ในกรณีที่ตองการซื้อเปนจํานวนมาก เพื่อใชในการสอน การฝกอบรม การสงเสริมการขาย หรือเปนของขวัญพิเศษ เปนตน กรุณาติดตอสอบถามราคาพิเศษไดที่ ฝา่ยขาย บริษัท ซีเอ็ดยูเคช่ัน จํากัด (มหาชน) เลขที่ 1858/87-90 ถนนบางนา-ตราด แขวงบางนา เขตบางนา กรุงเทพฯ 10260 โทรศัพท 0-2739-8222 โทรสาร 0-2739-8359

หากมีคาํแนะนําหรือติชม สามารถติดต่อได้ท่ี comment@se-ed.com

คณิตศาสตรช่์างโยธา โดย เอกชัย รัตนโน

ราคา 72 บาท

สงวนลิขสิทธิ์ในประเทศไทยตาม พ.ร.บ. ลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2559 โดย เอกชัย รัตนโน หามคัดลอก ลอกเลียน ดัดแปลง ทําซ้ํา จัดพิมพ หรือกระทําอ่ืนใด โดยวิธีการใดๆ ในรูปแบบใดๆ ไมวาสวนหนึ่งสวนใดของหนังสือเลมนี้ เพื่อเผยแพรในสื่อทุกประเภท หรือเพื่อวัตถุประสงคใดๆ นอกจากจะไดรับอนุญาต

4 1 0 - 5 0 6 - 2 5 2 0 9 5 5 6 6 5 4 3 2 1 0 9

ข้อมูลทางบรรณานุกรมของสํานักหอสมุดแห่งชาต ิเอกชัย รตันโน. คณิตศาสตรชางโยธา.—กรุงเทพมหานคร : ซีเอ็ดยูเคชั่น, 2559. 252 หนา. 1. คณิตศาสตรชาง. I. ชื่อเรื่อง. 510.7 ISBN 978-616-08-2693-3 จดัพมิพแ์ละจดัจาํหน่ายโดย

เลขท่ี 1858/87-90 ถนนบางนา-ตราด แขวงบางนา เขตบางนา กรุงเทพฯ 10260 โทรศัพท 0-2739-8000 พิมพที่ บริษัท วี.พร้ินท (1991) จํากัด เลขที่ 23/71-72 หมู 1 ซอยเทียนทะเล 10 ถนนบางขนุเทียน-ชายทะเล แขวงแสมดํา เขตบางขุนเทียน กรุงเทพฯ 10150 โทรศัพท 0-2451-3010 นายวิชัย กาญจนพัฒนา ผูพิมพผูโฆษณา พ.ศ. 2559

2121-1001 คณิตศาสตรชางโยธา 2 – 0 - 2

จุดประสงครายวิชา เพ่ือให 1. มีความเขาใจเกี่ยวกับหลักการตรีโกณมิติ เลขยกกําลัง ลอการิทึมและกราฟ 2. มีความสามารถในการนําหลักการตรีโกณมิติ เลขยกกําลัง ลอการิทึม และ

กราฟมาประยุกตใชกับงานโยธา 3. มีกิจนิสัยในการทํางานดวยความรอบคอบและถูกตอง

สมรรถนะรายวิชา

1. แสดงความรูเก่ียวกับหลักการของฟงกชันตรีโกณมิติและคณิตศาสตรสําหรับงานโยธา

2. แสดงความรูเก่ียวกับหลักการและกระบวนการทางคณิตศาสตรใชในงานโยธา 3. ประยุกตใชกระบวนการของฟงกชันตรีโกณมิติ สมการและหลักการทาง

คณิตศาสตรหาคาตัวแปร

คําอธิบายรายวิชา

ศึกษาเกี่ยวกับหลักการของฟงกชันตรีโกณมิติของมุมตางๆ การใชตารางหาคาฟงกชันตรีโกณมิติ กฎของไซน โคไซน สมการเชิงเสนหนึ่งตัวแปร สองตัวแปร สมการกําลังสอง ดีเทอรมิแนนต เลขยกกําลัง กฎของเลขยกกําลัง การบวก ลบ คูณ หารเลขยกกําลัง รากหรือกรณฑ การใชตารางหากรณฑที่สองและที่สาม ลอการิทึม ลอการิทึมสามัญ การหาคาโดยใชลอการิทึม สมการเลขชี้กําลัง และสมการลอการิทึม กราฟ การเขียนกราฟจากสมการ การแปลความหมายของกราฟ การหาพ้ืนที่รูปทรงตางๆ การแบงเสนตรงเปนหลายสวนเทาๆ กัน การสรางรูปหลายเหลี่ยมชนิดตางๆ

