157 matematika zbierka
TRANSCRIPT
MATEMATIKA I ZBIERKA PRÍKLADOV
Marcel ABAS Mária TÓTHOVÁ
Ľudmila VACULÍKOVÁ Róbert VRÁBEĽ
2008
© RNDr. Marcel Abas, PhD., RNDr. Mária Tóthová, RNDr. Ľudmila Vaculíková,
Mgr. Róbert Vrábeľ, PhD. Recenzenti: Doc. RNDr. Pavel Híc, PhD.
RNDr. Oleg Palumbíny, PhD.
Jazyková korektúra: Mgr. Valéria Krahulcová
Schválila Vedecká rada Materiálovotechnologickej fakulty STU ako vysokoškolské skriptum dňa 12. decembra 2007 pre všetky študijné programy 1. ročníka bakalárskeho štúdia Materiálovotechnologickej fakulty STU v Trnave. ISBN 978-80-8096-072-8 EAN 9788080960728
Predhovor
Táto zbierka úloh má slúžiť všetkým študentom prvého ročníka MTF STU pri vý-učbe predmetu Matematika I. Sylaby tohto predmetu obsahujú učivo z lineárnejalgebry, vektorovej algebry, analytickej geometrie aj matematickej analýzy, a to di-ferenciálneho a integrálneho počtu reálnej funkcie jednej reálnej premennej. Cieľomautorov bolo ponúknuť študentom i učiteľom zbierku, v ktorej by boli tieto rôzno-rodé oblasti matematiky spojené v jednom učebnom texte.
Zbierka obsahuje v každej kapitole prehľad teórie zloženej z definícií, viet bez dô-kazov a poznámok, objasňujúcich uvedené pojmy. V každej podkapitole zbierky sanachádzajú podrobne vysvetlené riešené príklady a tiež k samoštúdiu určené nerie-šené úlohy, doplnené výsledkami.
Za recenziu rukopisu a za cenné pripomienky ďakujeme recenzentom doc. RNDr.Pavlovi Hícovi, CSc. a doc. RNDr. Olegovi Palumbínymu, PhD.
Zbierka vychádza v elektronickej verzii a je dostupná v AIS STU. Je napísaná v typo-grafickom systéme LATEX2ε, ktorý ako formátovací jazyk používa počítačový prog-ram TEX vyvinutý Donaldom E. Knuthom [10]. Všetky obrázky sú napísané priamov systéme LATEX2ε s využitím balíčka PGF.
Autori
A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA 5
A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA
Definícia 1. Nech n je nezáporné celé číslo a a0, a1, a2, . . . , an komplexné čísla.Funkciu
P (x) = a0xn + a1x
n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an−1x + an, x ∈ C
nazývame polynómom, čísla a0, a1, a2, . . . , an koeficientmi polynómu P (x). Aka0 6= 0, tak n sa nazýva stupeň polynómu. Ak a0 = a1 = a2 = · · · = an = 0, takP (x) sa nazýva nulový polynóm.
Veta 1. Dva polynómy P (x) = a0xn +a1x
n−1 +a2xn−2 + · · ·+an−1x+an a Q(x) =
b0xn + b1x
n−1 + b2xn−2 + · · · + bn−1x + bn sa rovnajú vtedy a len vtedy, keď ai = bi
pre i = 0, 1, . . . , n.
Veta 2. Nech sú P (x) a Q(x) dva polynómy stupňov n a m. Nech n ≥ m. Potomexistujú dva jednoznačne určené polynómy R(x) a Z(x), pre ktoré platí
1. P (x) = Q(x)R(x) + Z(x)
2. Z(x) je buď nulový polynóm, alebo polynóm stupňa menšieho ako m (R(x) sanazýva čiastočný podiel polynómov P (x) a Q(x); a polynóm Z(x) sa nazývazvyšok.)
Definícia 2. RovnicuP (x) = 0, (A.1)
kde P (x) je polynóm n-tého stupňa, nazývame algebraickou rovnicou n-téhostupňa.Riešením alebo koreňom algebraickej rovnice (A.1) nazývame každé také číslo α ∈C, pre ktoré platí P (α) = 0. Koreň rovnice (A.1) nazývame aj koreň polynómuP (x).
Veta 3. Číslo α ∈ C je koreňom polynómu P (x) vtedy a len vtedy, ak polynóm(x− α) delí polynóm P (x) bezo zvyšku (výraz (x− α) sa nazýva koreňový činiteľpolynómu P (x)).
Veta 4 (Fundamentálna veta algebry). Každá algebraická rovnica stupňa n ≥ 1 máv množine komplexných čísel aspoň jeden koreň.
6 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA
Dôsledkom predchádzajúcej vety je, že každá algebraická rovnica stupňa n ≥ 1 máv množine komplexných čísel práve n koreňov (nemusia byť navzájom rôzne).
Definícia 3. Nech k ∈ N . Číslo α nazývame k-násobným koreňom polynómuP (x) (alebo algebraickej rovnice P (x) = 0), ak platí P (x) = (x−α)kR(x), R(α) 6= 0.Jednonásobný koreň sa nazýva jednoduchým koreňom.
Veta 5. Nech α1, α2, . . . , αr sú všetky navzájom rôzne korene polynómu P (x).Nech α1 je k1-násobný, α2 je k2-násobný, . . . , αr je kr-násobný koreň. Potomk1 + k2 + · · · + kr = n a P (x) = a0 (x− α1)
k1 (x− α2)k2 . . . (x− αr)
kr . Súčin napravej strane poslednej rovnosti sa nazýva rozklad polynómu P (x) na súčin kore-ňových činiteľov.
Veta 6. Nech P (x) = 0 je algebraická rovnica stupňa n ≥ 1 s reálnymi koeficientmi.Ak komplexné číslo α = a+ bi je jej koreňom, tak aj číslo α = a− bi je jej koreňom.
Veta 7. Nech a0xn + a1x
n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an−1x + an = 0 je algebraická rovnica
stupňa n ≥ 1 s celočíselnými koeficientmi. Nech racionálne číslo α = pq, kde p, q sú
nesúdeliteľné čísla, je koreňom tejto rovnice. Potom koeficient a0 je deliteľný číslomq a koeficient an je deliteľný číslom p.
Veta 8 (Hornerova schéma). Nech P (x) je polynóm stupňa n ≥ 1, α ∈ C, potomplatí P (x) = (x − α)R(x) + P (α). Označme v tomto vzťahu polynóm P (x) a R(x)
nasledovne: P (x) = a0xn + a1x
n−1 + a2xn−2 + · · · + an−1x + an a R(x) = b0x
n−1 +
b1xn−2 + b2x
n−3 + · · ·+ bn−1.
Z delenia polynómov vyplýva, že platí b0 = a0, b1 = a1 + αb0, . . . bn−1 = an−1 +
αbn−2, P (α) = an+αbn−1. Čísla b0, b1, . . . , bn môžeme vypočítať pomocou Hornerovejschémy:
a0 a1 a2 . . . an−1 an
α αb0 αb1 . . . αbn−2 αbn−1∑b0 b1 b2 . . . bn−1 P (α)
Veta 9. Každá rýdzoracionálna funkcia (definícia je na strane 107)
f(x) =P (x)
Q(x)
A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA 7
je súčtom parciálnych (elementárnych) zlomkov tvaru
A
(x− α)ka
Mx + N
(x2 + px + q)s ,
kde A, M, N, p, q sú reálne čísla, k, s sú prirodzené čísla, α je koreň polynómu Q(x),polynóm x2 + px + q nemá reálne korene a delí polynóm Q(x) bezo zvyšku.Ak Q(x) = a0 (x− α1)
k1 (x− α2)k2 . . . (x− αr)
kr (x2 + px + q), potom platí
P (x)
Q(x)=
A1
x− α1
+A2
(x− α1)2 + · · ·+ Ak1
(x− α1)k1
+
+B1
x− α2
+B2
(x− α2)2 + · · ·+ Bk2
(x− α2)k2
+
+ · · ·+
+C1
x− αr
+C2
(x− αr)2 + · · ·+ Ckr
(x− αr)kr
+
+Mx + N
x2 + px + q
8 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA
Riešené príkladyPríklad 1. Deľme polynóm P (x) = 3x3 + x2 − 6x + 5 polynómom Q(x) = x2 + 1.
Riešenie: Delíme podľa nasledujúcej schémy:
3x3 + x2 − 6x + 5 : x2 + 1 = 3x + 1− ( 3x3 + 3x )
x2 − 9x + 5− ( x2 + 1 )
− 9x + 4
Čiastočný podiel polynómov P (x) a Q(x) je polynóm R(x) = 3x + 1 a zvyšok podelení je polynóm Z(x) = −9x + 4. Platí
3x3 + x2 − 6x + 5 = (3x + 1)(x2 + 1) + (−9x + 4)
alebo3x3 + x2 − 6x + 5
x2 + 1= 3x + 1 +
−9x + 4
x2 + 1.
Poznamenajme, že pri delení polynóma polynómom postupujeme podľapredchádzajúcej schémy dovtedy, kým zvyšok nie je polynóm nižšieho stupňa akoje stupeň deliteľa.
Príklad 2. Vypočítajme hodnotu polynómu P (x) = 3x3 + x2 − 5x + 7 v čísle −2.
Riešenie: Postupujeme podľa Hornerovej schémy:
3 1 −5 7−2 −6 10 −10
3 −5 5 -3
Teda P (−2) = −3.
Poznámka 1. Úlohu možno riešiť ešte nasledujúcimi spôsobmi:
a.) P (−2) = 3(−2)3 + (−2)2 − 5(−2) + 7 = −3
Riešené príklady 9
b.)
3x3 + x2 − 5x + 7 : x + 2 = 3x2 − 5x + 5−3x3 − 6x2
−5x2 − 5x + 75x2 + 10x
5x + 7−5x − 10
− 3
t.j.3x3 + x2 − 5x + 7 = (x + 2)
(3x2 − 5x + 5
)+ (−3)
Ak dosadíme za x číslo −2 dostaneme
P (−2) = 0 + (−3)
P (−2) = −3
(zvyšok po delení P (x) polynómom x + 2 udáva hodnotu polynómu P (x) včísle −2).
Poznámka 2. Porovnajme čísla v druhom a treťom riadku Hornerovej schémy skoeficientmi pri delení polynómu v časti b):
3 1 −5 7−2 −6 10 −10
3 −5 5 -3
Príklad 3. Pomocou Hornerovej schémy vydeľme polynóm
P (x) = −5x3 + 7x2 − 5x + 3
polynómom x + 1.
Riešenie: Do prvého riadku Hornerovej schémy napíšeme koeficienty polynómuP (x). Delíme polynómom x− (−1), t.j. číslo α je −1.
10 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA
−5 7 −5 3−1 5 −12 17
−5 12 −17 20
Zistili sme, že platí:
1. −5x3+7x2−5x+3x+1
= −5x2 + 12x− 17 + 20x+1
2. P (−1) = 20
3. Číslo −1 nie je koreňom polynómu P (x), lebo P (−1) 6= 0.
Príklad 4. Zistime násobnosť koreňa x1 = −2 polynómu
P (x) = x5 + 8x4 + 25x3 + 38x2 + 28x + 8.
Riešenie: Úlohu budeme riešiť pomocou Hornerovej schémy. Polynóm P (x)
vydelíme polynómom x + 2. Ak vyjde nulový zvyšok, podiel vydelíme opäťpolynómom x + 2 a takto budeme pokračovať, až kým dostaneme nenulový zvyšok.
1 8 25 38 28 8−2 −2 −12 −26 −24 −8
1 6 13 12 4 0−2 −2 −8 −10 −4
1 4 5 2 0−2 −2 −4 −2
1 2 1 0−2 −2 0
1 0 1
Pomocou Hornerovej schémy sme postupne dostali:P (x) = (x + 2)(1 · x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 4)
P (x) = (x + 2) · (x + 2)(1 · x3 + 4x2 + 5x + 2)
P (x) = (x + 2) · (x + 2) · (x + 2)(1 · x2 + 2x + 1)
t.j. P (x) = (x + 2)3(x2 + 2x + 1) pričom (−2)2 + 2 · (−2) + 1 6= 0). Číslo x1 = −2
je trojnásobný koreň polynómu P (x).
Príklad 5. Riešme rovnicu x4 − 1 = 0.
Riešené príklady 11
Riešenie: Ľavú stranu rovnice rozložíme na súčin(x2 − 1)(x2 + 1) = 0
(x− 1)(x + 1)(x2 + 1) = 0
(x− 1)(x + 1)(x− i)(x + i) = 0.Odkiaľ x1 = 1, x2 = −1, x3 = i, x4 = −i.
Príklad 6. Nájdime najskôr racionálne korene rovnice
2x4 − 12x3 + 18x2 − 12x + 16 = 0
a potom ju riešme.
Riešenie: Ak daná rovnica má racionálny koreň číslo pq(p ∈ Z, q ∈ N , p, q sú
nesúdeliteľné), potom p je deliteľom 16 a q je deliteľom 2; t.j.p ∈ {±1,±2,±4,±8,±16}, q ∈ {±1,±2}. Racionálnymi koreňmi môžu byťniektoré z čísel ±1,±1
2,±2,±4,±8,±16. Pomocou Hornerovej schémy postupne
zistíme, že čísla ±1,±12nie sú koreňmi, a čísla x1 = 2, x2 = 4 sú koreňmi rovnice.
2 −12 18 −12 162 4 −16 4 −16
2 −8 2 −8 04 8 0 8
2 0 2 0
Teda 2x4 − 12x3 + 18x2 − 12x + 16 = (x− 2)(x− 4)(2x2 + 0 · x + 2). Zvyšné dvakorene dostaneme vyriešením kvadratickej rovnice 2x2 + 2 = 0, čiže x3 = +i,x4 = −i a rozklad polynómu na súčin koreňových činiteľov je
2(x− 2)(x− 4)(x− i)(x + i) = 2x4 − 12x3 + 18x2 − 12x + 16.
Všimnime si, že ak počas výpočtu vyjde 0, pokračujeme ďalej až do konca riadku.Podobne je potrebné si uvedomiť, že algebraická rovnica n-tého stupňa má n + 1
koeficientov a tak prvý riadok Hornerovej schémy pre algebraickú rovnicu napr.2x4 − 3x2 + 1 = 0 vyzerá nasledovne:
2 0 −3 0 1
Príklad 7. Rovnica 5x4 − 23x3 + 35x2 − 7x− 10 = 0 má jeden koreň x1 = 2 + i.
Nájdime jej ostatné korene.
12 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA
Riešenie: Ak komplexné číslo 2 + i je koreňom danej algebraickej rovnice, potomaj komplexné číslo 2− i je jej koreňom a polynómP (x) = 5x4 − 23x3 + 35x2 − 7x− 10 je deliteľný polynómom
(x− (2 + i))(x− (2− i)) = ((x− 2)− i)((x− 2) + i) = (x− 2)2 − i2 = x2 − 4x + 5
bezo zvyšku. Nájdeme podiel týchto polynómov:
5x4 − 23x3 + 35x2 − 7x− 10 : x2 − 4x + 5 = 5x2 − 3x− 2− (5x4 − 20x3 + 25x2)
−3x3 + 10x2 − 7x− 10− (−3x3 + 12x2 − 15x)
−2x2 + 8x− 10− (−2x2 + 8x− 10)
0
Ďalšie dva korene danej algebraickej rovnice budú korene kvadratickej rovnice5x2 − 3x− 2 = 0 t.j. čísla x3 = 1, x4 = −2
5. Polynóm P (x) môžeme napísať
P (x) = 5(x2 − 4x + 5)(x− 1)(x +2
5),
čo je rozklad P (x) na súčin polynómov 1. a 2. stupňa s reálnymi koeficientmi,pričom polynóm 2.-ho stupňa nemá reálne korene.
Príklad 8. Rozložme rýdzoracionálnu funkciu f(x) = 3x+2x5−x2 na súčet parciálnych
zlomkov.
Riešenie: Menovateľ rozložíme na súčin
x5 − x2 = x2(x3 − 1) = x2(x− 1)(x2 + x + 1).
Potom ( podľa vety 9 zo strany 6)
3x + 2
x2(x− 1)(x2 + x + 1)=
A
x2+
B
x+
C
x− 1+
Dx + E
x2 + x + 1
a po vynásobení najmenším spoločným menovateľom a po úprave dostaneme
3x + 2 = A(x3 − 1) + B(x4 − x) + C(x4 + x3 + x2) + D(x4 − x3) + E(x3 − x2).
Porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách x:
Riešené príklady 13
x4 : 0 = B + C + Dx3 : 0 = A + C − D + Ex2 : 0 = C − Ex1 : 3 = − Bx0 : 2 = − A
Riešením tohto systému lineárnych rovníc je A = −2, B = −3, C = 53, D + 4
3,
E = 53. Rozklad bude mať tvar
3x + 2
x5 − x2= − 2
x2− 3
x+
5
3(x− 1)+
4x + 5
3(x2 + x + 1).
14 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA
Úlohy1. Vynásobte polynómy P (x) a Q(x)
a) (2x4 − x3 + x2 + x + 1)(x2 − 3x + 1)
b) (x3 + x2 − x− 1)(x3 − 2x− 1)
c) (x2 − 2x + 1)(x2 + 2x)
d) (x3 + 2x2 − x + 1)(x3 + x− 1)
2. Nájdite čiastočný podiel R(x) a zvyšok Z(x) pri delení polynómu P (x) aQ(x), ak
a) P (x) = 2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 16; Q(x) = x2 − 3x + 1
b) P (x) = x3 − 3x2 − x− 1; Q(x) = 3x2 − 2x + 1
c) P (x) = x4 − 2x3 + 4x2 − 6x + 8; Q(x) = x− 1
d) P (x) = 2x5 − 5x3 − 8x; Q(x) = x + 3
3. Pomocou Hornerovej schémy vydeľte polynóm P (x) polynómom Q(x), ak
a) P (x) = −2x3 − 4x2 − 3x + 5; Q(x) = x− 3
b) P (x) = 3x4 + 16x3 − 10x2 + 14x + 5; Q(x) = x + 6
c) P (x) = 3x5 − 8x4 + 10x3 − 13x2 + 4x− 4; Q(x) = x− 2
d) P (x) = −4x6 − 20x5 − 17x4 + 2x− 3; Q(x) = x + 1
4. Nájdite hodnotu polynómu P (x) v čísle α
a) P (x) = 3x3 − 2x2 + 4x− 3; α = −3
b) P (x) = x4 + 3x3 + 4x− 6; α = −4
c) P (x) = −5x5 + 5x3 + 4x2 + 2; α = 2
d) P (x) = 2x6 + 5x5 − 5x4 + 15x2 − 3; α = −3
5. Riešte rovnicu
a) x3 + x2 + x = 0
b) x4 + x3 − 2x2 = 0
c) 2x5 + 5x4 − 3x3 = 0
d) x4 + 6x3 + 9x2 = 0
Úlohy 15
6. Vypočítajte číslo a tak, aby číslo α bolo jej koreňom? Riešte potom tútorovnicu.
a) x3 + 2x2 − ax + 6 = 0; α = 2
b) x3 + 2x2 − ax + 3 = 0; α = 3
c) x3 − 2x2 − ax + 6 = 0; α = 2
d) x3 + 2x2 + ax + 4 = 0; α = −2
7. Zistite násobnosť koreňa x1 algebraickej rovnice
a) x4 − 8x3 + 6x2 + 40x + 25 = 0; x1 = −1
b) x5 − 7x4 + 16x3 − 8x2 − 16x + 16 = 0; x1 = 2
c) x5 + 5x4 + 7x3 + 2x2 + 4x + 8 = 0; x1 = −2
d) x6 + 3x5 + 4x4 + 3x3 − 15x2 − 16x + 20 = 0; x1 = 1
8. Riešte rovnicu a potom ju napíšte v tvare súčinu koreňových činiteľov, ak
a) číslo 2 je koreňom rovnice x3 − 2x2 + 4x− 8 = 0
b) čísla 1 a 2 sú korene rovnice x4 + 2x3 − 7x2 − 8x + 12 = 0
c) čísla 1 a −2 sú korene rovnice x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + 4 = 0
d) čísla 1 a −2 sú korene rovnice x4 − x3 − 3x2 + 5x− 2 = 0
9. Napíšte polynóm
a) druhého stupňa, ktorý má korene čísla 2,−4
b) piateho stupňa, ktorý má korene čísla 0, 1, 2,−1, 3
c) tretieho stupňa, ktorý má číslo 1 jednoduchý a číslo −1 dvojnásobnýkoreň
d) piateho stupňa, ktorý má číslo 2 trojnásobný a číslo 0 dvojnásobnýkoreň
10. Napíšte algebraickú rovnicu najnižšieho stupňa s reálnymi koeficientami,ktorá má tieto korene
a) číslo 1 dvojnásobný, číslo 3 jednoduchý, číslo −1 jednoduchý
b) číslo −1 dvojnásobný, číslo 2 jednoduchý, číslo 1 jednoduchý
c) číslo 2 dvojnásobný, číslo −3 dvojnásobný
d) číslo −3 dvojnásobný, číslo 2 dvojnásobný
16 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA
11. Nájdite najskôr racionálne korene rovnice a potom ju riešte
a) 3x3 + 7x2 − 4 = 0
b) 6x4 − 11x3 − x2 − 4 = 0
c) 4x4 − 11x2 + 9x− 2 = 0
d) 2x4 − x2 − 1 = 0
e) x5 − 6x3 + 2x2 + 9x− 6 = 0
f) 14x3 − 15x2 + 6x− 1 = 0
g) x5 − 2x4 − 4x3 + 4x2 − 5x + 6 = 0
12. Rozložte daný polynóm na súčin polynómov prvého a druhého stupňa sreálnymi koeficientmi, pričom polynómy druhého stupňa nemajú reálnekorene
a) P (x) = x5 − 4x4 − 6x3 + 16x2 + 29x + 12
b) P (x) = x9 + 2x6 + x3
c) P (x) = x4 − 3x2 + 2x
d) P (x) = 2x4 − 12x3 + 18x2 − 12x + 16
13. Nájdite agebraickú rovnicu, ktorá má všetky korene jednoduché a rovnakéako daná rovnica
a) x3 − 2x2 − 15x + 36 = 0
b) x5 − 10x3 − 20x2 − 15x− 4 = 0
c) x4 − 7x3 + 18x2 − 20x + 8 = 0
d) x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1 = 0
14. Riešte rovnicu P (x) = 0, ak viete, že číslo α je jej koreň
a) P (x) = x4 + 5x2 − 22x− 10; α = −1 + 3i
b) P (x) = x5 + 3x4 + 5x3 − x2 − 14x− 10; α = −1− 2i
c) P (x) = x5 + 10x2 − x− 10; α = 1 + 2i
d) P (x) = x6 − 2x5 − 5x4 + 12x3 + 11x2 − 18x− 15; α = 2− i
15. Rozložte rýdzoracionálnu funkciu f(x) na súčet parciálnych zlomkov
a) f(x) = x−1x2−x−2
b) f(x) = 3x2+3x+12x3+x2−2x
Úlohy 17
c) f(x) = x2+1(x2−1)(x2+x−6)
d) f(x) = 3x4+5x5+2x3+x
e) f(x) = x2+3x+3x3+5x2+6x
f) f(x) = x3+2x2+3(x2−1)(x+2)
V úlohách 16 - 20 riešte algebraickú rovnicu
16. a) x4 + 11x3 + 17x2 − 11x− 18 = 0
b) 3x4 − 5x3 − 28x2 − 4x + 16 = 0
c) x4 − 4x3 + 4x2 − 4x + 3 = 0
d) 6x4 + 35x3 + 13x2 − 56x + 20 = 0
17. a) x4 − 2x3 − 2x2 + 8x− 8 = 0
b) x4 − 6x3 + 14x2 − 14x + 5 = 0
c) 4x4 − 13x2 + 9 = 0
d) x4 + 3x2 − 10 = 0
18. a) x5 − 9x4 + 24x3 − 24x2 + 23x− 15 = 0
b) x5 − 5x4 − 3x3 + 29x2 + 2x− 24 = 0
c) 3x5 − 2x4 − 33x3 − 32x2 + 12x + 16 = 0
d) x5 − 4x4 + 5x3 − 6x + 4 = 0
19. a) x6 − 6x5 + 5x4 + 40x3 − 121x2 + 126x− 45 = 0
b) x5 + x4 + x3 + x2 − 6x− 6 = 0
c) x6 − x5 − 3x4 + x3 + 2x + 4 = 0
d) x5 + 10x2 − x− 10 = 0
20. a) x5 − x4 − 7x3 − x2 + 10x + 6 = 0
b) x4 − 2x3 − x2 + 4x− 2 = 0
c) x4 + 4x3 + x2 − 12x− 12 = 0
d) x4 − 2x3 − 2x2 + 6x− 3 = 0
18 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA
Výsledky1. a) 2x6 − 7x5 + 6x4 − 3x3 − x2 − 2x + 1
b) x6 + x5 − 3x4 − 4x3 + x2 + 3x + 1
c) x4 − 3x2 + 2x
d) x6 + 2x5 + 2x3 + x2 + 2x− 1
2. a) R(x) = 2x2 + 3x + 11, Z(x) = 25x− 5
b) R(x) = 13x− 7
9, Z(x) = −26
9− 2
9
c) R(x) = x3 − x2 + 3x− 3, Z(x) = 5
d) R(x) = 2x4 − 6x3 + 13x2 − 39x + 109, Z(x) = −327
3. a) R(x) = 2x2 + 2x + 3, Z(x) = 14
b) R(x) = 3x3 − 2x2 + 2x + 2, Z(x) = −7
c) R(x) = 3x4 − 2x3 + 6x2 − x + 2, Z(x) = 0
d) R(x) = −4x5 − 16x4 − x3 + x2 − x + 3, Z(x) = −6
4. a) −114 b) 42 c) −102 d) −30
5. a) x1 = 0, x2,3 = 12(−1± i
√3)
b) x1 = x2 = 0, x3 = 1, x4 = −2
c) x1 = x2 = x3 = 0, x4 = 12, x5 = −3
d) x1 = x2 = 0, x3 = x4 = −3
6. a) a = 11, x1 = 2, x2,3 = −2±√
7
b) a = 16, x1 = 3, x2,3 = 12(−5±
√29)
c) a = 3, x1 = 2, x2,3 = ±√
3
d) a = 2, x1 = −2, x2,3 = ±i√
2
7. a) 2 b) 4 c) 3 d) 2
8. a) x1 = 2, x2,3 = ±2i; (x− 2)(x− 2i)(x + 2i) = 0
b) x1 = 1, x2 = 2, x3 = −2, x4 = −3; (x− 1)(x− 2)(x + 2)(x + 3) = 0
c) x1 = 1, x2 = −2, x3 = 1, x4 = −2; (x− 1)2(x + 2)2 = 0
d) x1 = 1, x2 = −2, x3 = 1, x4 = 1; (x− 1)3(x + 2) = 0
9. a) napr. x2 + 2x− 8
10. a) napr. x4 − 4x3 + 2x2 + 4x− 3
Výsledky 19
11. a) −1,−2, 23
b) 2,−23, 1±i
√7
4
c) 1,−2, 12
d) 1,−1,±i√
12
e) 1, 1,−2,±√
3
f) 12, 2±i
√3
7
g) 1,−2, 3, i,−i
12. a) (x + 1)3(x− 3)(x− 4)
b) x3(x + 1)2(x2 − x + 1)2
c) x(x− 1)2(x + 2)
d) 2(x− 2)(x− 4)(x2 + 1)
13. a) napr. x2 − 7x + 12 = 0
b) napr. x2 − 3x− 4 = 0
c) napr. x2 − 3x + 2 = 0
d) napr. x− 1 = 0
14. a) x1,2 = −1± 3i, x3,4 = 1±√
2
b) x1,2 = −1± 2i, x3 = −1, x4,5 = ±√
2
c) x1,2 = 1± 2i, x3 = 1, x4 = −1, x5 = −2
d) x1,2 = 2± i, x3,4 = −1, x5,6 = ±√
3
15. a) f(x) = 23(x+1)
+ 13(x−2)
b) f(x) = 6x−1
+ 3x+2
− 6x
c) f(x) = 16(x+1)
− 14(x−1)
− 14(x+3)
+ 13(x−2)
d) f(x) = 5x− 2x
x2+1− 8x
(x2+1)2
e) f(x) = 12x− 1
2(x+2)+ 1
x+3
f) f(x) = 1 + 1x−1
− 2x+1
+ 1x+2
16. a) ±1,−2,−9
b) 4,−2,−1, 23
c) 1, 3,±i
d) −2,−5, 23, 1
2
17. a) 2,−2, 1± i
b) 1, 1, 2± i
c) 1,−1,±32
d) ±√
2,±i√
5
20 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA
18. a) 1, 3, 5,±i
b) 1,−1, 3,−2, 4
c) −1,−1, 23,−2, 4
d) −1, 1, 2, 1± i
19. a) 1, 1, 3,−3, 2± i
b) −1,±√
2,±i√
3
c) −1, 2,±i,±√
2
d) 1,−1,−2, 1± 2i
20. a) −1,−1, 3,±√
2
b) 1, 1,±√
2
c) −2,−2,±√
3
d) 1, 1,±√
3
B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE 21
B MATICE. DETERMINANT MATICE.HODNOSŤ MATICE
MaticeDefinícia 1. Nech m, n sú prirodzené čísla. Systém m · n prvkov množiny M ⊂ Rusporiadaných do m riadkov a n stĺpcov sa nazýva matica typu m × n.
Označuje sa A = (aij), i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n alebo
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a13 . . . a2n
. . .am1 am2 am3 . . . amn
.
Prvky aij ∈ M (i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n) sa nazývajú prvkami matice.Prvok aij je v i−tom riadku a j−tom stĺpci matice.
Definícia 2. Prvky aii, i = 1, 2, . . . , min{m, n} tvoria hlavnú diagonálu matice.
Definícia 3. Matica typu n× n sa nazýva štvorcovou maticou stupňa n.
Definícia 4. Matica s jediným riadkom (m = 1) sa nazýva riadkovýmvektorom, matica s jediným stĺpcom (n = 1) sa nazýva stĺpcovým vektorom.Matica typu m× n, ktorej všetky prvky sa rovnajú nule sa nazýva nulová maticaa označuje sa symbolom 0.
Definícia 5. Štvorcová matica, v ktorej aij = 0 pre každé i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n
sa nazýva diagonálna matica (t.j. prvky mimo hlavnej diagonály sú rovné nule.)Diagonálna matica, ktorej všetky prvky hlavnej diagonály sa rovnajú číslu 1 (t.j.aii = 1, i = 1, 2, . . . , n) sa nazýva jednotková matica (stupňa n) a označuje sa E.
Definícia 6. Nech matica A = (aij) je typu m× n. Matica AT = (a′ij) typu n×m
s prvkami a′ij = aji, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n sa nazýva transponovanou
maticou k matici A.
Maticu AT dostaneme z matice A zámenou riadkov za stĺpce, zachovajúc pritomich poradie.Transponovaná matica k riadkovému (stĺpcovému) vektoru je stĺpcový (riadkový)vektor.
22 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
Definícia 7 (Rovnosť matíc). Hovoríme, že matice A, B sa rovnajú práve vtedya len vtedy, keď sú rovnakého typu (napr. m× n ) a platí
aij = bij, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n.
Rovnosť matíc sa zapisuje A = B.
Definícia 8 (Súčet matíc). Súčtom matíc A = (aij), B = (bij) typum× n nazývame maticu C = (cij) typu m× n s prvkami
cij = aij + bij, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n.
Súčet matíc A a B zapisujeme C = A + B.
Definícia 9 (Násobenie matice číslom). Súčinom reálneho čísla k a maticeA = (aij) typu m× n nazývame maticu C = (cij) typu m× n s prvkami
cij = kaij, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n.
Píšeme C = kA.
Definícia 10 (Násobenie matíc). Nech A = (aij) je matica typu m× n aB = (bij) matica typu n× p. Súčinom matíc A a B (v tomto poradí) je maticaC = (cij) typu m× p s prvkami
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , p.
Píšeme C = AB.
Pre násobenie matíc neplatí vo všeobecnosti komutatívny zákon.
Veta 1 (Pravidlá pre operácie s maticami). Nech A, B, C sú matice a k, l sú
Matice 23
reálne čísla. Potom platí
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + 0 = A
k(A + B) = kA + kB
(k + l)A = kA + lA
k(AB) = (kA)B = A(kB)
A(BC) = (AB)C
(A + B)C = AC + BC
A(B + C) = AB + AC
AE = EA = A
0A = A0 = 0
(pri predpoklade, že uvedené operácie majú zmysel).
24 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
Riešené príkladyPríklad 1. Nájdime súčet matíc A a B, ak
A =
(2 1 −13 2 −4
)B =
(3 2 −13 3 4
).
Riešenie: Podľa definície súčtu matíc dostaneme
A + B =
(2 + 3 1 + 2 −1 + (−1)3 + 2 2 + 3 −4 + 4
)=
(5 3 −25 5 0
).
Príklad 2. Vypočítajte neznámu maticu X z maticovej rovnice 2X + E = A, ak
A =
(1 23 4
).
Riešenie: Označme X =
(a bc d
). Potom
2
(a bc d
)+
(1 00 1
)=
(1 23 4
)(
2a 2b2c 2d
)+
(1 00 1
)=
(1 23 4
)(
2a + 1 2b2c 2d + 1
)=
(1 23 4
)Podľa definície rovnosti matíc dostaneme
2a + 1 = 1
2b = 2
2c = 3
2d + 1 = 4,
odkiaľ a = 0, b = 1, c = 32, d = 3
2. Riešením danej rovnice je teda matica
X =
(0 132
32
).
Príklad 3. Dané sú matice A =
2 31 −10 5
, B =
2 1−1 −1
0 3
. Nájdeme
maticu (2A− 3B)T .
Riešené príklady 25
Riešenie: Označme C = 2A− 3B. Maticu C nájdeme podľa definície.
C = 2A− 3B = 2A + (−3)B = 2
2 31 −10 5
+ (−3)
2 1−1 −1
0 3
=
=
4 62 −20 10
+
−6 −33 30 −9
=
−2 35 10 1
.
Maticu C transponujeme, t.j. jej riadky napíšeme ako stĺpce, pričom poradiezachováme
(2A− 3B)T = CT =
(−2 5 0
3 1 1
)
Príklad 4. Dané sú matice A =
(2 3 −41 2 5
), B =
−1 21 10 3
. Vypočítajme
súčiny matíc AB a BA.
Riešenie: Matica A je typu 2× 3, matica B je typu 3× 2, podľa definície súčinumatíc AB aj BA existujú.
AB =
(2 · (−1) + 3 · 1 + (−4) · 0; 2 · 2 + 3 · 1 + (−4) · 31 · (−1) + 2 · 1 + 5 · 0; 1 · 2 + 2 · 1 + 5 · 3
)=
=
(−2 + 3 + 0; 4 + 3− 12−1 + 2 + 0; 2 + 2 + 15
)=
(1 −51 19
)
BA =
(−1) · 2 + 2 · 1; (−1) · 3 + 2 · 2; (−1) · (−4) + 2 · 51 · 2 + 1 · 1; 1 · 3 + 1 · 2; 1 · (−4) + 1 · 50 · 2 + 3 · 1; 0 · 3 + 3 · 2; 0 · (−4) + 3 · 5
=
=
−2 + 2; −3 + 4; 4 + 102 + 1; 3 + 2; −4 + 50 + 3; 0 + 6; 0 + 15
=
0 1 143 5 13 6 15
Matice AB a BA sú rôzne a dokonca rôzneho typu.
Príklad 5. Nájdite súčin matíc A =
(3 21 −1
), B =
2 −11 03 −4
.
26 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
Riešenie: Súčin matíc AB nie je definovaný preto, lebo matica A je typu 2× 2 amatica B je typu 3× 2. Je však definovaný súčin BA a platí
BA = 2 −11 03 −4
( 3 21 −1
)=
2 · 3 + (−1) · 1; 2 · 2 + (−1) · (−1)1 · 3 + 0 · 1; 1 · 2 + 0 · (−1)
3 · 3 + (−4) · 1; 3 · 2 + (−4) · (−1)
=
=
6− 1 4 + 13 + 0 2 + 09− 4 6 + 4
=
5 53 25 10
.
Príklad 6. Určte prvky matice X z rovnice X + 2A = B2, ak
A =
2 1 10 3 34 −2 −1
, B =
4 2 20 6 68 −4 −2
.
Riešenie: Najprv vypočítajme 2A a B2:
2A = 2
2 1 10 3 34 −2 −1
=
4 2 20 6 68 −4 −2
B2 = B ·B =
6 1 0−2 3 −4
1 5 2
6 1 0−2 3 −4
1 5 2
=
=
0@ 6 · 6 + 1 · (−2) + 0 · 1; 6 · 1 + 1 · 3 + 0 · 5; 6 · 0 + 1 · (−4) + 0 · 2(−2) · 6 + 3 · (−2) + (−4) · 1; (−2) · 1 + 3 · 3 + (−4) · 5; (−2) · 0 + 3 · (−4) + (−4) · 2
1 · 6 + 5 · (−2) + 2 · 1; 1 · 1 + 5 · 3 + 2 · 5; 1 · 0 + 5 · (−4) + 2 · 2
1A =
=
36− 2 + 0; 6 + 3 + 0; 0− 4 + 0−12− 6− 4; −2 + 9− 20; 0− 12− 8
6− 10 + 2; 1 + 15 + 10; 0− 20 + 4
=
34 9 −4−22 −13 −20−2 26 −16
a dosadíme do rovnice x11 x12 x13
x21 x22 x23
x31 x32 x33
+
4 2 20 6 68 −4 −2
=
34 9 −4−22 −13 −20−2 26 −16
Podľa definície súčtu a rovnosti matíc dostaneme
x11 + 4 = 34
x12 + 2 = 9
x13 + 2 = −4
Riešené príklady 27
x21 + 0 = −22
x22 + 6 = −13
x23 + 6 = −20
x31 + 8 = −2
x32 − 4 = 26
x33 − 2 = −16
Hľadaná matica je
X =
30 7 −6−22 −19 −26−10 30 −14
.
28 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
Úlohy1. Zistite, či pre matice A, B platí A = B
a) A =
(1 2 12 1 1
), B =
1 22 11 2
b) A =
1 3 25 3 10 0 0
, B =
1 3 25 3 11 3 2
c) A =
(1 23 0
), B =
(1 4
2
3 0
)d) A =
(−1 3 14 2 0
), B =
(cos π 3 1
4 2 sin π
)2. Pre aké reálne čísla x, y, z, u platí
a)
(2x + 5y 4
9 y + 2
)=
(x + 7 4
9 3
)b)
(2x + 3 4
8 12
)=
(10x + 1 2y + 3
8 4x + 11
)c)
(2x + 5y 4
9 2y + 1
)=
(12x + 9 4
9 3
)d)
(2x + 3 4 6 8
8 12 6 4
)=
(10x + 1 2y + 3 6 8
9 6z + 2 3u 4
)3. Nájdite transponované matice k maticiam
a)
(3 7 5 12 1 3 4
)
b)
1 2 53 2 18 2 7
c)
1
−235
d)(
18 4 12 −5)
4. Nájdite reálne čísla x, y tak, aby matica
(1 3x + 2
4y − 1 2
)bola
transponovaná k matici
(1 7−1 2
).
5. Vypočítajte A + B, 2A, 3B −A, ak
a) A =
(1 2
−1 3
), B =
(0 12 −1
)
Úlohy 29
b) A =
5 1 −27 1 −33 2 0
, B =
3 2 12 2 11 3 3
c) A =
(1 2 −1 2
), B =
(2 3 4 −4
)d) A =
1−1
0
, B =
234
6. Nájdite maticu 2AT + 5B, ak
a) A =
(2 10 3
), B =
(1 −12 2
)
b) A =
1 1 22 3 54 0 6
, B =
−1 0 1−1 1 3−2 0 2
c) A =
123
, B =(
7 0 −1)
d) A =
1 2 −1 21 0 3 12 1 0 03 4 0 −1
, B =
2 1 −1 00 2 3 11 2 3 00 0 3 4
7. Vypočítajte (A + B)T , ak
a) A =
(3 21 −1
), B =
(1 0
−4 2
)b) A =
(1 20 1
), B =
(−1 2
4 2
)
c) A =
3 1 −12 0 30 1 0
, B =
1 −1 23 4 −11 2 0
d) A =
1 0 40 2 4
−1 2 3
, B =
0 −1 30 1 21 2 −2
8. Vypočítajte súčiny matíc AB a BA, ak
a) A =
(2 −34 −6
), B =
(9 −66 −4
)b) A =
(1 0
−1 5
), B =
(4 2
−3 1
)
30 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
c) A =
(3 21 4
), B =
(2 −10 2
)d) A =
(3 1
−1 0
), B =
(−2 0−1 1
)9. Vypočítajte súčiny matíc AB a BA, ak
a) A =
1 3 22 −1 01 0 2
, B =
2 1 20 −1 12 1 0
b) A =
2 −1 54 3 00 −2 −2
, B =
0 3 01 5 −2
−1 0 1
c) A =
5 1 −27 1 −33 2 0
, B =
3 1 22 2 11 3 3
d) A =
1 3 21 2 42 1 1
, B =
1 1 10 3 22 0 1
10. Vypočítajte súčiny matíc AB a BA, ak
a) A =(
1 −1 2), B =
123
b) A =
(1 3
), B =
(−1
2
)
c) A =
(1 2 22 3 1
), B =
1 31 42 2
d) A =
(1 2 −1 0
−1 0 5 3
), B =
0 3
−1 42 15 0
e) A =
1 10 −25 0
, B =
(2 5 −1
−2 0 4
)
f) A =
1 0 −2 30 5 0 1
−2 0 1 −1
, B =
2 0 31 −1 10 1 24 0 0
Úlohy 31
11. Vypočítajte súčin matíc AB, ak
a) A =
(2 1 30 −1 1
), B =
2 1 −10 3 20 1 2
b) A =
1 3 4 2
−2 3 −1 24 1 2 31 2 2 1
, B =
13
−2−1
c) A =
5 1 02 −2 23 0 −1
, B =
123
d) A =
(0 2 1
−1 3 1
), B =
0−1
1
e) A =
(2 1 31 0 −1
), B =
1 32 2
−1 0
f) A =
(1 −20 3
), B =
(2 4 −1
−1 0 0
)
g) A =
3 1−1 2
0 4
, B =
(5 1 0 −20 0 3 1
)
h) A =
1 −10 2
−3 02 4
, B =
(8 −2 01 2 −1
)
i) A =
2 0 1
−1 3 52 0 00 1 −1
, B =
1 2 00 −3 01 −1 2
12 Vynásobte matice
a)
(1 0
−1 1
) (4 −33 −1
) (1 01 1
)b)
(1 −32 0
) (4 10 −2
) (0 1
−1 0
)
c)
1 2 10 2 13 2 1
2 0 10 1 11 1 1
1 1 12 2 23 3 3
32 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
d)
1 −1 15 0 20 −3 0
1 −2 02 0 30 −3 1
2 4 −10 5 −21 0 0
13. Vypočítajte A2, ak
a) A =
(1 23 1
)
b) A =
(1 −10 2
)c) A =
1 2 32 1 31 2 2
d) A =
1 −1 10 2 11 −1 0
14. Vypočítajte A3, ak
a) A =
(1 −32 −1
)b) A =
1 2 −10 3 1
−2 1 −1
15. Vypočítajte A4, ak
a) A =
(2 −11 3
)b) A =
1 0 2−1 1 0
0 3 −2
16. Nájdite 4AT + 5BE −CA, kde E je jednotková matica tretieho stupňa a
a) A =
1 2 1−1 0 2
3 1 2
B =
1 −1 12 1 00 1 2
C =
2 0 1−1 1 1
2 1 3
b) A =
2 3 1−1 2 −2
1 0 3
B =
2 0 −11 −1 −12 1 1
C =
1 2 31 0 22 2 −1
17. Daná je matica A =
5 8 43 2 57 6 0
. Akú maticu B musíme pripočítať k
matici A, aby sme dostali jednotkovú maticu?
18. Nájdite maticu A2 + A + E, ak A =
2 1 11 2 11 1 2
.
Výsledky 33
Výsledky
1. a) nie b) nie c) áno d) áno
2. a) x = 2, y = 1
b) x = 14, y = 1
2
c) x = −25, y = 1
d) x = 14, y = 1
2, z = 5
3, u = 2
3. a)
3 27 15 31 4
b)
1 3 82 2 25 1 7
c)(
1 −2 3 5)
d)
184
12−5
4. x = −1, y = 2
5. a) A + B =
(1 31 2
), 2A =
(2 4
−2 6
),
3B −A =
(−1 1
7 −6
)
b) A + B =
8 3 −19 3 −24 5 3
, 2A =
10 2 −414 2 −66 4 0
,
3B −A =
4 5 5−1 5 6
0 7 9
c) A + B =
(3 5 3 −2
), 2A =
(2 4 −2 4
),
3B −A =(
5 7 13 −14)
d) A + B =
324
, 2A =
2−2
0
, 3B −A =
51012
6. a)
(9 −512 16
)
b)
−3 4 13−3 11 15−6 10 22
c)(
37 4 1)
d)
12 7 −1 64 10 17 133 16 15 04 2 15 18
7.
34 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
a)
(4 −32 1
)
b)
(0 44 3
)c)
4 5 10 4 31 2 0
d)
1 0 0−1 3 4
7 2 1
8. a) AB =
(0 00 0
), BA =
(−6 9−4 6
)b) AB =
(4 2
−19 3
), BA =
(2 10−4 5
)c) AB =
(6 12 7
), BA =
(5 02 8
)d) AB =
(−7 1
2 0
), BA =
(−6 −2−4 −1
)
9. a) AB =
6 0 54 3 36 3 2
, BA =
6 5 8−1 1 2
4 5 4
b) AB =
−6 1 73 27 −60 −10 2
, BA =
12 9 022 18 9−2 −1 −7
c) AB =
15 1 520 0 1613 7 8
, BA =
28 8 −927 6 −1035 10 −11
d) AB =
5 10 99 10 94 5 5
, BA =
4 6 77 8 144 7 5
10. a) AB = (5) , BA =
1 −1 22 −2 43 −3 6
b) AB = (5) , BA =
(−1 −3
2 6
)
c) AB =
(7 157 20
), BA =
7 11 59 14 66 10 6
d) AB =
(−4 1025 2
), BA =
−3 0 15 9−5 −2 21 12
1 4 3 35 10 −5 0
Výsledky 35
e) AB =
0 5 34 0 −8
10 25 −5
, BA =
(−3 −818 −2
)
f) AB =
14 −2 −19 −5 5
−8 1 −4
, BA =
−4 0 −1 3−1 −5 −1 1−4 5 2 −1
4 0 −8 12
11. a)
(4 8 60 −2 0
)
b)
0702
c)
740
d)
(−1−2
)e)
(1 82 3
)
f)
(4 4 −1
−3 0 0
)
g)
15 3 3 −5−5 −1 6 4
0 0 12 4
h)
7 −4 12 4 −2
−24 6 020 4 −4
i)
3 3 24 −16 102 4 0
−1 −2 −2
12. a)
(1 −31 2
)
b)
(−7 4−2 8
)c)
21 21 2116 16 1631 31 31
d)
−4 −29 1112 −60 27
−21 −24 6
13. a)
(7 46 7
)
b)
(1 −30 4
)c)
8 10 157 11 157 8 13
d)
2 −4 01 3 21 −3 0
14. a)
(−5 15−10 5
)b)
−1 29 2−6 28 10−8 −2 −6
36 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
15. a)
(−16 −55
55 39
)b)
−5 18 −222 −5 −6
−9 −33 28
16. a)
4 −14 1317 6 1−6 6 8
b)
15 −11 −713 0 −213 −13 22
17.
−4 −8 −4−3 −1 −5−7 −6 1
18.
9 6 66 9 66 6 9
Determinant matice. Hodnosť matice 37
Determinant matice. Hodnosť maticeNech A je štvorcová matica stupňa n > 1, potom znakom Aij budeme označovaťmaticu, ktorá vznikne z matice A vynechaním i-teho riadku a j-teho stĺpca. Je toznovu štvorcová matica a to stupňa n− 1.
Definícia 11. Determinantom štvorcovej matice
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
. . .an1 an2 an3 . . . ann
.
stupňa n je číslo, označené |A|, ktoré sa rovná
1. |A| = a11, ak matica A je stupňa 1, t.j. A = (a11)
2. |A| = a11|A11| − a12|A12|+ a13|A13| − · · ·+ (−1)1+na1n|A1n|, ak matica jestupňa n > 1.
Podľa definície determinant matice druhého stupňa je
|A| =∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11|A11| − a12|A12| = a11a22 − a12a21 (B.1)
Vzorec pre determinant matice druhého stupňa si môžeme zapamätať tak, že odsúčinu prvkov na hlavnej diagonále odčítame súčin prvkov na vedľajšej diagonále.Nech matica A je štvorcová tretieho stupňa
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
.
Potom jej determinantom podľa definície je
|A| = a11|A11| − a12|A12|+ a13|A13| =
a11
∣∣∣∣ a22 a23
a32 a33
∣∣∣∣− a12
∣∣∣∣ a21 a23
a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣ a21 a22
a31 a32
∣∣∣∣Pre výpočet determinantov druhého stupňa použijeme vzorec (B.1). Dostaneme
|A| = a11(a22a33 − a32a23)− a12(a21a33 − a31a23) + a13(a21a32 − a31a22) =
= a11a22a33 − a11a32a23 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31
38 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
Posledný vzorec je dlhý a ťažko sa pamätá. Všimnime si preto nasledujúci spôsobvýpočtu determinantu matice tretieho stupňa. K stĺpcom matice A pripíšme prvédva stĺpce a utvorme súčiny po troch prvkoch z každého riadku a z každého stĺpcav smere hlavnej diagonály so znamienkom + a v smere vedľajšej diagonály soznamienkom − a výsledok sčítajme.Tento spôsob výpočtu determinantu matice tretieho stupňa sa volá Sarrusovopravidlo. ∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
+++−−−
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − (a12a21a33 + a11a23a32 + a13a22a31)
Pre determinant matice stupňa n > 3 neexistuje pravidlo podobné Sarrusovmupravidlu.V ďalšom budeme predpokladať, že všetky uvedené matice sú štvorcové stupňa n.
Veta 2. Nech A a AT sú dve vzájomne transponované matice. Potom ichdeterminanty sú rovnaké.
Veta 3. Pre determinant štvorcovej matice stupňa n platí
a) |A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ · · ·+ +(−1)i+nain|Ain| =n∑
j=1
(−1)i+jaij|Aij|, kde i = 1, 2, . . . , n (rozvoj determinantu podľa
prvkov i-teho riadku)
b) |A| = (−1)1+ja1j|A1j|+ (−1)2+ja2j|A2j|+ · · ·+ +(−1)n+janj|Anj| =n∑
i=1
(−1)i+jaij|Aij|, kde j = 1, 2, . . . , n (rozvoj determinantu podľa
prvkov j-teho stĺpca)
Veta 4. Nech matica B vznikne z matice A tak, že k niektorému jej riadku(stĺpcu) pripočítame k-násobok iného riadku (stĺpca). Potom |A| = |B|.
Táto veta nám umožní jednoduchší výpočet determinantu ako podľa definície.Riadky (stĺpce) matice vynásobíme vhodnými číslami a pripočítame ich k inýmriadkom(stĺpcom) tak, aby sme v niektorom riadku(stĺpci) dostali čo najviac núl.Determinant potom rozvinieme podľa tohoto riadku(stĺpca).
