185195104-6-razred-kreativni-centar-udzbenik-1 - copy.pdf

8/19/2019 185195104-6-Razred-Kreativni-Centar-Udzbenik-1 - Copy.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/185195104-6-razred-kreativni-centar-udzbenik-1-copypdf 1/130



MATEMATIKAuxbenik za {esti razred osnovne {kole

prvi deo

Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi}, Qiqana Vukovi}

Jagoda Ran~i}, Zorica Jon~i}



UVOD U TEME

Celi brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–8Trougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60–61

CELI BROJEVI

Pojam negativnog celog broja. Skup celih

brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9–11

Brojevna prava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12–16

Suprotni brojevi. Apsolutna vrednost

celog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17–21

Upore|ivawe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . 22–24

Sabirawe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–33Oduzimawe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34–36

Mnoèwe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40–49

Izrazi sa celim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . 50–53

Deqewe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54–57

TROUGAO

Trougao, elementi, obeleàvawe . . . . . . . . . . 62–64

Odnos stranica trougla. Vrste trouglova

prema stranicama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65–69

Unutra{wi uglovi trougla. Zbir

unutra{wih uglova trougla.Vrste trouglova prema uglovima . . . . . . . . 70–73

Spoqa{wi uglovi trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74–76

Odnos stranica i uglova trougla . . . . . . . . . . 77–82

Konstrukcije uglova

od 30°, 60°, 120° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83–85

Podudarnost trouglova. Osnovna

pravila o podudarnosti trouglova . . . 88–101

Odre|enost i konstrukcija trougla . . . . 102–107

Opisana i upisana kru`nica

trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108–113Teì{ne duì i teì{te, visine

i ortocentar trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–119

I TO JE MATEMATIKA . . . . . . . . . . . 37, 58, 86, 120

ISTRA@IVA^KI ZADATAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

ZAPAMTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 59, 87, 121

REZULTATI I UPUTSTVA . . . . . . . . . . . . . . . . 122–126

[TA SADR@I OVA KWIGA



4

VODI^

Kratak test za proveru prethodno usvojenih znawa 2 3 KRENI…

Kqu~ni pojmovi

Obrada novog gradiva

Definicije i pravila

Dodatna obja{wewa definicija i pravila

Provera usvojenosti novog gradiva

Kratak pregled obra|enih pojmova

i pravila u poglavqu uxbenika

Re{eni zadaci koji poma`u u razumevawu gradivaRIMER

Proveri {ta zna{

ZAPAMTI



Povezivawe s ranije usvojenim znawima

Mala pomo} za re{avawe zadataka

Znawa iz matematike primewena

u raznim oblastima

Matemati~ke igre i razni logi~ki zadaci

Razli~ite informacije i zanimqivosti iz istorije i svakodnevnog `ivota koje su povezane

s matemati~kim zadacima

Podseti se

Da ti ka`em

ISTRA@IVA^KI ZADATAK

I TO JE MATEMATIKA



6

CELI BROJEVI

Pojam negativnog broja pojavquje se u starokineskoj kwizi o matemati~kim

ve{tinama oko 200. godine pre nove ere. Negativni brojevi zapisivani su

crnom bojom, a pozitivni brojevi crvenom bojom. Danas negativne brojeve

pi{emo tako {to prirodnim brojevima dodajemo znak „–”.

Negativni brojevi po~iwu da se koriste u Evropi

tokom XVI i XVII veka. Italijanski matemati~ar

Leonardo Fibona~i jo{ je u XII veku, re{avaju}i

finansijske probleme, gubitak prikazivao negativnim brojem, a dobitak pozitivnim brojem.

U ovom poglavqu u~i}e{

:

• {ta su to negativni i celi brojevi, kako se zapisuju i upore|uju• {ta su suprotni brojevi i apsolutna vrednost brojeva• da ra~una{ sa celim brojevima – da ih sabira{, oduzima{, mno`i{ i deli{.

Simbol za nulupojavio se u

Indiji u IX veku.Wegovo poreklo jeneizvesno. Ne zna sepouzdano da li je 0

asocijacija na prazankru`i} ili na prvoslovo gr~ke re~i ouden(ni{ta), koja po~iweslovom O (omikron).

Iz istorije matematike

–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6

Leonardo Fibona~i

(1175–1240)

\erolamo Kardano

(1501–1576)

Rene Dekart

(1596–1650)

Francuski matemati~ar

Rene Dekart uveo jeu savremenu matematiku

negativne brojeve.

Italijanski matemati~ar Kardanu kwizi Ars Magna prvi je formulisao jed

nostavne zakone s negativnim brojevima

Koristio je simbol „m:” za negativan bro

Za broj –5 pisao je m:5



Evo nekoliko primera iz kojih se vidi da se

negativni brojevi koriste u svakodnevnom ìvotu.

U liftu je brojem –1 ozna~en

prvi nivo ispod prizemqa.

Trenutna temperatura u zamrziva~u

iznosi minus dvadeset stepeni Celzijusa.

Snièwe cena 50% Temperatura u Beogradu 18. 2. 2009. bila je sedam stepeni

ispod nule.

Po izve{taju sa ovog ra~una, vlasnik

je duàn banci 15 615 dinara i 71 paru .



8

1 2 3 KRENI…

$ Popuni tabelu.

% Re{i jedna~ine.

a) x + 17 = 33 b) 2 ⋅ x – 17 = 33

& Dat je skup {19, 9, 109, 99}.

a) Napi{i najmawi i najve}i broj iz datog skupa.

b) Pore|aj brojeve iz skupa od najmaweg do najve}eg.

' Data je brojevna poluprava i na woj

je obeleèna ta~ka M.

Koji je broj pridruèn ta~ki M? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

a) 7 b) 8 v) 14 g) 16

! Napi{i i izra~unaj zbir, razliku, proizvod i koli~nik brojeva 21 i 3.

" Kojim izrazom zapisuje{ re~enicu: Broju 24 dodaj koli~nik brojeva 18 i 6?

Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

a) (24 + 18) : 6 b) 24 + 18 : 6 v) 24 : 6 + 18

# Izra~unaj.

a) 40 – 28 : 4

b) (18 + 12) : 6 – 5

v) 156 ⋅ 0 ⋅ 2008

a 5 10 13

a + 1

13 – a

2 ⋅ a + 5

100 – a ⋅ 4

0 2

x M

( Napi{i prirodne brojeve:a) koji su mawi od 4

b) koji su ve}i od 2 i mawi od 5 ili jednaki broju 5

v) koji nisu mawi od 3.



POJAM NEGATIVNOG CELOG BROJA.SKUP CELIH BROJEVA

• ceo broj

• pozitivan broj

• negativan broj

! Na karti Srbije obeleèni su neki gradovi

i zapisana je dnevna temperatura vazduhakoja je u wima izmerena u martu.

Koriste}i kartu, odgovori na slede}a pitawa.

a) U kojim je gradovima temperatura iznad nule?

b) Kolika je temperatura u Vaqevu i Leskovcu?

v) U kojim je gradovima temperatura ispod nule?

Da ti kaèm

• 5°C jestetemperatura nule i ~ita sestepeni Celzi

• –3°C jestetemperaturispod nule se: minus trstepena Cel

Sombor

–8°C

Novi Sad–6°C

Beograd–2°C

Vaqevo0°C

Ni{1°C

Kraqevo2°C

Vrawe2°C

Zaje~ar–3°C

Leskovac0°C

U svakodnevnom ìvotu brojeve koristimo da bismo ne{to prebrojali,

da bismo zapisali izmerenu veli~inu, iskazali koli~inu, numerisali

objekte i sli~no.Evo nekih primera kori{}ewa vrste brojeva koju nismo do sada u~ili.

• Kada je temperatura vazduha sedam stepeni ispod nule,

zapisujemo: –7°C.

• Ozna~enu temperaturu u zamrziva~u –4°C ~itamo: ~etiri stepena ispod nule.

• U liftu zgrade prvi nivo ispod zemqe ozna~avamo sa –1.

Brojeve –7, –4 i –1 iz navedenih primera nazivamo negativnim celim

brojevima. îtamo ih: minus sedam, minus ~etiri i minus jedan.

Negativni celi brojevi jesu brojevi koji nastaju kada se ispred svakog

prirodnog broja napi{e znak „–“.

Prirodne brojeve nazivamo i pozitivni celi brojevi. Moèmo

ih zapisati i tako {to }emo ispred svakog broja staviti znak „+“.

Na primer: broj 8 moèmo da napi{emo kao +8, broj 56 kao +56,

a 401 kao +401; ~itamo ih : plus osam, plus pedeset {est i plus ~etiristo jedan.

Znak „+“ ili „–“ ispred broja nazivamo predznak broja ili znak broja.

O CELIM BROJEVIMA



10

" Zapi{i re~ima slede}e cele brojeve, kao {to je zapo~eto.

a) –8 minus osam b) 45 v) –103

# Zapi{i slede}e brojeve.

a) minus pedeset b) plus osamdeset osam v) minus osamdeset osam

$ a) Svaki od brojeva:19, –4, 5, 0, 62, –71, –101 i 490

upi{i u odgovaraju}i skup.

b) Koji broj nije napisan ni u jednom skupu?

p o z i

t i v n

i celi b r o j e

v i

n e g a

t i v n

i celi b r o j e

Osim veli~ina koje se izraàvaju pozitivnim ili negativnim

brojevima, postoje veli~ine koje se izraàvaju nulom.

Na primer:• Voda se ledi na 0°C.

• U liftu je nivo na kojem se nalazi ulaz u zgradu ozna~en

brojem 0.

• Nadmorska visina odre|uje se u odnosu nanivo mora, koji, po dogovoru, predstavqa nulti nivo.

Broj nula je ceo broj koji nije ni pozitivan ni negativan.

Kada skup prirodnih brojevaN

pro{irimo nulom, dobijamoskup koji ozna~avamo sa N 0

.

Sli~no tome, skup prirodnih brojeva pro{irujemo nulom

i negativnim celim brojevima i dobijamo skup celih brojeva Z .

Za skupove N , N 0

i Z vaì:N ⊂ N

0

i N 0

⊂ Z Pomenuti skupovi mogu se prikazati Venovim dijagramom.

N N 0

Z

Z –

Z – ∪ {0}∪ Z + = Z

Z 0

Z +

SKUP CELIH BROJEVA

0 m

Skup celih pozitivnih brojeva ozna~avamo sa Z +.

Z + = {1, 2, 3, 4, 5…}

Skup celih pozitivnih brojeva Z + jednak je skupuprirodnih brojeva N .

Z + = N

Skup negativnih celih brojeva ozna~avamo sa Z –.

Z – = {… –5, –4, –3, –2, –1}

Skup celih brojeva jeste skup koji ~ine svi negativni celi brojevi,nula i svi pozitivni celi brojevi. Ozna~avamo ga sa Z .

Z = {… –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5… }



% Dati su brojevi: –20, 10, 40, 0, –50, –30 i +60. Napi{i koji od wih pripada skupu :a) Z + b) Z – v) Z .

' Koliku temperaturu pokazuje svaki termometar sa slike?

) Do sada je u Srbiji:a) najni`a izmerena temperatura bila u Karajuki}a Bunarima na Pe{terskoj

visoravni 13. 1. 1985. godine; iznosila je 39 stepeni Celzijusa ispod nule

b) najvi{a izmerena temperatura bila u Smederevskoj Palanci 24. 7. 2007.

godine; iznosila je 45 stepeni Celzijusa iznad nule.

Zapi{i izmerene temperature kao cele brojeve.

& Koja su tvr|ewa ta~na?

79 ∈Z –41 ∈Z – 0 ∉Z –93 ∈Z + 16 ∈Z – 0 ∈N 0

500 ∈Z +

( Dat je skup T = {27°C, 36°C, –7°C, –2°C, 28°C, –13°C, 39°C, 0°C, –5°C, +1°C}.

Napi{i brojeve iz tog skupa koji predstavqaju uobi~ajene:

a) letwe temperature

b) zimske temperature.

! Napi{i:a) deset pozitivnih brojeva b) deset negativnih brojeva

v) pet trocifrenih pozitivnih brojeva g) pet dvocifrenih negativnih brojeva.

" Dat je skup S = {7, –8, +11, 0, –4, –9, 8, +2, –2, –5, 1}.

a) Prika`i skup S Venovim dijagramom.

b) Izdvoj Venovim dijagramom podskup pozitivnih celih brojeva P .

v) Izdvoj Venovim dijagramom podskup negativnih celih brojeva G .

g) Napi{i elemente skupova P i G .

# Za svaki od datih brojeva, 17, +56, 0, –48, –203, napi{i da li pripada ili ne pripada

skupu N i Z , koriste}i simbole ∈ili ∉.

$ Napi{i sve dvocifrene cele brojeve koji se zapisuju ciframa 3 i 8.

Podseti se

N 0

= {0, 1, 2,

°C °C °C

Proveri {ta zna{



12

BROJEVNA PRAVA.UPORE\IVAWE CELIH BROJEVA

! Na prvom crteù skala termometra prikazuje temperaturu vazduha od nula stepeni Celzijus

a) Kolika je temperatura prikazana na drugom crteù?

b) Oboj skalu na tre}em crteù tako da prikazuje temperaturu od 5 stepeni.v) Oboj skalu na ~etvrtom crteù tako da prikazuje temperaturu od minus tri stepena

i napi{i temperaturu.

g) Kolika je najnià, a kolika najvi{a prikazana temperatura?

" Odredi koordinate ta~aka M, N i K.

# Obeleì na brojevnoj polupravoj slede}e ta~ke: T (6), R(12), S(1), V (15) i H(9).

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x MN KO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

x

• brojevna prava

• ve}i broj

• mawi broj

U petom razredu u~ili smo da prirodne brojeve i nulu prikazujemo

na brojevnoj polupravoj.

Po~etna ta~ka O brojevne poluprave Ox naziva se koordinatni po~etak.

Du` OA je jedini~na du`.

Ta~ki B pridruèn je broj 3.

Broj 3 je koordinata ta~ke B, {to se zapisuje: B(3).Rastojawe izme|u ta~aka O i B jeste duìna duì OB.

Duìnu duì prikazane na brojevnoj polupravoj moèmo izraziti

brojem jedini~nih duì. Duìna duì OB iznosi tri jedini~ne duì.

0 1 2 3 4 5 6 x

B AO

BROJEVNA POLUPRAVA



$ Koliko su jedini~nih duì date ta~ke A, B i C udaqene od nule?

% Obeleì na brojevnoj polupravoj ta~ke P(6), R(1) i S(3).

& Ozna~i na brojevnoj polupravoj broj 225.

Objasni svoj postupak.

x B C A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

x O

0 1

x

0 100 200 300 400 500

Da ti kaèm

Pri re{avawu zadat

5 i 6 koristi lewir

{estar.

Broj 0 nije

ni pozitivan n

negativan broj

Data je brojevna poluprava Ox .

Prvi korakDopunimo brojevnu polupravu Ox do prave x . Desno od nule prikazani

su pozitivni celi brojevi.

Drugi korakJedini~ne duì nadovezujemo jednu na drugu od k oordinatnog po~etka ulevo.

Tre}i korakKrajevima jedini~nih duì koje se nalaze levo od koordinatnog po~etka

redom pridruùjemo brojeve –1, –2, –3… kao {to je prikazano na crteù.

Na brojevnoj pravoj desno od nule predstavqamo pozitivne cele brojeve,

a levo od nule negativne cele brojeve.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x O

0 1 2 3 4

x

0–1–2–3… –4 1 2 3 4 …

x

0 1 2 3 4

x

negativni celi brojevi

nula

pozitivni celi brojevi

PRIKAZIVAWE CELIH BROJEVA NA BROJEVNOJ PRAVOJ

Da ti kaèm



14

' Obeleì na brojevnoj pravoj ta~ke A(–5), B(–9), C(4) i D(–7).

( Napi{i koordinate ta~aka prikazanih na datim brojevnim pravama.

• Svaki pozitivan ceo broj ve}i je od nule.

• Svaki negativan ceo broj mawi je od nule.

• Svaki negativan ceo broj mawi je od svak og pozitivnog celog broja.

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

x

–4 –2 0 4 A x

–10 –5 0 5C x

–9 –3 0 3

B x

–200 –100 100 200

O x

Nau~ili smo da upore|ujemo brojeve iz skupa N 0. Za dva razli~ita broja

prikazana na brojevnoj polupravoj vaì da je mawi onaj k oji je s leve strane,

odnosno da je od dva broja ve}i onaj koji je s desne strane.

Na primer:

Za bilo koja dva razli~ita broja m i n iz N 0

vaì da je m < n ili m > n.

Zato kaèmo da je skup N 0

ure|en skup.

Skup Z dobili smo pro{irivawem skupa N 0. Svojstvo ure|enosti brojeva

koje vaì u skupu N 0

vaì i u skupu Z .

Za svaka dva razli~ita cela broja prikazana na brojevnoj pravoj vaì

da je mawi onaj koji je s leve strane, odnosno da je od dva broja ve}i onaj

koji je s desne strane.

Na primer:

Broj –4 je levo od broja 3, zna~i : –4 < 3.

Broj –2 je levo od 0, zna~i : –2 < 0.

Broj –7 je levo od –4, zna~i: –7 < –4.

Za bilo koja dva razli~ita broja a i b iz skupa Z tako|e vaì da je a < b

ili a > b. Dakle, skupZ

je ure|en skup.

–7 –4 –2 0 3

x

2 < 4, 4 < 6, 12 > 8, 3 > 0

UPORE\IVAWE CELIH BROJEVA KORI[]EWEM BROJEVNE PRAVE

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x



) Prikaì date brojeve na brojevnoj pravoj, uporedi ih i napi{i odgovaraju}u nejednak ost.

* Napi{i sve brojeve prikazane na brojevnoj pravoj koji su:

a) mawi od –1 b) ve}i od –2.

+ a) Na datoj brojevnoj pravoj prikaì brojeve –200, –199 i –197.

, Napi{i ceo broj koji se nalazi izme|u:a) 13 i 15 b) –1 i 1 v) –5 i –3 g) –2 i 0 d) –20 i –18.

b) Uporedi brojeve i napi{i odgovaraju}u nejednakost:

–200 i –197, –199 i –201, –196 i 0.

a) 4, 5 b) –8, 1 v) 3, –3 g) 2, 0

d) –4, 0 |) –3, –1 e) –1, –2 `) –7, –5

–4 –3 –2 –1 0 1 2

x

–201 –196

x

- U tabeli su dati celi brojevi i brojevi

koji se nalaze izme|u wih. Dopuni

tabelu kao {to je zapo~eto.

dati brojevi brojevi izme|u datih

–15 i –9 –14, –13, –12, –11, –10

8 i 12

0 i 4

–2 i 2

–9 i –5

–3, –2, –1, 0

. Zaokruì:a) najmawi broj: 17, 56, 71, 65 b) najve}i broj: 17, 56, 71, 65

v) najmawi broj: –2, –12, –4, –24 g) najve}i broj: –2, –12, –4, –24.

/ Zaokruì slova ispred onih brojeva koji su pore|ani od najmaweg do najve}eg.

a) 5, 6, 7, 8

b) 8, 7, 6, 5

v) –5, –6, –7, –8

g) –8, –7, –6, –5

d) –5, –6, 7, 8

|) –6, –5, 7, 8

Da ti kaèm

Crtawe bro

prave moè

ti pomo}i dre{i{ zada



16

: a) Napi{i koordinate za ta~ke A, B i C.

b) Obeleì na brojevnoj pravoj ta~ku D(–200).

v) Pore|aj od najmaweg do najve}eg brojeve: 150, 50, – 50, –200, –150 i 0.

–50 0 50 100

x B A C

! a) Nacrtaj brojevnu pravu i odredi ta~ke A(–3), B(0), C(4), D(–5).b) Napi{i koliko jedini~nih duì imaju duì AB, AC, BD i CD.

" Uporedi cele brojeve i upi{i umesto * znak > ili < tako da dobije{ ta~ne nejednakosti.

9 * 14 –9 * –14 0 * 7 0 * –6 –17 * –23 32 * 25

# Date brojeve pore|aj od najmaweg do najve}eg.a) 8, 9, 26, 15 b) –5, –10, –4, –12 v) 19, –9, –19, 0, 9

$ Date brojeve pore|aj od najve}eg do najmaweg.

a) 11, 1, 22, 2, 111, 222 b) –17, –7, –77, –1, –71 v) 0, –6, 66, 6, –66

Merewe temperature

Celzijusova skala zasniva se na podeli na100 jednakih delova izme|u ta~ke mr`wewavode (0°C) i ta~ke kqu~awa vode (100°C).Farenhajtova skala zasniva se na podeli na180 jednakih delova izme|u ta~ke mr`wewavode (32°F) i ta~ke kqu~awa vode (212°F).Vaì da je 0°F pribli`no –18°C i 100°F pribli`no 38°C.

Kelvin je osnovna jedinica u SI sistemu

(o tom sistemu mernih jedinica u~i{ vi{eu fizici). Raspon od jednog kelvina je 1°C.Najnià mogu}a temperatura u svemiru je 0 Ki naziva se apsolutna nula. Ta~ka mr`wewavode je oko 273 K. Vaì:

273 K = 0°C

0 K = –273°C

Temperatura je fizi~ka osobina koja predstavqa stepen zagrejanosti nekog tela. Na primer,

telesna temperatura na{eg organizma iznosi ne{to ispod 37°C. Temperatura vode, vazduhai ìvih bi}a meri se pomo}u termometra i toplomera.

Jedinice za merewe temperature su : stepen Celzijusa (°C), kelvin (K) i stepen Farenhajta (°F).

Proveri {ta zna{



SUPROTNI BROJEVI.APSOLUTNA VREDNOST CELOG BROJA

! Plava i crvena ekipa takmi~e se u potezawu uèta. Na po~etku takmi~ewa zastavica je na nuli

a) Ako je duìna jedini~ne duì 1 m, koliko je metara prvi ~lan plave ekipe udaqen od nulena po~etku takmi~ewa?

Koliko je metara prvi ~lan crvene ekipe udaqen od nule?

b) Koliko je metara prvi ~lan plave ekipe udaqen od nule na drugoj slici?


Koja je ekipa u prednosti? •

crvena •

plava •

nijedna

v) Koliko je metara prvi ~lan plave ekipe udaqen od nule na tre}oj slici?


Koja je ekipa u prednosti? • crvena • plava • nijedna

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

" Prikaì na brojevnoj pravoj ta~ke M i N, jednako udaqene od ta~ke O(0), kao {to je zapo~eto.

a)

b)

–2 –1 0 1 2

x M N

–2–3 –1 0 1 2 3

x N

–2–3–4 –1 0 1 2 3 4

x M

• suprotni brojevi

• apsolutna vrednost

broja

Da ti kaèm

Koordinate ta~aka Msu suprotni brojevi



18

# Odredi i obeleì na brojevnoj pravoj brojeve suprotne brojevima 2, 5 i 8.

$ Odredi i obeleì na brojevnoj pravoj brojeve suprotne brojevima –7, –4 i –1.

% Popuni tabelu.

0 2 5 8

x

–1–4–7

x

Broj 2 –6 0

Suprotan broj 5 –4

& Napi{i dva razli~ita broja koja su na brojevnoj pravoj

pridruèna ta~kama udaqenim od koordinatnog po~etka:a) sedam jedini~nih duì

b) deset jedini~nih duì

v) sedamdeset jednu jedini~nu du`.

Dva cela broja me|usobno su suprotna ako su im pridruène ta~ke

na brojevnoj pravoj koje se nalaze:• sa raznih strana ta~ke O(0)• na jednakom rastojawu od ta~ke O(0).

Na primer:

Na crteù se ta~ke A i B nalaze sa raznih strana ta~ke Oi udaqene su od we za tri jedini~ne duì. Wihove k oordinate,

brojevi –3 i 3, jesu suprotni brojevi.

Neka je n ∈N. Suprotan broj broju n jeste broj –n.

Suprotan broj broju –n jeste broj n.

Suprotan broj nuli jeste nula.

–3 0 3

x A B

SUPROTNI BROJEVI



SUPROTNI BROJEVI

' Koji je broj suprotan broju –9? Koji je odgovor ta~an?

a) –(+9) b) +(–9) v) –(–9)

( Datom broju u zagradi odredi suprotan broj kao {to je zapo~eto.

a) –(+7) = –7 b) –(+23) v) –(–9)g) –(–14) d) –(20) |) –(0)

Za svaki broj a

Z brojevi a i –a jesu suprotni brojevi.

–a 0 a

x

) Obeleì na brojevnoj pravoj ta~ke A i B. Ako je duìna jedini~ne duì 1 cm,

koliko je rastojawe od ta~aka A i B do koordinatnog po~etka?

a) A (+4), B (–2)

b) A (–5), B (+5)

x

0

x

0

Da ti kaèm

oznaka zasuprotan

broj –(

–(

Pozitivne broj

moè{ da pi{e

sa predznakom +

ili bez predzna

Rastojawe od ta

do ta~ke O jeste

duìna duì O

Suprotan broj broju a dobija se kada ispred tog broja napi{emo znak „–“.

Ako je a = +5, onda je wegov suprotan broj –a = –(+5).Znamo da je broju +5 suprotan broj –5, {to zna~i da je:

–(+5) = –5Ako je a = –7, onda je wegov suprotan broj –a = –(–7).Znamo da je broju –7 suprotan broj +7, {to zna~i da je:

–(–7) = +7 = 7

U zapisima –(+5) i –(–7) zagrada razdvaja dva predznaka koja su napisana

jedan za drugim.

ODRE\IVAWE SUPROTNIH BROJEVA



20

Suprotni brojevi a i –a imaju jednake apsolutne vrednosti.

|a| = |–a|Na primer:

Za ta~ke A(–4) i B(4) vaì da su rastojawa od ta~ke O do svake

od wih jednaka i iznose 4 jedini~ne duì. Zapisujemo :

|–4| = |4| = 4

b) Odredi apsolutne vrednosti brojeva: –6, –1, 5, 8, 105, –72.

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

–2–3 A(–4)

|–4| |4|

–1 0 1 2 3 B(4)

x

* a) Odredi i obeleì na brojevnoj pravoj ta~ke kojima su pridruèni slede}i brojevi :–6, –1, +5 i 8.

Da ti kaèm

Oznaka | | koristise za apsolutnu

vrednost broja.

