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Introduction
Électronique numérique ou digitale (microprocesseurs, ordinateurs, calculatrices, …) etl’électronique analogique (radio, télévision, amplificateurs,…). Interface : les convertisseurs numériques-analogiques (CNA) et les convertisseurs analogiques-numériques (CAN).
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Objet du cours
Etudier les circuits logiques combinatoires opposés aux circuits logiques séquentiels.
Acquérir les méthodes d’analyse des systèmes combinatoires. Ceci implique :
savoir lire un schéma technologique,savoir mettre en équation certaines variables,connaître les fonctions disponibles dans la bibliothèque des circuits intégrés (de la simple porte au réseau logique programmable).
x1
x2x3
xn
ENTREES
SORTIE
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Algèbre de boole
1.1. Variable booléenneUne variable booléenne (ou bivalente) est une variable susceptible de prendre deux valeurs (“0” ou “1”) représentant les deux états uniques de l’élément qu’elle représente.
Proposition Vraie – FausseInterrupteur Ouvert – FerméRéponse Oui – NonHaut-Bas H – L
En électronique, les variables sont des niveaux de tension (VH > VL) ou des niveaux de courant (IH > IL). On définit alors deux logiques :- logique positive VH = “1” VL = “0”- logique négative VH = “0” VL = “1”
Il n’y a pas toujours correspondance entre Vrai-Faux et “1”-“0”.
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Algèbre de boole
1.2. Structure booléenneUn ensemble B d’éléments a une structure algébrique de BOOLE s’il est muni de 2 opérations
internes notées (+ ) et (x) possédant les propriétés suivantes :
a) les opérations + et x sont commutatives et associatives,
b) l’opération + admet un élément neutre (“0”),
l’opération x admet un élément neutre (“1”),
c) chacune des 2 opérations internes est distributive par rapport à l’autre,
d) pour tout élément Y appartenant à B, il existe un élément inverse noté Y
appartenant à B et tel que : 1YY =+ et 0YY =×
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Algèbre de boole
1.3. Principe de dualité
Il y a une symétrie complète entre les 2 opérations + et x munies de leurs éléments neutres.
C’est à dire que de toute propriété valable entre les éléments de B, on peut déduire une autre
propriété appelée duale de la première, en interchangeant + et x d’une part, et “0” et “1”
d’autre part.
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Algèbre de boole
1.4. Propriétés remarquables1.4.1. Propriétés pour « une »variable
Soit Y une variable booléenne appartenant à B,
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+=+=+=+=+
1YY
YYYY0YY0
11YY1
DUALE
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×
=×=×=×=×=×
0YY
YYYY1YY100YY0
et YY =
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Algèbre de boole
1.4. Propriétés remarquables1.4.2. Propriétés pour « plusieurs » variables
a) Associativité : ZT)(YT)(ZYTZ)(YTZY ++=++=++=++
b) Distributivité : - du produit/somme : YTYZT)ZY +=++ (
- de la somme/produit : T)Z)(YYZTY ++=+ (
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Algèbre de boole1.4. Propriétés remarquables
1.4.3. Axiomatique de l’algèbre de BOOLEThéorème 1 : Absorption AABA =+
Théorème 2 : Implication BBAAAB =+⇔= Théorème 3 : Adjacence
ABA(BBAAB =+=+ ) Théorème 4 : Consensus
BABAA +=+
Théorème 5 : Lois de DE MORGAN LL +++= CBAB.C.A. « le complément d’un produit est égal à la somme des compléments » LL +=+++ C.BACBA .. « le complément d’une somme est égal au produit des compléments »
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Algèbre de boole1.5. Table de vérité
Avant d’entamer la synthèse d’un problème combinatoire, il est souvent nécessaire de
visualiser dans un tableau l’état de la sortie (ou des différentes sorties) pour toutes les
combinaisons possibles des variables d’entrée (numérotée suivant l’ordre binaire).
Exemple : Tracer la table de vérité qui visualise les deux équations suivantes :
- Admission SI Moyenne ET PAS de note éliminatoire,
- Pas admission SI note éliminatoire OU PAS la moyenne.
Moyenne Note éliminatoire Admission
0 F F F
1 F V F
2 V F V
3 V V F V :Vrai F :Faux
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Codes binaires
En informatique et en automatique : transfert des informations sous une forme binaire.
Diversité des informations ⇒ codes différents destinés à répondre à des exigences spécifiques.
ExemplesNumération : binaire pur, binaire réfléchi, BCD (Binaire Codé Décimal) etc …
Informations alphanumériques : ASCII, ISO, …
Fiabiliser la transmission d’informations : codes auto-vérificateurscodes auto-correcteurs
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Codes binaires
Terminologie en numération
DECIMAL CODE 1 CODE 2codage transcodage
décodage
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Circuit logique
4.1. Généralités
CIRCUITLOGIQUE
Circuit logique = assemblage d’opérateurs logiques
Rôle du circuit : résoudre un problème logique portant sur un ensemble de variables d’entrée booléennes (les variables de sortie sont aussi booléennes).
