20110306 csseminar cg_illustrations_vyatkina

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÂû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ:èëëþñòðàöèèÊèðà ÂÿòêèíàÑàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò6 ìàðòà 2011ã.

Êèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÏëàí äîêëàäà1 Âûïóêëûå îáîëî÷êè2 Ìèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòü3 Òðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäè


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÎïðåäåëåíèåÏóñòü S ⊂ R

2 íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî ïëîñêîñòè



2 íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî ïëîñêîñòèÂûïóêëàÿ îáîëî÷êà CH(S) ìíîæåñòâà S íàèìåíüøååâûïóêëîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå S



2 íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî ïëîñêîñòèÂûïóêëàÿ îáîëî÷êà CH(S) ìíîæåñòâà S íàèìåíüøååâûïóêëîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå SÈëè: CH(S) ïåðåñå÷åíèå âñåõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ,ñîäåðæàùèõ S


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÄëÿ ìíîæåñòâà òî÷åêÏóñòü P ìíîæåñòâî èç n òî÷åê íà ïëîñêîñòè


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÄëÿ ìíîæåñòâà òî÷åêÏóñòü P ìíîæåñòâî èç n òî÷åê íà ïëîñêîñòèCH(P) âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè âíåêîòîðûõ òî÷êàõ èç S


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÑëîæíîñòü ïîñòðîåíèÿÌîäåëü âû÷èñëåíèé: âåùåñòâåííîçíà÷íàÿ ÀÌðàâíîäîñòóïíàÿ àäðåñíàÿ ìàøèíà


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÑëîæíîñòü ïîñòðîåíèÿÌîäåëü âû÷èñëåíèé: âåùåñòâåííîçíà÷íàÿ ÀÌðàâíîäîñòóïíàÿ àäðåñíàÿ ìàøèíàÝëåìåíòàðíûå îïåðàöèè:àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèèîïåðàöèè ñðàâíåíèÿêîñâåííàÿ àäðåñàöèÿ ïàìÿòèÊèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÑëîæíîñòü ïîñòðîåíèÿÌîäåëü âû÷èñëåíèé: âåùåñòâåííîçíà÷íàÿ ÀÌðàâíîäîñòóïíàÿ àäðåñíàÿ ìàøèíàÝëåìåíòàðíûå îïåðàöèè:àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèèîïåðàöèè ñðàâíåíèÿêîñâåííàÿ àäðåñàöèÿ ïàìÿòèàíàëèòè÷åñêèå óíêöèèÊèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÑëîæíîñòü ïîñòðîåíèÿÌîäåëü âû÷èñëåíèé: âåùåñòâåííîçíà÷íàÿ ÀÌðàâíîäîñòóïíàÿ àäðåñíàÿ ìàøèíàÝëåìåíòàðíûå îïåðàöèè:àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèèîïåðàöèè ñðàâíåíèÿêîñâåííàÿ àäðåñàöèÿ ïàìÿòèàíàëèòè÷åñêèå óíêöèèÍèæíÿÿ îöåíêà ñëîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ âûïóêëîé îáîëî÷êè:Ω(n log n)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä îáõîäà ðýõåìà


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä îáõîäà ðýõåìàp1



p2

p3

p4

p5

p6p7

p8

p9



p4

p5

p6p7

p8

p9

p1

p2



p5

p6p7

p8

p9

p1

p2

p3



p6p7

p8

p9

p1

p4

p2

p3



p5

p6p7

p8

p9

p1

p2

p3


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä îáõîäà ðýõåìàp6p7

p8

p9

p1

p2

p4

p5

p3



p8

p9

p1

p4

p2

p5

p3



p8

p9

p1

p4

p2

p6

p5

p3



p8

p9

p1

p4

p2

p5

p3



p9

p1

p4

p2

p3

p6p7

p5



p8

p9

p1

p4

p2

p5

p3



p1

p4

p2

p5

p3

p6p7

p8



p9

p1

p4

p2

p3

p5

p6

p8



p9

p1

p4

p2

p6

p3

p5p8



p1

p4

p2

p6

p3p9

p5p8



p9

p1

p4

p2

p6

p3

p5p8


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä îáõîäà ðýõåìàÂñïîìîãàòåëüíàÿ ñòðóêòóðà äàííûõ: ñòåê


