157 matematika zbierka

264
MATEMATIKA I ZBIERKA PRÍKLADOV Marcel ABAS Mária TÓTHOVÁ Ľudmila VACULÍKOVÁ Róbert VRÁBEĽ 2008

Upload: matej-krajcovic

Post on 26-Mar-2015

2.566 views

Category:

Documents


8 download

TRANSCRIPT

Page 1: 157 Matematika zbierka

MATEMATIKA I ZBIERKA PRÍKLADOV

Marcel ABAS Mária TÓTHOVÁ

Ľudmila VACULÍKOVÁ Róbert VRÁBEĽ

2008

Page 2: 157 Matematika zbierka

© RNDr. Marcel Abas, PhD., RNDr. Mária Tóthová, RNDr. Ľudmila Vaculíková,

Mgr. Róbert Vrábeľ, PhD. Recenzenti: Doc. RNDr. Pavel Híc, PhD.

RNDr. Oleg Palumbíny, PhD.

Jazyková korektúra: Mgr. Valéria Krahulcová

Schválila Vedecká rada Materiálovotechnologickej fakulty STU ako vysokoškolské skriptum dňa 12. decembra 2007 pre všetky študijné programy 1. ročníka bakalárskeho štúdia Materiálovotechnologickej fakulty STU v Trnave. ISBN 978-80-8096-072-8 EAN 9788080960728

Page 3: 157 Matematika zbierka

Predhovor

Táto zbierka úloh má slúžiť všetkým študentom prvého ročníka MTF STU pri vý-učbe predmetu Matematika I. Sylaby tohto predmetu obsahujú učivo z lineárnejalgebry, vektorovej algebry, analytickej geometrie aj matematickej analýzy, a to di-ferenciálneho a integrálneho počtu reálnej funkcie jednej reálnej premennej. Cieľomautorov bolo ponúknuť študentom i učiteľom zbierku, v ktorej by boli tieto rôzno-rodé oblasti matematiky spojené v jednom učebnom texte.

Zbierka obsahuje v každej kapitole prehľad teórie zloženej z definícií, viet bez dô-kazov a poznámok, objasňujúcich uvedené pojmy. V každej podkapitole zbierky sanachádzajú podrobne vysvetlené riešené príklady a tiež k samoštúdiu určené nerie-šené úlohy, doplnené výsledkami.

Za recenziu rukopisu a za cenné pripomienky ďakujeme recenzentom doc. RNDr.Pavlovi Hícovi, CSc. a doc. RNDr. Olegovi Palumbínymu, PhD.

Zbierka vychádza v elektronickej verzii a je dostupná v AIS STU. Je napísaná v typo-grafickom systéme LATEX2ε, ktorý ako formátovací jazyk používa počítačový prog-ram TEX vyvinutý Donaldom E. Knuthom [10]. Všetky obrázky sú napísané priamov systéme LATEX2ε s využitím balíčka PGF.

Autori

Page 4: 157 Matematika zbierka
Page 5: 157 Matematika zbierka

A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA 5

A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA

Definícia 1. Nech n je nezáporné celé číslo a a0, a1, a2, . . . , an komplexné čísla.Funkciu

P (x) = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an−1x + an, x ∈ C

nazývame polynómom, čísla a0, a1, a2, . . . , an koeficientmi polynómu P (x). Aka0 6= 0, tak n sa nazýva stupeň polynómu. Ak a0 = a1 = a2 = · · · = an = 0, takP (x) sa nazýva nulový polynóm.

Veta 1. Dva polynómy P (x) = a0xn +a1x

n−1 +a2xn−2 + · · ·+an−1x+an a Q(x) =

b0xn + b1x

n−1 + b2xn−2 + · · · + bn−1x + bn sa rovnajú vtedy a len vtedy, keď ai = bi

pre i = 0, 1, . . . , n.

Veta 2. Nech sú P (x) a Q(x) dva polynómy stupňov n a m. Nech n ≥ m. Potomexistujú dva jednoznačne určené polynómy R(x) a Z(x), pre ktoré platí

1. P (x) = Q(x)R(x) + Z(x)

2. Z(x) je buď nulový polynóm, alebo polynóm stupňa menšieho ako m (R(x) sanazýva čiastočný podiel polynómov P (x) a Q(x); a polynóm Z(x) sa nazývazvyšok.)

Definícia 2. RovnicuP (x) = 0, (A.1)

kde P (x) je polynóm n-tého stupňa, nazývame algebraickou rovnicou n-téhostupňa.Riešením alebo koreňom algebraickej rovnice (A.1) nazývame každé také číslo α ∈C, pre ktoré platí P (α) = 0. Koreň rovnice (A.1) nazývame aj koreň polynómuP (x).

Veta 3. Číslo α ∈ C je koreňom polynómu P (x) vtedy a len vtedy, ak polynóm(x− α) delí polynóm P (x) bezo zvyšku (výraz (x− α) sa nazýva koreňový činiteľpolynómu P (x)).

Veta 4 (Fundamentálna veta algebry). Každá algebraická rovnica stupňa n ≥ 1 máv množine komplexných čísel aspoň jeden koreň.

Page 6: 157 Matematika zbierka

6 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA

Dôsledkom predchádzajúcej vety je, že každá algebraická rovnica stupňa n ≥ 1 máv množine komplexných čísel práve n koreňov (nemusia byť navzájom rôzne).

Definícia 3. Nech k ∈ N . Číslo α nazývame k-násobným koreňom polynómuP (x) (alebo algebraickej rovnice P (x) = 0), ak platí P (x) = (x−α)kR(x), R(α) 6= 0.Jednonásobný koreň sa nazýva jednoduchým koreňom.

Veta 5. Nech α1, α2, . . . , αr sú všetky navzájom rôzne korene polynómu P (x).Nech α1 je k1-násobný, α2 je k2-násobný, . . . , αr je kr-násobný koreň. Potomk1 + k2 + · · · + kr = n a P (x) = a0 (x− α1)

k1 (x− α2)k2 . . . (x− αr)

kr . Súčin napravej strane poslednej rovnosti sa nazýva rozklad polynómu P (x) na súčin kore-ňových činiteľov.

Veta 6. Nech P (x) = 0 je algebraická rovnica stupňa n ≥ 1 s reálnymi koeficientmi.Ak komplexné číslo α = a+ bi je jej koreňom, tak aj číslo α = a− bi je jej koreňom.

Veta 7. Nech a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an−1x + an = 0 je algebraická rovnica

stupňa n ≥ 1 s celočíselnými koeficientmi. Nech racionálne číslo α = pq, kde p, q sú

nesúdeliteľné čísla, je koreňom tejto rovnice. Potom koeficient a0 je deliteľný číslomq a koeficient an je deliteľný číslom p.

Veta 8 (Hornerova schéma). Nech P (x) je polynóm stupňa n ≥ 1, α ∈ C, potomplatí P (x) = (x − α)R(x) + P (α). Označme v tomto vzťahu polynóm P (x) a R(x)

nasledovne: P (x) = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · · + an−1x + an a R(x) = b0x

n−1 +

b1xn−2 + b2x

n−3 + · · ·+ bn−1.

Z delenia polynómov vyplýva, že platí b0 = a0, b1 = a1 + αb0, . . . bn−1 = an−1 +

αbn−2, P (α) = an+αbn−1. Čísla b0, b1, . . . , bn môžeme vypočítať pomocou Hornerovejschémy:

a0 a1 a2 . . . an−1 an

α αb0 αb1 . . . αbn−2 αbn−1∑b0 b1 b2 . . . bn−1 P (α)

Veta 9. Každá rýdzoracionálna funkcia (definícia je na strane 107)

f(x) =P (x)

Q(x)

Page 7: 157 Matematika zbierka

A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA 7

je súčtom parciálnych (elementárnych) zlomkov tvaru

A

(x− α)ka

Mx + N

(x2 + px + q)s ,

kde A, M, N, p, q sú reálne čísla, k, s sú prirodzené čísla, α je koreň polynómu Q(x),polynóm x2 + px + q nemá reálne korene a delí polynóm Q(x) bezo zvyšku.Ak Q(x) = a0 (x− α1)

k1 (x− α2)k2 . . . (x− αr)

kr (x2 + px + q), potom platí

P (x)

Q(x)=

A1

x− α1

+A2

(x− α1)2 + · · ·+ Ak1

(x− α1)k1

+

+B1

x− α2

+B2

(x− α2)2 + · · ·+ Bk2

(x− α2)k2

+

+ · · ·+

+C1

x− αr

+C2

(x− αr)2 + · · ·+ Ckr

(x− αr)kr

+

+Mx + N

x2 + px + q

Page 8: 157 Matematika zbierka

8 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA

Riešené príkladyPríklad 1. Deľme polynóm P (x) = 3x3 + x2 − 6x + 5 polynómom Q(x) = x2 + 1.

Riešenie: Delíme podľa nasledujúcej schémy:

3x3 + x2 − 6x + 5 : x2 + 1 = 3x + 1− ( 3x3 + 3x )

x2 − 9x + 5− ( x2 + 1 )

− 9x + 4

Čiastočný podiel polynómov P (x) a Q(x) je polynóm R(x) = 3x + 1 a zvyšok podelení je polynóm Z(x) = −9x + 4. Platí

3x3 + x2 − 6x + 5 = (3x + 1)(x2 + 1) + (−9x + 4)

alebo3x3 + x2 − 6x + 5

x2 + 1= 3x + 1 +

−9x + 4

x2 + 1.

Poznamenajme, že pri delení polynóma polynómom postupujeme podľapredchádzajúcej schémy dovtedy, kým zvyšok nie je polynóm nižšieho stupňa akoje stupeň deliteľa.

Príklad 2. Vypočítajme hodnotu polynómu P (x) = 3x3 + x2 − 5x + 7 v čísle −2.

Riešenie: Postupujeme podľa Hornerovej schémy:

3 1 −5 7−2 −6 10 −10

3 −5 5 -3

Teda P (−2) = −3.

Poznámka 1. Úlohu možno riešiť ešte nasledujúcimi spôsobmi:

a.) P (−2) = 3(−2)3 + (−2)2 − 5(−2) + 7 = −3

Page 9: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 9

b.)

3x3 + x2 − 5x + 7 : x + 2 = 3x2 − 5x + 5−3x3 − 6x2

−5x2 − 5x + 75x2 + 10x

5x + 7−5x − 10

− 3

t.j.3x3 + x2 − 5x + 7 = (x + 2)

(3x2 − 5x + 5

)+ (−3)

Ak dosadíme za x číslo −2 dostaneme

P (−2) = 0 + (−3)

P (−2) = −3

(zvyšok po delení P (x) polynómom x + 2 udáva hodnotu polynómu P (x) včísle −2).

Poznámka 2. Porovnajme čísla v druhom a treťom riadku Hornerovej schémy skoeficientmi pri delení polynómu v časti b):

3 1 −5 7−2 −6 10 −10

3 −5 5 -3

Príklad 3. Pomocou Hornerovej schémy vydeľme polynóm

P (x) = −5x3 + 7x2 − 5x + 3

polynómom x + 1.

Riešenie: Do prvého riadku Hornerovej schémy napíšeme koeficienty polynómuP (x). Delíme polynómom x− (−1), t.j. číslo α je −1.

Page 10: 157 Matematika zbierka

10 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA

−5 7 −5 3−1 5 −12 17

−5 12 −17 20

Zistili sme, že platí:

1. −5x3+7x2−5x+3x+1

= −5x2 + 12x− 17 + 20x+1

2. P (−1) = 20

3. Číslo −1 nie je koreňom polynómu P (x), lebo P (−1) 6= 0.

Príklad 4. Zistime násobnosť koreňa x1 = −2 polynómu

P (x) = x5 + 8x4 + 25x3 + 38x2 + 28x + 8.

Riešenie: Úlohu budeme riešiť pomocou Hornerovej schémy. Polynóm P (x)

vydelíme polynómom x + 2. Ak vyjde nulový zvyšok, podiel vydelíme opäťpolynómom x + 2 a takto budeme pokračovať, až kým dostaneme nenulový zvyšok.

1 8 25 38 28 8−2 −2 −12 −26 −24 −8

1 6 13 12 4 0−2 −2 −8 −10 −4

1 4 5 2 0−2 −2 −4 −2

1 2 1 0−2 −2 0

1 0 1

Pomocou Hornerovej schémy sme postupne dostali:P (x) = (x + 2)(1 · x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 4)

P (x) = (x + 2) · (x + 2)(1 · x3 + 4x2 + 5x + 2)

P (x) = (x + 2) · (x + 2) · (x + 2)(1 · x2 + 2x + 1)

t.j. P (x) = (x + 2)3(x2 + 2x + 1) pričom (−2)2 + 2 · (−2) + 1 6= 0). Číslo x1 = −2

je trojnásobný koreň polynómu P (x).

Príklad 5. Riešme rovnicu x4 − 1 = 0.

Page 11: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 11

Riešenie: Ľavú stranu rovnice rozložíme na súčin(x2 − 1)(x2 + 1) = 0

(x− 1)(x + 1)(x2 + 1) = 0

(x− 1)(x + 1)(x− i)(x + i) = 0.Odkiaľ x1 = 1, x2 = −1, x3 = i, x4 = −i.

Príklad 6. Nájdime najskôr racionálne korene rovnice

2x4 − 12x3 + 18x2 − 12x + 16 = 0

a potom ju riešme.

Riešenie: Ak daná rovnica má racionálny koreň číslo pq(p ∈ Z, q ∈ N , p, q sú

nesúdeliteľné), potom p je deliteľom 16 a q je deliteľom 2; t.j.p ∈ {±1,±2,±4,±8,±16}, q ∈ {±1,±2}. Racionálnymi koreňmi môžu byťniektoré z čísel ±1,±1

2,±2,±4,±8,±16. Pomocou Hornerovej schémy postupne

zistíme, že čísla ±1,±12nie sú koreňmi, a čísla x1 = 2, x2 = 4 sú koreňmi rovnice.

2 −12 18 −12 162 4 −16 4 −16

2 −8 2 −8 04 8 0 8

2 0 2 0

Teda 2x4 − 12x3 + 18x2 − 12x + 16 = (x− 2)(x− 4)(2x2 + 0 · x + 2). Zvyšné dvakorene dostaneme vyriešením kvadratickej rovnice 2x2 + 2 = 0, čiže x3 = +i,x4 = −i a rozklad polynómu na súčin koreňových činiteľov je

2(x− 2)(x− 4)(x− i)(x + i) = 2x4 − 12x3 + 18x2 − 12x + 16.

Všimnime si, že ak počas výpočtu vyjde 0, pokračujeme ďalej až do konca riadku.Podobne je potrebné si uvedomiť, že algebraická rovnica n-tého stupňa má n + 1

koeficientov a tak prvý riadok Hornerovej schémy pre algebraickú rovnicu napr.2x4 − 3x2 + 1 = 0 vyzerá nasledovne:

2 0 −3 0 1

Príklad 7. Rovnica 5x4 − 23x3 + 35x2 − 7x− 10 = 0 má jeden koreň x1 = 2 + i.

Nájdime jej ostatné korene.

Page 12: 157 Matematika zbierka

12 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA

Riešenie: Ak komplexné číslo 2 + i je koreňom danej algebraickej rovnice, potomaj komplexné číslo 2− i je jej koreňom a polynómP (x) = 5x4 − 23x3 + 35x2 − 7x− 10 je deliteľný polynómom

(x− (2 + i))(x− (2− i)) = ((x− 2)− i)((x− 2) + i) = (x− 2)2 − i2 = x2 − 4x + 5

bezo zvyšku. Nájdeme podiel týchto polynómov:

5x4 − 23x3 + 35x2 − 7x− 10 : x2 − 4x + 5 = 5x2 − 3x− 2− (5x4 − 20x3 + 25x2)

−3x3 + 10x2 − 7x− 10− (−3x3 + 12x2 − 15x)

−2x2 + 8x− 10− (−2x2 + 8x− 10)

0

Ďalšie dva korene danej algebraickej rovnice budú korene kvadratickej rovnice5x2 − 3x− 2 = 0 t.j. čísla x3 = 1, x4 = −2

5. Polynóm P (x) môžeme napísať

P (x) = 5(x2 − 4x + 5)(x− 1)(x +2

5),

čo je rozklad P (x) na súčin polynómov 1. a 2. stupňa s reálnymi koeficientmi,pričom polynóm 2.-ho stupňa nemá reálne korene.

Príklad 8. Rozložme rýdzoracionálnu funkciu f(x) = 3x+2x5−x2 na súčet parciálnych

zlomkov.

Riešenie: Menovateľ rozložíme na súčin

x5 − x2 = x2(x3 − 1) = x2(x− 1)(x2 + x + 1).

Potom ( podľa vety 9 zo strany 6)

3x + 2

x2(x− 1)(x2 + x + 1)=

A

x2+

B

x+

C

x− 1+

Dx + E

x2 + x + 1

a po vynásobení najmenším spoločným menovateľom a po úprave dostaneme

3x + 2 = A(x3 − 1) + B(x4 − x) + C(x4 + x3 + x2) + D(x4 − x3) + E(x3 − x2).

Porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách x:

Page 13: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 13

x4 : 0 = B + C + Dx3 : 0 = A + C − D + Ex2 : 0 = C − Ex1 : 3 = − Bx0 : 2 = − A

Riešením tohto systému lineárnych rovníc je A = −2, B = −3, C = 53, D + 4

3,

E = 53. Rozklad bude mať tvar

3x + 2

x5 − x2= − 2

x2− 3

x+

5

3(x− 1)+

4x + 5

3(x2 + x + 1).

Page 14: 157 Matematika zbierka

14 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA

Úlohy1. Vynásobte polynómy P (x) a Q(x)

a) (2x4 − x3 + x2 + x + 1)(x2 − 3x + 1)

b) (x3 + x2 − x− 1)(x3 − 2x− 1)

c) (x2 − 2x + 1)(x2 + 2x)

d) (x3 + 2x2 − x + 1)(x3 + x− 1)

2. Nájdite čiastočný podiel R(x) a zvyšok Z(x) pri delení polynómu P (x) aQ(x), ak

a) P (x) = 2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 16; Q(x) = x2 − 3x + 1

b) P (x) = x3 − 3x2 − x− 1; Q(x) = 3x2 − 2x + 1

c) P (x) = x4 − 2x3 + 4x2 − 6x + 8; Q(x) = x− 1

d) P (x) = 2x5 − 5x3 − 8x; Q(x) = x + 3

3. Pomocou Hornerovej schémy vydeľte polynóm P (x) polynómom Q(x), ak

a) P (x) = −2x3 − 4x2 − 3x + 5; Q(x) = x− 3

b) P (x) = 3x4 + 16x3 − 10x2 + 14x + 5; Q(x) = x + 6

c) P (x) = 3x5 − 8x4 + 10x3 − 13x2 + 4x− 4; Q(x) = x− 2

d) P (x) = −4x6 − 20x5 − 17x4 + 2x− 3; Q(x) = x + 1

4. Nájdite hodnotu polynómu P (x) v čísle α

a) P (x) = 3x3 − 2x2 + 4x− 3; α = −3

b) P (x) = x4 + 3x3 + 4x− 6; α = −4

c) P (x) = −5x5 + 5x3 + 4x2 + 2; α = 2

d) P (x) = 2x6 + 5x5 − 5x4 + 15x2 − 3; α = −3

5. Riešte rovnicu

a) x3 + x2 + x = 0

b) x4 + x3 − 2x2 = 0

c) 2x5 + 5x4 − 3x3 = 0

d) x4 + 6x3 + 9x2 = 0

Page 15: 157 Matematika zbierka

Úlohy 15

6. Vypočítajte číslo a tak, aby číslo α bolo jej koreňom? Riešte potom tútorovnicu.

a) x3 + 2x2 − ax + 6 = 0; α = 2

b) x3 + 2x2 − ax + 3 = 0; α = 3

c) x3 − 2x2 − ax + 6 = 0; α = 2

d) x3 + 2x2 + ax + 4 = 0; α = −2

7. Zistite násobnosť koreňa x1 algebraickej rovnice

a) x4 − 8x3 + 6x2 + 40x + 25 = 0; x1 = −1

b) x5 − 7x4 + 16x3 − 8x2 − 16x + 16 = 0; x1 = 2

c) x5 + 5x4 + 7x3 + 2x2 + 4x + 8 = 0; x1 = −2

d) x6 + 3x5 + 4x4 + 3x3 − 15x2 − 16x + 20 = 0; x1 = 1

8. Riešte rovnicu a potom ju napíšte v tvare súčinu koreňových činiteľov, ak

a) číslo 2 je koreňom rovnice x3 − 2x2 + 4x− 8 = 0

b) čísla 1 a 2 sú korene rovnice x4 + 2x3 − 7x2 − 8x + 12 = 0

c) čísla 1 a −2 sú korene rovnice x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + 4 = 0

d) čísla 1 a −2 sú korene rovnice x4 − x3 − 3x2 + 5x− 2 = 0

9. Napíšte polynóm

a) druhého stupňa, ktorý má korene čísla 2,−4

b) piateho stupňa, ktorý má korene čísla 0, 1, 2,−1, 3

c) tretieho stupňa, ktorý má číslo 1 jednoduchý a číslo −1 dvojnásobnýkoreň

d) piateho stupňa, ktorý má číslo 2 trojnásobný a číslo 0 dvojnásobnýkoreň

10. Napíšte algebraickú rovnicu najnižšieho stupňa s reálnymi koeficientami,ktorá má tieto korene

a) číslo 1 dvojnásobný, číslo 3 jednoduchý, číslo −1 jednoduchý

b) číslo −1 dvojnásobný, číslo 2 jednoduchý, číslo 1 jednoduchý

c) číslo 2 dvojnásobný, číslo −3 dvojnásobný

d) číslo −3 dvojnásobný, číslo 2 dvojnásobný

Page 16: 157 Matematika zbierka

16 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA

11. Nájdite najskôr racionálne korene rovnice a potom ju riešte

a) 3x3 + 7x2 − 4 = 0

b) 6x4 − 11x3 − x2 − 4 = 0

c) 4x4 − 11x2 + 9x− 2 = 0

d) 2x4 − x2 − 1 = 0

e) x5 − 6x3 + 2x2 + 9x− 6 = 0

f) 14x3 − 15x2 + 6x− 1 = 0

g) x5 − 2x4 − 4x3 + 4x2 − 5x + 6 = 0

12. Rozložte daný polynóm na súčin polynómov prvého a druhého stupňa sreálnymi koeficientmi, pričom polynómy druhého stupňa nemajú reálnekorene

a) P (x) = x5 − 4x4 − 6x3 + 16x2 + 29x + 12

b) P (x) = x9 + 2x6 + x3

c) P (x) = x4 − 3x2 + 2x

d) P (x) = 2x4 − 12x3 + 18x2 − 12x + 16

13. Nájdite agebraickú rovnicu, ktorá má všetky korene jednoduché a rovnakéako daná rovnica

a) x3 − 2x2 − 15x + 36 = 0

b) x5 − 10x3 − 20x2 − 15x− 4 = 0

c) x4 − 7x3 + 18x2 − 20x + 8 = 0

d) x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1 = 0

14. Riešte rovnicu P (x) = 0, ak viete, že číslo α je jej koreň

a) P (x) = x4 + 5x2 − 22x− 10; α = −1 + 3i

b) P (x) = x5 + 3x4 + 5x3 − x2 − 14x− 10; α = −1− 2i

c) P (x) = x5 + 10x2 − x− 10; α = 1 + 2i

d) P (x) = x6 − 2x5 − 5x4 + 12x3 + 11x2 − 18x− 15; α = 2− i

15. Rozložte rýdzoracionálnu funkciu f(x) na súčet parciálnych zlomkov

a) f(x) = x−1x2−x−2

b) f(x) = 3x2+3x+12x3+x2−2x

Page 17: 157 Matematika zbierka

Úlohy 17

c) f(x) = x2+1(x2−1)(x2+x−6)

d) f(x) = 3x4+5x5+2x3+x

e) f(x) = x2+3x+3x3+5x2+6x

f) f(x) = x3+2x2+3(x2−1)(x+2)

V úlohách 16 - 20 riešte algebraickú rovnicu

16. a) x4 + 11x3 + 17x2 − 11x− 18 = 0

b) 3x4 − 5x3 − 28x2 − 4x + 16 = 0

c) x4 − 4x3 + 4x2 − 4x + 3 = 0

d) 6x4 + 35x3 + 13x2 − 56x + 20 = 0

17. a) x4 − 2x3 − 2x2 + 8x− 8 = 0

b) x4 − 6x3 + 14x2 − 14x + 5 = 0

c) 4x4 − 13x2 + 9 = 0

d) x4 + 3x2 − 10 = 0

18. a) x5 − 9x4 + 24x3 − 24x2 + 23x− 15 = 0

b) x5 − 5x4 − 3x3 + 29x2 + 2x− 24 = 0

c) 3x5 − 2x4 − 33x3 − 32x2 + 12x + 16 = 0

d) x5 − 4x4 + 5x3 − 6x + 4 = 0

19. a) x6 − 6x5 + 5x4 + 40x3 − 121x2 + 126x− 45 = 0

b) x5 + x4 + x3 + x2 − 6x− 6 = 0

c) x6 − x5 − 3x4 + x3 + 2x + 4 = 0

d) x5 + 10x2 − x− 10 = 0

20. a) x5 − x4 − 7x3 − x2 + 10x + 6 = 0

b) x4 − 2x3 − x2 + 4x− 2 = 0

c) x4 + 4x3 + x2 − 12x− 12 = 0

d) x4 − 2x3 − 2x2 + 6x− 3 = 0

Page 18: 157 Matematika zbierka

18 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA

Výsledky1. a) 2x6 − 7x5 + 6x4 − 3x3 − x2 − 2x + 1

b) x6 + x5 − 3x4 − 4x3 + x2 + 3x + 1

c) x4 − 3x2 + 2x

d) x6 + 2x5 + 2x3 + x2 + 2x− 1

2. a) R(x) = 2x2 + 3x + 11, Z(x) = 25x− 5

b) R(x) = 13x− 7

9, Z(x) = −26

9− 2

9

c) R(x) = x3 − x2 + 3x− 3, Z(x) = 5

d) R(x) = 2x4 − 6x3 + 13x2 − 39x + 109, Z(x) = −327

3. a) R(x) = 2x2 + 2x + 3, Z(x) = 14

b) R(x) = 3x3 − 2x2 + 2x + 2, Z(x) = −7

c) R(x) = 3x4 − 2x3 + 6x2 − x + 2, Z(x) = 0

d) R(x) = −4x5 − 16x4 − x3 + x2 − x + 3, Z(x) = −6

4. a) −114 b) 42 c) −102 d) −30

5. a) x1 = 0, x2,3 = 12(−1± i

√3)

b) x1 = x2 = 0, x3 = 1, x4 = −2

c) x1 = x2 = x3 = 0, x4 = 12, x5 = −3

d) x1 = x2 = 0, x3 = x4 = −3

6. a) a = 11, x1 = 2, x2,3 = −2±√

7

b) a = 16, x1 = 3, x2,3 = 12(−5±

√29)

c) a = 3, x1 = 2, x2,3 = ±√

3

d) a = 2, x1 = −2, x2,3 = ±i√

2

7. a) 2 b) 4 c) 3 d) 2

8. a) x1 = 2, x2,3 = ±2i; (x− 2)(x− 2i)(x + 2i) = 0

b) x1 = 1, x2 = 2, x3 = −2, x4 = −3; (x− 1)(x− 2)(x + 2)(x + 3) = 0

c) x1 = 1, x2 = −2, x3 = 1, x4 = −2; (x− 1)2(x + 2)2 = 0

d) x1 = 1, x2 = −2, x3 = 1, x4 = 1; (x− 1)3(x + 2) = 0

9. a) napr. x2 + 2x− 8

10. a) napr. x4 − 4x3 + 2x2 + 4x− 3

Page 19: 157 Matematika zbierka

Výsledky 19

11. a) −1,−2, 23

b) 2,−23, 1±i

√7

4

c) 1,−2, 12

d) 1,−1,±i√

12

e) 1, 1,−2,±√

3

f) 12, 2±i

√3

7

g) 1,−2, 3, i,−i

12. a) (x + 1)3(x− 3)(x− 4)

b) x3(x + 1)2(x2 − x + 1)2

c) x(x− 1)2(x + 2)

d) 2(x− 2)(x− 4)(x2 + 1)

13. a) napr. x2 − 7x + 12 = 0

b) napr. x2 − 3x− 4 = 0

c) napr. x2 − 3x + 2 = 0

d) napr. x− 1 = 0

14. a) x1,2 = −1± 3i, x3,4 = 1±√

2

b) x1,2 = −1± 2i, x3 = −1, x4,5 = ±√

2

c) x1,2 = 1± 2i, x3 = 1, x4 = −1, x5 = −2

d) x1,2 = 2± i, x3,4 = −1, x5,6 = ±√

3

15. a) f(x) = 23(x+1)

+ 13(x−2)

b) f(x) = 6x−1

+ 3x+2

− 6x

c) f(x) = 16(x+1)

− 14(x−1)

− 14(x+3)

+ 13(x−2)

d) f(x) = 5x− 2x

x2+1− 8x

(x2+1)2

e) f(x) = 12x− 1

2(x+2)+ 1

x+3

f) f(x) = 1 + 1x−1

− 2x+1

+ 1x+2

16. a) ±1,−2,−9

b) 4,−2,−1, 23

c) 1, 3,±i

d) −2,−5, 23, 1

2

17. a) 2,−2, 1± i

b) 1, 1, 2± i

c) 1,−1,±32

d) ±√

2,±i√

5

Page 20: 157 Matematika zbierka

20 A POLYNÓMY. ALGEBRAICKÁ ROVNICA

18. a) 1, 3, 5,±i

b) 1,−1, 3,−2, 4

c) −1,−1, 23,−2, 4

d) −1, 1, 2, 1± i

19. a) 1, 1, 3,−3, 2± i

b) −1,±√

2,±i√

3

c) −1, 2,±i,±√

2

d) 1,−1,−2, 1± 2i

20. a) −1,−1, 3,±√

2

b) 1, 1,±√

2

c) −2,−2,±√

3

d) 1, 1,±√

3

Page 21: 157 Matematika zbierka

B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE 21

B MATICE. DETERMINANT MATICE.HODNOSŤ MATICE

MaticeDefinícia 1. Nech m, n sú prirodzené čísla. Systém m · n prvkov množiny M ⊂ Rusporiadaných do m riadkov a n stĺpcov sa nazýva matica typu m × n.

Označuje sa A = (aij), i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n alebo

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a13 . . . a2n

. . .am1 am2 am3 . . . amn

.

Prvky aij ∈ M (i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n) sa nazývajú prvkami matice.Prvok aij je v i−tom riadku a j−tom stĺpci matice.

Definícia 2. Prvky aii, i = 1, 2, . . . , min{m, n} tvoria hlavnú diagonálu matice.

Definícia 3. Matica typu n× n sa nazýva štvorcovou maticou stupňa n.

Definícia 4. Matica s jediným riadkom (m = 1) sa nazýva riadkovýmvektorom, matica s jediným stĺpcom (n = 1) sa nazýva stĺpcovým vektorom.Matica typu m× n, ktorej všetky prvky sa rovnajú nule sa nazýva nulová maticaa označuje sa symbolom 0.

Definícia 5. Štvorcová matica, v ktorej aij = 0 pre každé i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n

sa nazýva diagonálna matica (t.j. prvky mimo hlavnej diagonály sú rovné nule.)Diagonálna matica, ktorej všetky prvky hlavnej diagonály sa rovnajú číslu 1 (t.j.aii = 1, i = 1, 2, . . . , n) sa nazýva jednotková matica (stupňa n) a označuje sa E.

Definícia 6. Nech matica A = (aij) je typu m× n. Matica AT = (a′ij) typu n×m

s prvkami a′ij = aji, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n sa nazýva transponovanou

maticou k matici A.

Maticu AT dostaneme z matice A zámenou riadkov za stĺpce, zachovajúc pritomich poradie.Transponovaná matica k riadkovému (stĺpcovému) vektoru je stĺpcový (riadkový)vektor.

Page 22: 157 Matematika zbierka

22 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

Definícia 7 (Rovnosť matíc). Hovoríme, že matice A, B sa rovnajú práve vtedya len vtedy, keď sú rovnakého typu (napr. m× n ) a platí

aij = bij, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n.

Rovnosť matíc sa zapisuje A = B.

Definícia 8 (Súčet matíc). Súčtom matíc A = (aij), B = (bij) typum× n nazývame maticu C = (cij) typu m× n s prvkami

cij = aij + bij, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n.

Súčet matíc A a B zapisujeme C = A + B.

Definícia 9 (Násobenie matice číslom). Súčinom reálneho čísla k a maticeA = (aij) typu m× n nazývame maticu C = (cij) typu m× n s prvkami

cij = kaij, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n.

Píšeme C = kA.

Definícia 10 (Násobenie matíc). Nech A = (aij) je matica typu m× n aB = (bij) matica typu n× p. Súčinom matíc A a B (v tomto poradí) je maticaC = (cij) typu m× p s prvkami

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , p.

Píšeme C = AB.

Pre násobenie matíc neplatí vo všeobecnosti komutatívny zákon.

Veta 1 (Pravidlá pre operácie s maticami). Nech A, B, C sú matice a k, l sú

Page 23: 157 Matematika zbierka

Matice 23

reálne čísla. Potom platí

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

A + 0 = A

k(A + B) = kA + kB

(k + l)A = kA + lA

k(AB) = (kA)B = A(kB)

A(BC) = (AB)C

(A + B)C = AC + BC

A(B + C) = AB + AC

AE = EA = A

0A = A0 = 0

(pri predpoklade, že uvedené operácie majú zmysel).

Page 24: 157 Matematika zbierka

24 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

Riešené príkladyPríklad 1. Nájdime súčet matíc A a B, ak

A =

(2 1 −13 2 −4

)B =

(3 2 −13 3 4

).

Riešenie: Podľa definície súčtu matíc dostaneme

A + B =

(2 + 3 1 + 2 −1 + (−1)3 + 2 2 + 3 −4 + 4

)=

(5 3 −25 5 0

).

Príklad 2. Vypočítajte neznámu maticu X z maticovej rovnice 2X + E = A, ak

A =

(1 23 4

).

Riešenie: Označme X =

(a bc d

). Potom

2

(a bc d

)+

(1 00 1

)=

(1 23 4

)(

2a 2b2c 2d

)+

(1 00 1

)=

(1 23 4

)(

2a + 1 2b2c 2d + 1

)=

(1 23 4

)Podľa definície rovnosti matíc dostaneme

2a + 1 = 1

2b = 2

2c = 3

2d + 1 = 4,

odkiaľ a = 0, b = 1, c = 32, d = 3

2. Riešením danej rovnice je teda matica

X =

(0 132

32

).

Príklad 3. Dané sú matice A =

2 31 −10 5

, B =

2 1−1 −1

0 3

. Nájdeme

maticu (2A− 3B)T .

Page 25: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 25

Riešenie: Označme C = 2A− 3B. Maticu C nájdeme podľa definície.

C = 2A− 3B = 2A + (−3)B = 2

2 31 −10 5

+ (−3)

2 1−1 −1

0 3

=

=

4 62 −20 10

+

−6 −33 30 −9

=

−2 35 10 1

.

Maticu C transponujeme, t.j. jej riadky napíšeme ako stĺpce, pričom poradiezachováme

(2A− 3B)T = CT =

(−2 5 0

3 1 1

)

Príklad 4. Dané sú matice A =

(2 3 −41 2 5

), B =

−1 21 10 3

. Vypočítajme

súčiny matíc AB a BA.

Riešenie: Matica A je typu 2× 3, matica B je typu 3× 2, podľa definície súčinumatíc AB aj BA existujú.

AB =

(2 · (−1) + 3 · 1 + (−4) · 0; 2 · 2 + 3 · 1 + (−4) · 31 · (−1) + 2 · 1 + 5 · 0; 1 · 2 + 2 · 1 + 5 · 3

)=

=

(−2 + 3 + 0; 4 + 3− 12−1 + 2 + 0; 2 + 2 + 15

)=

(1 −51 19

)

BA =

(−1) · 2 + 2 · 1; (−1) · 3 + 2 · 2; (−1) · (−4) + 2 · 51 · 2 + 1 · 1; 1 · 3 + 1 · 2; 1 · (−4) + 1 · 50 · 2 + 3 · 1; 0 · 3 + 3 · 2; 0 · (−4) + 3 · 5

=

=

−2 + 2; −3 + 4; 4 + 102 + 1; 3 + 2; −4 + 50 + 3; 0 + 6; 0 + 15

=

0 1 143 5 13 6 15

Matice AB a BA sú rôzne a dokonca rôzneho typu.

Príklad 5. Nájdite súčin matíc A =

(3 21 −1

), B =

2 −11 03 −4

.

Page 26: 157 Matematika zbierka

26 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

Riešenie: Súčin matíc AB nie je definovaný preto, lebo matica A je typu 2× 2 amatica B je typu 3× 2. Je však definovaný súčin BA a platí

BA = 2 −11 03 −4

( 3 21 −1

)=

2 · 3 + (−1) · 1; 2 · 2 + (−1) · (−1)1 · 3 + 0 · 1; 1 · 2 + 0 · (−1)

3 · 3 + (−4) · 1; 3 · 2 + (−4) · (−1)

=

=

6− 1 4 + 13 + 0 2 + 09− 4 6 + 4

=

5 53 25 10

.

Príklad 6. Určte prvky matice X z rovnice X + 2A = B2, ak

A =

2 1 10 3 34 −2 −1

, B =

4 2 20 6 68 −4 −2

.

Riešenie: Najprv vypočítajme 2A a B2:

2A = 2

2 1 10 3 34 −2 −1

=

4 2 20 6 68 −4 −2

B2 = B ·B =

6 1 0−2 3 −4

1 5 2

6 1 0−2 3 −4

1 5 2

=

=

0@ 6 · 6 + 1 · (−2) + 0 · 1; 6 · 1 + 1 · 3 + 0 · 5; 6 · 0 + 1 · (−4) + 0 · 2(−2) · 6 + 3 · (−2) + (−4) · 1; (−2) · 1 + 3 · 3 + (−4) · 5; (−2) · 0 + 3 · (−4) + (−4) · 2

1 · 6 + 5 · (−2) + 2 · 1; 1 · 1 + 5 · 3 + 2 · 5; 1 · 0 + 5 · (−4) + 2 · 2

1A =

=

36− 2 + 0; 6 + 3 + 0; 0− 4 + 0−12− 6− 4; −2 + 9− 20; 0− 12− 8

6− 10 + 2; 1 + 15 + 10; 0− 20 + 4

=

34 9 −4−22 −13 −20−2 26 −16

a dosadíme do rovnice x11 x12 x13

x21 x22 x23

x31 x32 x33

+

4 2 20 6 68 −4 −2

=

34 9 −4−22 −13 −20−2 26 −16

Podľa definície súčtu a rovnosti matíc dostaneme

x11 + 4 = 34

x12 + 2 = 9

x13 + 2 = −4

Page 27: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 27

x21 + 0 = −22

x22 + 6 = −13

x23 + 6 = −20

x31 + 8 = −2

x32 − 4 = 26

x33 − 2 = −16

Hľadaná matica je

X =

30 7 −6−22 −19 −26−10 30 −14

.

Page 28: 157 Matematika zbierka

28 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

Úlohy1. Zistite, či pre matice A, B platí A = B

a) A =

(1 2 12 1 1

), B =

1 22 11 2

b) A =

1 3 25 3 10 0 0

, B =

1 3 25 3 11 3 2

c) A =

(1 23 0

), B =

(1 4

2

3 0

)d) A =

(−1 3 14 2 0

), B =

(cos π 3 1

4 2 sin π

)2. Pre aké reálne čísla x, y, z, u platí

a)

(2x + 5y 4

9 y + 2

)=

(x + 7 4

9 3

)b)

(2x + 3 4

8 12

)=

(10x + 1 2y + 3

8 4x + 11

)c)

(2x + 5y 4

9 2y + 1

)=

(12x + 9 4

9 3

)d)

(2x + 3 4 6 8

8 12 6 4

)=

(10x + 1 2y + 3 6 8

9 6z + 2 3u 4

)3. Nájdite transponované matice k maticiam

a)

(3 7 5 12 1 3 4

)

b)

1 2 53 2 18 2 7

c)

1

−235

d)(

18 4 12 −5)

4. Nájdite reálne čísla x, y tak, aby matica

(1 3x + 2

4y − 1 2

)bola

transponovaná k matici

(1 7−1 2

).

5. Vypočítajte A + B, 2A, 3B −A, ak

a) A =

(1 2

−1 3

), B =

(0 12 −1

)

Page 29: 157 Matematika zbierka

Úlohy 29

b) A =

5 1 −27 1 −33 2 0

, B =

3 2 12 2 11 3 3

c) A =

(1 2 −1 2

), B =

(2 3 4 −4

)d) A =

1−1

0

, B =

234

6. Nájdite maticu 2AT + 5B, ak

a) A =

(2 10 3

), B =

(1 −12 2

)

b) A =

1 1 22 3 54 0 6

, B =

−1 0 1−1 1 3−2 0 2

c) A =

123

, B =(

7 0 −1)

d) A =

1 2 −1 21 0 3 12 1 0 03 4 0 −1

, B =

2 1 −1 00 2 3 11 2 3 00 0 3 4

7. Vypočítajte (A + B)T , ak

a) A =

(3 21 −1

), B =

(1 0

−4 2

)b) A =

(1 20 1

), B =

(−1 2

4 2

)

c) A =

3 1 −12 0 30 1 0

, B =

1 −1 23 4 −11 2 0

d) A =

1 0 40 2 4

−1 2 3

, B =

0 −1 30 1 21 2 −2

8. Vypočítajte súčiny matíc AB a BA, ak

a) A =

(2 −34 −6

), B =

(9 −66 −4

)b) A =

(1 0

−1 5

), B =

(4 2

−3 1

)

Page 30: 157 Matematika zbierka

30 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

c) A =

(3 21 4

), B =

(2 −10 2

)d) A =

(3 1

−1 0

), B =

(−2 0−1 1

)9. Vypočítajte súčiny matíc AB a BA, ak

a) A =

1 3 22 −1 01 0 2

, B =

2 1 20 −1 12 1 0

b) A =

2 −1 54 3 00 −2 −2

, B =

0 3 01 5 −2

−1 0 1

c) A =

5 1 −27 1 −33 2 0

, B =

3 1 22 2 11 3 3

d) A =

1 3 21 2 42 1 1

, B =

1 1 10 3 22 0 1

10. Vypočítajte súčiny matíc AB a BA, ak

a) A =(

1 −1 2), B =

123

b) A =

(1 3

), B =

(−1

2

)

c) A =

(1 2 22 3 1

), B =

1 31 42 2

d) A =

(1 2 −1 0

−1 0 5 3

), B =

0 3

−1 42 15 0

e) A =

1 10 −25 0

, B =

(2 5 −1

−2 0 4

)

f) A =

1 0 −2 30 5 0 1

−2 0 1 −1

, B =

2 0 31 −1 10 1 24 0 0

Page 31: 157 Matematika zbierka

Úlohy 31

11. Vypočítajte súčin matíc AB, ak

a) A =

(2 1 30 −1 1

), B =

2 1 −10 3 20 1 2

b) A =

1 3 4 2

−2 3 −1 24 1 2 31 2 2 1

, B =

13

−2−1

c) A =

5 1 02 −2 23 0 −1

, B =

123

d) A =

(0 2 1

−1 3 1

), B =

0−1

1

e) A =

(2 1 31 0 −1

), B =

1 32 2

−1 0

f) A =

(1 −20 3

), B =

(2 4 −1

−1 0 0

)

g) A =

3 1−1 2

0 4

, B =

(5 1 0 −20 0 3 1

)

h) A =

1 −10 2

−3 02 4

, B =

(8 −2 01 2 −1

)

i) A =

2 0 1

−1 3 52 0 00 1 −1

, B =

1 2 00 −3 01 −1 2

12 Vynásobte matice

a)

(1 0

−1 1

) (4 −33 −1

) (1 01 1

)b)

(1 −32 0

) (4 10 −2

) (0 1

−1 0

)

c)

1 2 10 2 13 2 1

2 0 10 1 11 1 1

1 1 12 2 23 3 3

Page 32: 157 Matematika zbierka

32 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

d)

1 −1 15 0 20 −3 0

1 −2 02 0 30 −3 1

2 4 −10 5 −21 0 0

13. Vypočítajte A2, ak

a) A =

(1 23 1

)

b) A =

(1 −10 2

)c) A =

1 2 32 1 31 2 2

d) A =

1 −1 10 2 11 −1 0

14. Vypočítajte A3, ak

a) A =

(1 −32 −1

)b) A =

1 2 −10 3 1

−2 1 −1

15. Vypočítajte A4, ak

a) A =

(2 −11 3

)b) A =

1 0 2−1 1 0

0 3 −2

16. Nájdite 4AT + 5BE −CA, kde E je jednotková matica tretieho stupňa a

a) A =

1 2 1−1 0 2

3 1 2

B =

1 −1 12 1 00 1 2

C =

2 0 1−1 1 1

2 1 3

b) A =

2 3 1−1 2 −2

1 0 3

B =

2 0 −11 −1 −12 1 1

C =

1 2 31 0 22 2 −1

17. Daná je matica A =

5 8 43 2 57 6 0

. Akú maticu B musíme pripočítať k

matici A, aby sme dostali jednotkovú maticu?

18. Nájdite maticu A2 + A + E, ak A =

2 1 11 2 11 1 2

.

Page 33: 157 Matematika zbierka

Výsledky 33

Výsledky

1. a) nie b) nie c) áno d) áno

2. a) x = 2, y = 1

b) x = 14, y = 1

2

c) x = −25, y = 1

d) x = 14, y = 1

2, z = 5

3, u = 2

3. a)

3 27 15 31 4

b)

1 3 82 2 25 1 7

c)(

1 −2 3 5)

d)

184

12−5

4. x = −1, y = 2

5. a) A + B =

(1 31 2

), 2A =

(2 4

−2 6

),

3B −A =

(−1 1

7 −6

)

b) A + B =

8 3 −19 3 −24 5 3

, 2A =

10 2 −414 2 −66 4 0

,

3B −A =

4 5 5−1 5 6

0 7 9

c) A + B =

(3 5 3 −2

), 2A =

(2 4 −2 4

),

3B −A =(

5 7 13 −14)

d) A + B =

324

, 2A =

2−2

0

, 3B −A =

51012

6. a)

(9 −512 16

)

b)

−3 4 13−3 11 15−6 10 22

c)(

37 4 1)

d)

12 7 −1 64 10 17 133 16 15 04 2 15 18

7.

Page 34: 157 Matematika zbierka

34 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

a)

(4 −32 1

)

b)

(0 44 3

)c)

4 5 10 4 31 2 0

d)

1 0 0−1 3 4

7 2 1

8. a) AB =

(0 00 0

), BA =

(−6 9−4 6

)b) AB =

(4 2

−19 3

), BA =

(2 10−4 5

)c) AB =

(6 12 7

), BA =

(5 02 8

)d) AB =

(−7 1

2 0

), BA =

(−6 −2−4 −1

)

9. a) AB =

6 0 54 3 36 3 2

, BA =

6 5 8−1 1 2

4 5 4

b) AB =

−6 1 73 27 −60 −10 2

, BA =

12 9 022 18 9−2 −1 −7

c) AB =

15 1 520 0 1613 7 8

, BA =

28 8 −927 6 −1035 10 −11

d) AB =

5 10 99 10 94 5 5

, BA =

4 6 77 8 144 7 5

10. a) AB = (5) , BA =

1 −1 22 −2 43 −3 6

b) AB = (5) , BA =

(−1 −3

2 6

)

c) AB =

(7 157 20

), BA =

7 11 59 14 66 10 6

d) AB =

(−4 1025 2

), BA =

−3 0 15 9−5 −2 21 12

1 4 3 35 10 −5 0

Page 35: 157 Matematika zbierka

Výsledky 35

e) AB =

0 5 34 0 −8

10 25 −5

, BA =

(−3 −818 −2

)

f) AB =

14 −2 −19 −5 5

−8 1 −4

, BA =

−4 0 −1 3−1 −5 −1 1−4 5 2 −1

4 0 −8 12

11. a)

(4 8 60 −2 0

)

b)

0702

c)

740

d)

(−1−2

)e)

(1 82 3

)

f)

(4 4 −1

−3 0 0

)

g)

15 3 3 −5−5 −1 6 4

0 0 12 4

h)

7 −4 12 4 −2

−24 6 020 4 −4

i)

3 3 24 −16 102 4 0

−1 −2 −2

12. a)

(1 −31 2

)

b)

(−7 4−2 8

)c)

21 21 2116 16 1631 31 31

d)

−4 −29 1112 −60 27

−21 −24 6

13. a)

(7 46 7

)

b)

(1 −30 4

)c)

8 10 157 11 157 8 13

d)

2 −4 01 3 21 −3 0

14. a)

(−5 15−10 5

)b)

−1 29 2−6 28 10−8 −2 −6

Page 36: 157 Matematika zbierka

36 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

15. a)

(−16 −55

55 39

)b)

−5 18 −222 −5 −6

−9 −33 28

16. a)

4 −14 1317 6 1−6 6 8

b)

15 −11 −713 0 −213 −13 22

17.

−4 −8 −4−3 −1 −5−7 −6 1

18.

9 6 66 9 66 6 9

Page 37: 157 Matematika zbierka

Determinant matice. Hodnosť matice 37

Determinant matice. Hodnosť maticeNech A je štvorcová matica stupňa n > 1, potom znakom Aij budeme označovaťmaticu, ktorá vznikne z matice A vynechaním i-teho riadku a j-teho stĺpca. Je toznovu štvorcová matica a to stupňa n− 1.

Definícia 11. Determinantom štvorcovej matice

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

. . .an1 an2 an3 . . . ann

.

stupňa n je číslo, označené |A|, ktoré sa rovná

1. |A| = a11, ak matica A je stupňa 1, t.j. A = (a11)

2. |A| = a11|A11| − a12|A12|+ a13|A13| − · · ·+ (−1)1+na1n|A1n|, ak matica jestupňa n > 1.

Podľa definície determinant matice druhého stupňa je

|A| =∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11|A11| − a12|A12| = a11a22 − a12a21 (B.1)

Vzorec pre determinant matice druhého stupňa si môžeme zapamätať tak, že odsúčinu prvkov na hlavnej diagonále odčítame súčin prvkov na vedľajšej diagonále.Nech matica A je štvorcová tretieho stupňa

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

.

Potom jej determinantom podľa definície je

|A| = a11|A11| − a12|A12|+ a13|A13| =

a11

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣Pre výpočet determinantov druhého stupňa použijeme vzorec (B.1). Dostaneme

|A| = a11(a22a33 − a32a23)− a12(a21a33 − a31a23) + a13(a21a32 − a31a22) =

= a11a22a33 − a11a32a23 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31

Page 38: 157 Matematika zbierka

38 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

Posledný vzorec je dlhý a ťažko sa pamätá. Všimnime si preto nasledujúci spôsobvýpočtu determinantu matice tretieho stupňa. K stĺpcom matice A pripíšme prvédva stĺpce a utvorme súčiny po troch prvkoch z každého riadku a z každého stĺpcav smere hlavnej diagonály so znamienkom + a v smere vedľajšej diagonály soznamienkom − a výsledok sčítajme.Tento spôsob výpočtu determinantu matice tretieho stupňa sa volá Sarrusovopravidlo. ∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

+++−−−

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − (a12a21a33 + a11a23a32 + a13a22a31)

Pre determinant matice stupňa n > 3 neexistuje pravidlo podobné Sarrusovmupravidlu.V ďalšom budeme predpokladať, že všetky uvedené matice sú štvorcové stupňa n.

Veta 2. Nech A a AT sú dve vzájomne transponované matice. Potom ichdeterminanty sú rovnaké.

Veta 3. Pre determinant štvorcovej matice stupňa n platí

a) |A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ · · ·+ +(−1)i+nain|Ain| =n∑

j=1

(−1)i+jaij|Aij|, kde i = 1, 2, . . . , n (rozvoj determinantu podľa

prvkov i-teho riadku)

b) |A| = (−1)1+ja1j|A1j|+ (−1)2+ja2j|A2j|+ · · ·+ +(−1)n+janj|Anj| =n∑

i=1

(−1)i+jaij|Aij|, kde j = 1, 2, . . . , n (rozvoj determinantu podľa

prvkov j-teho stĺpca)

Veta 4. Nech matica B vznikne z matice A tak, že k niektorému jej riadku(stĺpcu) pripočítame k-násobok iného riadku (stĺpca). Potom |A| = |B|.

