1Escuela Normal Superior 2ª5ª Matematica Prof: PIGINOPolígonos

Son figuras planas cuyo contorno está formado por trazos rectos. En todo polígono hay por lo menos tres ángulos . Etimológicamente la palabra esta formada así: poli = muchos; gonos = ángulos.

Poligono convexo: Cuando al prolongar cualquiera de sus lados, queda toda la figura en un mismo semiplano.

Polígono cóncavo: Los que no cumplen la propiedad anterior

Los elementos de un polígono convexo son:

Vértices: A - B - C - D                  ___       ____      ____       ____    ____                                                Lados:       AB,         BC,       CD;         DE,      EA                                                                                          ^          ^               ^                  ^              ^                                              Angulos interiores:     A    -      B      -       C       -         D    -         E                                             ^             ^               ^                  ^                ^      Angulos exteriores:          α     -      β      -        δ        -          ε        -       γ                               ___       ____      ____       ____    ____             

Diagonales:         AC;      AD;         BD;       BE;      CE

Clasificación: Polígonos regulares: todos sus ángulos y lados son iguales.

Polígonos irregulares: no tienen iguales todos sus ángulos y todos sus ángulos.

Clasificación según el número de lados

Número de lados

Nombre del polígono

3 triángulo4 cuadrilátero5 pentágono6 hexágono7 heptágono8 octógono9 eneágono

2Escuela Normal Superior 2ª5ª Matematica Prof: PIGINO

10 decágono11 endecágono12 dodecágono15 pentedecágono20 icoságono

Ángulos interiores de un polígono: La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a dos rectos por el número de lados.

2 rectos . ( n - 2 )

Ejemplo: Calcular la suma de los ángulos interiores de un octógono

Como en este caso n = 8 Suma áng. int. octógono = 2 rectos . ( 8 - 2 ) = 2 rectos . 6 = 12 rectos

Como 1 recto = 90º

Suma de los ángulos interiores de un octógono = 12 . 90º = 1080º

Ángulos exteriores de un polígono: La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 4 rectos

Suma de los ángulos exteriores = 4 rectos

Ejercicios Polígonos

A) Calcular el valor de cada ángulo interior de un:

1) pentágono regular 2) octógono regular 3)decágono regular 4) icoságono regular

B) Calcular el valor de cada ángulo exterior de un:

1) hexágono regular 2) eneágono regular 3) dodecágono regular 4) pentadecágono regular

C) Calcular el número total de diagonales de un:

1) cuadrilátero 2) pentágono 3) hexágono 4) undecágono 5) eneágono

Calcular el número de lados de los siguientes polígonos si la suma de sus ángulos interiores mide:

1) 1980º 2) 900º 3) 1620º 4) 1260º

Calcular el número de lados de los siguientes polígonos regulares si el valor de cada ángulo interior es de:

1) 140º 2) 162º 3) 156º 4) 150º 5) 140º

Hallar el número de lados de un polígono regular si el valor de cada ángulo externo es:

1) 45º 2) 72º 3) 40º 4) 60º

3Escuela Normal Superior 2ª5ª Matematica Prof: PIGINOCuadriláteros: Paralelogramo: Se llama paralelogramo al cuadrilátero que tiene 2 pares de lados opuestos paralelos.

       ab //   cd   y  bc  //   ad      

Propiedades

1. En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales.      __     __       __        ___                                                                         ab =    cd   y   bc  =    ad    

2. En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales.  ^       ^           ^             ^                               a  =    c     y      b     =      d  

3. En todo paralelogramo las diagonales se cortan en su punto medio.      __     __       __        ___                                                                      ao =   oc  y   bo  =    od                                                                                    

Rombo: Se llama rombo al paralelogramo que tiene sus 4 lados iguales.

Propiedades

a) Por ser paralelogramo, en el rombo, se verifican las propiedades de dicha figura.

b) Propiedades específicas del rombo

Las diagonales del rombo se cortan perpendicularmente en su punto medio y son bisectrices de los ángulos opuestos.       __     __       __        ___                                                                      ao =   oc  y   bo  =    od 

__  _                                                                            ac ⊥bd  

  __                          ^            ^                                     ac   bisectriz de      a     y      c                        

 bd  bisectriz de      b     y      d                        

Rectángulo : Se llama rectángulo al paralelogramo que tiene sus 4 águlos rectos

^        ^           ^             ^                               a  =    b    =     c     =      d   =      90º    

Propiedad específica del rectángulo: Las diagonales del rectángulo son iguales

Cuadrado : Se llama cuadrado al paralelogramo que tiene sus 4 lados iguales y sus 4 ángulos rectos

       __     __       __    ___           ^        ^           ^             ^                                                                       ab =   bc  =   cd  = da     a  =    b    =     c     =      d   

4Escuela Normal Superior 2ª5ª Matematica Prof: PIGINOPropiedades: El cuadrado es a su vez paralelogramo, rectángulo y rombo, por lo tanto, en él se verifican todas las propiedades de dichas figuras.