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä îáõîäà ðýõåìàÂñïîìîãàòåëüíàÿ ñòðóêòóðà äàííûõ: ñòåêÊîððåêòíîñòü àëãîðèòìà:


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä îáõîäà ðýõåìàÂñïîìîãàòåëüíàÿ ñòðóêòóðà äàííûõ: ñòåêÊîððåêòíîñòü àëãîðèòìà:Ïóñòü Pi = p1, . . . , pi


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä îáõîäà ðýõåìàÂñïîìîãàòåëüíàÿ ñòðóêòóðà äàííûõ: ñòåêÊîððåêòíîñòü àëãîðèòìà:Ïóñòü Pi = p1, . . . , piÏî çàâåðøåíèè i-é èòåðàöèè ñòåê ñîäåðæèò âåðøèíûCH(Pi )


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä îáõîäà ðýõåìàÂñïîìîãàòåëüíàÿ ñòðóêòóðà äàííûõ: ñòåêÊîððåêòíîñòü àëãîðèòìà:Ïóñòü Pi = p1, . . . , piÏî çàâåðøåíèè i-é èòåðàöèè ñòåê ñîäåðæèò âåðøèíûCH(Pi )Âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü: O(n log n)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä îáõîäà ðýõåìàÂñïîìîãàòåëüíàÿ ñòðóêòóðà äàííûõ: ñòåêÊîððåêòíîñòü àëãîðèòìà:Ïóñòü Pi = p1, . . . , piÏî çàâåðøåíèè i-é èòåðàöèè ñòåê ñîäåðæèò âåðøèíûCH(Pi )Âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü: O(n log n)Íàõîæäåíèå p1: O(n)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä îáõîäà ðýõåìàÂñïîìîãàòåëüíàÿ ñòðóêòóðà äàííûõ: ñòåêÊîððåêòíîñòü àëãîðèòìà:Ïóñòü Pi = p1, . . . , piÏî çàâåðøåíèè i-é èòåðàöèè ñòåê ñîäåðæèò âåðøèíûCH(Pi )Âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü: O(n log n)Íàõîæäåíèå p1: O(n)Ñîðòèðîâêà âåðøèí: O(n log n)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä îáõîäà ðýõåìàÂñïîìîãàòåëüíàÿ ñòðóêòóðà äàííûõ: ñòåêÊîððåêòíîñòü àëãîðèòìà:Ïóñòü Pi = p1, . . . , piÏî çàâåðøåíèè i-é èòåðàöèè ñòåê ñîäåðæèò âåðøèíûCH(Pi )Âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü: O(n log n)Íàõîæäåíèå p1: O(n)Ñîðòèðîâêà âåðøèí: O(n log n)Îáõîä: O(n)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä îáõîäà ðýõåìàÂñïîìîãàòåëüíàÿ ñòðóêòóðà äàííûõ: ñòåêÊîððåêòíîñòü àëãîðèòìà:Ïóñòü Pi = p1, . . . , piÏî çàâåðøåíèè i-é èòåðàöèè ñòåê ñîäåðæèò âåðøèíûCH(Pi )Âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü: O(n log n)Íàõîæäåíèå p1: O(n)Ñîðòèðîâêà âåðøèí: O(n log n)Îáõîä: O(n)Âðåìÿ ïðîïîðöèîíàëüíî îáùåìó ÷èñëó îïåðàöèé ñî ñòåêîì


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä îáõîäà ðýõåìàÂñïîìîãàòåëüíàÿ ñòðóêòóðà äàííûõ: ñòåêÊîððåêòíîñòü àëãîðèòìà:Ïóñòü Pi = p1, . . . , piÏî çàâåðøåíèè i-é èòåðàöèè ñòåê ñîäåðæèò âåðøèíûCH(Pi )Âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü: O(n log n)Íàõîæäåíèå p1: O(n)Ñîðòèðîâêà âåðøèí: O(n log n)Îáõîä: O(n)Âðåìÿ ïðîïîðöèîíàëüíî îáùåìó ÷èñëó îïåðàöèé ñî ñòåêîìÊàæäàÿ èç âåðøèí p2, . . . , pn ïîìåùàåòñÿ â ñòåê ðîâíîîäèí ðàç