Táto veta nám umožní jednoduchší výpočet determinantu ako podľa definície.Riadky (stĺpce) matice vynásobíme vhodnými číslami a pripočítame ich k inýmriadkom(stĺpcom) tak, aby sme v niektorom riadku(stĺpci) dostali čo najviac núl.Determinant potom rozvinieme podľa tohoto riadku(stĺpca).

Veta 5. Pre determinant matice platia nasledujúce tvrdenia:

Page 39: 157 Matematika zbierka

Determinant matice. Hodnosť matice 39

1. Ak všetky prvky niektorého riadku(stĺpca) matice A sa rovnajú nule, potom|A| = 0.

2. Ak matica A má dva rovnaké riadky(stĺpce), potom |A| = 0.

3. Nech matica B vznikne z matice A tak, že vymeníme navzájom dva riadky(stĺpce) matice A. Potom platí |A| = −|B|.

4. Ak v matici A vynásobíme ľubovoľný riadok(stĺpec) číslom c, tak determinantmatice, ktorú dostaneme sa rovná c-násobku determinantu matice A.

Definícia 12. Štvorcová matica A, ktorej determinant |A| 6= 0, sa nazývaregulárna matica.

Definícia 13. Nech A je štvorcová matica. Maticu X, pre ktorú platí

AX = XA = E

nazývame inverznou maticou k matici A a označujeme A−1.

Veta 6 (O výpočte inverznej matice). K štvorcovej matici A existujeinverzná matica A−1 vtedy a len vtedy, ak A je regulárna matica a platí

A−1 =1

|A|

D11 D21 D31 . . . Dn1

D12 D22 D32 . . . Dn2

. . .D1n D2n D3n . . . Dnn

,

kde Dij = (−1)i+j|Aij|, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n.

Definícia 14. Považujme riadky (stĺpce) matice A typu m× n za aritmetickévektory (definícia 1, definícia 4). Potom hodnosť matice A je maximálny počet jejlineárne nezávislých riadkov (stĺpcov). Označuje sa h(A). Dve matice A, B

rovnakého typu, ktoré majú rovnakú hodnosť sa nazývajú ekvivalentné, čooznačujeme A ∼ B.

Veta 7. Pre hodnosť matice platia nasledujúce tvrdenia:

1. Ak A je matica typu m× n, potom h(A) ≤ min{m, n}

2. Hodnosť matice sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak matica je nulová

Page 40: 157 Matematika zbierka

40 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

3. Hodnosť matice A sa rovná hodnosti matice AT .

Veta 8. Hodnosť matice A sa nezmení, ak vykonáme niektorú z nasledujúcichoperácií:

• vymeníme navzájom ľubovoľné dva riadky(stĺpce) v matici A

• vynásobíme ľubovoľný riadok(stĺpec) matice A nenulovým číslom

• k ľubovoľnému riadku(stĺpcu) matice A pripočítame k-násobok inéhoriadku(stĺpca)

• vynecháme jeden z dvoch rovnakých riadkov(stĺpcov) matice A

• vynecháme nulový riadok(stĺpec) matice A.

Veta 9. Hodnosť matice, ktorá má trojuholníkový stupňovitý tvar (t.j. aij = 0 prei > j - alebo inak, všetky prvky pod hlavnou diagonálou sú rovné nule), sa rovnápočtu jej nenulových riadkov.

Definícia 15. Nech A je ľubovoľná matica. Submaticou matice A nazývameštvorcovú maticu, ktorá vznikne z matice A vynechaním niekoľkých riadkov astĺpcov (prípadne žiadnych). Determinant submatice r-tého stupňa sa nazývaminor stupňa r.

Veta 10. Hodnosť matice A je číslo h(A) vtedy a len vtedy, ak existuje nenulovýminor stupňa h(A) matice A a všetky minory matice A vyšších stupňov ako h(A)

sú rovné nule.

Veta 11. Nech A je štvorcová matica n-tého stupňa. Potom nasledujúce výrokysú ekvivalentné

1. Riadky(stĺpce) matice A sú lineárne závislé

2. |A| = 0

3. h(A) < n.

Page 41: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 41

Riešené príkladyPríklad 7. Vypočítajme determinant∣∣∣∣∣∣

1 2 −33 5 −12 −1 1

∣∣∣∣∣∣ .Riešenie: Determinant vypočítame pomocou Sarrusovho pravidla∣∣∣∣∣∣

1 2 −3 1 23 5 −1 3 52 −1 1 2 −1

= 1 · 5 · 1 + 2 · (−1) · 2 + (−3) · 3 · (−1)−

− 2 · 3 · 1− 1 · (−1) · (−1)− (−3) · 5 · 2 = 33.

Príklad 8. Vypočítajme determinant

D =

∣∣∣∣∣∣1 7 43 2 06 5 0

∣∣∣∣∣∣ .Riešenie: Po použití vety o rozvoji determinantu podľa prvkov tretieho stĺpcadostaneme

D = (−1)1+3 · 4∣∣∣∣ 3 2

6 5

∣∣∣∣+ (−1)2+3 · 0∣∣∣∣ 1 7

6 5

∣∣∣∣+ (−1)3+3 · 0∣∣∣∣ 1 7

3 2

∣∣∣∣ =

= 4

∣∣∣∣ 3 26 5

∣∣∣∣ = 4(3 · 5− 6 · 2) = 4(15− 12) = 12

Pri použití rozvoja determinantu je najvýhodnejšie vybrať riadok resp. stĺpecmatice, ktorý obsahuje najviac núl.

Príklad 9. Vypočítajme determinant

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 −12 0 −3 41 1 1 1

−2 −1 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Riešenie: Urobíme rozvoj determinantu D podľa prvkov tretieho stĺpca (obsahujenajviac núl).

D = (−1)1+3 · 0

∣∣∣∣∣∣2 0 41 1 1

−2 −1 2

∣∣∣∣∣∣+ (−1)2+3 · (−3)

∣∣∣∣∣∣1 2 −11 1 1

−2 −1 2

∣∣∣∣∣∣++ (−1)3+3 · 1

∣∣∣∣∣∣1 2 −12 0 4

−2 −1 2

∣∣∣∣∣∣+ (−1)4+3 · 0

∣∣∣∣∣∣1 2 −12 0 41 1 1

∣∣∣∣∣∣ =

= 0 + 3(−6)− 18 + 0 = −36

Page 42: 157 Matematika zbierka

42 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

Druhý a tretí determinant v rozvoji sme vypočítali pomocou Sarrusovho pravidla.

Príklad 10. Vypočítajme determinant

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1 2 32 1 0 −1 −1

−2 3 1 2 −13 1 −1 0 −21 1 −1 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Riešenie: Determinant upravíme tak, aby v poslednom riadku boli štyri nuly.Podľa vlastností determinantov (ktoré nemenia hodnotu determinantov) budemepostupovať takto: prvý stĺpec, vynásobený (-1), pripočítame k druhému stĺpcu aprvý stĺpec postupne pripočítame k tretiemu, štvrtému a piatemu stĺpcu.

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1 2 32 1 0 −1 −1

−2 3 1 2 −13 1 −1 0 −21 1 −1 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

(−1)

(1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 2 3 42 −1 2 1 1

−2 5 −1 0 −33 −2 2 3 11 0 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

Takto vzniknutý determinant rozvinieme podľa prvkov posledného riadku

D = (−1)5+1 · 1

∣∣∣∣∣∣∣∣−2 2 3 4−1 2 1 1

5 −1 0 −3−2 2 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣V tomto determinante druhý riadok, vynásobený (-3), pripočítame k prvému,potom k poslednému riadku a urobíme rozvoj podľa prvkov tretieho stĺpca

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣−2 2 3 4−1 2 1 1

5 −1 0 −3−2 2 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣(−3)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −4 0 1

−1 2 1 15 −1 0 −31 −4 0 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= (−1)2+3 · 1

∣∣∣∣∣∣1 −4 15 −1 −31 −4 −2

∣∣∣∣∣∣

Page 43: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 43

Pre výpočet tohto determinantu už môžeme použiť Sarrusovo pravidlo

D = (−1)(2 + 12 + 20 + 1− 12− 40) = (−1)(−57) = 57.

Príklad 11. Nájdite inverznú maticu k matici A =

2 1 −11 0 11 1 −1

.

Riešenie: Pomocou Sarrusovho pravidla dostaneme, že determinant matice A je−1. Pretože determinant matice je rôzny od nuly, matica A je regulárna a tedaexistuje k nej inverzná matica.

D11 = (−1)1+1|A11| =∣∣∣∣ 0 1

1 −1

∣∣∣∣ = −1

D12 = (−1)1+2|A12| = −∣∣∣∣ 1 1

1 −1

∣∣∣∣ = 2

D13 = (−1)1+3|A13| =∣∣∣∣ 1 0

1 1

∣∣∣∣ = 1

D21 = (−1)2+1|A21| = −∣∣∣∣ 1 −1

1 −1

∣∣∣∣ = 0

D22 = (−1)2+2|A22| =∣∣∣∣ 2 −1

1 −1

∣∣∣∣ = −1

D23 = (−1)2+3|A23| = −∣∣∣∣ 2 1

1 1

∣∣∣∣ = −1

D31 = (−1)3+1|A31| =∣∣∣∣ 1 −1

0 1

∣∣∣∣ = 1

D32 = (−1)3+2|A32| = −∣∣∣∣ 2 −1

1 1

∣∣∣∣ = −3

D33 = (−1)3+3|A33| =∣∣∣∣ 2 1

1 0

∣∣∣∣ = −1

Podľa vety o výpočte inverznej matice máme

A−1 =1

−1

−1 0 12 −1 −31 −1 −1

=

1 0 −1−2 1 3−1 1 1

.

Príklad 12. Vyriešme maticovú rovnicu XA = B s neznámou maticou X, ak

A =

(3 12 5

), B =

(6 −11

−3 −1

).

Riešenie: Keďže determinant matice A je 13, matica A je regulárna a tedaexistuje k nej inverzná matica A−1 :

A−1 =1

13

(5 −1

−2 3

)

Page 44: 157 Matematika zbierka

44 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

Rovnicu XA = B vynásobíme maticou A−1 sprava a upravíme

XA = B/ ·A−1

XAA−1 = BA−1

XE = BA−1

X = BA−1

Odtiaľ

X =

(6 −11

−3 −1

)· 1

13

(5 −1

−2 3

)=

1

13

(52 −39

−13 0

)=

(4 −3

−1 0

)Riešením danej maticovej rovnice je teda matica X =

(4 −3

−1 0

).

Príklad 13. Vypočítajme hodnosť matice A =

2 1 1 11 3 1 11 1 1 51 1 4 11 2 3 41 10 1 1

.

Riešenie: Vymeníme riadky za stĺpce, t.j. napíšeme transponovanú maticu, apostupne upravujeme na trojuholníkový tvar

2 1 1 1 1 11 3 1 1 2 101 1 1 4 3 11 1 5 1 4 1

1 1 2 1 1 11 3 1 1 2 101 1 1 4 3 15 1 1 1 4 1

(−1) (−5)

1 1 2 1 1 10 2 −1 0 1 90 0 −1 3 2 00 −4 −9 −4 −1 −4

(2) ∼

1 1 2 1 1 10 2 −1 0 1 90 0 −1 3 2 00 0 −11 −4 1 14

(−11)∼

1 1 2 1 1 10 2 −1 0 1 90 0 −1 3 2 00 0 0 −37 −21 14

Hodnosť danej matice je 4 (=počet nenulových riadkov matice upravenej použitímúprav z vety 8 z 40. strany do trojuholníkového stupňovitého tvaru).

Page 45: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 45

Príklad 14. Vypočítajme hodnosť matice A =

3 5 71 2 31 3 5

.

Riešenie: Pomocou ekvivalentných úprav (nemenia hodnosť matice) upravímematicu na trojuholníkový stupňovitý tvar

3 5 71 2 31 3 5

(1)∼

4 8 121 2 31 3 5

(: 4)

1 2 31 2 31 3 5

Vynecháme jeden z dvoch rovnakých riadkov a pokračujeme(

1 2 31 3 5

)(−1) ∼

(1 2 30 1 2

)

Počet nenulových riadkov poslednej (ekvivalentnej) matice, upravenej dotrojuholníkového stupňovitého tvaru je 2, preto podľa vety hodnosť pôvodnejmatice h(A) = 2.

Príklad 15. Vypočítajme hodnosť štvorcovej matice A =

1 2 3−1 2 4

2 1 2

.

Riešenie: Determinant danej matice (pomocou Sarrusovho pravidla) je|A| = −11 rôzny od nuly. Preto podľa vety 10 riadky matice sú lineárne nezávisléa hodnosť matice je h(A) = 3.

Page 46: 157 Matematika zbierka

46 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

ÚlohyV úlohách 1 - 10 vypočítajte determinanty

1. a)

∣∣∣∣ 3 47 5

∣∣∣∣b)

∣∣∣∣ 3 4−5 8

∣∣∣∣c)

∣∣∣∣ −1 −3−2 5

∣∣∣∣d)

∣∣∣∣ 1 +√

3 3−√

5

3 +√

5 1−√

3

∣∣∣∣2. a)

∣∣∣∣ x− y x + yx + y x− y

∣∣∣∣b)

∣∣∣∣ a− 2 a + 2b− 2 b + 2

∣∣∣∣c)

∣∣∣∣ cos x sin xsin x cos x

∣∣∣∣d)

∣∣∣∣ a + 1 aa a− 1

∣∣∣∣3. a)

∣∣∣∣∣∣1 2 32 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣5 6 33 5 66 3 5

∣∣∣∣∣∣

c)

∣∣∣∣∣∣1 2 −41 3 −91 5 −25

∣∣∣∣∣∣d)

∣∣∣∣∣∣2 −1 11 2 −11 −1 2

∣∣∣∣∣∣4. a)

∣∣∣∣∣∣2 1 35 3 21 4 3

∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣3 4 −58 7 −22 −1 8

∣∣∣∣∣∣

c)

∣∣∣∣∣∣1 3 72 0 16 −2 2

∣∣∣∣∣∣d)

∣∣∣∣∣∣3 0 33 3 00 3 3

∣∣∣∣∣∣5. a)

∣∣∣∣∣∣0√

2√

3

−1√

6√

10

−√

2√

3√

2

∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣−2 3 7−1 2 1−4 5 19

∣∣∣∣∣∣

c)

∣∣∣∣∣∣2 5 0

−1 7 14 1 −4

∣∣∣∣∣∣d)

∣∣∣∣∣∣1 1 −1

−4 −6 6−3 −3 4

∣∣∣∣∣∣6. a)

∣∣∣∣∣∣∣∣3 1 1 11 3 1 11 1 3 11 1 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20

∣∣∣∣∣∣∣∣

c)

∣∣∣∣∣∣∣∣−2 1 1 1

8 3 1 11 1 3 14 1 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣d)

∣∣∣∣∣∣∣∣5 3 2 4

10 2 −2 10−5 6 8 5

0 1 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

Page 47: 157 Matematika zbierka

Úlohy 47

7. a)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 −1 1 12 2 −2 21 1 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣∣∣4 4 5 62 5 4 65 5 8 73 −3 −2 −5

∣∣∣∣∣∣∣∣

c)

∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣d)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 −1 −22 1 1 11 −1 −1 11 2 2 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣8. a)

∣∣∣∣∣∣∣∣9 3 3 33 3 6 63 1 0 13 0 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣∣∣3 1 1 −21 3 1 81 1 3 11 1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣

c)

∣∣∣∣∣∣∣∣0 −1 2 −21 0 1 81 −1 0 10 −3 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣d)

∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 −1 21 0 −1 52 2 2 2

−1 −1 0 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣9. a)

∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1 2 33 2 −1 0

−9 4 1 −5−2 3 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣∣∣2 0 3 1

−1 3 2 −23 1 −2 −34 −1 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣

c)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −5 3 03 4 −1 2

−3 −1 −2 12 9 −2 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣d)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 31 1 3 11 3 1 13 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

10. a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 1 1 11 3 1 1 11 1 4 1 11 1 1 5 1

−1 −1 −1 −1 −6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 4 52 3 4 5 53 4 5 5 34 5 5 5 55 5 5 5 5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

c)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1 11 0 −1 0 20 −1 −1 −2 −3

−3 0 1 1 00 0 3 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣d)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 0 52 1 −1 3 41 0 0 0 73 1 −1 4 15 −2 3 6 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣11. Zistite všetky hodnoty parametra p, pre ktoré daná matica nie je regulárna

a)

p 0 −2−1 5 3

2 p 1

b)

0 −2 p5 3 −1p 1 2

Page 48: 157 Matematika zbierka

48 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

c)

−3 1 21 2 p5 p 0

d)

−2 3 1p −1 20 5 p

12. Na základe vlastností determinantu ukážte, že ich hodnota je nula

a)

∣∣∣∣∣∣0 0 0

−2 1 34 1 2

∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣1 2 0

−1 3 09 4 0

∣∣∣∣∣∣c)

∣∣∣∣∣∣2 −1 12 −1 13 3 4

∣∣∣∣∣∣d)

∣∣∣∣∣∣1 1 2

−1 −1 31 1 4

∣∣∣∣∣∣

e)

∣∣∣∣∣∣4 2 62 1 30 −8 −2

∣∣∣∣∣∣f)

∣∣∣∣∣∣2 −6 22 −6 0

−3 9 2

∣∣∣∣∣∣g)

∣∣∣∣∣∣1 −1 23 2 1

−1 −4 3

∣∣∣∣∣∣h)

∣∣∣∣∣∣x y 2x + 3y

2x 3y 4x + 9y3x 2y 6x + 6y

∣∣∣∣∣∣V úlohách 13 - 16 k uvedeným maticiam nájdite inverzné matice

13. a)

(1 22 2

)b)

(a bc d

) c)

(1 23 4

)d)

(2 3

−1 0

)

14. a)

1 0 03 1 00 3 1

b)

1 1 −1−4 −5 6−3 −3 4

c)

3 2 21 3 15 3 4

d)

3 2 05 4 11 2 5

15. a)

1 1 −21 2 −13 4 −6

b)

1 2 −30 1 20 0 1

c)

1 2 1−1 1 −1

0 3 2

d)

5 −6 43 −3 24 −5 2

Page 49: 157 Matematika zbierka

Úlohy 49

16. a)

3 2 12 1 −14 2 −3

b)

0 2 −11 −1 −1

−1 0 2

c)

1 3 33 10 83 8 11

d)

2 −2 20 1 12 −1 4

17. Riešte maticovú rovnicu pre neznámu maticu X

a)

(2 11 0

)X =

(3 21 1

)b)

(−5 2−3 1

)X =

(−12 −5−7 −4

)c) X

(3 52 4

)=

(−1 5−2 6

)d)

(2 34 2

)X

(1 02 1

)=

(7 56 1

)18. Riešte maticovú rovnicu pre neznámu maticu X

a)

1 2 −1−2 3 0−3 5 4

X =

5 −8 712 −7 −332 −8 −12

b)

0 3 12 7 61 2 2

X =

−1 9 0−4 34 13−1 11 5

c) X

1 2 1−1 1 −1

0 3 2

=

1 11 32 7 60 9 2

d) X

5 3 11 −3 −2

−5 2 1

=

−8 3 0−5 9 0−2 15 0

19. Nech sú dané matice

A =

1 0 21 0 11 1 0

a B =

−1 1 11 −1 11 1 −1

.

Vypočítajte neznámu maticu X z rovnice

a) AX + 2B = E

Page 50: 157 Matematika zbierka

50 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

b) B2 − 3XA = X

c) A2X − 4B = 3AX

20. Riešte maticovú rovnicu AXB = C, ak

a) A =

(3 −1

−5 2

), B =

(−3 2

0 −1

), C =

(4 −32 0

)b) A =

(−2 1

0 −3

), B =

(3 −2

−1 1

), C =

(0 −45 −1

)c) A =

(−3 0

4 −2

), B =

(4 −51 −1

), C =

(2 −34 0

)d) A =

(2 −10 3

), B =

(−3 2

1 −1

), C =

(5 0

−2 4

)V úlohách 21 - 26 nájdite hodnosť matice

21. a)

(1 2

−5 4

)b)

(2 −2 3

−4 4 −6

) c)

(3 0 41 2 −1

)d)

(2 3 16 9 3

)

22. a)

2 4 01 −1 00 2 3

b)

1 2 −13 0 22 −2 3

c)

0 2 −10 −2 10 4 −2

d)

1 −2 3−3 −6 −9

4 8 12

23. a)

1 2 32 −1 11 7 8

b)

1 2 32 1 41 1 1

c)

−1 2 −32 −4 6

−3 6 −9

d)

1 1 −1−4 −5 6−3 −3 4

24. a)

4 2 −3 76 3 2 44 5 2 2

b)

1 1 1 11 −1 −1 11 −1 1 −1

c)

1 −2 1 −11 −2 1 51 −2 1 1

d)

2 −2 3 5−6 −6 9 −3

8 8 12 4

Page 51: 157 Matematika zbierka

Úlohy 51

25. a)

2 7 73 7 21 3 21 4 7

b)

1 0 3 2

−2 1 0 −1−1 1 3 1−1 2 9 4

c)

1 1 −3 −12 1 −2 11 1 1 31 2 −3 1

d)

2 1 1 21 3 1 51 1 5 −72 3 −3 14

26. a)

3 4 −1 5 −21 5 −2 3 42 −1 1 2 30 11 −5 4 −4

b)

6 2 3 4 −13 1 2 2 −13 1 1 2 06 2 1 4 13 1 2 2 −1

c)

2 2 2 11 3 −1 04 8 0 17 13 1 23 5 1 1

d)

1 −1 0 −1 00 0 1 0 −11 1 −2 1 00 1 −1 1 00 1 0 1 −1

27. Vypočítajte hodnosť matice A pre rôzne hodnoty reálneho čísla x, ak

a) A =

1 3 −2−1 0 4

5 x −14

b) A =

2 0 33 −1 x1 x 5

c) A =

2 1 1 11 3 −2 18x 2 1 53 1 2 −2

d) A =

3 x 10 12 −1 x 35 10 30 −5

28. Vypočítajte determinant a riešte získanú algebraickú rovnicu

a)

∣∣∣∣ 9− x 1212 16− x

∣∣∣∣ = 0

b)

∣∣∣∣ 5− x 22 8− x

∣∣∣∣ = 0

c)

∣∣∣∣∣∣3− x −1 1−1 5− x −1

1 −1 3− x

∣∣∣∣∣∣ = 0

d)

∣∣∣∣∣∣6− x −12 −1

1 −3− x −1−4 12 3− x

∣∣∣∣∣∣ = 0

Page 52: 157 Matematika zbierka

52 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

Výsledky

1. a) −13 b) 44 c) −11 d) −6

2. a) −4xy b) 4(a− b) c) cos 2x d) −1

3. a) 0 b) 98 c) −6 d) 6

4. a) 40 b) 0 c) −20 d) 54

5. a) 5− 2√

10 b) 0 c) −58 d) −2

6. a) 48 b) 1 c) −92 d) −570

7. a) −16 b) −90 c) −3 d) −9

8. a) −81 b) 52 c) −50 d) 12

9. a) 33 b) 45 c) 33 d) 48

10. a) −394 b) 5 c) −29 d) −2

11. a) p = 4, p = −53

b) p = 4, p = −53

c) p = −4, p = 53

d) p = 4, p = −53

13. a)

(−1 1

1 −12

)b) 1

ad−bc

(d −b

−c a

) c)

(−2 1

32−1

2

)d)

(0 −113

23

)

14. a)

1 0 0−3 1 0

9 −3 1

b)

2 1 −12 −1 23 0 1

c)

95−2

5−4

515

25−1

5

−125

15

75

d) 1

6

18 −10 2−24 15 −3

6 −4 2

15. a)

8 2 −3−3 0 1

2 1 −1

b)

1 −2 70 1 −20 0 1

c) 1

6

5 −1 −32 2 0

−3 −3 3

d) −1

4

4 −8 02 −6 2

−3 1 3

Page 53: 157 Matematika zbierka

Výsledky 53

16. a)

−1 8 −32 −13 50 2 −1

b)

2 4 31 1 11 2 2

c)

46 −9 −6−9 2 1−6 1 1

d) 1

6

5 8 −22 8 −2

−2 −2 2

17. a)

(1 11 0

)b)

(2 13

−1 35

) c)

(−7 1010 14

)d) 1

8

(18 −7

−20 18

)

18. a)

0 −1 34 −3 13 1 −2

b)

1 1 10 2 −1

−1 3 3

c)

3 2 11 −1 22 2 1

d)

1 2 34 5 67 8 9

19. a)

−7 8 −25 −10 55 −5 0

b)

−9 20 −75 18 55 −10 3

c)

−4 2 −22 −6 22 −4 0

20. a) X = 13

(−10 −2−26 −7

)b) X = 1

6

(8 29

−8 −14

) c) X = 13

(−1 2

4 −26

)d) X = 1

6

(17 384 16

)21. a) 2 b) 1 c) 2 d) 1

22. a) 3 b) 2 c) 1 d) 2

23. a) 2 b) 3 c) 1 d) 3

24. a) 3 b) 3 c) 2 d) 2

25. a) 3 b) 2 c) 4 d) 3

Page 54: 157 Matematika zbierka

54 B MATICE. DETERMINANT MATICE. HODNOSŤ MATICE

26. a) 3 b) 2 c) 2 d) 3

27. a) Ak x = 9, tak h(A) = 2 a ak x 6= 9, tak h(A) = 3

b) Ak x = 1 alebo x = 72, tak h(A) = 2 a ak x ∈ R \

{2, 7

2

}, tak h(A) = 3

c) Ak x = 3, tak h(A) = 2 a ak x 6= 3, tak h(A) = 3

d) Ak x = 2, tak h(A) = 2 a ak x 6= 9, tak h(A) = 3

28. a) 0; 25 b) 4; 9 c) 2; 3; 6 d) 1; 2; 3

Page 55: 157 Matematika zbierka

C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC 55

C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNÍC

Definícia 1. Systémom m lineárnych algebraických rovníc s n neznámymirozumieme nasledujúci systém rovníc

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2...

...am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm

kde xi sú neznáme, aij sú koeficienty systému, bi sú absolútne členy alebopravé strany systému.Systém sa nazýva homogénny, ak bi = 0, pre všetky i = 1, 2, . . . ,m anehomogénny, ak existuje aspoň jedno i, pre ktoré bi 6= 0.

K systému lineárnych rovníc možno priradiť nasledujúce matice:

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n...

am1 am2 am3 . . . amn

,

typu m× n, ktorú nazývame maticou systému, a matice

X =

x1

x2...

xn

a B =

b1

b2...

bm

,

typu n× 1 resp. m× 1, X nazývame vektor neznámych a B vektorabsolútnych členov. Potom systém môžeme zapísať v maticovom tvare

AX = B

Definícia 2. Riešením systému lineárnych rovníc nazývame každý vektor

C =

c1

c2

. . .cn

,

pre ktorý platíAC = B.

Systém nazývame riešiteľným, ak má aspoň jedno riešenie. Riešiť systémlineárnych rovníc znamená nájsť všetky jeho riešenia.

Page 56: 157 Matematika zbierka

56 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC

Vektor riešení budeme písať aj v tvare riadkového vektora

C = (c1; c2; . . . ; cn)

Definícia 3. Nech (s) a (s’) sú 2 systémy lineárnych rovníc. Hovoríme, že tietosystémy sú ekvivalentné, ak každé riešenie systému (s) je zároveň aj riešenímsystému (s’) a naopak.

Veta 1. Nech systém (s’) vznikne zo systému (s) niektorou z nasledujúcich úprav:

1. vzájomnou výmenou dvoch rovníc

2. vynásobením niektorej rovnice nenulovým číslom

3. pripočítaním k-násobku niektorej rovnice k inej rovnici

4. vynechaním alebo pridaním rovnice, ktorá je k-násobkom inej rovnice.

Potom systémy (s) a (s’) sú ekvivalentné. Úpravy 1 -4 sa nazývajúekvivalentnými úpravami systému lineárnych rovníc.

Veta 2 (Riešenie pomocou inverznej matice). Nech je daný systém n lineárnychalgebraických rovníc s n neznámymi tvaru

AX = B (C.1)

(t.j. matica systému je štvorcová). Nech matica A je regulárna (t.j. |A| 6= 0.)Potom vektor

X = A−1B

je jediným riešením systému (C.1).

Veta 3 (Cramerovo pravidlo). Nech je daný systém n lineárnych algebraickýchrovníc s n neznámymi (C.1) a nech matica systému je regulárna. Potom systém(C.1) má jediné riešenie tvaru

(x1; x2; . . . ; xn) =

(D1

D;D2

D; . . . ;

Dn

D

),

kde D = |A| a Di je determinant matice, ktorá vznikne z matice systému A tak, žejej i-ty stĺpec nahradíme stĺpcom absolútnych členov.

Veta 4. Homogénny systém AX = 0 n lineárnych rovníc s n neznámymi máokrem nulového aj nenulové (netriviálne) riešenie vtedy a len vtedy, keď |A| = 0.

Page 57: 157 Matematika zbierka

C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC 57

Veta 5 (Gaussova eliminačná (vylučovacia) metóda, skr. GEM). Princíp tejtometódy spočíva v nasledujúcom. Nech je daný systém lineárnych rovníc. Vhodnénásobky prvej z rovníc pripočítame k ostatným rovniciam tak, aby sa v nich tá istáneznáma (napr. x1) vylúčila. Potom prvú rovnicu vynecháme a ten istý postupopakujeme so zvyšujúcim systémom rovníc. Takto pokračujeme, kým sa dá. Aknám pri týchto úpravách vznikne (alebo sa vyskytuje už v začiatočnom systéme)rovnica tvaru

0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 0

vynecháme ju zo systému. Ak vznikne (alebo v pôvodnom systéme už je) rovnicatvaru

0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = c, c 6= 0

systém je neriešiteľný. Uvedenými úpravami nám vznikne systém rovníc,z poslednej rovnice ktorého ľahko vypočítame niektorú z neznámych (prípadnepomocou iných neznámych). Tento výsledok dosadíme do predposlednej rovnice,vypočítame ďalšiu neznámu, atď. Pritom sa môže stať, že niektoré neznáme možnozvoliť ľubovoľne.V opísanej metóde všetky uskutočnené úpravy sa prejavujú len v zmenáchkoeficientov a absolútnych členov systému. Preto uvedený postup možno

”zautomatizovať“ tak, že stačí robiť úpravy len s istou maticou a netreba odpisovaťneznáme. Utvorme z matice systému a z matice absolútnych členov maticu

a11 a12 a13 . . . a1n b1

a21 a22 a23 . . . a2n b2

. . .am1 am2 am3 . . . amn bm

,

typu m× (n + 1), ktorú nazývame rozšírenou maticou systémua označujeme A.

Veta 6 (Frobeniova veta). Systém lineárnych rovníc má riešenie vtedy a len vtedyak hodnosť matice systému sa rovná hodnosti jeho rozšírenej matice, t.j.h(A) = h(A).

Platí:

1. h(A) 6= h(A) ⇒ SLR je neriešiteľný

2. h(A) = h(A) = n(počet neznámych)⇒ SLR má jediné riešenie

3. h(A) = h(A) < n ⇒ SLR má nekonečne veľa riešení a rozdieln− h(A) určuje počet parametrov.

Page 58: 157 Matematika zbierka

58 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC

Riešené príkladyPríklad 1. Postupným vylučovaním (eliminovaním) neznámych pomocouekvivalentných úprav riešme systém rovníc

2x1 + x2 + x3 = 2x1 + 3x2 + x3 = 5x1 + x2 + 5x3 = −7

2x1 + 3x2 − 3x3 = 14

Riešenie: vymeňme prvú a druhú rovnicu, čím dosiahneme, že vedúci prvokprvého riadku bude 1 a vyhneme sa neskôr počítaniu so zlomkami. V tomtoekvivalentnom systéme vynásobme prvú rovnicu číslom (−2) a pripočítajme kdruhej rovnici, potom vynásobme prvú rovnicu číslom (−1) a pripočítajme k tretejrovnici. Nakoniec prvú rovnicu vynásobme číslom (−2) a pripočítajme k poslednejrovnici. Dostaneme nasledujúci systém rovníc, ktorý bude podľa vety ekvivalentnýs pôvodným systémom

x1 + 3x2 + x3 = 50x1 − 5x2 − x3 = −80x1 − 2x2 + 4x3 = −120x1 − 3x2 − 5x3 = 4

Tento systém má iba v prvej rovnici premennú x1, z ostatných rovníc sme tútopremennú vylúčili. Analogicky vylúčime premennú x2. K tomu by bolo výhodné,aby koeficient pri neznámom x2 v niektorej rovnici bol číslo 1. Preto vydeľmetretiu rovnicu číslom (−2) a druhú rovnicu číslom (−1) a vymeňme ich poradie.Dostaneme ekvivalentný systém

x1 + 3x2 + x3 = 5x2 − 2x3 = 6

5x2 + x3 = 8− 3x2 − 5x3 = 4

Vynásobme druhú rovnicu posledného systému číslom (−5) a pripočítajme k tretejrovnici, potom druhú rovnicu vynásobenú číslom 3 pripočítajme k poslednejrovnici. Dostaneme ekvivalentný systém

x1 + 3x2 + x3 = 5x2 − 2x3 = 6

0x2 + 11x3 = −220x2 − 11x3 = 22

Posledná rovnica je (−1) násobok predchádzajúcej rovnice, preto podľa vety jumôžeme vynechať. Takže ekvivalentný systém s pôvodným systémom bude mať

Page 59: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 59

tvarx1 + 3x2 + x3 = 5

x2 − 2x3 = 6+ 11x3 = −22

Z poslednej rovnice tohto systému, ktorá je rovnicou s jednou nenámou, dostanemex3 = −2. Dosadením do druhej rovnice dostaneme opäť rovnicu s jednouneznámou, riešenie ktorej je x2 = 2. Po dosadení do prvej rovnice za x3 = −2

a x2 = 2 znovu dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorej vyhovuje jediné číslox1 = 1. Teda posledný systém a s ním ekvivalentný pôvodný systém má jedinériešenie

(x1; x2; x3) = (1; 2;−2).

Príklad 2. Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy vyriešme systém lineárnychrovníc

x1 − 2x2 + 2x3 = −93x1 + 5x2 + 4x3 = 105x1 + 12x2 + 6x3 = 29

Riešenie: Napíšeme rozšírenú maticu systému 1 −2 2 −93 5 4 105 12 6 29

Prvú rovnicu systému vynásobenú číslom (−3) resp. (−5) pripočítajme k druhejresp. tretej rovnici, čo môžeme symbolicky zapísať v tvare

1 −2 2 −93 5 4 105 12 6 29

(−5)(−3)

1 −2 2 −90 11 −2 370 22 −4 74

Po vynechaní tretej rovnice, ktorá je 2-násobkom druhej rovnice dostanemeekvivalentný systém (

1 −2 2 −90 11 −2 37

).

Maticu A (a zároveň aj A) sme teda pomocou ekvivalentných úprav upravili natrojuholníkový stupňovitý tvar a ako vidíme

h(A) = h(A) = 2 < 3(počet neznámych).

Page 60: 157 Matematika zbierka

60 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC

Z Frobeniovej vety vyplýva, že daný systém lineárnych rovníc má nekonečne veľariešení a počet parametrov je 3− 2 = 1.

Poslednej matici odpovedá nasledovný systém lineárnych rovníc:

x1 − 2x2 + 2x3 = −911x2 − 2x3 = 37

Vidíme, že po postupnom vylúčení premenných posledná rovnica je rovnicous dvoma neznámymi. Preto jednu premennú volíme ako parameter, ktorý môženadobúdať ľubovoľnú reálnu hodnotu. Položme

x3 = t, t ∈ R

Z poslednej rovnice dostaneme

x2 =37 + 2x3

11=

37 + 2t

11

a po dosadení do prvej rovnice dostaneme

x1 = −9 + 2x2 − 2x3 = −9 + 237 + 2t

11− 2t = −25 + 18t

11

Riešením systému lineárnych rovníc je usporiadaná trojica čísel

(x1; x2; x3) =

(−25 + 18t

11;37 + 2t

11; t

); t ∈ R.

Príklad 3. Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy vyriešme systém lineárnychrovníc

x1 + x2 − x3 = −12x1 − x2 + x3 = 43x1 − 7x2 − 2x3 = −12x1 + 5x2 + x3 = 1

Riešenie: Napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou ekvivalentných úpravupravíme na trojuholníkový stupňovitý tvar (t.j. na tvar keď pod hlavnoudiagonálou sú nuly a na hlavnej diagonále sú čísla rôzne od nuly):

1 1 −1 −12 −1 1 43 −7 −2 −12 5 1 1

(−2)(−3)(−2)

1 1 −1 −10 −3 3 60 −10 1 20 3 3 3

: 3

: 3

Page 61: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 61

1 1 −1 −10 −1 1 20 −10 1 20 1 1 1

(−10)(1) ∼

1 1 −1 −10 −1 1 20 0 −9 −180 0 2 3

(29) ∼

1 1 −1 −10 −1 1 20 0 −9 −180 0 0 −1

Maticu A (a zároveň aj A) sme opäť upravili na trojuholníkový stupňovitý tvara ako vidíme h(A) 6= h(A). Z Frobeniovej vety vyplýva, že daný systém lineárnychrovníc nie je riešiteľný. (Posledná rovnica ekvivalentného systému

0x1 + 0x2 + 0x3 = −1

totiž nemá riešenie a preto ani celý posledný systém resp. s ním ekvivalentnýpôvodný systém nemá riešenie).

Príklad 4. Riešme systém lineárnych rovníc

3x1 + 2x2 = 125x1 + 4x2 + x3 = 27x1 + 2x2 + 5x3 = 33

pomocou inverznej matice.

Riešenie: Matica systému je regulárna, lebo jej determinant |A| = 6, pretoexistuje k nej inverzná matica, ktorú možno nájsť podľa vety o výpočte inverznejmatice (veta 6):

A−1 =1

6

18 −10 2−24 15 −3

6 −4 2

Potom máme x1

x2

x3

=1

6

18 −10 2−24 15 −3

6 −4 2

·

122733

=

235

Príklad 5. Riešme systém lineárnych rovníc

3x1 + x3 = 22x1 + 2x2 + 3x3 = 3x1 − x2 − x3 = −1

pomocou Cramerovho pravidla.

Page 62: 157 Matematika zbierka

62 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC

Riešenie:

D = |A| =

∣∣∣∣∣∣3 0 12 2 31 −1 −1

∣∣∣∣∣∣ = −1

D1 =

∣∣∣∣∣∣2 0 13 2 3

−1 −1 −1

∣∣∣∣∣∣ = 1

D2 =

∣∣∣∣∣∣3 2 12 3 31 −1 −1

∣∣∣∣∣∣ = 5

D3 =

∣∣∣∣∣∣3 0 22 2 31 −1 −1

∣∣∣∣∣∣ = −5

Na základe vety 3 daný systém má jediné riešenie

(x1; x2; x3) =

(1

−1;

5

−1;−5

−1

)= (−1;−5; 5).

Page 63: 157 Matematika zbierka

Úlohy 63

Úlohy1. Zistite, či vektor X je riešením systému lineárnych rovníc

a)2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 1

− 3x1 + x2 − x3 + 5x4 = 10x1 + x2 + x3 + x4 = 2

keď X = (1;−2; 0; 3)

b)

2x + 2y + z = 4x − z = 2x + y = 1

y + z = 5keď X = (4;−3; 2)

c)37x1 − x2 + 5x3 + 7x4 − 2x5 = 37

− 2x1 + x2 − 17x3 + 8x4 = −23x1 − 4x3 + 5x4 + x5 = 3

keď X = (0; 0; 0; 0; 0)

d)5x − 6y + z = 08x + 11y = 0

− x + 12z = 0keď X = (0; 0; 0)

2. Nájdite čísla p, r, s ∈ R tak, aby vektor (1; 2; 1; 3) bol riešením systémulineárnych rovníc

px1 + 4x2 + 2x3 − 3x4 = 52px1 + x2 + rx3 + 4x4 = 2

x1 − 3x2 − 2rx3 + sx4 = 20

3. Zistite, či množina M je množina riešení daného systému lineárnych rovníc

a)x − y − 3z = 5

3x − 2y + 4z = −84x − 3y + z = −3

,

M = {(−18− 10t;−23− 13t; t); t ∈ R}

b)x1 − 7x2 + 2x4 = 0

2x1 − 3x2 + x3 − 4x4 = 0,

M = {(2t; 0; 1; t); t ∈ R}

V úlohách 4 - 6 riešte systém lineárnych rovníc pomocou inverznej matice

4. a)x1 + x2 − x3 = 2

2x1 + x2 − x3 = 3x1 + x3 = 0

Page 64: 157 Matematika zbierka

64 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC

b)x1 + 2x2 + 2x3 = 0

2x1 + 2x2 − x3 = 1x1 − 2x2 + 2x3 = 2

c)x1 + x2 − 2x3 = 0

3x1 + 4x2 − 6x3 = 1x1 + 2x2 − x3 = 2

d)x1 − 2x2 − x3 = 0x1 − 2x3 = −5

2x1 − x2 − x3 = −3

5. a)x1 + 2x2 + 4x3 = 31

5x1 + x2 + 2x3 = 293x1 − x2 + x3 = 10

b)x1 + 2x2 + 3x3 = 14x1 + x2 + x3 = 6x1 + x2 = 3

c)x1 + 2x2 + x3 = 7

− x1 + x2 − x3 = −13x2 + 2x3 = 10

d)5x1 − 6x2 + 4x3 = 74x1 − 5x2 + 2x3 = 43x1 − 3x2 + 2x3 = 5

6. a)2x1 − x2 + 2x3 = 4

− x1 + 3x3 = 173x1 + x2 + x3 = 1

b)4x1 + 2x2 − 3x3 = 93x1 + 2x2 + x3 = 112x1 + x2 − x3 = 5

c)3x1 + x2 + x3 = −7x1 + 2x2 = −6

x2 + x3 = −1

d)x1 + 2x2 − x3 = −2

2x1 − 3x2 = −16− 3x1 + 5x2 + 4x3 = 29

V úlohách 7 - 9 riešte systém lineárnych rovníc pomocou Cramerovej vety

7. a)2x1 + 3x2 + 2x3 = 9x1 + 2x2 − 3x3 = 14

3x1 + 4x2 + x3 = 16

Page 65: 157 Matematika zbierka

Úlohy 65

b)3x1 + 4x2 = 11

5x2 + 6x3 = 28x1 + x3 = 4

c)2x1 + 3x2 + x3 = 4x1 + 2x2 + 2x3 = 6

5x1 + x2 + 4x3 = 21

d)x1 − x2 + 2x3 = −1

2x1 − 3x2 + x3 = 5x1 + 6x2 − 2x3 = 0

8. a)2x1 + 2x2 − 3x3 = −6x1 + x2 + x3 = 2

3x1 + x3 = 3

b)2x1 + 5x2 − 2x3 = 42x1 + x2 = 23x1 − x2 + 4x3 = −1

c)x1 + 2x2 + x3 = 2x1 + x2 − x3 = 0

3x1 + 2x2 − x3 = 1

d)2x1 + 3x2 + x3 = −7x1 − 2x2 + 2x3 = 5

3x1 + 2x2 − 4x3 = −11

9. a)x1 + 2x2 + 4x3 = 3x1 − x2 − 2x3 = 3x1 + 2x2 + 2x3 = 2

b)x1 + 2x2 + 2x3 = 5

2x1 + 7x2 + 6x3 = 123x2 + x3 = 1

c)x1 + x2 − x3 = −2x1 − 4x2 + 2x3 = −1x1 − x2 + x3 = 0

d)7x1 − 3x2 + x3 = 163x1 − 5x2 − 2x3 = −3x1 − 2x2 + x3 = 0

V úlohách 10 - 14 riešte systém lineárnych rovníc pomocou Gaussovej eliminačnejmetódy

10. a)

x1 − 3x2 − 4x3 − 2x4 = −32x1 − 2x2 − 2x3 − x4 = 02x1 − 3x2 − 3x3 − 2x4 = −13x1 − 4x2 − 3x3 − 2x4 = 2

Page 66: 157 Matematika zbierka

66 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC

b)

x1 + x3 = 03x1 + 5x2 + 7x3 = 0

− x2 + 5x3 = 05x1 + 2x2 + x3 = 0

c)

7x1 − x2 = 62x1 + x2 + x3 = 5x1 − x3 = −1

3x1 + x2 = 4

d)3x1 + x2 − x3 = 15x1 + 5x2 − 3x3 = 0x1 − x2 + x3 = 2

11. a)

2x1 + x2 − x3 + x4 = 22x1 − x2 + 2x3 = 23x1 + x3 − x4 = 22x1 + x2 − x3 = 1

b)x1 + 2x2 − 3x3 = 3

3x1 − 4x2 + 5x3 = 32x1 + 5x2 − 7x3 = 7

c)3x1 + x2 + 2x3 = 7x1 + 2x2 − x3 = −1

2x2 + x3 = 2

d)3x1 + 2x2 + x3 = 34x1 + 2x2 − 3x3 = 72x1 + x2 − x3 = 5

12. a)

x1 + x2 − 2x3 = −12x1 − x2 + x3 = 43x1 − 7x2 − 2x3 = −1

− 2x1 + 5x2 + x3 = 1

b)x1 + 2x3 = 3

2x1 + x2 + x3 = 1x1 + 2x3 = 1

c)3x1 − 5x2 + 2x3 + 4x4 = 27x1 − 4x2 + x3 + 3x4 = 55x1 + 7x2 − 4x3 − 6x4 = 3

d)

x1 + x2 + 3x3 = 12x1 + x2 − 2x3 = 1x1 + 2x2 − 3x3 = 1x1 + x2 + x3 = 3

Page 67: 157 Matematika zbierka

Úlohy 67

13. a)x1 + 2x2 + x3 − x4 = 0

3x1 + 7x2 − 2x3 − 2x4 = 02x1 + 5x2 − x3 − x4 = 0

b)

2x1 − x2 + x3 − 2x4 = −2− 3x1 − 2x2 + 2x3 − 2x4 = −18

x1 + x2 − x3 + 2x4 = 8− 2x1 − x2 + x3 = −10

c)

7x1 + 4x2 + 3x3 + 5x4 = 03x1 + 2x2 + 5x3 − x4 = 0x1 + x2 + 6x3 − 4x4 = 0

9x1 + 7x2 + 28x3 − 14x4 = 0

d)

− 2x1 + 2x2 − 2x3 − 6x4 = −8x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 = 1− 5x2 − 5x3 = 5

x1 + 3x2 + 5x3 + 3x4 = 0

14. a)2x1 + 2x2 + 6x3 = 04x1 + 4x2 + 12x3 = 0x1 + x2 + 3x3 = 0

b)2x1 + x2 + x3 = 03x1 − x2 − 6x3 = 0x1 − x3 = 0

c)2x1 − x2 + x3 − 5x4 = 04x1 − 2x2 + 7x3 + 5x4 = 02x1 − x2 + 5x3 + 7x4 = 0

d)

x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 0x1 + 3x2 − 3x4 = 0− 7x2 + 3x3 + x4 = 0

x2 − x3 + x4 = 0

V úlohách 15 - 17 riešte systém lineárnych rovníc

15. a)

x1 + 3x2 + 5x3 − 2x4 = 32x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 5x1 + 5x2 − 9x3 + 8x4 = 1

5x1 + x2 + 4x3 + 5x4 = 12

b)

2x1 − x2 − x3 + 3x4 = 12x1 − x2 + 2x3 − 12x4 = 104x1 − 3x2 − x3 + x4 = 56x1 − 3x2 − x3 − x4 = 9

Page 68: 157 Matematika zbierka

68 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC

c)

x1 + 5x2 − 4x3 + 4x4 = 62x1 + x2 + x3 − x4 = 3x1 − x2 + 2x3 − 2x4 = 0x1 + 2x2 − x3 + x4 = 3

d)

x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 42x1 + x2 − x3 + 2x4 = 22x1 − x2 + 3x3 − 3x4 = 05x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 6

16. a)2x1 − x2 − x3 = 43x1 + 4x2 − 2x3 = 113x1 − 2x2 + 4x3 = 11

b)x1 + x2 + 2x3 = −1

2x1 − x2 + 2x3 = −44x1 + x2 + 4x3 = −2

c)

x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 13x1 − x2 − x3 − 2x4 = −42x1 + 3x2 − x3 − x4 = −6x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = −4

d)

x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 62x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 83x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 42x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = −8

17. a)x1 − 2x2 + x3 = 0

3x1 − 5x2 − 2x3 = −37x1 − 3x2 + x3 = 16

b)

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 52x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 13x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 14x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = −5

c)

x2 − 3x3 + 4x4 = −5x1 − 2x3 + 3x4 = −4

3x1 + 2x2 − 5x4 = 124x1 + 3x2 − 5x3 = 5

d)

3x1 − 2x2 + 5x3 − 6x4 = 07x1 + x2 − 3x3 − 4x4 = 16x1 + 5x2 − 13x3 + 3x4 = 12x1 − 13x2 + 40x3 − 16x4 = 13

18. Zistite, či nasledujúce systémy lineárnych rovníc majú riešenie, a ak áno,nájdite ho

Page 69: 157 Matematika zbierka

Úlohy 69

a)

2x1 + x2 − x3 + x4 = 13x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 25x1 + x2 − x3 + 2x4 = −12x1 − x2 + x3 − 3x4 = 4

b)

2x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 4x2 − x3 + x4 = −3

x1 + 3x2 − 3x4 = 1− 7x2 + 3x3 + x4 = −3

c)

x1 + x2 − 3x3 = −12x1 + x2 − 2x3 = 1x1 + x2 + x3 = 3x1 + 2x2 − 3x3 = 1

d)

2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 1x1 − x2 + x3 + x4 − 2x5 = 0

3x1 + 3x2 − 3x3 − 3x4 + 4x5 = 24x1 + 5x2 − 5x3 − 5x4 + 7x5 = 3

19. Zistite, či nasledujúce homogénne systémy lineárnych rovníc majú okremnulového riešenia aj nenulové, a ak áno, nájdite ho

a)

x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0x1 + 3x2 + 6x3 + 10x4 = 0x1 + 4x2 + 10x3 + 20x4 = 0

b)

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0x1 + 5x2 + x3 + 2x4 = 0x1 + 5x2 + 5x3 + 2x4 = 0

c)

x1 − 2x2 + x3 + x4 − x5 = 02x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 0x1 + 7x2 − 5x3 − 5x4 + 5x5 = 0

3x1 − x2 − 2x3 + x4 − x5 = 0

d)

x1 − 2x2 + x3 + x4 + x5 = 02x1 + x2 − x3 + 2x4 − 3x5 = 03x1 − 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 02x1 − 5x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 0

20. Použitím Frobeniovej vety rozhodnite či systémy lineárnych rovníc majúriešenie alebo nie.

a)− 2x1 + x2 = −1

x1 + 2x2 = 1− 6x1 + 3x2 = 3

Page 70: 157 Matematika zbierka

70 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC

b)

x1 + 2x2 − x3 = 23x1 − x2 + 2x3 = 7x1 − x3 = −2

2x1 + x2 + x3 = 7

c)4x1 + x2 − x3 − x4 = 32x1 − 11x2 + 5x3 + 9x4 = 22x1 + 12x2 − 6x3 − 10x4 = 1

d)

x1 + x2 + x3 + x4 = 12x1 + 2x2 + 2x3 = 0x1 + x2 + 5x3 − x4 + 6x5 = 1x1 + x2 − 3x3 + x4 − 6x5 = −1

V úlohách 21 - 23 riešte systém lineárnych rovníc

21. a)

4x − 3y − z − 1 = 0− x + 2y + 4z − 6 = 0

2x − y + z − 3 = 05x − 4y − 2z = 0

b)

x + y − z − 5 = 02x + y − 4z − 11 = 0

y + 2z + 1 = 0− 2x − 2y + 2z + 10 = 0

c)

2x − y + 4z = 6− 3x + 4y − z = 1

x − 2y − z = −34x − 5y + 2z = 0

d)

x + y − z = 5x + 2z = −1

− 2x − 2y + 2z = −10− x − 2y + 4z = −11

22. a)

x + y − z = 52x + y − 4z = 11

y + 2z = −1− 2x − 2y + 2z = −10

b)

4x − 3y − z = 1− x + 2y + 4z = 6

2x − y + z = 35x − 4y − 2z = 0

c)

2y + z = −12x − 4y + z = 11

− x + y − z = −5− 2x + 2y − 2z = −10

Page 71: 157 Matematika zbierka

Úlohy 71

d)

5x − 2y − 4z = 02x + y − z = 34x − y − 3z = 1x − 4y − 2z = −6

23. a)3x + 2y + z + 2w = 172x + y = 8x + y − w = 5

b)6x − 9y + 7z + 10w = 32x − 3y − 3z − 4w = 12x − 3y + 13z + 18w = 1

Page 72: 157 Matematika zbierka

72 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC

Výsledky

1. a) áno b) nie c) nie d) áno

2. p = 4, r = −20, s = −5

3. a) áno b) nie

4. a) (1; 0;−1)

b)(1;−1

2; 0) c) (1; 1; 1)

d)(−7

5;−8

5; 9

5

)5. a) (3; 4; 5) b) (1; 2; 3) c) (1; 2; 2) d) (3; 2; 1)

6. a) (−2; 2; 5) b) (2; 2; 1) c) (−2;−2; 1) d) (−5; 2; 1)

7. a) (2; 3;−2) b) (1; 2; 3) c) (2;−1; 3) d) (2;−1;−2)

8. a)(

13;−1

3; 2)

b) (1; 0;−1) c)(

14; 1

2; 3

4

)d) (−1;−2; 1)

9. a)(3;−1; 1

2

)b) (3; 0; 1) c) (−1; 1; 2) d) (3; 2; 1)

10. a) (0;−3; 2; 2)

b) (0; 0; 0)

c) (1; 1; 2)

d)(

34; 0; 5

4

)11. a) (0; 4; 3; 1)

b) (2; 2; 1)

c) (1; 0; 2)

d) (16;−24; 3)

12. a) systém je neriešiteľný

b) systém je neriešiteľný

c) systém je neriešiteľný

d) systém je neriešiteľný

13. a) (3t;−t; 0; t) , t ∈ R

b) (2 + 2t; 6 + u− 4t; u; t) , u, t ∈ R

c) (7t− 7u;−13t + 11u; t; u) , u, t ∈ R

d) (3− 2t− 3u;−1− t; t; u) , u, t ∈ R

14. a) (−s− 3t; s; t) , s, t ∈ R

b) (s;−3s; s) , s ∈ R

c) (s; 2s− 8t;−3t; t) , s, t ∈ R

d) (0; t; 2t; t) , t ∈ R

Page 73: 157 Matematika zbierka

Výsledky 73

15. a)(

167− 11t; 0; 1

7+ 5t; 7t

), u, t ∈ R

b) (2 + t; 0; 3 + 5t; t) , t ∈ R

c) (1− t + u; 1 + t− u; t; u) , u, t ∈ R

d) (−1− t; 7 + t; 3 + 3t; 2t) , t ∈ R

16. a) (3; 1; 1)

b) (1; 2;−2)

c) (−1;−1; 0; 1)

d) (1; 2;−1;−2)

17. a) (3; 2; 1)

b) (−2; 2;−3; 3)

c) (1; 2; 1;−1)

d) (1; 1; 1; 1)

18. a) systém je neriešiteľný

b) (8; 3 + t; 6 + 2t; t) , t ∈ R

c) systém je neriešiteľný

d)(

13(1 + t); 1

3(1 + 3u + 3v − 5t); u; v; t

), u, v, t ∈ R

19. a) iba nulové riešenie

b) iba nulové riešenie

c) (0; 0; 0; t; t) , t ∈ R

d)(

78t; 5

8t;−5

8t; 0; t

), t ∈ R

20. a) systém je neriešiteľný

b) systém má riešenie: (x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3)

c) systém má riešenie:(x1 = 6 s+2 t+35

46, x2 = 11 s+19 t−1

23, x3 = s, x4 = t, t, s ∈ R

)d) systém má riešenie:(

x1 = −2 s+3 t−12

, x2 = s, x3 = −3 t−12

, x4 = 1, x5 = t, t, s ∈ R)

21. a) (4− 2t; 5− 3t; t) , t ∈ R

b) (6 + 3t;−1− 2t; t) , t ∈ R

c) (5− 3t; 4− 2t; t) , t ∈ R

d) (−1− 2t; 6 + 3t; t) , t ∈ R

22. a) (6 + 3t;−1− 2t; t) , t ∈ R

b) (4− 2t; 5− 3t; t) , t ∈ R

Page 74: 157 Matematika zbierka

74 C SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNíC

c) (6 + 3t; t;−1− 2t) , t ∈ R

d)(

13(2 + 2t); 1

3(5− t); t

), t ∈ R

23. a) (3− t; 2 + 2t; 4− 3t; t) , t ∈ R

b)(

12

+ 32u− 1

16t; u;−11

8t; t), u, t ∈ R

Page 75: 157 Matematika zbierka

D VEKTORY 75

D VEKTORY

Aritmetický vektorDefinícia 1. Množinu Vn všetkých usporiadaných n-tíc reálnych čísel nazvemen-rozmerným aritmetickým vektorovým priestorom, ak sú na nejdefinované operácie rovnosť n-tíc, sčítanie n-tíc a násobenie n-tice reálnym číslomvzťahmi:

(a1, a2, . . . , an) = (b1, b2, . . . , bn) ⇔ a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn (D.1)

(a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn) (D.2)

k · (a1, a2, . . . , an) = (k · a1, k · a2, . . . , k · an) (D.3)

pre n ≥ 1, k ∈ R.Prvky aritmetického vektorového priestoru Vn budeme nazývať n-rozmernéaritmetické vektory. Budeme ich označovať a, b, c, . . . Skrátene budeme hovoriťo vektoroch. Ak a = (a1, a2, . . . , an) je vektor, tak čísla a1, a2, . . . , an nazývamesúradnicami vektora a. Vektor, ktorého všetky súradnice sú nuly, nazývamenulový vektor. Označujeme ho 0 = (0, 0, . . . ). Zo vzťahu D.2 vyplýva, žea + 0 = a, pre ∀a ∈ Vn.

