2010.2 - transp16

SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Qualquer circuito linear e invariante no tempo pode ser descrito por uma equação diferencial, com coeficientes constantes, tendo a seguinte forma geral:

xbdt

dxb

dt

xdb

dt

xdb

yadt

dya

dt

yda

dt

yda

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

n

011

1

1

011

1

1

...

...

Onde x(t) e y(t) são a entrada e a saída, respectivamente, e os coeficientes são constantes.


Para nós todos os circuitos são lineares e invariantes no tempo (L.I.T.). Se os coeficientes na equação anterior são funções de y ou x, o circuito é não-linear. Se eles são funções explícitas de t, o circuito é variante no tempo.


Desde que x(t) é uma função conhecida, o lado direito da equação é uma função conhecida do tempo, chamada Função Forçante e é denominada F(t).

Se F(t) é zero, esta equação se reduz a uma equação diferencial homogênea:

0... 011

1

1

yadt

dya

dt

yda

dt

yda

n

n

nn

n

n


Se F(t) é diferente de zero, esta equação se reduz a uma equação diferencial não-homogênea:

)(... 011

1

1 tFyadt

dya

dt

yda

dt

yda

n

n

nn

n

n

A equação homogênea tem n diferentes soluções, linearmente independentes, denominadas:

)(...,),(),(),( 321 tytytyty n


A solução geral é:

)(...)()()( 2211 tyKtyKtyKty nnH onde os coeficientes K são constantes arbitrárias e o índice H se refere à solução homogênea.

A solução completa é:

)()()( tytyty PH

yH é a solução complementar e yP é a solução particular. A solução particular não tem constantes arbitrárias.


SOLUÇÃO HOMOGÊNEA

Assumindo que as soluções são da forma:

)()()( tytyty PH

0... 011

1

1

yadt

dya

dt

yda

dt

yda

n

n

nn

n

n

rtty )(

onde r é uma constante a ser determinada.



Substituindo na equação homogênea, vem:

como esta equação deve ser satisfeita para todos os valores de t:

0)...( 011

1

rtnn

nn ararara

0... 011

1 ararara nn

nn

que é a Equação característica ou Equação auxiliar. Esta equação pode ser escrita diretamente da equação diferencial homogênea. As soluções são:

trn

trtrtr ntytytyty )(...,,)(,)(,)( 321321



Se todas as raízes (ri) da equação característica forem diferentes de zero, temos:

trtrn

trnH KKKty nn 11

11 ...)(



Se algumas das raízes (ri) da equação característica forem complexas, yH deve ser escrito de outra forma. Raiz complexa só ocorre em pares conjugados. Assim, se ra é complexa, deve existir um rb = ra

*.*aba rjrjr

Pela identidade de Euler :

)cos(

))()cos((

)]()(

)cos()[()(

tK

tsenKtK

tsenKKj

tKKKK

te

dct

ba

battj

btj

at

)]sin()cos([ tjttj



ba

ba

bae

te

tjb

tja

t

KK

KKtg

eKKKonde

tKKK

1

22 )(2

);cos()(



Se existem raízes (ri) repetidas, yH deve ser escrito de outra forma. Assim, se ra = rb, temos:

trba

atKK )(

Em geral, se uma raiz se repete k vezes:

trkk

k

tKtKtKK

rrr1)...(

...12

321

21



Exemplo 01: ache a solução geral da seguinte equação diferencial:

02 202

2

ydt

dy

dt

yd

Equação característica:

20

22,1

20

2 02 rrr



Exemplo 01 (continuação):

Se:

)cos()(

)()(

)(

20

2

21

)(2

)(1

20

220

220

2

tKty

tKKty

KKty

dt

H

tH

ttH

220 d



Exemplo 02: ache a equação diferencial que relaciona e0(t) e i1(t) no circuito abaixo:


SOLUÇÃO HOMOGÊNEAExemplo 02-Solução: resolvendo por corrente de malha!

;262

;1,3,2,2,1

;)(

;;

;0)()(

;

11

2

2

5432

121

35232

2

4

2

22

2

252

4122123

11

idt

die

dt

de

dt

ed

FCRHLHLR

iRdt

diLe

dt

deCRRL

dt

edCL

dt

edC

dt

di

dt

deCi

eiRdt

diLiiRii

dt

dL

ii

ooo

ooo

omom

omm

mm

m



Exemplo 03: ache a solução para a seguinte equação diferencial. As constantes devem ser avaliadas com as condições iniciais dadas:

0)0(,1)0(;22

2

dt

dyyt

dt

dy

dt

yd

SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SOLUÇÃO HOMOGÊNEA

Exemplo 03-Solução: Solução homogênea:

;)(

;)(;2;0022

212 21

tbaH

trb

traH

KKty

KKtyrrrr

;4/1;4/1242

;2)(

;2)(

;)(

12122

2''

12'

12

2

KKtKtKK

Kty

KtKty

tKtKty

P

P

P

Solução particular:

Solução completa:

)(4

1)()()( 22 ttKKtytyty t

baPH

SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SOLUÇÃO HOMOGÊNEA

Exemplo 03-Solução:

)(4

1)()()( 22 ttKKtytyty t

baPH

Solução completa:

Determinação de Ka e Kb a partir das condições iniciais:

)(4

1)9(

8

1)(

;8/1;8/9

;04

12)0('

;1)0(

22 ttty

KK

Ky

KKy

t

ba

b

ba




0)0()0();2cos(42

2

dt

dyyty

dt

yd




0)0()0(;22

2

dt

dyyty

dt

dy

dt

yd t




0)0()0();2(442

2

dt

dyytseny

dt

dy

dt

yd

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