1º eso unidad 6

6 EL LENGUAJE ALGEBRAICO. ECUACIONES

E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S

El perímetro de un rectángulo viene dado por la expresión: 2 � x � 2 · y (x: largo; y: ancho). Calcula elperímetro de cualquier rectángulo; el que tú elijas.

Respuesta abierta, por ejemplo, el perímetro de la tabla de una mesa de 1,2 metros de largo y 90 centímetros de ancho:

P � 2 � x � 2 � y � 2 � 1,2 � 2 � 0,9 � 2,4 � 1,8 � 4,2 m

El perímetro de la mesa mide 4,2 metros.

Expresa en lenguaje algebraico.

a) El número natural anterior al número n.b) El doble de un número.c) El tercio de un número.d) El cuadrado de un número menos el mismo número.

a) n � 1 b) 2n c) �3x

� d) y 2 � y

Lee correctamente las siguientes expresiones algebraicas y escribe las frases correspondientes.a) a � x c) a2 � y 2 e) (x � y)2

b) 2y d) (a � y)2 f) (2p)3

a) Diferencia de dos númerosb) Doble de un númeroc) Diferencia de los cuadrados de dos númerosd) Cuadrado de la diferencia de dos númerose) Cuadrado de la suma de dos númerosf) Cubo del doble de un número

Escribe la expresión algebraica de las siguientes frases.a) La diferencia de a y b.b) La diferencia del doble de a y del doble de b.c) El doble de la suma de a y b.

a) a � bb) 2a � 2bc) 2(a � b)

Calcula el valor numérico de 5a2 � b2.a) Para a � 1 y b � 2.b) Para a � 4 y b � 10.

a) 5 � 12 � 22 � 5 � 4 � 9b) 5 � 42 � 102 � 80 � 100 � 180

Indica cuál de los números siguientes es el valor numérico de la expresión x 2 � 3x � 5, para x � �1.a) 10 b) �10 c) 9 d) 7

Para x � �1, el valor numérico es: (�1)2 � 3 � (�1) � 5 � 1 � 3 � 5 � 9

Opera las siguientes expresiones algebraicas:a) a2 � 3a2 b) 4b3 � 2b3 c) 4x � 3x

a) a2 � 3a2 � 4a2 b) 4b3 � 2b3 � 2b3 c) 4x � 3x � x

6.7

6.6

6.5

6.4

6.3

6.2

6.1


Explica por qué cada una de estas expresiones no se puede reducir.a) 2y 2 � y b) a � b c) 5p3 � 5q3

a) Porque la letra y tiene distintos exponentes.b) Porque son distintas letras.c) Porque las letras son distintas.

Una tarifa de taxis viene dada por esta fórmula y � 1,95 � 0,75 � x, siendo x los kilómetros recorridose y el coste del servicio.a) ¿Qué significa 1,95 y 0,75 en la fórmula?b) Halla el coste de un recorrido de 5 kilómetros.

a) 1,95 euros es el coste de la bajada de bandera, y 0,75 euros, el coste por kilómetro recorrido.b) y � 1,95 � 0,75 � 5 � 5,70 €

Una empresa de alquiler de coches cobra 97 euros por día y 0,13 euros por kilómetro recorrido. Expre-sa mediante una fórmula el coste del alquiler c de un día, llamando x a los kilómetros recorridos.

c � 97,00 � 0,13 � x

Halla el valor numérico de los dos miembros de la igualdad.x � 3x � 2 � 5x para x � 1

¿Teniendo en cuenta el resultado puedes afirmar que es una identidad?

x � 3x � 2 � 1 � 3 � 1 � 2 � 25x � 5 � 1 � 5No es una identidad porque no se verifica para todos los valores de x; por ejemplo, para x � 1 no se verifica.

Razona si las siguientes igualdades son o no identidades.a) 12x � 3x � 9x c) 3x � 6 � 15 � 2x � 25b) 4x � 5 � 3x � 2 � x � 7 d) 2x � 2y � 2z � 2(x � y � z)

a) Es una identidad, porque al operar el primer miembro se obtiene 9x, que es idéntico al segundo miembro.b) Es una identidad, porque al operar el primer miembro se obtiene x � 7, que es idéntico al segundo miembro.c) No es una identidad, pues al reducir el primer miembro se obtiene 3x � 9, que no es idéntico al segundo.d) Es una identidad, pues al aplicar la propiedad distributiva en el segundo miembro se obtiene una expresión idéntica a la del

primer miembro.

Copia las siguientes expresiones y rellena con el signo igual (�) o distinto (�), según corresponda.a) 12 � 2 � 10 d) 8 � 5 � 40b) 25 � 2 � 21 � 1 e) 20 � 4 � 2 � 32c) 8 � 6 � 18 � 5 � 1 f) 2 � 5 � 2 � 16 � 2

a) 12 � 2 � 10 d) 8 � 5 � 40b) 25 � 2 � 21 � 1 e) 20 � 4 � 2 � 32c) 8 � 6 � 18 � 5 � 1 f) 2 � 5 � 2 � 16 � 2

6.13

6.12

6.11

6.10

6.9

6.8


Encuentra la condición que debe cumplir la letra para que se verifiquen cada una de las siguientesecuaciones.

a) x � 2 � 8 d) 4 � x � 10 � 2b) a � 2 � 6 e) 4r � 20c) 5 � x � 3 f) 14 � y � 4

a) x � 6 b) a � 8 c) x � �2 d) x � 4 e) r � 5 f) y � �10

¿Las siguientes ecuaciones son equivalentes?a) x � 4 � 8 b) x � 4 � 5 c) x � 4 � 2 � 8 � 2 d) x � 8 � �4

Son equivalentes las ecuaciones a y d porque tienen la misma solución, x � 4.La b no es equivalente a las anteriores porque tiene distinta solución: x � 1

Escribe tres ecuaciones que sean equivalentes entre sí.

Respuesta abierta, por ejemplo:

4x � x � 8 � x 5x � x � 6 � 2 x � 2

Las tres ecuaciones son equivalentes porque tienen la misma solución, x � 2.

