1964 cullimore bolted plate pressure

8/4/2019 1964 Cullimore Bolted Plate Pressure

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T h e d i s t r i b u t i o n o f p r e s s ur e b e t w e e n t w o f i a t p l a t e s b o l t e d t o g e t h e r 15I t i s , h o w e v e r , p o s s i b le t o o b t a i n a r e l a x a t i o n s o l u t i o n o f t h e s t r e s s f u n c t i o n e q u a t i o n s

f o r a s i m i l a r l y l o a d e d s o l i d r i g h t c i r c u l a r c y l i n d e r , o f h e i g h t 2 t, h a v i n g a c e n t r a l c i r c u l a rh o l e ( F ig . 1 ). T h e n o r m a l s t r e ss a l o n g t h e p l a n e ( w h o s e t r a c e i s F B ) m i d - w a y b e t w e e n t h ee n d s ( c o r r e sp o n d i n g t o t h e i n te r f a ce ) m a y b e e v a l u a t e d a n d t h e p o i n t B ' a t w h i c h i tb e c o m e s t e n s i le f o un d . T h e c y l i n d e r i s t h e n a s s u m e d t o h a v e a f r ee su r f a ce a l o n g B B ' ,r e p r e s e n t i n g t h e i n a b i l i t y o f t h e t w o p l a t e s t o t r a n s m i t t e n s i o n a c ro s s t h e in t e r fa c e . T h eb o u n d a r y c o n d i t i o n s h a v i n g b e e n s u i t a b l y m o d i f i e d , a n e w r e l a x a t i o n s o l u ti o n o f t h e s t r es sf u n c t i o n e q u a t i o n s i s o b t a i n e d a n d t h e n o r m a l s t r e ss a t t h e " i n t e r f a c e " i s e v a l u a t e d a sb e f or e . T h e p r o c e s s is r e p e a t e d u n t i l a s o l u ti o n i s o b t a i n e d w i t h c o m p r e s s i v e n o r m a ls t r e s s e s o n l y o n t h e i n t e r f a c e .

W h e n t h e a s s e m b l y i s r e p r e s e n t e d b y a r i g h t c i r c u la r c y l in d e r , o f h e i g h t 2 t, t h e p r o b l e mi s r e d u c e d t o o n e o f f i n d i n g t h e s t r e ss e s s e t u p i n a n a x i a l l y s y m m e t r i c s o l i d o f r e v o l u t i o nb y a n a x i a l l y s y m m e t r i c l o a d i n g s y s t e m . C y l i n d r i c a l c o - o r d i n a t e s ( r, 0 a n d z ) a r e u s e d w i t ht h e z - a x is , t h e c e n t r e l i n e o f t h e b o l t h o l e , a s t h e a x i s o f r e v o l u t i o n . A s a l l t h e q u a n t i t i e sa r e i n d e p e n d e n t o f 0 , f o r t h e p u r p o s e s o f t h e c a l c u l a t i o n t h e p r o b l e m i s t w o - d i m e n s i o n a la n d a n y a x i a l z r p l a n e m a y b e t a k e n ( F i g. 1 ).

T h e f o u r s t re s s c o m p o n e n t s a t a n y p o i n t i n th e s y s t e m c a n b e e x p r e s se d i n t e r m s o ft w o s t r e s s f u n c t i o n s a n d ( b1 a s f o l l o w s :

Ir \ o r o r / - ~ ( ~ b + l - v . ~ b ) (1 )

~ = ~ . - ~ + 1 (~b+ 1 - v . ) (2 ). - . 1 0 ~z z . . . . ( 3 )r ~ r

1 a~bz r = - - - ( 4 )r o rw h e r e v i s P o i s s o n ' s r a t i o f o r t h e m a t e r i a l .

T h e s i m u l t a n e o u s g o v e r n i n g e q u a t i o n s f o r t h e s t r es s f u n c t i o n s a r e k n o w n t o b e :~ ' 4 _1 3 4 o ' 4 = o (5 )or2 r or 3z2o r z r O r ~ z z = O z 2 (6 )

I f t h e a r e a B C E F i s c o v e r e d b y a s q u a r e r e l a x a t i o n n e t ( F i g. 2 ) o f s i d e h , e q u a t i o n s (5 )a n d (6 ) m a y b e r e p l a c e d b y f i n i te d i f f e re n c e a p p r o x i m a t i o n s w h i c h l e a d t o a p a i r o f

2h3 0 1

h

F I G . 2 . R e l a x a t i o n n e t .r e s id u a l s b e i n g d e f in e d a t e a c h n o d e o f t h e n e t w o r k b y t h e e x p r e s si o n s :

a n d( 7 )

( 8 )


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16 M. S. G. CULLIMORE an d K. A. UPTONThe f i rs t s tep in the re laxat ion solut ion 2 is the es tab l ish ment of the bou ndar y values.

I t wi ll be seen tha t two s t ress condi t ion s are kn own in this case on each sec t ion of theb o u n d a r y :On BC and EF

~=0

On CD rr = 0~=0

On DE ~ = 0= -Pro

The loading on the annulus is assumed to be by a means which appl ies no la tera l res t ra int ,e.g. f luid pressu re, in whi ch case ~ = 0.

