2. predavanja
TRANSCRIPT
-
Osnovne jednadbe elastinosti za deformabilna tijela
Zadatak:za zadanu geometriju i rubne uvjete potrebno je odrediti pomake, deformacije, naprezanja te reaktivne sile.
Da bi za openiti sluaj (3D) u svakoj toki kontinuuma odredili 3 komponente pomaka, 6 komponenti deformacija i naprezanja, stoje nam na raspolaganju: 3 jednadbe ravnotee,6 veza izmedju pomaka i deformacija i 6 veza izmedju naprezanja i deformacija. Osim
Zimski semestar, 2009
6 veza izmedju pomaka i deformacija i 6 veza izmedju naprezanja i deformacija. Osim toga, poznate su i jednadbe kompatibilnosti koje osiguravaju jedinstvenost rijeenja.
Ukupno 15 nepoznatih i 15 jednadbi !
Tri vrste rubnih problema za odredjivanje integracionih konstanti:1. Volumenske sile i povrinske sile2. Volumenske sile i pomaci po povrini3. Volumenske sile, pomaci i sile po povrini
Jednadbe treba pojednostavniti, odnosno prilagoditi problemu, npr. ako su poznata rubna naprezanje potrebno je sve jednadbe izraziti u naprezanjima i obrnuto.
-
Naprezanja kao funkcija pomaka
6 veza izmedju pomaka i deformacija kombinirana s 6 veza izmedju naprezanja i deformacija daje 6 jednadbi veze naprezanje-pomak. Zajedno sa 3 jednadbe ravnotee mogue je odrediti 3 nepoznata pomaka i 6 nepoznatih komponenti naprezanja.
Zimski semestar, 2009
Ako su zadana optereenja po rubu tada se mora zadovoljiti:
-
Jednadbe ravnotee kao funkcija pomakaKoritenjem jed. ravnotee i veze izmedju naprezanja i pomaka dolazi se do 3 jednadbe poznate kao Navier-ove jednadbe ravnotee.
Zimski semestar, 2009
-
Jednadbe kompatibilnosti kao funkcija naprezanjaDa bi rijeili problem rubnih uvjeta u sluaju kada su zadana rubna naprezanjekorisno je izraziti jednadbe kompatibilnosti u funkciji naprezanja jednadbe ravnotee+naprezanje-deformacija+kompatibilnost (Beltrami-Michell-ove jednadbekompatibilnosti).
Zimski semestar, 2009
-
Specijalni sluajevi jednadbi elastinostiRavninsko stanje naprezanja:
(1) Naprezanje - deformacija:
(2) Jednadbe ravnotee:
Zimski semestar, 2009
(3) Veza deformacija - pomak:
(4) Jednadba kompatibilnosti:
bez vol. sila
-
Ravninsko stanje deformacija:
(1) Naprezanje - deformacija:
Zimski semestar, 2009
(1) + jedn. Kompatibilnosti:
Dif. Jed. Rav. + zbrajanje i uvrst. u
bez vol. sila
2D problem za izotropni material: jednadbe ravnotee niti jedn. Kompatibilnosti ne ovise svoj. Materijala -> raspodjela naprezanje ne ovisi o svojst. Materijala !
-
PRINCIP SUPERPOZICIJEVrijedi samo ukoliko su pomaci i deformacije male
JEDNOZNANOST RJEENJAzadana rubna naprezanja:
Osnovni principi mehanike elastinog kontinuma
Zimski semestar, 2009
zadana rubna naprezanja:rjeenje 1 1 rjeenje 2 21- 2=0 - nema vol. sileu protivnom residual
zadani rubni pomaci:rjeenje 1 u1 rjeenje 2 u2u1- u2=0
ST. VENAN-OV PRINCIP
-
Razliiti pristupi pri rjeavanu osnovnih jednadbi teorije elastinosti:
Rjeenje rubnog problema se svodi na odredjivanje pomaka, deformacija i naprezanja za zadanerubne uvjete. Openito, na raspolaganju nam stoje 15 jednadbi koje se mogu svesti na 3 odnosno 6.
Postoje razne metode za rjeavanje diferencijalnih jednadbi -- intuitivno ili bazirano na sistematskom pristupu.
Metode:
1. inverzne metoderjeenje se pretpostavi tako da zadovoljava sve dif. jednadbe kao i rubne uvjete
2. semi-inverzne metode
Zimski semestar, 2009
2. semi-inverzne metodepretpostavi se polje pomaka ili naprezanja ili oboje a onda se nastoje rijeiti dif. jednadbe ravnotee i zadovoljiti rubne uvjete
3. metode potencijalaispituje se potencijal vezan uz rijeenje Navier-ovih jednadbi ilionaj vezan uz naprezanja
4. variacione metoderjeenje se dobiva minimiziranjem izraza za energiju. Izbjegnut problemrjeavanja dif. jednadbi elastinosti.
Rijeenja problema elastinosti primjenom funkcije naprezanja odn. funkcije pomaka
-
Volumenske sile funkcije potencijala :
AIRY-jeva funkcija naprezanja (ravninsko stanje naprezanja)
Uvrtavanjem u jed. ravnotee i kompatibilnosti dobiva se:
Zimski semestar, 2009
Gornje 3 jed. mogu se dalje reducirati ako se naprezanje izrazi preko jedne funkcije (x,y) Airy-jeva funkcija naprezanje:
-
Jednadba kompatibilnosti preko (x,y):
Za konstantne ili nepostojee vol. sile : (biharmonijska jednadba)
Forma Airy-jeve funkcije
Zimski semestar, 2009
Forma Airy-jeve funkcije
Openito polinom koji zadovoljava biharmonijsku jed. i poznate rubne uvjete !
Za ravninsko naprezanje i X=0, Y=0 :
-
Da bi zadovoljili rubne uvjete najopenitija kombinacija:
Biharmonijska jednadba nakon uvrtavanja gornje funkcije naprezanja:
Zimski semestar, 2009
U praksi se obino koriste polinomi nizeg reda jer za veinu problema rubni uvjeti se mogu zadovoljiti takvim izborom funkcije naprezanja !
-
PRIMJER
Zimski semestar, 2009