÝ»Ý A ¨ B Ï»ï»ñÁ (ï»°ë ÝÏ. 24):

640. Æ±Ýã Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñ áõÝ»Ý Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ×³é³·³ÛÃÇ íñ³ A ¨ BÏ»ï»ñÇ ÙÇç¨ Ýßí³Í Ï»ï»ñÁ (ï»°ë ÝÏ. 24):

641. A (285) ¨ B (270) Ï»ï»ñÇó á±ñÝ ¿ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ×³é³·³ÛÃÇ íñ³³í»ÉÇ Ó³Ë ·ïÝíáõÙ:

642. Îááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ×³é³·³ÛÃÇ íñ³ B Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ A (10) Ï»ïÇó ³ç:Æ±Ýã ³Ù»Ý³÷áùñ Ïááñ¹ÇÝ³ï Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É B Ï»ïÁ:

643. ¶Í»°ù 4 ëÙ »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ ÙÇ AD Ñ³ïí³Í: Üñ³ íñ³ Ýß»°ù ³ÛÝåÇëÇ B ¨C Ï»ï»ñ, áñ ëï³óí³Í AB ¨ CD Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ áõÝ»Ý³Ýù`⎢AB ⎢ = 2 ëÙ, ⎢CD ⎢ = 3 ëÙ:

644. ¶Í»°ù OA ¨ OB ï³ñµ»ñ ×³é³·³ÛÃÝ»ñ ³ÛÝå»ë, áñª³) ¹ñ³Ýù ÉÇÝ»Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ áõÕÕÇ ×³é³·³ÛÃÝ»ñ,µ) ¹ñ³Ýù ÙÇ¨ÝáõÛÝ áõÕÕÇ ×³é³·³ÛÃÝ»ñ ãÉÇÝ»Ý:

645. îñí³Í »Ý ãáñë Ï»ï»ñ, áñáÝóÇó áã ÙÇ »ñ»ùÁ ã»Ý ·ïÝíáõÙ ÙÇ áõÕÕÇ íñ³:Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ñÏáõ Ï»ïáí áõÕÇÕ »Ý ï³ñ»É: ø³ÝÇ± áõÕÇÕ ¿ ï³ñí³Í:

646. ø³ÝÇ± Ù³ëÇ »Ý µ³Å³ÝáõÙ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ »ñÏáõ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÁ:ÆëÏ ù³ÝÇ± Ù³ëÇ »Ý ³ÛÝ µ³Å³ÝáõÙ »ñÏáõ Ñ³ïíáÕ áõÕÇÕÝ»ñÁ:

647. ø³ÝáÝÇ ÙÇçáóáí ëïáõ·»°ù, áñ 25-ñ¹ ÝÏ³ñáõÙ å³ïÏ»ñí³Í AB ¨ CD·Í»ñÁ áõÕÕÇ Ñ³ïí³ÍÝ»ñ »Ý, ¨ ã³÷»°ù ¹ñ³Ýó »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

648. ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ¹ñ»°ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³Ù»Ù³ïÙ³Ý Ýß³ÝÁ.³) 21 ÏÙ 190 ëÙ ∗ 21 ÏÙ 2 Ù, ¹) 8 ï 3 ó 6 Ï· ∗ 836 Ï·,µ) 5 Ù 17 ÙÙ ∗ 517 ÙÙ, ») 6 Å 360 í ∗ 6 Å 6 ñ,·) 1 Ï· 350 · ∗ 1305 ·, ½) 240 Å 35 ñ 7 í ∗ 10 ûñ 217 í:

³)

µ) ÜÏ. 24

ÜÏ. 25

98

31. Þðæ²Ü²¶ÆÌ ºì Þðæ²Ü

¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»Í³ÝÇíÇ ³ÝÇíÁ (ÝÏ. 26): ²ÛÝ áõÝÇ Ï»ÝïñáÝ, áñÝ ³ÝÇíÇ³ñï³ùÇÝ »½ñÇÝ (³Ýí³·áïáõÝ) ÙÇ³ó³Í ¿ ÝáõÛÝ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ áõÝ»óáÕ³Ýí³×³Õ»ñáí: ²Ýí³·áïáõÝ ÝÙ³ÝíáÕ å³ïÏ»ñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ßñç³Ý³·ÇÍ:

649. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) (41993 + 775) : 297, ») (9289 – 1885) : 3,µ) (71311 + 2603) : 762, ½) (858358 – 33) : 475,·) (73984 + 398) : 462, ¿) (768060 – 767676) : 12,¹) (468932 + 2596) : 531, Á) (80062 – 6845) : 211:

650. Î³ï³ñ»°ù µ³½Ù³å³ïÏáõÙ.³) 4 Ù 23 ëÙ 5, ¹) 8 Å 15 ñ 4, ¿) 23 Ï· 3 · 18,µ) 12 Ù 8 ¹Ù 7, ») 6 ûñ 21 Å 3, Á) 18 ó 50 Ï· 4,·) 25 ÏÙ 3 ëÙ 17, ½) 2 Å 6 ñ 40 í 9, Ã) 8 ï 139 Ï· 8:

651. Èñ³óñ»°ù ¹³ï³ñÏ í³Ý¹³ÏÝ»ñÁ.

652. ¶ï»°ù ³ÛÝ »ñ»ù Ñ³çáñ¹³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáÝó ·áõÙ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ¿ 48-Ç:

653. î³ëÝÇÝÝÑ³ñÏ³ÝÇ ß»ÝùÇ ³é³çÇÝ ÙáõïùáõÙ ·ïÝíáõÙ »Ý 1-76 Ñ³Ù³ñ-Ý»ñáí µÝ³Ï³ñ³ÝÝ»ñÁ: à±ñ Ñ³ñÏáõÙ ¿ 65-ñ¹ µÝ³Ï³ñ³ÝÁ:

ÂÕÃÇ íñ³ Ýß»°ù ÇÝÁ Ï»ï, ÇÝãå»ë óáõÛó ¿ ïñí³Í

ÝÏ³ñáõÙ: ÆëÏ ÑÇÙ³, ³é³Ýó Ù³ïÇïÁ ÃÕÃÇó Ïïñ»Éáõ, ãáñë

áõÕÇÕ ·ÇÍ ï³ñ»°ù ³ÛÝå»ë, áñ ¹ñ³Ýù ³ÝóÝ»Ý µáÉáñ ÇÝÁ

Ï»ï»ñáí:

99

ÜÏ. 28ÜÏ. 27

ÜÏ. 26

Þñç³Ý³·ÇÍÁ ³ÛÝåÇëÇ Ý»ñ÷³Ï ·ÇÍ ¿, áñÇ µáÉáñ Ï»ï»ñÁ ÝáõÛÝ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝáõÝ»Ý ÙÇ Ï»ïÇó. ³Û¹ Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝ (ï»°ë ÝÏ. 27):

Þñç³Ý³·ÍÇ áñ¨¿ Ï»ï Ï»ÝïñáÝÇÝ ÙÇ³óÝáÕ Ñ³ïí³ÍÁ ÏáãíáõÙ ¿ ßñç³-Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕ, ÇëÏ ßñç³Ý³·ÍÇ áñ¨¿ »ñÏáõ Ï»ï»ñ ÙÇ³óÝáÕ Ñ³ïí³ÍÁªÉ³ñ: ²Ù»Ý³»ñÏ³ñ É³ñÁ ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝáí ³ÝóÝáÕ É³ñÝ ¿: ²ÛÝ ÏáãíáõÙ¿ ïñ³Ù³·ÇÍ: Þñç³Ý³·ÍÇ ³ÛÝ Ù³ëÁ, áñÁ ·ïÝíáõÙ ¿ Ýñ³ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõÏ»ï»ñÇ ÙÇç¨, ÏáãíáõÙ ¿ ³Õ»Õ:

Ð³ñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ù³ëÁ, áñÁ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ïí³Í ¿ ßñç³Ý³·Íáí, ÏáãíáõÙ ¿ßñç³Ý: Þñç³ÝÇ Ó¨ áõÝ»Ý, ûñÇÝ³Ï, ÏñÏ»ëÇ Ñ³ñÃ³ÏÁ, ÉÇ³ÉáõëÇÝÁ, Ù»ï³Õ³¹ñ³ÙÁ:

Þñç³Ý³·ÇÍ ·Í»Éáõ Ñ³Ù³ñ ëáíáñ³µ³ñ û·ïíáõÙ »Ý Ï³ñÏÇÝÇó (ï»°ë ÝÏ. 28):

654. ÆÝãåÇëÇ± ·ÇÍÝ ¿ ÏáãíáõÙ ßñç³Ý³·ÇÍ:655. Æ±Ýã ¿ ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕÁ: ÆëÏ Ç±Ýã ¿ ïñ³Ù³·ÇÍÁ:656. à±ñ Ñ³ïí³ÍÝ ¿ ÏáãíáõÙ ßñç³Ý³·ÍÇ É³ñ:657. Æ±Ýã ¿ ßñç³Ý³·ÍÇ ³Õ»ÕÁ:658. Þñç³Ý³·ÍÇ É³±ñ ¿ ³ñ¹Ûáù Ýñ³ ïñ³Ù³·ÇÍÁ:659. Æ±Ýã ¿ ßñç³ÝÁ:660. ø³ÝÇ± ³Ý·³Ù ¿ ßñç³Ý³·ÍÇ ïñ³Ù³·ÇÍÁ Ù»Í Ýñ³ ß³é³íÕÇó:661. àõÕÇÕÁ Ñ³ïáõÙ ¿ ßñç³Ý³Ý³·ÇÍÁ A ¨ B Ï»ï»ñáõÙ: Æ±Ýã Ï»ïáí åÇïÇ

³ÝóÝÇ ³Û¹ áõÕÇÕÁ, áñå»ë½Ç AB Ñ³ïí³ÍÝ áõÝ»Ý³ ÑÝ³ñ³íáñ ³Ù»Ý³-Ù»Í »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ:

100

ÜÏ. 29

662. ¶Í»°ù »ñ»ù ßñç³Ý³·Í»ñ, áñáÝó Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ï»ïáõÙ:â³÷»°ù ³Û¹ ßñç³Ý³·Í»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ:

663. ºñÏáõ ßñç³Ý³·Í»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 10 ëÙ ¿: Þñç³Ý³-·Í»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÝ »Ýª 3 ëÙ ¨ 5 ëÙ: ÎÑ³ïí»±Ý ³ñ¹Ûáù ³Û¹ ßñç³Ý³-·Í»ñÁ:

664. ¶Í»°ù ÙÇ ßñç³Ý³·ÇÍ: ²å³ ï³ñ»°ù »ñ»ù áõÕÇÕ ³ÛÝå»ë, áñ ³é³çÇÝáõÕÇÕÁ ãÑ³ïÇ ßñç³Ý³·ÇÍÁ, »ñÏñáñ¹Á ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ»ï Ù»Ï ÁÝ¹Ñ³ÝáõñÏ»ï áõÝ»Ý³, ÇëÏ »ññáñ¹Áª »ñÏáõ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ï»ï:

665. ´»ñ»°ù ßñç³Ý³Ó¨ ³é³ñÏ³Ý»ñÇ ÙÇ ù³ÝÇ ûñÇÝ³Ï:666. ¶Í»°ù 4 ëÙ ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÇÍ: êï³óí³Í ßñç³ÝÇ Ù»ç Ýß»°ù ÙÇ A

Ï»ï, ÇëÏ Ýñ³ÝÇó ¹áõñë` ÙÇ B Ï»ï: Ð³Ù»Ù³ï»°ù ßñç³ÝÇ Ï»ÝïñáÝÇó³Û¹ Ï»ï»ñÇ áõÝ»ó³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ßñç³ÝÇ ß³é³íÕÇ Ñ»ï: ABÑ³ïí³ÍÁ ÏÑ³ïÇ± ³ñ¹Ûáù ßñç³Ý³·ÇÍÁ:

667. ¶Í»°ù Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ×³é³·³ÛÃ ¨ Ýñ³ íñ³ Ýß»°ù M(4) ¨ N(11)Ï»ï»ñÁ: N Ï»ïÇó ³±ç, Ã»± Ó³Ë ¿ ·ïÝíáõÙ M Ï»ïÁ, ¨ áñù³±Ý ¿ ³Û¹Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:

668. â³÷»°ù AC ¨ AB Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ (ÝÏ. 29) »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ³å³ëï³óí³Í Ãí»ñÇ ÙÇçáóáí áñáß»°ù BC Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ:

669. ø³ÝÇ± ×³é³·³ÛÃ ¿ »ÉÝáõÙ A Ï»ïÇó (ÝÏ. 30):

³) µ)

ÜÏ. 30

101

670. êïáõ·»°ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.³) 600660 : 426 > 400876 : 412, ¹) 5453 : 287< 504075 : 429,µ) 267665 : 235 > 116545 : 2263, ») 31125 : 83 > 30848 : 64,·) 231840 : 345 < 132588 : 116, ½) 83764 : 974 < 78874 : 857:

671. ¶ï»°ù ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ·ñ»Éáõ ¹»åùáõÙ Ñ³í³ë³-ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³.

³) 5 + ∗ = 10, µ) 6 = ∗ + 2, ·) ∗ + 3 = 11, ¹) 10 = 4 + ∗:672. ä³ï³ëË³Ý»°ù Ñ»ï¨Û³É Ñ³ñó»ñÇÝ.

³) à±ñ ÃÇíÁ å»ïù ¿ µ³½Ù³å³ïÏ»É 654-áí, áñå»ë½Ç ëï³óíÇ 514698:µ) ø³ÝÇ± ³Ý·³Ù ¿ 72028155 ÃÇíÁ Ù»Í 9623 ÃíÇó:·) à±ñ ÃÇíÝ ¿ 847 ³Ý·³Ù ÷áùñ 1041810 ÃíÇó:

673. ú·ïí»Éáí µ³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇóª Ñ³ßíáõÙÝ»ñÁ Ï³ï³ñ»°ùÑÝ³ñ³íáñÇÝ ã³÷ å³ñ½ »Õ³Ý³Ïáí.

³) (27 ⋅ 10) : 5, ¹) (388 ⋅ 105) : 35, ¿) (3 ⋅ 40 ⋅ 11) : 33,µ) (27 ⋅ 100) : 9, ») (900 ⋅ 53) : 300, Á) (4 ⋅ 37 ⋅ 15) : 60,·) (38 ⋅ 14) : 19, ½) (107 ⋅ 1024) : 64, Ã) (8 ⋅ 67 ⋅ 9) : 18:

674. Ø»ù»Ý³Ý, 1 Å³ÙáõÙ ³ÝóÝ»Éáí 60 ÏÙ, »ñÏáõ ù³Õ³ùÝ»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Íï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ ³Ýó»É ¿ 4 Å³ÙáõÙ: ø³ÝÇ± ûñáõÙ ÙÇ ù³Õ³ùÇó ÙÛáõëÁÏÑ³ëÝÇ Ñ»ïÇáïÝÁ, áñÁ 1 Å³ÙáõÙ ³ÝóÝáõÙ ¿ 5 ÏÙ:

675. ø³Õ³ùÇó ¹áõñë ¿ »Ï»É ÙÇ µ»éÝ³ï³ñ Ù»ù»Ý³, áñÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ60 ÏÙ/Å ¿: 1 Å³Ù ³Ýó Ýñ³ Ñ»ï¨Çó ÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ¹áõñë ¿ »Ï»É ÙÇÙ³ñ¹³ï³ñ Ù»ù»Ý³, áñÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 80 ÏÙ/Å ¿: ø³ÝÇ± Å³Ù ³ÝóÙ³ñ¹³ï³ñ Ù»ù»Ý³Ý ÏÑ³ëÝÇ µ»éÝ³ï³ñÇÝ:

676. Ø³ÝÏ³å³ñï»½áõÙ Ï³ 20 Ñ»Í³ÝÇí. ¹ñ³Ýó ÙÇ Ù³ëÁ »ñÏ³ÝÇí ¿, ÙÇ Ù³ëÁ`»é³ÝÇí: ´áÉáñ Ñ»Í³ÝÇíÝ»ñÁ ÙÇ³ëÇÝ áõÝ»Ý 55 ³ÝÇí: ø³ÝÇ± »ñÏ³ÝÇíÑ»Í³ÝÇí Ï³ Ù³Ï³å³ñï»½áõÙ:

ÂáéÝÇÏÝ ³ÛÝù³Ý ³Ùë³Ï³Ý ¿, ù³ÝÇ ï³ñ»Ï³Ý áñ å³åÝ ¿: ä³åÝáõ ÃáéÝÇÏÁ ÙÇ³ëÇÝ 91 ï³ñ»Ï³Ý »Ý: ø³ÝÇ± ï³ñ»Ï³Ý ¿ å³åÁ, ù³ÝÇ±ï³ñ»Ï³Ýª ÃáéÝÇÏÁ:

32. ²ÜÎÚàôÜÜºð ºì Üð²Üò â²öàôØÀ

Ø»Ï Ï»ïÇó ¹áõñë »ÏáÕ »ñÏáõ ×³é³·³ÛÃÝ»ñáí Ï³½Ùí³Í å³ïÏ»ñÁ ÏáãíáõÙ¿ ³ÝÏÛáõÝ (ï»°ë ÝÏ. 31): ²ÝÏÛáõÝ »Ý Ï³½ÙáõÙ, ûñÇÝ³Ï, ë»ÝÛ³Ï³ÛÇÝ ³É»Ñ³í³ùÇÓáÕ»ñÁ, Í³éÇ ×ÛáõÕ»ñÁ: ²ÝÏÛáõÝ Ï³½ÙáÕ ×³é³·³ÛÃÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ³ÝÏÛ³ÝÏáÕÙ»ñ, ÇëÏ ³ÛÝ Ï»ïÁ, áñÇó Ýñ³Ýù ¹áõñë »Ý ·³ÉÇë, ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÏÛ³Ý ·³·³Ã:

102

²ÝÏÛáõÝÝ»ñÝ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ýñ³Ýó ·³·³ÃÝ»ñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ»Ý ï³é»ñáí ¨ ·ñáõÙª ∠ A (§³ÝÏÛáõÝ A¦), ∠ B (§³ÝÏÛáõÝ B¦): ÜáõÛÝ ·³·³ÃÝáõÝ»óáÕ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ï³ñµ»ñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ·ñáõÙ »Ý` ∠CAB ¨ ∠ BAD (ï»°ëÝÏ. 31):

Þñç³Ý³·ÇÍÁ µ³Å³Ý»Ýù 360 Ñ³í³ë³ñ ³Õ»ÕÝ»ñÇ: ²å³ Ï»ÝïñáÝÇó»ñÏáõ ß³é³íÇÕÝ»ñ ï³Ý»Ýù ¹»åÇ ³Û¹ ³Õ»ÕÝ»ñÇó Ù»ÏÇ Í³Ûñ»ñÁ: êï³óí³Í³ÝÏÛáõÝÁ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ëïÇ×³Ý (1

û), í»ñóíáõÙ ¿ áñå»ë ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ

ã³÷Ù³Ý ÙÇ³íáñ:²ÝÏÛáõÝÝ»ñ Ï³éáõó»Éáõ ¨ ã³÷»Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍáõÙ »Ý ÷áË³¹ñÇãÁ

(ÝÏ. 32):

´áÉáñ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇó ³Ù»Ý³Ñ³Ýñ³Í³ÝáÃÁ áõÕÇÕ ³ÝÏÛáõÝÝ ¿, áñÁå³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 90û (ï»°ë ÝÏ. 33): àõÕÇÕ ³ÝÏÛáõÝÇó ÷áùñ ³ÝÏÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ëáõñ ³ÝÏÛáõÝ, ÇëÏ áõÕÇÕ ³ÝÏÛáõÝÇó Ù»ÍÁª µáõÃ ³ÝÏÛáõÝ: ²ÛÝ ³ÝÏÛáõÝÁ, áñÇÏáÕÙ»ñÁ Ï³½ÙáõÙ »Ý Ù»Ï áõÕÇÕ, ÏáãíáõÙ ¿ ÷éí³Í ³ÝÏÛáõÝ: öéí³Í ³ÝÏÛáõÝÁå³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 180û:

ÜÏ. 31

ÜÏ. 32

103

²ñ¹»Ý ³ëïÕ³·ÇïáõÃÛ³Ý ëÏ½µÝ³íáñÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï ³é³ç ¿ »Ï»É³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ¨ Ýñ³Ýó Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ áõëáõÙÝ³ëÇñÙ³Ý å³Ñ³Ýç-ÙáõÝùÁ. ÙáÉáñ³ÏÝ»ñÇ ̈ ³ÛÉ »ñÏÝ³ÛÇÝ Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ ß³ñÅáõÙÝ áõëáõÙÝ³-ëÇñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ñ Ï³ñáÕ³-

Ý³É ×ß·ñÇï ã³÷»É ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ: ÐÇÝ ³ßË³ñ-ÑáõÙ ³ëïÕ³·ÇïáõÃÛáõÝÁ Ñ³ïÏ³å»ë Ù»Í½³ñ·³óÙ³Ý ¿ñ Ñ³ë»É ´³µ»ÉáÝáõÙ: ´³µ»-ÉáÝóÇÝ»ñÇó ¿ ·³ÉÇë, ûñÇÝ³Ï, ßñç³Ý³·ÇÍÁ360 Ñ³í³ë³ñ ³Õ»ÕÝ»ñÇ µ³Å³Ý»ÉÁ ¨ ³Ý-ÏÛáõÝÝ»ñÇ ã³÷Ù³Ý ÙÇ³íáñÁ ¹ñ³Ýáí áñá-ß»ÉÁ: ²ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ã³÷Ù³Ý ÑÇÙ³Ý íñ³ Ï³-ï³ñíáÕ Ñ³ßí³ñÏáõÙÝ»ñáí Ï³½ÙíáõÙ ¿ÇÝï³ñµ»ñ ³ëïÕ³·Çï³Ï³Ý ù³ñï»½Ý»ñ ̈ ³Õ-Ûáõë³ÏÝ»ñ: ²ëïÕ³·Çï³Ï³Ý áõëáõÙÝ³ëÇñáõ-ÃÛáõÝÝ»ñ Ï³ï³ñíáõÙ ¿ÇÝ Ý³¨ Ð³Û³ëï³ÝáõÙ:²Ûëå»ëª Ù»ñ Ù»Í Ñ³Ûñ»Ý³ÏÇó ² Ý ³ Ý Ç ³Þ Ç ñ ³ Ï ³ ó Ç Ý VII ¹³ñáõÙ Ï³½Ù»É ¿ µ³½-Ù³ÃÇí ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñ, áñáÝóáí áñáßíáõÙ ¿ÇÝÈáõëÝÇ ÷áõÉ»ñÁ, ï³ñµ»ñ Ñ³Ù³ëï»ÕáõÃÛáõÝ-Ý»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ ÈáõëÝÇ ̈ ²ñ»·³ÏÇ ·ñ³í³Í¹Çñù»ñÁ:

ØÇçÇÝ³ëÇ³Ï³Ý Ýß³Ý³íáñ ·ÇïÝ³Ï³Ý àõ É áõ · µ » Ï Á XV ¹³ñáõÙ ê³Ù³ñ-Õ³Ý¹áõÙ Ï³éáõó»É ¿ ³ÛÝ Å³Ù³Ý³ÏÝ»ñÇ É³í³·áõÛÝ ³ëïÕ³¹Çï³ñ³ÝÁ: ÜÏ³ñáõÙ¹áõù ï»ëÝáõÙ »ù ³Û¹ ³ëïÕ³¹Çï³ñ³ÝÇ ÙÇ Ù³ëÁª Ù»Í ß³é³íÕáí ³Õ»ÕÁ ¨ Ýñ³µ³Å³ÝáõÙÝ»ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ 1û-Ç:

ÜÏ. 33

ëáõñ ³ÝÏÛáõÝ

áõÕÇÕ ³ÝÏÛáõÝ

÷éí³Í ³ÝÏÛáõÝ

µáõÃ ³ÝÏÛáõÝ

ºñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñÁ Ñ³ïí»ÉÇë ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ »Ý Ï³½ÙáõÙ: ºÃ» ³Û¹ ³ÝÏÛáõÝ-Ý»ñÇó Ù»ÏÁ áõÕÇÕ ¿, ³å³ áõÕÇÕ »Ý Ý³¨ ÙÛáõë µáÉáñ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ: ²ÛÝáõÕÇÕÝ»ñÁ, áñáÝó Ñ³ïáõÙÇó ëï³óíáÕ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÝ áõÕÇÕ »Ý, ÏáãíáõÙ »ÝáõÕÕ³Ñ³Û³ó áõÕÇÕÝ»ñ:

104

677. Æ±Ýã ¿ ³ÝÏÛáõÝÁ:678. ÆÝãå»±ë ¿ ÏáãíáõÙ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ã³÷Ù³Ý ÙÇ³íáñÁ:679. ø³ÝÇ± ³ëïÇ×³Ý ¿ áõÕÇÕ ³ÝÏÛáõÝÁ: ÆëÏ ÷éí³±Í ³ÝÏÛáõÝÁ:680. î»ïñáõÙ Ýß»°ù áñ¨¿ ú Ï»ï: ¶Í»°ù áõÕÇÕ, ëáõñ, µáõÃ ¨ ÷éí³Í ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ,

áñáÝó ·³·³ÃÝ ³Û¹ Ï»ïÝ ¿: Üß³Ý³Ï»°ù ³Û¹ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ:681. öáË³¹ñÇãÇ ÙÇçáóáí Ï³éáõó»°ù ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ, áñáÝó Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ýª

³) 15o, µ) 30o, ·) 45o, ¹) 60o, ») 75o, ½) 90o:682. Î³éáõó»°ù áñ¨¿ ³ÝÏÛáõÝ: ²ÝÏÛ³Ý Ù»ç Ýß»°ù áñ¨¿ Ï»ï ¨ Ñ³ïí³Íáí ³ÛÝ

ÙÇ³óñ»°ù ³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÇÝ: ø³ÝÇ± ³ÝÏÛáõÝ ¿ ëï³óíáõÙ:683. Ð³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ A Ï»ïáí ï³ñ»°ù »ñÏáõ áõÕÇÕ ·ÇÍ: Ð³ßí»°ù, Ã» ù³ÝÇ

³ÝÏÛáõÝ ¿ ëï³óíáõÙ:684. àõÕÇÕ ³ÝÏÛáõÝÁ µ³Å³Ý»É »Ý »ñÏáõ Ù³ë»ñÇ ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ

»ñÏáõ ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ ÙÛáõëÇó: ¶ï»°ù ³Û¹ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:685. ¶Í»°ù ÙÇ ³ÝÏÛáõÝ, áñÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ 90o-Çó ³í»ÉÇ ¿ ¨ 135û-Çó ÷áùñ:686. Üß»°ù ÙÇ ú Ï»ï: ¶Í»°ù ³Û¹ Ï»ïáõÙ ëÏÇ½µ ³éÝáÕ áñ¨¿ OA, OB, OC

×³é³·³ÛÃÝ»ñ: ¶ñ»°ù ëï³óí³Í µáÉáñ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÁ:687. BK ×³é³·³ÛÃÁ ABC ³ÝÏÛáõÝÁ µ³Å³Ý»É ¿ ABK ̈ KBC »ñÏáõ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ:

¶ï»°ù ABC ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ∠ ABK = 42o, ÇëÏ KBC ³ÝÏÛáõÝÁABK ³ÝÏÛáõÝÇó Ù»Í ¿ 1o¬áí:

688. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) 739 ⋅ (296 – 18) – (644 – 600) ⋅ 2,µ) 3680 : 20 – (394 – 90) : 2,·) (6992 : 38 + 6293 : 31) ⋅ 15 – 349,¹) 16218 : 53 + 75 ⋅ 74 – 30:

689. ºÃ» ïñí³Í ÃÇíÁ Ý³Ë µ³½Ù³å³ïÏ»Ýù 27¬áí, ³å³ ëï³óí³Í³ñ¹ÛáõÝùÇÝ ·áõÙ³ñ»Ýù 5, Ïëï³Ý³Ýù 5: à±ñÝ ¿ ³Û¹ ÃÇíÁ:

690. Îááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ×³é³·³ÛÃÇ íñ³ A Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÁ 9 ¿: ¶ñ»°ù A¬ÇóÓ³Ë ·ïÝíáÕ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ:

691. AB Ñ³ïí³ÍÁ C ¨ D Ï»ï»ñáí µ³Å³Ýí³Í ¿ AC, CD ¨ DB »ñ»ù Ù³ë»ñÇ:AC Ñ³ïí³ÍÝ áõÝÇ 18 ÙÙ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ, CD Ñ³ïí³ÍÁª 15 ÙÙ-áí ³í»ÉÇ,ù³Ý AC-Ý, ÇëÏ DB Ñ³ïí³ÍÁª 7 ÙÙ-áí ³í»ÉÇ, ù³Ý AC ̈ CD Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ»ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ: àñù³±Ý ¿ AB Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ:

692. ºñÏáõ ßñç³Ý³·Í»ñÇó Ù»ÏÝ áõÝÇ 4 ëÙ ß³é³íÇÕ, ÇëÏ ÙÛáõëÝ ³ÝóÝáõÙ ¿³é³çÇÝÇ Ï»ÝïñáÝáí: ¶Í³·ñÇ íñ³ å³ïÏ»ñ»°ù ³Û¹ ßñç³Ý³·Í»ñÇ÷áË³¹³ñÓ ¹ÇñùÁ, »Ã» »ñÏñáñ¹ ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ª

³) 1 ëÙ¬Ç, µ) 2 ëÙ¬Ç, ·) 3 ëÙ¬Ç, ¹) 4 ëÙ¬Ç:

105

693. ºñÏáõ ßñç³Ý³·Í»ñ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ Ï³ñáÕ »Ý áõÝ»Ý³É ï³ñµ»ñ ÷áË³-¹³ñÓ ¹Çñù»ñ (ï»°ë ÝÏ. 34): Üß»°ù ³Û¹ ßñç³Ý³·Í»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ï»ï»ñÇù³Ý³ÏÝ»ñÁ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¹ÇñùÇ Ñ³Ù³ñ:

694. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñª³) »Ã» ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó Ù»ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, ³å³ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ

Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ.µ) »Ã» ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, ³å³ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó ·áÝ»

Ù»ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ:695. ¶áñÍí³ÍùÇ ÏïáñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 48 Ù ¿ñ: Üñ³ÝÇó 7 ³Ý·³Ù Ïïñ»É »Ý

3¬³Ï³Ý Ù»ïñ: ø³ÝÇ± Ù»ïñáí ¿ ³ÙµáÕç ÏïáñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ Ù»ÍÙÝ³óáñ¹Ç »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÇó:

696. ø³Õ³ù³ÛÇÝ ·ñ³¹³ñ³ÝáõÙ Ï³ 1033200 ·Çñù, Ñ³Ù³ÛÝù³ÛÇÝ ·ñ³¹³-ñ³ÝáõÙª 24 ³Ý·³Ù å³Ï³ë, ÇëÏ ¹åñáó³Ï³ÝáõÙª 35 ³Ý·³Ù å³Ï³ë, ù³ÝÑ³Ù³ÛÝù³ÛÇÝáõÙ: ÀÝ¹³Ù»ÝÁ ù³ÝÇ± ·Çñù Ï³ »ñ»ù ·ñ³¹³ñ³ÝÝ»ñáõÙ:

697. ºñÏáõ Ù»ù»Ý³Ý»ñ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Çñ³ñ ÁÝ¹³é³ç »Ý ¹áõñë ·³ÉÇë »ñÏáõù³Õ³ùÝ»ñÇó, áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 900 ÏÙ ¿: ø³ÝÇ± Å³Ù Ñ»ïá Ýñ³ÝóÑ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ Çñ³ñÇó ÏÉÇÝÇ 150 ÏÙ, »Ã» Ýñ³Ýó ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñÝ»Ýª 90 ÏÙ/Å ¨ 60 ÏÙ/Å:

ØÇÝã¨ ¹åñáóÇ 4-ñ¹ Ñ³ñÏÁ Ñ³ëÝáÕ ³ëïÇ×³ÝÁ ù³ÝÇ± ³Ý·³Ù ¿»ñÏ³ñ ÙÇÝã¨ 2-ñ¹ Ñ³ñÏÁ Ñ³ëÝáÕÇó:

33. ´ºÎÚ²È ¶Ìºð ºì ´²¼Ø²ÜÎÚàôÜÜºð

Ð³çáñ¹³µ³ñ Çñ³ñ ÙÇ³ó³Í Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁ Ï³½ÙáõÙ »Ý ÙÇ å³ïÏ»ñ (ÝÏ. 35),áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ µ»ÏÛ³É ·ÇÍ (µ»ÏÛ³É): ´»ÏÛ³ÉÁ Ï³½ÙáÕ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ »ñÏ³-ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÏáãíáõÙ ¿ µ»ÏÛ³ÉÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ: Ð³ïí³ÍÇ ÑÇÙÝ³-Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ µ»ÏÛ³É ·ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í ¿ Ýñ³Í³Ûñ³Ï»ï»ñÁ ÙÇ³óÝáÕ Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÇó:

ÜÏ. 35

ÜÏ. 34

106

ÜÏ. 36

³ÝÏÛáõÝ³·ÇÍ

ÏáÕÙ

·³·³Ã

ºÃ» µ»ÏÛ³É ·ÇÍÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ Ýñ³ Í³Ûñ³Ï»ï»ñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý, ³å³³ÛÝ ë³ÑÙ³Ý³·ÍáõÙ ¿ ÙÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñ (ï»°ë ÝÏ. 36), áñÁ ÏáãíáõÙ¿ µ³½Ù³ÝÏÛáõÝ: ´³½Ù³ÝÏÛáõÝÁ Ï³½ÙáÕ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý µ³½Ù³Ý-ÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñ, ÇëÏ Ýñ³Ýó ÙÇ³óÙ³Ý Ï»ï»ñÁª µ³½Ù³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñ:´³½Ù³ÝÏÛ³Ý »ñÏáõ áã Ñ³ñ¨³Ý ·³·³ÃÝ»ñÁ ÙÇ³óÝáÕ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ»Ý µ³½Ù³ÝÏÛ³Ý ³ÝÏÛáõÝ³·Í»ñ:

êáíáñ³µ³ñ µ³½Ù³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇÝ ³Ýí³ÝáõÙÝ»ñ »Ý ï³ÉÇëª Áëï ³ÝÏÛáõÝ-Ý»ñÇ (Ï³Ù, áñ ÝáõÛÝÝ ¿, Áëï ÏáÕÙ»ñÇ) ù³Ý³ÏÇ: ²Ûëå»ëª »ñ»ù ³ÝÏÛáõÝ áõÝ»óáÕµ³½Ù³ÝÏÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ »é³ÝÏÛáõÝ (ï»°ë ÝÏ.37), ãáñë ³ÝÏÛáõÝ áõÝ»óáÕÁªù³é³ÝÏÛáõÝ, ÑÇÝ· ³ÝÏÛáõÝ áõÝ»óáÕÁª ÑÝ·³ÝÏÛáõÝ, ¨ ³ÛÉÝ: ÀÝ¹áõÝí³Í ¿µ³½Ù³ÝÏÛáõÝÁ Ýß³Ý³Ï»Éª Ñ³çáñ¹³µ³ñ Ãí³ñÏ»Éáí Ýñ³ µáÉáñ ·³·³ÃÝ»ñÇÝß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÁ. ûñÇÝ³Ïª ABC »é³ÝÏÛáõÝ, EFKL ù³é³ÝÏÛáõÝ:

´³½Ù³ÝÏÛáõÝÁ »½ñ³·ÍáÕ µ»ÏÛ³É ·ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ µ³½Ù³Ý-ÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍ:

´³½Ù³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ Ù»ç Ï³Ý ³ÛÝåÇëÇÝ»ñÁ, áñáÝó Ó¨»ñÁ ÝÙ³ÝíáõÙ »Ý Ù»½Í³ÝáÃ ³é³ñÏ³Ý»ñÇ: ¸ñ³ÝóÇó ¿, ûñÇÝ³Ï, áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÁ: ¸³ ³ÛÝåÇëÇù³é³ÝÏÛáõÝ ¿, áñÇ µáÉáñ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÝ áõÕÇÕ »Ý (ï»°ë ÝÏ. 37): àõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ó¨áõÝ»Ý Ù³ñ½³Ññ³å³ñ³ÏÁ, ù³ÝáÝÁ, Éáõë³ÙáõïÇ ßñç³Ý³ÏÁ ¨ ³ÛÉÝ:

ÜÏ. 37

CA

B

áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ

»é³ÝÏÛáõÝ

ù³é³ÏáõëÇL

K

E

F

107

àõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ñ³Ý¹Çå³Ï³ó ÏáÕÙ»ñÝ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý: Ð³ñ¨³ÝÏáÕÙ»ñÇó ³í»ÉÇ Ù»ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ,ÇëÏ ÷áùñÇÝÁª É³ÛÝáõÃÛáõÝ:

²ÛÝ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÁ, áñÁ µáÉáñ ÏáÕÙ»ñÝ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý, ÏáãíáõÙ ¿ù³é³ÏáõëÇ (ï»°ë ÝÏ. 37):

698. Æ±Ýã ¿ µ»ÏÛ³É ·ÇÍÁ:699. ÆÝãåÇëÇ± å³ïÏ»ñÝ»ñÝ »Ý ÏáãíáõÙ

µ³½Ù³ÝÏÛáõÝÝ»ñ:700. àõÕÕ³ÝÏÛáõ±Ý ¿ ³ñ¹Ûáù ù³é³ÏáõëÇÝ:701. î»ïñáõÙ Ýß»°ù áñ¨¿ ãáñë A, B, C, D Ï»ï»ñ:

A ¨ D Ï»ï»ñÁ ÙÇ³óñ»°ù µ»ÏÛ³É ·Íáí, áñÝ³ÝóÝáõÙ ¿ B ̈ C Ï»ï»ñáí: â³÷áõÙÝ»ñ Ï³-ï³ñ»Éáíª áñáß»°ù ³Û¹ µ»ÏÛ³É ·ÍÇ »ñÏ³ñáõ-ÃÛáõÝÁ:

702. ø³ÝÇ± ÏáÕÙ áõÝÇ í»ó³ÝÏÛáõÝÁ:703. ú·ïí»Éáí 38-ñ¹ ÝÏ³ñÇóª áñáß»°ùª Ñ»ï¨Û³É

åÝ¹áõÙÝ»ñÁ ×Çßï »Ý, Ã» áã.³) ABCDE µ³½Ù³ÝÏÛáõÝÁ í»ó³ÝÏÛáõÝ

¿:µ) M Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ABCDE µ³½Ù³ÝÏÛ³ÝÁ:·) F Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ABCDE µ³½Ù³ÝÏÛ³ÝÁ:¹) M ¨ K Ï»ï»ñÁ ÙÇ³óÝáÕ Ñ³ïí³ÍÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ABCDE

µ³½Ù³ÝÏÛ³ÝÁ:») M ¨ F Ï»ï»ñÁ ÙÇ³óÝáÕ Ñ³ïí³ÍÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ABCDE

µ³½Ù³ÝÏÛ³ÝÁ:½) M ¨ N Ï»ï»ñÁ ÙÇ³óÝáÕ Ñ³ïí³ÍÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ABCDE

µ³½Ù³ÝÏÛ³ÝÁ:¿) K ¨ D Ï»ï»ñÁ ÙÇ³óÝáÕ Ñ³ïí³ÍÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ABCDE

µ³½Ù³ÝÏÛ³ÝÁ:704. â³÷»°ù ABC »é³ÝÏÛ³Ý (ÝÏ. 39) ÏáÕÙ»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ Ñ³ßí»°ù

Ýñ³ å³ñ³·ÇÍÁ:

ÜÏ. 38

ÜÏ. 39

108

705. ºé³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ 75 ëÙ ¿: Üñ³ ÙÇ ÏáÕÙÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 15 ëÙ ¿,»ñÏñáñ¹ÇÝÁª 32 ëÙ: ¶ï»°ù »ññáñ¹ ÏáÕÙÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ:

706. ú·ïí»Éáí µ»ÏÛ³É ·ÍÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇóª ³é³Ýó ã³÷áõÙÝ»ñ Ï³ï³ñ»ÉáõÑÇÙÝ³íáñ»°ù, áñ ABCD ù³é³ÝÏÛ³Ý (ÝÏ. 40) å³ñ³·ÇÍÝ ³í»ÉÇ Ù»Í ¿,ù³Ý AEFCD ÑÝ·³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ:

707. ú·ïí»Éáí µ»ÏÛ³É ·ÍÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇóª ³é³Ýó ã³÷áõÙÝ»ñ Ï³ï³ñ»Éáõóáõ°Ûó ïí»ù, áñ ABCD ù³é³ÝÏÛ³Ý (ÝÏ. 41) å³ñ³·ÇÍÁ ÷áùñ ¿ AEBCFDí»ó³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÍÇó:

708. â³÷áõÙÝ»ñÇ ÙÇçáóáí Ñ³Ùá½í»°ù, áñ ABCDEF ¨ A°B°C°D°E°F° í»ó-³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ (ÝÏ. 42) å³ñ³·Í»ñÝ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý:

709. àñáß»°ù ABCD áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ ̈ A°B°C°D° áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý É³ÛÝáõ-ÃÛáõÝÁ (ï»°ë ÝÏ. 37):

ÜÏ. 40

ÜÏ. 41

ÜÏ. 42

A A°

B

C D

E

F

B°

C° D°

E°

F°

109

710. ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ¹ñ»°ù < Ï³Ù > Ýß³ÝÁ, áñå»ë½Ç ëï³óí³Í³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ÉÇÝÇ.

³) 632567891 ∗ 24567218, ·) 34567921173 ∗ 4443444259,µ) 196572344932 ∗ 6390032591, ¹) 893123456791 ∗ 31336689325:

711. Èñ³óñ»°ù µ³ó ÃáÕÝí³Í Ãí»ñÁ.

712. 18 ëÙ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ AB Ñ³ïí³ÍÇ íñ³ ·ïÝíáõÙ »Ý ãáñë ßñç³Ý³-·Í»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñ (ï»°ë ÝÏ. 43): àñù³±Ý ¿ ³Û¹ ßñç³Ý³·Í»ñÇ ß³é³íÇÕ-Ý»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:

713. ¶ï»°ù ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÝ ³ëïÕ³ÝÇßÇ ï»ÕáõÙ ·ñ»Éáõ ¹»åùáõÙ Ïëï³óíÇ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) ∗ + 837 = 904, ·) 375 + ∗ = 560, ») 1000 = ∗ + 897,µ) ∗ + 1025 = 2377, ¹) 447 + ∗ = 1682, ½) 21345 = 19731 + ∗:

714. AB Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 14 ëÙ ¿: C ¨ D Ï»ï»ñáí ³ÛÝ µ³Å³Ýí³Í ¿Ù³ë»ñÇ ³ÛÝå»ë, áñ AC Ñ³ïí³ÍÁ ãáñë ³Ý·³Ù »ñÏ³ñ ¿ CD Ñ³ïí³ÍÇó¨ »ñÏáõ ³Ý·³Ù »ñÏ³ñ` DB Ñ³ïí³ÍÇó: ¶ï»°ù ⎢AC ⎢-Ý, ⎢CD ⎢-Ý ¨ ⎢DB ⎢-Ý:

715. Ä³ÙÇ ëÉ³ùÁ 4 Å³ÙáõÙ åïïíáõÙ ¿ áñáß³ÏÇ ³ÝÏÛáõÝáí: àñù³±ÝÅ³Ù³Ý³ÏáõÙ ÝáõÛÝ ³ÝÏÛáõÝáí ÏåïïíÇ ñáå»Ç ëÉ³ùÁ:

ÜÏ. 43

110

716. A ù³Õ³ùáõÙ Ï³ 35000¬áí ³í»ÉÇ µÝ³ÏÇã, ù³Ý B ù³Õ³ùáõÙ, ¨ 47500-áí³í»ÉÇ, ù³Ý C ù³Õ³ùáõÙ: ÀÝ¹³Ù»ÝÁ ù³ÝÇ± µÝ³ÏÇã Ï³ ³Û¹ ù³Õ³ù-Ý»ñáõÙ, »Ã» B ù³Õ³ùáõÙ µÝ³ÏíáõÙ ¿ 1325600 Ù³ñ¹:

717. Ø»Ï Å³Ùí³ ÁÝÃ³óùáõÙ Ë³ÝáõÃÇ ³é³çÇÝ ¹éÝÇó ÙïÝáõÙ »Ý 70 Ñá·Ç,¹áõñë »Ý ·³ÉÇë 30¬Á, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ¹éÝÇó ÙïÝáõÙ »Ý 40 Ñá·Ç, ¨ ¹áõñë »Ý·³ÉÇë 60¬Á: ø³ÝÇ± Ù³ñ¹ ÏÉÇÝÇ Ë³ÝáõÃáõÙ 3 Å Ñ»ïá, »Ã» ëÏ½µáõÙ³ÛÝï»Õ »Õ»É ¿ 20 Ù³ñ¹:

718. âáñë ³ÝáÃÝ»ñáõÙ Ï³ 38 É »·Çåï³óáñ»ÝÇ Ó»Ã: ²é³çÇÝ ³ÝáÃáõÙ Ï³ 10É Ó»Ã, »ñÏñáñ¹áõÙ` 5 ³Ý·³Ù å³Ï³ë, ù³Ý ³é³çÇÝáõÙ, ÇëÏ ÙÛáõë»ñÏáõëáõÙ »Õ³Í Ó»ÃÇ ù³Ý³ÏáõÃÛáõÝÝ»ñÝ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý: ø³ÝÇ±ÉÇïñ Ó»Ã Ï³ ³ÝáÃÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ:

719. Ð³Û»ñ»ÝÇ ³Ûµáõµ»ÝáõÙ 6 ï³éáí ³í»ÉÇ Ï³, ù³Ý éáõë»ñ»ÝÇ ³Ûµáõµ»-ÝáõÙ, ÇëÏ éáõë»ñ»ÝÇ ³Ûµáõµ»ÝáõÙª 8 ï³éáí ³í»ÉÇ, ù³Ý É³ïÇÝ»ñ»ÝÇ³Ûµáõµ»ÝáõÙ: ø³ÝÇ± ï³éÇó ¿ Ï³½Ùí³Í ³Ûµáõµ»ÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ,»Ã» »ñ»ù ³Ûµáõµ»ÝÝ»ñÇ ï³é»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ù³Ý³ÏÁ 97 ¿:

Ä³Ù³óáõÛóÇ ÏÉáñ Ãí³ï³Ëï³ÏÁ áõÕÇÕ ·Í»ñáíµ³Å³Ý»°ù »ñ»ù Ù³ëÇ ³ÛÝå»ë, áñ ³Û¹ Ù³ë»ñáõÙ ·ñí³ÍÃí»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ ÝáõÛÝÁ ÉÇÝ»Ý:

34. àôÔÔ²ÜÎÚ²Ü Ø²ÎºðºêÀ

¶ÛáõÕ»ñáõÙ ¹³ßï»ñÁ ëáíáñ³µ³ñ µ³Å³ÝíáõÙ »Ý áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ó¨ áõÝ»óáÕÑáÕ³ÏïáñÝ»ñÇ (ï»°ë ÝÏ. 44): Þ³ï Ï³ñ¨áñ ¿ Ï³ñáÕ³Ý³É ã³÷»É ÑáÕ³ÏïáñÝ»ñÇÙ³Ï»ñ»ëÝ»ñÁ: â¿± áñ ³ÛÝ µ³ÝÇó, Ã» ÇÝã Ù³Ï»ñ»ëÇ íñ³ åÇïÇ Ï³ï³ñíÇ ó³ÝùÁ,Ï³Ëí³Í ¿ ó³Ý»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ë»ñÙ»ñÇ ù³Ý³ÏáõÃÛáõÝÁ:

Ø³Ï»ñ»ëÝ»ñÁ ã³÷»Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ïíáõÙ »Ý Ýñ³Ýó ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõ-ÃÛáõÝÝ»ñÇó.

ÜÏ. 44

111

1) Ð³í³ë³ñ å³ïÏ»ñÝ»ñÁ (³ÛëÇÝùÝª Ýñ³Ýù, áñáÝù í»ñ³¹ñí»ÉÇëÑ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý) áõÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñ:

2) ºÃ» å³ïÏ»ñÁ ïñáÑíáõÙ ¿ Ù³ë»ñÇ, ³å³ å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁÑ³í³ë³ñ ¿ Ýñ³ Ù³ë»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ:

ÆëÏ ÇÝãå»±ë »Ý ã³÷áõÙ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ: ä»ïù ¿ í»ñóÝ»É ã³÷Ù³ÝÙÇ³íáñª ù³é³ÏáõëÇ, ¨ ï»ëÝ»É, Ã» ³ñ¹Ûáù áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÝ ³ÙµáÕçáõÃÛ³ÙµÏ³½Ùí³Í ¿ ³Û¹åÇëÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇó (ï»°ë ÝÏ. 45): ºÃ» ³Ûá, ³å³ ³Û¹ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÇÝ ¿É Ñ³í³ë³ñ ÏÉÇÝÇ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:

àñå»ë Ù³Ï»ñ»ëÇ ã³÷Ù³Ý ÙÇ³íáñ ëáíáñ³µ³ñ í»ñóÝáõÙ »Ý 1 ÙÙ, 1 ëÙ, 1 ¹Ù,1 Ù Ï³Ù 1 ÏÙ ÏáÕÙ áõÝ»óáÕ ù³é³ÏáõëÇ: Ø³Ï»ñ»ëÇ ³Û¹ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ³Ýí³ÝáõÙÝ»ñÝ »Ýª ù³é³ÏáõëÇ ÙÇÉÇÙ»ïñ (1 ÙÙ2), ù³é³ÏáõëÇ ë³ÝïÇÙ»ïñ(1 ëÙ2), ù³é³ÏáõëÇ ¹»óÇÙ»ïñ (1 ¹Ù2), ù³é³ÏáõëÇ Ù»ïñ (1 Ù2), ù³é³ÏáõëÇÏÇÉáÙ»ïñ (1 ÏÙ2): ¶ÛáõÕ³ïÝï»ëáõÃÛ³Ý Ù»ç û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»Ïï³ñ(1 Ñ³) ã³÷Ù³Ý ÙÇ³íáñÁ: 1 Ñ»Ïï³ñÁ 100 Ù ÏáÕÙáí ù³é³Ïáõëáõ Ù³Ï»ñ»ëÝ ¿:

àõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ áñáß»É Ýñ³ ÏáÕÙ»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÙÇçáóáí: ºÃ», ûñÇÝ³Ï, áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ÙÇ ÏáÕÙÇ »ñÏ³ÛÝùáí ÏáÕù ÏáÕùÇï»Õ³íáñáõÙ ¿ 3 ù³é³ÏáõëÇ, ÇëÏ ÙÛáõëÇ »ñÏ³ÛÝùáíª 4, ³å³ å³ñ½ ¿, áñáõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù»ç Ïï»Õ³íáñíÇ 3 ⋅ 4 = 12 ù³é³ÏáõëÇ: î»ëÝáõÙ »Ýù, áñ áõÕÕ³Ý-ÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Ýñ³ ÏáÕÙ»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ:

²Ûë Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ÑÇÙ³Ý íñ³ Ï³ñáÕ »Ýù, ûñÇÝ³Ï, ·ñ»É. 1 ëÙ2 = 1 ëÙ ⋅ 1 ëÙ =

=10 ÙÙ ⋅ 10 ÙÙ = 100 ÙÙ2 : ²ÛëåÇëáí` 1 ëÙ2 = 100 ÙÙ2 :ÜáõÛÝ Ï»ñå Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É Ý³¨ Ù³Ï»ñ»ëÇ ã³÷Ù³Ý ÙÛáõë ÙÇ³íáñÝ»ñÇ

Ñ³ñ³µ»ñ³ÏóáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. 1 ¹Ù2 = 100 ëÙ2 ,

1Ù2 = 100 ¹Ù2 , Ï³Ù 1 Ù2 = 10000 ëÙ2 ,

1 ÏÙ2 = 1000000 Ù2 :

720. àñá±Ýù »Ý Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:721. Ø³Ï»ñ»ëÇ ã³÷Ù³Ý Ç±Ýã ÙÇ³íáñÝ»ñ ·Çï»ù:

ÜÏ. 45

112

722. àñù³±Ý ¿ å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, »Ã» ³ÛÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ µ³Å³Ý»É 1 ëÙ ÏáÕÙáí42 ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ:

723. ÆÝãÇ± »Ý Ñ³í³ë³ñ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ¨ ù³é³Ïáõëáõ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÁ:724. ø³ÝÇ± ù³é³ÏáõëÇ Ù»ïñ Ï³ 1 Ñ»Ïï³ñáõÙ:725. ²ñï³Ñ³Ûï»°ùª

³) ù³é³ÏáõëÇ Ù»ïñ»ñáí. 1300000 ëÙ2, 21 ÏÙ2.µ) ù³é³ÏáõëÇ ÏÇÉáÙ»ïñ»ñáí. 2800000000Ù2, 6500000000 ëÙ2.·) Ñ»Ïï³ñÝ»ñáí. 2470000 Ù2, 675 ÏÙ2:

726. ÆÝãù³±Ý ¿ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ, »Ã» Ýñ³»ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 5 ëÙ ¿, É³ÛÝáõÃÛáõÝÁª 4 ëÙ:

727. ¶ï»°ù å³ïÏ»ñÇ (ÝÏ. 46) Ù³Ï»ñ»ëÁ:728. àñù³±Ý ¿ ù³é³Ïáõëáõ ÏáÕÙÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ,

»Ã» Ýñ³ Ù³Ï»ñ»ëÁ`³) 4 ëÙ2

¿, ·) 25 ÙÙ2 ¿,µ) 9 Ù2 ¿, ¹) 16 ëÙ2 ¿:

729. àõÝ»Ýù ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ù³Ï»ñ»ëÝ áõÝ»óáÕ »ñÏáõáõÕÕ³ÝÏÛáõÝ: ²é³çÇÝÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 25 ëÙ¿, É³ÛÝáõÃÛáõÝÁª 4 ëÙ: ºñÏñáñ¹ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý»ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 20 ëÙ ¿: ¶ï»°ù Ýñ³ É³ÛÝáõ-ÃÛáõÝÁ:

730. ²é³í»É Ñ³ñÙ³ñ »Õ³Ý³Ïáí ·ï»°ù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý³ñÅ»ùÁ.