APSOLUTNA VREDNOST SUPROTNIH BROJEVA

Rastojawe od ta~ke A(a) do koordinatnog po~etka O(0) naziva

se apsolutna vrednost celog broja a i obeleàva se sa |a|.Na primer:

–2–3B(–4)

|–4| |3|

–1 O(0) 1 2 A(3) x

APSOLUTNA VREDNOST CELOG BROJA

Rastojawe od ta~ke A(3) do ta~ke O iznosi 3 jedini~ne duì.

To rastojawe nazivamo apsolutna vrednost broja 3.

Zapisujemo:|3| = 3

Rastojawe od ta~ke B(–4) do ta~ke O iznosi 4 jedini~ne duì.

To rastojawe nazivamo apsolutna vrednost broja –4.

Zapisujemo:|–4| = 4

Apsolutna vrednost broja razli~itog od nule jeste pozitivan broj.

Dakle, apsolutna vrednost pozitivnog broja je pozitivan broj

i apsolutna vrednost negativnog broja je pozitivan broj.

Apsolutna vrednost nule je nula.

|0| = 0



|a| =

a, kada je a > 0

0, kada je a = 0

–a, kada je a < 0

, Popuni tabelu kao

{to je zapo~eto.

+ Zaokruì brojeve koji imaju jednake apsolutne vrednosti.

a) –8, –6, –5, 1, 6, 7 b) –52, 34, –25, –43, 52 v) 101, –103, 102, –104, 103, –105

Koriste}i datu definiciju, odredi |a| ako je: a) a = 5 b) a = –5 v) a = 0.

a) |a| = |5| = 5, zato {to je 5 > 0

b) |a| = |–5| = –(–5) = 5, zato {to je –5 < 0

v) |a| = |0| = 0

- Koje su jednakosti ta~ne?

a) |+37| = 37 b) |+37| = –37 v) |–37| = –37 g) |–37| = –(–37) d) |–37| = –(+37)

a 6 –6 0 +27

–a –6 14 –32

|a| 6

|–a| 6

Apsolutna vrednost broja a, za a ∈Z , defini{e se na slede}i na~in :

Prethodnu definiciju moèmo re~ima iskazati na slede}i na~in :• Apsolutna vrednost pozitivnog broja jednaka je tom broju.

• Apsolutna vrednost broja nula je nula.

• Apsolutna vrednost negativnog broja jednaka je wegovom suprotnom broju.

! Neka je broj m ∈{34, 21, –55, 76, 0, –98}. Tabelom prikaì brojeve m, suprotne brojeve –m,apsolutne vrednosti |m| i |–m| kao u zadatku 12 na ovoj strani.

" Prikaì na brojevnoj pravoj ta~ke kojima su pridruèni brojevi :a) 9 i –9 b) ~ija je apsolutna vrednost 6.

# Izra~unaj.

a) –(–82) b) –(+111) v) +(+25) g) |–15| d) |+91| |) |74| e) |–91|

APSOLUTNA VREDNOST BROJA

PRIMER

Proveri {ta zna{



22

APSOLUTNA VREDNOST BROJA.UPORE\IVAWE CELIH BROJEVA

! Na crteìma su date zimske temperature nekih gradova merene istog dana u isto vreme.

" a) Predstavi slede}e brojeve na brojevnoj pravoj : –3, 2, –2, i –1.

# Koja je ta~ka najblià koordinatnom po~etku,

a koja je najdaqa?

a) A(72), K(27), M(2), S(7)b) T

(–72

), J

(–27

), V

(–2

), N

(–7

)

b) Pore|aj date brojeve od najmaweg do najve}eg.

v) Odredi apsolutne vrednosti datih brojeva.

a) U kom je gradu temperatura najvi{a?

b) U kom je gradu temperatura najnià?

Be~

–16°C

London

–17°C

Beograd

–13°C

0 1

x

U prethodnim razredima nau~ili smo da upore|ujemo pozitivne brojeve.

Upore|ivawe negativnih brojeva moèmo da svedemo na upore|ivawe pozitivnih

tako {to }emo da odredimo wihove apsolutne vrednosti i uporedimo ih.

Kada brojeve predstavimo na brojevnoj pravoj, od dva negativna broja mawi

je onaj koji je daqe od koordinatnog po~etka. To zna~i da je wegova apsolutna

vrednost ve}a od apsolutne vrednosti broja s kojim ga upore|ujemo.

a < 0, b < 0, a < b

|a| > |b| a

|a||b|

b 0

x

Pravilo za upore|ivawe dva negativna broja glasi :• Od dva negativna broja mawi je onaj ~ija je apsolutna vrednos t ve}a.

Podseti se

Rastojawe od ta~ke do koordinatnog

po~etka jeste apsolutna vrednost

odgovaraju}eg broja.

• upore|ivawe

negativnih brojeva

Da ti kaèm

Najvi{a

temperatura

je najve}i broj,

a najnià je

najmawi broj.

Pariz

–11°C

UPORE\IVAWE NEGATIVNIH BROJEVA



$ a) Odredi apsolutne vrednosti za brojeve:

–19, –27, –35.

b) Uporedi i napi{i odgovaraju}u nejednakost:

|–19| i |–27| |–27| i |–35| |–35| i |–19|–19 i –27 –27 i –35 –35 i –19.

% Koriste}i apsolutnu vrednost, uporedi slede}e brojeve i napi{i odgovaraju}u nejednakost.

a) –11, –12

b) –54, –45

' Zaokruì najve}i broj.

–66 –69 –16 –19 –61

( Zaokruì najmawi broj.3 8 –11 0 –2 4 –3

) Uporedi brojeve i napi{i odgovaraju}u nejednakost:

a) 4 i 5 9 i 0 17 i 12

b) –1 i –3 0 i –7 –8 i –2.

& a) Popuni tabelu.

x –250 –320 –125

| x |

Uporedi brojeve –6 i –8.

Prvi korak Odredimo wihove apsolutne vrednosti:|–6| = 6 |–8| = 8

Drugi korak Uporedimo apsolutne vrednosti:|–6| < |–8|, zato {to je 6 < 8

Tre}i korak Zakqu~ujemo:–6 > –8

Podseti se

Svaki negativan ceo brmawi je od svakog pozit

celog broja i od nule.

Pogledaj stranu 14.

PRIMER

Da ti kaèm

Pravilo za upore|ivawe dva

negativna broja moèmo danapi{emo i ovako:Od dva negativna broja ve}i je

~ija je apsolutna vrednost maw

b) Koji je broj iz prvog reda tabele :

• najmawi

• najve}i?



24

Ako se me|u datim brojevima nalaze

i pozitivni i negativni brojevi,

a treba ih napisati u opadaju}em

poretku, uradi to prvo za pozitivne

brojeve, a zatim za negativne.

* Dati su brojevi: –10, –1, 1, 0, –112.

a) Napi{i najmawi broj. b) Napi{i najve}i broj.

+ Dati su brojevi: 3, –2, –5, 1, 0.

a) Izdvoj negativne brojeve i napi{i ih u poretku od maweg ka ve}em.

b) Izdvoj pozitivne brojeve i napi{i ih u poretku od maweg ka ve}em.

v) Sve date brojeve napi{i u poretku od najmaweg do najve}eg.

, Zaokruì slova ispred onih brojeva

koji su u rastu}em poretku.

a) 9, 10, 11, 12

b) 12, 11, 10, 9

v) –9, –10, –11, –12

g) –12, –11, –10, –9

d) –9, –10, 11, 12

|) –10, –9, 11, 12

- Napi{i date brojeve u opadaju}em poretku.

a) 82, 28, 22, 88

b) –11, –31, –13, –33

v) 4, –14, –44, 14, 0

! a) Odredi apsolutne vrednosti brojeva –59, –68, –47 i –73.

b) Pore|aj date brojeve od najve}eg do najmaweg.

" Dati su brojevi: 120, –212, –142, –204, 142. Napi{i:a) najmawi broj b) najve}i broj

v) date brojeve u rastu}em poretku g) date brojeve u opadaju}em poretku.

# Napi{i u rastu}em poretku sve cele brojeve koji su izme|u –8 i 8.

Da ti kaèm

Za brojeve koji su pore|ani od najmaweg do

najve}eg kaè se da su u rastu}em poretku.

Npr.: –5, –2, 4, 9, 10.

Za brojeve koji su pore|ani od najve}eg do

najmaweg kaè se da su u opadaju}em poretku.

Npr.: 10, 9, 4, –2, –5.

Proveri {ta zna{

Nau~ili smo da upore|ujemo cele brojeve kori{}ewem brojevne prave.

Od dva broja ve}i je onaj koji je desno od drugog na brojevnoj pravoj.

• Broj 0 ve}i je od svakog negativnog broja i mawi od svakog pozitivnog broja.

• Svaki pozitivan broj ve}i je od bilo kog negativnog broja.

• Od dva negativna broja ve}i je onaj ~ija je apsolutna vrednos t mawa zato {to je

na brojevnoj pravoj on bliì nuli.

…–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4… x

PRAVILA ZA UPORE\IVAWE DVA CELA BROJA



SABIRAWE CELIH BROJEVA

! U jednoj zgradi postoje pet spratova, prizemqe

i garaè na prvom i drugom nivou ispod zemqe.

Neboj{a se parkirao u garaì na drugom nivou

i liftom se popeo ~etiri nivoa do svog stana.Na kom spratu ìvi Neboj{a?


a) na ~etvrtom spratu

b) na tre}em spratu

v) na drugom spratu

Podseti se

4 + 3 = 7

sabirci

zbir

vrednos

• zbir dva cela br

istog znaka

• zbir dva cela br

razli~itog znak

Da ti kaèm

–4 + (–3)zagrada razdvajaznake „+” i „–”

Znak „+” je znak za

sabirawe, a „–” pred

za negativan broj.

+3

+4

+5

+2

+1

0

-1

-2

Pokaza}emo na brojevnoj pravoj kako se sabiraju dva

cela broja.

Svaki sabirak ozna~i}emo strelicom nadesno ako je

sabirak pozitivan ili nalevo ako je sabirak negativan.

Polazimo uvek od koordinatnog po~etka. Na strelicu

koja ozna~ava prvi sabirak nadovezujemo strelicu koja

ozna~ava drugi sabirak.

Kraj druge strelice pokazuje broj na brojevnoj pravoj koji

predstavqa zbir datih brojeva.

Predstavimo na brojevnoj pravoj zbir dva pozitivna broja,

na primer zbir brojeva 4 i 3.

Predstavimo na brojevnoj pravoj zbir dva negativna

broja, na primer zbir brojeva –4 i (–3).

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

x

4 + 3 = 7

+4 +3

–4–3

–4 + (–3) = –7

SABIRAWE CELIH BROJEVA ISTOG ZNAKA



26

–10–20–30 0 10 20 30 40 50 60 70

x

" Izra~unaj koriste}i brojevnu pravu.

# Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) –5 + (–9) = –(5 + 9) = –14 b) –12 + (–45)v) –15 + (–10) g) –11 + (–17)

$ Izra~unaj.

a) –7 + (–8) b) –20 + (–4)v) 30 + 40 g) 7 + 5

d) 3 + 4 + 6 |) –3 + (–4) + (–6)

a) 10 + 50

–50–60–70 –40 –30 –20 –10 0 10 20 30

x b) –10 + (–50)

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x v) –1 + (–5)

–7–8 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

x g) –6 + (–2)

Kada sabiramo dva cela broja istog znaka,

sabiramo wihove apsolutne vrednosti

i zadràvamo u rezultatu znak sabiraka.

ZBIR DVA CELA BROJA ISTOG ZNAKA

•

Zbir dva pozitivna broja: +a + (+b) = a + b, za a, b

N • Zbir dva negativna broja: –a + (–b) = –(a + b), za a, b

N

Da ti kaèm

Predznak pozitivnog broja

moè{ da izostavi{.

+6 + (+5) = 6 + 5

Zbir dva pozitivna broja

je pozitivan broj.

Zbir dva negativna broja

je negativan broj.

Izra~unaj. a) +6 + (+5) b) –3 + (–9)

a) +6 + (+5) = 6 + 5

= 11

b) –3 + (–9)= –(3 + 9)= –12

sabirawe pozitivnih celih brojeva

jeste sabirawe prirodnih brojeva

sabiramo brojeve 3 i 9

i zadràvamo znak „–“

P

RIMER



% Saberi brojeve koriste}i brojevnu pravu.

a) 3 + (–2)

b) –4 + 2

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

–6 –5 –4 –3 –2 –10 1 2 3 4 5 6

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

Neka su brojevi a, b

N .

• Ako je a > b, vaì: a+ (–b) = a – b

–a + b = –(a – b)• Ako je a < b, vaì: a+ (–b) = –(b – a)

–a + b = b – a

ZBIR DVA CELA BROJA RAZLIÎTOG ZNAKA

v) 4 + (–6)

g) –2 + 6

Prikaìmo na brojevnoj pravoj sabirawe dva cela broja razli~it og

znaka. Kao i do sada, za pozitivan sabirak koristimo strelicu

usmerenu nadesno, a za negativan sabirak strelicu usmerenu nalevo.

Predstavimo na brojevnoj pravoj zbir pozitivnog i negativnog broja,

na primer zbir brojeva 5 i –3.

Predstavimo na brojevnoj pravoj zbir negativnog i pozitivnog broja,

na primer zbir brojeva –5 i 3.

5 + (–3) = 2

–5 + 3 = –2

+5

–3

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

–5+3

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

SABIRAWE CELIH BROJEVA RAZLIÎTOG ZNAKA



28

Kada sabiramo dva cela broja razli~itog znaka, oduzimamo

od ve}e apsolutne vrednosti mawu i zadràvamo u rezultatu

znak broja ~ija je apsolutna vrednost ve}a.

& Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) 9 + (–6) = 9 – 6 = 3 b) –7 + 4 = –(7 – 4) = –3

v) –17 + 20 g) 19 + (–22)

' Izra~unaj.

a) 20 + (–4)b) –10 + 3

v) –30 + 40

g) 8 + (–12)

( Izra~unaj.

a) 13 + (–50) b) –1 + (–21) v) –36 + 40 g) –23 + (–13)d) –100 + (–39) |) 65 + (–64) e) 56 + 14 `) –9 + (–9)

) Koji zbir ima vrednost –8? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

a) –12 + (–4) b) –11 + 3 v) –5 + 3 g) 9 + (–1)

* Koji zbir NEMA vrednost –3? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

a) –4 + 1 b) –2 + (–1) v) 7 + (–10) g) 6 + (–3)

+ Koji zbir brojeva je nula? Zaokruì slova ispred ta~nih odgovora.

a) –8 + (–8) b) –8 + 8 v) 8 + (– 8) g) 8 + 8

Da ti kaèm

Primeri sabirawa dva cela broja :5 + 4 = 9

–5 + (–4) = –9

5 + (–4) = 1

–5 + 4 = –1

Izra~unaj. a) 6 + (–5) b) –8 + 3 v) 2 + (–9) g) –4 + 7

a) 6 + (–5) = 6 – 5= 1

b) –8 + 3 = –(8 – 3)= –5

v) 2 + (–9) = –(9 – 2)= –7

g) –4 + 7 = 7 – 4= 3

kako je 6 > 5, rezultat je pozitivan i ra~unamo razliku 6 – 5

kako je 8 > 3, rezultat je negativan i ra~unamo razliku 8 – 3

kako je 9 > 2, rezultat je negativan i ra~unamo razliku 9 – 2

kako je 7 > 4, rezultat je pozitivan i ra~unamo razliku 7 – 4

P

RIMER



, Izra~unaj.

a) 2 + 0 b) 0 + 7

v) –9 + 0 g) 0 + (–5)

Zbir dva suprotna broja a i –a je nula.

a + (–a) = 0 ili –a + a = 0

Na primer:

3 + (–3) = 0 –2 + 2 = 0

–2–3 –1 0 1 2 3

x

–2–3 –1 0 1 2 3

x

- Popuni tabelu.

. Jutarwa temperatura jednog dana u januaru je –11°S. Kolika je temperatura u podne

ako je porasla za:

a) 3°S b) 11°S v) 13°S?

/ Porodica Vasi} duguje Elektrodistribuciji 1 200 dinara za struju.

Kakvo }e biti wihovo stawe na ra~unu ako uplate:

a) 1 000 dinara

b) 1 200 dinara

v) 2 000 dinara?

a 19 –6 7 18 5 –6 –20 –4 –7 0

b 8 –15 –13 –9 9 6 0 4 –5 –19

a + b

" Izra~unaj.

13 + 58, –28 + (–17), –46 + (–46), –51 + 9, 60 + (–4), –18 + 3, 16 + (–178)

Podseti se

Zbir nule i bilo kog prirodnog broja jeste taj

Isto va`i i za cele brojeve : zbir nule i bilo k

celog broja jeste taj ceo broj.

! Koriste}i brojevnu pravu, izra~unaj slede}e zbirove :

–8 + (–1), –4 + (–4), –5 + 9, 6 + (–4), –8 + 3, 6 + (–8).

Da ti ka`em

Ako Vasi}i duguj

novac, stawe na

wihovom ra~unu

izrazi negativni

brojem.

ZBIR DVA SUPROTNA BROJA

Proveri {ta zna{



30

SVOJSTVA OPERACIJE SABIRAWA

• svojstvo komutacije

• svojstvo asocijacije

• zbir suprotnih broje

• zbir celog broja i nu

U skupu N prirodnih brojeva za operaciju sabirawa vaè svojstvo komutacije

(zamena mesta sabiraka) i svojstvo asocijacije (zdruìvawe sabiraka).Ta svojstva se prenose i na skup Z celih brojeva.

Primer 1Prikaìmo na brojevnoj pravoj zbir

4 + (–6) = –2

Vrednosti zbirova u primeru 1 i primeru 2 su jednak e. Zbir se ne mewa ako sabirci

zamene mesta: 4 + (–6) = –6 + 4

SVOJSTVO KOMUTACIJE


–6 + 4 = –2

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

x

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 x

SVOJSTVO KOMUTACIJE I SVOJSTVO ASOCIJACIJE

! Dejan na ra~unu u banci ima 12 000 din. K upio je deo za ra~unar

koji ko{ta 15 000 din. i zaduìo se. Nina je uplatila 12 000 din.

na svoj ra~un da bi smawila dug, jer je weno dugovawe bilo

15 000 din. Ko sada ima ve}i dug na ra~unu? Koji je odgovor ta~an?

a) Dejan

b) Nina

v) imaju isti dug

Wihovo stawe na ra~unu moè{ da izra~una{ na slede}i na~in :Dejan: 12 000 + (–15 000)Nina: –15 000 + 12 000



a ti kaèm

Prvo ra~una{ vred

izraza koji je u zagr

Vrednosti zbirova u primeru 3 i u primeru 4 su jednak e. Kada ra~unamo zbir

tri sabirka, svejedno je kojim redom zdruùjemo sabirke i moèmo da pi{emo :(–6 + 3) + 2 = –6 + (3 + 2)

Kada sabiramo vi{e celih brojeva, moèmo da ih zdruùjemo bilo k ojim

redom, {to zna~i da moèmo da pi{emo izraz i bez zagrade. Na primer :

− + −( )( ) + −( ) = − + − + −( )( ) = − + −( ) + −( )6 9 4 6 9 4 6 9 4


(–6 + 3) + 2

Prvo izra~unamo: –6 + 3 = –3, a zatim:–3 + 2 = –1

(–6 + 3) + 2 = –1

svojstvo komutacije

SVOJSTVO ASOCIJACIJE


–6 + (3 + 2)

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2

x

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

x

Prvo izra~unamo: 3 + 2 = 5, a zatim :5 + (–6) = –1

–6 + (3 + 2) = –6 + 5 = 5 + (–6) = –1

" a) Izra~unaj.

b) Kakvi su rezultati u svakoj koloni? Objasni svoj odgovor.

7 + (–15) –8 + 8 –6 + 0

–15 + 7 8 + (–8) 0 + (–6)

# Izra~unaj pod b) kao {to je ura|eno pod a).

a) –6 + (–4 + 5) = –6 + 1 = –5 (–6 + (–4)) + 5 = –10 + 5 = –5

b) –11 + (11 + 49) (–11 + 11) + 49

v) Koje je svojstvo kori{}eno u ovim primerima?



32

' Na osnovu teksta sastavi izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

a) Zbiru brojeva –74 i 24 dodaj 50. .

b) Broju 62 dodaj zbir brojeva –25 i 25.

$ Zaokruì slovo ispred ta~ne jednakosti.

a) –13 + 19 = –19 + 13

b) –13 + (–19) = 19 + 13

v) 13 + (–19) = 19 + 13

g) –13 + 19 = 19 + (–13)

% Zaokruì slovo ispred ta~ne jednakosti.

a) 17 2 8 17 2 8+ − +( ) = + −( )( ) + −( )

& Izra~unaj.

a) –180 + 180

b) 0 + (–2 136)v) –7 + 7 + (–4)

U skupu celih brojeva za svaka tri broja a, b i c vaì:

• svojstvo komutacije za sabirawe

a + b = b + a

• svojstvo asocijacije za sabirawe

a + (b + c) = (a + b) + c

• zbir dva suprotna broja je nula

a + (–a) = –a + a = 0

• ako je jedan sabirak nula, zbir je jednak drugom sabirku

a + 0 = 0 + a = a

Kaèmo da je 0 neutralan element sabirawa jer ne uti~e

na vrednost zbira.

SVOJSTVA OPERACIJE SABIRAWA

Da ti kaèm

Pogledaj na

str. 29 tekst

Zbir dvasuprotna brojai zadatak 12.

b) –11 + (4 + 7) = (–11 + 4) + ( –7)v) − + −( )( ) + = − + − +( )6 3 3 6 3 3

g) 19 9 1 19 9 1+ −( )( ) + −( ) = + − +( )



Prvi na~in

Sabiramo dva po dva sabirka redom :

4 + 7 + (–8) + 5 + (–2)= 11 + (–8) + 5 + (–2)= 3 + 5 + (–2)

= 8 + (–2)= 6

) Izra~unaj vrednost zbira na dva na~ina.

19 + (–27) + 41 + (–23)

* Izra~unaj.

(–10 + 4 + 6) + (–8 + 3 + 5)

+ Izra~unaj zdruùju}i suprotne sabirke, kao {to je zapo~eto.

8 + 6 + (–9) + 9 + (–6) = 8 + (–9 + 9) + (6 + (–6))

, Koriste}i svojstvo da je zbir suprotnih brojeva 0, izra~unaj:a) –2 + (–1) + 0 + 1 + 2

b) zbir svih celih brojeva od –50 do 51.

Zbir 4 + 7 + (–8) + 5 + (–2) moèmo da izra~unamo na vi{e na~ina

kori{}ewem svojstava sabirawa.

! Izra~unaj.

a) –89 + 89 b) 223 + 96 + (–223)

v) 405 + (–37) + 55 + (–63) g) –49 + (–71) + 64 + 126 + 120

" Na osnovu teksta sastavi izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

a) Zbiru brojeva –202 i –101 dodaj 303.

b) Broju –1 000 dodaj zbir brojeva 256 i –56.

v) Zbiru brojeva –43, 27 i –35 dodaj zbir brojeva 35, 23 i –17.

Podseti se

–9 + 9 = 0

6 + (–6) = 0

P

RIMER

Da ti kaèm

Svejedno je da l

sabira{ pozitiili negativne b

Sabirke mo

da zapi{e{

kojim redo

Proveri {ta zna{

( Zbir brojeva –39, 57 i –11 izra~unaj na dva na~ina, kao {to je zapo~eto.

Prvi na~in Drugi na~in

–39 + 57 + (–11) = 18 + (–11) –39 + (–11) + 57 = –50 + 57

Drugi na~inPrimewujemo svojstva

asocijacije i komutacije

i sabiramo sve pozitivne,

a zatim sve negativne sabirke:4 + 7 + (–8) + 5 + (–2)=

= 16 + (–10)= 6

4 7 5 8 2+ +( ) + − + −( )( )



34

ODUZIMAWE CELIH BROJEVA

18 h 24 h12 h

Podseti se

5 – 3 = 2

umawenik

umawilac

razlik

• razlika dva cela bro

Pokaìmo kako moèmo da napi{emo izraz kojim smo izra~unali

temperaturu u 18 h i u 24 h u prethodnom zadatku.

Da bismo izra~unali temperaturu u 18 sati, moèmo da pos tupimo

na dva na~ina.

Prvi na~in Ra~unamo razliku temperatura od 5°C i 3°C i pi{emo:5 – 3 = 2

Drugi na~in Ra~unamo zbir temperatura od 5°C i –3°C i pi{emo:5 + (–3) = 2

Vidimo da je: 5 – 3 = 5 + (–3) = 2

Isto postupamo da bismo odredili temperaturu u 24 sata.

Prvi na~in Ra~unamo razliku temperatura od 2°C i 6°C i pi{emo:2 – 6 = –4

Drugi na~in Ra~unamo zbir temperatura od 2°C i –6°C i pi{emo:2 + (–6) = –4

Vidimo da je: 2 – 6 = 2 + (–6) = –4

Brojevi 3 i –3, kao i brojevi 6 i –6, jesu suprotni brojevi. Na osnovu

ovih primera moèmo da primetimo da oduzimawe celog broja daje

isti rezultat kao i sabirawe wemu suprotnog broja.

vrednost od –4°C moèmo

da pro~itamo s termometra

! a) U 12 h izmerena je temperatura od 5°C. Do 18 h temperatura

je opala za 3°C, a do 24 h opala je za jo{ 6°C. Oboj skale na drugom

i tre}em termometru tako da pokazuju temperature u 18 h i 24 h.

b) Za koliko je stepeni temperatura izmerena u podne ve}a od pono}ne temperature?

ODUZIMAWE CELIH BROJEVA



RAZLIKA DVA CELA BROJA

Isto postupamo pri ra~unawu razlike izmerenih temperatura u 12 h i 24 h.

5 – (–4) = 5 + 4 = 9

Ovu jednakost moèmo da iskaèmo re~ima :Kada od broja 5 oduzmemo broj –4, dobijamo isti rezultat kao kada broj 5

saberemo s brojem suprotnim broju –4, to jest s brojem 4.

Za a, b

Z vaì da je:a – b= a + (–b)

Razlika dva cela broja a i b jednaka je zbiru broja a i broja suprotnog broju b.