Veta 1. Pre sčítanie aritmetických vektorov a ich násobenie číslom platia tietovzťahy:

1. a + b = b + a (komutatívny zákon pre sčitovanie vektorov)

2. (a + b) + c = a + (b + c) (asociatívny zákon pre sčitovanie vektorov)

3. Ku každým dvom vektorom a, b existuje práve jeden vektor x, tak že a + x = b.

4. 1 · a = a

5. k · (l · a) = (k · l) · a

6. (k + l) · a = k · a + l · a

7. k · (a + b) = k · a + k · b

Poznámka 1. Ak vo vzťahu 3 položíme b = 0, potom vzťah a + x = 0 hovorí oexistencii tzv. opačného vektora k vektoru a. Označujeme ho x = −a.

Page 76: 157 Matematika zbierka

76 D VEKTORY

Definícia 2. Hovoríme, že vektor a je lineárnou kombináciou (skrátene LK)vektorov a1, a2, . . . ,ak, ak existujú také reálne čísla c1, c2, . . . , ck, že platí

a = c1 · a1 + c2 · a2 + · · ·+ ck · ak. (D.4)

Čísla c1, c2, . . . , ck sú koeficienty lineárnej kombinácie.

Definícia 3. Hovoríme, že vektory a1, a2, . . . ,ak sú lineárne závislé (LZ), akexistujú také reálne čísla c1, c2, . . . , ck, z ktorých aspoň jedno je rôzne od nuly tak,že platí

c1a1 + c2a2 + · · ·+ ckak = 0. (D.5)

Definícia 4. Hovoríme, že vektory a1, a2, . . . ,ak sú lineárne nezávislé (LN),ak

c1a1 + c2a2 + · · ·+ ckak = 0 práve vtedy, keď c1 = c2 = . . . ck = 0. (D.6)

Veta 2. Ak medzi vektormi a1, a2, . . . ,ak je r vektorov (r ≤ k) lineárne závislých,tak aj vektory a1, a2, . . . ,ak sú lineárne závislé.

Veta 3. Ak sa medzi vektormi a1, a2, . . . ,ak nachádza nulový vektor, tak sú tietovektory lineárne závislé.

Veta 4. Vektory a1, a2, . . . ,ak sú lineárne závislé práve vtedy, ak niektorý z nichje lineárnou kombináciou ostatných.

Definícia 5. Každá sústava n lineárne nezávislých vektorov vektorového priestoruVn sa nazýva báza vektorového priestoru.

Definícia 6. Podmnožina vektorového priestoru Vn, ktorá je sama vektorovýmpriestorom so zadefinovaným súčtom vektorov, súčinom skalára a vektora arovnosťou dvoch vektorov sa nazýva podpriestorom priestoru Vn.

Definícia 7. Podpriestor vektorového priestoru Vn sa nazýva k-dimenzionálny,ak maximálny počet lineárne nezávislých vektorov tohto podpriestoru je k a každásústava (k + 1) vektorov je už lineárne závislá.

Poznámka 2. Vektory e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . ,

Page 77: 157 Matematika zbierka

Aritmetický vektor 77

en = (0, 0, 0, . . . , 1) tvoria takzvanú jednotkovú bázu n-rozmerného vektorovéhopriestoru.

Poznámka 3. Každý vektor a ∈ Vn sa dá jednoznačným spôsobom vyjadriť akolineárna kombinácia jednotkovej bázy; t.j.

a = a1 · e1 + a2 · e2 + · · ·+ an · en, (D.7)

kde (a1, a2, . . . , an) sú súradnice vektora a v danej jednotkovej báze.

Poznámka 4. Ak zmeníme bázu vektorového priestoru, zmenia sa aj súradnicevektorov. Súradnice vektorov v novej báze počítame riešením sústavy lineárnychrovníc.

Veta 5. Nech A je matica vytvorená zo sústavy vektorov a1, a2, . . . ,ak ∈ Vn tak,že súradnice vektora ai vytvárajú i-ty riadok (stĺpec) matice A, i = 1, 2, . . . k.Potom platí:

1. Ak h(A) = k = n, vektory a1, a2, . . . ,ak sú lineárne nezávislé, sú bázoupriestoru Vn, generujú celý vektorový priestor Vn.

2. Ak h(A) = k < n, vektory a1, a2, . . . ,ak sú lineárne nezávislé a generujúpodpriestor vektorového priestoru Vn dimenzie k.

3. Ak h(A) < k, vektory a1, a2, . . . ,ak sú lineárne závislé.

Veta 6. Nech |A| je determinant vytvorený zo sústavy vektorova1, a2, . . . ,an ∈ Vn tak, že súradnice vektora ai vytvárajú i-ty riadok (stĺpec)determinantu |A|,i = 1, 2, . . . n. Potom platí:

1. |A| = 0 práve vtedy, keď vektory a1, a2, . . . ,an sú lineárne závislé

2. |A| 6= 0 práve vtedy, keď vektory a1, a2, . . . ,an sú lineárne nezávislé

Page 78: 157 Matematika zbierka

78 D VEKTORY

Riešené príkladyPríklad 1. Dané sú vektory a = (1;−1; 0), b = (2;−3;−1) a c = (−1; 2; 4).Vypočítajte:

a) a + b + c

b) −3b

c) 4a + 3b + c

Riešenie: Využijeme základné vlastnosti operácií definovaných na aritmetickýchvektoroch:

a) a + b + c = (a + b) + c = [(1;−1; 0) + (2;−3;−1)] + (−1; 2; 4) =

(3;−4;−1) + (−1; 2; 4) = (2;−2; 3)

b) −3b = −3 · (2;−3;−1) = (−3 · 2;−3 · (−3);−3 · (−1)) = (−6; 9; 3)

c) 4a + 3b + c = 4 · (1;−1; 0) + 3 · (2;−3;−1) + (−1; 2; 4) =

(4;−4; 0) + (6;−9;−3) + (−1; 2; 4) = (9;−11; 1)

Príklad 2. Nájdite reálne čísla x, y, z tak, aby platila rovnosť vektorov(x− y; 3− z; 6− x + z) = (z − 1; 4; y).

Riešenie: Dva vektory sa rovnajú, ak sa rovnajú ich súradnice. Dostaneme

systém rovníc:x− y = z − 13− z = 4

6− x + z = y⇒ z = −1

x− y = −2− x− y = 1− 6

⇒ x− 72

= −2x = 3

2

−2y = −7y = 7

2

Riešením sú čísla x = 32, y = 7

2a z = −1. Po dosadení dostaneme na ľavej aj pravej

strane vektor (−2; 4; 72).

Príklad 3. Nájdite vektor x tak, aby platila rovnica3(x + a) + 4(2b− x)− (2x− 3c) = 0, ak a = (1; 2; 3; 4), b = (0;−3; 6;−9) ac = (1;−1; 1;−1).

Riešenie: Využijeme vlastnosti operácií definovaných na aritmetických vektoroch.Rovnicu upravíme na tvar:

Page 79: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 79

3x + 3a + 8b− 4x− 2x + 3c = 03a + 8b− 3x + 3c = 0

3a + 8b + 3c = 3xNech x má súradnice x = (x1; x2; x3; x4). Dosadením súradníc vektorov x, a, b, c

do rovnice dostaneme:3(1; 2; 3; 4) + 8(0;−3; 6;−9) + 3(1;−1; 1;−1) = 3(x1; x2; x3; x4)

(6;−21; 60;−63) = (3x1; 3x2; 3x3; 3x4)

Z rovnosti dvoch vektorov dostaneme

6 = 3x1

−21 = 3x2

60 = 3x3

−63 = 3x4

x1 = 2, x2 = −7, x3 = 20, x4 = −21 a teda vektor x = (2;−7; 20;−21).

Príklad 4. Zistite, či je vektor x lineárnou kombináciou vektorov a1, a2, a3, a akáno, nájdite koeficienty lineárnej kombinácie:

a) x = (−3; 2; 1), a1 = e1 = (1; 0; 0), a2 = e2 = (0; 1; 0), a3 = e3 = (0; 0; 1)

b) x = (0; 1; 1; 0), a1 = (0; 1; 0; 1), a2 = (1; 0; 1; 0), a3 = (1; 0; 0; 1)

Riešenie: Vektor x bude lineárnou kombináciou vektorov a1, a2, a3, ak budúexistovať také čísla c1, c2, c3, že x = c1a1 + c2a2 + c3a3.

a) Vektory e1, e2, e3 sú bázou, preto sa vekor x dá napísať ako ich lineárnakombinácia:(−3; 2; 1) = c1(1; 0; 0) + c2(0; 1; 0) + c3(0; 0; 1)(−3; 2; 1) = (c1; 0; 0) + (0; c2; 0) + (0; 0; c3)(−3; 2; 1) = (c1; c2; c3)

⇒−3 = c1

2 = c2

1 = c3

Vektor x = −3 · e1 + 2 · e2 + 1 · e3. Ukázali sme, že hľadané koeficienty súsúradnicami vektora.

b) Hľadáme c1, c2, c3 ∈ R, aby(0; 1; 1; 0) = c1(0; 1; 0; 1) + c2(1; 0; 1; 0) + c3(1; 0; 0; 1)(0; 1; 1; 0) = (0; c1; 0; c1) + (c2; 0; c2; 0) + (c3; 0; 0; c3)(0; 1; 1; 0) = (c2 + c3; c1; c2; c1 + c3)

Dostaneme systém štyroch rovníc s tromi neznámymi:

0 = c2 + c3

1 = c1

1 = c2

0 = c1 + c3

⇒c1 = 1c2 = 1c3 = −1

Page 80: 157 Matematika zbierka

80 D VEKTORY

Vektor x sa dá napísať ako lineárna kombinácia vektorov a1, a2, a3, konkrétnex = a1 + a2 − a3.

Príklad 5. Zistite, či sú vektory a = (0;−1;−1; 1), b = (2;−1;−5;−3),c = (1; 2; 0;−4) a d = (3; 1;−5;−7) lineárne závislé alebo lineárne nezávisléa zistite dimenziu podpriestoru, ktorý generujú.

Riešenie: Máme štyri vektory zo 4-rozmerného vektorového priestoru. Vzhľadomk tomu, že máme okrem lineárnej závislosti zistiť aj dimenziu podpriestoru, ktorýgenerujú, t.j. určiť maximálny počet lineárne nazávislých vektorov medzi nimi,použijeme vetu 5. Maticu A vytvoríme tak, že jej riadky sú súradnice vektorova, b, c a d. Na zistenie h(A) je výhodné do prvého riadku vložiť súradnice vektorac, do zvyšných troch riadkov súradnice ostatných vektorov a potom upraviť maticuekvivalentnými úpravami na trojuholníkový tvar.

A =

1 2 0 −42 −1 −5 −33 1 −5 −70 −1 −1 1

(−2) (−3)

1 2 0 −40 −5 −5 50 −5 −5 50 −1 −1 1

1 2 0 −40 −5 −5 50 −1 −1 1

(: 5) ∼

1 2 0 −40 −1 −1 10 −1 −1 1

Pre hodnosť matice A platí h(A) = 2, preto sú dané vektory lineárne závislé.Dimenzia vektorového podpriestoru, ktorý tieto štyri vektory vytvárajú je rovná 2.

Príklad 6. Zistite, či sú vektory a = (1; 4; 0; 3), b = (2;−1; 1; 5), c = (0; 4; 1; 4)

a d = (3; 5; 9; 2) lineárne závislé alebo lineárne nezávislé.

Riešenie: Máme štyri vektory zo 4-rozmerného vektorového priestoru. Privýpočte môžeme použiť vetu 5, ktorú sme použili v predchádzajúcom príklade, alemôžeme použiť aj vetu 6 a počítať determinant |A|, v ktorom riadky vytvárame zosúradníc vektorov a, b, c, d.

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 4 0 32 −1 1 50 4 1 43 5 9 2

∣∣∣∣∣∣∣∣(−2) (−3)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 4 0 30 −9 1 −10 4 1 40 −7 9 −7

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

Page 81: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 81

= 1 · (−1)1+1 ·

∣∣∣∣∣∣−9 1 −1

4 1 4−7 9 −7

∣∣∣∣∣∣ = −9 ·∣∣∣∣ 1 4

9 −7

∣∣∣∣ −1 ·∣∣∣∣ 4 4−7 −7

∣∣∣∣−1 ·

∣∣∣∣ 4 1−7 9

∣∣∣∣ = −9 · (−43)− 0− 43 = 8 · 43 6= 0.

Z toho vyplýva, že dané vektory sú lineárne nezávislé.

Príklad 7. Zistite, či vektory a = (1; 1; 2), b = (0; 2; 1), c = (1;−1; 3) tvoria bázuvektorového priestoru V3, a ak áno, vyjadrite súradnice vektora x = (−1; 5; 3)

v tejto báze.

Riešenie: Vektory a, b, c vytvárajú bázu priestoru V3 práve vtedy, ak sú lineárnenezávislé. Na overenie použijeme vetu 6:

|A| =

∣∣∣∣∣∣1 1 20 2 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣1 10 21 −1

= 6 + 1 + 0− (4− 1 + 0) = 4 6= 0.

|A| 6= 0 ⇒ vektory sú lineárne nezávislé.Máme tri lineárne nezávislé vektory v trojrozmernom priestore. Tieto generujúcelý priestor V3, sú jeho bázou a preto sa dá vektor x vyjadriť ako ich lineárnakombinácia. Koeficienty tejto lineárnej kombinácie sú hľadané súradnice x1, x2, x3

vektora x v báze a, b, c, pričom platí x = x1a + x2b + x3c. Pre koeficientyx1, x2, x3 platí

(−1; 5; 3) = x1(1; 1; 2) + x2(0; 2; 1) + x3(1;−1; 3).

Dostávame systém troch rovníc o troch neznámych:

x1 + x3 = −1x1 + 2x2 − x3 = 5

2x1 + x2 + 3x3 = 3

A =

1 0 11 2 −12 1 3

∣∣∣∣∣∣−1

53

(−1) (−2)∼

1 0 10 2 −20 1 1

∣∣∣∣∣∣−1

65

(: 2) ∼

1 0 10 1 −10 1 1

∣∣∣∣∣∣−1

35

(−1) ∼

1 0 10 1 −10 0 2

∣∣∣∣∣∣−1

32

2x3 = 2 ⇒ x3 = 1

x2 − x3 = 3 ⇒ x2 = 4x1 + x3 = -1 ⇒ x1 = -2

Súradnice vektora x v báze a, b, c sú x = (−2; 4; 1).

Page 82: 157 Matematika zbierka

82 D VEKTORY

Úlohy1. Pre aké čísla x, y, z platí rovnosť vektorov:

a) (3; 3− y; 5) = (7x− 4; 5; z3

+ 10)

b) (3; 2y − 3; 5; 2z) = (7x− 4; 1; 5; 3− z)

c) (1− x; 2z + 5; 3) = (2y − 3; 5; x + 1; 3)

d) (x + y; 2− z; 5; 4− 2x) = (3z; 1 + x; 5; 6)

2. Nájdite vektor x tak, aby platilo a + x = b, ak

a) a = (3; 2;−1), b = (3; 4; 5)

b) a = (5; 8;−9; 2), b = (4; 5; 1;−1)

3. Vypočítajte

a) a + 2b− c

b) a + 2(b− 3c)− 3(c− 5a),

ak a = (1; 2; 3), b = (−1; 3; 5), c = (3;−5; 1).

4. Vypočítajte vektor x z vektorovej rovnice

a) 3a + 4b− c + 5x = 0, ak a = (1; 0;−2), b = (−3; 2; 1), c = (6; 3;−2)

b) 2(a− x) + 3(b + x) = 4(c + x), ak a = (3; 2; 5; 0), b = (8;−1; 10; 2),c = (7; 3; 3; 3)

5. Zistite, či sa dá vektor x vyjadriť ako lineárna kombinácia vektorov a, b, c. Akáno, nájdite koeficienty tejto lineárnej kombinácie.

a) x = (12; 4;−3), a = (3; 2; 1), b = (7; 5; 0), c = (−2; 3; 4)

b) x = (18; 0; 20), a = (6; 3; 5), b = (1; 2;−7), c = (6; 12; 0)

c) x = (1; 1; 1; 1), a = (1; 0; 0;−1), b = (2; 1; 1; 0), c = (1; 2; 3; 4)

d) x = (9; 6; 7;−2), a = (1; 2; 3; 2), b = (2; 1; 1;−1), c = (8; 7; 9; 1)

6. Zistite, či sú vektory lineárne závislé alebo nezávislé

a) a = (1; 3; 5), b = (2; 4; 6)

b) a = (3; 2; 7), b = (1; 1; 1), c = (2; 0; 3)

c) a = (3; 2; 0), b = (1; 1; 1), c = (5; 4; 2)

Page 83: 157 Matematika zbierka

Úlohy 83

d) a = (1; 0; 0; 0), b = (2; 1; 0; 1), c = (3; 2; 1; 1)

e) a = (3; 0; 1; 0), b = (0; 3; 0; 1), c = (0; 1; 0; 3), d = (1; 0; 3; 0)

7. Nájdite číslo x, tak aby boli vektory a = (4; x; 2), b = (−2;−2;−1), c = (1; 2; 1)

lineárne závislé.

8. Nájdite dimenziu podpriestoru, ktorý vytvárajú dané vektory

a) a = (2; 3), b = (−1; 5), c = (7; 4)

b) a = (0; 1;−1), b = (2; 1; 0), c = (2; 3;−2)

c) a = (3; 1; 2), b = (2; 1; 0), c = (7; 1; 3)

d) a = (1; 0; 0; 0), b = (1; 2; 1; 0), c = (1; 3; 4; 5)

9. Zistite, či vektory a, b, c vytvárajú bázu, a ak áno, vypočítajte súradnicevektora x v tejto báze:

a) a = (1; 2; 1), b = (−1; 2; 4), c = (0; 3;−2), x = (1; 4; 0)

b) a = (1;−1; 1), b = (1; 2; 3), c = (0; 0; 1), x = (3; 3;−2)

10. Vypočítajte súradnice vektora x = (1; 2; 3; 4) v báze a, b, c, d, aka = (2; 1; 1; 1), b = (1; 1; 2; 0), c = (1; 2; 3; 0), d = (0; 1; 4;−1).

11. Rozhodnite, pre aký parameter p ∈ R sú dané vektory lineárne závislé a preaký sú lineárne nezávislé, ak

a) a = (3; 1; 2), b = (2; 1; 0), c = (7; p; 2)

b) a = (1; 0;−1; 0), b = (0; 1; 0;−1), c = (1; 0; 0;−1), d = (p;−1; 1; 0)

c) a = (1; 0; 0; 0), b = (1; 2; 1; 0), c = (1; 3; 4; 5), d = (p; 5; 5; 5)

12. Zistite, pre aký parameter p ∈ R dané vektory generujú celý priestor, v ktoromležia, ak

a) a = (1; 2; 0), b = (−3; p; p), c = (0;−1; 1)

b) a = (1; 0;−1), b = (2; 2p; 0), c = (−1; 3p; 4)

c) a = (1; 6;−2; 4), b = (7; 1; 3; 0), c = (p; 0; 1; 4), d = (2; 0;−1; 0)

13. Rozhodnite, či dané body ležia v jednej rovine

a) A = [3; 1; 2], B = [2;−1;−2], C = [0; 3; 5], D = [−3; 0; 2]

b) A = [1; 2;−1], B = [0; 1; 5], C = [−1; 2; 1], D = [2; 1; 3]

Page 84: 157 Matematika zbierka

84 D VEKTORY

c) A = [2; 0;−2], B = [1; 2;−1], C = [−2; 0; 2], D = [−1;−2; 1]

14. Určte hodnoty parametra p ∈ R tak, aby dané vektory vytvárali podpriestordimenzie 3, ak

a) a = (1; 3;−2), b = (3; 1; 2), c = (2; 1; 1), d = (6; 2; p)

b) a = (1; 2; 2), b = (−2; 5;−4), c = (1;−1; p), d = (2;−4; 5)

c) a = (1; 2; 1; 3), b = (2; 1; 1; 2), c = (1; 4; 2; 6), d = (−2; 1; 1; p)

d) a = (2; 0; p; 4), b = (0; 1; 0; 1), c = (0; 0; 1; 0), d = (−1; 3; 1;−2),

e = (−1; 2; 0;−3)

Page 85: 157 Matematika zbierka

Výsledky 85

Výsledky1. a) x = 1, y = −2, z = −15

b) x = 1, y = 2, z = 1

c) neexistujú; rôzny počet súradníc

d) x = −1, y = 7, z = 2

2. a) (0; 2; 6)

b) (−1;−3; 10;−3)

3. a) (−4; 13; 12)

b) (−13; 83; 49)

4. a) (3;−1; 0)

b) (23;−11

3; 28

3;−2)

5. a) x = a + b− c

b) x = 4a− c

c) x = −a + b

d) nekonečne veľa riešení, napríklad x = a + 4b

6. a) lineárne nezávislé

b) lineárne nezávislé

c) lineárne závislé

d) lineárne nezávislé

e) lineárne nezávislé

7. x = 4

8. a) 2

b) 2

c) 3

d) 3

9. a) áno, x = (0;−1; 2)B

b) áno, x = (1; 2;−9)B

10. x = (12;−28; 5; 8)B

Page 86: 157 Matematika zbierka

86 D VEKTORY

11. a) p = 3 ⇒ lineárne závislé; p 6= 3 ⇒ lineárne nezávislé

b) p = 0 ⇒ lineárne závislé; p 6= 0 ⇒ lineárne nezávislé

c) ∀p ∈ R sú lineárne závislé

12. a) p = −3

b) neexistuje také p ∈ R

c) p 6= −83

13. a) neležia

b) ležia

c) ležia

14. a) p 6= 4

b) ∀p ∈ R

c) p = 2

d) neexistuje také p ∈ R

Page 87: 157 Matematika zbierka

Geometrický vektor 87

Geometrický vektorDefinícia 8. Usporiadané dvojice bodov (A, B) a (C, D) z n-rozmerného priestorusa nazývajú ekvipolentné, ak úsečky AD a BC majú spoločný stred (obrázokD.1).

A

B

C

D

S

Obrázok D.1: K definícii 8

Definícia 9. Geometrický vektor je množina všetkých navzájomekvipolentných dvojíc bodov.

Poznámka 5. Geometrický vektor je množina obsahujúca nekonečne veľa prvkov.Dvojica (A, B) je jeho umiestnením. Značíme a = AB = B − A.

Poznámka 6. Ako model geometrického vektora slúži orientovaná úsečka, t.j.úsečka tvorená dvomi krajnými bodmi tak, že je dané, ktorý z nich je počiatočnýbod a ktorý koncový bod. Značíme

# »

AB. Geometrický vektor je charakterizovanýveľkosťou, smerom a orientáciou.

Definícia 10. Veľkosťou vektora AB budeme nazývať dĺžku orientovanejúsečky

# »

AB (t.j. vzdialenosť bodov A a B). Označujeme |a| = |AB|. Ak je veľkosťvektora rovná jednej, vektor sa nazýva jednotkový.

Ak a 6= 0, jednotkový vektor vektora a je vektor a0 =1

|a|· a. Ak je A = B,

potom | # »

AA| = 0. Vektor nulovej veľkosti nazývame nulový vektor. Nulovývektor nemá smer, ani orientáciu.

Page 88: 157 Matematika zbierka

88 D VEKTORY

Definícia 11. Budeme hovoriť, že vektory majú rovnaký smer, ak sa dajúumiestniť na jednu priamku alebo na rovnobežné priamky. Nazývame ich ajkolineárne vektory.

Poznámka 7. Vektory AB a BA majú rovnakú veľkosť a rovnaký smer, alepočiatočný bod vektora AB je koncovým bodom vektora BA a naopak. Hovoríme,že majú opačnú orientáciu a nazývame ich aj nesúhlasne rovnobežné. ZnačímeAB ↑↓ BA (obrázok D.2).

A

B

A

B

Obrázok D.2: K poznámke 7

Definícia 12. Tri nenulové vektory, ktoré ležia v jednej rovine alebov rovnobežných rovinách sa nazývajú komplanárne vektory.

Veta 7. Dva nenulové lineárne závislé vektory sú kolineárne. Tri nenulovélineárne závislé vektory sú komplanárne.

Veta 8. Každé tri vektory v rovine a každé štyri vektory v trojrozmernompriestore sú lineárne závislé.

Poznámka 8. Obidva modely vektorových priestorov - aritmetický ajgeometrický - majú rovnakú axiomatickú výstavbu. Všetky operácie a ichvlastnosti, ktoré sú uvedené v časti o aritmetických vektoroch, platia súčasne ajpre geometrické vektory. Aritmetické a geometrické vektorové priestory s rovnakoudimenziou sú izomorfné; t.j. tá istá fyzikálna veličina môže byť vyjadrená akoaritmetický aj ako geometrický vektor.

V ďalšom texte budeme uvažovať iba o vektoroch v 3-rozmernom priestore sozavedeným pravouhlým súradnicovým systémom. Jednotkové vektory ležiace na

Page 89: 157 Matematika zbierka

Geometrický vektor 89

súradnicových osiach a majúce počiatok v bode [0; 0; 0] označujemei = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0) a k = (0; 0; 1) a nazývame ich súradnicovými vektormi.Sú lineárne nezávislé, navzájom kolmé a tvoria bázu vektorového priestoru V3.

Poznámka 9. Ak body A = [a1; a2; a3] a B = [b1; b2; b3] určujú vektor a = AB,potom vektor a má súradnice a = (b1 − a1; b2 − a2; b3 − a3).

Poznámka 10. Veľkosť (absolútna hodnota, dĺžka) vektora a určenéhobodmi A = [a1; a2; a3] a B = [b1; b2; b3] je číslo|a| =

√(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2.

Definícia 13. Uhlom dvoch vektorov a = AB a b = BC nazývame dutý uhol�ABC. Označujeme ho �a, b.

Definícia 14. Skalárnym súčinom a · b vektorov a a b nazývame číslo (skalár),pre ktoré platí:

1. a · b = |a| · |b| · cos �a, b, ak a, b sú nenulové vektory

2. a · b = 0, ak aspoň jeden z vektorov a, b je nulový vektor

Veta 9. Skalárny súčin a · b dvoch vektorov sa rovná nule práve vtedy, ak a = 0

alebo b = 0 alebo �a, b = π2.

Vlastnosti:

1. a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3, ak a = (a1; a2; a3) a b = (b1; b2; b3)

2. cos �a, b =a · b|a| · |b|

=a1b1 + a2b2 + a3b3√

a21 + a2

2 + a23 ·√

b21 + b2

2 + b23

3. a · b = b · a

4. |a| =√

a · a

5. Pre jednotkové vektory i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1) platí:

i · i = j · j = k · k = 1

i · j = i · k = j · k = 0

�i, j = π2, �i, k = π

2, �j, k = π

2

Page 90: 157 Matematika zbierka

90 D VEKTORY

Definícia 15. Vektorovým súčinom a × b vektorov a a b nazývame vektor,pre ktorý platí:

1. ak a, b sú kolineárne, tak a× b = 0

2. ak a, b sú lineárne nezávislé, tak a× b = c, pričom

a) |c| = |a| · |b| · sin �a, b

b) c ⊥ a a c ⊥ b

c) vektory a, b, c v tomto poradí tvoria pravotočivý súradnicový systém(obrázok D.3)

b

c

a

0

Obrázok D.3: K definícii 15

Veta 10. Každý pravouhlý súradnicový systém, pre ktorý platí i× j = k, jepravotočivý.

Vlastnosti:

1. Ak a = (a1; a2; a3) a b = (b1; b2; b3), v pravotočivom súradnicovom systéme platí:

a× b =

∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣2. a× b = −b× a

3. k · (a× b) = k · a× b = a× k · b, k je číslo

4. Nech A, B, C,D sú vrcholy rovnobežníka ABCD a nech a = AB a b = AD.Potom plošný obsah rovnobežníka ABCD je P = |a× b|.

5. Nech A, B, C sú vrcholy trojuholníka ABC a nech a = AB a b = AC. Potomplošný obsah trojuholníka ABC je P = 1

2|a× b|.

Page 91: 157 Matematika zbierka

Geometrický vektor 91

6. Pre jednotkové vektory i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1) v pravouhlompravotočivom súradnicovom systéme platí:

(a) i× i = j × j = k × k = 0

(b) i× j = k, j × k = i, k × i = j

Definícia 16. Majme tri vektory a, b, c. Zmiešaným súčinom troch vektorovnazývame číslo [a; b; c]

def= (a× b) · c = a · (b× c).

Vlastnosti:

1. Ak a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3) a c = (c1; c2; c3), potom:

[a; b; c] =

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣2. Vektory a, b, c sú komplanárne práve vtedy, ak [a; b; c] = 0.

3. Ak a, b, c vytvárajú tri hrany rovnobežnostena vychádzajúce z jedného vrchola,objem tohto rovnobežnostena je V = |[a; b; c]| (obrázok D.4).

a

c b

A

C

B

0

Obrázok D.4: Rovnobežnosten

Page 92: 157 Matematika zbierka

92 D VEKTORY

4. Ak a, b, c sú tri hrany štvorbokého ihlana vychádzajúce z jedného vrchola,objem tohto ihlana je V = 1

3|[a; b; c]| (obrázok D.5).

a

cb

A

C

B

0

Obrázok D.5: Štvorboký ihlan

5. Ak a, b, c sú tri hrany štvorstena vychádzajúce z jedného vrchola, objem tohtoštvorstena je V = 1

6|[a; b; c]| (obrázok D.6).

a

b

c

A

C

B

0

Obrázok D.6: Štvorsten

Page 93: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 93

Riešené príkladyPríklad 1. Je daný vektor a = (−5;−2; 14). Vypočítajte |a| a a0.

Riešenie: Vektor a 6= 0.

Veľkosť vektora a =√

(−5)2 + (−2)2 + 142 =√

25 + 4 + 196 =√

225 = 15

Jednotkový vektor a0 =1

|a|· a ⇒

a0 =1

15(−5;−2, 14) =

(−5

15;−2

15;14

15

)=

(−1

3;− 2

15;14

15

)Príklad 2. Zistite, pre aké čísla α sú vektory a, b navzájom kolmé, aka = 2i− 5j + 3αk a b = αi + 2j + k.

Riešenie: Súradnice vektorov sú a = (2;−5; 3α), b = (α; 2; 1). Nenulové vektorysú navzájom kolmé, ak zvierajú uhol π

2a podľa vety 9 musí platiť a · b = 0.

a · b = (2;−5; 3α) · (α; 2; 1) = 2α− 10 + 3α = 5α− 10

a · b = 0 ⇔ 5α− 10 = 0 ⇔ α = 2

Kolmé budú vektory a = (2;−5; 6) a b = (2; 2; 1).

Príklad 3. Nájdite vnútorné uhly trojuholníka ABC, akA = [2;−4; 9], B = [−1;−4; 5] a C = [6;−4; 6].

Riešenie: a = AB = B − A = (−3; 0;−4), b = C − A = AC = (4; 0;−3)

a · b = −12 + 0 + 12 = 0 ⇒ �a, b = �α = 90◦

c = BC = C −B = (7; 0; 1)

cos �(a, c) =|a · c||a| · |c|

=| − 21 + 0− 4|√9 + 16 ·

√49 + 1

=25

5 ·√

50=

5√50

=

√2

2⇒

�β = 45◦

�γ = 45◦

Jedná sa o rovnoramenný pravouhlý trojuholník.

Príklad 4. Vektor x je kolmý na vektory a = (6; 3; 0) a b = (1; 7; 2). Určte jehosúradnice, ak x · c = 6, pričom c = (4;−4;−2).

Riešenie: Označme hľadaný vektor x = (x1; x2; x3). Z toho, že x ⊥ a a x ⊥ b aso zadania x · c = 6 dostaneme sústavu rovníc

x · a = 0x · b = 0x · c = 6

Page 94: 157 Matematika zbierka

94 D VEKTORY

Po rozpísaní skalárnych súčinov dostávame

6x1 + 3x2 = 0x1 + 7x2 + 2x3 = 0

4x1 − 4x2 − 2x3 = 6

Sčítaním druhej a tretej rovnice eliminujeme premennú x3 a dostaneme sústavu

6x1 + 3x2 = 05x1 + 3x2 = 6 / · (−1)

Teda x1 = −6, x2 = 12 a x3 = −39. Súradnice hľadaného vektora súx = (−6; 12;−39).

Príklad 5. Vypočítajte plošný obsah rovnobežníka, v ktorom sú bodyA = [0; 0; 2], B = [3; 0; 5], C = [1; 1; 0] za sebou idúcimi vrcholmi. Porovnajte ho splošným obsahom rovnobežníka s tými istými vrcholmi, v ktorom je však BC

uhlopriečkou.

Riešenie:

1. V prvom prípade rovnobežník vytvoríme z vektorov BA = A−B = (−3; 0;−3)

a BC = C −B = (−2; 1;−5). Plošný obsah rovnobežníka je podľa vlastnosti 4na strane 90 rovný P = |BA×BC|.

x y

z

A

B

C

D

BA×BC =

∣∣∣∣∣∣i j k−3 0 −3−2 1 −5

∣∣∣∣∣∣ = i(0 + 3)− j(15− 6) + k(−3 + 0) =

3i− 9j − 3k = (3;−9;−3). Determinant sme počítali rozvojom podľa prvéhoriadku. P = |(3;−9;−3)| =

√9 + 81 + 9 =

√99 = 3

√11.

2. V druhom prípade rovnobežník vytvoríme z vektorov AB = B − A = (3; 0; 3) aAC = C − A = (1; 1;−2). Plošný obsah rovnobežníka je rovnýP = |AB × AC|.

Page 95: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 95

x y

z

A

B

D

C

AB ×AC =

∣∣∣∣∣∣i j k3 0 31 1 −2

∣∣∣∣∣∣ = i(0− 3)− j(−6− 3) + k(3− 0) = −3i + 9j + 3k =

(−3; 9; 3).P = |(−3; 9; 3)| =

√9 + 81 + 9 =

√99 = 3

√11.

Plošné obsahy oboch rovnobežníkov sú rovnaké.

Príklad 6. Vypočítajte objem rovnobežnostena zostrojeného z vektorova = 3i + 4j, b = −3j + k, c = 2j + 5k.

Riešenie: Objem rovnobežnostena je podľa vlastnosti 3 na strane 91 rovnýV = |[a; b; c]|, pričom a = (3; 4; 0), b = (0;−3; 1), c = (0; 2; 5). Podľa definíciezmiešaného súčinu 16 platí

[a; b; c] =

∣∣∣∣∣∣3 4 00 −3 10 2 5

∣∣∣∣∣∣3 40 −30 2

= −45 + 0 + 0− 0− 6− 0 = −51.

Objem rovnobežnostena je V = |[a; b; c]| = | − 51| = 51.

a

b c

Príklad 7. Vypočítajte objem štvorstena s vrcholmiA = [2; 0; 0], B = [0; 3; 0], C = [0; 0; 6], D = [2; 3; 8]. Vypočítajte výšku na stenuABC.

Riešenie: Objem štvorstena je podľa vlastnosti 5 na strane 92 rovnýV = 1

6|[a; b; c]|.

Page 96: 157 Matematika zbierka

96 D VEKTORY

Vektory a, b, c umiestnime tak, aby počiatočným bodom bol bod A.

a = AB = B − A = [−2; 3; 0]b = AC = C − A = [−2; 0; 6]c = AD = D − A = [ 0; 3; 8]

[a; b; c] =

∣∣∣∣∣∣−2 3 0−2 0 6

0 3 8

∣∣∣∣∣∣−2 3−2 0

0 3= 0 + 0 + 0− 0 + 36 + 48 = 84.

Objem štvorstena je V = 16· 84 = 14.

Pre objem štvorstena však platí aj vzorec V = 13P · v, kde P je plošný obsah

podstavy a v je výška štvorstena. Ak za podstavu vezmeme stenu ABC, v jehľadanou výškou. Pre plošný obsah trojuholníka ABC platí vlastnosť 5 nastrane 90: P = 1

2|a× b|.

a× b =

∣∣∣∣∣∣i j k−2 3 0−2 0 6

∣∣∣∣∣∣ = i · 18− j · (−12) + k · 6 = (18; 12; 6).

|a× b| =√

182 + 122 + 62 = 6√

14.P = 1

2· 6 ·

√14 = 3 ·

√14.

Po dosadení do rovnice V = 13P · v dostávame 14 = 1

3· 3 ·

√14 · v, z čoho vyplýva,

že v =√

14. Výška na stranu ABC je v =√

14.

Príklad 8. Napíšte všeobecnú rovnicu roviny α určenej bodmiA = [3;−2; 0], B = [1; 5; 4] a C = [−2; 1; 1].

Riešenie: Najskôr ukážeme, že body A, B, C neležia na jednej priamke, napríkladpomocou vektorov a = AB a b = AC. Ak by boli kolineárne, musel by byť jeden znich násobkom druhého.

a = AB = B − A = (−2; 7; 4)b = AC = C − A = (−5; 3; 1)

Zo súradníc vidieť, že nie sú kolineárne a tak vektory a a b vytvárajú podpriestordimenzie 2, čiže rovinu. Nech X = [x; y; z] je ľubovoľný bod roviny α. VektorAX = X − A = (x− 3; y + 2; z) leží v rovine α. Podľa vety 8 (strana 88) sú každé3 vektory ležiace v jednej rovine lineárne závislé a podľa vety 6 (strana 77) je

determinant vytvorený z nich rovný nule:

∣∣∣∣∣∣x− 3 y + 2 z−2 7 4−5 3 1

∣∣∣∣∣∣ = 0. Rozvojom

determinantu podľa prvého riadku dostaneme rovnicu

(x− 3)(7− 12)− (y + 2)(−2 + 20) + z(−6 + 35) = 0−5(x− 3)− 18(y + 2) + 29z = 0 / · (−1)

5x + 18y − 29z + 21 = 0

Page 97: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 97

Všeobecná rovnica hľadanej roviny je 5x + 18y − 29z + 21 = 0.

Príklad 9. Napíšte všeobecnú rovnicu roviny α prechádzajúcej bodomA = [1; 2; 3] kolmo na vektor a = (−1; 1; 2).

Riešenie: Ak je rovina α kolmá na vektor a, potom je kolmý na vektor a každývektor ležiaci v rovine α. Nech X = [x; y; z] je ľubovoľný bod roviny α. VektorAX = X − A = (x− 1; y − 2; z − 3) leží v rovine α. Je kolmý na vektor a a podľavety 9 (strana 89) je ich skalárny súčin rovný nule:

(X − A) · a = 0(x− 1; y − 2; z − 3) · (−1; 1; 2) = 0

−x + 1 + y − 2 + 2z − 6 = 0

Všeobecná rovnica hľadanej roviny je −x + y + 2z − 7 = 0.

Page 98: 157 Matematika zbierka

98 D VEKTORY

Úlohy1. Nájdite súradnice vektora a = AB, ak

a) A = [−3; 2; 5], B = [1; 2; 3]

b) A = [2; 0; 0], B = [−3; 5; 1]

2. Nájdite súradnice bodu B, ak AB = a = (0;−4; 5) a A = [7;−8; 0]

3. Zistite, či sú vektory a a b navzájom kolmé alebo či sú kolineárne

a) a = (5; 3;−2), b = (10; 6;−4)

b) a = (3; 2;−1), b = (0; 5;−4)

4. Nájdite taký vektor a = (3; x;−4), aby vektory a a b boli navzájom kolmé, ak

a) b = (−3; 4; 2)

b) b = (1; 0; 0)

5. Nájdite vnútorné uhly trojuholníkov, ktorých vrcholy sú

a) A = [6; 0; 2], B = [8;−1; 4], C = [4;−4; 6]

b) A = [4; 0; 6], B = [6;−3; 12], C = [10; 2; 3]

c) A = [0; 3; 0], B = [0; 3; 2], C = [0; 5; 0]

6. Zistite, či je štvoruholník s vrcholmi A = [5; 2; 6], B = [6; 4; 4], C = [4; 3; 2] aD = [3; 1; 4] štvorec.

7. Dané sú vektory a = (2;−1; 3), b = (1;−2; 3) a c = (3; 2;−4). Nájdite vektor x,pre ktorý platí: x · a = 0, x · b = 0, x · c = −10

8. Dané sú vektory a = (1; 2; 3), b = (3;−1; 2) a c = (−2; 1; 3)

a) nájdite vektor x, kolmý na vektory a a b, pre ktorý platí x · c = 4

b) vypočítajte veľkosť |x|

c) aký uhol zvierajú vektory a a b?

9. Nájdite vektorový súčin a× b, ak a = AB, b = CD pričom A = [2; 2;−1],B = [2; 1; 0], C = [−1; 2; 2] a D = [2; 1; 3].

10. Dané sú vektory a = (3;−2; 1) a b = (2; 4;−2). Vypočítajte

a) jednotkový vektor c kolmý na vektory a aj b

Page 99: 157 Matematika zbierka

Úlohy 99

b) sínus uhla vektorov a, b

11. Vypočítajte vektor c = a× b, ak

a) a = 2i, b = 2k

b) a = i + j, b = i− j

c) a = 2i + 3j, b = 3j + 2k

12. Dané sú vektory a = (−2;−4; 1) a b = (0;−3;−8). Vypočítajte

a) (a× b)× a

b) (b× a)× b

a výsledky porovnajte.

13. Dané sú vektory a = (2; 7; 4), b = (3; 4; 5), c = (6; 0; 3). Vypočítajte

a) (a× b)× c

b) a× (b× c)

c) (a× b) · c

d) a · (b× c)

14. Dané sú vektory a = (3; 2; 1) a b = (5; 0; 4). Vypočítajte

a) (a× b)

b) |a× b|

c) (a− b)× (a + b)

d) (a× b) + a

e) (b× a)× b

15. Vypočítajte plošný obsah trojuholníka ABC, ak

a) A = [3; 3; 0], B = [5; 1;−3], C = [5; 3;−1]

b) A = [7; 2; 6], B = [4; 5; 6], C = [3; 1;−4]

16. Vypočítajte plošný obsah trojuholníka ABC, ak A = [−1; 0; 1], B = [0; 2;−3],C = [4; 4; 1]. Aký plošný obsah má rovnobežník, v ktorom sú body A, B, C zasebou idúcimi vrcholmi?

Page 100: 157 Matematika zbierka

100 D VEKTORY

17. Vypočítajte objem štvorstena ABCD, ak

a) A = [2; 1; 2], B = [6;−4; 2], C = [5; 3;−1], D = [0; 0; 0]

b) A = [1; 1; 3], B = [4; 7; 6], C = [2; 4; 1], D = [3; 3; 5]

18. Štvorsten má vrcholy A = [3; 4; 0], B = [5; 2;−3], C = [7; 4; 6] a D = [−4;−3; 7].Vypočítajte dĺžku výšky spustenej z vrchola D.

19. Vypočítajte objem rovnobežnostena, ktorého steny sú určené vektormiAB, AC, AD ak A = [3; 1; 6], B = [4; 0; 8], C = [1; 5; 7] a D = [0; 8; 22].

20. Vypočítajte objem štvorbokého ihlana a veľkosť telesovej výšky, ak podstava jerovnobežník so za sebou idúcimi vrcholmi A = [0; 0; 2], B = [3; 0; 5], C = [1; 1; 0]

a vrchol ihlana je V = [4; 1; 2].

21. Vypočítajte plošný obsah rovnobežníka zostrojeného z vektorov a, b, ak

a) a = 2i + 3j, b = 3j + 2k

b) a = AB, b = AC, A = [1; 1; 0], B = [2; 0; 3], C = [3; 1; 2]

22. Vypočítajte plošný obsah rovnobežníka, ak jeho vrcholy sú

a) A = [−1;−2; 8], B = [0; 0; 0], C = [6; 2; 0]

b) A = [2;−2; 2], B = [5;−4;−4], C = [3; 4; 2]

c) A = [6; 0; 2], B = [8;−1; 4], C = [4;−4; 0]

23. Daný je štvorsten ABCD. Vypočítajte jeho objem a vzdialenosť bodu A odsteny BCD, ak A = [1;−5; 4], B = [0; 3; 1], C = [−2;−4; 3] a D = [−4; 4;−2].

24. Napíšte rovnice rovín, prechádzajúce bodom A kolmo na vektor a, ak

a) A = [−1; 3; 2], a = (−1; 1; 2)

b) A = [3; 0; 2], a = (−1; 2; 0)

c) A = [4; 2; 1], a = (−1; 0; 1)

d) A = [4;−2; 3], a = (13; 5; 11)

25. Napíšte všeobecné rovnice rovín určených bodmi A, B, C, ak

a) A = [0; 1; 7], B = [4; 0;−3], C = [2;−3; 0]

b) A = [4; 4; 4], B = [−1; 10;−4], C = [2;−2; 5]

c) A = [6;−3; 3], B = [7;−3; 0], C = [5;−2; 3]

Page 101: 157 Matematika zbierka

Úlohy 101

d) A = [1; 1; 1], B = [1; 2; 3], C = [4; 5; 6]

26. Napíšte rovnice rovín, prechádzajúce bodom A kolmo na vektor AB, ak

a) A = [1; 2; 3], B = [0; 1;−8]

b) A = [−1; 0;−1], B = [1; 4; 5]

c) A = [3; 0; 1], B = [5; 6; 7]

27. Napíšte rovnice rovín, prechádzajúce bodom A rovnobežne s vektormi a, b, ak

a) A = [0; 1; 2], a = (1; 1; 1), b = (0; 1; 3)

b) A = [1;−1; 1], a = 5i + 4k, b = 3j + 2k

c) A = [2; 0; 0], a = (0; 0; 1), b = (3; 0; 2)

Page 102: 157 Matematika zbierka

102 D VEKTORY

Výsledky1. a) a = (4; 0;−2)

b) a = (−5; 5; 1)

2. B = [7;−12; 5]

3. a) 2 · a = b ⇒ sú lineárne závislé a teda kolineárne

b) a 6= k · b, a · b 6= 0, ani kolineárne, ani kolmé

4. a) a = (3; 174;−4)

b) neexistuje taký vektor

5. a) α.= 63◦36′43′′, β

.= 86◦27′08′′, γ

.= 29◦56′05′′

b) α.= 104◦10′36′′, β = γ

.= 37◦54′42′′

c) α = 90◦, β = γ = 45◦

6. Daný štvoruholník je štvorec.

7. x = (−2; 2; 2)

8. a) x = (−1;−1; 1)

b) |x| =√

3

c) �a, b = 60◦

9. (0; 3; 3)

10. a) c0 =

(0;

1√5;

2√5

)b) sin α =

√2021

11. a) c = −4j

b) c = −2k

c) c = 6i− 4j + 6k

12. a) (8;−47;−172)

b) (−146;−280; 105)

Page 103: 157 Matematika zbierka

Výsledky 103

13. a) (6;−135;−12)

b) (−252; 96;−42)

c) 75

d) 75

14. a) (8;−7;−10)

b)√

213

c) (16;−14;−20)

d) (13;−38; 37)

e) (28; 82;−35)

15. a) 14

b) 452

16. a) P =√

173

b) P = 2√

173

17. a) V = 20

b) V = 3

18. v = 11

19. V = 24

20. V = 1, v = 1√11

21. a) P = 2√

22

b) P = 2√

6

22. a) P = 14√

5

b) P = 2√

433

c) P = 10√

2

23. V = 416, d(A, BCD) = 41√

1457

24. a) α : x− y − 2z + 8 = 0

b) α : x− 2y − 3 = 0

c) α : x− z − 3 = 0

Page 104: 157 Matematika zbierka

104 D VEKTORY

d) α : 13x + 5y + 11z − 75 = 0

25. a) 33x− 8y + 14z − 90 = 0

b) 2x− y − 2z + 4 = 0

c) 3x + 3y + z − 12 = 0

d) x− 2y + z = 0

26. a) x + y + 11z − 36 = 0

b) x + 2y + 3z + 4 = 0

c) x + 3y + 3z − 6 = 0

27. a) 2x− 3y + z + 1 = 0

b) 12x + 10y − 15z − 13 = 0

c) 3y = 0

Page 105: 157 Matematika zbierka

E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ 105

E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ

Definícia 1. Nech M ⊂ R. Zobrazenie množiny M do R nazývame reálnoufunkciou reálnej premennej (ďalej len funkcia). Označujeme ju f. Množinu M

nazývame oborom definície tejto funkcie a označujeme ho Df . Znakom f(x)

označujeme hodnotu funkcie f v čísle x ∈ Df . Funkcia je najčastejšie danárovnicou y = f(x). Označujeme to f : y = f(x). Ak nie je pritom udaný obordefinície tejto funkcie, potom oborom definície takto danej funkcie budemerozumieť jej prirodzený obor definície, t.j. množinu všetkých tých čísel x ∈ R,

v ktorých hodnota f(x) ∈ R (f(x)”má zmysel“). Množinu všetkých takých y ∈ R,

ku ktorým existuje x ∈ Df tak, že platí y = f(x), nazývame oborom hodnôtfunkcie f a označujeme ho Hf . T.j. Hf = {y ∈ R : ∃x ∈ Df také, že y = f(x)} .