³) 62 + 62 + 62 + 62 + 90,µ) 403 + 403 + 403 + 403 + 85 + 403,·) 64 + 36 + 64 + 36 + 64 + 36,¹) 22 + 78 + 78 + 78 + 78 + 22 + 22 + 22:

731. ¶ï»°ù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.³) (3373 + 12828) ⋅ (1131 – 1024),µ) (3199 + 153) ⋅ (4271 – 820),·) (9191806 + 1024) : (6101 – 1288),¹) (14614668 + 322) : (9696 – 481),») (1200 – 294) ⋅ 78 – (560 + 294) : 14 :

732. ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»°ù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝß³ÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ( + , – , ⋅ , : ), áñå»ë½Ç ëï³óíÇ ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) 5 ∗ 2 = 49 ∗ 7, ¹) 7 ∗ 5 = 80 ∗ 45,µ) 30 ∗ 25 = 20 ∗ 4, ») 18 ∗ 10 = 2 ∗ 4,·) 6 ∗ 7 = 24 ∗ 11, ½) 55 ∗ 11 = 44 ∗ 0:

733. ÐÝ·³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ 30 ëÙ ¿: Üñ³ ³Ù»Ý³Ù»Í ÏáÕÙÁ 8 ëÙ ¿, ÇëÏ³Ù»Ý³÷áùñÁª 4 ëÙ: ØÛáõë »ñ»ù ÏáÕÙ»ñÝ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý: àñù³±Ý ¿³Û¹ ÏáÕÙ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ:

ÜÏ. 46

113

ÜÏ. 48

734. Ü³Ë ï»ëáÕ³Ï³Ý ïå³íáñáõÃÛ³Ùµ, ³å³ ù³ÝáÝÇ ÙÇçáóáí áñáß»°ù, Ã»áõÕÇÕÝ»ñ »Ý ³ñ¹Ûáù AB ¨ CD ·Í»ñÁ (ÝÏ. 47):

735. àõÝ»Ýù 1 Ù ÏáÕÙ áõÝ»óáÕ »ñÏáõ ù³é³ÏáõëÇ: ²é³çÇÝ ù³é³ÏáõëÇÝ µ³Å³Ý»É »Ý1 ¹Ù ÏáÕÙáí ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ̈¹ñ³Ýù ¹³ë³íáñ»Éáí ÏáÕù ÏáÕùÇ ̀Ï³½Ù»É »ÝÙÇ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ: ºñÏñáñ¹ ù³é³ÏáõëÇÝ µ³Å³Ý»É »Ý 1 ëÙ ÏáÕÙáíù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ̈¹ñ³Ýù ÝáõÛÝ Ï»ñå ¹³ë³-íáñ»Éáí ̀Ï³½Ù»É »Ý Ù»Ï áõñÇß áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ:²Û¹ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇó áñÇ± »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ ¿³í»ÉÇ Ù»Í ̈ ù³ÝÇ± ³Ý·³Ù:

736. îñí³Í »Ý »ñÏáõ ßñç³Ý³·Í»ñ, áñáÝó ß³-é³íÇÕÝ»ñÝ »Ý` 5 ëÙ ¨ 3 ëÙ (ï»°ë ÝÏ. 48):¶ï»°ù OA Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ:

737. ÈáÉÇÏÇ µ»ñùÁ Éóí³Í ¿ ³ñÏÕ»ñÇ Ù»çª Ûáõñ³-ù³ÝãÛáõñáõÙ 15 Ï·: ø³ÝÇ± ïáÝÝ³ ÉáÉÇÏ ¿ Ñ³í³ùí»É, »Ã» µ»ñùÁ ï»Õ³-÷áË»Éáõ Ñ³Ù³ñ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ 200 Ù»ù»Ý³, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙï»Õ³íáñíáõÙ ¿ 400 ³ñÏÕ:

738. àõëáõóÇãÁ ¹³ë³ñ³Ý µ»ñ»ó 57 ï»ïñ ¨ Ñ³í³ë³ñ µ³Å³Ý»ó ³ß³Ï»ñï-Ý»ñÇÝ: ø³ÝÇ± ³ß³Ï»ñï Ï³ñ ¹³ë³ñ³ÝáõÙ, ¨ ù³ÝÇ± ï»ïñ ëï³ó³íÝñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ:

739. Ð»ñÃ³·³ÛáÕ Ù»Í ¨ ÷áùñ áõÉáõÝùÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í áõÉáõÝù³ß³ñáõÙ Ï³50 áõÉáõÝù: àõÉáõÝù³ß³ñÇ Ã»ÉÁ Ïïñí»É ¿, ¨ Ã³÷í³Í áõÉáõÝùÝ»ñÇó 9¬ÁÏáñ»É »Ý, ÁÝ¹ áñáõÙ Ïáñ³ÍÝ»ñÇ Ù»ç ÷áùñ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù³í»ÉÇ ¿, ù³Ý Ù»Í»ñÇÝÁ: ø³ÝÇ± Ù»Í ¨ ù³ÝÇ± ÷áùñ áõÉáõÝù ¿ ÙÝ³ó»É:

ÜÏ. 47

ä³ñëÇÏÝ»ñÇ ¹»Ù Ñ³Û»ñÇ ³åëï³Ùµ³Í Å³Ù³Ý³Ï, »ñµ ¼áñ³ÏÎ³Ùë³ñ³Ï³ÝÁ ëå³Ý»ó êáõñ»ÝÇÝ, Ñ³Û ³½Ýí³Ï³ÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ¹»ëå³ÝáõÕ³ñÏ»ó å³ñëÇó Ã³·³íáñÇ Ùáïª ³Û¹ ·áõÛÅÁ Ýñ³Ý Ñ³Õáñ¹»Éáõ:¸»ëå³ÝÁ ·ÝáõÙ ¿ñ ûñ³Ï³Ý 50 ÙÕáÝ: 15 ûñ Ñ»ïá, »ñµ ¼áñ³Ï

Î³Ùë³ñ³Ï³ÝÝ ³Û¹ ÇÙ³ÝáõÙ ¿, ¹»ëå³ÝÇÝ µéÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ýñ³ »ï¨ÇóÑ»ï³åÝ¹áÕÝ»ñ ¿ áõÕ³ñÏáõÙ, áñáÝù ³ÝóÝáõÙ ¿ÇÝ ûñ³Ï³Ý 80 ÙÕáÝ(×³Ý³å³ñÑ):

²ñ¹ª ÇÙ³óÇ°ñ, Ã» Ýñ³Ýù ù³ÝÇ± ûñáõÙ ÏÑ³ëÝ»ÇÝ ¹»ëå³ÝÇÝ:²Ý³ÝÇ³ ÞÇñ³Ï³óÇ, §ÊÝ¹ñ³·Çñù¦,

áõÃ»ñáñ¹ ËÝ¹Çñ, Ð³Û³ëï³Ý, VII ¹ .

114

35. àôÔÔ²ÜÎÚàôÜ²ÜÆêî

¸Çï»Ýù 49-ñ¹ ÝÏ³ñÁ: ²Ûëï»Õ Ý»ñÏ³Û³óí³Í å³ïÏ»ñÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »ÝáõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëï (ãáñëáõ): Æ±Ýã ³é³ñÏ³Ý»ñ áõÝ»Ý ³Û¹ Ó¨Á: ²Ûë Ñ³ñóÇÝï³ñµ»ñ å³ï³ëË³ÝÝ»ñ Ï³ñáÕ »Ý ïñí»É: Ø»ÏÁ Ï³ëÇª Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇóµ³½Ù³Ñ³ñÏ ß»ÝùÁ, ÙÇ áõñÇßÁª ³ÕÛáõëÁ, »ññáñ¹Áª ïÇÏÝÇÏÇ ïáõ÷Á: ºí Ýñ³ÝùµáÉáñÝ Çñ³í³óÇ ÏÉÇÝ»Ý, ù³ÝÇ áñ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ýå³ïÏ»ñ ¿, áñÝ ³ñï³óáÉáõÙ ¿ ³Û¹ ³é³ñÏ³Ý»ñÇ Ó¨Á áñáßáÕ ÑÇÙÝ³Ï³ÝÑ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÁ Ï³½Ùí³Í ¿ í»ó áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇó (ÝÇëï»ñÇó).ÝÇëï»ñÇ ÏáÕÙ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ ÏáÕ»ñ, ÇëÏ ÝÇëï»ñÇ·³·³ÃÝ»ñÁª áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ ·³·³ÃÝ»ñ (ï»°ë ÝÏ. 50):àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ Ñ³Ý¹Çå³Ï³ó ÝÇëï»ñÁ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý:àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ ëïáñÇÝ (Ï³Ù í»ñÇÝ) ÝÇëïÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ ̈ É³ÛÝáõÃÛáõÝÁÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ ¨ É³ÛÝáõÃÛáõÝ. Ýñ³ÝóáõÕÕ³Ñ³Û³ó ÏáÕÁ ÏáãíáõÙ ¿ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝ:àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ, É³ÛÝáõÃÛáõÝÁ ¨ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ áõÝ»ÝÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ýí³ÝáõÙ`áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ ã³÷áõÙÝ»ñ:

²ÛÝ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÁ, áñÇ µáÉáñ ÏáÕ»ñÝ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý, ÏáãíáõÙ¿ Ëáñ³Ý³ñ¹:

740. àñá±Ýù »Ý áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ ã³÷áõÙÝ»ñÁ:741. Æ±Ýã »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÝ»ñ »Ý áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ ÝÇëï»ñÁ:

ÜÏ. 49 ÜÏ. 50

115

742. ÆÝãåÇëÇ± áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÝ ¿ ÏáãíáõÙ Ëáñ³Ý³ñ¹:743. Âí»°ù ÙÇ ù³ÝÇ ³é³ñÏ³, áñáÝù áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ Ó¨ áõÝ»Ý:744. ø³ÝÇ± ÝÇëï, ÏáÕ, ·³·³Ã áõÝÇ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÁ:745. àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ á±ñ ÏáÕ»ñÝ »Ý Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ:746. î³ñµ»ñ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ áõÝ»óáÕ ù³ÝÇ± ÏáÕ Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É áõÕÕ³Ý-

ÏÛáõÝ³ÝÇëïÁ:747. ¶Í»°ù áñ¨¿ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëï ¨ Ýß»°ù Ýñ³ »ñÏáõ ·³·³ÃÝ»ñ, áñáÝù

Çñ³ñÇó ³é³í»É³·áõÛÝ ã³÷áí »Ý Ñ»éáõ:748. Æ±Ýã å³ïÏ»ñÝ»ñ »Ý Ëáñ³Ý³ñ¹Ç ÝÇëï»ñÁ:749. Êáñ³Ý³ñ¹Ç µáÉáñ ÏáÕ»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 84 ëÙ ¿: ÆÝãù³±Ý ¿

Ýñ³ Ù»Ï ÏáÕÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ:750. Êáñ³Ý³ñ¹Ç µáÉáñ ÝÇëï»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 150 ëÙ

2 ¿: ÆÝãù³±Ý ¿

Ýñ³ Ù»Ï ÝÇëïÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:751. àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ ã³÷áõÙÝ»ñÝ »Ý` 3 ëÙ, 5 ëÙ, 7 ëÙ: ¶ï»°ù áõÕÕ³ÝÏ-

ÛáõÝ³ÝÇëïÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (³ÛëÇÝùÝ` Ýñ³ µáÉáñ ÝÇëï»ñÇÙ³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ):

752. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) 8 ⋅ 23 ⋅ 22, ·) 5 ⋅ 836 ⋅ 141, ») 9 ⋅ 216 ⋅ 34744, ¿) 19 ⋅ 9 ⋅ 261,µ) 98 ⋅ 57 ⋅ 14, ¹) 35 ⋅ 178 ⋅ 86, ½) 24 ⋅ 66 ⋅ 10, Á) 75 ⋅ 3 ⋅ 15:

753. Ü»ñÏ³Û³óñ»°ù 24 ÃÇíÁ »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí ³ÛÝå»ë, áñª³) Ãí»ñÝ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝ»Ý,µ) Ãí»ñÇó Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇó 2 ³Ý·³Ù ÷áùñ ÉÇÝÇ,·) Ãí»ñÇó Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇó 12¬áí Ù»Í ÉÇÝÇ:

754. ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»°ù ³ÛÝåÇëÇ Ãí³Ýß³Ý, áñ ëï³óí³Í³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ÉÇÝÇ.

³) 25∗7 > 2537 , ¹) 1085 < 10∗5 ,µ) ∗568 > 4568 , ») 88562∗ < 8856∗3 ,·) 72∗3 > 7243 , ½) ∗0∗3 < ∗2∗33 :

755. Æ±Ýã Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñ áõÝ»Ý A, B, C, D Ï»ï»ñÁ.

756. àõÝ»Ýù ABCD ù³é³ÝÏÛáõÝÁ, áñÇ å³ñ³·ÇÍÁ 40 ëÙ ¿: Üñ³ ÷áùñ ÏáÕÙ»-ñÁª AB-Ý ¨ CD-Ý, Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý: Ð³ÛïÝÇ ¿ Ý³¨, áñ ⎢BC ⎢ = 10 ëÙ,⎢AD ⎢ = 18 ëÙ: ¶ï»°ù ù³é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ÏáÕÙ»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

116

ÜÏ. 52

757. ²é³Ýó AB ̈ BC Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁ (ï»°ë ÝÏ. 51) ã³÷»Éáõ` Ñ³Ù»Ù³ï»°ù ¹ñ³Ýó»ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ¸ñ³ÝÇó Ñ»ïá ã³÷»°ù Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁ ¨ ëïáõ·»°ù Ó»ñå³ï³ëË³ÝÇ ×ßïáõÃÛáõÝÁ:

758.Î÷áËíÇ± ³ñ¹Ûáù áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ, »Ã»Ýñ³ ÷áùñ ÏáÕÙÁ (12 ëÙ) 3 ³Ý·³Ù ÷áù-ñ³óÝ»Ýù, ÇëÏ Ù»Í ÏáÕÙÁ (18 ëÙ) ÝáõÛÝù³Ý³Ý·³Ù Ù»Í³óÝ»Ýù:

759. ÎáÕù ÏáÕùÇ ¹ñí³Í 9 ÙÇ³ÝÙ³Ý áõÕÕ³Ý-ÏÛáõÝÝ»ñÁ Ï³½ÙáõÙ »Ý 18 ëÙ ÏáÕÙáí ù³é³-ÏáõëÇ (ï»°ë ÝÏ. 52): ¶ï»°ù Ù»Ï áõÕÕ³ÝÏÛ³ÝÙ³Ï»ñ»ëÁ:

760. àõÝ»Ýù ÙÇ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ, áñÇÝ Ý»ñ·Íí³Í »Ý5 ÙÇ³ÝÙ³Ý ßñç³Ý³·Í»ñ (ÝÏ. 53): àñù³±Ý ¿áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ, »Ã» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕÁ 2 ëÙ ¿:

761. ²íïáÏ³Û³ÝáõÙ Ñ³í³ùí»É ¿ 384 áõÕ¨áñ: ºÕ³Í 6 ³íïáµáõëÝ»ñÇóÛáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ 32 áõÕ¨áñ: ØÝ³ó³Í áõÕ¨áñÝ»ñÇÝï»Õ³÷áË»Éáõ Ñ³Ù³ñ åÇïÇ µ»ñí»Ý ³í»ÉÇ ÷áùñ ³íïáµáõëÝ»ñ` Ûáõñ³-ù³ÝãÛáõñáõÙ 24 ï»Õ: ø³ÝÇ± ÷áùñ ³íïáµáõë ¿ ³ÝÑñ³Å»ßï, áñå»ë½ÇµáÉáñ áõÕ¨áñÝ»ñÁ Ï³ñáÕ³Ý³Ý Ù»ÏÝ»É:

Îé³Ñ»°ù, Ã» ÇÝã Ãí»ñ åÇïÇ ·ñí³Í ÉÇÝ»Ý ¹³ï³ñÏ ßñç³Ý³Ï-Ý»ñáõÙ:

ÜÏ. 53

ÜÏ. 51

117

36. Ì²ì²È. àôÔÔ²ÜÎÚàôÜ²ÜÆêîÆ Ì²ì²ÈÀ

Ð³×³Ë ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÉÇÝáõÙ Ñ³Ù»Ù³ï»É áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ Ó¨ áõÝ»óáÕ³é³ñÏ³Ý»ñÇ ï³ñáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨ ÇÙ³Ý³É, Ã» ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»çÇÝãù³Ý ï»Õ »Ý ½µ³Õ»óÝáõÙ ³Û¹åÇëÇ ³é³ñÏ³Ý»ñÁ: ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿Ï³ñáÕ³Ý³É ã³÷»É ¹ñ³Ýó Í³í³ÉÝ»ñÁ: Ì³í³ÉÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ï³ñ¨áñÑ³ïÏáõÃÛáõÝÁ. »Ã» Ù³ñÙÇÝÁ ïñáÑíáõÙ ¿ Ù³ë»ñÇ, ³å³ Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁÑ³í³ë³ñ ¿ Ýñ³ Ù³ë»ñÇ Í³í³ÉÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ:

àñå»ë Í³í³ÉÇ ã³÷Ù³Ý ÙÇ³íáñ í»ñóÝáõÙ »Ý ÙÇ Ëáñ³Ý³ñ¹ ¨ ëïáõ·áõÙ,Ã» ³ñ¹Ûáù ã³÷íáÕ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÝ ³ÙµáÕçáõÃÛ³Ùµ Ï³½Ùí³Í ¿ ³Û¹-åÇëÇ Ëáñ³Ý³ñ¹Ý»ñÇó: ºÃ» ³Ûá, ³å³ ¹ñ³Ýó ù³Ý³ÏÇÝ ¿É Ñ³í³ë³ñ ¿áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ Í³í³ÉÁ:

54-ñ¹ ÝÏ³ñÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ å³ïÏ»ñí³Í áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÁ µ³ÕÏ³ó³Í¿ 5 ß»ñï»ñÇó, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ Ï³ 3 ⋅ 4 Ëáñ³Ý³ñ¹: ²ÛëåÇëáíªëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ Í³í³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Ýñ³ ÏáÕ»ñÇ»ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ:

àñå»ë Í³í³ÉÇ ÙÇ³íáñ ëáíáñ³µ³ñ í»ñóÝáõÙ »Ý 1 ëÙ, 1 ¹Ù Ï³Ù 1 Ù ÏáÕáíËáñ³Ý³ñ¹: Ì³í³ÉÇ ³Û¹ ÙÇ³íáñÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ëáñ³Ý³ñ¹ ë³ÝïÇÙ»ïñ(1 ëÙ3), Ëáñ³Ý³ñ¹ ¹»óÇÙ»ïñ (1 ¹Ù3), Ëáñ³Ý³ñ¹ Ù»ïñ (1 Ù3): ²Û¹ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³ñ³µ»ñ³ÏóáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.

1 ¹Ù3 = 1000 ëÙ3 ,1 Ù3 = 1000 ¹Ù3 , Ï³Ù 1 Ù3 = 1000000 ëÙ3 :

ÜÏ. 54

118

762. Âí»°ù Í³í³ÉÇ Ó»½ Ñ³ÛïÝÇ ÙÇ³íáñÝ»ñÁ:763. Æ±Ýã »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝ Ëáñ³Ý³ñ¹Ç ÏáÕÁ, áñÇ Í³í³ÉÁ 1 ëÙ

3 ¿:

764. ÆÝãÇ± »Ý Ñ³í³ë³ñ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ ¨ Ëáñ³Ý³ñ¹Ç Í³í³ÉÝ»ñÁ:765. ¶ï»°ù áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ Í³í³ÉÁ, »Ã» Ýñ³ ÏáÕ»ñÝ »Ýª

³) 3 ëÙ, 5 ëÙ, 6 ëÙ. ·) 7 ëÙ, 11 ëÙ, 3 ëÙ. ») 2 Ù, 5 ¹Ù, 10 ëÙ.µ) 10 ¹Ù, 8 ëÙ, 2 ëÙ. ¹) 8 Ù, 13 Ù, 9 Ù. ½) 4 ¹Ù, 7 ¹Ù, 12 ¹Ù:

766. ¶Í»°ù 2 ëÙ É³ÛÝáõÃÛ³Ùµ, 5 ëÙ »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ ¨ 6 ëÙ µ³ñÓñáõÃÛ³ÙµáõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëï: Ð³ßí»°ù ³Û¹ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ Í³í³ÉÁ:

767. ä³ïÏ»ñí³Í Ù³ñÙÇÝÝ»ñÁ (ÝÏ. 55) µ³ÕÏ³ó³Í »Ý 1 ëÙ »ñÏ³ñáõÃÛ³ÙµÏáÕ áõÝ»óáÕ Ëáñ³Ý³ñ¹ÇÏÝ»ñÇó: ¶ï»°ù ³Û¹ Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ Í³í³ÉÝ»ñÁ:

768. 1 ëÙ »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ ÏáÕ áõÝ»óáÕ Ëáñ³Ý³ñ¹ÇÏÝ»ñÇó Ï³½Ù»É »Ý ÙÇËáñ³Ý³ñ¹, áñÇ ÏáÕÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 4 ëÙ ¿: ø³ÝÇ± Ëáñ³Ý³ñ¹ÇÏ ¿û·ï³·áñÍí»É:

769. à±ñ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ Í³í³ÉÝ ¿ ³í»ÉÇ Ù»Íª 17 ëÙ, 15 ëÙ, 14 ëÙ ÏáÕ»ñáõÝ»óáÕÇ±ÝÁ, Ã»± 11 ëÙ, 23 ëÙ, 10 ëÙ:

770. ²ñï³Ñ³Ûï»°ù`³) Ëáñ³Ý³ñ¹ ë³ÝïÇÙ»ïñ»ñáí.

12 Ù3, 32 Ù

3 6 ¹Ù

3, 5 Ù

3 90 ¹Ù

3 300 ëÙ

3.

µ) Ëáñ³Ý³ñ¹ ¹»óÇÙ»ïñ»ñáí. 343000 ëÙ

3, 17280000 ëÙ

3:

771. ¸³ë³ë»ÝÛ³ÏÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 3 Ù ¿, »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁª 12 Ù, É³ÛÝáõÃÛáõÝÁª 6 Ù:¸³ë³ë»ÝÛ³ÏÁ Ý³Ë³ï»ëí³Í ¿ 27 ³ß³Ï»ñïÇ Ñ³Ù³ñ: ø³ÝÇ± Ëáñ³-Ý³ñ¹ Ù»ïñ û¹ ¿ µ³ÅÇÝ ÁÝÏÝáõÙ Ù»Ï ³ß³Ï»ñïÇÝ:

ÜÏ. 55

119

772. Ð³ßí»°ù.³) 255 : 17 + 0 : 146 + 782 : 34, ¹) 3551 : 67 – 2236 : 43 – 1 : 1,µ) 342 : 19 + 891 : 27 – 29 : 1, ») 5994 : 74 + 10010 : 182 – 87,·) 858 : 22 – 324 : 12 + 94, ½) 5952 : 93 + 20808 : 18 – 109:

773. Ü»ñÏ³Û³óñ»°ù 18 ÃÇíÁ áñå»ë »ñÏáõ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É µáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ»Õ³Ý³ÏÝ»ñáí:

774. ºÃ» ³Ù»Ý ÙÇ ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Ýù áñ¨¿ Ãí³Ýß³Ý, ³å³ëï³óí³Í Ãí»ñÇó á±ñÝ ³í»ÉÇ Ù»Í ÏÉÇÝÇ.

³) 67∗, Ã»± 69∗, ·) 376∗, Ã»± ∗764∗, ») ∗∗∗∗, Ã»± ∗∗∗,µ) 5000, Ã»± 6∗∗∗, ¹) ∗3∗∗, Ã»± ∗8∗, ½) 2∗3, Ã»± 294:

775. ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»°ù ³ÝÑñ³Å»ßï Ãí»ñÁ, áñå»ë½Çëï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ×Çßï ÉÇÝ»Ý.

³) 1 ëÙ = ∗ ÙÙ, ») ∗ Å = 3600 í, Ã) 43 ï = ∗ ·,µ) 90 ÙÙ = ∗ ëÙ, ½) ∗ í = 120 ñ, Å) 53 Ï· = ∗ ·,·) ∗ ëÙ = 2 Ù, ¿) 120 ñ = ∗ Å, Å³) ∗ Ï· = 2000 ·,¹) ∗ ëÙ = 11 ÏÙ, Á) 2 ûñ = ∗ Å, Åµ) ∗ Ï· = 2 ï:

776. ¶ñ»°ù áñ¨¿ »ñÏÝÇß ÃÇí ¨ Ýñ³ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç ÷áË»°ù ï³ëÝ³íáñÝ»ñÇ áõÙÇ³íáñÝ»ñÇ Ï³ñ·»ñáõÙ ·ñí³Í Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ï»Õ»ñÁ: àñáß»°ù, Ã» ³Û¹»ñÏáõ Ãí»ñÇó ³í»ÉÇ Ù»ÍÁ ³í»ÉÇ ÷áùñÇó áñù³Ýáí ¿ Ù»Í:

777. ¶ï»°ù áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ ¨ Ù³Ï»ñ»ëÁ, »Ã» Ýñ³ É³ÛÝáõÃÛáõÝÁ 12 ëÙ¿ ¨ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÇó 7 ëÙ¬áí ÷áùñ ¿:

778. ¶ï»°ù Ëáñ³Ý³ñ¹Ç Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (µáÉáñ ÝÇëï»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ·áõÙ³ñÁ), »Ã» Ýñ³ ÏáÕÁ 5 ëÙ ¿:

779. ºñÏáõ ÑáÕ³ÏïáñÝ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ù³Ï»ñ»ëÁ 500 Ñ³ ¿: ºÃ» »ñÏñáñ¹ÑáÕ³ÏïáñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ Ù»Í³óÝ»Ýù 20 Ñ³-áí, ³å³ »ñÏáõ ÑáÕ³ÏïáñÝ»ñÁÙÇ¨ÝáõÛÝ Ù³Ï»ñ»ëÁ ÏáõÝ»Ý³Ý: àñù³±Ý ¿ ³Ù»Ý ÙÇ ÑáÕ³ÏïáñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:

780. ²Û·ÇÝ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ó¨ áõÝÇ: Üñ³ ÙÇ ÏáÕÙÁ 26 Ù 73 ëÙ ¿, ÇëÏ ÙÛáõëÁª 325 ëÙ¬áí³í»ÉÇ: ¶ï»°ù ³Û·ÇÝ ßñç³÷³ÏáÕ ó³ÝÏ³å³ïÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ:

781. ø³ÝÇ± ûñáõÙ ·Ý³óùÁ Ï³ÝóÝÇ 20100 ÏÙ ×³Ý³å³ñÑÁ, »Ã» Ý³ ÁÝÃ³óùÇÙ»ç ÉÇÝÇ ûñ³Ï³Ý 20 Å, ÇëÏ Ýñ³ ß³ñÅÙ³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ 67 ÏÙ/Å:

ÐÇÝ· ÁÝÏ»ñÝ»ñÇª ²ñ³ÙÇ, ²ßáïÇ, ²ñÙ»ÝÇ, îÇ·ñ³ÝÇ ¨ ¼³í»ÝÇ

ÍÝÝ¹Û³Ý ï³ñ»Ãí»ñÁ ï³ñµ»ñ »Ý: Üñ³ÝóÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ ÍÝí»É ¿ 1985 Ã.:

Ð³ÛïÝÇ ¿, áñ ¼³í»ÝÁ ²ßáïÇó Ù»Í ¿, µ³Ûó ²ñÙ»ÝÇó ÷áùñ ¿: îÇ·ñ³ÝÁ

Ù»Í ¿ ²ñ³ÙÇó, ÇëÏ ²ßáïÁ Ù»Í ¿ îÇ·ñ³ÝÇó: îÕ³Ý»ñÇó áí á±ñ Ãí³Ï³ÝÇÝ

¿ ÍÝí»É, »Ã» ²ñ³ÙÁ ÍÝí»É ¿ 1989 Ã.:

120

37. ºðÎð²â²öàôÂÚàôÜÀ ºì Ö²ðî²ð²äºîàôÂÚàôÜÀ

Ö³ñï³ñ³å»ïáõÃÛáõÝÁ ßÇÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ï³éáõóÙ³Ý ³ñí»ëïÝ ¿: ̧ »éÑ³½³ñ³ÙÛ³ÏÝ»ñ ³é³ç Ù³ñ¹ÇÏ Ï³ñáÕ³ÝáõÙ ¿ÇÝ Ññ³ß³ÉÇ Ï³éáõÛóÝ»ñÏ»ñï»É: ´áÉáñÁ ·Çï»Ý, ûñÇÝ³Ï, »·Çåï³Ï³Ý ÷³ñ³íáÝÝ»ñÇ Ñéã³Ï³-íáñ µáõñ·»ñÇ Ù³ëÇÝ (ÝÏ. 56). ÑÇß»Ýù Ý³¨ Ù»ñ Ý³ËÝÇÝ»ñÇ` áõñ³ñ-ï³óÇÝ»ñÇ Ï³éáõó³Í ²ñÇÝµ»ñ¹Ç Ã³·³íáñ³Ï³Ý å³É³ïÁ (ÝÏ. 57):

Þ»ÝùÇ Ï³éáõóáõÙÁ ëÏë»Éáõó ³é³ç ×³ñï³ñ³å»ïÁ Ý³Ë³å»ëåÇïÇ å³ïÏ»ñ³óÝÇ Ýñ³ ï»ëùÁ ¨ ÃÕÃÇ íñ³ å³ïÏ»ñÇ ³ÛÝ, ³ÛëÇÝùÝªáõÝ»Ý³ ß»ÝùÇ ·Í³·ÇñÁ: ¶Í³·ñáõÙ ß»ÝùÇ ï³ññ»ñÁ Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ »Ýáñå»ë »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÝ»ñª áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ, »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñ,ÏÇë³ßñç³Ý³·Í»ñ ¨ ³ÛÉÝ:

