2 - metode i analize linearnih sistema.doc

SEMINARSKI RAD

Тема:Metode i analize linearnih sistema

Student: Profesori:Željko Milovančević 143/2005 Prof.dr Radomir Slavković Mr Ivan Milićević

Metode i analize linearnih sistema Željko Milovančević 143/2005

METODE ANALIZE LINEARNIH SISTEMA

Odziv sistema na poznatu pobudnu funkciju se koristi za identifikaciju dinamičkog sistema. Ovako se mogu formirati sledeće funkcionalne zavisnosti:

▪ Odziv sistema na pobudu odskočne funkcije,▪ Odziv sistema na pobudu impulsne funkcije,▪ Funkcija prelaznog stanja,▪ Prenosna funkcija,▪ Karakteristika učestanosti kao stacionarni odziv ns harmonijsku

pobudnu funkciju (metoda frekventnog odziva).

Dovoljno je odrediti jednu od ovih zavisnosti za određivanje ostalih jer između njih postoje određene relacije.

TEST FUKCIJE

Prilikom ispitivanja ponašanja elementarnog sistema koristimo metodu koja se sastoji u tome da se na ulaz u sistem dovede poznata ulazna veličina, a na osnovu izlazne veličine odnosno odziva iz sistema se zaključuje o ponašanju sistema. Te poznate ulazne veličine su test funkcije (funkcije pobude).

Odskočna funkcija

Odskočna funkcija je definisana relacijom:

x(t) = xoσ(t)

xo – konstantna amplitudaσ(t) – jedinična odskočna funkcija

za

specijalno kada je na ulazu xo = 1 imamo jediničnu odskočnu funkciju ili jedinični odskočni ulaz:

x(t) = σ(t)

Fakultet tehničkih nauka Čačak 2


Slika 1. Odskočna funkcija

Ova funkcija je najčešće korišćena test funkcija. Poseban značaj ima odskočni odziv na jediničnu odskočnu funkciju kojim se definiše prelazna karakteristika (vremenska karakteristika) ispitivanog sistema. Odskočni odziv y(t) je reakcija linearnog elementa na odskočni ulazni signal x(t) = xoσ(t).

Prelazna karakteristika je odziv sistema na jediničnu odskočnu funkciju.

Impulsna funkcija

Pravougaoni impuls može da se generiše sa dva odskočna signala jednakih amplituda ali različitih znaka koji su međusobno pomereni za vreme Δt, kao što je to prikazano na slici 2.

Slika 2. Impulsni signal i generisanje impulsnog signala

Pravougaoni impuls definiše se relacijama:



za

ilix(t) = xo[σ (t) - σ (t - Δt)]

uzrok ili ulaz prenosnog elementa, dat u obliku pravougaonog impulsa nastalog od dve međusobno pomerene odskočne funkcije ima dejstvo ili impulsni odziv u obliku dva međusobno pomerena odskočna odziva:

y(t) = xo[h (t) - h (t - Δt)]

Funkcija jediničnog impulsa ili Dirakova funkcijaJedinični impuls dobija se kada je išrafirana površina na slici jednaka jedinici, odnosno iz relacije:

U graničnom slučaju, kada Δt →0, dobija se na ulazu funkcija jediničnog impulsa:

, gde je

za

Funkcija δ(t) naziva se funkcija jediničnog impulsa ili Dirakova δ – funkcija.Kako je kod Dirakove funkcije x0Δt = 1 biće:

Nagibna funkcija

Pored odskočne i jedinične impulsne funkcije, kao test funkcija koristi se nagibna funkcija. Tu funkciju definiše integral jedinične odskočne funkcije:



Slika 3. Nagibna funkcija

Odziv na ulaznu nagibnu funkciju jednak je integralu odziva odskočne funkcije:

Međusobne relacije test funkcija

Neka je u opštem slučaju data jedinična odskočna funkcija prema slici 1 (treći slučaj):

za

Prema definiciji biće u tom slučaju nagibna funkcija:

za

Funkcija jediničnog impulsa glasi:

Slika 4. Jedinična nagibna funkcija sa kašnjenjem



Veze test funkcija i odziva

S obzirom da se odziv uz pomoć prenosne funkcije G(p) može izraziti u obliku:Y(p) = G(p) · X(p)

Laplasove transformacije X(p) test funkcija δ(t), σ(t) i r(t) jednake su:

L[δ(t)] = 1; L[σ(t)] = 1/p; L[r(t)] = 1/p2

Pa su odgovarajući odzivi sistema na:

▪ Dirakovu funkciju:Y(p) = G(p) X(p) = 1;

▪ Jediničnu odskočnu funkciju:

Y(p) = G(p) X(p) = ,

▪ Nagibnu funkciju:

.