Resuelve las siguientes ecuaciones.a) x � 7 � 7 � 12 c) 24 � x � 6 � 50 � 6b) 5 � x � 12 � 25 � 5 d) 17 � 3 � x � 5 � 3

Como son ecuaciones sencillas, se puede calcular mentalmente el valor de la incógnita:a) x � 12 b) x � 13 c) x � 38 d) x � 12

Aplica la regla de la suma para hallar el valor de x.a) 7x � 6 � x � 8 � 5x b) 6x � 2 � 4x � 9 � x � 8 c) 3 � 4x � �7 � 5x � 1

a) 7x � 6 � x � 8 � 5xSe resta 5x: 2x � 6 � x � 8Se resta x: x � 6 � 8Se suma 6: x � 14

b) 6x � 2 � 4x � 9 � x � 8Se resta x: 5x � 2 � 4x � 17Se resta 2: 5x � 4x � 15Se resta: x � 15

c) 3 � 4x � �7 � 5x � 1Se resta 4x: 3 � �7 � x � 1Se suma: 3 � �8 � xSe suma 8: 11 � x

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) —34x— � 24 b) —

52x— � 2 � 20 � 2

a) �34x� � 24 b) �

52x� � 2 � 20 � 2

Se multiplica por 4: 3x � 96 Se multiplica por 2: 5x � 4 � 40 � 4Se divide entre 3: x � 32 Se resta 4: 5x � 40

Se divide entre 5: x � 8

6.19

6.18

6.17

6.16

6.15

6.14


Halla el valor de x.

a) 3x � 4 � 24 � x b) —53x— � 7 � —

23x— � 25

a) 3x � 4 � 24 � x b) �53x� � 7 � �

23x� � 25

Se suma x: 4x � 4 � 24 Se multiplica por 3: 5x � 21 � 2x � 75Se suma 4: 4x � 28 Se resta 2x: 3x � 21 � 75Se divide entre 4: x � 7 Se resta 21: 3x � 54

Se divide entre 3: x � 18

Resuelve esta ecuación.3(x � 6) � 5(2 � x) � 10 � 4(6 � 2x)

Se suprimen paréntesis: 3x � 18 � 10 � 5x � 10 � 24 � 8xSe opera para reducir términos: �2x � 28 � �14 � 8xSe suma 8x: 6x � 28 � �14Se resta 28: 6x � �42Se divide entre 6: x � �7

Resuelve esta ecuación.

—10x

2� 55— � 10x � —

95 �

210x—

Se multiplica por 2: 10x � 55 � 20x � 95 � 10xSe opera 20x � 10x: 10x � 55 � 30x � 95Se resta 30x: �20x � 55 � �95Se suma 55: �20x � �40Se divide entre �20: x � 2

6.22

6.21

6.20


R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S

El doble de mi edad más 15 es la edad de mi padre que tiene 39 años. ¿Cuántos años tengo?

Ecuación: 2x � 15 � 392x � 15 � 15 � 39 � 152x � 24x � 12

Tengo 12 años.

En una clase de 27 alumnos hay 5 chicas más que chicos. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay?

Ecuación: x � x � 5 � 272x � 5 � 272x � 5 � 5 � 27 � 52x � 22x � 11

Hay 11 chicos y 16 chicas.

Daniel tiene ahora 8 años más que su hermana Cristina, pero dentro de 4 años la edad de Daniel seráel doble de la de Cristina. ¿Cuántos años tiene cada uno?

Ecuación: x � 8 � 4 � 2(x � 4)x � 12 � 2x � 8x � 12 � 12 � 2x � 8 � 12x � 2x � 4x � 4 � 2x � 4 � 4x � 4 � 2xx � 4 � x � 2x � x4 � x ⇒ x � 8 � 4 � 8 � 12

Dentro de 4 años, Cristina tendrá 8 años, y Daniel, 16, que es el doble de 8.

6.25

6.24

6.23

Interpretación del enunciado Lenguaje algebraico

¿Cuántos años tengo? x

El doble de mi edad 2x

El doble de mi edad más 15 2x � 15

Es igual a la edad de mi padre: 39 años 2x � 15 � 39


Número de chicos x

Hay 5 chicas más que chicos x � 5

El total de alumnos es 27 x � x � 5 � 39


Edad de Cristina ahora x

Daniel tiene ahora 8 años más que Cristina x � 8

Dentro de 4 años la edad de Cristina será x � 4

Dentro de 4 años la edad de Daniel será x � 8 � 4

Dentro de 4 años la edad de Daniel será el doble de la de Cristina x � 8 � 4 � 2 � (x � 4)


C Á L C U L O M E N T A L

Determina cuáles de las siguientes expresiones son igualdades.

a) 2 � 3 � 5

b) 1 � 6 � 8c) 2 � 3 � 1 � 3 � 2 f) 21 � 4 � 2 � 42

d) 6 � 3 � 6 � 3 � 8 g) (1 � 5) � 3 � 52 � 7

a) 2 � 3 � 5

b) 1 � 6 � 8c) 2 � 3 � 1 � 3 � 2 f) 21 � 4 � 2 � 42

d) 6 � 3 � 6 � 3 � 8 g) (1 � 5) � 3 � 52 � 7

Encuentra el valor que tiene que tomar cada letra para que se verifiquen las siguientes igualdades.

a) y � 2 � 8 c) t � 5 � 35 e) x + 2 � 3

b) x � 2 � 6 d) z � 10 � 5 f) p � 15 � 5

a) y � 6 c) t � 40 e) x � 1

b) x � 4 d) z � 15 f) p � 20

Resuelve estas ecuaciones.

a) c � 6 � �1 c) �t � 2 � 3 e) 1 � x � 4

b) q � 100 � 400 d) �y � 7 � 3 f) 15 � d � 12

a) c � 5 c) t = �1 e) x � 3

b) q � 500 d) y � 4 f) d � 3

Halla el valor de la incógnita en cada ecuación.

a) 4x = 20 c) 9z � 45 e) 4p � 44 g) 75 � 25x i) 5a � 45b) 16 = 4y d) 100 � 10x f) 20 � 10t h) 9q � 90 j) 4x � �20

a) x � 5 c) z � 5 e) p � 11 g) x � 3 i) a � 9b) y � 4 d) x � 10 f) t � 2 h) q � 10 j) x � �5

Calcula el valor de la incógnita para el cual se verifica la igualdad.

a) �6y � 12 c) 7 � —y2

— e) —x9

— � 11 g) �2 � �—p4

— i) —53

— � �—x3

—

b) �—3t— � 10 d) 5 � —

m5— f) �—

1r— � �3 h) —

m2— � —

12

— j) z � —12

— � —32

—

a) y = �2 c) y � 14 e) x � 99 g) p � 8 i) x � �5b) t = �30 d) m � 25 f) r � 3 h) m � 1 j) z � 2

6.30

6.29

6.28

6.27

6.26

e) 7 � —120— � —

2163—

e) 7 � �120� � �

2163�


E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E

Letras y números

La superficie de un rectángulo es 4 � 2. La de otro rectángulo es 5 � 3. ¿Cómo expresarías la superfi-cie de un rectángulo cualquiera?

