2014. 05. 18.dr. kocsányi: wellenoptik1 elektromagnetische wellen dr. lászló kocsányi

23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 1

Elektromagnetische Wellen

Dr. László Kocsányi


Maxwell I: Die zeitliche Änderung eines elektrischen Feldeserzeugt rundum der elektrischen Feldlinien einen Magnetfelddessen Linien sich schließen.

dE(t)/dt

B(t)

Maxwell II: Die zeitliche Änderung eines magnetischen Feldeserzeugt rundum der magnetischen Feldlinien einen elektrischenFeld, dessen Linien sich schließen.

dB(t)/dtE(t)

1. Einleitung


1.1. Ebene elektromagnetische Wellen

Die Folgerung aus den Maxwellschen Gleichungen, daß elektrische und magnetische Felder sich gegenseitig induzieren können, ist

analog der Tatsache, daß eine Kompression in einem Gas einen Druck erzeugt der seinerseits wieder die Umgebung zu deformieren sucht.

•Gibt es analog zu den elastischen Wellen auch EM-Wellen?•Und wenn sie gebe, welche Eigenschaften sie haben müssten?

Wir versuchen die einfachste Wellenform zu konstruieren!

zktωcos 0EE 0φzktωcos 0BB


1. Elektromagnetische Wellen müssen transversal sein!

Longitudinal würde bedeuten, dass E oder B liegt parallel mit x.

Das würde bedeuten, dass das Feld nicht quellenfrei ist.Für B ist es sowieso unmöglich (M.III.),Für E in einem Ladungsfreien Raum genauso (M.IV.) .

Q U E L L E Q U E L L ES E N K E S E N K E


2. B steht senkrecht auf EE

AΓ dt

d

μ

1dAEdsB

H

AA dt

d

dt

ddAEdADdsH

3. E und B sind in Phase

E


z

x y

Ex(z,t)

By(z,t)

Ez=0

Ey=0 Bx=0

Bz=0


z

x y

E2

E1

E

B1

B2

B

zyt

Eyz

z

B

1

zy

t

E

t

zyE

t

D

zyE D

yzz

By

BByHyHd 21

21

1sH

DsHt

d (M1)

t

E

z

B

2

22

t

E

tz

B

Δy

Δz

zt

E

z

B

2

2

2

t

z


z

x y

E2

E1

E

B1

B2

B

zxB B

zx

t

B

t

zxB

t

B

BsEt

d (M2)

xzz

ExEExExEd

1212sE

zxt

Bxz

z

E

t

B

z

E

zt

B

z

E

2

2

2

Δx

Δz

2

22

t

B

tz

E

z

t


2

22

t

E

tz

B

zt

B

z

E

2

2

2

2

2

2

2

t

E

z

E

zt

E

z

B

2

2

2

2

22

t

B

tz

E

2

2

2

21

t

B

z

B

2

2

2

2

t

B

z

B


2. Telegraphengleichung

trot

D

jHt

rot

B

E

0div B Ddiv

EED r0 HHB μμμ r0 Ej

t

rotrotrotB

E

(MI.) (MII.)

(MIII.) (MIV.)

Bilden wir die Rotation von MII.:

EEE divgradrotrot

Von der Vektorlehre ist bekannt :


2z

2

2z

2

2z

2

2

y2

2

y2

2

y2

2x

2

2x

2

2x

2

z

E

y

E

x

E

z

E

y

E

x

E

z

E

y

E

x

E

k

j

i

E

Wobei der Laplacesche Operator für Vektoren ist:


t

BEE rotdivgrad

t

BE rot

Das Feld ist ladungsfrei, also div E ist 0:

HE rott

tt

DjE

trot

D

jHAber von MI.:

tt

EEE

0tt 2

2

EE

E (T.I)


Wenn man von MI. ausgeht:

t

rotrotrotD

jHH

trot

D

jH

und analoge Schritte durchführt, wie zuerst Rotationbildung- jedochausgenutzt, dass H quellen-(divergenz-)frei ist :

