1_4_efaptom_theor

ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495 www.arnos.gr – e-mail : [email protected]

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ - ΜΑΘΗΤΩΝ

83

Παγκόσμιο χωριό γνώσης

5ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.4.

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σκοπός της ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι ο ορισμός εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο της, καθώς και οι μέθοδοι εύρεσης της εξίσωσης της εφαπτομένης.

Προσδοκώμενα αποτελέσματα

Όταν έχετε ολοκληρώσει αυτήν την ενότητα θα πρέπει να μπορείτε:

Να βρίσκετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο της.

Να βρίσκετε την εξίσωση της εφαπτομένης που πληρούν κάποιες συγκεκριμένες ιδιότητες, όπως να είναι παράλληλη ή κάθετη σε δεδομένη ευθεία ή να διέρχεται από γνωστό σημείο.

Να βρίσκετε τις τιμές των παραμέτρων που ζητούνται ώστε η εφαπτομένη να ικανοποιεί συγκεκριμένες απαιτήσεις.



84


Περί ευθειών

1. Η εξίσωση της ευθείας στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων,

είναι:

y x= λ +β

Ο αριθμός λ, λέγεται συντελεστής ή κλίση της ευθείας και ισχύει:

λ = εφω

όπου ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x x′ , όταν ο άξονας x x′ περιστραφεί γύρω από το Α κατά την ορθή φορά, αντίθετα με την φορά των δεικτών του ρολογιού. Σύμφωνα με τον ορισμό, ισχύει:

0 180ο≤ ω<

Η ευθεία y x= λ +β , τέμνει τον άξονα y y′ στο σημείο ( )0,Β β .

2. Οι ευθείες που είναι κάθετες στον άξονα y y′ ή παράλληλες στον x x′ , έχουν εξίσωση:

y = β

αφού ο συντελεστής διεύθυνσης είναι:

0λ =

Θεωρούμε ότι μια τέτοια ευθεία, σχηματίζει γωνία 0οω = , γιατί αν μετατοπιστεί παράλληλα, συμπίπτει με τον άξονα x x′ .

3. Οι ευθείες που είναι κάθετες στον άξονα x x′ έχουν εξίσωση:

x xο=

Γι’ αυτές δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης, αφού η εφαπτομένη των 90ο δεν ορίζεται.



85


4. Οι γωνίες που εμφανίζονται συχνότερα σε μοίρες ή σε r dα και οι αντίστοιχες εφαπτόμενες αυτών, εμφανίζονται στον πίνακα που ακολουθεί:

Γωνίες σε

Μοίρες r dαΤιμή

εφαπτομένης0ο 0 0

30ο 6π 3

3

45ο 4π 1

60ο 3π 3

90ο 2π Δεν ορίζεται

120ο 23π 3−

135ο 34π 1−

150ο 56π 3

3−

5. Στο ίδιο σύστημα αξόνων, έχουμε τις ευθείες:

1 1y x= λ +β και 2 2y x= λ +β

από τις οποίες καμία δεν είναι παράλληλη σε κάποιο άξονα.

Είναι μεταξύ τους παράλληλες, αν και μόνο αν:

1 2λ = λ

Είναι μεταξύ τους κάθετες, αν και μόνο αν:

1 2 1λ ⋅λ = −

Ταυτίζονται, αν και μόνο αν:

1 2 1 2λ = λ και β = β

6. Ο άξονας x x′ ως ευθεία του συστήματος έχει εξίσωση:



86


y 0=

ενώ ο άξονας y y′ έχει εξίσωση:

x 0=

7. Οι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων, έχουν εξίσωση:

y x= α

Η διχοτόμος της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, έχει εξίσωση:

y x=

ενώ η διχοτόμος της δεύτερης και τέταρτης γωνίας των αξόνων, έχει εξίσωση:

y x= −

Η εξίσωση της εφαπτομένης

Δίνεται η συνάρτηση: f :Α→

που είναι παραγωγίσιμη στο xο . Πως βρίσκουμε την εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της f στο σημείο της ( )( )x , f xο οΜ ; Απάντηση: Η εφαπτομένη της fC στο σημείο της ( )( )x , f xο οΜ έχει συντελεστή:

( )f xο′λ = άρα έχει εξίσωση:

( )y f x xο′= ⋅ +β (1)

Για να βρούμε το β αντικαθιστούμε στην εξίσωση (1) της εφαπτομένης τις συντεταγμένες του σημείου Μ, δηλαδή:

( ) ( )f x f x xο ο ο′= ⋅ +β (2) και λύνουμε ως προς β .



87


Παρατηρήσεις: 1. Αν λύσουμε την (2) ως προς β, έχουμε:

( ) ( )f x f x xο ο ο′β = − ⋅

Έτσι η εξίσωση (1) γράφεται:

( ) ( ) ( )y f x x f x f x xο ο ο ο′ ′= ⋅ + − ⋅ ή ( )( ) ( )y f x x x f xο ο ο′= − + (3)

Άρα αν γνωρίζουμε τα xο , ( )f xο και ( )f xο′ μπορούμε με τη βοήθεια του τύπου (3) να βρούμε αμέσως την εφαπτομένη.

2. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η ( )f xο′ δίνει την κλίση της εφαπτομένης

(ε) της fC στο σημείο ( )( )x , f xο οΜ . Δηλαδή είναι:

( )f xο′ = εφω γι’ αυτό λέγεται και κλίση της καμπύλης στο xο

3. Αν η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο xο δεν δέχεται εφαπτομένη στο σημείο αυτό. Στο διπλανό σχήμα το σημείο

( )( )x ,f xο ο λέγεται γωνιακό. Η f δεν δέχεται εφαπτομένη στο σημείο αυτό.

4. Η εφαπτομένη σ’ ένα σημείο μιας γραφικής παράστασης συνάρτησης f , μπορεί να έχει και άλλα κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

1_4_efaptom_theor

Documents