Largo x ancho � xy

Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones.

a) El cubo de un número.b) El cuadrado de un número más el doble del mismo.c) Un número más el tercio del mismo.d) Un número par.e) Dos números enteros consecutivos.

a) x3 b) a2 � 2a c) b � �13

�b d) 2n e) n, n � 1

Escribe con letras, números, y el signo igual (�), las siguientes frases.

a) El doble de un número más 3 es igual a 13.b) La mitad de un número es igual a 9.c) El cuadrado de un número es igual a 16.

a) 2x � 3 � 13 b) �2z

� � 9 c) t 2 � 16

Escribe las siguientes operaciones en lenguaje ordinario.

a) y � 3 c) 10 � t e) 3y � 2b) x � 2 d) 3x f) a2

a) Un número más 3.b) Un número menos 2.c) 10 menos un número.d) Triple de un número.e) Triple de un número menos 2.f) Cuadrado de un número.

Calcula los valores numéricos de las expresiones siguientes para x � 1 y para x � �2.

a) 6x � 2 c) 4(1 � x2)

b) 3(x � 1) d) —x2

— � 3x � 1

a) 6 � 1 � 2 � 4 6 � (�2) � 2 � �14b) 3 � (1 � 1) � 0 3 � (�2 � 1) � �9c) 4 � (1 � 12) � 0 4 � [1 � (�2)2] � �12

d) �12

� � 3 � 1 � 1 � �52

� ��22� � 3 � (�2) � 1 � �8

6.35

6.34

6.33

6.32

6.31


Halla el valor de y en las siguientes igualdades para el valor de x indicado.

a) y � 0,5 � 2x para x � 5b) y � 1,75x para x � 6

a) y � 0,5 � 2 � 5 � 10,5b) y � 1,75 � 6 � 10,5

¿Cuál de estas expresiones es una identidad?

a) 4x � 20 b) x � y � 1 c) 3x � 6 � 3(x � 2)

La expresión c es una identidad porque, al aplicar la propiedad distributiva en el segundo miembro, el resultado es idéntico alprimer miembro: 3(x � 2) � 3x � 6.

Para el valor de x indicado, comprueba si se cumple o no la igualdad.

a) 24 � 4x � 4 para x � 5b) 20 � 2x para x � 11c) x � 4 � 20 para x � 24d) 12 � 5x � x � x para x � 1

a) 24 � 4x � 4 ⇒ 24 � 4 � 5 � 4 Sí se cumple la igualdad.b) 20 � 2x ⇒ 20 � 22 No se cumple la igualdad.c) x � 4 � 20 ⇒ 24 � 4 � 20 Sí se cumple la igualdad.d) 12 � 5x � x � x ⇒ 6 � 1 No se cumple la igualdad.

Escribe en lenguaje algebraico.

a) La edad de Carmen dentro de 6 años, si ahora tiene x años.b) La edad de Alberto hace 5 años, si ahora tiene x años.

a) x � 6b) x � 5

Expresa en lenguaje ordinario.

a) —x3

— b) (b � 2)2 c) xz d) x 2 � 2x e) 2a � 3b f) x 2 � y2

a) Tercio de un número.b) Cuadrado de la suma de un número y 2.c) Producto de dos números.d) Diferencia del cuadrado de un número y del doble del mismo.e) Diferencia del doble de un número y del triple de otro númerof) Diferencia del cuadrado de dos números.

Escribe con letras y números y utilizando el signo (�).a) El doble de un número más 5 es igual a 27.b) Un número sumado a 6 es igual a 33.c) Un número más el doble del mismo es igual a 39.

a) 2x � 5 � 27 b) y � 6 � 33 c) z � 2z � 39

6.41

6.40

6.39

6.38

6.37

6.36


Soluciones de una ecuación

Comprueba si el número asignado a x es la solución de la ecuación.a) 2x � 10 � 16 x � 3 d) 10(x � 2) � 1 x � 2b) 10x � 50 x � 5 e) 6x � 2 � 31 � 5x x � 3c) 5x � 10 � 7x � 2 x � 4

a) 16 � 16 ⇒ Sí es la solución. d) 0 � 1 ⇒ No es la solución.b) 50 � 50 ⇒ Sí es la solución. e) 16 � 16 ⇒ Sí es la solución.c) 30 � 30 ⇒ Sí es la solución.

Averigua para cada par de ecuaciones si son equivalentes.a) 2x � 6 � 16 2x � 22b) 5y � 10 � 30 5y � 40

c) —93x— � 6 � —

63x— � 3 3x � 27 � 0

a) Son equivalentes porque tienen la misma solución, x � 11.b) No son equivalentes porque tienen distinta solución, y � 4 e y � 8.c) Son equivalentes porque tienen la misma solución, x � �9.

Resolución de ecuaciones

Aplica la regla de la suma para resolver las siguientes ecuaciones.a) x � 5 � 11 c) �3 � x � 14 e) 3 � x � �1b) 2 � x � 5 d) x � 1 � �2 f) 5 � �x � 2

a) x � 5 � 11 d) x � 1 � �2Se resta 5: x � 6 Se resta 1: x � �3

b) 2 � x � 5 e) 3 � x � �1Se resta 2: x � 3 Se suma x: 3 � �1 � x

Se suma 1: 4 � x

c) �3 � x � 14 f) 5 � �x � 2Se suma 3: x � 17 Se suma x: 5 � x � 2

Se resta 5: x � �3

Aplica la regla del producto para resolver las siguientes ecuaciones.

a) 4x � 8 b) �x � 5 c) —27x— � 4 d) �—

35x— � —

�

1158

—

a) 4x � 8 c) �27x� � 4

Se divide por 4: x � 2 Se multiplica por 7: 2x � 28Se divide por 2: x � 14

b) �x � 5 d) ��35x� � �

�1158

�

Se multiplica por �1: x � �5 Se multiplica por 15: �9x � �18Se divide por �9: x � 2

6.45

6.44

6.43

6.42


Resuelve estas ecuaciones.