EEB rott

rot

Multipliziert nan mit μ und wendet das ohmsches Gesetz: Ej

und den Zusammenhang: EED r0 an, erhält man:

0tt 2

2

BB

B

trot

B

ENützt man MII. aus:

(T.II)


2.1. EM-Wellenausbreitung im Vakuum

0σ 1με rr

2

2

00 tεμΔ

E

E

2

2

00 tεμΔ

B

B

00

1c

Maxwellsche Relation:

228167

9

00

2 c)103(10910

109

με

1u

00 με

1u


EM-Lichttheorie

„Diese Geschwindigkeit stimmt so gut mit derLichtgeschwindigkeit überein, daß wir anscheinendallen Grund zur Annahme haben, das Licht sei eineelektromagnetische Störung, die sich in Form von Wellen durch das elektromagnetische Feld, den Gesetzen des Elektromagnetismus entsprechend, sich fortpflanzt.”

(Maxwell: A Dynamical Theory of the electro- magnetic Field. - Phil. Trans. 155 (1859), p.459.


2.2 Wellenausbreitung im Dielektrikum

2

2

t

E

E

2

2

t

B

B

με

1

εμεμ

1v

Δ

rr00

v

cn

Δ

Brechzahl: rr00

00

1n

(falls die Fortpflanzung der Welle im nichtmagnetischen Substanz ablauft)

r2 εn


0tj0e)t,( krErEDie Lösung:

ssssk

v

v λ

π2nnkn

c

ω

v

ω

0φtωj0e)t,( krBrB

Beim Übergang durch eine Dielektrikumoberfläche bleibt die Kreisfrequenz (die Frequenz) der Welle konstant jedoch ändert sich

die Wellenlänge.


1 0 2 2

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

2 1

2 0

1 9

1 8

1 7

1 6

1 5

1 4

1 3

1 2

1 1

1 0

9

8

7

6

5

4

3

10

10

10

10

10

10

10

1

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

7

6

5

4

3

2

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-3

-9

-10

-11

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

-13

-12

-11

-10

-9

-8

-5

-4

-3

-2

-1

-3

-7

-6 1

1

10

1

2

3

4

5

1

1

1

1

1M Hz

1kHz

M ikro hullá m

Rá d ió

Rá d ió hu llá m o k

Infra vö rö s(IR)

Lá tha tó

Ultra ib o lya (UV)

Rö ntg e n sug á r (X)

su g á r

Fre kve nc ia [s ]-1

Ta rto m á ny m e g n e ve zé se

Rö ntg e ne g ysé g

Ang strö m , Ao o

N a no m é te r, nm

M ikro m é te r, m

C e n tim é te r, c m

M é te r, m

Kilo m é te r, km

Fo to ne ne rg ia [e V]

Hu llá m h o ssz [m ]

TV, Rh

1G Hz


0tj0e)t,( krErE

2.3. Transversalität

0tj0e)t,( krBrB

k

j

i

E

y

E

x

E

x

E

z

E

z

E

y

E

rot

xy

zx

yz

Bilden wir die Rotation von E:

Ek

k

j

i

E

-j

EkEk

EkEk

EkEk

jrot

xyyx

zxxz

yzzy

trot

B

E (MII.)


BB

jt

Die zeitliche Ableitung von B ist:

und damit das Induktionsgesetz:

BEk kv

ωsk

EsB kv

1

wobei

Letztendlich erhalten wir für B:

Für die Grössen der Vektoren: EB v

1

Im Vakuum: EB c

1

In einer EM-Welle ist die magnetische Feldstärke wesentlich kleiner als die elektrische (um v). Deswegen in der Optik nennt man die elektrische Feldstärke E: „Lichtvektor“.