หนังสือ คณิตศาสตรชางโยธา (Civil Technology Mathematics) เลมนี้ อธิบายถึงเนื้อหาการดําเนินการทางคณิตศาสตรที่จะนําไปใชคํานวณงานดานชางโยธา มีเนื้อหาตรงตามจุดประสงครายวิชา สมรรถนะรายวิชา และคําอธิบายรายวิชา คณิตศาสตรชางโยธา รหัสวิชา 2121-1001 หลักสูตรประกาศนียบัตรวิชาชีพ (ปวช.) พุทธศักราช 2556 ของสํานักงานคณะกรรมการการอาชีวศึกษา ประเภทวิชาอุตสาหกรรม สาขาวิชาโยธา ซึ่งเนื้อหามีทั้งหมด 8 บท ประกอบดวย เลขยกกําลังและราก ลอการิทึม ตรีโกณมิติ สมการ ฟงกชันและกราฟ เมทริกซ ดีเทอรมิแนนต พ้ืนที่ และปริมาตร

ผูเขียนขอขอบคุณ บริษัท ซีเอ็ดยูเคชั่น จํากัด (มหาชน) ที่ไดจัดพิมพและเผยแพรหนังสือเลมน้ีเพ่ือใหนักเรียน นักศึกษา ตลอดจนผูสนใจทั่วไปไดใชประกอบการเรียนหรือเพื่อคนควาหาความรูเพ่ิมเติม ขอบคุณ อาจารยวรรณา พลโดด (ค.บ. คณิตศาสตร) และอาจารยสุจิตรา รัตนโน (กศ.ม. วิทยาศาสตรศึกษา) ที่ชวยตรวจทานความถูกตองดานหลักการคณิตศาสตร โดยรายละเอียดเนื้อหาหากมีขอแนะนําหรือขอบกพรองประการใด ผูเขียนขอนอมรับไว และจะพัฒนาปรับปรุงในโอกาสตอไป

เอกชยั รัตนโน

คํานํา

สารบัญ 5

บทที่ 1 เลขยกกําลังและราก (EXPONENT AND RADICALS) ________ 9

1.1 เลขยกกําลัง (Exponent) ................................................................................... 10 1.2 กฎของเลขยกกําลัง .................................................................................. 10 1.3 การคูณและการหารเลขยกกําลัง ............................................................... 11 1.4 การบวกและการลบเลขยกกําลัง ................................................................ 13 1.5 ราก (Radicals)................................................................................................... 14 1.6 กฎของราก ............................................................................................... 15 1.7 การบวกและการลบราก ............................................................................ 16 1.8 การคูณและการหารราก ............................................................................ 17 1.9 การประยุกตเลขยกกําลังและรากเพื่อใชในงานโยธา .................................. 17

แบบทดสอบบทที่ 1 ...................................................................................................... 21 แบบประเมินผลการเรียนรูบทที่ 1 ................................................................................. 26 การประเมินผลบทที่ 1 .................................................................................................. 28

บทที่ 2 ลอการิทึม (LOGARITHM) _____________________________ 29

2.1 ลอการิทึม (Logarithm) ..................................................................................... 30 2.2 ลอการิทึมสามัญ (Common Logarithm) ........................................................... 34 2.3 แอนติลอการิทมึ (Antilogarithm) ..................................................................... 37 2.4 ลอการิทึมธรรมชาติ (Natural Logarithms) ...................................................... 38 2.5 การใชลอการิทึมแกสมการ ........................................................................ 42 2.6 การประยุกตลอการิทึมเพื่อใชในงานโยธา .................................................. 43

แบบทดสอบบทที่ 2 ลอการิทมึ ..................................................................................... 47 แบบประเมินผลการเรียนรูบทที่ 2 ลอการิทมึ ................................................................. 53 การประเมินผลบทที่ 2 ลอการิทึม ................................................................................. 55