a) 5x � 30 � 0 d) —x2

— � �55

b) 3x � 5 � 4 e) —54x— � 3 � 7

c) 6 � 7x � 20 f) —31x0— � 15 � 0

a) 5x � 30 � 05x � 30 � 30 � 30x � 6

b) 3x � 5 � 43x � 5 � 5 � 4 � 53x � 9x � 3

c) 6 � 7x � 206 � 7x � 6 � 20 � 6�7x � 14x � �2


a) 5(2 � x) � 3(x � 6) � 10 � 4(6 � 2x) c) 3(x � 3) � 5(x � 1) � 6x

b) 4(x � 2) � 1 � 5(x � 1) � 3x d) 3(5x � 9) � 3(x � 7) � 11(x � 2) � 7

a) 5(2 � x) � 3(x � 6) � 10 � 4(6 � 2x) c) 3(x � 3) � 5(x � 1) � 6x

10 � 5x � 3x � 18 � 10 � 24 � 8x 3x � 9 � 5x � 5 � 6x�2x � 28 � �14 � 8x 3x � 9 � �5 � x�2x � 28 � 8x � �14 � 8x � 8x 3x � 9 � x � �5 � x � x6x � 28 � �14 4x � 9 � �56x � 28 � 28 � �14 � 28 4x � 9 � 9 � � 5 � 9

�66x� � �

�642� 4x � 4

x � �7 x � 1

b) 4(x � 2) � 1 � 5(x � 1) � 3x d) 3(5x � 9) � 3(x � 7) � 11(x � 2) � 7

4x � 8 � 1 � 5x � 5 � 3x 15x � 27 � 3x � 21 � 11x � 22 � 74x � 7 � 2x � 5 12x � 48 � 11x � 154x � 7 � 2x � 2x � 5 � 2x 12x � 48 � 48 � 11x � 15 � 482x � 7 � 5 12x � 11x � 632x � 7 � 7 � 5 � 7 12x � 11x � 11x � 63 � 11x2x � 12 x � �63x � 6

6.47

6.46

d) �2x

� � �5

�2x

� � 2 � �5 � 2

x � �10

e) �54x� � 3 � 7

4 � �54x� � 4 � 3 � 4 � 7

5x � 12 � 285x � 12 � 12 � 28 � 125x � 40x � 8

f) �13x0� � 15 � 0

10 � �13x0� � 10 � 15 � 0

3x � 150 � 03x � 150 � 150 � �1503x � �150x � �50


Resuelve.

a) —x

�

�

23

— � 4 c) —x

�

�

41

— � 8

b) —x �

33

— � x � 5 d) —123x

— � 2 � —32x— � 4

a) �x

��

23

� � 4

��2(

�

x2� 3)� � 4 � (�2)

x � 3 � �8

x � 3 � 3 � �8 � 3

x � �5

b) �x �

33

� � x � 5

3 � �x �

33

� � 3 � (x � 5)

x � 3 � 3x � 15

x � 3 � 3x � 3x � 15 � 3x

�2x � 3 � 15

�2x � 3 � 3 � 15 � 3

�2x � 12

x � �6

c) �x

��

41

� � 8

�4 � �x

��

41

� � 8 � (�4)

x � 1 � �32

x � 1 � 1 � �32 � 1

x � �31

d) �132x� � 2 � �

32x� � 4

4x � 2 � �32x� � 4

2 � (4x � 2) � 2 � �32x� � 4 � 2

8x � 4 � 3x � 8

8x � 4 � 3x � 3x � 8 � 3x

5x � 4 � 8

5x � 4 � 4 � 8 � 4

5x � 4

�55x� � �

45

�

x � �45

�

6.48



a) —x �

61

— � —x �

34

— � 2 � —14

—

b) —23x— � —

54

— � —x6

— � 7 � 0

c) 3�2x � —12

—� � 2(x � 3) � 7

d) 10x � —95

2� x— � —

10x2� 55—

e) —5x

2� 7— � —

2x3� 4— � —

3x4� 9— � 5

a) �x �

61

� � �x �

34

� � 2 � �14

�

m.c.m.(6, 3, 4) � 12

12 � ��x �6

1� � �

x �3

4�� 12 � �2 � �

14

��2(x � 1) � 4(x � 4) � 24 � 3

2x � 2 � 4x � 16 � 27

�2x � 14 � 27

�2x � 14 � 14 � 27 � 14

�2x � 41

��

22x

� � ��41

2�

x � ��

241�

b) �23x� � �

54

� � �6x

� � 7 � 0

m.c.m. (2, 3, 4) � 12

12 � ��23x� � �

54

� � �6x

� � 7� � 0 � 12

4 � 2x � 3 � 5 � 2x � 12 � 7 � 0

8x � 15 � 2x � 84 � 0

10x � 69 � 0

10x � 69 � 69 � �69

10x � �69

x � ��61

90�

c) 3 � �2x � �12

�� 2 �(x � 3) � 7

6x � �32

� � 2x � 6 � 7

12x � 3 � 4x � 12 � 14

16x � 9 � 14

16x � 9 � 9 � 14 � 9

16x � 5

x � �156�

6.49

d) 10x � �95

2� x� � �

10x2� 55�

20x � (95 � x) � 10x � 55

20x � 95 � x � 10x � 55

21x � 95 � 10x � 55

21x � 95 � 10x � 10x � 55 � 10x

11x � 95 � �55

11x � 95 � 95 � �55 � 95

11x � 40

x � �4101�

e) �5x

2� 7� � �

2x3� 4� � �

3x4� 9� � 5

m.c.m.(2, 3, 4) � 12

12 � �5x

2� 7� � 12 � �

2x3� 4� � 12 � �

3x4� 9� � 12 � 5

6(5x � 7) � 4(2x � 4) � 3(3x � 9) � 60

30x � 42 � 8x � 16 � 9x � 27 � 60

22x � 58 � 9x � 87

22x � 58 � 9x � 9x � 87 � 9x

13x � 58 � 87

13x � 58 � 58 � 87 � 58

13x � 29

x � �2193�


P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R

Tres amigos van a una librería a hacer compras. Juan gasta el doble que Alicia y Ana gasta el triple queAlicia. Si entre los tres gastan 72 euros, ¿cuánto ha gastado cada uno?

Gasto de Alicia: x

Gasto de Juan: 2x

Gasto de Ana: 3x

Gasto total: x � 2x � 3x � 72

Ecuación: x � 2x � 3x � 726x � 72x � 12 ⇒ 2x � 24, 3x � 36

Alicia gasta 12 euros; Juan, 24, y Ana, 36.

Las medidas de la figura vienen dadas en centímetros. El perímetro mide 36 centímetros. Calcula los la-dos de la figura.

Ancho: x

Largo: 2x � 5

Perímetro: 2x � 2 � (2x � 5) � 36

Ecuación: 2x � 2 � (2x � 5) � 362x � 4x � 10 � 366x � 10 � 366x � 10 � 10 � 36 � 106x � 26

�66x� � �

266�

x � 4,33 ⇒ 2x � 5 � 2 � 4,33 � 5 � 13,66

El ancho mide 4,33 centímetros, y el largo, 13,66.