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä îáõîäà ðýõåìàÂñïîìîãàòåëüíàÿ ñòðóêòóðà äàííûõ: ñòåêÊîððåêòíîñòü àëãîðèòìà:Ïóñòü Pi = p1, . . . , piÏî çàâåðøåíèè i-é èòåðàöèè ñòåê ñîäåðæèò âåðøèíûCH(Pi )Âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü: O(n log n)Íàõîæäåíèå p1: O(n)Ñîðòèðîâêà âåðøèí: O(n log n)Îáõîä: O(n)Âðåìÿ ïðîïîðöèîíàëüíî îáùåìó ÷èñëó îïåðàöèé ñî ñòåêîìÊàæäàÿ èç âåðøèí p2, . . . , pn ïîìåùàåòñÿ â ñòåê ðîâíîîäèí ðàçÑëåäîâàòåëüíî, îáùåå ÷èñëî îïåðàöèé óäàëåíèÿ íåïðåâîñõîäèò n − 1Êèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä îáõîäà ðýõåìàÂñïîìîãàòåëüíàÿ ñòðóêòóðà äàííûõ: ñòåêÊîððåêòíîñòü àëãîðèòìà:Ïóñòü Pi = p1, . . . , piÏî çàâåðøåíèè i-é èòåðàöèè ñòåê ñîäåðæèò âåðøèíûCH(Pi )Âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü: O(n log n)Íàõîæäåíèå p1: O(n)Ñîðòèðîâêà âåðøèí: O(n log n)Îáõîä: O(n)Âðåìÿ ïðîïîðöèîíàëüíî îáùåìó ÷èñëó îïåðàöèé ñî ñòåêîìÊàæäàÿ èç âåðøèí p2, . . . , pn ïîìåùàåòñÿ â ñòåê ðîâíîîäèí ðàçÑëåäîâàòåëüíî, îáùåå ÷èñëî îïåðàöèé óäàëåíèÿ íåïðåâîñõîäèò n − 1Çàòðàòû ïàìÿòè: O(n)Êèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä Äæàðâèñà


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä Äæàðâèñàp1



p2



p2

p3



p2

p3

p4



p2

p3

p4p5



p2

p3

p4p5

p6


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä ÄæàðâèñàÊîððåêòíîñòü:


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä ÄæàðâèñàÊîððåêòíîñòü:Íà êàæäîì øàãå ñòðîèòñÿ î÷åðåäíîå ðåáðî CH(P)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä ÄæàðâèñàÊîððåêòíîñòü:Íà êàæäîì øàãå ñòðîèòñÿ î÷åðåäíîå ðåáðî CH(P)Âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü: O(nh), ãäå h ÷èñëî âåðøèí CH(P)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä ÄæàðâèñàÊîððåêòíîñòü:Íà êàæäîì øàãå ñòðîèòñÿ î÷åðåäíîå ðåáðî CH(P)Âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü: O(nh), ãäå h ÷èñëî âåðøèí CH(P)Àëãîðèòì, ÷óâñòâèòåëüíûé ê âûõîäó


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌåòîä ÄæàðâèñàÊîððåêòíîñòü:Íà êàæäîì øàãå ñòðîèòñÿ î÷åðåäíîå ðåáðî CH(P)Âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü: O(nh), ãäå h ÷èñëî âåðøèí CH(P)Àëãîðèòì, ÷óâñòâèòåëüíûé ê âûõîäóÇàòðàòû ïàìÿòè: O(n)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÕðîíîëîãèÿ1972: ìåòîä îáõîäà ðýõåìà, O(n log n)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÕðîíîëîãèÿ1972: ìåòîä îáõîäà ðýõåìà, O(n log n)1973: ìåòîä Äæàðâèñà, O(nh)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÕðîíîëîãèÿ1972: ìåòîä îáõîäà ðýõåìà, O(n log n)1973: ìåòîä Äæàðâèñà, O(nh)1986: àëãîðèòì Êèðêïàòðèêà è Çåéäåëÿ, O(n log h)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÕðîíîëîãèÿ1972: ìåòîä îáõîäà ðýõåìà, O(n log n)1973: ìåòîä Äæàðâèñà, O(nh)1986: àëãîðèòì Êèðêïàòðèêà è Çåéäåëÿ, O(n log h)Ñëîæíûé àëãîðèòì