Veta 5. Pre determinant matice platia nasledujúce tvrdenia:
Determinant matice. Hodnosť matice 39
1. Ak všetky prvky niektorého riadku(stĺpca) matice A sa rovnajú nule, potom|A| = 0.
2. Ak matica A má dva rovnaké riadky(stĺpce), potom |A| = 0.
3. Nech matica B vznikne z matice A tak, že vymeníme navzájom dva riadky(stĺpce) matice A. Potom platí |A| = −|B|.
4. Ak v matici A vynásobíme ľubovoľný riadok(stĺpec) číslom c, tak determinantmatice, ktorú dostaneme sa rovná c-násobku determinantu matice A.
Definícia 12. Štvorcová matica A, ktorej determinant |A| 6= 0, sa nazývaregulárna matica.
Definícia 13. Nech A je štvorcová matica. Maticu X, pre ktorú platí
AX = XA = E
nazývame inverznou maticou k matici A a označujeme A−1.
Veta 6 (O výpočte inverznej matice). K štvorcovej matici A existujeinverzná matica A−1 vtedy a len vtedy, ak A je regulárna matica a platí
A−1 =1
|A|
D11 D21 D31 . . . Dn1
D12 D22 D32 . . . Dn2
. . .D1n D2n D3n . . . Dnn
,
kde Dij = (−1)i+j|Aij|, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n.
Definícia 14. Považujme riadky (stĺpce) matice A typu m× n za aritmetickévektory (definícia 1, definícia 4). Potom hodnosť matice A je maximálny počet jejlineárne nezávislých riadkov (stĺpcov). Označuje sa h(A). Dve matice A, B
rovnakého typu, ktoré majú rovnakú hodnosť sa nazývajú ekvivalentné, čooznačujeme A ∼ B.
Veta 7. Pre hodnosť matice platia nasledujúce tvrdenia:
1. Ak A je matica typu m× n, potom h(A) ≤ min{m, n}
2. Hodnosť matice sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak matica je nulová
40 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
3. Hodnosť matice A sa rovná hodnosti matice AT .
Veta 8. Hodnosť matice A sa nezmení, ak vykonáme niektorú z nasledujúcichoperácií:
• vymeníme navzájom ľubovoľné dva riadky(stĺpce) v matici A
• vynásobíme ľubovoľný riadok(stĺpec) matice A nenulovým číslom
• k ľubovoľnému riadku(stĺpcu) matice A pripočítame k-násobok inéhoriadku(stĺpca)
• vynecháme jeden z dvoch rovnakých riadkov(stĺpcov) matice A
• vynecháme nulový riadok(stĺpec) matice A.
Veta 9. Hodnosť matice, ktorá má trojuholníkový stupňovitý tvar (t.j. aij = 0 prei > j - alebo inak, všetky prvky pod hlavnou diagonálou sú rovné nule), sa rovnápočtu jej nenulových riadkov.
Definícia 15. Nech A je ľubovoľná matica. Submaticou matice A nazývameštvorcovú maticu, ktorá vznikne z matice A vynechaním niekoľkých riadkov astĺpcov (prípadne žiadnych). Determinant submatice r-tého stupňa sa nazývaminor stupňa r.
Veta 10. Hodnosť matice A je číslo h(A) vtedy a len vtedy, ak existuje nenulovýminor stupňa h(A) matice A a všetky minory matice A vyšších stupňov ako h(A)
sú rovné nule.
Veta 11. Nech A je štvorcová matica n-tého stupňa. Potom nasledujúce výrokysú ekvivalentné
1. Riadky(stĺpce) matice A sú lineárne závislé
2. |A| = 0
3. h(A) < n.
Riešené príklady 41
Riešené príkladyPríklad 7. Vypočítajme determinant∣∣∣∣∣∣
1 2 −33 5 −12 −1 1
∣∣∣∣∣∣ .Riešenie: Determinant vypočítame pomocou Sarrusovho pravidla∣∣∣∣∣∣
1 2 −3 1 23 5 −1 3 52 −1 1 2 −1
= 1 · 5 · 1 + 2 · (−1) · 2 + (−3) · 3 · (−1)−
− 2 · 3 · 1− 1 · (−1) · (−1)− (−3) · 5 · 2 = 33.
Príklad 8. Vypočítajme determinant
D =
∣∣∣∣∣∣1 7 43 2 06 5 0
∣∣∣∣∣∣ .Riešenie: Po použití vety o rozvoji determinantu podľa prvkov tretieho stĺpcadostaneme
D = (−1)1+3 · 4∣∣∣∣ 3 2
6 5
∣∣∣∣+ (−1)2+3 · 0∣∣∣∣ 1 7
6 5
∣∣∣∣+ (−1)3+3 · 0∣∣∣∣ 1 7
3 2
∣∣∣∣ =
= 4
∣∣∣∣ 3 26 5
∣∣∣∣ = 4(3 · 5− 6 · 2) = 4(15− 12) = 12
Pri použití rozvoja determinantu je najvýhodnejšie vybrať riadok resp. stĺpecmatice, ktorý obsahuje najviac núl.
Príklad 9. Vypočítajme determinant
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 −12 0 −3 41 1 1 1
−2 −1 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ .Riešenie: Urobíme rozvoj determinantu D podľa prvkov tretieho stĺpca (obsahujenajviac núl).
D = (−1)1+3 · 0
∣∣∣∣∣∣2 0 41 1 1
−2 −1 2
∣∣∣∣∣∣+ (−1)2+3 · (−3)
∣∣∣∣∣∣1 2 −11 1 1
−2 −1 2
∣∣∣∣∣∣++ (−1)3+3 · 1
∣∣∣∣∣∣1 2 −12 0 4
−2 −1 2
∣∣∣∣∣∣+ (−1)4+3 · 0
∣∣∣∣∣∣1 2 −12 0 41 1 1
∣∣∣∣∣∣ =
= 0 + 3(−6)− 18 + 0 = −36
42 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
Druhý a tretí determinant v rozvoji sme vypočítali pomocou Sarrusovho pravidla.
Príklad 10. Vypočítajme determinant
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1 2 32 1 0 −1 −1
−2 3 1 2 −13 1 −1 0 −21 1 −1 −1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
Riešenie: Determinant upravíme tak, aby v poslednom riadku boli štyri nuly.Podľa vlastností determinantov (ktoré nemenia hodnotu determinantov) budemepostupovať takto: prvý stĺpec, vynásobený (-1), pripočítame k druhému stĺpcu aprvý stĺpec postupne pripočítame k tretiemu, štvrtému a piatemu stĺpcu.
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1 2 32 1 0 −1 −1
−2 3 1 2 −13 1 −1 0 −21 1 −1 −1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
(−1)
(1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 2 3 42 −1 2 1 1
−2 5 −1 0 −33 −2 2 3 11 0 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
Takto vzniknutý determinant rozvinieme podľa prvkov posledného riadku
D = (−1)5+1 · 1
∣∣∣∣∣∣∣∣−2 2 3 4−1 2 1 1
5 −1 0 −3−2 2 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣V tomto determinante druhý riadok, vynásobený (-3), pripočítame k prvému,potom k poslednému riadku a urobíme rozvoj podľa prvkov tretieho stĺpca
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣−2 2 3 4−1 2 1 1
5 −1 0 −3−2 2 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣(−3)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣1 −4 0 1
−1 2 1 15 −1 0 −31 −4 0 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= (−1)2+3 · 1
∣∣∣∣∣∣1 −4 15 −1 −31 −4 −2
∣∣∣∣∣∣
Riešené príklady 43
Pre výpočet tohto determinantu už môžeme použiť Sarrusovo pravidlo
D = (−1)(2 + 12 + 20 + 1− 12− 40) = (−1)(−57) = 57.
Príklad 11. Nájdite inverznú maticu k matici A =
2 1 −11 0 11 1 −1
.
Riešenie: Pomocou Sarrusovho pravidla dostaneme, že determinant matice A je−1. Pretože determinant matice je rôzny od nuly, matica A je regulárna a tedaexistuje k nej inverzná matica.
D11 = (−1)1+1|A11| =∣∣∣∣ 0 1
1 −1
∣∣∣∣ = −1
D12 = (−1)1+2|A12| = −∣∣∣∣ 1 1
1 −1
∣∣∣∣ = 2
D13 = (−1)1+3|A13| =∣∣∣∣ 1 0
1 1
∣∣∣∣ = 1
D21 = (−1)2+1|A21| = −∣∣∣∣ 1 −1
1 −1
∣∣∣∣ = 0
D22 = (−1)2+2|A22| =∣∣∣∣ 2 −1
1 −1
∣∣∣∣ = −1
D23 = (−1)2+3|A23| = −∣∣∣∣ 2 1
1 1
∣∣∣∣ = −1
D31 = (−1)3+1|A31| =∣∣∣∣ 1 −1
0 1
∣∣∣∣ = 1
D32 = (−1)3+2|A32| = −∣∣∣∣ 2 −1
1 1
∣∣∣∣ = −3
D33 = (−1)3+3|A33| =∣∣∣∣ 2 1
1 0
∣∣∣∣ = −1
Podľa vety o výpočte inverznej matice máme
A−1 =1
−1
−1 0 12 −1 −31 −1 −1
=
1 0 −1−2 1 3−1 1 1
.
Príklad 12. Vyriešme maticovú rovnicu XA = B s neznámou maticou X, ak
A =
(3 12 5
), B =
(6 −11
−3 −1
).
Riešenie: Keďže determinant matice A je 13, matica A je regulárna a tedaexistuje k nej inverzná matica A−1 :
A−1 =1
13
(5 −1
−2 3
)
44 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
Rovnicu XA = B vynásobíme maticou A−1 sprava a upravíme
XA = B/ ·A−1
XAA−1 = BA−1
XE = BA−1
X = BA−1
Odtiaľ
X =
(6 −11
−3 −1
)· 1
13
(5 −1
−2 3
)=
1
13
(52 −39
−13 0
)=
(4 −3
−1 0
)Riešením danej maticovej rovnice je teda matica X =
(4 −3
−1 0
).
Príklad 13. Vypočítajme hodnosť matice A =
2 1 1 11 3 1 11 1 1 51 1 4 11 2 3 41 10 1 1
.
Riešenie: Vymeníme riadky za stĺpce, t.j. napíšeme transponovanú maticu, apostupne upravujeme na trojuholníkový tvar
2 1 1 1 1 11 3 1 1 2 101 1 1 4 3 11 1 5 1 4 1
∼
1 1 2 1 1 11 3 1 1 2 101 1 1 4 3 15 1 1 1 4 1
(−1) (−5)
∼
∼
1 1 2 1 1 10 2 −1 0 1 90 0 −1 3 2 00 −4 −9 −4 −1 −4
(2) ∼
1 1 2 1 1 10 2 −1 0 1 90 0 −1 3 2 00 0 −11 −4 1 14
(−11)∼
∼
1 1 2 1 1 10 2 −1 0 1 90 0 −1 3 2 00 0 0 −37 −21 14
Hodnosť danej matice je 4 (=počet nenulových riadkov matice upravenej použitímúprav z vety 8 z 40. strany do trojuholníkového stupňovitého tvaru).
Riešené príklady 45
Príklad 14. Vypočítajme hodnosť matice A =
3 5 71 2 31 3 5
.
Riešenie: Pomocou ekvivalentných úprav (nemenia hodnosť matice) upravímematicu na trojuholníkový stupňovitý tvar
3 5 71 2 31 3 5
(1)∼
4 8 121 2 31 3 5
(: 4)
∼
1 2 31 2 31 3 5
Vynecháme jeden z dvoch rovnakých riadkov a pokračujeme(
1 2 31 3 5
)(−1) ∼
(1 2 30 1 2
)
Počet nenulových riadkov poslednej (ekvivalentnej) matice, upravenej dotrojuholníkového stupňovitého tvaru je 2, preto podľa vety hodnosť pôvodnejmatice h(A) = 2.
Príklad 15. Vypočítajme hodnosť štvorcovej matice A =
1 2 3−1 2 4
2 1 2
.
Riešenie: Determinant danej matice (pomocou Sarrusovho pravidla) je|A| = −11 rôzny od nuly. Preto podľa vety 10 riadky matice sú lineárne nezávisléa hodnosť matice je h(A) = 3.
46 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
ÚlohyV úlohách 1 - 10 vypočítajte determinanty
1. a)
∣∣∣∣ 3 47 5
∣∣∣∣b)
∣∣∣∣ 3 4−5 8
∣∣∣∣c)
∣∣∣∣ −1 −3−2 5
∣∣∣∣d)
∣∣∣∣ 1 +√
3 3−√
5
3 +√
5 1−√
3
∣∣∣∣2. a)
∣∣∣∣ x− y x + yx + y x− y
∣∣∣∣b)
∣∣∣∣ a− 2 a + 2b− 2 b + 2
∣∣∣∣c)
∣∣∣∣ cos x sin xsin x cos x
∣∣∣∣d)
∣∣∣∣ a + 1 aa a− 1
∣∣∣∣3. a)
∣∣∣∣∣∣1 2 32 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣b)
∣∣∣∣∣∣5 6 33 5 66 3 5
∣∣∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣1 2 −41 3 −91 5 −25
∣∣∣∣∣∣d)
∣∣∣∣∣∣2 −1 11 2 −11 −1 2
∣∣∣∣∣∣4. a)
∣∣∣∣∣∣2 1 35 3 21 4 3
∣∣∣∣∣∣b)
∣∣∣∣∣∣3 4 −58 7 −22 −1 8
∣∣∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣1 3 72 0 16 −2 2
∣∣∣∣∣∣d)
∣∣∣∣∣∣3 0 33 3 00 3 3
∣∣∣∣∣∣5. a)
∣∣∣∣∣∣0√
2√
3
−1√
6√
10
−√
2√
3√
2
∣∣∣∣∣∣b)
∣∣∣∣∣∣−2 3 7−1 2 1−4 5 19
∣∣∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣2 5 0
−1 7 14 1 −4
∣∣∣∣∣∣d)
∣∣∣∣∣∣1 1 −1
−4 −6 6−3 −3 4
∣∣∣∣∣∣6. a)
∣∣∣∣∣∣∣∣3 1 1 11 3 1 11 1 3 11 1 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣b)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20
∣∣∣∣∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣−2 1 1 1
8 3 1 11 1 3 14 1 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣d)
∣∣∣∣∣∣∣∣5 3 2 4
10 2 −2 10−5 6 8 5
0 1 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
Úlohy 47
7. a)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 −1 1 12 2 −2 21 1 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣b)
∣∣∣∣∣∣∣∣4 4 5 62 5 4 65 5 8 73 −3 −2 −5
∣∣∣∣∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣d)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 −1 −22 1 1 11 −1 −1 11 2 2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣8. a)
∣∣∣∣∣∣∣∣9 3 3 33 3 6 63 1 0 13 0 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣b)
∣∣∣∣∣∣∣∣3 1 1 −21 3 1 81 1 3 11 1 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣0 −1 2 −21 0 1 81 −1 0 10 −3 2 4
∣∣∣∣∣∣∣∣d)
∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 −1 21 0 −1 52 2 2 2
−1 −1 0 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣9. a)
∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1 2 33 2 −1 0
−9 4 1 −5−2 3 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣b)
∣∣∣∣∣∣∣∣2 0 3 1
−1 3 2 −23 1 −2 −34 −1 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 −5 3 03 4 −1 2
−3 −1 −2 12 9 −2 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣d)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 31 1 3 11 3 1 13 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
10. a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 1 1 11 3 1 1 11 1 4 1 11 1 1 5 1
−1 −1 −1 −1 −6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 4 52 3 4 5 53 4 5 5 34 5 5 5 55 5 5 5 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1 11 0 −1 0 20 −1 −1 −2 −3
−3 0 1 1 00 0 3 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 0 52 1 −1 3 41 0 0 0 73 1 −1 4 15 −2 3 6 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣11. Zistite všetky hodnoty parametra p, pre ktoré daná matica nie je regulárna
a)
p 0 −2−1 5 3
2 p 1
b)
0 −2 p5 3 −1p 1 2
48 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
c)
−3 1 21 2 p5 p 0
d)
−2 3 1p −1 20 5 p
12. Na základe vlastností determinantu ukážte, že ich hodnota je nula
a)
∣∣∣∣∣∣0 0 0
−2 1 34 1 2
∣∣∣∣∣∣b)
∣∣∣∣∣∣1 2 0
−1 3 09 4 0
∣∣∣∣∣∣c)
∣∣∣∣∣∣2 −1 12 −1 13 3 4
∣∣∣∣∣∣d)
∣∣∣∣∣∣1 1 2
−1 −1 31 1 4
∣∣∣∣∣∣
e)
∣∣∣∣∣∣4 2 62 1 30 −8 −2
∣∣∣∣∣∣f)
∣∣∣∣∣∣2 −6 22 −6 0
−3 9 2
∣∣∣∣∣∣g)
∣∣∣∣∣∣1 −1 23 2 1
−1 −4 3
∣∣∣∣∣∣h)
∣∣∣∣∣∣x y 2x + 3y
2x 3y 4x + 9y3x 2y 6x + 6y
∣∣∣∣∣∣V úlohách 13 - 16 k uvedeným maticiam nájdite inverzné matice
13. a)
(1 22 2
)b)
(a bc d
) c)
(1 23 4
)d)
(2 3
−1 0
)
14. a)
1 0 03 1 00 3 1
b)
1 1 −1−4 −5 6−3 −3 4
c)
3 2 21 3 15 3 4
d)
3 2 05 4 11 2 5
15. a)
1 1 −21 2 −13 4 −6
b)
1 2 −30 1 20 0 1
c)
1 2 1−1 1 −1
0 3 2
d)
5 −6 43 −3 24 −5 2
Úlohy 49
16. a)
3 2 12 1 −14 2 −3
b)
0 2 −11 −1 −1
−1 0 2
c)
1 3 33 10 83 8 11
d)
2 −2 20 1 12 −1 4
17. Riešte maticovú rovnicu pre neznámu maticu X
a)
(2 11 0
)X =
(3 21 1
)b)
(−5 2−3 1
)X =
(−12 −5−7 −4
)c) X
(3 52 4
)=
(−1 5−2 6
)d)
(2 34 2
)X
(1 02 1
)=
(7 56 1
)18. Riešte maticovú rovnicu pre neznámu maticu X
a)
1 2 −1−2 3 0−3 5 4
X =
5 −8 712 −7 −332 −8 −12
b)
0 3 12 7 61 2 2
X =
−1 9 0−4 34 13−1 11 5
c) X
1 2 1−1 1 −1
0 3 2
=
1 11 32 7 60 9 2
d) X
5 3 11 −3 −2
−5 2 1
=
−8 3 0−5 9 0−2 15 0
19. Nech sú dané matice
A =
1 0 21 0 11 1 0
a B =
−1 1 11 −1 11 1 −1
.
Vypočítajte neznámu maticu X z rovnice
a) AX + 2B = E
50 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
b) B2 − 3XA = X
c) A2X − 4B = 3AX
20. Riešte maticovú rovnicu AXB = C, ak
a) A =
(3 −1
−5 2
), B =
(−3 2
0 −1
), C =
(4 −32 0
)b) A =
(−2 1
0 −3
), B =
(3 −2
−1 1
), C =
(0 −45 −1
)c) A =
(−3 0
4 −2
), B =
(4 −51 −1
), C =
(2 −34 0
)d) A =
(2 −10 3
), B =
(−3 2
1 −1
), C =
(5 0
−2 4
)V úlohách 21 - 26 nájdite hodnosť matice
21. a)
(1 2
−5 4
)b)
(2 −2 3
−4 4 −6
) c)
(3 0 41 2 −1
)d)
(2 3 16 9 3
)
22. a)
2 4 01 −1 00 2 3
b)
1 2 −13 0 22 −2 3
c)
0 2 −10 −2 10 4 −2
d)
1 −2 3−3 −6 −9
4 8 12
23. a)
1 2 32 −1 11 7 8
b)
1 2 32 1 41 1 1
c)
−1 2 −32 −4 6
−3 6 −9
d)
1 1 −1−4 −5 6−3 −3 4
24. a)
4 2 −3 76 3 2 44 5 2 2
b)
1 1 1 11 −1 −1 11 −1 1 −1
c)
1 −2 1 −11 −2 1 51 −2 1 1
d)
2 −2 3 5−6 −6 9 −3
8 8 12 4
Úlohy 51
25. a)
2 7 73 7 21 3 21 4 7
b)
1 0 3 2
−2 1 0 −1−1 1 3 1−1 2 9 4
c)
1 1 −3 −12 1 −2 11 1 1 31 2 −3 1
d)
2 1 1 21 3 1 51 1 5 −72 3 −3 14
26. a)
3 4 −1 5 −21 5 −2 3 42 −1 1 2 30 11 −5 4 −4
b)
6 2 3 4 −13 1 2 2 −13 1 1 2 06 2 1 4 13 1 2 2 −1
c)
2 2 2 11 3 −1 04 8 0 17 13 1 23 5 1 1
d)
1 −1 0 −1 00 0 1 0 −11 1 −2 1 00 1 −1 1 00 1 0 1 −1
27. Vypočítajte hodnosť matice A pre rôzne hodnoty reálneho čísla x, ak
a) A =
1 3 −2−1 0 4
5 x −14
b) A =
2 0 33 −1 x1 x 5
c) A =
2 1 1 11 3 −2 18x 2 1 53 1 2 −2
d) A =
3 x 10 12 −1 x 35 10 30 −5
28. Vypočítajte determinant a riešte získanú algebraickú rovnicu
a)
∣∣∣∣ 9− x 1212 16− x
∣∣∣∣ = 0
b)
∣∣∣∣ 5− x 22 8− x
∣∣∣∣ = 0
c)
∣∣∣∣∣∣3− x −1 1−1 5− x −1
1 −1 3− x
∣∣∣∣∣∣ = 0
d)
∣∣∣∣∣∣6− x −12 −1
1 −3− x −1−4 12 3− x
∣∣∣∣∣∣ = 0
52 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
Výsledky
1. a) −13 b) 44 c) −11 d) −6
2. a) −4xy b) 4(a− b) c) cos 2x d) −1
3. a) 0 b) 98 c) −6 d) 6
4. a) 40 b) 0 c) −20 d) 54
5. a) 5− 2√
10 b) 0 c) −58 d) −2
6. a) 48 b) 1 c) −92 d) −570
7. a) −16 b) −90 c) −3 d) −9
8. a) −81 b) 52 c) −50 d) 12
9. a) 33 b) 45 c) 33 d) 48
10. a) −394 b) 5 c) −29 d) −2
11. a) p = 4, p = −53
b) p = 4, p = −53
c) p = −4, p = 53
d) p = 4, p = −53
13. a)
(−1 1
1 −12
)b) 1
ad−bc
(d −b
−c a
) c)
(−2 1
32−1
2
)d)
(0 −113
23
)
14. a)
1 0 0−3 1 0
9 −3 1
b)
2 1 −12 −1 23 0 1
c)
95−2
5−4
515
25−1
5
−125
15
75
d) 1
6
18 −10 2−24 15 −3
6 −4 2
15. a)
8 2 −3−3 0 1
2 1 −1
b)
1 −2 70 1 −20 0 1
c) 1
6
5 −1 −32 2 0
−3 −3 3
d) −1
4
4 −8 02 −6 2
−3 1 3
Výsledky 53
16. a)
−1 8 −32 −13 50 2 −1
b)
2 4 31 1 11 2 2
c)
46 −9 −6−9 2 1−6 1 1
d) 1
6
5 8 −22 8 −2
−2 −2 2
17. a)
(1 11 0
)b)
(2 13
−1 35
) c)
(−7 1010 14
)d) 1
8
(18 −7
−20 18
)
18. a)
0 −1 34 −3 13 1 −2
b)
1 1 10 2 −1
−1 3 3
c)
3 2 11 −1 22 2 1
d)
1 2 34 5 67 8 9
19. a)
−7 8 −25 −10 55 −5 0
b)
−9 20 −75 18 55 −10 3
c)
−4 2 −22 −6 22 −4 0
20. a) X = 13
(−10 −2−26 −7
)b) X = 1
6
(8 29
−8 −14
) c) X = 13
(−1 2
4 −26
)d) X = 1
6
(17 384 16
)21. a) 2 b) 1 c) 2 d) 1
22. a) 3 b) 2 c) 1 d) 2
23. a) 2 b) 3 c) 1 d) 3
24. a) 3 b) 3 c) 2 d) 2
25. a) 3 b) 2 c) 4 d) 3
54 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE
26. a) 3 b) 2 c) 2 d) 3
27. a) Ak x = 9, tak h(A) = 2 a ak x 6= 9, tak h(A) = 3
b) Ak x = 1 alebo x = 72, tak h(A) = 2 a ak x ∈ R \
{2, 7
2
}, tak h(A) = 3
c) Ak x = 3, tak h(A) = 2 a ak x 6= 3, tak h(A) = 3
d) Ak x = 2, tak h(A) = 2 a ak x 6= 9, tak h(A) = 3
28. a) 0; 25 b) 4; 9 c) 2; 3; 6 d) 1; 2; 3
C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC 55
C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNÍC
Definícia 1. Systémom m lineárnych algebraických rovníc s n neznámymirozumieme nasledujúci systém rovníc
a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2...
...am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm
kde xi sú neznáme, aij sú koeficienty systému, bi sú absolútne členy alebopravé strany systému.Systém sa nazýva homogénny, ak bi = 0, pre všetky i = 1, 2, . . . ,m anehomogénny, ak existuje aspoň jedno i, pre ktoré bi 6= 0.
K systému lineárnych rovníc možno priradiť nasledujúce matice:
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n...
am1 am2 am3 . . . amn
,
typu m× n, ktorú nazývame maticou systému, a matice
X =
x1
x2...
xn
a B =
b1
b2...
bm
,
typu n× 1 resp. m× 1, X nazývame vektor neznámych a B vektorabsolútnych členov. Potom systém môžeme zapísať v maticovom tvare
AX = B
Definícia 2. Riešením systému lineárnych rovníc nazývame každý vektor
C =
c1
c2
. . .cn
,
pre ktorý platíAC = B.
Systém nazývame riešiteľným, ak má aspoň jedno riešenie. Riešiť systémlineárnych rovníc znamená nájsť všetky jeho riešenia.
56 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC
Vektor riešení budeme písať aj v tvare riadkového vektora
C = (c1; c2; . . . ; cn)
Definícia 3. Nech (s) a (s’) sú 2 systémy lineárnych rovníc. Hovoríme, že tietosystémy sú ekvivalentné, ak každé riešenie systému (s) je zároveň aj riešenímsystému (s’) a naopak.
Veta 1. Nech systém (s’) vznikne zo systému (s) niektorou z nasledujúcich úprav:
1. vzájomnou výmenou dvoch rovníc
2. vynásobením niektorej rovnice nenulovým číslom
3. pripočítaním k-násobku niektorej rovnice k inej rovnici
4. vynechaním alebo pridaním rovnice, ktorá je k-násobkom inej rovnice.
Potom systémy (s) a (s’) sú ekvivalentné. Úpravy 1 -4 sa nazývajúekvivalentnými úpravami systému lineárnych rovníc.
Veta 2 (Riešenie pomocou inverznej matice). Nech je daný systém n lineárnychalgebraických rovníc s n neznámymi tvaru
AX = B (C.1)
(t.j. matica systému je štvorcová). Nech matica A je regulárna (t.j. |A| 6= 0.)Potom vektor
X = A−1B
je jediným riešením systému (C.1).
Veta 3 (Cramerovo pravidlo). Nech je daný systém n lineárnych algebraickýchrovníc s n neznámymi (C.1) a nech matica systému je regulárna. Potom systém(C.1) má jediné riešenie tvaru
(x1; x2; . . . ; xn) =
(D1
D;D2
D; . . . ;
Dn
D
),
kde D = |A| a Di je determinant matice, ktorá vznikne z matice systému A tak, žejej i-ty stĺpec nahradíme stĺpcom absolútnych členov.
Veta 4. Homogénny systém AX = 0 n lineárnych rovníc s n neznámymi máokrem nulového aj nenulové (netriviálne) riešenie vtedy a len vtedy, keď |A| = 0.
C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC 57
Veta 5 (Gaussova eliminačná (vylučovacia) metóda, skr. GEM). Princíp tejtometódy spočíva v nasledujúcom. Nech je daný systém lineárnych rovníc. Vhodnénásobky prvej z rovníc pripočítame k ostatným rovniciam tak, aby sa v nich tá istáneznáma (napr. x1) vylúčila. Potom prvú rovnicu vynecháme a ten istý postupopakujeme so zvyšujúcim systémom rovníc. Takto pokračujeme, kým sa dá. Aknám pri týchto úpravách vznikne (alebo sa vyskytuje už v začiatočnom systéme)rovnica tvaru
0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 0
vynecháme ju zo systému. Ak vznikne (alebo v pôvodnom systéme už je) rovnicatvaru
0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = c, c 6= 0
systém je neriešiteľný. Uvedenými úpravami nám vznikne systém rovníc,z poslednej rovnice ktorého ľahko vypočítame niektorú z neznámych (prípadnepomocou iných neznámych). Tento výsledok dosadíme do predposlednej rovnice,vypočítame ďalšiu neznámu, atď. Pritom sa môže stať, že niektoré neznáme možnozvoliť ľubovoľne.V opísanej metóde všetky uskutočnené úpravy sa prejavujú len v zmenáchkoeficientov a absolútnych členov systému. Preto uvedený postup možno
”zautomatizovať“ tak, že stačí robiť úpravy len s istou maticou a netreba odpisovaťneznáme. Utvorme z matice systému a z matice absolútnych členov maticu
a11 a12 a13 . . . a1n b1
a21 a22 a23 . . . a2n b2
. . .am1 am2 am3 . . . amn bm
,
typu m× (n + 1), ktorú nazývame rozšírenou maticou systémua označujeme A.
Veta 6 (Frobeniova veta). Systém lineárnych rovníc má riešenie vtedy a len vtedyak hodnosť matice systému sa rovná hodnosti jeho rozšírenej matice, t.j.h(A) = h(A).
Platí:
1. h(A) 6= h(A) ⇒ SLR je neriešiteľný
2. h(A) = h(A) = n(počet neznámych)⇒ SLR má jediné riešenie
3. h(A) = h(A) < n ⇒ SLR má nekonečne veľa riešení a rozdieln− h(A) určuje počet parametrov.
58 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC
Riešené príkladyPríklad 1. Postupným vylučovaním (eliminovaním) neznámych pomocouekvivalentných úprav riešme systém rovníc
2x1 + x2 + x3 = 2x1 + 3x2 + x3 = 5x1 + x2 + 5x3 = −7
2x1 + 3x2 − 3x3 = 14
Riešenie: vymeňme prvú a druhú rovnicu, čím dosiahneme, že vedúci prvokprvého riadku bude 1 a vyhneme sa neskôr počítaniu so zlomkami. V tomtoekvivalentnom systéme vynásobme prvú rovnicu číslom (−2) a pripočítajme kdruhej rovnici, potom vynásobme prvú rovnicu číslom (−1) a pripočítajme k tretejrovnici. Nakoniec prvú rovnicu vynásobme číslom (−2) a pripočítajme k poslednejrovnici. Dostaneme nasledujúci systém rovníc, ktorý bude podľa vety ekvivalentnýs pôvodným systémom
x1 + 3x2 + x3 = 50x1 − 5x2 − x3 = −80x1 − 2x2 + 4x3 = −120x1 − 3x2 − 5x3 = 4
Tento systém má iba v prvej rovnici premennú x1, z ostatných rovníc sme tútopremennú vylúčili. Analogicky vylúčime premennú x2. K tomu by bolo výhodné,aby koeficient pri neznámom x2 v niektorej rovnici bol číslo 1. Preto vydeľmetretiu rovnicu číslom (−2) a druhú rovnicu číslom (−1) a vymeňme ich poradie.Dostaneme ekvivalentný systém
x1 + 3x2 + x3 = 5x2 − 2x3 = 6
5x2 + x3 = 8− 3x2 − 5x3 = 4
Vynásobme druhú rovnicu posledného systému číslom (−5) a pripočítajme k tretejrovnici, potom druhú rovnicu vynásobenú číslom 3 pripočítajme k poslednejrovnici. Dostaneme ekvivalentný systém
x1 + 3x2 + x3 = 5x2 − 2x3 = 6
0x2 + 11x3 = −220x2 − 11x3 = 22
Posledná rovnica je (−1) násobok predchádzajúcej rovnice, preto podľa vety jumôžeme vynechať. Takže ekvivalentný systém s pôvodným systémom bude mať
Riešené príklady 59
tvarx1 + 3x2 + x3 = 5
x2 − 2x3 = 6+ 11x3 = −22
Z poslednej rovnice tohto systému, ktorá je rovnicou s jednou nenámou, dostanemex3 = −2. Dosadením do druhej rovnice dostaneme opäť rovnicu s jednouneznámou, riešenie ktorej je x2 = 2. Po dosadení do prvej rovnice za x3 = −2
a x2 = 2 znovu dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorej vyhovuje jediné číslox1 = 1. Teda posledný systém a s ním ekvivalentný pôvodný systém má jedinériešenie
(x1; x2; x3) = (1; 2;−2).
Príklad 2. Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy vyriešme systém lineárnychrovníc
x1 − 2x2 + 2x3 = −93x1 + 5x2 + 4x3 = 105x1 + 12x2 + 6x3 = 29
Riešenie: Napíšeme rozšírenú maticu systému 1 −2 2 −93 5 4 105 12 6 29
Prvú rovnicu systému vynásobenú číslom (−3) resp. (−5) pripočítajme k druhejresp. tretej rovnici, čo môžeme symbolicky zapísať v tvare
1 −2 2 −93 5 4 105 12 6 29
(−5)(−3)
∼
1 −2 2 −90 11 −2 370 22 −4 74
Po vynechaní tretej rovnice, ktorá je 2-násobkom druhej rovnice dostanemeekvivalentný systém (
1 −2 2 −90 11 −2 37
).
Maticu A (a zároveň aj A) sme teda pomocou ekvivalentných úprav upravili natrojuholníkový stupňovitý tvar a ako vidíme
h(A) = h(A) = 2 < 3(počet neznámych).
60 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC
Z Frobeniovej vety vyplýva, že daný systém lineárnych rovníc má nekonečne veľariešení a počet parametrov je 3− 2 = 1.
Poslednej matici odpovedá nasledovný systém lineárnych rovníc:
x1 − 2x2 + 2x3 = −911x2 − 2x3 = 37
Vidíme, že po postupnom vylúčení premenných posledná rovnica je rovnicous dvoma neznámymi. Preto jednu premennú volíme ako parameter, ktorý môženadobúdať ľubovoľnú reálnu hodnotu. Položme
x3 = t, t ∈ R
Z poslednej rovnice dostaneme
x2 =37 + 2x3
11=
37 + 2t
11
a po dosadení do prvej rovnice dostaneme
x1 = −9 + 2x2 − 2x3 = −9 + 237 + 2t
11− 2t = −25 + 18t
11
Riešením systému lineárnych rovníc je usporiadaná trojica čísel
(x1; x2; x3) =
(−25 + 18t
11;37 + 2t
11; t
); t ∈ R.
Príklad 3. Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy vyriešme systém lineárnychrovníc
x1 + x2 − x3 = −12x1 − x2 + x3 = 43x1 − 7x2 − 2x3 = −12x1 + 5x2 + x3 = 1
Riešenie: Napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou ekvivalentných úpravupravíme na trojuholníkový stupňovitý tvar (t.j. na tvar keď pod hlavnoudiagonálou sú nuly a na hlavnej diagonále sú čísla rôzne od nuly):
1 1 −1 −12 −1 1 43 −7 −2 −12 5 1 1
(−2)(−3)(−2)
∼
1 1 −1 −10 −3 3 60 −10 1 20 3 3 3
: 3
: 3
∼
Riešené príklady 61
∼
1 1 −1 −10 −1 1 20 −10 1 20 1 1 1
(−10)(1) ∼
1 1 −1 −10 −1 1 20 0 −9 −180 0 2 3
(29) ∼
∼
1 1 −1 −10 −1 1 20 0 −9 −180 0 0 −1
Maticu A (a zároveň aj A) sme opäť upravili na trojuholníkový stupňovitý tvara ako vidíme h(A) 6= h(A). Z Frobeniovej vety vyplýva, že daný systém lineárnychrovníc nie je riešiteľný. (Posledná rovnica ekvivalentného systému
0x1 + 0x2 + 0x3 = −1
totiž nemá riešenie a preto ani celý posledný systém resp. s ním ekvivalentnýpôvodný systém nemá riešenie).
Príklad 4. Riešme systém lineárnych rovníc
3x1 + 2x2 = 125x1 + 4x2 + x3 = 27x1 + 2x2 + 5x3 = 33
pomocou inverznej matice.
Riešenie: Matica systému je regulárna, lebo jej determinant |A| = 6, pretoexistuje k nej inverzná matica, ktorú možno nájsť podľa vety o výpočte inverznejmatice (veta 6):
A−1 =1
6
18 −10 2−24 15 −3
6 −4 2
Potom máme x1
x2
x3
=1
6
18 −10 2−24 15 −3
6 −4 2
·
122733
=
235
Príklad 5. Riešme systém lineárnych rovníc
3x1 + x3 = 22x1 + 2x2 + 3x3 = 3x1 − x2 − x3 = −1
pomocou Cramerovho pravidla.
62 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC
Riešenie:
D = |A| =
∣∣∣∣∣∣3 0 12 2 31 −1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −1
D1 =
∣∣∣∣∣∣2 0 13 2 3
−1 −1 −1
∣∣∣∣∣∣ = 1
D2 =
∣∣∣∣∣∣3 2 12 3 31 −1 −1
∣∣∣∣∣∣ = 5
D3 =
∣∣∣∣∣∣3 0 22 2 31 −1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −5
Na základe vety 3 daný systém má jediné riešenie
(x1; x2; x3) =
(1
−1;
5
−1;−5
−1
)= (−1;−5; 5).
Úlohy 63
Úlohy1. Zistite, či vektor X je riešením systému lineárnych rovníc
a)2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 1
− 3x1 + x2 − x3 + 5x4 = 10x1 + x2 + x3 + x4 = 2
keď X = (1;−2; 0; 3)
b)
2x + 2y + z = 4x − z = 2x + y = 1
y + z = 5keď X = (4;−3; 2)
c)37x1 − x2 + 5x3 + 7x4 − 2x5 = 37
− 2x1 + x2 − 17x3 + 8x4 = −23x1 − 4x3 + 5x4 + x5 = 3
keď X = (0; 0; 0; 0; 0)
d)5x − 6y + z = 08x + 11y = 0
− x + 12z = 0keď X = (0; 0; 0)
2. Nájdite čísla p, r, s ∈ R tak, aby vektor (1; 2; 1; 3) bol riešením systémulineárnych rovníc
px1 + 4x2 + 2x3 − 3x4 = 52px1 + x2 + rx3 + 4x4 = 2
x1 − 3x2 − 2rx3 + sx4 = 20
3. Zistite, či množina M je množina riešení daného systému lineárnych rovníc
a)x − y − 3z = 5
3x − 2y + 4z = −84x − 3y + z = −3
,
M = {(−18− 10t;−23− 13t; t); t ∈ R}
b)x1 − 7x2 + 2x4 = 0
2x1 − 3x2 + x3 − 4x4 = 0,
M = {(2t; 0; 1; t); t ∈ R}
V úlohách 4 - 6 riešte systém lineárnych rovníc pomocou inverznej matice
4. a)x1 + x2 − x3 = 2
2x1 + x2 − x3 = 3x1 + x3 = 0
64 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC
b)x1 + 2x2 + 2x3 = 0
2x1 + 2x2 − x3 = 1x1 − 2x2 + 2x3 = 2
c)x1 + x2 − 2x3 = 0
3x1 + 4x2 − 6x3 = 1x1 + 2x2 − x3 = 2
d)x1 − 2x2 − x3 = 0x1 − 2x3 = −5
2x1 − x2 − x3 = −3
5. a)x1 + 2x2 + 4x3 = 31
5x1 + x2 + 2x3 = 293x1 − x2 + x3 = 10
b)x1 + 2x2 + 3x3 = 14x1 + x2 + x3 = 6x1 + x2 = 3
c)x1 + 2x2 + x3 = 7
− x1 + x2 − x3 = −13x2 + 2x3 = 10
d)5x1 − 6x2 + 4x3 = 74x1 − 5x2 + 2x3 = 43x1 − 3x2 + 2x3 = 5
6. a)2x1 − x2 + 2x3 = 4
− x1 + 3x3 = 173x1 + x2 + x3 = 1
b)4x1 + 2x2 − 3x3 = 93x1 + 2x2 + x3 = 112x1 + x2 − x3 = 5
c)3x1 + x2 + x3 = −7x1 + 2x2 = −6
x2 + x3 = −1
d)x1 + 2x2 − x3 = −2
2x1 − 3x2 = −16− 3x1 + 5x2 + 4x3 = 29
V úlohách 7 - 9 riešte systém lineárnych rovníc pomocou Cramerovej vety
7. a)2x1 + 3x2 + 2x3 = 9x1 + 2x2 − 3x3 = 14
3x1 + 4x2 + x3 = 16
Úlohy 65
b)3x1 + 4x2 = 11
5x2 + 6x3 = 28x1 + x3 = 4
c)2x1 + 3x2 + x3 = 4x1 + 2x2 + 2x3 = 6
5x1 + x2 + 4x3 = 21
d)x1 − x2 + 2x3 = −1
2x1 − 3x2 + x3 = 5x1 + 6x2 − 2x3 = 0
8. a)2x1 + 2x2 − 3x3 = −6x1 + x2 + x3 = 2
3x1 + x3 = 3
b)2x1 + 5x2 − 2x3 = 42x1 + x2 = 23x1 − x2 + 4x3 = −1
c)x1 + 2x2 + x3 = 2x1 + x2 − x3 = 0
3x1 + 2x2 − x3 = 1
d)2x1 + 3x2 + x3 = −7x1 − 2x2 + 2x3 = 5
3x1 + 2x2 − 4x3 = −11
9. a)x1 + 2x2 + 4x3 = 3x1 − x2 − 2x3 = 3x1 + 2x2 + 2x3 = 2
b)x1 + 2x2 + 2x3 = 5
2x1 + 7x2 + 6x3 = 123x2 + x3 = 1
c)x1 + x2 − x3 = −2x1 − 4x2 + 2x3 = −1x1 − x2 + x3 = 0
d)7x1 − 3x2 + x3 = 163x1 − 5x2 − 2x3 = −3x1 − 2x2 + x3 = 0
V úlohách 10 - 14 riešte systém lineárnych rovníc pomocou Gaussovej eliminačnejmetódy
10. a)
x1 − 3x2 − 4x3 − 2x4 = −32x1 − 2x2 − 2x3 − x4 = 02x1 − 3x2 − 3x3 − 2x4 = −13x1 − 4x2 − 3x3 − 2x4 = 2
66 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC
b)
x1 + x3 = 03x1 + 5x2 + 7x3 = 0
− x2 + 5x3 = 05x1 + 2x2 + x3 = 0
c)
7x1 − x2 = 62x1 + x2 + x3 = 5x1 − x3 = −1
3x1 + x2 = 4
d)3x1 + x2 − x3 = 15x1 + 5x2 − 3x3 = 0x1 − x2 + x3 = 2
11. a)
2x1 + x2 − x3 + x4 = 22x1 − x2 + 2x3 = 23x1 + x3 − x4 = 22x1 + x2 − x3 = 1
b)x1 + 2x2 − 3x3 = 3
3x1 − 4x2 + 5x3 = 32x1 + 5x2 − 7x3 = 7
c)3x1 + x2 + 2x3 = 7x1 + 2x2 − x3 = −1
2x2 + x3 = 2
d)3x1 + 2x2 + x3 = 34x1 + 2x2 − 3x3 = 72x1 + x2 − x3 = 5
12. a)
x1 + x2 − 2x3 = −12x1 − x2 + x3 = 43x1 − 7x2 − 2x3 = −1
− 2x1 + 5x2 + x3 = 1
b)x1 + 2x3 = 3
2x1 + x2 + x3 = 1x1 + 2x3 = 1
c)3x1 − 5x2 + 2x3 + 4x4 = 27x1 − 4x2 + x3 + 3x4 = 55x1 + 7x2 − 4x3 − 6x4 = 3
d)
x1 + x2 + 3x3 = 12x1 + x2 − 2x3 = 1x1 + 2x2 − 3x3 = 1x1 + x2 + x3 = 3
Úlohy 67
13. a)x1 + 2x2 + x3 − x4 = 0
3x1 + 7x2 − 2x3 − 2x4 = 02x1 + 5x2 − x3 − x4 = 0
b)
2x1 − x2 + x3 − 2x4 = −2− 3x1 − 2x2 + 2x3 − 2x4 = −18
x1 + x2 − x3 + 2x4 = 8− 2x1 − x2 + x3 = −10
c)
7x1 + 4x2 + 3x3 + 5x4 = 03x1 + 2x2 + 5x3 − x4 = 0x1 + x2 + 6x3 − 4x4 = 0
9x1 + 7x2 + 28x3 − 14x4 = 0
d)
− 2x1 + 2x2 − 2x3 − 6x4 = −8x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 = 1− 5x2 − 5x3 = 5
x1 + 3x2 + 5x3 + 3x4 = 0
14. a)2x1 + 2x2 + 6x3 = 04x1 + 4x2 + 12x3 = 0x1 + x2 + 3x3 = 0
b)2x1 + x2 + x3 = 03x1 − x2 − 6x3 = 0x1 − x3 = 0
c)2x1 − x2 + x3 − 5x4 = 04x1 − 2x2 + 7x3 + 5x4 = 02x1 − x2 + 5x3 + 7x4 = 0
d)
x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 0x1 + 3x2 − 3x4 = 0− 7x2 + 3x3 + x4 = 0
x2 − x3 + x4 = 0
V úlohách 15 - 17 riešte systém lineárnych rovníc
15. a)
x1 + 3x2 + 5x3 − 2x4 = 32x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 5x1 + 5x2 − 9x3 + 8x4 = 1
5x1 + x2 + 4x3 + 5x4 = 12
b)
2x1 − x2 − x3 + 3x4 = 12x1 − x2 + 2x3 − 12x4 = 104x1 − 3x2 − x3 + x4 = 56x1 − 3x2 − x3 − x4 = 9
68 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC
c)
x1 + 5x2 − 4x3 + 4x4 = 62x1 + x2 + x3 − x4 = 3x1 − x2 + 2x3 − 2x4 = 0x1 + 2x2 − x3 + x4 = 3
d)
x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 42x1 + x2 − x3 + 2x4 = 22x1 − x2 + 3x3 − 3x4 = 05x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 6
16. a)2x1 − x2 − x3 = 43x1 + 4x2 − 2x3 = 113x1 − 2x2 + 4x3 = 11
b)x1 + x2 + 2x3 = −1
2x1 − x2 + 2x3 = −44x1 + x2 + 4x3 = −2
c)
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 13x1 − x2 − x3 − 2x4 = −42x1 + 3x2 − x3 − x4 = −6x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = −4
d)
x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 62x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 83x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 42x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = −8
17. a)x1 − 2x2 + x3 = 0
3x1 − 5x2 − 2x3 = −37x1 − 3x2 + x3 = 16
b)
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 52x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 13x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 14x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = −5
c)
x2 − 3x3 + 4x4 = −5x1 − 2x3 + 3x4 = −4
3x1 + 2x2 − 5x4 = 124x1 + 3x2 − 5x3 = 5
d)
3x1 − 2x2 + 5x3 − 6x4 = 07x1 + x2 − 3x3 − 4x4 = 16x1 + 5x2 − 13x3 + 3x4 = 12x1 − 13x2 + 40x3 − 16x4 = 13
18. Zistite, či nasledujúce systémy lineárnych rovníc majú riešenie, a ak áno,nájdite ho
Úlohy 69
a)
2x1 + x2 − x3 + x4 = 13x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 25x1 + x2 − x3 + 2x4 = −12x1 − x2 + x3 − 3x4 = 4
b)
2x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 4x2 − x3 + x4 = −3
x1 + 3x2 − 3x4 = 1− 7x2 + 3x3 + x4 = −3
c)
x1 + x2 − 3x3 = −12x1 + x2 − 2x3 = 1x1 + x2 + x3 = 3x1 + 2x2 − 3x3 = 1
d)
2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 1x1 − x2 + x3 + x4 − 2x5 = 0
3x1 + 3x2 − 3x3 − 3x4 + 4x5 = 24x1 + 5x2 − 5x3 − 5x4 + 7x5 = 3
19. Zistite, či nasledujúce homogénne systémy lineárnych rovníc majú okremnulového riešenia aj nenulové, a ak áno, nájdite ho
a)
x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0x1 + 3x2 + 6x3 + 10x4 = 0x1 + 4x2 + 10x3 + 20x4 = 0
b)
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0x1 + 5x2 + x3 + 2x4 = 0x1 + 5x2 + 5x3 + 2x4 = 0
c)
x1 − 2x2 + x3 + x4 − x5 = 02x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 0x1 + 7x2 − 5x3 − 5x4 + 5x5 = 0
3x1 − x2 − 2x3 + x4 − x5 = 0
d)
x1 − 2x2 + x3 + x4 + x5 = 02x1 + x2 − x3 + 2x4 − 3x5 = 03x1 − 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 02x1 − 5x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 0
20. Použitím Frobeniovej vety rozhodnite či systémy lineárnych rovníc majúriešenie alebo nie.
a)− 2x1 + x2 = −1
x1 + 2x2 = 1− 6x1 + 3x2 = 3
70 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC
b)
x1 + 2x2 − x3 = 23x1 − x2 + 2x3 = 7x1 − x3 = −2
2x1 + x2 + x3 = 7
c)4x1 + x2 − x3 − x4 = 32x1 − 11x2 + 5x3 + 9x4 = 22x1 + 12x2 − 6x3 − 10x4 = 1
d)
x1 + x2 + x3 + x4 = 12x1 + 2x2 + 2x3 = 0x1 + x2 + 5x3 − x4 + 6x5 = 1x1 + x2 − 3x3 + x4 − 6x5 = −1
V úlohách 21 - 23 riešte systém lineárnych rovníc
21. a)
4x − 3y − z − 1 = 0− x + 2y + 4z − 6 = 0
2x − y + z − 3 = 05x − 4y − 2z = 0
b)
x + y − z − 5 = 02x + y − 4z − 11 = 0
y + 2z + 1 = 0− 2x − 2y + 2z + 10 = 0
c)
2x − y + 4z = 6− 3x + 4y − z = 1
x − 2y − z = −34x − 5y + 2z = 0
d)
x + y − z = 5x + 2z = −1
− 2x − 2y + 2z = −10− x − 2y + 4z = −11
22. a)
x + y − z = 52x + y − 4z = 11
y + 2z = −1− 2x − 2y + 2z = −10
b)
4x − 3y − z = 1− x + 2y + 4z = 6
2x − y + z = 35x − 4y − 2z = 0
c)
2y + z = −12x − 4y + z = 11
− x + y − z = −5− 2x + 2y − 2z = −10
Úlohy 71
d)
5x − 2y − 4z = 02x + y − z = 34x − y − 3z = 1x − 4y − 2z = −6
23. a)3x + 2y + z + 2w = 172x + y = 8x + y − w = 5
b)6x − 9y + 7z + 10w = 32x − 3y − 3z − 4w = 12x − 3y + 13z + 18w = 1
72 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC
Výsledky
1. a) áno b) nie c) nie d) áno
2. p = 4, r = −20, s = −5
3. a) áno b) nie
4. a) (1; 0;−1)
b)(1;−1
2; 0) c) (1; 1; 1)
d)(−7
5;−8
5; 9
5
)5. a) (3; 4; 5) b) (1; 2; 3) c) (1; 2; 2) d) (3; 2; 1)
6. a) (−2; 2; 5) b) (2; 2; 1) c) (−2;−2; 1) d) (−5; 2; 1)
7. a) (2; 3;−2) b) (1; 2; 3) c) (2;−1; 3) d) (2;−1;−2)
8. a)(
13;−1
3; 2)
b) (1; 0;−1) c)(
14; 1
2; 3
4
)d) (−1;−2; 1)
9. a)(3;−1; 1
2
)b) (3; 0; 1) c) (−1; 1; 2) d) (3; 2; 1)
10. a) (0;−3; 2; 2)
b) (0; 0; 0)
c) (1; 1; 2)
d)(
34; 0; 5
4
)11. a) (0; 4; 3; 1)
b) (2; 2; 1)
c) (1; 0; 2)
d) (16;−24; 3)
12. a) systém je neriešiteľný
b) systém je neriešiteľný
c) systém je neriešiteľný
d) systém je neriešiteľný
13. a) (3t;−t; 0; t) , t ∈ R
b) (2 + 2t; 6 + u− 4t; u; t) , u, t ∈ R
c) (7t− 7u;−13t + 11u; t; u) , u, t ∈ R
d) (3− 2t− 3u;−1− t; t; u) , u, t ∈ R
14. a) (−s− 3t; s; t) , s, t ∈ R
b) (s;−3s; s) , s ∈ R
c) (s; 2s− 8t;−3t; t) , s, t ∈ R
d) (0; t; 2t; t) , t ∈ R
Výsledky 73
15. a)(
167− 11t; 0; 1
7+ 5t; 7t
), u, t ∈ R
b) (2 + t; 0; 3 + 5t; t) , t ∈ R
c) (1− t + u; 1 + t− u; t; u) , u, t ∈ R
d) (−1− t; 7 + t; 3 + 3t; 2t) , t ∈ R
16. a) (3; 1; 1)
b) (1; 2;−2)
c) (−1;−1; 0; 1)
d) (1; 2;−1;−2)
17. a) (3; 2; 1)
b) (−2; 2;−3; 3)
c) (1; 2; 1;−1)
d) (1; 1; 1; 1)
18. a) systém je neriešiteľný
b) (8; 3 + t; 6 + 2t; t) , t ∈ R
c) systém je neriešiteľný
d)(
13(1 + t); 1
3(1 + 3u + 3v − 5t); u; v; t
), u, v, t ∈ R
19. a) iba nulové riešenie
b) iba nulové riešenie
c) (0; 0; 0; t; t) , t ∈ R
d)(
78t; 5
8t;−5
8t; 0; t
), t ∈ R
20. a) systém je neriešiteľný
b) systém má riešenie: (x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3)
c) systém má riešenie:(x1 = 6 s+2 t+35
46, x2 = 11 s+19 t−1
23, x3 = s, x4 = t, t, s ∈ R
)d) systém má riešenie:(
x1 = −2 s+3 t−12
, x2 = s, x3 = −3 t−12
, x4 = 1, x5 = t, t, s ∈ R)
21. a) (4− 2t; 5− 3t; t) , t ∈ R
b) (6 + 3t;−1− 2t; t) , t ∈ R
c) (5− 3t; 4− 2t; t) , t ∈ R
d) (−1− 2t; 6 + 3t; t) , t ∈ R
22. a) (6 + 3t;−1− 2t; t) , t ∈ R
b) (4− 2t; 5− 3t; t) , t ∈ R
74 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC
c) (6 + 3t; t;−1− 2t) , t ∈ R
d)(
13(2 + 2t); 1
3(5− t); t
), t ∈ R
23. a) (3− t; 2 + 2t; 4− 3t; t) , t ∈ R
b)(
12
+ 32u− 1
16t; u;−11
8t; t), u, t ∈ R
D VEKTORY 75
D VEKTORY
Aritmetický vektorDefinícia 1. Množinu Vn všetkých usporiadaných n-tíc reálnych čísel nazvemen-rozmerným aritmetickým vektorovým priestorom, ak sú na nejdefinované operácie rovnosť n-tíc, sčítanie n-tíc a násobenie n-tice reálnym číslomvzťahmi:
(a1, a2, . . . , an) = (b1, b2, . . . , bn) ⇔ a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn (D.1)
(a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn) (D.2)
k · (a1, a2, . . . , an) = (k · a1, k · a2, . . . , k · an) (D.3)
pre n ≥ 1, k ∈ R.Prvky aritmetického vektorového priestoru Vn budeme nazývať n-rozmernéaritmetické vektory. Budeme ich označovať a, b, c, . . . Skrátene budeme hovoriťo vektoroch. Ak a = (a1, a2, . . . , an) je vektor, tak čísla a1, a2, . . . , an nazývamesúradnicami vektora a. Vektor, ktorého všetky súradnice sú nuly, nazývamenulový vektor. Označujeme ho 0 = (0, 0, . . . ). Zo vzťahu D.2 vyplýva, žea + 0 = a, pre ∀a ∈ Vn.