The f i rst of each of these condi t ions enables a va lue of ~b to be foun d a t each po int onthe b oun dary by d i rec t in tegra t ion a s fo llows :For BC

~ = l O ~ = 0r 6~r

For CD = co ns tan t which m ay be tak en as zero, i .e . ~b = 0

r 8r

For DE~b = con s tan t = 0 "" ~b = 0

_ 1a ~ _

w h e n r = r 1 , i . e . a t D , ~b = 0

For EF

= ,n~2r! + co ns ta nt. ' . ~ , = P ~ ( r ~ - - r ~ )

zr = r'~ r = 0

But a t E ~b = co nst an t = ~bE( a 2 - r ~ )

The second of each of the s t ress condi t ions cannot be s imilar ly used to obta in theboun dary va lues of the s t r e s s func t ion . They may, however , be used to e l imina te thef ic t i t ious values of q~ ( i.e. va lues a t nodes outs ide the boun dary ) in the express ions forca lcula t ing the r e s idua ls of the ~ fun c t ion a t the b oun dary nodes :On BC

~ = 0or in te rms of the f ini te di f ference app rox ima t io n for ~-~

where H = h/2r o.Rem emb eri ng tha t ~b = 0 a long BC and a lso tha t , ~b havin g been d eterm ined for these

nodes , the ~b res iduals there mu st a lso be zero, equat io n (8) may be wri t ten~b2(1 -H)+ 9~4( 1 +H )+ 2o-9~ 1- ~a = 0


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T h e d i s t r ib u t i o n o f p r e s s ur e b e t w e e n t w o f la t p l a te s b o l t e d t o g e t h e r 1 7T h e s e t w o e q u a t i o n s m a y n o w b e u s e d t o e l i m i n a t e t h e f i c t i t io u s v a l u e s o f ~b~ a n d 3

f r o m e q u a t i o n (7 ) w i t h t h e r e s u l t t h a tF 0 = 2 ( , + , ) + ( 4 H ( 1 - H ) ( l - v ) - 2 } 0O n C E

z'~ = 0 i.e . 1 ~b1 - a _ _ 0r ' 2 h 1 = a

E l i m i n a t i n g t h e f i c ti t io u s v a l u e s 1 a n d 1 f r o m e q u a t i o n s (7 ) a n d (8 ) g i v e sF 0 - - (1 - H ) (~ + 3 ) + ( 1 + H ) (4 + , ) - 20 + 2a - 40

F o r t h e p a r t o f t h e b o u n d a r y C D 3 = 0 = 4 = 0 s o t h a tF 0 = ( 1 - H ) 3 + (1 + H ) Ca - 40 + 2a - 20O n F E

~ r = 0, s o t h a t 3 - , + 2 - , - 4 H ( 0 + 1 - v . o ) - - 0

R e m e m b e r i n g t h a t 1 = o = , = C E, t h e fi c t i t i o u s v a l u e s , a n d , m a y b e e l i m i n a t e dg i v i n g F 0 = 2 ( 2 + 3 ) - E [ 2 + 4 H ( 1 4 - H ) ] - 0 [ 2 4 - 4 H ( 1 4 - H ) (1 - v ) ]o n F B .

A s t h is b o u n d a r y i s a n a x i s o f s y m m e t r y t h e r e s id u a l e q u a t i o n s f o r a n d a r e t h es a m e a s f o r a l l t h e i n t e r i o r n o d e s .

I unctlon. ~ O OB ~

H0LE

t

S T R E S S F , U N CT IO N C O N T O U R S ." I : . i : a , I :

~ .o l ~ r n - S O 0

" tF I G . 3 . S t r e s s fu n c t i o n c o n t o u r s o b t a i n e d f r o m t h e r e l a x a t i o n s o l u t i o n

f o r t h e c a s e t / a = 1 .T h e r e s i d u a l e q u a t i o n s (7 ) a n d (8 ) f o r t h e i n t e r i o r n o d e s t o g e t h e r w i t h t h o s e f o r t h eb o u n d a r y n o d e s a r e s u f f i c ie n t f o r t h e e v a l u a t i o n o f t h e f u n c t i o n s a n d ~b w i t h i n t h e r e g i o n

B C D E F .A 1 0 i n . d i a . " c y l i n d e r " 2 i n . h i g h w a s c h o s e n f o r t h e c a l c u l a t i o n , r e p r e s e n t i n g t w o

1 i n . t h i c k p l a t e s . T h e d i a m e t e r o f 10 i n. w a s t h o u g h t t o b e l a r g e e n o u g h t o e l i m i n a t e e d g ee f fe c t s. F o u r c a s e s w e r e c o n s i d e r e d o f c e n t r a l h o l e s o f d i a m e t e r s i n ., i n ., } i n. a n d 1 i n .2


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1 8 M . S . G . C U LL IM O R E a n d K . A . U P T O ~A ~ i n . s q u a r e r e l a x a t i o n n e t w a s s e l e c t ed w h i c h g a v e f o u r n o d e s i n t h e t h i c k n e s s o f t h ep l a t e . P o i s s o n ' s r a t io w a s a s s u m e d t o b e 0 .3 .

T h e r e l a x a t i o n p r o c e s s is l e n g t h y a n d t e d i o u s , b e c a u s e o n l y o n e f u n c t i o n i s d e f in e d a tt h e b o u n d a r y a n d o n e c a s e w a s e v a l u a t e d i n t h i s w a y . F o r t h e r e m a i n d e r , t h e f i n i ted i ff e re n c e e q u a t i o n s w e r e w r i t t e n i n m a t r i x f o r m a n d i n v e r t e d o n t h e F e r r a n t i P e g a s u sC o m p u t e r , u s i n g a p r o g r a m m e w r i t t e n b y F . H . D a r n l e y a. T h e n u m b e r o f e q u a t i o n s to b es o l v e d w a s n e a r l y 2 0 0 i n e a c h c a s e. H a d t h e s i ze o f t h e n e t b e e n r e d u c e d t o ~ in . , t h e n u m b e ro f e q u a t i o n s w o u l d h a v e b e e n i n c r e a s e d t o a b o u t 8 00 , w h i c h w o u l d h a v e e x c e e d e d t h en u m b e r w i t h w h i c h t h e c o m p u t e r c o u l d d e al . A t y p i c a l s o l u t io n i s s h o w n i n F i g . 3 w h e r et h e a n d s t r e s s f u n c t i o n c o n t o u r s h a v e b e e n p l o t t e d .