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÕðîíîëîãèÿ1972: ìåòîä îáõîäà ðýõåìà, O(n log n)1973: ìåòîä Äæàðâèñà, O(nh)1986: àëãîðèòì Êèðêïàòðèêà è Çåéäåëÿ, O(n log h)Ñëîæíûé àëãîðèòì1996: àëãîðèòì ×åíà, O(n log h)Ïðîñòîé àëãîðèòì


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÀëãîðèòì ×åíàÇàèêñèðóåì m ≤ n


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÀëãîðèòì ×åíàÇàèêñèðóåì m ≤ nÏîëîæèì r = ⌈ n

m⌉



m⌉àçîáüåì P íà r ïîäìíîæåñòâ P1, . . . , Pr

|P1| = · · · = |Pr−1| = m, |Pr | ≤ m




|P1| = · · · = |Pr−1| = m, |Pr | ≤ mÄëÿ êàæäîãî ïîäìíîæåñòâà Pi ïîñòðîèì CH(Pi ) ìåòîäîìîáõîäà ðýõåìàÊèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè



|P1| = · · · = |Pr−1| = m, |Pr | ≤ mÄëÿ êàæäîãî ïîäìíîæåñòâà Pi ïîñòðîèì CH(Pi ) ìåòîäîìîáõîäà ðýõåìàÊ ïîëó÷åííûì âûïóêëûì îáîëî÷êàì ïðèìåíèì ìåòîäÄæàðâèñàÊèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÀëãîðèòì ×åíà


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÀëãîðèòì ×åíàp1


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÀëãîðèòì ×åíàp1

p2


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÏðåäâàðèòåëüíûé àíàëèç ñëîæíîñòèÏðåäîáðàáîòêà:


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÏðåäâàðèòåëüíûé àíàëèç ñëîæíîñòèÏðåäîáðàáîòêà:Ïîñòðîåíèå CH(Pi ): O(m logm) âðåìåíè


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÏðåäâàðèòåëüíûé àíàëèç ñëîæíîñòèÏðåäîáðàáîòêà:Ïîñòðîåíèå CH(Pi ): O(m logm) âðåìåíèÏîñòðîåíèå âñåõ âûïóêëûõ îáîëî÷åê:O(rm logm) = O(n logm) âðåìåíè


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÏðåäâàðèòåëüíûé àíàëèç ñëîæíîñòèÏðåäîáðàáîòêà:Ïîñòðîåíèå CH(Pi ): O(m logm) âðåìåíèÏîñòðîåíèå âñåõ âûïóêëûõ îáîëî÷åê:O(rm logm) = O(n logm) âðåìåíèÎñíîâíîé öèêë:


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÏðåäâàðèòåëüíûé àíàëèç ñëîæíîñòèÏðåäîáðàáîòêà:Ïîñòðîåíèå CH(Pi ): O(m logm) âðåìåíèÏîñòðîåíèå âñåõ âûïóêëûõ îáîëî÷åê:O(rm logm) = O(n logm) âðåìåíèÎñíîâíîé öèêë:Ïîñòðîåíèå îïîðíîé ïðÿìîé ê CH(Pi ): O(logm) âðåìåíè


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÏðåäâàðèòåëüíûé àíàëèç ñëîæíîñòèÏðåäîáðàáîòêà:Ïîñòðîåíèå CH(Pi ): O(m logm) âðåìåíèÏîñòðîåíèå âñåõ âûïóêëûõ îáîëî÷åê:O(rm logm) = O(n logm) âðåìåíèÎñíîâíîé öèêë:Ïîñòðîåíèå îïîðíîé ïðÿìîé ê CH(Pi ): O(logm) âðåìåíèÍàõîæäåíèå î÷åðåäíîé âåðøèíû CH(P): O(r logm)âðåìåíè