สารบัญ

6 คณิตศาสตรชางโยธา

บทที่ 3 ตรีโกณมิติ (TRIGONOMETRY) ________________________ 57

3.1 ตรีโกณมิติ (TRIGONOMETRY) .................................................................... 58 3.2 มุมและการวัดมุม ..................................................................................... 58 3.3 หนวยของการวัดมุม ................................................................................. 59 3.4 กฎของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ................................................................... 61 3.5 ฟงกชันตรโีกณมิติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ............................................. 62 3.6 ฟงกชันตรโีกณมิติของคามุม 30 องศา 45 องศา และ 60 องศา ................ 64 3.7 ฟงกชันตรโีกณมิติของมุมอื่นๆ ................................................................. 66 3.8 ระนาบพิกัดฉาก ....................................................................................... 68 3.9 วงกลมหนึ่งหนวย (Unit Circle) ....................................................................... 69 3.10 ฟงกชันตรโีกณมิติของมุมประจําจตุภาค ................................................... 71 3.11 รูปสามเหลี่ยมเอียง ................................................................................... 73 3.12 กฎของไซน (Law of Sines) ............................................................................. 73 3.13 กฎของโคไซน (Law of Cosines) ..................................................................... 75 3.14 การประยุกตตรีโกณมิติเพื่อใชในงานโยธา ................................................ 78

แบบทดสอบบทที่ 3 ...................................................................................................... 82 แบบประเมินผลการเรียนรูบทที่ 3 ................................................................................. 89 การประเมินผลบทที่ 3 .................................................................................................. 91

บทที่ 4 สมการ (EQUATION) ________________________________ 93

4.1 สมการ (Equation) ............................................................................................ 94 4.2 สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว (Linear Equation With One Variable) ............... 95 4.3 ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร (System of Linear Equation with Two

Variables) ......................................................................................................... 98 4.4 สมการกําลังสอง (Quadratic Equations) ........................................................ 101 4.5 การประยุกตสมการเพื่อใชในงานโยธา .................................................... 105

แบบทดสอบบทที่ 4 .................................................................................................... 110 แบบประเมินผลการเรียนรูบทที่ 4 ............................................................................... 116 การประเมินผลบทที่ 4 ................................................................................................ 118

สารบัญ 7

บทที่ 5 ฟงกชันและกราฟ (FUNCTIONS AND GRAPHS) _________ 119

5.1 ฟงกชัน (Functions) ....................................................................................... 120 5.2 กราฟในระบบพิกัดฉาก (Graphs in Rectangular Coordinates) ................... 121 5.3 สมการเสนตรง (Equation of a Straight Line) ............................................... 124 5.4 เสนโคงพาราโบลา (Parabola Line) ............................................................... 128 5.5 การประยุกตกราฟแกระบบสมการ .......................................................... 130 5.6 การประยุกตฟงกชันและกราฟเพื่อใชในงานโยธา .................................... 131

แบบทดสอบบทที่ 5 .................................................................................................... 138 แบบประเมินผลการเรียนรูบทที่ 5 ............................................................................... 144 การประเมินผลบทที่ 5 ................................................................................................ 146

บทที่ 6 เมทริกซ (MATRIX) _________________________________ 147 6.1 เมทริกซ ................................................................................................. 148 6.2 ชนิดของเมทรกิซ.................................................................................... 150 6.3 การเทากันของเมทริกซ .......................................................................... 152 6.4 การคูณจํานวนคงที่กับเมทริกซ ............................................................... 153 6.5 การบวกและการลบเมทริกซ ................................................................... 153 6.6 การคูณเมทริกซกับเมทริกซ .................................................................... 157 6.7 เมทริกซยกกําลัง .................................................................................... 159 6.8 สลับเปลี่ยนของเมทริกซ (Transpose of Matrix) ........................................... 160 6.9 เมทริกซสมมาตร .................................................................................... 161 6.10 อินเวิรสการคณูของเมทริกซ ................................................................... 162 6.11 การประยุกตเมทริกซเพื่อใชในงานโยธา .................................................. 164

แบบทดสอบบทที่ 6 .................................................................................................... 169 แบบประเมินผลการเรียนรูบทที่ 6 ............................................................................... 176 การประเมินผลบทที่ 6 ................................................................................................ 179

8 คณิตศาสตรชางโยธา

บทที่ 7 ดีเทอรมแินนต (DETERMINANT) ______________________ 181

7.1 ดีเทอรมิแนนต (Determinant) ........................................................................ 182 7.2 ไมเนอร (Minor) ............................................................................................. 185 7.3 โคแฟกเตอร (Cofactor) .................................................................................. 186 7.4 ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซจัตุรัสโดยการลดขนาด .................................. 189 7.5 กฎของดีเทอรมิแนนต ............................................................................ 190 7.6 เมทริกซผูกพนั (Adjoint Matrix) ................................................................... 193 7.7 การหาอินเวิรสของเมทริกซโดยใชเมทริกซผกูพัน ................................... 194 7.8 การใชอินเวิรสของเมทริกซแกระบบสมการเชิงเสน .................................. 195 7.9 การใชกฎของคราเมอรแกระบบสมการเชิงเสน ........................................ 197 7.10 การประยุกตดีเทอรมิแนนตเพือ่ใชในงานโยธา ......................................... 199

แบบทดสอบบทที่ 7 .................................................................................................... 205 แบบประเมินผลการเรียนรูบทที่ 7 ............................................................................... 212 การประเมินผลบทที่ 7 ................................................................................................ 214

บทที่ 8 พ้ืนที่และปรมิาตร (AREA AND VOLUME) _______________ 215

8.1 การวัด (Measurement) ................................................................................... 216 8.2 พื้นที่ (Area) .................................................................................................... 219 8.3 ปริมาตร (Volume) ......................................................................................... 225

แบบทดสอบบทที่ 8 .................................................................................................... 231 แบบประเมินผลการเรียนรูบทที่ 8 ............................................................................... 238 การประเมินผลบทที่ 8 ................................................................................................ 240

ภาคผนวก _______________________________________________ 241

บรรณานุกรม ____________________________________________ 251

บทที่ 1 เลขยกกําลังและราก 9

สาระสําคัญ เลขยกกําลัง (Exponent) คือจํานวนที่แสดงถึงการคูณซ้ําๆ กัน ซึ่งเปนการดําเนินการ

ทางคณิตศาสตรอยางหนึ่ง รูปของเลขยกกําลังคือ an หมายถึง a คูณกัน n ครั้ง โดยเรียก a วา ฐาน และ n คือเลขชี้กําลัง

รากหรือกรณฑ (Radicals) (เครื่องหมาย ) โดยตอไปนี้จะเรียกวา ราก จะเขียนอยูในรูป n a อานวา รากที่ n ของ a โดยที่ a เปนจํานวนจริงใดๆ (ไมติดลบ) และ n เรียกวาดัชนีของราก (Index of Root)

สาระการเรียนรู 1. เลขยกกําลัง 6. กฎของราก 2. กฎของเลขยกกําลัง 7. การบวกและการลบราก 3. การคูณและการหารเลขยกกําลัง 8. การคูณและการหารราก 4. การบวกและการลบเลขยกกําลัง 5. ราก

9. การประยุกตเลขยกกําลัง และรากในงานโยธา

จุดประสงคการเรียนรู

จุดประสงคทั่วไป เพื่อใหมีความเขาใจเกี่ยวกับหลักการของเลขยกกําลังและรากหรือกรณฑ การบวก ลบ

คูณ หาร การใชตารางหาคา การประยุกตใชกระบวนการเลขยกกําลังและรากในงานโยธา จุดประสงคเชิงพฤติกรรม

1. บอกหลักการของเลขยกกําลังและรากได 2. คํานวณการบวก ลบ คูณ และหารเลขยกกําลังได 3. คํานวณการบวก ลบ คูณ และหารรากหรอืกรณฑได 4. หาคาเลขยกกําลังและรากจากตารางได 5. นําความรูหลักการของเลขยกกําลังและรากมาประยุกตใชในงานโยธาได

เลขยกกําลังและราก(EXPONENT AND RADICALS)