T h e n o r m a l s t r e s se s o n F B , t h e i n t e r f a c e , w e r e c a l c u l a t e d f r o m t h e f i n it e d i f fe r e n cea p p r o x i m a t i o n t o t h e e q u a t i o n

Z Z - ~ - . . . .

r ~r

a n d t h e n o d e B ' a t w h i c h ~ f i rs t b e c a m e t e n s i l e w a s t h u s l o c a t e d . A s s u m i n g B B ' t o b e af r ee s u rf a c e , r e p r e s e n t i n g t h e a c t u a l c o n d i t i o n o f n o t e n s i o n b e i n g t r a n s m i t t e d a c r o ss t h ei n t e r f a c e , g i v e s

l ~ b 0r ~ r

o n B B ' , i . e. ~b = c o n s t a n t . N o w i t h a s b e e n s h o w n a l r e a d y t h a t ~b = 0 o n C B s o = 0a l o n g B B ' a ls o . T h e w h o l e r e l a x a t i o n c a l c u l a t i o n w a s t h e n r e w o r k e d w i t h th i s a d d i t i o n a lb o u n d a r y c o n d i t i o n a n d a n e w s e t o f ~b a n d v a l u e s o b t a i n e d . T h e p r o c e s s w a s r e p e a t e d ,m o v i n g B ' t o w a r d s F , u n t i l a s o lu t i o n w a s o b t a i n e d w h i c h g a v e n o t e n s i o n v a l u e s o fa l o n g F B . T h r e e a d j u s t m e n t s o f t h e p o s i t i o n o f B ' w e r e n o r m a l l y r e q u i r e d t o l oc a t e t h ep o i n t o f s e p a r a t i o n o f t h e d i s k s . T h e v a r i a t i o n s o f ~ f o r t h e f o u r c a s es c o n s i d er e d , a f t e r t h ea d j u s t m e n t f o r " n o t e n s i o n " h a d b e e n m a d e , a r c s h o w n i n F i g . 9 .

E X P E R I M E N T A L T E C H N I Q U E F O R M E A S U R I N G T H EP R E S S U R E D I S T R I B U T I O N

I t w a s d e c i d e d t o m e a s u r e t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n b e t w e e n t h e c o n t a c t s u r f ac e s b yp l a c in g b e t w e e n t h e m a l a ye r o f a m e d i u m w h o s e p h y s i c a l p r o p e r t i e s w o u l d b e p e r m a n e n t l ya f f e c te d b y p r e s s u r e i n a p r e d i c t a b l e w a y . B y t h i s m e a n s a p e r m a n e n t i m p r e s s i o n o f t h ep r e s s u r e d i s t r i b u t i o n w o u l d b e o b t a i n e d . T h e s o r t s o f p h y s i c a l p r o p e r t i e s c o n s i d e r e d w e r et h i c k n e s s , e l e c t r i c a l r e s i s t a n c e a n d l i g h t s e n s i t i v i t y of f il m . T h e s i m p l e s t a n d m o s tp r a c t ic a l s o l u t i o n w a s, h o w e v e r , o b t a i n e d w i t h o r d i n a r y t y p e w r i t e r c a r b o n p a p e r w h i c hw a s f o m l d t o p r o d u c e o n w h i t e p a p e r , p l a c e d i n c o n t a c t w i t h i t , a n i m p r e s s i o n w h o s ed e n s i t y w a s p r o p o r t i o n a l t o t h e a p p l i e d p r e s su r e .

A c o m p r e h e n s i v e i n v e s t i g a t i o n o f t h e a v a i l a b l e t y p e s a n d g r a d e s o f c a r b o n p a p e r w a sm a d e a n d i t w a s d e c id e d t h a t o n e p r o d u c e d b y " I m p e r i t y p e " g a v e t h e b e s t re s u lt s ,p r o v i d e d t h a t t h e m a t i n g s u r f a c e s w e r e c a r e f u l ly g r o u n d f l a t. T h e e s s e n t i a l q u a l i t y o f t h ec a r b o n p a p e r w a s t h a t i t s h o u l d r e s p o n d t o a p p l i e d p r e s s u r e in a l i n e a r m a n n e r , t h er e s p o n se b e i n g t h e a m o u n t o f c a r b o n d e p o s i t e d o n w h i t e p a p er . T h e q u a l i t y o f t h e w h i t ep a p e r o n w h i c h th e i m p r e s s i o n w as m a d e w a s a ls o i m p o r t a n t - - a s o f t p a p e r w a s f o u n d t og i v e a b e t t e r i m p r e s s i o n t h a n a h a r d o n e .

T h e t e c h n i q u e w a s t o p la c e b e t w e e n t h e t e s t p l a t e s a p i e ce o f c a r b o n p a p e r w i t h as h e e t o f w h i t e p a p e r a g a i n s t i ts s e n s i t i v e s id e . W h e n t h e l o a d h a d b e e n a p p l i e d t o t h ea n n u l u s , a c a r b o n i m p r e s s i o n - - o f w h i c h F i g . 4 is a t y p i c a l e x a m p l e - - w a s o b t a i n e d o n t h ew h i t e p a p e r . A n o p t i c a l d e v i c e w a s u s e d to m e a s u r e t h e d e n s i t y o f t h e c a r b o n i m p r e s s i o nr e l a t i v e to t h e p a p e r w h e r e n o c a r b o n w a s d e p o s i t ed , w h i c h w a s a s s u m e d z e r o d e n s i t y .T h e i n s t r u m e n t u s e d t o m e a s u r e t h e d e n s i t y o f t h e c a r b o n i m p r e s s i o n w a s d e s i g n e d tom e a s u r e t h e l i g h t f l u x re f l e c t e d f r o m t h e s u r f a c e t o b e a n a l y s e d , m a d w i ll b e r e f e r r e d t o a st h e r e f l e c t o m e t e r .