Un grupo de 5 amigos hace una competición con juegos de estrategia. Acuerdan repartir 210 euros enpremios, de modo que a cada uno le correspondan 10 euros más que al que se quede en posición in-mediata inferior. ¿Cuántos euros recibe cada uno?

Número de euros para el que queda en 5.ª posición: xNúmero de euros para el queda en 4.ª posición: x � 10Número de euros para el que queda en 3.ª posición: x � 10 � 10Número de euros para el que queda en 2.ª posición: x � 10 � 10 � 10Número de euros para el que queda en 1.ª posición: x � 10 � 10 � 10 � 10El reparto total es: x � (x � 10) � (x � 10 � 10) � (x � 10 � 10 � 10) � (x � 10 � 10 � 10 � 10) � 210

Ecuación: x � (x � 10) � (x � 10 � 10) � (x � 10 � 10 � 10) � (x � 10 � 10 � 10 � 10) � 210x � x � 10 � x � 20 � x � 30 � x � 40 � 2105x � 100 � 2105x � 100 � 100 � 210 � 1005x � 110x � 22

El 5.º recibe 22 euros; el 4.º, 32; el 3.º, 42; el 2.º, 52, y el 1.º, 62.

6.52

6.51

6.50

Ancho

Doble del ancho + 5


La hermana mayor de Patricia tiene 6 años más que ella. Y su hermana menor tiene 8 años menos queella. Si entre las tres suman 37 años. ¿Cuántos años tiene Patricia?

Edad de Patricia: x

Edad de la hermana mayor: x � 6

Edad de la hermana menor: x � 8

Entre las tres suman: x � x � 6 � x � 8 � 37

Ecuación: x � x � 6 � x � 8 � 37

3x � 2 � 37

3x � 2 � 2 � 37 � 2

3x � 39

x � 13

Patricia tiene 13 años.

El perímetro de un triángulo isósceles mide 20 centímetros. El lado desigual mide la mitad de uno delos lados iguales. ¿Cuánto mide cada lado?

Longitud de uno de los dos lados iguales: x

Longitud del lado desigual: �2x�

Perímetro: x � x � �2x

� � 20

Ecuación: x � x � �2x

� � 20

2x � 2x � x � 40

5x � 40

x � 8 ⇒ �2x

� � 4

Los lados iguales miden 8 centímetros cada uno, y el otro lado, 4 centímetros.

La diferencia de dos números es 10, siendo el menor la sexta parte del mayor. ¿Cuál es el valor de cadauno?

Número mayor: x

Número menor: �6x

�

Diferencia: x � �6x

� � 10

Ecuación: x � �6x

� � 10

6x � x � 60

5x � 60

x � 12 ⇒ �6x

� � 2

El número mayor es 12, y el menor, 2.

6.55

6.54

6.53


El transporte de un tipo de libros se realiza en cajas de igual largo que ancho y de 30 centímetros dealtura. Para reforzar las aristas de cada caja se aplica cinta adhesiva. Para una caja se necesitan 400 cen-tímetros de cinta. ¿Cuánto miden las aristas de una caja?

Altura: 30

Cuatro aristas (en altura): 120

Una arista a lo largo o a lo ancho: x

Ocho aristas a lo largo o a lo ancho: 8x

Longitud de cinta: 120 � 8x � 400

Ecuación: 120 � 8x � 400

120 � 8x � 120 � 400 � 120

8x � 280

x � 35

Las aristas de una caja miden 35, 35 y 30 centímetros.

El doble de las horas del día que han transcurrido es igual al cuádruplo de las horas que quedan portranscurrir. ¿Qué hora es?

Horas transcurridas: x

Horas que quedan por transcurrir: 24 � x

Doble de las horas transcurridas: 2x

Cuádruplo de las horas que quedan por transcurrir: 4 � (24 � x)

Ecuación: 2x � 4 � (24 � x)

2x � 96 � 4x

2x � 4x � 96 � 4x � 4x

6x � 96

x � 16

Son las 16.00.

La suma de tres números consecutivos es igual al doble del mayor más 1. Calcula los números.

Un número: x

Siguiente: x � 1

Siguiente: x � 2

Ecuación: x � x � 1 � x � 2 � 2 � (x � 2) � 1

3x � 3 � 2x � 4 � 1

3x � 3 � 2x � 5

3x � 3 � 2x � 2x � 5 � 2x

x � 3 � 5

x � 3 � 3 � 5 � 3

x = 2 ⇒ x � 1 � 3 x � 2 � 4

Los números son: 2, 3 y 4.

6.58

6.57

6.56


El perímetro de esta pieza mide 38 centímetros. Calcula el valor de los lados desconocidos.

Ecuación: 9 � 2x � 4 � 4 � 5 � 2x � 4 � 38

4x � 26 � 38

4x � 26 � 26 � 38 � 26

4x � 12

x � 3

2x � 2 � 3 � 6 cm

2x � 4 � 2 � 3 � 4 � 10 cm

Los lados desconocidos miden 6 y 10 centímetros.

De una pieza de tela después de haber vendido la mitad, la quinta parte y la décima parte, quedan 20metros. Halla la longitud de una pieza de tela.

Longitud de la pieza de tela: x

Ecuación: x � �2x

� � �5x

� � �1x0� � 20

m.c.m.(2, 5, 10) � 10

10 � x � 10 � �2x

� � 10 � �5x

� � 10 � �1x0� � 10 � 20

10x � 5x � 2x � x � 200

10x � 8x � 200

2x � 200

x � 100

La longitud de una pieza de tela es de 100 metros.

Un segmento que mide 22 centímetros se parte en dos, de modo que una de las partes mide 6 centí-metros más que la otra. ¿Cuánto mide cada trozo?

Longitud de una parte: x

Longitud de la otra parte: 22 � x

Ecuación: x � (22 � x) � 6

x � 22 � x � 6

x � 28 � x

x � x � 28 � x � x

2x � 28

x � 14 ⇒ 22 � x � 22 � 14 � 8

Una parte mide 14 centímetros, y la otra, 8.

6.61

6.60

6.59

9

2x

5

2x + 4


Tres personas se reparten 3 000 euros. Una recibe 65 euros más que otra, y esta 200 euros más que unatercera. ¿Qué dinero recibe cada una?