1

10 คณิตศาสตรชางโยธา

1.1 เลขยกกําลัง (Exponent) จํานวนที่แสดงถึงการคูณซ้ําๆ กัน เรียกวา ยกกําลัง ซึ่งเปนการดําเนินการทาง

คณิตศาสตรอยางหนึ่ง นิยามไดวา ถา a เปนจํานวนใดๆ และ n เปนจํานวนเต็มบวก จะไดรูปของเลขยกกําลังคือ

n

n

a a a a ....... a เรียก na วา เลขยกกําลัง หมายถึง a คูณกัน n ครั้ง

โดยที่ เรียก a วา ฐาน เรียก n วา เลขชี้กําลัง

เชน 6422222226 2 เปนฐาน และ 6 เปนเลขช้ีกําลัง

เชน 12555553 5 เปนฐาน และ 3 เปนเลขช้ีกําลัง

1.2 กฎของเลขยกกําลัง

ถา a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ ที่ไมใชศูนยหรือ 0a , 0b และ n, m เปนจํานวนเต็มบวก จะไดกฎของเลขยกกําลัง ดังนี้

ขอที่ กฎ ตัวอยาง

1 mnmn aaa 10244444 52323

2 1a0 140

3 nn-

a1a

641

414 3

3-

4 nn- a

a1

64441 3

3-

5 n-m

m-nm

n

a1a

aa

44444 123

2

3 หรือ 132 4

14

1

6 1aa

n

n 1

44

3

3

7 mnmn aa 62323 444

บทที่ 1 เลขยกกําลังและราก 11

ขอที่ กฎ ตัวอยาง

8 nnn baba 13824216646464 333

9 n

nn

ba

ba

21664

64

64

3

33

10 n-n

ab

ba

64216

46

64 33

1.3 การคูณและการหารเลขยกกําลัง การคูณและการหารเลขยกกําลังจะใชกฎของเลขยกกําลังเขาชวย โดยการทําใหเลข

ยกกําลังเปนรูปอยางงายและเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก

ตัวอยางที่ 1.1 จงหาคาของ 322

วิธีทํา 3232 22 62 222222 64 ตอบ

ตัวอยางที่ 1.2 จงหาคาของ 21

68

วิธีทํา

216

21

6 88

26

8

38 38

1

8881

5121

ตอบ

(ตอ)

12 คณิตศาสตรชางโยธา

ตัวอยางที่ 1.3 จงหาคาของ 523

55

22

วิธีทํา 5

52

3

3523

55

22

55

22

5

10

551

5105 55 55555 3125 ตอบ

ตัวอยางที่ 1.4 จงหาคาของ 0-7-27-5 cbaba

วิธีทํา 0-772-50-7-27-5 cbacbaba 007 cba 11a 7 7a 7a

1 ตอบ

ตัวอยางที่ 1.5 จงหาคาของ 4

2552

xyxyyx

วิธีทํา

4

2-5 2-52

4

2552

xyyxyx

xyxyyx

4

-105-22

xyyx

4

50

xyyx

54yxy1

บทที่ 1 เลขยกกําลังและราก 13

54xy1

9xy1

ตอบ

1.4 การบวกและการลบเลขยกกําลัง การบวกและการลบเลขยกกําลังกอนที่จะมีการนํากฎของเลขยกกําลังเขาชวย จะตอง

ทําใหเลขยกกําลังน้ันมีรูปอยางงายกอน โดยมีหลักการดังนี้ 1. เลขยกกําลังที่มีฐานเหมือนกันและเลขยกกําลังเทากัน ใหนําสัมประสิทธิ์ของเลขยก

กําลังมาบวกลบกัน

2. เลขยกกําลังที่มีฐานเทากันแตเลขยกกําลังไมเทากัน จะนําสัมประสิทธิ์ของเลขยกกําลังมาบวกลบกันไมได แตใหทําในรูปของการแยกตัวประกอบและดึงตัวประกอบรวมออก

ตัวอยางที่ 1.6 จงหาคาของ 6

-3-8

333

วิธีทํา 6-

-353

6

3-8-

3333

333

65-3 3133 133 56-3

1

313 5

3

35

33

33

335 3

31

32 3

31

2791

14 คณิตศาสตรชางโยธา

9927

91

92431

9

244 ตอบ

ตัวอยางที่ 1.7 จงหาคาของ yx2y3x 84

วิธีทํา 3x23y3x2yx2y3x 2284

9x62y6x 2222 9y2x6 222 5122 2y x6 ตอบ

1.5 ราก (Radicals)