Izra~unajmo razliku brojeva: a) 4 i 6 b) 4 i –6 v) –4 i 6.

a) 4 – 6 = 4 + (–6)= –2

b) 4 – (–6) = 4 + 6

= 10

v) –4 – 6 = –4 + (–6)= –10

" Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) 4 – 7 = 4 + (–7) b) 4 – (–7) = 4 + 7

v) –4 – 7 = – 4 + (–7) g) –4 – (–7) = –4 + 7

d) 7 – 4 = 7 + (–4) |) 7 – (–4) = 7 + 4

e) –7 – 4 = –7 + (–4) `) –7 – (–4) = –7 + 4

Podseti se

Brojevi 7 i –7, k

i brojevi 4 i –4

suprotni brojevi

oduzeti 6 zna~i dodati –6

izra~unat zbir

oduzeti –6 zna~i dodati 6

izra~unat zbir

oduzeti 6 zna~i dodati –6

izra~unat zbir

# Oduzimawe svedi na sabirawe i izra~unaj.

a) 8 – (–1) b) 4 – (–4)v) –6 – (–6) g) 2 – 9

d) –1 – 5 |) 7 – 6

P

RIMER

U skupu prirodnih brojeva N uvek moèmo da saberemo bilo koja dva prirodna broja,

a moèmo da oduzmemo samo mawi broj od ve}eg.

U skupu celih brojeva Z moèmo da izra~unamo zbir i razliku bilo koja dva broja.To je zato {to u skupu Z oduzimamo tako {to datom broju dodajemo suprotan broj.

Kaèmo da su sabirawe i oduzimawe uvek izvodqive operacije u skupu Z .



36

$ Izra~unaj.

a) 16 – 12 b) 13 – 19 v) –21 – 17 g) –15 – (–11) d) –23 – (–28)

% Popuni tabelu.

& Izra~unaj.

a) 0 + 2 –3 + 0 4 – 0

b) 0 – 5 0 – (–6) –1 – 0

' Oduzimawe svedi na sabirawe i izra~unaj.

a) 2 – (–5) + (–4)b) 10 + (–5) – (–8)v) –0 + (–20) – (–30)

( Zapi{i i izra~unaj razliku brojeva :

a) 11 i 8 b) 8 i 11

v) –11 i 8 g) –11 i –8

d) 8 i –11 |) –8 i –11.

) Izra~unaj.

a) –14 + 15 b) –12 – 19

v) 16 – 21 g) 150 – 225

a 18 –7 –9 15 5 –5

a – 9

a – (–9)

! Izra~unaj.

a) 1 – 5 b) 7 – 5 v) –2 – 1 g) –5 – (–8) d) –8 – (–3) |) –9 – 4 e) 10 – (–3

" Zapi{i i izra~unaj razliku brojeva.

a) –6 i 9 b) –10 i –20 v) 5 i 18 g) 7 i –25 d) 0 i –6 |) –52 i 14 e) –18 i –2

# Izra~unaj.

a) –10 + 25 + 15 b) 10 – 25 + 15 v) 10 – 25 – 15 g) –10 – 25 + 15

Podseti se

–3 + 5 = 2

–5 + 3 = –2

3 – 5 = –2

–5 – 3 = –8

Da ti ka`em

Ako je umawilac nula,

razlika je jednaka

umaweniku.

Ako je umawenik nula,

razlika je broj suprotan

umawiocu.

Proveri {ta zna{



! U igri natezawa konopca:• ~etiri {estaka mogu da povuku kao pet petaka

• tri petaka i dva {estaka mogu da povuku kao jedno magare.

Ako su s jedne strane magare i jedan petak, a s druge {est {estaka, ko je ja~i?

" Sastavi magi~ni kvadrat akose zna da je zbir po vrstama,

kolonama i dijagonalama –3.

# Popuni magi~ni kvadrat ~iji su elementi :a) –15, –12, –9, –6, –3, 0, 3, 6, 9

b) –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0.

$ a) Popuni prazna poqa magi~nog kvadrata tako da karakteristi~ni zbir bude –6.

b) Celim brojevima od –4 do 11 popuni prazna poqa magi~nog kvadrata.

I TO JE MATEMATIKA

–3

–1 –5

6 3

–5 0

–3 2

5 4

–2 8

5 6

4 2

–4

a)

a)

b)

b)

Da ti ka`em

Zbir po vrstama, kolon

i dijagonalama nazivam

karakteristi~ni zbir.

Karakteristi~an zbir dobija{ tako {

sabere{ date brojeve i zbir podeli{

Poku{aj da od datih brojeva sastavi{

osam zbirova od po tri sabirka, jednakarakteristi~nom zbiru.

Sabirak koji se pojavi u ~etiri zbira

upi{i u centralno poqe.

Sabirke koji se pojave u tri zbira upi

u uglove kvadrata.



38

ISTRA@IVA^KI ZADATAK

Re~ kviz je engleskog porekla i zna~i ispit. Kviz je ispitivawe ne~ijeg znawa, kao i takmi~ewe

u znawu i ve{tini iz razli~itih oblasti. Pitawa, zadaci ili igre u kvizu mogu ti k oristiti

da proveri{ svoje znawe iz neke oblasti, da se zabavi{ i ispita{ drugove u odeqew u

ili ~lanove porodice.

Predlaèmo ti deset pitawa i pravila za bodovawe, a ti moè{ sas taviti svoju varijantu.

! Koji je od navedenih brojeva najbliì

nuli?

a) –1 b) 2 v) –3

" Zbir suprotnih brojeva –8 i +8 je:a) –16 b) 0 v) +16

# Apsolutna vrednost broja –5 je:a) 5 b) –5 v) 0

& Broj –7 je ve}i od broja –8 za:a) –15 b) –1 v) +1

$ Razlika brojeva 2 i –3 je:a) –5 b) –1 v) +5

%Mawi broj od –17 je:a) 1 b) –20 v) –10

' Zbir svih celih brojeva od –5 do 6 je:a) 6 b) 1 v) –11

( Najve}i negativan jednocifren ceo

broj je:

a) 1 b) –1 v) –9

) Temperatura vazduha u 7 h je –3°C. Ako je

svakog sata temperatura rasla za jedan

stepen, u koliko je sati izmereno 0°C?

a) u 4 h b) u 8 h v) u 10 h

* Ivan se sa tre}eg sprata spustio liftom ~etiri

nivoa. Lift se zaustavio:a) u podrumu b) u prizemqu v) na prvom spra

Matemati~ki kviz

Pravila za bodovawe

Za ta~an odgovor takmi~ari dobijaju predloèn broj bodova iz tabele, na primer 2 boda.

Ukoliko pogre{no odgovore, dobijaju odgovaraju}i broj negativnih bodova, na primer –2 boda.

Na kraju kviza treba sabrati bodove (pozitivne i negativne) i proglasiti pobednika.

Osvojeni bodovi tako|e se mogu prikazati tabelom.

Sastavi tabelu sa imenima takmi~ara ili timova,

kolonama za broj osvojenih bodova za svaki zadatak,

kao i kolonom za ukupan broj bodova. Dobijene podatke

za ukupan broj bodova moè{ prikazati i grafikonom,

kao u zadatku 7 na strani 16 u zbirci.

zadatak 1 2 3 4 5 6 7 8 9

bodovi 2 1 2 3 3 4 4 2 3

B CA



Z = {… –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4…}

Skup celih brojeva

0–1–2–3… –4 1 2 3 4 …

x

negativni celi brojevi

pozitivni celi brojevi

Suprotni brojevi su:–2 i 2, –1 i 1, –3 i 3…

Broj 0:•

ve}i je od svakog negativnog broja• mawi je od svakog pozitivnog broja.

•

Svaki negativan broj mawi je od bilo kog pozitivnog broja.

• Od dva negativna broja ve}i je onaj

~ija je apsolutna vrednost mawa.

Apsolutna vrednost broja prikazanog na brojevnoj

pravoj predstavqa rastojawe od tog broja do nule.

|–2| = |2| = 2

Zbir dva cela broja

• istog znaka ra~una se tako {to se saberu

wihove apsolutne vrednosti i u rezultatu

zadr`i znak sabiraka

• razli~itog znaka ra~una se tako {to se

od ve}e apsolutne vrednosti oduzme mawa

i u rezultatu zadr`i znak sabirka ve}e

apsolutne vrednosti

9 + (–3) = 6

–9 + 3 = –6

9 – (–3) = 12

–9 – 3 = –12

9 – 3 = 6

–9 – (–3) = –6

9 + 3 = 12

–9 + (–3) = –12

Sabirawe i oduzimawe celih brojeva

ZAPAMTI

Razlika dva cela broja

• ra~una se tako {to se prvi broj sabere

sa suprotnom vredno{}u drugog



40

MNO@EWE CELIH BROJEVA

! Diriàbl se za 1 minut popne na visinu od 20 m iznad zemqe.

Koliko }e se metara podi}i za 3 minuta? Prikaì na grafik onu.

" Keson (korpa za ispitivawe morskog dna) za 1 minut spusti se na dubinu

od 40 m ispod nivoa mora. Koliko }e se metara spustiti za 3 minuta?

Prikaì na grafikonu.

# Nastavi da ra~una{ kao {to je zapo~eto.

a) 3 ⋅ 4 = 4 + 4 + 4

b) 3 ⋅ (–4) = (–4) + (–4) + (–4)v) 4 ⋅ (–2)g) 2 ⋅ (–6)

• proizvod pozitivn

i negativnog broja

• proizvod dva

negativna broja

80

60

40

20

0

0

–20

–40

–60

–80–100

–120

3 ⋅ 20 m = 60 m

3 ⋅ (–40 m) = –120 m

Podseti se

4 ⋅ 3 = 12

~inioci

proizvod

vrednosproizvod

Da ti kaèm

Kada sabira{ vi{e jednakih

sabiraka, bilo da su oni pozitivnbilo da su negativni, moè{ da

koristi{ operaciju mnoèwa

za kra}e zapisivawe.

Zagrada razdvaja

predznak broja od znak

ra~unske operacije.

55 44

22 1

166 33

2

35

-61

42

+3 6

+51 4



Pokaìmo na brojevnoj pravoj kako se mnoè

dva cela broja.

a) Izra~unavawe proizvoda 4 ⋅ 2

Brojem 4 mnoìmo broj 2 tako {to broj 2

sabiramo ~etiri puta.

b) Izra~unavawe proizvoda –4 ⋅ 2

Brojevi 4 i –4 jesu suprotni brojevi, pa su

i vrednosti proizvoda 4 ⋅ 2 i –4 ⋅ 2 suprotni

brojevi.

Da bismo proizvod –4 ⋅ 2 predstavili na

brojevnoj pravoj, koristimo crte` pod a)

i odre|ujemo broj suprotan broju 8.

v) Izra~unavawe proizvoda 4 ⋅ (–2)Brojem 4 mnoìmo broj –2 tako {to broj –2

sabiramo ~etiri puta.

g) Izra~unavawe proizvoda –4 ⋅ (–2)Brojevi 4 i –4 su suprotni brojevi, pa su

i vrednosti proizvoda 4 ⋅ (–2) i –4 ⋅ (–2)suprotni brojevi.

Da bismo proizvod –4 ⋅ (–2) predstavili

na brojevnoj pravoj, koristimo crte` pod v)

i odre|ujemo broj suprotan broju –8.

$ Prikaì proizvode na brojevnoj pravoj i izra~unaj wihovu vrednos t.a) 2 ⋅ 3 b) –2 ⋅ 3

v) 2 ⋅ (–3) g) –2 ⋅ (–3)

0 2 4

+2 +2 +2 +2

6 8

–8 –6 –4 –2 0 2 4

+2 +2 +2 +2

6 8

–8 –6 –4

–2 –2 –2 –2

–2 0

–8 –6 –4 –2 0 2 4

–2 –2 –2 –2

6 8

Na osnovu prethodnih primera zakqu~ujemo:• proizvod dva pozitivna ili dva negativna broja jes te pozitivan broj

• proizvod pozitivnog i negativnog broja jeste negativan broj.

–8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8

–8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8

4 ⋅ 2 = 8

–4 ⋅ 2 = –8

4 ⋅ (–2) = –8

–4 ⋅ (–2) = 8

PREDSTAVQAWE PROIZVODA CELIH BROJEVA NA BROJEVNOJ PRAVOJ



42

• Proizvod dva pozitivna cela broja : +a

+b

= a

b, za a, b

N

• Proizvod dva negativna cela broja : –a

–b

= +

a

b

, za a, b

N

• Proizvod jednog pozitivnog i jednog

negativnog celog broja: +a

–b

= –

a

b

–a

+b

= –

a

b

, za a, b

N

• Proizvod celog broja i nule : 0 c = c

0 = 0, za c

Z

Za odre|ivawe znaka

proizvoda moè{ da

koristi{ i slede}u

tabelu.

& Izra~unaj.

a) –9 ⋅ 5 b) –10 ⋅ (–4) v) 1 ⋅ (–11) g) –1 ⋅ (–11)d) –1 ⋅ 1 |) –5 ⋅ (–2) e) 0 ⋅ 3 `) 0 ⋅ (–3)

' Izra~unaj.

a) 4 ⋅ (–6) b) –20 ⋅ 1 v) –19 ⋅ (–1) g) –5 ⋅ 100

d) –1 ⋅ (–9) |) –25 ⋅ (–4) e) 16 ⋅ (–2) `) –3 ⋅ 4

⋅ + –

+ + –

– – +

%Pomnoì kao {to je zapo~eto.

a) 7 ⋅ (–8) = –(7 ⋅ 8) = – 56

b) –7 ⋅ 8

v) (–7) ⋅ (–8)g) 7 ⋅ 8

PROIZVOD DVA CELA BROJA

a) +6 ⋅ (+5) = 6 ⋅ 5 = 30

b) –2 ⋅ (–9) = +(2 ⋅ 9) = 18

mnoìmo pozitivne, to jest prirodne brojeve

mnoìmo prirodne brojeve 2 i 9, a znak proizvoda je „+“

v) +3 ⋅ (–7) = 3 ⋅ (–7) = –(3 ⋅ 7) = –21 mnoìmo prirodne brojeve 3 i 7, a znak proizvoda je „–“

g) –4 ⋅ (+8) = –(4 ⋅ 8) = –32 mnoìmo prirodne brojeve 4 i 8, a znak proizvoda je „–“

d) 0 ⋅ (–5) = 0 proizvod nule i celog broja jeste nula

Da ti kaèm

Predznak pozitivnog broja

moè{ izostaviti zato

{to je pozitivan ceo broj

prirodan broj.

P

RIMER

Izra~unaj.

a) +6 ⋅ (+5) b) –2 ⋅ (–9) v) +3 ⋅ (–7) g) –4 ⋅ (+8) d) 0 ⋅ (–5)



( Temperatura je u 1 sat posle pono}i bila 0° C. U toku no}i svakog sata opadala je za 2° C.

Kolika je temperatura bila u 6 sati ujutru?

) Podmornica za jednu sekundu zaroni 2 m. Na kojoj }e dubini podmornica

biti posle jednog minuta? Dubinu mora izrazi kao negativan broj.

* Izra~unaj.

a) 20 ⋅ (–4) ⋅ (–3) b) –5 ⋅ (–7) ⋅ 2

v) –4 ⋅ (–10) ⋅ (–6) g) –9 ⋅ 3 ⋅ (–3)

Podseti se

1 minut = 60 sek

! a) 33 ⋅ (–11) b) –18 ⋅ (–4) v) –17 ⋅ (–15)g) 5 ⋅ (–2) d) –8 ⋅ 17 |) –13 ⋅ 5

e) 0 ⋅ 5 `) 0 ⋅ (–6) z) –7 ⋅ 0

i) –1 ⋅ (–13) ⋅ (–5) j) –12 ⋅ 0 ⋅ (–3)

Negativni brojevi

Proizvod dva cela broja ra~unamo tako {to pomnoìmo

wihove apsolutne vrednosti, a rezultat ima znak :„+“ ako su ti brojevi istog znaka ili

„–“ ako su ti brojevi razli~itog znaka.

Da ti kaèm

Vi{e ~inilac

moè{ da mn

redom. Pomno

prva dva ~ini

a zatim dobij

rezultat pomn

tre}im.

Proveri {ta zna{

Da bi objasnili pravila koja se koriste za

ra~unawe s negativnim brojevima, nau~nici

su poku{ali da prona|u neke primere iz

svakodnevnog ìvota. Da bi qudima

pribliìli pravila koja vaè za mnoèwe

celih brojeva, odabrali su primer prijateqstva. Prijatequ je dodeqen znak +,

a neprijatequ znak –. Pravila za mnoèwe

dva pozitivna broja, pozitivnog i negativnog

broja, kao i dva negativna broja,

formulisali su na slede}i na~in.

PRIJATEQ MOG PRIJATEQA JE MOJ PRIJATEQ

NEPRIJATEQ MOG PRIJATEQA JE MOJ NEPRIJATEQ

NEPRIJATEQ MOG NEPRIJATEQA JE MOJ PRIJATEQ



44

MNO@EWE CELIH BROJEVA.KVADRAT CELOG BROJA

• kvadrat broja

! Slika na kutiji za CD kvadratnog

je oblika, stranice 12 cm.

Koliku povr{inu zauzima slika?

" Izra~unaj.

a) 9 ⋅ 9 b) (–7) ⋅ (–7) v) (–11) ⋅ (–11)

$ a) Izra~unaj kvadrate prvih deset prirodnih brojeva i popuni tabelu.

Kvadrati me|usobn

suprotnih brojevasu jednaki.

KVADRAT CELOG BROJA

Proizvod dva ista cela broja naziva se kvadrat tog broja i zapisuje se :

a

a = a

2

Kvadrat celog broja je pozitivan broj ili broj jednak nuli.

Za svako a

Z va`i:a

2 ≥ 0

a –10 5 –9 15 –8 0

a ⋅ a –10 ⋅ (–10)

a2 (–10)2

rezultat 100

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a2 1 4

b) Izra~unaj kvadrate slede}ih negativnih brojeva i popuni tabelu.

a –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10

a2 1 4

Izra~unaj. a) 122 b) (–2)2

a) 122 = 12 ⋅ 12 = 144

b) (–2)2 = –2 ⋅ (–2) = 4

Da ti ka`em

Povr{ina kvadratastranice a je

P = a ⋅ a.

P

RIMER

# Zapi{i proizvode kao kvadrate celih brojeva i izra~unaj ih kao {t o je zapo~eto.



% Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) (–13)2 = (–13) ⋅ (–13)b) (–15)2

v) (–20)2

& Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) –22 = –2 ⋅ 2 = –4 b) –62 v) –102 g) –12

' Izra~unaj.

a) –112 b) –72 v) –82

g) (–12)2 d) –142 |) –302

( Koliko je –92? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

a) –18 b) +18 v) –81 g) 81

) U tabeli zaokruì DA ako je jednakost ta~na ili NE ako jednakost nije ta~na.

* Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) 3 ⋅ (–2)2 = 3 ⋅ 4 b) (–3)2 ⋅ (–10) = 9 ⋅ (–10)v) (–5)2 ⋅ (–10)2 g) 4 ⋅ (–5) ⋅ (–1)2

d) –62 ⋅ (–4) |) –12 ⋅ (–72)

+ Uporedi i napi{i odgovaraju}u nejednakost ili jednakost:

a) –72 i (–7)2 b) (–10)2 i –102 v) (–10)2 i –10 ⋅ (–10).

Izra~unaj (–5)2 i –52.

(–5)2 = – 5 ⋅ (–5) = 25 i –52 = –5 ⋅ 5= –25

–32 = 9 (–1)2 = 2 –62 = –36 (–2)2 = –4 (–4)2 = 16

DA NE DA NE DA NE DA NE DA NE

! Izra~unaj kvadrate brojeva: 11, 12, 13, 14, 15, –11, –12, –13, –14, –15.

" Izra~unaj. a) –9 ⋅ (–3)2 b) 6 ⋅ (–8) ⋅ (–1)2 v) (–7)2 ⋅ (–10)2.

# Uporedi: a) –112 i (–11)2 b) –42 i (–4)2 v) 122 i (–12)2.

Da ti kaèm

Primeti:(–5)2

≠ –52

Prvo izra~unaj kvadrat

Proveri {ta zna{

P

RIMER



46

$ Popuni tabele kao {to je zapo~eto.

a)

b)

v)

a b c (a ⋅ b) ⋅ c a ⋅ ( b ⋅ c)

–2 3 –9 (–2 ⋅ 3) ⋅ (–9) = –6 ⋅ (–9) = 54 − ⋅ ⋅ −( )( ) = − ⋅ −( ) =2 3 9 2 27 54

6 –5 4–8 –2 –10

a b a ⋅ b b ⋅ a

–9 3 –9 ⋅ 3 = –27 3 ⋅ (–9) = –27

6 –7

–8 –2

a b c (a + b) ⋅ c a ⋅ c + b ⋅ c

–5 3 –2 (–5 + 3) ⋅ (–2) = –2 ⋅ (–2) = 4 (–5) ⋅ (–2) + 3 ⋅ (–2) = 10 + (–6) = 4

6 –7 4

–8 –2 –9

SVOJSTVA OPERACIJE MNO@EWA

! U datom proizvodu zameni mesta ~iniocima i izra~unaj

vrednost proizvoda.

5 ⋅ 6

" Promeni mesto zagrade tako da 7 mnoì{ s proizvodom

brojeva 2 i 5 i izra~unaj.

(7 ⋅ 2) ⋅ 5

# Zapi{i izraz tako da, umesto jednog, izvr{i{ dva mnoèwa

i izra~unaj.

4 ⋅ (8 + 3)

• svojstvo komutacije

• svojstvo asocijacije

• svojstvo distribucije

• mnoèwe celog broja

brojevima 1, –1 i 0

U sve tri tabele posledwe dve kolone

su jednake. Svojstva komutacije,

asocijacije i distribucije pro{iruju

se sa skupa prirodnih brojeva na skup

celih brojeva.

SVOJSTVA KOMUTACIJE ASOCIJACIJE I DISTRIBUCIJE

Za svaka tri cela broja a, b i c vaì:• svojstvo komutacije za mnoèwe a

b = b

a

• svojstvo asocijacije za mnoèwe (a

b) c = a

(b

c)• svojstvo distribucije mnoèwa prema sabirawu a

(b + c) = a

b + a

c

Da ti kaèm

U prvom zadatku koristi

svojstvo komutacije,

u drugom asocijacije,

a u tre}em distribucije.



⋅ –3 5 –2

–3 9 –15

5 –15

–2

% a) Popuni tabelu kao

{to je zapo~eto.

b) Zapi{i proizvode iz tabele ~ije su vrednosti jednake.

v) Zaokruì ta~an odgovor. Proizvodi su jednaki zato {to vaì svojstvo:• komutacije • asocijacije • distribucije mnoèwa prema sabirawu

& Koriste}i svojstvo asocijacije, izra~unaj vrednost proizvoda.

a) –15 ⋅ (–2 ⋅ 6) b) 25 ⋅ (–4 ⋅ 17)v) (28 ⋅ (–5)) ⋅ (–2) g) (–7 ⋅ 2) ⋅ (–5)

' Izra~unaj na dva na~ina, kao {to je zapo~eto.

Prvi na~in Drugi na~in

a) 5 ⋅ (–2) + 5 ⋅ (–3) = –10 – 15 = –25 5 ⋅ (–2) + 5 ⋅ (–3) = 5 ⋅ (–2 – 3) = 5 ⋅ (–5) = –25

b) –6 ⋅ 5 + (–6) ⋅ 4 –6 ⋅ 5 + (–6) ⋅ 4

v) 3 ⋅ (–7) + 3 ⋅ (–3) 3 ⋅ (–7) + 3 ⋅ (–3)

( Izra~unaj slede}e proizvode koriste}i svojstvo distribucije mnoèwa prema sabirawu.

a) –8 ⋅ (–5 + 2) b) – 10 ⋅ (–5 + (–5 ))

) Zapi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

a) Zbir brojeva 12 i –5 pomnoì sa –2.

b) Brojem –6 pomnoì zbir brojeva 3 i –10.

Kada mnoìmo vi{e ~inilaca, moèmo da ih mnoìmo bilo k ojim redom. Koriste}i

svojstva komutacije i asocijacije, moèmo da zdruùjemo ~inioce na vi{e na~ina.

MNO@EWE CELOG BROJA BROJEVIMA 1 –1 I 0

Pored navedenih svojstava, u skupu celih brojeva operacija mnoèwa ima jo{ nek e osobine.

• Proizvod celog broja a i broja 1 jeste dati ceo broj a. Kaèmo da je broj 1

neutralan element mnoèwa jer ne uti~e na vrednost proizvoda. Na primer :50 ⋅ 1 = 50 –40 ⋅ 1 = –40 –10 ⋅ (–5) ⋅ 1 = 50

• Proizvod celog broja a i broja (–1) jeste suprotan broj broju a. Na primer:796 ⋅ (–1) = –796 –324 ⋅ (–1) = 324 (–1) ⋅ 101 = –101

• Proizvod celog broja a i broja 0 jeste broj 0. Na primer:200 ⋅ 0 = 0 –529 ⋅ 0 = 0



48

MNO@EWE CELOG BROJA BROJEVIMA 1 –1 I 0

Za svaki ceo broj a vaì:a

1 = 1 a = a

a

(–1) = –1 a = –a

a

0 = 0 a = 0

* a) Izra~unaj.

A = –(–8) B = (–1) ⋅ (–8)

b) [ta je ta~no: A < B ili A > B ili A = B?

+ Popuni tabelu.

, Izra~unaj.

a) –24 ⋅ (–17) ⋅ 0 b) 131 ⋅ 0 ⋅ (–2 341) v) 0 ⋅ 38 ⋅ (–99)

- Izra~unaj.

a) (–1) ⋅ (–347) b) – (–29) ⋅ 1 v) – (–11) ⋅ (–1) g) 25 ⋅ 0 ⋅ (–1)

. Uporedi proizvode i napi{i odgovaraju}u nejednakost:

a) 4 ⋅ (–2) i 4 ⋅ (–4) b) –3 ⋅ 6 i –3 ⋅ 7

v) –5 ⋅ (–7) i –5 ⋅ (–8) g) 3 ⋅ (–2) ⋅ (–1) i –3 ⋅ (–2).

/ Izra~unaj vrednosti proizvoda i popuni tabelu.

Minus ispred zagrade ima istu ulogu kao i mnoèwe brojem –1.

Na primer:

–(–2) = –1 ⋅ (–2)

a –4 5 –12 33 0

–a 4 7

(–1) ⋅ a

a –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

5 ⋅ a

Da ti kaèm

Kada se a pove}ava,

pove}ava se i vredno

proizvoda 5 ⋅ a.