Dinero recibido por la tercera persona: x

Ecuación: x � (x � 200) � [(x � 200) � 65] � 3 000

x � x � 200 � x � 200 � 65 � 3 000

3x � 465 � 3 000

3x � 465 � 465 � 3 000 � 465

3x � 2 535

x � 845 ⇒ x � 200 � 1 045 x � 200 � 65 � 1 110

Las tres personas reciben 845 euros, 1 045 y 1 110.

Una barra mide 74 centímetros y está pintada de azul y blanco. La longitud pintada de azul es 14 ve-ces mayor que la mitad de la longitud pintada de blanco. Halla la longitud pintada de cada color.

Longitud pintada de blanco: xLongitud pintada de azul: 74 � x

Ecuación: 74 � x � 14 · �2x

�

74 � x � 7x

74 � x � x � 7x � x

74 � 8x

9,25 � x ⇒ 74 � x � 74 � 9,25 � 64,75 cm

La parte pintada de blanco mide 9,25 centímetros, y la pintada de azul, 64,75.

El padre de David tiene el triple de la edad de su hijo, y éste, tiene 24 años menos que su padre. ¿Cuán-tos años tiene cada uno?

Edad del hijo: xEdad del padre: 3x

Ecuación: x � 3x � 24

x � 24 � 3x � 24 � 24

x � 24 � 3x

x � 24 � x � 3x � x

24 � 2x

12 � x ⇒ 3x � 36

David tiene 12 años, y su padre, 36.

En una bolsa hay bolas azules, blancas y rojas. El número de bolas rojas es igual al de bolas blancasmás 14, y hay 6 bolas azules menos que blancas. Si en total hay 98 bolas, halla cuántas bolas hay decada color.

Número de bolas blancas: xNúmero de bolas rojas: x � 14Número de bolas azules: x � 6

Ecuación: x � (x � 14) � (x � 6) � 98

x � x � 14 � x � 6 � 98

3x � 8 � 98

3x � 8 � 8 � 98 � 8

3x � 90

x � 30 ⇒ x + 14 = 30 + 14 = 44 rojas x � 6 � 30 � 6 � 24 azules

Hay 30 bolas blancas, 44 rojas y 24 azules.

6.65

6.64

6.63

6.62


R E F U E R Z O

Letras y números

Escribe en lenguaje matemático las siguientes frases.a) Dos números pares consecutivos.b) La edad dentro de 10 años de una persona que tiene ahora x años.c) La edad hace 1 año de un niño que ahora tiene y años.d) La mitad de un número es igual a 9.e) El perímetro de un cuadrado.

a) 2n, 2n + 2 b) x � 10 c) y � 1 d) �2x

� � 9 e) 4x (x, lado)

Escribe en lenguaje ordinario frases que correspondan a las siguientes expresiones matemáticas.a) x � 1 d) x 2

b) 3x e) (a � b)2

c) x � 1 f) a2 � b2

a) Un número más 1 d) Cuadrado de un númerob) Triple de un número e) Cuadrado de la suma de dos númerosc) Un número menos 1 f) Suma de los cuadrados de dos números

Halla el valor numérico de la expresión algebraica 2t � 6 � —2t— para los valores de 4.

a) t � 1 c) t � 10b) t � �1 d) t � �20

a) 2t � 6 � �2t� � 2 � 1 � 6 � �

12

� � ��72

�

b) 2t � 6 � �2t�� 2 � (�1) � 6 � �

�21� � �2 � 6 � �

12

� � ��127�

c) 2t � 6 � �2t� � 2 � 10 � 6 � 5 � 19

d) 2t � 6 � �2t� � 2 � (�20) � 6 � 10 � �40 � 6 � 10 � �56

Comprueba si se verifican las siguientes ecuaciones para el valor que se indica.a) 5x � 2 � 4 para x � 1b) 4x � x � 5x � 10 para x � �2

a) 3 � 4 ⇒ No se cumple.b) �6 � 0 ⇒ No se cumple.

¿Qué valor hay que asignar a x para que se verifique la ecuación?x � 1 � �x � 1

x � 1

6.70

6.69

6.68

6.67

6.66


Resolución de ecuaciones

Aplica la regla de la suma para resolver las siguientes ecuaciones.a) x � 20 � 32 c) �12 � x � �12b) x � 5 � 12 d) 3 � x � 15

a) x � 20 � 32 c) �12 � x � �12x � 20 � 20 � 32 � 20 �12 � x � 12 � �12 � 12x � 12

b) x � 5 � 12 d) 3 � x � 15x � 5 � 5 � 12 � 5 3 � x � x � 15 � xx � 17 3 � 15 � x

3 � 15 � 15 � x � 15�12 � x

Aplica la regla del producto para resolver las siguientes ecuaciones.

a) 3x � 33 b) —17

— x � 3 c) 57 � �3x d) —43

— x � —25

—

a) 3x � 33 b) �17

�x c) 57 � �3x d) �43

�x � �25

�

�33x� � �

333� 7 � �

17

�x � 3 � 7 ��57

3� � �

��

33x

� 3 � �43

�x � 3 � �25

�

x � 11 x � 21 19 � x 4x � �65

�

5 � 4x � 5 � �65

�

20x � 6

�2200x

� � �260�

x � �130�

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2x � 3 � 5 � 3xb) 9x � 8 � 10x � 7x � 15 � 5x

a) 2x � 3 � 5 � 3x

2x � 3x � 3 � 5 � 3x � 3x

5x � 3 � �5

5x � 3 � 3 � 5 � 3

5x � 2

�55x� � �

25

�

b) 9x � 8 � 10x � 7x � 15 � 5x

19x � 8 � 12x � 15

19x � 8 � 12x � 12x � 15 � 12x

7x � 8 � 15

7x � 8 � 8 � 15 � 8

7x � 7

x � 1

6.73

6.72

6.71


Dos hermanos, Irene y Alejandro, tienen 73 discos. Irene tiene el doble de discos que Alejandro más 1.¿Cuántos discos tiene cada uno?

Número de discos de Alejandro: x

Número de discos de Irene: 73 � x

Ecuación: 73 � x � 2x � 1

73 � x � x � 2x � 1 � x

73 � 3x � 1

73 � 1 � 3x � 1 � 1

72 � 3x

24 � x ⇒ 73 � x � 73 � 24 � 49 discos

Alejandro tiene 24 discos, e Irene, 49.

La edad de Pablo es el doble que la de su hermana Fátima. En total suman 15 años. ¿Qué edad tienecada uno?