T h e r e f l e c t o m e t e r c o n s i s t e d e s s e n ti a l ly o f t w o l e n s s y s t e m s , a l i g h t s o u r c e a n d a p h o t o -e l e c t r ic ce ll . A s t r i p o f p a p e r c a r r y i n g t h e c a r b o n i m p r e s s i o n w a s m o u n t e d i n a g r a d u a t e ds l id e , w h i c h c o u l d b e m o v e d a c r o s s a ~ i n . d i a . a p e r t u r e i n t h e c a s i n g o f t h e i n s t r u m e n t .T h e l i g h t s o u rc e w a s a t u n g s t e n f i l a m e n t l a m p e n e r g i z e d b y a c o n s t a n t v o l t a g e s u p p l y .


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The distri bution of pressure between two fiat plates bolted togeth er 19One coil of the filament was focused on to the aperture by the first lens system, giving aconstant high and very nearly uniform illumination there. The light reflected from theimpression was focused by the second lens system on to the photo-elect ric cell. The photo-electric cell was so arranged that the current generated was linearly proportional to thelight flux it received. The curre nt was measur ed with a movin g coil galvanom eter.The relationship between the density of carbon impression, as measured by thegalvanometer reading, and pressure was examined by studying the impressions obtainedat the in terface of two 1 in. dia. fiat circular blocks. The blocks were loaded in a parallelplaten device by loads corresponding to average pressures at the interface of up to 7 ton/in 2.The v ariation s of galva nome ter readings with aver age pressures are shown in Fig. 5, where

0 2 4

FIo. 5.

6 ! $ 1 0G A L V A N O M E T E R R E A D I N GCalibration of the carbon paper.

1 2

it will be noticed tha t the response is linear up to pressures of 5 ton/i n ~, corresponding toa galvan omet er reading of 11 units. In subseque nt tests applied loads were restricted tokeep the max imu m galvanometer reading below this value. Detailed examination showedtha t the density of the car bon impression fell off towards the edges, indicating that thepressure was not uniform over the contact area. The pressure/galvanometer readingconstan t thus obtained was therefore not satisfacto ry as a conversion factor. The linearityof the relatio nship havin g been established, however, it was possible to ob tain t he co nstantfrom the distributions subsequently obtained by equating the area under the galvanometerreading/r adius curves to the applied load. The average value of the con stantobtained in this manner from a number of distributions was: galvanometer reading of10 unit s = 7 ton /in 2.

It is interesting to note that the diameter of the ends of the plungers of the parallelplat en device is 0.8 in., and the r eading obt ained near the centre corresponds to th atobtaine d if the l oad were unifo rmly dist ribute d ov er an area 0.81 in. dia.


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2 0 M . ~ . ( ~. C U LL 1M O R E a n d K . A . U P T O N

1 0

6Z

WPL d:E0Z{j>(~

r = 0 . 3 7 5 ~ 'L O A D = 2 0 T O N S t . 1 " a , O G 7 5 "

- - - - - - _ ~ r , 1 -o "

r , Z . 0 " , ~ - - - ~ ~ -TI1 2P A P E R T H I C K N E S S ( S H E E T S )

F I G . 6 . P a p e r t h i c k n e s s c o r r e c t io n .

0 5 1 0 1 .' ) ~ vL O A D ( T O N S )

F ~G . 7 . V a r i a t i o n o f p r e s su r e P r ( g a l v a n o m e t e r r e a d i n g )w i t h a p p l i e d l o a d .


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T h e d i s t r i b u t io n o f p r e s s ur e b e t w e e n t w o f l at p l a t e s b o l t e d t o g e t h e r 21I t w a s r e a l i z e d t h a t b e f o re t h e c a r b o n i m p r e s s io n s c o u l d b e u s e d t o o b t a i n t r u e p r e s s u r e

d i s t r i b u t i o n a t t h e i n t e r fa c e ( i.e . w i t h n o p a p e r b e t w e e n ) a c o r r e c ti o n w o u l d h a v e t o b em a d e f o r t h e c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e p a p e r . T h e o r e t i c a l i n d i c a ti o n s w e r e t h a t c o n t a c to c c u r r e d o v e r p a r t o n l y o f t h e w h o l e a r e a o f t h e p l a t e , a n d t h a t t h e n o r m a l p r e s s u r e w a sn o t u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d o v e r t h i s a r e a . S y m m e t r y r e q u i r e d t h a t t h e s u r fa c e o f a c t u a lc o n t a c t w a s p l a n e , a l t h o u g h o u t s i d e t h i s a r e a t h e i n n e r f a ce s o f t h e p l a t e s w e r e f re e tod e f l e c t r e l a t i v e t o e a c h o t h e r . T h e i n s e r t i o n o f a c o m p r e s s i b l e m e d i u m ( v iz . t h e c a r b o na n d w h i t e p a pe r s ) b e t w e e n t h e " c o n t a c t " f a ce s o f t h e p l a t e s p e r m i t s r e l a t i v e d e f le c t io nb e t w e e n t h e m o v e r t h e w h o l e a r e a , a n d m u s t t h e r e f o re a l t e r t h e p re s s u r e d i s t r ib u t i o n i n am a n n e r g o v e r n e d b y t h e c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e p a p e r a n d t h e s t if f n e ss o f t h e p l a t e s .

T h e e f fe c t o f t h e c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e p a p e r w a s d e t e r m i n e d f o r e a c h c a s e b y t a k i n gf o u r im p r e s s i o n s w i t h o n e , t w o , t h r e e a n d f o u r s h ee t s o f w h i t e p a p e r b e t w e e n t h e p l a t e s . At y p i c a l s e t o f r e s u l t s i s s h o w n i n F i g . 6 , w h e r e i t w i l l b e s e e n t h a t t h e d e n s i t y o f i m p r e s s i o n( a n d th u s t h e n o r m a l p r e ss u r e) a t a n y r a d i u s i s a p p r o x i m a t e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e t o t a lt h i c k n e s s o f p a p e r . T h e c o r r e c t e d d e n s i t y o f i m p r e s s io n , a n d t h u s t h e p r e s s u re w i t h n op a p e r a t t h e i n t e r fa c e , w a s o b t a i n e d b y e x t r a p o l a t i n g b a c k t o z e r o p a p e r t h i c k n e ss f o r e a c hr e q u i r e d v a l u e o f t h e r a d i u s , a s s u m i n g c o n t i n u e d l i n e a r i t y . I t w i l l b e n o t i c e d i n F ig . 6 t h a ta r e v e r s a l o f s l o p e o f t h e l i n e s o c c u r s a s t h e r a d i u s i n c r e a s e s . T h i s i s b e c a u s e t h e l o a d i st h e s a m e e a c h t i m e s o t h a t a re d u c t i o n o f t h e p r e s su r e s a t t h e s m a l l e r r a d i i m u s t b e a c c o m -p a n i e d b y a n i n c r e a s e a t t h e l a r g e r ra d i i .