ถาให acn โดยที่ n เปนจํานวนเต็มบวกแลว c ก็คือ รากที่ n ของ a เชน 823 จะไดวา 2 เปนรากที่ 3 ของ 8

รากหรือกรณฑ (เครื่องหมาย สแควรรูท) โดยตอไปน้ีจะเรียกวา ราก จะเขียนอยูในรูป n a อานวา รากที่ n ของ a โดยที่ a เปนจํานวนจริงใดๆ (ไมติดลบ) และ n เรียกวา ดัชนีของราก (Index of Root)

เชน 823 จะเขียนไดวา 283 รากท่ี n ของจํานวนจริงใดๆ คือจํานวนที่ยกกําลัง n แลวจะได จํานวนที่อยู ใต

เคร่ืองหมาย (สแควรรูท) โดยที่ n จะมีคาตั้งแต 2 ขึ้นไป เชน 9 อานวา รากที่ 2 ของ 9 คือคา 3 และ -3 พิสูจน 932 , 93- 2 เชน 3 125 อานวา รากที่ 3 ของ 125 คือคา 5 พิสูจน 12553 เชน 3 125 อานวา รากที่ 3 ที่เปนลบของ 125 คือคา -5 พิสูจน 1255- 3

บทที่ 1 เลขยกกําลังและราก 15

จากตัวอยางขางตนจะไดวา รากท่ีมีดัชนี n เปนจํานวนคูจะมี 2 คาคือ คาบวก และคาลบ แตรากที่มีดัชนี n เปนจํานวนค่ีจะมีเพียงคาเดียว ในการเขียนรากท่ีเปนลบ จะเขียนไวหนารากหรือกรณฑนั้น แตถาไมมีเคร่ืองหมายใหถือวาเปนบวก

1.6 กฎของราก

ถา a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ ที่ไมใชศูนยหรือ 0a , 0b และ n, m เปนจํานวนเต็มบวก จะไดกฎของรากหรือกรณฑ ดังน้ี

ขอท่ี กฎ ตัวอยาง

1 nn1 aa 331 44

2 nn1n1-

a1

a1a 331

31-

41

414

3 nnn abba 333 2464

4 nn

n

ba

ba 3

3

3

64

64

5 nmn m aa 153 5 44

6 nmm nmn aaa 355 353 444

7 aa nn 4433

ตัวอยางที่ 1.8 จาก 3 52 ba จงเขียนใหอยูในรูปเลขยกกําลัง

วิธีทํา 31

523 52 baba

315

312

ba

321

32

ba ตอบ

16 คณิตศาสตรชางโยธา

ตัวอยางที่ 1.9 จาก 3 5 3a a จงเขียนใหอยูในรูปเลขยกกําลัง

วิธีทํา 31

35

33 5 aaaa

31

35

a

315

a

36

a 2a ตอบ

1.7 การบวกและการลบราก

การบวกและการลบรากจะทําไดก็ตอเม่ือดัชนีของรากจะตองเทากัน และจํานวนของ a ที่อยูในเคร่ืองหมาย (สแควรรูท) เทากัน ถาไมเทากันจะตองใชกฎของการแจกแจงใหรากนั้นอยูในรูปที่เทากัน จึงจะนําคาสัมประสิทธิ์มาทําการบวกลบกันได

ตัวอยางที่ 1.10 จาก 2545125 จงทําใหเปนผลสําเร็จ

วิธีทํา 555335552545125 55355 5535 558 ตอบ

ตัวอยางที่ 1.11 จาก 8xx2x25 3 จงทําใหเปนผลสําเร็จ

วิธีทํา x2222xxxx258xx2x25 3 2x2x2x2x5 2x4xx2x5 x2x9 ตอบ

บทที่ 1 เลขยกกําลังและราก 17

1.8 การคูณและการหารราก

การคูณและการหารรากจะทําไดก็ตอเม่ือดัชนีของรากจะตองเทากัน และจํานวนของ a ที่อยูในเครื่องหมาย (สแควรรูท) เทากัน ถาไมเทากันจะตองใชกฎของการแจกแจงใหรากนั้นอยูในรูปที่เทากัน จึงจะนําคาสัมประสิทธิ์มาทําการคูณและหารกันได