Veta 1. Pre sčítanie aritmetických vektorov a ich násobenie číslom platia tietovzťahy:
1. a + b = b + a (komutatívny zákon pre sčitovanie vektorov)
2. (a + b) + c = a + (b + c) (asociatívny zákon pre sčitovanie vektorov)
3. Ku každým dvom vektorom a, b existuje práve jeden vektor x, tak že a + x = b.
4. 1 · a = a
5. k · (l · a) = (k · l) · a
6. (k + l) · a = k · a + l · a
7. k · (a + b) = k · a + k · b
Poznámka 1. Ak vo vzťahu 3 položíme b = 0, potom vzťah a + x = 0 hovorí oexistencii tzv. opačného vektora k vektoru a. Označujeme ho x = −a.
76 D VEKTORY
Definícia 2. Hovoríme, že vektor a je lineárnou kombináciou (skrátene LK)vektorov a1, a2, . . . ,ak, ak existujú také reálne čísla c1, c2, . . . , ck, že platí
a = c1 · a1 + c2 · a2 + · · ·+ ck · ak. (D.4)
Čísla c1, c2, . . . , ck sú koeficienty lineárnej kombinácie.
Definícia 3. Hovoríme, že vektory a1, a2, . . . ,ak sú lineárne závislé (LZ), akexistujú také reálne čísla c1, c2, . . . , ck, z ktorých aspoň jedno je rôzne od nuly tak,že platí
c1a1 + c2a2 + · · ·+ ckak = 0. (D.5)
Definícia 4. Hovoríme, že vektory a1, a2, . . . ,ak sú lineárne nezávislé (LN),ak
c1a1 + c2a2 + · · ·+ ckak = 0 práve vtedy, keď c1 = c2 = . . . ck = 0. (D.6)
Veta 2. Ak medzi vektormi a1, a2, . . . ,ak je r vektorov (r ≤ k) lineárne závislých,tak aj vektory a1, a2, . . . ,ak sú lineárne závislé.
Veta 3. Ak sa medzi vektormi a1, a2, . . . ,ak nachádza nulový vektor, tak sú tietovektory lineárne závislé.
Veta 4. Vektory a1, a2, . . . ,ak sú lineárne závislé práve vtedy, ak niektorý z nichje lineárnou kombináciou ostatných.
Definícia 5. Každá sústava n lineárne nezávislých vektorov vektorového priestoruVn sa nazýva báza vektorového priestoru.
Definícia 6. Podmnožina vektorového priestoru Vn, ktorá je sama vektorovýmpriestorom so zadefinovaným súčtom vektorov, súčinom skalára a vektora arovnosťou dvoch vektorov sa nazýva podpriestorom priestoru Vn.
Definícia 7. Podpriestor vektorového priestoru Vn sa nazýva k-dimenzionálny,ak maximálny počet lineárne nezávislých vektorov tohto podpriestoru je k a každásústava (k + 1) vektorov je už lineárne závislá.
Poznámka 2. Vektory e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . ,
Aritmetický vektor 77
en = (0, 0, 0, . . . , 1) tvoria takzvanú jednotkovú bázu n-rozmerného vektorovéhopriestoru.
Poznámka 3. Každý vektor a ∈ Vn sa dá jednoznačným spôsobom vyjadriť akolineárna kombinácia jednotkovej bázy; t.j.
a = a1 · e1 + a2 · e2 + · · ·+ an · en, (D.7)
kde (a1, a2, . . . , an) sú súradnice vektora a v danej jednotkovej báze.
Poznámka 4. Ak zmeníme bázu vektorového priestoru, zmenia sa aj súradnicevektorov. Súradnice vektorov v novej báze počítame riešením sústavy lineárnychrovníc.
Veta 5. Nech A je matica vytvorená zo sústavy vektorov a1, a2, . . . ,ak ∈ Vn tak,že súradnice vektora ai vytvárajú i-ty riadok (stĺpec) matice A, i = 1, 2, . . . k.Potom platí:
1. Ak h(A) = k = n, vektory a1, a2, . . . ,ak sú lineárne nezávislé, sú bázoupriestoru Vn, generujú celý vektorový priestor Vn.
2. Ak h(A) = k < n, vektory a1, a2, . . . ,ak sú lineárne nezávislé a generujúpodpriestor vektorového priestoru Vn dimenzie k.
3. Ak h(A) < k, vektory a1, a2, . . . ,ak sú lineárne závislé.
Veta 6. Nech |A| je determinant vytvorený zo sústavy vektorova1, a2, . . . ,an ∈ Vn tak, že súradnice vektora ai vytvárajú i-ty riadok (stĺpec)determinantu |A|,i = 1, 2, . . . n. Potom platí:
1. |A| = 0 práve vtedy, keď vektory a1, a2, . . . ,an sú lineárne závislé
2. |A| 6= 0 práve vtedy, keď vektory a1, a2, . . . ,an sú lineárne nezávislé
78 D VEKTORY
Riešené príkladyPríklad 1. Dané sú vektory a = (1;−1; 0), b = (2;−3;−1) a c = (−1; 2; 4).Vypočítajte:
a) a + b + c
b) −3b
c) 4a + 3b + c
Riešenie: Využijeme základné vlastnosti operácií definovaných na aritmetickýchvektoroch:
a) a + b + c = (a + b) + c = [(1;−1; 0) + (2;−3;−1)] + (−1; 2; 4) =
(3;−4;−1) + (−1; 2; 4) = (2;−2; 3)
b) −3b = −3 · (2;−3;−1) = (−3 · 2;−3 · (−3);−3 · (−1)) = (−6; 9; 3)
c) 4a + 3b + c = 4 · (1;−1; 0) + 3 · (2;−3;−1) + (−1; 2; 4) =
(4;−4; 0) + (6;−9;−3) + (−1; 2; 4) = (9;−11; 1)
Príklad 2. Nájdite reálne čísla x, y, z tak, aby platila rovnosť vektorov(x− y; 3− z; 6− x + z) = (z − 1; 4; y).
Riešenie: Dva vektory sa rovnajú, ak sa rovnajú ich súradnice. Dostaneme
systém rovníc:x− y = z − 13− z = 4
6− x + z = y⇒ z = −1
x− y = −2− x− y = 1− 6
⇒ x− 72
= −2x = 3
2
−2y = −7y = 7
2
Riešením sú čísla x = 32, y = 7
2a z = −1. Po dosadení dostaneme na ľavej aj pravej
strane vektor (−2; 4; 72).
Príklad 3. Nájdite vektor x tak, aby platila rovnica3(x + a) + 4(2b− x)− (2x− 3c) = 0, ak a = (1; 2; 3; 4), b = (0;−3; 6;−9) ac = (1;−1; 1;−1).
Riešenie: Využijeme vlastnosti operácií definovaných na aritmetických vektoroch.Rovnicu upravíme na tvar:
Riešené príklady 79
3x + 3a + 8b− 4x− 2x + 3c = 03a + 8b− 3x + 3c = 0
3a + 8b + 3c = 3xNech x má súradnice x = (x1; x2; x3; x4). Dosadením súradníc vektorov x, a, b, c
do rovnice dostaneme:3(1; 2; 3; 4) + 8(0;−3; 6;−9) + 3(1;−1; 1;−1) = 3(x1; x2; x3; x4)
(6;−21; 60;−63) = (3x1; 3x2; 3x3; 3x4)
Z rovnosti dvoch vektorov dostaneme
6 = 3x1
−21 = 3x2
60 = 3x3
−63 = 3x4
x1 = 2, x2 = −7, x3 = 20, x4 = −21 a teda vektor x = (2;−7; 20;−21).
Príklad 4. Zistite, či je vektor x lineárnou kombináciou vektorov a1, a2, a3, a akáno, nájdite koeficienty lineárnej kombinácie:
a) x = (−3; 2; 1), a1 = e1 = (1; 0; 0), a2 = e2 = (0; 1; 0), a3 = e3 = (0; 0; 1)
b) x = (0; 1; 1; 0), a1 = (0; 1; 0; 1), a2 = (1; 0; 1; 0), a3 = (1; 0; 0; 1)
Riešenie: Vektor x bude lineárnou kombináciou vektorov a1, a2, a3, ak budúexistovať také čísla c1, c2, c3, že x = c1a1 + c2a2 + c3a3.
a) Vektory e1, e2, e3 sú bázou, preto sa vekor x dá napísať ako ich lineárnakombinácia:(−3; 2; 1) = c1(1; 0; 0) + c2(0; 1; 0) + c3(0; 0; 1)(−3; 2; 1) = (c1; 0; 0) + (0; c2; 0) + (0; 0; c3)(−3; 2; 1) = (c1; c2; c3)
⇒−3 = c1
2 = c2
1 = c3
Vektor x = −3 · e1 + 2 · e2 + 1 · e3. Ukázali sme, že hľadané koeficienty súsúradnicami vektora.
b) Hľadáme c1, c2, c3 ∈ R, aby(0; 1; 1; 0) = c1(0; 1; 0; 1) + c2(1; 0; 1; 0) + c3(1; 0; 0; 1)(0; 1; 1; 0) = (0; c1; 0; c1) + (c2; 0; c2; 0) + (c3; 0; 0; c3)(0; 1; 1; 0) = (c2 + c3; c1; c2; c1 + c3)
Dostaneme systém štyroch rovníc s tromi neznámymi:
0 = c2 + c3
1 = c1
1 = c2
0 = c1 + c3
⇒c1 = 1c2 = 1c3 = −1
80 D VEKTORY
Vektor x sa dá napísať ako lineárna kombinácia vektorov a1, a2, a3, konkrétnex = a1 + a2 − a3.
Príklad 5. Zistite, či sú vektory a = (0;−1;−1; 1), b = (2;−1;−5;−3),c = (1; 2; 0;−4) a d = (3; 1;−5;−7) lineárne závislé alebo lineárne nezávisléa zistite dimenziu podpriestoru, ktorý generujú.
Riešenie: Máme štyri vektory zo 4-rozmerného vektorového priestoru. Vzhľadomk tomu, že máme okrem lineárnej závislosti zistiť aj dimenziu podpriestoru, ktorýgenerujú, t.j. určiť maximálny počet lineárne nazávislých vektorov medzi nimi,použijeme vetu 5. Maticu A vytvoríme tak, že jej riadky sú súradnice vektorova, b, c a d. Na zistenie h(A) je výhodné do prvého riadku vložiť súradnice vektorac, do zvyšných troch riadkov súradnice ostatných vektorov a potom upraviť maticuekvivalentnými úpravami na trojuholníkový tvar.
A =
1 2 0 −42 −1 −5 −33 1 −5 −70 −1 −1 1
(−2) (−3)
∼
1 2 0 −40 −5 −5 50 −5 −5 50 −1 −1 1
∼
∼
1 2 0 −40 −5 −5 50 −1 −1 1
(: 5) ∼
1 2 0 −40 −1 −1 10 −1 −1 1
Pre hodnosť matice A platí h(A) = 2, preto sú dané vektory lineárne závislé.Dimenzia vektorového podpriestoru, ktorý tieto štyri vektory vytvárajú je rovná 2.
Príklad 6. Zistite, či sú vektory a = (1; 4; 0; 3), b = (2;−1; 1; 5), c = (0; 4; 1; 4)
a d = (3; 5; 9; 2) lineárne závislé alebo lineárne nezávislé.
Riešenie: Máme štyri vektory zo 4-rozmerného vektorového priestoru. Privýpočte môžeme použiť vetu 5, ktorú sme použili v predchádzajúcom príklade, alemôžeme použiť aj vetu 6 a počítať determinant |A|, v ktorom riadky vytvárame zosúradníc vektorov a, b, c, d.
|A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 4 0 32 −1 1 50 4 1 43 5 9 2
∣∣∣∣∣∣∣∣(−2) (−3)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣1 4 0 30 −9 1 −10 4 1 40 −7 9 −7
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
Riešené príklady 81
= 1 · (−1)1+1 ·
∣∣∣∣∣∣−9 1 −1
4 1 4−7 9 −7
∣∣∣∣∣∣ = −9 ·∣∣∣∣ 1 4
9 −7
∣∣∣∣ −1 ·∣∣∣∣ 4 4−7 −7
∣∣∣∣−1 ·
∣∣∣∣ 4 1−7 9
∣∣∣∣ = −9 · (−43)− 0− 43 = 8 · 43 6= 0.
Z toho vyplýva, že dané vektory sú lineárne nezávislé.
Príklad 7. Zistite, či vektory a = (1; 1; 2), b = (0; 2; 1), c = (1;−1; 3) tvoria bázuvektorového priestoru V3, a ak áno, vyjadrite súradnice vektora x = (−1; 5; 3)
v tejto báze.
Riešenie: Vektory a, b, c vytvárajú bázu priestoru V3 práve vtedy, ak sú lineárnenezávislé. Na overenie použijeme vetu 6:
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 1 20 2 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣1 10 21 −1
= 6 + 1 + 0− (4− 1 + 0) = 4 6= 0.
|A| 6= 0 ⇒ vektory sú lineárne nezávislé.Máme tri lineárne nezávislé vektory v trojrozmernom priestore. Tieto generujúcelý priestor V3, sú jeho bázou a preto sa dá vektor x vyjadriť ako ich lineárnakombinácia. Koeficienty tejto lineárnej kombinácie sú hľadané súradnice x1, x2, x3
vektora x v báze a, b, c, pričom platí x = x1a + x2b + x3c. Pre koeficientyx1, x2, x3 platí
(−1; 5; 3) = x1(1; 1; 2) + x2(0; 2; 1) + x3(1;−1; 3).
Dostávame systém troch rovníc o troch neznámych:
x1 + x3 = −1x1 + 2x2 − x3 = 5
2x1 + x2 + 3x3 = 3
A =
1 0 11 2 −12 1 3
∣∣∣∣∣∣−1
53
(−1) (−2)∼
1 0 10 2 −20 1 1
∣∣∣∣∣∣−1
65
(: 2) ∼
∼
1 0 10 1 −10 1 1
∣∣∣∣∣∣−1
35
(−1) ∼
1 0 10 1 −10 0 2
∣∣∣∣∣∣−1
32
2x3 = 2 ⇒ x3 = 1
x2 − x3 = 3 ⇒ x2 = 4x1 + x3 = -1 ⇒ x1 = -2
Súradnice vektora x v báze a, b, c sú x = (−2; 4; 1).
82 D VEKTORY
Úlohy1. Pre aké čísla x, y, z platí rovnosť vektorov:
a) (3; 3− y; 5) = (7x− 4; 5; z3
+ 10)
b) (3; 2y − 3; 5; 2z) = (7x− 4; 1; 5; 3− z)
c) (1− x; 2z + 5; 3) = (2y − 3; 5; x + 1; 3)
d) (x + y; 2− z; 5; 4− 2x) = (3z; 1 + x; 5; 6)
2. Nájdite vektor x tak, aby platilo a + x = b, ak
a) a = (3; 2;−1), b = (3; 4; 5)
b) a = (5; 8;−9; 2), b = (4; 5; 1;−1)
3. Vypočítajte
a) a + 2b− c
b) a + 2(b− 3c)− 3(c− 5a),
ak a = (1; 2; 3), b = (−1; 3; 5), c = (3;−5; 1).
4. Vypočítajte vektor x z vektorovej rovnice
a) 3a + 4b− c + 5x = 0, ak a = (1; 0;−2), b = (−3; 2; 1), c = (6; 3;−2)
b) 2(a− x) + 3(b + x) = 4(c + x), ak a = (3; 2; 5; 0), b = (8;−1; 10; 2),c = (7; 3; 3; 3)
5. Zistite, či sa dá vektor x vyjadriť ako lineárna kombinácia vektorov a, b, c. Akáno, nájdite koeficienty tejto lineárnej kombinácie.
a) x = (12; 4;−3), a = (3; 2; 1), b = (7; 5; 0), c = (−2; 3; 4)
b) x = (18; 0; 20), a = (6; 3; 5), b = (1; 2;−7), c = (6; 12; 0)
c) x = (1; 1; 1; 1), a = (1; 0; 0;−1), b = (2; 1; 1; 0), c = (1; 2; 3; 4)
d) x = (9; 6; 7;−2), a = (1; 2; 3; 2), b = (2; 1; 1;−1), c = (8; 7; 9; 1)
6. Zistite, či sú vektory lineárne závislé alebo nezávislé
a) a = (1; 3; 5), b = (2; 4; 6)
b) a = (3; 2; 7), b = (1; 1; 1), c = (2; 0; 3)
c) a = (3; 2; 0), b = (1; 1; 1), c = (5; 4; 2)
Úlohy 83
d) a = (1; 0; 0; 0), b = (2; 1; 0; 1), c = (3; 2; 1; 1)
e) a = (3; 0; 1; 0), b = (0; 3; 0; 1), c = (0; 1; 0; 3), d = (1; 0; 3; 0)
7. Nájdite číslo x, tak aby boli vektory a = (4; x; 2), b = (−2;−2;−1), c = (1; 2; 1)
lineárne závislé.
8. Nájdite dimenziu podpriestoru, ktorý vytvárajú dané vektory
a) a = (2; 3), b = (−1; 5), c = (7; 4)
b) a = (0; 1;−1), b = (2; 1; 0), c = (2; 3;−2)
c) a = (3; 1; 2), b = (2; 1; 0), c = (7; 1; 3)
d) a = (1; 0; 0; 0), b = (1; 2; 1; 0), c = (1; 3; 4; 5)
9. Zistite, či vektory a, b, c vytvárajú bázu, a ak áno, vypočítajte súradnicevektora x v tejto báze:
a) a = (1; 2; 1), b = (−1; 2; 4), c = (0; 3;−2), x = (1; 4; 0)
b) a = (1;−1; 1), b = (1; 2; 3), c = (0; 0; 1), x = (3; 3;−2)
10. Vypočítajte súradnice vektora x = (1; 2; 3; 4) v báze a, b, c, d, aka = (2; 1; 1; 1), b = (1; 1; 2; 0), c = (1; 2; 3; 0), d = (0; 1; 4;−1).
11. Rozhodnite, pre aký parameter p ∈ R sú dané vektory lineárne závislé a preaký sú lineárne nezávislé, ak
a) a = (3; 1; 2), b = (2; 1; 0), c = (7; p; 2)
b) a = (1; 0;−1; 0), b = (0; 1; 0;−1), c = (1; 0; 0;−1), d = (p;−1; 1; 0)
c) a = (1; 0; 0; 0), b = (1; 2; 1; 0), c = (1; 3; 4; 5), d = (p; 5; 5; 5)
12. Zistite, pre aký parameter p ∈ R dané vektory generujú celý priestor, v ktoromležia, ak
a) a = (1; 2; 0), b = (−3; p; p), c = (0;−1; 1)
b) a = (1; 0;−1), b = (2; 2p; 0), c = (−1; 3p; 4)
c) a = (1; 6;−2; 4), b = (7; 1; 3; 0), c = (p; 0; 1; 4), d = (2; 0;−1; 0)
13. Rozhodnite, či dané body ležia v jednej rovine
a) A = [3; 1; 2], B = [2;−1;−2], C = [0; 3; 5], D = [−3; 0; 2]
b) A = [1; 2;−1], B = [0; 1; 5], C = [−1; 2; 1], D = [2; 1; 3]
84 D VEKTORY
c) A = [2; 0;−2], B = [1; 2;−1], C = [−2; 0; 2], D = [−1;−2; 1]
14. Určte hodnoty parametra p ∈ R tak, aby dané vektory vytvárali podpriestordimenzie 3, ak
a) a = (1; 3;−2), b = (3; 1; 2), c = (2; 1; 1), d = (6; 2; p)
b) a = (1; 2; 2), b = (−2; 5;−4), c = (1;−1; p), d = (2;−4; 5)
c) a = (1; 2; 1; 3), b = (2; 1; 1; 2), c = (1; 4; 2; 6), d = (−2; 1; 1; p)
d) a = (2; 0; p; 4), b = (0; 1; 0; 1), c = (0; 0; 1; 0), d = (−1; 3; 1;−2),
e = (−1; 2; 0;−3)
Výsledky 85
Výsledky1. a) x = 1, y = −2, z = −15
b) x = 1, y = 2, z = 1
c) neexistujú; rôzny počet súradníc
d) x = −1, y = 7, z = 2
2. a) (0; 2; 6)
b) (−1;−3; 10;−3)
3. a) (−4; 13; 12)
b) (−13; 83; 49)
4. a) (3;−1; 0)
b) (23;−11
3; 28
3;−2)
5. a) x = a + b− c
b) x = 4a− c
c) x = −a + b
d) nekonečne veľa riešení, napríklad x = a + 4b
6. a) lineárne nezávislé
b) lineárne nezávislé
c) lineárne závislé
d) lineárne nezávislé
e) lineárne nezávislé
7. x = 4
8. a) 2
b) 2
c) 3
d) 3
9. a) áno, x = (0;−1; 2)B
b) áno, x = (1; 2;−9)B
10. x = (12;−28; 5; 8)B
86 D VEKTORY
11. a) p = 3 ⇒ lineárne závislé; p 6= 3 ⇒ lineárne nezávislé
b) p = 0 ⇒ lineárne závislé; p 6= 0 ⇒ lineárne nezávislé
c) ∀p ∈ R sú lineárne závislé
12. a) p = −3
b) neexistuje také p ∈ R
c) p 6= −83
13. a) neležia
b) ležia
c) ležia
14. a) p 6= 4
b) ∀p ∈ R
c) p = 2
d) neexistuje také p ∈ R
Geometrický vektor 87
Geometrický vektorDefinícia 8. Usporiadané dvojice bodov (A, B) a (C, D) z n-rozmerného priestorusa nazývajú ekvipolentné, ak úsečky AD a BC majú spoločný stred (obrázokD.1).
A
B
C
D
S
Obrázok D.1: K definícii 8
Definícia 9. Geometrický vektor je množina všetkých navzájomekvipolentných dvojíc bodov.
Poznámka 5. Geometrický vektor je množina obsahujúca nekonečne veľa prvkov.Dvojica (A, B) je jeho umiestnením. Značíme a = AB = B − A.
Poznámka 6. Ako model geometrického vektora slúži orientovaná úsečka, t.j.úsečka tvorená dvomi krajnými bodmi tak, že je dané, ktorý z nich je počiatočnýbod a ktorý koncový bod. Značíme
# »
AB. Geometrický vektor je charakterizovanýveľkosťou, smerom a orientáciou.
Definícia 10. Veľkosťou vektora AB budeme nazývať dĺžku orientovanejúsečky
# »
AB (t.j. vzdialenosť bodov A a B). Označujeme |a| = |AB|. Ak je veľkosťvektora rovná jednej, vektor sa nazýva jednotkový.
Ak a 6= 0, jednotkový vektor vektora a je vektor a0 =1
|a|· a. Ak je A = B,
potom | # »
AA| = 0. Vektor nulovej veľkosti nazývame nulový vektor. Nulovývektor nemá smer, ani orientáciu.
88 D VEKTORY
Definícia 11. Budeme hovoriť, že vektory majú rovnaký smer, ak sa dajúumiestniť na jednu priamku alebo na rovnobežné priamky. Nazývame ich ajkolineárne vektory.
Poznámka 7. Vektory AB a BA majú rovnakú veľkosť a rovnaký smer, alepočiatočný bod vektora AB je koncovým bodom vektora BA a naopak. Hovoríme,že majú opačnú orientáciu a nazývame ich aj nesúhlasne rovnobežné. ZnačímeAB ↑↓ BA (obrázok D.2).
A
B
A
B
Obrázok D.2: K poznámke 7
Definícia 12. Tri nenulové vektory, ktoré ležia v jednej rovine alebov rovnobežných rovinách sa nazývajú komplanárne vektory.
Veta 7. Dva nenulové lineárne závislé vektory sú kolineárne. Tri nenulovélineárne závislé vektory sú komplanárne.
Veta 8. Každé tri vektory v rovine a každé štyri vektory v trojrozmernompriestore sú lineárne závislé.
Poznámka 8. Obidva modely vektorových priestorov - aritmetický ajgeometrický - majú rovnakú axiomatickú výstavbu. Všetky operácie a ichvlastnosti, ktoré sú uvedené v časti o aritmetických vektoroch, platia súčasne ajpre geometrické vektory. Aritmetické a geometrické vektorové priestory s rovnakoudimenziou sú izomorfné; t.j. tá istá fyzikálna veličina môže byť vyjadrená akoaritmetický aj ako geometrický vektor.
V ďalšom texte budeme uvažovať iba o vektoroch v 3-rozmernom priestore sozavedeným pravouhlým súradnicovým systémom. Jednotkové vektory ležiace na
Geometrický vektor 89
súradnicových osiach a majúce počiatok v bode [0; 0; 0] označujemei = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0) a k = (0; 0; 1) a nazývame ich súradnicovými vektormi.Sú lineárne nezávislé, navzájom kolmé a tvoria bázu vektorového priestoru V3.
Poznámka 9. Ak body A = [a1; a2; a3] a B = [b1; b2; b3] určujú vektor a = AB,potom vektor a má súradnice a = (b1 − a1; b2 − a2; b3 − a3).
Poznámka 10. Veľkosť (absolútna hodnota, dĺžka) vektora a určenéhobodmi A = [a1; a2; a3] a B = [b1; b2; b3] je číslo|a| =
√(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2.
Definícia 13. Uhlom dvoch vektorov a = AB a b = BC nazývame dutý uhol�ABC. Označujeme ho �a, b.
Definícia 14. Skalárnym súčinom a · b vektorov a a b nazývame číslo (skalár),pre ktoré platí:
1. a · b = |a| · |b| · cos �a, b, ak a, b sú nenulové vektory
2. a · b = 0, ak aspoň jeden z vektorov a, b je nulový vektor
Veta 9. Skalárny súčin a · b dvoch vektorov sa rovná nule práve vtedy, ak a = 0
alebo b = 0 alebo �a, b = π2.
Vlastnosti:
1. a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3, ak a = (a1; a2; a3) a b = (b1; b2; b3)
2. cos �a, b =a · b|a| · |b|
=a1b1 + a2b2 + a3b3√
a21 + a2
2 + a23 ·√
b21 + b2
2 + b23
3. a · b = b · a
4. |a| =√
a · a
5. Pre jednotkové vektory i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1) platí:
i · i = j · j = k · k = 1
i · j = i · k = j · k = 0
�i, j = π2, �i, k = π
2, �j, k = π
2
90 D VEKTORY
Definícia 15. Vektorovým súčinom a × b vektorov a a b nazývame vektor,pre ktorý platí:
1. ak a, b sú kolineárne, tak a× b = 0
2. ak a, b sú lineárne nezávislé, tak a× b = c, pričom
a) |c| = |a| · |b| · sin �a, b
b) c ⊥ a a c ⊥ b
c) vektory a, b, c v tomto poradí tvoria pravotočivý súradnicový systém(obrázok D.3)
b
c
a
0
Obrázok D.3: K definícii 15
Veta 10. Každý pravouhlý súradnicový systém, pre ktorý platí i× j = k, jepravotočivý.
Vlastnosti:
1. Ak a = (a1; a2; a3) a b = (b1; b2; b3), v pravotočivom súradnicovom systéme platí:
a× b =
∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣2. a× b = −b× a
3. k · (a× b) = k · a× b = a× k · b, k je číslo
4. Nech A, B, C,D sú vrcholy rovnobežníka ABCD a nech a = AB a b = AD.Potom plošný obsah rovnobežníka ABCD je P = |a× b|.
5. Nech A, B, C sú vrcholy trojuholníka ABC a nech a = AB a b = AC. Potomplošný obsah trojuholníka ABC je P = 1
2|a× b|.
Geometrický vektor 91
6. Pre jednotkové vektory i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1) v pravouhlompravotočivom súradnicovom systéme platí:
(a) i× i = j × j = k × k = 0
(b) i× j = k, j × k = i, k × i = j
Definícia 16. Majme tri vektory a, b, c. Zmiešaným súčinom troch vektorovnazývame číslo [a; b; c]
def= (a× b) · c = a · (b× c).
Vlastnosti:
1. Ak a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3) a c = (c1; c2; c3), potom:
[a; b; c] =
∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣2. Vektory a, b, c sú komplanárne práve vtedy, ak [a; b; c] = 0.
3. Ak a, b, c vytvárajú tri hrany rovnobežnostena vychádzajúce z jedného vrchola,objem tohto rovnobežnostena je V = |[a; b; c]| (obrázok D.4).
a
c b
A
C
B
0
Obrázok D.4: Rovnobežnosten
92 D VEKTORY
4. Ak a, b, c sú tri hrany štvorbokého ihlana vychádzajúce z jedného vrchola,objem tohto ihlana je V = 1
3|[a; b; c]| (obrázok D.5).
a
cb
A
C
B
0
Obrázok D.5: Štvorboký ihlan
5. Ak a, b, c sú tri hrany štvorstena vychádzajúce z jedného vrchola, objem tohtoštvorstena je V = 1
6|[a; b; c]| (obrázok D.6).
a
b
c
A
C
B
0
Obrázok D.6: Štvorsten
Riešené príklady 93
Riešené príkladyPríklad 1. Je daný vektor a = (−5;−2; 14). Vypočítajte |a| a a0.
Riešenie: Vektor a 6= 0.
Veľkosť vektora a =√
(−5)2 + (−2)2 + 142 =√
25 + 4 + 196 =√
225 = 15
Jednotkový vektor a0 =1
|a|· a ⇒
a0 =1
15(−5;−2, 14) =
(−5
15;−2
15;14
15
)=
(−1
3;− 2
15;14
15
)Príklad 2. Zistite, pre aké čísla α sú vektory a, b navzájom kolmé, aka = 2i− 5j + 3αk a b = αi + 2j + k.
Riešenie: Súradnice vektorov sú a = (2;−5; 3α), b = (α; 2; 1). Nenulové vektorysú navzájom kolmé, ak zvierajú uhol π
2a podľa vety 9 musí platiť a · b = 0.
a · b = (2;−5; 3α) · (α; 2; 1) = 2α− 10 + 3α = 5α− 10
a · b = 0 ⇔ 5α− 10 = 0 ⇔ α = 2
Kolmé budú vektory a = (2;−5; 6) a b = (2; 2; 1).
Príklad 3. Nájdite vnútorné uhly trojuholníka ABC, akA = [2;−4; 9], B = [−1;−4; 5] a C = [6;−4; 6].
Riešenie: a = AB = B − A = (−3; 0;−4), b = C − A = AC = (4; 0;−3)
a · b = −12 + 0 + 12 = 0 ⇒ �a, b = �α = 90◦
c = BC = C −B = (7; 0; 1)
cos �(a, c) =|a · c||a| · |c|
=| − 21 + 0− 4|√9 + 16 ·
√49 + 1
=25
5 ·√
50=
5√50
=
√2
2⇒
�β = 45◦
�γ = 45◦
Jedná sa o rovnoramenný pravouhlý trojuholník.
Príklad 4. Vektor x je kolmý na vektory a = (6; 3; 0) a b = (1; 7; 2). Určte jehosúradnice, ak x · c = 6, pričom c = (4;−4;−2).
Riešenie: Označme hľadaný vektor x = (x1; x2; x3). Z toho, že x ⊥ a a x ⊥ b aso zadania x · c = 6 dostaneme sústavu rovníc
x · a = 0x · b = 0x · c = 6
94 D VEKTORY
Po rozpísaní skalárnych súčinov dostávame
6x1 + 3x2 = 0x1 + 7x2 + 2x3 = 0
4x1 − 4x2 − 2x3 = 6
Sčítaním druhej a tretej rovnice eliminujeme premennú x3 a dostaneme sústavu
6x1 + 3x2 = 05x1 + 3x2 = 6 / · (−1)
Teda x1 = −6, x2 = 12 a x3 = −39. Súradnice hľadaného vektora súx = (−6; 12;−39).
Príklad 5. Vypočítajte plošný obsah rovnobežníka, v ktorom sú bodyA = [0; 0; 2], B = [3; 0; 5], C = [1; 1; 0] za sebou idúcimi vrcholmi. Porovnajte ho splošným obsahom rovnobežníka s tými istými vrcholmi, v ktorom je však BC
uhlopriečkou.
Riešenie:
1. V prvom prípade rovnobežník vytvoríme z vektorov BA = A−B = (−3; 0;−3)
a BC = C −B = (−2; 1;−5). Plošný obsah rovnobežníka je podľa vlastnosti 4na strane 90 rovný P = |BA×BC|.
x y
z
A
B
C
D
BA×BC =
∣∣∣∣∣∣i j k−3 0 −3−2 1 −5
∣∣∣∣∣∣ = i(0 + 3)− j(15− 6) + k(−3 + 0) =
3i− 9j − 3k = (3;−9;−3). Determinant sme počítali rozvojom podľa prvéhoriadku. P = |(3;−9;−3)| =
√9 + 81 + 9 =
√99 = 3
√11.
2. V druhom prípade rovnobežník vytvoríme z vektorov AB = B − A = (3; 0; 3) aAC = C − A = (1; 1;−2). Plošný obsah rovnobežníka je rovnýP = |AB × AC|.
Riešené príklady 95
x y
z
A
B
D
C
AB ×AC =
∣∣∣∣∣∣i j k3 0 31 1 −2
∣∣∣∣∣∣ = i(0− 3)− j(−6− 3) + k(3− 0) = −3i + 9j + 3k =
(−3; 9; 3).P = |(−3; 9; 3)| =
√9 + 81 + 9 =
√99 = 3
√11.
Plošné obsahy oboch rovnobežníkov sú rovnaké.
Príklad 6. Vypočítajte objem rovnobežnostena zostrojeného z vektorova = 3i + 4j, b = −3j + k, c = 2j + 5k.
Riešenie: Objem rovnobežnostena je podľa vlastnosti 3 na strane 91 rovnýV = |[a; b; c]|, pričom a = (3; 4; 0), b = (0;−3; 1), c = (0; 2; 5). Podľa definíciezmiešaného súčinu 16 platí
[a; b; c] =
∣∣∣∣∣∣3 4 00 −3 10 2 5
∣∣∣∣∣∣3 40 −30 2
= −45 + 0 + 0− 0− 6− 0 = −51.
Objem rovnobežnostena je V = |[a; b; c]| = | − 51| = 51.
a
b c
Príklad 7. Vypočítajte objem štvorstena s vrcholmiA = [2; 0; 0], B = [0; 3; 0], C = [0; 0; 6], D = [2; 3; 8]. Vypočítajte výšku na stenuABC.
Riešenie: Objem štvorstena je podľa vlastnosti 5 na strane 92 rovnýV = 1
6|[a; b; c]|.
96 D VEKTORY
Vektory a, b, c umiestnime tak, aby počiatočným bodom bol bod A.
a = AB = B − A = [−2; 3; 0]b = AC = C − A = [−2; 0; 6]c = AD = D − A = [ 0; 3; 8]
[a; b; c] =
∣∣∣∣∣∣−2 3 0−2 0 6
0 3 8
∣∣∣∣∣∣−2 3−2 0
0 3= 0 + 0 + 0− 0 + 36 + 48 = 84.
Objem štvorstena je V = 16· 84 = 14.
Pre objem štvorstena však platí aj vzorec V = 13P · v, kde P je plošný obsah
podstavy a v je výška štvorstena. Ak za podstavu vezmeme stenu ABC, v jehľadanou výškou. Pre plošný obsah trojuholníka ABC platí vlastnosť 5 nastrane 90: P = 1
2|a× b|.
a× b =
∣∣∣∣∣∣i j k−2 3 0−2 0 6
∣∣∣∣∣∣ = i · 18− j · (−12) + k · 6 = (18; 12; 6).
|a× b| =√
182 + 122 + 62 = 6√
14.P = 1
2· 6 ·
√14 = 3 ·
√14.
Po dosadení do rovnice V = 13P · v dostávame 14 = 1
3· 3 ·
√14 · v, z čoho vyplýva,
že v =√
14. Výška na stranu ABC je v =√
14.
Príklad 8. Napíšte všeobecnú rovnicu roviny α určenej bodmiA = [3;−2; 0], B = [1; 5; 4] a C = [−2; 1; 1].
Riešenie: Najskôr ukážeme, že body A, B, C neležia na jednej priamke, napríkladpomocou vektorov a = AB a b = AC. Ak by boli kolineárne, musel by byť jeden znich násobkom druhého.
a = AB = B − A = (−2; 7; 4)b = AC = C − A = (−5; 3; 1)
Zo súradníc vidieť, že nie sú kolineárne a tak vektory a a b vytvárajú podpriestordimenzie 2, čiže rovinu. Nech X = [x; y; z] je ľubovoľný bod roviny α. VektorAX = X − A = (x− 3; y + 2; z) leží v rovine α. Podľa vety 8 (strana 88) sú každé3 vektory ležiace v jednej rovine lineárne závislé a podľa vety 6 (strana 77) je
determinant vytvorený z nich rovný nule:
∣∣∣∣∣∣x− 3 y + 2 z−2 7 4−5 3 1
∣∣∣∣∣∣ = 0. Rozvojom
determinantu podľa prvého riadku dostaneme rovnicu
(x− 3)(7− 12)− (y + 2)(−2 + 20) + z(−6 + 35) = 0−5(x− 3)− 18(y + 2) + 29z = 0 / · (−1)
5x + 18y − 29z + 21 = 0
Riešené príklady 97
Všeobecná rovnica hľadanej roviny je 5x + 18y − 29z + 21 = 0.
Príklad 9. Napíšte všeobecnú rovnicu roviny α prechádzajúcej bodomA = [1; 2; 3] kolmo na vektor a = (−1; 1; 2).
Riešenie: Ak je rovina α kolmá na vektor a, potom je kolmý na vektor a každývektor ležiaci v rovine α. Nech X = [x; y; z] je ľubovoľný bod roviny α. VektorAX = X − A = (x− 1; y − 2; z − 3) leží v rovine α. Je kolmý na vektor a a podľavety 9 (strana 89) je ich skalárny súčin rovný nule:
(X − A) · a = 0(x− 1; y − 2; z − 3) · (−1; 1; 2) = 0
−x + 1 + y − 2 + 2z − 6 = 0
Všeobecná rovnica hľadanej roviny je −x + y + 2z − 7 = 0.
98 D VEKTORY
Úlohy1. Nájdite súradnice vektora a = AB, ak
a) A = [−3; 2; 5], B = [1; 2; 3]
b) A = [2; 0; 0], B = [−3; 5; 1]
2. Nájdite súradnice bodu B, ak AB = a = (0;−4; 5) a A = [7;−8; 0]
3. Zistite, či sú vektory a a b navzájom kolmé alebo či sú kolineárne
a) a = (5; 3;−2), b = (10; 6;−4)
b) a = (3; 2;−1), b = (0; 5;−4)
4. Nájdite taký vektor a = (3; x;−4), aby vektory a a b boli navzájom kolmé, ak
a) b = (−3; 4; 2)
b) b = (1; 0; 0)
5. Nájdite vnútorné uhly trojuholníkov, ktorých vrcholy sú
a) A = [6; 0; 2], B = [8;−1; 4], C = [4;−4; 6]
b) A = [4; 0; 6], B = [6;−3; 12], C = [10; 2; 3]
c) A = [0; 3; 0], B = [0; 3; 2], C = [0; 5; 0]
6. Zistite, či je štvoruholník s vrcholmi A = [5; 2; 6], B = [6; 4; 4], C = [4; 3; 2] aD = [3; 1; 4] štvorec.
7. Dané sú vektory a = (2;−1; 3), b = (1;−2; 3) a c = (3; 2;−4). Nájdite vektor x,pre ktorý platí: x · a = 0, x · b = 0, x · c = −10
8. Dané sú vektory a = (1; 2; 3), b = (3;−1; 2) a c = (−2; 1; 3)
a) nájdite vektor x, kolmý na vektory a a b, pre ktorý platí x · c = 4
b) vypočítajte veľkosť |x|
c) aký uhol zvierajú vektory a a b?
9. Nájdite vektorový súčin a× b, ak a = AB, b = CD pričom A = [2; 2;−1],B = [2; 1; 0], C = [−1; 2; 2] a D = [2; 1; 3].
10. Dané sú vektory a = (3;−2; 1) a b = (2; 4;−2). Vypočítajte
a) jednotkový vektor c kolmý na vektory a aj b
Úlohy 99
b) sínus uhla vektorov a, b
11. Vypočítajte vektor c = a× b, ak
a) a = 2i, b = 2k
b) a = i + j, b = i− j
c) a = 2i + 3j, b = 3j + 2k
12. Dané sú vektory a = (−2;−4; 1) a b = (0;−3;−8). Vypočítajte
a) (a× b)× a
b) (b× a)× b
a výsledky porovnajte.
13. Dané sú vektory a = (2; 7; 4), b = (3; 4; 5), c = (6; 0; 3). Vypočítajte
a) (a× b)× c
b) a× (b× c)
c) (a× b) · c
d) a · (b× c)
14. Dané sú vektory a = (3; 2; 1) a b = (5; 0; 4). Vypočítajte
a) (a× b)
b) |a× b|
c) (a− b)× (a + b)
d) (a× b) + a
e) (b× a)× b
15. Vypočítajte plošný obsah trojuholníka ABC, ak
a) A = [3; 3; 0], B = [5; 1;−3], C = [5; 3;−1]
b) A = [7; 2; 6], B = [4; 5; 6], C = [3; 1;−4]
16. Vypočítajte plošný obsah trojuholníka ABC, ak A = [−1; 0; 1], B = [0; 2;−3],C = [4; 4; 1]. Aký plošný obsah má rovnobežník, v ktorom sú body A, B, C zasebou idúcimi vrcholmi?
100 D VEKTORY
17. Vypočítajte objem štvorstena ABCD, ak
a) A = [2; 1; 2], B = [6;−4; 2], C = [5; 3;−1], D = [0; 0; 0]
b) A = [1; 1; 3], B = [4; 7; 6], C = [2; 4; 1], D = [3; 3; 5]
18. Štvorsten má vrcholy A = [3; 4; 0], B = [5; 2;−3], C = [7; 4; 6] a D = [−4;−3; 7].Vypočítajte dĺžku výšky spustenej z vrchola D.
19. Vypočítajte objem rovnobežnostena, ktorého steny sú určené vektormiAB, AC, AD ak A = [3; 1; 6], B = [4; 0; 8], C = [1; 5; 7] a D = [0; 8; 22].
20. Vypočítajte objem štvorbokého ihlana a veľkosť telesovej výšky, ak podstava jerovnobežník so za sebou idúcimi vrcholmi A = [0; 0; 2], B = [3; 0; 5], C = [1; 1; 0]
a vrchol ihlana je V = [4; 1; 2].
21. Vypočítajte plošný obsah rovnobežníka zostrojeného z vektorov a, b, ak
a) a = 2i + 3j, b = 3j + 2k
b) a = AB, b = AC, A = [1; 1; 0], B = [2; 0; 3], C = [3; 1; 2]
22. Vypočítajte plošný obsah rovnobežníka, ak jeho vrcholy sú
a) A = [−1;−2; 8], B = [0; 0; 0], C = [6; 2; 0]
b) A = [2;−2; 2], B = [5;−4;−4], C = [3; 4; 2]
c) A = [6; 0; 2], B = [8;−1; 4], C = [4;−4; 0]
23. Daný je štvorsten ABCD. Vypočítajte jeho objem a vzdialenosť bodu A odsteny BCD, ak A = [1;−5; 4], B = [0; 3; 1], C = [−2;−4; 3] a D = [−4; 4;−2].
24. Napíšte rovnice rovín, prechádzajúce bodom A kolmo na vektor a, ak
a) A = [−1; 3; 2], a = (−1; 1; 2)
b) A = [3; 0; 2], a = (−1; 2; 0)
c) A = [4; 2; 1], a = (−1; 0; 1)
d) A = [4;−2; 3], a = (13; 5; 11)
25. Napíšte všeobecné rovnice rovín určených bodmi A, B, C, ak
a) A = [0; 1; 7], B = [4; 0;−3], C = [2;−3; 0]
b) A = [4; 4; 4], B = [−1; 10;−4], C = [2;−2; 5]
c) A = [6;−3; 3], B = [7;−3; 0], C = [5;−2; 3]
Úlohy 101
d) A = [1; 1; 1], B = [1; 2; 3], C = [4; 5; 6]
26. Napíšte rovnice rovín, prechádzajúce bodom A kolmo na vektor AB, ak
a) A = [1; 2; 3], B = [0; 1;−8]
b) A = [−1; 0;−1], B = [1; 4; 5]
c) A = [3; 0; 1], B = [5; 6; 7]
27. Napíšte rovnice rovín, prechádzajúce bodom A rovnobežne s vektormi a, b, ak
a) A = [0; 1; 2], a = (1; 1; 1), b = (0; 1; 3)
b) A = [1;−1; 1], a = 5i + 4k, b = 3j + 2k
c) A = [2; 0; 0], a = (0; 0; 1), b = (3; 0; 2)
102 D VEKTORY
Výsledky1. a) a = (4; 0;−2)
b) a = (−5; 5; 1)
2. B = [7;−12; 5]
3. a) 2 · a = b ⇒ sú lineárne závislé a teda kolineárne
b) a 6= k · b, a · b 6= 0, ani kolineárne, ani kolmé
4. a) a = (3; 174;−4)
b) neexistuje taký vektor
5. a) α.= 63◦36′43′′, β
.= 86◦27′08′′, γ
.= 29◦56′05′′
b) α.= 104◦10′36′′, β = γ
.= 37◦54′42′′
c) α = 90◦, β = γ = 45◦
6. Daný štvoruholník je štvorec.
7. x = (−2; 2; 2)
8. a) x = (−1;−1; 1)
b) |x| =√
3
c) �a, b = 60◦
9. (0; 3; 3)
10. a) c0 =
(0;
1√5;
2√5
)b) sin α =
√2021
11. a) c = −4j
b) c = −2k
c) c = 6i− 4j + 6k
12. a) (8;−47;−172)
b) (−146;−280; 105)
Výsledky 103
13. a) (6;−135;−12)
b) (−252; 96;−42)
c) 75
d) 75
14. a) (8;−7;−10)
b)√
213
c) (16;−14;−20)
d) (13;−38; 37)
e) (28; 82;−35)
15. a) 14
b) 452
16. a) P =√
173
b) P = 2√
173
17. a) V = 20
b) V = 3
18. v = 11
19. V = 24
20. V = 1, v = 1√11
21. a) P = 2√
22
b) P = 2√
6
22. a) P = 14√
5
b) P = 2√
433
c) P = 10√
2
23. V = 416, d(A, BCD) = 41√
1457
24. a) α : x− y − 2z + 8 = 0
b) α : x− 2y − 3 = 0
c) α : x− z − 3 = 0
104 D VEKTORY
d) α : 13x + 5y + 11z − 75 = 0
25. a) 33x− 8y + 14z − 90 = 0
b) 2x− y − 2z + 4 = 0
c) 3x + 3y + z − 12 = 0
d) x− 2y + z = 0
26. a) x + y + 11z − 36 = 0
b) x + 2y + 3z + 4 = 0
c) x + 3y + 3z − 6 = 0
27. a) 2x− 3y + z + 1 = 0
b) 12x + 10y − 15z − 13 = 0
c) 3y = 0
E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ 105
E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ
Definícia 1. Nech M ⊂ R. Zobrazenie množiny M do R nazývame reálnoufunkciou reálnej premennej (ďalej len funkcia). Označujeme ju f. Množinu M
nazývame oborom definície tejto funkcie a označujeme ho Df . Znakom f(x)
označujeme hodnotu funkcie f v čísle x ∈ Df . Funkcia je najčastejšie danárovnicou y = f(x). Označujeme to f : y = f(x). Ak nie je pritom udaný obordefinície tejto funkcie, potom oborom definície takto danej funkcie budemerozumieť jej prirodzený obor definície, t.j. množinu všetkých tých čísel x ∈ R,
v ktorých hodnota f(x) ∈ R (f(x)”má zmysel“). Množinu všetkých takých y ∈ R,
ku ktorým existuje x ∈ Df tak, že platí y = f(x), nazývame oborom hodnôtfunkcie f a označujeme ho Hf . T.j. Hf = {y ∈ R : ∃x ∈ Df také, že y = f(x)} .