T o e s t a b l i sh t h e a p p l i c a b i l i ty o f t h e r e s u l ts i t w a s n e c e s s a r y t o c o n f i r m t h a t t h e p r e s s u r ea t a g i v e n r a d i u s w a s p r o p o r t i o n a l t o t h e a p p l i e d l o a d . T h i s w a s d o n e b y t a k i n g i m p r e s s i o n sa t l o a d s o f 5 , 10 , 15 a n d 2 0 t o n w i t h 1 i n . t h i c k p l a t e s w i t h a i n . d i a . h o l e . A s p l a t e s o fc o n s t a n t s t if fn e ss w e r e u se d , t h e p a p e r t h i c k n e s s c o r r e c t io n p e r u n i t l o a d w a s t h e s a m e f o re a c h t e st , a n d t h e " t r u e " p r e s s u re w a s n o t r e q u i r e d t o e s t a b l is h t h e p o i n t i n q u e s t io n . T h er e s u l t s o f t h e s e t e s t s , s h o w n i n F i g . 7, i n d i c a t e t h a t t h e p r e s s u r e a t a g i v e n r a d i u s i sp r o p o r t i o n a l t o t h e a p p l i e d l o a d o r p r e s s u re o n t h e a n n u l u s .

T E S T S O N P L A T E S O F V A R I O U S T H I C K N E S S E SF o u r p a i r s o f 1 2 -i n. s q u a r e p l a t e s w e r e m a d e f o r t h e t e s t s , o f p l a t e t h i c k n e s s (t) i n .,

1 i n ., 1 i n . a n d 2 i n ., e a c h w i t h a c e n t r a l " b o l t " h o l e o f i n . d i a . T h e p l a t e s a n d a s s o c i a t e df i tt i n g s w e r e m a d e t o e n s u r e a s f a r a s po s s ib l e t h a t t h e l o a d w a s a p p l i e d n o r m a l l y t o t h ei n t e r fa c e a n d w i t h o u t e c c e n t r i c i t y . A l l m a t i n g s u r f a c e s w e r e g r o u n d f i a t a n d t h e n l a p p e dt o g e t h e r u s i n g th e t h r e e - p l a t e t e c h n i q u e t o e n s u re u n i f o r m c o n t a c t . A c i r c ul a r l a n d w a sm a c h i n e d o n t h e o u t e r s u r fa c e o f t h e p l a t e , a n d g r o u n d p a r a l le l t o t h e i n n e r s u r fa c e , t or e c e i v e t h e l o a d i n g b l o c k . T h e l o a d i n g b l o c k s, w h i c h w e r e 2 a ra d i u s , w e r e m a d e o f a l l o ys t e e l a n d f i t t e d a t o n e e n d w i t h a l o c a t i n g s p i g o t t o f i t t h e h o l e i n t h e p l a t e . T h e e n ds u r f a c e s o f t h e l o a d i n g b l o c k s w e r e g r o u n d f l a t a n d p a r a l l e l.

I n a t e s t t h e l o w e r p l a t e , w i t h i t s l o a d in g b l o c k a n d s p i g ot o n t h e u n d e r s id e , w a sp l a c e d o n t h e b o t t o m p l a t e n o f t h e t e s t i n g m a c h i n e . T h e c a r b o n p a p e r w a s l a id a n d t h eu p p e r p l a t e w a s p o s i t i o n e d b y m e a n s o f f o u r d o w e l s a t t h e c o r n e rs . T h e l o a d w a s a p p l i e db y t h e t e s t i n g m a c h i n e t o t h e l o a d i n g b l o c k o n th e u p p e r p l a t e t h r o u g h a h a l f- b a l l f i tt i n g .

T h e o p t i m u m l o a d f o r ea c h ( t / a ) v a l u e w a s d e t e r m i n e d b y t r i a l a s t h a t w h i c h w o u l dp r o d u c e a m a x i m u m d e n s i t y f o r t h e f o u r i m p r e s si o n s , ju s t w i t h i n t h e l i n e a r ra n g e o f t h ec a r b o n p a p e r ( a r e a d i n g o f a b o u t 1 0 g a l v a n o m e t e r u n i t s) . A p r e ss u r e d i s t r i b u t i o n w a s n o to b t a i n e d f o r ( t / a ) --- 8 , a s a t t h e o p t i m u m l o a d t h e p r e s s u r e o v e r t h e a n n u l u s w o u l d h a v ee x c e e d e d t h e y i e l d s tr e ss o f t h e m a t e r i a l o f t h e p l a t e s . S i x t e e n v a l u e s o f ( t / a ) w e r eo b t a i n e d f r o m t h e f o u r p l a t e t h i c k n e s s e s b y e n l a r g i n g t h e o r i g i n a l i n . d ia . h o l e b y i n .a f t e r t h e c o m p l e t i o n o f e a c h s e t o f o b s e r v a t io n s . D e t a i l s o f t h e p l a t e a n d h o l e s i ze s a n dt h e a p p r o p r i a t e l o a d s a re g i v e n in T a b l e 1.