Definícia 2. Ak v rovine je zvolený pravouhlý súradnicový systém, potomgrafom funkcie f definovanej na Df nazývame množinu všetkých bodov [x, y]

takých, že x ∈ Df a y = f(x).

Definícia 3 (operácie s funkciami).

a) Funkcie f a g sa rovnajú práve vtedy, ak sa rovnajú ich obory definícií a akpre každé a z oboru definície platí f(a) = g(a).

b) Nech funkcia f je definovaná na množine M. Funkciu h, ktorej obor definícieje množina M a pre všetky a ∈ M platí h(a) = |f(a)|, nazývameabsolútnou hodnotou funkcie f a označujeme |f |.

c) Nech funkcia f je definovaná na množine M a α ∈ R. Funkciu h, ktorej obordefinície je množina M a pre všetky a ∈ M platí h(a) = αf(a), nazývamesúčinom čísla a funkcie f a označujeme αf.

d) Nech f je funkcia definovaná na množine M1 a g je funkcia definovaná namnožine M2. Funkciu h, ktorá je definovaná na množine M = M1 ∩M2 a prekaždé a ∈ M platí h(a) = f(a) + g(a) (h(a) = f(a)− g(a), h(a) = f(a) · g(a))nazývame súčtom (rozdielom, súčinom) funkcie f a g a označujemef + g (f − g, f · g).

e) Nech f je funkcia definovaná na množine M1 a g je funkcia definovaná namnožine M2. Funkciu h, ktorá je definovaná na množineM = {x ∈ R : (x ∈ M1 ∩M2) ∧ (g(x) 6= 0)} a pre každé a ∈ M platíh(a) = f(a)

g(a), nazývame podielom funkcií f a g a označujeme f

g.

Page 106: 157 Matematika zbierka

106 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ

Definícia 4. Funkciu h nazývame zloženou funkciou utvorenou z funkcie f a zfunkcie g vtedy a len vtedy, keď obor definície M funkcie h je množina všetkýchtých čísel z oboru definície g, v ktorých hodnota funkcie g je číslo z oboru definíciefunkcie f a keď pre každé a ∈ M platí h(a) = f (g(a)) .

Funkciu f nazývame hlavnou zložkou a funkciu g vedľajšou zložkou zloženejfunkcie h, a označujeme ju f(g).

Definícia 5. Nech M ⊂ R. Hovoríme, že funkcia f je rastúca [klesajúca,nerastúca, neklesajúca] na M, ak pre každé dve čísla x1, x2 ∈ M platí implikácia

x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)

[f (x1) > f (x2) , f (x1) ≥ f (x2) , f (x1) ≤ f (x2)]

Neklesajúcu [nerastúcu] funkciu nazývame monotónnou.Rastúcu [klesajúcu] funkciu nazývame rýdzomonotónnou.

Definícia 6. Funkcia f definovaná na Df sa nazýva párna [nepárna], ak prekaždé x ∈ Df je aj −x ∈ Df a f(−x) = f(x) [f(−x) = −f(x)].

Definícia 7. Funkcia f definovaná na Df sa nazýva periodická, ak existuje číslop 6= 0 také, že pre každé x ∈ Df je aj x± p ∈ Df a f(x + p) = f(x).Číslo p nazývame periódou funkcie f .

Definícia 8. Nech M ⊂ Df . Hovoríme, že funkcia f je zhora [zdola]ohraničená na množine M, ak

∃K ∈ R : ∀x ∈ M f(x) ≤ K

[∃L ∈ R : ∀x ∈ M f(x) ≥ L]

Ak funkcia f je ohraničená zhora aj zdola na množine M, tak hovoríme, že f jeohraničená na množine M.

Definícia 9. Funkciu f definovanú na množine M nazývame prostou, keď prekaždé x1, x2 ∈ M platí:

ak x1 6= x2, tak f (x1) 6= f (x2) .

Veta 1. Každá rýdzomonotónna funkcia je prostá.

Page 107: 157 Matematika zbierka

Elementárne funkcie 107

Definícia 10. Nech f je prostá funkcia definovaná na množine M a jej oborhodnôt je H. Funkciu f−1 definovanú na množine H nazývame inverznou kfunkcii f, ak pre každé b ∈ H platí:

f−1(b) = a, práve vtedy, keď f(a) = b.

Veta 2. Nech f je prostá funkcia s oborom definície M a s oborom hodnôt H.

Nech f−1 je inverzná funkcia k funkcii f. Potom pre každé a ∈ M platíf−1 (f(a)) = a a pre každé b ∈ H platí f (f−1(b)) = b.

Veta 3. Nech f je rýdzomonotónna funkcia. Potom existuje k nej inverzná funkciaf−1. Funkcia f−1 je rastúca, ak f je rastúca a f−1 je klesajúca, ak f je klesajúca.Graf funkcie f−1 je súmerný s grafom funkcie f podľa priamky y = x.

Elementárne funkcieDefinícia 11.

a) Polynóm.Nech n je nezáporné celé číslo a a0, a1, a2, . . . , an reálne čísla. Funkciu

y = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an−1x + an, x ∈ R

nazývame polynómom, čísla a0, a1, a2, . . . , an jeho koeficientmi.Ak a0 6= 0, tak n sa nazýva stupeň polynómu.Ak a0 = a1 = a2 = · · · = an = 0, tak P (x) sa nazýva nulový polynóm.

b) Racionálna funkcia.Funkciu danú rovnicou

y =Pn(x)

Qm(x),

kde Pn(x) resp. Qm(x) je polynóm n-tého resp. m-tého stupňa, pričomQm(x) nie je nulový polynóm, sa nazýva racionálna funkcia. Ak n < m, takracionálnu funkciu nazývame rýdzoracionálnou funkciou. Obor definícieracionálnej funkcie je množina všetkých x ∈ R, pre ktoré Qm(x) 6= 0.

c) Exponenciálna funkcia.Funkciu definovanú na (−∞;∞) rovnicou y = ax, kde a > 0, nazývameexponeciálnou funkciou pri základe a. Ak a > 1, tak táto funkcia je rastúca,ak 0 < a < 1, tak je klesajúca.

Page 108: 157 Matematika zbierka

108 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ

d) Logaritmická funkcia.Funkcia definovaná na (0;∞) rovnicou y = loga x, kde a > 0, a 6= 0 sa nazývalogaritmická funkcia. Ak a > 1, tak táto funkcia je rastúca, ak 0 < a < 1, takje klesajúca. Funkcia y = loga x je inverznou funkciou k funkcii y = ax.

e) Trigonometrické funkcie.Funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens nazývame trigonometrickýmifunkciami.Funkcia y = sin x je definovaná na (−∞;∞), je nepárna a periodickás periódou 2π.

Funkcia y = cos x je definovaná na (−∞;∞), je párna a periodickás periódou 2π.

Funkcia y = tg x je podiel funkcií sínus a kosínus, definovaná jepre všetky x ∈ R okrem čísel x = (2k + 1)π

2, k ∈ Z, je nepárna a periodická

s periódou π.

Funkcia y = cotg x je podiel funkcií kosínus a sínus, definovaná jepre všetky x ∈ R okrem čísel x = kπ, k ∈ Z, je nepárna a periodickás periódou π.

f) Cyklometrické funkcie.Funkcie arkussínus, arkuskosínus, arkustangens a arkuskotangens nazývamecyklometrickými funkciami.Funkcia y = arcsin x je definovaná na 〈−1; 1〉 a je inverznou funkciouk funkcii y = sin x, definovanej na intervale 〈−π

2; π

2〉.

Funkcia y = arccos x je definovaná na 〈−1; 1〉 a je inverznou funkciouk funkcii y = cos x, definovanej na intervale 〈0; π〉.Funkcia y = arctg x je definovaná na (−∞;∞) a je inverznou funkciouk funkcii y = tg x, definovanej na intervale

(−π

2; π

2

).

Funkcia y = arccotg x je definovaná na (−∞;∞) a je inverznou funkciouk funkcii y = cotg x, definovanej na intervale (0; π) .

g) Elementárne funkcie. Funkciu, ktorú dostaneme z konečného počtufunkcií v bode a) až f) pomocou konečného počtu operácií súčtu, rozdielu,súčinu, podielu a tvorenia zloženej funkcie nazývame elementárnou funkciou.

Page 109: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 109

Riešené príkladyPríklad 1. Nájdime definičný obor funkcie

f : y = ln(10− x)−√

x + 2

x2 − 6x + 9.

Riešenie: Df ={x ∈ R : 10− x > 0 ∧ x+2

x2−6x+9≥ 0}

.

10− x > 0 ⇐⇒ x < 10

x + 2

x2 − 6x + 9=

x + 2

(x− 3)2≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −2 ∧ x 6= 3

TedaDf = {x ∈ R : x < 10 ∧ x ≥ −2 ∧ x 6= 3} = 〈−2; 3) ∪ (3; 10).

Príklad 2. Nájdime definičné obory a zistime, či sa rovnajú funkcie

f : y = 1 a g : y =(x− 5)2

x2 − 10x + 25.

Riešenie: Funkcia f je konštantná a jej Df = R. Funkciu g možno upraviť na tvar

y =(x− 5)2

(x− 5)2.

Jej obor definície je

Dg ={x ∈ R : (x− 5)2 6= 0

}= (−∞; 5) ∪ (5;∞).

Pretože funkcie f a g majú rôzne obory definície, nemôže platiť f = g.

Príklad 3. Nájdime obor definície a obor hodnôt funkcie

f : y =2

x2 + 3.

Dokážme, že je párna a nájdime jej intervaly monotónnosti. Zistite, či jeohraničená.

Riešenie: Df = {x ∈ R : x2 + 3 6= 0} = R. Platí ∀x ∈ R : 2x2+3

> 0, t.j. f je zdolaohraničená. Ďalej platí ∀x ∈ R :

x2 ≥ 0

x2 + 1 ≥ 11

x2 + 1≤ 1

2

x2 + 1≤ 2

Page 110: 157 Matematika zbierka

110 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ

t.j. f je ohraničená aj zhora. Z toho vyplýva, že f je pre všetky x ∈ R ohraničená.Pretože Df = R, tak platí, ak x ∈ Df , tak aj −x ∈ Df a

f(−x) =2

(−x)2 + 3=

2

x2 + 3= f(x)

čo znamená, že f je párna funkcia.Monotónnosť: Nech x1, x2 ∈ 〈0;∞) ⊂ Df a nech x1 < x2 potom

x21 < x2

2

x21 + 3 < x2

2 + 31

x21 + 3

>1

x22 + 3

2

x21 + 3

>2

x22 + 3

f (x1) > f (x2) ,

čo znamená, že funkcia f je na intervale 〈0;∞) klesajúca. Analogicky dostaneme,že f je na (−∞; 0〉 rastúca. Z monotónnosti vyplýva, že maximálnu hodnotu danáfunkcia nadobúda v čísle x = 0, f(0) = 2

3. Svoju minimálnu hodnotu daná funkcia

nenadobúda. Obor hodnôt je Hf =(0; 2

3

⟩.

Príklad 4. Dokážme, že funkcia f : y = 3−√

x− 4 je prostá a nájdime k nejinverznú funkciu.

Riešenie: Obor definície funkcie je Df = {x ∈ R : x− 4 ≥ 0} = 〈4;∞). Nechx1, x2 ∈ Df a nech x1 6= x2 potom

x1 − 4 6= x2 − 4√

x1 − 4 6=√

x2 − 4

−√

x1 − 4 6= −√

x2 − 4

3−√

x1 − 4 6= 3−√

x2 − 4

f (x1) 6= f (x2) ,

t.j. funkcia f je prostá. To znamená, že existuje k nej inverzná funkcia. Inverznúfunkciu nájdeme tak, že v rovnici y = f(x) vymeníme x za y, t.j.

f : y = 3−√

x− 4, x ∈ Df = 〈4;∞), y ∈ Hf = (−∞; 3〉f−1 : x = 3−

√y − 4, x ∈ Df−1 = Hf = (−∞; 3〉, y ∈ Hf−1 = Df = 〈4;∞).

Odtiaľ√

x− 4 = 3− x, pre 3− x ≥ 0 t.j. x ≤ 3

y − 4 = (3− x)2

y = 4 + (3− x)2

y = x2 − 6x + 13

Page 111: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 111

Hľadaná inverzná funkcia je f−1 : y = x2 − 6x + 13, Df−1 = (−∞; 3〉, Hf−1 = 〈4;∞).

Page 112: 157 Matematika zbierka

112 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ

Úlohy1. Pre danú funkciu vypočítajte uvedené funkčné hodnoty

a) f(x) = 1+x1−x

, f(0), f(−5), f(2x), f( 1x)

b) f(x) =√

x + 2, f(2), f(5), f(x + 2), f(3− 2x)

c) f(x) = log x2, f(0), f(1), f(10), f(−x)

d) f(x) = cos2 x, f(0), f(π3), f(π), f(x + 2π)

e) f(x) = 1 + e2x, f(0),−f(1), f( 1x), f(x2)

2. Zistite, pre ktoré x leží graf danej funkcie nad osou ox

a) f : y = 2x2 − 8

b) f : y = ln (x2)

c) f : y = x+1x+4

d) f : y = 3x−2

3. Nájdite množinu všetkých reálnych čísel, pre ktoré sú hodnoty danej funkcieväčšie ako 2.

a) f : y = 3+x2

(1−x)2

b) f : y = 1−√

1−2x2

x

c) f : y = 2−x3+x

d) f : y = 2x+1

V úlohách 4 - 14 zistite, pre ktoré x ∈ Df nadobúda funkcia

a) kladné funkčné hodnoty

b) záporné funkčné hodnoty

c) nulové funkčné hodnoty

4. f : y = 4x2 − 9

5. f : y = x2 − 2x + 3

6. f : y = x2 − 10x + 20

7. f : y = x−1x+3

8. f : y = x+12−x

9. f : y = 3xx2+16

10. f : y = 2−3xx2−2x+3

11. f : y = log(x− 5)

12. f : y =√

2x − 4x

13. f : y = cos 2x

14. f : y =√

9−x2

ln(x−1)

V úlohách 15 - 17 nájdite definičné obory funkcií f a g a overte, či platí f = g.

Page 113: 157 Matematika zbierka

Úlohy 113

15. a) f : y = 1x, g : y = x

x2

b) f : y = x2

x, g : y = x

c) f : y =√

x2, g : y = x

d) f : y = x2−1x−1

, g : y = x + 1

e) f : y = (√

x) , g : y =√

x2

16. a) f : y = log x2, g : y = 2 log x

b) f : y =√

(x + 1)2, g : y = x + 1

c) f : y = x2−4x+2

, g : y = x− 2

d) f : y = 1x−2

, g : y = x2+2x+4x3−8

17. a) f : y = (2x+3)2

4x2+12x+9, g : y = 3+2x

3+2x

b) f : y = x+13x2+5x+2

, g : y = 3x+23x2+5x+2

c) f : y = x + 1, g : y = x3+x2+x+1x2+1

d) f : y = 3+2x2x2+x−3

, g : y = 1x−1

18. Načrtnite graf funkcie, nájdite obor definície a intervaly monotónnostifunkcie.

a) f : y = 2x−5x−3

b) f : y = 8x−142x−3

c) f : y = 2xx+1

d) f : y = 3x−12x

e) f : y = 7−2x3x−6

f) f : y = 2x−3x−1

g) f : y = 2x−5x−3

V úlohách 19 - 20 načrtnite graf funkcie a nájdite intervaly monotónnosti funkcie.

19. a) f : y = 5−√

x− 1

b) f : y =√

2x− 6 + 7

c) f : y = 1− 3x

d) f : y =√

2x + 1

e) f : y = x2 + 4x + 1

20. a) f : y = arcsin(2x− 3)

b) f : y = x2 − 2x + 5

c) f : y = 1x2+4

d) f : y = |x2 − 3x + 2|

e) f : y = |3x + 6|+ |x + 2|

f) f : y = ln (1− x2)

21. Zistite, ktoré z uvedených funkcií sú monotónne, resp. rýdzomonotónne nasvojom prirodzenom definičnom obore.

Page 114: 157 Matematika zbierka

114 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ

a) f : y = 3 + 2x

b) f : y = x− |x|

c) f : y = 1x2+4

d) f : y =√

1 + 3x

e) f : y = x3 − x

f) f : y = x+2x−2

V úlohách 22 - 28 rozhodnite, ktorá z funkcií je párna resp. nepárna.

22. a) f : y = sin2 x

b) f : y = x log x2

c) f : y = 3x − 3−x

d) f : y = cos 2x + 2

23. a) f : y =√

1 + x

b) f : y = 7

c) f : y = x2

1+2x2

d) f : y = x|x|

24. a) f : y = 21+x2

b) f : y = x−x3

x2−4

c) f : y = 1−xx

d) f : y = 13(2x + 2−x)

25. a) f : y = ln|x|x

b) f : y = sin x+cos x√1−x2

c) f : y = ln 1+x1−x

d) f : y = 2x2 + 1

26. a) f : y = ln(2 + x)

b) f : y =√

x

c) f : y = 3√

x

d) f : y = x2

1+2x2

27. a) f : y = x+2x−2

b) f : y = x3 − x

c) f : y = sin x3+cos x

d) f : y = sin x + tg x2

28. a) f : y = 3x+13x−1

b) f : y = x · sin x

c) f : y = sin x · cos x

d) f : y = x3 + sin3 x

29. Zistite, či funkcia f je ohraničená na množine M.

a) f : y = 31+x2 , M = Df

b) f : y = x− 5, M = (−3; 5)

c) f : y = 2x + 5, M = (−∞; 1)

d) f : y = −2x− 8, M = (−∞; 1)

e) f : y = 44+x2 , M = Df

f) f : y = x2

1+2x2 , M = Df

30. Zistite, či funkcia f je zhora, zdola resp. ohraničená.

a) f : y = 4xx2+1

b) f : y = 1x2+4

c) f : y = 2 + e−x2

d) f : y = ln (4− x2)

Page 115: 157 Matematika zbierka

Úlohy 115

e) f : y = 2√x

f) f : y = x+2x−2

g) f : y = 1 + cos2 x

h) f : y = sin x2

i) f : y = xe−x

V úlohách 31 - 44 nájdite obor definície funkcie

31. a) f : y =√

1 + x2 + 1x+2

+√−x

b) f : y = 1√x−2

+ x√2−x

c) f : y =√

1− x2

d) f : y =√

x− 2

32. a) f : y =√|2x + 3| − 9

b) f : y = |x|+ 1√x−1

+ x+1x2−4

c) f : y = ln(√

x− 3− 2)

d) f : y = arcsin(2x− 3)

33. a) f : y = ln(2 cos x−

√3)

b) f : y = arccos x−47

+ ln(2x− 3)

c) f : y =√

1−x1+x

+√

x−1x+2

d) f : y = 5x+1√x2

34. a) f : y = 3x+22x2+x−3

b) f : y =√

1+x1−x

+ 1−x1+x

c) f : y = 1+x+x2+x3

1+2x2+x4

d) f : y = 3x2+4x−12x2−12x−32

35. a) f : y =√

9−x2

x−1

b) f : y =√

2x2 + x− 15 +√

6x2 − 7x + 2

c) f : y =√

x2−8x+15x2−5x+4

d) f : y =√

x2−x−6100−x2

36. a) f : y =√

7−xx−2

+ 2

b) f : y = 2√

x2−4

c) f : y = log (x2 − 5x + 6)

d) f : y = log x−1x+1

37. a) f : y = 3√

x2−5

b) f : y = 1log(2−x)

c) f : y = log3 (log3 x)

d) f : y = log(√

x− 4)

e) f : y = log x2+x−6x2+4x+3

f) f : y = 1log(20−x)

+√

x + 20

38. a) f : y =√

5x2 − 8x− 4

b) f : y = log (5x2 − 8x− 4)

c) f : y =√

−15x2−8x−4

d) f : y =√

4 + 8x− 5x2 +√

x2

x−1

e) f : y = log x2−8x+15x2−5x+4

39. a) f : y = ln(√

x + 3− 2)

Page 116: 157 Matematika zbierka

116 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ

b) f : y = arccos(2x− 3)

c) f : y =√

x−1x+2

+ 3x

d) f : y = log (5x2 − 8x− 4) +√

x− 1

40. a) f : y =√

12−x2

x(x2−3)

b) f : y = x3 +√

3− x− 1x−2

c) f : y = 3x−1x3−2x2−3x

d) f : y =√

x+√

24−x

41. a) f : y = x−1x√

2−x−x2

b) f : y =√

x2 − 9 +√

9− x2

c) f : y =√

2xx2−2x−3

d) f : y = 1√log x

42. a) f : y = log x√log(log x)

b) f : y = log x2

logq

1+2x4−x

c) f : y = ln(2− 4

x+1

)d) f : y = ln

(x2+2x

x2−x−2

)43. a) f : y = ln

√2x− x3 + ln(x + 2)

b) f : y = 1+tg x1−tg x

c) f : y =√

cos2 x− sin2 x

d) f : y = cotg(

1x2

)44. a) f : y =

√cos x

b) f : y = log(cos x)

c) f : y =√

tg x

d) f : y = log (tg x)

e) f : y =√

log (tg x)

f) f : y =√

log (cos x)

V úlohách 45 - 52 nájdite inverznú funkciu (ak existuje) k funkcii f

45. a) f : y = 3x− 2, x ∈ 〈−1; 2〉

b) f : y = x2 − 1, x ∈ 〈0;∞)

c) f : y = ex − 1, x ∈ R

d) f : y = x2 + 2, x ∈ R

46. a) f : y = −2x2 + 5, x ∈ (1;∞)

b) f : y = 32x−1, x ∈ R

c) f : y = 2 + log(x + 1)

d) f : y = 2x− 3

Page 117: 157 Matematika zbierka

Úlohy 117

47. a) f : y = 2x3

b) f : y = 1−x1+x

c) f : y = 2x + 2

d) f : y = log(x + 3)

48. a) f : y = 2x + 4

b) f : y = log 12(x + 2) + 3

c) f : y = 1x−3

d) f : y =√

2− 3x

49. a) f : y = ln(x− 1)

b) f : y = 1 + 3√

(x− 2)

c) f : y = 2x + 5

d) f : y = 11−x

50. a) f : y = 3√

x− 4

b) f : y =√

x3 − 1

c) f : y = x3

1+x3

d) f : y = 2x + 3

51. a) f : y = 10x+2 − 1

b) f : y = 2x− 3

c) f : y = 2x3 − 6

d) f : y = 2x − 2

52. a) f : y = log(x + 3)

b) f : y = −2x2 + 5, x ∈ (1;∞)

c) f : y = 32x−1

d) f : y = 2 + log(x + 1)

Page 118: 157 Matematika zbierka

118 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ

Výsledky1. a) 1,−2

3, 1+2x

1−2x, x+1

x−1

b) 2, neexistuje,√

x + 4,√

1− 2x

c) neexistuje, 0, 2, log x2

d) 1, 14, 1, cos2 x

e) 2,−(1 + e2), 1 + 2x, 1 + e2x2

2. a) (−∞;−2) ∪ (2;∞)

b) (−∞;−1) ∪ (1;∞)

c) (−∞;−4) ∪ (−1;∞)

d) R

3. a)(2−

√5; 2 +

√5)

b) ∅

c)(−3;−4

3

)d) (0;∞)

4. a) x ∈(−∞;−3

2

)∪(

32;∞)

b) x ∈(−3

2; 3

2

) c) x = ±32

5. a) x ∈ R b) ∅ c) ∅

6. a) x ∈(−∞; 5−

√5)∪(5 +

√5;∞

)b) x ∈

(5−

√5; 5 +

√5)

c) x = 5±√

5

7. a) x ∈ (−∞;−3) ∪ (1;∞)

b) x ∈ (−3; 1)

c) x = 1

8. a) x ∈ (−1; 2)

b) x ∈ (−∞;−1) ∪ (2;∞)

c) x = −1

9. a) x ∈ (0;∞) b) x ∈ (−∞; 0) c) x = 0

10. a) x ∈(−∞; 2

3

)b) x ∈

(23;∞)

c) x = 23

11. a) x ∈ (6;∞) b) x ∈ (5; 6) c) x = 6

Page 119: 157 Matematika zbierka

Výsledky 119

12. a) x ∈ (−∞; 0) b) ∅ c) x = 0

13. a) x ∈(−π

4+ kπ; π

4+ kπ

)b) x ∈

(π4

+ kπ; 3π4

+ kπ)

c) x = (2k + 1)π2, k ∈ Z

14. a) x ∈ (2; 3) b) x ∈ (1; 2) c) x = 3

15. a) Df = Dg = R \ {0}, f = g

b) Df = R \ {0}, Dg = R, f 6= g

c) Df = Dg = R, f 6= g

d) Df = R \ {1}, Dg = R, f 6= g

e) Df = 〈0;∞), Dg = R, f 6= g

16. a) Df = R \ {0}, Dg = (0;∞), f 6= g

b) Df = Dg = R, f 6= g

c) Df = R \ {−2}, Dg = R, f 6= g

d) Df = Dg = R \ {2}, f = g

17. a) Df = Dg = R \{

32

}, f = g

b) Df = Dg = R \{−1;−2

3

}, f 6= g

c) Df = Dg = R, f = g

d) Df = R \{1;−2

3

}, Dg = R \ {1} , f 6= g

18. a) Df = (−∞; 3) ∪ (3;∞) ; f je klesajúca na (−∞; 3) a (3;∞)

b) Df =(−∞; 3

2

)∪(

32;−∞

); f je rastúca na

(−∞; 3

2

)a(

32;−∞

)c) Df = (−∞;−1) ∪ (−1;∞) ; f je rastúca na (−∞;−1) a (−1;∞)

d) Df = (−∞; 0) ∪ (0;∞) ; f je rastúca na (−∞; 0) a (0;∞)

e) Df = (−∞; 2) ∪ (2;∞) ; f je klesajúca na (−∞; 2) a (2;∞)

f) Df = (−∞; 1) ∪ (1;∞) ; f je rastúca na (−∞; 1) a (1;∞)

g) Df = (−∞; 3) ∪ (3;∞) ; f je rastúca na (−∞; 3) a (3;∞)

19. a) klesajúca na 〈1;∞)

b) rastúca na 〈3;∞)

c) klesajúca na R

Page 120: 157 Matematika zbierka

120 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ

d) rastúca na⟨−1

2;∞)

e) klesajúca na 〈−2;∞) ; rastúca 〈−∞;−2)

20. a) rastúca na 〈1; 2〉

b) klesajúca na (−∞; 1) a rastúca na (1;∞)

c) klesajúca na (0;∞) a rastúca na (−∞; 0)

d) klesajúca na (−∞; 1) ;(

32; 2)a rastúca na

(1; 3

2

); (2;∞)

e) klesajúca na (−∞;−2) a rastúca na (−2;∞)

f) klesajúca na (0; 1) a rastúca na (−1; 0)

21. a) rastúca

b) neklesajúca

c) nie je monotónna

d) rastúca

e) nie je monotónna

f) nie je monotónna

22. a) f je párna

b) f je nepárna

c) f je nepárna

d) f je párna

23. a) f nie je ani párna, ani nepárna

b) f je párna a zároveň aj nepárna

c) f je párna

d) f je nepárna

24. a) f je párna

b) f je nepárna

c) f nie je ani párna, ani nepárna

d) f je párna

25. a) f je nepárna

b) f nie je ani párna, ani nepárna

c) f je nepárna

d) f je párna

26. a) pre f nemá zmysel hovoriť o párnosti resp. nepárnosti

b) pre f nemá zmysel hovoriť o párnosti resp. nepárnosti

c) f je nepárna

Page 121: 157 Matematika zbierka

Výsledky 121

d) f je párna

27. a) f nie je ani párna, ani nepárna

b) f je nepárna

c) f je nepárna

d) f je nepárna

28. a) f je nepárna

b) f je párna

c) f je nepárna

d) f je nepárna

29. a) ohraničená

b) ohraničená

c) zhora ohraničená

d) zdola ohraničená

e) ohraničená

f) ohraničená

30. a) ohraničená

b) ohraničená

c) ohraničená

d) zhora ohraničená

e) zdola ohraničená

f) neohraničená

g) ohraničená

h) ohraničená

i) zhora ohraničená

31. a) Df = (−∞;−2) ∪ (−2; 0〉

b) Df = ∅

c) Df = 〈−1; 1〉

d) Df = 〈2;∞)

32. a) Df = (−∞;−6〉 ∪ 〈3;∞)

b) Df = (1; 2) ∪ (2;∞)

c) Df = (7;∞)

d) Df = 〈1; 2〉

33. a) Df =(−π

6+ 2kπ; π

6+ 2kπ

), k ∈ Z

b) Df =(

32; 11⟩

c) Df = {1}

d) Df = R \ {0}

34. a) Df = R \{−3

2; 1}

b) Df = (−1; 1)

c) Df = R

d) Df = R \ {−2; 8}

35. a) Df = 〈−3; 1) ∪ (1; 3〉

b) Df = (−∞;−3〉 ∪⟨

52;∞) c) Df = (−∞; 1) ∪ 〈3; 4) ∪ 〈5;∞)

d) Df = (−10;−2〉 ∪ 〈−3; 10)

Page 122: 157 Matematika zbierka

122 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ

36. a) Df = (−∞;−3〉 ∪ (2;∞)

b) Df = (−∞;−2〉 ∪ 〈2;∞)

c) Df = (−∞; 2) ∪ (3;∞)

d) Df = (−∞;−1) ∪ (1;∞)

37. a) Df =(−∞;−

√5⟩∪⟨√

5;∞)

b) Df = (−∞; 1) ∪ (1; 2)

c) Df = (1;∞)

d) Df = (4;∞)

e) Df = (−∞;−3) ∪ (−3;−1) ∪ (2;∞)

f) Df = 〈−20; 19) ∪ (19; 20)

38. a) Df =(−∞;−2

5

⟩∪ 〈2;∞)

b) Df =(−∞;−2

5

)∪ (2;∞)

c) Df =(−2

5; 2)

d) Df =⟨−2

5; 1)∪ (1; 2〉

e) Df = (−∞; 1) ∪ (3; 4) ∪ (5;∞)

39. a) Df = (1;∞)

b) Df = 〈1; 2〉

c) Df = (−∞;−2) ∪ (1;∞)

d) Df = (2;∞))

40. a) Df =⟨−2√

3;−√

3)∪(−√

3; 0)∪(0;√

3)∪(√

3; 2√

3⟩

b) Df = (−∞; 2) ∪ (2; 3〉

c) Df = R \ {−1; 0; 3}

d) Df =⟨−√

2; 4)

41. a) Df = (−2; 0) ∪ (0; 1)

b) Df = {−3; 3}

c) Df = 〈0; 3) ∪ (3;∞)

d) Df = (1;∞)

42. a) Df = (10;∞)

b) Df =(−1

2; 0)∪ (0; 1) ∪ (1; 4)

c) Df = (−∞;−1) ∪ (1;∞)

d) Df = (−∞;−2) ∪ (−1; 0) ∪ (2;∞)

43. a) Df =(−2;−

√2)∪(0;√

2)

b) Df = R \{(2k + 1)π

2∧ π

4+ kπ, k ∈ R

}c) Df =

⟨kπ − π

4; kπ + π

4

⟩, k ∈ Z

d) Df = R \{

0;± 1√kπ

, k ∈ N}

Page 123: 157 Matematika zbierka

Výsledky 123

44. a) Df =⋃

k∈Z

{⟨−π

2+ 2kπ; π

2+ 2kπ

⟩}b) Df =

⋃k∈Z

{(−π

2+ 2kπ; π

2+ 2kπ

)}c) Df =

⋃k∈Z

{⟨kπ; (2k + 1)π

2

)}d) Df =

⋃k∈Z

{(kπ; (2k + 1)π

2

)}e) Df =

⋃k∈Z

{⟨π4

+ kπ; π2

+ kπ)}

f) Df =⋃

k∈Z{2kπ}

45. a) f−1 : y = 13(x + 2); x ∈ 〈−5; 4〉

b) f−1 : y =√

x + 1; x ∈ 〈−1;∞)

c) f−1 : y = ln(x + 1); x ∈ (−1;∞)

d) f−1 neexistuje (f nie je prostá)

46. a) f−1 : y =√

5−x2

; x ∈ (−∞; 3)

b) f−1 : y = 12log3 x + 1

2; x ∈ (0;∞)

c) f−1 : y = 10x−2 − 1; x ∈ R

d) f−1 : y = x+32

; x ∈ R

47. a) f−1 : y = 3√

x2; x ∈ R

b) f−1 : y = 1−x1+x

; x ∈ (−∞;−1) ∪ (−1;∞)

c) f−1 : y = log2(x− 2); x ∈ (2;∞)

d) f−1 : y = 10x − 3; x ∈ R

48. a) f−1 : y = 12(x− 4); x ∈ R

b) f−1 : y =(

12

)x−3 − 2; x ∈ R

c) f−1 : y = 1x

+ 3; x ∈ (−∞; 0) ∪ (0;∞)

d) f−1 : y = 2−x2

3; x ∈ 〈0;∞)

49. a) f−1 : y = ex + 1; x ∈ R

b) f−1 : y = 19(x− 1)2 + 2; x ∈ 〈1;∞)

c) f−1 : y = 12(x− 5); x ∈ R

d) f−1 : y = x−1x

; x 6= 0

50. a) f−1 : y = 19(x + 4)2; x ∈ 〈−4;∞)

Page 124: 157 Matematika zbierka

124 E FUNKCIA REÁLNEJ PREMENNEJ

b) f−1 : y = (x2 + 1)13 ; x ∈ 〈0;∞)

c) f−1 : y = 3√

x1−x

; x 6= 1

d) f−1 : y = log2(x− 3); x ∈ (3;∞)

51. a) f−1 : y = log(x + 1)− 2; x ∈ (−1;∞)

b) f−1 : y = 12(x + 3); x ∈ R

c) f−1 : y = 3

√x+6

2; x ∈ R

d) f−1 : y = log2(x + 2); x ∈ (−2;∞)

52. a) f−1 : y = 10x − 3; x ∈ R

b) f−1 : y =√

5−x2

; x ∈ (−∞; 3〉

c) f−1 : y = 12log3 x + 1

2; x > 0

d) f−1 : y = 10x−2 − 1; x ∈ R

Page 125: 157 Matematika zbierka

F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA 125

F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA

Definícia 1. Postupnosťou nazývame každú funkciu, ktorej definičným oboromje množina prirodzených čísel. an je hodnota tejto funkcie v čísle n a nazývamen-tý člen postupnosti. Postupnosť označujeme {an}∞n=1 alebo len {an} .

Definícia 2. Postupnosť {an} je rastúca (neklesajúca, klesajúca, nerastúca)práve vtedy, keď pre každé prirodzené číslo n platí: an < an+1 (an ≤ an+1,

an > an+1, an ≥ an+1).Každú rastúcu (neklesajúcu, klesajúcu, nerastúcu) postupnosť nazývamemonotónnou postupnosťou.Každú rastúcu (klesajúcu) postupnosť nazývame rýdzomonotónnoupostupnosťou.

Definícia 3. Postupnosť {an} je zhora (zdola) ohraničená práve vtedy, keďexistuje také kladné reálne číslo K, že pre všetky n ∈ N je an ≤ K (an ≥ K).

Definícia 4. Postupnosť {an} je ohraničená práve vtedy, keď je zhora a zdolaohraničená, t.j. keď existuje také kladné reálne číslo K, že pre všetky n ∈ N je−K ≤ an ≤ K(čo môžeme zapísať aj ako |an| ≤ K).

Definícia 5. Daná je postupnosť {an} . Nech {kn} je rastúca postupnosťprirodzených čísel. Potom postupnosť {akn} nazývame vybranou postupnosťouz postupnosti {an} pomocou postupnosti {kn} .

Definícia 6. Číslo a nazývame limitou postupnosti {an} , keď pre ľubovoľnéreálne číslo ε > 0 existuje také prirodzené číslo n0 také, že pre všetky prirodzenéčísla n > n0 platí |an − a| < ε. Ak postupnosť {an} má limitu rovnajúcu sa číslu a,

píšeme limn→∞

an = a.

Postupnosť, ktorá má limitu, nazývame konvergentnou postupnosťou.Postupnosť, ktorá nie je konvergentná nazývame divergentnou postupnosťou.

Veta 1. Konvergentá postupnosť má práve jednu limitu.

Veta 2. Nech {an} je konvergentná postupnosť, ktorá má limitu a. Potom každá znej vybratá postupnosť je tiež konvergentná a jej limita je číslo a.

Page 126: 157 Matematika zbierka

126 F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA

Veta 3. Každá konvergentná postupnosť je ohraničená.

Veta 4. Každá monotónna, ohraničená postupnosť je konvergentná.

Veta 5. Nech {an} a {bn} sú dve konvergentné postupnosti, t.j. limn→∞

an = a a

limn→∞

bn = b. Potom platí:

1. limn→∞

(an ± bn) = limn→∞

an ± limn→∞

bn = a± b

2. limn→∞

(an · bn) = limn→∞

an · limn→∞

bn = a · b

3. limn→∞

an

bn=

limn→∞

an

limn→∞

bn= a

b, (ak bn 6= 0, b 6= 0)

4. limn→∞

anα =

(lim

n→∞an

= aα, (ak α je číslo, an > 0, a > 0)

5. limn→∞

αan = αlim

n→∞an

= αa, (ak a > 0)

6. limn→∞

anbn =

(lim

n→∞an

) limn→∞

bn

= ab, (ak an > 0, a > 0).

Veta 6.

1. limn→∞

(1 + 1

n

)n= e (e = 2, 718281828459045 . . . )

2. limn→∞

n√

a = 1

3. limn→∞

n√

n = 1.

Veta 7. Nech {an} postupnosť, pre ktorú platí limn→∞

|an| = ∞ a pre každé n ∈ N

má výraz(1 + 1

an

)an

zmysel. Potom platí

limn→∞

(1 +

1

an

)an

= e.

Definícia 7. Postupnosť {an} má nevlastnú limitu ∞ (−∞), ak pre každékladné reálne číslo A existuje také prirodzené číslo n0 také, že pre všetkyprirodzené čísla n > n0 platí an > A (an < −A). Ak postupnosť {an} mánevlastnú limitu ∞ (−∞) píšeme lim

n→∞an = ∞ ( lim

n→∞an = −∞).

Page 127: 157 Matematika zbierka

F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA 127

Veta 8. Ak {an} je neklesajúca (nerastúca) a zhora (zdola) neohraničená, taklim

n→∞an = ∞ ( lim

n→∞an = −∞).

Veta 9. Ak limn→∞

|an| = ∞ a pre každé prirodzené číslo n je an 6= 0, tak{

1an

}je

konvergentná a má limitu 0.

Veta 10. Ak limn→∞

an = 0 a pre každé prirodzené číslo n je an 6= 0 a existuje také

prirodzené číslo n0, že pre všetky prirodzené čísla n > n0 je an > 0 (an < 0), taklim

n→∞1

an= ∞ ( lim

n→∞1

an= −∞).

Veta 11. Nech limn→∞

an = ∞ ( limn→∞

an = −∞). Potom platí:

a) Ak c > 0, tak limn→∞

can = ∞( limn→∞

can = −∞)

b) Ak c < 0, tak limn→∞

can = −∞( limn→∞

can = ∞).

Veta 12. Nech {an} a {bn} sú postupnosti a limn→∞

an = ∞. Nech existuje také číslo

b > 0 a prirodzené číslo n0 také, že pre všetky prirodzené čísla n > n0 je bn ≥ b

(bn ≤ −b). Potom limn→∞

an · bn = ∞ ( limn→∞

an · bn = −∞).

Page 128: 157 Matematika zbierka

128 F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA

Riešené príkladyPríklad 1. Napíšme prvých päť členov postupnosti danej n-tým členom

a) an = 17n

b) an = 1 + (−1)n.

Riešenie:

a){

17; 1

72 ;173 ;

174 ;

175 ; . . .

}b) {0; 2; 0; 2; 0; . . . } .

Príklad 2. Dokážme, že postupnosť{

23n+8

}∞n=1je monotónna a ohraničená.

Riešenie: Pre danú postupnosť je an = 23n+8

a an+1 = 23(n+1)+8

. Pre každé n ∈ Nplatí:

n < n + 1

3n < 3(n + 1)

3n + 8 < 3(n + 1) + 81

3n + 8>

1

3(n + 1) + 82

3n + 8>

2

3(n + 1) + 8an > an+1,

čo znamená, že postupnosť {an} je klesajúca. Ďalej pre každé n ∈ N platí:

n ≥ 1

3n ≥ 3

3n + 8 ≥ 111

3n + 8≤ 1

112

3n + 8≤ 2

11

an ≤ 2

11

t.j. postupnosť {an} je ohraničená. Navyše pre každé n ∈ N je an > 0, čižepostupnosť je ohraničená aj zdola. Podľa definície daná postupnosť je ohraničená.

Page 129: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 129

Príklad 3. Pomocou definície limity postupnosti dokážme, že

limn→∞

4n− 1

2n + 1= 2.

Riešenie: Nech ε > 0. Podĺa definície limity postupnosti platí:∣∣∣∣4n− 1

2n + 1− 2

∣∣∣∣ < ε∣∣∣∣4n− 1− 4n− 2

2n + 1

∣∣∣∣ < ε∣∣∣∣ −3

2n + 1

∣∣∣∣ < ε

3

ε< 2n + 1

3

ε− 1 < 2n

n >1

2

(3

ε− 1

)Ak zvolíme n0 ≥ 1

2

(3ε− 1), tak pre každé prirodzené číslo n > n0 platí∣∣∣∣4n− 1

2n + 1− 2

∣∣∣∣ < ε, t.j. limn→∞

4n− 1

2n + 1= 2.

Príklad 4. Pomocou viet o limitách pre postupnosť vypočítajme

a)

limn→∞

(3− 7

8n+

2

n2

)b)

limn→∞

3n− 4

8− 2n.

Riešenie: Na základe vety 5 platí:

a)

limn→∞

(3− 7

8n+

2

n2

)= lim

n→∞3− 7

8lim

n→∞

1

n+ 2 lim

n→∞

1

n2= 3− 7

8· 0 + 2 · 0 = 3

Page 130: 157 Matematika zbierka

130 F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA

b)

limn→∞

3n− 4

8− 2n= lim

n→∞

3n− 4

8− 2n·

1n1n

= limn→∞

3− 4n

8n− 2

=lim

n→∞

(3− 4

n

)lim

n→∞

(8n− 2) =

=lim

n→∞3− 4 lim

n→∞1n

8 limn→∞

1n− lim

n→∞2

=3− 4 · 08 · 0− 2

= −3

2.

Príklad 5. Vypočítajme

a)

limn→∞

5n − 7

2 + 4 · 5n

b)

limn→∞

42n2+3

3n2−1 .

Riešenie:

a)

limn→∞

5n − 7

2 + 4 · 5n·

15n

15n

= limn→∞

1− 75n

25n + 4

=1− 7 · 02 · 0 + 4

=1

4

b) Najskôr vypočítame

limn→∞

2n2 + 3

3n2 − 1·

1n2

1n2

= limn→∞

2 + 3n2

3− 1n2

=2 + 3 · 03− 0

=2

3.

Potom platí

limn→∞

42n2+3

3n2−1 = 4lim

n→∞2n2+3

3n2−1 = 423 .

Príklad 6. Vypočítajme

a)

limn→∞

3

√2n2 − 8n + 2

4n2 − 1

b)

limn→∞

3n2 − 8n + 2

4n− n3.

Riešenie:

Page 131: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 131

a)

limn→∞

3

√2n2 − 8n + 2

4n2 − 1=

3

√lim

n→∞

2n2 − 8n + 2

4n2 − 1=

= 3

√lim

n→∞

2− 8n

+ 2n2

4− 1n2

= 3

√2− 8 · 0 + 2 · 0

4− 0=

3

√1

2

b)

limn→∞

3n2 − 8n + 2

4n− n3·

1n3

1n3

= limn→∞

3n− 8

n2 + 24n2 − 1

=0− 0 + 0

0− 1= 0.

Príklad 7. Vypočítajme

a)

limn→∞

(n−

√n2 + n

)b)

limn→∞

(1− 5

n

)n

.

Riešenie:

a)

limn→∞

(n−

√n2 + n

)· n +

√n2 + n

n +√

n2 + n= lim

n→∞

n2 − (n2 − n)

n +√

n2 + n=

= limn→∞

−n

n +√

n2 + n·

1n1n

= limn→∞

−1

1 +√

1 + 1n

=−1√1 + 0

= −1

2

b) Po úprave dostaneme

limn→∞

(1− 5

n

)n

= limn→∞

[(1 +

1

−n5

)−n5

]−5

=

[lim

n→∞

(1 +

1

−n5

)−n5

]−5

= e−5.

Príklad 8. Vypočítajme

limn→∞

(2n− 2

2n− 3

)3n+4

.

Riešenie:

limn→∞

(2n− 2

2n− 3

)3n+4

= limn→∞

(1 +

2n− 2

2n− 3− 1

)3n+4

=

= limn→∞

(1 +

2n− 2− (2n− 3)

2n− 3

)3n+4

= limn→∞

(1 +

1

2n− 3

)3n+4

=

Page 132: 157 Matematika zbierka

132 F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA

= limn→∞

[(1 +

1

2n− 3

)2n−3] 3n+4

2n−3

Limita výrazu v [ ] je rovná číslu e (podľa vety 7) a

limn→∞

3n + 4

2n− 3=

3

2,

preto (podľa vety 5 bod 6.)

limn→∞

(2n− 2

2n− 3

)3n+4

= e32 .

Poznámka 1. Tento príklad sa dá vyriešiť aj bez použitia vety 5 bod 6.:

limn→∞

(2n− 2

2n− 3

)3n+4

= limn→∞

(1 +

2n− 2

2n− 3− 1

)3n+4

=

= limn→∞

(1 +

2n− 2− (2n− 3)

2n− 3

)3n+4

= limn→∞

(1 +

1

2n− 3

)3n+4

=

= limn→∞

[(1 +

1

2n− 3

)2n−3] 3

2

·(

1 +1

2n− 3

)4+ 92

=

=

[lim

n→∞

(1 +

1

2n− 3

)2n−3] 3

2

·[

limn→∞

(1 +

1

2n− 3

)]4+ 92

= e32 · 1 = e

32 .

Poznámka 2. Pri nesprávnom použití viet o limitách tento príklad vedie k”číslu“

1∞. Tento typ limity patrí do zoznamu tzv.”problematických“ limít (ďalšie sú 0

0,

∞∞ , ∞−∞, 0 · ∞, ∞0, 00). Podrobne sa úlohami, ktoré vedú k jednotlivým typomtýchto limít budeme zaoberať pri limitách funkcie, v časti - L’Hospitalovo pravidlo(od strany 171). Pri úlohách, ktoré nevedú k niektorému z týchto siedmich typov,prakticky dostaneme priamo výsledok. Napríklad

a) limn→∞

(2 + 1

n

)n= ∞ (typ 2∞)

b) limn→∞

(12

+ 1n

)n= 0 (typ

(12

)∞).

Príklad 9. Vypočítajme limity

a)lim

n→∞(7 + 4n)

Page 133: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 133

b)

limn→∞

3n2 + 8n− 7

9n + 5.

Riešenie:

a) Na základe viet o nevlastných limitách postupnosti je

limn→∞

(7 + 4n) = ∞

b) Označme bn = 3n2+8n−79n+5

.

Vypočítajme

limn→∞

1

bn

= limn→∞

9n + 5

3n2 + 8n− 7= lim

n→∞

9n

+ 5n2

3 + 8n− 7

n2

=0 + 0

3 + 0− 0= 0.

Pre všetky n ∈ N je bn > 0 a podľa viet o limitách postupnosti platílim

n→∞1bn

= 0 a preto (veta 10)

limn→∞

bn = limn→∞

3n2 + 8n− 7

9n + 5= ∞.

Page 134: 157 Matematika zbierka

134 F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA

Úlohy1. Napíšte prvých päť členov postupnosti

a){

14n

}∞n=1

b) {2+(−1)n

3

}∞n=1

c) {√

n}∞n=1 d) {1−cos nπ

2

}∞n=1

2. Dokážte, že postupnosť {an} je monotónna a ohraničená, ak

a) an = n+1n+3

b) an = n+1n

c) an = n3n−1

d) an = 3n2−n2

3. Pomocou definície limity postupnosti dokážte, že limn→∞

an = a, ak

a) an = 7n−1n+1

, a = 7

b) an = 4n2+13n2+2

, a = 43

c) an = 5n+156−n

, a = −5

d) an = 2n−12−3n

, a = −23

V úlohách 4 - 19 vypočítajte limity

4. a) limn→∞

(7 + 4

2n

)b) lim

n→∞

(35n− 6) c) lim

n→∞

(8− 1

5n

)d) lim

n→∞

(47n

+ 1)

5. a) limn→∞

(4− 2

5n2

8+ 6n

)b) lim

n→∞

13n−6

5+ 4n2

c) limn→∞

3+ 4n3

5n4−2

d) limn→∞

3n4

6− 1n

6. a) limn→∞

2−2n3+4n

b) limn→∞

23−4n2−n

c) limn→∞

1+3n2

6−n2

d) limn→∞

2−3n2

4+5n2

7. a) limn→∞

n3+12n3−6n+2

b) limn→∞

n2+n+42n3+5

c) limn→∞

2n4−6n2+1n4+n3+n

d) limn→∞

n3+2n2+n−13n3−n+1

8. a) limn→∞

(n+1)(n−2)(n+3)n5+1

b) limn→∞

(3−n)2−(3+n)2

(3−n)2+(3+n)2

c) limn→∞

(1+2n)3−8n3

(1+2n)3+4n2

d) limn→∞

n3−(n−1)3

(n+1)4−n4

9. a) limn→∞

√n2+3n+4

b) limn→∞

4n2+√

n2+1n2+n+2

c) limn→∞

√n2+3+n

6√n4+4−n

d) limn→∞

√n2+6+n

7√n3+2−n

Page 135: 157 Matematika zbierka

Úlohy 135

10. a) limn→∞

3q

n3+√

2n− 7√n

2−5n

b) limn→∞

4+3n3q

n3+√

5n− 6√n

c) limn→∞

3q

8n2+√

2n2+ 6√n

3−4n

d) limn→∞

4√n2+

3√n2+ 6√n

3√n4+2

11. a) limn→∞

3

√2n2+6n+1

3n2+6

b) limn→∞

(n5+12n5+n

)4

c) limn→∞

√n4+3

2n4+n2+1

d) limn→∞

(2n2+3n−1

n2+2

)3

12. a) limn→∞

3·2n

2n+1

b) limn→∞

3n

2n+2

c) limn→∞

4·5n

4n−3

d) limn→∞

7n+42−3·7n

13. a) limn→∞

32n

n+1

b) limn→∞

(25

) 1n2+6n+8

c) limn→∞

46n−24−2n

d) limn→∞

(13

) 2n2+6n−5

n2+2n−1

14. a) limn→∞

(√n + 1−

√n)

b) limn→∞

(√n + 2−

√n) c) lim

n→∞

(n−

√n2 + n

)d) lim

n→∞

√n(√

n + 1−√

n)

15. a) limn→∞

(√n2 − 7n + 8− n

)b) lim

n→∞

(√n2 − 6n + 8− n

)c) lim

n→∞

(n−

√n2 − 4n + 7

)d) lim

n→∞

(√n2 − 3n + 6−

√n2 + 6n− 3

)16. a) lim

n→∞

(1 + 1

3n

)nb) lim

n→∞

(1− 3

2n

)n2

c) limn→∞

(1 + 1

2n+5

)2n

d) limn→∞

(1 + 1

3n

)2n

17. a) limn→∞

(3n−23n+1

)5n−3

b) limn→∞

(3n+13n+2

)3n

c) limn→∞

(n+2

n

) 2n3

d) limn→∞

(n+3n−2

)4n+1

18. a) limn→∞

(n+1n−4

)2n−3

b) limn→∞

(8n2+58n2+7

)8n2+6

c) limn→∞

(2n−21+2n

)4n−1

d) limn→∞

(3+2n2n−1

)n19. a) lim

n→∞n2+21−n

b) limn→∞

3n3+2n2+n+1n2+4n+7

c) limn→∞

(7 + 8n)

d) limn→∞

3q

n5+√

2n− 7√n+1

2−5n

Page 136: 157 Matematika zbierka

136 F POSTUPNOSŤ A JEJ LIMITA

Výsledky

1. a){

14; 1

42 ;143 ;

144 ;

145 ; . . .