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÏðåäâàðèòåëüíûé àíàëèç ñëîæíîñòèÏðåäîáðàáîòêà:Ïîñòðîåíèå CH(Pi ): O(m logm) âðåìåíèÏîñòðîåíèå âñåõ âûïóêëûõ îáîëî÷åê:O(rm logm) = O(n logm) âðåìåíèÎñíîâíîé öèêë:Ïîñòðîåíèå îïîðíîé ïðÿìîé ê CH(Pi ): O(logm) âðåìåíèÍàõîæäåíèå î÷åðåäíîé âåðøèíû CH(P): O(r logm)âðåìåíèÍàõîæäåíèå âñåõ âåðøèí CH(P):O(hr logm) = O(h · n

m· logm) âðåìåíè



m· logm) âðåìåíèÎáùåå âðåìÿ ðàáîòû àëãîðèòìà: O ((

n + h · nm

)

logm)



m· logm) âðåìåíèÎáùåå âðåìÿ ðàáîòû àëãîðèòìà: O ((

n + h · nm

)

logm)Ïðè m = h: O(n log h)Êèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäè×àñòè÷íîå ïîñòðîåíèå âûïóêëîé îáîëî÷êèPartialHull(P,m)1 r ← ⌈ nm⌉2 P → P1, . . . ,Pr3 for i ← 1 to r4 do Ïîñòðîèòü CH(Pi )5 p1 ← òî÷êà èç P ñ íàèìåíüøåé îðäèíàòîé(â ñëó÷àå íåîäíîçíà÷íîñòè ñàìàÿ ëåâàÿ èç òàêîâûõ)6 for k ← 1 to m7 do Íàéòè âåðøèíó pk+1 âûïóêëîé îáîëî÷êè CH(P)8 if pk+1 = p19 then return ((p1, . . . , pk))10 return m ñëèøêîì ìàëîÊèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäè×àñòè÷íîå ïîñòðîåíèå âûïóêëîé îáîëî÷êèPartialHull(P,m)1 r ← ⌈ nm⌉2 P → P1, . . . ,Pr3 for i ← 1 to r O(r ·m logm) = O(n logm)4 do Ïîñòðîèòü CH(Pi )5 p1 ← òî÷êà èç P ñ íàèìåíüøåé îðäèíàòîé(â ñëó÷àå íåîäíîçíà÷íîñòè ñàìàÿ ëåâàÿ èç òàêîâûõ)6 for k ← 1 to m O(m · r logm) = O(n logm)7 do Íàéòè âåðøèíó pk+1 âûïóêëîé îáîëî÷êè CH(P)8 if pk+1 = p19 then return ((p1, . . . , pk))10 return m ñëèøêîì ìàëîÊèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäè×àñòè÷íîå ïîñòðîåíèå âûïóêëîé îáîëî÷êèPartialHull(P,m)1 r ← ⌈ nm⌉2 P → P1, . . . ,Pr3 for i ← 1 to r4 do Ïîñòðîèòü CH(Pi )5 p1 ← òî÷êà èç P ñ íàèìåíüøåé îðäèíàòîé(â ñëó÷àå íåîäíîçíà÷íîñòè ñàìàÿ ëåâàÿ èç òàêîâûõ)6 for k ← 1 to m7 do Íàéòè âåðøèíó pk+1 âûïóêëîé îáîëî÷êè CH(P)8 if pk+1 = p19 then return ((p1, . . . , pk))10 return m ñëèøêîì ìàëîÂðåìÿ ðàáîòû: O(n logm)Êèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÈòîãîâûé àëãîðèòìConvexHull(P)1 for t ← 1, 2, 3, . . .2 do m← min22

t

, n3 L← PartialHull(P,m)4 if L 6= m ñëèøêîì ìàëî5 then return L


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÈòîãîâûé àëãîðèòìConvexHull(P)1 for t ← 1, 2, 3, . . .2 do m← min22

t

, n3 L← PartialHull(P,m)4 if L 6= m ñëèøêîì ìàëî5 then return LÀëãîðèòì çàâåðøèò ðàáîòó ïðè t = ⌈log log h⌉


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÀíàëèç ñëîæíîñòèÂðåìÿ âûïîëíåíèÿ èòåðàöèè t: O(n log 22

t

) = O(n · 2t)



t

) = O(n · 2t)Îáùåå âðåìÿ ðàáîòû àëãîðèòìà: ⌈log log h⌉∑

t=1

O(n · 2t)



t


t=1

O(n · 2t)

⌈log log h⌉∑

t=1

n · 2t < n · 2⌈log log h⌉+1 < 4n · 2log log h = 4n log h



t


t=1

O(n · 2t)

⌈log log h⌉∑

t=1

n · 2t < n · 2⌈log log h⌉+1 < 4n · 2log log h = 4n log hÂðåìåííàÿ ñëîæíîñòü àëãîðèòìà ×åíà: O(n log h)



t


t=1

O(n · 2t)