Definícia 2. Ak v rovine je zvolený pravouhlý súradnicový systém, potomgrafom funkcie f definovanej na Df nazývame množinu všetkých bodov [x, y]
takých, že x ∈ Df a y = f(x).
Definícia 3 (operácie s funkciami).
a) Funkcie f a g sa rovnajú práve vtedy, ak sa rovnajú ich obory definícií a akpre každé a z oboru definície platí f(a) = g(a).
b) Nech funkcia f je definovaná na množine M. Funkciu h, ktorej obor definícieje množina M a pre všetky a ∈ M platí h(a) = |f(a)|, nazývameabsolútnou hodnotou funkcie f a označujeme |f |.
c) Nech funkcia f je definovaná na množine M a α ∈ R. Funkciu h, ktorej obordefinície je množina M a pre všetky a ∈ M platí h(a) = αf(a), nazývamesúčinom čísla a funkcie f a označujeme αf.
d) Nech f je funkcia definovaná na množine M1 a g je funkcia definovaná namnožine M2. Funkciu h, ktorá je definovaná na množine M = M1 ∩M2 a prekaždé a ∈ M platí h(a) = f(a) + g(a) (h(a) = f(a)− g(a), h(a) = f(a) · g(a))nazývame súčtom (rozdielom, súčinom) funkcie f a g a označujemef + g (f − g, f · g).
e) Nech f je funkcia definovaná na množine M1 a g je funkcia definovaná namnožine M2. Funkciu h, ktorá je definovaná na množineM = {x ∈ R : (x ∈ M1 ∩M2) ∧ (g(x) 6= 0)} a pre každé a ∈ M platíh(a) = f(a)
g(a), nazývame podielom funkcií f a g a označujeme f
g.
106 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ
Definícia 4. Funkciu h nazývame zloženou funkciou utvorenou z funkcie f a zfunkcie g vtedy a len vtedy, keď obor definície M funkcie h je množina všetkýchtých čísel z oboru definície g, v ktorých hodnota funkcie g je číslo z oboru definíciefunkcie f a keď pre každé a ∈ M platí h(a) = f (g(a)) .
Funkciu f nazývame hlavnou zložkou a funkciu g vedľajšou zložkou zloženejfunkcie h, a označujeme ju f(g).
Definícia 5. Nech M ⊂ R. Hovoríme, že funkcia f je rastúca [klesajúca,nerastúca, neklesajúca] na M, ak pre každé dve čísla x1, x2 ∈ M platí implikácia
x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)
[f (x1) > f (x2) , f (x1) ≥ f (x2) , f (x1) ≤ f (x2)]
Neklesajúcu [nerastúcu] funkciu nazývame monotónnou.Rastúcu [klesajúcu] funkciu nazývame rýdzomonotónnou.
Definícia 6. Funkcia f definovaná na Df sa nazýva párna [nepárna], ak prekaždé x ∈ Df je aj −x ∈ Df a f(−x) = f(x) [f(−x) = −f(x)].
Definícia 7. Funkcia f definovaná na Df sa nazýva periodická, ak existuje číslop 6= 0 také, že pre každé x ∈ Df je aj x± p ∈ Df a f(x + p) = f(x).Číslo p nazývame periódou funkcie f .
Definícia 8. Nech M ⊂ Df . Hovoríme, že funkcia f je zhora [zdola]ohraničená na množine M, ak
∃K ∈ R : ∀x ∈ M f(x) ≤ K
[∃L ∈ R : ∀x ∈ M f(x) ≥ L]
Ak funkcia f je ohraničená zhora aj zdola na množine M, tak hovoríme, že f jeohraničená na množine M.
Definícia 9. Funkciu f definovanú na množine M nazývame prostou, keď prekaždé x1, x2 ∈ M platí:
ak x1 6= x2, tak f (x1) 6= f (x2) .
Veta 1. Každá rýdzomonotónna funkcia je prostá.
Elementárne funkcie 107
Definícia 10. Nech f je prostá funkcia definovaná na množine M a jej oborhodnôt je H. Funkciu f−1 definovanú na množine H nazývame inverznou kfunkcii f, ak pre každé b ∈ H platí:
f−1(b) = a, práve vtedy, keď f(a) = b.
Veta 2. Nech f je prostá funkcia s oborom definície M a s oborom hodnôt H.
Nech f−1 je inverzná funkcia k funkcii f. Potom pre každé a ∈ M platíf−1 (f(a)) = a a pre každé b ∈ H platí f (f−1(b)) = b.
Veta 3. Nech f je rýdzomonotónna funkcia. Potom existuje k nej inverzná funkciaf−1. Funkcia f−1 je rastúca, ak f je rastúca a f−1 je klesajúca, ak f je klesajúca.Graf funkcie f−1 je súmerný s grafom funkcie f podľa priamky y = x.
Elementárne funkcieDefinícia 11.
a) Polynóm.Nech n je nezáporné celé číslo a a0, a1, a2, . . . , an reálne čísla. Funkciu
y = a0xn + a1x
n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an−1x + an, x ∈ R
nazývame polynómom, čísla a0, a1, a2, . . . , an jeho koeficientmi.Ak a0 6= 0, tak n sa nazýva stupeň polynómu.Ak a0 = a1 = a2 = · · · = an = 0, tak P (x) sa nazýva nulový polynóm.
b) Racionálna funkcia.Funkciu danú rovnicou
y =Pn(x)
Qm(x),
kde Pn(x) resp. Qm(x) je polynóm n-tého resp. m-tého stupňa, pričomQm(x) nie je nulový polynóm, sa nazýva racionálna funkcia. Ak n < m, takracionálnu funkciu nazývame rýdzoracionálnou funkciou. Obor definícieracionálnej funkcie je množina všetkých x ∈ R, pre ktoré Qm(x) 6= 0.
c) Exponenciálna funkcia.Funkciu definovanú na (−∞;∞) rovnicou y = ax, kde a > 0, nazývameexponeciálnou funkciou pri základe a. Ak a > 1, tak táto funkcia je rastúca,ak 0 < a < 1, tak je klesajúca.
108 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ
d) Logaritmická funkcia.Funkcia definovaná na (0;∞) rovnicou y = loga x, kde a > 0, a 6= 0 sa nazývalogaritmická funkcia. Ak a > 1, tak táto funkcia je rastúca, ak 0 < a < 1, takje klesajúca. Funkcia y = loga x je inverznou funkciou k funkcii y = ax.
e) Trigonometrické funkcie.Funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens nazývame trigonometrickýmifunkciami.Funkcia y = sin x je definovaná na (−∞;∞), je nepárna a periodickás periódou 2π.
Funkcia y = cos x je definovaná na (−∞;∞), je párna a periodickás periódou 2π.
Funkcia y = tg x je podiel funkcií sínus a kosínus, definovaná jepre všetky x ∈ R okrem čísel x = (2k + 1)π
2, k ∈ Z, je nepárna a periodická
s periódou π.
Funkcia y = cotg x je podiel funkcií kosínus a sínus, definovaná jepre všetky x ∈ R okrem čísel x = kπ, k ∈ Z, je nepárna a periodickás periódou π.
f) Cyklometrické funkcie.Funkcie arkussínus, arkuskosínus, arkustangens a arkuskotangens nazývamecyklometrickými funkciami.Funkcia y = arcsin x je definovaná na 〈−1; 1〉 a je inverznou funkciouk funkcii y = sin x, definovanej na intervale 〈−π
2; π
2〉.
Funkcia y = arccos x je definovaná na 〈−1; 1〉 a je inverznou funkciouk funkcii y = cos x, definovanej na intervale 〈0; π〉.Funkcia y = arctg x je definovaná na (−∞;∞) a je inverznou funkciouk funkcii y = tg x, definovanej na intervale
(−π
2; π
2
).
Funkcia y = arccotg x je definovaná na (−∞;∞) a je inverznou funkciouk funkcii y = cotg x, definovanej na intervale (0; π) .
g) Elementárne funkcie. Funkciu, ktorú dostaneme z konečného počtufunkcií v bode a) až f) pomocou konečného počtu operácií súčtu, rozdielu,súčinu, podielu a tvorenia zloženej funkcie nazývame elementárnou funkciou.
Riešené príklady 109
Riešené príkladyPríklad 1. Nájdime definičný obor funkcie
f : y = ln(10− x)−√
x + 2
x2 − 6x + 9.
Riešenie: Df ={x ∈ R : 10− x > 0 ∧ x+2
x2−6x+9≥ 0}
.
10− x > 0 ⇐⇒ x < 10
x + 2
x2 − 6x + 9=
x + 2
(x− 3)2≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −2 ∧ x 6= 3
TedaDf = {x ∈ R : x < 10 ∧ x ≥ −2 ∧ x 6= 3} = 〈−2; 3) ∪ (3; 10).
Príklad 2. Nájdime definičné obory a zistime, či sa rovnajú funkcie
f : y = 1 a g : y =(x− 5)2
x2 − 10x + 25.
Riešenie: Funkcia f je konštantná a jej Df = R. Funkciu g možno upraviť na tvar
y =(x− 5)2
(x− 5)2.
Jej obor definície je
Dg ={x ∈ R : (x− 5)2 6= 0
}= (−∞; 5) ∪ (5;∞).
Pretože funkcie f a g majú rôzne obory definície, nemôže platiť f = g.
Príklad 3. Nájdime obor definície a obor hodnôt funkcie
f : y =2
x2 + 3.
Dokážme, že je párna a nájdime jej intervaly monotónnosti. Zistite, či jeohraničená.
Riešenie: Df = {x ∈ R : x2 + 3 6= 0} = R. Platí ∀x ∈ R : 2x2+3
> 0, t.j. f je zdolaohraničená. Ďalej platí ∀x ∈ R :
x2 ≥ 0
x2 + 1 ≥ 11
x2 + 1≤ 1
2
x2 + 1≤ 2
110 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ
t.j. f je ohraničená aj zhora. Z toho vyplýva, že f je pre všetky x ∈ R ohraničená.Pretože Df = R, tak platí, ak x ∈ Df , tak aj −x ∈ Df a
f(−x) =2
(−x)2 + 3=
2
x2 + 3= f(x)
čo znamená, že f je párna funkcia.Monotónnosť: Nech x1, x2 ∈ 〈0;∞) ⊂ Df a nech x1 < x2 potom
x21 < x2
2
x21 + 3 < x2
2 + 31
x21 + 3
>1
x22 + 3
2
x21 + 3
>2
x22 + 3
f (x1) > f (x2) ,
čo znamená, že funkcia f je na intervale 〈0;∞) klesajúca. Analogicky dostaneme,že f je na (−∞; 0〉 rastúca. Z monotónnosti vyplýva, že maximálnu hodnotu danáfunkcia nadobúda v čísle x = 0, f(0) = 2
3. Svoju minimálnu hodnotu daná funkcia
nenadobúda. Obor hodnôt je Hf =(0; 2
3
⟩.
Príklad 4. Dokážme, že funkcia f : y = 3−√
x− 4 je prostá a nájdime k nejinverznú funkciu.
Riešenie: Obor definície funkcie je Df = {x ∈ R : x− 4 ≥ 0} = 〈4;∞). Nechx1, x2 ∈ Df a nech x1 6= x2 potom
x1 − 4 6= x2 − 4√
x1 − 4 6=√
x2 − 4
−√
x1 − 4 6= −√
x2 − 4
3−√
x1 − 4 6= 3−√
x2 − 4
f (x1) 6= f (x2) ,
t.j. funkcia f je prostá. To znamená, že existuje k nej inverzná funkcia. Inverznúfunkciu nájdeme tak, že v rovnici y = f(x) vymeníme x za y, t.j.
f : y = 3−√
x− 4, x ∈ Df = 〈4;∞), y ∈ Hf = (−∞; 3〉f−1 : x = 3−
√y − 4, x ∈ Df−1 = Hf = (−∞; 3〉, y ∈ Hf−1 = Df = 〈4;∞).
Odtiaľ√
x− 4 = 3− x, pre 3− x ≥ 0 t.j. x ≤ 3
y − 4 = (3− x)2
y = 4 + (3− x)2
y = x2 − 6x + 13
Riešené príklady 111
Hľadaná inverzná funkcia je f−1 : y = x2 − 6x + 13, Df−1 = (−∞; 3〉, Hf−1 = 〈4;∞).
112 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ
Úlohy1. Pre danú funkciu vypočítajte uvedené funkčné hodnoty
a) f(x) = 1+x1−x
, f(0), f(−5), f(2x), f( 1x)
b) f(x) =√
x + 2, f(2), f(5), f(x + 2), f(3− 2x)
c) f(x) = log x2, f(0), f(1), f(10), f(−x)
d) f(x) = cos2 x, f(0), f(π3), f(π), f(x + 2π)
e) f(x) = 1 + e2x, f(0),−f(1), f( 1x), f(x2)
2. Zistite, pre ktoré x leží graf danej funkcie nad osou ox
a) f : y = 2x2 − 8
b) f : y = ln (x2)
c) f : y = x+1x+4
d) f : y = 3x−2
3. Nájdite množinu všetkých reálnych čísel, pre ktoré sú hodnoty danej funkcieväčšie ako 2.
a) f : y = 3+x2
(1−x)2
b) f : y = 1−√
1−2x2
x
c) f : y = 2−x3+x
d) f : y = 2x+1
V úlohách 4 - 14 zistite, pre ktoré x ∈ Df nadobúda funkcia
a) kladné funkčné hodnoty
b) záporné funkčné hodnoty
c) nulové funkčné hodnoty
4. f : y = 4x2 − 9
5. f : y = x2 − 2x + 3
6. f : y = x2 − 10x + 20
7. f : y = x−1x+3
8. f : y = x+12−x
9. f : y = 3xx2+16
10. f : y = 2−3xx2−2x+3
11. f : y = log(x− 5)
12. f : y =√
2x − 4x
13. f : y = cos 2x
14. f : y =√
9−x2
ln(x−1)
V úlohách 15 - 17 nájdite definičné obory funkcií f a g a overte, či platí f = g.
Úlohy 113
15. a) f : y = 1x, g : y = x
x2
b) f : y = x2
x, g : y = x
c) f : y =√
x2, g : y = x
d) f : y = x2−1x−1
, g : y = x + 1
e) f : y = (√
x) , g : y =√
x2
16. a) f : y = log x2, g : y = 2 log x
b) f : y =√
(x + 1)2, g : y = x + 1
c) f : y = x2−4x+2
, g : y = x− 2
d) f : y = 1x−2
, g : y = x2+2x+4x3−8
17. a) f : y = (2x+3)2
4x2+12x+9, g : y = 3+2x
3+2x
b) f : y = x+13x2+5x+2
, g : y = 3x+23x2+5x+2
c) f : y = x + 1, g : y = x3+x2+x+1x2+1
d) f : y = 3+2x2x2+x−3
, g : y = 1x−1
18. Načrtnite graf funkcie, nájdite obor definície a intervaly monotónnostifunkcie.
a) f : y = 2x−5x−3
b) f : y = 8x−142x−3
c) f : y = 2xx+1
d) f : y = 3x−12x
e) f : y = 7−2x3x−6
f) f : y = 2x−3x−1
g) f : y = 2x−5x−3
V úlohách 19 - 20 načrtnite graf funkcie a nájdite intervaly monotónnosti funkcie.
19. a) f : y = 5−√
x− 1
b) f : y =√
2x− 6 + 7
c) f : y = 1− 3x
d) f : y =√
2x + 1
e) f : y = x2 + 4x + 1
20. a) f : y = arcsin(2x− 3)
b) f : y = x2 − 2x + 5
c) f : y = 1x2+4
d) f : y = |x2 − 3x + 2|
e) f : y = |3x + 6|+ |x + 2|
f) f : y = ln (1− x2)
21. Zistite, ktoré z uvedených funkcií sú monotónne, resp. rýdzomonotónne nasvojom prirodzenom definičnom obore.
114 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ
a) f : y = 3 + 2x
b) f : y = x− |x|
c) f : y = 1x2+4
d) f : y =√
1 + 3x
e) f : y = x3 − x
f) f : y = x+2x−2
V úlohách 22 - 28 rozhodnite, ktorá z funkcií je párna resp. nepárna.
22. a) f : y = sin2 x
b) f : y = x log x2
c) f : y = 3x − 3−x
d) f : y = cos 2x + 2
23. a) f : y =√
1 + x
b) f : y = 7
c) f : y = x2
1+2x2
d) f : y = x|x|
24. a) f : y = 21+x2
b) f : y = x−x3
x2−4
c) f : y = 1−xx
d) f : y = 13(2x + 2−x)
25. a) f : y = ln|x|x
b) f : y = sin x+cos x√1−x2
c) f : y = ln 1+x1−x
d) f : y = 2x2 + 1
26. a) f : y = ln(2 + x)
b) f : y =√
x
c) f : y = 3√
x
d) f : y = x2
1+2x2
27. a) f : y = x+2x−2
b) f : y = x3 − x
c) f : y = sin x3+cos x
d) f : y = sin x + tg x2
28. a) f : y = 3x+13x−1
b) f : y = x · sin x
c) f : y = sin x · cos x
d) f : y = x3 + sin3 x
29. Zistite, či funkcia f je ohraničená na množine M.
a) f : y = 31+x2 , M = Df
b) f : y = x− 5, M = (−3; 5)
c) f : y = 2x + 5, M = (−∞; 1)
d) f : y = −2x− 8, M = (−∞; 1)
e) f : y = 44+x2 , M = Df
f) f : y = x2
1+2x2 , M = Df
30. Zistite, či funkcia f je zhora, zdola resp. ohraničená.
a) f : y = 4xx2+1
b) f : y = 1x2+4
c) f : y = 2 + e−x2
d) f : y = ln (4− x2)
Úlohy 115
e) f : y = 2√x
f) f : y = x+2x−2
g) f : y = 1 + cos2 x
h) f : y = sin x2
i) f : y = xe−x
V úlohách 31 - 44 nájdite obor definície funkcie
31. a) f : y =√
1 + x2 + 1x+2
+√−x
b) f : y = 1√x−2
+ x√2−x
c) f : y =√
1− x2
d) f : y =√
x− 2
32. a) f : y =√|2x + 3| − 9
b) f : y = |x|+ 1√x−1
+ x+1x2−4
c) f : y = ln(√
x− 3− 2)
d) f : y = arcsin(2x− 3)
33. a) f : y = ln(2 cos x−
√3)
b) f : y = arccos x−47
+ ln(2x− 3)
c) f : y =√
1−x1+x
+√
x−1x+2
d) f : y = 5x+1√x2
34. a) f : y = 3x+22x2+x−3
b) f : y =√
1+x1−x
+ 1−x1+x
c) f : y = 1+x+x2+x3
1+2x2+x4
d) f : y = 3x2+4x−12x2−12x−32
35. a) f : y =√
9−x2
x−1
b) f : y =√
2x2 + x− 15 +√
6x2 − 7x + 2
c) f : y =√
x2−8x+15x2−5x+4
d) f : y =√
x2−x−6100−x2
36. a) f : y =√
7−xx−2
+ 2
b) f : y = 2√
x2−4
c) f : y = log (x2 − 5x + 6)
d) f : y = log x−1x+1
37. a) f : y = 3√
x2−5
b) f : y = 1log(2−x)
c) f : y = log3 (log3 x)
d) f : y = log(√
x− 4)
e) f : y = log x2+x−6x2+4x+3
f) f : y = 1log(20−x)
+√
x + 20
38. a) f : y =√
5x2 − 8x− 4
b) f : y = log (5x2 − 8x− 4)
c) f : y =√
−15x2−8x−4
d) f : y =√
4 + 8x− 5x2 +√
x2
x−1
e) f : y = log x2−8x+15x2−5x+4
39. a) f : y = ln(√
x + 3− 2)
116 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ
b) f : y = arccos(2x− 3)
c) f : y =√
x−1x+2
+ 3x
d) f : y = log (5x2 − 8x− 4) +√
x− 1
40. a) f : y =√
12−x2
x(x2−3)
b) f : y = x3 +√
3− x− 1x−2
c) f : y = 3x−1x3−2x2−3x
d) f : y =√
x+√
24−x
41. a) f : y = x−1x√
2−x−x2
b) f : y =√
x2 − 9 +√
9− x2
c) f : y =√
2xx2−2x−3
d) f : y = 1√log x
42. a) f : y = log x√log(log x)
b) f : y = log x2
logq
1+2x4−x
c) f : y = ln(2− 4
x+1
)d) f : y = ln
(x2+2x
x2−x−2
)43. a) f : y = ln
√2x− x3 + ln(x + 2)
b) f : y = 1+tg x1−tg x
c) f : y =√
cos2 x− sin2 x
d) f : y = cotg(
1x2
)44. a) f : y =
√cos x
b) f : y = log(cos x)
c) f : y =√
tg x
d) f : y = log (tg x)
e) f : y =√
log (tg x)
f) f : y =√
log (cos x)
V úlohách 45 - 52 nájdite inverznú funkciu (ak existuje) k funkcii f
45. a) f : y = 3x− 2, x ∈ 〈−1; 2〉
b) f : y = x2 − 1, x ∈ 〈0;∞)
c) f : y = ex − 1, x ∈ R
d) f : y = x2 + 2, x ∈ R
46. a) f : y = −2x2 + 5, x ∈ (1;∞)
b) f : y = 32x−1, x ∈ R
c) f : y = 2 + log(x + 1)
d) f : y = 2x− 3
Úlohy 117
47. a) f : y = 2x3
b) f : y = 1−x1+x
c) f : y = 2x + 2
d) f : y = log(x + 3)
48. a) f : y = 2x + 4
b) f : y = log 12(x + 2) + 3
c) f : y = 1x−3
d) f : y =√
2− 3x
49. a) f : y = ln(x− 1)
b) f : y = 1 + 3√
(x− 2)
c) f : y = 2x + 5
d) f : y = 11−x
50. a) f : y = 3√
x− 4
b) f : y =√
x3 − 1
c) f : y = x3
1+x3
d) f : y = 2x + 3
51. a) f : y = 10x+2 − 1
b) f : y = 2x− 3
c) f : y = 2x3 − 6
d) f : y = 2x − 2
52. a) f : y = log(x + 3)
b) f : y = −2x2 + 5, x ∈ (1;∞)
c) f : y = 32x−1
d) f : y = 2 + log(x + 1)
118 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ
Výsledky1. a) 1,−2
3, 1+2x
1−2x, x+1
x−1
b) 2, neexistuje,√
x + 4,√
1− 2x
c) neexistuje, 0, 2, log x2
d) 1, 14, 1, cos2 x
e) 2,−(1 + e2), 1 + 2x, 1 + e2x2
2. a) (−∞;−2) ∪ (2;∞)
b) (−∞;−1) ∪ (1;∞)
c) (−∞;−4) ∪ (−1;∞)
d) R
3. a)(2−
√5; 2 +
√5)
b) ∅
c)(−3;−4
3
)d) (0;∞)
4. a) x ∈(−∞;−3
2
)∪(
32;∞)
b) x ∈(−3
2; 3
2
) c) x = ±32
5. a) x ∈ R b) ∅ c) ∅
6. a) x ∈(−∞; 5−
√5)∪(5 +
√5;∞
)b) x ∈
(5−
√5; 5 +
√5)
c) x = 5±√
5
7. a) x ∈ (−∞;−3) ∪ (1;∞)
b) x ∈ (−3; 1)
c) x = 1
8. a) x ∈ (−1; 2)
b) x ∈ (−∞;−1) ∪ (2;∞)
c) x = −1
9. a) x ∈ (0;∞) b) x ∈ (−∞; 0) c) x = 0
10. a) x ∈(−∞; 2
3
)b) x ∈
(23;∞)
c) x = 23
11. a) x ∈ (6;∞) b) x ∈ (5; 6) c) x = 6
Výsledky 119
12. a) x ∈ (−∞; 0) b) ∅ c) x = 0
13. a) x ∈(−π
4+ kπ; π
4+ kπ
)b) x ∈
(π4
+ kπ; 3π4
+ kπ)
c) x = (2k + 1)π2, k ∈ Z
14. a) x ∈ (2; 3) b) x ∈ (1; 2) c) x = 3
15. a) Df = Dg = R \ {0}, f = g
b) Df = R \ {0}, Dg = R, f 6= g
c) Df = Dg = R, f 6= g
d) Df = R \ {1}, Dg = R, f 6= g
e) Df = 〈0;∞), Dg = R, f 6= g
16. a) Df = R \ {0}, Dg = (0;∞), f 6= g
b) Df = Dg = R, f 6= g
c) Df = R \ {−2}, Dg = R, f 6= g
d) Df = Dg = R \ {2}, f = g
17. a) Df = Dg = R \{
32
}, f = g
b) Df = Dg = R \{−1;−2
3
}, f 6= g
c) Df = Dg = R, f = g
d) Df = R \{1;−2
3
}, Dg = R \ {1} , f 6= g
18. a) Df = (−∞; 3) ∪ (3;∞) ; f je klesajúca na (−∞; 3) a (3;∞)
b) Df =(−∞; 3
2
)∪(
32;−∞
); f je rastúca na
(−∞; 3
2
)a(
32;−∞
)c) Df = (−∞;−1) ∪ (−1;∞) ; f je rastúca na (−∞;−1) a (−1;∞)
d) Df = (−∞; 0) ∪ (0;∞) ; f je rastúca na (−∞; 0) a (0;∞)
e) Df = (−∞; 2) ∪ (2;∞) ; f je klesajúca na (−∞; 2) a (2;∞)
f) Df = (−∞; 1) ∪ (1;∞) ; f je rastúca na (−∞; 1) a (1;∞)
g) Df = (−∞; 3) ∪ (3;∞) ; f je rastúca na (−∞; 3) a (3;∞)
19. a) klesajúca na 〈1;∞)
b) rastúca na 〈3;∞)
c) klesajúca na R
120 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ
d) rastúca na⟨−1
2;∞)
e) klesajúca na 〈−2;∞) ; rastúca 〈−∞;−2)
20. a) rastúca na 〈1; 2〉
b) klesajúca na (−∞; 1) a rastúca na (1;∞)
c) klesajúca na (0;∞) a rastúca na (−∞; 0)
d) klesajúca na (−∞; 1) ;(
32; 2)a rastúca na
(1; 3
2
); (2;∞)
e) klesajúca na (−∞;−2) a rastúca na (−2;∞)
f) klesajúca na (0; 1) a rastúca na (−1; 0)
21. a) rastúca
b) neklesajúca
c) nie je monotónna
d) rastúca
e) nie je monotónna
f) nie je monotónna
22. a) f je párna
b) f je nepárna
c) f je nepárna
d) f je párna
23. a) f nie je ani párna, ani nepárna
b) f je párna a zároveň aj nepárna
c) f je párna
d) f je nepárna
24. a) f je párna
b) f je nepárna
c) f nie je ani párna, ani nepárna
d) f je párna
25. a) f je nepárna
b) f nie je ani párna, ani nepárna
c) f je nepárna
d) f je párna
26. a) pre f nemá zmysel hovoriť o párnosti resp. nepárnosti
b) pre f nemá zmysel hovoriť o párnosti resp. nepárnosti
c) f je nepárna
Výsledky 121
d) f je párna
27. a) f nie je ani párna, ani nepárna
b) f je nepárna
c) f je nepárna
d) f je nepárna
28. a) f je nepárna
b) f je párna
c) f je nepárna
d) f je nepárna
29. a) ohraničená
b) ohraničená
c) zhora ohraničená
d) zdola ohraničená
e) ohraničená
f) ohraničená
30. a) ohraničená
b) ohraničená
c) ohraničená
d) zhora ohraničená
e) zdola ohraničená
f) neohraničená
g) ohraničená
h) ohraničená
i) zhora ohraničená
31. a) Df = (−∞;−2) ∪ (−2; 0〉
b) Df = ∅
c) Df = 〈−1; 1〉
d) Df = 〈2;∞)
32. a) Df = (−∞;−6〉 ∪ 〈3;∞)
b) Df = (1; 2) ∪ (2;∞)
c) Df = (7;∞)
d) Df = 〈1; 2〉
33. a) Df =(−π
6+ 2kπ; π
6+ 2kπ
), k ∈ Z
b) Df =(
32; 11⟩
c) Df = {1}
d) Df = R \ {0}
34. a) Df = R \{−3
2; 1}
b) Df = (−1; 1)
c) Df = R
d) Df = R \ {−2; 8}
35. a) Df = 〈−3; 1) ∪ (1; 3〉
b) Df = (−∞;−3〉 ∪⟨
52;∞) c) Df = (−∞; 1) ∪ 〈3; 4) ∪ 〈5;∞)
d) Df = (−10;−2〉 ∪ 〈−3; 10)
122 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ
36. a) Df = (−∞;−3〉 ∪ (2;∞)
b) Df = (−∞;−2〉 ∪ 〈2;∞)
c) Df = (−∞; 2) ∪ (3;∞)
d) Df = (−∞;−1) ∪ (1;∞)
37. a) Df =(−∞;−
√5⟩∪⟨√
5;∞)
b) Df = (−∞; 1) ∪ (1; 2)
c) Df = (1;∞)
d) Df = (4;∞)
e) Df = (−∞;−3) ∪ (−3;−1) ∪ (2;∞)
f) Df = 〈−20; 19) ∪ (19; 20)
38. a) Df =(−∞;−2
5
⟩∪ 〈2;∞)
b) Df =(−∞;−2
5
)∪ (2;∞)
c) Df =(−2
5; 2)
d) Df =⟨−2
5; 1)∪ (1; 2〉
e) Df = (−∞; 1) ∪ (3; 4) ∪ (5;∞)
39. a) Df = (1;∞)
b) Df = 〈1; 2〉
c) Df = (−∞;−2) ∪ (1;∞)
d) Df = (2;∞))
40. a) Df =⟨−2√
3;−√
3)∪(−√
3; 0)∪(0;√
3)∪(√
3; 2√
3⟩
b) Df = (−∞; 2) ∪ (2; 3〉
c) Df = R \ {−1; 0; 3}
d) Df =⟨−√
2; 4)
41. a) Df = (−2; 0) ∪ (0; 1)
b) Df = {−3; 3}
c) Df = 〈0; 3) ∪ (3;∞)
d) Df = (1;∞)
42. a) Df = (10;∞)
b) Df =(−1
2; 0)∪ (0; 1) ∪ (1; 4)
c) Df = (−∞;−1) ∪ (1;∞)
d) Df = (−∞;−2) ∪ (−1; 0) ∪ (2;∞)
43. a) Df =(−2;−
√2)∪(0;√
2)
b) Df = R \{(2k + 1)π
2∧ π
4+ kπ, k ∈ R
}c) Df =
⟨kπ − π
4; kπ + π
4
⟩, k ∈ Z
d) Df = R \{
0;± 1√kπ
, k ∈ N}
Výsledky 123
44. a) Df =⋃
k∈Z
{⟨−π
2+ 2kπ; π
2+ 2kπ
⟩}b) Df =
⋃k∈Z
{(−π
2+ 2kπ; π
2+ 2kπ
)}c) Df =
⋃k∈Z
{⟨kπ; (2k + 1)π
2
)}d) Df =
⋃k∈Z
{(kπ; (2k + 1)π
2
)}e) Df =
⋃k∈Z
{⟨π4
+ kπ; π2
+ kπ)}
f) Df =⋃
k∈Z{2kπ}
45. a) f−1 : y = 13(x + 2); x ∈ 〈−5; 4〉
b) f−1 : y =√
x + 1; x ∈ 〈−1;∞)
c) f−1 : y = ln(x + 1); x ∈ (−1;∞)
d) f−1 neexistuje (f nie je prostá)
46. a) f−1 : y =√
5−x2
; x ∈ (−∞; 3)
b) f−1 : y = 12log3 x + 1
2; x ∈ (0;∞)
c) f−1 : y = 10x−2 − 1; x ∈ R
d) f−1 : y = x+32
; x ∈ R
47. a) f−1 : y = 3√
x2; x ∈ R
b) f−1 : y = 1−x1+x
; x ∈ (−∞;−1) ∪ (−1;∞)
c) f−1 : y = log2(x− 2); x ∈ (2;∞)
d) f−1 : y = 10x − 3; x ∈ R
48. a) f−1 : y = 12(x− 4); x ∈ R
b) f−1 : y =(
12
)x−3 − 2; x ∈ R
c) f−1 : y = 1x
+ 3; x ∈ (−∞; 0) ∪ (0;∞)
d) f−1 : y = 2−x2
3; x ∈ 〈0;∞)
49. a) f−1 : y = ex + 1; x ∈ R
b) f−1 : y = 19(x− 1)2 + 2; x ∈ 〈1;∞)
c) f−1 : y = 12(x− 5); x ∈ R
d) f−1 : y = x−1x
; x 6= 0
50. a) f−1 : y = 19(x + 4)2; x ∈ 〈−4;∞)
124 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ
b) f−1 : y = (x2 + 1)13 ; x ∈ 〈0;∞)
c) f−1 : y = 3√
x1−x
; x 6= 1
d) f−1 : y = log2(x− 3); x ∈ (3;∞)
51. a) f−1 : y = log(x + 1)− 2; x ∈ (−1;∞)
b) f−1 : y = 12(x + 3); x ∈ R
c) f−1 : y = 3
√x+6
2; x ∈ R
d) f−1 : y = log2(x + 2); x ∈ (−2;∞)
52. a) f−1 : y = 10x − 3; x ∈ R
b) f−1 : y =√
5−x2
; x ∈ (−∞; 3〉
c) f−1 : y = 12log3 x + 1
2; x > 0
d) f−1 : y = 10x−2 − 1; x ∈ R
F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA 125
F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA
Definícia 1. Postupnosťou nazývame každú funkciu, ktorej definičným oboromje množina prirodzených čísel. an je hodnota tejto funkcie v čísle n a nazývamen-tý člen postupnosti. Postupnosť označujeme {an}∞n=1 alebo len {an} .
Definícia 2. Postupnosť {an} je rastúca (neklesajúca, klesajúca, nerastúca)práve vtedy, keď pre každé prirodzené číslo n platí: an < an+1 (an ≤ an+1,
an > an+1, an ≥ an+1).Každú rastúcu (neklesajúcu, klesajúcu, nerastúcu) postupnosť nazývamemonotónnou postupnosťou.Každú rastúcu (klesajúcu) postupnosť nazývame rýdzomonotónnoupostupnosťou.
Definícia 3. Postupnosť {an} je zhora (zdola) ohraničená práve vtedy, keďexistuje také kladné reálne číslo K, že pre všetky n ∈ N je an ≤ K (an ≥ K).
Definícia 4. Postupnosť {an} je ohraničená práve vtedy, keď je zhora a zdolaohraničená, t.j. keď existuje také kladné reálne číslo K, že pre všetky n ∈ N je−K ≤ an ≤ K(čo môžeme zapísať aj ako |an| ≤ K).
Definícia 5. Daná je postupnosť {an} . Nech {kn} je rastúca postupnosťprirodzených čísel. Potom postupnosť {akn} nazývame vybranou postupnosťouz postupnosti {an} pomocou postupnosti {kn} .
Definícia 6. Číslo a nazývame limitou postupnosti {an} , keď pre ľubovoľnéreálne číslo ε > 0 existuje také prirodzené číslo n0 také, že pre všetky prirodzenéčísla n > n0 platí |an − a| < ε. Ak postupnosť {an} má limitu rovnajúcu sa číslu a,
píšeme limn→∞
an = a.
Postupnosť, ktorá má limitu, nazývame konvergentnou postupnosťou.Postupnosť, ktorá nie je konvergentná nazývame divergentnou postupnosťou.
Veta 1. Konvergentá postupnosť má práve jednu limitu.
Veta 2. Nech {an} je konvergentná postupnosť, ktorá má limitu a. Potom každá znej vybratá postupnosť je tiež konvergentná a jej limita je číslo a.
126 F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA
Veta 3. Každá konvergentná postupnosť je ohraničená.
Veta 4. Každá monotónna, ohraničená postupnosť je konvergentná.
Veta 5. Nech {an} a {bn} sú dve konvergentné postupnosti, t.j. limn→∞
an = a a
limn→∞
bn = b. Potom platí:
1. limn→∞
(an ± bn) = limn→∞
an ± limn→∞
bn = a± b
2. limn→∞
(an · bn) = limn→∞
an · limn→∞
bn = a · b
3. limn→∞
an
bn=
limn→∞
an
limn→∞
bn= a
b, (ak bn 6= 0, b 6= 0)
4. limn→∞
anα =
(lim
n→∞an
)α
= aα, (ak α je číslo, an > 0, a > 0)
5. limn→∞
αan = αlim
n→∞an
= αa, (ak a > 0)
6. limn→∞
anbn =
(lim
n→∞an
) limn→∞
bn
= ab, (ak an > 0, a > 0).
Veta 6.
1. limn→∞
(1 + 1
n
)n= e (e = 2, 718281828459045 . . . )
2. limn→∞
n√
a = 1
3. limn→∞
n√
n = 1.
Veta 7. Nech {an} postupnosť, pre ktorú platí limn→∞
|an| = ∞ a pre každé n ∈ N
má výraz(1 + 1
an
)an
zmysel. Potom platí
limn→∞
(1 +
1
an
)an
= e.
Definícia 7. Postupnosť {an} má nevlastnú limitu ∞ (−∞), ak pre každékladné reálne číslo A existuje také prirodzené číslo n0 také, že pre všetkyprirodzené čísla n > n0 platí an > A (an < −A). Ak postupnosť {an} mánevlastnú limitu ∞ (−∞) píšeme lim
n→∞an = ∞ ( lim
n→∞an = −∞).
F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA 127
Veta 8. Ak {an} je neklesajúca (nerastúca) a zhora (zdola) neohraničená, taklim
n→∞an = ∞ ( lim
n→∞an = −∞).
Veta 9. Ak limn→∞
|an| = ∞ a pre každé prirodzené číslo n je an 6= 0, tak{
1an
}je
konvergentná a má limitu 0.
Veta 10. Ak limn→∞
an = 0 a pre každé prirodzené číslo n je an 6= 0 a existuje také
prirodzené číslo n0, že pre všetky prirodzené čísla n > n0 je an > 0 (an < 0), taklim
n→∞1
an= ∞ ( lim
n→∞1
an= −∞).
Veta 11. Nech limn→∞
an = ∞ ( limn→∞
an = −∞). Potom platí:
a) Ak c > 0, tak limn→∞
can = ∞( limn→∞
can = −∞)
b) Ak c < 0, tak limn→∞
can = −∞( limn→∞
can = ∞).
Veta 12. Nech {an} a {bn} sú postupnosti a limn→∞
an = ∞. Nech existuje také číslo
b > 0 a prirodzené číslo n0 také, že pre všetky prirodzené čísla n > n0 je bn ≥ b
(bn ≤ −b). Potom limn→∞
an · bn = ∞ ( limn→∞
an · bn = −∞).
128 F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA
Riešené príkladyPríklad 1. Napíšme prvých päť členov postupnosti danej n-tým členom
a) an = 17n
b) an = 1 + (−1)n.
Riešenie:
a){
17; 1
72 ;173 ;
174 ;
175 ; . . .
}b) {0; 2; 0; 2; 0; . . . } .
Príklad 2. Dokážme, že postupnosť{
23n+8
}∞n=1je monotónna a ohraničená.
Riešenie: Pre danú postupnosť je an = 23n+8
a an+1 = 23(n+1)+8
. Pre každé n ∈ Nplatí:
n < n + 1
3n < 3(n + 1)
3n + 8 < 3(n + 1) + 81
3n + 8>
1
3(n + 1) + 82
3n + 8>
2
3(n + 1) + 8an > an+1,
čo znamená, že postupnosť {an} je klesajúca. Ďalej pre každé n ∈ N platí:
n ≥ 1
3n ≥ 3
3n + 8 ≥ 111
3n + 8≤ 1
112
3n + 8≤ 2
11
an ≤ 2
11
t.j. postupnosť {an} je ohraničená. Navyše pre každé n ∈ N je an > 0, čižepostupnosť je ohraničená aj zdola. Podľa definície daná postupnosť je ohraničená.
Riešené príklady 129
Príklad 3. Pomocou definície limity postupnosti dokážme, že
limn→∞
4n− 1
2n + 1= 2.
Riešenie: Nech ε > 0. Podĺa definície limity postupnosti platí:∣∣∣∣4n− 1
2n + 1− 2
∣∣∣∣ < ε∣∣∣∣4n− 1− 4n− 2
2n + 1
∣∣∣∣ < ε∣∣∣∣ −3
2n + 1
∣∣∣∣ < ε
3
ε< 2n + 1
3
ε− 1 < 2n
n >1
2
(3
ε− 1
)Ak zvolíme n0 ≥ 1
2
(3ε− 1), tak pre každé prirodzené číslo n > n0 platí∣∣∣∣4n− 1
2n + 1− 2
∣∣∣∣ < ε, t.j. limn→∞
4n− 1
2n + 1= 2.
Príklad 4. Pomocou viet o limitách pre postupnosť vypočítajme
a)
limn→∞
(3− 7
8n+
2
n2
)b)
limn→∞
3n− 4
8− 2n.
Riešenie: Na základe vety 5 platí:
a)
limn→∞
(3− 7
8n+
2
n2
)= lim
n→∞3− 7
8lim
n→∞
1
n+ 2 lim
n→∞
1
n2= 3− 7
8· 0 + 2 · 0 = 3
130 F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA
b)
limn→∞
3n− 4
8− 2n= lim
n→∞
3n− 4
8− 2n·
1n1n
= limn→∞
3− 4n
8n− 2
=lim
n→∞
(3− 4
n
)lim
n→∞
(8n− 2) =
=lim
n→∞3− 4 lim
n→∞1n
8 limn→∞
1n− lim
n→∞2
=3− 4 · 08 · 0− 2
= −3
2.
Príklad 5. Vypočítajme
a)
limn→∞
5n − 7
2 + 4 · 5n
b)
limn→∞
42n2+3
3n2−1 .
Riešenie:
a)
limn→∞
5n − 7
2 + 4 · 5n·
15n
15n
= limn→∞
1− 75n
25n + 4
=1− 7 · 02 · 0 + 4
=1
4
b) Najskôr vypočítame
limn→∞
2n2 + 3
3n2 − 1·
1n2
1n2
= limn→∞
2 + 3n2
3− 1n2
=2 + 3 · 03− 0
=2
3.
Potom platí
limn→∞
42n2+3
3n2−1 = 4lim
n→∞2n2+3
3n2−1 = 423 .
Príklad 6. Vypočítajme
a)
limn→∞
3
√2n2 − 8n + 2
4n2 − 1
b)
limn→∞
3n2 − 8n + 2
4n− n3.
Riešenie:
Riešené príklady 131
a)
limn→∞
3
√2n2 − 8n + 2
4n2 − 1=
3
√lim
n→∞
2n2 − 8n + 2
4n2 − 1=
= 3
√lim
n→∞
2− 8n
+ 2n2
4− 1n2
= 3
√2− 8 · 0 + 2 · 0
4− 0=
3
√1
2
b)
limn→∞
3n2 − 8n + 2
4n− n3·
1n3
1n3
= limn→∞
3n− 8
n2 + 24n2 − 1
=0− 0 + 0
0− 1= 0.
Príklad 7. Vypočítajme
a)
limn→∞
(n−
√n2 + n
)b)
limn→∞
(1− 5
n
)n
.
Riešenie:
a)
limn→∞
(n−
√n2 + n
)· n +
√n2 + n
n +√
n2 + n= lim
n→∞
n2 − (n2 − n)
n +√
n2 + n=
= limn→∞
−n
n +√
n2 + n·
1n1n
= limn→∞
−1
1 +√
1 + 1n
=−1√1 + 0
= −1
2
b) Po úprave dostaneme
limn→∞
(1− 5
n
)n
= limn→∞
[(1 +
1
−n5
)−n5
]−5
=
[lim
n→∞
(1 +
1
−n5
)−n5
]−5
= e−5.
Príklad 8. Vypočítajme
limn→∞
(2n− 2
2n− 3
)3n+4
.
Riešenie:
limn→∞
(2n− 2
2n− 3
)3n+4
= limn→∞
(1 +
2n− 2
2n− 3− 1
)3n+4
=
= limn→∞
(1 +
2n− 2− (2n− 3)
2n− 3
)3n+4
= limn→∞
(1 +
1
2n− 3
)3n+4
=
132 F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA
= limn→∞
[(1 +
1
2n− 3
)2n−3] 3n+4
2n−3
Limita výrazu v [ ] je rovná číslu e (podľa vety 7) a
limn→∞
3n + 4
2n− 3=
3
2,
preto (podľa vety 5 bod 6.)
limn→∞
(2n− 2
2n− 3
)3n+4
= e32 .
Poznámka 1. Tento príklad sa dá vyriešiť aj bez použitia vety 5 bod 6.:
limn→∞
(2n− 2
2n− 3
)3n+4
= limn→∞
(1 +
2n− 2
2n− 3− 1
)3n+4
=
= limn→∞
(1 +
2n− 2− (2n− 3)
2n− 3
)3n+4
= limn→∞
(1 +
1
2n− 3
)3n+4
=
= limn→∞
[(1 +
1
2n− 3
)2n−3] 3
2
·(
1 +1
2n− 3
)4+ 92
=
=
[lim
n→∞
(1 +
1
2n− 3
)2n−3] 3
2
·[
limn→∞
(1 +
1
2n− 3
)]4+ 92
= e32 · 1 = e
32 .
Poznámka 2. Pri nesprávnom použití viet o limitách tento príklad vedie k”číslu“
1∞. Tento typ limity patrí do zoznamu tzv.”problematických“ limít (ďalšie sú 0
0,
∞∞ , ∞−∞, 0 · ∞, ∞0, 00). Podrobne sa úlohami, ktoré vedú k jednotlivým typomtýchto limít budeme zaoberať pri limitách funkcie, v časti - L’Hospitalovo pravidlo(od strany 171). Pri úlohách, ktoré nevedú k niektorému z týchto siedmich typov,prakticky dostaneme priamo výsledok. Napríklad
a) limn→∞
(2 + 1
n
)n= ∞ (typ 2∞)
b) limn→∞
(12
+ 1n
)n= 0 (typ
(12
)∞).
Príklad 9. Vypočítajme limity
a)lim
n→∞(7 + 4n)
Riešené príklady 133
b)
limn→∞
3n2 + 8n− 7
9n + 5.
Riešenie:
a) Na základe viet o nevlastných limitách postupnosti je
limn→∞
(7 + 4n) = ∞
b) Označme bn = 3n2+8n−79n+5
.
Vypočítajme
limn→∞
1
bn
= limn→∞
9n + 5
3n2 + 8n− 7= lim
n→∞
9n
+ 5n2
3 + 8n− 7
n2
=0 + 0
3 + 0− 0= 0.
Pre všetky n ∈ N je bn > 0 a podľa viet o limitách postupnosti platílim
n→∞1bn
= 0 a preto (veta 10)
limn→∞
bn = limn→∞
3n2 + 8n− 7
9n + 5= ∞.
134 F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA
Úlohy1. Napíšte prvých päť členov postupnosti
a){
14n
}∞n=1
b) {2+(−1)n
3
}∞n=1
c) {√
n}∞n=1 d) {1−cos nπ
2
}∞n=1
2. Dokážte, že postupnosť {an} je monotónna a ohraničená, ak
a) an = n+1n+3
b) an = n+1n
c) an = n3n−1
d) an = 3n2−n2
3. Pomocou definície limity postupnosti dokážte, že limn→∞
an = a, ak
a) an = 7n−1n+1
, a = 7
b) an = 4n2+13n2+2
, a = 43
c) an = 5n+156−n
, a = −5
d) an = 2n−12−3n
, a = −23
V úlohách 4 - 19 vypočítajte limity
4. a) limn→∞
(7 + 4
2n
)b) lim
n→∞
(35n− 6) c) lim
n→∞
(8− 1
5n
)d) lim
n→∞
(47n
+ 1)
5. a) limn→∞
(4− 2
5n2
8+ 6n
)b) lim
n→∞
13n−6
5+ 4n2
c) limn→∞
3+ 4n3
5n4−2
d) limn→∞
3n4
6− 1n
6. a) limn→∞
2−2n3+4n
b) limn→∞
23−4n2−n
c) limn→∞
1+3n2
6−n2
d) limn→∞
2−3n2
4+5n2
7. a) limn→∞
n3+12n3−6n+2
b) limn→∞
n2+n+42n3+5
c) limn→∞
2n4−6n2+1n4+n3+n
d) limn→∞
n3+2n2+n−13n3−n+1
8. a) limn→∞
(n+1)(n−2)(n+3)n5+1
b) limn→∞
(3−n)2−(3+n)2
(3−n)2+(3+n)2
c) limn→∞
(1+2n)3−8n3
(1+2n)3+4n2
d) limn→∞
n3−(n−1)3
(n+1)4−n4
9. a) limn→∞
√n2+3n+4
b) limn→∞
4n2+√
n2+1n2+n+2
c) limn→∞
√n2+3+n
6√n4+4−n
d) limn→∞
√n2+6+n
7√n3+2−n
Úlohy 135
10. a) limn→∞
3q
n3+√
2n− 7√n
2−5n
b) limn→∞
4+3n3q
n3+√
5n− 6√n
c) limn→∞
3q
8n2+√
2n2+ 6√n
3−4n
d) limn→∞
4√n2+
3√n2+ 6√n
3√n4+2
11. a) limn→∞
3
√2n2+6n+1
3n2+6
b) limn→∞
(n5+12n5+n
)4
c) limn→∞
√n4+3
2n4+n2+1
d) limn→∞
(2n2+3n−1
n2+2
)3
12. a) limn→∞
3·2n
2n+1
b) limn→∞
3n
2n+2
c) limn→∞
4·5n
4n−3
d) limn→∞
7n+42−3·7n
13. a) limn→∞
32n
n+1
b) limn→∞
(25
) 1n2+6n+8
c) limn→∞
46n−24−2n
d) limn→∞
(13
) 2n2+6n−5
n2+2n−1
14. a) limn→∞
(√n + 1−
√n)
b) limn→∞
(√n + 2−
√n) c) lim
n→∞
(n−
√n2 + n
)d) lim
n→∞
√n(√
n + 1−√
n)
15. a) limn→∞
(√n2 − 7n + 8− n
)b) lim
n→∞
(√n2 − 6n + 8− n
)c) lim
n→∞
(n−
√n2 − 4n + 7
)d) lim
n→∞
(√n2 − 3n + 6−
√n2 + 6n− 3
)16. a) lim
n→∞
(1 + 1
3n
)nb) lim
n→∞
(1− 3
2n
)n2
c) limn→∞
(1 + 1
2n+5
)2n
d) limn→∞
(1 + 1
3n
)2n
17. a) limn→∞
(3n−23n+1
)5n−3
b) limn→∞
(3n+13n+2
)3n
c) limn→∞
(n+2
n
) 2n3
d) limn→∞
(n+3n−2
)4n+1
18. a) limn→∞
(n+1n−4
)2n−3
b) limn→∞
(8n2+58n2+7
)8n2+6
c) limn→∞
(2n−21+2n
)4n−1
d) limn→∞
(3+2n2n−1
)n19. a) lim
n→∞n2+21−n
b) limn→∞
3n3+2n2+n+1n2+4n+7
c) limn→∞
(7 + 8n)
d) limn→∞
3q
n5+√
2n− 7√n+1
2−5n
136 F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA
Výsledky
1. a){
14; 1
42 ;143 ;
144 ;
145 ; . . .
