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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO FACULTAD DE INGENIERIA CIVILIng. Luis Clemente CondoriFIC-UNCPHIDROCINEMATICAMECANICA DE FLUIDOS IMayo - 2015

11En un punto de la masa liquida en movimiento existen por definir cantidades escalares (presin, densidad, temperatura) y cantidades vectoriales (velocidad, aceleracin, fuerza).

Mientras que una cantidad escalar queda definida por su magnitud. Para que una cantidad vectorial quede definida se requiere conocer adems de su magnitud, la direccin y el sentido.Las caractersticas fsicas en el seno lquido, tanto escalares como vectoriales, pueden variar de un punto a otro del lquido y en un mismo punto de un instante a otro.

Esto se expresa diciendo que tanto las cantidades escalares como las vectoriales son funciones de punto y de tiempo.2Ing. LUIS CLEMENTE

La cinemtica de los lquidos estudia el movimiento puro de las partculas, sin considerar la masa ni las fuerzas que lo producen. La descripcin del movimiento se hace utilizando nicamente la velocidad, la aceleracin y la rotacin.El campo de velocidadesUna partcula del liquido recorre una lnea usualmente curva que se llamatrayectoria.

El estudio del movimiento de la partcula puede hacerse:* utilizando el vector posicin r, como una funcin vectorial del tiempo.

3Ing. LUIS CLEMENTE Parte de la mecnica que trata del movimiento en sus condiciones de espacio y tiempo, sin tener en cuenta las causas que lo producen. Es un vector cualquiera el cual identifica la posicin de algo en el plano cartesiano o en espacio* utilizando la trayectoria y el camino recorrido, como una funcin escalar del tiempo.

El vector velocidad de la partcula (v) se define como la rapidez de cambiode su posicin:

resulta ser un vector tangente a la trayectoria de la posicin de la partcula y del tiempo.

4Ing. LUIS CLEMENTE Representa la distribucin espacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacioUn escalar es un tipo de magnitud fsica que se expresa por un solo nmero y tiene el mismo valor para todos los observadores.

TrayectoriaSe cumple:de modo que:Si s es un vector unitario tangente en cada punto a la trayectoria se cumple:es decir.

5Ing. LUIS CLEMENTE

El campo de aceleracionesEs un campo que se deriva del campo de velocidades. El vector aceleracin de la partcula en un punto, se define como la rapidez de cambio de su velocidad en ese punto:

Sus componentes son:

Desarrollando estas derivadas se aprecia que las componentes de la aceleracin son funciones de punto y de tiempo.6Ing. LUIS CLEMENTE

La aceleracin en coordenadas intrnsecasEn la prctica se dan situaciones en las que el movimiento se supone unidimensional. El estudio del flujo unidimensional se simplifica bastante con el empleo de un sistema de coordenadas con su origen en cada punto de la trayectoria; se denomina sistema intrnseco de coordenadas y cualquier vector puede expresarse segn sus componentes en este sistema.En cada punto de la trayectoria es posible distinguir tres vectores unitarios , n, b tales que:

: tangente a la curva (vector tangencial) : normal a la tangente y colineal con el radio de curvatura, saliendo de la curva (vector normal) : perpendicular al plano (vector binormal)

7Ing. LUIS CLEMENTELos nombres de los planos respectivos son:En este sistema:

prestemos atencion al termino

Puesto que P y son dos puntos muy prximos entre si:tiene la direccin de n y sentido negativo; s y tienen prcticamente el mismo mdulo unitario:

: plano osculador : plano normal : plano rectificador

tambin

dividiendo

8.(1) En cada punto de una curva, el plano osculador es el plano que contiene a su vector tangente y al vector normal a la curva. Para una partcula desplazndose en el espacio tridimensional, el plano osculador coincide con el plano que en cada instante contiene a la aceleracin y la velocidad9Ing. LUIS CLEMENTEreemplazando en (1):

Lo que quiere decir que el vector aceleracin se encuentra contenido en el plano osculador. Averigemos las componentes:

el primer trmino representa aceleracinconvectiva, el segundo aceleracin local.

es decir:

aceleracin total = aceleracin convectiva + aceleracin local

Ing. LUIS CLEMENTE10Clasificacin de los flujosEn la prctica se presentan diversos tipos de flujo. En vista de que el inters se centra en las conducciones por tubera y por canal, las descripciones que siguen se ilustran con esquemas de estas conducciones.Flujo permanente y no permanente.- En el primero, en una seccin de la conduccin permanecen constantes en el tiempo las variables hidrulicas del flujo (velocidad, presin, densidad, etc). En el segundo los valores de estas variables cambian de un instante a otro.