METOD FREKVENTNOG ODZIVA

Frekventni odziv sistema

Pod frekventnim odzivom podrazumeva se stacionarni odziv sistema na sinusni ulazni signal.U opštem slučaju primenom L – transformacije na funkciju f(t) dobija se funkcija F(p) u domenu kompleksne promenljive :

Za povratak u vremenski domen potrebno je da izvršimo inverznu L – transformaciju.

Laplasova i Furijeva transformacija daju iste rezultate ako je funkcija f(t) definisana samo za i ako he kompleksna promenljiva . Na osnovu definicije prenosne funkcije G(p), odziv sistema u domenu kompleksne promenljive p daje relacija:

Y(p) = G(p)X(p).



Kako je često puta vrlo zametno određivanje integrala analizu ponašanja sistema vršimo na jčešće zadržavajući se u domenu učestanosti. Metod analize sistema u domenu učestanosti naziva se metod frekventnog odziva.

Karakteristika učestanosti i prenosna funkcija

Pored navedenih test funkcija značajno mesto u proučavanju dinamike sistema zauzima harmonijska funkcija kao test funkcija. Poznato je da ulazni harmonijski signal prouzrokuje takođe harmonijski odziv stabilnog linearnog sistema. Izlazni signal osciluje sa učestanošću ulaznog signala (prinudne oscilacije) ali sa amplitudom i fazom koje se razlikuju od ulaznog signala.

Ulazni signal: Izlazni signal:

Za svaku učestanost ω, odnos B/A imaće svoju konkretnu brojnu vrednost koju nazivamo faktor pojačavanja. 0značićemo odnos amplituda sa:

Zavisnost odnosa amplituda izlaznog i ulaznog signala, C(ω), od učestanosti ω nazivamo amplitudna karakteristika.Zavisnost faznog pomeranja Φ(ω) između ulaznog i izlaznog harmonijskog signala od učestanosti nazivamo fazna karakteristlka.Kriva koja povezuje tačke čije su koordinate odnos amplituda izlaznog i ulaznog signala C(ω) i fazno pomeranje Φ(ω) za različite kružne učestanosti ω definiše karakteristiku učestanosti ili frekventnu karakteristiku.Za slučaj pobuđivanja sistema kompleksnim signalom na izlazu iz sistema pojavljuje se kompleksni signal. Realni deo izlaznog kompleksnog signala predstavlja efekat dejstva realnog dela ulaznog signala, a imaginarni deo predstavlja efekat dejstva imaginarnog dela ulaznog signala.



Slika 5. Karakteristika učestanosti

Trigonometrijska ili polarna reprezentacija kompleksnog broja slede uz primene Ojlerove jednačine:

- Amplitudno frekventna karakteristika

- Fazno frekventna karakteristika

Polarni dijagram karakteristike učestanosti

Kriva karakteristike učestanosti analitički se određuje na sledeći način:

Vrši se sračunavanje kompleksne funkcije G(jω) za različite kružne učestanosti. Vektor apsolutne vrednosti prenosne funkcije G(jω) i argument Φ(ω) u kompleksnoj brojnoj ravni definiše krivu karakteristike učestanosti.

Polarni dljagram karakteristike učestanosti dobijamo kao geometrijsko mesto tačaka svih vrhova vektora G(jω) sa argumentom Φ(ω) kada se ω menja od 0 do ∞,

0 < ω < ∞

Tako predstavljen grafik najčešće se naziva amplitudno - fazna karakteristika.

Logritamski prikaz karakteristike učestanosti



Prikazivanje karakteristike učestanosti u polarnom dijagramu je često vrlo zametan posao. Problem se prevazilazi logaritmovanjem karakteristike učestanosti i grafičkim prikazivanjem logaritma amplitudne karakteristike log│G(jω)│ kao funkcije logaritma kružne učestanosti (češće odnosa učestanosti), odnosno fazne karakteristike Φ(ω) u funkciji od logaritma kružne učestanosti. Na taj način se formiraju amplitudna i fazna karakteristika, koje se zajedno prlkazane nazivaju karakteristike učestanosti ili bode-dijagram. S obzirom na svoju jednostavnost, pomenuti način prikazivanja karakteristika učestanosti ima izuzetno široku primenu u izučavanju tehničkih sistema automatskog upravljanja.

