паралельніпаралельні

мимобіжнімимобіжні

перетинаютьсяперетинаються

Властивість паралельних прямих на площині:Через точку, що не лежить на прямій, можна провести пряму, яка паралельна даній, і тільки одну.

α

a

А

α α

Якщо дві прямі лежать у площині, то вони між собою:

або перетинаються,

або паралельні (a||b)

ab

a b

b

Взаємне розташування Взаємне розташування двох прямих на площинідвох прямих на площині

Означення Означення паралельних прямих паралельних прямих

aabb

Дві прямі, що лежать в Дві прямі, що лежать в одній площині й не одній площині й не перетинаються називають перетинаються називають паралельними.паралельними.

Означення Означення мимобіжних прямихмимобіжних прямих

Дві прямі, що не лежать в Дві прямі, що не лежать в одній площині називають одній площині називають мимобіжними.мимобіжними.

ММ

aa

bb

а а IIII b b а а IIII b b

перетинаються

мимобіжні

Дві прямі у просторі

Лежать в одній площині

Не лежать в одній площині

Взаємне розміщення прямих у просторіВзаємне розміщення прямих у просторі

паралельні

ММaa

bbaa

bb

aa

bb

а а bb а а bb

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIiIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIi

Наочне уявлення мимобіжних прямих дають дві дороги, одна з яких проходить по мосту, а інша під мостом.

aa

bb

aa bb

Знайдіть на малюнку дві паралельні прямі.Назвіть паралельні прямі та площини.Знайдіть мимобіжні прямі.

8

aabb

сс

ТеоремаТеорема Якщо дві прямі паралельні третій Якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні між собою.прямій, то вони паралельні між собою.

aIIс, bIIс

ККaIIb ?

Якщо одна пряма лежить у деякій площині, а друга Якщо одна пряма лежить у деякій площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, що не належить пряма перетинає цю площину в точці, що не належить першій прямій, то ці прямі мимобіжні.першій прямій, то ці прямі мимобіжні.

Ознака мимобіжних прямихОзнака мимобіжних прямих

DD

ВВ

АВ САВ СDD

ААCC

??

Через вершину А ромба АВСD проведена пряма а, паралельна діагоналі ВD, а через вершину С – пряма b, що не лежить в площині ромба. Доведіть, що: а) а і СD перетинаються; б) а і b мимобіжні прямі.

ВВ

bb aa

АА

CC

??

aa

bb

DD

ЗадачаЗадача

А D

СВ

B1 С1

D1

А1

Яке взаємне розміщення прямих 1) AD1 і МN; 2) AD1 і ВС1; 3) МN і DC?

N

M

ЗадачаЗадача

Через кожну з двох мимобіжних прямих проходить Через кожну з двох мимобіжних прямих проходить площина, паралельна другій прямій, і до того ж тільки площина, паралельна другій прямій, і до того ж тільки одна.одна.

ТеоремаТеорема

DD

СС

BB

EE

AA

Кут між мимобіжними прямимиКут між мимобіжними прямими

а а bb

aa

bbbb

ММ

Через довільну точку М1 проведемо прямі m і n, відповідно паралельні прямим a та b.Кут між мимобіжними прямими a і b дорівнює

m m

nn

Кут між мимобіжними прямимиКут між мимобіжними прямими

а а bb

aa

bb

ММ

Точку М можно вибирати довільно.

m m

Зручно точкою М вибрати довільну точку на одній з мимобіжних прямих.

тт

Пряма m паралельна діагоналі ВD ромба АВСD і не лежить в площині ромба. Доведіть, що: а) m і АС – мимобіжні прямі і знайдіть кут між ними; б) m і AD – мимобіжні прямі і знайдіть кут між ними, якщо АВС = 1280.

АА

ВВ

DDСС

1280

Задача Задача