Romboide : Se llama romboide al cuadrilátero que tiene 2 lados consecutivos iguales, y, los otros 2 lados distintos de los anteriores pero iguales entre sí.

               __     __       __      ___                                                                   ab =  ad y   cd =    cb            

Propiedades

a) Los ángulos formados por lados consecutivos diferentes son iguales

^        ^                                       a  =    c    

b) La diagonal principal del romboide corta perpendicularmente a la otra en su punto medio y es bisectriz de los ángulos opuestos.

    __     __      __    ___                                                                     ac bd  ; do  =  ob  

 ___                            ^                 ^                  ac       bisectriz de       a      y         c                

Trapecio: Se llama trapecio al cuadrilátero que tiene un sólo par de lados opuestos paralelos.

___              ____                                  ab        //       cd

Esos lados paralelos se llaman bases

____                                          ____            ab          base menor                cd           base mayor

Trapecio rectángulo:                                      

Tiene 2 ángulos rectos  ^                       ^                                                                a       =              c

Trapecio isósceles       

a) Tiene los lados no paralelos iguales

ab        =      cd

b) Tiene los ángulos adyacentes a las bases iguales

 ^                    ^                                                                a       =          d

5Escuela Normal Superior 2ª5ª Matematica Prof: PIGINO ^                    ^                                                                b       =          c

Trapecio escaleno: Tiene los 4 lados diferentes.

Base media

Se llama base media al segmento determinado por los puntos medios de los lados opuestos.

Base media del paralelogramo

___         //     ____             _____      //       ____        mn         =      bc          y       mn        =        ad

Base media del trapecio

          

La base media del trapecio es paralela a las bases e igual a su semisuma.

   ___             ____             _____            ____        mn         //    bc          y       mn        //      ad         

___                                 mn    =               bc + ad             =                          2

Ejercicios

Cuadriláteros

1) En el paralelogramo abcd:         ^                                                                                                     a  = 56º Calcular los 4 ángulos

2) En el rombo   abcd:

6Escuela Normal Superior 2ª5ª Matematica Prof: PIGINO        ^                                  cbd = 39º 40´ Calcular los 4 ángulos

3) Trapecio isósceles

  ^                                                ^      a =    x   +     12º                      b =   x   +    28º     Calcular los 4 ángulos

4) Trapecio isósceles  

      -----                                               ------      ab =    3x   -   7 cm                        cd    =     2x   +    2cm

Calcular

      -----                ------       ab        y         cd

5)  Romboide

          -----                                               ------                     ab      =     x                                  ad      =    2x – 3 Perímetro = 30 cm Calcular los 4 lados

6)   Romboide

          ^                    ^                           ^           a  = 3x            b = 2x                  d = x Calcular los 4 ángulos

7) Calcular   la superficie de un trapecio sabiendo que la base mayor es de 105 m, la base menor es de 7,2 dam y la altura de 3 800 cm. Expresar el resultado en m2

8) Calcular los ángulos del trapecio isósceles abcd sabiendo que:^           ^      b = 3x + 30º a = 3/2x - 30º

8) Si el perímetro de un romboide es de 64 cm y dos de sus lados desiguales miden respectivamente 2x y 3x + 2 . Calcular los 4 lados.

9) El perímetro de un trapecio isósceles es de 40 cmla base mayor = 2 xla base menor = x - 2La base media = x + 4Calcular los 4 lados

10) Calcular el perímetro de un romboide abcd sabiendo que:

        -----                                       -------                                       --------        ab      =    2x                        ad         = 3x + 2                        cd         = 4x - 7      

CUADRILÁTEROS

7Escuela Normal Superior 2ª5ª Matematica Prof: PIGINOCLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS. La clasificación más extendida es atendiendo al paralelismo de sus lados,  se tiene:

CUADRILÁTEROS

CONVEXOS

Dos pares de lados paralelos ParalelogramosDos lados paralelos y los otros dos no paralelos Trapecios

Ningún lado paralelo Trapezoides o simplemente cuadriláteros.

    C

U

A

1.-PARALELOGRAMO Lados paralelos dos a dos

PARALE

RECTÁNGULOParalelogramo que tiene los 4 ángulos iguales.

Esto es cuatro ángulos rectos.

CUADRADO Tiene lados iguales y ángulos iguales.

Tiene cuatro ángulos rectos, y por tanto es un rectángulo.

8Escuela Normal Superior 2ª5ª Matematica Prof: PIGINO

D

R

I

L

Á

T

LOGR

Cuadrilátero regular.

Tiene cuatro lados iguales y en consecuencia es un rombo.

ROMBO Paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales.

2.-TRAPECIODos de sus lados, (normalmente llamados bases) son  paralelos.

