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Funciones
2015 - 2016
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De manera intuitiva podemos decir
que una función es una relación
entre dos magnitudes, de tal manera
que a cada valor de la primera le
corresponde un único valor de la
segunda.
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Conjunto de seres humanos
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Conjunto de seres humanos
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Conjunto de seres humanos
A cada ser humano se le asocia su padre biológico
Conjunto de seres humanos
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Conjunto de seres humanos
A cada ser humano se le asocia su padre biológico
• Todo elemento del dominio tiene asociado un único elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un único padre biológico
• No todo elemento del contradominio tiene asociado un elemento del dominio. No todo ser humano es un padre biológico
Conjunto de seres humanos
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Sean y dos conjuntos arbitrarios.
Una función de en es una asociación entre elementos
de y donde a todos y cada uno de los elementos de
se les asocia un único elemento de .
El conjunto
A B
A B
A B A
B
A se llama de la función.
Al conjunto
dominio
codominio se le cdenomina ontradom io .nioB
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• Todos los elementos del dominio tiene que tener
asociado un elemento del codominio
• A un elemento del dominio se le asociara un
único elemento del codominio
• Elementos del codominio pueden tener
asociados más de un elemento del dominio
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Es el conjunto de todos los valores posibles que puede
tomar la función.
También se le llama imagen del dominio bajo la función.
Dada la función : el rango de , es el conjunto
Rango de : para
f A B f
f x B x f a
alguna
Evidentemente el rango de es un subconjunto del
contradominio:
El rango de Rango de Contradominio de
a A
f
f f
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ab
cd
e
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ab
cd
e
Dominio
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ab
cd
e
Dominio
Codominio
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ab
cde
DominioCodominio
Rango
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A la calabaza se le asocian dos elementos en el codominio
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A
parcial
nabla
raiz
existe
B
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Aparcial
nabla
raiz
existe
B
El elemento en no tiene ningún elemento
asociado en
A
B
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Definimos una función de x en y como
toda aplicación (regla, criterio
perfectamente definido), que a un
número x (variable independiente), le
hace corresponder un número y (y solo
uno llamado variable dependiente).
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Se llama función real de variable real a
toda aplicación f de un subconjunto no
vacío D de R en R
Una función real está definida, en general, por una ley o
criterio que se puede expresar por una fórmula matemática.
La variable x recibe el nombre de variable independiente y la
y ó f(x) variable dependiente o imagen.
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Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su codominio son los números reales.Su rango es también un subconjunto de los reales.
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El subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f).
Nota El dominio de una función puede estar limitado por:
1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.
2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.
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: 3 2
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son todos los números reales
f R R y f x x
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: 3 2f R R y f x x x f(x)
0 2
1 5
-1 -1
2 8
-2 -4
3 11
-3 -7
4 14
-4 -10
5 17
-5 -13
x f(x)
0.10 2.30
1.76 7.28
-3.45 -8.35
8.97 28.91
2.34 9.02
13.33 41.99
1.41 6.23
16.77 52.31
-44.44 -131.32
0.01 2.03
-123.00 -367.00
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: exp
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son todos los números reales
positivos
xf R R y x e
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exp : exp xR R y x e x f(x)0.10 1.1051709
11.88 144,350.5506832
-3.45 0.0317456
8.97 7,863.6016055
2.34 10.3812366
13.33 615,382.9278900
6.99 1,085.7214762
-91.23 0.0000000
2.22 9.2073309
0.50 1.6487213
-12.45 0.0000039
x f(x)
0.00 1.000
1.00 2.718
-1.00 0.368
2.00 7.389
-2.00 0.135
3.00 20.086
-3.00 0.050
4.00 54.598
-4.00 0.018
5.00 148.413
-5.00 0.007
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log : (0, ) ln
Su dominio son todos los números reales
positivos, ya que no existen el logaritmo de
un número negativo
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son todos l
R y x
os números reales
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log : (0, ) lnR y x
x ln(x) x ln(x)
0.10 -2.303 0.01 -4.605
0.20 -1.609 0.02 -3.912
0.30 -1.204 0.03 -3.507
0.40 -0.916 0.04 -3.219
0.50 -0.693 0.05 -2.996
0.60 -0.511 0.06 -2.813
0.70 -0.357 0.07 -2.659
0.80 -0.223 0.08 -2.526
0.90 -0.105 0.09 -2.408
1.00 0.000 0.10 -2.303
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2
Definición
La gráfica de la función es el lugar geométrico
de los puntos del plano cuyas coordenadas
satisfacen la ecuación ( )
, ,
f
y f x
G x y R x f x
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: 3 2f R R y f x x
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exp : exp xR R y x e
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log : (0, ) lnR y x
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: R R y x
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1 1 2 2
s 1 2 1 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
y
Se llama función suma de ambas, a la función:
Análogamente podemos definir la funci
y f (x) y f (x).