⌈log log h⌉∑

t=1

n · 2t < n · 2⌈log log h⌉+1 < 4n · 2log log h = 4n log hÂðåìåííàÿ ñëîæíîñòü àëãîðèòìà ×åíà: O(n log h)Çàòðàòû ïàìÿòè: O(n)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÄàíî ìíîæåñòâî P èç n òî÷åê íà ïëîñêîñòè


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÄàíî ìíîæåñòâî P èç n òî÷åê íà ïëîñêîñòèÏîñòðîèòü îêðóæíîñòü ìèíèìàëüíîãî ðàäèóñà,ñîäåðæàùóþ âíóòðè âñå òî÷êè èç P


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÑâîéñòâàÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòü äëÿ Pîïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÑâîéñòâàÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòü äëÿ Pîïðåäåëåíà îäíîçíà÷íîïðîõîäèòëèáî ðîâíî ÷åðåç äâå òî÷êè èç P, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ååäèàìåòð,Êèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÑâîéñòâàÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòü äëÿ Pîïðåäåëåíà îäíîçíà÷íîïðîõîäèòëèáî ðîâíî ÷åðåç äâå òî÷êè èç P, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ååäèàìåòð,ëèáî ïî êðàéíåé ìåðå ÷åðåç òðè òî÷êè èç P


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÎáîçíà÷åíèÿÏóñòü 1 ≤ i ≤ n



Pi = p1, . . . , pi



Pi = p1, . . . , pi

Ci ìèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòü äëÿ Pi


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèåíåðàöèÿ ñëó÷àéíîé ïåðåñòàíîâêèRandomPermutation(A)1 for k ← n downto 22 do rndIndex ← Random(k)3 A[k]↔ A[rndIndex ]

A ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ, ïðåäñòàâëåííîå ïðè ïîìîùèìàññèâàRandom(k) ãåíåðèðóåò ñëó÷àéíîå öåëîå èç äèàïàçîíà[1, k] çà âðåìÿ O(1)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèåíåðàöèÿ ñëó÷àéíîé ïåðåñòàíîâêèRandomPermutation(A)1 for k ← n downto 22 do rndIndex ← Random(k)3 A[k]↔ A[rndIndex ]

A ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ, ïðåäñòàâëåííîå ïðè ïîìîùèìàññèâàRandom(k) ãåíåðèðóåò ñëó÷àéíîå öåëîå èç äèàïàçîíà[1, k] çà âðåìÿ O(1)

∀a ∈ A, âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ a íà ìåñòå j â ñëó÷àéíîéïåðåñòàíîâêå ñîñòàâëÿåò 1/n, ãäå 1 ≤ j ≤ nÊèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèËåììà 1Åñëè pi âíóòðè Ci−1, òî Ci = Ci−1Åñëè pi âíå Ci−1, òî Ci ïðîõîäèò ÷åðåç pi


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèËåììà 1Åñëè pi âíóòðè Ci−1, òî Ci = Ci−1Åñëè pi âíå Ci−1, òî Ci ïðîõîäèò ÷åðåç pi

Ci-1=Ci

pi

Ci+1

pi+1


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÏîñòðîåíèåMinCir le(P)1 Ñãåíåðèðîâàòü ñëó÷àéíóþ ïåðåñòàíîâêó òî÷åê èç P2 C2 ← îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì p1p23 for i ← 3 to n4 do if pi âíóòðè Ci−15 then Ci ← Ci−16 else Ci ←MinCir le-1(Pi−1, pi)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèËåììà 2q òî÷êà íà ïëîñêîñòè, òàêàÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò îïèñàííàÿîêðóæíîñòü äëÿ P , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç q



Cqi ìèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòü äëÿ Pi ,ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç q