T h e c a r b o n i m p r e s s i o n d e n si t ie s w e r e m e a s u r e d w i t h t h e r e f le e t o m e t e r , m a k i n g t h ec o r r e c t io n f o r t h e c o m p r e s s i b i l i ty o f t h e p a p e r a s d e s c r ib e d a b o v e . T o f a c i l i ta t e c o m p a r i s o n ,t h e d e n s i t y v a l u e s w e r e a d j u s t e d i n a l l c a s es to m a k e t h e m a p p r o p r i a t e t o a n a p p l i e da n n u l u s p r e s s u r e o f 15 t o n / i n 2. T h e r e s u l t s o f t h e s e o b s e r v a t i o n s a r e s u m m a r i z e d i nF i g . 8 , w h i c h s h o w s t h e v a r i a t i o n o f d e n s i t y ( g a l v a n o m e t e r r e a d in g ) w i t h ( r / a ) f o r t h ed i f f e r e n t ( t / a ) r a t i o s e x a m i n e d .


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2 2 M . S . G . C U L LII ~IO R E a n d K . A . U P T O NT A B L E 1

D i a m e t e r o f h o l e , 0 . 5 0 0 . 75 1 .0 0 1 .2 5in .t / a L o a d , t / a L o a d , t / a L o a d , t / a L o a d ,

t o n t o n t o n t o nP l a t e 0 . 5 0 2 1 0 1 " 3 3 1 0 1 1 2 0 . 8 1 5t h i c k n e s s , 1 - 00 4 1 5 2 . 6 6 2 0 2 2 0 1 . 6 2 5i n . 1 . 5 0 6 2 0 4 3 0 3 3 0 2 . 4 4 02 - 0 0 8 * 5 . 3 3 4 0 4 5 0 3 . 2 5 0

N o t t e s t e d .3 0

L O G G A L V AR E A D I N G . /

t /a . va lue

2 0

10

(9z,

~.151 09 8 7 6 .5 4 3 2 1

F IG . 8. S u m m a r y o f e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s o f p r e s su r e d i s t r i b u t i o nf o r p l a te s o f v a r i o u s t h i c k n e s s e s .

E M P I R I C A L F O R M U L A E F O R T H E P R E S S U R E D I S T R I B U T I O NI f t h e p r e s su r e a t a n y r a d i u s i s P r - - f ( P m , r , t , a ), a n d b e c a u s e i t h a s b e e n d e m o n s t r a t e d

t h a t a l i n e a r r e l a t i o n s h i p e x i s t s b e t w e e n P r a n d P ro , i t fo l lo w s t h a tP r _ f ( r , t , a )

w h e r e f ( r , t , a ) i s n o n - d h n e n s i o n a l .


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T h e d i s t r i b u t i o n o f p r e s s u r e b e t w e e n t w o f i a t p l a t e s b o l t e d t o g e t h e r 2 3I t w a s f o u n d t h a t t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s c o u ld b e s t b e r e p r e s e n t e d b y t h e f u n c t i o n

P r = P = . e x p [ - 0 . 6 6 5 k - l "= ( x l ' s - 1 ) ] ( 9 )w h e r e k = t / a , x = r / a a n d p ~ i s t h e m a x i m u m p r e s su r e , w h i c h o c c u rs a t t h e e d g e o f t h eh o l e a n d i s g i v e n b y t h e r e l a t i o n

P a = 1 " 8 7 ( k l ' a + 0 " 5 ) - 1 . P ~ ( 1 0 )T h e r a n g e o f a p p l i c a b i l i t y o f e q u a t i o n s ( 9 ) a n d ( 10 ) i s f r o m k - 1 t o / c = 6 .

T h e f u n c t i o n f o r t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n , e q u a t i o n ( 9) , w a s e v a l u a t e d f o r fo u r v a l u e s o ft / a a n d t h e r e su l t s o b t a i n e d a re s h o w n i n F ig . 9 w h e r e t h e y m a y b e c o m p a r e d w i t h t h e

1.25

1. 0

O7~ - --

0 5

0 " 2 5

I E M ' . , C A LF O R M U L A! ~:~t' l '333 4 5 6% 7 2 3 4 5%

L ; - R E L A X A T I O Nj S O t . U T I O N

l : f C/a." "33

- %-4, " < - .I

F r o . 9 . D i s t r i b u t i o n o f i n t e r f a c e p r e s s u r e i n f o u r d i f f e re n t c as e s :c o m p a r i s o n o f r e s u l t s o f e x p e r i m e n t w i t h t h e r e l a x a t i o n s o lu t i o n .

r e l a x a t i o n s o l u t i o n s . T h e v a r i a t i o n o f t h e m a x i m t u n p r e s s u re P a w i t h t / a i s s h o w n i n F i g . 1 0 ,w h e r e t h e o b s e r v e d v a l u e s f r o m w h i c h t h e e m p i r i c a l r e l a t i o n w a s d e r i v e d a r e a ls o s h o w n .

B o t h t h e e x p e r i m e n t a l a n d a n a l y t i c a l re s u l ts s h o w t h a t t h e p r e s s u re d i s t r i b u t i o n d o e sn o t d e v i a t e s u b s t a n t i a l l y f r o m a s t r a i g h t l i n e o v e r a t l e a s t t h e l o w e r r a n g e o f f l a . I f al i n e a r d i s t r i b u t i o n i s a s s u m e d w i t h t h e m a x i m u m p r e ss u r e , p = , a s g i v e n b y e q u a t i o n ( 10 ),t h e n t h e r a d i u s R a t w h i c h t h e p r e s s u r e b e c o m e s z e r o m a y b e c a l c u l a t e d b y e q u a t i n g t h en o r m a l p r e s s u r e f o rc e a t t h e i n t e r f a c e to t h e a p p l i e d p r e s s u r e f or c e o n t h e a n n u l u s . T h ev a l u e s o f R s o o b t a i n e d a r e g i v e n a p p r o x i m a t e l y i n t h e r a n g e k = 1 t o k = 4 b y t h e f o r m u l a