Edad de Fátima: x

Edad de Pablo: 2x

Ecuación: x � 2x � 153x � 15x � 5 ⇒ 2x � 10

Fátima tiene 5 años, y Pablo, 10.


a) 5[(x � 4) � 6] � 4(x � 6)

b) 2(x � 3) � 6(5 � x) � 3x � 4

c) 3x � 8 � 5x � 5 � 2(x � 6) � 7x

6.76

6.75

6.74

a) 5[(x � 4) � 6] � 4(x � 6)5[x � 4 � 6] � 4x � 245[x � 2] � 4x � 245x � 10 � 4x � 245x � 10 � 4x � 4x � 24 � 4xx � 10 � 24x � 10 � 10 � 24 � 10x � 14

b) 2(x � 3) � 6(5 � x) � 3x � 42x � 6 � 30 � 6x � 3x � 4�4x � 24 � 3x � 4�4x � 24 � 24 � 3x � 4 � 24�4x � 3x � 28�7x � 28

��

77x

� � ��28

7�

x � �4

c) 3x � 8 � 5x � 5 � 2(x � 6) � 7x�2x � 3 � 2x � 12 � 7x�2x � 3 � �5x � 12�2x � 3 � 5x � �5x � 12 � 5x3x � 3 � 123x � 3 � 3 � 12 � 33x � 9x � 3



a) —43x— � 2(x � 1) � —

x2

— b) —2x

�

�

26

— � x � �5

a) �43x� � 2(x � 1) � �

2x

� b) �2x

��2

6� � x � 5

m.c.m.(2, 3) � 6 (�2) � �2x

��2

6� � (�2) � (x � 5)

6 � �43x� � 6 � 2(x � 1) � 6 � �

2x

� 2x � 6 � �2x � 10

2 � 4x � 12(x � 1) � 3x 2x � 6 � 2x � �2x � 10 � 2x

8x �12x � 12 � 3x 4x � 6 � 10

�4x � 12 � 3x 4x � 6 � 6 � 10 � 6

�4x � 12 � 3x � 3x � 3x 4x � 16

�7x � 12 � 0 x � 4

�7x � 12 � 12 � 0 � 12

�7x � 12

��

77x

� = ��12

7�

x � �172�

6.77


A M P L I A C I Ó N


a) —x �

21

— � —x �

54

— � —x �

43

— � 1 b) —x �

83

— � —x

1�

03

— � —x �

45

— � 1

a) �x �

21

� � �x �

54

� � �x �

43

� � 1 b) �x �

83

� � �x

1�0

3� � �

x �4

5� � 1

m.c.m.(2, 5, 4) � 20 m.c.m.(8, 10, 4) � 40

20 � �x �

21

� � 20 � �x �

54

� � 20 � �x �

43

� � 20 � 1 40 � �x �

83

� � 40 � �x

1�0

3� � 40 � �

x �4

5� � 40 � 1

10 � (x � 1) � 4 � (x � 4) � 5 � (x � 3) � 20 5 � (x � 3) � 4 � (x � 3) � 10 � (x � 5) � 4010x � 10 � 4x � 16 � 5x � 15 � 20 5x � 15 � 4x � 12 � 10x � 50 � 409x � 11 � 20 x � 27 � 10x � 909x � 11 � 11 � 20 � 11 x � 27 � x � 10x � 90 � x9x � 9 27 � 9x � 90x � 1 27 � 90 � 9x � 90 � 90

117 � 9x

�1197

� � �99x�

x � 13

Si tenemos 2 800 euros en billetes de 500 euros y de 100 euros, de manera que el número de estos esel doble que el de los primeros. ¿Cuántos billetes se tienen de cada clase?

Número de billetes de 500 euros: x

Número de billetes de 100 euros: 2x

Ecuación: 500x � (2x) � 100 � 2 800500x � 200x � 2 800700x � 2 800

�770000x

� � �2780000

�

x � 4 ⇒ 2x � 2 � 4 � 8

Tenemos 4 billetes de 500 euros y 8 billetes de 100.

Hace 12 años, la edad de una madre era el cuádruplo de la de su hijo. Sabiendo que la madre tenía 27años cuando nació el hijo. ¿Cuáles son las edades actuales de ambos?

Edad actual del hijo: x

Edad actual de la madre: x � 27

Edad del hijo hace 12 años: x � 12

Edad de la madre hace 12 años: x � 27 � 12

Ecuación: x � 27 � 12 � 4 � (x � 12)x � 15 � 4x � 48x � 15 � x � 4x � 48 � x15 � 3x � 4815 � 48 � 3x63 � 3xx � 21

Edad actual del hijo: 21 años.

Edad actual de la madre: 21 � 27 � 48 años.

La edad actual de la madre es de 48 años, y la del hijo, de 21.

6.80

6.79

6.78


Cervantes nació en el siglo XVI. La suma de las cifras del año de su nacimiento es 17 y la cifra de lasunidades es 7. ¿En qué año nació el autor de El Quijote?

El siglo XVI comprende los años 1500 a 1599, ambos inclusive.

El año es: 15d7, donde d es la cifra de las decenas.

Ecuación: 1 � 5 � d � 7 � 1713 � d � 1713 � d � 13 � 17 � 13d � 4

La cifra de las decenas es 4, luego el año en que nació Cervantes fue el 1547.

Con los baldosines cuadrados que tengo puedo formar un cuadrado y sobran 23. Si formo otro de 1 bal-dosín más por lado, faltan 46. ¿Cuántos baldosines tengo?

Lado del cuadrado: x

Con los baldosines se puede formar un cuadrado y sobran 23: x 2 � 23

Si el lado es x � 1, faltan 46 para completar un cuadrado: (x � 1)2 � 46

Ecuación: x 2 � 23 � (x � 1)2 � 46x 2 � 23 � x 2 � 2x � 1 � 46x 2 � 23 � x 2 � x 2 � 2x � 45 � x 2

23 � 2x � 4523 � 45 � 2x � 45 � 4568 � 2xx � 34 ⇒ x 2 � 23 � 342 � 23 � 1 179

Tengo 1 179 baldosines.

6.82

6.81


P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

El almacénEn un almacén hay cajas marrones, amarillas y blancas, correspondiendo cada color a un tamaño de-terminado. Se almacenan apilando una caja encima de otra.