Kada mnoìmo paran broj negativnih ~inilaca, vrednost proizvoda

je pozitivan broj. Kada mnoìmo neparan broj negativnih ~inilaca,

vrednost proizvoda je negativan broj.

: Izra~unaj vrednosti proizvoda i popuni tabelu.

; Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

< Kako je 2 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 4 = 120, izra~unaj slede}e proizvode.

(–5) ⋅ 2 ⋅ (–3) ⋅ 4 5 ⋅ (–2) ⋅ (–3) ⋅ (–4)

(–5) ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 (–2) ⋅ (–3) ⋅ (–4) ⋅ (–5)

= Uporedi proizvode i napi{i odgovaraju}u nejednakost:

a) 8 ⋅ (–7) i 14 ⋅ 4 b) –11 ⋅ 6 i 12 ⋅ (–6) v) – 4 ⋅ 3 i – 4 ⋅ 3 ⋅ 0 ⋅ 1.

a –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

–5 ⋅ a

proizvodvrednost

proizvodabroj negativnih

~inilacaznak proizvoda

–5 ⋅ (–4) 20 2 +

–5 ⋅ (–4) ⋅ (–3) –60

–5 ⋅ (–4) ⋅ (–3) ⋅ (–2)

–5 ⋅ (–4) ⋅ (–3) ⋅ (–2) ⋅ (–1)

! Izra~unaj na dva na~ina.

a) –3 ⋅ 2 + (–3) ⋅ (–5) b) –2 ⋅ 10 + (–2) ⋅ (–5) v) –4 ⋅ (7 – 3)

" a) Zbir brojeva –1 i –8 pomnoì brojem –2.

b) Brojem –20 pomnoì zbir brojeva –11 i –8.

# Kako je 4 ⋅ 3 ⋅ 10 ⋅ 2 = 240, izra~unaj slede}e proizvode.

a) 4 ⋅ (–3) ⋅ 10 ⋅ (–2) b) (–4) ⋅ (–3) ⋅ 10 ⋅ (–2)v) –4 ⋅ 3 ⋅ 10 ⋅ 2 g) (–4) ⋅ (–3) ⋅ (–10) ⋅ (–2)

Da ti kaèm

Kada se a pove}

vrednost proiz

–5 ⋅ a se smawuj

Proveri {ta zna{



50

IZRAZI SA CELIM BROJEVIMA

! U kvizu iz matematike u~estvuju ~etiri ekipe najboqih matemati~ara iz svakog odeqewa

{estog razreda: VI1, VI

2, VI

3i VI

4. Rade po 10 zadataka. Za svaki ta~no ura|en zadatak ekipa

dobija 5 bodova, a za neta~an 3 negativna boda. Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

• brojevni izraz

• prioritet ra~unskih

operacija

broj ta~nih

zadataka (T)broj neta~nih

zadataka (N)T ⋅ 5 N ⋅ (–3)

ukupan broj

bodova

VI1 6 4 6 ⋅ 5 = 30 4 ⋅ (–3) = –12 18

VI2 5 5 5 ⋅ 5 = 5 ⋅ (–3) =

VI3 7 3

VI4 4 6

a) Koje je odeqewe osvojilo najvi{e bodova?

b) Koje je mesto zauzelo VI2?

v) Koliko negativnih bodova ima VI3?

U prethodnim razredima u~ili smo da je brojevni izraz sastavqen

od brojeva, ra~unskih operacija i zagrada.

Svaki brojevni izraz ima svoju vrednost, koju dobijamo kada se izvr{e

sve ra~unske operacije koje se pojavquju u izrazu.

Ra~unske operacije mnoèwa i deqewa imaju prednost nad operacijamasabirawa i oduzimawa. Kaèmo da operacije mnoèwa i deqewa imaju pri-

oritet u odnosu na operacije sabirawa i oduzimawa.

Zagrade imaju najve}i prioritet. To zna~i da se prvo ra~una izraz u zagradi.

Ove godine, pored navedenih ra~unskih operacija, uve{}emo u brojevni

izraz i apsolutnu vrednost broja, koja je istog prioriteta kao zagrada.

Izra~unaj. a) –10 ⋅ (–12 – 8) b) 42 – 2 ⋅ (–7)a) –10 ⋅ (–12 – 8) = –10 ⋅ (–20)

= 200

b) 42 – 2 ⋅ (–7) = 42 – (–14)= 42 + 14

= 56

prvo je izra~unat izraz u zagradi, to jest –12 – 8 = –20

prvo je izra~unat proizvod 2 ⋅ (–7) = –14

izra~unat je proizvod

oduzeti broj zna~i dodati suprotan broj

izra~unat je zbir

OVO J

BOZA

PRIORITET RAÛNSKIH OPERACIJA U BROJEVNIM IZRAZIMA

PRIMER



" Izra~unaj.

a) (–7 + 5) ⋅ 8 b) – 3 ⋅ (–6 + 8)v) –15 ⋅ (–1 – 5) g) (23 – 8) ⋅ (–11)d) (–14 + 5) ⋅ 7 |) –1 ⋅ (–62 – 38)

# Izra~unaj slede}e brojevne izraze.

a) –2 ⋅ 5 + 4 b) 11 ⋅ (–10) – 6

v) 2 + (–4) ⋅ 6 g) 7 – 2 ⋅ (–9)d) –4 ⋅ 5 + 13 |) 1 ⋅ (–10) – 25

e) 82 + (–9) ⋅ 11 `) 72 – 20 ⋅ (–5)

$ Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora. Vrednost izraza –2 + 2 ⋅ (–4) je:

a) 0 b) 6 v) –10 g) 16

% Svakom izrazu pridruì odgovaraju}u brojevnu vrednost, kao {to je zapo~eto.

& Ako je A = –18, popuni tabelu.

(–2) ⋅ 3 – 1

7 –5 –4 –3 3 4 –7 5

1 – 2 ⋅ (–3) –2 ⋅ (3 – 1) (1 – 2) ⋅ (–3)

2 ⋅ A 2 ⋅ A – 3 2 ⋅ A + 5 –2 ⋅ A –2 ⋅ A + 9 –2 ⋅ A – 8 –2 ⋅ A ⋅ 5

Podseti se

Izrazi u prv

redu tabele j

primeri izr

s promenqiv

' Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

Ako je a =

onda je –aa – a 3 ⋅ a –3 ⋅ a 3 ⋅ (–a) –3 ⋅ (–a)

12 –12 36 –36 –36 36

–4

15

–16

–3

Da ti kaè

Prvo ra~u

izraz u za

Operacij

mnoèwa

je ve}eg

priorite

od sabira

i oduzim



52

) Izra~unaj.

a) –5 ⋅ (–6) + (–15) ⋅ 3

b) 16 ⋅ (–4) – 32 ⋅ (–2)

prvo je izra~unat kvadrat broja –2

zatim je izra~unat proizvod

izra~unata je razlika

prvo je izra~unata razlika u zagradi, to jest 6 – 7

zatim je izra~unat kvadrat broja –1


izra~unat je zbir

Izra~unaj. a) (–2)2 ⋅ 3 – 12 b) (6 – 7)2 ⋅ (–4) + 3

a)

(–2

)

2 ⋅ 3 – 12 = 4 ⋅ 3 – 12

= 12 – 12

= 0

b) (6 – 7)2 ⋅ (–4) + 3 = (–1)2 ⋅ (–4) + 3

= 1 ⋅ (–4) + 3

= –4 + 3

= –1

prvo su izra~unate apsolutne vrednosti brojeva –15 i –9

izra~unat je proizvod 3 ⋅ 9

izra~unata je razlika

prvo je izra~unat zbir unutar apsolutne vrednosti, to jest –2 + 10

izra~unata je apsolutna vrednost broja 8


Izra~unaj. a) |–15| – 3 ⋅ |–9| b) |–2 + 10| ⋅ (–5)

a) |–15| – 3 ⋅ |–9| = 15 – 3 ⋅ 9

= 15 – 27

= –12

b) |–2 + 10| ⋅ (–5) = |8| ⋅ (–5)= 8 ⋅ (–5)= –40

* Izra~unaj.

a) 14 – (–5)2 ⋅ 2

b) 2 ⋅ (–3)2 + (–4)2

v) (–6 +1)2 ⋅ 2 – (–9)

g) –1 ⋅ (–8 + 7)2 + 1

( U slede}im zadacima na osnovu teksta zapi{i brojevni izraz, a zatim izra~unaj wegovu vredno

a) Zbir brojeva –5 i 13 pomno`i brojem –4.

b) Od proizvoda brojeva –8 i –3 oduzmi broj –10.

v) Broj 12 oduzmi od proizvoda brojeva –15 i 6.

P

RIMER

Da ti ka`em

Prvo izra~unaj proizvode,

a zatim ih saberi.



- Test iz matematike sastoji se od 20 zadataka. Za svaki ta~an zadatak dobija se +5 bodova,

za neta~an –2 boda, a za zaokruèn odgovor ne znam 0 bodova. Popuni tabelu do kraja.

Koliko poena ima u~enik koji je najboqe uradio test?

+ Izra~unaj.

a) |–2| + |7| – 3 ⋅ |–5|b) –8 – |–3 ⋅ 12|v) –58 ⋅ |–16 – 4|g) |6 ⋅ (–9)| + |–4| + 2

, Izra~unaj.

a) (–2)2 ⋅ |–2|b) (–12 + |–7|) ⋅ (–8)2

v) –9 ⋅ |–3 – 6| – (–9)2

imeta~ni

zadaci

neta~ni

zadaci

ne zna

odgovoreodgovaraju}i izraz

broj

bodova

Sawa 12 5 3 12 ⋅ 5 + 5 ⋅ (–2) + 3 ⋅ 0 50

Vlada 7 4 9

Ivana 8 6 6

Nenad 16 0 4

! Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

" Na osnovu teksta zapi{i brojevni izraz, a zatim izra~unaj wegovu vrednos t.a) Razliku brojeva 20 i –15 pomnoì brojem –2.

b) Broj –100 pomnoì zbirom brojeva –12 i 8

# Izra~unaj.

a) 12 ⋅ |–3| + (10 – 12)2 ⋅ 2 b) –6 ⋅ (–4) – |–6| ⋅ |–4| + 6 ⋅ 4

m –1 5 11 –10 8 0 –5

3 ⋅ (–m) –6 –3

Proveri {ta zna{



54

DEQEWE CELIH BROJEVA • koli~nik pozitivnog

i negativnog broja

• koli~nik dva negativna br

! Odeqenski stare{ina je u VI1

zbog nediscipline uveo slede}a pravila :• Svako ko je opomenut za vreme ~asa dobija 2 negativna poena.

• Onaj koji na kraju nedeqe ima najvi{e negativnih poena bi}e redar naredne nedeqe.

U toku prve nedeqe Maja je opomenuta 11 puta, a Darko je zaradio –20 poena.

Koliko je negativnih poena zaradila Maja?

Koliko je puta Darko bio opomenut?

Ko }e biti redar?

12 : 4 = 3

deqenik delilac vrednostkoli~nika

" Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) 5 ⋅ 4 = 20 b) –8 ⋅ 3 = –24 v) –6 ⋅ (–2)20 : 5 = 4 –24 : 3 = –8 12 : (–6)20 : 4 –24 :

(–8

)12 :

(–2

)

DEQEWE CELIH BROJEVA

Mnoèwe i deqewe su inverzne (obrnute) ra~unske operacije.

Prikaìmo to na slede}oj {emi.

Mnoèwe brojem 4 vodi nas od broja 3 do broja 12, a deqewe brojem 4

vra}a nas od broja 12 do broja 3.

3 12

4

4

Veza izme|u operacije mnoèwa i operacije deqewa pro{iruje se sa skupa prirodnih

brojeva na skup celih brojeva.

Ovu {emu moèmo da koristimo za odre|ivawe koli~nika dva cela broja.

⋅

:

–3 –12

4

4

⋅

:3 –12

–4

–4

⋅

: –3 12

–4

⋅

:

Da ti kaèm

Kad zna{ tablicu

mnoèwa, zna{ i tabli

deqewa. Operacije

mnoèwa i deqewa

obrnute su jedna u odno

na drugu.

–4



# Koriste}i {emu, zapi{i jednakosti sa odgovaraju}om ra~unskom operacijom, kao {to je zapo~et

–5

4⋅

: –15

–3⋅

: –5 15

⋅

:5

–4

⋅

:

Pravilo za odre|ivawe znaka koli~nika dva cela broja isto je kao

i pravilo za odre|ivawe znaka proizvoda.

• Koli~nik dva pozitivna ili dva negativna broja jeste pozitivan broj.

• Koli~nik pozitivnog i negativnog celog broja jeste negativan broj.

–5 ⋅ 4 = –20

–20 : 4 = –5

• Koli~nik dva pozitivna cela broja : +a :

+b

= a : b, za a, b

N

• Koli~nik dva negativna cela broja : –a :

–b

= +

a : b

, za a, b

N

• Koli~nik jednog pozitivnog i jednognegativnog celog broja: +a :

–b

= –

a : b

–a : +b

= –

a : b

, za a, b

N

• Koli~nik nule i celog broja: 0 : c= 0, za c

Z

KOLI^NIK DVA CELA BROJA

Izra~unaj.

a) +30 : (+5) b) –18 : (–9) v) +21 : (–7) g) –32 : (+8) d) 0 : (–5)

a) +30 : (+5) = 30 : 5 = 6

b) –18 : (–9) = + (18 : 9) = 2

delimo pozitivne, to jest prirodne brojeve

delimo prirodne brojeve 18 i 9, a znak koli~nika je „+“

v) +21 : (–7) = –(21 : 7) = –3 delimo prirodne brojeve 21 i 7, a znak koli~nika je „ –“

g) –32 : (+8) = –(32 : 8) = –4 delimo prirodne brojeve 32 i 8, a znak koli~nika je „ –“

d) 0 : (–5) = 0 koli~nik nule i celog broja je nula

PRIMER



56

% Koliki je koli~nik brojeva 55 i –5? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

a) 10 b) 11 v) –11 g) –1

& Kolika je vrednost koli~nika –102 : (–2)?Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

a) –11 b) 51 v) –51 g) 11

' Popuni tabelu.

x –2 6 –18 4 –9 27

–324 : x

NEKA SVOJSTVA DEQEWA CELIH BROJEVA

Za svaki ceo broj x vaì:

• Kada se ceo broj podeli jedinicom, dobija se taj broj. x : 1 = x

Na primer: –42 : 1 = –42

• Kada se ceo broj, razli~it od nule, podeli samim sobom, dobija se broj 1.

x : x = 1

Na primer: –42 : (–42) = 1

• Kada se ceo broj podeli sa –1, dobija se broj supro tan datom broju.

x : (–1) = –x

Na primer: –42 : (–1) = 42

• Kada se nula podeli celim brojem, razli~itim od nule, dobija se broj 0.

0 : x = 0, x ≠ 0

Na primer: 0 : (–42) = 0

• Deqewe nulom nije definisano.

$ Podeli slede}e brojeve kao {to je zapo~eto.

a) (–16) : 4 = –(16 : 4) = –4 b) 25 : 5 v) –100 : (–10)g) 40 : (–5) d) –120 : (–8) |) 22 : (–11)e) 0 : 15 `) 0 : (–3)

Podseti se

Ako je x = –42 va`

–x = 42

Da ti kaèm

: + –

+ + –

– – +

Za odre|ivawe znak

koli~nika moè{ d

koristi{ i slede}u

tabelu.



) Izra~unaj.

a) (15 – 17) : (– 1)b) (257 – 257) : 351

v) (36 – 39) : (36 – 39)g) – 56 : (44 – 100)

* Ako je A = –50, popuni tabelu.

+ Saberi brojeve –8 i –2, pa dobijeni zbir podeli sa 5.

A : 1 A : A A : (–1) 0 : A A : 2 A : (–2) 100 : A –200 : (–A)

! Izra~unaj.

a) –22 : (–11) b) 132 : (–4) v) –1050 : (–50)

" Ako je A = 25, izra~unaj : A : A, A : 1, A : (–1), 0 : A, 50 : (–A).

# Pomno`i brojeve –17 i –6, pa dobijeni proizvod podeli sa 3.

Koli~nik dva cela broja ra~unamo tako {to podelimo

wihove apsolutne vrednosti, a rezultat ima znak :„+“ ako su ti brojevi istog znaka ili

„–“ ako su ti brojevi razli~itog znaka.

Proveri {ta zna{

$ Izra~unaj.

a) (–25 + 3) : (–5 – 6) b) 40 : (–8 + 4) v) (–72 : 9) : (–8)

( Izra~unaj.

a) –1 234 : 1

b) –376 : (–1)v) –423 : (–423)g) 0 : (–2 431)



58

U~iti svoje dete znawu ne treba silom, nego igrom.Platon

Na staroegipatskim pergamentima moèmo na}i i zapise dru{tvenih igara. Crteì na k ojima

su prikazani igra~i prona|eni su u grobnicama egipatskih faraona. U Nacionalnom muzeju

u Kairu nalaze se divni primerci tabli i figura za igru sli~nu igri dame. U Tutankamonovojgrobnici tako|e su prona|ene zanimqive igre.

Poznata je izreka: Donde si ~ovek dok je u tebi dete, a dete si dok god zna{ da se igra{ .

Igra sabirawa

Za igru sabirawa celih brojeva potrebni su tabla, dva ètona i kockica.

Tablu moè{ napraviti od kartona i obeleìti je kao na crteù.

I TO JE MATEMATIKA

–15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Igra mnoèwa

Za igru mnoèwa celih brojeva potrebne su kockica i tabla

koja se koristi u igri sabirawa i jo{ jedna kockica. Na tri

strane druge kockice zalepi zvezdice sa znakom minus, a na

preostale tri strane zvezdice sa znakom plus, kao na crteù.

Zalepi nalepnice sa brojevima 1, 2, 3, –1, –2 i –3 na kockicu koju

koristi{ za druge igrice ili sam napravi svoju kockicu.

Ako nema{ ètone, mogu ti posluìti i dugmi}i razli~itih boja

ili figurice za Ne quti se, ~ove~e!

Pravila igrePostavite ètone na nulto poqe. Igra~i bacaju kockicu naizmeni~no

po jedanput.

Ako dobije pozitivan broj, igra~ pomera èton udesno za jedno, dva ili tripoqa, a ako dobije negativan broj, za odgovaraju}i broj poqa ulevo.

Pobednik je igra~ ~iji èton prvi stane na poqe broj 15, a gubi igra~ k oji

prvi stane na poqe broj –15.

Pravila igrePostavite ètone na nulto poqe. Igra~i bacaju obe kockice

naizmeni~no po jedanput. Ako dobije{ zvezdicu plus, dobijeni

broj na drugoj kockici (1, 2, 3, –1, –2 ili –3 ) mnoì{ sa +2;

ako dobije{ zvezdicu minus, mnoì{ broj sa druge k ockice sa

–2. @eton pomera{ za dobijeni rezultat udesno ili ulevo, u zavisnos ti od

znaka rezultata mnoèwa. Pobednik se progla{ava po pravilu pre thodne igre.

Slede}a tabela moè ti posluìti kao primer izvo|ewa k oraka u igri.



rezultat bacawa

prve kockice

rezultat bacawa

druge kockicebrojevni izraz pomerawe ̀ etona

zvezdica plus broj 3 2 ⋅ 3 = 6 {est poqa udesno

zvezdica minus broj 3 –2 ⋅ 3 = –6 {est poqa ulevo

zvezdica plusbroj –3

2⋅

(–3) = –6 {est poqa ulevozvezdica minus broj –3 –2 ⋅ (–3) = 6 {est poqa udesno

Proizvod dva cela broja

ra~una se tako {to se pomnoè wihove

apsolutne vrednosti i rezultatu

dodeli znak:„+“, ako su brojevi istog znaka

„–“, ako su brojevi razli~itog znaka

Koli~nik dva cela broja

ra~una se tako {to se podele wihove

apsolutne vrednosti i rezultatu

dodeli znak:„+“, ako su brojevi istog znaka

„–“, ako su brojevi razli~itog znaka

8 ⋅ 4 = 32

–8 ⋅ (–4) = 32

8 ⋅ (–4) = –32

–8 ⋅ 4 = –32

8 : 4 = 2

–8 : (–4) = 2

8 : (–4) = –2

–8 : 4 = –2

Igra „iks-oks“ s brojevima

Za ovu igru potrebna je tabla sa deset brojeva. Igra~i izaberu svoj znak : X ili O. Svaki

igra~ naizmeni~no zaokruùje ili precrtava po jedan broj i moè da odigra tri po teza.

Svaki broj moè da se precrta ili zaokruì samo jednom. Pobednik je onaj igra~ k oji

prvi izabere tri broja ~iji je zbir –15.

0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

Mnoèwe i deqewe celih brojeva

ZAPAMTI



60

TROUGAO

Gledali ste sigurno neki filmo vitezovima.

Wihovo oru`je bile su strele.

Vrh strele je, gledano s jedne

strane, u obliku trougla.

Slu{ali ste mnoge pri~e

o piramidama. Wihove stranesu u obliku trougla.

Na mnogim fasadama nalaze se ukrasi u obliku trougla.

U ovom poglavqu u~i}e{

• o odnosu stranica i uglova trougla

• o tome koliki je zbir unutra{wih i spoqa{wih uglova trougla• o vrstama trougla• o podudarnosti trouglova• da konstrui{e{ trougao• o zna~ajnim ta~kama trougla.

Trougao je, pored pravougaonika, jedna od prvih geometrijskih figura koje ste upoznali.

6

Gotovo je nemogu}e zamisliti

kako bi se odvijao saobra}aj

bez saobra}ajnih znakova.

Egipatska piramida

Staklena piramida u Parizu

Fasada u PraguSkup{tina Srbije



1 2 3 KRENI…

! a) Izmeri date duì i duìnu izrazi u milime trima.

b) Uporedi duì i napi{i odgovaraju}e nejednakosti:

a i c, a i b, c i b.

" Kojoj vrsti uglova pripadaju dati uglovi (prav, o{tar, tup, opruèn ili pun ugao)?

# Koje je tvr|ewe ta~no?

a) Mera pravog ugla mawa je od 90°.

b) Mera svakog tupog ugla ve}a je od 180°.v) Mera opruènog ugla je 180°.

g) Mera svakog o{trog ugla ve}a je od 90°.

$ Izra~unaj ugao α.

a) b)

%Prave

a,

bi

csu paralelne. Izra~unaj uglove ϕ i δ.

& Na kom je crteù prava s simetrala duì AB?

a) b) v) g)

' Prava s je simetrala xOy i prava m je simetrala

xOs. Ako je xOm = 25°, izra~unaj xOs i xOy .

a

b

c

158° α 34°55°

α

36°

ϕ

δ

c

b

a

x

y s

m

O

A B

M

s A

B

Ms

A

B

M

s

A B

M

s



62

TROUGAO, ELEMENTI, OBELE@AVAWE

! Na zastavama moè{ uo~iti razli~ite trouglove – neki su obojeni

jednom bojom, a neki u vi{e boja. Za svaku zas tavu odredi koliko

ima trouglova koji su obojeni jednom bojom.

" Obeleì temena mnogouglova kao {to je zapo~eto.

a) ~etvorougao

ABCD

b) trougao

ABC

v) petougao

MNPQR

g) {estougao

ABCDEF

Gvajana ê{ka

Republika

Jamajka Sej{elska

ostrva

Antigva

i Barbuda

A

B

C

D

Deo ravni ograni~en zatvorenom izlomqenom linijom od tri

duì, zajedno s tom linijom, jeste trougao.

Zajedni~ke ta~ke duì nazivamo temena trougla.

Na primer:Temena trougla na slici obeleèna su slovima A, B i C.

Trougao s temenima A, B i C zapisujemo ∆ ABC.

TROUGAO

A B

C

• trougao

• stranice trougla

• uglovi trougla

Podseti se

Mnogougao sa tri

stranice je trougao,

sa ~etiri stranice

~etvorougao, sa pet

stranica petougao.



Osnovni elementi trougla su stranice i uglovi trougla.

Temena trougla obeleàvamo velikim latini~kim slovima,

a duìne naspramnih stranica odgovaraju}im malim

latini~kim slovima.

• Stranice ∆ ABC na slici su AB, BC i CA.

Duìne stranica AB, BC, CA trougla ABC obeleàvamoi slovima c, a, b. Pri tome se a nalazi naspram temena A,

b naspram temena B i c naspram temena C.

• Konveksni uglovi CAB, ABC i BCA jesu uglovi trougla.

Uglove trougla ABC ~esto obeleàvamo i gr~kim slovima

α, β, γ , tako {to sa α ozna~avamo ugao kod temena A,

sa β ugao kod temena B i sa γ ugao kod temena C.

Navedene uglove nazivamo unutra{wi uglovi trougla.

A

A B

C

M

# a) Koliko se trouglova nalazi na slici?

jedan dva tri ~etiri

Koji je odgovor ta~an?

b) Zapi{i sve trouglove uo~ene na slici.

$ Nacrtaj trouglove MNP, MNS, NQR i PRS.

% Odaberi ~etiri ta~ke na pravoj a i obeleì

ih slovima E, F , G i H. Nacrtaj sve trouglove

~ije je jedno teme ta~ka O, a druga dva temena

su izabrane ta~ke. Koliko ih ima?

& Dovr{i obeleàvawe temena trougla, odgovaraju}ih stranica

i uglova slovima A, B, C, a, b, c, α, β, γ .

M

N

S

R

O

a

P

Q

β

a γ β

γ

a) b) v)

OSNOVNI ELEMENTI TROUGLA



64

! Nacrtaj proizvoqni trougao i obeleì wegova temena.

" Nacrtaj trougao i napi{i wegove elemente.

Za pisawe re~i koristi se niz simbola koji ~ine pismo. Tako, na primer, govorimo o latini~kom pismu,}irili~kom pismu i sl. Jedno od najstarijih pisama

jeste gr~ko pismo. Ono se koristi jo{ od IX veka prena{e ere. To je pismo u kojem svaki simbol predstavqaodre|eni glas i smatra se najstarijim pismom koje je,uz mawe ili ve}e izmene, jo{ uvek u upo trebi.

Gr~ko pismo broji 24 slova. Wegova slova koriste seza ozna~avawe raznih veli~ina i jedinica umatematici, fizici, astronomiji i drugim naukama.

Umesto re~i pismo ~esto kaèmo alfabet. Re~ alfabetnastala je od prva dva gr~ka slova – alfa i beta.