R = 1 . 7 a + 0 . 9 t ( 11 )A s i m p l e c h e c k o n t h e v a l i d i t y o f th e s e r e s u l t s w a s m a d e b y c l a m p i n g t w o f l a t d i s k st o g e t h e r w i t h a t e n s i o n e d b o l t p a s s in g t h r o u g h a h o le i n t h e i r c e n t r e s a n d m e a s u r i n g t h e

t o r q u e t h a t h a d t o b e a p p l i e d a b o u t t h e a x i s o f t h e b o l t t o o v e r c o m e t h e f r i c t i o n a lr e s i s ta n c e d u e t o t h e n o r m a l p r e s s u re b e t w e e n t h e d i s ks . T h e a p p a r a t u s u s e d i s s h o w n i nF i g . 1 1. T h e d i s k s w e r e e a c h 6 i n . d ia . a n d 0 . 5 i n . t h i c k , a n d w e r e h e l d t o g e t h e r b y a i n .d i a . b o l t . W h e n t h e t e n s i o n i n t h e b o l t w a s 5 t o n i t w a s f o u n d t h a t a t o r q u e o f 1 05 0 i n . - l bw a s r e q u i r e d t o c a u s e s l ip . T h e f a c e s o f t h e d i s k s i n c o n t a c t w e r e g r o u n d , a n d t h ec o e ff i ci e n t o f f r i c t i o n b e t w e e n s u c h s u r f a c e s w a s t a k e n a s 0 .2 1 . T h i s w a s t h e a v e r a g e o fs l ip c o e ff i ci e n ts o b t a i n e d f r o m t e s t s o n s i n g le b o l t j o i n t s o f a t y p e s i m i l a r t o t h o s e d e s c r i b e db y t h e f i r s t a u t h o r , 4 e x c e p t t h a t t h e b o l t l o a d s w e r e m e a s u r e d d i r e c t l y . U s i n g t h i s v a l u e ,


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24 M. S. G. CUJ,LI~ORE an d K . A . UrTo s"a n d t a k i n g t h e d i s t r i b u t io n o f n o r m a l p r e s s u r e b e tw e e n t h e d i s k s a s t h a t g i v e n b y t h ~emp i r i ca l fo rmu la (eq u a t i o n (9 ) ) , t h e t o rq u e req u i red t o cau se s l i p was fo u n d t o b ( ,9 8 5.0 i n . - l b , i n d i ca t i n g t h a t t h e p red i c t ed p re ssu re d i s t r i b u t i o n i s o f t il e r i g h t o rd e r .I t i s i n t e r e s t in g t o n o t e t h a t i f a t m i f o r m d i s t r ib u t i o n o f p r e s s u r e b e t w e e n t h e d i sk s i sa s su med , t h e t o rq u e req u i red t o cau se s l i p i s 2 2 4 0 i n . - l b .

O B S E R V E DV A L U E S

0 . 5

0 I 2 3 t / a 4 5 6

F r o . lO . V a r i a t i o n o f m a x i m u m i n t e r f a c e p r e s s u r e w i t h p l a t e t h i c k n e ssf ro m emp i r i ca l fo rmu la (eq u a t i o n (1 0 ) ) .C O M M E N T S

T h e p r e s s u r e d i s t r i b u t io n s p r e d i c t e d t h e o r e t i c a l l y a r e s i m i l ar in f o r m t o t h o s eo b t a i n e d f r o m th e m e a s u r e m e n t s . T h e m a x i m u m s t r e s s i s , h o w e v e r , h ig h e r a n dt h e a r e a o v e r w h i c h t h e p r e s s u r e i s d i s t r ib u t e d i s m o r e r e s t r i c t e d .

E x a m i n a t i o n o f t h e e x p e r i m e n t a l t e c h n iq u e s u g g e s ts t h a t t h e m a i n s o u rc eo f e r r o r is p r o b a b l y t h e " p a p e r t h i c k n e s s " e f f ec t w h i c h r e s u l t s in a s p r e a d i n g o ft h e p r e s su r e a r ea . U n d e r - c o r r e c t i o n w o u l d t h e r e f o r e l e a d t o l o w e r m a x i m u mp r e s s u r e s a n d a m o r e e x t e n s i v e p re s s u r e a r e a . T h e p l a t e s u se d i n t h e e x p e r i m e n tb e i n g 1 2 i n . s q u a r e w i t h a 1 0 i n . d i a . l a n d a t t h e i n t e r f a c e w o u l d b e s t i ff e r t h a nt h o s e a s s u m e d in t h e a n a ly s i s . T h i s m i g h t b e e x p e c t e d t o g i v e a s o m e w h a tl a r g e r p r e s s u r e a r e a t h a n t h e t h e o r e t i c a l , a l t h o u g h t h is e f f e c t i s p r o b a b l y s l ig h t .

T h e p r i n c i p a l s o u r c e o f e r ro r i n t h e t h e o r e t i c a l r e s u l ts p r o b a b l y l ie s i n t h ed e t e r m i n a t i o n o f t h e ~ s t r es s f r o m t h e s t r e s s f u n c t i o n v a l u e s a t t h e n o d e s o f t h er e l a x a t io n n e t . T h e a r e a o v e r w h i c h p r e ss u r e w a s t r a n s m i t t e d w a s fo u n d t o b er e s t r i c t e d t o a r a d iu s o f a b o u t 5 h t o 7 h f r o m t h e e d g e o f t h e h o l e. T h i s g a v e t o of e w v a l u e s f o r a n e n t i r e l y s a t i s f a c t o r y d e t e r m i n a t i o n o f t h e s t r e s s v a r ia t i o n ,p a r t i c u l a r l y i n th e r e g io n o f r a p i d c h a n g e n e a r t h e h o le . T h e a m o u n t o f w o r ki n v o l v e d i n o b t a i n i n g a b e t t e r s o l u t i o n b y p r o c e e d i n g t o a f in e r n e t w a s n o tc o n s i d e r e d t o b e j u s t i fi a b l e.