ตัวอยางที่ 1.12 จงหาผลลัพธของ 1445123

วิธีทํา 1212

888144512 33

128

32

ตอบ

ตัวอยางที่ 1.13 จงหาผลลัพธของ 67640963

วิธีทํา 1694102446764096 33

223 12 1322 13224 416 ตอบ

1.9 การประยุกตเลขยกกําลังและรากเพื่อใชในงานโยธา การประยุกตเลขยกกําลังและรากเพื่อใชในงานโยธาคือ การใชหลักคณิตศาสตรในการ

คํานวณทางงานโยธา การแกปญหาที่เก่ียวของกับงานวิศวกรรมตางๆ ทั้งในสวนของเทคนิคการกอสรางและการคํานวณออกแบบ แสดงตัวอยางดังน้ี

18 คณิตศาสตรชางโยธา

ตัวอยางที่ 1.14 จงหาขนาดหนาตัดเหล็กสี่เหลี่ยมจัตุรัสตัน รับแรงดึง kN300P โดยกําหนดใหคาความเคนในเหล็กไมเกิน 2mMN110

วิธีทํา คําอุปสรรค 310k , 610M และ -310m

สูตรหาความเคนในวัสดุ AP

สูตรหาความเคนในวัสดุ PA

แทนคา

3 2

6

300 10 N mA N110 10

แทนคา 23 m10727.2A

หาพ้ืนที่หนาตัดเปนแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัส -3A 2.727 10

m052.0

ทําใหเปนหนวยมิลลิเมตร m10

m052.0 3-

mm52

ขนาดหนาตัดเหล็กสี่เหลี่ยมจัตุรัสตัน 2mm5252 ตอบ

ตัวอยางที่ 1.15 จงหาขนาดหนาตัดเหล็กกลมตัน รับแรงอัดดึง kN1000P โดยกําหนดใหคาความเคนในเหล็กไมเกิน 2mMN90

วิธีทํา คําอุปสรรค 310k , 610M และ -210c

สูตรหาความเคนในวัสดุ AP

สูตรหาความเคนในวัสดุ PA

แทนคา

3 2

6

1000 10 N mA N90 10

แทนคา 2A = 0.011 m

A = 2.727 10 m

52 mm

52 mm-3 2

บทที่ 1 เลขยกกําลังและราก 19

หาพ้ืนที่หนาตัดเปนแบบกลมตัน 2 2× D = 0.011 m4

4D = 0.011

m119.0

ทําใหเปนหนวยเซนติเมตร m10

c119.0 2-

cm894.11 หรือเลือกใชที่หนาตัดเสนผานศูนยกลาง cm12 ตอบ

D = 12 cm

A = 0.0113 m2

20 คณิตศาสตรชางโยธา

สรุป

เลขยกกําลัง (Exponent) คือจํานวนที่แสดงถึงการคูณซ้ําๆ กัน ซึ่งเปนการดําเนินการทางคณิตศาสตรอยางหน่ึง รูปของเลขยกกําลังคือ na หมายถึง a คูณกัน n ครั้ง โดยเรียก a วา ฐาน และ n คือเลขช้ีกําลังการคูณ การหารเลขยกกําลังจะใชกฎของเลขยกกําลังเขาชวย การบวกลบเลขยกกําลังจะตองทําใหเลขยกกําลังนั้นมีรูปอยางงายกอน

รากหรือกรณฑ (Radicals) (เครื่องหมาย ) โดยตอไปน้ีจะเรียกวา ราก จะเขียนอยูในรูป n a อานวา รากที่ n ของ a โดยที่ a เปนจํานวนจริงใดๆ (ไมติดลบ) และ n เรียกวา ดัชนีของราก (Index of Root) การบวก ลบ คูณ และหารราก จะทําไดก็ตอเม่ือดัชนีของรากจะตอง

เทากัน และจํานวนของ a ที่อยูในเครื่องหมาย เทากัน จากน้ันจึงจะใชกฎของรากเขาชวยแกปญหา