Gr~ki alfabet

M N

P' Odgovori na osnovu slike.

Koja je stranica naspram temena M?

Koja je stranica naspram temena N?

Koja je stranica naspram temena P?

( Odgovori na osnovu slike.

Koja je stranica naspram ugla ψ ?Koja je stranica naspram ugla ϕ?

Koja je stranica naspram ugla θ? E F

G

θ

ψ

ϕ

Da ti kaèm

Naspram temena M je stranica PN.

Proveri {ta zna{

α β γ δ ε ζalfa beta gama delta epsilon zet

η θ ι κ λ µeta teta jota ka lambda mi

ν ξ ο π ρ σni ksi omikron pi ro sigm

τ υ ϕ χ ψ ωtau ipsilon fi hi psi ome

Mala slova gr~kog alfabeta

Dve duì ili dva ugla su podudarna ak o postoji

kretawe kojim se mogu potpuno preklopiti.

Na primer duì AB i CD su podudarne jer

su osnosimetri~ne u odnosu na pravu s. Sli~no

tome, i uglovi aOs i sOb su podudarni

jer su osnosimetri~ni u odnosu na pravu s.

Podudarne duì ili podudarni uglovi imaju jednake mere.

Zbog toga }emo nadaqe za podudarne duì, na primer AB i CD, re}i da su jednakeduì i zapisati AB = CD. Isto tako, za podudarne uglove, na primer aOs i sOb,

re}i }emo da su jednaki uglovi i zapisati aOs = sOb.



ODNOS STRANICA TROUGLA.VRSTE TROUGLOVA PREMA STRANICAMA

Prvi poku{aj

Drugi poku{aj

Tre}i poku{aj

" Marko, Petar i \or|e slobodno vreme ~esto provode zajedno.

a) Koliki bi put pre{ao Marko ako bi:• prvo svratio po Petra, pa oti{ao do \or|a

• i{ao pravo kod \or|a?

Koji je put duì?

b) Koliki bi put pre{ao Petar ako bi:• prvo svratio po \or|a, pa oti{ao do Marka

• i{ao pravo kod Marka?

Koji je put duì?

Petar

Marko

70 m

104 m

90 m

\or|e

Tri duì razli~itih duìna uvek moèmo pore|ati

u poretku od najmawe ka najve}oj.

Stranice trougla su duì. Pokaza}emo da je duìna

svake stranice trougla mawa od zbira duìna

druge dve.

Za stranice trougla ABC na slici vaì a < b i b < c.

Proveri koriste}i {estar.

! Pera je tri puta poku{ao da sastavi trougao prelamaju}i

slam~icu kao {to je prikazano na crteìma. U kom je

poku{aju uspeo?

• pravilo zbira

stranica troug

• pravilo razli

stranica troug

• jednakostrani

trougao

• jednakokraki t

• nejednakostran

trougao

AB

C

ab

c

ODNOS STRANICA TROUGLA



66

• Pokaìmo sada da je najve}a stranica trougla, stranica c,

mawa od zbira druge dve stranice, to jest c < b + a.

Odredimo ta~ku D na stranici AB tako da je AD = AC.

Tada je: AD + DB = AB

Odredimo ta~ku E na stranici AB tako da je BE = BC.

Tada je:

AE + EB = AB

Odre|ivawem ta~aka D i E na stranici AB dobijamo: AE + ED = AD, odnosno AE + ED = AC

ED + DB = BE, odnosno ED + DB = BC

Koriste}i prethodne jednakosti, dobijamo: AE + ED + ED + DB = AC + BC, odnosno: AE + ED + DB + ED = AC + BC

Kako je AE + ED + DB = AB, dobijamo: AB + ED = AC + BC, odakle sledi: AB < AC + BC

Posledwu nejednakost moèmo zapisati:c < b + a

PRAVILO ZBIRA STRANICA TROUGLA

Duìna svake stranice trougla mawa je od zbira duìna drugedve stranice trougla.

Vaì i obrnuto – ako za tri duì vaì da je svaka mawa od zbiradruge dve, onda te tri duì mogu biti stranice trougla.

• Kako je stranica a mawa od b, to je ona mawa i od zbira s tranica b i c,

to jest a < b + c.

• Sli~no tome, stranica b mawa je od c, odnosno stranica b mawa je od

zbira stranica c i a, to jest b < c + a.



a) Ispitaj da li duì a = 4 cm, b = 3 cm i c = 5 cm mogu biti stranice trougla.

Sabiramo svake dve duì. Tre}u du` poredimo s dobijenim zbirom.

Crtamo du` AB duìne 5 cm.

b) Crtamo trougao ~ije su duìne stranica date u zadatku pod a).

Crtamo luk sa centrom u ta~ki A,

polupre~nika 3 cm, a zatim luksa centrom u ta~ki B, polupre~nika 4 cm.

Zajedni~ku ta~ku lukova obeleìmo

sa C i crtamo trougao ABC.

a + b = 4 cm + 3 cm = 7 cm

5 cm < 7 cm

Zakqu~ujemo da je:

c < a + b

Na osnovu pravila o zbiru stranica trougla zakqu~ujemo da date duì a, b i c

mogu biti stranice trougla.

a + c = 4 cm + 5 cm = 9 cm

3 cm < 9 cmZakqu~ujemo da je:

b < a + c

b + c = 3 cm + 5 cm = 8 cm

4 cm < 8 cm

Zakqu~ujemo da je:

a < b + c

Tri duì ne mogu biti stranice trougla ako duìna bar jedne

od wih nije mawa od zbira duìna druge dve duì.

# Koriste}i pravilo zbira, ispitaj da li date duì mogu biti s tranice trougla.

a) a = 12 cm, b = 9 cm, c = 6 cmb) a = 11 cm, b = 13 cm, c = 25 cm

PRIMER

A B

A B

$ Duìne dve stranice trougla su 10 cm i 16 cm.

Da li duìna tre}e stranice moè biti:a) 14 cm b) 26 cm?

Da ti kaèm

Ako je duìna jedne duì jedna

zbiru duìna druge dve duì, t

duì ne mogu biti stranice tr



68

& Objasni za{to duì duìna 10 cm, 12 cm i 6 cm mogu biti stranice trougla.

' Objasni za{to duì duìna 19 cm, 12 cm i 6 cm ne mogu biti stranice trougla.

( Obim trougla je 12 cm. Da li duìna

jedne stranice moè biti 8 cm?

Duìna svake stranice trougla ve}a je od razlike duìna druge dvestranice tog trougla.

Vaì i obrnuto – ako za tri duì vaì da je duìna svak e ve}a od razlikeduìna druge dve, onda te tri duì mogu biti s tranice trougla.

PRAVILO RAZLIKE STRANICA TROUGLA

Koriste}i pravilo razlike stranica trougla, utvrdi da duì a = 23 cm, b = 12 cm,

c = 18 cm mogu biti stranice trougla.

Da bismo re{ili ovaj zadatak, potrebno je da prvo izra~unamo razlike duìna

svake dve date duì. Zatim duìnu tre}e duì uporedimo s dobijenom razlik om.

Kada govorimo o razlici dve stranice trougla, mislimo na razliku duìna ve}e

i mawe stranice.

Na osnovu pravila o razlici stranica trougla zakqu~ujemo da date duì a, b i c mogu

biti stranice trougla.

a – b = 23 cm – 12 cm = 11 cm

18 cm > 11 cm

Zakqu~ujemo da je:c > a – b

a – c = 23 cm – 18 cm = 5 cm

12 cm > 5 cm

Zakqu~ujemo da je:b > a – c

c – b = 18 cm – 12 cm = 6 cm

23 cm > 6 cm

Zakqu~ujemo da je:a > c – b

Duì ne mogu biti stranice trougla ako duìna bar jedne duì

nije ve}a od razlike duìna druge dve duì.

P

RIMER

Podseti se

Obim trougla je zbir

duìna wegovih stranica.

% Izra~unaj razliku duìna svake dve stranice

trougla ako je e = 35 mm, f = 52 mm i d = 45 mm.

Zatim duìnu tre}e stranice uporedi

s dobijenom razlikom.



) Merni brojevi stranica trougla

su prirodni brojevi. Ako je

obim trougla 12 cm i jedna

stranica 4 cm, kolike mogu biti

duìne druge dve stranice,

izraène u centimetrima?

Prvi korakIzra~unaj zbir druge dve stranice trougla: 12 cm – 4 cm = 8

Drugi korakOdredi sve slu~ajeve u kojima je zbir dva prirodna broja jedn

Tre}i korakPrimeni pravilo o odnosu stranica trougla.

Da ti kaèm

Trougao kod koga su sve stranice jednakih duìna

naziva se jednakostrani~ni trougao.

Trougao koji nema stranice jednakih duìna naziva

se nejednakostrani~ni trougao.

Trougao kod koga su dve stranice jednakih duìna

naziva se jednakokraki trougao. Jednake stranice

trougla nazivaju se kraci, a tre}a, razli~ita

stranica, naziva se osnovica trougla.

krak

osnovica

VRSTE TROUGLOVA PREMA STRANICAMA

0 Napi{i u trouglu broj 1 ako je jednakostrani~an, broj 2 ako je jednakokrak ili broj 3

ako je trougao nejednakostrani~an. Koristi {estar da uporedi{ stranice.

! Pokaì da date duì mogu biti stranice trougla.

a) 50 cm, 55 cm, 100 cm b) 35 cm, 65 cm, 35 cm v) 2 cm, 100 cm, 101 cm

" Pokaì da date duì ne mogu biti stranice trougla.

a) 40 cm, 55 cm, 100 cm b) 30 cm, 65 cm, 30 cm v) 1 cm, 100 cm, 101 cm

# Obim jednakokrakog trougla je 24 cm.

a) Da li duìna osnovice moè biti 12 cm? b) Da li duìna kraka moè biti 2 cm?

v) Da li duìna osnovice moè biti 2 cm? g) Da li duìna kraka moè biti 5 cm?

Obrazloì odgovor na svako pitawe.

Proveri {ta zna{



70

UNUTRA[WI UGLOVI TROUGLA.ZBIR UNUTRA[WIH UGLOVA.VRSTE TROUGLOVA PREMA UGLOVIMA

! êtvorougao ABCD je kvadrat. Napi{i mereuglova α, β i γ i izra~unaj wihov zbir.

" Koriste}i uglomer, izmeri uglove

trougla ABC i izra~unaj wihov zbir.

A B

C

# U prilogu na kraju kwige osen~eni

su unutra{wi uglovi trougla.Iseci delove trougla i saberi

uglove kao {to je prikazano na

crteù.

Kakav ugao ~ini dobijeni zbir? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

a) prav b) tup v) opruèn g) pun

Zbir unutra{wih uglova trougla je opruèn ugao.

ZBIR UNUTRA[WIH UGLOVA TROUGLA

• zbir unutra{wih

uglova trougla

• o{trougli trougao

• pravougli trougao

• tupougli trougao

Mera opruènog ugla je 180°.

Da ti kaèm

Du` DB pripada osi simetrije kvadrata



$ Koji uglovi mogu biti uglovi trougla? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

a) 30°, 60°, 60° b) 85°, 15°, 90° v) 20°, 100°, 60°

& Data su dva unutra{wa ugla trougla. Izra~unaj tre}i.

a) 54°, 64° b) 90°, 15° v) 130°, 22°

Pokaìmo na primeru datog trougla ABC da je zbir unutra{wih

uglova trougla jednak 180°.

Crtamo polupravu Ax koja sadrì ta~ku Bi pravu s, paralelnu pravoj AC kroz ta~ku B.

Prava BC je transverzala za paralelne prave AC i s. Uglovi ACB i CBE jesu uglovi na transverzali BC, pa je ACB=CBE.

Sli~no tome, prava AB je transverzala za paralelne prave

AC i s, pa je CAF =EBF .Zbir uglova ABC, CBE i EBF je opruèn ugao, to jest

CAB + ABC + BCA = 180°, odnosno α + β + γ = 180°.

180° – (45° + 67°)= 180° – 112°

= 68°

Podseti se

Uglovi na transver

za paralelne prave

Prav u

na crte

ozna~a

% Izra~unaj tre}i ugao trougla kao {to je ura|eno pod a).

ZBIR UNUTRA[WIH UGLOVA TROUGLA

a) b) v)



72

' Posmatraj sliku i izra~unaj meru E.

( Napi{i brojeve onih trouglova koji su:

a) o{trougli b) pravougli v) tupougli.

) Neka je p||q i A∈p i B∈p. Odredi ta~ku C na pravoj q tako da trougao ABC bude:a) o{trougli b) pravougli v) tupougli

Trougao kod koga su svi uglovi o{tri

naziva se o{trougli trougao.

Trougao kod koga je jedan ugao tup

naziva se tupougli trougao.

Trougao kod koga je jedan ugao prav

naziva se pravougli trougao.

Stranica pravouglog trougla naspram

pravog ugla naziva se hipotenuza.

Stranice koje pripadaju kracima pravog

ugla nazivaju se katete.

α β

γ

α

α

β

β

γ

c

b

a

katete

hipotenuza

q

p A B

q

p A B

q

p A B

Podseti se

Unakrsni uglovi

su jednaki.

Mera pravog ugla je 90°,

mera o{trog ugla je

mawa od 90°, a tupog

ugla ve}a od 90°.

VRSTE TROUGLOVA PREMA UGLOVIMA



Bermudski trougao je naziv za deo

Atlantskog okeana izme|u Bermude,Floride i Portorika. To je mesto

na kojem je nestao veći broj brodovai aviona. Procewuje se da se do sada

u Bermudskom trouglu izgubilooko 8 000 qudi. Re~ je o velikom

prostoru s mnogim ostrvima kojasu me|usobno sli~na, pa je lako izgubiti orijentaciju.

Bermudski trougao

! Izra~unaj tre}i ugao trougla ako su mere dva ugla :a) 33° i 66° b) 108° i 12° v) 90° i 46°30’ g) 50°15’ i 66°26’

" Izra~unaj tre}i ugao pravouglog trougla ako je jedan ugao :a) 15° b) 2° v) 34° g) 56°42’

# Kojoj vrsti trougla, prema uglovima, pripada trougao kod koga je zbir dva ugla :a) 90° b) 66°?

Proveri {ta zna{

+ Izra~unaj tre}i ugao trougla ABC. Kojoj vrsti trouglova,

prema uglovima, pripada trougao ABC?

a) α = 80° β = 37°

b) β = 25° γ = 65°

v) α = 43° γ = 15°20’

Zbir o{trih uglov

pravouglog trougla

je 90°.

Majami

Florida

Kuba

Bermuda

San Huan

Portoriko

Da ti ka`em

Podseti se

1° = 60’

180° – 15°30’ ra~una

179°60’ – 15°30’ = 16

* Izra~unaj drugi o{tar ugao pravouglog trougla.

a) b) v)



74

SPOQA[WI UGLOVI TROUGLA

! Tri prave a, b i c se seku. Izra~unaj obeleène

uglove na slici ako je α = 89° i β = 65°.

" Izra~unaj spoqa{we uglove trougla.

• spoqa{wi ugao

trougla

• zbir spoqa{wih

uglova trougla

Spoqa{wi ugao trougla kod jednog temena

moè{ da nacrta{ na dva na~ina.

Spoqa{wi ugao trougla jeste ugao koji je uporedan

unutra{wem uglu.

Uglovi α1, β1

i γ 1 su spoqa{wi uglovi trougla ABCna slici, a α, β i γ su unutra{wi.

Ugao α1 je uporedan uglu α, {to zna~i α

1+ α = 180°.

Ugao β1 je uporedan uglu β, {to zna~i β

1+ β = 180°.

Ugao γ 1 je uporedan uglu γ , {to zna~i γ

1+ γ = 180°.

SPOQA[WI UGAO TROUGLA

α1

α1α α

Podseti se

Vrste uglova po poloàju:

Kojoj vrsti uglova po poloàju

pripadaju uglovi γ 1

i γ 2

?

α β

α β

α α

susedni

uporedni

unakrsni

Da ti kaèm

Spoqa{wi ugao

trougla mawi je

od 180°.



Pokaìmo da je zbir spoqa{wih uglova jednog trougla jednak 360°.

Posmatrajmo trougao ABC na slici. Unutra{wi uglovi tog trougla

obeleèni su sa α, β i γ , a odgovaraju}i spoqa{wi uglovi sa α1, β

1i γ

1.

Crtamo polupravu Cx, paralelnu s polupravom AB.

Poluprava CA je transverzala za paralelne poluprave Cx i AB,

{to zna~i da je xCA = α1.

Isto tako, poluprava By je transverzala za paralelne

poluprave Cx i AB, {to zna~i da je yCx = β1.

Iz jednakosti xCA + yCx + ACy = 360°

sledi da je: α1

+ β1

+ γ 1

= 360°.

ZBIR SPOQA[WIH UGLOVA TROUGLA

$ Iskoristi prilog na kraju kwige, iseci delove osen~enih uglova

i saberi uglove kao {to je prikazano na crteù.

Kakav ugao ~ini dobijeni zbir? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

a) prav b) tup v) opruèn g) pun

Zbir spoqa{wih uglova trougla je pun ugao.

ZBIR SPOQA[WIH UGLOVA TROUGLA

Podseti se

Mera punog ugla je

Prvo izra~

unutra{wi

kod temena

# Izra~unaj unutra{we i spoqa{we uglove trougla.Da ti kaèm

% Koja tri ugla mogu biti spoqa{wi uglovi jednog trougla?

Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.a) 120°, 10°, 150° b) 110°, 150°, 120° v) 140°, 100°, 120° g) 90°, 90°, 180°

& Izra~unaj ugao ϕ.

ϕ



76

' Izra~unaj uglove na slici.

( Unutra{wi ugao kod temena A trougla ABC je 18°, a spoqa{wi ugao kod temena C je 111°.

Izra~unaj unutra{wi i spoqa{wi ugao kod temena B.

) Izra~unaj ugao θ.

γ 1

α1 α

1

γ 1

β1

γ

γ αβ

β

β1

γ

Ugao β1 je spoqa{wi ugao ∆ ABC na slici, odnosno:

β1

+ β = 180°

Moè se re}i da je β dopuwen sa β1

do 180°.

Tako|e, poznato je da je zbir unutra{wih uglova trougla

α + γ + β = 180°

Kaè se da je β dopuwen zbirom α + γ do 180°.

To zna~i da se ugao β moè dopuniti do 180° ili sa β1

ili sa α + γ .Dakle:

β1

= α + γ

Iz ove jednakosti moèmo zakqu~iti i da je spoqa{wi ugao trougla

ve}i od unutra{weg, wemu nesusednog ugla:

β1 > α i β1 > γ

SPOQA[WI UGAO TROUGLA JEDNAK JE ZBIRU DVA UNUTRA[WA

WEMU NESUSEDNA UGLA

a) b) v)

a) b) v)

! Neka je α1

spoqa{wi i β unutra{wi ugao trougla ABC i neka je α1

= 118° i β = 42°.

Izra~unaj sve preostale unutra{we i spoqa{we uglove.

" Zbir spoqa{wih uglova pravouglog trougla kod temena o{trih unutra{wih uglova

jednak je 270°. Objasni.

Proveri {ta zna{



ODNOS STRANICA I UGLOVAU JEDNAKOKRAKOM TROUGLU

! a) Izmeri stranice i

izra~unaj ozna~eneuglove trouglova na

crteù.

b) Koji trougao ima jednake izmerene stranice?

Koji trougao ima dva jednaka ugla?

• uglovi jednakokrakog

trougla

• uglovi jednakostrani~nog

trougla

U prethodnoj {kolskoj godini u~ili smo

o osnoj simetriji. Pri tom smo nau~ili da

su osnosimetri~ne duì me|usobno jednake.

Tako|e smo nau~ili {ta je simetrala duì

i koja su wena svojstva. Pokaìmo sada,

koriste}i znawe o simetri~nim duìma

i simetrali duì, da jednakokraki trougao

ima dva jednaka unutra{wa ugla.Neka je prava s simetrala duì AB na slici.

Odaberimo neku ta~ku C na simetrali si spojmo je sa ta~kama A i B. Zamisli da pre-

savijamo dobijeni crte` po pravoj s.

Ta~ke A i B }e se poklopiti jer su simetri~ne

ta~ke u odnosu na pravu s.

Po{to ta~ka C pripada simetrali s, sledi

da }e se i duì CA i CB poklopiti, a tako|e

i ozna~eni uglovi CAB i CBA.

Na osnovu toga sledi da su duì CA i CB jednake i da su uglovi CAB i CBA jednaki.

Dakle, trougao ABC je jednakokraki trougao.

Jednaki uglovi CAB i CBA nalaze se naspram

jednakih stranica CB i CA jednakokrakog

trougla ABC.

UGLOVI JEDNAKOKRAKOG TROUGLA

Podseti se

Prava je simetrala du`

sadrì sredi{te te du`

i normalna je na tu du`

Svaka ta~ka

simetrale du`

jednako je uda

od krajwih ta

te duì.



78

" Obeleì slovom θ jednake uglove

trougla na slici.

# Na slici slovom a obeleì jednake

stranice.

Naspram jednakih stranica trougla nalaze se jednaki uglovi.

Vaì i obrnuto – naspram jednakih uglova trougla nalaze se jednake stranice.

ODNOS STRANICA I UGLOVA JEDNAKOKRAKOG TROUGLA

a) Koji su uglovi trougla na slici jednaki?

Stranice AC i BC trougla ABC su jednake. Ugao CAB nalazi

se naspram stranice BC, a ugao CBA naspram stranice AC.

Na osnovu odnosa stranica i uglova jednakokrakog trougla

zakqu~ujemo da su uglovi CAB i CBA jednaki, to jest:CAB = CBA

b) Koje su stranice trougla na slici jednake?

Uglovi kod temena F i G trougla EFG su jednaki. Naspram Gnalazi se stranica EF , a naspram F stranica EG.

Na osnovu svojstva o odnosu stranica i uglova jednakokrakog

trougla zakqu~ujemo da su stranice EF i EG jednake, to jest:EF = EG

Ugao izme|u krakova nazivamo ugao pri vrhu jednakokrakog

trougla. Uglove koje grade krak i osnovica nazivamo uglovi-

ma na osnovici jednakokrakog trougla.

Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki.

Trougao koji ima dva jednaka ugla jeste jednakokraki

trougao.

Sli~no tome, unutra{wi uglovi jednakostrani~nog trougla

su jednaki.

Mera svakog ugla jednakostrani~nog trougla je 60°.

I obrnuto, trougao koji ima tri jednaka ugla jeste

jednakostrani~ni trougao.

k r a k

osnovica

60°

60° 60°

a a

a

ugao na

osnovici

A

G

45°

45°

ϕ

ϕ

E

Q

MP

mm

F

B

C

5 cm

5 cm

k r

a k

P

RIMER

α α

γ ugao pri vrhu

UGLOVI JEDNAKOKRAKOG I UGLOVI JEDNAKOSTRANI^NOG TROUGLA



$ Uglovi α, β i γ jesu unutra{wi uglovi trougla. Popuni tabelu kao {t o je zapo~eto.

% Koliki su uglovi jednakokrakog

trougla na slici?

& Izra~unaj ugao α.

' Ta~ka O je centar kru`nice na slici. Kojoj

vrsti trouglova, prema stranicama, pripada trougao CDO?

Izra~unaj ugao COD.

Izra~unaj ugao α trougla na slici.

Trougao na slici ima dve jednake stranice. Na osnovu odnosa stranica

i uglova trougla uglovi naspram tih stranica su jednaki. Kako je zbiruglova u trouglu 180°, dobijamo :α + α + 76° = 180°

2α = 180° – 76°

α = 104° : 2

α = 52°

m m

A B

O

C

D

C

76°

α

α

γ

α 50° 20° 45°

β 80° 120° 60°

γ 50° 90° 60°

vrsta trougla, prema stranicama jednakokraki

vrsta trougla, prema uglovima o{trougli

30°

a a

c

α

! Izra~unaj ugao pri vrhu jednakokrakog trougla ako je ugao na osnovici : a) 15° b) 56° v) 45°20

Kojoj vrsti trouglova, prema uglovima, pripada svaki od wih?

" Izra~unaj ugao na osnovici jednakokrakog trougla ako je ugao pri vrhu : a) 20° b) 82° v) 106°.

# Izra~unaj unutra{we uglove jednakokrakog trougla ako je spoqa{wi ugao na osnovici 140°.

$ Spoqa{wi ugao pri vrhu jednakokrakog trougla je 80°. Izra~unaj unutra{we uglove trougla.

37°

PRIMER

Proveri {ta zna{



80

! Neka je prava s simetrala ugla γ trougla na slici. Koristi trougao

iz priloga i presavij ga po pravoj s, kao {to je prikazano na fotografiji.

" a) Izmeri stranice trougla u milimetrima.

Izmeri unutra{we uglove trougla u stepenima.

b) Koja je stranica ve}a, a ili b?

Koji je ugao ve}i, α ili β?

Koja je stranica ve}a, b ili c?

Koji je ugao ve}i, β ili γ ?

ODNOS STRANICA I UGLOVA TROUGLA

ab

c

γ

α β

ab

b

M B

P

c

α β

α

β

Stranica b preklopi}e deo stranice a.

Objasni.

Posmatraj posledwi crte` i objasni

za{to je ugao α ve}i od ugla β.

A

a

c

b

ab

b > a

β > α

B

C

α

γ

β

Naspram ve}e stranice trougla nalazi se ve}i ugao trougla.

Va`i i obrnuto – naspram ve}eg ugla trougla nalazise ve}a stranica.

ODNOS STRANICA I UGLOVA TROUGLA

α β

Da ti ka`em

Ugao α je spoqa{wi

ugao trougla MBPi jednak je zbiru

dva unutra{wa

nesusedna ugla.

• odnos stranica

i uglova nejednako-

strani~nog trougla

γ 2

γ 2



# Uporedi stranice EF i FD trougla EFD.

$ Uporedi uglove kod temena C i Dtrougla BCD.

a) Pore|aj uglove trougla od najmaweg

ka najve}em.

Poredimo prvo du`ine stranica datog trougla.

DF < EF i EF < DE

Na osnovu pravila o odnosu stranica i uglova

trougla, koje glasi da se naspram ve}e stranice

trougla nalazi ve}i ugao, zakqu~ujemo:E < D i D < F

To zna~i da je poredak uglova :E, D, F

b) Izra~unaj tre}i ugao, a zatim pore|aj

stranice datog trougla od najmawe

do najve}e.