Opérateurs logiques
- suivent les règles de l’algèbre de BOOLE
- représentation symbolique indépendante de la technologie
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Circuit logique
4.2. Opérateurs logiques élémentaires
4.2.1.Opérateur OU
Somme booléenne de 2 ou n variables bivalentes
Table de vérité
Elle résume les propriétés de la fonction OU (inclusif) sur 2 variables :
YXS +=
X Y S
0 0 0
0 1 1 S=1 si : OU X, OU Y, OU les 2 sont égaux à 1.
1 0 1
1 1 1
X
YS
>=10
0
0
X
YSReprésentation symbolique
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Circuit logique
4.2. Opérateurs logiques élémentaires
4.2.2.Opérateur ET
Produit booléen de 2 ou n variables bivalentes
Table de vérité
Elle résume les propriétés de la fonction ET sur 2 variables :
Y.XP =
X Y P
0 0 0
0 1 0 P=1 si : ET X, ET Y sont égaux à 1.
1 0 0
1 1 1 X
YP
X
Y
&0
0
0
PReprésentation symbolique
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Circuit logique
4.2. Opérateurs logiques élémentaires
4.2.3. Inversion
Table de vérité
X X
0 1
1 0
XX1
XX
Représentation symbolique
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Circuit logique
4.2. Opérateurs logiques élémentaires
4.2.4.Opérateur NOR (ou NI)
Table de véritéYXN +=
X Y N
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
NXY N
>=10
0
0
X
Y
Représentation symbolique
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Circuit logique
Remarque : une équation booléenne écrite sous la forme d’un produit de termes-somme peut se représenter par un ensemble de NOR.
Exemple :
)yx()yx()yx()yx)(yx)(yx(FF
)yx)(yx)(yx(F
+++++=+++==
+++=
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Circuit logique
4.2. Opérateurs logiques élémentaires
4.2.5.Opérateur NAND (ou NON ET)
Table de véritéY.XM =
X Y M
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
MX
YN
>=10
0
0
X
Y
Représentation symbolique
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Circuit logique
Remarque : une équation booléenne écrite sous la forme d’une somme de termes-produit peut se représenter par un ensemble de NAND.
Exemple
z.y.xz.y.xz.y.xz.y.xz.y.xz.y.xz.y.xz.y.xGG
z.y.xz.y.xz.y.xz.y.xG
⋅⋅⋅=+++==
+++=
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20
Circuit logique
4.2. Opérateurs logiques élémentaires
4.2.6.Opérateur OU Exclusif
Ce n’est pas un opérateur de base comme les précédents ; cependant, comme il est simple et qu’il apparaît souvent dans les équations booléennes, un symbolisme particulier lui a été réservé.
Table de vérité
YXYXYX +=⊕
X Y YX⊕0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
X
YYX⊕
X
YYX⊕
=10
0
0Représentation symbolique
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Circuit logique
Remarque
fonction comparateur ou ET inclusif, car
YXXYYXYX +=⊕=⊗
1YX =⊗ si X=Y
Représentation symbolique
X
Y
=0
0
0 YX⊗X
YYX⊗
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Circuit logique
4.3. Autres symboles des portes
4.3.1.Opérateur OU
En remarquant que S=0, si X=0 ET Y=0
Rappel Représentation équivalente
X
YS
>=10
0
0
X
YS
S=(XY)(L)X(L)
Y(L)
X Y S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
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Circuit logique
4.3. Autres symboles des portes
4.3.2.Opérateur ET
En remarquant que P=0, si X=0 OU Y=0
Rappel Représentation équivalente
X
YP
X
Y
&0
0
0
P
P=(X+Y)(L)X(L)
Y(L)
X Y P
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
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Circuit logique
4.3. Autres symboles des portes
4.3.3.Opérateur NOR
En remarquant que N=1, si X=0 ET Y=0
Rappel Représentation équivalente
NXY
N>=10
0
0
X
Y
N=(XY)(H)X(L)
Y(L)
X Y N
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
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Circuit logique
4.3. Autres symboles des portes
4.3.4.Opérateur NAND
En remarquant que M=1, si X=0 OU Y=0
Rappel Représentation équivalente
MX
Y
N>=10
0
0
X
Y
M=(X+Y)(H)X(L)
Y(L)
X Y M
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Circuit logique
ExempleComparons les 2 schémas strictement équivalents du point de vue équation logique
Seul le schéma de droite permet de connaître instantanément la fonction
réalisée, ainsi que le niveau actif de la sortie :
Sauf impossibilité, une variable active à l’état bas est connectée à une
entrée précédée d’un rond inverseur.
A
C
B F
A
C
B F
)H)(BCAB()H(F +=
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Circuit logique
Exemple
Construction d’un schéma logique
Réaliser la synthèse de la fonction
sachant que les entrées disponibles sont A, B et C actives au niveau haut et que la
sortie est active au niveau bas.
CABAF +=
A
C
BF
A
1 OU, 2 ET, 2 inverseurs