y y y f (x) f (x).
d 1 2 1 2
ón diferencia como
El dominio de definición de la función suma, y también el de la
función diferencia será la intersección de los dominios de ambas
funciones.
y y y f (x) f (x)
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1 1 2 2
p 1 2 1 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
( ) ( ).
Se llama función producto de ambas, a la función:
( ) ( )
Análogamente a lo que o
y f x y y f x
y y y f x f x
curre con las funciones suma y diferencia,
el dominio de definición de esta función vuelve aser la intersección
de los dominios.
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1 1 2
11C
2 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
( ) y ( ).
Se llama función cociente de ambas, a la función:
= =
El dominio de definic
y f x y f x
f xyy
y f x
2
ión de esta función es la intersección de los
dominios, menos todos los puntos que anulen a ( ), puesto que
serán puntos que anulen el denominador de dicha función.
f x
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Dadas dos funciones ( ), ( ),
se llama función compuesta
a la función
Para que exista la función compuesta es necesario
que el recorrido de la función quede totalmente
incluido en el
y f x z g y
g f
g f x g f x
f
dominio de la función .
Dominio Dom tales que Dom
g
g f x f f x g
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2
2
2
( ) 2 6, ( ) ,
La función compuesta es en este caso
2 6
El dominio de la función compuesta son aquellos
valores de para los que se cumple que
2 6 0
Esa desigualdad la resolvimo
y f x x x z g y y
g f x x x
x
x x
s (con >) y da
3Dominio y 2
2g f x R x x
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2
2
2
( ) , ( ) sin ,
La función compuesta es en este caso
sin
Es claro que el rango de la función queda totalmente
incluido en el dominio de la función sin .
Dominio
y f x x z g y y
g f x x
x
y
g f R
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1
1( ) , ( ) exp = ,
La función compuesta es en este caso
Dominio 0
y
x
y f x z g y y ex
g f x e
g f R
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Se llama función identidad a la función que le hace
corresponder a cada número real el propio número.
Se representa por ( ).
*El dominio de la función identidad
son todos los números reales
*El contradom
I x
inio o codominio de la función identidad
son todos los numeros reales
*El rango de la función identidad
son todos los números reales
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Gráfica de la función identidad
:I R R I x x
45
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Una función se dice
inyectiva o función uno a uno
si verifica que dos puntos
distintos no pueden tener
la misma imagen.
f
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Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica
que dos puntos distintos no pue
Una relación lineal (cualquier recta
den tener la mi
)
es inyectiva ó uno
sma ima
a uno
gen.
y mx b
f
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2
Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica
que dos puntos distintos no puede
Una relación cuadrática (una parábola)
es inyectiva ó uno a uno
n tener la misma imag
4
en
NO
.
y x
f
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1
1
Sea una función.
Llamamos función inversa (en caso de que exista)
a una función notada que verifica que
con ( ) la función identidad.
Para que exista la función inversa de es nec
y f(x)
f x
f f x I x
I x
f
esario
que la función sea inyectiva. f
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ln
La función exponencial
exp : exp
tiene como inversa a la función logaritmo
ln : ln
Como
ln
tenemos
ln exp
x
x x
R R y x e
R R y x
x e e
I
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