2 HORAS

4. ECUACIONES Y SISTEMAS DE

ECUACIONES

“Dios no juega a dados con el universo. ” ALBERT EINSTEIN

https://www.youtube.com/watch?v=pgyg6U6IBk8 ; IMPORTANCIA MATEMATICAS PARA LA VIDA BID

https://www.youtube.com/watch?v=Rx4UF7OasKA ; TRADUCIENDO LA VIDA COTIDIANA AL ALGEBRA

https://www.youtube.com/watch?v=ztjnizXgfl4 ; ¿Y para qué sirve el Álgebra? - microclase

ECUACIONES

• DEFINICIÓN.

UNA ECUACIÓN ES UNA IGUALDAD MATEMÁTICA ENTRE DOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS1, EN LAS QUE APARECEN VALORES CONOCIDOS O DATOS, Y DESCONOCIDOS O INCÓGNITAS, RELACIONADOS MEDIANTE OPERACIONES MATEMÁTICAS. LOS VALORES CONOCIDOS PUEDEN SER NÚMEROS, COEFICIENTES O CONSTANTES; Y LOS VALORES DESCONOCIDOS SUELEN ESTAR REPRESENTADOS POR LETRAS (GENERALMENTE SE UTILIZAN A,B,C,X,Y,Z PARA REPRESENTAR LA INCÓGNITA DE LA ECUACIÓN PERO PUEDE UTILIZARSE CUALQUIER LETRA DEL ABECEDARIO), LA INCÓGNITA ES EL VALOR QUE SE PRETENDE HALLAR EN LA ECUACIÓN.

EJEMPLOS :

1. ; ECUACIÓN

PRIMER MIEMBRO DE LA IGUALDAD : ; SEGUNDO MIEMBRO DE LA IGUALDAD :

2. ; ECUACIÓN

PRIMER MIEMBRO DE LA IGUALDAD : ; SEGUNDO MIEMBRO DE LA IGUALDAD : 1 . UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ES UNA COMBINACIÓN DE LETRAS, NÚMEROS Y SIGNOS DE OPERACIONES. LAS LETRAS SUELEN REPRESENTAR CANTIDADES DESCONOCIDAS Y SE DENOMINAN VARIABLES O INCÓGNITAS. LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS NOS PERMITEN TRADUCIR AL LENGUAJE MATEMÁTICO EXPRESIONES DEL LENGUAJE HABITUAL

EN LOS EJEMPLOS ANTERIORES SE OBSERVA QUE TANTO Y SON LAS INCÓGNITAS DE LA ECUACIÓN, MIENTRAS QUE LOS COEFICIENTES - Y LOS NÚMEROS SON CONSTANTES CONOCIDAS.

LA IGUALDAD PLANTEADA POR UNA ECUACIÓN SERÁ CIERTA O FALSA DEPENDIENDO DE LOS VALORES NUMÉRICOS QUE TOMEN LAS INCÓGNITAS; DE ESTA MANERA SE PUEDE AFIRMAR QUE UNA ECUACIÓN ES UNA IGUALDAD CONDICIONAL, EN LA QUE SÓLO CIERTOS VALORES DE LAS VARIABLES (INCÓGNITAS) LA HACEN CIERTA.

SE LLAMA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN A CUALQUIER VALOR INDIVIDUAL DE DICHAS VARIABLES QUE LA SATISFAGA. PARA EL CASO DE LOS EJEMPLOS ANTERIORES , LA SOLUCIÓN ES:

Y

RESOLVER UNA ECUACIÓN ES ENCONTRAR SU DOMINIO SOLUCIÓN, QUE ES EL CONJUNTO DE VALORES DE LAS INCÓGNITAS PARA LOS CUALES LA IGUALDAD SE CUMPLE. POR LO GENERAL, LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS PUEDEN EXPRESARSE EN FORMA DE UNA O MÁS ECUACIONES; SIN EMBARGO NO TODAS LAS ECUACIONES TIENEN SOLUCIÓN, YA QUE ES POSIBLE QUE NO EXISTA NINGÚN VALOR DE LA INCÓGNITA QUE HAGA CIERTA UNA IGUALDAD DADA. EN ESE CASO, EL CONJUNTO DE SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN SERÁ VACÍO Y SE DICE QUE LA ECUACIÓN NO ES RESOLUBLE. DE IGUAL MODO, PUEDE TENER UN ÚNICO VALOR, O VARIOS, O INCLUSO INFINITOS VALORES, SIENDO CADA UNO DE ELLOS UNA SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN. SI CUALQUIER VALOR DE LA INCÓGNITA HACE CUMPLIR LA IGUALDAD (ESTO ES, NO EXISTE NINGÚN VALOR PARA EL CUAL NO SE CUMPLA) LA ECUACIÓN ES EN REALIDAD UNA IDENTIDAD.

