2. predavanja

Osnovne jednadbe elastinosti za deformabilna tijela

Zadatak:za zadanu geometriju i rubne uvjete potrebno je odrediti pomake, deformacije, naprezanja te reaktivne sile.

Da bi za openiti sluaj (3D) u svakoj toki kontinuuma odredili 3 komponente pomaka, 6 komponenti deformacija i naprezanja, stoje nam na raspolaganju: 3 jednadbe ravnotee,6 veza izmedju pomaka i deformacija i 6 veza izmedju naprezanja i deformacija. Osim

Zimski semestar, 2009

6 veza izmedju pomaka i deformacija i 6 veza izmedju naprezanja i deformacija. Osim toga, poznate su i jednadbe kompatibilnosti koje osiguravaju jedinstvenost rijeenja.

Ukupno 15 nepoznatih i 15 jednadbi !

Tri vrste rubnih problema za odredjivanje integracionih konstanti:1. Volumenske sile i povrinske sile2. Volumenske sile i pomaci po povrini3. Volumenske sile, pomaci i sile po povrini

Jednadbe treba pojednostavniti, odnosno prilagoditi problemu, npr. ako su poznata rubna naprezanje potrebno je sve jednadbe izraziti u naprezanjima i obrnuto.

Naprezanja kao funkcija pomaka

6 veza izmedju pomaka i deformacija kombinirana s 6 veza izmedju naprezanja i deformacija daje 6 jednadbi veze naprezanje-pomak. Zajedno sa 3 jednadbe ravnotee mogue je odrediti 3 nepoznata pomaka i 6 nepoznatih komponenti naprezanja.


Ako su zadana optereenja po rubu tada se mora zadovoljiti:

Jednadbe ravnotee kao funkcija pomakaKoritenjem jed. ravnotee i veze izmedju naprezanja i pomaka dolazi se do 3 jednadbe poznate kao Navier-ove jednadbe ravnotee.


Jednadbe kompatibilnosti kao funkcija naprezanjaDa bi rijeili problem rubnih uvjeta u sluaju kada su zadana rubna naprezanjekorisno je izraziti jednadbe kompatibilnosti u funkciji naprezanja jednadbe ravnotee+naprezanje-deformacija+kompatibilnost (Beltrami-Michell-ove jednadbekompatibilnosti).


Specijalni sluajevi jednadbi elastinostiRavninsko stanje naprezanja:

(1) Naprezanje - deformacija:

(2) Jednadbe ravnotee:


(3) Veza deformacija - pomak:

(4) Jednadba kompatibilnosti:

bez vol. sila

Ravninsko stanje deformacija:

(1) Naprezanje - deformacija:


(1) + jedn. Kompatibilnosti:

Dif. Jed. Rav. + zbrajanje i uvrst. u

bez vol. sila

2D problem za izotropni material: jednadbe ravnotee niti jedn. Kompatibilnosti ne ovise svoj. Materijala -> raspodjela naprezanje ne ovisi o svojst. Materijala !

PRINCIP SUPERPOZICIJEVrijedi samo ukoliko su pomaci i deformacije male

JEDNOZNANOST RJEENJAzadana rubna naprezanja:

Osnovni principi mehanike elastinog kontinuma


zadana rubna naprezanja:rjeenje 1 1 rjeenje 2 21- 2=0 - nema vol. sileu protivnom residual

zadani rubni pomaci:rjeenje 1 u1 rjeenje 2 u2u1- u2=0

ST. VENAN-OV PRINCIP

Razliiti pristupi pri rjeavanu osnovnih jednadbi teorije elastinosti:

Rjeenje rubnog problema se svodi na odredjivanje pomaka, deformacija i naprezanja za zadanerubne uvjete. Openito, na raspolaganju nam stoje 15 jednadbi koje se mogu svesti na 3 odnosno 6.

Postoje razne metode za rjeavanje diferencijalnih jednadbi -- intuitivno ili bazirano na sistematskom pristupu.

Metode:

1. inverzne metoderjeenje se pretpostavi tako da zadovoljava sve dif. jednadbe kao i rubne uvjete

2. semi-inverzne metode


2. semi-inverzne metodepretpostavi se polje pomaka ili naprezanja ili oboje a onda se nastoje rijeiti dif. jednadbe ravnotee i zadovoljiti rubne uvjete

3. metode potencijalaispituje se potencijal vezan uz rijeenje Navier-ovih jednadbi ilionaj vezan uz naprezanja

4. variacione metoderjeenje se dobiva minimiziranjem izraza za energiju. Izbjegnut problemrjeavanja dif. jednadbi elastinosti.

Rijeenja problema elastinosti primjenom funkcije naprezanja odn. funkcije pomaka

Volumenske sile funkcije potencijala :

AIRY-jeva funkcija naprezanja (ravninsko stanje naprezanja)

Uvrtavanjem u jed. ravnotee i kompatibilnosti dobiva se:


Gornje 3 jed. mogu se dalje reducirati ako se naprezanje izrazi preko jedne funkcije (x,y) Airy-jeva funkcija naprezanje:

Jednadba kompatibilnosti preko (x,y):

Za konstantne ili nepostojee vol. sile : (biharmonijska jednadba)

Forma Airy-jeve funkcije


Forma Airy-jeve funkcije

Openito polinom koji zadovoljava biharmonijsku jed. i poznate rubne uvjete !

Za ravninsko naprezanje i X=0, Y=0 :

Da bi zadovoljili rubne uvjete najopenitija kombinacija:

Biharmonijska jednadba nakon uvrtavanja gornje funkcije naprezanja:


U praksi se obino koriste polinomi nizeg reda jer za veinu problema rubni uvjeti se mogu zadovoljiti takvim izborom funkcije naprezanja !

PRIMJER


2. predavanja

Documents