}b){

13; 1; 1

3; 1; 1

3; . . .

} c){1;√

2;√

3;√

4;√

5; . . .}

d) {1; 0; 1; 0; 1; . . . }

4. a) 7 b) −6 c) 8 d) 1

5. a) 12

b) −65

c) −32

d) 0

6. a) −12

b) 4 c) −3 d) −35

7. a) 12

b) 0 c) 2 d) 13

8. a) 0 b) 0 c) 0 d) 0

9. a) 1 b) 4 c) −1 d) −1

10. a) −15

b) 3 c) 0 d) 0

11. a) 3

√23

b) 116

c)√

12 d) 8

12. a) 3 b) 12

c) 0 d) −13

13. a) 9 b) 1 c) 4−3 d) 19

14. a) 0 b) 0 c) −12

d) 12

15. a) −72

b) −3 c) 2 d) −92

16. a) e13 b) e−

34 c) e d) e

23

17. a) e−5 b) e−1 c) e43 d) e20

18. a) e10 b) e−2 c) e−6 d) e2

19. a) −∞ b) ∞ c) ∞ d) −∞

Page 137: 157 Matematika zbierka

G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE 137

G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE

Definícia 1. Nech a ∈ R je číslo. Ľubovoľný otvorený interval, ktorý obsahuječíslo a nazývame okolím čísla a, a označujeme ho znakom O(a). Interval(a− δ; a + δ), kde δ je ľubovoľné kladné reálne číslo nazývame δ-okolím čísla a aoznačujeme ho Oδ(a). Ľavým, resp. pravým okolím čísla a rozumieme interval(a− δ; a) resp. (a; a + δ). Interval (K;∞) resp. (−∞; K), kde K je ľubovoľnéreálne číslo nazývame okolím nevlastného čísla ∞ resp. −∞ a budeme hooznačovať O(∞) resp. O(−∞).

Definícia 2. Nech M ⊂ R je obor definície funkcie f . Nech O(a) je také okoliečísla a, že funkcia f je v každom čísle x ∈ O(a), x 6= a definovaná (v čísle a funkciaf nemusí byť definovaná). Hovoríme, že funkcia f má v čísle a za limitu číslob, keď pre každú postupnosť čísiel {an} takú, že an ∈ M, an 6= a pre každé n ∈ N alim

n→∞an = a, je lim

n→∞f (an) = b. Túto limitu označujeme lim

x→af (x) = b.

Definícia 3. Nech M ⊂ R je obor definície funkcie f . Nech (a; a + δ) ⊂ M

[(a− δ; a) ⊂ M ] , kde δ > 0. Hovoríme, že funkcia f má v čísle a limitu sprava[limitu zľava] číslo b, keď pre každú postupnosť čísiel {an} takú, že an ∈ M,

an > a [an < a] pre každé n ∈ N a limn→∞

an = a, je limn→∞

f (an) = b.

Limitu sprava [zľava] funkcie f v čísle a označujeme limx→a+

f (x) = b[lim

x→a−f (x) = b

].

Definícia 4. Nech M ⊂ R je obor definície funkcie f . Nech O(∞) ⊂ M

[O(−∞) ⊂ M ]. Hovoríme, že že funkcia f má v ∞ [−∞] limitu číslo b, keď prekaždú postupnosť čísiel {an} takú, že an ∈ M, pre každé n ∈ N a lim

n→∞an = ∞,

[ limn→∞

an = −∞], je limn→∞

f (an) = b.

Limitu funkcie f v ∞ [−∞] označujeme limx→∞

f (x) = b [ limx→−∞

f (x) = b].

Veta 1. Funkcia f má v čísle a limitu práve vtedy, keď má v čísle a limitu spravaa limitu zľava a platí:

limx→a

f (x) = limx→a+

f (x) = limx→a−

f (x)

Veta 2. Funkcia f má v čísle a najviac jednu limitu.

Page 138: 157 Matematika zbierka

138 G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE

Veta 3.

a) Nech funkcie f a g majú v čísle a limitu. Potom v čísle a má limitu aj f + g,

f − g, fg a platí:

limx→a

[f(x)± g(x)] = limx→a

f(x)± limx→a

g(x)

limx→a

[f(x) · g(x)] = limx→a

f(x) · limx→a

g(x)

b) Nech funkcie f a g majú v čísle a limitu a nech limx→a

g(x) 6= 0. Potom aj

funkcia fgmá v čísle a limitu a platí:

limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a

f(x)

limx→a

g(x).

Veta 4. Nech zložená funkcia f(g) je definovaná v okolí O(a) čísla a (v čísle a

nemusí byť definovaná). Nech existujú limity

limx→a

g(x) = b a limu→b

f(u) = B.

Nech pre všetky x 6= a z nejakého okolia bodu a je g(x) 6= b. Potom existuje limitazloženej funkcie f(g) v čísle a a platí

limx→a

f(g(x)) = limu→b

f(u) = B.

Veta 5. Nech limx→a

f(x) = 0. Nech funkcia g je definovaná a ohraničená v nejakom

intervale (a− δ; a) ∪ (a; a + δ). Potom limx→a

f(x) · g(x) = 0

Definícia 5. Nech funkcia f je definovaná na množine M ⊂ R. Nech O(a) je takéokolie čísla a, že funkcia f je v každom čísle x ∈ O(a), x 6= a definovaná (v čísle a

funkcia f nemusí byť definovaná). Hovoríme, že funkcia f má v čísle a

nevlastnú limitu ∞ [−∞] keď pre každú postupnosť čísiel {an} takú, že an ∈ M,

an 6= a pre každé n ∈ N a limn→∞

an = a, je limn→∞

f (an) = ∞ [ limn→∞

f (an) = −∞].Túto limitu označujeme lim

x→af (x) = ∞ [lim

x→af (x) = −∞].

Definícia 6. Nech funkcia f je definovaná na množine M ⊂ R. Nech(a; a + δ) ⊂ M [(a− δ; a) ⊂ M ] , kde δ > 0. Hovoríme, že funkcia f má v čísle a

nevlastnú limitu sprava ∞ resp. −∞ [limitu zľava ∞ resp. −∞], keď pre

Page 139: 157 Matematika zbierka

G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE 139

každú postupnosť čísiel {an} takú, že an ∈ M, an > a [an < a] pre každé n ∈ N alim

n→∞an = a, je

limn→∞

f (an) = ∞ resp. limn→∞

f (an) = −∞.

Nevlastnú limitu sprava [zľava] funkcie f v čísle a označujeme

limx→a+

f (x) = ∞ resp. −∞

[ limx→a−

f (x) = ∞ resp. −∞].

Definícia 7. Nech funkcia f je definovaná na množine M ⊂ R.Nech O(∞) ⊂ M [O(−∞) ⊂ M ]. Hovoríme, že funkcia f má v ∞ [−∞]nevlastnú limitu ∞ resp. −∞, keď pre každú postupnosť čísiel {an} takú, žean ∈ M, pre každé n ∈ N a lim

n→∞an = ∞, [ lim

n→∞an = −∞], je

limn→∞

f (an) = ∞ resp. limn→∞

f (an) = −∞.

Nevlastnú limitu funkcie f v ∞ [−∞] označujeme

limx→∞

f (x) = ∞ resp. −∞

[ limx→−∞

f (x) = ∞ resp. −∞].

Veta 6. Nech limx→a

f(x) = b 6= 0 a limx→a

g(x) = 0. Nech existuje okolie O(a) čísla a

také, že pre všetky x ∈ O(a), x 6= a je g(x) > 0 [g(x) < 0]. Potom platí:

limx→a

f(x)

g(x)= ∞, ak b > 0, alebo lim

x→a

f(x)

g(x)= −∞, ak b < 0

[limx→a

f(x)

g(x)= −∞, ak b > 0, alebo lim

x→a

f(x)

g(x)= ∞, ak b < 0

].

Veta 7. Nech limx→a

f(x) = ∞ alebo limx→a

f(x) = −∞. Potom limx→a

1f(x)

= 0.

Veta 8. Nech limx→a

f(x) = ∞ [limx→a

f(x) = −∞]. Nech existuje okolie O(a) čísla a

také, že pre všetky x ∈ O(a), x 6= a je g(x) ≥ K [g(x) ≤ K], K je číslo. Potomplatí:

limx→a

(f(x) + g(x)) = ∞[limx→a

(f(x) + g(x)) = −∞].

Page 140: 157 Matematika zbierka

140 G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE

Veta 9. Nech limx→a

f(x) = ∞ [limx→a

f(x) = −∞]. Nech existuje okolie O(a) čísla a a

číslo K > 0 také, že pre všetky x ∈ O(a), x 6= a je g(x) ≥ K. Potom platí:

limx→a

(f(x) · g(x)) = ∞[limx→a

(f(x) + g(x)) = −∞].

Vety 2 - 9 platia aj pre limitu sprava, limitu zľava, ako aj pre limity v nevlastnýchčíslach (namiesto O(a) treba uvažovať pravé okolie, ľavé okolie čísla a resp. okoliaO(∞) a O(−∞))

Veta 10.

a) limx→0

sin xx

= 1

b) limx→±∞

(1 + 1

x

)x= e

Definícia 8. Nech funkcia f je definovaná v nejakom okolí O (x0) čísla x0

[〈x0; x0 + δ);(x0 − δ; x0〉]. Hovoríme, že funkcia f je spojitá [sprava spojitá;zľava spojitá] v čísle x0, ak platí

limx→x0

f(x) = f (x0)

[lim

x→x+0

f(x) = f (x0) ; limx→x−0

f(x) = f (x0)

]

Definícia 9. Hovoríme, že funkcia f je spojitá na intervale I, ak je spojitá vkaždom vnútornom bode (čísle) intervalu I, spojitá sprava v ľavom koncovom bodeintervalu I, ak tento bod patrí do I a spojitá zľava v pravom koncovom bodeintervalu I, ak tento bod patrí do I.

Hovoríme, že funkcia f je spojitá, ak je spojitá na svojom obore definície.

Definícia 10. Body, v ktorých funkcia f nie je spojitá, nazývame bodminespojitosti.

Veta 11. Nech funkcie f a g sú spojité v čísle x0. Potom aj funkcie |f |, f ± g,

f · g sú spojité v čísle x0, a ak g (x0) 6= 0, tak aj fgje spojitá v čísle x0.

Veta 12. Ak funkcia g je spojitá v čísle x0 a funkcia f je spojitá v čísle g (x0) ,

tak zložená funkcia f(g) je spojitá v čísle x0.

Veta 13. Každá elementárna funkcia je spojitá v každom bode svojho oborudefinície.

Page 141: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 141

Riešené príkladyPríklad 1. Pomocou definície limity funkcie dokážme, že

limx→−3

x2 − 9

x + 3= −6.

Riešenie: f(x) = x2−9x+3a jej obor definície Df = (−∞;−3) ∪ (−3;∞). Nech {an}

je ľubovoľná číselná postupnosť taká, že an ∈ Df , an 6= −3 a limn→∞

an = −3. Potom

limn→∞

f (an) = limn→∞

a2n − 9

an + 3= lim

n→∞

(an + 3)(an − 3)

an + 3=

limn→∞

(an − 3) =(

limn→∞

an

)− 3 = −3− 3 = −6

Príklad 2. Pomocou viet o limitách funkcií vypočítajme

limx→−1

3x4 + 2x2 − 3x− 1

x2 + 2.

Riešenie:

limx→−1

3x4 + 2x2 − 3x− 1

x2 + 2=

limx→−1

(3x4 + 2x2 − 3x− 1)

limx→−1

(x2 + 2)=

=lim

x→−13x4 + 2 lim

x→−1x2 − 3 lim

x→−1x− 1

limx→−1

x2 + 2=

3 · (−1)4 + 2 · (−1)2 − 3 · (−1)− 1

(−1)2 + 2=

7

3.

Príklad 3. Vypočítajme

limx→2

x2 + x− 6

x2 − 6x + 8.

Riešenie:

limx→2

x2 + x− 6

x2 − 6x + 8= lim

x→2

(x− 2)(x + 3)

(x− 2)(x− 4)= lim

x→2

(x + 3)

(x− 4)=

limx→2

(x + 3)

limx→2

(x− 4)=

2 + 3

2− 4= −5

2.

Príklad 4. Vypočítajme

limx→0

1− cos 2x + tg2 x

x sin x.

Page 142: 157 Matematika zbierka

142 G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE

Riešenie: Riešime pomocou vzorcov pre goniometrické funkcie a viet o limitáchfunkcií:

limx→0

1− cos 2x + tg2 x

x sin x= lim

x→0

1− (cos2 x− sin2 x) + tg2 x

x sin x= lim

x→0

2 sin2 x + sin2 xcos2 x

x sin x=

= limx→0

sin2 x (2 cos2 x + 1)

x sin x cos2 x= lim

x→0

sin x

x· 2 cos2 x + 1

cos2 x=

= limx→0

sin x

x· lim

x→0

2 cos2 x + 1

cos2 x= 1 · 2 · 1 + 1

1= 3.

Príklad 5. Vypočítajme

limx→∞

(x + 3)(x + 4)(x + 5)

x4 + x− 11.

Riešenie:

limx→∞

(x + 3)(x + 4)(x + 5)

x4 + x− 11= lim

x→∞

x3 + 12x2 + 47x + 60

x4 + x− 11·

1x4

1x4

=

= limx→∞

1x

+ 12x2 + 47

x3 + 60x4

1 + 1x3 − 11

x4

=0

1= 0.

Príklad 6. Vypočítajme

limx→∞

(x3

2x2 − 1− x2

2x + 1

).

Riešenie:

limx→∞

(x3

2x2 − 1− x2

2x + 1

)= lim

x→∞

x3(2x + 1)− x2(2x2 − 1)

(2x2 − 1)(2x + 1)=

= limx→∞

2x4 + x3 − 2x4 + x2

(2x2 − 1)(2x + 1)= lim

x→∞

x3 + x2

4x3 + 2x2 − 2x− 1=

= limx→∞

1 + 1x

4 + 2x− 2

x2 − 1x3

=1

4.

Príklad 7. Vypočítajme

limx→1

x2 − x√x− 1

.

Page 143: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 143

Riešenie: Zlomok rozšírime dvojčlenom√

x + 1 :

limx→1

x2 − x√x− 1

·√

x + 1√x + 1

= limx→1

x(x− 1)(√

x + 1)

(x− 1)= lim

x→1x(√

x + 1) =

= 1 · (√

1 + 1) = 2.

Príklad 8. Vypočítajme

limx→c

√x−

√c

x− c,

pre c > 0.

Riešenie:

limx→c

√x−

√c

x− c·√

x +√

c√x +

√c

= limx→c

x− c

(x− c)(√

x +√

c)= lim

x→c

1√x +

√c

=1

2√

c.

Príklad 9. Vypočítajme

limx→∞

√x + 2

√3x + 4

√5x

√2x + 1

.

Riešenie: Čitateľ a menovateľ vydelíme výrazom√

x > 0. Dostaneme

limx→∞

√x + 2

√3x + 4

√5x

√2x + 1

= limx→∞

√x+2√

3x+4√

5x

x√2x+1

x

=

= limx→∞

√√√√1 + 2√

3x+4√

5xx2

2 + 1x

= limx→∞

√√√√√1 + 2

√3x

+ 4√

5x3

2 + 1x

=

=

√1 + 2 ·

√0 + 4

√0

2 + 0=

√1

2.

Príklad 10. Vypočítajme

limx→0

sin 3x

x.

Riešenie:limx→0

sin 3x

x= lim

x→0

3 sin 3x

3x= 3 lim

x→0

sin 3x

3x= 3 · 1 = 3.

Page 144: 157 Matematika zbierka

144 G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE

Príklad 11. Vypočítajme

limx→0

tg x

3x.

Riešenie:

limx→0

tg x

3x= lim

x→0

sin x

3x cos x= lim

x→0

1

3· sin x

x· 1

cos x=

1

3· 1 · 1 =

1

3.

Príklad 12. Vypočítajme

limx→0

tg 5x

tg 6x.

Riešenie:

limx→0

tg 5x

tg 6x= lim

x→0

tg 5xx

tg 6xx

= limx→0

5 sin 5x5x

· 1cos 5x

6 sin 6x6x

· 1cos 6x

=5 · 16 · 1

· 1

1=

5

6.

Príklad 13. Vypočítajme

limx→∞

(x− 3

x + 2

)2x+1

.

Riešenie:

limx→∞

(x− 3

x + 2

)2x+1

= limx→∞

(1 +

x− 3

x + 2− 1

)2x+1

=

= limx→∞

(1 +

x− 3− (x + 2)

x + 2

)2x+1

= limx→∞

(1 +

−5

x + 2

)2x+1

=

= limx→∞

(1 +

1x+2−5

)2x+1

= limx→∞

(1 +

1x+2−5

)x+2−5

−5

x+2

2x+1

=

= limx→∞

(1 +1

x+2−5

)x+2−5

−5(2x+1)

x+2

= limx→∞

(1 +1

x+2−5

)x+2−5

−10x−5

x+2

.

Limita výrazu v [ ] je číslo e a limx→∞

−10x−5x+2

= −10. Teda

limx→∞

(x− 3

x + 2

)2x+1

= e−10.

Alebo

limx→∞

(x− 3

x + 2

)2x+1

= limx→∞

(1 +

x− 3

x + 2− 1

)2x+1

=

Page 145: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 145

= limx→∞

(1 +

x− 3− (x + 2)

x + 2

)2x+1

= limx→∞

(1 +

−5

x + 2

)2x+1

=

= limx→∞

(1 +

1x+2−5

)2x+1

= limx→∞

(1 +1

x+2−5

)x+2−5

−10

·

(1 +

1x+2−5

)−3

=

=

limx→∞

(1 +

1x+2−5

)x+2−5

−10

·

[lim

x→∞

(1 +

1x+2−5

)]−3

= e−10 · 1−3 = e−10

Príklad 14. Vypočítajme jednostrannú limitu

limx→3−

4

x− 3.

Riešenie: Funkcia h(x) = 4x−3a Dh = (−∞; 3) ∪ (3;∞). Teda funkcia h je

definovaná v ľavom okolí čísla 3 a limx→3−

g(x) = limx→3−

(x− 3) = 0 pričom x− 3 < 0.

Podľa vety 6 je limx→3−

4x−3

= −∞.

Príklad 15. Vypočítajme jednostrannú limitu limx→−2+

arccos x−24

.

Riešenie: Ak položíme g(x) = x−24a f(u) = arccos u, tak f(g) = arccos x−2

4. Daná

funkcia je teda zloženou funkciou. Jej definičný obor

Df(g) =

{x ∈ R : −1 ≤ x− 2

4≤ 1

}= 〈−2; 6〉.

Existuje pravé okolie čísla −2, v ktorom je f(g) definovaná. Vypočítajmelim

x→−2+g(x) = lim

x→−2+

x−24

= −1, pričom x−24

> −1. Potom limu→−1+

arccos u = π. Podľa

vety o limite zloženej funkcie limx→−2+

arccos x−24

= π.

Príklad 16. Na základe definície spojitej funkcie dokážme, že funkciaf(x) = 3 + 1

xje spojitá v čísle x0 = 1.

Riešenie: Df = (−∞; 0) ∪ (0;∞). Teda funkcia f je definovaná v okolí čísla 1.

Treba dokázať, že limx→1

f(x) = f(1) = 3 + 11

= 4.

limx→1

f(x) = limx→1

(3 + 1

x

)= 3 + 1

1= 4.

Príklad 17. Nájdime body nespojitosti funkcie

f(x) =x2 − 25

x− 5.

Page 146: 157 Matematika zbierka

146 G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE

Riešenie: Obor definície danej funkcie je Df = (−∞; 5) ∪ (5;∞). Teda číslox0 = 5 je bodom nespojitosti funkcie f. Ukážeme, že f nemá iné body nespojitosti.Nech x0 ∈ Df , x0 6= 5. Potom

limx→x0

f(x) = limx→x0

x2 − 25

x− 5=

x20 − 25

x0 − 5= f (x0) .

Čiže funkcia f je (podľa definície spojitosti) spojitá v každom čísle x0 ∈ Df . Tedačíslo x0 = 5 je jediným bodom nespojitosti funkcie f.

Page 147: 157 Matematika zbierka

Úlohy 147

Úlohy1. Pomocou definície limity funkcie dokážte, že

a) limx→2

x2−4x−2

= 4 b) limx→2

2(x−2)2

= ∞

2. Pomocou definície limity funkcie dokážte, že funkcia f(x) = x2−12x2−x−1

má tietolimity

a) limx→0

f(x) = 1

b) limx→1

f(x) = 23

c) limx→−∞

f(x) = 12

d) limx→− 1

2

+f(x) = ∞

V úlohách 3 - 16 vypočítajte limity

3. a) limx→2

3x−5x2−2x+3

b) limx→0

x3+2x2−x−2x2−1

c) limx→π

tg x−sin xcos3 x

d) limx→2

x2−4x+1

4. a) limx→1

x−1x2−3x+2

b) limx→2

x2−4x2−3x+2

c) limx→−1

x+1x2−2x−3

d) limx→−3

x+3x2+4x+3

5. a) limx→∞

x2−1x2−2x+4

b) limx→−∞

2x2−6x+1x2+3x−1

c) limx→∞

x2−43x2+5x−1

d) limx→−∞

2x3+2x−14x3+4x2+5

6. a) limx→

√3

x2−3x4+x2+1

b) limx→1

(1

1−x− 3

1−x3

) c) limx→∞

(5x2−xx2−3

− 3x3−4x3−x

)d) lim

x→0

(1+x)5−(1+5x)x2+x5

7. a) limx→∞

x3−2x2

4−x2

b) limx→∞

x2−4x+5x−2

c) limx→−∞

x3−4x2+1x2+2

d) limx→−∞

x5−4x3+x2

x4−1

8. a) limx→−3

x+3√x+4−1

b) limx→7

2−√

x−3x2−49

c) limx→−2

√6+x−2x+2

d) limx→2

√2+x−2√

x−2

9. a) limx→0

√6+x−

√6−x

x

b) limx→−1

√2x+3−1√5+x−2

c) limx→2

√x2−1−

√x2+x−3

x2−4

d) limx→∞

√1+x+x2−

√1−x+x2

x

Page 148: 157 Matematika zbierka

148 G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE

10. a) limx→∞

(√x− 2−

√x)

b) limx→∞

(x−

√x2 − 1

)c) lim

x→∞

(√2x + 1−

√x + 2

)d) lim

x→∞

(√x2 + 11x + 3−

√x2 − 5x + 9

)11. a) lim

x→∞

√3x2+5x−

√x

4−x

b) limx→∞

3√x7+1+ 4√x3+55√x2+9+

√x3

c) limx→∞

4√x5+

5√x3+

6√x8

3√x4+2

d) limx→∞

5√x5+3x2−1x+2

12. a) limx→0

sin 5x2x

b) limx→0

sin 4xsin3x

c) limx→0

4 sin x cos x3x

d) limx→0

tg 8x5x

13. a) limx→0

x · cotg x

b) limx→0

cos x−cos3 xx2

c) limx→0+

sin xx3

d) limx→∞

cos2 xx

14. a) limx→∞

(2x+42x+5

)x+3

b) limx→∞

(x+1x−1

)2x+3

c) limx→∞

(x2+3x2−4

)5x2−7

d) limx→∞

(x2+1x2−1

)x2

15. a) limx→1−

xx−1

b) limx→2+

3x−2

c) limx→2+

3x2−x

d) limx→−1−

x−2x+1

16. a) limx→−1+

arctg 11+x

b) limx→ 1

2

+ln(2x− 1)

c) limx→2+

1(x−2)2

d) limx→∞

e5x2−2

17. Na základe definície spojitosti dokážte, že funkcia f je v bode x0 spojitá.

a) f(x) =√

x + 3, x0 = 5

b) f(x) = 2x + 3, x0 = 4

c) f(x) = x+1x−2

, x0 = 7

d) f(x) = e2x+3, x0 = −1

18. Dokážte, že funkcia f je v bode x0 nespojitá.

a) f(x) = x2−16x−4

, x0 = 4

b) f(x) = 1(2+x)2

, x0 = −2

c) f(x) = ln x2, x0 = 0

d) f(x) = xsin x

, x0 = π

Page 149: 157 Matematika zbierka

Úlohy 149

19. Nájdite body, v ktorých funkcia f nie je spojitá a dodefinujte ju v týchtobodoch tak, aby takto dodefinovaná funkcia bola spojitá na R

a) f(x) = 1+x3

1+x

b) f(x) = sin 2xcos x

c) f(x) = x2−4x+2

d) f(x) = 29−x2

20. Určte body nespojitosti funkcie

a)

f(x) =

{ex x < 0x + 3 x ≥ 0

b)

f(x) =

{x x ≥ 0x2 − x x < 0

c)

f(x) =

{e

1x x 6= 0

0 x = 0

d)

f(x) =

{2x x 6= 34 x = 3

21. Dokážte, že funkcia f je spojitá na danej množine M

a) f(x) = x + 3√

x, M = 〈0;∞)

b) f(x) = x+2x−3

, M = (3;∞)

c) f(x) = arcsin x+12

, M = Df

d) f(x) = x2 + 6x + 5, M = (−∞;∞).

Page 150: 157 Matematika zbierka

150 G LIMITA FUNKCIE. SPOJITOSŤ FUNKCIE

Výsledky

3. a) 13

b) 2 c) 0 d) 0

4. a) −1 b) 4 c) −14

d) −12

5. a) 1 b) 2 c) 13

d) 12

6. a) 0 b) −1 c) 16 d) 10

7. a) −∞ b) ∞ c) −∞ d) −∞

8. a) 2 b) 156

c) 14

d) 0

9. a)√

66

b) 4 c) −√

324

d) 0

10. a) 0 b) 0 c) ∞ d) 8

11. a)√

3 b) ∞ c) 1 d) 1

12. a) 52

b) 43

c) 43

d) 85

13. a) 1 b) 1 c) ∞ d) 0

14. a) e−12 b) e4 c) e35 d) e2

15. a) −∞ b) ∞ c) −∞ d) ∞

16. a) π2

b) −∞ c) ∞ d) ∞

19. a) x = −1; f(−1) = 3

b) x1 = (4k + 1)π2; f (x1) = 2

x2 = (4k + 3)π2; f (x2) = −2, k ∈ Z

c) x = −2; f(−2) = −4

d) x1 = 3, x2 = −3; nedá sa

20. a) x = 0 b) f je spojitá c) x = 0 d) x = 3

Page 151: 157 Matematika zbierka

H DERIVÁCIA FUNKCIE 151

H DEFINÍCIA DERIVÁCIE. DEFINÍCIA AZÁKLADNÉ VZORCE. GEOMETRICKÝ AFYZIKÁLNY VÝZNAM DERIVÁCIÍ. DERIVÁCIEVYŠŠÍCH RÁDOV.

Definícia derivácieDefinícia 1. Nech je funkcia y = f(x) definovaná v bode x0 a v nejakom jehookolí. Ak existuje limita

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

, (H.1)

nazývame ju deriváciou funkcie v bode x0 a označujeme f ′(x0). Na označeniederivácie často používame aj symboly[

df

dx

]x=x0

resp.df

dx(x0). (H.2)

Ak rozdiel x− x0 označíme symbolom ∆x, dostaneme

f ′(x0) = lim∆x→0

f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x. (H.3)

Definícia 2. Nech má funkcia y = f(x) deriváciu v každom bode x0 ∈ M .Hovoríme, že funkcia g(x) je deriváciou funkcie f(x) na množine M , ak prekaždý bod x0 ∈ M platí g(x0) = f ′(x0). Deriváciu funkcie na množine budemeoznačovať

f ′(x) resp.df

dx,

df(x)

dx. (H.4)

Derivácia funkcie y = f(x) je limitou pomeru prírastku funkcie k prírastkunezávislej premennej

f ′(x) = lim∆x→0

f(x + ∆x)− f(x)

∆x. (H.5)

Geometrický význam derivácieSmernica dotyčnice ku grafu funkcie y = f(x) v dotykovom bode T = [x0, f(x0)] jederivácia danej funkcie v bode x0. Označme y0 = f(x0). Potom rovnicoudotyčnice je

t : y − y0 = f ′(x0)(x− x0). (H.6)

Page 152: 157 Matematika zbierka

152 H DERIVÁCIA FUNKCIE

Ak f ′(x0) 6= 0, rovnica normály ku grafu funkcie y = f(x) v bode T je

n : y − y0 = − 1

f ′(x0)(x− x0). (H.7)

f(x)

dotyčnica

normála

T = [x0, y0]

x0

y0

X = [x, y]

x

y

α

Obrázok H.1: Dotyčnica a normála ku grafu funkcie

Fyzikálny význam derivácie1. Ak s = f(t) je funkcia vyjadrujúca priamočiary pohyb hmotného bodu v čase t,tak f ′(t0) udáva veľkosť rýchlosti tohto bodu v čase t0 (takzvanú okamžitúrýchlosť)

v(t0) =ds

dt(t0) = f ′(t0). (H.8)

Zrýchlenie vypočítame ako deriváciu rýchlosti v čase t0

a(t0) =dv

dt(t0). (H.9)

Page 153: 157 Matematika zbierka

Základné vzorce 153

Priemerná rýchlosť pohybujúceho sa bodu v časovom intervale (t0, t) je podiel

vp =f(t)− f(t0)

t− t0. (H.10)

2. Ak je fyzikálna veličina daná funkciou času m(t), rýchlosť zmeny tejto veličiny včase t je

v(t) =dm(t)

dt. (H.11)

Napríklad rýchlosť rozpadu rádioaktívnej látky, rýchlosť chemickej reakcie,intenzita elektrického prúdu ap. Priemerná rýchlosť zmeny fyzikálnej veličiny včasovom intervale (t0, t) je podiel

mp =m(t)−m(t0)

t− t0. (H.12)

Základné vzorceVeta 1. Nech funkcie f(x) a g(x) majú na množine M deriváciu a nech c jereálne číslo. Potom aj funkcie c · f(x), f(x) + g(x), f(x)− g(x), f(x) · g(x) majúna množine M derivácie a platí:

(c · f(x))′ = c · f ′(x) (H.13)

(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x) (H.14)

(f(x)− g(x))′ = f ′(x)− g′(x) (H.15)

(f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) (H.16)

Veta 2. Nech funkcie f(x) a g(x) majú na množine M deriváciu a nech g(x) 6= 0

pre ∀x ∈ M . Potom aj funkcia f(x)g(x)má na množine M deriváciu a platí:(

f(x)

g(x)

)′=

f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)

g2(x). (H.17)

Veta 3 (Derivácia zloženej funkcie). Nech u = g(x) je funkcia definovaná namnožine M s oborom hodnôt H. Nech g′(x) je jej derivácia na množine M . Nechfunkcia f(u) má na množine H deriváciu f ′(u). Potom zložená funkcia f(g(x))

má na množine M deriváciu a platí

(f(g(x)))′ =

[df(u)

du

]u=g(x)

·[du

dx

]= [f ′(u)]u=g(x) · g

′(x) = f ′(g(x)) · g′(x). (H.18)

Page 154: 157 Matematika zbierka

154 H DERIVÁCIA FUNKCIE

Veta 4 (Logaritmické derivovanie). Ak má funkcia f(x) na intervale (a, b)

deriváciu f ′(x) a ak je na tomto intervale f(x) > 0, potom pre ∀x ∈ (a, b) platí

(ln f(x))′ =1

f(x)· f ′(x) ⇒ f ′(x) = f(x) · (ln f(x))′. (H.19)

Veta 5. Nech funkcie f1(x), f2(x), . . . , fn(x) majú derivácie na množine M a nechc1, c2, . . . , cn sú ľubovoľné konštanty. Potom pre každé x ∈ M existuje aj deriváciafunkcie c1f1(x) + c2f2(x) + · · ·+ cnfn(x) a platí

(c1f1(x) + c2f2(x) + · · ·+ cnfn(x))′ = c1f′1(x) + c2f

′2(x) + · · ·+ cnf

′n(x). (H.20)

Veta 6 (Derivácie elementárnych funkcií). Pre derivácie elementárnych funkciíplatia na ich definičných oboroch nasledujúce vzorce

1. c′= 0 c je číslo x ∈ R2. x′= 1 x ∈ R3. (xα)′= α · xα−1 α ∈ R, α 6= 1 x ∈ R4. (ex)′= ex x ∈ R5. (ax)′= ax · ln a a > 0, a 6= 1 x ∈ R6. (ln x)′= 1

xx > 0

7. (loga x)′= 1x·ln a

a > 0, a 6= 1 x > 0

8. (sin x)′= cos x x ∈ R9. (cos x)′= − sin x x ∈ R10. (tg x)′= 1

cos2 xx 6= (2k + 1) · π

2, k ∈ Z

11. (cotg x)′= − 1sin2 x

x 6= k · π, k ∈ Z12. (arcsin x)′= 1√

1−x2 |x| < 1

13. (arccos x)′= − 1√1−x2 |x| < 1

14. (arctg x)′= 11+x2 x ∈ R

15. (arccotg)′= − 11+x2 x ∈ R

Derivácie vyšších rádovDefinícia 3. Majme funkciu y = f(x) definovanú na množine M . Nech y′ = f ′(x)

je jej derivácia definovaná na podmnožine množiny M . Deriváciou druhéhorádu (alebo druhou deriváciou) funkcie y = f(x) nazývame funkciu (f ′(x))′, t.j.deriváciu prvej derivácie funkcie f(x) (ak táto existuje). Označujeme ju

f ′′(x) resp. y′′. (H.21)

Page 155: 157 Matematika zbierka

Derivácie vyšších rádov 155

Definícia 4. Deriváciou n-tého rádu (alebo n-tou deriváciou) funkcie f(x)

pre n = 2, 3, 4, . . . nazývame deriváciu (n− 1)-ej derivácie y = f(x) (ak tátoexistuje). Označujeme ich

f ′′(x), f ′′′(x), f (4)(x), f (5)(x), . . . , f (n)(x), (H.22)

resp.y′′, y′′′, y(4), y(5), . . . , y(n). (H.23)

Page 156: 157 Matematika zbierka

156 H DERIVÁCIA FUNKCIE

Riešené príkladyPríklad 1. Z definície derivácie dokážte, že funkcia f(x) = 1

xmá v čísle x0 = 2

deriváciu a vypočítajte ju.

Riešenie: f(x) = 1x, D(f) = (−∞; 0) ∪ (0;∞) - funkcia je teda definovaná aj na

istom okolí čísla 2. Vypočítajme deriváciu v čísle 2:

limx→2

f(x)− f(2)

x− 2= lim

x→2

1x− 1

2

x− 2= lim

x→2

2−x2x

x− 2= lim

x→2

(− 1

2x

)= −1

4

Z toho podľa definície 1 vyplýva, že y = 1xmá v čísle x0 = 2 deriváciu a platí

f ′(2) = −14.

Príklad 2. Z definície derivácie určte deriváciu funkcie y =√

x.

Riešenie: y =√

x, D(f) = 〈0;∞). Položme∆y = f(x + ∆x)− f(x) =

√x + ∆x−

√x a vypočítajme limitu funkcie v bode x,

ležiacom v definičnom obore funkcie:

lim∆x→0

√x + ∆x−

√x

∆x= lim

∆x→0

√x + ∆x−

√x

∆x·√

x + ∆x +√

x√x + ∆x +

√x

=

= lim∆x→0

x + ∆x− x

∆x(√

x + ∆x +√

x)= lim

∆x→0

∆x

∆x(√

x + ∆x +√

x)=

= lim∆x→0

1√x + ∆x +

√x

=1

2√

x

To znamená, že y′ = 12√

xpre x > 0.

Príklad 3. Vypočítajte rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkciey = e−x cos 2x v bode dotyku T = [0; ?].

Riešenie: Dosadením x = 0 do rovnice danej funkcie vypočítame y-ovú súradnicubodu T : yT = e−0 cos 0 = 1, čiže T = [0, 1]. Potom vypočítame y′(0), čím určímesmernicu dotyčnice:y′(x) = −e−x cos 2x + e−x(− sin 2x) · 2y′(0) = −e−0 cos 0 + e−0(− sin 0)) · 2 = −1 + 0 = −1

Rovnica dotyčnice t je y − 1 = −1 · (x− 0) ⇒ y = −x + 1

Smernica normály je − 1y′(0)

= 1 a teda pre rovnicu normály n platí:y − 1 = 1 · (x− 0) ⇒ y = x + 1

Page 157: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 157

y = e−x cos 2x

t

n

T = [0, 1]

Obrázok H.2: Dotyčnica a normála ku grafu funkcie y = e−x cos 2x v dotykovombode T = [0, 1] - k príkladu 3

Príklad 4. Nájdite deriváciu zloženej funkcie F (x) = ln√

x2 + 1.

Riešenie: F (x) je zložená funkcia, jej zložky sú u = h(x) = x2 + 1 s definičnýmoborom D(h) = R a s oborom hodnôt H(h) = 〈1;∞) a v = g(u) =

√u pre ∀x ∈ R

H(h) = 〈1;∞) ⊂ D(g) = R. Ak položíme f(v) = ln v, potomF (x) = f(v) = f(g(u)) = f(g(h(x))), pričom H(g) = 〈1;∞) ⊂ D(f) = (0;∞)

∀x ∈ R. Každá zo zložiek je elementárnou funkciou a má teda deriváciu.Použijeme vetu 3 o derivácii zloženej funkcie:F ′(x) = [ln

√x2 + 1]′ =

[dfdv

]v=

√x2+1

·[

dvdu

]u=x2+1

· dudx

=[d(ln v)

dv

]v=

√x2+1

·[

d(√

u)du

]u=x2+1

· d(x2+1)dx

= 1√x2+1

· 12√

x2+1· 2x = 1

x2+1· x = x

x2+1

∀x ∈ R.

Príklad 5. Nájdite deriváciu funkcie xx.

Riešenie: Danú funkciu nemôžeme derivovať ako mocninovú funkciu, lebo x vexponente nie je konštantou, ani ako exponenciálnu funkciu, lebo ani x v základenie je konštantou. Uvedieme dva spôsoby derivovania danej funkcie:

a) f(x) = xx = eln xx= ex·ln x, pre x ∈ (0;∞)

f(x) je zložená funkcia f(x) = eu, kde u = x · ln x. Podľa vety 3 je

f ′(x) =[

d(eu)du

]u=x·ln x

·[

dudx

]= [eu]u=x·ln x · (x · ln x)′ = ex ln x · (1 · ln x + x · 1

x) =

= xx · (ln x + 1).

b) Použijeme vetu 4 (logaritmické derivovanie). Pre každé x > 0 platíln f(x) = ln xx = x · ln x

ln f(x) = x · ln x derivovaním dostávame1

f(x)f ′(x) = (x · ln x)′

Page 158: 157 Matematika zbierka

158 H DERIVÁCIA FUNKCIE

1f(x)

f ′(x) = ln x + x · 1x

f ′(x)xx = ln x + x · 1

x

f ′(x) = xx(ln x + 1), x ∈ (0;∞).

Príklad 6. Vypočítajte y(4)(−1), ak y = (x + 2)5.

Riešenie: Funkcia y = (x + 2)5 je definovaná pre ∀x ∈ R.

y′ = 5(x + 2)4

y′′ = 20(x + 2)3

y′′′ = 60(x + 2)2

y(4) = 120(x + 2)

y(4)(−1) = 120(−1 + 2) = 120

Príklad 7. Vypočítajte f (16)(x), ak f(x) = ln x.

Riešenie: Funkcia f(x) = ln x je definovaná pre x ∈ (0;∞).

f ′(x) = 1x

= x−1

f ′′(x) = −1 · x−2 = − 1x2

f ′′′(x) = −1 · (−2) · x−3 = (−1)2 · 1 · 2 · 1x3

f (4)(x) = −1 · (−2) · (−3) · x−4 = (−1)3 · 1 · 2 · 3 · 1x4

...

f (n)(x) = (−1)n−1 · (n− 1)! 1xn

f (16)(x) = (−1)15 · 15! 1x16

= − 15!x16

Príklad 8. Teleso sa pohybuje po naklonenej rovine tak, že dráha s v závislosti odčasu t je daná rovnicou s(t) = 30t− 1, 2t2. Vypočítajte:

a) Veľkosť priemernej rýchlosti pohybujúceho sa telesa v časovom intervale(t0; t0 + h), h > 0, t0 > 0.

b) Okamžitú rýchlosť v čase t = 3.

c) Čas, v ktorom je rýchlosť nulová.

Page 159: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 159

Riešenie:

a) Priemerná rýchlosť vp je daná podielom

vp =f(t0 + h)− f(t0)

t0 + h− t0=

30(t0 + h)− 1,2(t0 + h)2 − 30t0 + 1,2t20h

=

=30h− 2,4t0h− 1,2h2

h= 30− 2,4t0 − 1,2h

b) Okamžitá rýchlosť v čase t = 3 je rovná derivácii dráhy podľa času v bodet = 3. Keďže v(t) = s′(t) = 30− 2,4t, rýchlosť v čase t je v(3) = s′(3) = 22,8.

c) Ak okamžitú rýchlosť v(t) položíme rovnú nule, dostaneme rovnicu30− 2,4t = 0, z čoho vyplýva, že t = 12,2. Ak uvažujeme, že dráha je daná vmetroch a čas v sekundách, okamžitá rýchlosť bude nulová v čase 12,2 sekundy.

Príklad 9. Chemická reakcia dvoch látok, pri ktorej sa premení x grammolekúl zat sekúnd, je daná vzťahom x = A · (1− e−kt), kde k je konštanta reakčnej rýchlostia A je počet grammolekúl vstupujúcich do reakcie. Vypočítajte okamžitú reakčnúrýchlosť.

Riešenie: Okamžitá reakčná rýchlosť v(t) je podľa H.11 rovnáv(t) = dx

dt⇒ v(t) = A·k

ekt .

Page 160: 157 Matematika zbierka

160 H DERIVÁCIA FUNKCIE

Úlohy1. Na základe definície derivácie nájdite deriváciu funkcie f v čísle x0

a) f(x) = x3, x0 = 0

b) f(x) =√

x, x0 = 2

c) f(x) = 31+x2 , x0 = 1

2. Na základe definície derivácie nájdite deriváciu funkcie f

a) f(x) = x4, x ∈ R

b) f(x) = 1x, x ∈ R \ {0}

c) f(x) = cos x, x ∈ R

3. Pomocou základných vzťahov a vzorcov nájdite derivácie funkcií v danýchčíslach

a) f(x) = x2 − 4x + 5, x0 = 1

b) f(x) = 1√x, x0 = 4

c) f(x) = 3 cos x− 4 sin x, x0 = π2

V úlohách 4 - 8 nájdite derivácie daných funkcií na ich definičných oboroch

4. a) y = x2 − 5x + 6, x ∈ R

b) y = 2x4 − 3x3 + 5x2 − x + 100, x ∈ R

c) y =√

x + 1x, x > 0

d) y = x√

x + 13√x

+√

5x, x > 0

e) y = x5 − π2

√x3 + 3

x4 −√

7, x > 0

5. a) y = (x− 1)3, x ∈ R

b) y = x3−3x2−4x+12x+2

, x 6= −2

c) y = 2x6−1x3 , x 6= 0

d) y = x2+2x−33√π, x ∈ R

6. a) y = 2x + ln x + 3 sin x, x > 0

b) y = 5 · 10x + arcsin x2

− 4 cos x, x ∈ 〈−1; 1〉

c) y = tg x− cotg x +√

23

ex + π · arctg x, x 6= k · π2, k ∈ Z

7. a) y = (3x + 1)10, x ∈ R

Page 161: 157 Matematika zbierka

Úlohy 161

b) y = (6x2 − 14x + 25)3, x ∈ R

c) y = 4√

2x + 5 + 1(2x−3)2

, x > −52, x 6= 3

2

d) y = e3x + 102x +√

ex + 5 + ex+5, x ∈ R

8. a) y = cos(3x− 4) + ln(x− 5) + arccotg x2, x > 5

b) y = 2 sin x + sin 2x + sin2 x + sin x2, x ∈ R

c) y = 3 ln x + ln 3x + ln3 x + ln x3, x > 0

d) y = esin x + arctg(sin x) +√

sin x, x ∈ 〈2kπ; (2k + 1)π〉, k ∈ Z

e) y = 3√1−x

+ 71x + arcsin ex, x < 0

V úlohách 9 - 14 nájdite derivácie daných funkcií na ich definičných oboroch

9. a) y = e3x · sin 5x

b) y = x+1x−1

c) y = 2x · cos 3x + π2

√e

d) y = (1− x2) ·√

tg x + ex

sin x

e) y =√

2x−43−5x

10. a) y = (2− x2) cos x + 2x · sin x3

b) y = x2

+ x2+12· arctg x

c) y = x · e 1x + 5x · x5 + x · ln x

d) y = (1 + x2) · arctg 2x + ln x · log10 x

e) y = x3

√x2 − a2 + (x− 1

2) · arcsin

√x

11. a) y = 1−cos xx2 + x · e−x

b) y = xln x

+ 3x+5ex

c) y = tg x−xx−sin x

+ 1−ex

1+ex

d) y = ln x · ln(1− x) +√

x+7−√

7x

e) y = 1+√

x1−√

x+ arcsin x

x2+1

12. a) y = ln√

1−x1+x

+ 2√

x + e−x2+3

b) y = 2√3arctg

√x2 + 1 + log2(x + 2x2)

c) y = sin xsin x+cos x

+ 12arcsin

√2x− 10

d) y = ln(arccos 1√x) + ln(ln(ln x))

Page 162: 157 Matematika zbierka

162 H DERIVÁCIA FUNKCIE

e) y = ex

ln x +√

ln x2 + ln(tg x))

13. a) y = ex−e−x

ex+e−x + arctg cos x1+sin x

b) y = arcsin2( 2x−2

) + arccos x2

c) y = ln(x2 + x + 1) + 2√3· arctg 2x+1√

3

d) y = 12ln(tg x

2)− 1

2cos xsin2 x

14. a) y = ln(sin e2x)

b) y = arccotg(ln 1x)

c) y = 3√

ln(cos x)

d) y = 4

√ln(cotg 2x+1

3)

e) y = arctg4√

x

V úlohách 15 - 17 zderivujte dané funkcie

15. a) y = x5x, x > 0

b) y = x1+x, x > 0

c) y = (3x− 4)x, x > 43

d) y = 13 · x1−5x, x > 0

16. a) y = xsin x, x > 0

b) y = (cos x)sin x, cos x > 0

c) y = (ln x)x, x > 1

d) y = xln x, x > 0

17. a) y = (x2 + 1)arctg x, x ∈ R

b) y = (1+x1−x

)1−x1+x , x ∈ (−1; 1)

c) y = x1

ln x , x > 0, x 6= 1

d) y = xxx, x > 0

18. Nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f v bode dotyku T , ak:

a) f : y = x2, T = [1; ?]

b) f : y = sin x, T = [π6; ?]

c) f : y = ex, T = [0; 1]

d) f : y = x3 + 2x, T = [2; ?]

Page 163: 157 Matematika zbierka

Úlohy 163

e) f : y = 3 + xx2+1, T = [0; ?]

19. Nájdite rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie f v bode dotyku T , ak:

a) f : y = x2 + 5x− 6, T = [1; 0]

b) f : y = 11+x2 , T = [1; ?]

c) f : y =√

x, T = [5;√

5]

d) f : y = tg 2x, T = [0; ?]

e) f : y = arcsin x−12, T je jej priesečník s osou x

20. Nájdite rovnice dotyčníc ku grafu funkcie f , ktoré sú rovnobežné s priamkou p,ak:

a) f : y = x2 − 7x + 3, p : 5x + y − 3 = 0

b) f : y = ln x, p : y = 2x

c) f : y = 2x ln x, p : 2x− y + 5 = 0

21. Nájdite rovnice dotyčníc ku grafu funkcie f , ktoré sú kolmé na priamku p, ak:

a) f : y = ln(x + 2), p : y + x− 3 = 0

b) f : y = x2 − 2x + 3, p : x + y + 1 = 0

22. Nájdite rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie f : y = e1−x2,

v priesečníkoch grafu funkcie s priamkou y = 1.

23. Dráha priamočiareho pohybu telesa je daná rovnicou s(t) = 2t3 − 15t2 + 36t + 2,kde t je čas vyjadrený v sekundách, dráha je vyjadrená v metroch. V akom časeje rýchlosť telesa nulová?

24. Dráha, ktorú prejde hmotný bod pri voľnom páde za čas t pri nulovejpočiatočnej rýchlosti je daná vzťahom s(t) = 1

2gt2, kde g je gravitačné

zrýchlenie. Nájdite:

a) Veľkosť priemernej rýchlosti v časovom intervale (4; 4,01).

b) Okamžitú rýchlosť v ľubovoľnom čase t.

25. Teleso kmitá pozdĺž priamky. Pre jeho odchýlku od rovnovážnej polohy platívzťah A(t) = 2 cos 2πt− 3 sin 2πt, kde t je čas v sekundách a A je odchýlka vcentimetroch. Určte rýchlosť telesa a maximálnu odchýlku od rovnovážnejpolohy.

Page 164: 157 Matematika zbierka

164 H DERIVÁCIA FUNKCIE

26. Teleso s hmotnosťou 10 kg sa pohybuje priamočiarym pohybom, ktorý je danývzťahom s(t) = 1 + t + t2, kde t je čas v sekundách a s je dráha v metroch. Akúkinetickú energiu v jouloch bude mať teleso na konci piatej sekundy, začínajúc včase t = 0?

27. Ako rýchlo sa mení tlak plynu s objemom V , ak platí vzťah(p + a

V 2

)· (V − b) = k? (a, b a k sú konštanty.)

28. Nájdite veľkosť rýchlosti chemickej reakcie, ak množstvo látky, ktoré vzniklo prireakcii za čas t, je dané vzťahom Q(t) = a · b · eakt−ebkt

a·eakt−b·ebkt , kde a, b, k súkonštanty, a 6= b.

29. Pri rozpade rádioaktívnej látky je množstvo nerozpadnutej rádioaktívnej látkyza čas t dané vzťahom Q(t) = Q0 · e−βt, kde Q0 je množstvo nerozpadnutej látkyv čase t = 0 a β je konštanta charakterizujúca rýchlosť rozpadu. Vypočítajte:

a) Čas t, za ktorý sa rozpadne polovica rádioaktívnej látky; t.j. polčas rozpadu.

b) Veľkosť priemernej rýchlosti v časovom intervale (t0; t1).

c) Okamžitú rýchlosť rozpadu v ľubovoľnom čase.