úñÇÝ³Ïª µáõñ·Ç ÏáÕù³Ù³ëÝ áõÝÇ »é³ÝÏÛ³Ý Ó¨, ÑÇÙùÁªáõÕÕ³ÝÏÛ³Ý: ºÃ» ¹ÇÙ³óÇó Ý³Û»Ýù ÑÇÝ ÑáõÝ³Ï³Ý ä³ñÃ»ÝáÝ ï³×³ñÇÝ(ÝÏ. 58), ³å³ ·Í³·ñáõÙ ³ÛÝ ÏÝ»ñÏ³Û³Ý³ áñå»ë áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ, áñÇ íñ³»é³ÝÏÛáõÝ ¿ ¹ñí³Í, ÇëÏ ÑÇÝ ÑéáÙ»³Ï³Ý ³Ïí»¹áõÏÁ (çñÙáõÕÇ Ï³ÙáõñçÁ)Ï³ñ»ÉÇ ¿ å³ïÏ»ñ»É áõÕÇÕÝ»ñÇ ¨ ÏÇë³ßñç³Ý³·Í»ñÇ ÙÇçáóáí (ÝÏ. 59):

Ö³ñï³ñ³å»ïÁ, ·Í³·ñáõÙ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÝ»ñÇï³ñµ»ñ ½áõ·³ÏóáõÙÝ»ñÁ ¹Çï³ñÏ»Éáí ¨ ÷á÷áË»Éáí Ýñ³Ýó ã³÷»ñÁ,áñáÝáõÙ ¿ (Ý³Ë³·ÍáõÙ ¿) ßÇÝáõÃÛ³Ý É³í³·áõÛÝ ï³ñµ»ñ³ÏÁ:

ÜÏ. 56

ÜÏ. 57

121

¸ñ³ Ñ³Ù³ñ Ýñ³Ý ³ÝÑñ³-Å»ßï ¿ ÇÙ³Ý³É å³ïÏ»ñÝ»ñÇÑ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ³ÛëÇÝùÝªáõÝ»Ý³É »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ·Ç-ï»ÉÇùÝ»ñ: î»ëÝáõÙ »Ýù, Ã»ÇÝã Ù»Í Ï³ñ¨áñáõÃÛáõÝ áõÝÇ»ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝÁ ×³ñï³-ñ³å»ïáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ:

ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ·Çï»-ÉÇùÝ»ñÇÝ, ³Ýßáõßï, ïÇñ³å»-ïáõÙ ¿ÇÝ Ñ³Û ×³ñï³ñ³å»ï-Ý»ñÁ, áñáÝù ¹»é ÑÇÝ Å³Ù³-Ý³ÏÝ»ñÇó áõÝ»ÇÝ Ý³¨ ×³ñ-ï³ñ³å»ï³Ï³Ý Ó¨»ñÇ Ýáõñµ½·³óáÕáõÃÛáõÝ: ¸ñ³ íÏ³Ûáõ-ÃÛáõÝÝ »Ý Ýñ³Ýó ëï»ÕÍ³Í·ÉáõË·áñÍáóÝ»ñÁ (ÝÏ. 60):

Ð³Û ×³ñï³ñ³å»ïÝ»ñÁáñå»ë Í³ÍÏ»ñÇ Ñ»Ý³ñ³Ý ³-é³çÇÝ ³Ý·³Ù ÏÇñ³é»óÇÝË³ã³Ó¨íáÕ Ï³Ù³ñÝ»ñÁ (ÏÇ-ë³ßñç³Ý³·Í»ñÁ): ²Û¹ ßÇÝ³-ñ³ñ³Ï³Ý ÑÝ³ñÁ Ñ»ï³·³-ÛáõÙ É³ÛÝ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝ ëï³-ó³í »íñáå³Ï³Ý ×³ñï³ñ³-å»ïáõÃÛ³Ý Ù»ç` ·áÃ³Ï³Ý

Ïáãí³Í á×áõÙ:

ÜÏ. 58

ÜÏ. 59ÜÏ. 60

122

38. ´Ü²Î²Ü ÂìÆ ´²Ä²Ü²ð²ðÜºðÜ àô ´²¼Ø²ä²îÆÎÜºðÀ

Ð³í³Ý³µ³ñ µáÉáñÝ ¿É ÏÑ³Ù³Ó³ÛÝ»Ý, áñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí Ãí³µ³Ý³Ï³Ý·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ³Ù»Ý³¹Åí³ñÁ µ³Å³ÝáõÙÝ ¿: ê³Ï³ÛÝ ÙÇ³ÛÝ ¹³ ã¿ å³ï-×³éÁ, áñ µ³Å³ÝáõÙÝ Çñ ÝÏ³ïÙ³Ùµ Ñ³ïáõÏ áõß³¹ñáõÃÛáõÝ ¿ å³Ñ³ÝçáõÙ:Î³ ¨ë Ù»Ï, ³é³í»É Ï³ñ¨áñ Ñ³Ý·³Ù³Ýù:

ÐÇß»Ýù, áñ ·áõÙ³ñáõÙÝ áõ µ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ ÙÇßï ÑÝ³ñ³íáñ ¿ Ï³ï³ñ»É:Ð³ÝáõÙÁ, ãÝ³Û³Í áã ÙÇßï ¿ ÑÝ³ñ³íáñ, Çñ³·áñÍ»ÉÇáõÃÛ³Ý å³ñ½ Ñ³Ûï³ÝÇßáõÝÇ. »Ã» Ýí³½»ÉÇÝ Ù»Í ¿ Ñ³Ý»ÉÇÇó, ³å³ Ñ³ÝáõÙÁ ÑÝ³ñ³íáñ ¿, ÇëÏÑ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿: ´³Å³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ³Û¹åÇëÇ å³ñ½ áõÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ñ³Ûï³ÝÇß ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ: âÏ³ ÙÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ï³ÝáÝ, áñáíÏ³ñ»ÉÇ ¿ áñáß»Éª Ïµ³Å³ÝíÇ ³ñ¹Ûáù ïíÛ³É µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ Ù»Ï ³ÛÉ µÝ³Ï³ÝÃíÇ, Ã» áã: ²Û¹ å³ï×³éáí Ï³ñ¨áñ ¿ ÇÙ³Ý³É, Ã» áñ Ãí»ñÇÝ ¿ µ³Å³ÝíáõÙïíÛ³É µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, ¨ ÇÝãå»ë »Ý ·ïÝíáõÙ ³Û¹ Ãí»ñÁ:

Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÇÝ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ïíÛ³É µÝ³Ï³ÝÃÇíÁ, ÏáãíáõÙ ¿ í»ñçÇÝÇë µ³Å³Ý³ñ³ñ:

úñÇÝ³Ïª 9 ÃíÇ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý 1, 3, 9 Ãí»ñÁ, ÇëÏ 12-Ç µ³Å³Ý³ñ³ñ-Ý»ñÝ »Ý 1, 2, 3, 4, 6, 12 Ãí»ñÁ:

ò³ÝÏ³ó³Í ÃíÇ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»Éª û·ï³·áñÍ»Éáíµ³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÁ: Ø»Í Ãí»ñÇ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ ·ïÝ»ÉÇë Ñ³×³ËÑ³ñÙ³ñ ¿ û·ïí»É Ý³¨ Ãí»ñÇ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇß»ñÇó:

Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ïíÛ³É µÝ³Ï³ÝÃíÇÝ, ÏáãíáõÙ ¿ í»ñçÇÝÇë µ³½Ù³å³ïÇÏ:

²Ûëå»ëª 4 ÃíÇ µ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñ »Ý 4, 8, 12 Ãí»ñÁ, µ³Ûó áã ÙÇ³ÛÝ ¹ñ³Ýù:úñÇÝ³Ï` 16-Á ÝáõÛÝå»ë 4-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ¿: ¸Åí³ñ ã¿ ï»ëÝ»É, áñ 4, 8, 12,16 Ãí»ñÁ ëï³óíáõÙ »Ý 4-Á 1, 2, 3, 4 Ãí»ñáí Ñ³çáñ¹³µ³ñ µ³½Ù³å³ïÏ»ÉáõÙÇçáóáí: ´³½Ù³å³ïÏ»Éáí 4-Á ³ÛÉ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñáíª Ïëï³Ý³Ýù 4-ÇÝáñ³Ýáñ µ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñ` 20, 24, 28, 32, ...

ä³ñ½ ¿, áñ ³Ûë Ï»ñå Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý ÃíÇ µ³½Ù³-å³ïÇÏÝ»ñÁ:

´Ü²Î²Ü ÂìºðÆ ´²Ä²ÜºÈÆàôÂÚàôÜÀ

123

782. Æ±Ýã ¿ µÝ³Ï³Ý ÃíÇ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ:783. Æ±Ýã ¿ µÝ³Ï³Ý ÃíÇ µ³½Ù³å³ïÇÏÁ:784. à±ñÝ ¿ ³ÛÝ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÁ ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý ÃíÇ µ³Å³Ý³ñ³ñ ¿:785. ²éÝí³½Ý ù³ÝÇ± µ³Å³Ý³ñ³ñ Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É 1-Çó ï³ñµ»ñ µÝ³Ï³Ý

ÃÇíÁ:786. îíÛ³É µÝ³Ï³Ý ÃíÇ µ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ Ù»ç Ï³± ³ñ¹Ûáù ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ:

ÆëÏ ³Ù»Ý³÷á±ùñÁ:787. Î³ï³ñ»°ù µ³Å³ÝáõÙ.

³) 162756 : 137 , ·) 529470 : 222 , ») 315082 : 514 ,µ) 788172 : 924 , ¹) 268568 : 472 , ½) 105651 : 117 :

788. 4366 ÃíÇ µ³Å³Ý³ñ³±ñ ¿ ³ñ¹Ûáù 37 ÃÇíÁ: ÆëÏ 4549-Ç±:789. ¶ï»°ù ÃíÇ µáÉáñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ.

³) 10, ¹) 20, ¿) 31,µ) 15, ») 24, Á) 32,·) 18, ½) 27, Ã) 40:

790. 5, 9, 18, 15, 20 Ãí»ñÇó áñá±Ýù »Ý 90-Ç µ³Å³Ý³ñ³ñ:791. 140, 39, 82, 35, 24 Ãí»ñÇó áñá±Ýó µ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿ 5-Á:792. ÆÙ³Ý³Éáí, áñ 15-Á ÇÝã-áñ µÝ³Ï³Ý ÃíÇ µ³Å³Ý³ñ³ñ ¿, Ï³ñá±Õ »ù Ýß»É

³Û¹ ÃíÇ` Ù»ÏÇó ï³ñµ»ñ áñ¨¿ áõñÇß µ³Å³Ý³ñ³ñ:793. ¶ï»°ù ïñí³Í ÃíÇ µ³½Ù³å³ïÇÏ áñ¨¿ ÑÇÝ· ÃÇí.

³) 1, ¹) 11, ¿) 121,µ) 2, ») 36, Á) 572,·) 5, ½) 57, Ã) 901:

794. 15-Çó ÙÇÝã¨ 40 µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ÁÝïñ»°ù ³ÛÝ µáÉáñ Ãí»ñÁ, áñáÝù ïñí³ÍÃíÇ µ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÝ »Ý.³) 2, ·) 5, ») 10, ¿) 13,µ) 4, ¹) 6, ½) 11, Á) 21:

795. êïáõ·»°ù, Ã» ³ñ¹Ûáù 136, 1496, 7480, 634304 Ãí»ñÁ 17-Ç µ³½Ù³-å³ïÇÏÝ»ñ »Ý:

796. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) (8372 + 167) ⋅ (7009 + 494) ,µ) (11092 – 6050) ⋅ (7963 – 5088) ,·) (153738 : 234) ⋅ (222588 : 687) ,¹) (13254 + 28398) : (7092 – 6736) :

797. ¶ï»°ù ³é³çÇÝ ÛáÃ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáÝù 3-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿2 ÙÝ³óáñ¹:

124

798. Ð³ßíáõÙÝ»°ñ Ï³ï³ñ»ù` Áëï Ñ»ï¨Û³É ·Í³å³ïÏ»ñÇ.

799. Î÷áËíÇ± ³ñ¹Ûáù áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ, »Ã» Ýñ³ Ù»Í ÏáÕÙÁ (18 ëÙ)3 ³Ý·³Ù ÷áùñ³óÝ»Ýù, ÇëÏ ÷áùñ ÏáÕÙÁ (5 ëÙ) Ù»Í³óÝ»Ýù 10 ëÙ-áí:

800. àõÕÕ³ÝÏÛ³Ý »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 6 ëÙ ¿, É³ÛÝáõÃÛáõÝÁª 5 ëÙ: ø³ÝÇ±ù³é³ÏáõëÇ ÙÇÉÇÙ»ïñáí ÏÙ»Í³Ý³ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ, »Ã» Ýñ³»ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í³óÝ»Ýù 3 ÙÙ-áí, ÇëÏ É³ÛÝáõÃÛáõÝÁª 18 ÙÙ-áí:

801. ø³ÝÇ± ³Ý·³Ù Ï÷áùñ³Ý³ 20 ëÙ ¨ 30 ëÙ ÏáÕÙ»ñáí áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ,»Ã» Ýñ³ ÷áùñ ÏáÕÙÁ ÷áùñ³óÝ»Ýù 5 ëÙ¬áí, ÇëÏ Ù»ÍÁª 10 ëÙ¬áí:

802. àõÕÇÕ ³ÝÏÛáõÝÁ µ³Å³Ýí³Í ¿ »ñÏáõ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ³ÛÝå»ë, áñ ¹ñ³ÝóÇóÙ»ÏÁ 5 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ ÙÛáõëÇó: Æ±Ýã Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ áõÝ»Ý ëï³óí³Í³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ:

803. ¶ï»°ù »é³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ, »Ã» Ýñ³ »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ·áõÙ³ñÁ 3 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ »ññáñ¹ ÏáÕÙÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÇó, áñÁ 5 ëÙ ¿:

804. Ì³ÕÏ»÷ÝçáõÙ 50 Ï³ñÙÇñ áõ ëåÇï³Ï í³ñ¹»ñ Ï³Ý, ÁÝ¹ áñáõÙ Ï³ñÙÇñí³ñ¹»ñÁ 4 ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ »Ý ëåÇï³Ï í³ñ¹»ñÇó: ø³ÝÇ± Ï³ñÙÇñ ¨ù³ÝÇ± ëåÇï³Ï í³ñ¹ Ï³ Í³ÕÏ»÷ÝçáõÙ:

805. î³ëÝÑÇÝ·Ñ³ñÏ³ÝÇ ÑÛáõñ³ÝáóÝ áõÝÇ 1200 Ñ³Ù³ñª Ù»Ïï»Õ³Ýáó ¨ »ñÏ-ï»Õ³Ýáó: ²Ù»Ý Ñ³ñÏáõÙ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ù³Ý³Ïáí Ñ³Ù³ñÝ»ñ Ï³Ý, ÁÝ¹ áñáõÙ»ñÏï»Õ³ÝáóÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ 3 ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ ¿ Ù»Ïï»Õ³ÝáóÝ»ñÇù³Ý³ÏÇó: ²Ù»Ý³ß³ïÁ ù³ÝÇ± Ï»Ýíáñ Ï³ñáÕ ¿ Çç¨³Ý»É ÑÛáõñ³ÝáóÇ³Ù»Ý ÙÇ Ñ³ñÏáõÙ:

10 ¹ñ³Ù³å³Ý³ÏÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ³ñÅáÕáõÃÛ³Ùµ

¨ ³ñï³ùáõëï ÙÇ³ÝÙ³Ý 10 Ù»ï³Õ³¹ñ³ÙÝ»ñ Ï³Ý: ̧ ñ³Ù³å³Ý³ÏÝ»ñÇó

Ù»ÏÇ µáÉáñ ¹ñ³ÙÝ»ñÁ Ï»ÕÍ »Ý: Ð³ÛïÝÇ ¿, áñ ÇëÏ³Ï³Ý Ù»ï³Õ³¹ñ³ÙÇ

ÏßÇéÁª ³ñï³Ñ³Ûïí³Í ·ñ³ÙÝ»ñáí, ³ÙµáÕç ÃÇí ¿, ÇëÏ Ï»ÕÍ Ù»ï³Õ³¹ñ³ÙÁ

1 ·ñ³Ùáí Í³Ýñ ¿ ÇëÏ³Ï³ÝÇó: ÆÝãå»±ë ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï ÏßéáõÙáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ áñáß»É,

Ã» áñ ¹ñ³Ù³å³Ý³ÏÇ ¹ñ³ÙÝ»ñÝ »Ý Ï»ÕÍ:

125

39. ´²Ä²ÜºÈÆàôÂÚ²Ü Ð²Úî²ÜÆÞºð.

ÂìºðÆ ´²Ä²ÜºÈÆàôÂÚàôÜÀ 10¬Æ, 5¬Æ ºì 2¬Æ

´³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÇ ÙÇçáóáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ å³ñ½»É, Ã» µ³Å³ÝíáõÙ ¿³ñ¹Ûáù ïíÛ³É ÃÇíÁ Ù»Ï áõñÇß ÃíÇ: ºñµ ÃÇíÁ Ù»Í ¿, Ýñ³ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛáõÝÝ³Û¹ Ï»ñå ëïáõ·»ÉÁ ã³÷³½³Ýó ³ßË³ï³ï³ñ ¿: ê³Ï³ÛÝ Ï³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñ(µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇß»ñ), áñáÝù ÑÝ³ñ³íáñáõÃÛáõÝ »Ý ï³ÉÇë ÃíÇ·ñáõÃÛ³Ý ÑÇÙ³Ý íñ³ áñáß»Éáõ Ýñ³ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛáõÝÁ áñáß Ãí»ñÇ:

Ü³Ë Ýß»Ýù, áñ ³ÛÝ Ãí»ñÁ, áñáÝó ·ñ³éáõÙÁ í»ñç³ÝáõÙ ¿ 0¬áí, µ³Å³ÝíáõÙ»Ý 10¬Ç, 5¬Ç ¨ 2¬Ç: ò³ÝÏ³ó³Í ³Û¹åÇëÇ ÃÇí µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 10¬Ç, ù³ÝÇ áñ ³ÛÝÏ³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É ³ÛÝåÇëÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»ëùáí, áñÇ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇóÙ»ÏÁ 10¬Ý ¿: úñÇÝ³Ïª

20 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10 , 130 = 13 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10 , 400 = 40 ⋅⋅⋅⋅⋅ 10 :

ø³ÝÇ áñ 5 ̈ 2 Ãí»ñÁ 10¬Ç µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ »Ý, Ñ»ï¨³µ³ñ 10¬Ç µ³Å³ÝíáÕÃÇíÁ Ïµ³Å³ÝíÇ Ý³¨ ¹ñ³Ýó:

Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ 10¬Ç µ³Å³ÝíáõÙ »Ý ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ Ãí»ñÁ, áñáÝù áõÝ»Ý0¬áí í»ñç³óáÕ ·ñ³éáõÙ` ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ûï³ÝÇßÁ.

ÂíÇ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛáõÝÁ 10¬Ç: 10¬Ç µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÇ·ñ³éáõÙÁ í»ñç³ÝáõÙ ¿ 0 Ãí³Ýß³Ýáí: ÆëÏ »Ã» ÃíÇ ·ñ³éáõÙÁ í»ñç³ÝáõÙ¿ áñ¨¿ áõñÇß Ãí³Ýß³Ýáí, ³å³ ÃÇíÁ 10¬Ç ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ:

²Ûë Ñ³Ûï³ÝÇßÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ûñÇÝ³Ï, 62570¬Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 10¬Ç, ÇëÏ 8936¬ÁãÇ µ³Å³ÝíáõÙ:

ºÃ» ÃíÇ ·ñ³éáõÙÁ í»ñç³ÝáõÙ ¿ 5¬áí, ³å³ ³ÛÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É0¬áí í»ñç³óáÕ ·ñ³éáõÙ áõÝ»óáÕ ÃíÇ ¨ 5-Ç ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí: úñÇÝ³Ïª

35 = 30 + 5 , 145 = 140 + 5 , 2105 = 2100 + 5 :

ÆëÏ ³ÛÝ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 5¬Ç, ÇÝùÁÝáõÛÝå»ë µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 5¬Ç:

Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ 5¬Ç µ³Å³ÝíáõÙ »Ý ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ Ãí»ñÁ, áñáÝù áõÝ»Ý0¬áí Ï³Ù 5¬áí í»ñç³óáÕ ·ñ³éáõÙª ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ûï³ÝÇßÁ.

ÂíÇ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛáõÝÁ 5¬Ç: 5¬Ç µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÇ ·ñ³-éáõÙÁ í»ñç³ÝáõÙ ¿ 0¬áí Ï³Ù 5¬áí: ²ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ÃíÇ ·ñ³éáõÙÁ í»ñç³-ÝáõÙ ¿ áñ¨¿ áõñÇß Ãí³Ýß³Ýáí, ÃÇíÁ 5¬Ç ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ:

ÂÇíÝ ³Ýí³Ý»Ýù ½áõÛ·, »Ã» ³ÛÝ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2¬Ç, ¨ Ï»Ýï, »Ã» ³ÛÝ 2¬ÇãÇ µ³Å³ÝíáõÙ: ØÇ³ÝÇß ½áõÛ· Ãí»ñÝ »Ýª 0, 2, 4, 6, 8, ÙÇ³ÝÇß Ï»Ýï Ãí»ñÁª 1, 3,5, 7, 9:

ÂíÇ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛáõÝÁ 2¬Ç: ÂÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2¬Ç, »Ã» Ýñ³ÙÇ³íáñÝ»ñÇ Ï³ñ·áõÙ ·ñí³Í ÃÇíÁ ½áõÛ· ¿: ÂÇíÁ ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 2¬Ç,»Ã» Ýñ³ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ Ï³ñ·áõÙ ·ñí³Í ÃÇíÁ Ï»Ýï ¿:

ºÝÃ³¹ñ»Ýùª ÃíÇ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ Ï³ñ·áõÙ ·ñí³Í ÃÇíÁ ½áõÛ· ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙÃÇíÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É ³ÛÝåÇëÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí, áñÇ ÙÇ ·áõÙ³ñ»ÉÇÇ·ñ³éáõÙÁ í»ñç³ÝáõÙ ¿ 0¬áí, ÇëÏ ÙÛáõëÁ ÙÇ³ÝÇß ½áõÛ· ÃÇí ¿: ø³ÝÇ áñ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó ³Ù»Ý Ù»ÏÁ 2¬Ç µ³Å³ÝíáõÙ ¿, Ñ»ï¨³µ³ñ ¹Çï³ñÏíáÕ ÃÇíÁÝáõÛÝå»ë µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2¬Ç:

126

ÐÇÝ ÐáõÝ³ëï³ÝáõÙ ½áõÛ· ̈ Ï»Ýï Ãí»ñÇ ï³ñµ»ñ³ÏÙ³ÝÁ Ñ³ïáõÏáõß³¹ñáõÃÛáõÝ ¿ÇÝ ¹³ñÓÝáõÙ ÑÇÝ ³ßË³ñÑÇ Ù»Í ÷ÇÉÇëá÷³ä Û á õ Ã ³ · á ñ ³ ë Á (Ù. Ã. ³. VI ¹.) ̈ Ýñ³ Ñ»ï¨áñ¹Ý»ñÁ: Üñ³Ýù ï³ñµ»ñí»ñ³µ»ñÙáõÝùÝ»ñÇ ¿ÇÝ ³ñÅ³Ý³óÝáõÙ ½áõÛ· ̈ Ï»Ýï Ãí»ñÁ. Ï»Ýï Ãí»ñÝ

³í»ÉÇ Ï³ï³ñÛ³É ¿ÇÝ Ñ³Ù³ñíáõÙ: ²Û¹ ï»ë³Ï»ïÇ û·ïÇÝ µ»ñíáõÙ ¿ÇÝ÷³ëï³ñÏÝ»ñ, áñáÝù ÑÇÙÝíáõÙ ¿ÇÝ ÃíÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ ù³Ý³Ïáíù³ñ»ñÁ áñáß³ÏÇ Ï»ñåáí ¹³ë³íáñ»Éáõ íñ³ (¹³ ÐÇÝ ÐáõÝ³ëï³ÝáõÙ ÃÇíÁÝ»ñÏ³Û³óÝ»Éáõ Ñ³×³Ë û·ï³·áñÍíáÕ »Õ³Ý³Ï ¿ñ): úñÇÝ³Ïª ó³ÝÏ³ó³Íù³Ý³Ïáí ³é³çÇÝ Ï»Ýï Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ý»ñÏ³Û³óÝáÕ ù³ñ»ñÁ ÙÇßï Ï³ñ»ÉÇ ¿¹³ë³íáñ»É §ù³é³Ïáõëáõ¦ Ó¨áí (ï»°ë ÝÏ. 61): ÆëÏ ½áõÛ· Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ·áõÙ³ñÁ Ý»ñÏ³Û³óÝáÕ ù³ñ»ñÝ³Û¹åÇëÇ Ï³ÝáÝ³íáñ ¹³ë³íáñáõ-ÃÛáõÝ ã»Ý Ï³ñáÕ áõÝ»Ý³É. ¹ñ³ÝùÏ³ñ»ÉÇ ¿ ¹³ë³íáñ»É ÙÇ³ÛÝ §áõÕ-Õ³ÝÏÛ³Ý¦ Ó¨áí (ï»°ë ÝÏ. 62): ́ »ñ-íáõÙ ¿ñ Ý³¨ áã ³ÛÝù³Ý ³ÏÝÑ³ÛïÙ»Ï áõñÇß ÷³ëï³ñÏ. ½áõÛ· ÃÇíÁÏ³½ÙáÕ ù³ñ»ñÇ ß³ñù»ñÇ ³ñ³Ý-ùáí Ý»ïÁ ³Ý³ñ·»É Ï³ñáÕ ¿ ³Ýó-Ý»É, ÙÇÝã¹»é Ï»Ýï ÃíÇ ¹»åùáõÙ³ÛÝ Ïµ³ËíÇ ù³ñ»ñÇó Ù»ÏÇÝ (ï»°ëÝÏ. 63): ¸ñ³ÝÇó ³ÛÝ »½ñ³Ï³óáõ-ÃÛáõÝÝ ¿ñ ³ñíáõÙ, áñ Ï»Ýï ÃÇíÝ³í»ÉÇ É³í ¿ Ï³ï³ñáõÙ ë³ÑÙ³Ý³-·ÍáÕ (¹ñ³Ýáí ÇëÏª áñáß³ÏÇ³óÝáÕ) ¹»ñÁ, áñÁ, Áëï åÛáõÃ³·áñ³ëÛ³Ý¹åñáóÇ, Ñ³ïáõÏ ¿ ³Ù»Ý ÙÇ ÃíÇ:

Ð³Û Ùï³ÍáÕÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë í³Õáõó Ç í»ñ ï³ñáñáß»É »Ý ½áõÛ· ¨ Ï»ÝïÃí»ñÁª Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ §¹³ñ¦ ¨ §Ïá×³ï¦ ³Ýí³ÝáõÙÝ»ñáí: VII¹³ñÇ Ñ³Û Ù»Í ÷ÇÉÇëá÷³ ̧ ³ í Ç Ã ² Ý Ñ ³ Õ Ã Á ·ñáõÙ ¿ñ, áñ ̈ ° ½áõÛ·, ̈ ° Ï»ÝïÃí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÑÇÙùÁ Ù»ÏÝ ¿, ÇëÏ ÙÇ³ÛÝ ½áõÛ· Ãí»ñÇÝÁª »ñÏáõëÁ:

806. ÆÝãå»±ë ÃíÇ ·ñ³éáõÙáí áñáß»Ýù, Ã» ³ÛÝ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ³ñ¹Ûáù 10-Ç:

807. ÆÝãå»±ë ÃíÇ ·ñ³éáõÙáí áñáß»Ýù, Ã» ³ÛÝ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ³ñ¹Ûáù 5-Ç:808. ÆÝãå»±ë ÃíÇ ·ñ³éáõÙáí áñáß»Ýùª ³ÛÝ ½áõÛ· ¿, Ã» Ï»Ýï:809. ²é³Ýó µ³Å³ÝáõÙ Ï³ï³ñ»Éáõ` ·ï»°ù 101, 204, 340, 535, 821 Ãí»ñÁ 10-Ç

µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáÕ ÙÝ³óáñ¹Ý»ñÁ:810. ²é³Ýó µ³Å³ÝáõÙ Ï³ï³ñ»Éáõ` ·ï»°ù 73, 241, 189, 700, 384, 445 Ãí»ñÁ 5-Ç

µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáÕ ÙÝ³óáñ¹Ý»ñÁ:811. 3, 87, 26, 839, 1000, 562, 98443, 380064, 235, 566678 Ãí»ñÁ µ³Å³Ý»°ù

»ñÏáõ ËÙµÇª ½áõÛ· Ãí»ñÇ ¨ Ï»Ýï Ãí»ñÇ:

ÜÏ. 63

ÜÏ. 61 ÜÏ. 62

127

812. ¶ñ»°ù ï³ëÁ ½áõÛ· ¨ ï³ëÁ Ï»Ýï Ãí»ñ:813. ¶ñ»°ù 3-Çó Ù»Í áñ¨¿ ÑÇÝ· ½áõÛ· Ãí»ñ ¨ ¹ñ³Ýù Ý»ñÏ³Û³óñ»°ù`

³) »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí,µ) »ñÏáõ ³ÝÑ³í³ë³ñ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí:

814. ä³ï³ëË³Ý»°ù Ñ»ï¨Û³É Ñ³ñó»ñÇÝ.³) Î³ñá±Õ ³ñ¹Ûáù ½áõÛ· ÃÇíÁ µ³Å³Ýí»É Ï»Ýï ÃíÇ:µ) Î³ñá±Õ ¿ ³ñ¹Ûáù Ï»Ýï ÃÇíÁ µ³Å³Ýí»É ½áõÛ· ÃíÇ:·) Î³ñá±Õ ³ñ¹Ûáù »ñÏáõ Ï»Ýï Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ½áõÛ· ÃÇí ÉÇÝ»É:¹) Î³ñá±Õ ¿ ³ñ¹Ûáù »ñÏáõ ½áõÛ· Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ï»Ýï ÃÇí ÉÇÝ»É:

815. ºñÏáõ ÑÝ·³ÝÇß Ãí»ñÇó Ù»ÏÇ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç Ýí³½Ù³Ý Ï³ñ·áí Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇÝ»Ý Ñ³çáñ¹áõÙ µáÉáñ ½áõÛ· Ãí»ñ Ýß³Ý³ÏáÕ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ, ÙÛáõëÇ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç` Ï»Ýï Ãí»ñ Ýß³Ý³ÏáÕÝ»ñÁ: ²Û¹ Ãí»ñÇó á±ñÝ ¿ ³í»ÉÇ Ù»Í:

816. ²ÛÝ Ãí»ñÁ, áñáÝù µ³Å³ÝíáõÙ »Ý 10-Ç, ½áõ±Û· »Ý, Ã»± Ï»Ýï:817. ÆÝãåÇëÇ± ½áõÛ· Ãí»ñÁ ¨ ÇÝãåÇëÇ± Ï»Ýï Ãí»ñÝ »Ý µ³Å³ÝíáõÙ 5-Ç:818. 30, 634, 200, 555, 625, 730, 1020, 85 Ãí»ñÇó ³é³ÝÓÝ³óñ»°ù ³ÛÝ Ãí»ñÁ,

áñáÝó µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï 2-Á, 5-Á, 10-Á:

819. Ð»ï¨Û³É Ãí»ñÇó ÁÝïñ»°ù Ýñ³Ýù, áñáÝù 30 ÃíÇ µ³Å³Ý³ñ³ñ »Ý.3, 2, 4, 5, 7, 6, 82, 30, 159, 1:

820. ¶ñ»°ù ³ÛÝ Ãí»ñÁ, áñáÝù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ¨° 18-Ç, ¨° 96-Ç µ³Å³Ý³ñ³ñ »Ý:821. Î³ï³ñ»°ù ÙÝ³óáñ¹áí µ³Å³ÝáõÙ.

³) 393 : 5, µ) 10238 : 87, ·) 25632 : 225, ¹) 737 : 3:822. ÂÇíÁ 34¬Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óí³Í Ã»ñÇ ù³Ýáñ¹Á 17 ¿, ÇëÏ ÙÝ³óáñ¹Áª 3:

¶ï»°ù ³Û¹ ÃÇíÁ:823. êïáõ·»°ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ßïáõÃÛáõÝÁ.

³) 72 ⋅ 250 : 24 + 62 ⋅ 1177 : 11 < 781 ⋅ 528 : 24,µ) 621 ⋅ 93 : 9 – 284 ⋅ 39 : 12 > 16 ⋅ 126 : 9 + 156 ⋅ 115 : 12,·) 12 ⋅ 294 : 49 + 130 ⋅ 224 : 91< 55 ⋅ 1204 : 28,¹) 216 ⋅ 710 : 24 – 475 : 5 ⋅ 24 > 1485 : 99 ⋅ 128 + 220 ⋅ 104 : 220:

824. ø³ÝÇ± í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ ¿ Å³Ù³óáõÛóÇ í³ÛñÏÛ³ÝÇ ëÉ³ùÁ Ï³ï³ñáõÙ Ù»ÏåïáõÛï: ø³ÝÇ± ñáå»áõÙ ¿ Ù»Ï åïáõÛï Ï³ï³ñáõÙ ñáå»Ç ëÉ³ùÁ:

825. àõÕÕ³ÝÏÛáõÝÝ áõÝÇ ù³é³Ïáõëáõ ÏáÕÙÇÝ Ñ³í³ë³ñ É³ÛÝáõÃÛáõÝ: àõÕÕ³Ý-ÏÛ³Ý É³ÛÝáõÃÛáõÝÇó ù³ÝÇ±³Ý·³Ù Ù»Í åÇïÇ ÉÇÝÇ Ýñ³»ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ, áñå»ë½ÇÝñ³ å³ñ³·ÇÍÁ ù³é³Ïáõëáõå³ñ³·ÍÇó Ù»Í ÉÇÝÇ 2³Ý·³Ù:

826. ¶ï»°ù ó³ÝÏ³å³ïÇ Ù³Ï»-ñ»ëÁ (ï»°ë ÝÏ. 64): ÜÏ. 64

128

40. ÂìºðÆ ´²Ä²ÜºÈÆàôÂÚàôÜÀ 3-Æ, 9-Æ ºì 4-Æ

ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇß»ñÁ Ï³ÝáÝÝ»ñ »Ý, áñáÝùû·ÝáõÙ »Ý å³ñ½»Éáõ, Ã» ïñí³Í ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ³ñ¹Ûáù ÙÇ áõñÇß ÃíÇ:êáíáñ³µ³ñ ³Û¹ Ï³ÝáÝÝ»ñÁ ïñí³Í ÃíÇ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÁ Ñ³Ý·»óÝáõÙ»Ý ÙÇ ³í»ÉÇ ÷áùñ ÃíÇ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÇÝ:

¸Çï³ñÏ»Ýù 36, 219, 5643, 891645 Ãí»ñÁ: ²Ûë µáÉáñ Ãí»ñÁ µ³Å³ÝíáõÙ»Ý 3¬Ç.

36 : 3 = 12, 219 : 3 = 73, 5643 : 3 = 1881, 891645 : 3 = 297215:

827. ø³ÝÇ± ³Ý·³Ù Ï÷áùñ³Ý³ Ëáñ³Ý³ñ¹Ç Í³í³ÉÁ, »Ã» Ýñ³ ÏáÕÁ÷áùñ³óíÇ »ñÏáõ ³Ý·³Ù:

828. Ö³Ù÷áñ¹Á Ñ»Í³ÝÇíáí 12 Å³ÙáõÙ ³Ýó³í áñáß ×³Ý³å³ñÑ: àñù³±ÝÅ³Ù³Ý³ÏáõÙ Ý³ Ï³ÝóÝÇ ³Û¹ ÝáõÛÝ ×³Ý³å³ñÑÁ Ù»ù»Ý³Ûáí, »Ã»Ù»ù»Ý³ÛÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ Ñ»Í³ÝÇíÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó »ñÏáõ ³Ý·³Ù Ù»Í ¿:

829. ¾Ûý»ÉÛ³Ý ³ßï³ñ³ÏÝ áõÝÇ »ñ»ù ¹Çï³Ñ³ñÃ³Ï, áñáÝóÇó ³é³çÇÝÁ·»ïÝÇó 57 Ù µ³ñÓñáõÃÛáõÝ áõÝÇ, »ñÏñáñ¹Á Ýñ³ÝÇó 58 Ù-áí µ³ñÓñ ¿,ÇëÏ »ññáñ¹Á ·»ïÝÇó µ³ñÓñ ¿ 276 Ù: ÆÝãù³±Ý Å³Ù³Ý³ÏáõÙ í»ñ»É³ÏÁ»ñÏñáñ¹ ¹Çï³Ñ³ñÃ³ÏÇó ÏÑ³ëÝÇ ÙÇÝã¨ »ññáñ¹Á, »Ã» 1 í³ÛñÏ³Û³ÝáõÙµ³ñÓñ³Ý³ 3 Ù 22 ëÙ:

830. ¼µáë³ßñçÇÏÝ»ñÁ ßñç³·³ÛáõÃÛ³Ý »Ý ¹áõñë »Ï»É »ñ»ù ÙÇ³ï»ë³Ï³íïáµáõëÝ»ñáí: ²é³çÇÝáõÙ Ï³ 48 ½µáë³ßñçÇÏ, »ñÏñáñ¹áõÙª 39, ÇëÏ»ññáñ¹áõÙª 33: Î³ñ»ÉÇ± ¿ ³ñ¹Ûáù µáÉáñ ½µáë³ßñçÇÏÝ»ñÇÝ Ñ³í³ë³ñù³Ý³ÏÝ»ñáí ï»Õ³íáñ»É ³Û¹ ³íïáµáõëÝ»ñáõÙ:

831. ÒÙ»é å³åÁ »ñ»Ë³Ý»ñÇó ³Ù»Ý Ù»ÏÇÝ ÙÇ Ýí»ñ ïí»ó, áñÇ Ù»ç Ï³ñ³ÛÝù³Ý ÏáÝý»ï, áñù³Ý áñ ³Û¹ »ñ»Ë³ÛÇ ï³ñÇùÝ ¿ñ: ø³ÝÇ± ÏáÝý»ïµ³Å³Ý»ó ÒÙ»é å³åÁ, »Ã» ³Û¹ï»Õ Ï³ÛÇÝ 9 »ñ»Ë³Ý»ñ, áñáÝó µáÉáñÇï³ñÇùÝ»ñÁ ï³ñµ»ñ ¿ÇÝ, ÁÝ¹ áñáõÙ ³Ù»Ý³Ïñïë»ñÁ 6 ï³ñ»Ï³Ý ¿ñ, ÇëÏ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ` 14:

ºé³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ¨ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ Ù»ç ·ñ»°ù

³é³çÇÝ ÇÝÁ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, ÁÝ¹ áñáõÙ »é³ÝÏÛáõÝ-

Ý»ñÇ Ù»çª Ï»Ýï»ñÁ, ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ Ù»çª ½áõÛ·»ñÁ,

áñå»ë½Ç µáÉáñ ï³ëÝ»ñÏáõ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

×Çßï ÉÇÝ»Ý:

129

´³óÇ ¹ñ³ÝÇóª Ýñ³Ýù ÙÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ ¿É áõÝ»Ý. ³Û¹ Ãí»ñÇóÛáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ï³ñ·»ñáõÙ »Õ³Í Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ë µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3¬Ç.

(3 + 6) : 3 = 9 : 3 = 3, (2 + 1 + 9) : 3 = 12 : 3 = 4,(5 + 6 + 4 + 3) : 3 = 18 : 3 = 6, ( 8 + 9 + 1 + 6 + 4 + 5) : 3 = 33 : 3 = 11:

²Ûë Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¿ 3¬Ç µ³Å³ÝíáÕ µáÉáñ Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ´³ÝÝ³ÛÝ ¿, áñ ó³ÝÏ³ó³Í ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É ÙÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí, áñáõÙí»ñçÇÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ ³Û¹ ÃíÇ Ï³ñ·»ñáõÙ »Õ³Í Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ,ÇëÏ ÙÝ³ó³Í µáÉáñ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÁ µ³Å³ÝíáõÙ »Ý 3¬Ç: ºÃ» ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇóí»ñçÇÝÁ ÝáõÛÝå»ë µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3¬Ç, ³å³ Ýñ³Ýó ·áõÙ³ñÁ, ³ÛëÇÝùÝª ïñí³ÍÃÇíÁ, Ïµ³Å³ÝíÇ 3¬Ç:

¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ûñÇÝ³ÏÁ.258 = 2 ⋅ 100 + 5 ⋅ 10 + 8 = 2 ⋅ (99 + 1) + 5 ⋅ (9 + 1) + 8 == 2 ⋅ 99 + 2 + 5 ⋅ 9 + 5 + 8 = 2 ⋅ 99 + 5 ⋅ 9 + (2 + 5 + 8) = 2 ⋅ 99 + 5 ⋅ 9 + 15:î»ëÝáõÙ »Ýù, áñ µáÉáñ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÁ, áñáÝóÇó í»ñçÇÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿

258¬Ç Ï³ñ·»ñáõÙ »Õ³Í Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ, µ³Å³ÝíáõÙ »Ý 3¬Ç: àõñ»ÙÝ 3¬ÇÏµ³Å³ÝíÇ Ý³¨ 258 ÃÇíÁ:

ÂíÇ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛáõÝÁ 3¬Ç: ºÃ» ÃíÇ Ï³ñ·»ñáõÙ »Õ³Í Ãí»ñÇ·áõÙ³ñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3¬Ç, ³å³ ÃÇíÁ ¨ë µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3¬Ç: ºÃ» ÃíÇÏ³ñ·»ñáõÙ »Õ³Í Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 3¬Ç ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ, ³å³ ÃÇíÁÝáõÛÝå»ë ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 3¬Ç:

ì»ñÁ ¹Çï³ñÏí³Í Ãí»ñÇó 36¬Á ¨ 5643¬Á µ³Å³ÝíáõÙ »Ý Ý³¨ 9¬Ç: î»ëÝáõÙ»Ýù, áñ ³Û¹ Ãí»ñÇ Ï³ñ·»ñáõÙ »Õ³Í Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ ¨ë µ³Å³ÝíáõÙ »Ý9¬Ç: ²Û¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¿ 9¬Ç µ³Å³ÝíáÕ µáÉáñ Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¸³Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëïáõ·»É ³ÛÝå»ë, ÇÝãå»ë 3¬Ç ¹»åùáõÙ:

ÂíÇ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛáõÝÁ 9¬Ç: ºÃ» ÃíÇ Ï³ñ·»ñáõÙ »Õ³Í Ãí»ñÇ·áõÙ³ñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 9¬Ç, ³å³ ÃÇíÁ ¨ë µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 9¬Ç: ºÃ» ÃíÇÏ³ñ·»ñáõÙ »Õ³Í Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 9¬Ç ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ, ³å³ ÃÇíÁÝáõÛÝå»ë ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 9¬Ç:

Üß»Ýù Ý³¨ 4-ÇÝ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ:

ÂíÇ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛáõÝÁ 4-Ç: ºÃ» ÃíÇ ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç í»ñçÇÝ »ñÏáõÃí³Ýß³ÝÝ»ñÁ 0-Ý»ñ »Ý Ï³Ù Ï³½ÙáõÙ »Ý 4-Ç µ³Å³ÝíáÕ ÃÇí, ³å³ïñí³Í ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 4-Ç:

130

²Ûë Ñ³Ûï³ÝÇßÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ûñÇÝ³Ï, 1752-Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 4-Ç, ù³ÝÇ áñ52-Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 4-Ç:

Âí»ñÇ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ»ï Ï³åí³Í ËÝ¹ÇñÝ»ñÁ »Õ»É »Ý ¹»é¨ë

ÑÇÝ »·Çåï³óÇÝ»ñÇ, µ³µ»ÉáÝóÇÝ»ñÇ ¨ ÑáõÛÝ»ñÇ Ñ»ï³ùñùñáõÃÛ³Ý

³é³ñÏ³Ý: 2-ÇÝ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇß »·Çåï³óÇÝ»ñÇÝ Ñ³ÛïÝÇ

¿ñ Ù.Ã.³. II Ñ³½³ñ³ÙÛ³ÏÇ ëÏ½µáõÙ: ¼áõÛ· ̈ Ï»Ýï Ãí»ñÇ ·³Õ³÷³ñÇó û·ïí»É

»Ý äÛáõÃ³·áñ³ëÁ ¨ Ýñ³ ³ß³Ï»ñïÝ»ñÁ: ÆëÏ 3-ÇÝ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý

Ñ³Ûï³ÝÇß ÑáõÛÝ»ñÁ ÏÇñ³éáõÙ ¿ÇÝ ¹»é¨ë Ù.Ã.³. III ¹³ñáõÙ:

832. Ò¨³Ï»ñå»°ù`³) 3-ÇÝ ¨ 9-ÇÝ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇß»ñÁ,µ) 4-ÇÝ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ:

833. 83, 12, 65, 129, 1025, 8371, 6534, 5355, 893 Ãí»ñÇó ³é³ÝÓÝ³óñ»°ùÝñ³Ýù, áñáÝù µ³Å³ÝíáõÙ »Ý 3¬Ç:

834. àñáß»°ù, Ã» 91917, 65382, 56574, 63, 567, 828 Ãí»ñÇó áñáÝù »Ýµ³Å³ÝíáõÙ 9¬Ç:

835. Îµ³Å³ÝíÇ± ³ñ¹Ûáù 3¬Ç ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 9¬Ç:836. ¶ñ»°ù ÑÇÝ· ÃÇí, áñáÝù µ³Å³ÝíáõÙ »Ý 3¬Ç, µ³Ûó ã»Ý µ³Å³ÝíáõÙ 9¬Ç:837. ¶ñ»°ù ÑÇÝ· ÃÇí, áñáÝù µ³Å³ÝíáõÙ »Ý ¨° 3-Ç, ¨° 9-Ç:838. ¶ï»°ù 3¬Ç µ³Å³ÝíáÕ »ñÏÝÇß Ãí»ñÇ ¨ 9¬Ç µ³Å³ÝíáÕ »ñÏÝÇß Ãí»ñÇ

ù³Ý³ÏÝ»ñÁ: ø³ÝÇ± ³Ý·³Ù ¿ ëï³óí³Í ù³Ý³ÏÝ»ñÇó ³é³çÇÝÁ»ñÏñáñ¹Çó Ù»Í:

839. ºé³ÝÇß ÃíÇ` ï³ëÝÛ³ÏÝ»ñÇ Ï³ñ·áõÙ ·ñí³Í ¿ 0 Ãí³Ýß³ÝÁ: ¶ï»°ù ³Û¹ÃÇíÁ, »Ã» ³ÛÝ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 9¬Ç, ¨ Ýñ³ ·ñ³éáõÙÝ ³í³ñïíáõÙ ¿ 9 Ãí³-Ýß³Ýáí:

840. 15, 32, 100, 124, 266, 348, 5000, 301 Ãí»ñÇó ³é³ÝÓÝ³óñ»°ù Ýñ³Ýù,áñáÝù µ³Å³ÝíáõÙ »Ý 4-Ç:

841. àñáß»°ù, Ã» 200, 1200, 5200, 324, 535160, 73489128 Ãí»ñÇó áñáÝù »Ýµ³Å³ÝíáõÙ 8-Ç:

842. Îµ³Å³ÝíÇ± ³ñ¹Ûáù 4-Ç ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 8-Ç:843. ¶ñ»°ù ³ÛÝ µáÉáñ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ, áñáÝù 152*4 ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç ³ëïÕ³ÝÇßÇ

÷áË³ñ»Ý ·ñ»Éáõ ¹»åùáõÙ ëï³óí³Í ÃÇíÁ Ïµ³Å³ÝíÇ`³) 3-Ç, µ) 4-Ç, ·) 8-Ç, ¹) 9-Ç:

131

844. ¶ï»°ù »ñ»ù µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÉÇÝÇ 7 ¨ 9 Ãí»ñÇµ³½Ù³å³ïÇÏ:

845. ÆÝãÇ± ¿ Ñ³í³ë³ñ ïñí³Í ÃíÇ ³Ù»Ý³÷áùñ µ³½Ù³å³ïÇÏÁ:846. Âí»°ù ÙÇ³ÝÇß Ãí»ñÇ ³ÛÝ µáÉáñ ½áõÛ·»ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ï³½-

ÙáÕ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ »ñÏÝÇß ÃÇí ¿:847. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.

³) (5817362 + 1986) : (1940 – 1024) – (2545529 + 12555) : (7247 – 654),µ) (3778702 + 844) : (1024 – 546) – (3333360 + 6928) : (4487 – 1225),·) (262931902 + 1024) : (81671 – 7249) – (282650 + 9184) : (1547 – 1024),¹) (2897039 + 1024) : (1024 – 145) – (8425978 + 3583) : (20627 – 8704):

848. Æ±Ýã »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝ ß»ñïÁ, áñÁ Ï³½Ùí³Í ¿ Ù»Ï ù³é³ÏáõëÇÙ»ïñÇ µáÉáñ Ù»Ïë³ÝïÇÙ»ïñ³Ýáó ÏáÕÙáí ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇó:

849. ABC »é³ÝÏÛ³Ý AB ¨ BC ÏáÕÙ»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 23 ëÙ ¿,AC ¨ BC ÏáÕÙ»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª 20 ëÙ, AB ¨ AC ÏáÕÙ»ñÇ»ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª 25 ëÙ: ¶ï»°ù ABC »é³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ:

850. ºñ»ù ï³ñµ»ñ ûÕ³Ï³Ó¨ »ñÃáõÕÇÝ»ñáí ºñ¨³ÝÇó ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ù»ÏÝ»É»Ý »ñ»ù ³íïáµáõëÝ»ñ: Üñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ ºñ¨³Ý ¿ í»ñ³¹³éÝáõÙ Ûáõñ³-ù³ÝãÛáõñ 4 Å³ÙÁ Ù»Ï, »ñÏñáñ¹Áª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ 6 Å³ÙÁ Ù»Ï, »ññáñ¹ÁªÛáõñ³ù³ÝãÛáõñ 8 Å³ÙÁ Ù»Ï: ºñ¨³ÝÇó Ù»ÏÝ»Éáõó ù³ÝÇ± Å³Ù Ñ»ïá ³Û¹³íïáµáõëÝ»ñÁ ÝáñÇó ÏÑ³Ý¹Çå»Ý ºñ¨³ÝáõÙ:

851. ºñÏáõ ½³ÙµÛáõÕÝ»ñáõÙ Ï³ 120 Óáõ: ºÃ» ³é³çÇÝ ½³ÙµÛáõÕÇó »ñÏñáñ¹ÇÙ»ç ¹Ý»Ýù 15 Óáõ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Çó ³é³çÇÝÇ Ù»çª 5 Óáõ, ³å³ »ñÏáõ½³ÙµÛáõÕÝ»ñáõÙ Ñ³í³ë³ñ ù³Ý³ÏÝ»ñáí Óí»ñ ÏÉÇÝ»Ý: ø³ÝÇ± Óáõ Ï³½³ÙµÛáõÕÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ:

852. 20 ëÙ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ ¨ 18 ëÙ É³ÛÝáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ ³Ïí³ñÇáõÙáõÙ çñÇÙ³Ï³ñ¹³ÏÁ 14 ëÙ ¿: æñÇ Ç±Ýã Ù³Ï³ñ¹³Ï ÏÉÇÝÇ ÙÇ áõñÇß ³Ïí³ñÇáõÙáõÙ,áñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 21 ëÙ ¿, É³ÛÝáõÃÛáõÝÁ` 16 ëÙ, »Ã» Ýñ³ Ù»ç ÉóÝ»Ýù³é³çÇÝ ³Ïí³ñÇáõÙÇ çáõñÁ:

853. ¶»ïÇ Ñáë³ÝùÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 2 ÏÙ/Å ¿: Üñ³ ³÷ÇÝ ·ïÝíáÕ »ñÏáõÝ³í³Ù³ïáõÛóÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 80 ÏÙ ¿: àñù³±Ý Å³Ù³Ý³ÏáõÙÝ³í³ÏÁ Ï·Ý³ ÙÇ Ý³í³Ù³ïáõÛóÇó ÙÛáõëÁ ¨ Ïí»ñ³¹³éÝ³, »Ã» Ý³í³ÏÇ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ãÑáëáÕ çñáõÙ 18 ÏÙ/Å ¿:

¶ï»°ù ûñÇÝ³ã³÷áõÃÛáõÝÁ ¨ ·ñ»°ù µ³óÃáÕÝí³Í ÃÇíÁ:

132

41. ²ØºÜ²ØºÌ ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²Ä²Ü²ð²ð

¸Çï³ñÏ»Ýù 16 ̈ 24 Ãí»ñÁ: Ð»ßï ¿ ëïáõ·»É, áñ 16-Ç µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ»Ý 1, 2, 4, 8, 16 Ãí»ñÁ, ÇëÏ 24-Ç µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,24 Ãí»ñÁ: ²Ûë Ãí»ñÇ Ù»ç Ï³Ý ³ÛÝåÇëÇÝ»ñÁ, áñáÝù ÇÝãå»ë 16-Ç, ³ÛÝå»ë ¿É24-Ç µ³Å³Ý³ñ³ñ »Ý, ûñÇÝ³Ïª 2-Á, 8-Á:

²ÛÝ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÁ ïñí³Í µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇµ³Å³Ý³ñ³ñ ¿, ÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³Ýó ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñ:

¸Åí³ñ ã¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ 16-Ç ¨ 24-Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ 1, 2,4, 8 Ãí»ñÝ »Ý:

îñí³Í µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³Ýó ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñ:

ºñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ Ýß³Ý³Ï»ÉáõÑ³Ù³ñ û·ï³·áñÍáõÙ »Ý ÷³Ï³·Í»ñ: úñÇÝ³Ï 16-Ç ¨ 24-Ç ³Ù»Ý³Ù»ÍÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ Ï·ñíÇ ³Ûëå»ë (16, 24): Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ (16, 24)= =(24, 16) = 8:

²Ûë ûñÇÝ³ÏÇó å³ñ½ ¿ ¹³éÝáõÙ, Ã» ÇÝãå»ë ·ïÝ»Ýù »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ: Ü³Ë å»ïù ¿ ·ïÝ»É ïñí³Í Ãí»ñÇµáÉáñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ª µáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ,³å³ ¹ñ³ÝóÇó ÁÝïñ»É ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ:

Ð»ï¨Û³É ³ÕÛáõë³ÏáõÙ ïñí³Í »Ý 1-Çó 12 Ãí»ñÇ µáÉáñ ½áõÛ·»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»ÍÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 12 1 23 1 1 34 1 2 1 45 1 1 1 1 56 1 2 3 2 1 67 1 1 1 1 1 1 78 1 2 1 4 1 2 1 89 1 1 3 1 1 3 1 1 9

10 1 2 1 2 5 2 1 2 1 1011 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1112 1 2 3 4 1 6 1 4 3 2 1 12

²ÕÛáõë³ÏáõÙ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ïáÕÇ ¨ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ëÛáõÝ³ÏÇÑ³ïÙ³Ý ï»ÕáõÙ ·ñí³Í ¿ Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ

²ÕÛáõë³Ï 7

133

Üß»Ýù, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ ·ïÝ»Éáõ»Õ³Ý³ÏÝ»ñ (Ñ³ßí»Ï³ÝáÝÝ»ñ), áñáÝù ÏÇñ³é»Éáõ Ñ³Ù³ñ ãÇ å³Ñ³ÝçíáõÙÇÙ³Ý³É ïñí³Í Ãí»ñÇ µáÉáñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ: ØÇ ³Û¹åÇëÇ »Õ³Ý³ÏÇ Ù³ëÇÝÓ»½ Ïå³ïÙ»Ýù Ñ³çáñ¹ ¹³ë»ñÇó Ù»ÏáõÙ:

854. à±ñ ÃÇíÝ ¿ ÏáãíáõÙ »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñ:855. à±ñ ÃÇíÝ ¿ ÏáãíáõÙ »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³-

Ý³ñ³ñ: ÆÝãå»±ë ¿ ³ÛÝ Ýß³Ý³ÏíáõÙ:856. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ½áõÛ· áõÝÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ

µ³Å³Ý³ñ³ñ:857. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ áõÝ»Ý ³Ù»Ý³Ù»Í

ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñ:858. ¶ï»°ù Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÇ µáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ.

