14. KINETIČKO-MOLEKULARNA

TEORIJA TOPLINE

14.1. Uvod

MAKROSKOPSKA svojstva(p, T, V, c...)

mikroskopska svojstva(v, p, m, EK,...)

TERMODINAMIKA Kinetičko-molekularnateorija

povezati

znanost o TOPLINI

Molekule: - nemaju strukture (materijalne točke, kuglice)- meñumolekularne sile (elektrostatske prirode)- agregatna stanja

Robert Brown (1773 – 1858); engleski botaničar- neprestano gibanje zrnca peluda → Brownovo gibanje

(nasumično)

- potvrñena hipoteza neprestanog gibanja molekula u tekućinama i plinovima

Pretpostavke kineti čko-molekularne teorije plinova:

1. Plin se sastoji od sitnih čestica – molekula.2. Broj molekula u plinu je vrlo velik.3. Molekule plina gibaju se nasumi čno velikim brzinama.4. Molekule plina su vrlo rijetko raspore ñene (ukupni

volumen samih molekula zanemarivo je mali u usporedbi s volumenom plina).

5. Za molekule vrijedi njutnovska mehanika.6. Uzajamno djelovanje molekula plina je zanemarivo

malo.7. Pri brzom i neprekidnom gibanju molekule se sudar aju

sa stjenkama posude. Trajanje sudara je vrlo kratko . Sudari su savršeno elasti čni.

14.2. Tlak idealnog plina- neprekidno udaranje molekula o stijenku posude

→ predaja impulsa → sila

TLAK = SILA molekula na stijenku

POVRŠINA stijenke

2 2 2 2 2

2 2

3

1

3

x y z x

x

v v v v v

v v

= + + =

=

Tlak ovisi o broju molekula u jediničnom volumenu i prosječnoj kinetičkoj energiji molekula.

14.3. Kineti čko objašnjenje temperature

Temperatura = direktna mjera srednje kinetičke energijetranslacije molekula plina.

Svaki translacijski stupanj slobode jednakim iznosom (1/2 k BT) doprinosi ukupnoj energiji promatranog sustava.

→ Teorem ekviparticije energije

21 3

2 2K BE mv k T= =Srednja kinetička energija molekule plina ne ovisi o vrsti plina, već samo o T. → lakše molekule gibaju se brže

Postizanje toplinske ravnoteže:- toplije molekule predaju energiju hladnijim dok se ne izjednače njihove srednje energije

Unutrašnja energija idealnog plina = zbroj EK

3 3

2 2

KKii

B

U E N E

U Nk T nRT

= =

= =

∑

- ovisi samo o T- ½ kBT po stupnju slobode

2

iU nRT= i = broj st. slobode

(translacija, rotacija, vibracija)

Srednja Srednja kvadratikvadrati ččnana brzina molekulabrzina molekula

14.4. Raspodjela molekula plina po brzinama- nemaju sve molekule istu brzinu- zanima nas srednja brzina molekule i raspodjela molekula po brzinama

- odreñivanje: teorijski eksperimentalno (Otto Stern, 1920.)

Najvjerojatnija brzina

Srednja brzina Efektivna brzina ili

Srednja kvadrati čnabrzina

MAXWELLova RASPODJELA MOLEKULA PLINA PO BRZINAMA

vdNN =dv

- Relativan broj molekula plina po brzinama

vN dv - Broj molekula plina koje imaju brzine u intervalu izmeñu

v, v+dv

m- masa molekulev – brzina molekuleN – ukupan broj molekulaT – apsolutna temperatura plina k – Boltzmannova konstanta

23

22 24

2B

mv

k Tv

B

mdN N e v dv

k Tπ

π

=

- najvjerojatnija brzina = ona koju ima najveći broj molekula

20v B

m

dN k Tv

dv m= → =

- srednja brzina = aritmetička sredina brzina

0

0

8v

B

v

N vdvk T

vm

N dvπ

∞

∞= =∫

∫

- srednja kvadratična brzina = efektivna brzina (odreñuje T)

2

2 2 0

0

3 3 3v

B Beff eff

v

N v dvk T k T RT

v v vm m M

N dv

∞

∞= = = → = =∫

∫

Maxwellova raspodjela molekula po brzinama za različite T

Maxwellova raspodjela molekula po brzinama za plemenite plinove

14.5. Maxwell-Boltzmannova raspodjela molekula plina po energijama

21

2K

dN dN dE dNE mv E mv

dv dE dv dE= = = =

3 3

2B

E

k TE

B

dN NN E e

dE k Tπ

−= =

Koliko je broj molekula dN kojima je energija u intervalu izmeñu E i E+dE.- ovisi samo o T

0

3

2E

B

EN dEE k T

N

∞

= =∫

- mirovanje za T=0 K

14.5. Kineti čka teorija molarnih toplinskih kapaciteta

Toplinski kapacitet = količina topline potrebna da se tijelu povisi temperatura za 1 K- ovisi o načinu kako tijelu dovodimo toplinu

1

1V

V

Pp

C

C

dUV const

n dT

ñQp const

n dT

= =

= =

p VC C R− =Mayerova relacija:

3

2 2

iU nRT nRT= =Jednoatomni plin (translacija):

3 5, , 1,67

2 2p

V pV

CC R C R

Cκ= = = =

Dobro slaganje za jednoatomnemolekule, ali ne i za dvoatomnei višeatomne !!

1,67p

V

C

Cκ = =

Dvoatomne molekule

3 translacijska i 2 rotacijska stanja (rotaciju oko y osi zanemarujemo!)

Dobro slaganje s eksperimentom (vidi Tablicu na prethodnom slide-u) iako nisu uzeta u obzir vibracijska stanja molekula !?!

3 translacijska, 2 rotacijska i 2 vibracijska stanja

Dvoatomne molekule

9,

2

1,28

p

p

V

C R

C

Cκ

=

= =

Dvoatomne molekule

- kvantnomehaničko objašnjenje toplinskih kapaciteta

14.6. Jednadžba stanja realnog plina

- idealni plin: pV nRT= - nema interakcije osim u sudarima

- realni plin – Van der Waalsova jednadžba:

( )22

p na

V n nRTV

b + − =

- molekule imaju konačan volumen

- dodatni tlak zbog meñumolekularnih sila