P

RIMER

Prvo ra~unamo C.

C = 180° – (56° + 72°) = 52°

Poredimo uglove datog trougla.

C < D i D < B

Na osnovu odnosa stranica i uglova trougla

zakqu~ujemo:BD < BC i BC < DC

Zna~i da je poredak stranica:BD, BC, DC.

OVO JE

BOZA!

D E

F

58 mm

45 mm30 mm



82

( Ne mere}i stranice trougla,

pore|aj ih od najmawe ka najve}oj.

) Ne mere}i uglove datog trougla,

pore|aj ih od najmaweg ka najve}em.

! Nacrtaj tupougli trougao i obeleì wegova temena. Koja je stranica najve}a? Objasni.

" Pore|aj od najmawe ka najve}oj stranice trougla ABC ako je:a) α = 45° β = 65° b) α = 79° β = 95°.

# Pore|aj od najmaweg ka najve}em uglove trougla ABC ako je:a) a = 12 cm, b = 14 cm, c = 20 cm b) a = 20,2 cm, b = 30,8 cm, c = 15,6 cm.

& Koja je stranica datog trougla najve}a?

Koja je stranica datog trougla najmawa?

' Koji je ugao najve}i?

Koji je ugao najmawi?

Da ti kaèm

Prvo izra~unaj

tre}i ugao.

% a) Nacrtaj pravougli trougao i obeleì wegova temena. Koja je stranica najve}a?

b) Nacrtaj tupougli trougao i obeleì wegova temena. Koja je stranica najve}a?

Proveri {ta zna{

E

F

D



! a) Konstrui{i simetralu ugla xOy .

b) Koliko je stepeni mera polovine opruènog ugla?

" Konstrui{i ugao od 45°.

# Prav ugao xOy podeqen je polupravama

Om, On i Op na ~etiri jednaka ugla.

Napi{i mere uglova: xOm , xOn, xOp, mOy.

$ a) Nacrtaj jednakostrani~ni trougao stranice 4 cm i obeleì wegova temena sa A, B, C.

b) Koliko stepeni ima svaki unutra{wi ugao?

Podseti se

Konstrukcija simetrale

45° : 2 = 22

• konstrukcija ugla

KONSTRUKCIJE UGLOVA OD 30°, 60°, 120°

Prvo konstrui{i prav ugao, a za

konstrui{i wegovu simetralu.

Da ti kaèm

Drugi korak

Konstrui{emo, zatim, luk l1sa centrom A polupre~nika r .Presek lukova l i l1obeleàvamo sa B.

P

RIMER

Konstrui{i ugao od 60°.

Prvi korak

Crtamo polupravu Ox i luk lsa centrom O polupre~nika r .Presek poluprave i luka

obeleàvamo sa A.

Za konstrukciju u

koriste se samo l

i {estar.



84

% Opruèni ugao podeli na tri

jednaka dela. Obeleì lukom

ugao ~ija je mera 120°.

& Konstrui{i ugao aMb = 30°.

' Ugao od 60° podeli na ~etiri jednaka dela.

Obeleì lukom ugao od 15°.

( Konstrui{i ugao β = 120°.

Podeli pun ugao na {est jednakih delova.

Prvi korak

Konstrui{emo ugao od 60°.

Drugi korak

Nadovezujemo uglove po 60°.

Tre}i korak

Pun ugao podeqen je na {est

uglova po 60°.

P

RIMER

Prvo konstrui{i aMx = 60

120° = 60° + 60°

Prvo ugao od 60° podeli na dva jednaka ugla,

a zatim i svaki od dobijenih uglova podeli na

dva jednaka ugla.

180° = 60° + 60° + 60°

Tre}i korak

Crtamo polupravu sa po~etkom

u ta~ki O, koja sadrì ta~ku B,

i obeleàvamo je sa Oy . Mera

ugla xOy je 60°.

Trougao OAB je

jednakostrani~ni trougao.

Da ti kaèm



Da ti kaèm

Prvo pun ugao

podeli na {es

jednakih delov

a zatim svaki

wih na dva jed

dela.

O x

) a) Pun ugao podeli na 12 podudarnih uglova.

b) Obeleì lukom ugao ~ija je mera 150°.

v) Obeleì lukom ugao od 210°.

Tre}i korak

Delimo ugao od 60°

na dva jednaka dela.

êtvrti korak

Ozna~avamo lukom

ugao od 75°.

! Konstrui{i ugao od: a) 150° b) 165°.

" Konstrui{i ugao od: a) 105° b) 52°30’.

# Konstrui{i ugao od: a) 22°30’ b) 67°30’.

$ Konstrui{i ugao od: a) 225° b) 300°.

Konstrui{i ugao od 75°.

Prvi korak

Polazimo od pravog ugla

i konstrui{emo ugao od 45°.

Drugi korak

Nadovezujemo ugao od 60°

na ugao od 45°.

P

RIMER

Ugao od 75° mo`

da konstrui{e{i na drugi na~i

(90° + 60°) : 2 =

150° : 2 = 75°

ili

60° + 15° = 75°

Proveri {ta zna{



86

I TO JE MATEMATIKA

Prekrivawe ravne povr{i geometrijskim figurama nazivamo poplo~avawem. Jo{ su Stari Egip}an

Persijanci, Stari Grci i Rimqani na taj na~in ukra{avali podove i zidove, a poplo~avawe je

primewivano i u Kini, Japanu i drugim starim civilizacijama. Na mnogim crte`ima uo~avaju se

geometrijske figure koje se sa odre|enom pravilno{}u ponavqaju, stvaraju}i mnogo raznih

simetri~nih slika. Primeri poplo~avawa mogu se videti na ulicama i trgovima, kao i na mnogimdrugim mestima. Na taj na~in napravqeni podovi pokazuju da matematika i umetnost imaju mnogo

toga zajedni~kog.

Primeri poplo~avawa jednim oblikom

Poplo~avawe podrazumeva prekrivawe ravne povr{ine mnogouglovima bez praznina, s tim

{to se oni ne preklapaju i imaju jedno zajedni~k o teme. Tu ta~ku nazivamo ~vorna ta~ka.

Zbir uglova mnogouglova kod ~vorne ta~ke jednak je 360°.

Primeri poplo~avawa sa dva oblika

Kada koristimo dve vrste mnogouglova, vodimo ra~una o tome da je zbir uglova kod ~vorne ta~ke 3

Primer 3

Poplo~avawe jednakostrani~nim trouglom i kvadratom

Kvadrati i jednakostrani~ni trouglovi mogu se slo`iti kao na slikama.

Primer 1

Poplo~avawe jednakostrani~nim trouglovimaTrouglovi se postavqaju tako da {est trouglova

ima jedno zajedni~ko teme, kao na slici.

Primer 2

Poplo~avawe kvadratima

! Koriste}i oblik iz prethodnog primera,

dopuni zapo~eti crte`.

" Koriste}i oblik iz prethodnog primera,

u svesci nacrtaj figuru prikazanu na sli

6 ⋅ 60° = 360°

4 ⋅ 90° = 360°



ZAPAMTI

Trougao

Stranice trougla ABC su: AB, BC, CA.Za stranice trougla va`i:c < a + b, b < a + c, a < b + c

jednakostrani~ni

jednakokraki

o{trougli

Osnovni elementi trougla jesu stranice i uglovi.

tupougli

pravougli

Unutra{wi uglovi

trougla ABC su: α, β i γ .

α + β + γ = 180°

Vrste trouglova

nejednakostrani~ni

prema stranicama prema uglovima

Stranice i uglovi trougla

Naspram ve}e stranice

trougla nalazi se ve}i ugao.

a > b, α > β

Naspram jednakih stranica

trougla nalaze se jednaki

uglovi.

a = b, α = β

hipotenuza

katete

α < 90°, β < 90°, γ < 90°

α < 90°, β < 90°, γ = 90°

α < 90°, β > 90°, γ < 90°

Spoqa{wi uglovi

trougla ABC su: α1, β

1i γ

1.

α1

+ β1

+ γ 1

= 360°



88

PODUDARNOST TROUGLOVA – UVOD

! Izre`i trougao A iz priloga. Poku{aj da trouglove ozna~ene brojevima preklopi{

tim trouglom. Koji si trougao potpuno preklopio?

" Kvadrat ABCD podeqen je pravom AC na dva trougla: ABC i ADC. Koristi kvadrat

iz priloga i presavij ga po pravoj AC. Napi{i koje }e se stranice i koji uglovi

trouglova ABC i ADC poklopiti.

• podudarnost trouglova

• odgovaraju}e stranice

i odgovaraju}i uglovi

dva podudarna trougla

Da ti ka`em

Trouglovi ABC i DACsu podudarni.

S kojom se stranicom poklapa stranica AB?

S kojom se stranicom poklapa stranica BC?

S kojom se stranicom poklapa stranica CA?

S kojim se uglom poklapa ugao α?

S kojim se uglom poklapa ugao β?

S kojim se uglom poklapa ugao γ ?

Da li }e se trouglovi ABC i ADC potpuno poklopiti?



# Trougao ABC na slici je jednakokraki trougao i poluprava Cs je simetrala ugla kod temena C. Sli~no kao u prethodnom zadatku,

zamisli da presavija{ dati trougao po polupravoj Cs. Napi{i

koje }e se duì i koji uglovi potpuno poklopiti.

Na crteù su prikazani osnosimetri~ni trouglovi

ABC i EFD prema pravoj s.

Zamislimo da dati crte` presavijamo po pravoj s.

Tada }e se poklopiti temena A i E, C i D, B i F ,stranice koje ta temena odre|uju i odgovaraju}iuglovi izme|u wih.

To zna~i da }e se trouglovi potpuno

preklopiti.

Tada kaèmo da su trouglovi ABC i EFDpodudarni, {to zapisujemo:

∆ ABC ∆EFD.

U petom razredu nau~ili smo da su simetri~ne

duì jednake. Duì AC i ED su simetri~ne,

{to zna~i da je AC = ED. Isto tako, duì

CB i DF su simetri~ne, {to zna~i da je CB = DF .Na kraju, i duì AB i EF su simetri~ne,

odakle sledi da je AB = EF .

Uglovi naspram wih tako|e su jednaki:BAC = FED, CBA = DFE i ACB = EDF .

Posmatrawem ova dva trougla zakqu~ujemo da se

naspram jednakih stranica nalaze jednaki uglovi.

I obrnuto, naspram jednakih uglova nalaze se

jednake stranice. Zato }emo jednake stranice dva

podudarna trougla nazvati odgovaraju}e stranice,

a jednake uglove odgovaraju}i uglovi.Zakqu~ujemo da podudarni trouglovi ABC i EFD imaju me|usobno jednake stranice i jednake

odgovaraju}e uglove.

SIMETRI^NOST I PODUDARNOST

Da ti kaèm

Trouglovi ADCsu podudarni.

OVO NE}E

BITI TE?KO.



90

U prilogu prona|i pravougaonik prikazan na prvoj slici i izreì ga.

Du` koja spaja dva naspramna temena deli pravougaonik na dva trougla.

Ti trouglovi su obeleèni slovima A i B. Oni su pravougli i imaju me|usobno

jednake stranice. Tako|e imaju jednake odgovaraju}e o{tre uglove kao uglove

na transverzali, to jest α = ϕ i β = θ.

Izreìmo te trouglove kao {to je prikazano na drugoj slici.

Stavimo trougao A ispod trougla B, kao {t o je prikazano na tre}oj slici.

Kada trougao A prevrnemo, dove{}emo ga u poloàj k oji je prikazan na ~etvrtojslici. Iz tog poloàja trouglove A i B moèmo potpuno poklopiti.

Zakqu~ujemo da dva trougla koja imaju me|usobno jednake stranice i jednake

odgovaraju}e uglove moèmo potpuno poklopiti, {to zna~i da su ti trouglovi

podudarni.

KRETAWE I PODUDARNOST

Da ti kaèm

Naspramne stranice

pravougaonika su

paralelne i jednake

Dva trougla su podudarna ako postoji kretawe kojim se mogudovesti do potpunog preklapawa.

Podudarni trouglovi imaju me|usobno jednake odgovaraju}estranice i jednake odgovaraju}e uglove.

PODUDARNOST TROUGLOVA



$ Trouglovi ABC i DEF su podudarni. Napi{i parove odgovaraju}ih

temena, stranica i uglova datih trouglova, kao {to je zapo~eto.

% Trouglovi na slici su podudarni. Na osnovu merewa odgovaraju}ih elemenata drugog trougla,

stranica ili uglova, obeleì wegova temena sa A1, B

1i C

1ako se zna da su ona odgovaraju}a

temena temenima A, B, C prvog trougla.

Dva trougla su podudarna ako su stranice i uglovi jednog trougla

jednaki odgovaraju}im stranicama i uglovima drugog trougla.

AC = A1C

1

AB = A1B

1

BC = B1C

1

α = α1

β = β1

γ = γ 1

∆ ABC ∆ A1B

1C

1

trougao temena stranice uglovi

∆ ABC B A C CA BC AB ABC CAB ACB

∆DEF D FD FDE

" Nacrtaj trougao ABC i pravu s koja:a) sadrì teme B i ne se~e tre}u stranicu b) sadrì stranicu AB.

Nacrtaj osnosimetri~ni trougao A1B

1C

1prema trouglu ABC. Koje stranice

su jednake i koji su uglovi jednaki?

! Nacrtaj pravougaonik i duì koje spajaju naspramna temena. Dobi}e{ ~etiri

trougla. Izreì te trouglove. Pokaì preklapawem da su po dva trougla podudarna.

Da ti kaèm

Kada prona|e{ odgovar

stranice, moè{ da ih

obeleì{ crticama.

Proveri {ta zna{



92

OSNOVNA PRAVILA O PODUDARNOSTITROUGLOVA – PRAVILO SSS

• pravilo

o podudarnosti

trouglova – SSS

! Nata{a ho}e da napravi trougaonu maramu.

Mama joj je dala model od papira. Nata{a jepostavila model na tkaninu i prekopirala

ga, kao {to je prikazano na slici. Zatim je

pa`qivo makazama izrezala trougao od

tkanine.

Da li trouglovi imaju

me|usobno jednake stranice?

Da li je trougao od hartije

podudaran s trouglom od tkanine?

PRAVILO O PODUDARNOSTI TROUGLOVA

Nau~ili smo u prethodnoj lekciji da su dva trougla

podudarna kada su im jednake odgovaraju}e stranice

i jednaki odgovaraju}i uglovi.

Postavqa se pitawe o tome koliko najmawe jednakih

odgovaraju}ih osnovnih elemenata treba da imaju dvatrougla da bismo bili sigurni da su trouglovi podudarni.

Prona|imo odgovor na to pitawe prakti~nim proverama.

• Posmatrajmo trouglove na crteù. Od osnovnih elemenata

oni imaju jednaku samo po jednu stranicu.

Izreìmo crveni trougao iz priloga i poku{ajmo da wim preklopimo druga dva trougla.

Vidimo da se nijedan od wih ne moè po tpuno preklopiti.

Na osnovu toga zakqu~ujemo da druga dva trougla nisu podudarna s prvim trouglom.

Podseti se

Osnovni elementi

trougla su stranice

i uglovi.



Dva trougla su podudarna ako su stranice jednog trougla jednake odgovaraju}im stranicama drugog trougla.

Ovo pravilo o podudarnosti trouglova ~esto kra}e nazivamoSSS i ~itamo: Stranica, stranica, stranica.

B= DE

C = DF

BC = EF

∆

BC

∆

DEF

PRAVILO O PODUDARNOSTI TROUGLOVA – SSS

" Koji je trougao podudaran s datim trouglom ABC? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

• Istim crvenim trouglom iz priloga poku{ajmo da preklopimo naranxasti i ùti

trougao na slici. Od osnovnih elemenata oni imaju jednake samo po dve stranice.

Na isti na~in kao u prethodnom primeru moèmo da zakqu~imo da crveni trougao nije

podudaran ni s jednim od wih.

• Posmatrajmo tri trougla na crteù. Vidimo da oni imaju me|usobno jednake stranice.

Koriste}i isti crveni trougao iz priloga, primenimo postupak iz prethodnih primera.

Vidimo da se dati trouglovi potpuno preklapaju, to jest poklopi}e se jednake stranice

i odgovaraju}i uglovi.

Zakqu~ujemo da su trouglovi podudarni ako imaju me|usobno jednake stranice.

a) b) v)



94

Ako je AC = BD i BC = AD, dokaì da su trouglovi

ABC i BAD na crteù podudarni.

Na osnovu podataka u zadatku i datog crteà dobijamo: AC = BD

AB = ABBC = AD

Na osnovu ovih jednakosti sledi, po pravilu SSS:∆ ABC ∆BAD

zajedni~ka stranica

# Na osnovu podudarnosti trouglova ABC i BAD iz prethodnog primera,

napi{i odgovaraju}e jednake uglove.

$ Na kru`nici datoj na slici tetive AB i CD su jednake. Dokaì da su

trouglovi OAB i OCD podudarni.

• Da bi dva trougla bila podudarna, potrebno je da su tri wihovaodgovaraju}a osnovna elementa jednaka. Pravila o podudarnosti

nam govore koji su to elementi.

• Postupak pronalaèwa jednakih elemenata i primenu pravila

podudarnosti trouglova nazivamo dokazom podudarnosti trouglova.

• Kada se primenom pravila dokaè podudarnost dva trougla,

to zna~i da ti trouglovi imaju jednake preostale odgovaraju}e

osnovne elemente.

! Trouglovi ABC i DEF su podudarni: ( AB = DE, BC = EF , AC = DF ).Napi{i parove odgovaraju}ih jednakih uglova.

" Nacrtaj pravougaonik ABCD i du` BD. Koriste}i pravilo SSS, dokaì podudarnost

trouglova ABD i CDB.

# Dokaì da prava koja sadrì vrh i sredi{te osnovice jednakokrakog trougla

deli taj trougao na dva podudarna trougla.

PRIMER

Da ti kaèm

Napi{i parove

odgovaraju}ih jednakih

stranica i primeni

pravilo SSS.

Proveri {ta zna{



• pravilo

o podudarnosti

trouglova – USU

! Stranica BC trougla ABC paralelna je stranici DE

trougla ADE.Da li trouglovi imaju me|usobno jednake uglove?

Da li su odgovaraju}e stranice jednake?

Da li su trouglovi podudarni?

OSNOVNA PRAVILA O PODUDARNOSTITROUGLOVA – PRAVILO USU


Razmotrimo sada slu~aj kada dva trougla imaju jednaku po jednu

stranicu i jednaka po dva ugla.

U narednom tekstu za ugao trougla ~iji jedan krak sadrì stranicu

trougla koristi}emo naziv ugao koji je nalegao na tu stranicu .

Posmatrajmo prva dva trougla na crteù. Jedna stranica i nalegli

uglovi na wu prvog trougla jednaki su stranici i odgovaraju}im

uglovima drugog trougla.

Izreìmo zeleni trougao iz priloga i poku{ajmo da po tpuno

preklopimo drugi trougao tako {to }emo prvo preklopiti jednake

stranice, a zatim i uglove. Vidimo da se ti trouglovi po tpuno

poklapaju, {to zna~i da su podudarni.

Me|utim, ako poku{amo da zelenim trouglom preklopimo tre}itrougao, vide}emo da to nije mogu}e, {to zna~i da ti trouglovi nisu

podudarni.

Zakqu~ujemo da su podudarna samo ona dva trougla koja imaju jednaku

po jednu stranicu i jednaka po dva ugla nalegla na wu.

Da ti kaèm

Trouglovi koj

imaju me|uso

jednake uglov

ne moraju da b

podudarni.

Uglovi α i

uglovi nale

na stranic

α β



96

" Trouglovi DEF i STR su podudarni.

Napi{i parove jednakih istranica i jednakih uglova.

# Koja dva trougla su podudarna?

Dva trougla su podudarna ako su stranica i nalegli uglovi na wu jednogtrougla jednaki stranici i odgovaraju}im uglovima drugog trougla.

Ovo pravilo o podudarnosti trouglova ~esto kra}e nazivamo USUi ~itamo: Ugao , stranica, ugao .

B= DE

C B FDE

BC DEF

∆

BC

∆

DEF

PRAVILO O PODUDARNOSTI TROUGLOVA – USU

Da ti ka`em

Stranice DE i ST trouglova EFD i RST su jednake i wihova

du`ina je m.

a)

b)

v)



$ Na osnovu podudarnosti trouglova BED i SAC iz prethodnog primera,

napi{i odgovaraju}e jednake stranice.

% Jednakokraki trouglovi na slici

su podudarni. Dokaì.

& Objasni za{to su duì

AD i CD jednake.

Dokaì da su trouglovi BED i SACna slici podudarni.

Prvo izra~unajmo tre}i ugao ∆BED.

BED = 180° – (37° + 33°)BED = 110°

Za date trouglove vaì:ED = ACBED = SACEDB = ACS

Na osnovu ovih jednakosti primenom pravila USU

zakqu~ujemo da su trouglovi BED i SAC podudarni,

{to zapisujemo: ∆BED ∆SAC.

! Da li su podudarna dva jednakokraka trougla koja imaju osnovice po 3 cm

i po jedan ugao na osnovici od 80°? Za{to?

" Dokaì da su podudarna dva pravougla trougla ~ije su hipo tenuze 4 cm

i o{tri uglovi 35°.

Da ti kaèm

Izra~unaj uglo

na osnovicama

jednakokrakih

trouglova.

Prvo dokaì poduda

trouglova primenom

pravila USU.

Proveri {ta zna{

P

RIMER

uglovi po 110°

uglovi po 33°

stranice po 8 cm



98

• pravilo

o podudarnosti

trouglova – SUS

• pravilo

o podudarnosti

trouglova – SSU

! Koji su osnovni elementi trouglova ABE i ABD jednaki?

Da li su trouglovi podudarni?

OSNOVNA PRAVILA O PODUDARNOSTITROUGLOVA – PRAVILA SUS I SSU

Ugao α zahva}en je

stranicama c i b.


Posmatrajmo trouglove na crteù. Vidimo da trouglovi imaju jednake

po dve stranice i jednak po jedan ugao.

Izreìmo ùti trougao iz priloga. Poku{ajmo da wim

potpuno preklopimo drugi trougao tako {to }emo prvo

preklopiti jednake stranice, a zatim i uglove.

Vidimo da se ti trouglovi potpuno poklapaju, {to zna~i

da su podudarni.

Poku{ajmo da izrezanim trouglom preklopimo i tre}i

trougao. Vidimo da se ti trouglovi ne mogu potpuno

preklopiti, {to zna~i da nisu podudarni.

Zakqu~ujemo da su podudarni samo oni trouglovi koji imaju

jednake po dve stranice i jednake uglove zahva}ene wima.

Ugao zahva}en dvema stranicama trougla jeste ugao ~iji kraci

sadrè te stranice.

Da ti kaèm

Trouglovi koji imaju

jednaku po jednu stranicu

i jednak po jedan ugao

ne moraju biti podudarni

α



" Koji je od datih trouglova podudaran sa trouglom ABC?

Dva trougla su podudarna ako su dve stranice i ugao zahva}en wima jednog trougla jednaki odgovaraju}im stranicama i odgovaraju}em uglu drugog trougla.

Ovo pravilo o podudarnosti trouglova ~esto kra}e nazivamo SUS i ~itamo :Stranica, ugao , stranica.

B= DE

C = DF

C B FDE

∆

BC

∆

DEF

PRAVILO O PODUDARNOSTI TROUGLOVA – SUS

Simetrala ugla pri vrhu jednakokrakog trougla deli taj trougao

na dva podudarna trougla. Dokaì.

Trougao ACB je jednakokraki trougao. Wegovi kraci su AC i BCi osnovica AB. Neka Cs simetrala ugla ACB se~e osnovicu ABu ta~ki D.

Za trouglove ADC i BDC vaì:

AC = BC

CD = CD

ACD = BCD

Na osnovu ove tri jednakosti, primewuju}i pravilo

o podudarnosti trouglova (SUS), zakqu~ujemo da vaì:

∆ ADC ∆BDC

CD je simetrala C

zajedni~ka stranica

kraci trougla ACB

P

RIMER



100


Razmotri}emo sada jo{ jedan slu~aj kada dva trougla imaju jednak e po dve

stranice i jednak po jedan ugao koji se nalazi naspram jedne od tih stranica.

Posmatrajmo trouglove na slici.

Izreìmo qubi~asti trougao iz priloga. Poku{ajmo da wim potpuno preklopimo

drugi trougao tako {to }emo prvo preklopiti jednake stranice, a zatim i uglove.Vidimo da se ti trouglovi potpuno preklapaju, {to zna~i da su podudarni.

Poku{ajmo sada da istim trouglom potpuno preklopimo tre}i trougao.

Vidimo da to nije mogu}e. Dakle prvi i tre}i trougao nisu podudarni.

Zakqu~ujemo da su dva trougla podudarna ako imaju jednake po dve stranice

i jednak po jedan ugao koji se nalazi naspram ve}e od datih stranica.

b) Da li su duì AE i DC paralelne?

# Na osnovu podudarnosti trouglova ADC i BDC iz prethodnog primera,

napi{i ~emu je jednako: AD, ADC, CAD.

Kolika je mera ugla ADC?

Da li je simetrala ugla pri vrhu jednakokrakog trougla istovremeno

i simetrala osnovice?

Prave su paralelne ako

su uglovi na transverzali

jednaki.

Da ti kaèm

Ugao podudaran

svom uporednom

uglu jeste prav

ugao.

$ Ta~ka B je sredi{te duì AD i CE.

a) Duì AE i DC su jednake. Za{to?



ta~ka A je sredi{te duì EB

uglovi od 90°

Dva trougla su podudarna ako su dve stranice i ugao naspram ve}e od wih jednogtrougla jednaki odgovaraju}im stranicama i odgovaraju}em uglu drugog trougla.

Ovo pravilo o podudarnosti trouglova ~esto kra}e nazivamo SSU i ~itamo :Stranica, stranica, ugao .

PRAVILO O PODUDARNOSTI TROUGLOVA – SSU

% Koja su dva trougla na slici podudarna?

! Neka je ta~ka M sredi{te stranice AB kvadrata ABCD. Duì MD i MC

su jednake. Za{to?

" Dve prave seku se u u ta~ki A. Na jednoj pravoj obeleì razli~ite ta~ke B i C,

a na drugoj P i R, tako da je AB = AC i AP = AR. Duì BP i CR su jednake. Za{to?