TIPOS DE ECUACIONESLAS ECUACIONES SE CLASIFICAN SEGÚN EL CONJUNTO DE NÚMEROS SOBRE EL QUE SE BUSCA SOLUCIÓN Y EL TIPO DE OPERACIONES NECESARIAS PARA DEFINIRLAS:

• ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE O LINEALES• ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE O CUADRÁTICA• ECUACIONES RACIONALES

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

SE LLAMA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE A TODA ECUACIÓN CON LA FORMA:

DONDE

PARA PODER RESOLVER ESTE TIPO DE ECUACIONES HAY QUE TENER EN CUANTA LOS SIGUIENTES PASOS :

i. SE DESARROLLAN LOS PARÉNTESIS Y/O CORCHETES SI EXISTEN EN LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO.ii. SE EFECTÚAN LAS OPERACIONES QUE SE INDIQUEN EN LA ECUACIÓN.iii. SE AGRUPAN EN UNO DE LOS DOS MIEMBROS TODAS LAS LOS TÉRMINOS QUE CONTENGAN VARIABLES

Y EN OTRO MIEMBRO LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES (NÚMEROS O CONSTANTES). iv. SE REDUCEN A LA MINIMA EXPRESIÓN LOS TÉRMINOS SEMEJANTES EN AMBOS MIEMBROS ( IZQ Y

DER).v. SE DESPEJA LA ÚNICA VARIABLE DE LA ECUACIÓN.vi. VERIFIQUE EL RESULTADO, REMPLAZANDO EL VALOR DE LA VARIABLE ENCONTRADO EN LA ECUACIÓN

ORIGINAL.

EJEMPLO:

vii. RESOLVER LOS PARENTESIS iii. AGRUPANDO LOS TÉRMINOS, EN AMBOS MIEMBROS

OBSERVEMOS QUE CUANDO EL TÉRMINO AL PASAR AL OTRO ii. EFECTUANDO OPERACIONES MIEMBRO LO HACE CON SIGNO CONTRARIO. LO QUE SE LOGRA AL SUMAR A AMBOS LADO DE LA ECUACIÓN.

iv. REDUCIENDO LOS TERMINOS SEMEJANTES AHORA COMO ES UNA IGUALDAD PODEMOS MULTIPLICAR AMBOS LADOS DE ESTA (CADA MIEMBRO), POR -1 , ASÍ SE OBTIENE: ES DECIR, EL VALOR DE LA VARIABLE O INCOGNITA AL RESOLVER LA ECUACIÓN ES :

PARA CERTIFICAR QUE ESTA ES LA SOLUCIÓN SE REMPLAZA EL VALOR DE X EN AMBOS LADO DE LA IGUALDAD Y Y EL RESULTADO DE CADA MIEMBRO TIENE QUE SER EL MISMO.

REMPLAZANDO ,

TALLER ECUACIONES PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

SOLUCION TALLER

SOLUCION TALLER

SOLUCION TALLER

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE O CUADRATICA

UNA ECUACIÓN CUADRATICA O DE SEGUNDO GRADO CON UNICA VARIABLE ES AQUELLA DE LA :

DONDE

LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO SE PUEDEN RESOLVER UTILIZANDO LA FACTORIZACIÓN, LA FORMULA GENERAL :

, Y LA PROPIEDAD BÁSICA DE LOS NÚMEROS REALES : .

ESTO SIGNIFICA QUE SI PODEMOS FACTORIZAR EL LADO IZQUIERDO DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO, ENTONCES LA RESOLVEMOS IGUALANDO A CERO CADA UNO DE LOS FACTORES. ESTE MÉTODO SOLO SE PUEDE APLICAR CUANDO EL LADO DERECHO DE LA ECUACIÓN ES CERO.

: SI Y SOLO SI

PARA QUE SEA UN NÙMERO REAL , ES DECIR POSITIVO

EJEMPLO:

RESOLVER LA ECUACIÓN , RESOLVER UNA ECUACIÓN ES DETERMINAR EL VALOR O LOS VALORES DE

LA VARIABLE, EN ESTE CASO .

SOLUCIÓN:

1- MÉTODO ECUACIÓN CUADRÁTICALLEVEMOS LA ECUACIÓN A LA FORMA , DE TAL MANERA QUE EL LADO DERECHO DE LA ECUACIÓN SEA CERO.

UTILIZANDO LA FORMULA GENERAL SE IDENTIFICAN EN PRIMER LUGAR . PARA ESTE CASO: , LUEGO SE PROCEDE A REMPLAZAR ESTOS VALORES EN LA FORMULA GENERAL Y

SE OBTIENEN 2 VALORES PARA .

, DONDE

PARA

RESOLVIENDO LAS OPERACIONES CON PARÉNTESIS :

, LOS VALORES DE

(PUDE VERIFICAR RESULTADO REMPLAZANDO LOS VALORES )

1- MÉTODO FACTORIZACIÓN

SE LLEVA LA ECUACIÓN , A LA FORMA , DE TAL MANERA QUE EL LADO DERECHO DE LA ECUACIÓN SEA CERO.

ESTO SE HACE SUMANDO A AMBOS LADOS DE LA ECUACIÓN Y SE OBTIENE : FACTORIZANDO EL LADO IZQUIERDO DE LA ECUACIÓN. PARA LA FACTORIACIÓN SE BUSCAN 2 NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS DEN -24 Y SUMADOS +5.

APLICANDO LA PROPIEDAD SI SOLO SI ó .

, DESPEJANDO

ó

, DESPEJANDO

SE PUEDE OBSERVAR QUE POR AMBOS METODOS SE LLEGA AL MISMO RESULTADO.

TALLER ECUACIONES SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE

RESOLVER MEDIANTE METODO ECUACION CUADRATICA

SOLUCION TALLER

SOLUCION TALLER

SOLUCION TALLER

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

REALICE LOS EJERCICIOS DEL TALLER POR EL METODO DE FACTORIZACION

ECUACIONES RACIONALES CON UNA VARIABLE

UNA ECUACIÓN RACIONAL ES AQUELLA DONDE APARECEN FRACCIONES POLINÓMICAS

PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN RACIONAL SE MULTIPLICAN AMBOS MIEMBROS DE LA ECUACIÓN POR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE LOS DENOMINADORES

TALLER ECUACIONES RACIONALES

SOLUCION TALLER

GRACIAS POR SU ATENCION