Bk

k

jH

μ

1-j

BkBk

BkBk

BkBk

μ

1jrot

xyyx

zxxz

yzzy i

Änlich wie vorher nehmen wir jetzt dasDurchflutungsgesetz (j=0):

ED

εωjt

Damit das Durchflutungsgesetz:

EBk

j1

j

BsE kv

EsB kv

1EB

v

1

trot

D

jH

sk

E

B

EBs ω1ω

2vv k


2.4. Polarisation


Die Beschreibung der Polarisation von wbenen EM-Wellen

Die Funktion einer, in x-z polarisierten Welle, die sich in Richtung z ausbreitet : kztj

x,0x eEE 0Ey 0Ez

Die Funktion einer, in polarisierten Welle, die sich in Richtung z ausbreitet : kztj

x,0x eEE kztj

y,0y eEE

Eine zierkuliert polarisierte Welle, die sich in z ausbreitet : kztj

x,0x eEE

kztjy,0y eEE

y,0x,0 EE

90

Elliptisch polarisiertes Licht in z::: kztj

x,0x eEE kztj

y,0y eEE

y,0x,0 EE

willkürlich äusser: k

2

1k2

Die Hauptachsen der Ellipse sind paallel mit der Koordinatenachsen x und y.


Dispersion

Die Brechzahl hängt von der Frequenz, bzw. von der Wellwnlänge ab!

nn nn

Diese Erscheinung ist die Dispersion

vagy

ZB.:Prisma ZB.: Regenbogen

Spektrographen


3. Energietransport in Wellen, die Intensität

22 m

W

sm

JI

3.1. Die Energie, die über eine Flächeneinheit in Zeiteinheit durch eine Welle getragen wird, nennt man Intensität:

In harmonischen Wellen: utwI ,r

In einer V Volume einer harmonischen mechanischen Welle (zB. das Seil) das durchschnittliche Energiegehalt beträgt:

2, 2

1MAXMAXkin vVEE

20

2

2

1 VE uuwI 20

2

2

1


3.2.Energieausbreitung in isotropen Materialien durch EM-Wellen. Der Poynting-Vektor.

20

202

1HE rrw

EEEH

21

r0

r0r0

v

1

20

20

202

1EEE rrrw

tvtwvtI 2

r0 ,,, rErr

Ev

B1

Die Intensität:


tvtwvt r ,εε,, 20 rE

k

kr

k

krS

Der Poynting Vektor (1884), zeigt ausser der Grösse der Intensität einer EM-Welle auch die Richtung der Energieausbreitung:

[W/m²].

Die Intensität der Welle ist der Mittelwert des Absolutenwertesdes Poyinting-Vektors über eine Periode:

dttT

ttwvIT

0

,1

,, rSrSr

HES

HES I

In isotropen Materialien fällt die Richtung der Energieausbreitungmit der von der Phasenausbreitung (k) überein:


Falls die Welle harmonisch ist:

dttT

vIT

rkωcosεε1 22

0

0

0 Er

rk t

2

1

2

2cossin

2

1cos

2

1sin

2

1cos

2

1cos 22222

200 εε

2

1E rvI

T

dttT

v0

2200 ωcos

1εε rkEr

T T

dtT

dttT

TvI

0 0

200 2

11

2

π22cos1εε

rkEr


1. Für die komplex geschriebenen ebenen Wellen die Intensitätist immer proportional mit dem Produkt der Wellenfunktion und deren komplexen konjugierten:

ttIvv

,, rErE

Bemerkungen

2. In anisotropen Materialien die Richtung des Energietransportesfällt mit der Phasenausbreitung nicht überein

3. In anisotropen Medien entsteth die Erscheinung der Doppelbrechung der Lichtwelle


3.3. Lichtabsorption

dx

xdI

x

xIxxIlim

0x

xIdx

xdI

x0eI)x(I

d xI(x) I(x+ d x)

d I= - I(x)d x

In einem homogenen Material (zB Glass, Quarzkristall, usw.) lässt sich die Intensität der Welle wie folgt ausdrücken:

- wobei β ist die Extinktionskonstante:

2EI

- die Amplitude ( E0 ) fällt auch exponentiell, jedoch mit :

- az 1/β ist das Absorbtions-(Extinktions-)wegx

2e

)( )( oder

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