Cqi ìèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòü äëÿ Pi ,ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç qÅñëè pi âíóòðè C

qi−1, òî C

qi = C

qi−1Åñëè pi âíå C

qi−1, òî C

qi ïðîõîäèò ÷åðåç pi


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÏîñòðîåíèå: îäíà èêñèðîâàííàÿ òî÷êàMinCir le-1(P,q)1 Ñãåíåðèðîâàòü ñëó÷àéíóþ ïåðåñòàíîâêó òî÷åê èç P2 C1 ← îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì p1q3 for j ← 2 to n4 do if pj âíóòðè Cj−15 then Cj ← Cj−16 else Cj ←MinCir le-2(Pj−1, pj , q)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèËåììà 3q1, q2 òî÷êè íà ïëîñêîñòè, òàêèå, ÷òî ñóùåñòâóåòîïèñàííàÿ îêðóæíîñòü äëÿ P , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç q1 è q2



Cq1,q2i ìèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòü äëÿ Pi ,ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç q1 è q2



Cq1,q2i ìèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòü äëÿ Pi ,ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç q1 è q2Åñëè pi âíóòðè C

q1,q2i−1 , òî C

q1,q2i = C

q1,q2i−1Åñëè pi âíå C

q1,q2i−1 , òî C

q1,q2i ïðîõîäèò ÷åðåç pi


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÏîñòðîåíèå: äâå èêñèðîâàííûõ òî÷êèMinCir le-2(P,q1, q2)1 C0 ← îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì q1q22 for k ← 1 to n3 do if pk âíóòðè Ck−14 then Ck ← Ck−15 else Ck ← îêðóæíîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç q1, q2 è pk


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÀíàëèç ñëîæíîñòèMinCir le-2(P):


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÀíàëèç ñëîæíîñòèMinCir le-2(P):Âðåìÿ ðàáîòû: O(n)


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÀíàëèç ñëîæíîñòèMinCir le-2(P):Âðåìÿ ðàáîòû: O(n)MinCir le-1(P):


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÀíàëèç ñëîæíîñòèMinCir le-2(P):Âðåìÿ ðàáîòû: O(n)MinCir le-1(P):Âåðîÿòíîñòü âûçîâà MinCir le-2 íà èòåðàöèè j íåïðåâîñõîäèò 2/j


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÀíàëèç ñëîæíîñòèMinCir le-2(P):Âðåìÿ ðàáîòû: O(n)MinCir le-1(P):Âåðîÿòíîñòü âûçîâà MinCir le-2 íà èòåðàöèè j íåïðåâîñõîäèò 2/jÎæèäàåìîå âðåìÿ ðàáîòû: O(n) +n∑

j=2

O(j) 2j= O(n)



j=2

O(j) 2j= O(n)MinCir le(P):



j=2

O(j) 2j= O(n)MinCir le(P):Âåðîÿòíîñòü âûçîâà MinCir le-1 íà èòåðàöèè i íåïðåâîñõîäèò 3/i



j=2

O(j) 2j= O(n)MinCir le(P):Âåðîÿòíîñòü âûçîâà MinCir le-1 íà èòåðàöèè i íåïðåâîñõîäèò 3/iÎæèäàåìîå âðåìÿ ðàáîòû: O(n) +

n∑

i=3

O(i) 3i= O(n)



j=2


n∑

i=3

O(i) 3i= O(n)Îæèäàåìîå âðåìÿ ïîñòðîåíèÿ ìèíèìàëüíîé îïèñàííîéîêðóæíîñòè: O(n)Êèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè


j=2


n∑

i=3

O(i) 3i= O(n)Îæèäàåìîå âðåìÿ ïîñòðîåíèÿ ìèíèìàëüíîé îïèñàííîéîêðóæíîñòè: O(n)Çàòðàòû ïàìÿòè: O(n)Êèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÄàíî ìíîæåñòâî P èç n òî÷åê íà ïëîñêîñòè


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÄàíî ìíîæåñòâî P èç n òî÷åê íà ïëîñêîñòèÍàéòè òðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäè ñ âåðøèíàìè âòðåõ ðàçëè÷íûõ âåðøèíàõ èç P


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÍåëîêàëüíîñòü


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÏðåîáðàçîâàíèå äâîéñòâåííîñòèp = (a, b) → ℓ: y = ax + b