V úlohách 30 - 32 vypočítajte príslušné derivácie vyšších rádov daných funkcií:

30. a) y(6), y = x5 − 10x4 + 5x2 − 6x + 125

b) y′′′, y =√

x

c) y′′′, y = 1√x

d) y′′, y = arctg 2x

31. a) y′′′, y = 1+x1−x

b) y′′′, y = x · (ln x− 1)

c) y(4), y = sin 2x

d) y′′, y = arcsin x

32. a) y′′, y = ln 3√

1 + x2

b) y′′′, y = sin(1− 3x)

c) y(5), y = ln(1 + x)

d) y′′′, y = ln sin x

33. Vypočítajte hodnotu derivácie v príslušnom čísle

a) y′′′(0), y = x3 − 4x2 + 5x− 6

Page 165: 157 Matematika zbierka

Úlohy 165

b) y′′(0), y = tg 2x

c) y′′(2), y = x2+1x−1

d) y′′(−1), y = (1 + x)6

34. Vypočítajte derivácie druhého rádu funkcií

a) y = x3 · cos 2x

b) y = x2 · sin 3x

35. Vypočítajte derivácie druhého rádu funkcií

a) y = ex sin x

b) y = ex cos x

c) y = e2x cos 3x

d) y = e3x sin 2x

36. Vypočítajte derivácie n-tého rádu funkcií

a) y = ax

b) y = 1x

c) Dokážte, že pre funkciu y = c1e2x + c2xe2x + ex, c1, c2 ∈ R platí:

y′′ − 4y′ + 4y = ex

Page 166: 157 Matematika zbierka

166 H DERIVÁCIA FUNKCIE

Výsledky1. a) f ′(0) = 0

b) f ′(2) = 12√

2

c) f ′(1) = −32

2. a) f ′(x) = 4x3, x ∈ R

b) f ′(x) = − 1x2 , x ∈ R \ {0}

c) f ′(x) = − sin x, x ∈ R

3. a) f ′(1) = −2

b) f ′(4) = − 116

c) f ′(π2) = −3

4. a) y′ = 2x− 5

b) y′ = 8x3 − 9x2 + 10x− 1

c) y′ = 12√

x− 1

x2

d) y′ = 32

√x− 1

33√

x4+√

5 · 12√

x

e) y′ = 5x4 − 3π4

√x− 12

x5

5. a) y′ = 3x2 − 6x + 3

b) y′ = 2x− 5

c) y′ = 6x2 − 3x−4

d) y′ = 13√π· (2x + 2)

6. a) y′ = 2x ln 2 + 1x

+ 3 cos x

b) y′ = 5 · 10x ln 10 + 12√

1−x2 + 4 sin x

c) y′ = 1cos2 x

+ 1sin2 x

+√

23

ex + π1+x2

7. a) y′ = 10 · (3x + 1)9 · 3

b) y′ = 3 · (6x2 − 14x + 25)2 · (12x− 14)

c) y′ = 14(2x + 5)−

34 · 2− 2 · (2x− 3)−3 · 2

d) y′ = e3x · 3 + 102x · ln 10 · 2 + 12(ex + 5)−

12 · ex + ex+5

8. a) y′ = − sin(3x− 4) · 3 + 1x−5

− 11+x4 · 2x

b) y′ = 2 cos x + 2 cos 2x + 2 sin x cos x + cos x2 · 2x

Page 167: 157 Matematika zbierka

Výsledky 167

c) y′ = 3x

+ 1x

+ 3x

ln2 x + 3x

d) y′ = esin x · cos x + 11+sin2 x

cos x + cos x2√

sin x

e) y′ = 32(1− x)−

32 + 7

1x · (− 1

x2 ) ln 7 + ex√

1−e2x

9. a) y′ = 3e3x sin 5x + 5e3x cos 5x

b) y′ = − 2(x−1)2

c) y′ = 2x ln 2 · cos 3x− 2x · 3 sin 3x

d) y′ = −2x√

tg x + 1−x2√

tg x·cos2 x+ ex sin x−ex cos x

sin2 x

e) y′ = 1

2q

2x−43−5x

−14(3−5x)2

10. a) y′ = −2x cos x− (2− x2) sin x + 2 sin x3 + 6x3 cos x3

b) y′ = 12

+ x · arctg x + 12

= 1 + x arctg x

c) y′ = e1x − e

1x

x+ 5x ln 5 · x5 + 5x · 5x4 + ln x + 1

d) y′ = 2x · arctg 2x + 1+x2

1+4x2 · 2 + 1x· log10 x + ln x

x ln 10

e) y′ = 13

√x2 − a2 + x2

3√

x2−a2 + arcsin√

x +x− 1

2√1−x·2

√x

11. a) y′ = x2 sin x−(1−cos x)2xx4 + e−x − xe−x

b) y′ = ln x−1ln2 x

+ 3ex−(3x+5)ex

e2x

c) y′ =( 1cos2 x−1

)(x−sin x)−(tg x−x)(1−cos x)

(x−sin x)2− 2ex

(1+ex)2

d) y′ = ln(1−x)x

− ln x1−x

+x

2√

x+7−√

x+7+√

7

x2

e) y′ = 1√x(1−

√x)2

+ 1−x2

1+x2 · 1√x4+x2+1

12. a) y′ = − 11+x2 + 2

√x · ln 2 · 1

2√

x+ e−x2+3 · (−2x)

b) y′ = 2√3· 1

2+x21

2√

x2+1· 2x + 1+4x

(x+2x2) ln 2

c) y′ = 11+sin 2x

+ 1√11−2x

· 12√

2x−10

d) y′ = 12x√

x−1·arccos 1√x

+ 1x·ln x·ln(ln x)

e) y′ = ex

ln x · ln x−1ln2 x

+ 1

x√

ln x2+ 1

sin x cos x

13. a) y′ = 4(ex+e−x)2

+ 11+( cos x

1+sin x)2− sin x·(1+sin x)−cos x·cos x

(1+sin x)2

b) y′ = 2 arcsin 2x−2

· 1√1−( 2

x−2)2· −2

(x−2)2− 1q

1−x2

4

· 12

c) y′ = 2x+2x2+x+1

+ 2√3· 1

1+( 2x+1√3

)2· 2√

3

Page 168: 157 Matematika zbierka

168 H DERIVÁCIA FUNKCIE

d) y′ = 12

1tg x

2

1cos2 x

2

12− 1

2− sin x·sin2 x−cos x·2 sin x cos x

sin4 x

14. a) y′ = 1sin e2x · cos e2x · e2x · 2

b) y′ = 11+(ln 1

x)2· x · 1

x2

c) y′ = 13(ln(cos x))−

23 · 1

cos x· (− sin x)

d) y′ = 14(ln(cotg 2x+1

3))−

34 · tg 2x+1

3· −1

sin2 2x+13

23

e) y′ = 4 · arctg3√

x · 11+x

· 12√

x

15. a) y′ = x5x · (5 ln x + 5)

b) y′ = x1+x · (ln x + 1+xx

)

c) y′ = (3x− 4)x · (ln(3x− 4) + 3x3x−4

)

d) y′ = 13 · x1−5x · (−5 ln x + 1−5xx

)

16. a) y′ = xsin x · (cos x · ln x + sin xx

)

b) y′ = (cos x)sin x · (cos x · ln(cos x)− sin2 xcos x

)

c) y′ = (ln x)x · (ln(ln x) + 1ln x

)

d) y′ = xln x · 2 ln xx

17. a) y′ = (x2 + 1)arctg x · ( ln(x2+1)x2+1

+ 2x arctg xx2+1

)

b) y′ = (1+x1−x

)1−x1+x 1

(1+x)2· (1− ln 1+x

1−x)

c) y′ = (x1

ln x )′ = (e1

ln x·ln x)′ = (e1)′ = 0

d) y′ = xxx · xx · (ln2 x + ln x + 1x)

18. a) T = [1; 1], t : y − 1 = 2(x− 1)

b) T = [π6; 1

2], t : y − 1

2=

√3

2(x− π

6)

c) T = [0; 1], t : y = x + 1

d) T = [2; 12], t : y = 14x− 16

e) T = [0; 3], t : y = x

19. a) T = [1; 0], t : y = 7(x− 1), n : y = −17(x− 1)

b) T = [1; 12], t : y = −1

2x + 1, n : y = 2x− 3

2

c) T = [5;√

5], t : y = 12√

5(x + 5), n : y = −2

√5x + 11

√5

d) T = [0; 0], t : y = 2x, n : y = −12x

e) T = [1; 0], t : y = 12(x− 1), n : y = 2− 2x

Page 169: 157 Matematika zbierka

Výsledky 169

20. a) T = [1;−3], t : y = −5x + 2

b) T = [12;− ln 2], t : y = 2x− 1− ln 2

c) T = [1; 0], t : y = 2x− 2

21. a) T = [−1; 0], t : y = x + 1

b) T = [32; 9

4], t : y = x + 3

4

22. pre bod A = [1; 1] t : 2x + y − 3 = 0 n : x− 2y + 1 = 0pre bod B = [−1; 1] t : 2x− y + 3 = 0 n : x + 2y − 1 = 0

23. Teleso má nulovú rýchlosť v druhej a tretej sekunde.

24. a) vp.= 39,2 m/s b) v(t) = g · t

25. v(t) = −2π(2 sin 2πt + 3 cos 2πt), maximálna odchýlka je√

13

26. E = 12mv2, E = 605 J

27. p = kV−b

− aV 2 , rýchlosť zmeny tlaku v = 2a

V 3 − k(V−b)2

28. v(t) = k · (Q(t)− a) · (Q(t)− b), kde Q(t) je funkcia zo zadania

29. a) t = 1β· ln 2

b)Q0(e−βt1−e−βt0)

t1−t0

c) v(t) = −βQ0 · e−βt

30. a) y(6) = 0

b) y′′′ = 38x−

52

c) y′′′ = −158x−

72

d) y′′ = −16x(1+4x2)2

31. a) y′′′ = 12(1−x)4

b) y′′′ = − 1x2

c) y(4) = 16 sin 2x

d) y′′ = x√(1−x)3

32. a) y′′ = 2(1−x2)3(1+x2)2

b) y′′′ = 27 cos(1− 3x)

Page 170: 157 Matematika zbierka

170 H DERIVÁCIA FUNKCIE

c) y(5) = 24(1+x)5

d) y′′′ = 2 cos xsin3 x

33. a) y′′′(0) = 6

b) y′′(0) = 0

c) y′′(2) = 4

d) y′′′(−1) = 0

34. a) y′′ = (6x− 4x3) cos 2x− 12x2 sin 2x

b) y′′ = (2− 9x2) sin 3x + 12x cos 3x

35. a) y′′ = 2ex cos x

b) y′′ = −2ex sin x

c) y′′ = (−5 cos 3x− 12 sin 3x) · e2x

d) y′′ = (12 cos 2x + 5 sin 2x) · e3x

36. a) y(n) = ax · (ln a)n

b) y(n) = (−1)n·n!xn+1

Page 171: 157 Matematika zbierka

I L’HOSPITALOVO PRAVIDLO 171

I L’HOSPITALOVO PRAVIDLO

Veta 1 (Prvé l’Hospitalovo pravidlo). Nech na istom okolí čísla a majú funkcief(x) a g(x) derivácie f ′(x) a g′(x), pričom v čísle a tieto derivácie nemusiaexistovať. Nech lim

x→af(x) = lim

x→ag(x) = 0 a nech existuje vlastná alebo nevlastná

limita limx→a

f ′(x)g′(x). Potom existuje vlastná alebo nevlastná limita lim

x→a

f(x)g(x)a platí

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x). (I.1)

Poznámka 1. Veta 1 platí aj pre jednostranné limity a aj pre a = ∞ aleboa = −∞.

Poznámka 2. Limitu limx→a

f(x)g(x)z vety 1 označujeme aj limita

”typu 0

0“.

Veta 2 (Druhé l’Hospitalovo pravidlo). Nech na istom okolí čísla a majú funkcief(x) a g(x) derivácie f ′(x) a g′(x), pričom v čísle a tieto derivácie nemusiaexistovať. Nech lim

x→a|g(x)| = ∞ a nech existuje vlastná alebo nevlastná limita

limx→a

f ′(x)g′(x). Potom existuje vlastná alebo nevlastná limita lim

x→a

f(x)g(x)a platí

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x). (I.2)

Poznámka 3. Veta 2 platí aj pre jednostranné limity a aj pre a = ∞ aleboa = −∞.

Poznámka 4. Vo vete 2 nie je pre limitu limx→a

f(x) stanovená žiadna podmienka.

Platí teda aj pre limx→a

|f(x)| = ∞. V tomto prípade limitu limx→a

f(x)g(x)označujeme aj

limita”typu ∞

∞“. Vetu 2 používame často práve pri výpočte takýchto limít.

Veta 3. Nech na istom okolí čísla a majú funkcie f(x) a g(x) derivácie až dok-teho rádu, pričom v čísle a tieto derivácie nemusia existovať. Nech lim

x→af(x) =

limx→a

g(x) = limx→a

f ′(x) = limx→a

g′(x) = · · · = limx→a

f (k−1)(x) = limx→a

g(k−1)(x) = 0 resp.

limx→a

|g(x)| = limx→a

|g′(x)| = · · · = limx→a

|g(k−1)(x)| = ∞. Nech existuje vlastná alebo

nevlastná limita limx→a

f (k)(x)

g(k)(x). Potom existuje vlastná alebo nevlastná limita lim

x→a

f(x)g(x)a

Page 172: 157 Matematika zbierka

172 I L’HOSPITALOVO PRAVIDLO

platí

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)= · · · = lim

x→a

f (k)(x)

g(k)(x)(I.3)

pre k = 0, 1, 2, . . . , n.

Veta 3 hovorí teda o tom, že ak sú splnené podmienky, môžeme l’Hospitalovopravidlo použiť n-krát za sebou.

Poznámka 5. L’Hospitalovo pravidlo môžeme po vhodných úpravách použiť ajpri výpočte týchto limít:

a) Limita”typu 0 · ∞“, t.j. lim

x→af(x) · g(x), ak lim

x→af(x) = 0 a lim

x→a|g(x)| = ∞.

Úpravou súčinu f(x) · g(x) na podiel f(x)1

g(x)

alebo g(x)1

f(x)

dostaneme limitu”typu 0

0“

alebo”typu ∞

∞“.

b) Limita”typu ∞−∞“, t.j. lim

x→a(f(x)− g(x)), ak lim

x→af(x) = lim

x→ag(x) = ∞

(teda f(x) > 0 aj g(x) > 0 na nejakom okolí čísla a).Úpravou rozdielu funkcií na podiel funkcií

f(x)− g(x) = f(x) · g(x)g(x)

− g(x) · f(x)f(x)

= f(x) · g(x)[

1g(x)

− 1f(x)

]=

1g(x)

− 1f(x)

1f(x)·g(x)

dostaneme limitu”typu 0

0“.

c) Limita”typu 1∞“, t.j. lim

x→af(x)g(x), ak lim

x→af(x) = 1 a lim

x→a|g(x)| = ∞. Ak je

f(x) > 0 na nejakom okolí čísla a, úpravou dostanemelimx→a

f(x)g(x) = limx→a

eln f(x)g(x)= lim

x→aeg(x) ln f(x) a teda počítame lim

x→ag(x) · ln f(x),

ktorá je”typu ∞ · 0“.

d) Limita”typu ∞0“, t.j. lim

x→af(x)g(x), ak lim

x→a|f(x)| = ∞ a lim

x→ag(x) = 0.

Analogickou úpravou ako v c počítame vlastne limx→a

g(x) · ln f(x), ktorá je”typu

0 · ∞“.

e) Limita”typu 00“, t.j. lim

x→af(x)g(x), ak lim

x→af(x) = 0 a lim

x→ag(x) = 0 a f(x) > 0

na nejakom okolí čísla a. Po úprave počítame opäť limx→a

g(x) · ln f(x), ktorá je

”typu 0 · (−∞)“.

Page 173: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 173

Riešené príkladyPríklad 1. Vypočítajte lim

x→0

√1+x−

√1−x

x.

Riešenie: Nech f(x) =√

1 + x−√

1− x a g(x) = x. Keďželimx→0

(√

1 + x−√

1− x) = 0 a limx→0

x = 0, máme počítať limitu”typu 0

0“. Použitím

vety 1 dostaneme

limx→0

√1+x−

√1−x

x

L’P= lim

x→0

12√

1+x− 1

2√

1−x·(−1)

1= lim

x→0( 1

2√

1+x+ 1

2√

1−x) = 1

2+ 1

2= 1.

Príklad 2. Vypočítajte limx→1

x3−3x2+x+1cos π

2x.

Riešenie: Keďže limx→1

(x3 − 3x2 + x + 1) = 0 a limx→1

cos π2x = 0, máme opäť počítať

limitu”typu 0

0“. Použitím vety 1 dostaneme

limx→1

x3−3x2+x+1cos π

2x

L’P= lim

x→1

3x2−6x+1− sin π

2x·π

2= 3−6+1

−π2

= −2−π

2= 4

π.

Príklad 3. Vypočítajte limx→0+

ln xcotg x.

Riešenie: Keďže limx→0+

ln x = −∞ a limx→0+

cotg x = ∞, máme počítať limitu”typu

∞∞“. Použitím vety 2 a vety 1 dostaneme

limx→0+

ln xcotg x

L’P= lim

x→0+

1x

− 1sin2 x

= limx→0+

− sin2 xx(”typ 0

0“)

L’P= lim

x→0+

−2 sin x·cos x1

= 0.

Príklad 4. Vypočítajte limx→∞

ln(2+e3x)ln(3+e2x)

.

Riešenie: Keďže limx→∞

ln(2 + e3x) = ∞ a limx→∞

ln(3 + e2x) = ∞, máme opäť počítaťlimitu

”typu ∞

∞“. Viacnásobným použitím vety 2 dostaneme

limx→∞

ln(2+e3x)ln(3+e2x)

L’P= lim

x→∞

12+e3x ·3·e3x

13+e2x ·2·e2x = lim

x→∞3e3x

2+e3x · 3+e2x

2e2x = 32

limx→∞

ex(3+e2x)2+e3x

L’P=

32

limx→∞

ex(3+e2x)+ex·2·e2x

3e3x = 32

limx→∞

3ex+3e3x

3e3x = 32

limx→∞

ex(1+e2x)ex·e2x = 3

2lim

x→∞1+e2x

e2x

L’P=

32

limx→∞

2e2x

2e2x = 32.

Príklad 5. Vypočítajte limx→0+

( 1x− 1

ln(1+x)).

Riešenie: Keďže limx→0+

1x

= ∞ a limx→0+

1ln(1+x)

= ∞, máme počítať limitu”typu

∞−∞“. Rozdiel funkcií upravíme na podiel funkcií uvedením na spoločnéhomenovateľa; limita sa zmení na

”typ 0

0“. Dostaneme

limx→0+

( 1x− 1

ln(1+x)) = lim

x→0+

ln(1+x)−xx·ln(1+x)

L’P= lim

x→0+

11+x

−1

ln(1+x)+x· 11+x

= limx→0+

1−1−x1+x

(1+x) ln(1+x)+x1+x

=

limx→0+

−x1+x

· 1+x(1+x) ln(1+x)+x

= limx→0+

−x(1+x) ln(1+x)+x

L’P= lim

x→0+

−1ln(1+x)+(1+x)· 1

1+x+1

= −12.

Page 174: 157 Matematika zbierka

174 I L’HOSPITALOVO PRAVIDLO

Príklad 6. Vypočítajte limx→0

( 1x− 1

ex−1).

Riešenie: Keďže limx→0

1xneexistuje, vypočítame najskôr limitu sprava

limx→0+

1x

= ∞ a limx→0+

1ex−1

= ∞. Máme teda vypočítať limitu”typu ∞−∞“.

Úpravou sa zmení na”typ 0

0“. Dostaneme

limx→0+

( 1x− 1

ex−1) = lim

x→0+

ex−1−xx·(ex−1)

L’P= lim

x→0+

ex−1ex−1+xex

L’P= lim

x→0+

ex

ex+ex+xex = 12.

Podobne sa presvedčíme, že limx→0−

( 1x− 1

ex−1) = 1

2.

Teda limx→0

( 1x− 1

ex−1) = 1

2.

Príklad 7. Vypočítajte limx→0+

x3 · ln 2x.

Riešenie: Keďže limx→0+

x3 = 0 a limx→0+

ln 2x = −∞, počítame limitu”typu 0 · ∞“.

Úpravou uvedenou v poznámke 5a dostaneme limitu”typu ∞

∞“a použitíml’Hospitalovho pravidla ju dopočítame

limx→0+

x3 · ln 2x = limx→0+

ln 2x1

x3(”typ ∞

∞“)L’P= lim

x→0+

12x·2

− 3x4

= limx→0+

1x· x4

−3= lim

x→0+

x3

−3= 0.

Príklad 8. Vypočítajte limx→1

(1− x) · tg π2x.

Riešenie: Keďže limx→1

tg π2x neexistuje, vypočítame najskôr limitu zľava

limx→1−

(1− x) = 0 a limx→1−

tg π2x = ∞. Máme teda vypočítať limitu

”typu 0 · ∞“.

Upravíme ju na”typ 0

0“. Dostaneme

limx→1−

(1− x) · tg π2x = lim

x→1−

1−xcotg π

2x

L’P= lim

x→1−

−1− 1

sin2 π2 x·π2

= 2π.

Limita danej funkcie sprava je tá istá a preto limx→1

(1− x) tg π2x = 2

π.

Príklad 9. Vypočítajte limx→∞

(2π· arctg x

)x.

Riešenie: Keďže limx→∞

(2π· arctg x

)= 2

π· π

2= 1 a lim

x→∞x = ∞, máme vypočítať

limitu”typu 1∞“. Použitím úpravy uvedenej v poznámke 5c dostaneme

limx→∞

eln( 2π·arctg x)

x

= limx→∞

ex ln( 2π·arctg x) = lim

u→Leu.

L = limx→∞

x · ln(

2π· arctg x

)= lim

x→∞

ln( 2π

arctg x)1x

L’P= lim

x→∞

π2 arctg x

· 2π

11+x2

−1

x2=

limx→∞

1arctg x

· −x2

1+x2 = limx→∞

1arctg x

· −11

x2 +1= 2

π· (−1) = − 2

π.

Teda limx→∞

(2π· arctg x

)x= e−

2π .

Page 175: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 175

Príklad 10. Vypočítajte limx→0+

(1x

)tg x.

Riešenie: Keďže limx→0+

1x

= ∞ a limx→0+

tg x = 0, máme vypočítať limitu”typu ∞0“.

Použitím úpravy uvedenej v poznámke 5d dostanemelim

x→0+etg x·ln 1

x = limu→L

eu.

L = limx→0+

tg x · ln 1x

= limx→0+

ln 1x

cotg x

L’P= lim

x→0+

x·−1

x2−1

sin2 x

= limx→0+

sin2 xx

L’P= lim

x→0+

2 sin x cos x1

= 0.

Teda limx→0+

(1x

)tg x= e0 = 1.

Príklad 11. Vypočítajte limx→0+

xx.

Riešenie: Keďže limx→0+

x = 0 a limx→0+

x = 0, máme vypočítať limitu”typu 00“.

Použitím úpravy uvedenej v poznámke 5e dostanemelim

x→0+ex·ln x = lim

u→Leu.

L = limx→0+

x · ln x = limx→0+

ln x1x

L’P= lim

x→0+

1x

− 1x2

= 0. Teda limx→0+

xx = e0 = 1.

Page 176: 157 Matematika zbierka

176 I L’HOSPITALOVO PRAVIDLO

ÚlohyV úlohách 1 - 14 vypočítajte limity funkcií.

1. a) limx→3

x2−9x−3

b) limx→1

x2−1x3−1

c) limx→2

x2−5x+6x2−3x+2

d) limx→3

x2−9x2−4x+3

e) limx→1

x4−xx5−1

f) limx→1

xn−xxk−1, kde n, k ∈ N

g) limx→1

1−xn

1−xk , kde n, k ∈ N

2. a) limx→0

√2+x−

√2

x

b) limx→4

√x−2√x3−8

c) limx→0

sin 3xsin 2x

d) limx→0

tg 4xtg 5x

e) limx→0

1−cos xx2

f) limx→π

2

1−sin xπ−2x

3. a) limx→∞

x2+2x−412x2+5

b) limx→∞

x2+12x

c) limx→∞

xln x

d) limx→∞

3x+5ex

e) limx→∞

x5

e3x

f) limx→∞

e5x

x3

g) limx→0+

3 ln x1x

h) limx→∞

xe−x

4. a) limx→π

2

5−5 sin2 x9 cos2 x

b) limx→0

4x−3x

x

c) limx→0

sin xarcsin x

d) limx→1

ln xcos π

2x

e) limx→3

√x2+16−5

x3−2x2−x−6

f) limx→0

sin x−xcos x−1

5. a) limx→1

sin2(π·2x)ln cos(π·2x)

b) limx→0

tg x−xx−sin x

c) limx→∞

ln(2+3x)2

ln(5+4x)

d) limx→0

(cos x−1)2

sin3 x

e) limx→0

cos 2x−cos xx2

f) limx→0

x·2x

2x−1

6. a) limx→0

3x−sin 3x3x2

b) limx→0

√x+7−

√7

x

c) limx→0

x cos x−sin xx3

d) limx→∞

1−ex

1+ex

Page 177: 157 Matematika zbierka

Úlohy 177

e) limx→0+

ln xln sin x

f) limx→∞

ex−e−x

ex+e−x

7. a) limx→∞

ln(ex+x)x

b) limx→π

2−

ln(π2−x)

tg x

c) limx→∞

π2−arctg x12

ln x−1x+1

d) limx→1

1−tg π4x

1−x2

e) limx→0

ex−x−1sin2 3x

8. a) limx→0+

(12x− 1

sin x

)b) lim

x→0+

(cotg x− 1

x

)c) lim

x→1

(1

ln x− 1

x−1

)d) lim

x→1

(2

x2−1− 1

x−1

)e) lim

x→0

(1

arcsin x− 1

sin x

)f) lim

x→π2

(tg x− 1

x−π2

)

9. a) limx→1+

(x

x−1− 1

ln x

)b) lim

x→π2

(tg x− 1

cos x

)c) lim

x→0

(1

sin x− 1

ex−1

)d) lim

x→0

(1x− 1

sin x

)e) lim

x→1

(1

2 ln x− 1

x2−1

)f) lim

x→1

(π2· tg π

2x− 1

1−x

)10. a) lim

x→0+x2 · ln x

b) limx→0+

xα · ln x, α > 0

c) limx→∞

e−x · x

d) limx→∞

x · sin 1x

e) limx→1−

ln x · ln(1− x)

f) limx→1

arcsin(x− 1) · cotg(x− 1)

g) limx→2

x2−4x2 · tg π

4x

11. a) limx→1

x1

1−x

b) limx→π

2

(sin x)tg x

c) limx→π

2+

(sin x)1

x−π2

d) limx→0

(1 + x)1x

e) limx→0+

(1 + tg x)cotg x

f) limx→∞

(cos 1

x

)x12. a) lim

x→0(cos 2x)

1x2

b) limx→0

(cos x)cotg2 x

c) limx→0

(ex + x)1x

d) limx→0

(3 cos x− 2)2

5x2

e) limx→1

(2− x)tg π2x

f) limx→0

(sin x

x

)√x

Page 178: 157 Matematika zbierka

178 I L’HOSPITALOVO PRAVIDLO

13. a) limx→0+

(1x2

)tg x

b) limx→π

2−

(tg x)cotg x

c) limx→∞

x1x

d) limx→0+

(cotg x)sin x

14. a) limx→0+

(tg x)x

b) limx→0

xsin 2x

c) limx→1−

(cos π

2x)ln x

d) limx→0

(1− 3x)sin x

e) limx→0+

x2

1+ln x

Page 179: 157 Matematika zbierka

Výsledky 179

Výsledky

1. a) 6 b) 23

c) −1 d) 3 e) 35

f) n−1k

g) nk

2. a) 12√

2b) 1

12c) 3

2d) 4

5e) 1

2f) 0

3. a) 112

b) ∞ c) ∞ d) 0 e) 0 f) ∞ g) 0 h) 0

4. a) 59

b) ln 43

c) 1 d) − 2π

e) 370

f) 0

5. a) −2 b) 2 c) 2 d) 0 e) −32

f) 1ln 2

6. a) 0 b) 12√

7c) −1

3d) −1 e) 1 f) 1

7. a) 1 b) 0 c) −1 d) π4

e) 118

8. a) −∞ b) 16

c) 12

d) −12

e) 0 f) 0

9. a) 12

b) 16

c) 12

d) 0 e) 12

f) 0

10. a) 0 b) 0 c) 0 d) 1 e) 0 f) 1 g) 4π

11. a) e−1 b) 1 c) 1 d) e e) e f) 1

12. a) e−2 b) e−12 c) e2 d) e−

35 e) e

2π f) 1

13. a) 1 b) 1 c) 1 d) 1

14. a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) e2

Page 180: 157 Matematika zbierka

180 J ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE

J ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE

Definícia 1. Priamku s rovnicou x = a nazývame asymptota bez smernice kugrafu funkcie f , ak funkcia f má v čísle a nevlastnú limitu, alebo nevlastnúlimitu sprava alebo nevlastnú limitu zľava.

Definícia 2. Priamku s rovnicou y = ax + b nazývame asymptota sosmernicou ku grafu funkcie f , ak platí

limx→∞

(f(x)− (ax + b)) = 0 (J.1)

alebolim

x→−∞(f(x)− (ax + b)) = 0. (J.2)

Veta 1. Priamka y = ax + b je asymptota so smernicou ku grafu funkcie f právevtedy, ak existujú nasledujúce limity

limx→∞

f(x)

x= a, lim

x→∞(f(x)− ax) = b (J.3)

alebo

limx→−∞

f(x)

x= a, lim

x→−∞(f(x)− ax) = b, (J.4)

pričom a, b ∈ R.

Page 181: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 181

Riešené príkladyPríklad 1. Nájdite rovnice asymptot grafu funkcie y = x2

x+1.

Riešenie:a) Najprv hľadáme rovnice asymptot bez smerice.Definičný obor funkcie je D(f) = (−∞;−1) ∪ (−1;∞). Bod −1 je jediný bodnespojitosti funkcie, preto iba v tomto bode by mohla byť funkcianeohraničená. Počítame jednostranné limity v čísle −1:lim

x→−1+

x2

x+1= ∞ a lim

x→−1−

x2

x+1= −∞. Z definície 1 vyplýva, že priamka x = −1 je

asymptotou bez smernice grafu danej funkcie.

b) Hľadáme rovnice asymptot so smernicou v tvare y = ax + b. Počítame limity

limx→∞

f(x)x

= limx→∞

x2

x+1

x= lim

x→∞x2

x·(x+1)= lim

x→∞x

x+1= lim

x→∞1

1+ 1x

= 1 = a.

Analogicky limx→−∞

f(x)x

= · · · = limx→−∞

11+ 1

x

= 1. Následne počítame

limx→∞

(f(x)− ax) = limx→∞

(x2

x+1− x)

= limx→∞

x2−x(x+1)x+1

= limx→∞

−xx+1

=

= limx→∞

−11+ 1

x

= −1 = b.

Analogicky limx→−∞

(f(x)− ax) = · · · = limx→−∞

−11+ 1

x

= −1. Z vety 1 a z

vypočítaných limít vyplýva, že existuje jediná asymptota so smernicou grafudanej funkcie a má rovnicu y = x− 1.

x

yABS: x = −1

ASS: y = x− 1

−1

Obrázok J.1: Asymptoty ku grafu funkcie f(x) = x2

x+1- k príkladu 1

Page 182: 157 Matematika zbierka

182 J ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE

Príklad 2. Nájdite rovnice asymptot grafu funkcie y = x + ln xx.

Riešenie:

a) Hľadáme asymptoty bez smerice, D(f) = (0;∞). Počítame limitu sprava v nule.lim

x→0+

(x + ln x

x

)= lim

x→0+

(x + 1

x· ln x

)= −∞. Z definície 1 vyplýva, že asymptota

bez smernice grafu danej funkcie je priamka x = 0. Iné asymptoty bez smerniceneexistujú, lebo funkcia je spojitá na celom definičnom obore.

b) Hľadáme rovnice asymptot so smernicou v tvare y = ax + b. Počítame limity

limx→∞

f(x)x

= limx→∞

x+ ln xx

x= lim

x→∞

(1 + ln x

x2

)= lim

x→∞

(1 +

1x

2x

)= lim

x→∞

(1 + 1

2x2

)=

= 1 = a,

limx→∞

(f(x)− ax) = limx→∞

(x + ln x

x− x)

= limx→∞

ln xx

L’P= lim

x→∞

1x

1= 0 = b.

Definičný obor funkcie je (0;∞), preto nemá zmysel počítať limity prex → −∞. Z vety 1 a z vypočítaných limít vyplýva, že existuje jedna asymptotaso smernicou y = x.

x

y

ABS: x = 0

ASS: y = x

Obrázok J.2: Asymptoty ku grafu funkcie f(x) = x + ln xx- k príkladu 2

Page 183: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 183

Príklad 3. Nájdite rovnice asymptot grafu funkcie y = x · e−x2

2 .

Riešenie:

a) Hľadáme asymptoty bez smerice. Pretože definičný obor danej funkcie

y = x · e−x2

2 = x

ex22

je množina všetkých reálnych čísel a funkcia je na celom

definičnom obore spojitá, neexistujú asymptoty bez smernice k jej grafu.

b) Hľadáme rovnice asymptot so smernicou v tvare y = ax + b. Počítame limity

limx→∞

f(x)x

= limx→∞

x·e−x2

2

x= lim

x→∞1

ex22

= 0 = a, analogicky

limx→−∞

f(x)x

= limx→−∞

x·e−x2

2

x= lim

x→−∞1

ex22

= 0 = a. Následne počítame

limx→∞

(x · e−x2

2 − 0)

= limx→∞

x

ex22

L’P= lim

x→∞1

ex22 ·x

= 0 = b a analogicky

limx→−∞

(x · e−x2

2 − 0)

= · · · = limx→−∞

1

ex22 ·x

= 0 = b. Podľa vety 1 je priamka y = 0

asymptota so smernicou ku grafu danej funkcie.

xASS: y = 0

y

Obrázok J.3: Asymptota ku grafu funkcie f(x) = x · e−x2

2 - k príkladu 3

Príklad 4. Nájdite rovnice asymptot grafu funkcie y = x · arctg x.

Riešenie:

a) Funkcia y = x · arctg x je definovaná a spojitá vo všetkých reálnych číslach.Preto nemá asymptoty bez smernice.

b) Hľadáme rovnice asymptot so smernicou v tvare y = ax + b. Počítame limity

limx→∞

f(x)x

= limx→∞

x·arctg xx

= limx→∞

arctg x = π2

= a1 a analogicky

limx→−∞

f(x)x

= limx→−∞

x·arctg xx

= limx→−∞

arctg x = −π2

= a2. Následne počítame

limx→∞

(f(x)− a1x) = limx→∞

(x · arctg x− π

2x)

= limx→∞

x ·(arctg x− π

2

)=

limx→∞

arctg x−π2

1x

L’P= lim

x→∞

11+x2

− 1x2

= limx→∞

−x2

1+x2 = limx→∞

−11

x2 +1= −1 = b1, analogicky

limx→−∞

(f(x)− a1x) = limx→−∞

(x · arctg x + π

2x)

= limx→−∞

x ·(arctg x + π

2

)=

Page 184: 157 Matematika zbierka

184 J ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE

limx→−∞

arctg x+π2

1x

L’P= lim

x→−∞

11+x2

− 1x2

= limx→−∞

−x2

1+x2 = limx→−∞

−11

x2 +1= −1 = b1. Z vety 1 a z

vypočítaných limít vyplýva, že existujú dve asymptoty so smernicou ku grafudanej funkcie a to priamky y = a1x + b1 = π

2x− 1 a y = a2x + b2 = −π

2x− 1.

x

y

ASS: y = π2x− 1ASS: y = −π

2x− 1

Obrázok J.4: Asymptoty ku grafu funkcie f(x) = x · arctg x - k príkladu 4

Page 185: 157 Matematika zbierka

Úlohy 185

ÚlohyV úlohách 1 - 30 nájdite rovnice všetkých asymptot grafov daných funkcií.

1. f : y = 1x

2. f : y = 1x−1

3. f : y = xx−1

4. f : y = x+1x−1

5. f : y = x2

3x+1

6. f : y = x2+12x

7. f : y = x + 1x−1

8. f : y = 3x− 1x

9. f : y = x2−xx+1

10. f : y = x−2x2

11. f : y = x2

x2−4

12. f : y = 1−x2

1+x2

13. f : y = x2+2x2−4

14. f : y = 9 · x2−3x2

15. f : y = x2 + x4

4

16. f : y = 1x

+ 12x2

17. f : y = x2−3x+3x−2

18. f : y = x2−6x+5(x−3)2

19. f : y = 3√

2x2 − x3

20. f : y = sin xx

21. f : y = 2x− cos xx

22. f : y = x·sin x1+x2

Page 186: 157 Matematika zbierka

186 J ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE

23. f : y = ln(4− x2)

24. f : y = ln 1+x1−x

25. f : y = x2 · ln x

26. f : y = x + ln(x2 − 1)

27. f : y = x · e1

x−2

28. f : y = e1x

29. f : y = arctg 1x

30. f : y = x− 2 arctg x

Page 187: 157 Matematika zbierka

Výsledky 187

Výsledky1. x = 0, y = 0

2. x = 1, y = 0

3. x = 1, y = 1

4. x = 1, y = 1

5. x = −13, y = 1

3x− 1

9

6. x = 0, y = 12x

7. x = 1, y = x

8. x = 0, y = −3x

9. x = −1, y = x− 2

10. x = 0, y = 0

11. x = 2, x = −2, y = 1

12. y = −1

13. x = 2, x = −2, y = 2, y = x

14. x = 0, y = 0

15. nemá

16. x = 0

17. x = 2, y = x− 1

18. x = 3, y = 1

19. y = −x + 23

20. y = 0

21. x = 0, y = 2x

22. y = 0

23. x = 2, x = −2

24. x = 1, x = −1

Page 188: 157 Matematika zbierka

188 J ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE

25. nemá

26. x = 1, x = −1

27. x = 2, y = x + 1

28. x = 0, y = 1

29. y = 0

30. y = x− π, y = x + π

Page 189: 157 Matematika zbierka

K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU 189

K MONOTÓNNOSŤ FUNKCIE. EXTRÉMY.KONVEXNOSŤ, KONKÁVNOSŤ. INFLEXNÉBODY.

Veta 1. Nech je funkcia y = f(x) spojitá na intervale I a nech vo vnútri tohtointervalu existuje jej prvá derivácia f ′(x). Ak pre každý vnútorný bod intervaluplatí:

1. f ′(x) > 0, potom je funkcia na intervale I rastúca

2. f ′(x) < 0, potom je funkcia na intervale I klesajúca

3. f ′(x) ≥ 0, potom je funkcia na intervale I neklesajúca

4. f ′(x) ≤ 0, potom je funkcia na intervale I nerastúca

5. f ′(x) ≥ 0, pričom znamienko”=“ platí iba v konečnom počte čísel

z intervalu I, potom je funkcia rastúca na intervale I

6. f ′(x) ≤ 0, pričom znamienko”=“ platí iba v konečnom počte čísel

z intervalu I, potom je funkcia klesajúca na intervale I

Definícia 1. Nech je funkcia y = f(x) definovaná na intervale (a; b) a nechx0 ∈ (a; b).

a) Funkcia f má v čísle x0 lokálne maximum, ak existuje také okolie O(x0)

bodu x0, že pre všetky x ∈ O(x0) je f(x) ≤ f(x0). Ak platí f(x) < f(x0),hovoríme, že v bode x0 je ostré lokálne maximum.

b) Funkcia f má v čísle x0 lokálne minimum, ak existuje také okolie O(x0) bodux0, že pre všetky x ∈ O(x0) je f(x) ≥ f(x0). Ak platí f(x) > f(x0), hovoríme,že v bode x0 je ostré lokálne minimum.

Veta 2. Nech je funkcia y = f(x) v čísle x0 spojitá.

1. Nech existuje také ľavé okolie čísla x0, v ktorom je funkcia neklesajúca a taképravé okolie čísla x0, v ktorom je funkcia nerastúca. Potom má funkcia f(x)

v čísle x0 lokálne maximum. Zapisujeme lok max f(x) = f(x0).

2. Nech existuje také ľavé okolie čísla x0, v ktorom je funkcia nerastúca a taképravé okolie čísla x0, v ktorom je funkcia neklesajúca. Potom má funkcia f(x)

v čísle x0 lokálne minimum. Zapisujeme lok min f(x) = f(x0).

Page 190: 157 Matematika zbierka

190 K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU

Poznámka 1. Analogické vety platia pre ostré lokálne maximum a ostré lokálneminimum.

Poznámka 2. Lokálne maximá a lokálne minimá označujeme spoločným názvomlokálne extrémy.

Veta 3 (Nutná podmienka existencie lokálneho extrému). Ak má funkciay = f(x) v bode x0 lokálny extrém, tak buď f ′(x0) = 0 (bod x0 sa nazývastacionárny bod funkcie), alebo f ′(x0) neexistuje.

Veta 4. Nech je funkcia y = f(x) v bode x0 spojitá a nech na ľubovoľnom okolíbodu x0 existuje f ′(x).

Ak existuje ľavé okolie bodu x0, v ktorom pre všetky x je f ′(x) ≥ 0 a pravé okoliebodu x0, v ktorom pre všetky x je f ′(x) ≤ 0, potom funkcia má v čísle x0 lokálnemaximum.

Ak existuje ľavé okolie bodu x0, v ktorom pre všetky x je f ′(x) ≤ 0 a pravé okoliebodu x0, v ktorom pre všetky x je f ′(x) ≥ 0, potom funkcia má v čísle x0 lokálneminimum.

Poznámka 3. Analogické vety platia pre ostré lokálne extrémy.

Veta 5 (Postačujúca podmienka existencie lokálneho extrému 1). Nech x0 jestacionárny bod funkcie f(x), teda f ′(x0) = 0. Nech existuje f ′′(x0) 6= 0. Potomfunkcia y = f(x) má v bode x0 ostrý lokálny extrém a to buď ostré lokálnemaximum, ak f ′′(x0) < 0, alebo ostré lokálne minimum, ak f ′′(x0) > 0.

Veta 6 (Postačujúca podmienka 2). Nech x0 je stacionárny bod funkcie f(x)

a nech existujú v tomto bode derivácie až po n-tý rád, pričom n ≥ 2. Nechf ′(x0) = f ′′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0, ale f (n)(x0) 6= 0. Ak je číslo n nepárne,potom funkcia f(x) nemá v bode x0 lokálny extrém. Ak je číslo n párne af (n)(x0) < 0, potom má funkcia v bode x0 ostré lokálne maximum. Ak je číslo n

párne a f (n)(x0) > 0, potom má funkcia v bode x0 ostré lokálne minimum.

Page 191: 157 Matematika zbierka

K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU 191

Postup pri hľadaní lokálnych extrémov:

1. Nájdeme všetky stacionárne body funkcie a všetky body, v ktorých funkcianemá deriváciu.

2. Pomocou postačujúcich podmienok (veta 5 a 6) zistíme, či má v stacionárnombode funkcia extrém a aký.

3. Vyšetríme body, v ktorých neexistuje prvá derivácia použitím vety 4 a definícielokálnych extrémov.

4. Vypočítame lokálne extrémy.

Postup pri hľadaní maxima alebo minima spojitej funkcie na uzavretom intervale〈a; b〉:

1. Nájdeme všetky čísla z intervalu (a; b), v ktorých funkcia nemá prvú deriváciualebo v ktorých je prvá derivácia funkcie rovná nule.

2. Vypočítame funkčné hodnoty v koncových bodoch intervalu f(a) a f(b)

a v bodoch z 1.

3. Maximum z týchto funkčných hodnôt je maximom funkcie, minimum z týchtofunkčných hodnôt je minimom funkcie na uzavretom intervale 〈a; b〉.

Poznámka 4. Na otvorenom intervale (a; b) spojitá funkcia nemusí maťmaximum (minimum). Ak maximum (minimum) existuje, je to maximum(minimum) z lokálnych extrémov funkcie v intervale (a; b).

Definícia 2. Nech je funkcia y = f(x) definovaná na intervale J . Nechx1 < x2 < x3 sú ľubovoľné čísla z tohto intervalu. Ak pre všetky takéto trojice bodP2 = [x2; f(x2)] leží pod priamkou, ktorá prechádza bodmi P1 = [x1; f(x1)] aP3 = [x3; f(x3)] alebo leží na nej, hovoríme, že funkcia je konvexná na intervale J .Ak bod P2 leží nad touto priamkou alebo leží na nej, hovoríme, že funkcia jekonkávna na intervale J .Ak pre všetky takéto trojice bod P2 leží pod (nad) touto priamkou hovoríme, žefunkcia je rýdzokonvexná (rýdzokonkávna) na intervale J .

Definícia 3. Nech je funkcia y = f(x) definovaná v nejakom okolí čísla x0 a nechje v čísle x0 spojitá. Bod I = [x0, f(x0)] nazývame inflexným bodom grafufunkcie, ak je funkcia na ľavom okolí bodu x0 rýdzokonkávna (rýdzokonvexná) ana pravom okolí bodu x0 rýdzokonvexná (rýdzokonkávna).

Page 192: 157 Matematika zbierka

192 K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU

Bod x0 nazývame inflexným bodom funkcie.

Veta 7. Nech má funkcia y = f(x) na intervale J druhú deriváciu f ′′(x).

1. Ak f ′′(x) ≥ 0 na J , potom funkcia je na J konvexná.

2. Ak f ′′(x) ≤ 0 na J , potom funkcia je na J konkávna.

3. Ak f ′′(x) > 0 na J , potom funkcia je na J rýdzokonvexná.

4. Ak f ′′(x) < 0 na J , potom funkcia je na J rýdzokonkávna.

Veta 8. Nech má funkcia y = f(x) na intervale J druhú deriváciu. Ak je x0

inflexným bodom funkcie, potom f ′′(x0) = 0.

Veta 9. Nech je funkcia y = f(x) v bode x0 spojitá a má v nejakom rýdzom okolíbodu x0 druhú deriváciu. Ak existuje ľavé okolie bodu x0, v ktorom je f ′′(x0) > 0

(f ′′(x0) < 0) pre všetky x a pravé okolie bodu x0, v ktorom je f ′′(x0) < 0

(f ′′(x0) > 0) pre všetky x, potom bod x0 je inflexným bodom funkcie f(x).

Veta 10. Nech funkcia y = f(x) má v čísle x0 prvých n derivácií, n ≥ 2. Nechf (k)(x0) = 0 pre k = 2, 3, . . . , n− 1 a f (n)(x0) 6= 0. Ak n je nepárne číslo, potomfunkcia má v čísle x0 inflexný bod. Ak n je párne číslo, potom funkcia nemá včísle x0 inflexný bod.

Page 193: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 193

Riešené príkladyPríklad 1. Nájdite všetky intervaly, na ktorých je funkcia f(x) =

√2x− x2

rýdzomonotónna.

Riešenie: Definičný obor funkcie je D(f) = {x ∈ R : 2x− x2 ≥ 0}.Z nerovnice 2x− x2 ≥ 0 vyplýva, že x(2− x) ≥ 0 a teda D(f) = 〈0; 2〉. Deriváciafunkcie f ′(x) = 2−2x

2√

2x−x2 = 1−x√2x−x2 , čiže D(f ′) = (0; 2). Treba zistiť všetky intervaly,

na ktorých je f ′(x) kladná a na ktorých je záporná (veta 1).Ak je f ′(x) > 0, funkcia je rastúca

1−x√2x−x2 > 0 ⇔ 1− x > 0 ⇔ x < 1. Zohľadniac definičný obor, funkcia je rastúca naintervale (0; 1).Opačná nerovnica 1−x√

2x−x2 < 0 platí pre 1− x < 0 a teda x > 1. Na intervale (1; 2)

je funkcia klesajúca.

Príklad 2. Nájdite lokálne extrémy funkcie f(x) = x3 − 6x2 + 9x− 4.

Riešenie: D(f) = R, f ′(x) = 3x2 − 12x + 9, D(f ′) = R. Vzhľadom na definičnýobor derivácie, lokálne extrémy môžu nastať len v stacionárnych bodoch (veta 3),teda tam, kde f ′(x) = 0

3x2 − 12x + 9 = 0 ⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ (x− 1)(x− 3) = 0.Stacionárne body sú x1 = 1 a x2 = 3.f ′′(x) = 6x− 12, f ′′(1) = −6 < 0, f ′′(3) = 6 > 0, f ′′′(x) = 6 6= 0. Podľa vety 5 máfunkcia v bode x1 = 1 ostré lokálne maximum a to lok max f(x) = f(1) = 0 a vbode x2 = 3 ostré lokálne minimum lok min f(x) = f(3) = −4.

Príklad 3. Nájdite minimum a maximum funkcie f(x) =√

x− x2.

Riešenie: Definičný obor funkcie je D(f) = {x ∈ R : x− x2 ≥ 0}. Z nerovnicex− x2 ≥ 0 vyplýva, že x(1− x) ≥ 0 a teda D(f) = 〈0; 1〉. Hľadáme extrémyspojitej funkcie na uzavretom intervale.Nájdeme najskôr body, v ktorých môžu nastať lokálne extrémy: f ′(x) = 1−2x

2√

x−x2 ,D(f ′) = (0; 1). Stacionárne body získame vyriešením rovnice

1−2x2√

x−x2 = 0 ⇔ 1− 2x = 0 ⇔ x = 12. Lokálne extrémy môžu nastať aj v bodoch, v

ktorých neexistuje prvá derivácia, a to x = 0 a x = 1. Tieto sú súčasne ikoncovými bodmi definičného oboru 〈0; 1〉. Vypočítame funkčné hodnotyf(0), f(1

2) a f(1) a vyberieme z nich najväčšiu a najmenšiu hodnotu:

f(0) = 0, f(12) =

√14

= 12a f(1) = 0. Preto max f(x) = 1

2a min f(x) = 0.

Príklad 4. Zriaďovacie náklady elektrického vedenia sú závislé od prierezuvedenia S a od strát elektrického vedenia a sú dané vzťahom y = 2S + 3

S. Nájdite

S tak, aby náklady boli minimálne.

Page 194: 157 Matematika zbierka

194 K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU

Riešenie: Hľadáme prierez S, pre ktorý funkcia nadobúda minimálnu hodnotu.Keďže y′ = 2− 3

S2 , y′ = 0 práve vtedy keď 2− 3S2 = 0 ⇔ 2S2 − 3 = 0 ⇔ S2 = 3

2.

Vzhľadom k tomu že S > 0, riešením rovnice je S =√

32. Overíme, či v tomto bode

nastáva minimum: y′′ = −3·(−2)S3 = 6

S3 a pretože y′′(√

32

)= 6

(√

32)3> 0, funkcia má

v S =√

32minimum. Vypočítame y

(√32

)= 2 ·

√32

+ 3√32

=2· 3

2+3√32

= 6√32

.

Minimálne zriaďovacie náklady sú 6√32

pri priereze vedenia S =√

32.

Príklad 5. Nájdite intervaly monotónnosti a lokálne extrémy funkcie y = ex

x+1.

Riešenie: Definičný obor funkcie jeD(f) = {x ∈ R : x + 1 6= 0} = R \ {−1} = (−∞;−1) ∪ (−1;∞) a jej derivácia jey′ = ex(x+1)−ex

(x+1)2= ex·x

(x+1)2. Z vety 1 vyplýva, že funkcia bude rastúca, ak y′ > 0 a

klesajúca, ak y′ < 0.Platí y′ > 0 ⇔ ex·x

(x+1)2> 0 ⇔ x > 0 a preto je funkcia rastúca pre x ∈ (0;∞).

Podobne y′ < 0 ⇔ x < 0 a funkcia je klesajúca pre x ∈ (−∞;−1) a prex ∈ (−1; 0). Podľa vety 2, lokálny extrém nastáva v bode x = 0 a to lokálneminimum. Platí lok min f = e0

1= 1.

Príklad 6. Nájdite intervaly na ktorých je funkcia y = 1− ln(x2 − 9) konvexná,konkávna a určte inflexné body grafu funkcie.

Riešenie: Definičný obor funkcie je D(f) = {x ∈ R : x2 − 9 > 0}. Z nerovnicex2 − 9 > 0 vyplýva, že x2 > 9 ⇔ |x| > 3 a teda D(f) = (−∞;−3) ∪ (3;∞). Podľavety 7, funkcia je konvexná, ak f ′′(x) > 0.Platí f ′(x) = − 1

x2−9· 2x = −2x

x2−9a f ′′(x) = −2·(x2−9)+2x·2x

(x2−9)2= 2x2+18

(x2−9)2. Pretože

2x2 + 18 > 0 aj (x2 − 9)2 > 0 pre všetky x ∈ D(f), funkcia je konvexná naintervale (−∞;−3) aj na intervale (3;∞). Inflexné body funkcia nemá.