Una pila formada por 3 cajas marrones alcanza la misma altura que una de 2 amarillas, y una pila de 4cajas marrones y 2 amarillas tiene la misma altura que una de 4 amarillas y una blanca.Si las cajas blancas tienen 50 centímetros de altura, ¿qué altura tienen las demás?

altura 3 cajas marrones � altura 2 cajas amarillas

x � altura de caja marrón

3x � altura 2 cajas amarillas

50 cm � altura caja blanca

Ecuación: 4x � 3x � 6x � 507x � 6x � 507x � 6x � 50x � 50 cm

La altura de la caja marrón es de 50 cm

La altura de la caja amarilla es de 75 cm

Visita al museoLa comisión de actividades extraescolares de un colegio está estudiando las empresas que ofrecenautocares.La empresa Viajes Escolares, S.A., envía la siguiente respuesta comercial.

Averigua el número de autocares de cada tipo del que dispone la empresa

x coches de 50 plazas y 21 � x coches de 40 plazas

50x � 40 � (21 � x) � 970 ⇒ 50x � 840 � 40x � 970 ⇒ 10x � 130 ⇒ x � �11300

� � 13

13 coches de 50 plazas y 8 coches de 40 plazas

6.84

6.83

Autocares:de 40 y de 50 plazas

N.o total de autocares: 21

N.o total de plazas: 970


A U T O E V A L U A C I Ó N

Escribe en lenguaje algebraico estas frases.

a) El triple de un número más la mitad del mismo.b) Un número menos 10 es igual al triple de dicho número.

a) 3x � �2x

� b) x � 10 � 3x

Calcula el valor numérico de la siguiente expresión para x � �3.

1 � x � —6 �

42x

— � 5

Para x � 3: 1 � x � �6 �

42x

� � 5 � 1 � (�3) � �6 � 2

4� (�3)� � 5 � 1 � 3 � �

142� � 5 � 4 � 3 � 5 � 6

Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla de la suma.

a) 5x � 16 � 4x � 2 b) 12x � 6 � 5 � 11x

a) 5x � 16 � 4x � 2 b) 12x � 6 � 5 � 11xx � 16 � 2 12x � 6 � 11x � 5 � 11x � 11xx � 16 � 16 � 2 � 16 x � 6 � 5x � �14 x � 6 � 6 � 5 � 6

x � 11

Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla del producto.

a) 4x � 48 b) —x5

— � 12 c) —�

7x— � 2

a) 4x � 48 b) �5x

� � 12 c) ��7

x� � 2

�44x� � �

448� 5 � �

5x

� � 5 � 12 7 � ��7

x� � 7 � 2

x � 12 x � 60 �x � 14

(�1) � (�x) � (�1) � 14

x � �14


a) 6(x � 1) � 4(x � 2) b) 5(2x � 3) � 3(3x � 6) c) 9(2x � 1) � 3(5x � 3) � 18

a) 6(x � 1) � 4(x � 2) b) 5(2x � 3) � 3(3x � 6) c) 9(2x � 1) � 3(5x � 3) � 186x � 6 � 4x � 8 10x � 15 � 9x � 18 18x � 9 � 15x � 9 � 186x � 6 � 4x � 4x � 8 � 4x 10x � 15 � 9x � 9x � 18 � 9x 3x � 182x � 6 � 8 x � 15 � 18 x � 62x � 6 � 6 � 8 � 6 x � 15 � 15 � 18 � 152x � 14 x � 3x � 7

6.A5

6.A4

6.A3

6.A2

6.A1



a) 12 � —31x0— � 2 b) 1 � —

x2

— � —34

— c) —23x— � —

54

— � —x6

— � 7 � 0

Halla el valor de x para el cual se cumple la ecuación.

�3x

1�2

7� � �

2x6� 3� � �

x �8

1�

m.c.m.(12, 6, 8) � 24

24 � �3x

1�2

7� � 24 � �

2x6� 3� � 24 � �

x �8

1�

2(3x � 7) � 4(2x � 3) � 3(x � 1)6x � 14 � 8x � 12 � 3x � 36x - 14 � 5x � 96x � 14 � 5x � 5x � 9 � 5xx � 14 � � 9

x � 14 � 14 � �9 � 14 x � 5

El padre de Claudia tiene 37 años. Esta edad es 4 años más que el triple de la edad de Claudia. Calculala edad de Claudia.

Edad de Claudia: xEdad del padre: 3x � 4 � 37

Ecuación: 3x � 4 � 373x � 4 � 4 � 37 � 43x � 33x � 11 La edad de Claudia es 11 años.

6.A8

6.A7

6.A6

a) 12 � �130x� � 2

10 � 12 � 10 � �130x� � 10 � 2

120 � 3x � 20

120 � 20 � 3x + 20 � 20

100 � 3x

x � �10

30

�

b) 1 � �2x

� � �34

�

4 � 1 � 4 � �2x

� � 4 � �34

�

4 � 2x � 3

4 � 2x � 4 � 3 � 4

�2x � �1

��

22x

� � ��

12�

x � �12

�

c) �23x� � �

54

� � �6x

� � 7 � 0

m.c.m.(3, 4, 6) � 12

12 � �23x� � 12 � �

54

� � 12 � �6x

� � 12 � 7 � 12 � 0

4 � 2x � 15 � 2x � 84 � 0

8x � 15 � 2x � 84 � 0

8x � 2x � 69 � 0

10x � �69 � 0

10x � 69 � 69 � 0 � 6910x � 69

�1100x

� � �6190�

x � �6190�


Para vallar un campo rectangular se han necesitado 850 metros de valla. El largo del campo es el do-ble del ancho más 5 metros. Calcula el largo y el ancho del campo.Ancho: xLargo: 2x � 5

Ecuación: 2x � 2(2x � 5) � 8502x � 4x � 10 � 8506x � 10 � 8506x � 10 � 10 � 850 � 106x � 840

�66x� � �

846

0�

x � 140

Ancho: 140 metrosLargo: 2 � 140 � 5 � 285 metrosEl ancho mide 140 metros, y el largo, 285.

En un centro escolar se ha preparado una sala de proyección de cine, con varios bancos dispuestosuno detrás de otro. Si se colocan 10 alumnos en cada banco, quedan sin sitio 11 alumnos. Y si se co-locan 11 alumnos en cada banco, quedan 7 plazas disponibles. ¿Cuántos alumnos hay en el grupo?Número de bancos: xNúmero de alumnos con 10 en cada banco: 10x + 11Número de alumnos con 11 en cada banco: 11x � 7

Ecuación: 10x � 11 � 11x � 710x � 11 � 10x � 11x � 7 � 10x11 � x � 711 � 7 � x � 7 � 718 � x

Número de bancos: x � 18Número de alumnos: 10x � 11 � 10 � 18 � 11 � 191 alumnosEn el grupo hay 191 alumnos.

6.A10

6.A9

1º eso unidad 6

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