P

RIMER

1 2 3 4 5

Ta~ka A je sredi{te duì EB na slici i AD = AC i uglovi

DEA i CBA su pravi. Dokaì da je DE = CB.

AD = ACEA = BA

DEA = CBA

AD > EA

Na osnovu pravila o podudarnosti trouglova SSU sledi :

∆DEA ∆CBA,

odnosno DE = CB, kao tre}i par odgovaraju}ih stranica.

Proveri {ta zna{

B= DE

B > C

C = DF

CB DFE

∆

BC

∆

DEF



102

ODRE\ENOST I KONSTRUKCIJATROUGLA

• odre|enost trougla

• analiza zadatka

• izvo|ewe konstrukcije

trougla

! Nacrtaj trougao ABC prema podacima sa crteà.

" Nacrtaj jednakokraki trougao ~iji sukraci b = 3,5 cm i osnovica a = 5 cm.

Podseti se

1. Nacrtaj du` AB, duìne 4,5 cm.

2. Nacrtaj kru`ni luk sa centrom u ta~ki A,

polupre~nika 3,5 cm.

3. Zatim nacrtaj kru`ni luk sa centrom u ta~ki B,

polupre~nika 4 cm.

4. Teme C je zajedni~ka ta~ka nacrtanih lukova.

U prethodnim zadacima tre}e teme C dobija{ kada

nacrta{ dve kru`nice, jednu sa centrom u ta~ki Ai polupre~nikom jednakim datoj stranici b i drugu

sa centrom u ta~ki B i polupre~nikom jednakim stranici a.

Zajedni~ke ta~ke tih kru`nica su ta~ke C i C1, kao {to je

prikazano na crteù. Trouglovi ∆ ABC i ∆ ABC1

su podudarni

na osnovu pravila SSS. Za konstrukciju tre}eg temena traènog

trougla dovoqno je da konstrui{e{ jednu od ta~aka, C ili C1.

Da ti kaèm

Skica trougla sa datim podacima

moè ti pomo}i da re{i{ zadatak.

C1



ODRE\ENOST TROUGLA

Trouglovi su podudarni ako imaju:

• me|usobno jednake sve tri stranice

• jednaku po jednu stranicu i jednaka po dva nalegla ugla

• jednake po dve stranice i jednak ugao koji one obrazuju

• jednake po dve stranice i jednak ugao koji se nalazi naspram ve}e od wih.

Trougao je jednozna~no odre|en ako su mu poznati slede}i osnovni elementi :

U ovoj lekciji nau~i}emo kako da nacrtamo trougao ako su mu zadati navedeni elementi.

Postupak crtawa trougla u kojem se koriste lewir i {estar nazivamo konstrukcija trougla.

Konstrui{i trougao ABC ako su dati stranica c i uglovi α i β.

• Analiza zadatka

Crtamo skicu trougla ABC i ozna~avamo date elemente.

Uglovi α i β jesu uglovi nalegli na stranicu c.

P

RIMER

Crtamo prvo zadate elemente trougla.

• Izvo|ewe konstrukcijePodseti se

Konstrukcija duì jednake datoj

Konstrukcija ugla jednakog datom

Konstrui{emo uglove

BAy = α i ABz = β kao

{to je prikazano na crteù.

Presek polupravih Ay i Bz odre|uje ta~ku C.

Crtamo pravu x i konstrui{emo

du` AB duìne c.

sve tri stranice jedna stranica

i dva nalegla ugla

dve stranice

i ugao izme|u wih

dve stranice i ugao

naspram ve}e od wih

Zakqu~ujemo da je trougao ABC jednozna~no odre|en

na osnovu pravila USU o podudarnosti trouglova.



104

• Analiza zadatka jeste pronalaèwe na~ina na koji se zadatak re{ava.

U analizi zadatka pretpostavqamo da je zadatak ve} re{en, to jest crta

se skica trougla sa obeleènim datim elementima.

• Konstrukcija se izvodi na osnovu analize. Polazi se od datih podataka

i pomo}u lewira i {estara, to jest povla~ewem linija i kru`nica,

precizno se crta trougao.

# Konstrui{i trougao ABC ako je c = 6 cm, α = 45° i β = 60°.

$ Konstrui{i jednakokraki trougao ako je

osnovica 5 cm i ugao na osnovici 30°.

% Konstrui{i pravougli trougao ako je

hipotenuza 5 cm i jedan o{tar ugao 30°.

Analiza zadatka Izvo|ewe konstrukcije

Analiza zadatka

Da ti kaèm

Konstruisana je du` ABduìne 6 cm i BAx = 45°

Nastavi zapo~etu

konstrukciju:1. Konstrui{i ABy = 60°

(pogledaj stranu 83).

2. Zajedni~ka ta~ka

polupravih Ax i By jeste ta~ka C.

Primeni postupak iz prethodnog zadatka.

Prvo konstrui{i drugi o{tar ugao α, α = 90° – 30°.

O{tri uglovi pravouglog trougla su uglovi nalegli

na hipotenuzu. Ponovi postupak iz re{enog primera.

Analiza zadatka



Konstrui{i trougao ABC ako su date stranice c i b i ugao α.

• Analiza zadatka

Crtamo skicu trougla ABC i ozna~avamo zadate elemente.

Zadati elementi jesu dve stranice i ugao zahva}en wima.

∆ ABC je jednozna~no odre|en na osnovu pravila SUS.

Crtamo date elemente trougla.

Konstrui{emo ugao xAy tako da je xAy = α.

Na kraku Ax odre|ujemo ta~ku B tako da je

duìna duì AB jednaka c i na kraku Ay ta~ku C tako da je duìna duì AC jednaka b.

Spajamo ta~ke B i C. Traèni trougao

je trougao ABC.

• Izvo|ewe konstrukcije

PRIMER

& Konstrui{i trougao ABC ako je c = 4 cm, a = 3 cm i β = 60°.

Analiza zadatka

Da ti kaèm

1. Konstrui{i xBy = 60°.

2. Odredi ta~ku C na kraku By tako da je BC duìne 3

i ta~ku A na kraku Bx tako da je AB duìne 4 cm.

3. Spoj ta~ke A i C.



106

Analiza zadatka

' Konstrui{i pravougli trougao ako su katete a = 4 cm i b = 5 cm.

Konstrui{i trougao ABC ako su date stranice c i b, c > b, i ugao γ .

• Analiza zadatka

Konstrui{emo xCy = γ

∆ ABC je jednozna~no

odre|en na osnovu

pravila SSU.

• Izvo|ewe konstrukcije

Konstrui{emo kru`nicu

sa centrom u ta~ki Apolupre~nika c. Zajedni~ku

ta~ku te kru`nice i kraka Cy obeleàvamo slovom B.

PRIMER

Da ti kaèm

Na str. 103 pogleda

tekst Odre|enosttrougla i ~etvrti

crte`.

Dati elementi:

Odre|ejemo ta~ku A ∈Cx tako da je CA duìne b.



( Konstrui{i trougao ABC ako je b = 3 cm, a = 4 cm i α = 60°.

) Konstrui{i pravougli trougao ako je hipotenuza 5 cm i jedna kateta 4 cm.

Analiza zadatka Izvo|ewe konstrukcije

Analiza zadatka

! Konstrui{i trougao ABC ako je:a) a = 3 cm, b = 4 cm i c = 4,5 cm

b) a = 5 cm, b = 7 cm i γ = 60°

v) c = 4 cm, α = 30° i β = 75°.

" Konstrui{i jednakokraki trougao ako je:a) osnovica 4 cm i ugao na osnovici 45°

b) krak 5 cm i spoqa{wi ugao 60°.

# Konstrui{i pravougli trougao ako je:a) kateta 4 cm i hipotenuza 4,5 cm

b) jedan o{tar ugao 60° i naspramna kate ta 13 cm.

Da ti kaèm

Konstruisan je xAy = 60°

1. Konstrui{i ta~ku C∈ Ayda je AC duìne 3 cm.

2. Konstrui{i luk sa centr

u ta~ki C, polupre~nika

3. Zajedni~ku ta~ku luka i

Ax obeleì slovom B.

Moè{ prvo da konstrui{e{ pr

Proveri {ta zna{

UF,TE?K O JE...



108

• opisana kru`nica

trougla

• centar opisane

kru`nice trougla

! Odredi ta~ku M na liniji l, jednako udaqenu

od ta~aka A i B.

" Prava sb je simetrala stranice AC trougla ABC na slici.

Nacrtaj simetralu sc stranice AB. Wihov presek obeleì

slovom O. Izmeri u milimetrima duì OA, OB, OC.

OPISANA KRU@NICA TROUGLA

Podseti se

Konstrukcija simetrale du`

Da li su te duì jednake?


Ta~ke A, B i C kru`nice k sa centrom u ta~ki O jesu temena trougla ABC.

Za kru`nicu k kaèmo da je opisana kru`nica

trougla ABC. Kaèmo i da je trougao ABC upisan

u kru`nicu k.

Temena A, B i C trougla ABC jednako su udaqena

od ta~ke O jer su duì OA, OB i OC polupre~nici

te kru`nice.

Da ti kaèm

Svaka ta~ka simetrale duì

jednako je udaqena

od krajwih ta~aka te duì.

AC = BC

l

B

A



# Na kom je crteù kru`nica k opisana kru`nica datog trougla?

$ Konstrui{i centar

opisanog kruga

o{trouglog trougla,a zatim konstrui{i

opisanu kru`nicu.

CENTAR OPISANE KRU@NICE TROUGLA

Neka je kru`nica k opisana kru`nica trougla ABC.

Na osnovu svojstva da svaka ta~ka koja je jednako udaqena od

krajwih ta~aka duì pripada simetrali te duì zakqu~ujemo:

• Iz jednakosti OA = OB sledi da ta~ka O pripada

simetrali sc stranice AB trougla ABC.

• Iz jednakosti OA = OC sledi da ta~ka O pripada

simetrali sb stranice AC trougla ABC.

• Na kraju, i iz jednakosti OB = OC sledi da ta~ka O

pripada i simetrali sa stranice BC trougla ABC.

To zna~i da simetrale sc, sb i sa stranica trougla ABC imaju jednu

zajedni~ku ta~ku O. Ta ta~ka je centar opisane kru`nice k. Svaki

trougao ima samo jednu opisanu kru`nicu.

Opisana kru`nica trougla jeste kru`nica koja sadrì temena tog trougla.

Simetrale stranica jednog trougla seku se u jednoj ta~ki.

Ta ta~ka je centar opisane kru`nice.


Da ti kaèm

Prvi korakKonstrui{i simetrale dve stranice

trougla DEF i wihov presek obeleì

slovom O.

Drugi korakKonstrui{i kru`nicu k sa centrom u

ta~ki O i polupre~nikom OD, OE ili

a) b) v) g)



110

% Konstrui{i centar opisanog kruga

tupouglog trougla, a zatimkonstrui{i kru`nicu.

& Konstrui{i centar opisanog kruga

pravouglog trougla, a zatim

konstrui{i kru`nicu.

• Centar opisanog kruga o{trouglog trougla

nalazi se u trouglu (vidi zadatak 4).

• Centar opisanog kruga tupouglog trougla

nalazi se van trougla (vidi zadatak 5).

• Centar opisanog kruga pravouglog trougla

jeste sredi{te hipotenuze (vidi zadatak 6).

! Konstrui{i trougao ABC, a zatim konstrui{i opisanu kru`nicu, ako je:a) a = 4 cm, b = 5 cm, c = 6 cm b) c = 3 cm, b = 5 cm, β = 120° v) a = 6 cm, γ = 90°, β = 3

" Konstrui{i opisanu kru`nicu jednakokrakog trougla ako je:a) osnovica a = 5 cm i krak b = 4 cm b) osnovica 4 cm i ugao na osnovici α = 67°30

# Konstrui{i opisanu kru`nicu jednakostrani~nog trougla stranice a = 4 cm.

Proveri {ta zna{

Za konstrukciju centra opisane kru`nice dovoqno je

da konstrui{e{ simetrale dve stranice datog trougla.



UPISANA KRU@NICA TROUGLA• upisana kru`nica

trougla

• centar upisane kru`

trougla

! Na kojoj ta~ki na putu c treba sazidati hotel

tako da bude jednako udaqen od puteva a i b?


" Konstrui{i simetralu ugla na slici.

# Prava s je simetrala A trougla ABC. Konstrui{i

simetralu B i wihov presek obeleì slovom S.

Nacrtaj i izmeri u milimetrima rastojawa od ta~ke Sdo stranica trougla.

Podseti se

Du` SP je

rastojawe

od ta~ke Sdo prave c.

Svaka ta~ka simetr

ugla jednako je uda

od oba kraka ugla.

MQ = MP

a) u zajedni~koj ta~ki M prave c i simetrale duì BCb) u zajedni~koj ta~ki P prave c i simetrale ugla izme|u

pravih a i bv) u sredi{tu Q duì AB

Konstrukcija simetrala) b)



112

Podseti se

Tangenta kru`nice je prava koja

dodiruje kru`nicu.

Ona je normalna na polupre~nik

u ta~ki dodira.

UPISANA KRU@NICA TROUGLA

Na slici su kru`nica k sa centrom

u ta~ki S i wene ta~ke M, P i Q.

Neka su prave t 1, t 2 i t 3 tangente

kru`nice u ta~kama Q, M i P.

Zajedni~ke ta~ke tih tangenti

jesu temena trougla ABC.

Za kru`nicu k kaèmo da je

upisana kru`nica trougla ABC.

Kaèmo i da je trougao ABC opisan

oko kru`nice k.

Rastojawa od ta~ke S do stranica

AB, BC i CA jesu duì SP, SQ i SM,

~ije su duìne jednake

polupre~niku kru`nice k.

CENTAR UPISANE KRU@NICE

Neka je kru`nica k upisana kru`nica trougla ABC.

Na osnovu svojstva da svaka ta~ka koja je jednako udaqena od

oba kraka jednog ugla pripada simetrali tog ugla zakqu~ujemo:

• Iz jednakosti SM = SP sledi da ta~ka S pripada

simetrali sα ugla α trougla ABC.

• Iz jednakosti SP = SQ sledi da ta~ka S pripada

simetrali sβ ugla β trougla ABC.• Na kraju, iz jednakosti SM = SQ sledi da ta~ka S

pripada i simetrali sγ ugla γ trougla ABC.

To zna~i da simetrale sα, sβ i sγ uglova α, β i γ trougla ABC imaju

jednu zajedni~ku ta~ku S. Ta ta~ka je centar upisane kru`nice k.

Svaki trougao ima samo jednu upisanu kru`nicu.

$ Na kom je crteù kru`nica k upisana kru`nica datog trougla?

a) b) v) g)



Upisana kru`nica trougla jeste kru`nica koja dodirujestranice trougla.

Simetrale uglova jednog trougla seku se u jednoj ta~ki.

Ta ta~ka je centar upisane kru`nice.

UPISANA KRU@NICA TROUGLA

% Ta~ka S je centar upisanog kruga trougla ABC.

Konstrui{i polupre~nik upisane kru`nice,

a zatim upi{i kru`nicu.

& Nacrtaj tupougli trougao, konstrui{i centar upisane kru`nice,

odredi polupre~nik i upi{i kru`nicu.

' Nacrtaj pravougli trougao, a zatim upi{i kru`nicu.

• Za konstruisawe centra upisane kru`nice dovoqno je da konstrui{e{

simetrale dva unutra{wa ugla.

• Centar upisane kru`nice bilo kog trougla pripada trouglu.

! Nacrtaj jednakokraki trougao, a zatim konstrui{iopisanu i upisanu kru`nicu.

" Nacrtaj jednakostrani~ni trougao, a zatim konstrui{i

opisanu i upisanu kru`nicu.

Proveri {ta zna{

Da ti ka`em

Polupre~nik upisane kru`nice

konstrui{e{ tako {to }e{

konstruisati rastojawe od ta~ke Sdo bilo koje stranice trougla ABC.

Du` SP je rastojawe

od ta~ke S do prave c.



114

TE@I[TE TROUGLA

! Izreì od kartona proizvoqan trougao. Na jedan kraj konca pri~vrsti

mali teg (gumicu ili ne{to sli~no). Drugi kraj konca i jedno teme

trougla uhvati tako da trougao slobodno visi, kao {to je prikazanona slici. Obeleì zajedni~ku ta~ku konca i naspramne stranice.

Izmeri delove te stranice. Da li su jednaki?

Isti eksperiment ponovi za jo{ jedno teme.

" Konstrui{i sredi{te date duì i obeleì ga slovom S.

a) b)

Postavi trougao na sto i nacrtaj duì koje spajaju temena i naspramneobeleène ta~ke. Kroz prese~nu ta~ku tih duì provuci konac

i podigni trougao ili prisloni prst ruke. Kakav }e poloàj zauzeti

trougao u odnosu na ravan klupe?

• teì{na du` trougla

• teì{te trougla

Podseti se

Konstrukcija

sredi{ta O duì AB

TE@I[NA DU@ TROUGLA

Neka je ta~ka A1

sredi{te stranice BC

trougla ABC. Du` AA1 nazivamo teì{nadu` trougla ABC. Teì{na du` AA

1

odgovara stranici a i obeleàva se t a.

Trougao ABC ima jo{ dve teì{ne duì,

BB1

i CC1, odnosno t b i t c. Ta~ke B

1i C

1

jesu sredi{ta stranica AC i AB.



# Konstrui{i teì{nu du` datog

trougla koja sadrì teme B.

% Nacrtaj teì{ne duì datog trougla koje odgovaraju

temenima A i B. Wihov presek obeleì sa T . Presek

poluprave CT i stranice AB obeleì sa C1. Koristi

{estar i proveri da li su duì AC1

i BC1 jednake.

Da li je CC1

teì{na du`?

$ Konstrui{i teì{nu du` datog

trougla koja odgovara stranici a.

TE@I[TE TROUGLA

Na slici je ∆ ABC i wegove teì{ne duì

AA1, BB

1i CC

1. Te teì{ne duì imaju jednu

zajedni~ku ta~ku koja je obeleèna slovom T .

Ta~ka T naziva se teì{te trougla.

Svaki trougao ima samo jedno teì{te.

Teì{na du` trougla jeste du` koja spaja temetrougla i sredi{te naspramne stranice.

TE@I[NA DU@ TROUGLA

Teì{ne duì seku se u jednoj ta~ki. T u ta~ku nazivamo teì{te trougla.

TE@I[TE TROUGLA

Da ti kaèm

Prvo konstrui{i sredi{

stranice AC.



116

& Konstrui{i teì{ta pravouglog trougla ABC i tupouglog trougla DEF .

' Konstrui{i, redom, sredi{ta A1, B

1i C

1stranica BC, AC i AB i nacrtaj sredwe linije

trougla na slici. Kolike su duìne sredwih linija?

Teì{te bilo kog trougla pripada trouglu.

SREDWA LINIJA TROUGLA

Sredwa linija trougla jeste du` koja spaja sredi{tadve stranice trougla.

Trougao ima tri sredwe linije.

Sredwa linija trougla paralelna je naspramnoj

stranici i jednaka je polovini te stranice.

A1B

1 || AB A1B

1= AB

1

2

! Nacrtaj jednakokraki trougao i konstrui{i wegovo teì{te.

" Nacrtaj jednakostrani~ni trougao i konstrui{i wegovo teì{te.

# Nacrtaj trougao ABC i wegove sredwe linije.

a)b)

Da ti kaèm

Za odre|ivawe

teì{ta dovoqno

je da nacrta{ dveteì{ne duì.

Proveri {ta zna{



• visina trougla

• ortocentar trou

• zna~ajne ta~ke t

! Koja du` predstavqa rastojawe od ta~ke M do prave a?

• MC

• MD• ME

• MF

# Konstrui{i visinu datog trougla koja

sadrì teme A.

ORTOCENTAR TROUGLA

VISINA TROUGLA

Neka prava n sadrì ta~ku C i neka je normalna na stranicu

AB trougla ABC. Zajedni~ku ta~ku prave n i stranice ABobeleìmo sa D. Ta~ku D nazivamo jo{ i podno`je normale nna stranici AB. Du` CD nazivamo visina trougla ABC.

Duìnu visine CD obeleàvamo sa hc jer odgovara stranici c.Trougao ABC ima tri visine, ha, hb i hc, to jest visine koje

odgovaraju stranicama trougla ABC.

Da ti kaèm

Pogledaj uputs

uz zadatak 3

na strani 111.

Prvo konstrui{i pravu

sadrì ta~ku C i norm

je na pravu AB. Podseti

ove konstrukcije i pogluputstvo uz zadatak 5 na

strani 113.

Nacrtaj pra

i na wu norm

iz ta~ke C.

Prvo konstrui{i

pravu koja sadrì

A i normalna je na

$ Konstrui{i visinu datog

trougla koja sadrì teme C.

" Konstrui{i i zatim izmeri

u milimetrima rastojawe

od temena C do naspramne

stranice trougla ABC.



118

Visina trougla jeste du` ~ije su krajwe ta~ke teme trougla i podno`je normalespu{tene iz tog temena na pravu odre|enu naspramnom stranicom.

Visina trougla jednaka je rastojawu od temena trougla do naspramne stranice.

VISINA TROUGLA

Prave kojima pripadaju visine trougla seku se u jednoj ta~ki.

Tu ta~ku nazivamo ortocentar trougla.

ORTOCENTAR TROUGLA

% Duì ha i hb su visine trougla ABC na slici. Wihov presek

obeleì sa H. Presek poluprave CH i stranice AB obeleì

sa D. Proveri merewem CDA.

Da li je du` CD visina trougla?

& Konstrui{i ortocentar o{trouglog

trougla na slici.

' Konstrui{i ortocentar tupouglog

trougla na slici.

ORTOCENTAR TROUGLA

Na slici su

∆ ABCi wegove visine

AD,

BEi

CF ,

to jest ha, hb i hc. Te visine imaju jednu zajedni~ku

ta~ku koja je obeleèna slovom H. Ta~ka H naziva

se ortocentar trougla ABC. Svaki trougao ima

samo jedan ortocentar.

Da ti kaèm

Za konstrukci

ortocentra

dovoqno je da

konstrui{e{

dve visine.



Zna~ajne ta~ke trougla jesu centar opisane kru`nice, centar upisane kru`nice,teì{te i ortocentar.

ZNAÂJNE TA^KE TROUGLA

( Nacrtaj pravougli trougao.

Koja je ta~ka ortocentar trougla?

Ortocentar o{trouglog

trougla pripada oblastitrougla (vidi zadatak 6).

Ortocentar tupouglog

trougla ne pripadatrouglu (vidi zadatak 7).

Ortocentar pravouglog

trougla je teme pravog ugla(vidi zadatak 8).

Ocentar opisane

kru`nice

Scentar upisane

kru`nice

T teì{te trougla

Hortocentar trougla

! Nacrtaj jednakokraki trougao i konstrui{i wegov ortocentar.

" Nacrtaj jednakostrani~ni trougao i konstrui{i wegov ortocentar.

Proveri {ta zna{



120

I TO JE MATEMATIKA

! Odaberi proizvoqan jednakostrani~ni trougao. Duìnu wegove stranice ozna~i sa 1.

Sastavi figure kao {to je prikazano na crteù.

a) Uo~i pravilo i nacrtaj slede}u, {estu figuru.

b) Koliko trouglova stranice 1 ima u woj?v) Nacrtaj sedmu figuru. Koliko trouglova stranice 1 ima u woj? Koliki je obim te figure?

g) Ako figure ozna~imo redom brojevima 1, 2, 3, 4…

koje su od wih jednakostrani~ni trouglovi?

" Svakoj figuri na slici pridruèni su brojevi ta~aka raspore|enih po s tranicama trougla.

Uo~i pravilo i nacrtaj slede}i raspored ta~aka i napi{i koliko ih ima.Koliko ta~aka }e imati sedmi raspored?

# Dopuwavawem jednakostrani~nog trougla stranice 1 sa jo{ tri wemu podudarna trougla moèmo

dobiti jednakostrani~ni trougao stranice 2 (pogledaj sliku u prvom zadatku). U slede}em k orakdobijeni trougao stranice 2 dopunimo sa tri wemu podudarna trougla do trougla s tranice 4.

Formirajmo slede}i trougao na isti na~in. Dopunimo trougao stranice 4 do trougla stranice

Dobijene trouglove obojmo kao {to je prikazano na slikama.

Koliko se qubi~astih trouglova nalazi na tre}oj slici?

Koliko se qubi~astih trouglova nalazi na ~etvrtoj slici?

Koliko se crvenih trouglova nalazi na tre}oj slici?

Koliko se crvenih trouglova nalazi na ~etvrtoj slici?

Primewuju}i pravilo po kojem su formirane figure na slici, odgovori na pitawa.

a) Kolika je stranica slede}eg trougla?

b) Koliko ima plavih trouglova?

v) Koliko ima crvenih trouglova?

1 3 6 10

Da ti kaèm

Brojeve 1, 3, 6, 10…

nazivamo trougaoni

brojevima.



ZAPAMTI

Podudarnost trouglova

Dva trougla su podudarna ako suim jednake odgovaraju}e stranice

i jednaki odgovaraju}i uglovi.

Zna~ajne ta~ke trougla

Pravila o podudarnosti trouglova

(SSS) (USU) (SUS) (SSU)

AB = A1

B1

α = α1

BC = B1C

1 β = β

1

AC = A1C

1 γ = γ

1

∆ ABC ∆ A1B

1C

1

B

A

C

c

b

B1

C1

A1

c1

b1

a

a

1

a = a1 b = b1 c = c1

∆ ABC ∆ A1B

1C

1

αβ

B

C

A

c

α1

β1

B1

C1

A1

c1

c = c1

α = α1 β = β

1

∆ ABC ∆ A1B

1C

1

α A

B

C

c

b

B1

α1

c1

b1C1

A1

α = α1 b = b

1 c = c

1

∆ ABC ∆ A1B

1C

1

c

b

B

A

C

γ

c1

b1

B1

C1

A1 γ 1

c = c1

b = b1

γ = γ 1

c > b

∆ ABC ∆ A1B

1C

1

Centar O opisane

kru`nice trougla

je presek simetrala

stranica.

Centar S upisane

kru`nice trougla

je presek simetrala

unutra{wih uglova.

Teì{te T trougla jepresek teì{nih duì.

Ortocentar H trougla je presek visina.