³) 18 ¨ 24, ·) 15 ¨ 25, ») 12 ¨ 32,µ) 18 ¨ 9, ¹) 14 ¨ 58, ½) 17 ¨ 25:

859. ¶ï»°ù ïñí³Í Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ.³) 4 ¨ 14, ·) 21 ¨ 22, ») 64 ¨ 42,µ) 36 ¨ 24, ¹) 55 ¨ 33, ½) 27 ¨ 45:

860. Î³ñ»ÉÇ± ¿ åÝ¹»É, áñ »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³-Å³Ý³ñ³ñÁ ³Ù»Ý³Ù»Í µÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ ¿, áñÇÝ µ³Å³ÝíáõÙ »Ý ³Û¹ Ãí»ñÁ:

861. Î³ñá±Õ ¿ ³ñ¹Ûáù »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³-ñ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝ»É ³Û¹ Ãí»ñÇó Ù»ÏÇÝ:

862. ²ñ¹Ûáù ×Ç±ßï ¿, áñ »Ã» »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó Ù»ÏÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ÙÛáõëÇÝ, ³å³ ³Û¹ Ãí»ñÇó ³í»ÉÇ ÷áùñÁ Ýñ³Ýó ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñµ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿:

863. Ð»éáõëï³ÙñóáõÛÃÇÝ Ù³ëÝ³Ïó»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ñ³í³ùí³Í Ù»Í³Ñ³ë³Ï-Ý»ñÇó ¨ »ñ»Ë³Ý»ñÇó ÃÇÙ»ñ åÇïÇ Ï³½Ù»Ý ³ÛÝå»ë, áñ µáÉáñ ÃÇÙ»ñáõÙÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ ù³Ý³ÏÝ»ñáí Ù»Í³Ñ³ë³ÏÝ»ñ ¨ Ñ³í³ë³ñ ù³Ý³Ï-Ý»ñáí »ñ»Ë³Ý»ñ: ²Ù»Ý³ß³ïÁ ù³ÝÇ± ³Û¹åÇëÇ ÃÇÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³½Ù»É24 Ù»Í³Ñ³ë³ÏÝ»ñÇó ¨ 30 »ñ»Ë³Ý»ñÇó:

864. ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý Ç±Ýã ÃÇí ·ñ»Éáõ ¹»åùáõÙ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ×Çßï ÏÉÇÝÇ.³)125 ⋅ ∗ = 8000, ·)11 ⋅ ∗ + 80 = 201, ») 23 ⋅ ∗ – 134 = 901,µ) 36 ⋅ ∗ = 3312, ¹)18 ⋅ ∗ + 100 = 6202, ½)18 ⋅ ∗ – 275 = 265:

865. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) (81 ⋅ 99) : 11, ·) (336 ⋅ 571) : 42, ») (4998 : 98) : 17,µ) (72 ⋅ 35) : 12, ¹) (9900 : 99) : 25, ½) (4800 : 75) : 16 :

134

866. Ð³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ï³ñí³Í »Ý »ñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñ: ø³ÝÇ± Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÏ³ñáÕ »Ý Ýñ³Ýù áõÝ»Ý³É: ÆëÏ ù³ÝÇ± Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï Ï³ñáÕ ÉÇÝ»É, »Ã»ï³ñí³Í ÉÇÝ»Ý Çñ³ñ Ñ³ïáÕ »ñ»ù áõÕÇÕÝ»ñ:

867. 6 Ù 75 ëÙ »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ ¨ 4 Ù 35 ëÙ É³ÛÝáõÃÛ³Ùµ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³Ó¨å³ïÁ å»ïù ¿ »ñ»ë³å³ï»É ù³é³Ïáõëáõ Ó¨ áõÝ»óáÕ Ñ³Ë×³ë³ÉÇÏ-Ý»ñáí: ø³ÝÇ± Ñ³Ë×³ë³ÉÇÏ ³ÝÑñ³Å»ßï ÏÉÇÝÇ, »Ã» ë³ÉÇÏÇ ÏáÕÙÇ»ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 15 ëÙ ¿:

868. ºé³ÝÏÛ³Ý ÙÇ ÏáÕÙÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 7 ëÙ 4 ÙÙ ¿, »ñÏñáñ¹ÇÝÁ` 6 ÙÙ-áí³í»ÉÇ, »ññáñ¹ÇÝÁ` ³é³çÇÝÇó 6 ÙÙ-áí å³Ï³ë: àñù³±Ý ¿ »é³ÝÏÛ³Ýå³ñ³·ÇÍÁ:

869. ØÇ¨ÝáõÛÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ÁÝÃ³óáÕ »ñÏáõ ·Ý³óùÝ»ñÇó Ù»ÏÝ ³Ýó»É ¿ 3816 ÏÙ,ÇëÏ ÙÛáõëÁª 2520 ÏÙ: ø³ÝÇ± Å³ÙáõÙ ¿ ×³Ý³å³ñÑÝ ³Ýó»É ³Û¹ ·Ý³óù-Ý»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ, »Ã» ³é³çÇÝÁ ×³Ý³å³ñÑÇÝ ¿ ·ïÝí»É 18 Å³Ùáí³í»ÉÇ, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á:

870. ºñÏáõ ßï»Ù³ñ³ÝÝ»ñáõÙ å³ÑíáõÙ ¿ ÁÝ¹³Ù»ÝÁ 50 ï 780 Ï· óáñ»Ý, ÁÝ¹áñáõÙ »ñÏñáñ¹áõÙª ³é³çÇÝÇó 5 ï 330 Ï· å³Ï³ë: ø³ÝÇ± ÏÇÉá·ñ³Ùóáñ»Ý ¿ å³ÑíáõÙ ßï»Ù³ñ³ÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ:

871. ºñÏáõ ïå³ñ³Ý ïå³·ñ»óÇÝ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ¹³ë³·ÇñùÁª 50000 ÁÝ¹Ñ³Ýáõñïå³ù³Ý³Ïáí, ÁÝ¹ áñáõÙ »ñÏñáñ¹ ïå³ñ³ÝÁ ³é³çÇÝÇó 10700 ûñÇÝ³-Ïáí å³Ï³ë ïå³·ñ»ó: ¸³ë³·ñùáõÙ Ï³ 256 ¿ç: ²Ù»Ý 16 ¿çÁ 1 Ù³ÙáõÉ¿: ø³ÝÇ± Ù³ÙáõÉ Ï³ñ ïå³ñ³ÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ïå³·ñ³Í µáÉáñ·ñù»ñáõÙ:

872. Þ³ËÙ³ï³ÛÇÝ ÙñóáõÛÃÇ Ù³ëÝ³ÏÇóÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ·ñ³éáõÙ ¿ñÇñ Ë³ÕÝ áõ Ë³ÕÇ ³í³ñïÇó Ñ»ïá ·ñ³éáõÙÁ Ñ³ÝÓÝáõÙ Ùñó³í³ñÇÝ:Ê³Õ³÷áõÉ»ñÇó Ù»ÏÇ ³í³ñïÇÝ Ùñó³í³ñÇ Ùáï Ñ³í³ùí»É ¿ñ 25·ñ³éáõÙ: ²ñ¹Ûáù µáÉá±ñ Ù³ëÝ³ÏÇóÝ»ñÝ ¿ÇÝ Ñ³ÝÓÝ»É Çñ»Ýó ·ñ³éáõÙ-Ý»ñÁ:

873. ò³ÝÏ³å³ï»É »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ 4900 Ù2 Ù³Ï»ñ»ëÝ áõÝ»óáÕ »ñÏáõ ÑáÕ³Ù³ë:¸ñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ ù³é³Ïáõëáõ Ó¨ áõÝÇ, ÇëÏ ÙÛáõëÝ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ ¿ ¨áõÝÇ 50 Ù É³ÛÝáõÃÛáõÝ: à±ñ ÑáÕ³Ù³ëÇ ó³ÝÏ³å³ïÝ ¿ ³í»ÉÇ »ñÏ³ñ ¨áñù³Ýá±í:

ØÇ ÑéáÙ»³óÇ Ù»éÝ»ÉÇë Çñ áõÝ»óí³ÍùÁ Ïï³Ï»ó Çñ ÏÝáçÝ áõ»ñ»Ë³ÛÇÝ, áñ Ýáñ åÇïÇ ÍÝí»ñ: ºÃ» ïÕ³ ÍÝí»ñ, Ý³ åÇïÇ ëï³Ý³ñáõÝ»óí³ÍùÇ »ñÏáõ »ññáñ¹Á, ÇëÏ Ù³ÛñÁ` Ù»Ï »ññáñ¹Á: ºÃ» ³ÕçÇÏ³ßË³ñÑ ·³ñ, Ý³ åÇïÇ ëï³Ý³ñ Ù»Ï »ññáñ¹Á, ÇëÏ Ù³ÛñÁª »ñÏáõ

»ññáñ¹Á: ´³Ûó ÍÝí»óÇÝ »ñÏíáñÛ³ÏÝ»ñª ïÕ³ ¨ ³ÕçÇÏ:ÆÝãå»±ë å»ïù ¿ µ³Å³Ý»É Å³é³Ý·áõÃÛáõÝÁ:

²Ûë ËÝ¹ÇñÁ Å³Ù³Ý³ÏÇÝ ÷³ÛÉáõÝ Ï»ñåáí ÉáõÍ»É ¿ÑéáÙ»³óÇ Çñ³í³µ³Ý ê³ÉíÇáõëÁ:

135

42. ²ØºÜ²öàøð ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²¼Ø²ä²îÆÎ

¸Çï³ñÏ»Ýù Ãí»ñÇ Ñ»ï¨Û³É ïáÕ»ñÁª6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 72 ,8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 96 :

²é³çÇÝ ïáÕáõÙ ·ñí³Í µáÉáñ Ãí»ñÁ 6-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñ »Ý, ÇëÏ»ñÏñáñ¹áõÙ ·ñí³ÍÝ»ñÁª 8-Ç: ¸ñ³Ýó Ù»ç Ï³Ý ³ÛÝåÇëÇÝ»ñÁ, áñáÝù ·ñí³Í »Ý¨° ³é³çÇÝ ïáÕáõÙ, ¨° »ñÏñáñ¹áõÙ, ³ÛëÇÝùÝª µ³Å³ÝíáõÙ »Ý ¨° 6-Ç, ¨° 8-Ç: ²Û¹Ãí»ñÝ »Ý` 24, 48, 72 :

²ÛÝ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÁ ïñí³Í µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇµ³½Ù³å³ïÇÏ ¿, ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏ:

àõñ»ÙÝ 24, 48, 72 Ãí»ñÁ 6-Ç ¨ 8-Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñ »Ý:

îñí³Í µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇó ³Ù»Ý³-÷áùñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏ:

ºñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÁ Ýß³Ý³-Ï»Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍáõÙ »Ý ù³é³ÏáõëÇ ÷³Ï³·Í»ñ: úñÇÝ³Ï` 6 ¨ 8³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÁ Ï·ñíÇ ³Ûëå»ë. [6, 8]: Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ¿, áñ [6, 8] = [8, 6] = 24:

Ð»ï¨Û³É ³ÕÛáõë³ÏáõÙ ïñí³Í »Ý 1-Çó 12 Ãí»ñÇ µáÉáñ ½áõÛ·»ñÇ ³Ù»Ý³-÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÁ:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1 2 2 2 3 3 6 3 4 4 4 12 4 5 5 10 15 20 5 6 6 6 6 12 30 6 7 7 14 21 28 35 42 7 8 8 8 24 8 40 24 56 8 9 9 18 9 36 45 18 63 72 910 10 10 30 20 10 30 70 40 90 1011 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 1112 12 12 12 12 60 12 84 24 36 60 132 12

²ÕÛáõë³ÏáõÙ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ïáÕÇ ¨ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ëÛáõÝ³ÏÇÑ³ïÙ³Ý ï»ÕáõÙ ·ñí³Í ¿ Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÁ:

²ÕÛáõë³Ï 8

136

ÆëÏ ÇÝãå»±ë »Ý ·ïÝáõÙ »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñµ³½Ù³å³ïÇÏÁ: ø³ÝÇ áñ »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ýñ³Ýó ÁÝ¹-Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏ ¿, Ñ»ï¨³µ³ñ ³Û¹ Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½-Ù³å³ïÇÏÁ Ï³°Ù Ñ³í³ë³ñ ¿ ¹ñ³Ýó ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ, Ï³°Ù Ýñ³ÝÇó ÷áùñ ¿:àõñ»ÙÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É ïñí³Í Ãí»ñÇ ³ÛÝ µáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏ-Ý»ñÁ, áñáÝù ³Û¹ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇó Ù»Í ã»Ý, ³ÛÝáõÑ»ï¨ ¹ñ³ÝóÇó ÁÝïñ»É³Ù»Ý³÷áùñÁ:

Üß»Ýù, áñ Ï³Ý ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÁ ·ïÝ»Éáõ »Õ³-Ý³ÏÝ»ñ, áñáÝó ÏÇñ³éáõÙÁ ãÇ å³Ñ³ÝçáõÙ ÇÙ³Ý³É ïíÛ³É Ãí»ñÇ áñ¨¿ ÁÝ¹Ñ³-Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏ: ØÇ ³Û¹åÇëÇ »Õ³Ý³ÏÇ Ó»½ ÏÍ³ÝáÃ³óÝ»Ýù Ñ³çáñ¹¹³ë»ñÇó Ù»ÏáõÙ:

874. ÆÝãåÇëÇ± ÃÇíÝ ¿ ÏáãíáõÙ »ñÏáõ Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏ:875. ÆÝãåÇëÇ± ÃÇíÝ ¿ ÏáãíáõÙ »ñÏáõ Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³-

å³ïÇÏ: ÆÝãå»±ë ¿ ³ÛÝ Ýß³Ý³ÏíáõÙ:876. ÆÝãå»±ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É »ñÏáõ Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³-

å³ïÇÏÁ:877. ¶ï»°ùª

³) 12 ¨ 16 Ãí»ñÇ ³ÛÝ µáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÁ, áñáÝù÷áùñ »Ý 150-Çó,µ) 35 ¨ 50 Ãí»ñÇ ³ÛÝ µáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÁ, áñáÝù÷áùñ »Ý 500-Çó:

878. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏ-Ý»ñÇ Ù»ç ÙÇßï Ï·ïÝíÇ ³Ù»Ý³÷áùñÁ: ÆëÏ ³Ù»Ý³Ù»±ÍÁ:

879. ¶ï»°ù ïñí³Í Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÁ.³) 18 ¨ 32, ») 27 ¨ 12, Ã) 45 ¨ 81,µ) 24 ¨ 6, ½) 36 ¨ 64, Å) 200 ¨ 125,·) 75 ¨ 15, ¿) 70 ¨ 90, Å³) 65 ¨ 39,¹) 16 ¨ 36, Á) 132 ¨ 77, Åµ) 1 ¨ 100:

880. Î³ñ»ÉÇ± ¿ ³ñ¹Ûáù åÝ¹»É, áñ »ñÏáõ Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñµ³½Ù³å³ïÇÏÁ ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ ¿, áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇÝ:

881. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã» ÙÇ µÝ³Ï³Ý ÃÇí µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ÙÛáõëÇÝ, ³å³¹ñ³Ýó ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÁ ³ÛÝ ÃÇíÝ ¿, áñÝ ³í»ÉÇÙ»Í ¿:

882. Î³ñ»ÉÇ± ¿ ³ë»É, áñ »ñÏáõ Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÁ³Û¹ Ãí»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÇ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿:

883. ÈáÕ³ñ³ÝÇ å³ïÁ, áñÝ áõÝÇ ù³é³Ïáõëáõ Ó¨, »ñ»ë³å³ïí³Í ¿ áõÕÕ³Ý-ÏÛáõÝ³Ó¨ Ñ³Ë×³ë³ÉÇÏÝ»ñáí, áñáÝóÇó ³Ù»Ý Ù»ÏÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 30 ëÙ¿, ÇëÏ É³ÛÝáõÃÛáõÝÁª 27 ëÙ: ²Ù»Ý³ùÇãÁ Ç±Ýã »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ Ï³ñáÕ ¿áõÝ»Ý³É ÉáÕ³ñ³ÝÇ å³ïÁ:

137

884. ¶ñ»°ù µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ áñ¨¿ »ñ»ù ½áõÛ·, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝÇ 1-Ç:

885. ¶ñ»°ù ³ÛÝ µáÉáñ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ, áñáÝù 348*2 ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç ³ëïÕ³ÝÇßÇ÷áË³ñ»Ý ·ñ»Éáõ ¹»åùáõÙ ëï³óíáÕ ÃÇíÁ Ïµ³Å³ÝíÇ 4-Ç:

886. Î³ï³ñ»°ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.³) (228 : 19 + 910) ⋅ (728 : 182 + 85),µ) (1163 – 825 : 33) ⋅ (169 – 208 : 26),·) (522 : 18 + 2440) ⋅ (3444 : 12 + 78):

887. ABC »é³ÝÏÛ³Ý AB ÏáÕÙÁ BC ÏáÕÙÇó Ù»Í ¿ 15 ëÙ-áí, ÇëÏ AC ÏáÕÙÁ ABÏáÕÙÇó ÷áùñ ¿ 5 ëÙ-áí: ¶ï»°ù ABC »é³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ, »Ã»⏐AB⏐ = 40 ëÙ:

888. AB Ñ³ïí³ÍÇ íñ³, áñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 10 ëÙ ¿, Ýßí³Í ¿ ÙÇ C Ï»ï:àñù³±Ý ¿ AC ¨ CB Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ ÙÇçÝ³Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:

889. àõÝ»Ýù 8 ëÙ 2 ÙÙ ¨ 5 ëÙ 1 ÙÙ ÏáÕÙ»ñáí áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ¨ 6 ëÙ 7 ÙÙ ÏáÕÙáíù³é³ÏáõëÇ: àõÕÕ³ÝÏÛ³±Ý å³ñ³·ÇÍÝ ¿ ³í»ÉÇ Ù»Í, Ã»± ù³é³ÏáõëáõÝÁ:

890. Î³Ù³ñ³Ó¨ Ï³ÙñçÇ ëÛáõÝ³Ù»çÁ ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ëÝ ¿ (ï»°ë ÝÏ. 65): àñù³±Ý¿ Ï³ÙñçÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» Ýñ³ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 7 Ù ¿:

891. ºñÏáõÉÇïñ³Ýáó ¨ »ñ»ùÉÇïñ³Ýáó ³ÝáÃÝ»ñáí ï»Õ³÷áËáõÙ »Ý 80 É³ñ¨³Í³ÕÏÇ Ó»Ã: ºñÏáõÉÇïñ³Ýáó ³ÝáÃÝ»ñÁ ÝáõÛÝù³Ý »Ý, áñù³Ý»ñ»ùÉÇïñ³ÝáóÝ»ñÁ: ÀÝ¹³Ù»ÝÁ ù³ÝÇ± ³ÝáÃ ¿ û·ï³·áñÍí³Í:

892. Øñó³í³½ùÇ »ñÏáõ ³é³ç³ï³ñ Ù»ù»Ý³Ý»ñÁ, áñáÝóÇó »ñÏñáñ¹Ý³é³çÇÝÇó 80 ÏÙ Ñ»ï ¿ñ ÙÝáõÙ, ÁÝÃ³ÝáõÙ ¿ÇÝ 90 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ:ºñµ »ñÏñáñ¹ Ù»ù»Ý³ÛÇÝ ÙÇÝã¨ í»ñçÝ³·ÇÍÁ ÙÝ³ó»É ¿ñ 440 ÏÙ, ³ÛÝÙ»Í³óñ»ó Çñ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ, ¨ »ñÏáõ Ù»ù»Ý³Ý»ñÁ í»ñçÝ³·ÍÇÝ Ñ³ë³ÝÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï: àñù³Ýá±í Ù»Í³ó³í »ñÏñáñ¹ Ù»ù»Ý³ÛÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:

893. ºñ»ù ÑáÕ³Ù³ë»ñÇó ³é³çÇÝÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ 300 Ñ³ ¿, »ñÏñáñ¹ÇÝÁ 2 ³Ý·³ÙÙ»Í ¿ ³é³çÇÝÇ Ù³Ï»ñ»ëÇó, ÇëÏ »ññáñ¹Ç Ù³Ï»ñ»ëÁ 6 ³Ý·³Ù ÷áùñ ¿³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ÑáÕ³Ù³ë»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇó: àñù³±Ý ¿»ññáñ¹ ÑáÕ³Ù³ëÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:

îÕ³Ý áõÝÇ ³ÛÝù³Ý ùáõÛñ»ñ, áñù³Ý áñ »Õµ³ÛñÝ»ñ, ÇëÏ Ýñ³ ùñáç

ùáõÛñ»ñÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ùÇã »Ý »Õµ³ÛñÝ»ñÇó: ø³ÝÇ± »Õµ³Ûñ ̈ ù³ÝÇ± ùáõÛñ

»Ý ³Û¹ ÁÝï³ÝÇùáõÙ:

ÜÏ.65

138

43. ä²ð¼ ºì ´²Ô²¸ðÚ²È Âìºð

Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ Ñ³í³ë³ñ ã¿ 1-Ç, áõÝÇ ³éÝí³½Ý »ñÏáõµ³Å³Ý³ñ³ñª ÇÝùÁ ¨ 1-Á:

´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ù»ç Ï³Ý ³ÛÝåÇëÇÝ»ñÁ, áñáÝù, ³Û¹ »ñÏáõëÇó µ³óÇ, áõñÇßµ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ ãáõÝ»Ý: úñÇÝ³Ïª 2, 3, 5, 7, 11 Ãí»ñÁ:

²ÛÝ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÝ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ »ñÏáõ µ³Å³Ý³ñ³ñª ÇÝùÁ ¨ 1-Á,ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ½ ÃÇí:

²ÛÝ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÁ Çñ»ÝÇó ̈ 1-Çó µ³óÇ áõÝÇ Ý³¨ ³ÛÉ µ³Å³Ý³-ñ³ñÝ»ñ, ÏáãíáõÙ ¿ µ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇí:

´³Õ³¹ñÛ³É ÃÇí ¿, ûñÇÝ³Ï, 4-Á, ù³ÝÇ áñ Ýñ³ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇó Ù»ÏÁ2-Ý ¿ , áñÁ ï³ñµ»ñ ¿ 4-Çó ¨ 1-Çó: ´³Õ³¹ñÛ³É ¿ Ý³¨ 15 ÃÇíÁ, ù³ÝÇ áñ Ýñ³µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇó ¿ 5-Á, áñÁ ï³ñµ»ñ ¿ 15-Çó ¨ 1-Çó:

´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùáõÙ Ï³ ÙÇ ³ÛÝåÇëÇ ÃÇí, áñÝ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ïµ³Å³Ý³ñ³ñ: ¸³ 1-Ý ¿: ²Û¹ å³ï×³éáí 1-Á á°ã å³ñ½ ÃÇí ¿, á°ã ¿É µ³Õ³¹ñÛ³É:ê³ Ù»Ï ³Ý·³Ù ¨ë Ñ³ëï³ïáõÙ ¿, áñ 1-Á Ûáõñ³Ñ³ïáõÏ ÃÇí ¿:

²Ù»Ý³÷áùñ å³ñ½ ÃÇíÁ 2-Ý ¿, Ñ³çáñ¹ å³ñ½ Ãí»ñÝ »Ýª

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .

êïáñ¨ µ»ñíáõÙ ¿ 1000-Çó ÷áùñ µáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ³ÕÛáõë³ÏÁ:

2 47 109 191 269 353 439 523 617 709 811 9073 53 113 193 271 359 443 541 619 719 821 9115 59 127 197 277 367 449 547 631 727 823 9197 61 131 199 281 373 457 557 641 733 827 92911 67 137 211 283 379 461 563 643 739 829 93713 71 139 223 293 383 463 569 647 743 839 94117 73 149 227 307 389 467 571 653 751 853 94719 79 151 229 311 397 479 577 659 757 857 95323 83 157 233 313 401 487 587 661 761 859 96729 89 163 239 317 409 491 593 673 769 863 97131 97 167 241 331 419 499 599 677 773 877 97737 101 173 251 337 421 503 601 683 787 881 98341 103 179 257 347 431 509 607 691 797 883 99143 107 181 263 349 433 521 613 701 809 887 997

²ÕÛáõë³Ï 9

139

ä³ñ½ ÃíÇ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÁ ëÏ½µÝ³íáñí»É ¿ ¹»é¨ë åÛáõÃ³·á-ñ³ëÛ³Ý ¹åñáóáõÙ Ù.Ã.³. VI–V ¹³ñ»ñáõÙ: ÐáõÛÝ Ù»Í Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë¾íÏÉÇ¹»ëÁ (Ù.Ã.³. III ¹.) óáõÛó ¿ ïí»É, áñ ÇÝãù³Ý ¿É å³ñ½ ÃÇíÁ Ù»ÍÉÇÝÇ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ýñ³ÝÇó Ù»Í å³ñ½ ÃÇí, ³ÛëÇÝùÝª å³ñ½ Ãí»ñÝ

³Ýí»ñç ß³ï »Ý: ²ÛÝáõÑ»ï¨ Ñ³ñó Í³·»ó, Ã» ÇÝãå»ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇß³ñùáõÙ ×³Ý³ã»É ³Û¹ Ãí»ñÁ:

ä³ñ½ Ãí»ñÇ ³ÕÛáõë³Ï Ï³½Ù»Éáõ ÙÇ ëñ³ÙÇï »Õ³Ý³Ï ·ï³í ³É»ùë³Ý¹-ñÇ³óÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë ¾ñ³ïáëÃ»Ý»ëÁ (Ù.Ã.³. III–II ¹³ñ»ñ): òáõÛó ï³Ýù,Ã» Ýñ³ ³é³ç³ñÏ³Í »Õ³Ý³Ïáí ÇÝãå»ë »Ý ·ïÝáõÙ, ûñÇÝ³Ï, 30-Çó ÷áùñµáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÁ:

¶ñ»Ýù 1-Çó 30 µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÝ ³ÕÛáõë³ÏÇ ï»ëùáí:

Ð³çáñ¹³µ³ñ çÝç»Ýù ³ÛÝ µáÉáñ Ãí»ñÁ, áñáÝù å³ñ½ ã»Ýª ³é³çÝáñ¹í»ÉáíÑ»ï¨Û³É Ï³ÝáÝáí: Ü³Ë çÝçáõÙ »Ýù 1-Á, ³ÛÝáõÑ»ï¨ª 2-Ç (³é³çÇÝ å³ñ½ÃíÇ) µáÉáñ µ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÁ: ¸ñ³Ýù 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,24, 26, 28, 30 Ãí»ñÝ »Ý (³ÕÛáõë³ÏÇ µáÉáñ ½áõÛ· Ãí»ñÁ): Ð³çáñ¹ ãçÝçí³ÍÃÇíÁ 3-Ý ¿, áõëïÇ ÙÝ³ó³Í Ãí»ñÇó çÝçáõÙ »Ýù 3-Ç µáÉáñ µ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÁ,³ÛëÇÝùÝª 9, 15, 21, 27 Ãí»ñÁ: ²Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï»Éáíª ³ÕÛáõë³ÏáõÙ ÏÃáÕÝ»ÝùÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ Ãí»ñÁ, áñáÝù Çñ»ÝóÇó ÷áùñ Ãí»ñÇ µ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñ ã»Ý, ³ÛëÇÝùÝª³ÕÛáõë³ÏÇ µáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÁª 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 :

¾ñ³ïáëÃ»Ý»ëÇ Å³Ù³Ý³ÏÝ»ñáõÙ ·ñáõÙ ¿ÇÝ ÙáÙ» ë³ÉÇÏÝ»ñÇ íñ³: Âí»ñÁçÝç»Éáõ ÷áË³ñ»Ý ë³ÉÇÏÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ï»Õ»ñáõÙ Í³ÏáõÙ ¿ÇÝ, ÇÝãÇóÑ»ïá ³ÛÝ ÝÙ³ÝíáõÙ ¿ñ Ù³ÕÇ: ²Ûëï»ÕÇó ¿É` ¾ñ³ïáëÃ»Ý»ëÇ »Õ³Ý³ÏÇ³Ýí³ÝáõÙÁª §¾ñ³ïáëÃ»Ý»ëÇ Ù³Õ¦:

ä³ñ½ Ãí»ñÁ ·ïÝ»Éáõ Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó »Õ³Ý³ÏÝ»ñÁ ÑÇÙÝí³Í »Ý Ñ³Ù³-Ï³ñ·ÇãÝ»ñÇ û·ï³·áñÍÙ³Ý íñ³: ²Û¹åÇëÇ »Õ³Ý³ÏÝ»ñÇ ÙÇçáóáí ¿ Ñ³Ûï-Ý³µ»ñí»É, ûñÇÝ³Ï,

170141183460469231731687303715884105727å³ñ½ ÃÇíÁ: ²Ûë ÃÇíÁ Ñ³ÛïÝÇ å³ñ½ Ãí»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ ã¿. Ñ³ÛïÝ³µ»ñí³Í»Ý ß³ï ³í»ÉÇ Ù»Í å³ñ½ Ãí»ñ, ûñÇÝ³Ï` ³ÛÝåÇëÇÝ, áñÁ ·ñÇ ¿ ³éÝíáõÙ 25962Ãí³Ýß³ÝÇ û·ï³·áñÍáõÙáí:

894. à±ñ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï µ³Å³Ý³ñ³ñ:895. ÆÝãåÇëÇ± µÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ ¿ ÏáãíáõÙ å³ñ½ ÃÇí:896. ÆÝãåÇëÇ± µÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ ¿ ÏáãíáõÙ µ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇí:897. à±ñÝ ¿ ³Ù»Ý³÷áùñ å³ñ½ ÃÇíÁ:898. à±ñÝ ¿ ³Ù»Ý³÷áùñ µ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇíÁ:899. ´³ó³ïñ»°ù, Ã» ÇÝãáõ 1 ÃÇíÁ á°ã å³ñ½ ¿, á°ã ¿É µ³Õ³¹ñÛ³É:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

140

900. ²éÝí³½Ý ù³ÝÇ± µ³Å³Ý³ñ³ñ Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ½áõÛ· ÃÇíÁ:901. ´»ñ»°ù 30-Çó Ù»Í å³ñ½ Ãí»ñÇ ÙÇ ù³ÝÇ ûñÇÝ³Ï:902. ä³ñ½ Ãí»ñÇ ³ÕÛáõë³ÏÇ ÙÇçáóáí áñáß»°ù, Ã» 1, 95, 211, 348, 47, 491,

653, 651, 83, 900 Ãí»ñÇó áñáÝù »Ý å³ñ½:903. êïáõ·»°ù, áñ 340, 282, 285, 6303, 1764, 3372, 10345 Ãí»ñÁ µ³Õ³¹ñÛ³É

»Ý:904. ´³Õ³¹ñÛ³±É ¿ ³ñ¹Ûáù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ½áõÛ· ÃÇí:905. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»±Ý ³ñ¹Ûáù ½áõÛ· å³ñ½ Ãí»ñ:906. ´áÉá±ñ µ³Õ³¹ñÛ³É Ãí»ñÝ »Ý ½áõÛ·:907. ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý á±ñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ·ñ»Éáõ ¹»åùáõÙ ¿ 17 ⋅⋅⋅⋅⋅ ∗

³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ µ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇí, ¨ á±ñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ·ñ»Éáõ¹»åùáõÙª å³ñ½:

908. ¶ï»°ù ³ÛÝ µáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÁ, áñáÝù ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Éáõ¹»åùáõÙ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ÏÉÇÝÇ.³) 8 ⋅⋅⋅⋅⋅ ∗ < 72, ·) 5 ⋅⋅⋅⋅⋅ ∗ + 1 < 66,µ) 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ ∗ < 99, ¹) 11 ⋅⋅⋅⋅⋅ ∗ + 3 < 124:

909.àõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ »Ý 1-Çó Ù»ÍµÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí: Æ±Ýã Ãíáí (å³±ñ½, Ã»± µ³Õ³¹ñÛ³É) Ï³ñï³Ñ³ÛïíÇáõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ: ÆëÏ å³ñ³·Ç±ÍÁ:

910. ¶ï»°ùª³) (25, 35) , ·) (1, 82) , ») (18, 24) ,µ) (64, 68) , ¹) (93, 36) , ½) (66, 32) :

911. Î³ñá±Õ ¿ ³ñ¹Ûáù »ñÏáõ Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÁÑ³í³ë³ñ ÉÇÝ»É ³Û¹ Ãí»ñÇó Ù»ÏÇÝ:

912. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÃÇí Çñ ó³ÝÏ³ó³Í µ³½Ù³å³ïÇÏÇµ³Å³Ý³ñ³ñ ¿:

913. ¶áñÍ³Í»Éáí µáÉáñ ãáñë Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁª Ï³½Ù»°ù³ÛÝåÇëÇ Ãí³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝ, áñÇ ³ñÅ»ùÁ ÉÇÝÇª³) 0, µ) 1, ·) 5, ¹) 14, ») 27:

914. ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÁ 12-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë 0, 1, 3, 9, 12, 19, 25 Ãí»ñÇó áñá±ÝùÏ³ñáÕ »Ý ëï³óí»É áñå»ë ÙÝ³óáñ¹: ä³ï³ëË³ÝÁ ÑÇÙÝ³íáñ»°ù:

915. îñí³Í »Ý 12, 75, 90, 37, 120, 65, 5, 296, 5635, 72430 Ãí»ñÁ: ¸ñ³ÝóÇóáñá±Ýù »Ý µ³Å³ÝíáõÙª³) 2-Ç, µ) 10-Ç, ·) 5-Ç, ¹) 2-Ç ¨ 5-Ç:

916. Æ±Ýã Ãíáí å»ïù ¿ µ³½Ù³å³ïÏ»É 18-Á, áñå»ë½Ç ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 300-áíÙ»Í ÉÇÝÇ 3300-Çó:

141

917. ÆÝãÇ± »Ý Ñ³í³ë³ñ ABCD áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÝ áõ Ù³Ï»ñ»ëÁ (ï»°ëÝÏ. 66), »Ã» ßñç³Ý³·Í»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ß³é³íÇÕÁ 2 ëÙ ¿:

918. Êáñ³Ý³ñ¹Ç ÝÇëïÇ å³ñ³·ÇÍÁ 72 ëÙ ¿: àñù³±Ý ¿ ³Û¹ Ëáñ³Ý³ñ¹ÇÍ³í³ÉÁ:

919. 2-Á ¨ 3-Á å³ñ½ Ãí»ñ »Ý, áñáÝó ï³ñµ»ñáõ-ÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 1-Ç: Î³± ³ñ¹Ûáù å³ñ½Ãí»ñÇ áõñÇß ³Û¹åÇëÇ ½áõÛ·:

920. ÐáíïáõÙ ³×áõÙ ¿ñ ãáñë µ³ñ¹Ç: Üñ³ÝóÇó³Ù»Ý³µ³ñÓñÁ ÙÛáõëÝ»ñÇó µ³ñÓñ ¿ñ Ñ³-Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ 3 Ù-áí, 5 Ù-áí, 9 Ù-áí:²Ù»Ý³ó³ÍñÝ áõÝ»ñ 11 Ù µ³ñÓñáõÃÛáõÝ:àñáß»°ù ÙÛáõë µ³ñ¹ÇÝ»ñÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝ-Ý»ñÁ:

921. ºñÏáõ ³ß³Ï»ñï Ñ³ÝÓÝ³ñ³ñáõÃÛáõÝ ëï³ó³Ýª µ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ ÙÇ¨-ÝáõÛÝ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ. Ù»ÏÁª 43-áí, ÙÛáõëÁª 69-áí: Î³ï³ñ»Éáí µ³½Ù³-å³ïÏáõÙÁª ³é³çÇÝÁ ëï³ó³í 1118: Æ±Ýã ÃÇí ëï³ó³í »ñÏñáñ¹Á, »Ã»»ñÏáõëÝ ¿É ×Çßï ¿ÇÝ Ï³ï³ñ»É µ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ:

ê¨, ¹³ñãÝ³·áõÛÝ ¨ ëåÇï³Ï ïáõ-÷»ñáõÙ ¹ñí³Í ¿ñ Ù»Ï³Ï³Ý ·Ý¹ÇÏ: ²Ù»ÝÙÇ ïáõ÷Á ̈ Ýñ³ Ù»ç »Õ³Í ·Ý¹ÇÏÁ ÝáõÛÝ·áõÛÝÇ ¿ÇÝ: ¶Ý¹ÇÏÝ»ñÁ ïáõ÷Çó ïáõ÷

ï»Õ³÷áË»óÇÝ, ̈ áã ÙÇ ïáõ÷áõÙ »Õ³Í ·Ý¹Ç-ÏÇ ·áõÛÝÁ ³ñ¹»Ý ã¿ñ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙïáõ÷Ç ·áõÛÝÇÝ: ºñµ µ³ó»óÇÝ Ï³ñÙÇñ ïáõ÷Á,Ýñ³ ÙÇçÇó ¹áõñë »Ï³í ëåÇï³ÏÁ: à±ñ ·Ý¹ÇÏÝ¿ñ ¹ñí³Í ë¨ ïáõ÷áõÙ, ¨ á±ñÁ` ëåÇï³ÏáõÙ:

ÜÏ. 66

142

44. ´²Ô²¸ðÚ²È ÂìÆ ìºðÈàôÌàôØÀ ä²ð¼ ²ðî²¸ðÆâÜºðÆ

ØÇ¨ÝáõÛÝ µ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇíÁ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»ëùáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É (Ý»ñÏ³-Û³óÝ»É) ï³ñµ»ñ Ó¨»ñáí: úñÇÝ³Ïª 36-Ý ³Û¹å»ë Ý»ñÏ³Û³óÝ»Éáõ Ó¨»ñÇó »Ýª

36 = 6 ⋅⋅⋅⋅⋅ 6, 36 = 4 ⋅⋅⋅⋅⋅ 9, 36 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 6 :´³Õ³¹ñÛ³É ÃÇíÝ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»ëùáí Ý»ñÏ³Û³óÝ»Éáõ µáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ

Ó¨»ñÇ Ù»ç Ï³ ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÁ, áñáõÙ µáÉáñ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ å³ñ½ Ãí»ñ »Ý:²Û¹åÇëÇ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý µ³Õ³¹ñÛ³É ÃíÇ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñ,ÇëÏ ¹ñ³Ýóáí µ³Õ³¹ñÛ³É ÃíÇ Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ µ³Õ³¹ñÛ³É ÃíÇí»ñÉáõÍáõÙ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ:

36 ÃíÇ í»ñÉáõÍáõÙÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ.36 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 :

²Û¹åÇëÇ í»ñÉáõÍáõÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É, »Ã» ïíÛ³É ÃíÇ` µ³Õ³¹ñÛ³É³ñï³¹ñÇãÝ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ áñ¨¿ Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý Ù»ç ³Û¹ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÝ Çñ»ÝóÑ»ñÃÇÝ ·ñí»Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»ëùáí: úñÇÝ³Ïª 36 = 6 ⋅⋅⋅⋅⋅ 6, µ³Ûó ù³ÝÇ áñ6 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3, áõëïÇ ëï³ÝáõÙ »Ýùª 36 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3: Î³Ù 36 = 4 ⋅⋅⋅⋅⋅ 9, µ³Ûóù³ÝÇ áñ 4 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2, 9 = 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3, Ñ»ï¨³µ³ñ 36 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3: ²Ûë ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁÏ³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É Ñ»ï¨Û³É ·Í³å³ïÏ»ñÝ»ñáí.

´³Õ³¹ñÛ³É ÃÇíÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ í»ñÉáõÍ»ÉÇë ëáíáñ³µ³ñ í³ñíáõÙ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.

1) ú·ïí»Éáí µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇß»ñÇó Ï³Ù µ³Å³ÝÙ³ÝÑ³ßí»Ï³ÝáÝÇó` å³ñ½ Ãí»ñÇ ³ÕÛáõë³ÏÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ·ïÝáõÙ»Ý ÃíÇ ³Ù»Ý³÷áùñ å³ñ½ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ:

2) ÂÇíÁ µ³Å³ÝáõÙ »Ý ³Û¹ µ³Å³Ý³ñ³ñÇÝ:3) ¶ïÝáõÙ »Ý ëï³óí³Í ù³Ýáñ¹Ç ³Ù»Ý³÷áùñ å³ñ½ µ³Å³Ý³-

ñ³ñÁ ¨ ÝáñÇó µ³Å³ÝáõÙ »Ý Ï³ï³ñáõÙ:²Ûëå»ë ß³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ý, ÙÇÝã¨ áñ µ³Å³ÝÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ å³ñ½ÃÇí ÉÇÝÇ:

143

²Ûë »Õ³Ý³Ïáí å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ í»ñÉáõÍ»Ýù, ûñÇÝ³Ï, 6930 ÃÇíÁ: ø³ÝÇáñ ³ÛÝ ½áõÛ· ÃÇí ¿, áõëïÇ Ýñ³ ³Ù»Ý³÷áùñ å³ñ½ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ 2-Ý ¿: Î³ï³ñáõÙ»Ýù µ³Å³ÝáõÙÁ. 6930 : 2 = 3465: êï³óí³Í ù³Ýáñ¹Ç ³Ù»Ý³÷áùñ å³ñ½µ³Å³Ý³ñ³ñÁ 3-Ý ¿: ÜáñÇó Ï³ï³ñáõÙ »Ýù µ³Å³ÝáõÙ. 3465 : 3 = 1155:Ð³çáñ¹ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÝ »Ý. 1155 : 3 = 385, 385 : 5 =77, 77 : 7 = 11:êï³ÝáõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.

6930 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3465 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 1155 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 385 == 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 5 ⋅⋅⋅⋅⋅ 77 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 5 ⋅⋅⋅⋅⋅ 7 ⋅⋅⋅⋅⋅ 11:

²ÛëåÇëáíª 6930 ÃíÇ í»ñÉáõÍáõÙÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³Éï»ëùÁ.

6930 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 5 ⋅⋅⋅⋅⋅ 7 ⋅⋅⋅⋅⋅ 11:

ÂÇíÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ í»ñÉáõÍ»ÉÇë Ñ³ñÙ³ñ¿ ·ñ³éáõÙÝ ³Ý»É ëÛáõÝ³Ïáí, áñáõÙ áõÕÕ³ÓÇ· ·ÍÇó ³ç·ñíáõÙ ¿ Ñ»ñÃ³Ï³Ý ³Ù»Ý³÷áùñ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ, ÇëÏ·ÍÇó Ó³Ë` ëï³óí³Í ù³Ýáñ¹Á:

ºñÏáõ ï³ñµ»ñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ Ï³ñáÕ »Ý áõÝ»Ý³É ÙÇ¨ÝáõÛÝ å³ñ½ ³ñï³-¹ñÇãÁ: ²ÛÝ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÁ ïñí³Í µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ å³ñ½³ñï³¹ñÇã ¿, ÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³Ýó ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇã: úñÇÝ³Ï` 5-Á15-Ç ¨ 20-Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇã ¿, ù³ÝÇ áñ ³Û¹ Ãí»ñÇ Ñ³Ù³-å³ï³ëË³Ý í»ñÉáõÍáõÙÝ»ñÝ »Ý. 15 = 3 . 5, 20 = 2 . 2 . 5:

Î³ñáÕ ¿ ¨ ³ÛÝå»ë å³ï³Ñ»É, áñ »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ãáõÝ»Ý³Ý áñ¨¿ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇã. ûñÇÝ³Ï` 9 ¨ 16 Ãí»ñÁ:

²ÛÝ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáÝù ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇã ãáõÝ»Ý,ÏáãíáõÙ »Ý ÷áË³¹³ñÓ³µ³ñ å³ñ½ Ãí»ñ:

922. Æ±Ýã ¿ Ýß³Ý³ÏáõÙ µ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇíÁ í»ñÉáõÍ»É å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ:923. Æ±Ýã ¿ »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÁ:924. à±ñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÝ »Ý ÏáãíáõÙ ÷áË³¹³ñÓ³µ³ñ å³ñ½ Ãí»ñ:925. ¶ï»°ù ÃíÇ µáÉáñ å³ñ½ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ.

³) 36, µ) 81, ·) 120, ¹) 369 :926. Ð»ï¨Û³É Ãí»ñÁ í»ñÉáõÍ»°ù å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇª

³) 48, ·) 75, ») 258, ¿) 1000, Ã) 303, Å³) 800,µ) 92, ¹) 108, ½) 625, Á) 1024, Å) 704, Åµ) 888 :

927. àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ Í³í³ÉÁ 30 ëÙ3 ¿: Üñ³ ÏáÕ»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª³ñï³Ñ³Ûïí³Í ë³ÝïÇÙ»ïñ»ñáí, å³ñ½ Ãí»ñ »Ý: ¶ï»°ù ³Û¹ Ãí»ñÁ:

6930 2 3465 3 1155 3 385 5

77 7 11 11 1

144

928. ¶ï»°ù ³ÛÝ µáÉáñ »ñÏÝÇß Ãí»ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ëï³óíáõÙ ¿áñ¨¿ å³ñ½ ÃÇí ÇÝùÝ Çñ»Ýáí µ³½Ù³å³ïÏ»ÉÇë:

929. ø³é³Ïáõëáõ ÏáÕÙÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁª ³ñï³Ñ³Ûïí³Í ë³ÝïÇÙ»ïñ»ñáí,å³ñ½ ÃÇí ¿, ÇëÏ Ù³Ï»ñ»ëÁª ³ñï³Ñ³Ûïí³Í ù³é³ÏáõëÇ ë³ÝïÇÙ»ïñ»-ñáíª »ñÏÝÇß ÃÇí: ø³ÝÇ± ³Û¹åÇëÇ ù³é³ÏáõëÇ Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É:

930. ²ëïÕ³ÝÇß»ñÇ ÷áË³ñ»Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ãí³Ýß³ÝÝ»ñ ·ñ»Éáí`ëï³ó»°ù ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ.

³) 12∗ = 2 . 3 . 4 . ∗ , µ) ∗10 = 2 . ∗ . 5 . 7:931. ´³Õ³¹ñÛ³É ÃÇíÁ í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ãáñë å³ñ½ ³ñï³-

¹ñÇãÝ»ñÇ: ²ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ 7-Ý ¿: ¶ï»°ù ïñí³Í ÃÇíÁ:932. ØÇ ÃíÇ å³ñ½ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý 2-Á, 5-Á ¨ 7-Á: ¶ï»°ù ³Û¹ ÃÇíÁ, »Ã»

Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ ³ÛÝ 125-Çó Ù»Í ã¿:933. ÂÇíÁ í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ »ñÏáõ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ, áñáÝóÇó Ù»ÏÁ ÙÇ³ÝÇß

¿, ÇëÏ ÙÛáõëÁª »ñÏÝÇß: ²ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ 4 ¿: ¶ï»°ù ³Û¹ÃÇíÁ:

934. ¶ï»°ù ïñí³Í Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ.³) 8 ¨ 12, µ) 10 ¨ 25, ·) 18 ¨ 24, ¹) 48 ¨ 60:

935. ´»ñ»°ù ÷áË³¹³ñÓ³µ³ñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ½áõÛ·»ñÇ ÙÇ ù³ÝÇ ûñÇÝ³Ï:936. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ÷áË³¹³ñÓ³µ³ñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í

ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ 1-Ý ¿:

937. 29, 44, 81, 37, 123, 1, 673, 625, 769, 602, 827 Ãí»ñÇó ³é³ÝÓÝ³óñ»°ùª³) å³ñ½ Ãí»ñÁ, µ) µ³Õ³¹ñÛ³É Ãí»ñÁ:

938. ´»ñ»°ù »ñÏáõ ³ÛÝåÇëÇ å³ñ½ Ãí»ñÇ ûñÇÝ³Ï, áñáÝó ·áõÙ³ñÁ ÝáõÛÝå»ëå³ñ½ ÃÇí ¿:

939. §¾ñ³ïáëÃ»Ý»ëÇ Ù³ÕÇ¦ ÙÇçáóáí Ï³½Ù»°ù 40-Çó ÷áùñ µáÉáñ å³ñ½Ãí»ñÇ ³ÕÛáõë³ÏÁ:

940. Ð³ÛïÝÇ ¿, áñ ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 9-Ç: Æ±Ýã Ãí³Ýß³Ý åÇïÇ ·ñí³Í ÉÇÝÇ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý.³) 4*

32 , µ) *110 , ·) 35*5 , ¹) 294*

:

941. ¶ï»°ù å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (ï»°ë ÝÏ. 67):

ÜÏ. 67

145

942. ø³é³Ïáõëáõ ÏáÕÙÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ µÝ³Ï³Ý Ãíáí:Üñ³ Ù³Ï»ñ»ëÁ ·ïÝ»ÉÇë ³ß³Ï»ñïÁ ëï³ó³í ÙÇ µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁí»ñç³ÝáõÙ ¿ñ 3¬áí: ´³ó³ïñ»°ù, Ã» ÇÝãáõ Ï³ñ»ÉÇ ¿ åÝ¹»É, áñ Ý³ ëË³É¿ ÃáõÛÉ ïí»É:

943. Êáñ³Ý³ñ¹Ç µáÉáñ ÏáÕ»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 132 ëÙ ¿: ¶ï»°ùÝñ³ Í³í³ÉÁ:

944. Ê³ÝáõÃ µ»ñ»óÇÝ 53 ³ñÏÕ ³ñ¨³Í³ÕÏÇ Ó»Ã` ³Ù»Ý ³ñÏÕáõÙ` 18 ßÇß:Ø»Ï ß³µ³ÃáõÙ ³Û¹ Ó»ÃÇó í³×³éí»ó 486 ßÇß: ø³ÝÇ± ³ñÏÕ Ó»Ã ÙÝ³óãí³×³éí³Í (ËÝ¹ÇñÁ ÉáõÍ»°ù »ñÏáõ »Õ³Ý³Ïáí):

945. ÜÛáõÃÇª Ñ³í³ë³ñ ½³Ý·í³ÍÝ»ñ áõÝ»óáÕ »ñÏáõ ÏïáñÇó í³ñå»ïÁ å³ï-ñ³ëï»ó »ñÏáõ ï»ë³Ï Çñ»ñ, ³é³çÇÝÇóª 50 Ñ³ï, »ñÏñáñ¹Çóª 90: àñù³±Ý¿ ³é³çÇÝ ï»ë³ÏÇ Ù»Ï ÇñÇ ½³Ý·í³ÍÁ, »Ã» »ñÏñáñ¹ ï»ë³ÏÇ Ù»Ï ÇñÇ½³Ý·í³ÍÁ 60 · ¿:

45. ºðÎàô ÂìºðÆ ²ØºÜ²ØºÌ ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²Ä²Ü²ð²ðÀ ºì

²ØºÜ²öàøð ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²¼Ø²ä²îÆÎÀ ¶îÜºÈÀ

ä²ð¼ ²ðî²¸ðÆâÜºðÆ ìºðÈàôÌºÈàì

Ü³Ë ¨ ³é³ç Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ µ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇíÁ í»ñÉáõÍ»Éáí å³ñ½ ³ñï³-¹ñÇãÝ»ñÇ` Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É Ýñ³ µáÉáñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ: ̧ Çï³ñÏ»Ýù, ûñÇÝ³Ï,18 ÃÇíÁ: ì»ñÉáõÍ»Ýù ³ÛÝ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ.

18 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 :²Ûë í»ñÉáõÍáõÙÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ »ñ»ù ³ñï³¹ñÇãª 2, 3, 3: ¸ñ³ÝóÇó

Ï³½Ù»Ýù µáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ`2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3, 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3, 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3:

Î³ï³ñ»Éáí µ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ` Ïëï³Ý³Ýù 18-Ç µáÉáñ µ³Õ³¹ñÛ³É³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ` 6, 9, 18: Üñ³Ýó ³í»É³óÝ»Éáí 2 ¨ 3 å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ,ÇÝãå»ë Ý³¨ 1-Á` Ïëï³Ý³Ýù 18 ÃíÇ µáÉáñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ`

1, 2, 3, 6, 9, 18:ÖÇßï ÝáõÛÝ Ï»ñå ·ïÝ»Ýù áñ¨¿ áõñÇß ÃíÇ, ûñÇÝ³Ïª 24-Ç µáÉáñ µ³Å³Ý³-

ñ³ñÝ»ñÁ: àõÝ»Ýùª24 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 :

îÝï»ëáõÑÇÝ áõÝ»ñ ÙÃ»ñù Ïïñ³ï»Éáõ »ñÏáõ »ñÏÏáÕÙ³ÝÇ Ù³ùáõñï³Ëï³Ï: Ü³ ï³Ëï³ÏÝ»ñÇ Ù³ùáõñ ÏáÕÙ»ñÇ íñ³ ³é³ÝÓÇÝ-³é³ÝÓÇÝåÇïÇ Ïïñ³ï»ñ »ñ»ù ï³ñµ»ñ ÙÃ»ñùÝ»ñ: ê»Õ³ÝÁ ÷áßáï ¿ñ: ØÇÝã¨³ßË³ï³ÝùÝ ³í³ñï»ÉÁ ã¿ñ Ï³ñ»ÉÇ Ù³ùñ»É ë»Õ³ÝÇ ÷áßÇÝ ¨ Éí³É

ï³Ëï³ÏÁ: îÝï»ëáõÑÇÝ Ï³ñáÕ³ó³í ³Ý»É ³Û¹ ·áñÍÁ: ÆÝãå»±ë Ý³ í³ñí»ó:

146

24-Ç µáÉáñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ýª1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24,

ù³ÝÇ áñ Ýñ³ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ 2-Á ¨ 3-Ý »Ý, ÇëÏ ¹ñ³Ýó µáÉáñ ³ñï³-¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ`

2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2, 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3, 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2, 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3, 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3:18-Ç ¨ 24-Ç ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ 6-Ý ¿: ÆÝãå»ë ï»ëÝáõÙ

»Ýù, ³ÛÝ Ýñ³Ýó ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ¿.6 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 :

ºí ÁÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë, »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³-Ý³ñ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Ýñ³Ýó µáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ:

²ÛëåÇëáíª »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ ·ïÝ»ÉáõÑ³Ù³ñ å»ïù ¿ª

1. ³Û¹ Ãí»ñÁ í»ñÉáõÍ»É å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ,2. ëï³óí³Í í»ñÉáõÍáõÙÝ»ñáõÙ ·ïÝ»É µáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ å³ñ½ ³ñ-

ï³¹ñÇãÝ»ñÁ,3. Ñ³ßí»É µáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:

´»ñ»Ýù ¨ë Ù»Ï ûñÇÝ³Ï.36 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3, 54 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3, áõñ»ÙÝ(36, 54) = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 =18:

ÆëÏ »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÁ·ïÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿ í³ñí»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå`

1. ³Û¹ Ãí»ñÁ í»ñÉáõÍ»É å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ,2. ³Û¹ Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇ í»ñÉáõÍáõÙÁ Éñ³óÝ»É ÙÛáõëÇ ³ÛÝ ³ñï³¹ñÇã-

Ý»ñáí, áñáÝù ãÏ³Ý ³é³çÇÝ ÃíÇ í»ñÉáõÍÙ³Ý Ù»ç,3. Ñ³ßí»É ëï³óí³Í ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:

ÜáñÇó ¹Çï³ñÏ»Ýù 18 ¨ 24 Ãí»ñÁ: î»ëÝáõÙ »Ýù, áñ 18 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3í»ñÉáõÍÙ³Ý Ù»ç µ³ó³Ï³ÛáõÙ »Ý 24 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 í»ñÉáõÍÙ³Ý »ñÏáõ³ñï³¹ñÇãÝ»ñª 2 ¨ 2: ì»ñÁ µ»ñí³Í Ï³ÝáÝÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª 18-Ç ¨ 24-Ç³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÁ ·ïÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ 18 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3í»ñÉáõÍáõÙÁ å»ïù ¿ Éñ³óÝ»É ³Û¹ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñáí: êï³ÝáõÙ »Ýùª [18,24] == 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 = 72: Æñáù, 72 ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ¨° 18-Ç, ¨° 24-Ç, ³ÛëÇÝùÝªÝñ³Ýó ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏ ¿: ²ÛÝ 18-Ç ¨ 24-Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³-ïÇÏÝ»ñÇó ³Ù»Ý³÷áùñÝ ¿, ù³ÝÇ áñ »Ã» Ýñ³ í»ñÉáõÍáõÙÇó Ñ³Ý»Ýù ³ñï³-¹ñÇãÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ, ³å³ ëï³óí³Í ÃÇíÁ ïñí³Í Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³-å³ïÇÏ ãÇ ÉÇÝÇ:

946. ÆÝãå»±ë »Ý, ÃÇíÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ í»ñÉáõÍ»Éáí, ·ïÝáõÙ Ýñ³ µáÉáñµ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ:

147

947. ÆÝãå»±ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñµ³Å³Ý³ñ³ñÁª ¹ñ³Ýù å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ í»ñÉáõÍ»Éáí:

948. ÆÝãå»±ë Ï³ñ»ÉÇ ¿, Ãí»ñÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ í»ñÉáõÍ»Éáí, ·ïÝ»É »ñÏáõµÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÁ:

949. ÂÇíÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ í»ñÉáõÍ»Éáí` ·ï»°ù Ýñ³ µáÉáñ µ³Å³Ý³ñ³ñ-Ý»ñÁ.