}b){
13; 1; 1
3; 1; 1
3; . . .
} c){1;√
2;√
3;√
4;√
5; . . .}
d) {1; 0; 1; 0; 1; . . . }
4. a) 7 b) −6 c) 8 d) 1
5. a) 12
b) −65
c) −32
d) 0
6. a) −12
b) 4 c) −3 d) −35
7. a) 12
b) 0 c) 2 d) 13
8. a) 0 b) 0 c) 0 d) 0
9. a) 1 b) 4 c) −1 d) −1
10. a) −15
b) 3 c) 0 d) 0
11. a) 3
√23
b) 116
c)√
12 d) 8
12. a) 3 b) 12
c) 0 d) −13
13. a) 9 b) 1 c) 4−3 d) 19
14. a) 0 b) 0 c) −12
d) 12
15. a) −72
b) −3 c) 2 d) −92
16. a) e13 b) e−
34 c) e d) e
23
17. a) e−5 b) e−1 c) e43 d) e20
18. a) e10 b) e−2 c) e−6 d) e2
19. a) −∞ b) ∞ c) ∞ d) −∞
G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE 137
G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE
Definícia 1. Nech a ∈ R je číslo. Ľubovoľný otvorený interval, ktorý obsahuječíslo a nazývame okolím čísla a, a označujeme ho znakom O(a). Interval(a− δ; a + δ), kde δ je ľubovoľné kladné reálne číslo nazývame δ-okolím čísla a aoznačujeme ho Oδ(a). Ľavým, resp. pravým okolím čísla a rozumieme interval(a− δ; a) resp. (a; a + δ). Interval (K;∞) resp. (−∞; K), kde K je ľubovoľnéreálne číslo nazývame okolím nevlastného čísla ∞ resp. −∞ a budeme hooznačovať O(∞) resp. O(−∞).
Definícia 2. Nech M ⊂ R je obor definície funkcie f . Nech O(a) je také okoliečísla a, že funkcia f je v každom čísle x ∈ O(a), x 6= a definovaná (v čísle a funkciaf nemusí byť definovaná). Hovoríme, že funkcia f má v čísle a za limitu číslob, keď pre každú postupnosť čísiel {an} takú, že an ∈ M, an 6= a pre každé n ∈ N alim
n→∞an = a, je lim
n→∞f (an) = b. Túto limitu označujeme lim
x→af (x) = b.
Definícia 3. Nech M ⊂ R je obor definície funkcie f . Nech (a; a + δ) ⊂ M
[(a− δ; a) ⊂ M ] , kde δ > 0. Hovoríme, že funkcia f má v čísle a limitu sprava[limitu zľava] číslo b, keď pre každú postupnosť čísiel {an} takú, že an ∈ M,
an > a [an < a] pre každé n ∈ N a limn→∞
an = a, je limn→∞
f (an) = b.
Limitu sprava [zľava] funkcie f v čísle a označujeme limx→a+
f (x) = b[lim
x→a−f (x) = b
].
Definícia 4. Nech M ⊂ R je obor definície funkcie f . Nech O(∞) ⊂ M
[O(−∞) ⊂ M ]. Hovoríme, že že funkcia f má v ∞ [−∞] limitu číslo b, keď prekaždú postupnosť čísiel {an} takú, že an ∈ M, pre každé n ∈ N a lim
n→∞an = ∞,
[ limn→∞
an = −∞], je limn→∞
f (an) = b.
Limitu funkcie f v ∞ [−∞] označujeme limx→∞
f (x) = b [ limx→−∞
f (x) = b].
Veta 1. Funkcia f má v čísle a limitu práve vtedy, keď má v čísle a limitu spravaa limitu zľava a platí:
limx→a
f (x) = limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x)
Veta 2. Funkcia f má v čísle a najviac jednu limitu.
138 G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE
Veta 3.
a) Nech funkcie f a g majú v čísle a limitu. Potom v čísle a má limitu aj f + g,
f − g, fg a platí:
limx→a
[f(x)± g(x)] = limx→a
f(x)± limx→a
g(x)
limx→a
[f(x) · g(x)] = limx→a
f(x) · limx→a
g(x)
b) Nech funkcie f a g majú v čísle a limitu a nech limx→a
g(x) 6= 0. Potom aj
funkcia fgmá v čísle a limitu a platí:
limx→a
f(x)
g(x)=
limx→a
f(x)
limx→a
g(x).
Veta 4. Nech zložená funkcia f(g) je definovaná v okolí O(a) čísla a (v čísle a
nemusí byť definovaná). Nech existujú limity
limx→a
g(x) = b a limu→b
f(u) = B.
Nech pre všetky x 6= a z nejakého okolia bodu a je g(x) 6= b. Potom existuje limitazloženej funkcie f(g) v čísle a a platí
limx→a
f(g(x)) = limu→b
f(u) = B.
Veta 5. Nech limx→a
f(x) = 0. Nech funkcia g je definovaná a ohraničená v nejakom
intervale (a− δ; a) ∪ (a; a + δ). Potom limx→a
f(x) · g(x) = 0
Definícia 5. Nech funkcia f je definovaná na množine M ⊂ R. Nech O(a) je takéokolie čísla a, že funkcia f je v každom čísle x ∈ O(a), x 6= a definovaná (v čísle a
funkcia f nemusí byť definovaná). Hovoríme, že funkcia f má v čísle a
nevlastnú limitu ∞ [−∞] keď pre každú postupnosť čísiel {an} takú, že an ∈ M,
an 6= a pre každé n ∈ N a limn→∞
an = a, je limn→∞
f (an) = ∞ [ limn→∞
f (an) = −∞].Túto limitu označujeme lim
x→af (x) = ∞ [lim
x→af (x) = −∞].
Definícia 6. Nech funkcia f je definovaná na množine M ⊂ R. Nech(a; a + δ) ⊂ M [(a− δ; a) ⊂ M ] , kde δ > 0. Hovoríme, že funkcia f má v čísle a
nevlastnú limitu sprava ∞ resp. −∞ [limitu zľava ∞ resp. −∞], keď pre
G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE 139
každú postupnosť čísiel {an} takú, že an ∈ M, an > a [an < a] pre každé n ∈ N alim
n→∞an = a, je
limn→∞
f (an) = ∞ resp. limn→∞
f (an) = −∞.
Nevlastnú limitu sprava [zľava] funkcie f v čísle a označujeme
limx→a+
f (x) = ∞ resp. −∞
[ limx→a−
f (x) = ∞ resp. −∞].
Definícia 7. Nech funkcia f je definovaná na množine M ⊂ R.Nech O(∞) ⊂ M [O(−∞) ⊂ M ]. Hovoríme, že funkcia f má v ∞ [−∞]nevlastnú limitu ∞ resp. −∞, keď pre každú postupnosť čísiel {an} takú, žean ∈ M, pre každé n ∈ N a lim
n→∞an = ∞, [ lim
n→∞an = −∞], je
limn→∞
f (an) = ∞ resp. limn→∞
f (an) = −∞.
Nevlastnú limitu funkcie f v ∞ [−∞] označujeme
limx→∞
f (x) = ∞ resp. −∞
[ limx→−∞
f (x) = ∞ resp. −∞].
Veta 6. Nech limx→a
f(x) = b 6= 0 a limx→a
g(x) = 0. Nech existuje okolie O(a) čísla a
také, že pre všetky x ∈ O(a), x 6= a je g(x) > 0 [g(x) < 0]. Potom platí:
limx→a
f(x)
g(x)= ∞, ak b > 0, alebo lim
x→a
f(x)
g(x)= −∞, ak b < 0
[limx→a
f(x)
g(x)= −∞, ak b > 0, alebo lim
x→a
f(x)
g(x)= ∞, ak b < 0
].
Veta 7. Nech limx→a
f(x) = ∞ alebo limx→a
f(x) = −∞. Potom limx→a
1f(x)
= 0.
Veta 8. Nech limx→a
f(x) = ∞ [limx→a
f(x) = −∞]. Nech existuje okolie O(a) čísla a
také, že pre všetky x ∈ O(a), x 6= a je g(x) ≥ K [g(x) ≤ K], K je číslo. Potomplatí:
limx→a
(f(x) + g(x)) = ∞[limx→a
(f(x) + g(x)) = −∞].
140 G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE
Veta 9. Nech limx→a
f(x) = ∞ [limx→a
f(x) = −∞]. Nech existuje okolie O(a) čísla a a
číslo K > 0 také, že pre všetky x ∈ O(a), x 6= a je g(x) ≥ K. Potom platí:
limx→a
(f(x) · g(x)) = ∞[limx→a
(f(x) + g(x)) = −∞].
Vety 2 - 9 platia aj pre limitu sprava, limitu zľava, ako aj pre limity v nevlastnýchčíslach (namiesto O(a) treba uvažovať pravé okolie, ľavé okolie čísla a resp. okoliaO(∞) a O(−∞))
Veta 10.
a) limx→0
sin xx
= 1
b) limx→±∞
(1 + 1
x
)x= e
Definícia 8. Nech funkcia f je definovaná v nejakom okolí O (x0) čísla x0
[〈x0; x0 + δ);(x0 − δ; x0〉]. Hovoríme, že funkcia f je spojitá [sprava spojitá;zľava spojitá] v čísle x0, ak platí
limx→x0
f(x) = f (x0)
[lim
x→x+0
f(x) = f (x0) ; limx→x−0
f(x) = f (x0)
]
Definícia 9. Hovoríme, že funkcia f je spojitá na intervale I, ak je spojitá vkaždom vnútornom bode (čísle) intervalu I, spojitá sprava v ľavom koncovom bodeintervalu I, ak tento bod patrí do I a spojitá zľava v pravom koncovom bodeintervalu I, ak tento bod patrí do I.
Hovoríme, že funkcia f je spojitá, ak je spojitá na svojom obore definície.
Definícia 10. Body, v ktorých funkcia f nie je spojitá, nazývame bodminespojitosti.
Veta 11. Nech funkcie f a g sú spojité v čísle x0. Potom aj funkcie |f |, f ± g,
f · g sú spojité v čísle x0, a ak g (x0) 6= 0, tak aj fgje spojitá v čísle x0.
Veta 12. Ak funkcia g je spojitá v čísle x0 a funkcia f je spojitá v čísle g (x0) ,
tak zložená funkcia f(g) je spojitá v čísle x0.
Veta 13. Každá elementárna funkcia je spojitá v každom bode svojho oborudefinície.
Riešené príklady 141
Riešené príkladyPríklad 1. Pomocou definície limity funkcie dokážme, že
limx→−3
x2 − 9
x + 3= −6.
Riešenie: f(x) = x2−9x+3a jej obor definície Df = (−∞;−3) ∪ (−3;∞). Nech {an}
je ľubovoľná číselná postupnosť taká, že an ∈ Df , an 6= −3 a limn→∞
an = −3. Potom
limn→∞
f (an) = limn→∞
a2n − 9
an + 3= lim
n→∞
(an + 3)(an − 3)
an + 3=
limn→∞
(an − 3) =(
limn→∞
an
)− 3 = −3− 3 = −6
Príklad 2. Pomocou viet o limitách funkcií vypočítajme
limx→−1
3x4 + 2x2 − 3x− 1
x2 + 2.
Riešenie:
limx→−1
3x4 + 2x2 − 3x− 1
x2 + 2=
limx→−1
(3x4 + 2x2 − 3x− 1)
limx→−1
(x2 + 2)=
=lim
x→−13x4 + 2 lim
x→−1x2 − 3 lim
x→−1x− 1
limx→−1
x2 + 2=
3 · (−1)4 + 2 · (−1)2 − 3 · (−1)− 1
(−1)2 + 2=
7
3.
Príklad 3. Vypočítajme
limx→2
x2 + x− 6
x2 − 6x + 8.
Riešenie:
limx→2
x2 + x− 6
x2 − 6x + 8= lim
x→2
(x− 2)(x + 3)
(x− 2)(x− 4)= lim
x→2
(x + 3)
(x− 4)=
limx→2
(x + 3)
limx→2
(x− 4)=
2 + 3
2− 4= −5
2.
Príklad 4. Vypočítajme
limx→0
1− cos 2x + tg2 x
x sin x.
142 G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE
Riešenie: Riešime pomocou vzorcov pre goniometrické funkcie a viet o limitáchfunkcií:
limx→0
1− cos 2x + tg2 x
x sin x= lim
x→0
1− (cos2 x− sin2 x) + tg2 x
x sin x= lim
x→0
2 sin2 x + sin2 xcos2 x
x sin x=
= limx→0
sin2 x (2 cos2 x + 1)
x sin x cos2 x= lim
x→0
sin x
x· 2 cos2 x + 1
cos2 x=
= limx→0
sin x
x· lim
x→0
2 cos2 x + 1
cos2 x= 1 · 2 · 1 + 1
1= 3.
Príklad 5. Vypočítajme
limx→∞
(x + 3)(x + 4)(x + 5)
x4 + x− 11.
Riešenie:
limx→∞
(x + 3)(x + 4)(x + 5)
x4 + x− 11= lim
x→∞
x3 + 12x2 + 47x + 60
x4 + x− 11·
1x4
1x4
=
= limx→∞
1x
+ 12x2 + 47
x3 + 60x4
1 + 1x3 − 11
x4
=0
1= 0.
Príklad 6. Vypočítajme
limx→∞
(x3
2x2 − 1− x2
2x + 1
).
Riešenie:
limx→∞
(x3
2x2 − 1− x2
2x + 1
)= lim
x→∞
x3(2x + 1)− x2(2x2 − 1)
(2x2 − 1)(2x + 1)=
= limx→∞
2x4 + x3 − 2x4 + x2
(2x2 − 1)(2x + 1)= lim
x→∞
x3 + x2
4x3 + 2x2 − 2x− 1=
= limx→∞
1 + 1x
4 + 2x− 2
x2 − 1x3
=1
4.
Príklad 7. Vypočítajme
limx→1
x2 − x√x− 1
.
Riešené príklady 143
Riešenie: Zlomok rozšírime dvojčlenom√
x + 1 :
limx→1
x2 − x√x− 1
·√
x + 1√x + 1
= limx→1
x(x− 1)(√
x + 1)
(x− 1)= lim
x→1x(√
x + 1) =
= 1 · (√
1 + 1) = 2.
Príklad 8. Vypočítajme
limx→c
√x−
√c
x− c,
pre c > 0.
Riešenie:
limx→c
√x−
√c
x− c·√
x +√
c√x +
√c
= limx→c
x− c
(x− c)(√
x +√
c)= lim
x→c
1√x +
√c
=1
2√
c.
Príklad 9. Vypočítajme
limx→∞
√x + 2
√3x + 4
√5x
√2x + 1
.
Riešenie: Čitateľ a menovateľ vydelíme výrazom√
x > 0. Dostaneme
limx→∞
√x + 2
√3x + 4
√5x
√2x + 1
= limx→∞
√x+2√
3x+4√
5x
x√2x+1
x
=
= limx→∞
√√√√1 + 2√
3x+4√
5xx2
2 + 1x
= limx→∞
√√√√√1 + 2
√3x
+ 4√
5x3
2 + 1x
=
=
√1 + 2 ·
√0 + 4
√0
2 + 0=
√1
2.
Príklad 10. Vypočítajme
limx→0
sin 3x
x.
Riešenie:limx→0
sin 3x
x= lim
x→0
3 sin 3x
3x= 3 lim
x→0
sin 3x
3x= 3 · 1 = 3.
144 G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE
Príklad 11. Vypočítajme
limx→0
tg x
3x.
Riešenie:
limx→0
tg x
3x= lim
x→0
sin x
3x cos x= lim
x→0
1
3· sin x
x· 1
cos x=
1
3· 1 · 1 =
1
3.
Príklad 12. Vypočítajme
limx→0
tg 5x
tg 6x.
Riešenie:
limx→0
tg 5x
tg 6x= lim
x→0
tg 5xx
tg 6xx
= limx→0
5 sin 5x5x
· 1cos 5x
6 sin 6x6x
· 1cos 6x
=5 · 16 · 1
· 1
1=
5
6.
Príklad 13. Vypočítajme
limx→∞
(x− 3
x + 2
)2x+1
.
Riešenie:
limx→∞
(x− 3
x + 2
)2x+1
= limx→∞
(1 +
x− 3
x + 2− 1
)2x+1
=
= limx→∞
(1 +
x− 3− (x + 2)
x + 2
)2x+1
= limx→∞
(1 +
−5
x + 2
)2x+1
=
= limx→∞
(1 +
1x+2−5
)2x+1
= limx→∞
(1 +
1x+2−5
)x+2−5
−5
x+2
2x+1
=
= limx→∞
(1 +1
x+2−5
)x+2−5
−5(2x+1)
x+2
= limx→∞
(1 +1
x+2−5
)x+2−5
−10x−5
x+2
.
Limita výrazu v [ ] je číslo e a limx→∞
−10x−5x+2
= −10. Teda
limx→∞
(x− 3
x + 2
)2x+1
= e−10.
Alebo
limx→∞
(x− 3
x + 2
)2x+1
= limx→∞
(1 +
x− 3
x + 2− 1
)2x+1
=
Riešené príklady 145
= limx→∞
(1 +
x− 3− (x + 2)
x + 2
)2x+1
= limx→∞
(1 +
−5
x + 2
)2x+1
=
= limx→∞
(1 +
1x+2−5
)2x+1
= limx→∞
(1 +1
x+2−5
)x+2−5
−10
·
(1 +
1x+2−5
)−3
=
=
limx→∞
(1 +
1x+2−5
)x+2−5
−10
·
[lim
x→∞
(1 +
1x+2−5
)]−3
= e−10 · 1−3 = e−10
Príklad 14. Vypočítajme jednostrannú limitu
limx→3−
4
x− 3.
Riešenie: Funkcia h(x) = 4x−3a Dh = (−∞; 3) ∪ (3;∞). Teda funkcia h je
definovaná v ľavom okolí čísla 3 a limx→3−
g(x) = limx→3−
(x− 3) = 0 pričom x− 3 < 0.
Podľa vety 6 je limx→3−
4x−3
= −∞.
Príklad 15. Vypočítajme jednostrannú limitu limx→−2+
arccos x−24
.
Riešenie: Ak položíme g(x) = x−24a f(u) = arccos u, tak f(g) = arccos x−2
4. Daná
funkcia je teda zloženou funkciou. Jej definičný obor
Df(g) =
{x ∈ R : −1 ≤ x− 2
4≤ 1
}= 〈−2; 6〉.
Existuje pravé okolie čísla −2, v ktorom je f(g) definovaná. Vypočítajmelim
x→−2+g(x) = lim
x→−2+
x−24
= −1, pričom x−24
> −1. Potom limu→−1+
arccos u = π. Podľa
vety o limite zloženej funkcie limx→−2+
arccos x−24
= π.
Príklad 16. Na základe definície spojitej funkcie dokážme, že funkciaf(x) = 3 + 1
xje spojitá v čísle x0 = 1.
Riešenie: Df = (−∞; 0) ∪ (0;∞). Teda funkcia f je definovaná v okolí čísla 1.
Treba dokázať, že limx→1
f(x) = f(1) = 3 + 11
= 4.
limx→1
f(x) = limx→1
(3 + 1
x
)= 3 + 1
1= 4.
Príklad 17. Nájdime body nespojitosti funkcie
f(x) =x2 − 25
x− 5.
146 G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE
Riešenie: Obor definície danej funkcie je Df = (−∞; 5) ∪ (5;∞). Teda číslox0 = 5 je bodom nespojitosti funkcie f. Ukážeme, že f nemá iné body nespojitosti.Nech x0 ∈ Df , x0 6= 5. Potom
limx→x0
f(x) = limx→x0
x2 − 25
x− 5=
x20 − 25
x0 − 5= f (x0) .
Čiže funkcia f je (podľa definície spojitosti) spojitá v každom čísle x0 ∈ Df . Tedačíslo x0 = 5 je jediným bodom nespojitosti funkcie f.
Úlohy 147
Úlohy1. Pomocou definície limity funkcie dokážte, že
a) limx→2
x2−4x−2
= 4 b) limx→2
2(x−2)2
= ∞
2. Pomocou definície limity funkcie dokážte, že funkcia f(x) = x2−12x2−x−1
má tietolimity
a) limx→0
f(x) = 1
b) limx→1
f(x) = 23
c) limx→−∞
f(x) = 12
d) limx→− 1
2
+f(x) = ∞
V úlohách 3 - 16 vypočítajte limity
3. a) limx→2
3x−5x2−2x+3
b) limx→0
x3+2x2−x−2x2−1
c) limx→π
tg x−sin xcos3 x
d) limx→2
x2−4x+1
4. a) limx→1
x−1x2−3x+2
b) limx→2
x2−4x2−3x+2
c) limx→−1
x+1x2−2x−3
d) limx→−3
x+3x2+4x+3
5. a) limx→∞
x2−1x2−2x+4
b) limx→−∞
2x2−6x+1x2+3x−1
c) limx→∞
x2−43x2+5x−1
d) limx→−∞
2x3+2x−14x3+4x2+5
6. a) limx→
√3
x2−3x4+x2+1
b) limx→1
(1
1−x− 3
1−x3
) c) limx→∞
(5x2−xx2−3
− 3x3−4x3−x
)d) lim
x→0
(1+x)5−(1+5x)x2+x5
7. a) limx→∞
x3−2x2
4−x2
b) limx→∞
x2−4x+5x−2
c) limx→−∞
x3−4x2+1x2+2
d) limx→−∞
x5−4x3+x2
x4−1
8. a) limx→−3
x+3√x+4−1
b) limx→7
2−√
x−3x2−49
c) limx→−2
√6+x−2x+2
d) limx→2
√2+x−2√
x−2
9. a) limx→0
√6+x−
√6−x
x
b) limx→−1
√2x+3−1√5+x−2
c) limx→2
√x2−1−
√x2+x−3
x2−4
d) limx→∞
√1+x+x2−
√1−x+x2
x
148 G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE
10. a) limx→∞
(√x− 2−
√x)
b) limx→∞
(x−
√x2 − 1
)c) lim
x→∞
(√2x + 1−
√x + 2
)d) lim
x→∞
(√x2 + 11x + 3−
√x2 − 5x + 9
)11. a) lim
x→∞
√3x2+5x−
√x
4−x
b) limx→∞
3√x7+1+ 4√x3+55√x2+9+
√x3
c) limx→∞
4√x5+
5√x3+
6√x8
3√x4+2
d) limx→∞
5√x5+3x2−1x+2
12. a) limx→0
sin 5x2x
b) limx→0
sin 4xsin3x
c) limx→0
4 sin x cos x3x
d) limx→0
tg 8x5x
13. a) limx→0
x · cotg x
b) limx→0
cos x−cos3 xx2
c) limx→0+
sin xx3
d) limx→∞
cos2 xx
14. a) limx→∞
(2x+42x+5
)x+3
b) limx→∞
(x+1x−1
)2x+3
c) limx→∞
(x2+3x2−4
)5x2−7
d) limx→∞
(x2+1x2−1
)x2
15. a) limx→1−
xx−1
b) limx→2+
3x−2
c) limx→2+
3x2−x
d) limx→−1−
x−2x+1
16. a) limx→−1+
arctg 11+x
b) limx→ 1
2
+ln(2x− 1)
c) limx→2+
1(x−2)2
d) limx→∞
e5x2−2
17. Na základe definície spojitosti dokážte, že funkcia f je v bode x0 spojitá.
a) f(x) =√
x + 3, x0 = 5
b) f(x) = 2x + 3, x0 = 4
c) f(x) = x+1x−2
, x0 = 7
d) f(x) = e2x+3, x0 = −1
18. Dokážte, že funkcia f je v bode x0 nespojitá.
a) f(x) = x2−16x−4
, x0 = 4
b) f(x) = 1(2+x)2
, x0 = −2
c) f(x) = ln x2, x0 = 0
d) f(x) = xsin x
, x0 = π
Úlohy 149
19. Nájdite body, v ktorých funkcia f nie je spojitá a dodefinujte ju v týchtobodoch tak, aby takto dodefinovaná funkcia bola spojitá na R
a) f(x) = 1+x3
1+x
b) f(x) = sin 2xcos x
c) f(x) = x2−4x+2
d) f(x) = 29−x2
20. Určte body nespojitosti funkcie
a)
f(x) =
{ex x < 0x + 3 x ≥ 0
b)
f(x) =
{x x ≥ 0x2 − x x < 0
c)
f(x) =
{e
1x x 6= 0
0 x = 0
d)
f(x) =
{2x x 6= 34 x = 3
21. Dokážte, že funkcia f je spojitá na danej množine M
a) f(x) = x + 3√
x, M = 〈0;∞)
b) f(x) = x+2x−3
, M = (3;∞)
c) f(x) = arcsin x+12
, M = Df
d) f(x) = x2 + 6x + 5, M = (−∞;∞).
150 G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE
Výsledky
3. a) 13
b) 2 c) 0 d) 0
4. a) −1 b) 4 c) −14
d) −12
5. a) 1 b) 2 c) 13
d) 12
6. a) 0 b) −1 c) 16 d) 10
7. a) −∞ b) ∞ c) −∞ d) −∞
8. a) 2 b) 156
c) 14
d) 0
9. a)√
66
b) 4 c) −√
324
d) 0
10. a) 0 b) 0 c) ∞ d) 8
11. a)√
3 b) ∞ c) 1 d) 1
12. a) 52
b) 43
c) 43
d) 85
13. a) 1 b) 1 c) ∞ d) 0
14. a) e−12 b) e4 c) e35 d) e2
15. a) −∞ b) ∞ c) −∞ d) ∞
16. a) π2
b) −∞ c) ∞ d) ∞
19. a) x = −1; f(−1) = 3
b) x1 = (4k + 1)π2; f (x1) = 2
x2 = (4k + 3)π2; f (x2) = −2, k ∈ Z
c) x = −2; f(−2) = −4
d) x1 = 3, x2 = −3; nedá sa
20. a) x = 0 b) f je spojitá c) x = 0 d) x = 3
H DERIVÁCIA FUNKCIE 151
H DEFINÍCIA DERIVÁCIE. DEFINÍCIA AZÁKLADNÉ VZORCE. GEOMETRICKÝ AFYZIKÁLNY VÝZNAM DERIVÁCIÍ. DERIVÁCIEVYŠŠÍCH RÁDOV.
Definícia derivácieDefinícia 1. Nech je funkcia y = f(x) definovaná v bode x0 a v nejakom jehookolí. Ak existuje limita
limx→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
, (H.1)
nazývame ju deriváciou funkcie v bode x0 a označujeme f ′(x0). Na označeniederivácie často používame aj symboly[
df
dx
]x=x0
resp.df
dx(x0). (H.2)
Ak rozdiel x− x0 označíme symbolom ∆x, dostaneme
f ′(x0) = lim∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x. (H.3)
Definícia 2. Nech má funkcia y = f(x) deriváciu v každom bode x0 ∈ M .Hovoríme, že funkcia g(x) je deriváciou funkcie f(x) na množine M , ak prekaždý bod x0 ∈ M platí g(x0) = f ′(x0). Deriváciu funkcie na množine budemeoznačovať
f ′(x) resp.df
dx,
df(x)
dx. (H.4)
Derivácia funkcie y = f(x) je limitou pomeru prírastku funkcie k prírastkunezávislej premennej
f ′(x) = lim∆x→0
f(x + ∆x)− f(x)
∆x. (H.5)
Geometrický význam derivácieSmernica dotyčnice ku grafu funkcie y = f(x) v dotykovom bode T = [x0, f(x0)] jederivácia danej funkcie v bode x0. Označme y0 = f(x0). Potom rovnicoudotyčnice je
t : y − y0 = f ′(x0)(x− x0). (H.6)
152 H DERIVÁCIA FUNKCIE
Ak f ′(x0) 6= 0, rovnica normály ku grafu funkcie y = f(x) v bode T je
n : y − y0 = − 1
f ′(x0)(x− x0). (H.7)
f(x)
dotyčnica
normála
T = [x0, y0]
x0
y0
X = [x, y]
x
y
α
Obrázok H.1: Dotyčnica a normála ku grafu funkcie
Fyzikálny význam derivácie1. Ak s = f(t) je funkcia vyjadrujúca priamočiary pohyb hmotného bodu v čase t,tak f ′(t0) udáva veľkosť rýchlosti tohto bodu v čase t0 (takzvanú okamžitúrýchlosť)
v(t0) =ds
dt(t0) = f ′(t0). (H.8)
Zrýchlenie vypočítame ako deriváciu rýchlosti v čase t0
a(t0) =dv
dt(t0). (H.9)
Základné vzorce 153
Priemerná rýchlosť pohybujúceho sa bodu v časovom intervale (t0, t) je podiel
vp =f(t)− f(t0)
t− t0. (H.10)
2. Ak je fyzikálna veličina daná funkciou času m(t), rýchlosť zmeny tejto veličiny včase t je
v(t) =dm(t)
dt. (H.11)
Napríklad rýchlosť rozpadu rádioaktívnej látky, rýchlosť chemickej reakcie,intenzita elektrického prúdu ap. Priemerná rýchlosť zmeny fyzikálnej veličiny včasovom intervale (t0, t) je podiel
mp =m(t)−m(t0)
t− t0. (H.12)
Základné vzorceVeta 1. Nech funkcie f(x) a g(x) majú na množine M deriváciu a nech c jereálne číslo. Potom aj funkcie c · f(x), f(x) + g(x), f(x)− g(x), f(x) · g(x) majúna množine M derivácie a platí:
(c · f(x))′ = c · f ′(x) (H.13)
(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x) (H.14)
(f(x)− g(x))′ = f ′(x)− g′(x) (H.15)
(f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) (H.16)
Veta 2. Nech funkcie f(x) a g(x) majú na množine M deriváciu a nech g(x) 6= 0
pre ∀x ∈ M . Potom aj funkcia f(x)g(x)má na množine M deriváciu a platí:(
f(x)
g(x)
)′=
f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)
g2(x). (H.17)
Veta 3 (Derivácia zloženej funkcie). Nech u = g(x) je funkcia definovaná namnožine M s oborom hodnôt H. Nech g′(x) je jej derivácia na množine M . Nechfunkcia f(u) má na množine H deriváciu f ′(u). Potom zložená funkcia f(g(x))
má na množine M deriváciu a platí
(f(g(x)))′ =
[df(u)
du
]u=g(x)
·[du
dx
]= [f ′(u)]u=g(x) · g
′(x) = f ′(g(x)) · g′(x). (H.18)
154 H DERIVÁCIA FUNKCIE
Veta 4 (Logaritmické derivovanie). Ak má funkcia f(x) na intervale (a, b)
deriváciu f ′(x) a ak je na tomto intervale f(x) > 0, potom pre ∀x ∈ (a, b) platí
(ln f(x))′ =1
f(x)· f ′(x) ⇒ f ′(x) = f(x) · (ln f(x))′. (H.19)
Veta 5. Nech funkcie f1(x), f2(x), . . . , fn(x) majú derivácie na množine M a nechc1, c2, . . . , cn sú ľubovoľné konštanty. Potom pre každé x ∈ M existuje aj deriváciafunkcie c1f1(x) + c2f2(x) + · · ·+ cnfn(x) a platí
(c1f1(x) + c2f2(x) + · · ·+ cnfn(x))′ = c1f′1(x) + c2f
′2(x) + · · ·+ cnf
′n(x). (H.20)
Veta 6 (Derivácie elementárnych funkcií). Pre derivácie elementárnych funkciíplatia na ich definičných oboroch nasledujúce vzorce
1. c′= 0 c je číslo x ∈ R2. x′= 1 x ∈ R3. (xα)′= α · xα−1 α ∈ R, α 6= 1 x ∈ R4. (ex)′= ex x ∈ R5. (ax)′= ax · ln a a > 0, a 6= 1 x ∈ R6. (ln x)′= 1
xx > 0
7. (loga x)′= 1x·ln a
a > 0, a 6= 1 x > 0
8. (sin x)′= cos x x ∈ R9. (cos x)′= − sin x x ∈ R10. (tg x)′= 1
cos2 xx 6= (2k + 1) · π
2, k ∈ Z
11. (cotg x)′= − 1sin2 x
x 6= k · π, k ∈ Z12. (arcsin x)′= 1√
1−x2 |x| < 1
13. (arccos x)′= − 1√1−x2 |x| < 1
14. (arctg x)′= 11+x2 x ∈ R
15. (arccotg)′= − 11+x2 x ∈ R
Derivácie vyšších rádovDefinícia 3. Majme funkciu y = f(x) definovanú na množine M . Nech y′ = f ′(x)
je jej derivácia definovaná na podmnožine množiny M . Deriváciou druhéhorádu (alebo druhou deriváciou) funkcie y = f(x) nazývame funkciu (f ′(x))′, t.j.deriváciu prvej derivácie funkcie f(x) (ak táto existuje). Označujeme ju
f ′′(x) resp. y′′. (H.21)
Derivácie vyšších rádov 155
Definícia 4. Deriváciou n-tého rádu (alebo n-tou deriváciou) funkcie f(x)
pre n = 2, 3, 4, . . . nazývame deriváciu (n− 1)-ej derivácie y = f(x) (ak tátoexistuje). Označujeme ich
f ′′(x), f ′′′(x), f (4)(x), f (5)(x), . . . , f (n)(x), (H.22)
resp.y′′, y′′′, y(4), y(5), . . . , y(n). (H.23)
156 H DERIVÁCIA FUNKCIE
Riešené príkladyPríklad 1. Z definície derivácie dokážte, že funkcia f(x) = 1
xmá v čísle x0 = 2
deriváciu a vypočítajte ju.
Riešenie: f(x) = 1x, D(f) = (−∞; 0) ∪ (0;∞) - funkcia je teda definovaná aj na
istom okolí čísla 2. Vypočítajme deriváciu v čísle 2:
limx→2
f(x)− f(2)
x− 2= lim
x→2
1x− 1
2
x− 2= lim
x→2
2−x2x
x− 2= lim
x→2
(− 1
2x
)= −1
4
Z toho podľa definície 1 vyplýva, že y = 1xmá v čísle x0 = 2 deriváciu a platí
f ′(2) = −14.
Príklad 2. Z definície derivácie určte deriváciu funkcie y =√
x.
Riešenie: y =√
x, D(f) = 〈0;∞). Položme∆y = f(x + ∆x)− f(x) =
√x + ∆x−
√x a vypočítajme limitu funkcie v bode x,
ležiacom v definičnom obore funkcie:
lim∆x→0
√x + ∆x−
√x
∆x= lim
∆x→0
√x + ∆x−
√x
∆x·√
x + ∆x +√
x√x + ∆x +
√x
=
= lim∆x→0
x + ∆x− x
∆x(√
x + ∆x +√
x)= lim
∆x→0
∆x
∆x(√
x + ∆x +√
x)=
= lim∆x→0
1√x + ∆x +
√x
=1
2√
x
To znamená, že y′ = 12√
xpre x > 0.
Príklad 3. Vypočítajte rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkciey = e−x cos 2x v bode dotyku T = [0; ?].
Riešenie: Dosadením x = 0 do rovnice danej funkcie vypočítame y-ovú súradnicubodu T : yT = e−0 cos 0 = 1, čiže T = [0, 1]. Potom vypočítame y′(0), čím určímesmernicu dotyčnice:y′(x) = −e−x cos 2x + e−x(− sin 2x) · 2y′(0) = −e−0 cos 0 + e−0(− sin 0)) · 2 = −1 + 0 = −1
Rovnica dotyčnice t je y − 1 = −1 · (x− 0) ⇒ y = −x + 1
Smernica normály je − 1y′(0)
= 1 a teda pre rovnicu normály n platí:y − 1 = 1 · (x− 0) ⇒ y = x + 1
Riešené príklady 157
y = e−x cos 2x
t
n
T = [0, 1]
Obrázok H.2: Dotyčnica a normála ku grafu funkcie y = e−x cos 2x v dotykovombode T = [0, 1] - k príkladu 3
Príklad 4. Nájdite deriváciu zloženej funkcie F (x) = ln√
x2 + 1.
Riešenie: F (x) je zložená funkcia, jej zložky sú u = h(x) = x2 + 1 s definičnýmoborom D(h) = R a s oborom hodnôt H(h) = 〈1;∞) a v = g(u) =
√u pre ∀x ∈ R
H(h) = 〈1;∞) ⊂ D(g) = R. Ak položíme f(v) = ln v, potomF (x) = f(v) = f(g(u)) = f(g(h(x))), pričom H(g) = 〈1;∞) ⊂ D(f) = (0;∞)
∀x ∈ R. Každá zo zložiek je elementárnou funkciou a má teda deriváciu.Použijeme vetu 3 o derivácii zloženej funkcie:F ′(x) = [ln
√x2 + 1]′ =
[dfdv
]v=
√x2+1
·[
dvdu
]u=x2+1
· dudx
=[d(ln v)
dv
]v=
√x2+1
·[
d(√
u)du
]u=x2+1
· d(x2+1)dx
= 1√x2+1
· 12√
x2+1· 2x = 1
x2+1· x = x
x2+1
∀x ∈ R.
Príklad 5. Nájdite deriváciu funkcie xx.
Riešenie: Danú funkciu nemôžeme derivovať ako mocninovú funkciu, lebo x vexponente nie je konštantou, ani ako exponenciálnu funkciu, lebo ani x v základenie je konštantou. Uvedieme dva spôsoby derivovania danej funkcie:
a) f(x) = xx = eln xx= ex·ln x, pre x ∈ (0;∞)
f(x) je zložená funkcia f(x) = eu, kde u = x · ln x. Podľa vety 3 je
f ′(x) =[
d(eu)du
]u=x·ln x
·[
dudx
]= [eu]u=x·ln x · (x · ln x)′ = ex ln x · (1 · ln x + x · 1
x) =
= xx · (ln x + 1).
b) Použijeme vetu 4 (logaritmické derivovanie). Pre každé x > 0 platíln f(x) = ln xx = x · ln x
ln f(x) = x · ln x derivovaním dostávame1
f(x)f ′(x) = (x · ln x)′
158 H DERIVÁCIA FUNKCIE
1f(x)
f ′(x) = ln x + x · 1x
f ′(x)xx = ln x + x · 1
x
f ′(x) = xx(ln x + 1), x ∈ (0;∞).
Príklad 6. Vypočítajte y(4)(−1), ak y = (x + 2)5.
Riešenie: Funkcia y = (x + 2)5 je definovaná pre ∀x ∈ R.
y′ = 5(x + 2)4
y′′ = 20(x + 2)3
y′′′ = 60(x + 2)2
y(4) = 120(x + 2)
y(4)(−1) = 120(−1 + 2) = 120
Príklad 7. Vypočítajte f (16)(x), ak f(x) = ln x.
Riešenie: Funkcia f(x) = ln x je definovaná pre x ∈ (0;∞).
f ′(x) = 1x
= x−1
f ′′(x) = −1 · x−2 = − 1x2
f ′′′(x) = −1 · (−2) · x−3 = (−1)2 · 1 · 2 · 1x3
f (4)(x) = −1 · (−2) · (−3) · x−4 = (−1)3 · 1 · 2 · 3 · 1x4
...
f (n)(x) = (−1)n−1 · (n− 1)! 1xn
f (16)(x) = (−1)15 · 15! 1x16
= − 15!x16
Príklad 8. Teleso sa pohybuje po naklonenej rovine tak, že dráha s v závislosti odčasu t je daná rovnicou s(t) = 30t− 1, 2t2. Vypočítajte:
a) Veľkosť priemernej rýchlosti pohybujúceho sa telesa v časovom intervale(t0; t0 + h), h > 0, t0 > 0.
b) Okamžitú rýchlosť v čase t = 3.
c) Čas, v ktorom je rýchlosť nulová.
Riešené príklady 159
Riešenie:
a) Priemerná rýchlosť vp je daná podielom
vp =f(t0 + h)− f(t0)
t0 + h− t0=
30(t0 + h)− 1,2(t0 + h)2 − 30t0 + 1,2t20h
=
=30h− 2,4t0h− 1,2h2
h= 30− 2,4t0 − 1,2h
b) Okamžitá rýchlosť v čase t = 3 je rovná derivácii dráhy podľa času v bodet = 3. Keďže v(t) = s′(t) = 30− 2,4t, rýchlosť v čase t je v(3) = s′(3) = 22,8.
c) Ak okamžitú rýchlosť v(t) položíme rovnú nule, dostaneme rovnicu30− 2,4t = 0, z čoho vyplýva, že t = 12,2. Ak uvažujeme, že dráha je daná vmetroch a čas v sekundách, okamžitá rýchlosť bude nulová v čase 12,2 sekundy.
Príklad 9. Chemická reakcia dvoch látok, pri ktorej sa premení x grammolekúl zat sekúnd, je daná vzťahom x = A · (1− e−kt), kde k je konštanta reakčnej rýchlostia A je počet grammolekúl vstupujúcich do reakcie. Vypočítajte okamžitú reakčnúrýchlosť.
Riešenie: Okamžitá reakčná rýchlosť v(t) je podľa H.11 rovnáv(t) = dx
dt⇒ v(t) = A·k
ekt .
160 H DERIVÁCIA FUNKCIE
Úlohy1. Na základe definície derivácie nájdite deriváciu funkcie f v čísle x0
a) f(x) = x3, x0 = 0
b) f(x) =√
x, x0 = 2
c) f(x) = 31+x2 , x0 = 1
2. Na základe definície derivácie nájdite deriváciu funkcie f
a) f(x) = x4, x ∈ R
b) f(x) = 1x, x ∈ R \ {0}
c) f(x) = cos x, x ∈ R
3. Pomocou základných vzťahov a vzorcov nájdite derivácie funkcií v danýchčíslach
a) f(x) = x2 − 4x + 5, x0 = 1
b) f(x) = 1√x, x0 = 4
c) f(x) = 3 cos x− 4 sin x, x0 = π2
V úlohách 4 - 8 nájdite derivácie daných funkcií na ich definičných oboroch
4. a) y = x2 − 5x + 6, x ∈ R
b) y = 2x4 − 3x3 + 5x2 − x + 100, x ∈ R
c) y =√
x + 1x, x > 0
d) y = x√
x + 13√x
+√
5x, x > 0
e) y = x5 − π2
√x3 + 3
x4 −√
7, x > 0
5. a) y = (x− 1)3, x ∈ R
b) y = x3−3x2−4x+12x+2
, x 6= −2
c) y = 2x6−1x3 , x 6= 0
d) y = x2+2x−33√π, x ∈ R
6. a) y = 2x + ln x + 3 sin x, x > 0
b) y = 5 · 10x + arcsin x2
− 4 cos x, x ∈ 〈−1; 1〉
c) y = tg x− cotg x +√
23
ex + π · arctg x, x 6= k · π2, k ∈ Z
7. a) y = (3x + 1)10, x ∈ R
Úlohy 161
b) y = (6x2 − 14x + 25)3, x ∈ R
c) y = 4√
2x + 5 + 1(2x−3)2
, x > −52, x 6= 3
2
d) y = e3x + 102x +√
ex + 5 + ex+5, x ∈ R
8. a) y = cos(3x− 4) + ln(x− 5) + arccotg x2, x > 5
b) y = 2 sin x + sin 2x + sin2 x + sin x2, x ∈ R
c) y = 3 ln x + ln 3x + ln3 x + ln x3, x > 0
d) y = esin x + arctg(sin x) +√
sin x, x ∈ 〈2kπ; (2k + 1)π〉, k ∈ Z
e) y = 3√1−x
+ 71x + arcsin ex, x < 0
V úlohách 9 - 14 nájdite derivácie daných funkcií na ich definičných oboroch
9. a) y = e3x · sin 5x
b) y = x+1x−1
c) y = 2x · cos 3x + π2
√e
d) y = (1− x2) ·√
tg x + ex
sin x
e) y =√
2x−43−5x
10. a) y = (2− x2) cos x + 2x · sin x3
b) y = x2
+ x2+12· arctg x
c) y = x · e 1x + 5x · x5 + x · ln x
d) y = (1 + x2) · arctg 2x + ln x · log10 x
e) y = x3
√x2 − a2 + (x− 1
2) · arcsin
√x
11. a) y = 1−cos xx2 + x · e−x
b) y = xln x
+ 3x+5ex
c) y = tg x−xx−sin x
+ 1−ex
1+ex
d) y = ln x · ln(1− x) +√
x+7−√
7x
e) y = 1+√
x1−√
x+ arcsin x
x2+1
12. a) y = ln√
1−x1+x
+ 2√
x + e−x2+3
b) y = 2√3arctg
√x2 + 1 + log2(x + 2x2)
c) y = sin xsin x+cos x
+ 12arcsin
√2x− 10
d) y = ln(arccos 1√x) + ln(ln(ln x))
162 H DERIVÁCIA FUNKCIE
e) y = ex
ln x +√
ln x2 + ln(tg x))
13. a) y = ex−e−x
ex+e−x + arctg cos x1+sin x
b) y = arcsin2( 2x−2
) + arccos x2
c) y = ln(x2 + x + 1) + 2√3· arctg 2x+1√
3
d) y = 12ln(tg x
2)− 1
2cos xsin2 x
14. a) y = ln(sin e2x)
b) y = arccotg(ln 1x)
c) y = 3√
ln(cos x)
d) y = 4
√ln(cotg 2x+1
3)
e) y = arctg4√
x
V úlohách 15 - 17 zderivujte dané funkcie
15. a) y = x5x, x > 0
b) y = x1+x, x > 0
c) y = (3x− 4)x, x > 43
d) y = 13 · x1−5x, x > 0
16. a) y = xsin x, x > 0
b) y = (cos x)sin x, cos x > 0
c) y = (ln x)x, x > 1
d) y = xln x, x > 0
17. a) y = (x2 + 1)arctg x, x ∈ R
b) y = (1+x1−x
)1−x1+x , x ∈ (−1; 1)
c) y = x1
ln x , x > 0, x 6= 1
d) y = xxx, x > 0
18. Nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f v bode dotyku T , ak:
a) f : y = x2, T = [1; ?]
b) f : y = sin x, T = [π6; ?]
c) f : y = ex, T = [0; 1]
d) f : y = x3 + 2x, T = [2; ?]
Úlohy 163
e) f : y = 3 + xx2+1, T = [0; ?]
19. Nájdite rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie f v bode dotyku T , ak:
a) f : y = x2 + 5x− 6, T = [1; 0]
b) f : y = 11+x2 , T = [1; ?]
c) f : y =√
x, T = [5;√
5]
d) f : y = tg 2x, T = [0; ?]
e) f : y = arcsin x−12, T je jej priesečník s osou x
20. Nájdite rovnice dotyčníc ku grafu funkcie f , ktoré sú rovnobežné s priamkou p,ak:
a) f : y = x2 − 7x + 3, p : 5x + y − 3 = 0
b) f : y = ln x, p : y = 2x
c) f : y = 2x ln x, p : 2x− y + 5 = 0
21. Nájdite rovnice dotyčníc ku grafu funkcie f , ktoré sú kolmé na priamku p, ak:
a) f : y = ln(x + 2), p : y + x− 3 = 0
b) f : y = x2 − 2x + 3, p : x + y + 1 = 0
22. Nájdite rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie f : y = e1−x2,
v priesečníkoch grafu funkcie s priamkou y = 1.
23. Dráha priamočiareho pohybu telesa je daná rovnicou s(t) = 2t3 − 15t2 + 36t + 2,kde t je čas vyjadrený v sekundách, dráha je vyjadrená v metroch. V akom časeje rýchlosť telesa nulová?
24. Dráha, ktorú prejde hmotný bod pri voľnom páde za čas t pri nulovejpočiatočnej rýchlosti je daná vzťahom s(t) = 1
2gt2, kde g je gravitačné
zrýchlenie. Nájdite:
a) Veľkosť priemernej rýchlosti v časovom intervale (4; 4,01).
b) Okamžitú rýchlosť v ľubovoľnom čase t.
25. Teleso kmitá pozdĺž priamky. Pre jeho odchýlku od rovnovážnej polohy platívzťah A(t) = 2 cos 2πt− 3 sin 2πt, kde t je čas v sekundách a A je odchýlka vcentimetroch. Určte rýchlosť telesa a maximálnu odchýlku od rovnovážnejpolohy.
164 H DERIVÁCIA FUNKCIE
26. Teleso s hmotnosťou 10 kg sa pohybuje priamočiarym pohybom, ktorý je danývzťahom s(t) = 1 + t + t2, kde t je čas v sekundách a s je dráha v metroch. Akúkinetickú energiu v jouloch bude mať teleso na konci piatej sekundy, začínajúc včase t = 0?
27. Ako rýchlo sa mení tlak plynu s objemom V , ak platí vzťah(p + a
V 2
)· (V − b) = k? (a, b a k sú konštanty.)
28. Nájdite veľkosť rýchlosti chemickej reakcie, ak množstvo látky, ktoré vzniklo prireakcii za čas t, je dané vzťahom Q(t) = a · b · eakt−ebkt
a·eakt−b·ebkt , kde a, b, k súkonštanty, a 6= b.
29. Pri rozpade rádioaktívnej látky je množstvo nerozpadnutej rádioaktívnej látkyza čas t dané vzťahom Q(t) = Q0 · e−βt, kde Q0 je množstvo nerozpadnutej látkyv čase t = 0 a β je konštanta charakterizujúca rýchlosť rozpadu. Vypočítajte:
a) Čas t, za ktorý sa rozpadne polovica rádioaktívnej látky; t.j. polčas rozpadu.
b) Veľkosť priemernej rýchlosti v časovom intervale (t0; t1).
c) Okamžitú rýchlosť rozpadu v ľubovoľnom čase.