C

γ

α β A B

C1

γ 1

α1

β1

A1

B1



122

REZULTATI I UPUTSTVA

CELI BROJEVI

1,2,3 kreni – strana 8

1. 24, 18, 63, 7

2. b)

3. a) 33 b) 0 v) 04. prvi red: 6, 11, 14 drugi red : 8, 3, 0

tre}i red: 15, 25, 31 ~e tvrti red: 80, 60, 485. a) 16 b) 25

6. a) 9, 109 b) 9, 19, 99, 109

7. v)

8. a) 1, 2, 3 b) 3, 4, 5 v) 3, 4, 5…

Pojam negativnog celog broja. Skup celih brojeva – strana 9

1. a) Kraqevo, Ni{, Vrawe b) 0°C v) Sombor, Novi Sad,Beograd, Zaje~ar

2. b) ~etrdeset pet v) minus sto tri

3. a) –50 b) +88 v) –88

4. a) pozitivni celi: 5, 19, 62, 490

negativni celi: –4, –71, –101 b) 05. a) 10, 40, 60 b) –20, –50, –30

v) –20, 10, 40, 0, –50, –30, 60

6. 79 ∈Z –41 ∈Z – 0 ∈N 0

500 ∈Z +

7. 0°C 10°C –5°C

8. a) 27°C, 36°C, 28°C, 39°C

b) –7°C, –2°C, –13°C, 0°C, –5°C, +1°C

9. a) –39°C b) 45°C

Proveri {ta zna{ – strana 11

2. g) P = {7, 8, 11, 2, 1} G = {–9, –8, –5, –4, –2}3. 17 ∈N 17 ∈Z 56 ∈N 56 ∈Z 0 ∉N 0 ∈Z –48 ∉N

–48 ∈Z –203 ∉N –203 ∈Z 4. –88, –83, –38, –33, 33, 38, 83, 88

Brojevna prava. Upore|ivawe celih brojeva – strana 12

1. a) +2°C g) –3°C, +5°C

2. M(7) N(2) K(5)4. 5, 8, 16

6. Interval od 200 do 300 podeli na dva dela,

sredi{wa ta~ka ima koordinatu 250, zatim podeli

interval od 200 do 250 na dva dela, sredi{wa ta~ka

ima koordinatu 225.

8. A(2) B(–6) C(10) O(0)9. a) 4 < 5 b) –8 < 1 v) 3 > –3 g) 2 > 0 d) –4 < 0 |) –3 < –1

e) –1 > –2 `) –7 < –5

10. a) –4, –3, –2 b) –1, 0, 1, 2

11. b) –200 < –197, –199 > –201, –196 < 0

12. a) 14 b) 0 v) –4 g) –1 d) –19

13. drugi red: 9, 10, 11 tre}i red : 1, 2, 3

~etvrti red: –1, 0, 1 peti red: –8, –7, –6

{esti red: –4 i 114. a) 17 b) 71 v) –24 g) –2

15. a), g), |)

16. a) A(0), B(–100), C(150) v) –200, –150, –50, 0, 50,150


1. b) 3, 7, 5, 9

2. <, >, <, >, >, >

3. a) 8, 9, 15, 26 b) –12, –10, –5, –4 v) –19, –9, 0, 9, 19

4. a) 222, 111, 22, 11, 2, 1 b) –1, –7, –17, –71, –77v) 66, 6, 0, –6, –66

Suprotni brojevi. Apsolutna vrednost celog broja – stran

1. a) 2 m, 2 m b) 3 m, 1 m, plava v) 1 m, 5 m, crvena

2. a) M(–3) b) N(4)

3. Suprotni brojevi datim redom su : –2, –5, –8

4. Suprotni brojevi datim redom su : 7, 4, 1

5. prvi red: –5, 4 drugi red: –2, 6, 0

6. a) –7, 7 b) –10, 10 v) –71, 71

7. v)

8. b) –23 v) 9 g) 14 d) –20 |) 0

9. a) 4, 2 b) 5, 5

10. b) 6, 1, 5, 8, 105, 7211. a) –6 i 6 b) –52 i 52 v) –103 i 103

12. prvi red: –14, 32

drugi red: 6, 0, –27

tre}i i ~etvrti red: 6, 14, 0, 27, 32

13. a), g)


1. drugi red: –34, –21, 55, –76, 0, 98

tre}i i ~etvrti red: 34, 21, 55, 76, 0, 98

2. b) 6 i –6

3. a) 82 b) –111 v) 25 g) 15 d) 91 |) 74 e) 91

Apsolutna vrednost broja. Upore|ivawe celih brojeva

– strana 22

1. a) u Parizu b) u Londonu

2. b) –3, –2, –1, 2 v) 3, 2, 2, 1

3. a) M najbli`a, A najdaqa b) V najbli`a, T najdaqa

4. a) 19, 27, 35 b) –19 < –27, –27 < –35,

–35 > –19, –19 > –27, –27 > –35, –35 < –19

5. a) –11 > –12 b) –54 < –45

6. a) 250, 320, 125 b) –320, –125

7. –16

8. –11

9. a) 4 < 5, 9 > 0, 17 > 12 b) –1 > –3, 0 > –7, –8 < –2

10. a) –112 b) 1

11. a) –5, –2 b) 1, 3 v) –5, –2, 0, 1, 312. a), g), |)

13. a) 88, 82, 28, 22 b) –11, –13, –31, –33

v) 14, 4, 0, –14, –44


1. a) 59, 68, 47, 73 b) –47, –59, –68, –73

2. a) –212 b) 142 v) –212, –204, –142, 120, 142

g) 142, 120, –142, –204, –212



3. –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Sabirawe celih brojeva – strana 25

1. v)

2. a) 60 b) –60 v) –6 g) –8

3. b) –57 v) –25 g) –28

4. a) –15 b) –24 v) 70 g) 12 d) 13 |) –13

5. a) 1 b) –2 v) –2 g) 4

6. v) 3 g) –37. a) 16 b) –7 v) 10 g) –4

8. a) –37 b) –22 v) 4 g) –36 d) –139 |) 1 e) 70 `) –18

9. b)

10. g)

11. b), v)

12. a) 2 b) 7 v) –9 g) –5

13. tre}i red: 27, –21, –6, 9, 14, 0, –20, 0, –12, –19

14. a) –8°C b) 0°C v) 2°C

15. a) –200 din. b) 0 din. v) +800 din.


1. –9, –8, 4, 2, –5, –2

2. 71, –45, –92, –42, 56, –15, –162

Svojstva operacije sabirawa – strana 30

1. v), –3000, –3000

2. a) prvi i drugi red: –8, 0, –6b) Jednaki, za sabirawe vaì svojstvo komutacije.

3. b) 49, 49 v) svojstvo asocijacije

4. g)

5. v)

6. a) 0 b) –2 136 v) –4

7. a) 0 b) 62

8. 7

9. 10

10. 0

11. 8

12. a) 0 b) 51


1. a) 0 b) 96 v) 360 g) 190

2. a) 0 b) –800 v) –10

Oduzimawe celih brojeva – strana 34

1. b) za 9°C

2. a) –3 b) 11 v) –11 g) 3 d) 3 |) 11 e) –11 `) –3

3. a) 9 b) 8 v) 0 g) –7 d) –6 |) 1

4. a) 4 b) –6 v) –38 g) –4 d) 5

5. drugi red: 9, –16, –18, 6, –4, –14

tre}i red: 27, 2, 0, 24, 14, 4

6. a) 2, –3, 4 b) –5, 6, –17. a) 3 b) 13 v) 10

8. a) 3 b) –3 v) –19 g) –3 d) 19 |) 3

9. a) 1 b) –31 v) –5 g) –75


1. a) –4 b) 2 v) –3 g) 3 d) –5 |) –13 e) 13

2. a) –15 b) 10 v) –13 g) 32 d) 6 |) –66 e) –16

3. a) 30 b) 0 v) –30 g) –20

I to je matematika – strana 37

1. 6 {estaka

2. prvi red: –2, 2 drugi red : 3 tre}i red : –4, 1, 0

3. a) prvi red: –6, –9, 6 drugi red : 9, –3, –15tre}i red –12, 3, 0

b) prvi red: –7, 0, –5 drugi red : –2, –4, –6

tre}i red: –3, –8, –1

4. a) prvi red: –7, –8 drugi red : 1, –2

tre}i red: –1, –4 ~etvrti red: –6, –9b) prvi red: 11, –3 drugi red : 0, 3

tre}i red: 1, 7 ~etvrti red: –1, 10, 9

Istraìva~ki zadatak – strana 38

Matemati~ki kviz

1. a) 2. b) 3. a) 4. v) 5. b) 6. v) 7. a) 8. b) 9. v) 10.

Mnoèwe celih brojeva – strana 40

3. a) 12 b) –12 v) –8 g) –12

4. a) 6 b) –6 v) –6 g) 6

5. a) –56 b) –56 v) 56 g) 56

6. a) –45 b) 40 v) –11 g) 11 d) –1 |) 10 e) 0 `) 0

7. a) –24 b) –20 v) 19 g) –500 d) 9 |) 100 e) –32

`) –128. –10°C

9. –120 m

10. a) 240 b) 70 v) –240 g) 81


1. a) –363 b) 72 v) 255 g) –10 d) –136 |) –65 e) 0

`) 0 z) 0 i) –65 j) 0

Mnoèwe celih brojeva. Kvadrat celog broja – s trana 44

1. 144 cm2

2. a) 81 b) 49 v) 121

3. prvi red: 5 ⋅ 5, –9 ⋅ (–9), 15 ⋅ 15, –8 ⋅ (–8), 0 ⋅ 0

drugi red: 52, (–9)2, 152, (–8)2, 02

tre}i red: 25, 81, 225, 64, 04. a) 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

b) 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

5. a) 169 b) 225 v) 400

6. b) –36 v) –100 g) –1

7. a) –121 b) –49 v) –64 g) 144 d) –196 |) –900

8. v)

9. NE, NE, DA, NE, DA

10. a) 12 b) –90 v) 2 500 g) –20 d) 144 |) 49

11. a) –72 < (–7)2 b) (–10)2 > –102 v) (–10)2 = –10 ⋅ (–10)


1. 121, 144, 169, 196, 225, 121, 144, 169, 196, 225

2. a) –81 b) –48 v) 4 900

3. a) –112 < (–11)2 b) –42 < (–4)2 v) 122 = (–12)2

Svojstva operacije mnoèwa – strana 46

1. 30

2. 70

3. 44

5. a) prvi red: 6 drugi red : 25, –10 tre}i red : 6, –10, b) –2 ⋅ (–3) = –3 ⋅ (–2), 5 ⋅ (–2) = –2 ⋅ 5

v) komutacije



124

6. a) 180 b) –1 700 v) 280 g) 70

7. b) –54 v) –30

8. a) 24 b) 100

9. a) b)

10. a) A = 8, B = 8 b) A = B

11. prvi red: –7 drugi red : –5, 12, –33, 0

tre}i red: 4, –5, 7, 12, –33, 012. a) 0 b) 0 v) 0

13. a) 347 b) 29 v) –11 g) 0

14. a) 4 ⋅ (–2) > 4 ⋅ (–4) b) –3 ⋅ 6 > –3 ⋅ 7

v) –5 ⋅ (–7) < –5 ⋅ (–8) g) 3 ⋅ (–2) ⋅ (–1) = –3 ⋅ (–2)15. –20, –15, –10, –5, 0, 5, 10, 15

16. 20, 15, 10, 5, 0, –5, –10, –15

17. drugi red: 3, – tre}i red: 120, 4, +

~etvrti red: –120, 5, –

18. prvi red: 120, –120 drugi red : –120, 120

19. a) 8 ⋅ (–7) < 14 ⋅ 4 b) –11 ⋅ 6 > 12 ⋅ (–6) v) –4 ⋅ 3 < –4 ⋅ 3 ⋅ 0 ⋅ 1


1. a) 9 b) –10 v) –16

2. a) 18 b) 380

3. a) 240 b) –240 v) –240 g) 240

Izrazi sa celim brojevima – strana 50

1. drugi red: 25, –15, 10

tre}i red: 7 ⋅ 5 = 35, 3 ⋅ (–3) = –9, 26

~etvrti red: 4 ⋅ 5 = 20, 6 ⋅ (–3) = –18, 2

a) VI3

b) tre}e v) 9

2. a) –16 b) –6 v) 90 g) –165 d) –63 |) 100

3. a) –6 b) –116 v) –22 g) 25 d) –7 |) –35

e) –17 `) 172

4. v)

5. prvi izraz: –7 tre}i izraz : –4 ~etvrti izraz: 36. –36, –39, –31, 36, 45, 28, 180

7. drugi red: 4, –12, 12, 12, –12

tre}i red: –15, 45, –45, –45, 45~etvrti red: 16, –48, 48, 48, –48

peti red: 3, –9, 9, 9, –98. a) –32 b) 34 v) –102

9. a) –15 b) 0

10. a) –36 b) 34 v) 59 g) 0

11. a) –6 b) –44 v) –1 160 g) 60

12. a) 8 b) –320 v) –162

13. broj bodova: Vlada 27, Ivana 28, Nenad 80


1. –21, –39, 24, –30, –6, 9

2. a) –70 b) 400

3. a) 44 b) 24

Deqewe celih brojeva – strana 54

1. 22, 10, Maja

2. a) 5 b) 3 v) 12, –2, –6

4. b) 5 v) 10 g) –8 d) 15 |) –2 e) 0 `) 0

5. v)

6. b)

7. 162, –54, 18, –81, 36, –12

8. a) –1 234 b) 376 v) 1 g) 0

9. a) 2 b) 0 v) 1 g) 1

10. –50, 1, 50, 0, –25, 25, –2, –4

11. –2


1. a) 2 b) –33 v) 21

2. 1, 25, –25, 0, –2

3. 34

4. a) 2 b) –10 v) 1TROUGAO

1, 2, 3, kreni… – strana 61

1. b) a < c, a > b, c > b2. prav, o{tar, pun, opruèn, tup

3. v)

4. a) 22° b) 91°

5. ϕ = 36° δ = 144°6. v)

7. xOs = 50° xOy = 100°

Trougao, elementi, obeleàvawe – strana 62

3. a) tri b) ∆ AMC, ∆ ABC, ∆MBC

5. 6 trouglova6. Pro~itaj osnovni tekst na str. 63.

7. NP, MP, MN

8. EF , EG, FG

Odnos stranica trougla. Vrste trouglova prema stranica

– strana 65

2. a) 160 m, 104 m, prvi b) 194 m, 70 m, prvi

3. Uputstvo: primeni pravilo zbira stranica trougla– re{en primer na str. 67.

4. a) moè b) ne moè

5. f – e = 52 mm – 35 mm = 17 mm, d > 17 mm

f – d = 52 mm – 45 mm = 7 mm, e > 7 mm

d – e = 45 mm – 35 mm = 10 mm, f > 10 mm

6. 10 cm > 12 cm – 6 cm, 12 cm > 10 cm – 6 cm,

6 cm > 12 cm – 10 cm

7. 6 cm < 19 cm – 12 cm

Jedna stranica je mawa od razlike druge dve.

8. Ne moè, jer bi zbir dve stranice bio mawi od tre}e.

Zbir dve stranice je 12 cm – 8 cm = 4 cm.

9. 3 cm, 5 cm ili 4 cm, 4 cm

10. 2, 2, 3, 1, 3, 1, 3


1. Pogledaj re{ene primere (str. 67 i 68).

2. Pogledaj zadatak 3 (str. 67) ili zadatak 7 (str. 68).

3. Pogledaj zadatke 8 i 9 (str. 68 i 69).

Unutra{wi uglovi trougla. Zbir unutra{wih uglova.

Vrste trouglova prema uglovima – strana 70

3. v)

4. v)

5. b) 54° v) 28°

6. a) 62° b) 75° v) 28°

7. E = 105°

8. a) 1, 4, 9 b) 2, 7, 8, 10 v) 3, 5, 6, 11

− ⋅ + −( )( ) =6 3 10 4212 5 2 14+ −( )( ) ⋅ −( ) = −



9. Na primer:a) b) v)

10. 21°, 45°, 49°

11. a) γ = 63°, o{trougli b) α = 90°, pravougli

v) β = 121°40’, tupougli


1. a) 81° b) 60° v) 43°30’ g) 63°19’

2. a) 75° b) 88° v) 56° g) 33°18’

3. a) pravougli b) tupougli

Spoqa{wi uglovi trougla – strana 74

1. α1

= 91° α2

= 91° β1

= 115° β2

= 115° γ = 26°

γ 1

= 154° γ 2

= 154°

2. Spoqa{wi ugao kod temena C je 88°, a kod temena B je 123°.

3.

4. g)

5. v)

6. ϕ = 87°

7. a) α1

= 112° β1

= 137° γ = 69° γ 1

= 111°

b) α1

= 147° β = 80° γ = 67° γ 1

= 113°

v) α = 21° γ = 117° β = 42° β1

= 138°

8. Za re{avawe zadataka moè{ da nacrta{ skicu trougla,

to jest da nacrta{ trougao koriste}i samo olovku.

Obeleì trougao, upi{i odgovaraju}e mere.

β = 93° β1

= 87°

9. a) θ = 54° b) θ = 53° v) θ = 46°


1. Pogledaj zadatak 7 na str. 76.

2. Uputstvo: spoqa{wi ugao pravouglog trougla kod temenapravog ugla je prav.

Odnos stranica i uglova u jednakokrakom trouglu

– strana 77

5. α = 30°, γ = 120°

6. α = 24°7. jednakokraki, COD = 106°


1. Pogledaj zadatak 5 (str. 79).2. Pogledaj re{en primer (str. 79).

3. Prvo izra~unaj unutra{wi ugao na osnovici.

4. Prvo izra~unaj unutra{wi ugao pri vrhu.

Odnos stranica i uglova trougla – strana 80

1. Prave koje sadrè stranice a i b jesu osnosimetri~ne

i b < a. Ugao α je ve}i od wemu nesusednog unutra{weg

ugla β trougla MBP.

3. EF < FD4. C < D5. a) hipotenuza b) naspram tupog ugla

6. KM, LM7. D, F 8. FD, DE, EF 9. β, γ , α


1. Pogledaj zadatak 5 (str. 82).

2. Pogledaj re{en primer (str. 81) i zadatak 8 (str. 82).

3. Pogledaj re{en primer (str. 81) i zadatak 9 (str. 82).

Konstrukcije uglova od 30°, 60°, 120° – s trana 83

3. xOm = 22°30’ xOn = 45° xOp = 67°30’

mOy = 67°30’4. b) 60°

5. Koristi prethodno re{en primer.

6. Prvo konstrui{i ugao od 60°, a zatim wegovu simetralu

7. Pogledaj prethodni zadatak.

8.

9. Mera punog ugla je 360°, {to zna~i da pun ugao treba

podeliti na 12 uglova po 30°.


Uputstvo:1. 150° = 90° + 60° 165° = 180° – 15°

2. 105° = (180° + 30°) : 2 52° 30’ = 105° : 2

3. 22°30’ = 45° : 2 67°30’ = (90° : 4) ⋅ 34. 225° = 180° + 45° 300° = 360° – 60°

Podudarnost trouglova – uvod – strana 88

1. 4

2. AD, DC, CA, θ, δ, ϕ, da

4. F , E, EF , DE, EFD, FEDProveri {ta zna{ – strana 91

2. a)

Osnovna pravila o podudarnosti trogulova – pravilo SSS

– strana 92

2. b)

3. CAB = DBA, ABC = BAD, BCA = ADB4. Trouglovi OAB i OCD imaju jednake osnovice i jednake

krake, pa se moè primeniti pravilo o podudarnosti

trouglova SSS.


1. Pogledaj zadatak 4 (str. 91).

2. Primeni postupak iz re{enog primera (str. 94).

Osnovna pravila o podudarnosti trouglova – pravilo USU

– strana 95

2. DF = SR, EF = TR, DEF = STR, DFE = SRT 3. b)



126

4. BE = SA, BD = SC

5. A = B = 70°, D = E = 70° (primeni pravilo USU)

6. ABD = 180° – (75° + 60°) = 45°. Iz podudarnosti

trouglova ABD i CBD sledi AD = CD.


1. Pogledaj zadatak 5, str. 97.

2. Primeni postupak iz re{enog primera, str. 97.

Osnovna pravila o podudarnosti trouglova– pravila SUS i SSU – strana 98

2. ∆GHL

3. AD = BD, ADC = BDC, CAD = CBD

4. a) Zato {to je ∆ ABE ∆DBC, po pravilu SUS.

b) da

5. trouglovi s brojevima 2 i 5


1. Dokaì da je ∆DAM ∆CBM. Primeni pravilo SUS.

2. Dokaì da je ∆PBA ∆RCA.

Odre|enost i konstrukcija trougla – strana 102

4.

7. Primeni postupak iz re{enog primera i zadatka 6

(str. 105).

9. Primeni postupak iz re{enog primera i zadatka 8

(str. 106 i 107).


1. a) Primeni postupak iz zadatka 1 na str. 102.

b) Primeni postupak iz re{enog primera i zadatka 6

(str. 105).

v) Primeni postupak iz re{enog primera (str. 103)

i zadatka 3 (str. 104).

2. a) Primeni postupak iz zadatka 4 (str. 104).

b) Prvo konstrui{i ugao pri vrhu γ = 180° – 60°, a zatimprimeni postupak iz re{enog primera (str. 105).

3. a) Primeni postupak iz re{enog primera (str. 106)

i zadatka 9 (str. 107).

b) Nalegli uglovi na datu katetu su 90° i 90° – 60°. Primeni

postupak iz re{enog primera (str. 103).

Opisana kru`nica trougla – strana 108

5.

6.


1. Da bi odredio centar opisane kru`nice, dovoqno je d

konstrui{e{ presek simetrala dve stranice trougla.

2. Prvo konstrui{i trougao, a zatim centar opisane

kru`nice.

Upisana kru`nica trougla – strana 111

3. Ta~ka koja pripada simetrali ugla jednako je udaqena

od krakova ugla.4. g)

6.

7.


1. Konstrui{i simetralu osnovice i simetralu kraka

da odredi{ centar opisane kru`nice. Konstrui{i

simetralu ugla pri vrhu i simetralu jednog ugla

na osnovici da odredi{ centar upisane kru`nice.

Simetrala osnovice i simetrala ugla pri vrhu

se poklapaju.

2. Centar opisane i centar upisane kru`nice se poklapa

Teì{te trougla – strana 114

5. da

7. a) A1B1 = 2,5 cm, A1C1 = 2 cm, B1C1 = 1,5 cm

b) A1B1 = 1,8 cm, A1C1 = 1,8 cm, B1C1 = 1,8 cm

Ortocentar – strana 117

4.

5. CDA = 90°, da7.

8. Teme pravog ugla je ortocentar pravouglog trougla.

I TO JE MATEMATIKA – strana 120

1. b) 12 v) 16 g) 1, 4, 7, 10, 13…

2. 15, 28

3. 4, 13, 9, 27

a) 16 b) 40 v) 81



SADR@AJ

[ta sadrì ova kwiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Vodi~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

CELI BROJEVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1, 2, 3, kreni ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Pojam negativnog celog broja. Skup celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Brojevna prava. Upore|ivawe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Suprotni brojevi. Apsolutna vrednost celog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Apsolutna vrednost broja. Upore|ivawe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Sabirawe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Svojstva operacije sabirawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Oduzimawe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Istraìva~ki zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Mnoèwe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Mnoèwe celih brojeva. Kvadrat celog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Svojstva operacije mnoèwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Izrazi sa celim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Deqewe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

TROUGAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1, 2, 3, kreni ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Trougao, elementi, obeleàvawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Odnos stranica trougla. Vrste trouglova prema stranicama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Unutra{wi uglovi trougla. Zbir unutra{wih uglova. Vrste trouglova prema uglovima . . . . . . . . . . 70

Spoqa{wi uglovi trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Odnos stranica i uglova u jednakokrakom trouglu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Odnos stranica i uglova trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Konstrukcije uglova od 30°, 60°, 120° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Podudarnost trouglova – uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Osnovna pravila o podudarnosti trouglova – pravilo SSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Osnovna pravila o podudarnosti trouglova – pravilo USU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Osnovna pravila o podudarnosti trouglova – pravila SUS i SSU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Odre|enost i konstrukcija trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Opisana kru`nica trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Upisana kru`nica trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Teì{te trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Ortocentar trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Rezultati i uputstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122



autori

ilustrovao

recenzenti

urednik

lektor

grafi~ko oblikovawe

priprema za {tampu

izdava~

za izdava~a

{tampa

tira`

copyright

Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi}, Qiqana Vukovi}, Jagoda Ran~i}, Zorica Jon~i}

Du{an Pavli}

dr Zorana Lu`anin, redovni profesor, Prirodno-matemati~ki fakultet u Novom Sadu

dr Zoran Lu~i}, vanredni profesor, Matemati~ki fakultet u Beogradu

dr Dragica Pavlovi}-Babi}, docent, Filozofski fakultet u Beogradu

Gordana Nikoli}, profesor, O[ „ Du{ko Radovi}“ u Beogradu

Vesna Stanojevi}, nastavnik, O[ „1300 kaplara“ u Beogradu

Svjetlana Petrovi}

Ivana Igwatovi}

Du{an Pavli}

Qiqana Pavkov

Kreativni centarGradi{tanska 8

Beograd

Tel./faks: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659

www.kreativnicentar.rs

mr Qiqana Marinkovi}

Publikum

7.000

© Kreativni centar 2010

MATEMATIKAuxbenik za {esti razred osnovne {kole – 1. deoprvo izdawe

Ministar prosvete Republike Srbije odobrio je izdavawe i upotrebu ovog

uxbenika u okviru uxbeni~kog kompleta za matematiku u {estom razredu

osnovne {kole re{ewem broj 650-02-00190/2010-06 od 22. 07. 2010.

CIP – Katalogizacija u publikaciji

Narodna biblioteka Srbije, Beograd

37.016:51(075.2)

MATEMATIKA : uxbenik za {esti razred

osnovne {kole. #Deo #1 / Mirjana

Stojsavqevi}-Radovanovi} … [i dr.] ;

[ilustrovao Du{an Pavli}]. – 1. izd. –

Beograd : Kreativni centar, 2010 (Beograd :

Publikum). – 127 str. : ilustr. ; 27 cm. –

(Kreativna {kola)

Tira` 7.000.

ISBN 978-86-7781-786-2

1. Stojsavqevi}-Radovanovi}, Mirjana

[autor]

COBISS.SR-ID177618444

185195104-6-razred-kreativni-centar-udzbenik-1 - copy.pdf

Documents