- razlika broja nula i polova u koordinatnom početku

Stavljajući da je p = jω dobija se karakteristika učestanosti

Logaritamski faktor pojačavanja (A) sistema u decibelima (db) definiše se kao:

Tđ - vremenska konstanta prethođenjaTi - vremenska konstanta kašnjenjakb- predstavlja konstantu pojačavanja sistema (B – Bode pojačavanje)



Sledi da je logaritamski faktor pojačavanja sistema, kao odnos izlaznog i ulaznog signala, jednak algebarskom zbiru logaritamskih faktora pojačavanja svih činitelja karakteristike učestanosti. Moduli činitelja u brojiocu imaju znak "+", dok moduli činitelja u imeniocu imaju znak "-".

Fazni ugao sračunavamo iz relacije:

Bode dijagrami za tipčne prenosne funkcije

Prenosna funkcija obično sadrži činitelje oblika:

i

Razmotrićemo ove slučajeve:

1. k = const

Logaritamski faktor pojačavanja iznosi:

Slika 6. Logaritamski faktor pojačanja

2. Funkcija

Za biće nagib prave je 20db po dekadi



Za imamo

Nagib je -20db.

3. Funkcija

Za ekskponent +N nagib prave je +20N│db│Za –N nagib prave je -20N│db│.

Slika 7. Amplitudna karakteristika

Amplitudna i fazna karakteristika za G(jω) =(jω)±1 i G(jω) =(jω)±2

() = 900N zа G(jω) = (jω)N

() = - 900N zа G(jω) = (jω)-N

4. Funkcija

a)Zа G(j)= (1+ jωT) biće: Adb =20 log1+ jωT = 20 log1+ ω2 T21/2=

10log 1+ (ωT)2

Zа ωT << 1 G = 10 log 1 = 0db

Zа ωT = 1 G = 10 log 2 = 3db

Zа ωT >> 1 G = 10 log (T)2= 20log (T) db

Fazno pomeranje sračunavamo iz relacije



() = arctgT

Slika 8. Amplitudna karakteristika funkcije G(jω) =(1 + jωT)

Slika 9. Fazna karakteristika funkcije G(jω) =(1 + jωT)

b)

Zа G(j) = (1+ j) -1 bićе: Adb =20 log = 20 log =

-10log 1+(T)2Zа T << 1 A= -10 log 1 = 0 dbZа T = 1 A= -10 log 2 = -3 dbZа T >> 1 A= -10 log (T)2 = -20log(T)

G(j) =

tg = , = arctg ( - T)



Slika 10. Karakteristika učestanosti funkcije

Slika 11. Amplitudna karakteristika funkcije

5. Funkcija G(j) = 1 + 2Đ -1

Vidi se da se asimptota krive amplitudne karakteristike poklapa sa apscisnom

osom za jer je . Za asimptota је prava

nagiba – 40 db jer je .

Fazni ugao φ se menja od 0○ do 180○. Na slici prikazane su amplitudna i fazna karakteristika funkcije G(jω).

Rezonantnu učestanost ωr određujemo iz izraza .



Ako uvedemo zamenu dobija se .

Iz izraza dobija se rezonantna učestanost:

Nyquist-ov dijagramNyquistov dijagram predstavlja grafik karakteristike učestanosti G(jw),

koji se dobi ja kao geometrijsko mesto tačaka svih vrhova vektora G(ju) sa argumentom F (w) kada se w menja od 0 do oo i od -oo do 0,

Radi se o proširenju polarnog dijagrama karakteristike učestanosti i na negativne vrednosti w.

Iako su negativne vrednosti za u čista matematička apstrakcija, Nyquistov dijagram ima veliki značaj pri proučavanju stabilnosti zatvorenih sistema upravljanja.

Grafik krive G(jw) za negativne vrednosti u (od –oo do 0) simetričan je polarnom dijagramu karakteristike učestanosti G(jw). Oba grafika formiraju zatvorenu krivu.

NYQUIST-OV DIJAGRAM FUNKCIJE G(jw) =

Slika 12. Nyquist-ov dijagram karakteristike učestanosti


2 - metode i analize linearnih sistema.doc

Documents