V úlohách 30 - 32 vypočítajte príslušné derivácie vyšších rádov daných funkcií:
30. a) y(6), y = x5 − 10x4 + 5x2 − 6x + 125
b) y′′′, y =√
x
c) y′′′, y = 1√x
d) y′′, y = arctg 2x
31. a) y′′′, y = 1+x1−x
b) y′′′, y = x · (ln x− 1)
c) y(4), y = sin 2x
d) y′′, y = arcsin x
32. a) y′′, y = ln 3√
1 + x2
b) y′′′, y = sin(1− 3x)
c) y(5), y = ln(1 + x)
d) y′′′, y = ln sin x
33. Vypočítajte hodnotu derivácie v príslušnom čísle
a) y′′′(0), y = x3 − 4x2 + 5x− 6
Úlohy 165
b) y′′(0), y = tg 2x
c) y′′(2), y = x2+1x−1
d) y′′(−1), y = (1 + x)6
34. Vypočítajte derivácie druhého rádu funkcií
a) y = x3 · cos 2x
b) y = x2 · sin 3x
35. Vypočítajte derivácie druhého rádu funkcií
a) y = ex sin x
b) y = ex cos x
c) y = e2x cos 3x
d) y = e3x sin 2x
36. Vypočítajte derivácie n-tého rádu funkcií
a) y = ax
b) y = 1x
c) Dokážte, že pre funkciu y = c1e2x + c2xe2x + ex, c1, c2 ∈ R platí:
y′′ − 4y′ + 4y = ex
166 H DERIVÁCIA FUNKCIE
Výsledky1. a) f ′(0) = 0
b) f ′(2) = 12√
2
c) f ′(1) = −32
2. a) f ′(x) = 4x3, x ∈ R
b) f ′(x) = − 1x2 , x ∈ R \ {0}
c) f ′(x) = − sin x, x ∈ R
3. a) f ′(1) = −2
b) f ′(4) = − 116
c) f ′(π2) = −3
4. a) y′ = 2x− 5
b) y′ = 8x3 − 9x2 + 10x− 1
c) y′ = 12√
x− 1
x2
d) y′ = 32
√x− 1
33√
x4+√
5 · 12√
x
e) y′ = 5x4 − 3π4
√x− 12
x5
5. a) y′ = 3x2 − 6x + 3
b) y′ = 2x− 5
c) y′ = 6x2 − 3x−4
d) y′ = 13√π· (2x + 2)
6. a) y′ = 2x ln 2 + 1x
+ 3 cos x
b) y′ = 5 · 10x ln 10 + 12√
1−x2 + 4 sin x
c) y′ = 1cos2 x
+ 1sin2 x
+√
23
ex + π1+x2
7. a) y′ = 10 · (3x + 1)9 · 3
b) y′ = 3 · (6x2 − 14x + 25)2 · (12x− 14)
c) y′ = 14(2x + 5)−
34 · 2− 2 · (2x− 3)−3 · 2
d) y′ = e3x · 3 + 102x · ln 10 · 2 + 12(ex + 5)−
12 · ex + ex+5
8. a) y′ = − sin(3x− 4) · 3 + 1x−5
− 11+x4 · 2x
b) y′ = 2 cos x + 2 cos 2x + 2 sin x cos x + cos x2 · 2x
Výsledky 167
c) y′ = 3x
+ 1x
+ 3x
ln2 x + 3x
d) y′ = esin x · cos x + 11+sin2 x
cos x + cos x2√
sin x
e) y′ = 32(1− x)−
32 + 7
1x · (− 1
x2 ) ln 7 + ex√
1−e2x
9. a) y′ = 3e3x sin 5x + 5e3x cos 5x
b) y′ = − 2(x−1)2
c) y′ = 2x ln 2 · cos 3x− 2x · 3 sin 3x
d) y′ = −2x√
tg x + 1−x2√
tg x·cos2 x+ ex sin x−ex cos x
sin2 x
e) y′ = 1
2q
2x−43−5x
−14(3−5x)2
10. a) y′ = −2x cos x− (2− x2) sin x + 2 sin x3 + 6x3 cos x3
b) y′ = 12
+ x · arctg x + 12
= 1 + x arctg x
c) y′ = e1x − e
1x
x+ 5x ln 5 · x5 + 5x · 5x4 + ln x + 1
d) y′ = 2x · arctg 2x + 1+x2
1+4x2 · 2 + 1x· log10 x + ln x
x ln 10
e) y′ = 13
√x2 − a2 + x2
3√
x2−a2 + arcsin√
x +x− 1
2√1−x·2
√x
11. a) y′ = x2 sin x−(1−cos x)2xx4 + e−x − xe−x
b) y′ = ln x−1ln2 x
+ 3ex−(3x+5)ex
e2x
c) y′ =( 1cos2 x−1
)(x−sin x)−(tg x−x)(1−cos x)
(x−sin x)2− 2ex
(1+ex)2
d) y′ = ln(1−x)x
− ln x1−x
+x
2√
x+7−√
x+7+√
7
x2
e) y′ = 1√x(1−
√x)2
+ 1−x2
1+x2 · 1√x4+x2+1
12. a) y′ = − 11+x2 + 2
√x · ln 2 · 1
2√
x+ e−x2+3 · (−2x)
b) y′ = 2√3· 1
2+x21
2√
x2+1· 2x + 1+4x
(x+2x2) ln 2
c) y′ = 11+sin 2x
+ 1√11−2x
· 12√
2x−10
d) y′ = 12x√
x−1·arccos 1√x
+ 1x·ln x·ln(ln x)
e) y′ = ex
ln x · ln x−1ln2 x
+ 1
x√
ln x2+ 1
sin x cos x
13. a) y′ = 4(ex+e−x)2
+ 11+( cos x
1+sin x)2− sin x·(1+sin x)−cos x·cos x
(1+sin x)2
b) y′ = 2 arcsin 2x−2
· 1√1−( 2
x−2)2· −2
(x−2)2− 1q
1−x2
4
· 12
c) y′ = 2x+2x2+x+1
+ 2√3· 1
1+( 2x+1√3
)2· 2√
3
168 H DERIVÁCIA FUNKCIE
d) y′ = 12
1tg x
2
1cos2 x
2
12− 1
2− sin x·sin2 x−cos x·2 sin x cos x
sin4 x
14. a) y′ = 1sin e2x · cos e2x · e2x · 2
b) y′ = 11+(ln 1
x)2· x · 1
x2
c) y′ = 13(ln(cos x))−
23 · 1
cos x· (− sin x)
d) y′ = 14(ln(cotg 2x+1
3))−
34 · tg 2x+1
3· −1
sin2 2x+13
23
e) y′ = 4 · arctg3√
x · 11+x
· 12√
x
15. a) y′ = x5x · (5 ln x + 5)
b) y′ = x1+x · (ln x + 1+xx
)
c) y′ = (3x− 4)x · (ln(3x− 4) + 3x3x−4
)
d) y′ = 13 · x1−5x · (−5 ln x + 1−5xx
)
16. a) y′ = xsin x · (cos x · ln x + sin xx
)
b) y′ = (cos x)sin x · (cos x · ln(cos x)− sin2 xcos x
)
c) y′ = (ln x)x · (ln(ln x) + 1ln x
)
d) y′ = xln x · 2 ln xx
17. a) y′ = (x2 + 1)arctg x · ( ln(x2+1)x2+1
+ 2x arctg xx2+1
)
b) y′ = (1+x1−x
)1−x1+x 1
(1+x)2· (1− ln 1+x
1−x)
c) y′ = (x1
ln x )′ = (e1
ln x·ln x)′ = (e1)′ = 0
d) y′ = xxx · xx · (ln2 x + ln x + 1x)
18. a) T = [1; 1], t : y − 1 = 2(x− 1)
b) T = [π6; 1
2], t : y − 1
2=
√3
2(x− π
6)
c) T = [0; 1], t : y = x + 1
d) T = [2; 12], t : y = 14x− 16
e) T = [0; 3], t : y = x
19. a) T = [1; 0], t : y = 7(x− 1), n : y = −17(x− 1)
b) T = [1; 12], t : y = −1
2x + 1, n : y = 2x− 3
2
c) T = [5;√
5], t : y = 12√
5(x + 5), n : y = −2
√5x + 11
√5
d) T = [0; 0], t : y = 2x, n : y = −12x
e) T = [1; 0], t : y = 12(x− 1), n : y = 2− 2x
Výsledky 169
20. a) T = [1;−3], t : y = −5x + 2
b) T = [12;− ln 2], t : y = 2x− 1− ln 2
c) T = [1; 0], t : y = 2x− 2
21. a) T = [−1; 0], t : y = x + 1
b) T = [32; 9
4], t : y = x + 3
4
22. pre bod A = [1; 1] t : 2x + y − 3 = 0 n : x− 2y + 1 = 0pre bod B = [−1; 1] t : 2x− y + 3 = 0 n : x + 2y − 1 = 0
23. Teleso má nulovú rýchlosť v druhej a tretej sekunde.
24. a) vp.= 39,2 m/s b) v(t) = g · t
25. v(t) = −2π(2 sin 2πt + 3 cos 2πt), maximálna odchýlka je√
13
26. E = 12mv2, E = 605 J
27. p = kV−b
− aV 2 , rýchlosť zmeny tlaku v = 2a
V 3 − k(V−b)2
28. v(t) = k · (Q(t)− a) · (Q(t)− b), kde Q(t) je funkcia zo zadania
29. a) t = 1β· ln 2
b)Q0(e−βt1−e−βt0)
t1−t0
c) v(t) = −βQ0 · e−βt
30. a) y(6) = 0
b) y′′′ = 38x−
52
c) y′′′ = −158x−
72
d) y′′ = −16x(1+4x2)2
31. a) y′′′ = 12(1−x)4
b) y′′′ = − 1x2
c) y(4) = 16 sin 2x
d) y′′ = x√(1−x)3
32. a) y′′ = 2(1−x2)3(1+x2)2
b) y′′′ = 27 cos(1− 3x)
170 H DERIVÁCIA FUNKCIE
c) y(5) = 24(1+x)5
d) y′′′ = 2 cos xsin3 x
33. a) y′′′(0) = 6
b) y′′(0) = 0
c) y′′(2) = 4
d) y′′′(−1) = 0
34. a) y′′ = (6x− 4x3) cos 2x− 12x2 sin 2x
b) y′′ = (2− 9x2) sin 3x + 12x cos 3x
35. a) y′′ = 2ex cos x
b) y′′ = −2ex sin x
c) y′′ = (−5 cos 3x− 12 sin 3x) · e2x
d) y′′ = (12 cos 2x + 5 sin 2x) · e3x
36. a) y(n) = ax · (ln a)n
b) y(n) = (−1)n·n!xn+1
I L’HOSPITALOVO PRAVIDLO 171
I L’HOSPITALOVO PRAVIDLO
Veta 1 (Prvé l’Hospitalovo pravidlo). Nech na istom okolí čísla a majú funkcief(x) a g(x) derivácie f ′(x) a g′(x), pričom v čísle a tieto derivácie nemusiaexistovať. Nech lim
x→af(x) = lim
x→ag(x) = 0 a nech existuje vlastná alebo nevlastná
limita limx→a
f ′(x)g′(x). Potom existuje vlastná alebo nevlastná limita lim
x→a
f(x)g(x)a platí
limx→a
f(x)
g(x)= lim
x→a
f ′(x)
g′(x). (I.1)
Poznámka 1. Veta 1 platí aj pre jednostranné limity a aj pre a = ∞ aleboa = −∞.
Poznámka 2. Limitu limx→a
f(x)g(x)z vety 1 označujeme aj limita
”typu 0
0“.
Veta 2 (Druhé l’Hospitalovo pravidlo). Nech na istom okolí čísla a majú funkcief(x) a g(x) derivácie f ′(x) a g′(x), pričom v čísle a tieto derivácie nemusiaexistovať. Nech lim
x→a|g(x)| = ∞ a nech existuje vlastná alebo nevlastná limita
limx→a
f ′(x)g′(x). Potom existuje vlastná alebo nevlastná limita lim
x→a
f(x)g(x)a platí
limx→a
f(x)
g(x)= lim
x→a
f ′(x)
g′(x). (I.2)
Poznámka 3. Veta 2 platí aj pre jednostranné limity a aj pre a = ∞ aleboa = −∞.
Poznámka 4. Vo vete 2 nie je pre limitu limx→a
f(x) stanovená žiadna podmienka.
Platí teda aj pre limx→a
|f(x)| = ∞. V tomto prípade limitu limx→a
f(x)g(x)označujeme aj
limita”typu ∞
∞“. Vetu 2 používame často práve pri výpočte takýchto limít.
Veta 3. Nech na istom okolí čísla a majú funkcie f(x) a g(x) derivácie až dok-teho rádu, pričom v čísle a tieto derivácie nemusia existovať. Nech lim
x→af(x) =
limx→a
g(x) = limx→a
f ′(x) = limx→a
g′(x) = · · · = limx→a
f (k−1)(x) = limx→a
g(k−1)(x) = 0 resp.
limx→a
|g(x)| = limx→a
|g′(x)| = · · · = limx→a
|g(k−1)(x)| = ∞. Nech existuje vlastná alebo
nevlastná limita limx→a
f (k)(x)
g(k)(x). Potom existuje vlastná alebo nevlastná limita lim
x→a
f(x)g(x)a
172 I L’HOSPITALOVO PRAVIDLO
platí
limx→a
f(x)
g(x)= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)= · · · = lim
x→a
f (k)(x)
g(k)(x)(I.3)
pre k = 0, 1, 2, . . . , n.
Veta 3 hovorí teda o tom, že ak sú splnené podmienky, môžeme l’Hospitalovopravidlo použiť n-krát za sebou.
Poznámka 5. L’Hospitalovo pravidlo môžeme po vhodných úpravách použiť ajpri výpočte týchto limít:
a) Limita”typu 0 · ∞“, t.j. lim
x→af(x) · g(x), ak lim
x→af(x) = 0 a lim
x→a|g(x)| = ∞.
Úpravou súčinu f(x) · g(x) na podiel f(x)1
g(x)
alebo g(x)1
f(x)
dostaneme limitu”typu 0
0“
alebo”typu ∞
∞“.
b) Limita”typu ∞−∞“, t.j. lim
x→a(f(x)− g(x)), ak lim
x→af(x) = lim
x→ag(x) = ∞
(teda f(x) > 0 aj g(x) > 0 na nejakom okolí čísla a).Úpravou rozdielu funkcií na podiel funkcií
f(x)− g(x) = f(x) · g(x)g(x)
− g(x) · f(x)f(x)
= f(x) · g(x)[
1g(x)
− 1f(x)
]=
1g(x)
− 1f(x)
1f(x)·g(x)
dostaneme limitu”typu 0
0“.
c) Limita”typu 1∞“, t.j. lim
x→af(x)g(x), ak lim
x→af(x) = 1 a lim
x→a|g(x)| = ∞. Ak je
f(x) > 0 na nejakom okolí čísla a, úpravou dostanemelimx→a
f(x)g(x) = limx→a
eln f(x)g(x)= lim
x→aeg(x) ln f(x) a teda počítame lim
x→ag(x) · ln f(x),
ktorá je”typu ∞ · 0“.
d) Limita”typu ∞0“, t.j. lim
x→af(x)g(x), ak lim
x→a|f(x)| = ∞ a lim
x→ag(x) = 0.
Analogickou úpravou ako v c počítame vlastne limx→a
g(x) · ln f(x), ktorá je”typu
0 · ∞“.
e) Limita”typu 00“, t.j. lim
x→af(x)g(x), ak lim
x→af(x) = 0 a lim
x→ag(x) = 0 a f(x) > 0
na nejakom okolí čísla a. Po úprave počítame opäť limx→a
g(x) · ln f(x), ktorá je
”typu 0 · (−∞)“.
Riešené príklady 173
Riešené príkladyPríklad 1. Vypočítajte lim
x→0
√1+x−
√1−x
x.
Riešenie: Nech f(x) =√
1 + x−√
1− x a g(x) = x. Keďželimx→0
(√
1 + x−√
1− x) = 0 a limx→0
x = 0, máme počítať limitu”typu 0
0“. Použitím
vety 1 dostaneme
limx→0
√1+x−
√1−x
x
L’P= lim
x→0
12√
1+x− 1
2√
1−x·(−1)
1= lim
x→0( 1
2√
1+x+ 1
2√
1−x) = 1
2+ 1
2= 1.
Príklad 2. Vypočítajte limx→1
x3−3x2+x+1cos π
2x.
Riešenie: Keďže limx→1
(x3 − 3x2 + x + 1) = 0 a limx→1
cos π2x = 0, máme opäť počítať
limitu”typu 0
0“. Použitím vety 1 dostaneme
limx→1
x3−3x2+x+1cos π
2x
L’P= lim
x→1
3x2−6x+1− sin π
2x·π
2= 3−6+1
−π2
= −2−π
2= 4
π.
Príklad 3. Vypočítajte limx→0+
ln xcotg x.
Riešenie: Keďže limx→0+
ln x = −∞ a limx→0+
cotg x = ∞, máme počítať limitu”typu
∞∞“. Použitím vety 2 a vety 1 dostaneme
limx→0+
ln xcotg x
L’P= lim
x→0+
1x
− 1sin2 x
= limx→0+
− sin2 xx(”typ 0
0“)
L’P= lim
x→0+
−2 sin x·cos x1
= 0.
Príklad 4. Vypočítajte limx→∞
ln(2+e3x)ln(3+e2x)
.
Riešenie: Keďže limx→∞
ln(2 + e3x) = ∞ a limx→∞
ln(3 + e2x) = ∞, máme opäť počítaťlimitu
”typu ∞
∞“. Viacnásobným použitím vety 2 dostaneme
limx→∞
ln(2+e3x)ln(3+e2x)
L’P= lim
x→∞
12+e3x ·3·e3x
13+e2x ·2·e2x = lim
x→∞3e3x
2+e3x · 3+e2x
2e2x = 32
limx→∞
ex(3+e2x)2+e3x
L’P=
32
limx→∞
ex(3+e2x)+ex·2·e2x
3e3x = 32
limx→∞
3ex+3e3x
3e3x = 32
limx→∞
ex(1+e2x)ex·e2x = 3
2lim
x→∞1+e2x
e2x
L’P=
32
limx→∞
2e2x
2e2x = 32.
Príklad 5. Vypočítajte limx→0+
( 1x− 1
ln(1+x)).
Riešenie: Keďže limx→0+
1x
= ∞ a limx→0+
1ln(1+x)
= ∞, máme počítať limitu”typu
∞−∞“. Rozdiel funkcií upravíme na podiel funkcií uvedením na spoločnéhomenovateľa; limita sa zmení na
”typ 0
0“. Dostaneme
limx→0+
( 1x− 1
ln(1+x)) = lim
x→0+
ln(1+x)−xx·ln(1+x)
L’P= lim
x→0+
11+x
−1
ln(1+x)+x· 11+x
= limx→0+
1−1−x1+x
(1+x) ln(1+x)+x1+x
=
limx→0+
−x1+x
· 1+x(1+x) ln(1+x)+x
= limx→0+
−x(1+x) ln(1+x)+x
L’P= lim
x→0+
−1ln(1+x)+(1+x)· 1
1+x+1
= −12.
174 I L’HOSPITALOVO PRAVIDLO
Príklad 6. Vypočítajte limx→0
( 1x− 1
ex−1).
Riešenie: Keďže limx→0
1xneexistuje, vypočítame najskôr limitu sprava
limx→0+
1x
= ∞ a limx→0+
1ex−1
= ∞. Máme teda vypočítať limitu”typu ∞−∞“.
Úpravou sa zmení na”typ 0
0“. Dostaneme
limx→0+
( 1x− 1
ex−1) = lim
x→0+
ex−1−xx·(ex−1)
L’P= lim
x→0+
ex−1ex−1+xex
L’P= lim
x→0+
ex
ex+ex+xex = 12.
Podobne sa presvedčíme, že limx→0−
( 1x− 1
ex−1) = 1
2.
Teda limx→0
( 1x− 1
ex−1) = 1
2.
Príklad 7. Vypočítajte limx→0+
x3 · ln 2x.
Riešenie: Keďže limx→0+
x3 = 0 a limx→0+
ln 2x = −∞, počítame limitu”typu 0 · ∞“.
Úpravou uvedenou v poznámke 5a dostaneme limitu”typu ∞
∞“a použitíml’Hospitalovho pravidla ju dopočítame
limx→0+
x3 · ln 2x = limx→0+
ln 2x1
x3(”typ ∞
∞“)L’P= lim
x→0+
12x·2
− 3x4
= limx→0+
1x· x4
−3= lim
x→0+
x3
−3= 0.
Príklad 8. Vypočítajte limx→1
(1− x) · tg π2x.
Riešenie: Keďže limx→1
tg π2x neexistuje, vypočítame najskôr limitu zľava
limx→1−
(1− x) = 0 a limx→1−
tg π2x = ∞. Máme teda vypočítať limitu
”typu 0 · ∞“.
Upravíme ju na”typ 0
0“. Dostaneme
limx→1−
(1− x) · tg π2x = lim
x→1−
1−xcotg π
2x
L’P= lim
x→1−
−1− 1
sin2 π2 x·π2
= 2π.
Limita danej funkcie sprava je tá istá a preto limx→1
(1− x) tg π2x = 2
π.
Príklad 9. Vypočítajte limx→∞
(2π· arctg x
)x.
Riešenie: Keďže limx→∞
(2π· arctg x
)= 2
π· π
2= 1 a lim
x→∞x = ∞, máme vypočítať
limitu”typu 1∞“. Použitím úpravy uvedenej v poznámke 5c dostaneme
limx→∞
eln( 2π·arctg x)
x
= limx→∞
ex ln( 2π·arctg x) = lim
u→Leu.
L = limx→∞
x · ln(
2π· arctg x
)= lim
x→∞
ln( 2π
arctg x)1x
L’P= lim
x→∞
π2 arctg x
· 2π
11+x2
−1
x2=
limx→∞
1arctg x
· −x2
1+x2 = limx→∞
1arctg x
· −11
x2 +1= 2
π· (−1) = − 2
π.
Teda limx→∞
(2π· arctg x
)x= e−
2π .
Riešené príklady 175
Príklad 10. Vypočítajte limx→0+
(1x
)tg x.
Riešenie: Keďže limx→0+
1x
= ∞ a limx→0+
tg x = 0, máme vypočítať limitu”typu ∞0“.
Použitím úpravy uvedenej v poznámke 5d dostanemelim
x→0+etg x·ln 1
x = limu→L
eu.
L = limx→0+
tg x · ln 1x
= limx→0+
ln 1x
cotg x
L’P= lim
x→0+
x·−1
x2−1
sin2 x
= limx→0+
sin2 xx
L’P= lim
x→0+
2 sin x cos x1
= 0.
Teda limx→0+
(1x
)tg x= e0 = 1.
Príklad 11. Vypočítajte limx→0+
xx.
Riešenie: Keďže limx→0+
x = 0 a limx→0+
x = 0, máme vypočítať limitu”typu 00“.
Použitím úpravy uvedenej v poznámke 5e dostanemelim
x→0+ex·ln x = lim
u→Leu.
L = limx→0+
x · ln x = limx→0+
ln x1x
L’P= lim
x→0+
1x
− 1x2
= 0. Teda limx→0+
xx = e0 = 1.
176 I L’HOSPITALOVO PRAVIDLO
ÚlohyV úlohách 1 - 14 vypočítajte limity funkcií.
1. a) limx→3
x2−9x−3
b) limx→1
x2−1x3−1
c) limx→2
x2−5x+6x2−3x+2
d) limx→3
x2−9x2−4x+3
e) limx→1
x4−xx5−1
f) limx→1
xn−xxk−1, kde n, k ∈ N
g) limx→1
1−xn
1−xk , kde n, k ∈ N
2. a) limx→0
√2+x−
√2
x
b) limx→4
√x−2√x3−8
c) limx→0
sin 3xsin 2x
d) limx→0
tg 4xtg 5x
e) limx→0
1−cos xx2
f) limx→π
2
1−sin xπ−2x
3. a) limx→∞
x2+2x−412x2+5
b) limx→∞
x2+12x
c) limx→∞
xln x
d) limx→∞
3x+5ex
e) limx→∞
x5
e3x
f) limx→∞
e5x
x3
g) limx→0+
3 ln x1x
h) limx→∞
xe−x
4. a) limx→π
2
5−5 sin2 x9 cos2 x
b) limx→0
4x−3x
x
c) limx→0
sin xarcsin x
d) limx→1
ln xcos π
2x
e) limx→3
√x2+16−5
x3−2x2−x−6
f) limx→0
sin x−xcos x−1
5. a) limx→1
sin2(π·2x)ln cos(π·2x)
b) limx→0
tg x−xx−sin x
c) limx→∞
ln(2+3x)2
ln(5+4x)
d) limx→0
(cos x−1)2
sin3 x
e) limx→0
cos 2x−cos xx2
f) limx→0
x·2x
2x−1
6. a) limx→0
3x−sin 3x3x2
b) limx→0
√x+7−
√7
x
c) limx→0
x cos x−sin xx3
d) limx→∞
1−ex
1+ex
Úlohy 177
e) limx→0+
ln xln sin x
f) limx→∞
ex−e−x
ex+e−x
7. a) limx→∞
ln(ex+x)x
b) limx→π
2−
ln(π2−x)
tg x
c) limx→∞
π2−arctg x12
ln x−1x+1
d) limx→1
1−tg π4x
1−x2
e) limx→0
ex−x−1sin2 3x
8. a) limx→0+
(12x− 1
sin x
)b) lim
x→0+
(cotg x− 1
x
)c) lim
x→1
(1
ln x− 1
x−1
)d) lim
x→1
(2
x2−1− 1
x−1
)e) lim
x→0
(1
arcsin x− 1
sin x
)f) lim
x→π2
(tg x− 1
x−π2
)
9. a) limx→1+
(x
x−1− 1
ln x
)b) lim
x→π2
(tg x− 1
cos x
)c) lim
x→0
(1
sin x− 1
ex−1
)d) lim
x→0
(1x− 1
sin x
)e) lim
x→1
(1
2 ln x− 1
x2−1
)f) lim
x→1
(π2· tg π
2x− 1
1−x
)10. a) lim
x→0+x2 · ln x
b) limx→0+
xα · ln x, α > 0
c) limx→∞
e−x · x
d) limx→∞
x · sin 1x
e) limx→1−
ln x · ln(1− x)
f) limx→1
arcsin(x− 1) · cotg(x− 1)
g) limx→2
x2−4x2 · tg π
4x
11. a) limx→1
x1
1−x
b) limx→π
2
(sin x)tg x
c) limx→π
2+
(sin x)1
x−π2
d) limx→0
(1 + x)1x
e) limx→0+
(1 + tg x)cotg x
f) limx→∞
(cos 1
x
)x12. a) lim
x→0(cos 2x)
1x2
b) limx→0
(cos x)cotg2 x
c) limx→0
(ex + x)1x
d) limx→0
(3 cos x− 2)2
5x2
e) limx→1
(2− x)tg π2x
f) limx→0
(sin x
x
)√x
178 I L’HOSPITALOVO PRAVIDLO
13. a) limx→0+
(1x2
)tg x
b) limx→π
2−
(tg x)cotg x
c) limx→∞
x1x
d) limx→0+
(cotg x)sin x
14. a) limx→0+
(tg x)x
b) limx→0
xsin 2x
c) limx→1−
(cos π
2x)ln x
d) limx→0
(1− 3x)sin x
e) limx→0+
x2
1+ln x
Výsledky 179
Výsledky
1. a) 6 b) 23
c) −1 d) 3 e) 35
f) n−1k
g) nk
2. a) 12√
2b) 1
12c) 3
2d) 4
5e) 1
2f) 0
3. a) 112
b) ∞ c) ∞ d) 0 e) 0 f) ∞ g) 0 h) 0
4. a) 59
b) ln 43
c) 1 d) − 2π
e) 370
f) 0
5. a) −2 b) 2 c) 2 d) 0 e) −32
f) 1ln 2
6. a) 0 b) 12√
7c) −1
3d) −1 e) 1 f) 1
7. a) 1 b) 0 c) −1 d) π4
e) 118
8. a) −∞ b) 16
c) 12
d) −12
e) 0 f) 0
9. a) 12
b) 16
c) 12
d) 0 e) 12
f) 0
10. a) 0 b) 0 c) 0 d) 1 e) 0 f) 1 g) 4π
11. a) e−1 b) 1 c) 1 d) e e) e f) 1
12. a) e−2 b) e−12 c) e2 d) e−
35 e) e
2π f) 1
13. a) 1 b) 1 c) 1 d) 1
14. a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) e2
180 J ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE
J ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE
Definícia 1. Priamku s rovnicou x = a nazývame asymptota bez smernice kugrafu funkcie f , ak funkcia f má v čísle a nevlastnú limitu, alebo nevlastnúlimitu sprava alebo nevlastnú limitu zľava.
Definícia 2. Priamku s rovnicou y = ax + b nazývame asymptota sosmernicou ku grafu funkcie f , ak platí
limx→∞
(f(x)− (ax + b)) = 0 (J.1)
alebolim
x→−∞(f(x)− (ax + b)) = 0. (J.2)
Veta 1. Priamka y = ax + b je asymptota so smernicou ku grafu funkcie f právevtedy, ak existujú nasledujúce limity
limx→∞
f(x)
x= a, lim
x→∞(f(x)− ax) = b (J.3)
alebo
limx→−∞
f(x)
x= a, lim
x→−∞(f(x)− ax) = b, (J.4)
pričom a, b ∈ R.
Riešené príklady 181
Riešené príkladyPríklad 1. Nájdite rovnice asymptot grafu funkcie y = x2
x+1.
Riešenie:a) Najprv hľadáme rovnice asymptot bez smerice.Definičný obor funkcie je D(f) = (−∞;−1) ∪ (−1;∞). Bod −1 je jediný bodnespojitosti funkcie, preto iba v tomto bode by mohla byť funkcianeohraničená. Počítame jednostranné limity v čísle −1:lim
x→−1+
x2
x+1= ∞ a lim
x→−1−
x2
x+1= −∞. Z definície 1 vyplýva, že priamka x = −1 je
asymptotou bez smernice grafu danej funkcie.
b) Hľadáme rovnice asymptot so smernicou v tvare y = ax + b. Počítame limity
limx→∞
f(x)x
= limx→∞
x2
x+1
x= lim
x→∞x2
x·(x+1)= lim
x→∞x
x+1= lim
x→∞1
1+ 1x
= 1 = a.
Analogicky limx→−∞
f(x)x
= · · · = limx→−∞
11+ 1
x
= 1. Následne počítame
limx→∞
(f(x)− ax) = limx→∞
(x2
x+1− x)
= limx→∞
x2−x(x+1)x+1
= limx→∞
−xx+1
=
= limx→∞
−11+ 1
x
= −1 = b.
Analogicky limx→−∞
(f(x)− ax) = · · · = limx→−∞
−11+ 1
x
= −1. Z vety 1 a z
vypočítaných limít vyplýva, že existuje jediná asymptota so smernicou grafudanej funkcie a má rovnicu y = x− 1.
x
yABS: x = −1
ASS: y = x− 1
−1
Obrázok J.1: Asymptoty ku grafu funkcie f(x) = x2
x+1- k príkladu 1
182 J ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE
Príklad 2. Nájdite rovnice asymptot grafu funkcie y = x + ln xx.
Riešenie:
a) Hľadáme asymptoty bez smerice, D(f) = (0;∞). Počítame limitu sprava v nule.lim
x→0+
(x + ln x
x
)= lim
x→0+
(x + 1
x· ln x
)= −∞. Z definície 1 vyplýva, že asymptota
bez smernice grafu danej funkcie je priamka x = 0. Iné asymptoty bez smerniceneexistujú, lebo funkcia je spojitá na celom definičnom obore.
b) Hľadáme rovnice asymptot so smernicou v tvare y = ax + b. Počítame limity
limx→∞
f(x)x
= limx→∞
x+ ln xx
x= lim
x→∞
(1 + ln x
x2
)= lim
x→∞
(1 +
1x
2x
)= lim
x→∞
(1 + 1
2x2
)=
= 1 = a,
limx→∞
(f(x)− ax) = limx→∞
(x + ln x
x− x)
= limx→∞
ln xx
L’P= lim
x→∞
1x
1= 0 = b.
Definičný obor funkcie je (0;∞), preto nemá zmysel počítať limity prex → −∞. Z vety 1 a z vypočítaných limít vyplýva, že existuje jedna asymptotaso smernicou y = x.
x
y
ABS: x = 0
ASS: y = x
Obrázok J.2: Asymptoty ku grafu funkcie f(x) = x + ln xx- k príkladu 2
Riešené príklady 183
Príklad 3. Nájdite rovnice asymptot grafu funkcie y = x · e−x2
2 .
Riešenie:
a) Hľadáme asymptoty bez smerice. Pretože definičný obor danej funkcie
y = x · e−x2
2 = x
ex22
je množina všetkých reálnych čísel a funkcia je na celom
definičnom obore spojitá, neexistujú asymptoty bez smernice k jej grafu.
b) Hľadáme rovnice asymptot so smernicou v tvare y = ax + b. Počítame limity
limx→∞
f(x)x
= limx→∞
x·e−x2
2
x= lim
x→∞1
ex22
= 0 = a, analogicky
limx→−∞
f(x)x
= limx→−∞
x·e−x2
2
x= lim
x→−∞1
ex22
= 0 = a. Následne počítame
limx→∞
(x · e−x2
2 − 0)
= limx→∞
x
ex22
L’P= lim
x→∞1
ex22 ·x
= 0 = b a analogicky
limx→−∞
(x · e−x2
2 − 0)
= · · · = limx→−∞
1
ex22 ·x
= 0 = b. Podľa vety 1 je priamka y = 0
asymptota so smernicou ku grafu danej funkcie.
xASS: y = 0
y
Obrázok J.3: Asymptota ku grafu funkcie f(x) = x · e−x2
2 - k príkladu 3
Príklad 4. Nájdite rovnice asymptot grafu funkcie y = x · arctg x.
Riešenie:
a) Funkcia y = x · arctg x je definovaná a spojitá vo všetkých reálnych číslach.Preto nemá asymptoty bez smernice.
b) Hľadáme rovnice asymptot so smernicou v tvare y = ax + b. Počítame limity
limx→∞
f(x)x
= limx→∞
x·arctg xx
= limx→∞
arctg x = π2
= a1 a analogicky
limx→−∞
f(x)x
= limx→−∞
x·arctg xx
= limx→−∞
arctg x = −π2
= a2. Následne počítame
limx→∞
(f(x)− a1x) = limx→∞
(x · arctg x− π
2x)
= limx→∞
x ·(arctg x− π
2
)=
limx→∞
arctg x−π2
1x
L’P= lim
x→∞
11+x2
− 1x2
= limx→∞
−x2
1+x2 = limx→∞
−11
x2 +1= −1 = b1, analogicky
limx→−∞
(f(x)− a1x) = limx→−∞
(x · arctg x + π
2x)
= limx→−∞
x ·(arctg x + π
2
)=
184 J ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE
limx→−∞
arctg x+π2
1x
L’P= lim
x→−∞
11+x2
− 1x2
= limx→−∞
−x2
1+x2 = limx→−∞
−11
x2 +1= −1 = b1. Z vety 1 a z
vypočítaných limít vyplýva, že existujú dve asymptoty so smernicou ku grafudanej funkcie a to priamky y = a1x + b1 = π
2x− 1 a y = a2x + b2 = −π
2x− 1.
x
y
ASS: y = π2x− 1ASS: y = −π
2x− 1
Obrázok J.4: Asymptoty ku grafu funkcie f(x) = x · arctg x - k príkladu 4
Úlohy 185
ÚlohyV úlohách 1 - 30 nájdite rovnice všetkých asymptot grafov daných funkcií.
1. f : y = 1x
2. f : y = 1x−1
3. f : y = xx−1
4. f : y = x+1x−1
5. f : y = x2
3x+1
6. f : y = x2+12x
7. f : y = x + 1x−1
8. f : y = 3x− 1x
9. f : y = x2−xx+1
10. f : y = x−2x2
11. f : y = x2
x2−4
12. f : y = 1−x2
1+x2
13. f : y = x2+2x2−4
14. f : y = 9 · x2−3x2
15. f : y = x2 + x4
4
16. f : y = 1x
+ 12x2
17. f : y = x2−3x+3x−2
18. f : y = x2−6x+5(x−3)2
19. f : y = 3√
2x2 − x3
20. f : y = sin xx
21. f : y = 2x− cos xx
22. f : y = x·sin x1+x2
186 J ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE
23. f : y = ln(4− x2)
24. f : y = ln 1+x1−x
25. f : y = x2 · ln x
26. f : y = x + ln(x2 − 1)
27. f : y = x · e1
x−2
28. f : y = e1x
29. f : y = arctg 1x
30. f : y = x− 2 arctg x
Výsledky 187
Výsledky1. x = 0, y = 0
2. x = 1, y = 0
3. x = 1, y = 1
4. x = 1, y = 1
5. x = −13, y = 1
3x− 1
9
6. x = 0, y = 12x
7. x = 1, y = x
8. x = 0, y = −3x
9. x = −1, y = x− 2
10. x = 0, y = 0
11. x = 2, x = −2, y = 1
12. y = −1
13. x = 2, x = −2, y = 2, y = x
14. x = 0, y = 0
15. nemá
16. x = 0
17. x = 2, y = x− 1
18. x = 3, y = 1
19. y = −x + 23
20. y = 0
21. x = 0, y = 2x
22. y = 0
23. x = 2, x = −2
24. x = 1, x = −1
188 J ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE
25. nemá
26. x = 1, x = −1
27. x = 2, y = x + 1
28. x = 0, y = 1
29. y = 0
30. y = x− π, y = x + π
K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU 189
K MONOTÓNNOSŤ FUNKCIE. EXTRÉMY.KONVEXNOSŤ, KONKÁVNOSŤ. INFLEXNÉBODY.
Veta 1. Nech je funkcia y = f(x) spojitá na intervale I a nech vo vnútri tohtointervalu existuje jej prvá derivácia f ′(x). Ak pre každý vnútorný bod intervaluplatí:
1. f ′(x) > 0, potom je funkcia na intervale I rastúca
2. f ′(x) < 0, potom je funkcia na intervale I klesajúca
3. f ′(x) ≥ 0, potom je funkcia na intervale I neklesajúca
4. f ′(x) ≤ 0, potom je funkcia na intervale I nerastúca
5. f ′(x) ≥ 0, pričom znamienko”=“ platí iba v konečnom počte čísel
z intervalu I, potom je funkcia rastúca na intervale I
6. f ′(x) ≤ 0, pričom znamienko”=“ platí iba v konečnom počte čísel
z intervalu I, potom je funkcia klesajúca na intervale I
Definícia 1. Nech je funkcia y = f(x) definovaná na intervale (a; b) a nechx0 ∈ (a; b).
a) Funkcia f má v čísle x0 lokálne maximum, ak existuje také okolie O(x0)
bodu x0, že pre všetky x ∈ O(x0) je f(x) ≤ f(x0). Ak platí f(x) < f(x0),hovoríme, že v bode x0 je ostré lokálne maximum.
b) Funkcia f má v čísle x0 lokálne minimum, ak existuje také okolie O(x0) bodux0, že pre všetky x ∈ O(x0) je f(x) ≥ f(x0). Ak platí f(x) > f(x0), hovoríme,že v bode x0 je ostré lokálne minimum.
Veta 2. Nech je funkcia y = f(x) v čísle x0 spojitá.
1. Nech existuje také ľavé okolie čísla x0, v ktorom je funkcia neklesajúca a taképravé okolie čísla x0, v ktorom je funkcia nerastúca. Potom má funkcia f(x)
v čísle x0 lokálne maximum. Zapisujeme lok max f(x) = f(x0).
2. Nech existuje také ľavé okolie čísla x0, v ktorom je funkcia nerastúca a taképravé okolie čísla x0, v ktorom je funkcia neklesajúca. Potom má funkcia f(x)
v čísle x0 lokálne minimum. Zapisujeme lok min f(x) = f(x0).
190 K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU
Poznámka 1. Analogické vety platia pre ostré lokálne maximum a ostré lokálneminimum.
Poznámka 2. Lokálne maximá a lokálne minimá označujeme spoločným názvomlokálne extrémy.
Veta 3 (Nutná podmienka existencie lokálneho extrému). Ak má funkciay = f(x) v bode x0 lokálny extrém, tak buď f ′(x0) = 0 (bod x0 sa nazývastacionárny bod funkcie), alebo f ′(x0) neexistuje.
Veta 4. Nech je funkcia y = f(x) v bode x0 spojitá a nech na ľubovoľnom okolíbodu x0 existuje f ′(x).
Ak existuje ľavé okolie bodu x0, v ktorom pre všetky x je f ′(x) ≥ 0 a pravé okoliebodu x0, v ktorom pre všetky x je f ′(x) ≤ 0, potom funkcia má v čísle x0 lokálnemaximum.
Ak existuje ľavé okolie bodu x0, v ktorom pre všetky x je f ′(x) ≤ 0 a pravé okoliebodu x0, v ktorom pre všetky x je f ′(x) ≥ 0, potom funkcia má v čísle x0 lokálneminimum.
Poznámka 3. Analogické vety platia pre ostré lokálne extrémy.
Veta 5 (Postačujúca podmienka existencie lokálneho extrému 1). Nech x0 jestacionárny bod funkcie f(x), teda f ′(x0) = 0. Nech existuje f ′′(x0) 6= 0. Potomfunkcia y = f(x) má v bode x0 ostrý lokálny extrém a to buď ostré lokálnemaximum, ak f ′′(x0) < 0, alebo ostré lokálne minimum, ak f ′′(x0) > 0.
Veta 6 (Postačujúca podmienka 2). Nech x0 je stacionárny bod funkcie f(x)
a nech existujú v tomto bode derivácie až po n-tý rád, pričom n ≥ 2. Nechf ′(x0) = f ′′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0, ale f (n)(x0) 6= 0. Ak je číslo n nepárne,potom funkcia f(x) nemá v bode x0 lokálny extrém. Ak je číslo n párne af (n)(x0) < 0, potom má funkcia v bode x0 ostré lokálne maximum. Ak je číslo n
párne a f (n)(x0) > 0, potom má funkcia v bode x0 ostré lokálne minimum.
K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU 191
Postup pri hľadaní lokálnych extrémov:
1. Nájdeme všetky stacionárne body funkcie a všetky body, v ktorých funkcianemá deriváciu.
2. Pomocou postačujúcich podmienok (veta 5 a 6) zistíme, či má v stacionárnombode funkcia extrém a aký.
3. Vyšetríme body, v ktorých neexistuje prvá derivácia použitím vety 4 a definícielokálnych extrémov.
4. Vypočítame lokálne extrémy.
Postup pri hľadaní maxima alebo minima spojitej funkcie na uzavretom intervale〈a; b〉:
1. Nájdeme všetky čísla z intervalu (a; b), v ktorých funkcia nemá prvú deriváciualebo v ktorých je prvá derivácia funkcie rovná nule.
2. Vypočítame funkčné hodnoty v koncových bodoch intervalu f(a) a f(b)
a v bodoch z 1.
3. Maximum z týchto funkčných hodnôt je maximom funkcie, minimum z týchtofunkčných hodnôt je minimom funkcie na uzavretom intervale 〈a; b〉.
Poznámka 4. Na otvorenom intervale (a; b) spojitá funkcia nemusí maťmaximum (minimum). Ak maximum (minimum) existuje, je to maximum(minimum) z lokálnych extrémov funkcie v intervale (a; b).
Definícia 2. Nech je funkcia y = f(x) definovaná na intervale J . Nechx1 < x2 < x3 sú ľubovoľné čísla z tohto intervalu. Ak pre všetky takéto trojice bodP2 = [x2; f(x2)] leží pod priamkou, ktorá prechádza bodmi P1 = [x1; f(x1)] aP3 = [x3; f(x3)] alebo leží na nej, hovoríme, že funkcia je konvexná na intervale J .Ak bod P2 leží nad touto priamkou alebo leží na nej, hovoríme, že funkcia jekonkávna na intervale J .Ak pre všetky takéto trojice bod P2 leží pod (nad) touto priamkou hovoríme, žefunkcia je rýdzokonvexná (rýdzokonkávna) na intervale J .
Definícia 3. Nech je funkcia y = f(x) definovaná v nejakom okolí čísla x0 a nechje v čísle x0 spojitá. Bod I = [x0, f(x0)] nazývame inflexným bodom grafufunkcie, ak je funkcia na ľavom okolí bodu x0 rýdzokonkávna (rýdzokonvexná) ana pravom okolí bodu x0 rýdzokonvexná (rýdzokonkávna).
192 K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU
Bod x0 nazývame inflexným bodom funkcie.
Veta 7. Nech má funkcia y = f(x) na intervale J druhú deriváciu f ′′(x).
1. Ak f ′′(x) ≥ 0 na J , potom funkcia je na J konvexná.
2. Ak f ′′(x) ≤ 0 na J , potom funkcia je na J konkávna.
3. Ak f ′′(x) > 0 na J , potom funkcia je na J rýdzokonvexná.
4. Ak f ′′(x) < 0 na J , potom funkcia je na J rýdzokonkávna.
Veta 8. Nech má funkcia y = f(x) na intervale J druhú deriváciu. Ak je x0
inflexným bodom funkcie, potom f ′′(x0) = 0.
Veta 9. Nech je funkcia y = f(x) v bode x0 spojitá a má v nejakom rýdzom okolíbodu x0 druhú deriváciu. Ak existuje ľavé okolie bodu x0, v ktorom je f ′′(x0) > 0
(f ′′(x0) < 0) pre všetky x a pravé okolie bodu x0, v ktorom je f ′′(x0) < 0
(f ′′(x0) > 0) pre všetky x, potom bod x0 je inflexným bodom funkcie f(x).
Veta 10. Nech funkcia y = f(x) má v čísle x0 prvých n derivácií, n ≥ 2. Nechf (k)(x0) = 0 pre k = 2, 3, . . . , n− 1 a f (n)(x0) 6= 0. Ak n je nepárne číslo, potomfunkcia má v čísle x0 inflexný bod. Ak n je párne číslo, potom funkcia nemá včísle x0 inflexný bod.
Riešené príklady 193
Riešené príkladyPríklad 1. Nájdite všetky intervaly, na ktorých je funkcia f(x) =
√2x− x2
rýdzomonotónna.
Riešenie: Definičný obor funkcie je D(f) = {x ∈ R : 2x− x2 ≥ 0}.Z nerovnice 2x− x2 ≥ 0 vyplýva, že x(2− x) ≥ 0 a teda D(f) = 〈0; 2〉. Deriváciafunkcie f ′(x) = 2−2x
2√
2x−x2 = 1−x√2x−x2 , čiže D(f ′) = (0; 2). Treba zistiť všetky intervaly,
na ktorých je f ′(x) kladná a na ktorých je záporná (veta 1).Ak je f ′(x) > 0, funkcia je rastúca
1−x√2x−x2 > 0 ⇔ 1− x > 0 ⇔ x < 1. Zohľadniac definičný obor, funkcia je rastúca naintervale (0; 1).Opačná nerovnica 1−x√
2x−x2 < 0 platí pre 1− x < 0 a teda x > 1. Na intervale (1; 2)
je funkcia klesajúca.
Príklad 2. Nájdite lokálne extrémy funkcie f(x) = x3 − 6x2 + 9x− 4.
Riešenie: D(f) = R, f ′(x) = 3x2 − 12x + 9, D(f ′) = R. Vzhľadom na definičnýobor derivácie, lokálne extrémy môžu nastať len v stacionárnych bodoch (veta 3),teda tam, kde f ′(x) = 0
3x2 − 12x + 9 = 0 ⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ (x− 1)(x− 3) = 0.Stacionárne body sú x1 = 1 a x2 = 3.f ′′(x) = 6x− 12, f ′′(1) = −6 < 0, f ′′(3) = 6 > 0, f ′′′(x) = 6 6= 0. Podľa vety 5 máfunkcia v bode x1 = 1 ostré lokálne maximum a to lok max f(x) = f(1) = 0 a vbode x2 = 3 ostré lokálne minimum lok min f(x) = f(3) = −4.
Príklad 3. Nájdite minimum a maximum funkcie f(x) =√
x− x2.
Riešenie: Definičný obor funkcie je D(f) = {x ∈ R : x− x2 ≥ 0}. Z nerovnicex− x2 ≥ 0 vyplýva, že x(1− x) ≥ 0 a teda D(f) = 〈0; 1〉. Hľadáme extrémyspojitej funkcie na uzavretom intervale.Nájdeme najskôr body, v ktorých môžu nastať lokálne extrémy: f ′(x) = 1−2x
2√
x−x2 ,D(f ′) = (0; 1). Stacionárne body získame vyriešením rovnice
1−2x2√
x−x2 = 0 ⇔ 1− 2x = 0 ⇔ x = 12. Lokálne extrémy môžu nastať aj v bodoch, v
ktorých neexistuje prvá derivácia, a to x = 0 a x = 1. Tieto sú súčasne ikoncovými bodmi definičného oboru 〈0; 1〉. Vypočítame funkčné hodnotyf(0), f(1
2) a f(1) a vyberieme z nich najväčšiu a najmenšiu hodnotu:
f(0) = 0, f(12) =
√14
= 12a f(1) = 0. Preto max f(x) = 1
2a min f(x) = 0.
Príklad 4. Zriaďovacie náklady elektrického vedenia sú závislé od prierezuvedenia S a od strát elektrického vedenia a sú dané vzťahom y = 2S + 3
S. Nájdite
S tak, aby náklady boli minimálne.
194 K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU
Riešenie: Hľadáme prierez S, pre ktorý funkcia nadobúda minimálnu hodnotu.Keďže y′ = 2− 3
S2 , y′ = 0 práve vtedy keď 2− 3S2 = 0 ⇔ 2S2 − 3 = 0 ⇔ S2 = 3
2.
Vzhľadom k tomu že S > 0, riešením rovnice je S =√
32. Overíme, či v tomto bode
nastáva minimum: y′′ = −3·(−2)S3 = 6
S3 a pretože y′′(√
32
)= 6
(√
32)3> 0, funkcia má
v S =√
32minimum. Vypočítame y
(√32
)= 2 ·
√32
+ 3√32
=2· 3
2+3√32
= 6√32
.
Minimálne zriaďovacie náklady sú 6√32
pri priereze vedenia S =√
32.
Príklad 5. Nájdite intervaly monotónnosti a lokálne extrémy funkcie y = ex
x+1.
Riešenie: Definičný obor funkcie jeD(f) = {x ∈ R : x + 1 6= 0} = R \ {−1} = (−∞;−1) ∪ (−1;∞) a jej derivácia jey′ = ex(x+1)−ex
(x+1)2= ex·x
(x+1)2. Z vety 1 vyplýva, že funkcia bude rastúca, ak y′ > 0 a
klesajúca, ak y′ < 0.Platí y′ > 0 ⇔ ex·x
(x+1)2> 0 ⇔ x > 0 a preto je funkcia rastúca pre x ∈ (0;∞).
Podobne y′ < 0 ⇔ x < 0 a funkcia je klesajúca pre x ∈ (−∞;−1) a prex ∈ (−1; 0). Podľa vety 2, lokálny extrém nastáva v bode x = 0 a to lokálneminimum. Platí lok min f = e0
1= 1.
Príklad 6. Nájdite intervaly na ktorých je funkcia y = 1− ln(x2 − 9) konvexná,konkávna a určte inflexné body grafu funkcie.