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FIG. 11. Apparatus used to verify predictions ofpressure distribution formula.

f. y. 24


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T he d i s t r i bu t i on o f p r e s s u r e be t w e e n t w o f l a t p l a t e s bo l t e d t oge t he r 25T h e m a i n d i f fe r e n ce b e t w e e n t h e a n a l y s i s a n d t h e e x p e r i m e n t s is t h o u g h t

t o a r is e i n t h e l o a d i n g c o n d i t i o n s . T h e a n a l y s i s a s s u m e d t h e l o a d t o b e a p p l ie da s a u n i f o r m p r e s s u r e o v e r a n a n n u l u s a r o u n d t h e c e n t r a l ho l e. I n t h e e x p e r i -m e n t s t h e l o a d w a s a p p l i e d o v e r t h is a r e a t h r o u g h a s t i f f s p i go t , w h i c h w a s n o ta b l e to a c c o m m o d a t e i t s e lf t o v a r i a t i o n s i n t h e t h i c k n e s s o f t h e p l a t e w h i c h t a k ep l a c e d u e t o t h e v a r i a t i o n w i t h r o f t h e ~ s t r es s o n i n t e r f a c e o f t h e p l a t e s . A st h e s e d e c r e as e s in t h i c k n e s s w o u l d b e g r e a t e s t w h e n r is le a st , t h e t e n d e n c ym u s t b e t o r e l i ev e th e p r e s s u r e o n t h e a n n u l u s n e a r t h e h o l e a n d t o i n c re a s e t h ep r e s s u r e d u e t o t h e l o a d t o w a r d s t h e o u t e r p a r t s . T h i s in it s t u r n r e s u l ts in as p r e a d o f t h e p r e s s u r e a r e a a n d h e n c e a r e d u c t i o n i n t h e m a x i m u m p r e s s u r e a tt h e i n t e rf a c e . I t w a s a ls o a s s u m e d i n t h e a n a l y s is t h a t ~ w a s z er o u n d e r t h es p i g o t . F r i c t i o n b e t w e e n t h e s p i g o t a n d p l a t e w i ll , h o w e v e r , r e s t r i c t d i s p l ac e -m e n t i n t h e r d i r e c t io n a n d h e n c e i n c re a s e t h e p r e s s u re a r e a a t t h e i n t e r f a c e .

C O N C L U S I O N SB o t h a n a l y t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u lt s s h o w t h a t t h e p r e s su r e a t t h e

i n t e r f a c e is c o n f i n e d t o a l i m i t e d a r e a h a v i n g a m a x i m u m v a l u e a t t h e e d g e o f th eb o l t h o l e a n d v a r i e s i n a m a n n e r w h i c h is g o v e r n e d b y t h e t h i c k n e s s o f t h e p l a t ei n r e l a t i o n t o t h e s iz e o f t h e b o l t h o l e ( t / a ) . A s ( t / a ) i s i n c r e a s e d , i .e . f o r t h i c k e rp l a t es , t h e e x t e n t o f t h e p r e s s u r e a r e a i n c re a s e s a n d t h e m a x i m u m p r e s s u r e i sr e d u c e d . F o r t h i n n e r p l a te s t h e m a x i m u m s tr es s, P a , w a s s e e n t o e x c e e d t h eu n i f o r m p r e s s u r e o n t h e l o a d i n g a n n u l u s , Pro, a l t h o u g h i n t h e l i m i t as( t / a ) - > O ( P , / P m ) m u s t a p p r o a c h u n i t y a n d t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n b e c o m e su n i f o r m . T h e c h a n g e in th e f o r m o f t h e p r e s s u re d i s t r i b u t i o n s h o w n b y t h er e l a x a t i o n r e s u l t s f o r t / a = 1 i n d i c a t e s t h e t e n d e n c y f o r t h is t o o c c u r .

T a k i n g ( t / a ) = 1 a s a t y p i c a l v a l u e i n p r a c t i c e , t h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h em a x i m u m p r e s s u r e a t t h e i n t e r f a c e w o u l d b e o f t h e o r d e r o f 2 0 p e r c e n t h i g h e rt h a n t h e a v e r a g e p r e s s u r e o n th e l o a d i n g a n n u l u s , a n d t h a t i t w il l b e d i s t r i b u t e do v e r a n a r e a o f t h e i n t e r f a c e o f r a d i u s a b o u t 3 0 - 5 0 p e r c e n t l a rg e r t h a n t h a t o ft h e l o a d i n g a n n u l u s .A c k n o w l e d g e m e n t s - - - T h e w or k de s c r i be d in t h i s p a pe r w a s c a r r i e d ou t i n t he C iv ilE ng i ne e r i ng L a bo r a t o r i e s o f t he U n i ve r s i t y o f B r i s to l . T he a u t ho r s w i s h t o r e c o r d t he i ra pp r e c i a t i on o f t he e nc ou r a ge m e n t a nd c ouns e l o f P r o f e s s o r S i r A l f r e d P ugs l e y , a ndt he i r t h a nk s t o t he i r c o l l e ague , D r . R . T . S e ve r n , f o r h i s a s s i st a nc e w i t h r e l a xa t i onca lcu la t ions .

R E F E R E N C E SI . R . S O ~ r ~ H W E L L , P r o c . R o y . S o c . A 1 8 @ , 3 6 7 ( 1 9 4 2 ) .2 . D . N . D E G . A L L E N , R e l a x a t i o n M e t h o d s , p . 1 3 4 . M c G r a w - H i l l , N e w Y o r k ( 1 9 5 4 ) .3 . F . H . D A R N L E Y , P h . D . T h e s i s , U n i v e r s i t y o f S h e f f i e l d ( 1 9 6 0 ) .4 . M . S . G. C ~ O R ~ , I n s t . S t r u c t . E n g r s . J u b i l e e S y m p . o n H i g h S t r e n g t h B o l t s ,pp. 66-67 (1959) .

1964 cullimore bolted plate pressure

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