³) 36 , ·) 64, ») 102, ¿) 327,µ) 45, ¹) 78, ½) 124, Á) 400 :

950. Âí»ñÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ í»ñÉáõÍ»Éáíª ·ï»°ù Ýñ³Ýó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ.

³) 14 ¨ 49, ¹) 125 ¨ 35, ¿) 25 ¨ 40,µ) 68 ¨ 12, ») 18 ¨ 26, Á) 58 ¨ 86,·) 16 ¨ 36, ½) 108 ¨ 42, Ã) 44 ¨ 64 :

951. Âí»ñÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ í»ñÉáõÍ»Éáíª ·ï»°ù Ýñ³Ýó ³Ù»Ý³÷áùñÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÁ.

³) 8 ¨ 14, ¹) 32 ¨ 48, ¿) 63 ¨ 18,µ) 12 ¨ 15, ») 36 ¨ 45, Á) 72 ¨ 54,·) 16 ¨ 24, ½) 42 ¨ 56, Ã) 81 ¨ 27:

952. ²ñÏÕáõÙ ï³ñµ»ñ ·áõÛÝ»ñÇ 12 ·Ý¹ÇÏÝ»ñ Ï³Ý, ÁÝ¹ áñáõÙ ³Ù»Ý ÙÇ ·áõÛÝÇ·Ý¹ÇÏÝ»ñÇóª Ñ³í³ë³ñ ù³Ý³ÏÝ»ñáí: ä³ï³ëË³Ý»°ù Ñ»ï¨Û³É Ñ³ñ-ó»ñÇÝ.

³)ºÃ» ³ñÏÕÇó í»ñóÝ»Ýù ³Ù»Ý ÙÇ ·áõÛÝÇ Ù»Ï ·Ý¹ÇÏ, ³å³ áñù³±ÝÏ³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É í»ñóí³Í ·Ý¹ÇÏÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ (·ñ»°ù µáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñï³ñµ»ñ³ÏÝ»ñÁ):

µ) ²Ù»Ý³ß³ïÁ ù³ÝÇ± ·áõÛÝÇ ·Ý¹ÇÏÝ»ñ Ï³ñáÕ »Ý ÉÇÝ»É ³ñÏÕáõÙ:·) ÜáõÛÝ ·áõÛÝÇ ù³ÝÇ± ·Ý¹ÇÏ Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É ³ñÏÕáõÙ (·ñ»°ù µáÉáñ ÑÝ³-

ñ³íáñ ï³ñµ»ñ³ÏÝ»ñÁ):953. ²Ù»Ý³ß³ïÁ ù³ÝÇ± ÙÇ³ï»ë³Ï Ýí»ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ å³ïñ³ëï»É 96 ÏáÝ-

ý»ïÇó ¨ 36 ËÝÓáñÇó:954. Ðáñ ù³ÛÉÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 75 ëÙ ¿, ÇëÏ áñ¹áõÝÁª 50 ëÙ: ²éÝí³½Ý Ç±Ýã

Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝ ³ÝóÝ»Éáõ ¹»åùáõÙ Ýñ³Ýù »ñÏáõëÝ ¿É ³ÙµáÕç Ãíáíù³ÛÉ»ñ Ï³Ý»Ý:

955. ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý ·ñ»°ù ³ÛÝ µáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ14 < ∗ < 85 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿:

956. Æ±Ýã ÃÇí å»ïù ¿ ·ñ»É ³ëïÕ³ÝÇßÇ ÷áË³ñ»Ý, áñå»ë½Ç Ñ³í³ë³ñáõ-ÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³.

³) ∗ + 2 = 2, ¹) ∗ ⋅ 63 = 63, ¿) 1382 = ∗ ⋅ 1382,µ) 6 + ∗ = 6, ») 30 – 30 = ∗, Á) 3 ⋅ ∗ = 197 – 197,·) 18 ⋅ ∗ = 18, ½) 64 = ∗ + 64, Ã) ∗ ⋅ ∗ = 1:

148

ÜÏ. 68

957. îñí³Í »Ý 12, 75, 96, 39, 148, 150, 64 Ãí»ñÁ: ¸ñ³ÝóÇó áñá±Ýù »Ýµ³Å³ÝíáõÙ`³) 3-Ç, µ) 4-Ç, ·) 9-Ç:

958. Ø»Í Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë È. ¾ Û É»ñÁ (1707 – 1783) óáõÛó ¿ ïí»É, áñ 2-Çó Ù»Íó³ÝÏ³ó³Í ½áõÛ· ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É »ñÏáõ å³ñ½ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇï»ëùáí: êïáõ·»°ù ³Û¹ åÝ¹áõÙÁ 20-Çó ÷áùñ µáÉáñ ½áõÛ· Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

959. ØÇ ù³é³Ïáõëáõ å³ñ³·ÇÍÁ 14 ëÙ ¿, ÇëÏ ÙÛáõëÇÝÁª 50 ëÙ: ø³ÝÇ±ë³ÝïÇÙ»ïñáí ¿ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇó Ù»ÏÇ ÏáÕÙÁ ÙÛáõëÇ ÏáÕÙÇó Ù»Í:

960. ¶ï»°ù å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (ï»°ë ÝÏ. 68):

961. ¶ï»°ù 11 ëÙ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ, 9 ëÙ É³ÛÝáõÃÛáõÝ ¨ 3 ëÙ µ³ñÓñáõÃÛáõÝ áõÝ»-óáÕ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ³ÝÇëïÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:

962. ÐÝ³ñ³íá±ñ ¿ 33 Ù³ïÇïÝ ³ÛÝå»ë µ³Å³Ý»É 4 ³ß³Ï»ñïÝ»ñÇ, áñÛáõñ³ù³ÝãÛáõñÇÝ µ³ÅÇÝ ÁÝÏ³Í Ù³ïÇïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ï»Ýï ÃÇí ÉÇÝÇ:

963. ºñÏáõ Ù»ù»Ý³ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Çñ³ñ ÁÝ¹³é³ç »Ý ¹áõñë »Ï»É »ñÏáõ ù³-Õ³ùÝ»ñÇó, áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 750 ÏÙ ¿: ø³ÝÇ± Å³Ù ³Ýó Ù»ù»Ý³-Ý»ñÁ ÏÑ³Ý¹Çå»Ý, »Ã» Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 60 ÏÙ/Å ¿, ÙÛáõëÇ-ÝÁ` 80 ÏÙ/Å:

964. ºñÏáõ Ù»ù»Ý³ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Çñ³ñ ÁÝ¹³é³ç ¹áõñë »Ï³Ý »ñÏáõ Ï»ï»-ñÇó, áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 600 ÏÙ ¿: 6 Å³Ù ³Ýó Ù»ù»Ý³Ý»ñÁ Ñ³Ý-¹Çå»óÇÝ Çñ³ñ: ¶ï»°ù Ýñ³Ýó ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ Ýñ³Ý-óÇó Ù»ÏÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ÙÛáõëÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó 20 ÏÙ/Å-áí ³í»ÉÇ ¿ñ:

È×Ç Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ ³ñ³·áñ»Ý Í³ÍÏíáõÙ ¿ñ çñÇÙáõéÝ»ñáí, ÁÝ¹ áñáõÙçñÇÙáõéÝ»ñáí Í³ÍÏí³Í Ù³Ï»ñ»ëÝ ³Ù»Ý ûñ ÏñÏÝ³å³ïÏíáõÙ ¿ñ: È×ÇÙ³Ï»ñ¨áõÛÃÁ çñÇÙáõéÝ»ñáí ³ÙµáÕçáõÃÛ³Ùµ Í³ÍÏí»ó 30 ûñáõÙ: ø³ÝÇ±ûñáõÙ ¿ñ çñÇÙáõéÝ»ñáí Í³ÍÏí»É É×Ç Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ï»ëÁ:

149

46. ä²îØàôÂÚàôÜÜºð ÂìºðÆ Ø²êÆÜ

ÐÇÝ Å³Ù³Ý³ÏÝ»ñáõÙ Ù³ñ¹ÇÏ Ãí»ñÇÝ Ñ³×³Ë í»ñ³·ñáõÙ ¿ÇÝ Ûáõñ³-Ñ³ïáõÏ, ÝáõÛÝÇëÏ ³ñï³ëáíáñ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ: ²Ûëå»ëª Ï³ÛÇÝ ëñµ³-½³Ý Ãí»ñ, »ñç³ÝÇÏ ¨ ¹Åµ³Ëï Ãí»ñ, µ³ñ»Ï³Ù, Ï³ï³ñÛ³É, Ó¨³íáñÃí»ñ: ¼áõÛ· Ãí»ñÁ µÝáõÃ³·ñíáõÙ ¿ÇÝ Çµñ¨ Ç·³Ï³Ý, Ï»Ýï Ãí»ñÁª Çµñ¨³ñ³Ï³Ý: ÐÇÝ ÑáõÛÝ»ñÁ 5 ÃÇíÁª áñå»ë ³é³çÇÝ Ç·³Ï³Ý ÃíÇª 2-Ç, ̈ ³é³-çÇÝ ³ñ³Ï³Ý ÃíÇª 3-Ç ·áõÙ³ñ, Ñ³Ù³ñáõÙ ¿ÇÝ ³ÙáõëÝáõÃÛ³Ý ËáñÑñ¹³-ÝÇß: Î³Ù, ûñÇÝ³Ï, 10 ÃÇíÁ Ýñ³Ýó Ñ³Ù³ñ §ÑÇ³ëù³Ýã¦ ÃÇí ¿ñ, ÙÇÝã¹»é17-Á Ýñ³Ýó Ù»ç Ñ³Ï³Ïñ³Ýù ¿ñ ³é³ç³óÝáõÙ: Î³ÛÇÝ Ý³¨ »é³ÝÏÛáõÝ,ù³é³ÏáõëÇ, ÑÝ·³ÝÏÛáõÝ ̈ ß³ï áõ ß³ï áõñÇß Ãí»ñ: àñáß ³Û¹åÇëÇ Ãí»ñÇÙ³ëÇÝ ÏËáëíÇ ëïáñ¨ µ»ñíáÕ å³ïÙáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ:

². ´³ñ»Ï³Ù Ãí»ñ

ä³ïÙáõÙ »Ý, áñ Ù»Í äÛáõÃ³·áñ³ëÁ, å³ï³ëË³-Ý»Éáí ³ÛÝ Ñ³ñóÇÝ, Ã» áõÙ å»ïù ¿ µ³ñ»Ï³Ù Ñ³Ù³ñ»É,

³ë»É ¿. §Üñ³Ý, áí ÇÙ »ñÏñáñ¹ »ëÝ ¿, ÇÝãå»ë 220 ¨ 248 Ãí»ñÁ¦: Æ±ÝãÝÏ³ïÇ áõÝ»ñ äÛáõÃ³·áñ³ëÁª áñå»ë ûñÇÝ³Ï µ»ñ»Éáí Ãí»ñÇ ³Û¹ ½áõÛ·Á:

ÐÇÝ ÑáõÝ³Ï³Ý Ù³Ã»Ù³ïÇÏáëÝ»ñÁ Ï³ñ¨áñ ¿ÇÝ Ñ³Ù³ñáõÙ ÃíÇ Ñ»ïÙÇ³ëÇÝ ¹Çï³ñÏ»É Ý³¨ Ýñ³ µáÉáñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ: ÀÝ¹ áñáõÙ ÃÇíÝÇÝùÁ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ËÙµÇ Ù»ç ã¿ñ Ý»ñ³éíáõÙ: ºÃ» »ñÏáõ Ãí»ñ³ÛÝåÇëÇÝ ¿ÇÝ, áñ Ýñ³ÝóÇó ³Ù»Ý Ù»ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ñ ÙÛáõëÇ µ³Å³Ý³-ñ³ñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ, ³å³ Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿ñ, áñ ³Û¹ Ãí»ñÁ Ñ³ïáõÏ`µ³ñ»Ï³Ù³Ï³Ý Ï³åÇ Ù»ç »Ý: Âí»ñÇ ³Û¹åÇëÇ ½áõÛ·»ñÝ ³Ýí³ÝáõÙ ¿ÇÝµ³ñ»Ï³Ù Ãí»ñ: 220 ¨ 248 Ãí»ñÇ ½áõÛ·Á µ³ñ»Ï³Ù³Ï³Ý ¿: ²Ñ³ Ã» ÇÝãáõäÛáõÃ³·áñ³ëÁ, å³ï³ëË³Ý»Éáí ïñí³Í Ñ³ñóÇÝ, Ù³ïÝ³óáõÛó ¿ ³ñ»É³Û¹ Ãí»ñÁ: 220 ÃíÇ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý 1, 2, 4, 5, 10, 20, 11, 22, 44, 55,110 Ãí»ñÁ, ÇëÏ 248-ÇÝÁª 1, 2, 4, 71, 142 Ãí»ñÁ: Ð³Ùá½í»Ýù, áñ 220 ¨248 Ãí»ñÝ Çñáù µ³ñ»Ï³Ù Ãí»ñ »Ý.

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 248,1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220:

ÂÇíÁ Ï³ñáÕ ¿ µ³ñ»Ï³Ù ÉÇÝ»É ÇÝùÝ Çñ»Ý: ¸³ ³ÛÝ ¹»åùÝ ¿, »ñµ ÃÇíÁÑ³í³ë³ñ ¿ Çñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ: ²Û¹åÇëÇ Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »ÝÏ³ï³ñÛ³É Ãí»ñ: Üñ³Ýó Ù»ç ³Ù»Ý³Ñ³ÛïÝÇÝ»ñÁ 6-Á ¨ 28-Ý »Ý: Æñáù,

6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14:Ð³çáñ¹ Ï³ï³ñÛ³É Ãí»ñÁ 496-Á ¨ 8128-Ý »Ý:ºÃ» áñ¨¿ ÃíÇ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÃíÇó ÷áùñ ¿ñ, ³å³ ÃÇíÁ

ÏáãáõÙ ¿ÇÝ å³Ï³ëáñ¹áí ÃÇí, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙª Ñ³í»Éáõñ¹áí ÃÇí:úñÇÝ³Ï` í»ñÁ ¹Çï³ñÏí³Í Ãí»ñÇó 248-Á å³Ï³ëáñ¹áí ÃÇí ¿, ÇëÏ 220-Á`Ñ³í»Éáõñ¹áí ÃÇí:

150

ÐÇÝ ³ßË³ñÑÇ ̈ ÙÇçÝ³¹³ñÇ ß³ï ·ÇïÝ³Ï³ÝÝ»ñ Ù»Í áõß³¹ñáõÃÛáõÝ¿ÇÝ ¹³ñÓÝáõÙ Ï³ï³ñÛ³É ¨ µ³ñ»Ï³Ù Ãí»ñÇÝ: ´³ñ»Ï³Ù Ãí»ñÇ Ýáñ½áõÛ·»ñ áñáÝ»Éáõ Ñ»ï Ù»Ïï»Õª Ýñ³Ýù ï³ñµ»ñ ËáñÑáõñ¹Ý»ñ ¿ÇÝ ï³ÉÇë³Û¹ Ãí»ñÇ ÏÇñ³éÙ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³Éª ¹ñ³Ýó ÑÇÙ³Ý íñ³ µ³ñ»Ï³Ù³Ï³ÝÃ³ÉÇëÙ³ÝÝ»ñÇ ëï»ÕÍáõÙÇó ÙÇÝã¨ ¹ñ³Ýó û·ÝáõÃÛ³Ùµ ëÇñá Ù»ç÷áË³¹³ñÓáõÃÛ³Ý Ñ³ëÝ»Éáõ ÑÝ³ñÝ»ñÁ:

´³ñ»Ï³Ù Ãí»ñÇ »ñÏñáñ¹ ½áõÛ·Ç (17296 ¨ 18416) ¨ »ññáñ¹ ½áõÛ·Ç(9363584 ¨ 9437056) Ñ³ÛïÝ³µ»ñáõÙÁ »ñÏ³ñ Å³Ù³Ý³Ï í»ñ³·ñíáõÙ ¿ñÑ³ÛïÝÇ ýñ³ÝëÇ³óÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáëÝ»ñ ä.ü » ñ Ù ³ Û Ç Ý (1601-1665) ¨è.¸ » Ï ³ ñ ï Ç Ý (1596-1650): ê³Ï³ÛÝ Ù³ñáÏÏáóÇ ·ÇïÝ³Ï³Ý Æ µ Ý ³ É´ ³ Ý Ý ³ Û Ç (1256-1321) ³ßË³ïáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏáõÙ áã ³ÛÝù³Ý í³-Õáõó ·ï³Ý Ñ»ï¨Û³É ·ñ³éáõÙÁ. §17296 ¨ 18416 Ãí»ñÁ µ³ñ»Ï³Ù »Ý.Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ Ñ³í»Éáõñ¹áí ¿, ÙÛáõëÁ å³Ï³ëáñ¹áí ¿: ²ÉÉ³ÑÝ ³Ù»ÝÇÙ³ó¿¦:

ä.ü»ñÙ³ÛÇó ̈ è.¸»Ï³ñïÇó Ñ»ïá µ³ñ»Ï³Ù Ãí»ñ ·ïÝ»Éáõ Ñ³ñóáõÙÙ»Í Ñ³çáÕáõÃÛ³Ý Ñ³ë³í éáõë³ëï³ÝÛ³Ý Ñéã³Ï³íáñ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáëÈ . ¾ Û É » ñ Á : Üñ³Ý Ñ³çáÕí»ó ·ïÝ»É µ³ñ»Ï³Ù Ãí»ñÇ 59 Ýáñ ½áõÛ·: ²Û¹ù³Ý³ÏÁ Ù»ñ ¹³ñÇ ³é³çÇÝ Ï»ëÇÝ Ï³ñáÕ³ó³í ·»ñ³½³Ýó»É µ»É·Ç³óÇÙ³Ã»Ù³ïÇÏáë ä.ä áõ É » Ý , áñÁ Ñ³ÛïÝ³µ»ñ»ó µ³ñ»Ï³Ù Ãí»ñÇ ¨ë 108½áõÛ·:

Ð»ï³·³ áñáÝáõÙÝ»ñÁ ß³ñáõÝ³ÏíáõÙ ¿ÇÝ ³ñ¹»Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇãÝ»ñÇû·ï³·áñÍáõÙáí, áñáÝó û·ÝáõÃÛ³Ùµ ·ïÝíáõÙ »Ý µ³ñ»Ï³Ù Ãí»ñÇ Ýáñ³-Ýáñ ½áõÛ·»ñ, ûñÇÝ³Ïª ³ÛëåÇëÇÝ.

A=902364653062331306651552015926870786444130454856900 389615403605363719932582870191857595803452747004992 75323129070333233826784067560738920615666452384945 ,

B=862593766501435963876909538187871666597148408883577 742813835816831022646659133295331622568683649647747 27067384973129580885368384109913214991276380031055 :

²Ûë Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ·ñÇ ¿ ³éÝíáõÙ 152 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí:²é³çÇÝ ÃÇíÝ áõÝÇ 800 ï³ñµ»ñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ, »ñÏñáñ¹Áª 3200:

´³ñ»Ï³Ù Ãí»ñÇ áñáÝáõÙÝ ³é³çÇÝ Ñ³Û³óùÇó ³Ýû·áõï ·áñÍ ¿ÃíáõÙ: ́ ³Ûó ¹³ ³ÛÝù³Ý ¿É ×Çßï ã¿: ́ ³ÝÝ ³ÛÝ ¿, áñ ¹ñ³Ýù ·ïÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ·ÇïÝ³Ï³ÝÝ»ñÁ Ùß³ÏáõÙ »Ý Ýáñ³Ýáñ ¨ ³í»ÉÇ áõ ³í»ÉÇ Ï³ï³ñÛ³ÉÑÝ³ñÝ»ñ, áñáÝù Ñ³×³Ë áõÝ»ÝáõÙ »Ý Ý³¨ ·áñÍÝ³Ï³Ý ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñ:

ÆÝãå»ë ï»ëÝáõÙ »ù, µ³ñ»Ï³Ù Ãí»ñÇ áñáÝÙ³Ý ÑÙ³ÛáÕ ·³Õ³÷³ñÝ³ÛÝù³Ý Ï»ÝëáõÝ³Ï ¨ Ñ»ï³ùñùÇñ ¿ñ, áñ Í³·»Éáí ¹³ñ»ñÇ ËáñùáõÙ,³ÝóÝ»Éáí ÑáõÛÝ ÇÙ³ëïáõÝÝ»ñÇ ûÃ¨³ÝÝ»ñáí ¨ ³ñ³µ Ë³ÉÇýÝ»ñÇ³å³ñ³ÝùÝ»ñáíª Ñ³ë»É ¿ ÙÇÝã¨ Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó Ñ³ßíÇã Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ:

151

´. ´³½Ù³ÝÏÛáõÝ Ãí»ñ

Ò»½³ÝÇó ß³ï»ñÁ Ñ³í³Ý³µ³ñ ï»ë»É »Ý, Ã» ÇÝãå»ë »Ý ³ßÝ³ÝÁÃéãáõÝÝ»ñÇ µ³½Ù³ÃÇí »ñ³ÙÝ»ñ ÃáÕÝáõÙ Çñ»Ýó µÝ³ÏáõÃÛ³Ý í³Ûñ»ñÁ ¨áõÕÕíáõÙ ¹»åÇ Ñ³ñ³íª Ñ»é³íáñ ï³ù »ñÏñÝ»ñ: Ð³Ù³Ó³ÛÝí»°ù, áñ ³ÛÝ»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ï³ñ·³íáñáõÃÛáõÝÁ, áñáí ß³ñíáõÙ ¿ ãíáÕ »ñ³ÙÁ, ãÇÏ³ñáÕ ÑÇ³óÙáõÝù ã³é³ç³óÝ»É:

ÂéãáõÝÝ»ñÁ ãí»ÉÇë ß³ñíáõÙ »Ý »é³ÝÏÛ³Ý ÝÙ³Ý, áñÇ ·³·³ÃÁ½µ³Õ»óÝáõÙ ¿ ÷áñÓ³éáõ ¨ ¹ÇÙ³óÏáõÝ ³é³çÝáñ¹Á, áñÁ ·Çï», Ã» áõñ ¨ÇÝã ×³Ý³å³ñÑáí ï³ÝÇ »ñ³ÙÁ: Þ³ï µ³Ý íÏ³ÛáõÙ ¿ ³ÛÝ Ù³ëÇÝ, áñµ³½Ù³ÝÏÛáõÝ Ãí»ñÇ, Ù³ëÝ³íáñ³å»ëª »é³ÝÏÛáõÝ Ãí»ñÇ ·³Õ³÷³ñÇÝÑÇÝ ÑáõÛÝ»ñÁ Ñ³Ý·»É »Ýª Ñ»ï¨»Éáí ãíáÕ »ñ³ÙÝ»ñÇ ÃéÇãùÇÝ:

ÐÇÝ ÑáõÛÝ»ñÁ »é³ÝÏÛáõÝ Ãí»ñ ¿ÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ãí»ñÁ:²Ûë Ãí»ñÁ Ïëï³Ý³Ýù, »Ã» Ñ³çáñ¹³µ³ñ Ñ³ßí»Ýù µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ

ß³ñùÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ, áñáÝù »Ýª1 = 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10,1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, …

²Ûë Ãí»ñÁ »é³ÝÏÛáõÝ Ãí»ñ »Ý ÏáãíáõÙ ³ÛÝ å³ï×³éáí, áñ ¹ñ³ÝùÏ³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É »ñÏñ³ã³÷áñ»Ýª Ñ³í³ë³ñ ÏáÕÙ»ñ áõÝ»óáÕ »é³Ý-ÏÛáõÝÝ»ñÇó, áñáÝù Ï³½ÙíáõÙ »Ý Ñ³ïáõÏ »Õ³Ý³Ïáí ¹³ë³íáñí³ÍÏ»ï»ñÇó (ï»°ë ÝÏ. 69): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Û¹åÇëÇ »é³ÝÏÛ³Ý Ù»ç Ï»ï»ñÇù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý »é³ÝÏÛáõÝ ÃíÇÝ:

ÜÏ. 69

152

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …Ãí»ñÁ ù³é³ÏáõëÇ Ãí»ñ »Ý: ¸ñ³Ýù ëï³óíáõÙ »Ý ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇó,áñáÝù ÝáõÛÝå»ë Ï³½ÙíáõÙ »Ý Ñ³ïáõÏ »Õ³Ý³Ïáí ¹³ë³íáñí³Í Ï»ï»-ñÇó (ï»°ë ÝÏ. 70):

¸Çï³ñÏ»Ýù 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, … Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ,áñáõÙ, Ç ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùÇ, »ñÏáõ Ñ³ñ¨³Ý Ãí»ñÁï³ñµ»ñíáõÙ »Ý ³ñ¹»Ý 2-áí: Ð»ßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ ù³é³ÏáõëÇ Ãí»ñÝ ³Û¹Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÝ »Ý: Æñáù,

1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16,1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25,...

²ÛÅÙ ¹Çï³ñÏ»Ýù 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, … Ãí»ñÇ Ñ³çáñ-¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñáõÙ »ñÏáõ Ñ³ñ¨³Ý Ãí»ñÁ ï³ñµ»ñíáõÙ »Ý 3-áí: Î³½-Ù»Ýù ³Û¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ.

1 = 1, 1 + 4 = 5, 1 + 4 + 7 = 12, 1 + 4 + 7 + 10 = 22,1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35, 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 = 51, …

êï³óí³Í1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...

Ãí»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÑÝ·³ÝÏÛáõÝ Ãí»ñ:²Ûë Ãí»ñÁ »ñÏñ³ã³÷áñ»Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É ÑÝ·³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ

ï»ëùáí (ï»°ë ÝÏ. 71):

ÜÙ³Ý Ó¨áí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É í»ó³ÝÏÛáõÝ, ÛáÃ³ÝÏÛáõÝ ¨ ³ÛÉ µ³½-Ù³ÝÏÛáõÝ Ãí»ñ:

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ÜÏ. 70

ÜÏ. 71

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