Riešenie: Definičný obor funkcie je D(f) = {x ∈ R : x2 − 9 > 0}. Z nerovnicex2 − 9 > 0 vyplýva, že x2 > 9 ⇔ |x| > 3 a teda D(f) = (−∞;−3) ∪ (3;∞). Podľavety 7, funkcia je konvexná, ak f ′′(x) > 0.Platí f ′(x) = − 1
x2−9· 2x = −2x
x2−9a f ′′(x) = −2·(x2−9)+2x·2x
(x2−9)2= 2x2+18
(x2−9)2. Pretože
2x2 + 18 > 0 aj (x2 − 9)2 > 0 pre všetky x ∈ D(f), funkcia je konvexná naintervale (−∞;−3) aj na intervale (3;∞). Inflexné body funkcia nemá.
Úlohy 195
Úlohy1. Pre danú funkciu nájdite všetky intervaly, na ktorých je rýdzomonotónna:
a) f(x) = x2 − 6x + 5
b) f(x) = x3 − 3x2 + 3x + 5
c) f(x) = x−1x+1
d) f(x) =√
x− x2
2. Dokážte, že funkcia f(x) = ln(x + 3) je na celom definičnom obore rastúca.
3. Dokážte, že funkcia f(x) = x3 − 3x + 5 je na intervale (−1; 1) klesajúca.
4. Dokážte, že funkcia f(x) = x + cos x je na intervale 〈−2π; 2π〉 rastúca.
5. Pre danú funkciu nájdite všetky intervaly, na ktorých je rýdzomonotónna:
a) f(x) = ln(4− x2)
b) f(x) = x2 · e−x
c) f(x) = xln x
d) f(x) = x− 2 arctg x
6. Nájdite lokálne extrémy funkcií:
a) y = x4 − 4x3 + 4x2
b) y = 3x + 3x−2
c) y = 2x3 − 3x2 + 5
d) y = x3 − 3x2 + 3x + 5
7. Nájdite lokálne extrémy funkcií:
a) y = x2 · ex
b) y = x3 · ex
c) y = xn · ex, kde n ∈ N
8. Nájdite lokálne extrémy funkcií:
a) y = x3 · (8− x)
b) y = x1+x2
c) y = 3√
(x2 − 1)2
196 K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU
d) y = x− arctg x
9. Nájdite lokálne extrémy funkcie y = |x|+ |1 + x|.
10. Nájdite maximum a minimum funkcií na príslušných intervaloch:
a) y = (x2 − 1)2 na intervale 〈−12; 2〉
b) y = 2x3 − 3x2 − 12x + 1 na intervale (−2; 4)
c) y = x +√
1− x na intervale 〈−1; 1〉d) y = x · e−x na intervale 〈−2; 3〉
11. Nájdite maximum a minimum funkcií na príslušných intervaloch:
a) y = x · ln2 x, x ∈ (0; 5)
b) y = sin x− cos x, x ∈ 〈0; π2〉
c) y = sin 2x− x, x ∈ (−π2; π
2)
d) y = cos(3x− π4), x ∈ 〈0; π
2〉
12. Kladné číslo a napíšte v tvare súčtu dvoch kladných sčítancov tak, aby ich súčinbol maximálny.
13. Súčet dvoch kladných čísel je a. Vypočítajte:
a) minimálnu hodnotu súčtu ich n-tých mocnín
b) maximálnu hodnotu súčinu ich n-tých mocnín
14. Do gule s polomerom R vpíšte rotačný kužeľ maximálneho objemu.
15. Z rotačných kužeľov s veľkosťou plášťa P nájdite ten, ktorý má najväčší objem.
16. Drôt dĺžky l máme rozdeliť na dve časti. Z prvej vytvoríme štvorec a z druhejkruh tak, aby súčet obsahov týchto útvarov bol čo najmenší. Vypočítajtepolomer kruhu a stranu štvorca.
17. Škatuľa má mať tvar valca, uzavretého vrchnákom tvaru polovice guľovejplochy. Stena a dno škatule sú zhotovené z toho istého materiálu, a vrchnákz materiálu, ktorý je 5,5-krát drahší. Aké musia byť rozmery škatule, aby pridanom objeme V bola jej výrobná cena čo najmenšia?
18. Mesto A leží na rieke, ktorá tečie priamo. Mesto B je vzialené od mesta A
20 km a od rieky 5 km. Na rieke sa má vybudovať vodáreň, ktorá budezásobovať obe mestá vodou. Určte jej umiestnenie tak, aby stavba potrubiabola čo najlacnejšia, ak náklady na výstavbu 1 km potrubia po rieke sú 2/3nákladov výstavby po zemi.
Úlohy 197
19. Z ostrova A vzdialeného od brehu jazera 5 km sa chceme dostať do mesta C nabrehu jazera v čo najkratšom čase. Mesto C je od mesta A vzdialené 13 km. Naktorom mieste musíme pristáť, ak rýchlosť loďky je 4 km/hod a rýchlosť chodcaje 6 km/hod?
20. Výklenok má tvar polvalca, na ktorom je nasadená štvrťguľa. Vypočítajte jehorozmery, ak má mať pri danom povrchu maximálny objem.
21. Zistite, ktorý bod danej krivky má od bodu M minimálnu vzdialenosť:
a) 2x2 − 2y − 9 = 0, M = [0; 0]
b) x2 − y2 + 4 = 0, M = [1; 0]
V úlohách 22 - 24 nájdite intervaly maximálnej dĺžky, na ktorých sú funkcierastúce, klesajúce a nájdite ich lokálne extrémy:
22. a) y = x3 − 3x + 5
b) y = x+1x2+3
c) y = 3 + xx2+1
d) y = 6x1+x2
23. a) y = 2x2 − ln x
b) y = 2x2 · e2x
c) y = 2√
9x2 − x4
d) y = ex
x+1
24. a) y = e−x2
b) y = x · e1
x−2
c) y = x2 · ln x
d) y = x · arctg x
25. Nájdite intervaly najväčšej dĺžky, na ktorých sú funkcie konvexné a na ktorýchsú konkávne:
a) y = x3 − 3x + 5
b) y = arctg x
c) y = x2 · ex
d) y = x1−x2
198 K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU
26. Nájdite inflexné body grafov nasledujúcich funkcií:
a) y = x2 · e−x
b) y = x2 · ln x
c) y = ln(4− x2)
d) y = x1+x2
V úlohách 27 - 29 nájdite intervaly maximálnej dĺžky, na ktorých sú funkciekonvexné, konkávne a nájdite inflexné body grafov funkcií:
27. a) y = x3 + 3x2 − 9x− 2
b) y = x2−2x
c) y = x− 2 arctg x
d) y = e1x
28. a) y = x + e−x2
b) y = ln(x2 − 2x + 2)
c) y = x4 − 6x2 + 5
d) y = x+1x−1
29. a) y = 1+x2
x
b) y = x + ln(4− x2)
c) y = x2−6x+5(x−3)2
d) y = 11−x2
Výsledky 199
Výsledky1. a) D(f) = R, pre x ∈ (3;∞) rastúca, pre x ∈ (−∞; 3) klesajúca
b) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;∞) rastúca
c) D(f) = R \ {−1}, rastúca pre x ∈ (−∞;−1) aj pre x ∈ (−1;∞)
d) D(f) = 〈0; 1〉, pre x ∈ 〈0; 12〉 rastúca, pre x ∈ 〈1
2; 0〉 klesajúca
5. a) D(f) = (−2; 2), pre x ∈ (−2; 0) rastúca, pre x ∈ (0; 2) klesajúca
b) D(f) = R, pre x ∈ (−∞; 0) klesajúca, pre x ∈ (0; 2) rastúca, pre x ∈ (2;∞)
klesajúca
c) D(f) = (0; 1) ∪ (1;∞), pre x ∈ (0; 1) klesajúca, pre x ∈ (1; e) klesajúca, prex ∈ (e,∞) rastúca
d) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−1) rastúca, pre x ∈ (−1; 1) klesajúca, prex ∈ (1;∞) rastúca
6. a) D(f) = R, lok min f(x) = f(0) = 0, lok min f(x) = f(2) = 0,lok max f(x) = f(1) = 1
b) D(f) = R \ {2}, lok max f(x) = f(1) = 0, lok min f(x) = f(3) = 12
c) D(f) = R, lok max f(x) = f(0) = 5, lok min f(x) = f(1) = 4
d) D(f) = R, nemá lokálne extrémy
7. a) D(f) = R, lok min f(x) = f(0) = 0, lok max f(x) = f(−2) = 4 · e−2
b) D(f) = R, lok min f(x) = f(−3) = −27 · e−3
c) D(f) = R, ak n je párne: lok min f(x) = f(0) = 0,lok max f(x) = f(−n) = nn · e−n,ak n je nepárne: lok min f(x) = f(−n) = −nn · e−n
8. a) D(f) = R, lok max f(x) = f(6) = 432
b) D(f) = R, lok max f(x) = f(1) = 12, lok min f(x) = f(−1) = −1
2
c) D(f) = R, lok max f(x) = f(0) = 1, lok min f(x) = f(−1) = 0,lok min f(x) = f(1) = 0
d) D(f) = R, nemá lokálne extrémy
9. D(f) = R, lok min f(x) = 1, nastáva pre všetky x ∈ 〈−1; 0〉
10. a) max f(x) = f(2) = 9, min f(x) = f(1) = 0
b) maximum nemá, min f(x) = f(2) = −19
200 K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU
c) max f(x) = f(34) = 5
4, min f(x) = f(−1) = −1 +
√2
d) max f(x) = f(1) = 1e, min f(x) = f(−2) = −2 · e2
11. a) maximum nemá, min f(x) = f(1) = 0
b) max f(x) = f(π2) = 1, min f(x) = f(0) = −1
c) max f(x) = f(π6) =
√3
2− π
6, min f(x) = f(−π
6) = −
√3
2− π
6
d) max f(x) = f( π12
) = f(3π4
) = 1, min f(x) = f(5π12
) = −1
12. x = y = a2, maximálny súčin sa rovná a2
4
13. a) x = y = a2, minimálny súčet je an
2n−1
b) x = y = a2, maximálny súčin je
(a2
)2n
14. Výška kužeľa v = 43R, polomer podstavy r = 1
3
√8R.
15. Polomer podstavy r =√
Pπ·√
3, výška v =
√2P
π·√
3.
16. Strana štvorca a = lπ+4, polomer kruhu r = l
2(π+4), súčet plôch l2
4(π+4).
17. Polomer podstavy r = 3
√3V32π, výška steny v = 15
163
√322V9π.
18. Vodáreň by mala ležať na rieke vo vzdialenosti(√
3575− 1517
)km od A
smerom k B.
19. Vzdialené o 2√
5 km od B.
20. Polomer polvalca aj štvrťgule r =√
2P5π, výška valca je rovná jeho polomeru.
21. a)[−2;−1
2
]a[2;−1
2
]b)[
12;√
172
]a[
12;−
√172
]22. a) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−1) a x ∈ (1;∞) rastúca, pre x ∈ (−1; 1)
klesajúca, lok max f(x) = f(−1) = 5, lok min f(x) = f(1) = 1
b) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−3) a x ∈ (1;∞) klesajúca, pre x ∈ (−3; 1)
rastúca, lok max f(x) = f(1) = 12, lok min f(x) = f(−3) = − 2
27
c) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−1) a x ∈ (1;∞) klesajúca, pre x ∈ (−1; 1)
rastúca, lok max f(x) = f(1) = 72, lok min f(x) = f(−1) = 5
2
d) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−1) a x ∈ (1;∞) klesajúca, pre x ∈ (−1; 1)
rastúca, lok max f(x) = f(1) = 3, lok min f(x) = f(−1) = −3
Výsledky 201
23. a) D(f) = (0;∞), pre x ∈ (0; 12) klesajúca, pre x ∈ (1
2;∞) rastúca, nemá
lokálne maximum, lok min f(x) = f(12) = 1
2+ ln 2
b) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−1) a x ∈ (0;∞) rastúca, pre x ∈ (−1; 0)
klesajúca, lok max f(x) = f(−1) = 2 · e−2, lok min f(x) = f(0) = 0
c) D(f) = 〈−3; 3〉, pre x ∈ (−3;− 3√2) a x ∈ (0; 3√
2) rastúca, pre x ∈ (− 3√
2; 0) a
x ∈ ( 3√2; 3) klesajúca, lok max f(x) = f(− 3√
2) = f( 3√
2) = 9,
lok min f(x) = f(0) = 0 (obrázok L.15 na strane 227)
d) D(f) = R \ {−1}, x ∈ (−∞;−1) a x ∈ (−1; 0) klesajúca, pre x ∈ (0;∞)
nemá lokálne maximum, lok min f(x) = f(0) = 1
24. a) D(f) = R, pre x ∈ (−∞; 0) rastúca, pre x ∈ (0;∞) klesajúca,lok max f(x) = f(0) = 1 (obrázok L.18 na strane 230)
b) D(f) = R \ {2}, pre x ∈ (−∞; 1) a x ∈ (4;∞) rastúca, pre x ∈ (1; 2) ax ∈ (2; 4) klesajúca, lok max f(x) = f(1) = 1
e, lok min f(x) = f(4) = 4
√2
(obrázok L.19 na strane 231)
c) D(f) = (0;∞), pre x ∈ (0; 1√e) klesajúca, pre x ∈ ( 1√
e;∞) rastúca,
lok min f(x) = f( 1√e) = − 1
2e(obrázok L.16 na strane 228)
d) D(f) = R, pre x ∈ (−∞; 0) klesajúca, pre x ∈ (0;∞) rastúca,lok min f(x) = f(0) = 0 (obrázok L.20 na strane 232)
25. a) D(f) = R, pre x ∈ (0;∞) konvexná, pre x ∈ (−∞; 0) konkávna
b) D(f) = R, pre x ∈ (−∞; 0) konvexná, pre x ∈ (0;∞) konkávna
c) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−2−√
2) a x ∈ (−2 +√
2;∞) konvexná, prex ∈ (−2−
√2;−2 +
√2) konkávna
d) D(f) = R \ {−1; 1}, pre x ∈ (−∞,−1) a x ∈ (0; 1) konvexná, prex ∈ (−1; 0) a x ∈ (1;∞) konkávna
26. a) I1 =[2−
√2; (6− 4
√2) · e
√2−2], I2 =
[2 +
√2; (6 + 4
√2) · e−
√2−2]
b) I1 =[e−
32 ;−3
2e−3]
c) nemá
d) I1 =[−√
3;−√
34
], I1 = [0; 0], I1 =
[√3;
√3
4
]27. a) D(f) = R, pre x ∈ (−1;∞) konvexná, pre x ∈ (−∞;−1) konkávna,
I = [−1; 9]
b) D(f) = R \ {0}, pre x ∈ (−∞; 0) konvexná, pre x ∈ (0;∞) konkávna,inflexný bod nemá
202 K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU
c) D(f) = R, pre x ∈ (0;∞) konvexná, pre x ∈ (−∞; 0) konkávna, I = [0; 0]
d) D(f) = R \ {0}, pre x ∈ (−12; 0) a x ∈ (0;∞) konvexná, pre x ∈ (−∞;−1
2)
konkávna, I =[−1
2; e−2
]28. a) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−
√2
2) a x ∈ (
√2
2;∞) konvexná, pre x ∈ (−
√2
2;√
22
)
konkávna, I1 =[−√
22
;−√
22
+ e−12
], I2 =
[√2
2;√
22
+ e−12
]b) D(f) = R, pre x ∈ (0; 1) konvexná, pre x ∈ (−∞; 0) a x ∈ (1;∞) konkávna,
I1 = [0; ln 2], I2 = [1; 0]
c) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−1) a x ∈ (1;∞) konvexná, pre x ∈ (−1; 1)
konkávna, I1 = [−1; 0], I2 = [1; 0] (obrázok L.9 na strane 221)
d) D(f) = R \ {1}, pre x ∈ (1;∞) konvexná, pre x ∈ (−∞; 1) konkávna,inflexné body nemá (obrázok L.10 na strane 222)
29. a) D(f) = R \ {0}, pre x ∈ (0;∞) konvexná, pre x ∈ (−∞; 0) konkávna,inflexné body nemá
b) D(f) = R \ {−2; 2}, na celom definičnom obore konkávna, inflexné bodynemá
c) D(f) = R \ {3}, na celom definičnom obore konkávna, inflexné body nemá(obrázok L.13 na strane 225)
d) D(f) = R \ {−1; 1}, pre x ∈ (−1; 1) konvexná, pre x ∈ (−∞;−1) ax ∈ (1;∞) konkávna, inflexné body nemá (obrázok L.12 na strane 224)
L PRIEBEH FUNKCIE 203
L PRIEBEH FUNKCIE
Pri vyšetrovaní priebehu funkcie zvyčajne zisťujeme nasledujúce charakteristikyfunkcie:
1. Definičný obor, nulové body funkcie.
2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.
3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.
4. Asymptoty grafu funkcie.
5. Monotónnosť.
6. Lokálne extrémy.
7. Konvexnosť, konkávnosť.
8. Inflexné body.
Pomocou týchto vlastností zostrojíme graf funkcie.
204 L PRIEBEH FUNKCIE
Riešené príkladyPríklad 1. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = 3x−2
2x+1a zostrojte jej graf.
Riešenie:
1. Definičný obor, nulové body funkcie.D(f) = {x ∈ R : 2x + 1 6= 0} = (−∞;−1
2) ∪ (−1
2;∞)
Nulový bod funkcie je ten, v ktorom funkčná hodnota je rovná nule:3x−22x+1
= 0 ⇔ 3x− 2 = 0 ⇔ x = 23. Graf funkcie prechádza bodom [2
3; 0].
2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.Pre danú funkciu nie je splnená podmienka: ak x ∈ D(f) tak aj −x ∈ D(f),nakoľko x = 1
2∈ D(f) ale −x = −1
26∈ D(f). Funkcia nie je ani párna ani
nepárna. Funkcia nie je periodická.
3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.Funkcia je spojitá pre x ∈ (−∞;−1
2) aj pre x ∈ (−1
2;∞). Bodom nespojitosti je
x = −12.
limx→− 1
2
+
3x−22x+1
= −∞
limx→− 1
2
−
3x−22x+1
= ∞
4. Asymptoty grafu funkcie.
a) Asymptoty bez smernice x = a:Jednostranné limity v čísle x = −1
2sú nevlastné. Priamka x = −1
2je
asymptotou bez smernice.
b) Asymptoty so smernicou y = ax + b:
a = limx→∞
3x−22x+1
x= lim
x→∞3x−22x2+x
= 0 a analogicky a = limx→−∞
3x−22x+1
x= 0
b = limx→∞
(3x−22x+1
− 0)
= limx→∞
3− 2x
2+ 1x
= 32a analogicky b = lim
x→−∞
(3x−22x+1
− 0)
= 32
Priamka y = 32je asymptotou so smernicou.
5. Monotónnosť.f ′(x) = 3(2x+1)−(3x−2)·2
(2x+1)2= 6x+3−6x+4
(2x+1)2= 7
(2x+1)2
7(2x+1)2
> 0 pre ∀x ∈ R ⇒ funkcia je rastúca pre x ∈ (−∞;−12) a tiež pre
x ∈ (−12;∞).
6. Lokálne extrémy.Keďže f ′(x) = 7
(2x+1)2, D(f ′) = (−∞;−1
2) ∪ x ∈ (−1
2;∞) = D(f), extrém môže
nastať len v stacionárnom bode. Pretože f ′(x) 6= 0 pre všetky x ∈ D(f ′), danáfunkcia nemá lokálne extrémy.
Riešené príklady 205
7. Konvexnosť, konkávnosť.f ′′(x) = −2 · 7 · (2x + 1)−3 · 2 = −28
(2x+1)3
Funkcia bude konvexná pre všetky x ∈ D(f), pre ktoré f ′′(x) > 0 a konkávnapre všetky x ∈ D(f), pre ktoré f ′′(x) < 0.Riešme nerovnicu −28
(2x+1)3> 0 ⇒ 28
(2x+1)3< 0 ⇒ 2x + 1 < 0 ⇒ x < −1
2.
Opačná nerovnica −28(2x+1)3
< 0 má riešenie x > −12.
Na intervale (−∞;−12) je funkcia konvexná.
Na intervale (−12;∞) je funkcia konkávna.
8. Inflexné body.K zmene konvexnosti na konkávnosť dochádza v čísle a = −1
2, ktoré nepatrí do
definičného oboru funkcie; funkcia teda nemá inflexné body.
x
y
ABS: x = −12
ASS: y = 32
32
−12
Obrázok L.1: Graf funkcie f : y = 3x−22x+1
- k príkladu 1
206 L PRIEBEH FUNKCIE
Príklad 2. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = x1−x2 a zostrojte jej graf.
Riešenie:
1. Definičný obor, nulové body funkcie.D(f) = {x ∈ R : 1− x2 6= 0} = R \ {−1; 1}f(x) = 0 ⇔ x
1−x2 = 0 ⇔ x = 0. Graf funkcie prechádza bodom [0; 0].
2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.Pre danú funkciu je splnená podmienka: ak x ∈ D(f) tak aj −x ∈ D(f).Vypočítame f(−x):f(−x) = (−x)
1−(−x)2= −x
1−x2 = − x1−x2 = −f(x). Ukázali sme, že pre ∀x ∈ D(f) platí
f(−x) = −f(x). Funkcia je nepárna. Graf je symetrický podľa počiatkusúradnicovej sústavy. Funkcia nie je periodická.
3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.Definičný obor funkcie je D(f) = (−∞;−1) ∪ (−1; 1) ∪ (1;∞). Funkcia jespojitá pre x ∈ (−∞;−1), pre x ∈ (−1; 1) a pre x ∈ (1;∞). Body nespojitostisú x = 1 a x = −1. Vypočítame v nich jednostranné limity:
limx→−1−
x1−x2 = +∞, lim
x→1−
x1−x2 = +∞
limx→−1+
x1−x2 = −∞, lim
x→1+
x1−x2 = −∞
4. Asymptoty grafu funkcie.
a) Asymptoty bez smernice x = a:Jednostranné limity v x = 1 a x = −1 sú nevlastné. Priamky x = 1 ax = −1 sú asymptotami bez smernice.
b) Asymptoty so smernicou y = ax + b:
a = limx→∞
x1−x2
x= lim
x→∞1
1−x2 = 0 a analogicky a = limx→−∞
x1−x2
x= 0
b = limx→∞
(x
1−x2 − 0)
= limx→∞
1x
1x2−1
= 0 a analogicky b = limx→−∞
(x
1−x2 − 0)
= 0
Priamka y = 0 je asymptotou so smernicou.
5. Monotónnosť.
f ′(x) = 1−x2−x(−2x)(1−x2)2
= 1+x2
(1−x2)2
f ′(x) > 0 pre všetky x ∈ R ⇒ funkcia je na intervaloch (−∞;−1), (−1; 1) a(1;∞) rastúca.
6. Lokálne extrémy.D(f ′) = D(f) = R \ {−1; 1} ⇒ extrém môže nastať len v stacionárnom bode.Pretože f ′(x) = 1+x2
(1−x2)26= 0 pre všetky x ∈ R, daná funkcia nemá lokálne
extrémy.
Riešené príklady 207
7. Konvexnosť, konkávnosť.
f ′′(x) = 2x(1−x2)2−(1+x2)·2·(1−x2)·(−2x)(1−x2)4
= 8x(1−x2)3
Ak f ′′(x) > 0, funkcia je konvexná. Ak f ′′(x) < 0, funkcia je konkávna.Nerovnicu vyriešime tabuľkou:
(−∞;−1) (−1; 0) (0; 1) (1;∞)x − − + +
1− x + + + −1 + x − + + +f ′′(x) + − + −
Na intervale (−∞;−1) je funkcia konvexná
Na intervale (−1; 0) je funkcia konkávna
Na intervale (0; 1) je funkcia konvexná
Na intervale (1;∞) je funkcia konkávna
8. Inflexné body.K zmene konvexnosti na konkávnosť dochádza v x = −1 6∈ D(f), x = 0 ax = 1 6∈ D(f). Jediným inflexným bodom je bod I = [0; 0].
x
y
ABS: x = −1
ABS: x = 1
ASS: y = 0
−1 0 1
Obrázok L.2: Graf funkcie f : y = x1−x2 - k príkladu 2
208 L PRIEBEH FUNKCIE
Príklad 3. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = 1−x2
1+x2 a zostrojte jej graf.
Riešenie:
1. Definičný obor, nulové body funkcie.D(f) = R;f(x) = 0 ⇔ 1− x2 = 0 ⇔ x = 1, x = −1.Graf funkcie prechádza bodmi [1; 0] a [−1; 0].
2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.
D(f) = R; f(−x) = 1−(−x)2
1+(−x)2= 1−x2
1+x2 = f(x).
Funkcia je párna. Graf je symetrický podľa osi y. Funkcia nie je periodická.
3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.Funkcia je spojitá na celom definičnom obore.
4. Asymptoty grafu funkcie.
a) Asymptoty bez smernice nemá.
b) Asymptoty so smernicou y = ax + b:
a = limx→∞
1−x2
(1+x2)·x = limx→∞
1x3−
1x
1x2 +1
= 0 a analogicky a = limx→−∞
1−x2
x+x3 = 0
b = limx→∞
(1−x2
1+x2 − 0)
= limx→∞
1x2−11
x2 +1= −1 a analogicky b = lim
x→−∞
(1−x2
1+x2
)= −1
Priamka y = −1 je asymptotou so smernicou.
5. Monotónnosť.f ′(x) = −2x(1+x2)−(1−x2)·2x
(1+x2)2= −4x
(1+x2)2
Ak f ′(x) > 0, tak je funkcia rastúca.Ak f ′(x) < 0, tak je funkcia klesajúca.
f ′(x) > 0 ⇔ −4x(1+x2)2
> 0 ⇔ −4x > 0 ⇔ x < 0
f ′(x) < 0 ⇔ −4x(1+x2)2
< 0 ⇔ −4x < 0 ⇔ x > 0
Pre x ∈ (−∞; 0) je funkcia rastúca.Pre x ∈ (0;∞) je funkcia klesajúca.
6. Lokálne extrémy.Lokálny extrém môže nastať len v stacionárnom bode; f ′(x) = 0 ⇔ x = 0.
0
Riešené príklady 209
Z vyznačenej monotónnosti a zo spojitosti funkcie vyplýva, že v x = 0 nastávalokálne maximum funkcie lok max f(x) = f(0) = +1.
7. Konvexnosť, konkávnosť.
f ′′(x) = −4·(1+x2)2+4x·2(1+x2)·2x(1+x2)4
= 4(3x2−1)(1+x2)3
Ak f ′′(x) > 0, funkcia je konvexná. Ak f ′′(x) < 0, funkcia je konkávna.4(3x2−1)(1+x2)3
> 0 ⇔ 3x2 − 1 > 0 ⇔ x2 > 13⇔ |x| >
√3
3
x ∈ (−∞;−√
33
) ⇒ funkcia je konvexná
x ∈ (√
33
;∞) ⇒ funkcia je konvexná
x ∈ (−√
33
;√
33
) ⇒ funkcia je konkávna
8. Inflexné body.
Inflexné body sú I1 = [−√
33
; 12] a I2 = [
√3
3; 1
2].
x
y
ASS: y = −1
−1
1
−1 −√
33
√3
310
12
Obrázok L.3: Graf funkcie f : y = 1−x2
1+x2 - k príkladu 3
210 L PRIEBEH FUNKCIE
Príklad 4. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = x2
x2−4a zostrojte jej graf.
Riešenie:
1. Definičný obor, nulové body funkcie.
D(f) = {x ∈ R : x2 − 4 6= 0} = R \ {−2; 2}f(x) = 0 ⇔ x2 = 0 ⇔ x = 0. Graf funkcie prechádza bodom [0; 0].
2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.
Pre danú funkciu je splnená podmienka: ak x ∈ D(f) tak aj −x ∈ D(f).Vypočítame f(−x):f(−x) = (−x)2
(−x)2−4= x2
x2−4= f(x). Ukázali sme, že f(−x) = f(x) pre každé
x ∈ D(f). Funkcia je párna, graf je symetrický podľa osi y. Funkcia nie jeperiodická.
3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.
Definičný obor funkcie je D(f) = (−∞;−2) ∪ (−2; 2) ∪ (2;∞).
Pre x ∈ (−∞;−2) je funkcia spojitá.
Pre x ∈ (−2; 2) je funkcia spojitá.
Pre x ∈ (2;∞) je funkcia spojitá.
Body nespojitosti sú x = −2 a x = 2. Vypočítame v nich jednostranné limity:
limx→−2−
x2
x2−4= +∞, lim
x→2−
x2
x2−4= −∞
limx→−2+
x2
x2−4= −∞, lim
x→2+
x2
x2−4= +∞
4. Asymptoty grafu funkcie.
a) Asymptoty bez smernice x = a:Jednostranné limity v x = −2 aj v x = 2 sú nevlastné. Priamky x = −2 ax = 2 sú asymptotami bez smernice.
b) Asymptoty so smernicou y = ax + b:
a = limx→∞
x2
x2−4
x= lim
x→∞x2
x3−4x= 0 a analogicky a = lim
x→−∞x2
x3−4x= 0
b = limx→∞
(x2
x2−4− 0)
= 0 a analogicky b = limx→−∞
(x2
x2−4
)= 0
Priamka y = 1 je asymptotou so smernicou.
Riešené príklady 211
5. Monotónnosť.
f ′(x) = 2x(x2−4)−x2·2x(x2−4)2
= −8x(x2−4)2
Ak f ′(x) > 0 ⇒ je funkcia rastúca.Ak f ′(x) < 0 ⇒ je funkcia klesajúca.
f ′(x) > 0 ⇔ −8x(x2−4)2
> 0 ⇔ −8x > 0 ⇔ x < 0
f ′(x) < 0 ⇔ −8x(x2−4)2
< 0 ⇔ −8x < 0 ⇔ x > 0
Pre x ∈ (−∞;−2) je funkcia rastúca.Pre x ∈ (−2; 0) je funkcia rastúca.Pre x ∈ (0; 2) je funkcia klesajúca.Pre x ∈ (2;∞) je funkcia klesajúca.
−2 0 2
6. Lokálne extrémy.
Z vyznačenej monotónnosti a zo spojitosti funkcie na jednotlivých intervalochvyplýva, že lokálny extrém nastáva v x = 0 a to lokálne maximumlok max f(x) = f(0) = 0.
7. Konvexnosť, konkávnosť.
f ′′(x) = −8·(x2−4)2+8x·2(x2−4)·2x(x2−4)4
= 8·(3x2+4)(x2−4)3
Ak f ′′(x) > 0, funkcia je konvexná.Ak f ′′(x) < 0, funkcia je konkávna.8·(3x2+4)(x2−4)3
> 0 ⇔ x2 − 4 > 0 ⇔ |x| > 2
x ∈ (−∞;−2) ⇒ funkcia je konvexná
x ∈ (−2; 2) ⇒ funkcia je konkávna
x ∈ (2;∞) ⇒ funkcia je konvexná
212 L PRIEBEH FUNKCIE
8. Inflexné body.
Konvexnosť a konkávnosť sa striedajú v bodoch x = 2 a x = −2, ktoré nepatriado definičného oboru, preto funkcia nemá inflexné body.
x
y
ABS: x = −2 ABS: x = 2
ASS: y = 1
−2 0 2
1
Obrázok L.4: Graf funkcie f : y = x2
x2−4- k príkladu 4
Riešené príklady 213
Príklad 5. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = ln(4− x2) a zostrojte jej graf.
Riešenie:
1. Definičný obor, nulové body funkcie.D(f) = {x ∈ R : 4− x2 > 0} = {x ∈ R : 2 > |x|} = (−2; 2)
f(x) = 0 ⇔ ln(4− x2) = 0 ⇔ 4− x2 = 1 ⇔ x2 = 3 ⇒ x = −√
3 a x =√
3 súnulové body. Graf funkcie prechádza bodmi [−
√3; 0] a [
√3; 0].
2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.Definičný obor funkcie spĺňa podmienku: ak x ∈ D(f) tak aj −x ∈ D(f).Vypočítame f(−x):f(−x) = ln(4− (−x)2) = ln(4− x2) = f(x). Ukázali sme, že f(−x) = f(x) prekaždé x ∈ D(f). Funkcia je párna, graf je symetrický podľa osi y. Funkcia nieje periodická.
3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.Funkcia je spojitá na celom definičnom obore. Body nespojitosti nemá.
4. Asymptoty grafu funkcie.
a) Asymptoty bez smernice x = a:Vypočítame jednostranné limity v koncových bodoch definičného oboru,v nich by mohla byť funkcia neohraničená.
limx→−2+
ln(4− x2) = limu→0+
ln u = −∞
limx→2−
ln(4− x2) = limu→0+
ln u = −∞
Priamky x = −2 a x = 2 sú asymptoty bez smernice grafu funkcie.
b) Asymptoty so smernicou y = ax + b:Vzhľadom na definičný obor (−2; 2) nemá zmysel uvažovať o limitách v ∞akebo −∞. Asymptoty so smernicou daná funkcia nemá.
5. Monotónnosť.f ′(x) = 1
4−x2 · (−2x) = −2x4−x2
Ak f ′(x) > 0 ⇒ je funkcia rastúca.Ak f ′(x) < 0 ⇒ je funkcia klesajúca.f ′(x) > 0 ⇔ −2x
4−x2 > 0
Z podmienky definičného oboru musí byť 4− x2 > 0, a tak je nerovnica splnená,ak −2x > 0 ⇔ x < 0. Podobne f ′(x) < 0 ⇔ −2x
4−x2 < 0 ⇔ −2x < 0 ⇔ x > 0.Na intervale (−2; 0) je funkcia rastúca.Na intervale (0; 2) je funkcia klesajúca.
214 L PRIEBEH FUNKCIE
6. Lokálne extrémy.Z monotónnosti funkcie a z jej spojitosti vyplýva, že funkcia má lokálny extrémv bode x = 0 a to lokálne maximum lok max f(x) = f(0) = ln 4.
7. Konvexnosť, konkávnosť.
f ′′(x) = −2·(4−x2)+2x·(−2x)(4−x2)2
= −8−2x2
(4−x2)2= −2·(4+x2)
(4−x2)2
f ′′(x) < 0 pre všetky x ∈ R ⇒ funkcia je na celom definičnom obore konkávna.
8. Inflexné body.Vzhľadom na konvexnosť a konkávnosť, inflexné body nemá.
x
yABS: x = −2 ABS: x = 2
−2 0 2
ln 4
Obrázok L.5: Graf funkcie f : y = ln(4− x2) - k príkladu 5
Príklad 6. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = x2 · e−x a zostrojte jej graf.
Riešenie:
1. Definičný obor, nulové body funkcie.
y = x2 · e−x = x2
ex ⇒ D(f) = RVýrazy x2 a ex sú nezáporné, obor funkčných hodnôt H(f) = 〈0;∞).f(x) = 0 ⇔ x2
ex = 0 ⇔ x = 0
Graf funkcie prechádza bodom [0; 0].
2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.D(f) = R⇒ ∀x ∈ D(f) ⇒ −x ∈ D(f)
Riešené príklady 215
f(−x) = (−x)2 · e−(−x) = x2 · ex; f(−x) 6= f(x), f(−x) 6= −f(x)
Funkcia nie je párna ani nepárna, nie je ani periodická.
3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.Funkcia je spojitá na celom definičnom obore. Body nespojitosti nemá.
4. Asymptoty grafu funkcie.
a) Asymptoty bez smernice x = a:Funkcia je spojitá pre ∀x ∈ R, asymptoty bez smernice nemá.
b) Asymptoty so smernicou y = ax + b:a = lim
x→∞x2
x·ex = limx→∞
xex
L’P= lim
x→∞1ex = 0
a = limx→−∞
xex = lim
x→−∞x · e−x = −∞
b = limx→∞
(x2
ex − 0)
=L’P= lim
x→∞2xex =
L’P= lim
x→∞2ex = 0
Limitu b = limx→−∞
(f(x)− ax) nemá zmysel počítať, pretože limita
a = limx→−∞
xex je nevlastná.
Priamka y = 0 je asymptotou so smernicou.
5. Monotónnosť.f ′(x) = 2x·ex−x2·ex
(ex)2= 2x−x2
ex = x(2−x)ex
Ak f ′(x) > 0 ⇒ je funkcia rastúca.Ak f ′(x) < 0 ⇒ je funkcia klesajúca.f ′(x) > 0 ⇔ x(2−x)
ex > 0 ⇔ x · (2− x) > 0
Nerovnicu vyriešime tabuľkou:
(−∞; 0) (0; 2) (2;∞)x − + +
2− x + + −f ′(x) − + −
Na intervale (−∞; 0) je funkcia klesajúca.Na intervale (0; 2) je funkcia rastúca.Na intervale (2;∞) je funkcia klesajúca.
6. Lokálne extrémy.Z výpočtu monotónnosti vyplýva, že funkcia má dva stacionárne body x = 0 ax = 2.V bode x = 0 nastáva lokálne minimum lok min f(x) = f(0) = 0.V bode x = 2 nastáva lokálne maximum lok max f(x) = f(2) = 4
e2 .
216 L PRIEBEH FUNKCIE
7. Konvexnosť, konkávnosť.
f ′′(x) = (2−2x)·ex−(2x−x2)·ex
(ex)2= 2−4x+x2
ex
Ak f ′′(x) > 0, funkcia je konvexná. Ak f ′′(x) < 0, funkcia je konkávna.f ′′(x) > 0 ⇔ x2−4x+2
ex > 0 ⇔ x2 − 4x + 2 > 0 ⇔ (x− 2)2 − 2 > 0 ⇔ |x− 2| >√
2
x ∈ (−∞; 2−√
2), funkcia je konvexná
x ∈ (2−√
2; 2 +√
2), funkcia je konkávna
x ∈ (2 +√
2;∞), funkcia je konvexná
8. Inflexné body.Ku striedaniu konvexnosti a konkávnosti dochádza v bodochI1 =
[2−
√2; (2−
√2)2
e2−√
2
]a I2 =
[2 +
√2; (2+
√2)2
e2+√
2
].
x
y
ASS: y = 0
(2−√
2)2
e2−√
2
4e2(2+
√2)2
e2+√
2
2−√
2 2 2 +√
20
Obrázok L.6: Graf funkcie f : y = x2 · e−x - k príkladu 6
Príklad 7. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = arctg x−1xa zostrojte jej graf.
Riešenie:
1. Definičný obor, nulové body funkcie.Daná funkcia je zložená. Vnútorná zložka u = x−1
xmá zmysel len pre x 6= 0,
vonkajšia zložka arctg u je definovaná pre všetky reálne čísla.D(f) = R \ {0} = (−∞; 0) ∪ (0;∞)
f(x) = 0 ⇔ arctg x−1x
= 0 ⇔ x−1x
= tg 0 ⇔ x− 1 = 0 ⇔ x = 1
Graf funkcie prechádza bodom [1; 0].
Riešené príklady 217
2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.Definičný obor spĺňa podmienku: ak x ∈ D(f) tak aj −x ∈ D(f).f(−x) = arctg (−x)−1
(−x)= arctg x+1
x, f(−x) 6= f(x), f(−x) 6= −f(x)
Funkcia nie je párna, nie je nepárna, nie je periodická.
3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.Pre x ∈ (−∞; 0) je funkcia spojitá.Pre x ∈ (0;∞) je funkcia spojitá.Bodom nespojitosti je x = 0.
limx→0+
arctg x−1x
= limu→−∞
arctg u = −π2
limx→0−
arctg x−1x
= limu→+∞
arctg u = +π2
Bod x = 0 je bodom nespojitosti I. druhu.
4. Asymptoty grafu funkcie.
a) Asymptoty bez smernice x = a:Jednostranné limity v bode nespojitosti x = 0 sú vlastné, asymptotu bezsmernice funkcia nemá.
b) Asymptoty so smernicou y = ax + b:lim
x→∞arctg x−1
x= lim
u→1arctg u = π
4a analogicky
limx→−∞
arctg x−1x
= limu→1
arctg u = π4, preto a = lim
x→±∞
arctg x−1x
x= 0
b = limx→±∞
(arctg x−1
x− 0)
= π4
Priamka y = π4je asymptotou so smernicou.
5. Monotónnosť.f ′(x) = 1
1+(x−1x
)2· x−(x−1)
x2 = · · · = 1x2+(x−1)2
f ′(x) > 0 pre ∀x ∈ D(f) ⇒ funkcia je rastúca na intervale (−∞;−0) aj naintervale (0;∞).
6. Lokálne extrémy.D(f ′) = R a zároveň f ′(x) 6= 0 pre všetky x ∈ D(f ′). daná funkcia nemálokálne extrémy.
7. Konvexnosť, konkávnosť.
f ′′(x) = (−1) · (x2 + (x− 1)2)−2 · (2x + 2(x− 1)) = · · · = 2(1−2x)(2x2−2x+1)2
Ak je f ′′(x) > 0, tak je funkcia bude konvexná.Ak je f ′′(x) < 0, tak je funkcia bude konkávna.
218 L PRIEBEH FUNKCIE
f ′′(x) > 0 ⇔ 1− 2x > 0 ⇔ 12
> x
f ′′(x) < 0 ⇔ 1− 2x < 0 ⇔ 12
< x
Na intervale (−∞; 0) je funkcia konvexná.Na intervale (0; 1
2) je funkcia konvexná.
Na intervale (12;∞) je funkcia konkávna.
8. Inflexné body.Jediným inflexným bodom je I =
[12;−π
4
].
x
y
ASS: y = π4
0 12
1
−π2
−π4
π4
π2
Obrázok L.7: Graf funkcie f : y = arctg x−1x- k príkladu 7
Úlohy 219
ÚlohyV úlohách 1 - 13 vyšetrite priebeh danej funkcie a nakreslite jej graf:
1. f(x) = x3 − 3x
2. f(x) = x4 − 6x2 + 5
3. f(x) = x+1x−1
4. f(x) = 9x1+9x2
5. f(x) = 11−x2
6. f(x) = x2−6x+5(x−3)2
7. f(x) = 1x
+ 12x2
8. f(x) = 2√
9x2 − x4
9. f(x) = x2 · ln x
10. f(x) = x + ln(x2 − 4)
11. f(x) = e−x2
12. f(x) = x · e1
x−2
13. f(x) = x · arctg x
220 L PRIEBEH FUNKCIE
Výsledky1. D(f) = R. Nulové hodnoty nadobúda funkcia v bodoch x = 0, x = −
√3
a x =√
3. Je nepárna. Je spojitá na celom D(f). Nemá asymptoty. Na(−∞;−1) a na (1;∞) je rastúca, na (−1; 1) klesajúca.Lok max f(x) = f(−1) = 2. Lok min f(x) = f(1) = −2. Na (−∞; 0) jekonkávna, na (0;∞) konvexná. Inflexný bod I = [0; 0].
x
y
−1
2
1
−2
−√
3√
30
Obrázok L.8: Graf funkcie f(x) = x3 − 3x - k príkladu 1
Výsledky 221
2. D(f) = R. Nulové hodnoty nadobúda funkcia v bodochx = −
√5, x = −1, x = 1 a x =
√5. Je párna. Je spojitá na celom D(f). Nemá
asymptoty. Na (−∞;−√
3) a na (0;√
3) je klesajúca, na (−√
3; 0) a na (√
3;∞)
je rastúca. Lok min f(x) = f(−√
3) = −4 = f(√
3). Lok max f(x) = f(0) = 5.Na (−∞;−1) je konvexná, na (−1; 1) konkávna, na (1;∞) konvexná. Inflexnébody sú I1 = [−1; 0] a I2 = [1; 0].
x
y
−√
5
−1
0
1√
5
Obrázok L.9: Graf funkcie f(x) = x4 − 6x2 + 5 - k príkladu 2
222 L PRIEBEH FUNKCIE
3. D(f) = R \ {1}. Nulový bod x = −1. Ani párna ani nepárna. Bod nespojitostix = 1. Na (−∞; 1) aj na (1;∞) je spojitá. Asymptota bez smernice x = 1.Asymptota so smernicou y = 1. Na (−∞; 1) aj na (1;∞) klesá. Lokálneextrémy nemá. Na (−∞; 1) je konkávna, na (1;∞) konvexná. Inflexné bodynemá.
x
y
ABS: x = 1
ASS: y = 1
1
10
Obrázok L.10: Graf funkcie f : y = x+1x−1- k príkladu 3
Výsledky 223
4. D(f) = R. Nulový bod x = 0. Je nepárna. Je spojitá na celom D(f).Asymptoty bez smernice nemá. Asymptota so smernicou y = 0. Na (−∞;−1
3) a
na (13;∞) je klesajúca, na (−1
3; 1
3) je rastúca. Lok min f(x) = f(−1
3) = −3
2,
lok max f(x) = f(13) = 3
2. Na (−∞;−
√3
3) a na (0;
√3
3) je konkávna, na (−
√3
3; 0)
a na (√
33
;∞) konvexná. Inflexné body I1 =[−√
33
;−3√
34
], I2 = [0; 0] a
I3 =[√
33
; 3√
34
].
x
y
−13
−32
13
32
−√
33
−3√
34
√3
3
3√
34
ASS: y = 00
Obrázok L.11: Graf funkcie f : y = 9x1+9x2 - k príkladu 4
224 L PRIEBEH FUNKCIE
5. D(f) = R \ {−1; 1}. Nulový bod nemá. Je párna. Body nespojitosti x = 1 ax = −1. Na (−∞;−1), (−1; 1) a (1;∞) je spojitá. Asymptoty bez smernicex = 1, x = −1. Asymptota so smernicou y = 0. Na (0; 1) a (1;∞) je rastúca.Na (−∞;−1) a (−1; 0) je klesajúca. Lok min f(x) = f(0) = 1. Na (−∞;−1) ana (1;∞) je konkávna, na (−1; 1) konvexná. Inflexné body nemá.
x
y
ABS: x = −1 ABS: x = 1
ASS: y = 0
−1 0 1
1
Obrázok L.12: Graf funkcie f : y = 11−x2 - k príkladu 5
Výsledky 225
6. D(f) = R \ {3}. Nulové body x = 1 a x = 5. Ani párna ani nepárna. Bodnespojitosti x = 3. Na (−∞; 3) aj na (3;∞) je funkcia spojitá. Asymptota bezsmernice x = 3. Asymptota so smernicou y = 1. Na (−∞; 3) je klesajúca, na(3;∞) rastúca. Lokálne extrémy nemá. Na (−∞; 3) aj na (3;∞) je konkávna.Inflexné body nemá.
x
y
ABS: x = 3
ASS: y = 11
1 50
Obrázok L.13: Graf funkcie f : y = x2−6x+5(x−3)2
- k príkladu 6
226 L PRIEBEH FUNKCIE
7. D(f) = R \ {0}. Nulový bod je x = − 3√
2. Ani párna ani nepárna. Bodnespojitosti x = 0. Na (−∞; 0) aj na (0;∞) je spojitá. Asymptota bez smernicex = 0. Asymptotu so smernicou nemá. Na (−∞; 0) a na (0; 1) je klesajúca, na(1;∞) je rastúca. Lok min f(x) = f(1) = 3
2. Na (−∞;− 3
√2) a na (0;∞) je
konvexná, na (− 3√
2; 0) je konkávna. Inflexný bod I =[− 3√
2; 0].
x
y
ABS: x = 0
1
32
0− 3√
2
Obrázok L.14: Graf funkcie f : y = 1x
+ 12x2 - k príkladu 7
Výsledky 227
8. D(f) = 〈−3; 3〉. Nulové body sú x = −3, x = 0 a x = 3. Je párna. Je spojitá,body nespojitosti nemá. Asymptoty nemá. Na (−3;− 3√
2) a na (0; 3√
2) je
rastúca, na (− 3√2; 0) a na ( 3√
2; 3) je klesajúca.
Lok max f(x) = f(− 3√2) = 9 = f( 3√
2), lok min f(x) = f(0) = 0. Konkávna na
(−3; 0) aj na (0; 3). Inflexné body nemá.
x
y
− 3√2
9
3√2
0
Obrázok L.15: Graf funkcie f : y = 2√
9x2 − x4 - k príkladu 8
228 L PRIEBEH FUNKCIE
9. D(f) = (0;∞). Nulový bod x = 1. Nie je ani párna ani nepárna. Je spojitá.Asymptoty nemá. Na (0; 1√
e) je klesajúca, na ( 1√
e;∞) je rastúca.
Lok min f(x) = f( 1√e) = − 1
2e. Na (0; 1
e) je konkávna, na (1
e;∞) je konvexná.
Inflexný bod I =[
1e;− 1
e2
].
x
y
1√e
− 12e
1e
− 1e2
1
0
Obrázok L.16: Graf funkcie f : y = x2 · ln x - k príkladu 9
Výsledky 229
10. D(f) = (−∞;−2) ∪ (2;∞). Nulový bod je riešením rovnice x + ln(x2 − 4) = 0.Je to reálne číslo z intervalu (2; 3). Nie je ani párna ani nepárna. Je spojitá.Asymptoty so smernicou x = 2 a x = −2. Asymptoty bez smernice nemá. Na(−∞;−1−
√5) a na (2;∞) je rastúca, na (−1−
√5;−2) je klesajúca.
Lok max f(x) = f(−1−√
5) = −1−√
5 + ln(2 + 2√
5). Na (−∞;−2) aj na(2;∞) je konkávna. Inflexné body nemá.
x
y
−1−√
5
−1−√
5 + ln(2 + 2√
5)
ABS: x = −2 ABS: x = 2
0−2 2
Obrázok L.17: Graf funkcie f : y = x2 · ln x - k príkladu 10
230 L PRIEBEH FUNKCIE
11. D(f) = R. Nulový bod nemá. Je párna. Je spojitá. Asymptotu bez smernicenemá. Asymptota so smernicou je y = 0. Na (−∞; 0) je rastúca a na (0;∞) jeklesajúca. Lok max f(x) = f(0) = 1. Na (−∞;− 1√
2) a na ( 1√
2;∞) je konvexná,
na (− 1√2; 1√
2) je konkávna. Inflexné body sú I1 =
[1√2; 1√
e
]a I2 =
[− 1√
2; 1√
e
].
x
y
ASS: y = 01√2
1√e
− 1√2
1
Obrázok L.18: Graf funkcie f : y = e−x2- k príkladu 11
Výsledky 231
12. D(f) = R \ {2}. Nulový bod je x = 0. Nie je ani párna ani nepárna. Je spojitána (−∞; 2) aj na (2;∞). lim
x→2−x · e
1x−2 = 0. Asymptota bez smernice x = 2.
Asymptota so smernicou je y = x + 1. Na (−∞; 1) a na (4;∞) je rastúca, na(1; 2) a na (2; 4) je klesajúca. Lok max f(x) = f(1) = 1
e,
lok min f(x) = f(4) = 4√
e. Na (85; 2) a na (2;∞) je konvexná, na (−∞; 8
5) je
konkávna. Inflexný bod I =[
85; 8
5√
e5
].
x
y
ABS: x = 2
ASS: y = x + 1
85
8
5√
e5
1
1e
2
x
y
ABS: x = 2
85
8
5√
e5
2
Obrázok L.19: Graf funkcie f : y = x · e1
x−2 - k príkladu 12
232 L PRIEBEH FUNKCIE
13. D(f) = R. Nulový bod x = 0. Je párna. Je spojitá. Asymptotu bez smernicenemá. Asymptoty so smernicou sú priamky y = π
2x− 1 a y = −π
2x− 1. Na
(0;∞) je rastúca, na (−∞; 0) je klesajúca. Lok min f(x) = f(0) = 0. Jekonvexná na celom definičnom obore. Inflexné body nemá.
x
y
ASS: y = π2x− 1ASS: y = −π
2x− 1
0
Obrázok L.20: Graf funkcie f(x) = x · arctg x - k príkladu 13
M NEURČITÝ INTEGRÁL 233
M NEURČITÝ INTEGRÁL
Definícia 1. Funkciu F nazývame primitívnou funkciou k funkcii f naintervale J, ak pre všetky čísla x ∈ J platí
F ′(x) = f(x)
Veta 1. Nech F je primitívna funkcia k funkcii f na intervale J. Funkcia G jeprimitívnou funkciou k funkcii f vtedy a len vtedy, ak existuje také číslo c, že prevšetky x ∈ J je G(x) = F (x) + c.