TRAPECIOS

TRAPECIO RECTÁNGULO

Un lado perpendicular a las bases.O bienTiene dos ángulos rectos.

TRAPECIO ISÓSCELES Los lados no paralelos son de igual longitud.

TRAPECIO ESCALENOA veces encontramos la nomenclatura de trapecio escaleno, para referirse a los no rectángulos ni isósceles. Me parece innecesario. Llamémosle trapecio, sin apellidos.

3.-TRAPEZOIDEAlgunos libros denominan así a los cuadriláteros que no tienen lados paralelos.

En mi opinión sobra este nombre. Es un cuadrilátero, sin más.

ROMBOIDE **oCOMETA** Hay autores que denominan Romboide al paralelogramo que no es ni rectángulo ni rombo.

Cuadrilátero con dos pares de lados consecutivos iguales.

Se debe a  Rey Pastor la utilización de la palabra Romboide para referirse a esta figura.

Existe un caso particular especialmente interesante, el romboide o cometa que tiene dos ángulos rectos. Desconozco si tiene nombre especifico, me permito llamarle romboide rectángulo.

Entre otras propiedades, este romboide es inscriptible y circunscriptible.

Clasificación de los CuadriláterosDe acuerdo al paralelismo de sus lados, podemos clasificar los cuadriláteros en:

9Escuela Normal Superior 2ª5ª Matematica Prof: PIGINO

1. Paralelogramos: tienen dos pares de lados paralelos.2. Trapecios: tienen un par de lados paralelos.3. Trapezoides: son los cuadriláteros que no tienen lados paralelos.

3.2.1. Construir un cuadrado conociendo el lado.

OPERACIONES:

1. Se coloca el lado a (lado del cuadrado que se da como dato) en la posición de la base. 2. Desde los extremos del lado a, se trazan dos perpendiculares. 3. Mediante dos arcos, se lleva el lado a sobre las perpendiculares. 4. Se unen los cuatro puntos y se obtiene el cuadrado pedido.

3.2.2. Construir un cuadrado conociendo su diagonal d.

OPERACIONES:

1. Sobre un punto cualquiera se trazan dos rectas perpendiculares entre si: recta r y recta s. 2. Se traza la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas r y s. 3. Sobre la bisectriz se lleva la diagonal. 4. Desde este punto se trazan paralelas a las rectas r y s. 5. Utilizando estos puntos, se construye el cuadrado.

10Escuela Normal Superior 2ª5ª Matematica Prof: PIGINO

3.2.3. Construir un rectángulo conocidos los lados.

OPERACIONES:

1. Sobre una recta cualquiera r se coloca un lado del rectángulo, por ejemplo el lado a. 2. Sobre un extremo del lado a (por ejemplo el punto A) se traza una recta s perpendicular a este lado y,

sobre la perpendicular, se lleva el lado b. 3. Desde el otro extremo del lado a (punto B) se traza un arco de radio b. 4. Desde el punto D (extremo del lado b) se traza un arco de radio igual al lado a. 5. Se unen los cuatro puntos y se obtiene el rectángulo.

3.2.4. Construir un rectángulo conocidos la diagonal y un lado.

OPERACIONES:

1. Se coloca la diagonal d (segmento AB) sobre una recta cualquiera r. 2. Se halla el punto medio M de la diagonal y se traza una circunferencia que pase por sus extremos

(puntos A y C). 3. Desde A y C se trazan dos arcos de radio a. 4. Se unen los puntos hallados (B y D), con los extremos de la diagonal (A y C), y se obtiene el

rectángulo.

11Escuela Normal Superior 2ª5ª Matematica Prof: PIGINO

3.2.5. Construir un rombo conocidos una diagonal y su lado.

OPERACIONES:

1. Se coloca la diagonal sobre una recta r cualquiera. Se obtienen los puntos A y C. 2. Con el lado a como radio, se trazan dos arcos desde A y C. Obtenemos los puntos B y D. 3. Se unen los extremos de la diagonal (A y C) con los puntos hallados (B y D) y se obtiene el rombo.

12Escuela Normal Superior 2ª5ª Matematica Prof: PIGINO3.2.6. Construir un romboide conocidos los lados y la altura.

OPERACIONES:

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca el lado AB. 2. Se traza una perpendicular al lado AB en uno de sus extremos (por ejemplo, en B) y se lleva la altura h.

3. Por el punto 1 se traza una paralela a lado AB. Desde los extremos A y B, se trazan dos arcos, de radio BC.

4. Se unen los puntos A, B, C y D y se obtiene el romboide.

3.2.7. Construir un trapecio recto conocidos sus lados paralelos y la altura.

OPERACIONES:

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca la base AB. 2. Se traza una perpendicular a AB en uno de sus extremos (por ejemplo en A) y se lleva la altura h. 3. Por D se traza una paralela a AB y se lleva la base superior CD. 4. Se unen los puntos A, B, C y D y se obtiene el trapecio recto.