Page 195: 157 Matematika zbierka

Úlohy 195

Úlohy1. Pre danú funkciu nájdite všetky intervaly, na ktorých je rýdzomonotónna:

a) f(x) = x2 − 6x + 5

b) f(x) = x3 − 3x2 + 3x + 5

c) f(x) = x−1x+1

d) f(x) =√

x− x2

2. Dokážte, že funkcia f(x) = ln(x + 3) je na celom definičnom obore rastúca.

3. Dokážte, že funkcia f(x) = x3 − 3x + 5 je na intervale (−1; 1) klesajúca.

4. Dokážte, že funkcia f(x) = x + cos x je na intervale 〈−2π; 2π〉 rastúca.

5. Pre danú funkciu nájdite všetky intervaly, na ktorých je rýdzomonotónna:

a) f(x) = ln(4− x2)

b) f(x) = x2 · e−x

c) f(x) = xln x

d) f(x) = x− 2 arctg x

6. Nájdite lokálne extrémy funkcií:

a) y = x4 − 4x3 + 4x2

b) y = 3x + 3x−2

c) y = 2x3 − 3x2 + 5

d) y = x3 − 3x2 + 3x + 5

7. Nájdite lokálne extrémy funkcií:

a) y = x2 · ex

b) y = x3 · ex

c) y = xn · ex, kde n ∈ N

8. Nájdite lokálne extrémy funkcií:

a) y = x3 · (8− x)

b) y = x1+x2

c) y = 3√

(x2 − 1)2

Page 196: 157 Matematika zbierka

196 K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU

d) y = x− arctg x

9. Nájdite lokálne extrémy funkcie y = |x|+ |1 + x|.

10. Nájdite maximum a minimum funkcií na príslušných intervaloch:

a) y = (x2 − 1)2 na intervale 〈−12; 2〉

b) y = 2x3 − 3x2 − 12x + 1 na intervale (−2; 4)

c) y = x +√

1− x na intervale 〈−1; 1〉d) y = x · e−x na intervale 〈−2; 3〉

11. Nájdite maximum a minimum funkcií na príslušných intervaloch:

a) y = x · ln2 x, x ∈ (0; 5)

b) y = sin x− cos x, x ∈ 〈0; π2〉

c) y = sin 2x− x, x ∈ (−π2; π

2)

d) y = cos(3x− π4), x ∈ 〈0; π

2〉

12. Kladné číslo a napíšte v tvare súčtu dvoch kladných sčítancov tak, aby ich súčinbol maximálny.

13. Súčet dvoch kladných čísel je a. Vypočítajte:

a) minimálnu hodnotu súčtu ich n-tých mocnín

b) maximálnu hodnotu súčinu ich n-tých mocnín

14. Do gule s polomerom R vpíšte rotačný kužeľ maximálneho objemu.

15. Z rotačných kužeľov s veľkosťou plášťa P nájdite ten, ktorý má najväčší objem.

16. Drôt dĺžky l máme rozdeliť na dve časti. Z prvej vytvoríme štvorec a z druhejkruh tak, aby súčet obsahov týchto útvarov bol čo najmenší. Vypočítajtepolomer kruhu a stranu štvorca.

17. Škatuľa má mať tvar valca, uzavretého vrchnákom tvaru polovice guľovejplochy. Stena a dno škatule sú zhotovené z toho istého materiálu, a vrchnákz materiálu, ktorý je 5,5-krát drahší. Aké musia byť rozmery škatule, aby pridanom objeme V bola jej výrobná cena čo najmenšia?

18. Mesto A leží na rieke, ktorá tečie priamo. Mesto B je vzialené od mesta A

20 km a od rieky 5 km. Na rieke sa má vybudovať vodáreň, ktorá budezásobovať obe mestá vodou. Určte jej umiestnenie tak, aby stavba potrubiabola čo najlacnejšia, ak náklady na výstavbu 1 km potrubia po rieke sú 2/3nákladov výstavby po zemi.

Page 197: 157 Matematika zbierka

Úlohy 197

19. Z ostrova A vzdialeného od brehu jazera 5 km sa chceme dostať do mesta C nabrehu jazera v čo najkratšom čase. Mesto C je od mesta A vzdialené 13 km. Naktorom mieste musíme pristáť, ak rýchlosť loďky je 4 km/hod a rýchlosť chodcaje 6 km/hod?

20. Výklenok má tvar polvalca, na ktorom je nasadená štvrťguľa. Vypočítajte jehorozmery, ak má mať pri danom povrchu maximálny objem.

21. Zistite, ktorý bod danej krivky má od bodu M minimálnu vzdialenosť:

a) 2x2 − 2y − 9 = 0, M = [0; 0]

b) x2 − y2 + 4 = 0, M = [1; 0]

V úlohách 22 - 24 nájdite intervaly maximálnej dĺžky, na ktorých sú funkcierastúce, klesajúce a nájdite ich lokálne extrémy:

22. a) y = x3 − 3x + 5

b) y = x+1x2+3

c) y = 3 + xx2+1

d) y = 6x1+x2

23. a) y = 2x2 − ln x

b) y = 2x2 · e2x

c) y = 2√

9x2 − x4

d) y = ex

x+1

24. a) y = e−x2

b) y = x · e1

x−2

c) y = x2 · ln x

d) y = x · arctg x

25. Nájdite intervaly najväčšej dĺžky, na ktorých sú funkcie konvexné a na ktorýchsú konkávne:

a) y = x3 − 3x + 5

b) y = arctg x

c) y = x2 · ex

d) y = x1−x2

Page 198: 157 Matematika zbierka

198 K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU

26. Nájdite inflexné body grafov nasledujúcich funkcií:

a) y = x2 · e−x

b) y = x2 · ln x

c) y = ln(4− x2)

d) y = x1+x2

V úlohách 27 - 29 nájdite intervaly maximálnej dĺžky, na ktorých sú funkciekonvexné, konkávne a nájdite inflexné body grafov funkcií:

27. a) y = x3 + 3x2 − 9x− 2

b) y = x2−2x

c) y = x− 2 arctg x

d) y = e1x

28. a) y = x + e−x2

b) y = ln(x2 − 2x + 2)

c) y = x4 − 6x2 + 5

d) y = x+1x−1

29. a) y = 1+x2

x

b) y = x + ln(4− x2)

c) y = x2−6x+5(x−3)2

d) y = 11−x2

Page 199: 157 Matematika zbierka

Výsledky 199

Výsledky1. a) D(f) = R, pre x ∈ (3;∞) rastúca, pre x ∈ (−∞; 3) klesajúca

b) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;∞) rastúca

c) D(f) = R \ {−1}, rastúca pre x ∈ (−∞;−1) aj pre x ∈ (−1;∞)

d) D(f) = 〈0; 1〉, pre x ∈ 〈0; 12〉 rastúca, pre x ∈ 〈1

2; 0〉 klesajúca

5. a) D(f) = (−2; 2), pre x ∈ (−2; 0) rastúca, pre x ∈ (0; 2) klesajúca

b) D(f) = R, pre x ∈ (−∞; 0) klesajúca, pre x ∈ (0; 2) rastúca, pre x ∈ (2;∞)

klesajúca

c) D(f) = (0; 1) ∪ (1;∞), pre x ∈ (0; 1) klesajúca, pre x ∈ (1; e) klesajúca, prex ∈ (e,∞) rastúca

d) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−1) rastúca, pre x ∈ (−1; 1) klesajúca, prex ∈ (1;∞) rastúca

6. a) D(f) = R, lok min f(x) = f(0) = 0, lok min f(x) = f(2) = 0,lok max f(x) = f(1) = 1

b) D(f) = R \ {2}, lok max f(x) = f(1) = 0, lok min f(x) = f(3) = 12

c) D(f) = R, lok max f(x) = f(0) = 5, lok min f(x) = f(1) = 4

d) D(f) = R, nemá lokálne extrémy

7. a) D(f) = R, lok min f(x) = f(0) = 0, lok max f(x) = f(−2) = 4 · e−2

b) D(f) = R, lok min f(x) = f(−3) = −27 · e−3

c) D(f) = R, ak n je párne: lok min f(x) = f(0) = 0,lok max f(x) = f(−n) = nn · e−n,ak n je nepárne: lok min f(x) = f(−n) = −nn · e−n

8. a) D(f) = R, lok max f(x) = f(6) = 432

b) D(f) = R, lok max f(x) = f(1) = 12, lok min f(x) = f(−1) = −1

2

c) D(f) = R, lok max f(x) = f(0) = 1, lok min f(x) = f(−1) = 0,lok min f(x) = f(1) = 0

d) D(f) = R, nemá lokálne extrémy

9. D(f) = R, lok min f(x) = 1, nastáva pre všetky x ∈ 〈−1; 0〉

10. a) max f(x) = f(2) = 9, min f(x) = f(1) = 0

b) maximum nemá, min f(x) = f(2) = −19

Page 200: 157 Matematika zbierka

200 K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU

c) max f(x) = f(34) = 5

4, min f(x) = f(−1) = −1 +

√2

d) max f(x) = f(1) = 1e, min f(x) = f(−2) = −2 · e2

11. a) maximum nemá, min f(x) = f(1) = 0

b) max f(x) = f(π2) = 1, min f(x) = f(0) = −1

c) max f(x) = f(π6) =

√3

2− π

6, min f(x) = f(−π

6) = −

√3

2− π

6

d) max f(x) = f( π12

) = f(3π4

) = 1, min f(x) = f(5π12

) = −1

12. x = y = a2, maximálny súčin sa rovná a2

4

13. a) x = y = a2, minimálny súčet je an

2n−1

b) x = y = a2, maximálny súčin je

(a2

)2n

14. Výška kužeľa v = 43R, polomer podstavy r = 1

3

√8R.

15. Polomer podstavy r =√

Pπ·√

3, výška v =

√2P

π·√

3.

16. Strana štvorca a = lπ+4, polomer kruhu r = l

2(π+4), súčet plôch l2

4(π+4).

17. Polomer podstavy r = 3

√3V32π, výška steny v = 15

163

√322V9π.

18. Vodáreň by mala ležať na rieke vo vzdialenosti(√

3575− 1517

)km od A

smerom k B.

19. Vzdialené o 2√

5 km od B.

20. Polomer polvalca aj štvrťgule r =√

2P5π, výška valca je rovná jeho polomeru.

21. a)[−2;−1

2

]a[2;−1

2

]b)[

12;√

172

]a[

12;−

√172

]22. a) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−1) a x ∈ (1;∞) rastúca, pre x ∈ (−1; 1)

klesajúca, lok max f(x) = f(−1) = 5, lok min f(x) = f(1) = 1

b) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−3) a x ∈ (1;∞) klesajúca, pre x ∈ (−3; 1)

rastúca, lok max f(x) = f(1) = 12, lok min f(x) = f(−3) = − 2

27

c) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−1) a x ∈ (1;∞) klesajúca, pre x ∈ (−1; 1)

rastúca, lok max f(x) = f(1) = 72, lok min f(x) = f(−1) = 5

2

d) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−1) a x ∈ (1;∞) klesajúca, pre x ∈ (−1; 1)

rastúca, lok max f(x) = f(1) = 3, lok min f(x) = f(−1) = −3

Page 201: 157 Matematika zbierka

Výsledky 201

23. a) D(f) = (0;∞), pre x ∈ (0; 12) klesajúca, pre x ∈ (1

2;∞) rastúca, nemá

lokálne maximum, lok min f(x) = f(12) = 1

2+ ln 2

b) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−1) a x ∈ (0;∞) rastúca, pre x ∈ (−1; 0)

klesajúca, lok max f(x) = f(−1) = 2 · e−2, lok min f(x) = f(0) = 0

c) D(f) = 〈−3; 3〉, pre x ∈ (−3;− 3√2) a x ∈ (0; 3√

2) rastúca, pre x ∈ (− 3√

2; 0) a

x ∈ ( 3√2; 3) klesajúca, lok max f(x) = f(− 3√

2) = f( 3√

2) = 9,

lok min f(x) = f(0) = 0 (obrázok L.15 na strane 227)

d) D(f) = R \ {−1}, x ∈ (−∞;−1) a x ∈ (−1; 0) klesajúca, pre x ∈ (0;∞)

nemá lokálne maximum, lok min f(x) = f(0) = 1

24. a) D(f) = R, pre x ∈ (−∞; 0) rastúca, pre x ∈ (0;∞) klesajúca,lok max f(x) = f(0) = 1 (obrázok L.18 na strane 230)

b) D(f) = R \ {2}, pre x ∈ (−∞; 1) a x ∈ (4;∞) rastúca, pre x ∈ (1; 2) ax ∈ (2; 4) klesajúca, lok max f(x) = f(1) = 1

e, lok min f(x) = f(4) = 4

√2

(obrázok L.19 na strane 231)

c) D(f) = (0;∞), pre x ∈ (0; 1√e) klesajúca, pre x ∈ ( 1√

e;∞) rastúca,

lok min f(x) = f( 1√e) = − 1

2e(obrázok L.16 na strane 228)

d) D(f) = R, pre x ∈ (−∞; 0) klesajúca, pre x ∈ (0;∞) rastúca,lok min f(x) = f(0) = 0 (obrázok L.20 na strane 232)

25. a) D(f) = R, pre x ∈ (0;∞) konvexná, pre x ∈ (−∞; 0) konkávna

b) D(f) = R, pre x ∈ (−∞; 0) konvexná, pre x ∈ (0;∞) konkávna

c) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−2−√

2) a x ∈ (−2 +√

2;∞) konvexná, prex ∈ (−2−

√2;−2 +

√2) konkávna

d) D(f) = R \ {−1; 1}, pre x ∈ (−∞,−1) a x ∈ (0; 1) konvexná, prex ∈ (−1; 0) a x ∈ (1;∞) konkávna

26. a) I1 =[2−

√2; (6− 4

√2) · e

√2−2], I2 =

[2 +

√2; (6 + 4

√2) · e−

√2−2]

b) I1 =[e−

32 ;−3

2e−3]

c) nemá

d) I1 =[−√

3;−√

34

], I1 = [0; 0], I1 =

[√3;

√3

4

]27. a) D(f) = R, pre x ∈ (−1;∞) konvexná, pre x ∈ (−∞;−1) konkávna,

I = [−1; 9]

b) D(f) = R \ {0}, pre x ∈ (−∞; 0) konvexná, pre x ∈ (0;∞) konkávna,inflexný bod nemá

Page 202: 157 Matematika zbierka

202 K POUŽITIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU

c) D(f) = R, pre x ∈ (0;∞) konvexná, pre x ∈ (−∞; 0) konkávna, I = [0; 0]

d) D(f) = R \ {0}, pre x ∈ (−12; 0) a x ∈ (0;∞) konvexná, pre x ∈ (−∞;−1

2)

konkávna, I =[−1

2; e−2

]28. a) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−

√2

2) a x ∈ (

√2

2;∞) konvexná, pre x ∈ (−

√2

2;√

22

)

konkávna, I1 =[−√

22

;−√

22

+ e−12

], I2 =

[√2

2;√

22

+ e−12

]b) D(f) = R, pre x ∈ (0; 1) konvexná, pre x ∈ (−∞; 0) a x ∈ (1;∞) konkávna,

I1 = [0; ln 2], I2 = [1; 0]

c) D(f) = R, pre x ∈ (−∞;−1) a x ∈ (1;∞) konvexná, pre x ∈ (−1; 1)

konkávna, I1 = [−1; 0], I2 = [1; 0] (obrázok L.9 na strane 221)

d) D(f) = R \ {1}, pre x ∈ (1;∞) konvexná, pre x ∈ (−∞; 1) konkávna,inflexné body nemá (obrázok L.10 na strane 222)

29. a) D(f) = R \ {0}, pre x ∈ (0;∞) konvexná, pre x ∈ (−∞; 0) konkávna,inflexné body nemá

b) D(f) = R \ {−2; 2}, na celom definičnom obore konkávna, inflexné bodynemá

c) D(f) = R \ {3}, na celom definičnom obore konkávna, inflexné body nemá(obrázok L.13 na strane 225)

d) D(f) = R \ {−1; 1}, pre x ∈ (−1; 1) konvexná, pre x ∈ (−∞;−1) ax ∈ (1;∞) konkávna, inflexné body nemá (obrázok L.12 na strane 224)

Page 203: 157 Matematika zbierka

L PRIEBEH FUNKCIE 203

L PRIEBEH FUNKCIE

Pri vyšetrovaní priebehu funkcie zvyčajne zisťujeme nasledujúce charakteristikyfunkcie:

1. Definičný obor, nulové body funkcie.

2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.

3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.

4. Asymptoty grafu funkcie.

5. Monotónnosť.

6. Lokálne extrémy.

7. Konvexnosť, konkávnosť.

8. Inflexné body.

Pomocou týchto vlastností zostrojíme graf funkcie.

Page 204: 157 Matematika zbierka

204 L PRIEBEH FUNKCIE

Riešené príkladyPríklad 1. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = 3x−2

2x+1a zostrojte jej graf.

Riešenie:

1. Definičný obor, nulové body funkcie.D(f) = {x ∈ R : 2x + 1 6= 0} = (−∞;−1

2) ∪ (−1

2;∞)

Nulový bod funkcie je ten, v ktorom funkčná hodnota je rovná nule:3x−22x+1

= 0 ⇔ 3x− 2 = 0 ⇔ x = 23. Graf funkcie prechádza bodom [2

3; 0].

2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.Pre danú funkciu nie je splnená podmienka: ak x ∈ D(f) tak aj −x ∈ D(f),nakoľko x = 1

2∈ D(f) ale −x = −1

26∈ D(f). Funkcia nie je ani párna ani

nepárna. Funkcia nie je periodická.

3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.Funkcia je spojitá pre x ∈ (−∞;−1

2) aj pre x ∈ (−1

2;∞). Bodom nespojitosti je

x = −12.

limx→− 1

2

+

3x−22x+1

= −∞

limx→− 1

2

3x−22x+1

= ∞

4. Asymptoty grafu funkcie.

a) Asymptoty bez smernice x = a:Jednostranné limity v čísle x = −1

2sú nevlastné. Priamka x = −1

2je

asymptotou bez smernice.

b) Asymptoty so smernicou y = ax + b:

a = limx→∞

3x−22x+1

x= lim

x→∞3x−22x2+x

= 0 a analogicky a = limx→−∞

3x−22x+1

x= 0

b = limx→∞

(3x−22x+1

− 0)

= limx→∞

3− 2x

2+ 1x

= 32a analogicky b = lim

x→−∞

(3x−22x+1

− 0)

= 32

Priamka y = 32je asymptotou so smernicou.

5. Monotónnosť.f ′(x) = 3(2x+1)−(3x−2)·2

(2x+1)2= 6x+3−6x+4

(2x+1)2= 7

(2x+1)2

7(2x+1)2

> 0 pre ∀x ∈ R ⇒ funkcia je rastúca pre x ∈ (−∞;−12) a tiež pre

x ∈ (−12;∞).

6. Lokálne extrémy.Keďže f ′(x) = 7

(2x+1)2, D(f ′) = (−∞;−1

2) ∪ x ∈ (−1

2;∞) = D(f), extrém môže

nastať len v stacionárnom bode. Pretože f ′(x) 6= 0 pre všetky x ∈ D(f ′), danáfunkcia nemá lokálne extrémy.

Page 205: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 205

7. Konvexnosť, konkávnosť.f ′′(x) = −2 · 7 · (2x + 1)−3 · 2 = −28

(2x+1)3

Funkcia bude konvexná pre všetky x ∈ D(f), pre ktoré f ′′(x) > 0 a konkávnapre všetky x ∈ D(f), pre ktoré f ′′(x) < 0.Riešme nerovnicu −28

(2x+1)3> 0 ⇒ 28

(2x+1)3< 0 ⇒ 2x + 1 < 0 ⇒ x < −1

2.

Opačná nerovnica −28(2x+1)3

< 0 má riešenie x > −12.

Na intervale (−∞;−12) je funkcia konvexná.

Na intervale (−12;∞) je funkcia konkávna.

8. Inflexné body.K zmene konvexnosti na konkávnosť dochádza v čísle a = −1

2, ktoré nepatrí do

definičného oboru funkcie; funkcia teda nemá inflexné body.

x

y

ABS: x = −12

ASS: y = 32

32

−12

Obrázok L.1: Graf funkcie f : y = 3x−22x+1

- k príkladu 1

Page 206: 157 Matematika zbierka

206 L PRIEBEH FUNKCIE

Príklad 2. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = x1−x2 a zostrojte jej graf.

Riešenie:

1. Definičný obor, nulové body funkcie.D(f) = {x ∈ R : 1− x2 6= 0} = R \ {−1; 1}f(x) = 0 ⇔ x

1−x2 = 0 ⇔ x = 0. Graf funkcie prechádza bodom [0; 0].

2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.Pre danú funkciu je splnená podmienka: ak x ∈ D(f) tak aj −x ∈ D(f).Vypočítame f(−x):f(−x) = (−x)

1−(−x)2= −x

1−x2 = − x1−x2 = −f(x). Ukázali sme, že pre ∀x ∈ D(f) platí

f(−x) = −f(x). Funkcia je nepárna. Graf je symetrický podľa počiatkusúradnicovej sústavy. Funkcia nie je periodická.

3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.Definičný obor funkcie je D(f) = (−∞;−1) ∪ (−1; 1) ∪ (1;∞). Funkcia jespojitá pre x ∈ (−∞;−1), pre x ∈ (−1; 1) a pre x ∈ (1;∞). Body nespojitostisú x = 1 a x = −1. Vypočítame v nich jednostranné limity:

limx→−1−

x1−x2 = +∞, lim

x→1−

x1−x2 = +∞

limx→−1+

x1−x2 = −∞, lim

x→1+

x1−x2 = −∞

4. Asymptoty grafu funkcie.

a) Asymptoty bez smernice x = a:Jednostranné limity v x = 1 a x = −1 sú nevlastné. Priamky x = 1 ax = −1 sú asymptotami bez smernice.

b) Asymptoty so smernicou y = ax + b:

a = limx→∞

x1−x2

x= lim

x→∞1

1−x2 = 0 a analogicky a = limx→−∞

x1−x2

x= 0

b = limx→∞

(x

1−x2 − 0)

= limx→∞

1x

1x2−1

= 0 a analogicky b = limx→−∞

(x

1−x2 − 0)

= 0

Priamka y = 0 je asymptotou so smernicou.

5. Monotónnosť.

f ′(x) = 1−x2−x(−2x)(1−x2)2

= 1+x2

(1−x2)2

f ′(x) > 0 pre všetky x ∈ R ⇒ funkcia je na intervaloch (−∞;−1), (−1; 1) a(1;∞) rastúca.

6. Lokálne extrémy.D(f ′) = D(f) = R \ {−1; 1} ⇒ extrém môže nastať len v stacionárnom bode.Pretože f ′(x) = 1+x2

(1−x2)26= 0 pre všetky x ∈ R, daná funkcia nemá lokálne

extrémy.

Page 207: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 207

7. Konvexnosť, konkávnosť.

f ′′(x) = 2x(1−x2)2−(1+x2)·2·(1−x2)·(−2x)(1−x2)4

= 8x(1−x2)3

Ak f ′′(x) > 0, funkcia je konvexná. Ak f ′′(x) < 0, funkcia je konkávna.Nerovnicu vyriešime tabuľkou:

(−∞;−1) (−1; 0) (0; 1) (1;∞)x − − + +

1− x + + + −1 + x − + + +f ′′(x) + − + −

Na intervale (−∞;−1) je funkcia konvexná

Na intervale (−1; 0) je funkcia konkávna

Na intervale (0; 1) je funkcia konvexná

Na intervale (1;∞) je funkcia konkávna

8. Inflexné body.K zmene konvexnosti na konkávnosť dochádza v x = −1 6∈ D(f), x = 0 ax = 1 6∈ D(f). Jediným inflexným bodom je bod I = [0; 0].

x

y

ABS: x = −1

ABS: x = 1

ASS: y = 0

−1 0 1

Obrázok L.2: Graf funkcie f : y = x1−x2 - k príkladu 2

Page 208: 157 Matematika zbierka

208 L PRIEBEH FUNKCIE

Príklad 3. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = 1−x2

1+x2 a zostrojte jej graf.

Riešenie:

1. Definičný obor, nulové body funkcie.D(f) = R;f(x) = 0 ⇔ 1− x2 = 0 ⇔ x = 1, x = −1.Graf funkcie prechádza bodmi [1; 0] a [−1; 0].

2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.

D(f) = R; f(−x) = 1−(−x)2

1+(−x)2= 1−x2

1+x2 = f(x).

Funkcia je párna. Graf je symetrický podľa osi y. Funkcia nie je periodická.

3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.Funkcia je spojitá na celom definičnom obore.

4. Asymptoty grafu funkcie.

a) Asymptoty bez smernice nemá.

b) Asymptoty so smernicou y = ax + b:

a = limx→∞

1−x2

(1+x2)·x = limx→∞

1x3−

1x

1x2 +1

= 0 a analogicky a = limx→−∞

1−x2

x+x3 = 0

b = limx→∞

(1−x2

1+x2 − 0)

= limx→∞

1x2−11

x2 +1= −1 a analogicky b = lim

x→−∞

(1−x2

1+x2

)= −1

Priamka y = −1 je asymptotou so smernicou.

5. Monotónnosť.f ′(x) = −2x(1+x2)−(1−x2)·2x

(1+x2)2= −4x

(1+x2)2

Ak f ′(x) > 0, tak je funkcia rastúca.Ak f ′(x) < 0, tak je funkcia klesajúca.

f ′(x) > 0 ⇔ −4x(1+x2)2

> 0 ⇔ −4x > 0 ⇔ x < 0

f ′(x) < 0 ⇔ −4x(1+x2)2

< 0 ⇔ −4x < 0 ⇔ x > 0

Pre x ∈ (−∞; 0) je funkcia rastúca.Pre x ∈ (0;∞) je funkcia klesajúca.

6. Lokálne extrémy.Lokálny extrém môže nastať len v stacionárnom bode; f ′(x) = 0 ⇔ x = 0.

0

Page 209: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 209

Z vyznačenej monotónnosti a zo spojitosti funkcie vyplýva, že v x = 0 nastávalokálne maximum funkcie lok max f(x) = f(0) = +1.

7. Konvexnosť, konkávnosť.

f ′′(x) = −4·(1+x2)2+4x·2(1+x2)·2x(1+x2)4

= 4(3x2−1)(1+x2)3

Ak f ′′(x) > 0, funkcia je konvexná. Ak f ′′(x) < 0, funkcia je konkávna.4(3x2−1)(1+x2)3

> 0 ⇔ 3x2 − 1 > 0 ⇔ x2 > 13⇔ |x| >

√3

3

x ∈ (−∞;−√

33

) ⇒ funkcia je konvexná

x ∈ (√

33

;∞) ⇒ funkcia je konvexná

x ∈ (−√

33

;√

33

) ⇒ funkcia je konkávna

8. Inflexné body.

Inflexné body sú I1 = [−√

33

; 12] a I2 = [

√3

3; 1

2].

x

y

ASS: y = −1

−1

1

−1 −√

33

√3

310

12

Obrázok L.3: Graf funkcie f : y = 1−x2

1+x2 - k príkladu 3

Page 210: 157 Matematika zbierka

210 L PRIEBEH FUNKCIE

Príklad 4. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = x2

x2−4a zostrojte jej graf.

Riešenie:

1. Definičný obor, nulové body funkcie.

D(f) = {x ∈ R : x2 − 4 6= 0} = R \ {−2; 2}f(x) = 0 ⇔ x2 = 0 ⇔ x = 0. Graf funkcie prechádza bodom [0; 0].

2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.

Pre danú funkciu je splnená podmienka: ak x ∈ D(f) tak aj −x ∈ D(f).Vypočítame f(−x):f(−x) = (−x)2

(−x)2−4= x2

x2−4= f(x). Ukázali sme, že f(−x) = f(x) pre každé

x ∈ D(f). Funkcia je párna, graf je symetrický podľa osi y. Funkcia nie jeperiodická.

3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.

Definičný obor funkcie je D(f) = (−∞;−2) ∪ (−2; 2) ∪ (2;∞).

Pre x ∈ (−∞;−2) je funkcia spojitá.

Pre x ∈ (−2; 2) je funkcia spojitá.

Pre x ∈ (2;∞) je funkcia spojitá.

Body nespojitosti sú x = −2 a x = 2. Vypočítame v nich jednostranné limity:

limx→−2−

x2

x2−4= +∞, lim

x→2−

x2

x2−4= −∞

limx→−2+

x2

x2−4= −∞, lim

x→2+

x2

x2−4= +∞

4. Asymptoty grafu funkcie.

a) Asymptoty bez smernice x = a:Jednostranné limity v x = −2 aj v x = 2 sú nevlastné. Priamky x = −2 ax = 2 sú asymptotami bez smernice.

b) Asymptoty so smernicou y = ax + b:

a = limx→∞

x2

x2−4

x= lim

x→∞x2

x3−4x= 0 a analogicky a = lim

x→−∞x2

x3−4x= 0

b = limx→∞

(x2

x2−4− 0)

= 0 a analogicky b = limx→−∞

(x2

x2−4

)= 0

Priamka y = 1 je asymptotou so smernicou.

Page 211: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 211

5. Monotónnosť.

f ′(x) = 2x(x2−4)−x2·2x(x2−4)2

= −8x(x2−4)2

Ak f ′(x) > 0 ⇒ je funkcia rastúca.Ak f ′(x) < 0 ⇒ je funkcia klesajúca.

f ′(x) > 0 ⇔ −8x(x2−4)2

> 0 ⇔ −8x > 0 ⇔ x < 0

f ′(x) < 0 ⇔ −8x(x2−4)2

< 0 ⇔ −8x < 0 ⇔ x > 0

Pre x ∈ (−∞;−2) je funkcia rastúca.Pre x ∈ (−2; 0) je funkcia rastúca.Pre x ∈ (0; 2) je funkcia klesajúca.Pre x ∈ (2;∞) je funkcia klesajúca.

−2 0 2

6. Lokálne extrémy.

Z vyznačenej monotónnosti a zo spojitosti funkcie na jednotlivých intervalochvyplýva, že lokálny extrém nastáva v x = 0 a to lokálne maximumlok max f(x) = f(0) = 0.

7. Konvexnosť, konkávnosť.

f ′′(x) = −8·(x2−4)2+8x·2(x2−4)·2x(x2−4)4

= 8·(3x2+4)(x2−4)3

Ak f ′′(x) > 0, funkcia je konvexná.Ak f ′′(x) < 0, funkcia je konkávna.8·(3x2+4)(x2−4)3

> 0 ⇔ x2 − 4 > 0 ⇔ |x| > 2

x ∈ (−∞;−2) ⇒ funkcia je konvexná

x ∈ (−2; 2) ⇒ funkcia je konkávna

x ∈ (2;∞) ⇒ funkcia je konvexná

Page 212: 157 Matematika zbierka

212 L PRIEBEH FUNKCIE

8. Inflexné body.

Konvexnosť a konkávnosť sa striedajú v bodoch x = 2 a x = −2, ktoré nepatriado definičného oboru, preto funkcia nemá inflexné body.

x

y

ABS: x = −2 ABS: x = 2

ASS: y = 1

−2 0 2

1

Obrázok L.4: Graf funkcie f : y = x2

x2−4- k príkladu 4

Page 213: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 213

Príklad 5. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = ln(4− x2) a zostrojte jej graf.

Riešenie:

1. Definičný obor, nulové body funkcie.D(f) = {x ∈ R : 4− x2 > 0} = {x ∈ R : 2 > |x|} = (−2; 2)

f(x) = 0 ⇔ ln(4− x2) = 0 ⇔ 4− x2 = 1 ⇔ x2 = 3 ⇒ x = −√

3 a x =√

3 súnulové body. Graf funkcie prechádza bodmi [−

√3; 0] a [

√3; 0].

2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.Definičný obor funkcie spĺňa podmienku: ak x ∈ D(f) tak aj −x ∈ D(f).Vypočítame f(−x):f(−x) = ln(4− (−x)2) = ln(4− x2) = f(x). Ukázali sme, že f(−x) = f(x) prekaždé x ∈ D(f). Funkcia je párna, graf je symetrický podľa osi y. Funkcia nieje periodická.

3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.Funkcia je spojitá na celom definičnom obore. Body nespojitosti nemá.

4. Asymptoty grafu funkcie.

a) Asymptoty bez smernice x = a:Vypočítame jednostranné limity v koncových bodoch definičného oboru,v nich by mohla byť funkcia neohraničená.

limx→−2+

ln(4− x2) = limu→0+

ln u = −∞

limx→2−

ln(4− x2) = limu→0+

ln u = −∞

Priamky x = −2 a x = 2 sú asymptoty bez smernice grafu funkcie.

b) Asymptoty so smernicou y = ax + b:Vzhľadom na definičný obor (−2; 2) nemá zmysel uvažovať o limitách v ∞akebo −∞. Asymptoty so smernicou daná funkcia nemá.

5. Monotónnosť.f ′(x) = 1

4−x2 · (−2x) = −2x4−x2

Ak f ′(x) > 0 ⇒ je funkcia rastúca.Ak f ′(x) < 0 ⇒ je funkcia klesajúca.f ′(x) > 0 ⇔ −2x

4−x2 > 0

Z podmienky definičného oboru musí byť 4− x2 > 0, a tak je nerovnica splnená,ak −2x > 0 ⇔ x < 0. Podobne f ′(x) < 0 ⇔ −2x

4−x2 < 0 ⇔ −2x < 0 ⇔ x > 0.Na intervale (−2; 0) je funkcia rastúca.Na intervale (0; 2) je funkcia klesajúca.

Page 214: 157 Matematika zbierka

214 L PRIEBEH FUNKCIE

6. Lokálne extrémy.Z monotónnosti funkcie a z jej spojitosti vyplýva, že funkcia má lokálny extrémv bode x = 0 a to lokálne maximum lok max f(x) = f(0) = ln 4.

7. Konvexnosť, konkávnosť.

f ′′(x) = −2·(4−x2)+2x·(−2x)(4−x2)2

= −8−2x2

(4−x2)2= −2·(4+x2)

(4−x2)2

f ′′(x) < 0 pre všetky x ∈ R ⇒ funkcia je na celom definičnom obore konkávna.

8. Inflexné body.Vzhľadom na konvexnosť a konkávnosť, inflexné body nemá.

x

yABS: x = −2 ABS: x = 2

−2 0 2

ln 4

Obrázok L.5: Graf funkcie f : y = ln(4− x2) - k príkladu 5

Príklad 6. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = x2 · e−x a zostrojte jej graf.

Riešenie:

1. Definičný obor, nulové body funkcie.

y = x2 · e−x = x2

ex ⇒ D(f) = RVýrazy x2 a ex sú nezáporné, obor funkčných hodnôt H(f) = 〈0;∞).f(x) = 0 ⇔ x2

ex = 0 ⇔ x = 0

Graf funkcie prechádza bodom [0; 0].

2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.D(f) = R⇒ ∀x ∈ D(f) ⇒ −x ∈ D(f)

Page 215: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 215

f(−x) = (−x)2 · e−(−x) = x2 · ex; f(−x) 6= f(x), f(−x) 6= −f(x)

Funkcia nie je párna ani nepárna, nie je ani periodická.

3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.Funkcia je spojitá na celom definičnom obore. Body nespojitosti nemá.

4. Asymptoty grafu funkcie.

a) Asymptoty bez smernice x = a:Funkcia je spojitá pre ∀x ∈ R, asymptoty bez smernice nemá.

b) Asymptoty so smernicou y = ax + b:a = lim

x→∞x2

x·ex = limx→∞

xex

L’P= lim

x→∞1ex = 0

a = limx→−∞

xex = lim

x→−∞x · e−x = −∞

b = limx→∞

(x2

ex − 0)

=L’P= lim

x→∞2xex =

L’P= lim

x→∞2ex = 0

Limitu b = limx→−∞

(f(x)− ax) nemá zmysel počítať, pretože limita

a = limx→−∞

xex je nevlastná.

Priamka y = 0 je asymptotou so smernicou.

5. Monotónnosť.f ′(x) = 2x·ex−x2·ex

(ex)2= 2x−x2

ex = x(2−x)ex

Ak f ′(x) > 0 ⇒ je funkcia rastúca.Ak f ′(x) < 0 ⇒ je funkcia klesajúca.f ′(x) > 0 ⇔ x(2−x)

ex > 0 ⇔ x · (2− x) > 0

Nerovnicu vyriešime tabuľkou:

(−∞; 0) (0; 2) (2;∞)x − + +

2− x + + −f ′(x) − + −

Na intervale (−∞; 0) je funkcia klesajúca.Na intervale (0; 2) je funkcia rastúca.Na intervale (2;∞) je funkcia klesajúca.

6. Lokálne extrémy.Z výpočtu monotónnosti vyplýva, že funkcia má dva stacionárne body x = 0 ax = 2.V bode x = 0 nastáva lokálne minimum lok min f(x) = f(0) = 0.V bode x = 2 nastáva lokálne maximum lok max f(x) = f(2) = 4

e2 .

Page 216: 157 Matematika zbierka

216 L PRIEBEH FUNKCIE

7. Konvexnosť, konkávnosť.

f ′′(x) = (2−2x)·ex−(2x−x2)·ex

(ex)2= 2−4x+x2

ex

Ak f ′′(x) > 0, funkcia je konvexná. Ak f ′′(x) < 0, funkcia je konkávna.f ′′(x) > 0 ⇔ x2−4x+2

ex > 0 ⇔ x2 − 4x + 2 > 0 ⇔ (x− 2)2 − 2 > 0 ⇔ |x− 2| >√

2

x ∈ (−∞; 2−√

2), funkcia je konvexná

x ∈ (2−√

2; 2 +√

2), funkcia je konkávna

x ∈ (2 +√

2;∞), funkcia je konvexná

8. Inflexné body.Ku striedaniu konvexnosti a konkávnosti dochádza v bodochI1 =

[2−

√2; (2−

√2)2

e2−√

2

]a I2 =

[2 +

√2; (2+

√2)2

e2+√

2

].

x

y

ASS: y = 0

(2−√

2)2

e2−√

2

4e2(2+

√2)2

e2+√

2

2−√

2 2 2 +√

20

Obrázok L.6: Graf funkcie f : y = x2 · e−x - k príkladu 6

Príklad 7. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = arctg x−1xa zostrojte jej graf.

Riešenie:

1. Definičný obor, nulové body funkcie.Daná funkcia je zložená. Vnútorná zložka u = x−1

xmá zmysel len pre x 6= 0,

vonkajšia zložka arctg u je definovaná pre všetky reálne čísla.D(f) = R \ {0} = (−∞; 0) ∪ (0;∞)

f(x) = 0 ⇔ arctg x−1x

= 0 ⇔ x−1x

= tg 0 ⇔ x− 1 = 0 ⇔ x = 1

Graf funkcie prechádza bodom [1; 0].

Page 217: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 217

2. Párnosť, nepárnosť, periodicita.Definičný obor spĺňa podmienku: ak x ∈ D(f) tak aj −x ∈ D(f).f(−x) = arctg (−x)−1

(−x)= arctg x+1

x, f(−x) 6= f(x), f(−x) 6= −f(x)

Funkcia nie je párna, nie je nepárna, nie je periodická.

3. Spojitosť funkcie, body nespojitosti a jednostranné limity v týchto bodoch.Pre x ∈ (−∞; 0) je funkcia spojitá.Pre x ∈ (0;∞) je funkcia spojitá.Bodom nespojitosti je x = 0.

limx→0+

arctg x−1x

= limu→−∞

arctg u = −π2

limx→0−

arctg x−1x

= limu→+∞

arctg u = +π2

Bod x = 0 je bodom nespojitosti I. druhu.

4. Asymptoty grafu funkcie.

a) Asymptoty bez smernice x = a:Jednostranné limity v bode nespojitosti x = 0 sú vlastné, asymptotu bezsmernice funkcia nemá.

b) Asymptoty so smernicou y = ax + b:lim

x→∞arctg x−1

x= lim

u→1arctg u = π

4a analogicky

limx→−∞

arctg x−1x

= limu→1

arctg u = π4, preto a = lim

x→±∞

arctg x−1x

x= 0

b = limx→±∞

(arctg x−1

x− 0)

= π4

Priamka y = π4je asymptotou so smernicou.

5. Monotónnosť.f ′(x) = 1

1+(x−1x

)2· x−(x−1)

x2 = · · · = 1x2+(x−1)2

f ′(x) > 0 pre ∀x ∈ D(f) ⇒ funkcia je rastúca na intervale (−∞;−0) aj naintervale (0;∞).

6. Lokálne extrémy.D(f ′) = R a zároveň f ′(x) 6= 0 pre všetky x ∈ D(f ′). daná funkcia nemálokálne extrémy.

7. Konvexnosť, konkávnosť.

f ′′(x) = (−1) · (x2 + (x− 1)2)−2 · (2x + 2(x− 1)) = · · · = 2(1−2x)(2x2−2x+1)2

Ak je f ′′(x) > 0, tak je funkcia bude konvexná.Ak je f ′′(x) < 0, tak je funkcia bude konkávna.

Page 218: 157 Matematika zbierka

218 L PRIEBEH FUNKCIE

f ′′(x) > 0 ⇔ 1− 2x > 0 ⇔ 12

> x

f ′′(x) < 0 ⇔ 1− 2x < 0 ⇔ 12

< x

Na intervale (−∞; 0) je funkcia konvexná.Na intervale (0; 1

2) je funkcia konvexná.

Na intervale (12;∞) je funkcia konkávna.

8. Inflexné body.Jediným inflexným bodom je I =

[12;−π

4

].

x

y

ASS: y = π4

0 12

1

−π2

−π4

π4

π2

Obrázok L.7: Graf funkcie f : y = arctg x−1x- k príkladu 7

Page 219: 157 Matematika zbierka

Úlohy 219

ÚlohyV úlohách 1 - 13 vyšetrite priebeh danej funkcie a nakreslite jej graf:

1. f(x) = x3 − 3x

2. f(x) = x4 − 6x2 + 5

3. f(x) = x+1x−1

4. f(x) = 9x1+9x2

5. f(x) = 11−x2

6. f(x) = x2−6x+5(x−3)2

7. f(x) = 1x

+ 12x2

8. f(x) = 2√

9x2 − x4

9. f(x) = x2 · ln x

10. f(x) = x + ln(x2 − 4)

11. f(x) = e−x2

12. f(x) = x · e1

x−2

13. f(x) = x · arctg x

Page 220: 157 Matematika zbierka

220 L PRIEBEH FUNKCIE

Výsledky1. D(f) = R. Nulové hodnoty nadobúda funkcia v bodoch x = 0, x = −

√3

a x =√

3. Je nepárna. Je spojitá na celom D(f). Nemá asymptoty. Na(−∞;−1) a na (1;∞) je rastúca, na (−1; 1) klesajúca.Lok max f(x) = f(−1) = 2. Lok min f(x) = f(1) = −2. Na (−∞; 0) jekonkávna, na (0;∞) konvexná. Inflexný bod I = [0; 0].

x

y

−1

2

1

−2

−√

3√

30

Obrázok L.8: Graf funkcie f(x) = x3 − 3x - k príkladu 1

Page 221: 157 Matematika zbierka

Výsledky 221

2. D(f) = R. Nulové hodnoty nadobúda funkcia v bodochx = −

√5, x = −1, x = 1 a x =

√5. Je párna. Je spojitá na celom D(f). Nemá

asymptoty. Na (−∞;−√

3) a na (0;√

3) je klesajúca, na (−√

3; 0) a na (√

3;∞)

je rastúca. Lok min f(x) = f(−√

3) = −4 = f(√

3). Lok max f(x) = f(0) = 5.Na (−∞;−1) je konvexná, na (−1; 1) konkávna, na (1;∞) konvexná. Inflexnébody sú I1 = [−1; 0] a I2 = [1; 0].

x

y

−√

5

−1

0

1√

5

Obrázok L.9: Graf funkcie f(x) = x4 − 6x2 + 5 - k príkladu 2

Page 222: 157 Matematika zbierka

222 L PRIEBEH FUNKCIE

3. D(f) = R \ {1}. Nulový bod x = −1. Ani párna ani nepárna. Bod nespojitostix = 1. Na (−∞; 1) aj na (1;∞) je spojitá. Asymptota bez smernice x = 1.Asymptota so smernicou y = 1. Na (−∞; 1) aj na (1;∞) klesá. Lokálneextrémy nemá. Na (−∞; 1) je konkávna, na (1;∞) konvexná. Inflexné bodynemá.

x

y

ABS: x = 1

ASS: y = 1

1

10

Obrázok L.10: Graf funkcie f : y = x+1x−1- k príkladu 3

Page 223: 157 Matematika zbierka

Výsledky 223

4. D(f) = R. Nulový bod x = 0. Je nepárna. Je spojitá na celom D(f).Asymptoty bez smernice nemá. Asymptota so smernicou y = 0. Na (−∞;−1

3) a

na (13;∞) je klesajúca, na (−1

3; 1

3) je rastúca. Lok min f(x) = f(−1

3) = −3

2,

lok max f(x) = f(13) = 3

2. Na (−∞;−

√3

3) a na (0;

√3

3) je konkávna, na (−

√3

3; 0)

a na (√

33

;∞) konvexná. Inflexné body I1 =[−√

33

;−3√

34

], I2 = [0; 0] a

I3 =[√

33

; 3√

34

].

x

y

−13

−32

13

32

−√

33

−3√

34

√3

3

3√

34

ASS: y = 00

Obrázok L.11: Graf funkcie f : y = 9x1+9x2 - k príkladu 4

Page 224: 157 Matematika zbierka

224 L PRIEBEH FUNKCIE

5. D(f) = R \ {−1; 1}. Nulový bod nemá. Je párna. Body nespojitosti x = 1 ax = −1. Na (−∞;−1), (−1; 1) a (1;∞) je spojitá. Asymptoty bez smernicex = 1, x = −1. Asymptota so smernicou y = 0. Na (0; 1) a (1;∞) je rastúca.Na (−∞;−1) a (−1; 0) je klesajúca. Lok min f(x) = f(0) = 1. Na (−∞;−1) ana (1;∞) je konkávna, na (−1; 1) konvexná. Inflexné body nemá.

x

y

ABS: x = −1 ABS: x = 1

ASS: y = 0

−1 0 1

1

Obrázok L.12: Graf funkcie f : y = 11−x2 - k príkladu 5

Page 225: 157 Matematika zbierka

Výsledky 225

6. D(f) = R \ {3}. Nulové body x = 1 a x = 5. Ani párna ani nepárna. Bodnespojitosti x = 3. Na (−∞; 3) aj na (3;∞) je funkcia spojitá. Asymptota bezsmernice x = 3. Asymptota so smernicou y = 1. Na (−∞; 3) je klesajúca, na(3;∞) rastúca. Lokálne extrémy nemá. Na (−∞; 3) aj na (3;∞) je konkávna.Inflexné body nemá.

x

y

ABS: x = 3

ASS: y = 11

1 50

Obrázok L.13: Graf funkcie f : y = x2−6x+5(x−3)2

- k príkladu 6

Page 226: 157 Matematika zbierka

226 L PRIEBEH FUNKCIE

7. D(f) = R \ {0}. Nulový bod je x = − 3√

2. Ani párna ani nepárna. Bodnespojitosti x = 0. Na (−∞; 0) aj na (0;∞) je spojitá. Asymptota bez smernicex = 0. Asymptotu so smernicou nemá. Na (−∞; 0) a na (0; 1) je klesajúca, na(1;∞) je rastúca. Lok min f(x) = f(1) = 3

2. Na (−∞;− 3

√2) a na (0;∞) je

konvexná, na (− 3√

2; 0) je konkávna. Inflexný bod I =[− 3√

2; 0].

x

y

ABS: x = 0

1

32

0− 3√

2

Obrázok L.14: Graf funkcie f : y = 1x

+ 12x2 - k príkladu 7

Page 227: 157 Matematika zbierka

Výsledky 227

8. D(f) = 〈−3; 3〉. Nulové body sú x = −3, x = 0 a x = 3. Je párna. Je spojitá,body nespojitosti nemá. Asymptoty nemá. Na (−3;− 3√

2) a na (0; 3√

2) je

rastúca, na (− 3√2; 0) a na ( 3√

2; 3) je klesajúca.

Lok max f(x) = f(− 3√2) = 9 = f( 3√

2), lok min f(x) = f(0) = 0. Konkávna na

(−3; 0) aj na (0; 3). Inflexné body nemá.

x

y

− 3√2

9

3√2

0

Obrázok L.15: Graf funkcie f : y = 2√

9x2 − x4 - k príkladu 8

Page 228: 157 Matematika zbierka

228 L PRIEBEH FUNKCIE

9. D(f) = (0;∞). Nulový bod x = 1. Nie je ani párna ani nepárna. Je spojitá.Asymptoty nemá. Na (0; 1√

e) je klesajúca, na ( 1√

e;∞) je rastúca.

Lok min f(x) = f( 1√e) = − 1

2e. Na (0; 1

e) je konkávna, na (1

e;∞) je konvexná.

Inflexný bod I =[

1e;− 1

e2

].

x

y

1√e

− 12e

1e

− 1e2

1

0

Obrázok L.16: Graf funkcie f : y = x2 · ln x - k príkladu 9

Page 229: 157 Matematika zbierka

Výsledky 229

10. D(f) = (−∞;−2) ∪ (2;∞). Nulový bod je riešením rovnice x + ln(x2 − 4) = 0.Je to reálne číslo z intervalu (2; 3). Nie je ani párna ani nepárna. Je spojitá.Asymptoty so smernicou x = 2 a x = −2. Asymptoty bez smernice nemá. Na(−∞;−1−

√5) a na (2;∞) je rastúca, na (−1−

√5;−2) je klesajúca.

Lok max f(x) = f(−1−√

5) = −1−√

5 + ln(2 + 2√

5). Na (−∞;−2) aj na(2;∞) je konkávna. Inflexné body nemá.

x

y

−1−√

5

−1−√

5 + ln(2 + 2√

5)

ABS: x = −2 ABS: x = 2

0−2 2

Obrázok L.17: Graf funkcie f : y = x2 · ln x - k príkladu 10

Page 230: 157 Matematika zbierka

230 L PRIEBEH FUNKCIE

11. D(f) = R. Nulový bod nemá. Je párna. Je spojitá. Asymptotu bez smernicenemá. Asymptota so smernicou je y = 0. Na (−∞; 0) je rastúca a na (0;∞) jeklesajúca. Lok max f(x) = f(0) = 1. Na (−∞;− 1√

2) a na ( 1√

2;∞) je konvexná,

na (− 1√2; 1√

2) je konkávna. Inflexné body sú I1 =

[1√2; 1√

e

]a I2 =

[− 1√

2; 1√

e

].

x

y

ASS: y = 01√2

1√e

− 1√2

1

Obrázok L.18: Graf funkcie f : y = e−x2- k príkladu 11

Page 231: 157 Matematika zbierka

Výsledky 231

12. D(f) = R \ {2}. Nulový bod je x = 0. Nie je ani párna ani nepárna. Je spojitána (−∞; 2) aj na (2;∞). lim

x→2−x · e

1x−2 = 0. Asymptota bez smernice x = 2.

Asymptota so smernicou je y = x + 1. Na (−∞; 1) a na (4;∞) je rastúca, na(1; 2) a na (2; 4) je klesajúca. Lok max f(x) = f(1) = 1

e,

lok min f(x) = f(4) = 4√

e. Na (85; 2) a na (2;∞) je konvexná, na (−∞; 8

5) je

konkávna. Inflexný bod I =[

85; 8

5√

e5

].

x

y

ABS: x = 2

ASS: y = x + 1

85

8

5√

e5

1

1e

2

x

y

ABS: x = 2

85

8

5√

e5

2

Obrázok L.19: Graf funkcie f : y = x · e1

x−2 - k príkladu 12

Page 232: 157 Matematika zbierka

232 L PRIEBEH FUNKCIE

13. D(f) = R. Nulový bod x = 0. Je párna. Je spojitá. Asymptotu bez smernicenemá. Asymptoty so smernicou sú priamky y = π

2x− 1 a y = −π

2x− 1. Na

(0;∞) je rastúca, na (−∞; 0) je klesajúca. Lok min f(x) = f(0) = 0. Jekonvexná na celom definičnom obore. Inflexné body nemá.

x

y

ASS: y = π2x− 1ASS: y = −π

2x− 1

0

Obrázok L.20: Graf funkcie f(x) = x · arctg x - k príkladu 13

Page 233: 157 Matematika zbierka

M NEURČITÝ INTEGRÁL 233

M NEURČITÝ INTEGRÁL

Definícia 1. Funkciu F nazývame primitívnou funkciou k funkcii f naintervale J, ak pre všetky čísla x ∈ J platí

F ′(x) = f(x)

Veta 1. Nech F je primitívna funkcia k funkcii f na intervale J. Funkcia G jeprimitívnou funkciou k funkcii f vtedy a len vtedy, ak existuje také číslo c, že prevšetky x ∈ J je G(x) = F (x) + c.