Veta 2. Funkcia, ktorá je spojitá na intervale J, má na tomto intervale primitívnufunkciu.
Definícia 2. Množinu všetkých primitívnych funkcií funkcie f nazývameneurčitým integrálom funkcie f a označujeme∫
f(x)dx
Ak F je primitívnou funkciou k f na J, tak∫f(x)dx = F (x) + c, x ∈ J,
kde c ∈ R je ľubovoľné číslo, ktoré nazývame integračnou konštantou, f sa nazývaintegrovanou funkciou alebo integrandom.
Veta 3. Ak k funkciám f a g existujú primitívne funkcie na otvorenom intervaleJ, tak platí ∫
(k1f(x) + k2g(x)) dx = k1
∫f(x)dx + k2
∫g(x)dx,
kde k1, k2 sú čísla.
Veta 4 (Základné vzorce integrovania).
1.∫
xαdx = xα+1
α+1+ c, α ∈ R, α 6= −1
2.∫
1xdx = ln |x|+ c, x 6= 0
3.∫
exdx = ex + c, x ∈ R
234 M NEURČITÝ INTEGRÁL
4.∫
axdx = ax
ln a+ c, a 6= 1, a > 0
5.∫
sin xdx = − cos x + c, x ∈ R
6.∫
cos xdx = sin x + c, x ∈ R
7.∫
1cos2 x
dx = tg x + c, x 6= (2k + 1)π2, k ∈ Z
8.∫
1sin2 x
dx = − cotg x + c, x 6= kπ, k ∈ Z
9.∫
1x2+1
dx = arctg x + c, x ∈ R
10.∫
1√1−x2 dx = arcsin x + c, x ∈ (−1; 1)
11.∫ f ′(x)
f(x)dx = ln |f(x)|+ c, f(x) 6= 0
12.∫
1x2+a2 dx = 1
aarctg x
a+ c, a 6= 0, x ∈ R
13.∫
1x2−a2 dx = 1
2aln∣∣x−ax+a
∣∣+ c, a 6= 0, x 6= ±a
14.∫
1√a2−x2 dx = arcsin x
a+ c, a 6= 0, x ∈ (−|a|; |a|)
15.∫
1√x2+k
dx = ln∣∣x +
√x2 + k
∣∣+ c, k 6= 0, x2 + k > 0
Veta 5. Nech F (x) je primitívnou funkciou k f(x) na intervale J. Potom platí∫f(ax + b)dx =
1
aF (ax + b) + c, a, b ∈ R, a 6= 0.
Veta 6 (Substitučná metóda). Nech F (t) je primitívnou funkciou k funkcii f(t)
na otvorenom intervale Jt. Nech má funkcia φ(x) na otvorenom intervale Jx
deriváciu φ′(x) a nech pre každé x ∈ Jx je φ(x) ∈ Jt. Potom je funkcia F (φ(x))
primitívnou funkciou k funkcii f (φ(x)) · φ′(x) na intervale Jx alebo∫f (φ(x)) · φ′(x)dx =
∣∣∣∣ t = φ(x)dt = φ′(x)dx
∣∣∣∣ =
∫f(t)dt = F (t) + c = F (φ(x)) + c
Veta 7 (metóda per partes). Nech funkcie u a v majú na otvorenom intervale J
spojité derivácie u′ a v′. Potom na intervale J platí∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−
∫u′(x)v(x)dx
M NEURČITÝ INTEGRÁL 235
Veta 8. Nech y = Pn(x)Qm(x)
je racionálna funkcia, kde Pn(x) resp. Qm(x) je polynómn-tého resp. m-tého stupňa. Každá rýdzoracionálna funkcia (t.j., keď n < m -alebo inak, polynóm v čitateli je nižšieho stupňa ako polynóm v menovateli) jesúčtom zlomkov tvaru
A
(x− α)ka
Mx + N
(x2 + px + q)s
kde A, M, N, p, q sú reálne čísla, k, s sú prirodzené čísla a polynóm x2 + px + q
nemá reálne korene (pozri vetu 9 zo strany 6). Racionálna funkcia, ktorá nie jerýdzoracionálna (t.j., keď n ≥ m) je súčtom polynómu a rýdzoracionálnej funkcie(pozri vetu 2 zo strany 5 a príklad 1 zo strany 8):
Pn(x)
Qm(x)= Rn−m(x) +
Zu(x)
Qm(x), u < m,
kde Rn−m(x) je čiastočný podiel polynómov Pn(x) a Qm(x) a polynóm Zu(x) jezvyšok.
236 M NEURČITÝ INTEGRÁL
Riešené príkladyPríklad 1. Zistime, či funkcia F : y = sin 2x je na intervale J = (−∞;∞)
primitívnou funkciou k funkcii f : y = cos 2x.
Riešenie: Podľa definície primitívnej funkcie musí ∀x ∈ J = (−∞;∞) platiť:F ′(x) = f(x). Pretože F ′(x) = [sin 2x]′ = 2 cos 2x 6= f(x), funkcia F nie jeprimitívna funkcia k funkcii f.
Ľahko sa môžeme presvedčiť, že funkcia G : y = 12sin 2x + c, c ∈ R je primitívna
funkcia k danej funkcii f.
Príklad 2. Vypočítajme neurčitý integrál∫ (4− 5x +
3
x− 7
x3
)dx, x 6= 0.
Riešenie: Podľa vety 3:∫ (4− 5x +
3
x− 7
x3
)dx = 4
∫1dx− 5
∫xdx + 3
∫1
xdx− 7
∫1
x3dx =
= 4 · x− 5 · x2
2+ 3 ln |x| − 7 · x−2
−2+ c.
Príklad 3. Vypočítajme neurčitý integrál∫ (3
5√
x3 − x3√
x)
dx, x ≥ 0.
Riešenie: Naskôr upravíme integrand tak, aby sme mohli použiť základné vzorceintegrovania∫ (
35√
x3 − x3√
x)
dx =
∫ (3x
35 − x
72
)dx =
= 3
∫x
35 dx−
∫x
72 dx = 3 · 5x
85
8− 2x
92
9+ c.
Príklad 4. Vypočítajme ∫10x + 6x
2xdx, x ∈ R.
Riešené príklady 237
Riešenie: Integrál z podielu funkcií sa nerovná podielu integrálov z týchtofunkcií, preto danú integrovanú funkciu najskôr upravíme:
10x + 6x
2x=
10x
2x+
6x
2x=
5x2x
2x+
3x2x
2x= 5x + 3x
Potom∫10x + 6x
2xdx =
∫(5x + 3x) dx =
∫5xdx +
∫3xdx =
5x
ln 5+
3x
ln 3+ c.
Príklad 5. Vypočítajme ∫(2x + 3)14dx, x ∈ R.
Riešenie: Použijeme vetu o substitúcii∫(2x + 3)14dx =
∣∣∣∣ t = 2x + 13dt = 2dx ⇒ dx = 1
2dt
∣∣∣∣ =
∫t14 · 1
2dt =
1
2
∫t14dt =
=1
2· t15
15+ c =
1
30(2x + 13)15 + c.
Príklad 6. Vypočítajme∫7
(x− 2)4dx, x ∈ R, x 6= 2.
Riešenie:∫7
(x− 2)4dx =
∣∣∣∣ t = x− 2dt = dx
∣∣∣∣ = 7
∫1
t4dt = 7
∫t−4dt = 7
t−3
−3+ c =
=7
3(x− 2)3+ c.
Príklad 7. Vypočítajme ∫ √arctg5 x
1 + x2dx, x ∈ R.
Riešenie: Použijeme vetu o substitúcii∫ √arctg5 x · 1
1 + x2dx =
∣∣∣∣ t = arctg xdt = 1
1+x2 dx
∣∣∣∣ =
∫ √t5dt =
∫t
52 dt =
=2t
72
7+ c =
2
7
√arctg7 x + c.
238 M NEURČITÝ INTEGRÁL
Príklad 8. Vypočítajme ∫x arccotg xdx, x ∈ R.
Riešenie: Použijeme vetu o integrovaní metódou per partes∫x arccotg xdx =
∣∣∣∣ u = arccotg x v′ = x
u′ = − 1x2+1
v = x2
2
∣∣∣∣ =
=x2 arccotg x
2+
1
2
∫x2
x2 + 1dx =
x2 arccotg x
2+
1
2
∫x2 + 1− 1
x2 + 1dx =
=x2 arccotg x
2+
1
2
∫1dx− 1
2
∫1
x2 + 1dx =
x2 arccotg x
2+
1
2x− 1
2arctg x + c.
Príklad 9. Vypočítajme∫ (x2 + 3x− 1
)e2xdx, x ∈ R.
Riešenie: ∫ (x2 + 3x− 1
)e2xdx =
∣∣∣∣ u = x2 + 3x− 1 v′ = e2x
u′ = 2x + 3 v = 12e2x
∣∣∣∣ =
=1
2e2x(x2 + 3x− 1
)−∫
1
2(2x + 3)e2xdx =
∣∣∣∣ u = 12(2x + 3) v′ = e2x
u′ = 1 v = 12e2x
∣∣∣∣ =
=1
2e2x(x2 + 3x− 1
)−{
1
4e2x(2x + 3)−
∫1
2e2xdx
}=
=1
2e2x(x2 + 3x− 1
)− 1
4e2x(2x + 3) +
1
4e2x + c.
Príklad 10. Vypočítajme ∫ln2 xdx, x > 0.
Riešenie: ∫ln2 xdx =
∫1 · ln2 xdx =
∣∣∣∣ u = ln2 x v′ = 1u′ = 2 ln x · 1
xv = x
∣∣∣∣ =
= x ln2 x−∫
2 ln x · 1
x· xdx = x ln2 x− 2
∫1 · ln xdx =
=
∣∣∣∣ u = ln x v′ = 1u′ = 1
xv = x
∣∣∣∣ = x ln2 x− 2
{x ln x−
∫1
x· xdx
}=
= x ln2 x− 2x ln x + 2x + c.
Riešené príklady 239
Príklad 11. Vypočítajme ∫e3x sin 2xdx, x ∈ R.
Riešenie: ∫e3x sin 2xdx =
∣∣∣∣ u = sin 2x v′ = e3x
u′ = 2 cos 2x v = 13e3x
∣∣∣∣ =
=1
3e3x sin 2x− 2
3
∫e3x cos 2xdx =
∣∣∣∣ u = cos 2x v′ = e3x
u′ = −2 sin 2x v = 13e3x
∣∣∣∣ =
=1
3e3x sin 2x− 2
3
{1
3e3x cos 2x +
2
3
∫e3x sin 2xdx
}=
=1
3e3x sin 2x− 2
9e3x cos 2x− 4
9
∫e3x sin 2xdx
Pri integrovaní sme použili metódu per partes dvakrát, pričom po druhom použitísme dostali výraz, v ktorom vystupuje pôvodný integrál. Teda dostali sme rovnicu,z ktorej vyjadríme
∫e3x sin 2xdx :∫
e3x sin 2xdx =1
3e3x sin 2x− 2
9e3x cos 2x− 4
9
∫e3x sin 2xdx
Odtiaľ dostávame
13
9
∫e3x sin 2xdx =
1
3e3x sin 2x− 2
9e3x cos 2x,
čiže ∫e3x sin 2xdx =
9
13
(1
3e3x sin 2x− 2
9e3x cos 2x
)+ c.
Príklad 12. Vypočítajme∫1
x2 − 3x + 5dx, x ∈ R.
Riešenie: Polynóm v menovateli nemá reálne korene (D = (−3)2 − 4 · 1 · 5 < 0).Preto ho doplníme na úplný štvorec:
x2 − 3x + 5 = x2 − 3x +
(3
2
)2
−(
3
2
)2
+ 5 =
(x− 3
2
)2
+11
4=
=
(x− 3
2
)2
+
(√11
4
)2
240 M NEURČITÝ INTEGRÁL
Potom ∫1
x2 − 3x + 5dx =
∫1(
x− 32
)2+(√
112
)2 dx =
∣∣∣∣ t = x− 32
dt = 1dx
∣∣∣∣ =
=
∫1
t2 +(√
112
)2 dtvzorec12
=1√
112
arctgt
√112
+ c =1√
112
arctgx− 3
2√112
+ c.
Príklad 13. Vypočítajme∫1
8− 2x− x2dx, x 6= 2, x 6= −4.
Riešenie:∫1
8− 2x− x2dx = −
∫1
x2 + 2x− 8dx = −
∫1
(x + 1)2 − 9dx =
=
∣∣∣∣ t = x + 1dt = 1dx
∣∣∣∣ = −∫
1
t2 − 32dt
vzorec13= − 1
2 · 3ln
∣∣∣∣t− 3
t + 3
∣∣∣∣+ c =
= −1
6ln
∣∣∣∣(x + 1)− 3
(x + 1) + 3
∣∣∣∣+ c = −1
6ln
∣∣∣∣x− 2
x + 4
∣∣∣∣+ c.
Príklad 14. Vypočítajme∫x− 1
x2 + 2x + 3dx, x ∈ R.
Riešenie: Čitateľ integrovanej funkcie upravíme na deriváciu menovateľa:∫x− 1
x2 + 2x + 3dx =
1
2
∫2(x− 1)
x2 + 2x + 3dx =
1
2
∫2x− 2
x2 + 2x + 3dx =
=1
2
∫2x− 2 + 2− 2
x2 + 2x + 3dx =
1
2
∫2x + 2− 4
x2 + 2x + 3dx =
=1
2
∫2x + 2
x2 + 2x + 3dx +
1
2
∫−4
x2 + 2x + 3dx =
=1
2
∫2x + 2
x2 + 2x + 3dx− 2
∫1
x2 + 2x + 3dx =
1
2· I1 − 2 · I2 + c,
kde
I1 =
∫2x + 2
x2 + 2x + 3dx = ln
∣∣x2 + 2x + 3∣∣+ c1
a
I2 =
∫1
x2 + 2x + 3dx =
∫1
(x + 1)2 + 2dx =
1√2
arctgx + 1√
2+ c2, c = c1 + c2.
Riešené príklady 241
Príklad 15. Vypočítajme∫3x + 2
x2 − 4x + 1dx, x2 − 4x + 1 6= 0.
Riešenie: Čitateľ integrovanej funkcie upravíme na deriváciu menovateľa:∫3x + 2
x2 − 4x + 1dx = 3
∫x + 2
3
x2 − 4x + 1dx =
3
2
∫2(x + 2
3)
x2 − 4x + 1dx =
=3
2
∫2x + 4
3
x2 − 4x + 1dx =
3
2
∫2x− 4 + 4 + 4
3
x2 − 4x + 1dx =
=3
2
∫2x− 4
x2 − 4x + 1dx +
3
2
∫ 163
x2 − 4x + 1dx =
=3
2
∫2x− 4
x2 − 4x + 1dx + 8
∫1
x2 − 4x + 1dx =
3
2· I1 + 8 · I2 + c,
kde
I1 =
∫2x− 4
x2 − 4x + 1dx = ln
∣∣x2 − 4x + 1∣∣+ c1
a
I2 =
∫1
x2 − 4x + 1dx =
∫1
(x− 2)2 − 3dx =
∣∣∣∣ t = x− 2dt = 1dx
∣∣∣∣ =
=
∫1
t2 −(√
3)2 dt =
1
2 ·√
3ln
∣∣∣∣t− 3
t + 3
∣∣∣∣+ c2 =
=1
2 ·√
3ln
∣∣∣∣(x− 2)− 3
(x− 2) + 3
∣∣∣∣+ c2 =1
2 ·√
3ln
∣∣∣∣x− 5
x + 1
∣∣∣∣+ c2, c = c1 + c2.
Príklad 16. Vypočítajme∫x− 4
x2 − x− 6dx, x 6= −2, 3.
Riešenie: Prvý spôsob ako vypočítať tento neurčitý integrál je použitie postupu zpríkladu 15. Druhý spôsob: Keďže kvadratický polynóm v menovateli má dvareálne korene, rozpíšeme ho na súčin koreňových činiteľov. Potom danúrýdzoracionálnu funkciu rozložíme na súčet parciálnych zlomkov (Tento postupnemôžeme použiť v príkladoch 12 a 14).∫
x− 4
x2 − x− 6dx =
∫x− 4
(x− 3)(x + 2)dx
242 M NEURČITÝ INTEGRÁL
Rozklad na parciálne zlomky:
x− 4
(x− 3)(x + 2)=
A
x− 3+
B
x + 2/·(x− 3)(x + 2)
x− 4 = A(x + 2) + B(x− 3)
x− 4 = (A + B)x + 2A− 3B
Porovnaním koeficientov polynómov pri rovnakých mocninách x dostanemesústavu lineárnych rovníc:
x1 : 1 = A + Bx0 : −4 = 2A − 3B
Odtiaľ A = −15a B = 6
5.
Potomx− 4
(x− 3)(x + 2)= −1
5· 1
x− 3+
6
5· 1
x + 2
a ∫x− 4
x2 − x− 6dx =
∫x− 4
(x− 3)(x + 2)dx = −1
5
∫1
x− 3dx +
6
5
∫1
x + 2dx =
= −1
5ln |x− 3|+ 6
5ln |x + 2|+ c.
Príklad 17. Vypočítajme∫x3 + 1
x3 − 2x2 + x− 2dx, x 6= 2.
Riešenie: Integrovaná racionálna funkcia nie je rýdzoracionálna, preto polynómv čitateli najprv vydelíme polynómom v menovateli. Potom integrovanú funkciuvyjadríme ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie∫
x3 + 1
x3 − 2x2 + x− 2dx =
∫ (1 +
2x2 − x + 3
x3 − 2x2 + x− 2
)dx
Menovateľ zlomku rozložíme na súčin polynómov najnižšieho stupňa s reálnymikoeficientmi.∫ (
1 +2x2 − x + 3
(x− 2) (x2 + 1)
)dx = x +
∫2x2 − x + 3
(x− 2) (x2 + 1)dx
Riešené príklady 243
Posledný integrál má integrand rýdzoracionálnu funkciu, ktorú rozložíme na súčetparciálnych zlomkov:
2x2 − x + 3
(x− 2) (x2 + 1)=
A
x− 2+
Bx + C
x2 + 1
/·(x− 2)
(x2 + 1
)2x2 − x + 3 = A
(x2 + 1
)+ (Bx + C) (x− 2)
2x2 − x + 3 = Ax2 + A + Bx2 + Cx− 2Bx− 2C
2x2 − x + 3 = x2(A + B) + x(−2B + C) + (A− 2C)
Porovnaním koeficientov polynómov pri rovnakých mocninách x dostanemesústavu rovníc:
x2 : 2 = A + Bx1 : −1 = − 2B + Cx0 : 3 = A − 2C
Riešením tejto sústavy lineárnych rovníc sú čísla A = 95, B = 1
5, C = −3
5. Preto∫
2x2 − x + 3
(x− 2) (x2 + 1)dx =
9
5
∫1
x− 2dx +
∫ 15x− 3
5
x2 + 1dx =
=9
5
∫1
x− 2dx +
1
5
(∫x
x2 + 1dx +
∫−3
x2 + 1dx
)=
=9
5
∫1
x− 2dx +
1
5
(1
2
∫2x
x2 + 1dx− 3
∫1
x2 + 1dx
)=
=9
5ln |x− 2|+ 1
10ln(x2 + 1
)− 3
5arctg x + c
Celkový integrál je∫x3 + 1
x3 − 2x2 + x− 2dx = x +
9
5ln |x− 2|+ 1
10ln(x2 + 1
)− 3
5arctg x + c.
Príklad 18. Vypočítajme∫x2 + 2x− 3
(x− 2)2(x + 2)2dx, x 6= ±2.
244 M NEURČITÝ INTEGRÁL
Riešenie: Integrand je rýdzoracionálna funkcia. Rozložíme ju na súčetparciálnych zlomkov:
x2 + 2x− 3
(x− 2)2(x + 2)2=
A
(x− 2)2+
B
x− 2+
C
(x + 2)2+
D
x + 2
x2 + 2x− 3 = A(x + 2)2 + B(x− 2)(x + 2)2 + C(x− 2)2 +
+ D(x + 2)(x− 2)2
x2 + 2x− 3 = A(x2 + 4x + 4
)+ B
(x3 + 2x2 − 4x− 8
)+
+ C(x2 − 4x + 4
)+ D
(x3 − 2x2 − 4x + 8
)Porovnaním koeficientov polynómov pri rovnakých mocninách x dostanemesústavu lineárnych rovníc:
x3 : 0 = B + Dx2 : 1 = A + 2B + C − 2Dx1 : 2 = 4A − 4B − 4C − 4Dx0 : −3 = 4A − 8B + 4C + 8D
Odtiaľ A = 516
, B = 732
, C = − 316
, D = − 732
. Potom∫x2 + 2x− 3
(x− 2)2(x + 2)2dx =
=5
16
∫1
(x− 2)2dx +
7
32
∫1
x− 2− 3
16
∫1
(x + 2)2dx− 7
32
∫1
x + 2dx =
= − 5
16
1
(x− 2)+
7
32ln |x− 2|+ 3
16
1
(x + 2)− 7
32ln |x + 2|+ c.
Príklad 19. Vypočítajme∫x5 + x4 + 3x3 + x2 − 2
x4 − 1dx, x 6= ±1.
Riešenie: Integrovaná racionálna funkcia nie je rýdzoracionálna, preto polynóm včitateli vydelíme polynómom v menovateli. Dostaneme
Riešené príklady 245
(x5 + x4 + 3x3 + x2 − 2) : (x4 − 1) = x + 1−x5 + x
x4 + 3x3 + x2 + x − 2−x4 + 1
3x3 + x2 + x − 1
t.j.x5 + x4 + 3x3 + x2 − 2
x4 − 1= x + 1 +
3x3 + x2 + x− 1
x4 − 1
Teda
I =
∫x5 + x4 + 3x3 + x2 − 2
x4 − 1dx =
∫(x + 1)dx +
∫3x3 + x2 + x− 1
x4 − 1dx =
=x2
2+ x + I1
kde
I1 =
∫3x3 + x2 + x− 1
x4 − 1dx =
∫3x3 + x2 + x− 1
(x2 − 1) (x2 + 1)dx =
=
∫3x3 + x2 + x− 1
(x− 1) (x + 1) (x2 + 1)dx
Rozklad na parciálne zlomky:
3x3 + x2 + x− 1
(x− 1) (x + 1) (x2 + 1)=
A
x− 1+
B
x + 1+
Cx + D
x2 + 1
3x3 + x2 + x− 1 = A(x2 + 1
)(x + 1) + B
(x2 + 1
)(x− 1) +
+ (Cx + D)(x2 − 1
)3x3 + x2 + x− 1 = A
(x3 + x + x2 + 1
)+ B
(x3 + x− x2 − 1
)+
+ Cx3 + Dx2 − Cx−D
Porovnáme koeficienty polynómov pri rovnakých mocninách x:
x3 : 3 = A + B + Cx2 : 1 = A − B + Dx1 : 1 = A + B − Cx0 : −1 = A − B − D
Odtiaľ A = 1, B = 1, C = 1, D = 1.
I1 =
∫ (1
x− 1+
1
x + 1+
x + 1
x2 + 1
)dx =
246 M NEURČITÝ INTEGRÁL
=
∫ (1
x− 1+
1
x + 1+
2
2· x
x2 + 1+
1
x2 + 1
)dx =
= ln |x− 1|+ ln |x + 1|+ 1
2ln(x2 + 1
)+ arctg x + c =
= ln(∣∣x2 − 1
∣∣ · √x2 + 1)
+ arctg x + c
Teda
I =x2
2+ x + ln
(∣∣x2 − 1∣∣√x2 + 1
)+ arctg x + c.
Príklad 20. Vypočítajme∫1√
1 + 4x− x2dx, 1 + 4x− x2 > 0.
Riešenie: Postupne dostaneme∫1√
1 + 4x− x2dx =
∫1√
− [x2 − 4x− 1]dx =
∫1√
− [(x− 2)2 − 5]dx =
=
∫1√
5− (x− 2)2dx =
∣∣∣∣ t = x− 2dt = 1dx
∣∣∣∣ =
∫1√(√5)2 − t2
dt
Teraz použijeme vzorec 14:∫1√(√5)2 − t2
dt = arcsint√5
+ c = arcsinx− 2√
5+ c.
Príklad 21. Vypočítajme∫x + 2√
4− 4x− 2x2dx, 4− 4x− 2x2 > 0.
Riešenie: Čitateľ upravíme na deriváciu polynómu pod odmocninou (t.j. na výraz−4x− 4):∫
x + 2√4− 4x− 2x2
dx = −1
4
∫−4(x + 2)√4− 4x− 2x2
dx = −1
4
∫−4x− 8√
4− 4x− 2x2dx =
= −1
4
∫(−4x− 4− 4)√
4− 4x− 2x2dx = −1
4
∫−4x− 4√
4− 4x− 2x2dx +
∫1√
4− 4x− 2x2dx =
= −1
4I1 + I2 + c
Riešené príklady 247
Integrál I1 riešime pomocou substitúcie
I1 =
∫−4x− 4√
4− 4x− 2x2dx =
∣∣∣∣ t = 4− 4x− 2x2
dt = (−4− 4x)dx
∣∣∣∣ =
∫1√tdt =
∫t−
12 dt =
= 2√
t + c = 2√
4− 4x− 2x2 + c1
V integráli I2 kvadratický trojčlen doplníme na úplný štvorec:
I2 =
∫1√
4− 4x− 2x2dx =
∫1√
−2 [x2 + 2x− 2]dx =
=1√2
∫1√
− [(x + 1)2 − 3]dx =
1√2
∫1√
[3− (x + 1)2]dx =
=1√2
∫1√
[3− (x + 1)2]dx =
1√2
∫1√(√
3)2 − (x + 1)2
dx =
=1√2
arcsinx + 3√
3+ c2 c = c1 + c2
Teda celkový integrál∫x + 2√
4− 4x− 2x2dx = −1
2
√4− 4x− 2x2 +
1√2
arcsinx + 3√
3+ c.
Príklad 22. Vypočítajme∫3√
x2 + 6x− 1dx, x2 + 6x− 1 > 0.
Riešenie: Na rozdiel od príkladov 20 a 21 je koeficient pri x2 kladný (použijemeteda vzorec 15):∫
3√x2 + 6x− 1
dx = 3
∫1√
(x + 3)2 − 10dx =
∣∣∣∣ t = x + 3dt = 1dx
∣∣∣∣ =
= 3
∫1√
t2 − 10dt
vzorec15= 3 ln
∣∣∣t +√
t2 − 10∣∣∣+c = 3 ln
∣∣∣x + 3 +√
(x + 3)2 − 10∣∣∣+c =
= 3 ln∣∣∣x + 3 +
√x2 + 6x− 1
∣∣∣+ c.
Príklad 23. Vypočítajme ∫sin2 xdx, x ∈ R.
248 M NEURČITÝ INTEGRÁL
Riešenie: Použijeme trigonometrický vzorec sin2 x = 1−cos 2x2
:∫sin2 xdx =
∫1− cos 2x
2dx =
1
2
∫dx− 1
2
∫cos 2xdx =
1
2x− 1
4sin 2x + c
Príklad 24. Vypočítajme ∫cos3 xdx, x ∈ R.
Riešenie: Použijeme trigonometrický vzorec sin2 x + cos2 x = 1 :∫cos3 xdx =
∫cos2 x · cos xdx =
∫(1− sin2 x) cos xdx =
=
∣∣∣∣ t = sin xdt = cos xdx
∣∣∣∣ =
∫ (1− t2
)dt = t− t3
3+ c = sin x− 1
3sin3 x + c.
Príklad 25. Vypočítajme ∫1
cos4xdx, cos x 6= 0.
Riešenie:∫1
cos4xdx =
∫sin2 x + cos2 x
cos4xdx =
∫ (sin2 x
cos4 x+
cos2 x
cos4 x
)dx =
=
∫ (sin2 x
cos2 x· 1
cos2x+
1
cos2 x
)dx =
∫ (tg2 x + 1
)· 1
cos2xdx =
=
∣∣∣∣ t = tg xdt = 1
cos2 xdx
∣∣∣∣ =
∫ (t2 + 1
)dt =
t3
3+ t + c =
1
3tg3 x + tg x + c.
Príklad 26. Vypočítajme ∫1
sin xdx, sin x 6= 0.
Riešenie: ∫1
sin xdx =
∫1
sin x· sin x
sin xdx =
∫sin x
sin2 xdx =∫
sin x
1− cos2 xdx =
∣∣∣∣ t = cos xdt = − sin xdx
∣∣∣∣ = −∫
1
1− t2dt =
∫1
t2 − 12dt
vzorec13=
=1
2ln
∣∣∣∣t− 1
t + 1
∣∣∣∣+ c =1
2ln
∣∣∣∣cos x− 1
cos x + 1
∣∣∣∣+ c.
Úlohy 249
Úlohy1. Zistite, či funkcia F je primitívna funkcia k funkcii f na intervale J, ak
a) F (x) = 4x3 + 2, f(x) = 12x2, J = (−∞;∞)
b) F (x) = ln(x + 3), f(x) = 1x+3
, J = (−3;∞)
c) F (x) = 1√1−x2 , f(x) = arcsin x, J = (−1; 1)
d) F (x) = cos 2x + 4, f(x) = −2 sin 2x, J = (−3; 6)
V nasledujúcich úlohách vypočítajte neurčité integrály v intervaloch, v ktorýchexistujú
2. a)∫
(4x3 − 3x2 + 4) dx
b)∫
(5x4 − 8x + 1) dx
c)∫
(6x5 − 4x3 + 2x) dx
d)∫ (
4x3 − 2x +√
2)dx
3. a)∫ (
3x−4 + 1√x− 1)
dx
b)∫ (
1x− 4
x2 +3√
x2)
dx
c)∫ (
2+xx2
)dx
d)∫ (
23√
x2−x4√
x3√x3
)dx
4. a)∫
(x− 2)(3− x)dx
b)∫
(3− x) 4√
xdx
c)∫
(x2 + 1)2dx
d)∫ √
x√
x3dx
5. a)∫
(ex + e4) dx
b)∫
(e−x + 32x) dx
c)∫
4x · exdx
d)∫
3x
5x dx
6. a)∫
(4 cos x− 2 sin x) dx
b)∫ (
1cos2 x
− 3sin2 x
)dx
c)∫ (
x + 1e−x
)dx
d)∫ (
3x− 2x
)dx
7. a)∫
45x+2
dx
b)∫
23x−1
dx
c)∫
31−2x
dx
d)∫
52−4x
dx
8. a)∫
xx+1
dx
b)∫
x2
x2+1dx
c)∫
x4
x2+1dx
d)∫
x3−1x−1
dx
Pomocou substitúcie vypočítajte integrály
9. a)∫
ex
ex+7dx
b)∫
3x2
x3+1dx
c)∫
cos x1+3 sin x
dx
d)∫
x2e−x3dx
250 M NEURČITÝ INTEGRÁL
10. a)∫
tg xdx
b)∫
1x ln x
dx
c)∫
x√
x2 − 1dx
d)∫
3x3
3√x4+1dx
11. a)∫
(2x− 6)7 dx
b)∫
x√
4 + 2x2dx
c)∫
sin 7xdx
d)∫
e−5x+3dx
12. a)∫
ln3 xx
dx
b)∫
x tg x2dx
c)∫
ex√
1−e2x dx
d)∫
sin4 x cos xdx
13. a)∫
ecos2 x sin 2xdx
b)∫
(x + 2)ex2+4x+5dx
c)∫
cos xsin2 x
dx
d)∫
x2√
x3 − 4dx
14. a)∫
arccos x−x√1−x2 dx
b)∫ cos(ln x)
xdx
c)∫
cos5 xsin4 x
dx
d)∫
x(x2+4)3
dx
15. a)∫
4x
1+42x dx
b)∫
sin x1+cos2 x
dx
c)∫
sin x4+cos x
dx
d)∫
cos xsin4 x
dx
16. a)∫
ex
ex+4dx
b)∫
sin5 xdx
c)∫
e2x
ex+4dx
d)∫
cotg xdx
17. a)∫
x√x2+1
dx
b)∫
8x+63√
(4x2+6x−1)2dx
c)∫
sin x(1+cos x)3
dx
d)∫
3x+2√4−x2 dx
18. a)∫
sin3 x1+cos x
dx
b)∫
x+arctg x1+x2 dx
c)∫
x√
6− 3x2dx
d)∫
5x2
4√x3+7dx
19. a)∫
e2x
x2 dx
b)∫
3x3
3√x4+1dx
c)∫
x√x−2
dx
d)∫
x(x2+4)5
dx
Metódou per partes vypočítajte integrály
20. a)∫
x sin xdx
b)∫
(x + 2) sin xdx
c)∫
(x2 + 3x− 1) cos 2xdx
d)∫
x2 cos xdx
21. a)∫
(x2 − 1) exdx
b)∫
x2xdx
c)∫
(x + 1)e−xdx
d)∫
(x3 + 1) e−2xdx
Úlohy 251
22. a)∫
arctg xdx
b)∫
arccos 2xdx
c)∫
ln3 xdx
d)∫
arcsin xdx
23. a)∫
x arctg xdx
b)∫
x2 ln xdx
c)∫
x2 arctg xdx
d)∫
arctg√
xdx
24. a)∫
xcos2 x
dx
b)∫
x sin 2xdx
c)∫
2x cos xdx
d)∫ √
x ln xdx
25. a)∫
x ln 2xdx
b)∫
x ln (x2 + 3) dx
c)∫
sin(ln x)dx
d)∫
ln (x2 + 2) dx
26. a)∫
e2x cos xdx
b)∫
ex sin xdx
c)∫
ex cos xdx
d)∫
ex sin 2xdx
Integrujte nasledujúce racionálne funkcie
27. a)∫
4x−3
dx
b)∫ −7
x+2dx
c)∫
23x−1
dx
d)∫
43−2x
dx
28. a)∫
3(x+7)2
dx
b)∫
2(x−1)4
dx
c)∫
4(x+5)3
dx
d)∫
7(x−2)5
dx
29. a)∫
1x2−2x+5
dx
b)∫
1x2+4x+7
dx
c)∫
1x2−6x+14
dx
d)∫
22x2+4x+16
dx
30. a)∫
1x2+4x−5
dx
b)∫
1x2+5x+6
dx
c)∫
3x2+5x−14
dx
d)∫
4x2−x−2
dx
31. a)∫
5x+7x2+4x−5
dx
b)∫
11x−123x2−11x+6
dx
c)∫
x(x+1)(2x+1)
dx
d)∫
2x4x2−4x+1
dx
32. a)∫
11x−123x2−11x+9
dx
b)∫
2x+3x2−5x+6
dx
c)∫
4x+3x2−6x+9
dx
d)∫
9x−59x2−6x+1
dx
33. a)∫
x+1x2+x+1
dx
b)∫
5x+2x2+2x+10
dx
c)∫
6x−5x2−4x+5
dx
d)∫
2x+32x2+2x+4
dx
252 M NEURČITÝ INTEGRÁL
34. a)∫
2x−1(x+1)(x2+3)
dx
b)∫
3x+2(x−3)(x2+1)
dx
c)∫
5x+5(x−1)(x2+4x+5)
dx
d)∫
1x2(x2+x+1)
dx
35. a)∫
2x−1x4−5x3+3x2+9x
dx
b)∫
x−1(x+1)(x+2)2
dx
c)∫
x2
(x2+4x+4)(x+1)dx
d)∫
x2−9x+8(x+1)(x−2)2
dx
36. a)∫
x2−9x+8(x+1)(x−3)3
dx
b)∫
x(x+3)(x2+3x+2)
dx
c)∫
x(x−3)(x2+x+3)
dx
d)∫
x+2(x3+4x2+5x)
dx
37. a)∫
3x−1x2(x2+2)
dx
b)∫
x+4x3+4x
dx
c)∫
3x−1x2(x+2)
dx
d)∫
x4x2−4x+1
dx
38. a)∫
x2+3x+1x3+x2+x
dx
b)∫
3x2+x+1(x−1)(x2+2x+2)
dx
c)∫
3x3+5x−6(x−2)(x2+2)
dx
d)∫
x2−4x+5(x−1)(x2+2)
dx
39. a)∫
x4−3x+2(x−1)x2 dx
b)∫
3x3+3x2+x−3x2−4
dx
c)∫
x3+3x2+3x+3
dx
d)∫
x4
x2−4dx
e)∫
3x4+6x2−2x3+2x
dx
f)∫
x4+5x(x2+4x−5)
dx
g)∫
x5−6x+1x2−x+1
dx
h)∫
x8+x−1x3−x2 dx
i)∫
x7+3x2−6x−1x(x3+6x2+11x+6)
dx
j)∫
x5+1(x2)(x+2)
dx
k)∫
x7−1x4+x3 dx
l)∫
x6
x(x4−1)dx
Vypočítajte
40. a)∫
3x−2√1−x2 dx
b)∫
3x+2√4−x2 dx
c)∫
2x+3√2−x−x2 dx
d)∫
1√12+4x−x2 dx
e)∫
1√8−12x−4x2 dx
f)∫
3x−4√1+2x−x2 dx
g)∫
1√x2+2x+2
dx
h)∫
8x+2√4x2+10x−4
dx
Výsledky 253
Výsledky
1. a) áno b) áno c) nie d) áno
2. a) x4 − x3 + 4x + c
b) x5 − 4x2 + x + c
c) x6 − x4 + x2 + c
d) x4 − x2 +√
2x + c
3. a) −x−3 + 2√
x− x + c
b) ln |x|+ 4x
+ 35
3√
x5 + c
c) − 2x
+ ln |x|+ c
d) 12 6√
x− 45
4√
x5 + c
4. a) −x3
3+ 5
2x2 − 6x + c
b) 125
4√
x5 − 49
4√
x9 + c
c) x5
5+ 2x3
3+ x + c
d) 49
4√
x9 + c
5. a) ex + e4x + c
b) −e−x + 9x
ln 9+ c
c) 4x·ex
ln(4e)+ c
d)(
35
)xln−1 5
3+ c
6. a) 4 sin x + 2 cos x + c
b) tg x + 3 cotg x + c
c) x2
2+ ex + c
d) 3 ln |x| − 2x
ln 2+ c
7. a) 4 · 15ln |5x + 2|+ c
b) 2 · 13ln |3x− 1|+ c
c) −32ln |2x− 1|+ c
d) −54ln |4x− 2|+ c
8. a) x− ln |x + 1|+ c
b) x− arctg x + c
254 M NEURČITÝ INTEGRÁL
c) x3
3− x + arctg x + c
d) x3
3+ x2
2+ x + c
9. a) ln (ex + 7) + c
b) ln |x3 + 1|+ c
c) 13ln |1 + 3 sin x|+ c
d) −13e−x3
+ c
10. a) − ln | cos x|+ c
b) ln | ln x|+ c
c) 13
√(x2 − 1)3 + c
d) 98(x4 + 1)
23 + c
11. a) 116
(2x− 6)8 + c
b) 16(4 + 2x2)
32 + c
c) −17cos 7x + c
d) −15e−5x+3 + c
12. a) 14ln4 x + c
b) −12ln |cos x2|+ c
c) arcsin ex + c
d) 15sin5 x + c
13. a) −ecos2 x + c
b) 12ex2+4x+5 + c
c) − 1sin x
+ c
d) 29(x3 − 4)
32 + c
14. a) −12arccos2 x +
√1− x2 + c
b) sin(ln x) + c
c) −13
1sin3 x
+ 2sin x
+ sin x + c
d) − 14(x2+4)2
+ c
15. a) 1ln 4
arctg 4x + c
b) − arctg(cos x) + c
Výsledky 255
c) − ln | cos x + 4|+ c
d) − 13 sin3 x
+ c
16. a) ln (ex + 4) + c
b) − cos x + 23cos3 x− 1
5cos5 x + c
c) ex − ln (ex + 4) + c
d) ln | sin x|+ c
17. a)√
x2 + 1 + c
b) 3 3√
4x2 + 6x− 1 + c
c) 12(1+cos x)2
+ c
d) −3√
4− x2 + 2 arcsin x2
+ c
18. a) 12cos2 x− cos x + c
b) 12ln (1 + x2) + 1
2arctg2 x + c
c) −19
√(6− 3x2)3 + c
d) 209
4
√(x3 + 7)3 + c
19. a) −12e
2x + c
b) 98
3
√(x4 + 1)2 + c
c) 23
√(x− 2)3 + 4
√x− 2 + c
d) −18
1(x2+4)4
+ c
20. a) −x cos x + sin x + c
b) −(x + 2) cos x + sin x + c
c) 12(x2 + 3x− 1) sin 2x + 1
4(2x + 3) cos 2x− 1
4sin 2x + c
d) x2 sin x + 2x cos x− 2 sin x + c
21. a) ex (x2 − 2x + 1) + c
b) 2x(x ln 2−1)
ln2 2+ c
c) −e−x(x + 2) + c
d) e−2x(−1
2x3 − 3
4x2 − 3
4x− 7
8
)+ c
22. a) x arctg x− 12ln (1 + x2) + c
256 M NEURČITÝ INTEGRÁL
b) x arccos 2x− 12
√1− 4x2 + c
c) x ln3 x− 3x ln2 x + 6x ln x− 6x + c
d) x arcsin x +√
1− x2 + c
23. a) 12(x2 arctg x− x + arctg x) + c
b) x3(
ln x3− 1
9
)+ c
c) x3
3arctg x− x2
6+ 1
6ln (x2 + 1) + c
d) x arctg√
x−√
x + arctg√
x + c
24. a) x tg x + ln | cos x|+ c
b) −x2cos 2x + 1
4sin 2x + c
c) 11+ln 2
· 2x(sin x + ln 2 · cos x) + c
d) 23
√x3(ln x− 2
3
)+ c
25. a) x2
2ln 2x− 1
4x2 + c
b) 12(x2 + 3) (ln (x2 + 3)− 1) + c
c) x2(sin(ln x)− cos(ln x)) + c
d) x ln (x2 + 2)− 2x + 4√2arctg x√
2+ c
26. a) e2x
5(sin x + 2 cos x) + c
b) e2x
2(sin x− cos x) + c
c) e2x
2(sin x + cos x) + c
d) e2x
5(sin 2x− 2 cos 2x) + c
27. a) 4 ln |x− 3|+ c
b) −7 ln |x + 2|+ c
c) 23ln |3x− 1|+ c
d) −2 ln |2x− 3|+ c
28. a) −3(x + 7)−1 + c
b) −23(x− 1)−3 + c
c) −2(x + 5)−2 + c
d) −74(x− 2)−4 + c
29. a) 12arctg x−1
2+ c
Výsledky 257
b) 1√3arctg x+2√
3+ c
c) 1√5arctg x−3√
5+ c
d) 1√7arctg x+1√
7+ c
30. a) 16ln∣∣x−1x+5
∣∣+ c
b) ln∣∣x+2x+3
∣∣+ c
c) 13ln∣∣x−2x+7
∣∣+ c
d) 43ln∣∣x−2x+1
∣∣+ c
31. a) 2 ln |x− 1|+ 3 ln |x + 3|+ c
b) 23ln |3x− 2|+ 3 ln |x− 3|+ c
c) ln |x + 1| − 12ln |2x + 1|+ c
d) 12ln |2x− 1| − 1
21
2x−1+ c
32. a)49 ln
˛6 x−
√13−11
6 x+√
13−11
˛6√
13+
11 ln|3 x2−11 x+9|6
b) 9 ln |x− 3| − 7 ln |x− 2|+ c
c) − 15x−5
+ 4 ln |x− 3|+ c
d) 23(3x−1)
+ ln |3x− 1|+ c
33. a) 12ln |x2 + x + 1|+ 1√
3arctg 2x+1√
3+ c
b) 52ln |x2 + 2x + 10| − arctg x+1
3+ c
c) 3 ln |x2 − 4x + 5|+ 7 arctg(x− 2) + c
d) 12ln |x2 + x + 4|+ 2√
3arctg 2x+1√
3+ c
34. a)3 ln|x2+3|
8+
5 arctg“
x√3
”4√
3− 3 ln|x+1|
4+ c
b) −11 ln|x2+1|20
− 3 arctg x10
+ 11 ln|x−3|10
+ c
c) − ln|x2+4 x+5|2
+ 2 arctg(
2 x+42
)+ ln |x− 1|+ c
d)ln|x2+x+1|
2−
arctg“
2 x+1√3
”√
3− ln |x| − 1
x+ c
35. a) 3 ln|x+1|16
− ln |x|9− 11 ln|x−3|
144− 5
12 x−36+ c
b) 2 ln |x + 2| − 2 ln |x + 1| − 3x+2
+ c
c) ln |x + 1|+ 4x+2
+ c
d) 2 ln |x + 1| − ln |x− 2|+ 2x−2
+ c
258 M NEURČITÝ INTEGRÁL
36. a) −9 ln|x+1|32
+ 9 ln|x−3|32
+ x+78 x2−48 x+72
+ c
b) −3 ln|x+3|2
+ 2 ln |x + 2| − ln|x+1|2
+ c
c) − ln|x2+x+3|10
+3 arctg
“2 x+1√
11
”5√
11+ ln|x−3|
5+ c
d) − ln|x2+4 x+5|5
+arctg( 2 x+4
2 )5
+ 2 ln |x|5
+ c
37. a) −3 ln|x2+2|4
+arctg
“x√2
”2√
2+ 3 ln |x|
2+ 1
2 x+ c
b) − ln|x2+4|2
+ ln |x|+ arctg(x2 )
2+ c
c) −7 ln|x+2|4
+ 7 ln |x|4
+ 12 x
+ c
d) ln|2 x−1|4
− 18 x−4
+ c
38. a)4 arctg
“2 x+1√
3
”√
3+ ln |x|+ c
b) ln |x2 + 2 x + 2| − arctg(
2 x+22
)+ ln |x− 1|+ c
c)2 ln|x2+2|
3+
5 arctg“
x√2
”3√
2+ 14 ln|x−2|
3+ 3 x + c
d)ln|x2+2|
6−
11 arctg“
x√2
”3√
2+ 2 ln|x−1|
3+ c
39. a) ln |x|+ x2+2 x2
+ 2x
+ c
b) 17 ln|x+2|4
+ 35 ln|x−2|4
+ 3 x2+6 x2
+ c
c) 3 ln |x2 + 3 x + 3|+6 arctg
“2 x+3√
3
”√
3+ x2−6 x
2+ c
d) −4 ln |x + 2|+ 4 ln |x− 2|+ x3+12 x3
+ c
e)ln|x2+2|
2− ln |x|+ 3 x2
2+ c
f) 21 ln |x + 5| − ln |x|+ ln |x− 1|+ x2−8 x2
+ c
g) −7 ln|x2−x+1|2
−3 arctg
“2 x−1√
3
”√
3+ 3 x4+4 x3−12 x
12+ c
h) ln |x− 1|+ 10 x6+12 x5+15 x4+20 x3+30 x2+60 x60
− 1x
+ c
i) −2143 ln|x+3|2
+ 105 ln |x + 2|+ 7 ln|x+1|2
+ 6 x5−45 x4+250 x3−1350 x2+9030 x30
j)31 ln|x2+4|
16− 31 ln|x+2|
8+
33 arctg(x2 )
8+ x3−3 x2
3+ c
k) 2 ln |x + 1| − ln |x|+ 3 x4−4 x3+6 x2−12 x12
− 2 x−12 x2 + c
l) − ln|x+1|4
+ arctg x2
+ ln|x−1|4
+ x3
3+ c
40. a) −2 arcsin x− 3√
1− x2 + c
Výsledky 259
b) 2 arcsin(
x2
)− 3
√4− x2 + c
c) −2√−x2 − x + 2− 2 arcsin
(−2 x−13
)+ c
d) − arcsin(
4−2 x8
)+ c
e) −arcsin
“−8 x−124√
17
”2
+ c
f) arcsin(
2−2 x2√
2
)− 3
√−x2 + 2 x + 1 + c
g) ln∣∣x + 1 +
√x2 + 2x + 2
∣∣+ c
h) 2√
4x2 + 10x− 4− 4 ln∣∣∣x + 5
4+√
x2 + 52x− 1
∣∣∣+ c
260 LITERATÚRA
Zoznam bibliografických odkazov1. J. Bílek: Matematika I, SNTL Praha, 1971
2. J. Eliáš a kol.: Matematika - Zbierka riešených úloh, SVŠT Bratislava, 1979
3. J. Eliáš, J. Horváth, J. Kajan: Zbierka úloh z vyššej matematiky, Alfa, Bratislava, 1.a 2. časť 1971
4. M. Halabrín, P. Híc, J. Rovder: Matematika 1, STU, Bratislava, 1994
5. A. Hlaváček: Sbírka řešených příkladů z vyšší matematiky, SPN, Praha, 1971
6. M. Halabrín, M. Tóthová, M. Urbaníková, R. Vrábeľ, J. Trubenová: Lineárnaalgebra, STU, 2004, ISBN 80-227-2126-3
7. J. Ivan: Matematika 1, Alfa, 1983
8. V. Jarník: Diferenciální počet I, Academica Praha, 1974
9. I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec: Matematika I, Alfa Bratislava, 1971
10. D. E. Knuth: The TEXbook, Volume A of Computers and Typesetting,Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, second edition, 1984, ISBN 0-201-13448-9.
11. M. Šabo, I. Fabrici, V. Grusková: Matematika I a II. Zbierka úloh z matematiky,STU Bratislava, 1997
12. E. Špániková, E. Wisztová: Zbierka úloh z algebry, Žilinská univerzita, 2002
13. Z. Vošický: Matematika v kocke, Fragment, 1999, ISBN 80-7200-251-1
OBSAH 261
Obsah
Predhovor 3
A Polynómy. Algebraická rovnica 5Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
B Matice. Determinant matice. Hodnosť matice 21Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Determinant matice. Hodnosť matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
C Systém lineárnych rovníc 55Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
D Vektory 75Aritmetický vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Geometrický vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
E Funkcia reálnej premennej 105Elementárne funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
262 OBSAH
F Postupnosť a jej limita 125Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
G Limita funkcie. Spojitosť funkcie 137Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
H Derivácia funkcie 151Definícia derivácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Geometrický význam derivácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Fyzikálny význam derivácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Základné vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Derivácie vyšších rádov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
I L’Hospitalovo pravidlo 171Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
J Asymptoty grafu funkcie 180Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
K Použitie diferenciálneho počtu 189Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
L Priebeh funkcie 203Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
OBSAH 263
M Neurčitý integrál 233Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Zoznam bibliografických odkazov 260
EDÍCIA VYSOKOŠKOLSKÝCH SKRÍPT
Autori: RNDr. Marcel Abas, PhD., RNDr. Mária Tóthová, RNDr. Ľudmila Vaculíková, Mgr. Róbert Vrábeľ, PhD.
Názov: MATEMATIKA I. ZBIERKA PRÍKLADOV. Miesto vydania: Trnava Vydavateľ: AlumniPress Rok vydania: 2008 Vydanie: prvé Rozsah: 263 Edičné číslo: 17/AP/2008 ISBN 978-80-8096-072-8 EAN 9788080960728
zverejnené na https://is.stuba.sk