ℓ: y = kx + d → p = (−k , d)

x

y

x

y



ℓ: y = kx + d → p = (−k , d)

x

y

x

y

p1

l1



ℓ: y = kx + d → p = (−k , d)

x

y

x

y

p1

p2

l1

l2



ℓ: y = kx + d → p = (−k , d)

x

y

x

y

p1

p2

p3

l1

l2

l3



ℓ: y = kx + d → p = (−k , d)

x

y

x

y

p1

p2

p3

p4

l1

l2

l4

l3



ℓ: y = kx + d → p = (−k , d)

x

y

x

y

p1

p2

p3

p4

l13

p13

l1

l2

l4

l3



ℓ: y = kx + d → p = (−k , d)

x

y

x

y

p1

p5

p3l13

p13

l1l3

l5



ℓ: y = kx + d → p = (−k , d)

x

y

x

y

p1

p5

p3l13

p13

l1l3

l5

h

h


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÄâîéñòâåííàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÄâîéñòâåííàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷èÏóñòü pipjpk òðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäè


Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÄâîéñòâåííàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷èlkpij

Ïóñòü pipjpk òðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÍà äâîéñòâåííîé ïëîñêîñòè: pij âåðøèíà ãðàíè,èíöèäåíòíîé lk



Ïóñòü pipjpk òðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÍà äâîéñòâåííîé ïëîñêîñòè: pij âåðøèíà ãðàíè,èíöèäåíòíîé lkÄëÿ êàæäîé ïðÿìîé íåîáõîäèìî ïðîñìîòðåòü O(n) âåðøèíÊèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè


Ïóñòü pipjpk òðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÍà äâîéñòâåííîé ïëîñêîñòè: pij âåðøèíà ãðàíè,èíöèäåíòíîé lkÄëÿ êàæäîé ïðÿìîé íåîáõîäèìî ïðîñìîòðåòü O(n) âåðøèíÂðåìåííàÿ ñëîæíîñòü: O(n2)Êèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè


Ïóñòü pipjpk òðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèÍà äâîéñòâåííîé ïëîñêîñòè: pij âåðøèíà ãðàíè,èíöèäåíòíîé lkÄëÿ êàæäîé ïðÿìîé íåîáõîäèìî ïðîñìîòðåòü O(n) âåðøèíÂðåìåííàÿ ñëîæíîñòü: O(n2)Çàòðàòû ïàìÿòè: O(n2)Êèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèËèòåðàòóðà: ìîíîãðàèè è êóðñ ëåêöèé1 M. de Berg, O. Cheong, M. van Kreveld, M. Overmars,Computational Geometry: Algorithms and Appli ations,Third Edition, Springer, 2008.2 J. O'Rourke, Computational Geometry in C, Se ond Edition,Cambridge University Press, 1998.3 J.-D. Boissonnat, M. Yvine , Geometrie algorithmique,Edis ien e international, Paris, 1995.4 Ô. Ïðåïàðàòà, Ì. Øåéìîñ, Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ:ââåäåíèå, ïåð. ñ àíãë., Ì., Ìèð, 1989.5 D. Mount, Computational Geometry: Le ture Notes, Fall 2002,http://www. s.umd.edu/~mount/754/Le ts/754le ts.pdfÊèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

http://www.cs.umd.edu/~mount/754/Lects/754lects.pdf

Âûïóêëûå îáîëî÷êèÌèíèìàëüíàÿ îïèñàííàÿ îêðóæíîñòüÒðåóãîëüíèê ìèíèìàëüíîé ïëîùàäèËèòåðàòóðà: ñòàòüè1 R. L. Graham, An e ient algorithms for determining the onvex hull of a nite planar set, Info. Pro . Lett., 1:132133,1972.2 R. A. Jarvis, On the identi ation of the onvex hull of a niteset of points in the plane, Info. Pro . Lett., 2:1821, 1973.3 D. G. Kirkpatri k, R. Seidel, The ultimate planar onvex hullalgorithm, SIAM J. Comput., 15(1):287299, 1986.4 T. Chan, Optimal output-sensitive onvex hull algorithms intwo and three dimensions, Dis r. Comp. Geom., 16:361368,1996.5 E. Welzl, Smallest en losing disks (balls and ellipsoids), inH. Maurer (Ed.), New Results and New Trends in ComputerS ien e, LNCS, 555:359370, Springer, 1991.6 B. Chazelle, L. J. Guibas, D. T. Lee, The power of geometri duality, BIT, 25:7690, 1985.Êèðà Âÿòêèíà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ: èëëþñòðàöèè

20110306 csseminar cg_illustrations_vyatkina

Documents

log n p1

n log n

n log h

pi chpi

log n1973

log h1996

om logm

nm logm