Veta 2. Funkcia, ktorá je spojitá na intervale J, má na tomto intervale primitívnufunkciu.

Definícia 2. Množinu všetkých primitívnych funkcií funkcie f nazývameneurčitým integrálom funkcie f a označujeme∫

f(x)dx

Ak F je primitívnou funkciou k f na J, tak∫f(x)dx = F (x) + c, x ∈ J,

kde c ∈ R je ľubovoľné číslo, ktoré nazývame integračnou konštantou, f sa nazývaintegrovanou funkciou alebo integrandom.

Veta 3. Ak k funkciám f a g existujú primitívne funkcie na otvorenom intervaleJ, tak platí ∫

(k1f(x) + k2g(x)) dx = k1

∫f(x)dx + k2

∫g(x)dx,

kde k1, k2 sú čísla.

Veta 4 (Základné vzorce integrovania).

1.∫

xαdx = xα+1

α+1+ c, α ∈ R, α 6= −1

2.∫

1xdx = ln |x|+ c, x 6= 0

3.∫

exdx = ex + c, x ∈ R

Page 234: 157 Matematika zbierka

234 M NEURČITÝ INTEGRÁL

4.∫

axdx = ax

ln a+ c, a 6= 1, a > 0

5.∫

sin xdx = − cos x + c, x ∈ R

6.∫

cos xdx = sin x + c, x ∈ R

7.∫

1cos2 x

dx = tg x + c, x 6= (2k + 1)π2, k ∈ Z

8.∫

1sin2 x

dx = − cotg x + c, x 6= kπ, k ∈ Z

9.∫

1x2+1

dx = arctg x + c, x ∈ R

10.∫

1√1−x2 dx = arcsin x + c, x ∈ (−1; 1)

11.∫ f ′(x)

f(x)dx = ln |f(x)|+ c, f(x) 6= 0

12.∫

1x2+a2 dx = 1

aarctg x

a+ c, a 6= 0, x ∈ R

13.∫

1x2−a2 dx = 1

2aln∣∣x−ax+a

∣∣+ c, a 6= 0, x 6= ±a

14.∫

1√a2−x2 dx = arcsin x

a+ c, a 6= 0, x ∈ (−|a|; |a|)

15.∫

1√x2+k

dx = ln∣∣x +

√x2 + k

∣∣+ c, k 6= 0, x2 + k > 0

Veta 5. Nech F (x) je primitívnou funkciou k f(x) na intervale J. Potom platí∫f(ax + b)dx =

1

aF (ax + b) + c, a, b ∈ R, a 6= 0.

Veta 6 (Substitučná metóda). Nech F (t) je primitívnou funkciou k funkcii f(t)

na otvorenom intervale Jt. Nech má funkcia φ(x) na otvorenom intervale Jx

deriváciu φ′(x) a nech pre každé x ∈ Jx je φ(x) ∈ Jt. Potom je funkcia F (φ(x))

primitívnou funkciou k funkcii f (φ(x)) · φ′(x) na intervale Jx alebo∫f (φ(x)) · φ′(x)dx =

∣∣∣∣ t = φ(x)dt = φ′(x)dx

∣∣∣∣ =

∫f(t)dt = F (t) + c = F (φ(x)) + c

Veta 7 (metóda per partes). Nech funkcie u a v majú na otvorenom intervale J

spojité derivácie u′ a v′. Potom na intervale J platí∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−

∫u′(x)v(x)dx

Page 235: 157 Matematika zbierka

M NEURČITÝ INTEGRÁL 235

Veta 8. Nech y = Pn(x)Qm(x)

je racionálna funkcia, kde Pn(x) resp. Qm(x) je polynómn-tého resp. m-tého stupňa. Každá rýdzoracionálna funkcia (t.j., keď n < m -alebo inak, polynóm v čitateli je nižšieho stupňa ako polynóm v menovateli) jesúčtom zlomkov tvaru

A

(x− α)ka

Mx + N

(x2 + px + q)s

kde A, M, N, p, q sú reálne čísla, k, s sú prirodzené čísla a polynóm x2 + px + q

nemá reálne korene (pozri vetu 9 zo strany 6). Racionálna funkcia, ktorá nie jerýdzoracionálna (t.j., keď n ≥ m) je súčtom polynómu a rýdzoracionálnej funkcie(pozri vetu 2 zo strany 5 a príklad 1 zo strany 8):

Pn(x)

Qm(x)= Rn−m(x) +

Zu(x)

Qm(x), u < m,

kde Rn−m(x) je čiastočný podiel polynómov Pn(x) a Qm(x) a polynóm Zu(x) jezvyšok.

Page 236: 157 Matematika zbierka

236 M NEURČITÝ INTEGRÁL

Riešené príkladyPríklad 1. Zistime, či funkcia F : y = sin 2x je na intervale J = (−∞;∞)

primitívnou funkciou k funkcii f : y = cos 2x.

Riešenie: Podľa definície primitívnej funkcie musí ∀x ∈ J = (−∞;∞) platiť:F ′(x) = f(x). Pretože F ′(x) = [sin 2x]′ = 2 cos 2x 6= f(x), funkcia F nie jeprimitívna funkcia k funkcii f.

Ľahko sa môžeme presvedčiť, že funkcia G : y = 12sin 2x + c, c ∈ R je primitívna

funkcia k danej funkcii f.

Príklad 2. Vypočítajme neurčitý integrál∫ (4− 5x +

3

x− 7

x3

)dx, x 6= 0.

Riešenie: Podľa vety 3:∫ (4− 5x +

3

x− 7

x3

)dx = 4

∫1dx− 5

∫xdx + 3

∫1

xdx− 7

∫1

x3dx =

= 4 · x− 5 · x2

2+ 3 ln |x| − 7 · x−2

−2+ c.

Príklad 3. Vypočítajme neurčitý integrál∫ (3

5√

x3 − x3√

x)

dx, x ≥ 0.

Riešenie: Naskôr upravíme integrand tak, aby sme mohli použiť základné vzorceintegrovania∫ (

35√

x3 − x3√

x)

dx =

∫ (3x

35 − x

72

)dx =

= 3

∫x

35 dx−

∫x

72 dx = 3 · 5x

85

8− 2x

92

9+ c.

Príklad 4. Vypočítajme ∫10x + 6x

2xdx, x ∈ R.

Page 237: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 237

Riešenie: Integrál z podielu funkcií sa nerovná podielu integrálov z týchtofunkcií, preto danú integrovanú funkciu najskôr upravíme:

10x + 6x

2x=

10x

2x+

6x

2x=

5x2x

2x+

3x2x

2x= 5x + 3x

Potom∫10x + 6x

2xdx =

∫(5x + 3x) dx =

∫5xdx +

∫3xdx =

5x

ln 5+

3x

ln 3+ c.

Príklad 5. Vypočítajme ∫(2x + 3)14dx, x ∈ R.

Riešenie: Použijeme vetu o substitúcii∫(2x + 3)14dx =

∣∣∣∣ t = 2x + 13dt = 2dx ⇒ dx = 1

2dt

∣∣∣∣ =

∫t14 · 1

2dt =

1

2

∫t14dt =

=1

2· t15

15+ c =

1

30(2x + 13)15 + c.

Príklad 6. Vypočítajme∫7

(x− 2)4dx, x ∈ R, x 6= 2.

Riešenie:∫7

(x− 2)4dx =

∣∣∣∣ t = x− 2dt = dx

∣∣∣∣ = 7

∫1

t4dt = 7

∫t−4dt = 7

t−3

−3+ c =

=7

3(x− 2)3+ c.

Príklad 7. Vypočítajme ∫ √arctg5 x

1 + x2dx, x ∈ R.

Riešenie: Použijeme vetu o substitúcii∫ √arctg5 x · 1

1 + x2dx =

∣∣∣∣ t = arctg xdt = 1

1+x2 dx

∣∣∣∣ =

∫ √t5dt =

∫t

52 dt =

=2t

72

7+ c =

2

7

√arctg7 x + c.

Page 238: 157 Matematika zbierka

238 M NEURČITÝ INTEGRÁL

Príklad 8. Vypočítajme ∫x arccotg xdx, x ∈ R.

Riešenie: Použijeme vetu o integrovaní metódou per partes∫x arccotg xdx =

∣∣∣∣ u = arccotg x v′ = x

u′ = − 1x2+1

v = x2

2

∣∣∣∣ =

=x2 arccotg x

2+

1

2

∫x2

x2 + 1dx =

x2 arccotg x

2+

1

2

∫x2 + 1− 1

x2 + 1dx =

=x2 arccotg x

2+

1

2

∫1dx− 1

2

∫1

x2 + 1dx =

x2 arccotg x

2+

1

2x− 1

2arctg x + c.

Príklad 9. Vypočítajme∫ (x2 + 3x− 1

)e2xdx, x ∈ R.

Riešenie: ∫ (x2 + 3x− 1

)e2xdx =

∣∣∣∣ u = x2 + 3x− 1 v′ = e2x

u′ = 2x + 3 v = 12e2x

∣∣∣∣ =

=1

2e2x(x2 + 3x− 1

)−∫

1

2(2x + 3)e2xdx =

∣∣∣∣ u = 12(2x + 3) v′ = e2x

u′ = 1 v = 12e2x

∣∣∣∣ =

=1

2e2x(x2 + 3x− 1

)−{

1

4e2x(2x + 3)−

∫1

2e2xdx

}=

=1

2e2x(x2 + 3x− 1

)− 1

4e2x(2x + 3) +

1

4e2x + c.

Príklad 10. Vypočítajme ∫ln2 xdx, x > 0.

Riešenie: ∫ln2 xdx =

∫1 · ln2 xdx =

∣∣∣∣ u = ln2 x v′ = 1u′ = 2 ln x · 1

xv = x

∣∣∣∣ =

= x ln2 x−∫

2 ln x · 1

x· xdx = x ln2 x− 2

∫1 · ln xdx =

=

∣∣∣∣ u = ln x v′ = 1u′ = 1

xv = x

∣∣∣∣ = x ln2 x− 2

{x ln x−

∫1

x· xdx

}=

= x ln2 x− 2x ln x + 2x + c.

Page 239: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 239

Príklad 11. Vypočítajme ∫e3x sin 2xdx, x ∈ R.

Riešenie: ∫e3x sin 2xdx =

∣∣∣∣ u = sin 2x v′ = e3x

u′ = 2 cos 2x v = 13e3x

∣∣∣∣ =

=1

3e3x sin 2x− 2

3

∫e3x cos 2xdx =

∣∣∣∣ u = cos 2x v′ = e3x

u′ = −2 sin 2x v = 13e3x

∣∣∣∣ =

=1

3e3x sin 2x− 2

3

{1

3e3x cos 2x +

2

3

∫e3x sin 2xdx

}=

=1

3e3x sin 2x− 2

9e3x cos 2x− 4

9

∫e3x sin 2xdx

Pri integrovaní sme použili metódu per partes dvakrát, pričom po druhom použitísme dostali výraz, v ktorom vystupuje pôvodný integrál. Teda dostali sme rovnicu,z ktorej vyjadríme

∫e3x sin 2xdx :∫

e3x sin 2xdx =1

3e3x sin 2x− 2

9e3x cos 2x− 4

9

∫e3x sin 2xdx

Odtiaľ dostávame

13

9

∫e3x sin 2xdx =

1

3e3x sin 2x− 2

9e3x cos 2x,

čiže ∫e3x sin 2xdx =

9

13

(1

3e3x sin 2x− 2

9e3x cos 2x

)+ c.

Príklad 12. Vypočítajme∫1

x2 − 3x + 5dx, x ∈ R.

Riešenie: Polynóm v menovateli nemá reálne korene (D = (−3)2 − 4 · 1 · 5 < 0).Preto ho doplníme na úplný štvorec:

x2 − 3x + 5 = x2 − 3x +

(3

2

)2

−(

3

2

)2

+ 5 =

(x− 3

2

)2

+11

4=

=

(x− 3

2

)2

+

(√11

4

)2

Page 240: 157 Matematika zbierka

240 M NEURČITÝ INTEGRÁL

Potom ∫1

x2 − 3x + 5dx =

∫1(

x− 32

)2+(√

112

)2 dx =

∣∣∣∣ t = x− 32

dt = 1dx

∣∣∣∣ =

=

∫1

t2 +(√

112

)2 dtvzorec12

=1√

112

arctgt

√112

+ c =1√

112

arctgx− 3

2√112

+ c.

Príklad 13. Vypočítajme∫1

8− 2x− x2dx, x 6= 2, x 6= −4.

Riešenie:∫1

8− 2x− x2dx = −

∫1

x2 + 2x− 8dx = −

∫1

(x + 1)2 − 9dx =

=

∣∣∣∣ t = x + 1dt = 1dx

∣∣∣∣ = −∫

1

t2 − 32dt

vzorec13= − 1

2 · 3ln

∣∣∣∣t− 3

t + 3

∣∣∣∣+ c =

= −1

6ln

∣∣∣∣(x + 1)− 3

(x + 1) + 3

∣∣∣∣+ c = −1

6ln

∣∣∣∣x− 2

x + 4

∣∣∣∣+ c.

Príklad 14. Vypočítajme∫x− 1

x2 + 2x + 3dx, x ∈ R.

Riešenie: Čitateľ integrovanej funkcie upravíme na deriváciu menovateľa:∫x− 1

x2 + 2x + 3dx =

1

2

∫2(x− 1)

x2 + 2x + 3dx =

1

2

∫2x− 2

x2 + 2x + 3dx =

=1

2

∫2x− 2 + 2− 2

x2 + 2x + 3dx =

1

2

∫2x + 2− 4

x2 + 2x + 3dx =

=1

2

∫2x + 2

x2 + 2x + 3dx +

1

2

∫−4

x2 + 2x + 3dx =

=1

2

∫2x + 2

x2 + 2x + 3dx− 2

∫1

x2 + 2x + 3dx =

1

2· I1 − 2 · I2 + c,

kde

I1 =

∫2x + 2

x2 + 2x + 3dx = ln

∣∣x2 + 2x + 3∣∣+ c1

a

I2 =

∫1

x2 + 2x + 3dx =

∫1

(x + 1)2 + 2dx =

1√2

arctgx + 1√

2+ c2, c = c1 + c2.

Page 241: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 241

Príklad 15. Vypočítajme∫3x + 2

x2 − 4x + 1dx, x2 − 4x + 1 6= 0.

Riešenie: Čitateľ integrovanej funkcie upravíme na deriváciu menovateľa:∫3x + 2

x2 − 4x + 1dx = 3

∫x + 2

3

x2 − 4x + 1dx =

3

2

∫2(x + 2

3)

x2 − 4x + 1dx =

=3

2

∫2x + 4

3

x2 − 4x + 1dx =

3

2

∫2x− 4 + 4 + 4

3

x2 − 4x + 1dx =

=3

2

∫2x− 4

x2 − 4x + 1dx +

3

2

∫ 163

x2 − 4x + 1dx =

=3

2

∫2x− 4

x2 − 4x + 1dx + 8

∫1

x2 − 4x + 1dx =

3

2· I1 + 8 · I2 + c,

kde

I1 =

∫2x− 4

x2 − 4x + 1dx = ln

∣∣x2 − 4x + 1∣∣+ c1

a

I2 =

∫1

x2 − 4x + 1dx =

∫1

(x− 2)2 − 3dx =

∣∣∣∣ t = x− 2dt = 1dx

∣∣∣∣ =

=

∫1

t2 −(√

3)2 dt =

1

2 ·√

3ln

∣∣∣∣t− 3

t + 3

∣∣∣∣+ c2 =

=1

2 ·√

3ln

∣∣∣∣(x− 2)− 3

(x− 2) + 3

∣∣∣∣+ c2 =1

2 ·√

3ln

∣∣∣∣x− 5

x + 1

∣∣∣∣+ c2, c = c1 + c2.

Príklad 16. Vypočítajme∫x− 4

x2 − x− 6dx, x 6= −2, 3.

Riešenie: Prvý spôsob ako vypočítať tento neurčitý integrál je použitie postupu zpríkladu 15. Druhý spôsob: Keďže kvadratický polynóm v menovateli má dvareálne korene, rozpíšeme ho na súčin koreňových činiteľov. Potom danúrýdzoracionálnu funkciu rozložíme na súčet parciálnych zlomkov (Tento postupnemôžeme použiť v príkladoch 12 a 14).∫

x− 4

x2 − x− 6dx =

∫x− 4

(x− 3)(x + 2)dx

Page 242: 157 Matematika zbierka

242 M NEURČITÝ INTEGRÁL

Rozklad na parciálne zlomky:

x− 4

(x− 3)(x + 2)=

A

x− 3+

B

x + 2/·(x− 3)(x + 2)

x− 4 = A(x + 2) + B(x− 3)

x− 4 = (A + B)x + 2A− 3B

Porovnaním koeficientov polynómov pri rovnakých mocninách x dostanemesústavu lineárnych rovníc:

x1 : 1 = A + Bx0 : −4 = 2A − 3B

Odtiaľ A = −15a B = 6

5.

Potomx− 4

(x− 3)(x + 2)= −1

5· 1

x− 3+

6

5· 1

x + 2

a ∫x− 4

x2 − x− 6dx =

∫x− 4

(x− 3)(x + 2)dx = −1

5

∫1

x− 3dx +

6

5

∫1

x + 2dx =

= −1

5ln |x− 3|+ 6

5ln |x + 2|+ c.

Príklad 17. Vypočítajme∫x3 + 1

x3 − 2x2 + x− 2dx, x 6= 2.

Riešenie: Integrovaná racionálna funkcia nie je rýdzoracionálna, preto polynómv čitateli najprv vydelíme polynómom v menovateli. Potom integrovanú funkciuvyjadríme ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie∫

x3 + 1

x3 − 2x2 + x− 2dx =

∫ (1 +

2x2 − x + 3

x3 − 2x2 + x− 2

)dx

Menovateľ zlomku rozložíme na súčin polynómov najnižšieho stupňa s reálnymikoeficientmi.∫ (

1 +2x2 − x + 3

(x− 2) (x2 + 1)

)dx = x +

∫2x2 − x + 3

(x− 2) (x2 + 1)dx

Page 243: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 243

Posledný integrál má integrand rýdzoracionálnu funkciu, ktorú rozložíme na súčetparciálnych zlomkov:

2x2 − x + 3

(x− 2) (x2 + 1)=

A

x− 2+

Bx + C

x2 + 1

/·(x− 2)

(x2 + 1

)2x2 − x + 3 = A

(x2 + 1

)+ (Bx + C) (x− 2)

2x2 − x + 3 = Ax2 + A + Bx2 + Cx− 2Bx− 2C

2x2 − x + 3 = x2(A + B) + x(−2B + C) + (A− 2C)

Porovnaním koeficientov polynómov pri rovnakých mocninách x dostanemesústavu rovníc:

x2 : 2 = A + Bx1 : −1 = − 2B + Cx0 : 3 = A − 2C

Riešením tejto sústavy lineárnych rovníc sú čísla A = 95, B = 1

5, C = −3

5. Preto∫

2x2 − x + 3

(x− 2) (x2 + 1)dx =

9

5

∫1

x− 2dx +

∫ 15x− 3

5

x2 + 1dx =

=9

5

∫1

x− 2dx +

1

5

(∫x

x2 + 1dx +

∫−3

x2 + 1dx

)=

=9

5

∫1

x− 2dx +

1

5

(1

2

∫2x

x2 + 1dx− 3

∫1

x2 + 1dx

)=

=9

5ln |x− 2|+ 1

10ln(x2 + 1

)− 3

5arctg x + c

Celkový integrál je∫x3 + 1

x3 − 2x2 + x− 2dx = x +

9

5ln |x− 2|+ 1

10ln(x2 + 1

)− 3

5arctg x + c.

Príklad 18. Vypočítajme∫x2 + 2x− 3

(x− 2)2(x + 2)2dx, x 6= ±2.

Page 244: 157 Matematika zbierka

244 M NEURČITÝ INTEGRÁL

Riešenie: Integrand je rýdzoracionálna funkcia. Rozložíme ju na súčetparciálnych zlomkov:

x2 + 2x− 3

(x− 2)2(x + 2)2=

A

(x− 2)2+

B

x− 2+

C

(x + 2)2+

D

x + 2

x2 + 2x− 3 = A(x + 2)2 + B(x− 2)(x + 2)2 + C(x− 2)2 +

+ D(x + 2)(x− 2)2

x2 + 2x− 3 = A(x2 + 4x + 4

)+ B

(x3 + 2x2 − 4x− 8

)+

+ C(x2 − 4x + 4

)+ D

(x3 − 2x2 − 4x + 8

)Porovnaním koeficientov polynómov pri rovnakých mocninách x dostanemesústavu lineárnych rovníc:

x3 : 0 = B + Dx2 : 1 = A + 2B + C − 2Dx1 : 2 = 4A − 4B − 4C − 4Dx0 : −3 = 4A − 8B + 4C + 8D

Odtiaľ A = 516

, B = 732

, C = − 316

, D = − 732

. Potom∫x2 + 2x− 3

(x− 2)2(x + 2)2dx =

=5

16

∫1

(x− 2)2dx +

7

32

∫1

x− 2− 3

16

∫1

(x + 2)2dx− 7

32

∫1

x + 2dx =

= − 5

16

1

(x− 2)+

7

32ln |x− 2|+ 3

16

1

(x + 2)− 7

32ln |x + 2|+ c.

Príklad 19. Vypočítajme∫x5 + x4 + 3x3 + x2 − 2

x4 − 1dx, x 6= ±1.

Riešenie: Integrovaná racionálna funkcia nie je rýdzoracionálna, preto polynóm včitateli vydelíme polynómom v menovateli. Dostaneme

Page 245: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 245

(x5 + x4 + 3x3 + x2 − 2) : (x4 − 1) = x + 1−x5 + x

x4 + 3x3 + x2 + x − 2−x4 + 1

3x3 + x2 + x − 1

t.j.x5 + x4 + 3x3 + x2 − 2

x4 − 1= x + 1 +

3x3 + x2 + x− 1

x4 − 1

Teda

I =

∫x5 + x4 + 3x3 + x2 − 2

x4 − 1dx =

∫(x + 1)dx +

∫3x3 + x2 + x− 1

x4 − 1dx =

=x2

2+ x + I1

kde

I1 =

∫3x3 + x2 + x− 1

x4 − 1dx =

∫3x3 + x2 + x− 1

(x2 − 1) (x2 + 1)dx =

=

∫3x3 + x2 + x− 1

(x− 1) (x + 1) (x2 + 1)dx

Rozklad na parciálne zlomky:

3x3 + x2 + x− 1

(x− 1) (x + 1) (x2 + 1)=

A

x− 1+

B

x + 1+

Cx + D

x2 + 1

3x3 + x2 + x− 1 = A(x2 + 1

)(x + 1) + B

(x2 + 1

)(x− 1) +

+ (Cx + D)(x2 − 1

)3x3 + x2 + x− 1 = A

(x3 + x + x2 + 1

)+ B

(x3 + x− x2 − 1

)+

+ Cx3 + Dx2 − Cx−D

Porovnáme koeficienty polynómov pri rovnakých mocninách x:

x3 : 3 = A + B + Cx2 : 1 = A − B + Dx1 : 1 = A + B − Cx0 : −1 = A − B − D

Odtiaľ A = 1, B = 1, C = 1, D = 1.

I1 =

∫ (1

x− 1+

1

x + 1+

x + 1

x2 + 1

)dx =

Page 246: 157 Matematika zbierka

246 M NEURČITÝ INTEGRÁL

=

∫ (1

x− 1+

1

x + 1+

2

2· x

x2 + 1+

1

x2 + 1

)dx =

= ln |x− 1|+ ln |x + 1|+ 1

2ln(x2 + 1

)+ arctg x + c =

= ln(∣∣x2 − 1

∣∣ · √x2 + 1)

+ arctg x + c

Teda

I =x2

2+ x + ln

(∣∣x2 − 1∣∣√x2 + 1

)+ arctg x + c.

Príklad 20. Vypočítajme∫1√

1 + 4x− x2dx, 1 + 4x− x2 > 0.

Riešenie: Postupne dostaneme∫1√

1 + 4x− x2dx =

∫1√

− [x2 − 4x− 1]dx =

∫1√

− [(x− 2)2 − 5]dx =

=

∫1√

5− (x− 2)2dx =

∣∣∣∣ t = x− 2dt = 1dx

∣∣∣∣ =

∫1√(√5)2 − t2

dt

Teraz použijeme vzorec 14:∫1√(√5)2 − t2

dt = arcsint√5

+ c = arcsinx− 2√

5+ c.

Príklad 21. Vypočítajme∫x + 2√

4− 4x− 2x2dx, 4− 4x− 2x2 > 0.

Riešenie: Čitateľ upravíme na deriváciu polynómu pod odmocninou (t.j. na výraz−4x− 4):∫

x + 2√4− 4x− 2x2

dx = −1

4

∫−4(x + 2)√4− 4x− 2x2

dx = −1

4

∫−4x− 8√

4− 4x− 2x2dx =

= −1

4

∫(−4x− 4− 4)√

4− 4x− 2x2dx = −1

4

∫−4x− 4√

4− 4x− 2x2dx +

∫1√

4− 4x− 2x2dx =

= −1

4I1 + I2 + c

Page 247: 157 Matematika zbierka

Riešené príklady 247

Integrál I1 riešime pomocou substitúcie

I1 =

∫−4x− 4√

4− 4x− 2x2dx =

∣∣∣∣ t = 4− 4x− 2x2

dt = (−4− 4x)dx

∣∣∣∣ =

∫1√tdt =

∫t−

12 dt =

= 2√

t + c = 2√

4− 4x− 2x2 + c1

V integráli I2 kvadratický trojčlen doplníme na úplný štvorec:

I2 =

∫1√

4− 4x− 2x2dx =

∫1√

−2 [x2 + 2x− 2]dx =

=1√2

∫1√

− [(x + 1)2 − 3]dx =

1√2

∫1√

[3− (x + 1)2]dx =

=1√2

∫1√

[3− (x + 1)2]dx =

1√2

∫1√(√

3)2 − (x + 1)2

dx =

=1√2

arcsinx + 3√

3+ c2 c = c1 + c2

Teda celkový integrál∫x + 2√

4− 4x− 2x2dx = −1

2

√4− 4x− 2x2 +

1√2

arcsinx + 3√

3+ c.

Príklad 22. Vypočítajme∫3√

x2 + 6x− 1dx, x2 + 6x− 1 > 0.

Riešenie: Na rozdiel od príkladov 20 a 21 je koeficient pri x2 kladný (použijemeteda vzorec 15):∫

3√x2 + 6x− 1

dx = 3

∫1√

(x + 3)2 − 10dx =

∣∣∣∣ t = x + 3dt = 1dx

∣∣∣∣ =

= 3

∫1√

t2 − 10dt

vzorec15= 3 ln

∣∣∣t +√

t2 − 10∣∣∣+c = 3 ln

∣∣∣x + 3 +√

(x + 3)2 − 10∣∣∣+c =

= 3 ln∣∣∣x + 3 +

√x2 + 6x− 1

∣∣∣+ c.

Príklad 23. Vypočítajme ∫sin2 xdx, x ∈ R.

Page 248: 157 Matematika zbierka

248 M NEURČITÝ INTEGRÁL

Riešenie: Použijeme trigonometrický vzorec sin2 x = 1−cos 2x2

:∫sin2 xdx =

∫1− cos 2x

2dx =

1

2

∫dx− 1

2

∫cos 2xdx =

1

2x− 1

4sin 2x + c

Príklad 24. Vypočítajme ∫cos3 xdx, x ∈ R.

Riešenie: Použijeme trigonometrický vzorec sin2 x + cos2 x = 1 :∫cos3 xdx =

∫cos2 x · cos xdx =

∫(1− sin2 x) cos xdx =

=

∣∣∣∣ t = sin xdt = cos xdx

∣∣∣∣ =

∫ (1− t2

)dt = t− t3

3+ c = sin x− 1

3sin3 x + c.

Príklad 25. Vypočítajme ∫1

cos4xdx, cos x 6= 0.

Riešenie:∫1

cos4xdx =

∫sin2 x + cos2 x

cos4xdx =

∫ (sin2 x

cos4 x+

cos2 x

cos4 x

)dx =

=

∫ (sin2 x

cos2 x· 1

cos2x+

1

cos2 x

)dx =

∫ (tg2 x + 1

)· 1

cos2xdx =

=

∣∣∣∣ t = tg xdt = 1

cos2 xdx

∣∣∣∣ =

∫ (t2 + 1

)dt =

t3

3+ t + c =

1

3tg3 x + tg x + c.

Príklad 26. Vypočítajme ∫1

sin xdx, sin x 6= 0.

Riešenie: ∫1

sin xdx =

∫1

sin x· sin x

sin xdx =

∫sin x

sin2 xdx =∫

sin x

1− cos2 xdx =

∣∣∣∣ t = cos xdt = − sin xdx

∣∣∣∣ = −∫

1

1− t2dt =

∫1

t2 − 12dt

vzorec13=

=1

2ln

∣∣∣∣t− 1

t + 1

∣∣∣∣+ c =1

2ln

∣∣∣∣cos x− 1

cos x + 1

∣∣∣∣+ c.

Page 249: 157 Matematika zbierka

Úlohy 249

Úlohy1. Zistite, či funkcia F je primitívna funkcia k funkcii f na intervale J, ak

a) F (x) = 4x3 + 2, f(x) = 12x2, J = (−∞;∞)

b) F (x) = ln(x + 3), f(x) = 1x+3

, J = (−3;∞)

c) F (x) = 1√1−x2 , f(x) = arcsin x, J = (−1; 1)

d) F (x) = cos 2x + 4, f(x) = −2 sin 2x, J = (−3; 6)

V nasledujúcich úlohách vypočítajte neurčité integrály v intervaloch, v ktorýchexistujú

2. a)∫

(4x3 − 3x2 + 4) dx

b)∫

(5x4 − 8x + 1) dx

c)∫

(6x5 − 4x3 + 2x) dx

d)∫ (

4x3 − 2x +√

2)dx

3. a)∫ (

3x−4 + 1√x− 1)

dx

b)∫ (

1x− 4

x2 +3√

x2)

dx

c)∫ (

2+xx2

)dx

d)∫ (

23√

x2−x4√

x3√x3

)dx

4. a)∫

(x− 2)(3− x)dx

b)∫

(3− x) 4√

xdx

c)∫

(x2 + 1)2dx

d)∫ √

x√

x3dx

5. a)∫

(ex + e4) dx

b)∫

(e−x + 32x) dx

c)∫

4x · exdx

d)∫

3x

5x dx

6. a)∫

(4 cos x− 2 sin x) dx

b)∫ (

1cos2 x

− 3sin2 x

)dx

c)∫ (

x + 1e−x

)dx

d)∫ (

3x− 2x

)dx

7. a)∫

45x+2

dx

b)∫

23x−1

dx

c)∫

31−2x

dx

d)∫

52−4x

dx

8. a)∫

xx+1

dx

b)∫

x2

x2+1dx

c)∫

x4

x2+1dx

d)∫

x3−1x−1

dx

Pomocou substitúcie vypočítajte integrály

9. a)∫

ex

ex+7dx

b)∫

3x2

x3+1dx

c)∫

cos x1+3 sin x

dx

d)∫

x2e−x3dx

Page 250: 157 Matematika zbierka

250 M NEURČITÝ INTEGRÁL

10. a)∫

tg xdx

b)∫

1x ln x

dx

c)∫

x√

x2 − 1dx

d)∫

3x3

3√x4+1dx

11. a)∫

(2x− 6)7 dx

b)∫

x√

4 + 2x2dx

c)∫

sin 7xdx

d)∫

e−5x+3dx

12. a)∫

ln3 xx

dx

b)∫

x tg x2dx

c)∫

ex√

1−e2x dx

d)∫

sin4 x cos xdx

13. a)∫

ecos2 x sin 2xdx

b)∫

(x + 2)ex2+4x+5dx

c)∫

cos xsin2 x

dx

d)∫

x2√

x3 − 4dx

14. a)∫

arccos x−x√1−x2 dx

b)∫ cos(ln x)

xdx

c)∫

cos5 xsin4 x

dx

d)∫

x(x2+4)3

dx

15. a)∫

4x

1+42x dx

b)∫

sin x1+cos2 x

dx

c)∫

sin x4+cos x

dx

d)∫

cos xsin4 x

dx

16. a)∫

ex

ex+4dx

b)∫

sin5 xdx

c)∫

e2x

ex+4dx

d)∫

cotg xdx

17. a)∫

x√x2+1

dx

b)∫

8x+63√

(4x2+6x−1)2dx

c)∫

sin x(1+cos x)3

dx

d)∫

3x+2√4−x2 dx

18. a)∫

sin3 x1+cos x

dx

b)∫

x+arctg x1+x2 dx

c)∫

x√

6− 3x2dx

d)∫

5x2

4√x3+7dx

19. a)∫

e2x

x2 dx

b)∫

3x3

3√x4+1dx

c)∫

x√x−2

dx

d)∫

x(x2+4)5

dx

Metódou per partes vypočítajte integrály

20. a)∫

x sin xdx

b)∫

(x + 2) sin xdx

c)∫

(x2 + 3x− 1) cos 2xdx

d)∫

x2 cos xdx

21. a)∫

(x2 − 1) exdx

b)∫

x2xdx

c)∫

(x + 1)e−xdx

d)∫

(x3 + 1) e−2xdx

Page 251: 157 Matematika zbierka

Úlohy 251

22. a)∫

arctg xdx

b)∫

arccos 2xdx

c)∫

ln3 xdx

d)∫

arcsin xdx

23. a)∫

x arctg xdx

b)∫

x2 ln xdx

c)∫

x2 arctg xdx

d)∫

arctg√

xdx

24. a)∫

xcos2 x

dx

b)∫

x sin 2xdx

c)∫

2x cos xdx

d)∫ √

x ln xdx

25. a)∫

x ln 2xdx

b)∫

x ln (x2 + 3) dx

c)∫

sin(ln x)dx

d)∫

ln (x2 + 2) dx

26. a)∫

e2x cos xdx

b)∫

ex sin xdx

c)∫

ex cos xdx

d)∫

ex sin 2xdx

Integrujte nasledujúce racionálne funkcie

27. a)∫

4x−3

dx

b)∫ −7

x+2dx

c)∫

23x−1

dx

d)∫

43−2x

dx

28. a)∫

3(x+7)2

dx

b)∫

2(x−1)4

dx

c)∫

4(x+5)3

dx

d)∫

7(x−2)5

dx

29. a)∫

1x2−2x+5

dx

b)∫

1x2+4x+7

dx

c)∫

1x2−6x+14

dx

d)∫

22x2+4x+16

dx

30. a)∫

1x2+4x−5

dx

b)∫

1x2+5x+6

dx

c)∫

3x2+5x−14

dx

d)∫

4x2−x−2

dx

31. a)∫

5x+7x2+4x−5

dx

b)∫

11x−123x2−11x+6

dx

c)∫

x(x+1)(2x+1)

dx

d)∫

2x4x2−4x+1

dx

32. a)∫

11x−123x2−11x+9

dx

b)∫

2x+3x2−5x+6

dx

c)∫

4x+3x2−6x+9

dx

d)∫

9x−59x2−6x+1

dx

33. a)∫

x+1x2+x+1

dx

b)∫

5x+2x2+2x+10

dx

c)∫

6x−5x2−4x+5

dx

d)∫

2x+32x2+2x+4

dx

Page 252: 157 Matematika zbierka

252 M NEURČITÝ INTEGRÁL

34. a)∫

2x−1(x+1)(x2+3)

dx

b)∫

3x+2(x−3)(x2+1)

dx

c)∫

5x+5(x−1)(x2+4x+5)

dx

d)∫

1x2(x2+x+1)

dx

35. a)∫

2x−1x4−5x3+3x2+9x

dx

b)∫

x−1(x+1)(x+2)2

dx

c)∫

x2

(x2+4x+4)(x+1)dx

d)∫

x2−9x+8(x+1)(x−2)2

dx

36. a)∫

x2−9x+8(x+1)(x−3)3

dx

b)∫

x(x+3)(x2+3x+2)

dx

c)∫

x(x−3)(x2+x+3)

dx

d)∫

x+2(x3+4x2+5x)

dx

37. a)∫

3x−1x2(x2+2)

dx

b)∫

x+4x3+4x

dx

c)∫

3x−1x2(x+2)

dx

d)∫

x4x2−4x+1

dx

38. a)∫

x2+3x+1x3+x2+x

dx

b)∫

3x2+x+1(x−1)(x2+2x+2)

dx

c)∫

3x3+5x−6(x−2)(x2+2)

dx

d)∫

x2−4x+5(x−1)(x2+2)

dx

39. a)∫

x4−3x+2(x−1)x2 dx

b)∫

3x3+3x2+x−3x2−4

dx

c)∫

x3+3x2+3x+3

dx

d)∫

x4

x2−4dx

e)∫

3x4+6x2−2x3+2x

dx

f)∫

x4+5x(x2+4x−5)

dx

g)∫

x5−6x+1x2−x+1

dx

h)∫

x8+x−1x3−x2 dx

i)∫

x7+3x2−6x−1x(x3+6x2+11x+6)

dx

j)∫

x5+1(x2)(x+2)

dx

k)∫

x7−1x4+x3 dx

l)∫

x6

x(x4−1)dx

Vypočítajte

40. a)∫

3x−2√1−x2 dx

b)∫

3x+2√4−x2 dx

c)∫

2x+3√2−x−x2 dx

d)∫

1√12+4x−x2 dx

e)∫

1√8−12x−4x2 dx

f)∫

3x−4√1+2x−x2 dx

g)∫

1√x2+2x+2

dx

h)∫

8x+2√4x2+10x−4

dx

Page 253: 157 Matematika zbierka

Výsledky 253

Výsledky

1. a) áno b) áno c) nie d) áno

2. a) x4 − x3 + 4x + c

b) x5 − 4x2 + x + c

c) x6 − x4 + x2 + c

d) x4 − x2 +√

2x + c

3. a) −x−3 + 2√

x− x + c

b) ln |x|+ 4x

+ 35

3√

x5 + c

c) − 2x

+ ln |x|+ c

d) 12 6√

x− 45

4√

x5 + c

4. a) −x3

3+ 5

2x2 − 6x + c

b) 125

4√

x5 − 49

4√

x9 + c

c) x5

5+ 2x3

3+ x + c

d) 49

4√

x9 + c

5. a) ex + e4x + c

b) −e−x + 9x

ln 9+ c

c) 4x·ex

ln(4e)+ c

d)(

35

)xln−1 5

3+ c

6. a) 4 sin x + 2 cos x + c

b) tg x + 3 cotg x + c

c) x2

2+ ex + c

d) 3 ln |x| − 2x

ln 2+ c

7. a) 4 · 15ln |5x + 2|+ c

b) 2 · 13ln |3x− 1|+ c

c) −32ln |2x− 1|+ c

d) −54ln |4x− 2|+ c

8. a) x− ln |x + 1|+ c

b) x− arctg x + c

Page 254: 157 Matematika zbierka

254 M NEURČITÝ INTEGRÁL

c) x3

3− x + arctg x + c

d) x3

3+ x2

2+ x + c

9. a) ln (ex + 7) + c

b) ln |x3 + 1|+ c

c) 13ln |1 + 3 sin x|+ c

d) −13e−x3

+ c

10. a) − ln | cos x|+ c

b) ln | ln x|+ c

c) 13

√(x2 − 1)3 + c

d) 98(x4 + 1)

23 + c

11. a) 116

(2x− 6)8 + c

b) 16(4 + 2x2)

32 + c

c) −17cos 7x + c

d) −15e−5x+3 + c

12. a) 14ln4 x + c

b) −12ln |cos x2|+ c

c) arcsin ex + c

d) 15sin5 x + c

13. a) −ecos2 x + c

b) 12ex2+4x+5 + c

c) − 1sin x

+ c

d) 29(x3 − 4)

32 + c

14. a) −12arccos2 x +

√1− x2 + c

b) sin(ln x) + c

c) −13

1sin3 x

+ 2sin x

+ sin x + c

d) − 14(x2+4)2

+ c

15. a) 1ln 4

arctg 4x + c

b) − arctg(cos x) + c

Page 255: 157 Matematika zbierka

Výsledky 255

c) − ln | cos x + 4|+ c

d) − 13 sin3 x

+ c

16. a) ln (ex + 4) + c

b) − cos x + 23cos3 x− 1

5cos5 x + c

c) ex − ln (ex + 4) + c

d) ln | sin x|+ c

17. a)√

x2 + 1 + c

b) 3 3√

4x2 + 6x− 1 + c

c) 12(1+cos x)2

+ c

d) −3√

4− x2 + 2 arcsin x2

+ c

18. a) 12cos2 x− cos x + c

b) 12ln (1 + x2) + 1

2arctg2 x + c

c) −19

√(6− 3x2)3 + c

d) 209

4

√(x3 + 7)3 + c

19. a) −12e

2x + c

b) 98

3

√(x4 + 1)2 + c

c) 23

√(x− 2)3 + 4

√x− 2 + c

d) −18

1(x2+4)4

+ c

20. a) −x cos x + sin x + c

b) −(x + 2) cos x + sin x + c

c) 12(x2 + 3x− 1) sin 2x + 1

4(2x + 3) cos 2x− 1

4sin 2x + c

d) x2 sin x + 2x cos x− 2 sin x + c

21. a) ex (x2 − 2x + 1) + c

b) 2x(x ln 2−1)

ln2 2+ c

c) −e−x(x + 2) + c

d) e−2x(−1

2x3 − 3

4x2 − 3

4x− 7

8

)+ c

22. a) x arctg x− 12ln (1 + x2) + c

Page 256: 157 Matematika zbierka

256 M NEURČITÝ INTEGRÁL

b) x arccos 2x− 12

√1− 4x2 + c

c) x ln3 x− 3x ln2 x + 6x ln x− 6x + c

d) x arcsin x +√

1− x2 + c

23. a) 12(x2 arctg x− x + arctg x) + c

b) x3(

ln x3− 1

9

)+ c

c) x3

3arctg x− x2

6+ 1

6ln (x2 + 1) + c

d) x arctg√

x−√

x + arctg√

x + c

24. a) x tg x + ln | cos x|+ c

b) −x2cos 2x + 1

4sin 2x + c

c) 11+ln 2

· 2x(sin x + ln 2 · cos x) + c

d) 23

√x3(ln x− 2

3

)+ c

25. a) x2

2ln 2x− 1

4x2 + c

b) 12(x2 + 3) (ln (x2 + 3)− 1) + c

c) x2(sin(ln x)− cos(ln x)) + c

d) x ln (x2 + 2)− 2x + 4√2arctg x√

2+ c

26. a) e2x

5(sin x + 2 cos x) + c

b) e2x

2(sin x− cos x) + c

c) e2x

2(sin x + cos x) + c

d) e2x

5(sin 2x− 2 cos 2x) + c

27. a) 4 ln |x− 3|+ c

b) −7 ln |x + 2|+ c

c) 23ln |3x− 1|+ c

d) −2 ln |2x− 3|+ c

28. a) −3(x + 7)−1 + c

b) −23(x− 1)−3 + c

c) −2(x + 5)−2 + c

d) −74(x− 2)−4 + c

29. a) 12arctg x−1

2+ c

Page 257: 157 Matematika zbierka

Výsledky 257

b) 1√3arctg x+2√

3+ c

c) 1√5arctg x−3√

5+ c

d) 1√7arctg x+1√

7+ c

30. a) 16ln∣∣x−1x+5

∣∣+ c

b) ln∣∣x+2x+3

∣∣+ c

c) 13ln∣∣x−2x+7

∣∣+ c

d) 43ln∣∣x−2x+1

∣∣+ c

31. a) 2 ln |x− 1|+ 3 ln |x + 3|+ c

b) 23ln |3x− 2|+ 3 ln |x− 3|+ c

c) ln |x + 1| − 12ln |2x + 1|+ c

d) 12ln |2x− 1| − 1

21

2x−1+ c

32. a)49 ln

˛6 x−

√13−11

6 x+√

13−11

˛6√

13+

11 ln|3 x2−11 x+9|6

b) 9 ln |x− 3| − 7 ln |x− 2|+ c

c) − 15x−5

+ 4 ln |x− 3|+ c

d) 23(3x−1)

+ ln |3x− 1|+ c

33. a) 12ln |x2 + x + 1|+ 1√

3arctg 2x+1√

3+ c

b) 52ln |x2 + 2x + 10| − arctg x+1

3+ c

c) 3 ln |x2 − 4x + 5|+ 7 arctg(x− 2) + c

d) 12ln |x2 + x + 4|+ 2√

3arctg 2x+1√

3+ c

34. a)3 ln|x2+3|

8+

5 arctg“

x√3

”4√

3− 3 ln|x+1|

4+ c

b) −11 ln|x2+1|20

− 3 arctg x10

+ 11 ln|x−3|10

+ c

c) − ln|x2+4 x+5|2

+ 2 arctg(

2 x+42

)+ ln |x− 1|+ c

d)ln|x2+x+1|

2−

arctg“

2 x+1√3

”√

3− ln |x| − 1

x+ c

35. a) 3 ln|x+1|16

− ln |x|9− 11 ln|x−3|

144− 5

12 x−36+ c

b) 2 ln |x + 2| − 2 ln |x + 1| − 3x+2

+ c

c) ln |x + 1|+ 4x+2

+ c

d) 2 ln |x + 1| − ln |x− 2|+ 2x−2

+ c

Page 258: 157 Matematika zbierka

258 M NEURČITÝ INTEGRÁL

36. a) −9 ln|x+1|32

+ 9 ln|x−3|32

+ x+78 x2−48 x+72

+ c

b) −3 ln|x+3|2

+ 2 ln |x + 2| − ln|x+1|2

+ c

c) − ln|x2+x+3|10

+3 arctg

“2 x+1√

11

”5√

11+ ln|x−3|

5+ c

d) − ln|x2+4 x+5|5

+arctg( 2 x+4

2 )5

+ 2 ln |x|5

+ c

37. a) −3 ln|x2+2|4

+arctg

“x√2

”2√

2+ 3 ln |x|

2+ 1

2 x+ c

b) − ln|x2+4|2

+ ln |x|+ arctg(x2 )

2+ c

c) −7 ln|x+2|4

+ 7 ln |x|4

+ 12 x

+ c

d) ln|2 x−1|4

− 18 x−4

+ c

38. a)4 arctg

“2 x+1√

3

”√

3+ ln |x|+ c

b) ln |x2 + 2 x + 2| − arctg(

2 x+22

)+ ln |x− 1|+ c

c)2 ln|x2+2|

3+

5 arctg“

x√2

”3√

2+ 14 ln|x−2|

3+ 3 x + c

d)ln|x2+2|

6−

11 arctg“

x√2

”3√

2+ 2 ln|x−1|

3+ c

39. a) ln |x|+ x2+2 x2

+ 2x

+ c

b) 17 ln|x+2|4

+ 35 ln|x−2|4

+ 3 x2+6 x2

+ c

c) 3 ln |x2 + 3 x + 3|+6 arctg

“2 x+3√

3

”√

3+ x2−6 x

2+ c

d) −4 ln |x + 2|+ 4 ln |x− 2|+ x3+12 x3

+ c

e)ln|x2+2|

2− ln |x|+ 3 x2

2+ c

f) 21 ln |x + 5| − ln |x|+ ln |x− 1|+ x2−8 x2

+ c

g) −7 ln|x2−x+1|2

−3 arctg

“2 x−1√

3

”√

3+ 3 x4+4 x3−12 x

12+ c

h) ln |x− 1|+ 10 x6+12 x5+15 x4+20 x3+30 x2+60 x60

− 1x

+ c

i) −2143 ln|x+3|2

+ 105 ln |x + 2|+ 7 ln|x+1|2

+ 6 x5−45 x4+250 x3−1350 x2+9030 x30

j)31 ln|x2+4|

16− 31 ln|x+2|

8+

33 arctg(x2 )

8+ x3−3 x2

3+ c

k) 2 ln |x + 1| − ln |x|+ 3 x4−4 x3+6 x2−12 x12

− 2 x−12 x2 + c

l) − ln|x+1|4

+ arctg x2

+ ln|x−1|4

+ x3

3+ c

40. a) −2 arcsin x− 3√

1− x2 + c

Page 259: 157 Matematika zbierka

Výsledky 259

b) 2 arcsin(

x2

)− 3

√4− x2 + c

c) −2√−x2 − x + 2− 2 arcsin

(−2 x−13

)+ c

d) − arcsin(

4−2 x8

)+ c

e) −arcsin

“−8 x−124√

17

”2

+ c

f) arcsin(

2−2 x2√

2

)− 3

√−x2 + 2 x + 1 + c

g) ln∣∣x + 1 +

√x2 + 2x + 2

∣∣+ c

h) 2√

4x2 + 10x− 4− 4 ln∣∣∣x + 5

4+√

x2 + 52x− 1

∣∣∣+ c

Page 260: 157 Matematika zbierka

260 LITERATÚRA

Zoznam bibliografických odkazov1. J. Bílek: Matematika I, SNTL Praha, 1971

2. J. Eliáš a kol.: Matematika - Zbierka riešených úloh, SVŠT Bratislava, 1979

3. J. Eliáš, J. Horváth, J. Kajan: Zbierka úloh z vyššej matematiky, Alfa, Bratislava, 1.a 2. časť 1971

4. M. Halabrín, P. Híc, J. Rovder: Matematika 1, STU, Bratislava, 1994

5. A. Hlaváček: Sbírka řešených příkladů z vyšší matematiky, SPN, Praha, 1971

6. M. Halabrín, M. Tóthová, M. Urbaníková, R. Vrábeľ, J. Trubenová: Lineárnaalgebra, STU, 2004, ISBN 80-227-2126-3

7. J. Ivan: Matematika 1, Alfa, 1983

8. V. Jarník: Diferenciální počet I, Academica Praha, 1974

9. I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec: Matematika I, Alfa Bratislava, 1971

10. D. E. Knuth: The TEXbook, Volume A of Computers and Typesetting,Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, second edition, 1984, ISBN 0-201-13448-9.

11. M. Šabo, I. Fabrici, V. Grusková: Matematika I a II. Zbierka úloh z matematiky,STU Bratislava, 1997

12. E. Špániková, E. Wisztová: Zbierka úloh z algebry, Žilinská univerzita, 2002

13. Z. Vošický: Matematika v kocke, Fragment, 1999, ISBN 80-7200-251-1

Page 261: 157 Matematika zbierka

OBSAH 261

Obsah

Predhovor 3

A Polynómy. Algebraická rovnica 5Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

B Matice. Determinant matice. Hodnosť matice 21Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Determinant matice. Hodnosť matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

C Systém lineárnych rovníc 55Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

D Vektory 75Aritmetický vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Geometrický vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

E Funkcia reálnej premennej 105Elementárne funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Page 262: 157 Matematika zbierka

262 OBSAH

F Postupnosť a jej limita 125Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

G Limita funkcie. Spojitosť funkcie 137Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

H Derivácia funkcie 151Definícia derivácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Geometrický význam derivácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Fyzikálny význam derivácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Základné vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Derivácie vyšších rádov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

I L’Hospitalovo pravidlo 171Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

J Asymptoty grafu funkcie 180Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

K Použitie diferenciálneho počtu 189Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

L Priebeh funkcie 203Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Page 263: 157 Matematika zbierka

OBSAH 263

M Neurčitý integrál 233Riešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Zoznam bibliografických odkazov 260

Page 264: 157 Matematika zbierka

EDÍCIA VYSOKOŠKOLSKÝCH SKRÍPT

Autori: RNDr. Marcel Abas, PhD., RNDr. Mária Tóthová, RNDr. Ľudmila Vaculíková, Mgr. Róbert Vrábeľ, PhD.

Názov: MATEMATIKA I. ZBIERKA PRÍKLADOV. Miesto vydania: Trnava Vydavateľ: AlumniPress Rok vydania: 2008 Vydanie: prvé Rozsah: 263 Edičné číslo: 17/AP/2008 ISBN 978-80-8096-072-8 EAN 9788080960728

zverejnené na https://is.stuba.sk