Ing. LUIS CLEMENTE11Flujo uniforme y no uniforme.- Considrese un flujo permanente en dos situaciones distintas: una con tubera de dimetro constante y la otra con tubera de dimetro decreciente.

En el flujo uniforme permanecen constantes a lo largo de la conduccin las variables hidrulicas del flujo (velocidad, presin, densidad, etc).

En el flujo no uniforme los valores de estas variables cambian de un punto a otro de la conduccin; se le denomina tambin flujo variado.Ing. LUIS CLEMENTE12Flujo gradualmente variado y rpidamente variado.- El esquema corresponde a un canal que tiene una grada en el fondo, y es de por s explicativo. El flujo variado (FV) puede serlo gradualmente (FGV) o bruscamente (FRV). A la izquierda y a la derecha del flujo variado se desarrolla flujo uniforme.

Ing. LUIS CLEMENTE13Flujo unidimensional y bidimensional .- Estrictamente hablando el flujo es siempre tridimensional. Sin embargo cuando en el flujo prevalece una direccin es considerado unidimensional, como ocurre con las tuberas y los canales. En el caso de los canales hay circunstancias en las cuales no se puede prescindir de una segunda dimensin para describir el flujo. debiendo hacerse el estudio del flujo plano o bidimensional.

Ing. LUIS CLEMENTE14Flujo laminar y turbulento.- Considrese una tubera de vidrio por la que se hace pasar agua en movimiento permanente, uniforme y unidimensional. Si se inyecta un colorante se apreciar que, si la velocidad del escurrimiento es muy baja, el colorante sigue unas trayectorias ordenadas, rectilneas y paralelas, caractersticas del flujo laminar. Si la velocidad del agua, en cambio, tiene los valores ordinarios, se observar que el colorante se mezcla por efecto de las trayectorias desordenadas y errticas, caractersticas del flujo turbulento.

Ing. LUIS CLEMENTE15En la prctica, para las velocidades ordinarias, el flujo del agua es turbulento en tuberas y canales y laminar en el subsuelo.Existe un parmetro que es funcin de la viscosidad del lquido y cuyo valor permite discernir sobre si el flujo es laminar o turbulento. Se llama nmero de Reynolds (Re):

V : velocidad media del escurrimientov : viscosidad cinemticaL : una longitud caracterstica .que en tuberas es generalmente el dimetro.Ing. LUIS CLEMENTE16Para valores de Re de hasta 2,300 se verifica que el flujo es laminar y para valores mayores que 4,000 se verifica que es turbulento. Valores intermedios corresponden al perodo de transicin. Ntese que el Re es adimensional.

Osborne Reynolds (Belfast, Irlanda del Norte, 1842 - Watchet, Inglaterra, 21 de febrero de 1912), ingeniero y fsico

Ing. LUIS CLEMENTE17Flujo compresible e incompresible.- Lo ordinario es que el agua se considere incompresible y el aire compresible. Slo en aquellas situaciones en que el agua resulta sometida a grandes presiones (como en el fenmeno del golpe de ariete) es necesario tratarla como compresible. De manera anloga, cuando el aire soporta presiones muy pequeas durante su conduccin (como en los ductos de ventilacin) puede ser considerado incompresible.

Ing. LUIS CLEMENTE18Flujo rotacional e irrotacional.- Un flujo es rotacional si en su seno elcampo de vectores rot adquiere valores distintos de cero, y es irrotacional si en todo punto y en todo instante rot . En la prctica, para las velocidades ordinarias el movimiento del agua es rotacional; para velocidades altas puede ser considerado irrotacional y para la hiptesis de liquido perfecto (sin viscosidad) el movimiento es de hecho irrotacional. El esquema muestra el diagrama de velocidades en un canal, para cada situacin.

Ing. LUIS CLEMENTE19Adems de los campos de velocidades y aceleraciones, existe en el seno lquido otro campo llamado campo rotacional que se deriva de las velocidades.Se llama rotor de o rotacional de al vector:

Rot =

que tambin es funcin de punto y de tiempo.Ing. LUIS CLEMENTE20Significado fsico del vector rot .- Como en el cuerpo rgido, adems de la traslacin una partcula puede experimentar una rotacin. Sea el centro de gravedad de la partcula y el eje instantneo correspondiente.

En un plano perpendicular a considerar dos lneas ortogonales que servirn para estudiar la rotacin pura de la partcula.El punto P se halla muy prximo al-punto ; la velocidad es tangente a la trayectoria circular de radio d y corresponde a la traslacin pura delpunto P.

Al producirse la rotacin la velocidad angular vale:

Por comodidad se puede tomar el eje e como eje z y el plano en que se mueve P como plano xy. Entonces el vector velocidad angular es:

Ing. LUIS CLEMENTE21La velocidad puede definirse como = x d el vector d tiene la forma ;entonces:

lo cual significa que el rotor de la velocidad en un movimiento de rotacin alrededor de un eje es igual al doble del vector velocidad angular.Ing. LUIS CLEMENTE22

La misma idea pero graficada para un canal en curva, visto en planta:

Ing. LUIS CLEMENTE23Descripcin del movimientoEl movimiento de un fluido queda descrito cuando se est en condiciones de conocer:* el cambio de posicin de una partcula* la variacin de la velocidad en un punto.Hay dos formas clsicas de describir el movimiento de un fluido.Mtodo de Euler.- Consiste en elegir un punto y determinar las variablescinemticas en ese punto, en cada instante, sin considerar el camino quedespus siga cada partcula individual. Se usa:

Matemtico y fsico suizo Ing. LUIS CLEMENTE24Mtodo de Lagrange,- Consiste en elegir una partcula y determinar las variables cinemticas de esa partcula siguiendo su recorrido. Se usa:

De los dos mtodos se prefiere el primero porque su manejo analtico es ms simple. Fsico, matemtico y astrnomo italianoIng. LUIS CLEMENTE25Lnea de corriente. Trayectoria. Tubo de flujoEn el flujo no permanente las variables cinemticas varan en un mismo punto de un instante a otro. Supongamos que en un instante se conoce el campo de velocidades . Se define lnea de corriente a toda lnea trazada idealmente en el seno lquido de modo que la tangente en cada uno de sus puntos; proporcione la direccin del vector velocidad correspondiente. No existe posibilidad de que dos lneas de corriente tengan un punto comn.

Ing. LUIS CLEMENTE26Si el flujo es no permanente para otro instante t, la configuracin de las lneas de corriente es otra. Si el flujo es permanente la configuracin de las lneas de corriente es la misma en cualquier momento.Se define trayectoria la curva que marca el camino que sigue una partcula con el transcurrir del tiempo.

Si el flujo es no permanente las l.c. y trayectoria son lneas distintas. perosi el flujo es permanente significan lo mismo.La razn est en que en el flujo permanente el campo de velocidades no cambia con el tiempo: * toda partcula que pasa por a sigue la misma trayectoria.* en cada punto a , a , an el vector velocidad permanece igual.Ing. LUIS CLEMENTE27Ecuaciones de la lnea de corriente

ecuacin diferencial de la l.c.En trminos de las componentes:dx = vx dtdy = vy dtdz = vz dto bien, para un instante t

Ing. LUIS CLEMENTE28Tubo de flujo.- Si se considera en el seno lquido una curva cerrada y las l.c. que pasan por cada uno de sus puntos, la totalidad de estas l.c. definen una superficie que se denomina tubo de flujo o tubo de corriente, y que no puede ser atravesada por el fluido. El volumen encerrado se conoce como vena lquida.

Ing. LUIS CLEMENTE29Caudal o gasto

Considrese el tubo de flujo elemental, definido en las curvas cerradas C, C muy prximas entre s.

En el punto P se pueden considerar dos vectores: y . El vector es un vector unitario normal a la superficie y cuyo sentido positivo se establece por convenio.

Ing. LUIS CLEMENTE30En un intervalo dt el volumen de lquido que atraviesa, el elemento de superficie es igual al producto escalar:

perose define caudal o gasto a la relacin;

Si dA es un elemento de una superficie finita A, entonces:

Ing. LUIS CLEMENTE31y si, como es costumbre, se escoge la superficie A de modo que las l.c.sean normales a ella:

Se llama velocidad media del flujo a travs de la superficie A al cociente: