1300 math formulas by golden art

http://fribok.blogspot.com/

1300 Math Formulas

fp_k VVQVNMTTQN

`çéóêáÖÜí « OMMQ ^KpîáêáåK ^ää oáÖÜíë oÉëÉêîÉÇK


ii

Preface

qÜáë Ü~åÇÄççâ áë ~ ÅçãéäÉíÉ ÇÉëâíçé êÉÑÉêÉåÅÉ Ñçê ëíì-ÇÉåíë ~åÇ ÉåÖáåÉÉêëK fí Ü~ë ÉîÉêóíÜáåÖ Ñêçã ÜáÖÜ ëÅÜççäã~íÜ íç ã~íÜ Ñçê ~Çî~åÅÉÇ ìåÇÉêÖê~Çì~íÉë áå ÉåÖáåÉÉêáåÖIÉÅçåçãáÅëI éÜóëáÅ~ä ëÅáÉåÅÉëI ~åÇ ã~íÜÉã~íáÅëK qÜÉ ÉÄççâÅçåí~áåë ÜìåÇêÉÇë çÑ Ñçêãìä~ëI í~ÄäÉëI ~åÇ ÑáÖìêÉë ÑêçãkìãÄÉê pÉíëI ^äÖÉÄê~I dÉçãÉíêóI qêáÖçåçãÉíêóI j~íêáÅÉë~åÇ aÉíÉêãáå~åíëI sÉÅíçêëI ^å~äóíáÅ dÉçãÉíêóI `~äÅìäìëIaáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåëI pÉêáÉëI ~åÇ mêçÄ~Äáäáíó qÜÉçêóKqÜÉ ëíêìÅíìêÉÇ í~ÄäÉ çÑ ÅçåíÉåíëI äáåâëI ~åÇ ä~óçìí ã~âÉÑáåÇáåÖ íÜÉ êÉäÉî~åí áåÑçêã~íáçå èìáÅâ ~åÇ é~áåäÉëëI ëç áíÅ~å ÄÉ ìëÉÇ ~ë ~å ÉîÉêóÇ~ó çåäáåÉ êÉÑÉêÉåÅÉ ÖìáÇÉK


iii

Contents

1 krj_bo pbqp NKN pÉí fÇÉåíáíáÉë 1 NKO pÉíë çÑ kìãÄÉêë 5 NKP _~ëáÅ fÇÉåíáíáÉë 7 NKQ `çãéäÉñ kìãÄÉêë 8 2 ^idb_o^ OKN c~ÅíçêáåÖ cçêãìä~ë 12 OKO mêçÇìÅí cçêãìä~ë 13 OKP mçïÉêë 14 OKQ oççíë 15 OKR içÖ~êáíÜãë 16 OKS bèì~íáçåë 18 OKT fåÉèì~äáíáÉë 19 OKU `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~ë 22 3 dbljbqov PKN oáÖÜí qêá~åÖäÉ 24 PKO fëçëÅÉäÉë qêá~åÖäÉ 27 PKP bèìáä~íÉê~ä qêá~åÖäÉ 28 PKQ pÅ~äÉåÉ qêá~åÖäÉ 29 PKR pèì~êÉ 33 PKS oÉÅí~åÖäÉ 34 PKT m~ê~ääÉäçÖê~ã 35 PKU oÜçãÄìë 36 PKV qê~éÉòçáÇ 37 PKNM fëçëÅÉäÉë qê~éÉòçáÇ 38 PKNN fëçëÅÉäÉë qê~éÉòçáÇ ïáíÜ fåëÅêáÄÉÇ `áêÅäÉ 40 PKNO qê~éÉòçáÇ ïáíÜ fåëÅêáÄÉÇ `áêÅäÉ 41


iv

PKNP háíÉ 42 PKNQ `óÅäáÅ nì~Çêáä~íÉê~ä 43 PKNR q~åÖÉåíá~ä nì~Çêáä~íÉê~ä 45 PKNS dÉåÉê~ä nì~Çêáä~íÉê~ä 46 PKNT oÉÖìä~ê eÉñ~Öçå 47 PKNU oÉÖìä~ê mçäóÖçå 48 PKNV `áêÅäÉ 50 PKOM pÉÅíçê çÑ ~ `áêÅäÉ 53 PKON pÉÖãÉåí çÑ ~ `áêÅäÉ 54 PKOO `ìÄÉ 55 PKOP oÉÅí~åÖìä~ê m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ 56 PKOQ mêáëã 57 PKOR oÉÖìä~ê qÉíê~ÜÉÇêçå 58 PKOS oÉÖìä~ê móê~ãáÇ 59 PKOT cêìëíìã çÑ ~ oÉÖìä~ê móê~ãáÇ 61 PKOU oÉÅí~åÖìä~ê oáÖÜí tÉÇÖÉ 62 PKOV mä~íçåáÅ pçäáÇë 63 PKPM oáÖÜí `áêÅìä~ê `óäáåÇÉê 66 PKPN oáÖÜí `áêÅìä~ê `óäáåÇÉê ïáíÜ ~å lÄäáèìÉ mä~åÉ c~ÅÉ 68 PKPO oáÖÜí `áêÅìä~ê `çåÉ 69 PKPP cêìëíìã çÑ ~ oáÖÜí `áêÅìä~ê `çåÉ 70 PKPQ péÜÉêÉ 72 PKPR péÜÉêáÅ~ä `~é 72 PKPS péÜÉêáÅ~ä pÉÅíçê 73 PKPT péÜÉêáÅ~ä pÉÖãÉåí 74 PKPU péÜÉêáÅ~ä tÉÇÖÉ 75 PKPV bääáéëçáÇ 76 PKQM `áêÅìä~ê qçêìë 78 4 qofdlkljbqov QKN o~Çá~å ~åÇ aÉÖêÉÉ jÉ~ëìêÉë çÑ ^åÖäÉë 80 QKO aÉÑáåáíáçåë ~åÇ dê~éÜë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 81 QKP páÖåë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 86 QKQ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë çÑ `çããçå ^åÖäÉë 87 QKR jçëí fãéçêí~åí cçêãìä~ë 88


v

QKS oÉÇìÅíáçå cçêãìä~ë 89 QKT mÉêáçÇáÅáíó çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 90 QKU oÉä~íáçåë ÄÉíïÉÉå qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 90 QKV ^ÇÇáíáçå ~åÇ pìÄíê~Åíáçå cçêãìä~ë 91 QKNM açìÄäÉ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 92 QKNN jìäíáéäÉ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 93 QKNO e~äÑ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 94 QKNP e~äÑ ^åÖäÉ q~åÖÉåí fÇÉåíáíáÉë 94 QKNQ qê~åëÑçêãáåÖ çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ bñéêÉëëáçåë íç mêçÇìÅí 95 QKNR qê~åëÑçêãáåÖ çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ bñéêÉëëáçåë íç pìã 97 QKNS mçïÉêë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 98 QKNT dê~éÜë çÑ fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 99 QKNU mêáåÅáé~ä s~äìÉë çÑ fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 102 QKNV oÉä~íáçåë ÄÉíïÉÉå fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 103 QKOM qêáÖçåçãÉíêáÅ bèì~íáçåë 106 QKON oÉä~íáçåë íç eóéÉêÄçäáÅ cìåÅíáçåë 106 5 j^qof`bp ^ka abqbojfk^kqp RKN aÉíÉêãáå~åíë 107 RKO mêçéÉêíáÉë çÑ aÉíÉêãáå~åíë 109 RKP j~íêáÅÉë 110 RKQ léÉê~íáçåë ïáíÜ j~íêáÅÉë 111 RKR póëíÉãë çÑ iáåÉ~ê bèì~íáçåë 114 6 sb`qlop SKN sÉÅíçê `ççêÇáå~íÉë 118 SKO sÉÅíçê ^ÇÇáíáçå 120 SKP sÉÅíçê pìÄíê~Åíáçå 122 SKQ pÅ~äáåÖ sÉÅíçêë 122 SKR pÅ~ä~ê mêçÇìÅí 123 SKS sÉÅíçê mêçÇìÅí 125 SKT qêáéäÉ mêçÇìÅí 127 7 ^k^ivqf` dbljbqov TKN låÉ -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 130


vi

TKO qïç -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 131 TKP píê~áÖÜí iáåÉ áå mä~åÉ 139 TKQ `áêÅäÉ 149 TKR bääáéëÉ 152 TKS eóéÉêÄçä~ 154 TKT m~ê~Äçä~ 158 TKU qÜêÉÉ -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 161 TKV mä~åÉ 165 TKNM píê~áÖÜí iáåÉ áå pé~ÅÉ 175 TKNN nì~ÇêáÅ pìêÑ~ÅÉë 180 TKNO péÜÉêÉ 189 8 afccbobkqfî `î`rirp UKN cìåÅíáçåë ~åÇ qÜÉáê dê~éÜë 191 UKO iáãáíë çÑ cìåÅíáçåë 208 UKP aÉÑáåáíáçå ~åÇ mêçéÉêíáÉë çÑ íÜÉ aÉêáî~íáîÉ 209 UKQ q~ÄäÉ çÑ aÉêáî~íáîÉë 211 UKR eáÖÜÉê lêÇÉê aÉêáî~íáîÉë 215 UKS ^ééäáÅ~íáçåë çÑ aÉêáî~íáîÉ 217 UKT aáÑÑÉêÉåíá~ä 221 UKU jìäíáî~êá~ÄäÉ cìåÅíáçåë 222 UKV aáÑÑÉêÉåíá~ä léÉê~íçêë 225 9 fkqbdoî `î`rirp VKN fåÇÉÑáåáíÉ fåíÉÖê~ä 227 VKO fåíÉÖê~äë çÑ o~íáçå~ä cìåÅíáçåë 228 VKP fåíÉÖê~äë çÑ fêê~íáçå~ä cìåÅíáçåë 231 VKQ fåíÉÖê~äë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 237 VKR fåíÉÖê~äë çÑ eóéÉêÄçäáÅ cìåÅíáçåë 241 VKS fåíÉÖê~äë çÑ bñéçåÉåíá~ä ~åÇ içÖ~êáíÜãáÅ cìåÅíáçåë 242 VKT oÉÇìÅíáçå cçêãìä~ë 243 VKU aÉÑáåáíÉ fåíÉÖê~ä 247 VKV fãéêçéÉê fåíÉÖê~ä 253 VKNM açìÄäÉ fåíÉÖê~ä 257 VKNN qêáéäÉ fåíÉÖê~ä 269


vii

VKNO iáåÉ fåíÉÖê~ä 275 VKNP pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä 285 10 afccbobkqf^i bnr^qflkp NMKN cáêëí lêÇÉê lêÇáå~êó aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 295 NMKO pÉÅçåÇ lêÇÉê lêÇáå~êó aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 298 NMKP pçãÉ m~êíá~ä aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 302 11 pbofbp NNKN ^êáíÜãÉíáÅ pÉêáÉë 304 NNKO dÉçãÉíêáÅ pÉêáÉë 305 NNKP pçãÉ cáåáíÉ pÉêáÉë 305 NNKQ fåÑáåáíÉ pÉêáÉë 307 NNKR mêçéÉêíáÉë çÑ `çåîÉêÖÉåí pÉêáÉë 307 NNKS `çåîÉêÖÉåÅÉ qÉëíë 308 NNKT ^äíÉêå~íáåÖ pÉêáÉë 310 NNKU mçïÉê pÉêáÉë 311 NNKV aáÑÑÉêÉåíá~íáçå ~åÇ fåíÉÖê~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë 312 NNKNM q~óäçê ~åÇ j~Åä~ìêáå pÉêáÉë 313 NNKNN mçïÉê pÉêáÉë bñé~åëáçåë Ñçê pçãÉ cìåÅíáçåë 314 NNKNO _áåçãá~ä pÉêáÉë 316 NNKNP cçìêáÉê pÉêáÉë 316 12 mol_^_fifqv NOKN mÉêãìí~íáçåë ~åÇ `çãÄáå~íáçåë 318 NOKO mêçÄ~Äáäáíó cçêãìä~ë 319


1

Chapter 1

Number Sets

1.1 Set Identities

pÉíëW ^I _I `råáîÉêë~ä ëÉíW f`çãéäÉãÉåí W ^′mêçéÉê ëìÄëÉíW _^⊂bãéíó ëÉíW ∅råáçå çÑ ëÉíëW _^∪fåíÉêëÉÅíáçå çÑ ëÉíëW _^∩aáÑÑÉêÉåÅÉ çÑ ëÉíëW _y^

1. f^⊂

2. ^^⊂

3. _^ = áÑ _^⊂ ~åÇ ^_⊂ .

4. bãéíó pÉí^⊂∅

5. råáçå çÑ pÉíë{ }_ñçê^ñöñ_^` ∈∈=∪=


CHAPTER 1. NUMBER SETS

2

Figure 1.

6. `çããìí~íáîáíó^__^ ∪=∪

7. ^ëëçÅá~íáîáíó( ) ( ) `_^`_^ ∪∪=∪∪

8. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ pÉíë{ }_ñ~åÇ^ñöñ_^` ∈∈=∪=

Figure 2.

9. `çããìí~íáîáíó^__^ ∩=∩

10. ^ëëçÅá~íáîáíó( ) ( ) `_^`_^ ∩∩=∩∩



3

11. aáëíêáÄìíáîáíó( ) ( ) ( )`^_^`_^ ∪∩∪=∩∪ I( ) ( ) ( )`^_^`_^ ∩∪∩=∪∩ K

12. fÇÉãéçíÉåÅó^^^ =∩ I^^^ =∪

13. açãáå~íáçå∅=∅∩^ I

ff^ =∪

14. fÇÉåíáíó^^ =∅∪ I

^f^ =∩

15. `çãéäÉãÉåí{ }^ñöfñ^ ∉∈=′

16. `çãéäÉãÉåí çÑ fåíÉêëÉÅíáçå ~åÇ råáçå f^^ =′∪ I∅=′∩^^

17. aÉ jçêÖ~å∞ë i~ïë

( ) _^_^ ′∩′=′∪ I

( ) _^_^ ′∪′=′∩

18. aáÑÑÉêÉåÅÉ çÑ pÉíë { }^ñ~åÇ_ñöñ^y_` ∉∈==



4

Figure 3.

19. ( )_^y_^y_ ∩=

20. ^_^y_ ′∩=

21. ∅=^y^

22. ^_y^ = áÑ ∅=∩_^ .

Figure 4.

23. ( ) ( ) ( )`_y`^`_y^ ∩∩=∩ 24. ^yf^ =′ 25. `~êíÉëá~å mêçÇìÅí

( ){ }_ó~åÇ^ñöóIñ_^` ∈∈=×=



5

1.2 Sets of Numbers

k~íìê~ä åìãÄÉêëW ktÜçäÉ åìãÄÉêëW Mk

fåíÉÖÉêëW wmçëáíáîÉ áåíÉÖÉêëW +wkÉÖ~íáîÉ áåíÉÖÉêëW −wo~íáçå~ä åìãÄÉêëW noÉ~ä åìãÄÉêëW o`çãéäÉñ åìãÄÉêëW `

26. k~íìê~ä kìãÄÉêë `çìåíáåÖ åìãÄÉêëW { }KIPIOINk = K

27. tÜçäÉ kìãÄÉêë

`çìåíáåÖ åìãÄÉêë ~åÇ òÉêçW { }KIPIOINIMkM = K

28. fåíÉÖÉêë tÜçäÉ åìãÄÉêë ~åÇ íÜÉáê çééçëáíÉë ~åÇ òÉêçW

{ }KIPIOINkw ==+ I

{ }NIOIPIw −−−=− K I

{ } { }KK IPIOINIMINIOIPIwMww −−−=∪∪= +− K

29. o~íáçå~ä kìãÄÉêë oÉéÉ~íáåÖ çê íÉêãáå~íáåÖ ÇÉÅáã~äëW

≠∈∈== MÄ~åÇwÄ~åÇw~~åÇ

Ä

~ñöñn K

30. fêê~íáçå~ä kìãÄÉêë kçåêÉéÉ~íáåÖ ~åÇ åçåíÉêãáå~íáåÖ ÇÉÅáã~äëK



6

31. oÉ~ä kìãÄÉêëråáçå çÑ ê~íáçå~ä ~åÇ áêê~íáçå~ä åìãÄÉêëW oK

32. `çãéäÉñ kìãÄÉêë { }oó~åÇoñöáóñ` ∈∈+= I

ïÜÉêÉ á áë íÜÉ áã~Öáå~êó ìåáíK

33. `onwk ⊂⊂⊂⊂

Figure 5.



7

1.3 Basic Identities

oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Å

34. ^ÇÇáíáîÉ fÇÉåíáíó~M~ =+

35. ^ÇÇáíáîÉ fåîÉêëÉ( ) M~~ =−+

36. `çããìí~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå~ÄÄ~ +=+

37. ^ëëçÅá~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå( ) ( )ÅÄ~ÅÄ~ ++=++

38. aÉÑáåáíáçå çÑ pìÄíê~Åíáçå( )Ä~Ä~ −+=−

39. jìäíáéäáÅ~íáîÉ fÇÉåíáíó~N~ =⋅

40. jìäíáéäáÅ~íáîÉ fåîÉêëÉ

N~

N~ =⋅ I M~ ≠

41. jìäíáéäáÅ~íáçå qáãÉë M MM~ =⋅

42. `çããìí~íáîÉ çÑ jìäíáéäáÅ~íáçå~ÄÄ~ ⋅=⋅



8

43. ^ëëçÅá~íáîÉ çÑ jìäíáéäáÅ~íáçå( ) ( )ÅÄ~ÅÄ~ ⋅⋅=⋅⋅

44. aáëíêáÄìíáîÉ i~ï( ) ~Å~ÄÅÄ~ +=+

45. aÉÑáåáíáçå çÑ aáîáëáçå

Ä

N~

Ä

~⋅=

1.4 Complex Numbers

k~íìê~ä åìãÄÉêW åfã~Öáå~êó ìåáíW á`çãéäÉñ åìãÄÉêW òoÉ~ä é~êíW ~I Åfã~Öáå~êó é~êíW ÄáI ÇájçÇìäìë çÑ ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêW êI Nê I Oê^êÖìãÉåí çÑ ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêW ϕ I Nϕ I Oϕ

ááN = ááR = áá NåQ =+

NáO −= NáS −= Ná OåQ −=+

ááP −= ááT −= áá PåQ −=+

46.

NáQ = NáU = Ná åQ =

47. Äá~ò +=

48. `çãéäÉñ mä~åÉ



9

Figure 6.

49. ( ) ( ) ( ) ( )áÇÄÅ~ÇáÅÄá~ +++=+++

50. ( ) ( ) ( ) ( )áÇÄÅ~ÇáÅÄá~ −+−=+−+

51. ( )( ) ( ) ( )áÄÅ~ÇÄÇ~ÅÇáÅÄá~ ++−=++

52. áÇÅ

~ÇÄÅ

ÇÅ

ÄÇ~Å

ÇáÅ

Äá~OOOO⋅

+−

+++

=++

53. `çåàìÖ~íÉ `çãéäÉñ kìãÄÉêë

Äá~Äá~|||||||

−=+

54. ϕ= Åçëê~ I ϕ= ëáåêÄ



10

Figure 7.

55. mçä~ê mêÉëÉåí~íáçå çÑ `çãéäÉñ kìãÄÉêë( )ϕ+ϕ=+ ëáåáÅçëêÄá~

56. jçÇìäìë ~åÇ ^êÖìãÉåí çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉêfÑ Äá~ + áë ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêI íÜÉå

OO Ä~ê += EãçÇìäìëFI

~

Ä~êÅí~å=ϕ E~êÖìãÉåíFK

57. mêçÇìÅí áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå( ) ( )OOONNNON ëáåáÅçëêëáåáÅçëêòò ϕ+ϕ⋅ϕ+ϕ=⋅

( ) ( )[ ]ONONON ëáåáÅçëêê ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=

58. `çåàìÖ~íÉ kìãÄÉêë áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå

( ) ( ) ( )[ ]ϕ−+ϕ−=ϕ+ϕ ëáåáÅçëêëáåáÅçëê|||||||||||||||||||||

59. fåîÉêëÉ çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå

( ) ( ) ( )[ ]ϕ−+ϕ−=ϕ+ϕ

ëáåáÅçëê

N

ëáåáÅçëê

N



11

60. nìçíáÉåí áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå( )( ) ( ) ( )[ ]ONON

O

N

OOO

NNN

O

N ëáåáÅçëê

ê

ëáåáÅçëê

ëáåáÅçëê

ò

òϕ−ϕ+ϕ−ϕ=

ϕ+ϕϕ+ϕ

=

61. mçïÉê çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê

( )[ ] ( ) ( )[ ]ϕ+ϕ=ϕ+ϕ= åëáåáåÅçëêëáåáÅçëêò ååå

62. cçêãìä~ ±aÉ jçáîêÉ≤

( ) ( ) ( )ϕ+ϕ=ϕ+ϕ åëáåáåÅçëëáåáÅçë å

63. kíÜ oççí çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê

( )

π+ϕ

+π+ϕ

=ϕ+ϕ=å

âOëáåá

å

âOÅçëêëáåáÅçëêò ååå I

ïÜÉêÉNåIIOINIMâ −= K K

64. bìäÉê∞ë cçêãìä~ñëáåáñÅçëÉáñ +=


12

Chapter 2

Algebra

2.1 Factoring Formulas

oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Åk~íìê~ä åìãÄÉêW å

65. ( )( )Ä~Ä~Ä~ OO −+=−

66. ( )( )OOPP Ä~Ä~Ä~Ä~ ++−=−

67. ( )( )OOPP Ä~Ä~Ä~Ä~ +−+=+

68. ( )( ) ( )( )( )OOOOOOQQ Ä~Ä~Ä~Ä~Ä~Ä~ ++−=+−=−

69. ( )( )QPOOPQRR Ä~ÄÄ~Ä~~Ä~Ä~ ++++−=−

70. ( )( )QPOOPQRR Ä~ÄÄ~Ä~~Ä~Ä~ +−+−+=+

71. fÑ å áë çÇÇI íÜÉå( )( )NåOåOPåOåNååå Ä~ÄÄ~Ä~~Ä~Ä~ −−−−− +−−+−+=+ K K

72. fÑ å áë ÉîÉåI íÜÉå( )( )NåOåOPåOåNååå Ä~ÄÄ~Ä~~Ä~Ä~ −−−−− +++++−=− K I


CHAPTER 2. ALGEBRA

13

( )( )NåOåOPåOåNååå Ä~ÄÄ~Ä~~Ä~Ä~ −−−−− −+−+−+=+ K K

2.2 Product Formulas oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅtÜçäÉ åìãÄÉêëW åI â

73. ( ) OOO Ä~ÄO~Ä~ +−=−

74. ( ) OOO Ä~ÄO~Ä~ ++=+

75. ( ) POOPP Ä~ÄPÄ~P~Ä~ −+−=−

76. ( ) POOPP Ä~ÄPÄ~P~Ä~ +++=+

77. ( ) QPOOPQQ Ä~ÄQÄ~SÄ~Q~Ä~ +−+−=−

78. ( ) QPOOPQQ Ä~ÄQÄ~SÄ~Q~Ä~ ++++=+

79. _áåçãá~ä cçêãìä~

( ) IÄ`~Ä`Ä~`Ä~`~`Ä~ åå

åNåNå

åOOåO

åNåN

ååM

åå +++++=+ −−

−− K

ïÜÉêÉ ( )>âå>â

>å`â

å

−= ~êÉ íÜÉ Äáåçãá~ä ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK

80. ( ) ÄÅO~ÅO~ÄOÅÄ~ÅÄ~ OOOO +++++=++

81. ( ) ++++++=+++++ OOOOOO îìÅÄ~îìÅÄ~ KK

( )ìîÄîÄìÄÅ~î~ì~Å~ÄO +++++++++++ KKK


CHAPTER 2. ALGEBRA

14

2.3 Powers

_~ëÉë EéçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëFW ~I ÄmçïÉêë Eê~íáçå~ä åìãÄÉêëFW åI ã

82. åãåã ~~~ +=

83. åã

å

ã

~~

~ −=

84. ( ) ããã Ä~~Ä =

85. ã

ãã

Ä

~

Ä

~=

86. ( ) ãååã ~~ =

87. N~M = I M~ ≠

88. N~N =

89. ã

ã

~

N~ =−

90. å ãå

ã

~~ =


CHAPTER 2. ALGEBRA

15

2.4 Roots

_~ëÉëW ~I ÄmçïÉêë Eê~íáçå~ä åìãÄÉêëFW åI ã

MÄI~ ≥ Ñçê ÉîÉå êççíë E âOå = I kâ∈ F

91. ååå Ä~~Ä =

92. åã åããå Ä~Ä~ =

93. å

å

å

Ä

~

Ä

~= I MÄ ≠

94. åãå

ã

åã å

åã ã

ã

å

Ä

~

Ä

~

Ä

~== I MÄ ≠ K

95. ( ) å ãéé

å ã ~~ =

96. ( ) ~~åå =

97. åé ãéå ã ~~ =

98. å

ãå ã ~~ =

99. ãåã å ~~ =

100. ( ) å ããå ~~ =


CHAPTER 2. ALGEBRA

16

101. ~

~

~

N å Nå

å

−

= I M~ ≠ K

102. O

Ä~~

O

Ä~~Ä~

OO −−±

−+=±

103. Ä~

Ä~

Ä~

N

−=

±m

2.5 Logarithms

mçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëW ñI óI ~I ÅI âk~íìê~ä åìãÄÉêW å

104. aÉÑáåáíáçå çÑ içÖ~êáíÜãñäçÖó ~= áÑ ~åÇ çåäó áÑ ó~ñ = I M~ > I N~ ≠ K

105. MNäçÖ~ =

106. N~äçÖ~ =

107.

<∞+>∞−

=N~áÑ

N~áÑMäçÖ~

108. ( ) óäçÖñäçÖñóäçÖ ~~~ +=

109. óäçÖñäçÖó

ñäçÖ ~~~ −=

CHAPTER 2. ALGEBRA

17

110. ( ) ñäçÖåñäçÖ ~å

~ =

111. ñäçÖå

NñäçÖ ~

å~ =

112. ÅäçÖñäçÖ~äçÖ

ñäçÖñäçÖ ~Å

Å

Å~ ⋅== I MÅ > I NÅ ≠ K

113. ~äçÖ

NÅäçÖ

Å~ =

114. ñäçÖ~~ñ =

115. içÖ~êáíÜã íç _~ëÉ NMñäçÖñäçÖNM =

116. k~íìê~ä içÖ~êáíÜãñäåñäçÖÉ = I

ïÜÉêÉ KTNUOUNUOUKOâ

NNäáãÉ

â

â=

+=

∞→

117. ñäåQPQOVQKMñäåNMäå

NñäçÖ ==

118. ñäçÖPMORURKOñäçÖÉäçÖ

Nñäå ==


CHAPTER 2. ALGEBRA

18

2.6 Equations

oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI éI èI ìI îpçäìíáçåëW Nñ I Oñ I Nó I Oó I Pó

119. iáåÉ~ê bèì~íáçå áå låÉ s~êá~ÄäÉ

MÄ~ñ =+ I~

Äñ −= K

120. nì~Çê~íáÅ bèì~íáçå

MÅÄñ~ñO =++ I~O

~ÅQÄÄñ

O

OIN

−±−= K

121. aáëÅêáãáå~åí

~ÅQÄa O −=

122. sáÉíÉ∞ë cçêãìä~ë

fÑ MèéññO =++ I íÜÉå

=−=+

èññ

éññ

ON

ON K

123. MÄñ~ñ O =+ I MñN = I~

ÄñO −= K

124. MÅ~ñ O =+ I~

Åñ OIN −±= K

125. `ìÄáÅ bèì~íáçåK `~êÇ~åç∞ë cçêãìä~KMèéóóP =++ I


CHAPTER 2. ALGEBRA

19

îìóN += I ( ) ( ) áîìO

Pîì

O

Nó PIO +±+−= I

ïÜÉêÉ

P

OO

P

é

O

è

O

èì

+

+−= I P

OO

P

é

O

è

O

èî

+

−−= K

2.7 Inequalities s~êá~ÄäÉëW ñI óI ò

oÉ~ä åìãÄÉêëW

åPON ~II~I~I~

ÇIÅIÄI~

KI ãI å

aÉíÉêãáå~åíëW aI ña I óa I òa

126. fåÉèì~äáíáÉëI fåíÉêî~ä kçí~íáçåë ~åÇ dê~éÜë

fåÉèì~äáíó fåíÉêî~ä kçí~íáçå dê~éÜÄñ~ ≤≤ [ ]ÄI~

Äñ~ ≤< ( ]ÄI~

Äñ~ <≤ [ )ÄI~

Äñ~ << ( )ÄI~

Äñ ≤<∞− IÄñ ≤

( ]ÄI∞−

Äñ <<∞− IÄñ <

( )ÄI∞−

∞<≤ ñ~ I~ñ ≥

[ )∞I~

∞<< ñ~ I~ñ >

( )∞I~

CHAPTER 2. ALGEBRA

20

127. fÑ Ä~ > I íÜÉå ~Ä < K

128. fÑ Ä~ > I íÜÉå MÄ~ >− çê M~Ä <− K

129. fÑ Ä~ > I íÜÉå ÅÄÅ~ +>+ K

130. fÑ Ä~ > I íÜÉå ÅÄÅ~ −>− K

131. fÑ Ä~ > ~åÇ ÇÅ > I íÜÉå ÇÄÅ~ +>+ K

132. fÑ Ä~ > ~åÇ ÇÅ > I íÜÉå ÅÄÇ~ −>− K

133. fÑ Ä~ > ~åÇ Mã > I íÜÉå ãÄã~ > K

134. fÑ Ä~ > ~åÇ Mã > I íÜÉåã

Ä

ã

~> K

135. fÑ Ä~ > ~åÇ Mã ~åÇ Mã I íÜÉå åå Ä~ < K

138. fÑ Ä~M << ~åÇ Må K

139. fÑ Ä~M < I MÄ > X ~å Éèì~äáíó áë î~äáÇ çåäó áÑ Ä~ = K

141. O~

N~ ≥+ I ïÜÉêÉ M~ > X ~å Éèì~äáíó í~âÉë éä~ÅÉ çåäó ~í N~ = K

CHAPTER 2. ALGEBRA

21

142. å

~~~~~~ åONå

åON

+++≤

KK I ïÜÉêÉ M~II~I~ åON >K K

143. fÑ MÄ~ñ >+ ~åÇ M~ > I íÜÉå~

Äñ −> K

144. fÑ MÄ~ñ >+ ~åÇ M~ ++

M~ > M~ <

Ma>

Nññ ON ñññ <<

Ma=

ññN ∅∈ñ

Ma<

∞<<∞− ñ ∅∈ñ

CHAPTER 2. ALGEBRA

22

146. Ä~Ä~ +≤+

147. fÑ ~ñ K

148. fÑ ~ñ > I íÜÉå ~ñ −< ~åÇ ~ñ > I ïÜÉêÉ M~ > K

149. fÑ ~ñO K

150. fÑ ~ñO > I íÜÉå ~ñ > I ïÜÉêÉ M~ > K

151. fÑ( )( ) MñÖ

ñÑ> I íÜÉå

( ) ( )( )

≠>⋅

MñÖ

MñÖñÑK

152. ( )( ) MñÖ

ñÑ< I íÜÉå

( ) ( )( )

≠<⋅

MñÖ

MñÖñÑK

2.8 Compound Interest Formulas

cìíìêÉ î~äìÉW ^fåáíá~ä ÇÉéçëáíW `^ååì~ä ê~íÉ çÑ áåíÉêÉëíW êkìãÄÉê çÑ óÉ~êë áåîÉëíÉÇW íkìãÄÉê çÑ íáãÉë ÅçãéçìåÇÉÇ éÉê óÉ~êW å

153. dÉåÉê~ä `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~åí

å

êN`^

+=

CHAPTER 2. ALGEBRA

23

154. páãéäáÑáÉÇ `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~fÑ áåíÉêÉëí áë ÅçãéçìåÇÉÇ çåÅÉ éÉê óÉ~êI íÜÉå íÜÉ éêÉîáçìëÑçêãìä~ ëáãéäáÑáÉë íçW

( )íêN`^ += K

155. `çåíáåìçìë `çãéçìåÇ fåíÉêÉëífÑ áåíÉêÉëí áë ÅçãéçìåÇÉÇ Åçåíáåì~ääó E ∞→å FI íÜÉå

êí`É^ = K


24

Chapter 3

Geometry

3.1 Right Triangle

iÉÖë çÑ ~ êáÖÜí íêá~åÖäÉW ~I ÄeóéçíÉåìëÉW Å^äíáíìÇÉW ÜjÉÇá~åëW ~ã I Äã I Åã

^åÖäÉëW α Iβo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê^êÉ~W p

Figure 8.

156. °=β+α VM


CHAPTER 3. GEOMETRY

25

157. β==α ÅçëÅ

~ëáå

158. β==α ëáåÅ

ÄÅçë

159. β==α ÅçíÄ

~í~å

160. β==α í~å~

ÄÅçí

161. β==α ÉÅÅçëÄ

ÅëÉÅ

162. β==α ëÉÅ~

ÅÉÅÅçë

163. móíÜ~ÖçêÉ~å qÜÉçêÉãOOO ÅÄ~ =+

164. ÑÅ~O = I ÖÅÄO = I

ïÜÉêÉ Ñ ~åÇ Å ~êÉ éêçàÉÅíáçåë çÑ íÜÉ äÉÖë ~ ~åÇ ÄI êÉëéÉÅ-íáîÉäóI çåíç íÜÉ ÜóéçíÉåìëÉ ÅK

Figure 9.


CHAPTER 3. GEOMETRY

26

165. ÑÖÜO = IïÜÉêÉ Ü áë íÜÉ ~äíáíìÇÉ Ñêçã íÜÉ êáÖÜí ~åÖäÉK

166. Q

~Äã

OOO

~ −= IQ

Ä~ã

OOO

Ä −= I

ïÜÉêÉ ~ã ~åÇ Äã ~êÉ íÜÉ ãÉÇá~åë íç íÜÉ äÉÖë ~ ~åÇ ÄK

Figure 10.

167. O

ÅãÅ = I

ïÜÉêÉ Åã áë íÜÉ ãÉÇá~å íç íÜÉ ÜóéçíÉåìëÉ ÅK

168. ÅãO

Åo ==

169. ÅÄ~

~Ä

O

ÅÄ~ê

++=

−+=

170. ÅÜ~Ä =


CHAPTER 3. GEOMETRY

27

171. O

ÅÜ

O

~Äp ==

3.2 Isosceles Triangle

_~ëÉW ~iÉÖëW Ä_~ëÉ ~åÖäÉW βsÉêíÉñ ~åÖäÉW α^äíáíìÇÉ íç íÜÉ Ä~ëÉW ÜmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 11.

172. O

VMα

−°=β

173. Q

~ÄÜ

OOO −=


CHAPTER 3. GEOMETRY

28

174. ÄO~i +=

175. α== ëáåO

Ä

O

~Üp

O

3.3 Equilateral Triangle

páÇÉ çÑ ~ Éèìáä~íÉê~ä íêá~åÖäÉW ~^äíáíìÇÉW Üo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 12.

176. O

P~Ü =


CHAPTER 3. GEOMETRY

29

177. P

P~Ü

P

Oo ==

178. O

o

S

P~Ü

P

Nê ===

179. ~Pi =

180. Q

P~

O

~Üp

O

==

3.4 Scalene Triangle E^ íêá~åÖäÉ ïáíÜ åç íïç ëáÇÉë Éèì~äF

páÇÉë çÑ ~ íêá~åÖäÉW ~I ÄI Å

pÉãáéÉêáãÉíÉêWO

ÅÄ~é

++=

^åÖäÉë çÑ ~ íêá~åÖäÉW γβα II^äíáíìÇÉë íç íÜÉ ëáÇÉë ~I ÄI ÅW ÅÄ~ ÜIÜIÜ

jÉÇá~åë íç íÜÉ ëáÇÉë ~I ÄI ÅW ÅÄ~ ãIãIã

_áëÉÅíçêë çÑ íÜÉ ~åÖäÉë γβα II W ÅÄ~ íIíIí

o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê^êÉ~W p


CHAPTER 3. GEOMETRY

30

Figure 13.

181. °=γ+β+α NUM

182. ÅÄ~ >+ I~ÅÄ >+ IÄÅ~ >+ K

183. ÅÄ~ <− I

~ÅÄ <− I

ÄÅ~ <− K

184. jáÇäáåÉ

O

~è = I ~ööè K

Figure 14.

CHAPTER 3. GEOMETRY

31

185. i~ï çÑ `çëáåÉë

α−+= ÅçëÄÅOÅÄ~ OOO I

β−+= Åçë~ÅOÅ~Ä OOO I

γ−+= Åçë~ÄOÄ~Å OOO K

186. i~ï çÑ páåÉë

oOëáå

Å

ëáå

Ä

ëáå

~=

γ=

β=

αI

ïÜÉêÉ o áë íÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉK

187. pQ

~ÄÅ

ÜO

~Ä

ÜO

~Å

ÜO

ÄÅ

ëáåO

Å

ëáåO

Ä

ëáåO

~o

ÅÄ~

====γ

=β

=α

=

188. ( )( )( )é

ÅéÄé~éêO −−−= I

ÅÄ~ Ü

N

Ü

N

Ü

N

ê

N++= K

189. ( )( )ÄÅ

ÅéÄé

Oëáå

−−=

αI

( )ÄÅ

~éé

OÅçë

−=

αI

( )( )( )~éé

ÅéÄé

Oí~å

−−−

=α

K

190. ( )( )( )ÅéÄé~éé~

OÜ~ −−−= I

( )( )( )ÅéÄé~ééÄ

OÜÄ −−−= I

( )( )( )ÅéÄé~ééÅ

OÜÅ −−−= K


CHAPTER 3. GEOMETRY

32

191. β=γ= ëáåÅëáåÄÜ~ I

α=γ= ëáåÅëáå~ÜÄ I

α=β= ëáåÄëáå~ÜÅ K

192. Q

~

O

ÅÄã

OOOO~ −

+= I

Q

Ä

O

Å~ã

OOOOÄ −

+= I

Q

Å

O

Ä~ã

OOOOÅ −

+= K

Figure 15.

193. ~ãP

O^j = I Äã

P

O_j = I Åã

P

O`j = EcáÖKNRFK

194. ( )( )O

O~

ÅÄ

~éÄÅéQí

+−

= I

( )( )O

OÄ

Å~

Äé~ÅéQí

+−

= I

( )( )O

OÅ

Ä~

Åé~ÄéQí

+−

= K


CHAPTER 3. GEOMETRY

33

195. O

ÅÜ

O

ÄÜ

O

~Üp ÅÄ~ === I

O

ëáåÄÅ

O

ëáå~Å

O

ëáå~Äp

α=

β=

γ= I

( )( )( )ÅéÄé~éép −−−= EeÉêçå∞ë cçêãìä~FI

éêp = I

oQ

~ÄÅp = I

γβα= ëáåëáåëáåoOp O I

Oí~å

Oí~å

Oí~åép O γβα

= K

3.5 Square páÇÉ çÑ ~ ëèì~êÉW ~aá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 16.


CHAPTER 3. GEOMETRY

34

196. O~Ç =

197. O

O~

O

Ço ==

198. O

~ê =

199. ~Qi =

200. O~p =

3.6 Rectangle

páÇÉë çÑ ~ êÉÅí~åÖäÉW ~I Äaá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 17.

201. OO Ä~Ç +=


CHAPTER 3. GEOMETRY

35

202. O

Ço =

203. ( )Ä~Oi +=

204. ~Äp =

3.7 Parallelogram

páÇÉë çÑ ~ é~ê~ääÉäçÖê~ãW ~I Äaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ`çåëÉÅìíáîÉ ~åÖäÉëW βαI^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ^äíáíìÇÉW ÜmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 18.

205. °=β+α NUM

206. ( )OOOO

ON Ä~OÇÇ +=+


CHAPTER 3. GEOMETRY

36

207. β=α= ëáåÄëáåÄÜ

208. ( )Ä~Oi +=

209. α== ëáå~Ä~Üp I

ϕ= ëáåÇÇO

Np ON K

3.8 Rhombus

páÇÉ çÑ ~ êÜçãÄìëW ~aá~Öçå~äëW ON ÇIÇ`çåëÉÅìíáîÉ ~åÖäÉëW βαI^äíáíìÇÉW eo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 19.


CHAPTER 3. GEOMETRY

37

210. °=β+α NUM

211. OOO

ON ~QÇÇ =+

212. ~O

ÇÇëáå~Ü ON=α=

213. O

ëáå~

~Q

ÇÇ

O

Üê ON α

===

214. ~Qi =

215. α== ëáå~~Üp O I

ONÇÇO

Np = K

3.9 Trapezoid

_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I ÄjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Ü^êÉ~W p


CHAPTER 3. GEOMETRY

38

Figure 20.

216. O

Ä~è

+=

217. èÜÜO

Ä~p =⋅

+=

3.10 Isosceles Trapezoid

_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I ÄiÉÖW ÅjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Üaá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o^êÉ~W p


CHAPTER 3. GEOMETRY

39

Figure 21.

218. O

Ä~è

+=

219. OÅ~ÄÇ +=

220. ( )OO ~ÄQ

NÅÜ −−=

221. ( )( )Ä~ÅOÄ~ÅO

Å~ÄÅo

O

−++−+

=

222. èÜÜO

Ä~p =⋅

+=


CHAPTER 3. GEOMETRY

40

3.11 Isosceles Trapezoid with Inscribed Circle

_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I ÄiÉÖW ÅjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Üaá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 22.

223. ÅOÄ~ =+

224. ÅO

Ä~è =

+=

225. OOO ÅÜÇ +=


CHAPTER 3. GEOMETRY

41

226. O

~Ä

O

Üê ==

227. ~

ÄS

Ä

~

U

Ä~ÅÜ

ÜO

Å

~Ä

ÅN

O

Å

êQ

ÅÇ

ÜO

ÅÇo OO

O

+++

=+=+===

228. ( ) ÅQÄ~Oi =+=

229. ( )O

iêÅÜèÜ

O

~ÄÄ~Ü

O

Ä~p ===

+=⋅

+=

3.12 Trapezoid with Inscribed Circle

_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Äi~íÉê~ä ëáÇÉëW ÅI ÇjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Üaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p


CHAPTER 3. GEOMETRY

42

Figure 23.

230. ÇÅÄ~ +=+

231. O

ÇÅ

O

Ä~è

+=

+=

232. ( ) ( )ÇÅOÄ~Oi +=+=

233. èÜÜO

ÇÅÜ

O

Ä~p =⋅

+=⋅

+= I

ϕ= ëáåÇÇO

Np ON K

3.13 Kite

páÇÉë çÑ ~ âáíÉW ~I Äaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ^åÖäÉëW γβα IImÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p


CHAPTER 3. GEOMETRY

43

Figure 24.

234. °=γ+β+α PSMO

235. ( )Ä~Oi +=

236. O

ÇÇp ON=

3.14 Cyclic Quadrilateral páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Çaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕfåíÉêå~ä ~åÖäÉëW δγβα IIIo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é^êÉ~W p


CHAPTER 3. GEOMETRY

44

Figure 25.

237. °=δ+β=γ+α NUM

238. míçäÉãó∞ë qÜÉçêÉã

ONÇÇÄÇ~Å =+

239. ÇÅÄ~i +++=

240. ( )( )( )( )( )( )( )ÇéÅéÄé~é

ÅÇ~ÄÄÅ~ÇÄÇ~Å

Q

No

−−−−+++

= I

ïÜÉêÉO

ié = K

241. ϕ= ëáåÇÇO

Np ON I

( )( )( )( )ÇéÅéÄé~ép −−−−= I

ïÜÉêÉO

ié = K


CHAPTER 3. GEOMETRY

45

3.15 Tangential Quadrilateral

páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Çaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é^êÉ~W p

Figure 26.

242. ÇÄÅ~ +=+

243. ( ) ( )ÇÄOÅ~OÇÅÄ~i +=+=+++=

244. ( ) ( )

éO

éÄ~Ä~ÇÇê

OOOO

ON −+−−

= I

ïÜÉêÉO

ié = K


CHAPTER 3. GEOMETRY

46

245. ϕ== ëáåÇÇO

Néêp ON

3.16 General Quadrilateral

páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Çaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕfåíÉêå~ä ~åÖäÉëW δγβα IIImÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 27.

246. °=δ+γ+β+α PSM

247. ÇÅÄ~i +++=


CHAPTER 3. GEOMETRY

47

248. ϕ= ëáåÇÇO

Np ON

3.17 Regular Hexagon

páÇÉW ~fåíÉêå~ä ~åÖäÉW αpä~åí ÜÉáÖÜíW ão~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é^êÉ~W p

Figure 28.

249. °=α NOM

250. O

P~ãê ==


CHAPTER 3. GEOMETRY

48

251. ~o =

252. ~Si =

253. O

PP~éêp

O

== I

ïÜÉêÉO

ié = K

3.18 Regular Polygon

páÇÉW ~kìãÄÉê çÑ ëáÇÉëW åfåíÉêå~ä ~åÖäÉW αpä~åí ÜÉáÖÜíW ão~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é^êÉ~W p


CHAPTER 3. GEOMETRY

49

Figure 29.

254. °⋅−

=α NUMO

Oå

255. °⋅−

=α NUMO

Oå

256.

åëáåO

~o

π=

257. Q

~o

åí~åO

~ãê

OO −=

π==

258. å~i =

259. å

Oëáå

O

åop

O π= I

Q

~oééêp

OO −== I


CHAPTER 3. GEOMETRY

50

ïÜÉêÉO

ié = K

3.19 Circle

o~ÇáìëW oaá~ãÉíÉêW Ç`ÜçêÇW ~pÉÅ~åí ëÉÖãÉåíëW ÉI Ñq~åÖÉåí ëÉÖãÉåíW Ö`Éåíê~ä ~åÖäÉW αfåëÅêáÄÉÇ ~åÖäÉW βmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

260. O

ëáåoO~α

=

Figure 30.


CHAPTER 3. GEOMETRY

51

261. ONON ÄÄ~~ =

Figure 31.

262. NN ÑÑÉÉ =

Figure 32.

263. NO ÑÑÖ =


CHAPTER 3. GEOMETRY

52

Figure 33.

264. O

α=β

Figure 34.

265. ÇoOi π=π=

266. O

io

Q

Çop

OO =

π=π=


CHAPTER 3. GEOMETRY

53

3.20 Sector of a Circle

o~Çáìë çÑ ~ ÅáêÅäÉW o^êÅ äÉåÖíÜW ë`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ê~Çá~åëFW ñ`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ÇÉÖêÉÉëFW αmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 35.

267. oñë =

268. °απ

=NUM

oë

269. oOëi +=

270. °απ

===PSM

o

O

ño

O

oëp

OO


CHAPTER 3. GEOMETRY

54

3.21 Segment of a Circle

o~Çáìë çÑ ~ ÅáêÅäÉW o^êÅ äÉåÖíÜW ë`ÜçêÇW ~`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ê~Çá~åëFW ñ`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ÇÉÖêÉÉëFW αeÉáÖÜí çÑ íÜÉ ëÉÖãÉåíW ÜmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 36.

271. OÜÜoOO~ −=

272. OO ~oQO

NoÜ −−= I oÜ <

273. ~ëi +=

CHAPTER 3. GEOMETRY

55

274. ( )[ ] ( )ñëáåñO

oëáå

NUMO

oÜo~ëo

O

Np

OO

−=

α−

°απ

=−−= I

Ü~P

Op ≈ K

3.22 Cube

bÇÖÉW ~aá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉW êpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

Figure 37.

275. P~Ç =

276. O

~ê =


CHAPTER 3. GEOMETRY

56

277. O

P~o =

278. O~Sp =

279. P~s =

3.23 Rectangular Parallelepiped

bÇÖÉëW ~I ÄI Åaá~Öçå~äW ÇpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

Figure 38.

280. OOO ÅÄ~Ç ++=

281. ( )ÄÅ~Å~ÄOp ++=

282. ~ÄÅs =


CHAPTER 3. GEOMETRY

57

3.24 Prism

i~íÉê~ä ÉÇÖÉW äeÉáÖÜíW Üi~íÉê~ä ~êÉ~W ip^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _pqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

Figure 39.

283. _i pOpp += K

284. i~íÉê~ä ^êÉ~ çÑ ~ oáÖÜí mêáëã( )ä~~~~p åPONi ++++= K

285. i~íÉê~ä ^êÉ~ çÑ ~å lÄäáèìÉ mêáëãéäpi = I

ïÜÉêÉ é áë íÜÉ éÉêáãÉíÉê çÑ íÜÉ Åêçëë ëÉÅíáçåK


CHAPTER 3. GEOMETRY

58

286. Üps _=

287. `~î~äáÉêáDë mêáåÅáéäÉdáîÉå íïç ëçäáÇë áåÅäìÇÉÇ ÄÉíïÉÉå é~ê~ääÉä éä~åÉëK fÑ ÉîÉêóéä~åÉ Åêçëë ëÉÅíáçå é~ê~ääÉä íç íÜÉ ÖáîÉå éä~åÉë Ü~ë íÜÉ ë~ãÉ~êÉ~ áå ÄçíÜ ëçäáÇëI íÜÉå íÜÉ îçäìãÉë çÑ íÜÉ ëçäáÇë ~êÉ Éèì~äK

3.25 Regular Tetrahedron

qêá~åÖäÉ ëáÇÉ äÉåÖíÜW ~eÉáÖÜíW Ü^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _ppìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

Figure 40.

288. ~P

OÜ =


CHAPTER 3. GEOMETRY

59

289. Q

~Pp

O

_ =

290. O~Pp =

291. OS

~Üp

P

Ns

P

_ == K

3.26 Regular Pyramid

páÇÉ çÑ Ä~ëÉW ~i~íÉê~ä ÉÇÖÉW ÄeÉáÖÜíW Üpä~åí ÜÉáÖÜíW ãkìãÄÉê çÑ ëáÇÉëW åpÉãáéÉêáãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW éo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉ çÑ Ä~ëÉW ê^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _pi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ipqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s


CHAPTER 3. GEOMETRY

60

Figure 41.

292. Q

~Äã

OO −=

293.

åëáåO

~å

ëáåÄQÜ

OOO

π

−π

=

294. éã~ÄQå~Q

Nå~ã

O

Np OO

i =−==

295. éêp_ =

296. i_ ppp +=

297. éêÜP

NÜp

P

Ns _ ==


CHAPTER 3. GEOMETRY

61

3.27 Frustum of a Regular Pyramid

_~ëÉ ~åÇ íçé ëáÇÉ äÉåÖíÜëW

åPON

åPON

ÄIIÄIÄIÄ

~II~I~I~

K

K

eÉáÖÜíW Üpä~åí ÜÉáÖÜíW ã^êÉ~ çÑ Ä~ëÉëW Np I Opi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ipmÉêáãÉíÉê çÑ Ä~ëÉëW Nm I OmpÅ~äÉ Ñ~ÅíçêW âqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

Figure 42.

298. â~

Ä

~

Ä

~

Ä

~

Ä

~

Ä

å

å

P

P

O

O

N

N ====== K


CHAPTER 3. GEOMETRY

62

299. O

N

O âp

p=

300. ( )O

mmãp ON

i

+=

301. ONi pppp ++=

302. ( )OONN ppppP

Üs ++=

303. [ ]ON

O

N ââNP

Üp

~

Ä

~

ÄN

P

Üps ++=

++=

3.28 Rectangular Right Wedge

páÇÉë çÑ Ä~ëÉW ~I Äqçé ÉÇÖÉW ÅeÉáÖÜíW Üi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _pqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s


CHAPTER 3. GEOMETRY

63

Figure 43.

304. ( ) ( )OOOOi Å~ÜÄÄÜQÅ~

O

Np −++++=

305. ~Äp_ =

306. i_ ppp +=

307. ( )Å~OS

ÄÜs +=

3.29 Platonic Solids

bÇÖÉW ~o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW opìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s


CHAPTER 3. GEOMETRY

64

308. cáîÉ mä~íçåáÅ pçäáÇëqÜÉ éä~íçåáÅ ëçäáÇë ~êÉ ÅçåîÉñ éçäóÜÉÇê~ ïáíÜ Éèìáî~äÉåíÑ~ÅÉë ÅçãéçëÉÇ çÑ ÅçåÖêìÉåí ÅçåîÉñ êÉÖìä~ê éçäóÖçåëK

pçäáÇ kìãÄÉêçÑ sÉêíáÅÉë

kìãÄÉêçÑ bÇÖÉë

kìãÄÉêçÑ c~ÅÉë

pÉÅíáçå

qÉíê~ÜÉÇêçå Q S Q PKOR`ìÄÉ U NO S PKOO

lÅí~ÜÉÇêçå S NO U PKOTfÅçë~ÜÉÇêçå NO PM OM PKOT

açÇÉÅ~ÜÉÇêçå OM PM NO PKOT

Octahedron

Figure 44.

309. S

S~ê =

310. O

O~o =


CHAPTER 3. GEOMETRY

65

311. P~Op O=

312. P

O~s

P

=

Icosahedron

Figure 45.

313. ( )NO

RPP~ê

+=

314. ( )RROQ

~o +=

315. P~Rp O=

316. ( )NO

RP~Rs

P +=


CHAPTER 3. GEOMETRY

66

Dodecahedron

Figure 46.

317. ( )O

RNNORNM~ê

+=

318. ( )Q

RNP~o

+=

319. ( )RORR~Pp O +=

320. ( )Q

RTNR~s

P +=

3.30 Right Circular Cylinder

o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW oaá~ãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW Ç


CHAPTER 3. GEOMETRY

67

eÉáÖÜíW ei~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _pqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

Figure 47.

321. oeOpi π=

322. ( )

+π=+π=+=

O

ÇeÇoeoOpOpp _i

323. eoeps O_ π==


CHAPTER 3. GEOMETRY

68

3.31 Right Circular Cylinder with an Oblique Plane Face

o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW oqÜÉ ÖêÉ~íÉëí ÜÉáÖÜí çÑ ~ ëáÇÉW NÜqÜÉ ëÜçêíÉëí ÜÉáÖÜí çÑ ~ ëáÇÉW OÜi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip^êÉ~ çÑ éä~åÉ ÉåÇ Ñ~ÅÉëW _pqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

Figure 48.

324. ( )ONi ÜÜop +π=

325. O

ONOO_ O

ÜÜooop

−

+π+π=


CHAPTER 3. GEOMETRY

69

326.

−

++++π=+=O

ONOON_i O

ÜÜooÜÜoppp

327. ( )ON

O

ÜÜO

os +

π=

3.32 Right Circular Cone o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW oaá~ãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW ÇeÉáÖÜíW epä~åí ÜÉáÖÜíW ãi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _pqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

Figure 49.


CHAPTER 3. GEOMETRY

70

328. OO oãe −=

329. O

ãÇoãpi

π=π=

330. O_ op π=

331. ( )

+π=+π=+=

O

ÇãÇ

O

Noãoppp _i

332. eoP

Nep

P

Ns O

_ π==

3.33 Frustum of a Right Circular Cone

o~Çáìë çÑ Ä~ëÉëW oI êeÉáÖÜíW epä~åí ÜÉáÖÜíW ãpÅ~äÉ Ñ~ÅíçêW â^êÉ~ çÑ Ä~ëÉëW Np I Opi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ipqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s


CHAPTER 3. GEOMETRY

71

Figure 50.

333. ( )OO êoãe −−=

334. âê

o=

335. O

O

O

N

O âê

o

p

p==

336. ( )êoãpi +π=

337. ( )[ ]êoãêopppp OOiON +++π=++=

338. ( )OONN ppppP

Üs ++=

339. [ ]ON

O

N ââNP

Üp

ê

o

ê

oN

P

Üps ++=

++=


CHAPTER 3. GEOMETRY

72

3.34 Sphere

o~ÇáìëW oaá~ãÉíÉêW ÇpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

Figure 51.

340. OoQp π=

341. poP

NÇ

S

Neo

P

Qs PP =π=π=

3.35 Spherical Cap o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW oo~Çáìë çÑ Ä~ëÉW êeÉáÖÜíW Ü^êÉ~ çÑ éä~åÉ Ñ~ÅÉW _p^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä Å~éW `p

qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s


CHAPTER 3. GEOMETRY

73

Figure 52.

342. ÜO

Üêo

OO +=

343. O_ êp π=

344. ( )OO` êÜp +π=

345. ( ) ( )OOO`_ êoÜOêOÜppp +π=+π=+=

346. ( ) ( )OOO ÜêPÜS

ÜoPÜS

s +π

=−π

=

3.36 Spherical Sector

o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW oo~Çáìë çÑ Ä~ëÉ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä Å~éW êeÉáÖÜíW Üqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s


CHAPTER 3. GEOMETRY

74

Figure 53.

347. ( )êÜOop +π=

348. ÜoP

Os Oπ=

kçíÉW qÜÉ ÖáîÉå Ñçêãìä~ë ~êÉ ÅçêêÉÅí ÄçíÜ Ñçê ±çéÉå≤ ~åÇ±ÅäçëÉÇ≤ ëéÜÉêáÅ~ä ëÉÅíçêK

3.37 Spherical Segment

o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW oo~Çáìë çÑ Ä~ëÉëW Nê I OêeÉáÖÜíW Ü^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä ëìêÑ~ÅÉW pp

^êÉ~ çÑ éä~åÉ ÉåÇ Ñ~ÅÉëW Np I Opqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s


CHAPTER 3. GEOMETRY

75

Figure 54.

349. oÜOpp π=

350. ( )OO

ONONp êêoÜOpppp ++π=++=

351. ( )OOO

ON ÜêPêPÜ

S

Ns ++π=

3.38 Spherical Wedge

o~ÇáìëW oaáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ áå ÇÉÖêÉÉëW ñaáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ áå ê~Çá~åëW α^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä äìåÉW ipqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s


CHAPTER 3. GEOMETRY

76

Figure 55.

352. ñoOVM

op O

O

i =απ

=

353. ñoOoVM

oop OO

OO +π=α

π+π=

354. ñoP

O

OTM

os P

P

=απ

=

3.39 Ellipsoid

pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI ÅsçäìãÉW s


CHAPTER 3. GEOMETRY

77

Figure 56.

355. ~ÄÅP

Qs π=

Prolate Spheroid

pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Ä E Ä~ > FpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

356.

+π=

É

É~êÅëáå~ÄÄOp I

ïÜÉêÉ~

Ä~É

OO −= K

357. ~ÄP

Qs Oπ=


CHAPTER 3. GEOMETRY

78

Oblate Spheroid

pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Ä E Ä~ < FpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

358.

+π=~LÄÉ

~

ÄÉ~êÅëáåÜ~

ÄÄOp I

ïÜÉêÉÄ

~ÄÉ

OO −= K

359. ~ÄP

Qs Oπ=

3.40 Circular Torus

j~àçê ê~ÇáìëW ojáåçê ê~ÇáìëW êpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

CHAPTER 3. GEOMETRY

79

Picture 57.

360. oêQp Oπ=

361. OOoêOs π=


80

Chapter 4

Trigonometry

^åÖäÉëW α I βoÉ~ä åìãÄÉêë EÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ éçáåíFW ñI ótÜçäÉ åìãÄÉêW â

4.1 Radian and Degree Measures of Angles

362. ?QRDNTRTNUM

ê~ÇN °≈π°

=

363. ê~ÇMNTQRPKMê~ÇNUM

N ≈π

=°

364. ê~ÇMMMOVNKMê~ÇSMNUM

DN ≈⋅π

=

365. ê~ÇMMMMMRKMê~ÇPSMMNUM

?N ≈⋅π

=

366. ^åÖäÉEÇÉÖêÉÉëF

M PM QR SM VM NUM OTM PSM

^åÖäÉEê~Çá~åëF M

S

πQ

πP

πO

ππ

O

PππO


CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

81

4.2 Definitions and Graphs of Trigonometric Functions

Figure 58.

367. ê

óëáå =α

368. ê

ñÅçë =α

369. ñ

óí~å =α

370. ó

ñÅçí =α



82

371. ñ

êëÉÅ =α

372. ó

êÅçëÉÅ =α

373. páåÉ cìåÅíáçåñëáåó = I NñëáåN ≤≤− K

Figure 59.

374. `çëáåÉ cìåÅíáçåñÅçëó = I NñÅçëN ≤≤− K



83

Figure 60.

375. q~åÖÉåí cìåÅíáçå

ñí~åó = I ( )O

NâOñπ

+≠ I Kñí~å ∞≤≤∞−

Figure 61.



84

376. `çí~åÖÉåí cìåÅíáçåñÅçíó = I π≠ âñ I ∞≤≤∞− ñÅçí K

Figure 62.

377. pÉÅ~åí cìåÅíáçå

ñëÉÅó = I ( )O

NâOñπ

+≠ K



85

Figure 63.

378. `çëÉÅ~åí cìåÅíáçåñÉÅÅçëó = I π≠ âñ K

Figure 64.



86

4.3. Signs of Trigonometric Functions

379.

nì~Çê~åípáåα

`çëα

q~åα

`çíα

pÉÅα

`çëÉÅα

f H H H H H Hff H Hfff H Hfs H H

380.

Figure 65.



87

4.4 Trigonometric Functions of Common Angles 381. °α ê~Çα αëáå αÅçë αí~å αÅçí αëÉÅ αÅçëÉÅ

M M M N M ∞ N ∞

PMS

πO

N

O

PP

NP

P

OO

QRQ

π

O

O

O

ON N O O

SMP

π

O

PO

NP

P

NO

P

O

VMO

πN M ∞ M ∞ N

NOMP

Oπ

O

PO

N− P−

P

N− O−

P

O

NUM π M N− M ∞ N− ∞

OTMO

PπN− M ∞ M ∞ N−

PSM πO M N M ∞ N ∞



88

382. °α ê~Çα αëáå αÅçë αí~å αÅçí

NRNO

π

Q

OS −Q

OS +PO− PO+

NUNM

π

Q

NR −Q

RONM+R

ROR−ROR+

PSR

π

Q

RONM−Q

NR +NR

RONM

+−

RONM

NR

−

+

RQNM

Pπ

Q

NR +Q

RONM−RONM

NR

−

+NR

RONM

+−

TOR

Oπ

Q

RONM+Q

NR −ROR+ R

ROR−

TRNO

Rπ

Q

OS +Q

OS −PO+ PO−

4.5 Most Important Formulas

383. NÅçëëáå OO =α+α

384. Ní~åëÉÅ OO =α−α

385. NÅçíÅëÅ OO =α−α

386. αα

=αÅçë

ëáåí~å



89

387. αα

=αëáå

ÅçëÅçí

388. NÅçíí~å =α⋅α

389. α

=αÅçë

NëÉÅ

390. α

=αëáå

NÅçëÉÅ

4.6 Reduction Formulas

391. β βëáå βÅçë βí~å βÅçí

α− α− ëáå α+ Åçë α− í~å α− Åçí

α−°VM α+ Åçë α+ ëáå α+ Åçí α+ í~å

α+°VM α+ Åçë α− ëáå α− Åçí α− í~å

α−°NUM α+ ëáå α− Åçë α− í~å α− Åçí

α+°NUM α− ëáå α− Åçë α+ í~å α+ Åçí

α−°OTM α− Åçë α− ëáå α+ Åçí α+ í~å

α+°OTM α− Åçë α+ ëáå α− Åçí α− í~å

α−°PSM α− ëáå α+ Åçë α− í~å α− Åçí

α+°PSM α+ ëáå α+ Åçë α+ í~å α+ Åçí



90

4.7 Periodicity of Trigonometric Functions

392. ( ) α=π±α ëáååOëáå I éÉêáçÇ πO çê °PSM K

393. ( ) α=π±α ÅçëåOÅçë I éÉêáçÇ πO çê °PSM K

394. ( ) α=π±α í~ååí~å I éÉêáçÇ π çê °NUM K

395. ( ) α=π±α ÅçíåÅçí I éÉêáçÇ π çê °NUM K

4.8 Relations between Trigonometric Functions

396. ( ) NQO

ÅçëOOÅçëNO

NÅçëNëáå OO −

π

−α

=α−±=α−±=α

Oí~åN

Oí~åO

O α+

α

=

397. ( ) NO

ÅçëOOÅçëNO

NëáåNÅçë OO −

α=α+±=α−±=α

Oí~åN

Oí~åN

O

O

α+

α−

=

398. αα−

=α+

α=−α±=

αα

=αOëáå

OÅçëN

OÅçëN

OëáåNëÉÅ

Åçë

ëáåí~å O



91

Oí~åN

Oí~åO

OÅçëN

OÅçëN

O α+

α

=α+α−

±=

399. α−

α=

αα+

=−α±=αα

=αOÅçëN

Oëáå

Oëáå

OÅçëNNÅëÅ

ëáå

ÅçëÅçí O

Oí~åO

Oí~åN

OÅçëN

OÅçëNO

α

α−

=α−α+

±=

400.

Oí~åN

Oí~åN

í~åNÅçë

NëÉÅ

O

O

O

α−

α+

=α+±=α

=α

401.

Oí~åO

Oí~åN

ÅçíNëáå

NÅëÅ

O

O

α

α+

=α+±=α

=α

4.9 Addition and Subtraction Formulas

402. ( ) αβ+βα=β+α ÅçëëáåÅçëëáåëáå

403. ( ) αβ−βα=−α ÅçëëáåÅçëëáåóëáå

404. ( ) βα−βα=β+α ëáåëáåÅçëÅçëÅçë

405. ( ) βα+βα=β−α ëáåëáåÅçëÅçëÅçë



92

406. ( )βα−β+α

=β+αí~åí~åN

í~åí~åí~å

407. ( )βα+β−α

=β−αí~åí~åN

í~åí~åí~å

408. ( )β+αβα−

=β+αí~åí~å

í~åí~åNÅçí

409. ( )β−αβα+

=β−αí~åí~å

í~åí~åNÅçí

4.10 Double Angle Formulas

410. α⋅α=α ÅçëëáåOOëáå

411. NÅçëOëáåONëáåÅçëOÅçë OOOO −α=α−=α−α=α

412. α−α

=α−α

=αí~åÅçí

O

í~åN

í~åOOí~å

O

413. O

í~åÅçí

ÅçíO

NÅçíOÅçí

O α−α=

α−α

=α



93

4.11 Multiple Angle Formulas

414. α−α⋅α=α−α=α POP ëáåëáåÅçëPëáåQëáåPPëáå

415. α⋅α−α⋅α=α ÅçëëáåUÅçëëáåQQëáå P

416. α+α−α=α RP ëáåNSëáåOMëáåRRëáå

417. α⋅α−α=α−α=α OPP ëáåÅçëPÅçëÅçëPÅçëQPÅçë

418. NÅçëUÅçëUQÅçë OQ +α−α=α

419. α+α−α=α ÅçëRÅçëOMÅçëNSRÅçë PR

420. α−α−α

=αO

P

í~åPN

í~åí~åPPí~å

421. α+α−α−α

=αQO

P

í~åí~åSN

í~åQí~åQQí~å

422. α+α−α+α−α

=αQO

PR

í~åRí~åNMN

í~åRí~åNMí~åRí~å

423. NÅçíP

ÅçíPÅçíPÅçí

O

P

−αα−α

=α

424. α−αα+α−

=αP

QO

í~åQí~åQ

í~åí~åSNQÅçí



94

425. α+α−α

α+α−=α

í~åRí~åNMí~å

í~åRí~åNMNRÅçí

PR

QO

4.12 Half Angle Formulas

426. O

ÅçëN

Oëáå

α−±=

α

427. O

ÅçëN

OÅçë

α+±=

α

428. α−α=αα−

=α+

α=

α+α−

±=α

ÅçíÅëÅëáå

ÅçëN

ÅçëN

ëáå

ÅçëN

ÅçëN

Oí~å

429. α+α=αα+

=α−

α=

α−α+

±=α

ÅçíÅëÅëáå

ÅçëN

ÅçëN

ëáå

ÅçëN

ÅçëN

OÅçí

4.13 Half Angle Tangent Identities

430.

Oí~åN

Oí~åO

ëáåO α+

α

=α



95

431.

Oí~åN

Oí~åN

ÅçëO

O

α+

α−

=α

432.

Oí~åN

Oí~åO

í~åO α−

α

=α

433.

Oí~åO

Oí~åN

Åçí

O

α

α−

=α

4.14 Transforming of Trigonometric Expressions to Product

434. O

ÅçëO

ëáåOëáåëáåβ−αβ+α

=β+α

435. O

ëáåO

ÅçëOëáåëáåβ−αβ+α

=β−α

436. O

ÅçëO

ÅçëOÅçëÅçëβ−αβ+α

=β+α

437. O

ëáåO

ëáåOÅçëÅçëβ−αβ+α

−=β−α



96

438. ( )β⋅α

β+α=β+α

ÅçëÅçë

ëáåí~åí~å

439. ( )β⋅α

β−α=β−α

ÅçëÅçë

ëáåí~åí~å

440. ( )β⋅α

α+β=β+α

ëáåëáå

ëáåÅçíÅçí

441. ( )β⋅α

α−β=β−α

ëáåëáå

ëáåÅçíÅçí

442.

α+π

=

α−π

=α+αQ

ëáåOQ

ÅçëOëáåÅçë

443.

α+π

=

α−π

=α−αQ

ÅçëOQ

ëáåOëáåÅçë

444. ( )β⋅α

β−α=β+α

ëáåÅçë

ÅçëÅçíí~å

445. ( )β⋅α

β+α−=β−α

ëáåÅçë

ÅçëÅçíí~å

446. O

ÅçëOÅçëN O α=α+

447. O

ëáåOÅçëN O α=α−



97

448.

α

−π

=α+OQ

ÅçëOëáåN O

449.

α

−π

=α−OQ

ëáåOëáåN O

4.15 Transforming of Trigonometric Expressions to Sum

450. ( ) ( )O

ÅçëÅçëëáåëáå

β+α−β−α=β⋅α

451. ( ) ( )O

ÅçëÅçëÅçëÅçë

β+α+β−α=β⋅α

452. ( ) ( )O

ëáåëáåÅçëëáå

β+α+β−α=β⋅α

453. β+αβ+α

=β⋅αÅçíÅçí

í~åí~åí~åí~å

454. β+αβ+α

=β⋅αí~åí~å

ÅçíÅçíÅçíÅçí

455. β+αβ+α

=β⋅αí~åÅçí

Åçíí~åÅçíí~å



98

4.16 Powers of Trigonometric Functions

456. O

OÅçëNëáåO α−

=α

457. Q

PëáåëáåPëáåP α−α

=α

458. U

POÅçëQQÅçëëáåQ +α−α

=α

459. NS

RëáåPëáåRëáåNMëáåR α+α−α

=α

460. PO

SÅçëQÅçëSOÅçëNRNMëáåS α−α+α−

=α

461. O

OÅçëNÅçëO α+

=α

462. Q

PÅçëÅçëPÅçëP α+α

=α

463. U

POÅçëQQÅçëÅçëQ +α+α

=α

464. NS

RÅçëPëáåRÅçëNMÅçëR α+α+α

=α

465. PO

SÅçëQÅçëSOÅçëNRNMÅçëS α+α+α+

=α



99

4.17 Graphs of Inverse Trigonometric Functions

466. fåîÉêëÉ páåÉ cìåÅíáçå

ñ~êÅëáåó = I NñN ≤≤− IO

ñ~êÅëáåO

π≤≤

π− K

Figure 66.

467. fåîÉêëÉ `çëáåÉ cìåÅíáçåñ~êÅÅçëó = I NñN ≤≤− I π≤≤ ñ~êÅÅçëM K


100

Figure 67.

468. fåîÉêëÉ q~åÖÉåí cìåÅíáçå

ñ~êÅí~åó = I ∞≤≤∞− ñ IO

ñ~êÅí~åO

π<<

π− K

Figure 68.

101

469. fåîÉêëÉ `çí~åÖÉåí cìåÅíáçåñÅçí~êÅó = I ∞≤≤∞− ñ I π<< ñÅçí~êÅM K

Figure 69.

470. fåîÉêëÉ pÉÅ~åí cìåÅíáçå

( ] [ ) KIOO

IMñëÉÅ~êÅIINNIñIñ~êÅëÉÅó

ππ

∪

π

∈∞∪−∞−∈=

Figure 70.


102

471. fåîÉêëÉ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå

( ] [ ) KO

IMMIO

ñÅëÅ~êÅIINNIñIñ~êÅÅëÅó

π

∪

π−∈∞∪−∞−∈=

Figure 71.

4.18 Principal Values of Inverse Trigonometric Functions 472. ñ M

O

N

O

O

O

PN

ñ~êÅëáå °M °PM °QR °SM °VMñ~êÅÅçë °VM °SM °QR °PM °M

ñO

N−

O

O−

O

P− N−

ñ~êÅëáå°−PM °− QR °− SM

°− VM

ñ~êÅÅçë°NOM °NPR °NRM

°NUM


103

473. ñ M

P

PN P

P

P− N− P−

ñ~êÅí~å °M °PM °QR °SM °−PM°− QR °− SM

ñÅçí~êÅ °VM °SM °QR °PM °NOM°NPR °NRM

4.19 Relations between Inverse Trigonometric Functions

474. ( ) ñ~êÅëáåñ~êÅëáå −=−

475. ñ~êÅÅçëO

ñ~êÅëáå −π

=

476. OñN~êÅÅçëñ~êÅëáå −= I NñM ≤≤ K

477. OñN~êÅÅçëñ~êÅëáå −−= I MñN ≤≤− K

478. OñN

ñ~êÅí~åñ~êÅëáå

−= I NñO < K

479. ñ

ñNÅçí~êÅñ~êÅëáå

O−= I NñM ≤< K

480. π−−

=ñ

ñNÅçí~êÅñ~êÅëáå

O

I MñN <≤− K

481. ( ) ñ~êÅÅçëñ~êÅÅçë −π=−

104

482. ñ~êÅëáåO

ñ~êÅÅçë −π

=

483. OñN~êÅëáåñ~êÅÅçë −= I NñM ≤≤ K

484. OñN~êÅëáåñ~êÅÅçë −−π= I MñN ≤≤− K

485. ñ

ñN~êÅí~åñ~êÅÅçë

O−= I NñM ≤< K

486. ñ

ñN~êÅí~åñ~êÅÅçë

O−+π= I MñN <≤− K

487. OñN

ñÅçí~êÅñ~êÅÅçë

−= I NñN ≤≤− K

488. ( ) ñ~êÅí~åñ~êÅí~å −=−

489. ñÅçí~êÅO

ñ~êÅí~å −π

=

490. OñN

ñ~êÅëáåñ~êÅí~å

+=

491. OñN

N~êÅÅçëñ~êÅí~å

+= I Mñ ≥ K

492. OñN

N~êÅÅçëñ~êÅí~å

+−= I Mñ ≤ K

105

493. ñ

N~êÅí~å

Oñ~êÅí~å −

π= I Mñ > K

494. ñ

N~êÅí~å

Oñ~êÅí~å −

π−= I Mñ < K

495. ñ

NÅçí~êÅñ~êÅí~å = I Mñ > K

496. π−=ñ

NÅçí~êÅñ~êÅí~å I Mñ < K

497. ( ) ñÅçí~êÅñÅçí~êÅ −π=−

498. ñ~êÅí~åO

ñÅçí~êÅ −π

=

499. OñN

N~êÅëáåñÅçí~êÅ

+= I Mñ > K

500. OñN

N~êÅëáåñÅçí~êÅ

+−π= I Mñ < K

501. OñN

ñ~êÅÅçëñÅçí~êÅ

+=

502. ñ

N~êÅí~åñÅçí~êÅ = I Mñ > K

503. ñ

N~êÅí~åñÅçí~êÅ +π= I Mñ < K


106

4.20 Trigonometric Equations

tÜçäÉ åìãÄÉêW å

504. ~ñëáå = I ( ) å~~êÅëáåNñ å π+−=

505. ~ñÅçë = I åO~~êÅÅçëñ π+±=

506. ~ñí~å = I å~~êÅí~åñ π+=

507. ~ñÅçí = I å~Åçí~êÅñ π+=

4.21 Relations to Hyperbolic Functions

fã~Öáå~êó ìåáíW á

508. ( ) ñëáåÜááñëáå =

509. ( ) ñí~åÜááñí~å =

510. ( ) ñÅçíÜááñÅçí −=

511. ( ) ñëÉÅÜáñëÉÅ =

512. ( ) ñÅëÅÜááñÅëÅ −=


107

Chapter 5

Matrices and Determinants

j~íêáÅÉëW ^I _I `bäÉãÉåíë çÑ ~ ã~íêáñW á~ I áÄ I áà~ I áàÄ I áàÅ

aÉíÉêãáå~åí çÑ ~ ã~íêáñW ^ÇÉíjáåçê çÑ ~å ÉäÉãÉåí áà~ W áàj

`çÑ~Åíçê çÑ ~å ÉäÉãÉåí áà~ W áà`

qê~åëéçëÉ çÑ ~ ã~íêáñW q^ I ^ú

^Çàçáåí çÑ ~ ã~íêáñW ^~Çàqê~ÅÉ çÑ ~ ã~íêáñW ^íê

fåîÉêëÉ çÑ ~ ã~íêáñW N^−

oÉ~ä åìãÄÉêW âoÉ~ä î~êá~ÄäÉëW áñk~íìê~ä åìãÄÉêëW ãI å

5.1 Determinants

513. pÉÅçåÇ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí

NOONOO

NN Ä~Ä~Ä~

Ä~^ÇÉí −==


CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

108

514. qÜáêÇ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí

−++== POONNPPNOPNOPPOONN

PPPOPN

OPOOON

NPNONN

~~~~~~~~~

~~~

~~~

~~~

^ÇÉí

PNOONPPPONNOPOOPNN ~~~~~~~~~ −−−

515. p~êêìë oìäÉ E^êêçï oìäÉF

Figure 72.

516. k-íÜ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí

åååàOåNå

áåáàOáNá

åOàOOOON

åNàNNONN

~~~~

~~~~

~~~~

~~~~

^ÇÉí

KK

KKKKKK

KK

KKKKKK

KK

KK

=

517. jáåçêqÜÉ ãáåçê áàj ~ëëçÅá~íÉÇ ïáíÜ íÜÉ ÉäÉãÉåí áà~ çÑ å-íÜ çêÇÉê

ã~íêáñ ^ áë íÜÉ ( )Nå− -íÜ çêÇÉê ÇÉíÉêãáå~åí ÇÉêáîÉÇ Ñêçã

íÜÉ ã~íêáñ ^ Äó ÇÉäÉíáçå çÑ áíë á-íÜ êçï ~åÇ à-íÜ ÅçäìãåK



109

518. `çÑ~Åíçê

( ) áààá

áà jN` +−=

519. i~éä~ÅÉ bñé~åëáçå çÑ å-íÜ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åíi~éä~ÅÉ Éñé~åëáçå Äó ÉäÉãÉåíë çÑ íÜÉ á-íÜ êçï

∑=

=å

Nàáàáà`~^ÇÉí I åIIOINá K= K

i~éä~ÅÉ Éñé~åëáçå Äó ÉäÉãÉåíë çÑ íÜÉ à-íÜ Åçäìãå

∑=

=å

Nááàáà`~^ÇÉí I åIIOINà K= K

5.2 Properties of Determinants

520. qÜÉ î~äìÉ çÑ ~ ÇÉíÉêãáå~åí êÉã~áåë ìåÅÜ~åÖÉÇ áÑ êçïë ~êÉÅÜ~åÖÉÇ íç Åçäìãåë ~åÇ Åçäìãåë íç êçïëK

OO

NN

ON

ON

Ä~

Ä~

ÄÄ

~~=

521. fÑ íïç êçïë Eçê íïç ÅçäìãåëF ~êÉ áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI íÜÉ ëáÖå çÑíÜÉ ÇÉíÉêãáå~åí áë ÅÜ~åÖÉÇK

NN

OO

OO

NN

Ä~

Ä~

Ä~

Ä~−=

522. fÑ íïç êçïë Eçê íïç ÅçäìãåëF ~êÉ áÇÉåíáÅ~äI íÜÉ î~äìÉ çÑ íÜÉÇÉíÉêãáå~åí áë òÉêçK

M~~

~~

OO

NN =



110

523. fÑ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çÑ ~åó êçï Eçê ÅçäìãåF ~êÉ ãìäíáéäáÉÇ Äó~ Åçããçå Ñ~ÅíçêI íÜÉ ÇÉíÉêãáå~åí áë ãìäíáéäáÉÇ Äó íÜ~íÑ~ÅíçêK

OO

NN

OO

NN

Ä~

Ä~â

Ä~

âÄâ~=

524. fÑ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çÑ ~åó êçï Eçê ÅçäìãåF ~êÉ áåÅêÉ~ëÉÇ EçêÇÉÅêÉ~ëÉÇFÄó Éèì~ä ãìäíáéäÉë çÑ íÜÉ ÅçêêÉëéçåÇáåÖ ÉäÉãÉåíëçÑ ~åó çíÜÉê êçï Eçê ÅçäìãåFI íÜÉ î~äìÉ çÑ íÜÉ ÇÉíÉêãáå~åíáë ìåÅÜ~åÖÉÇK

OO

NN

OOO

NNN

Ä~

Ä~

ÄâÄ~

ÄâÄ~=

++

5.3 Matrices

525. aÉÑáåáíáçå^å åã× ã~íêáñ ^ áë ~ êÉÅí~åÖìä~ê ~êê~ó çÑ ÉäÉãÉåíë Eåìã-ÄÉêë çê ÑìåÅíáçåëF ïáíÜ ã êçïë ~åÇ å ÅçäìãåëK

[ ]

==

ãåOãNã

åOOOON

åNNONN

áà

~~~

~~~

~~~

~^

K

MMM

K

K

526. pèì~êÉ ã~íêáñ áë ~ ã~íêáñ çÑ çêÇÉê åå× K

527. ^ ëèì~êÉ ã~íêáñ [ ]áà~ áë ëóããÉíêáÅ áÑ àááà ~~ = I áKÉK áí áë

ëóããÉíêáÅ ~Äçìí íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äK

528. ^ ëèì~êÉ ã~íêáñ [ ]áà~ áë ëâÉï-ëóããÉíêáÅ áÑ àááà ~~ −= K



111

529. aá~Öçå~ä ã~íêáñ áë ~ ëèì~êÉ ã~íêáñ ïáíÜ ~ää ÉäÉãÉåíë òÉêçÉñÅÉéí íÜçëÉ çå íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äK

530. råáí ã~íêáñ áë ~ Çá~Öçå~ä ã~íêáñ áå ïÜáÅÜ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çåíÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~ä ~êÉ ~ää ìåáíóK qÜÉ ìåáí ã~íêáñ áëÇÉåçíÉÇ Äó fK

531. ^ åìää ã~íêáñ áë çåÉ ïÜçëÉ ÉäÉãÉåíë ~êÉ ~ää òÉêçK

5.4 Operations with Matrices

532. qïç ã~íêáÅÉë ^ ~åÇ _ ~êÉ Éèì~ä áÑI ~åÇ çåäó áÑI íÜÉó ~êÉ ÄçíÜçÑ íÜÉ ë~ãÉ ëÜ~éÉ åã× ~åÇ ÅçêêÉëéçåÇáåÖ ÉäÉãÉåíë ~êÉÉèì~äK

533. qïç ã~íêáÅÉë ^ ~åÇ _ Å~å ÄÉ ~ÇÇÉÇ Eçê ëìÄíê~ÅíÉÇF çÑI ~åÇçåäó áÑI íÜÉó Ü~îÉ íÜÉ ë~ãÉ ëÜ~éÉ åã× K fÑ

[ ]

==

ãåOãNã

åOOOON

åNNONN

áà

~~~

~~~

~~~

~^

K

MMM

K

K

I

[ ]

==

ãåOãNã

åOOOON

åNNONN

áà

ÄÄÄ

ÄÄÄ

ÄÄÄ

Ä_

K

MMM

K

K

I



112

íÜÉå

+++

++++++

=+

ãåãåOãOãNãNã

åOåOOOOOONON

åNåNNONONNNN

Ä~Ä~Ä~

Ä~Ä~Ä~

Ä~Ä~Ä~

_^

K

MMM

K

K

K

534. fÑ â áë ~ ëÅ~ä~êI ~åÇ [ ]áà~^ = áë ~ ã~íêáñI íÜÉå

[ ]

==

ãåOãNã

åOOOON

åNNONN

áà

â~â~â~

â~â~â~

â~â~â~

â~â^

K

MMM

K

K

K

535. jìäíáéäáÅ~íáçå çÑ qïç j~íêáÅÉëqïç ã~íêáÅÉë Å~å ÄÉ ãìäíáéäáÉÇ íçÖÉíÜÉê çåäó ïÜÉå íÜÉåìãÄÉê çÑ Åçäìãåë áå íÜÉ Ñáêëí áë Éèì~ä íç íÜÉ åìãÄÉê çÑêçïë áå íÜÉ ëÉÅçåÇK

fÑ

[ ]

==

ãåOãNã

åOOOON

åNNONN

áà

~~~

~~~

~~~

~^

K

MMM

K

K

I

[ ]

==

åâOåNå

âOOOON

âNNONN

áà

ÄÄÄ

ÄÄÄ

ÄÄÄ

Ä_

K

MMM

K

K

I



113

íÜÉå

==

ãâOãNã

âOOOON

âNNONN

ÅÅÄ

ÅÅÅ

ÅÅÅ

`^_

K

MMM

K

K

I

ïÜÉêÉ

∑=λ

λλ=+++=å

NàáåàáåàOOáàNNááà Ä~Ä~Ä~Ä~Å K

E ãIIOINá K= X âIIOINà K= FK

qÜìë áÑ

[ ]

==

OPOOON

NPNONNáà ~~~

~~~~^ I [ ]

==

P

O

N

á

Ä

Ä

Ä

Ä_ I

íÜÉå

=

⋅

=

POPOOONON

PNPONONNN

P

O

N

OPOOON

NPNONN

Ä~Ä~Ä~

Ä~Ä~Ä~

Ä

Ä

Ä

~~~

~~~^_ K

536. qê~åëéçëÉ çÑ ~ j~íêáñfÑ íÜÉ êçïë ~åÇ Åçäìãåë çÑ ~ ã~íêáñ ~êÉ áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI íÜÉåíÜÉ åÉï ã~íêáñ áë Å~ääÉÇ íÜÉ íê~åëéçëÉ çÑ íÜÉ çêáÖáå~ä ã~íêáñKfÑ ^ áë íÜÉ çêáÖáå~ä ã~íêáñI áíë íê~åëéçëÉ áë ÇÉåçíÉÇ q^ çê

^ú

K

537. qÜÉ ã~íêáñ ^ áë çêíÜçÖçå~ä áÑ f^^q = K

538. fÑ íÜÉ ã~íêáñ éêçÇìÅí ^_ áë ÇÉÑáåÉÇI íÜÉå

( ) qqq ^_^_ = K



114

539. ^Çàçáåí çÑ j~íêáñfÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñI áíë ~ÇàçáåíI ÇÉåçíÉÇ Äó ^~Çà Iáë íÜÉ íê~åëéçëÉ çÑ íÜÉ ã~íêáñ çÑ ÅçÑ~Åíçêë áà` çÑ ^W

[ ]qáà`^~Çà = K

540. qê~ÅÉ çÑ ~ j~íêáñfÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñI áíë íê~ÅÉI ÇÉåçíÉÇ Äó ^íê I áëÇÉÑáåÉÇ íç ÄÉ íÜÉ ëìã çÑ íÜÉ íÉêãë çå íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äW

ååOONN ~~~^íê +++= K K

541. fåîÉêëÉ çÑ ~ j~íêáñfÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñ ïáíÜ ~ åçåëáåÖìä~ê ÇÉíÉêãáå~åí

^ÇÉí I íÜÉå áíë áåîÉêëÉ N^− áë ÖáîÉå Äó

^ÇÉí

^~Çà^ N =− K

542. fÑ íÜÉ ã~íêáñ éêçÇìÅí ^_ áë ÇÉÑáåÉÇI íÜÉå

( ) NNN ^_^_ −−− = K

543. fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñI íÜÉ ÉáÖÉåîÉÅíçêë u ë~íáëÑóíÜÉ Éèì~íáçå

u^u λ= IïÜáäÉ íÜÉ ÉáÖÉåî~äìÉë λ ë~íáëÑó íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçå

Mf^ =λ− K

5.5 Systems of Linear Equations

s~êá~ÄäÉëW ñI óI òI Nñ I KIñO

oÉ~ä åìãÄÉêëW KI~I~IÄI~I~I~ NONNNPON



115

aÉíÉêãáå~åíëW aI ña I óa I òa

j~íêáÅÉëW ^I _I u

544.

=+=+

OOO

NNN

ÇóÄñ~

ÇóÄñ~I

a

añ ñ= I

a

aó ó= E`ê~ãÉê∞ë êìäÉFI

ïÜÉêÉ

NOONOO

NN Ä~Ä~Ä~

Ä~a −== I

NOONOO

NNñ ÄÇÄÇ

ÄÇ

ÄÇa −== I

NOONOO

NNó Ç~Ç~

Ç~

Ç~a −== K

545. fÑ Ma≠ I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë ~ ëáåÖäÉ ëçäìíáçåW

a

añ ñ= I

a

aó ó= K

fÑ Ma= ~åÇ Mañ ≠ Eçê Maó ≠ FI íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë åç

ëçäìíáçåKfÑ Maaa óñ === I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó ã~åó

ëçäìíáçåëK

546.

=++=++=++

PPPP

OOOO

NNNN

ÇòÅóÄñ~

ÇòÅóÄñ~

ÇòÅóÄñ~

I

a

añ ñ= I

a

aó ó= I

a

aò ò= E`ê~ãÉê∞ë êìäÉFI



116

ïÜÉêÉ

PPP

OOO

NNN

ÅÄ~

ÅÄ~

ÅÄ~

a= I

PPP

OOO

NNN

ñ

ÅÄÇ

ÅÄÇ

ÅÄÇ

a = I

PPP

OOO

NNN

ó

ÅÇ~

ÅÇ~

ÅÇ~

a = I

PPP

OOO

NNN

ò

ÇÄ~

ÇÄ~

ÇÄ~

a = K

547. fÑ Ma≠ I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë ~ ëáåÖäÉ ëçäìíáçåW

a

añ ñ= I

a

aó ó= I

a

aò ò= K

fÑ Ma= ~åÇ Mañ ≠ Eçê Maó ≠ çê Maò ≠ FI íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã

Ü~ë åç ëçäìíáçåKfÑ Maaaa òóñ ==== I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó

ã~åó ëçäìíáçåëK

548. j~íêáñ cçêã çÑ ~ póëíÉã çÑ å iáåÉ~ê bèì~íáçåë áåå råâåçïåëqÜÉ ëÉí çÑ äáåÉ~ê Éèì~íáçåë

=+++

=+++=+++

ååååOOåNNå

OååOOOONON

NååNONONNN

Äñ~ñ~ñ~

Äñ~ñ~ñ~

Äñ~ñ~ñ~

K

KKKKKKKKKKKK

K

K

Å~å ÄÉ ïêáííÉå áå ã~íêáñ Ñçêã

=

⋅

å

O

N

å

O

N

ååOåNå

åOOOON

åNNONN

Ä

Ä

Ä

ñ

ñ

ñ

~~~

~~~

~~~

MM

K

MMM

K

K

I

áKÉK_u^ =⋅ I



117

ïÜÉêÉ

=

ååOåNå

åOOOON

åNNONN

~~~

~~~

~~~

^

K

MMM

K

K

I

=

å

O

N

ñ

ñ

ñ

uM

I

=

å

O

N

Ä

Ä

Ä

_M

K

549. pçäìíáçå çÑ ~ pÉí çÑ iáåÉ~ê bèì~íáçåë åå×_^u N ⋅= − I

ïÜÉêÉ N^− áë íÜÉ áåîÉêëÉ çÑ ^K


118

Chapter 6

Vectors

sÉÅíçêëW ìr

I îr

I ïr

I êr

I→

^_ I £sÉÅíçê äÉåÖíÜW ì

rI îr

I £

råáí îÉÅíçêëW ár

I àr

I âr

kìää îÉÅíçêW Mr

`ççêÇáå~íÉë çÑ îÉÅíçê ìr

W NNN wIvIu`ççêÇáå~íÉë çÑ îÉÅíçê î

rW OOO wIvIu

pÅ~ä~êëW λ IµaáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW αÅçë I βÅçë I γÅçë^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç îÉÅíçêëW θ

6.1 Vector Coordinates

550. råáí sÉÅíçêë

( )MIMINá =r

I

( )MINIMà =r

I

( )NIMIMâ =r

I

Nâàá ===rrr

K

551. ( ) ( ) ( )âòòàóóáññ^_ê MNMNMN

rrrr−+−+−==

→


CHAPTER 6. VECTORS

119

Figure 73.

552. ( ) ( ) ( )OMNO

MNO

MN òòóóññ^_ê −+−+−==→r

553. fÑ ê^_r

=→

I íÜÉå ê_^r

−=→

K

Figure 74.

554. α= Åçëêur

I

β= Åçëêvr

I

γ= Åçëêwr

K


CHAPTER 6. VECTORS

120

Figure 75.

555. fÑ ( ) ( )NNNN wIvIuêwIvIuêrr

= I íÜÉå

Nuu = I Nvv = I Nww = K

6.2 Vector Addition

556. îìïrrr

+=

Figure 76.


CHAPTER 6. VECTORS

121

Figure 77.

557. åPON ììììïr

Krrrr

++++=

Figure 78.

558. `çããìí~íáîÉ i~ïìîîìrrrr

+=+

559. ^ëëçÅá~íáîÉ i~ï( ) ( )ïîìïîì

rrrrrr++=++

560. ( )ONONON wwIvvIuuîì +++=+rr


CHAPTER 6. VECTORS

122

6.3 Vector Subtraction

561. îìïrrr

−= áÑ ìïîrrr

=+ K

Figure 79.

Figure 80.

562. ( )îìîìrrrr

−+=−

563. ( )MIMIMMìì ==−rrr

564. MM =r

565. ( )ONONON wwIvvIuuîì −−−=−rr

I

6.4 Scaling Vectors

566. ìïrr

λ=


CHAPTER 6. VECTORS

123

Figure 81.

567. ìïrr

⋅λ=

568. ( )wIvIuì λλλ=λr

569. λ=λ ììrr

570. ( ) ìììrrr

µ+λ=µ+λ

571. ( ) ( ) ( )ìììrrr

λµ=λµ=µλ

572. ( ) îìîìrrrr

λ+λ=+λ

6.5 Scalar Product

573. pÅ~ä~ê mêçÇìÅí çÑ sÉÅíçêë ìr

~åÇ îr

θ⋅⋅=⋅ Åçëîìîìrrrr

I

ïÜÉêÉ θ áë íÜÉ ~åÖäÉ ÄÉíïÉÉå îÉÅíçêë ìr

~åÇ îr

K


CHAPTER 6. VECTORS

124

Figure 82.

574. pÅ~ä~ê mêçÇìÅí áå `ççêÇáå~íÉ cçêãfÑ ( )NNN wIvIuì =r

I ( )OOO wIvIuî =r

I íÜÉå

ONONON wwvvuuîì ++=⋅rr

K

575. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç sÉÅíçêëfÑ ( )NNN wIvIuì =r

I ( )OOO wIvIuî =r

I íÜÉå

OO

OO

OO

ON

ON

ON

ONONON

wvuwvu

wwvvuuÅçë

++++

++=θ K

576. `çããìí~íáîÉ mêçéÉêíóìîîìrrrr⋅=⋅

577. ^ëëçÅá~íáîÉ mêçéÉêíó( ) ( ) îìîì

rrrr⋅λµ=µ⋅λ

578. aáëíêáÄìíáîÉ mêçéÉêíó( ) ïìîìïîì

rrrrrrr⋅+⋅=+⋅

579. Mîì =⋅rr

áÑ ìr

I îr

~êÉ çêíÜçÖçå~ä EO

π=θ FK

580. Mîì >⋅rr

áÑO

Mπ

<θ< K

CHAPTER 6. VECTORS

125

581. Mîì <⋅rr

áÑ π<θ<πO

K

582. îìîìrrrr

⋅≤⋅

583. îìîìrrrr

⋅=⋅ áÑ ìr

I îr

~êÉ é~ê~ääÉä E M=θ FK

584. fÑ ( )NNN wIvIuì =r

I íÜÉåO

NO

NO

N

OO wvuìììì ++===⋅rrrr

K

585. Nââààáá =⋅=⋅=⋅rrrrrr

586. Máââààá =⋅=⋅=⋅rrrrrr

6.6 Vector Product

587. sÉÅíçê mêçÇìÅí çÑ sÉÅíçêë ìr

~åÇ îr

ïîìrrr

=× I ïÜÉêÉ

• θ⋅⋅= ëáåîìïrrr

I ïÜÉêÉO

Mπ

≤θ≤ X

• ìïrr

⊥ ~åÇ îïrr

⊥ X• sÉÅíçêë ì

rI îr

I ïr

Ñçêã ~ êáÖÜí-Ü~åÇÉÇ ëÅêÉïK

CHAPTER 6. VECTORS

126

Figure 83.

588. OOO

NNN

wvu

wvu

âàá

îìï

rrr

rrr=×=

589.

−=×=

OO

NN

OO

NN

OO

NN

vu

vuI

wu

wuI

wv

wvîìïrrr

590. θ⋅⋅=×= ëáåîìîìprrrr

EcáÖKUPF

591. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç sÉÅíçêë EcáÖKUPF

îì

îìëáå rr

rr

⋅×

=θ

592. kçåÅçããìí~íáîÉ mêçéÉêíó( )ìîîì

rrrr×−=×

593. ^ëëçÅá~íáîÉ mêçéÉêíó( ) ( ) îìîì

rrrr×λµ=µ×λ


CHAPTER 6. VECTORS

127

594. aáëíêáÄìíáîÉ mêçéÉêíó( ) ïìîìïîì

rrrrrrr×+×=+×

595. Mîìrrr

=× áÑ ìr

~åÇ îr

~êÉ é~ê~ääÉä E M=θ FK

596. Mââààáárrrrrrr

=×=×=×

597. âàárrr

=× I áâàrrr

=× I àáârrr

=×

6.7 Triple Product

598. pÅ~ä~ê qêáéäÉ mêçÇìÅí[ ] ( ) ( ) ( )îìïìïîïîìïîì

rrrrrrrrrrrr×⋅=×⋅=×⋅=

599. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]îïììîïïìîìïîîìïïîìrrrrrrrrrrrrrrrrrr

−=−=−===

600. ( ) [ ]ïîìâïîìârrrrrr

=×⋅

601. pÅ~ä~ê qêáéäÉ mêçÇìÅí áå `ççêÇáå~íÉ cçêã

( )PPP

OOO

NNN

wvu

wvu

wvu

ïîì =×⋅rrr

I

ïÜÉêÉ( )NNN wIvIuì =

rI ( )OOO wIvIuî =r

I ( )PPP wIvIuï =r

K

602. sçäìãÉ çÑ m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ( )ïîìs

rrr×⋅=


CHAPTER 6. VECTORS

128

Figure 84.

603. sçäìãÉ çÑ móê~ãáÇ

( )ïîìS

Ns

rrr×⋅=

Figure 85.

604. fÑ ( ) Mïîì =×⋅rrr

I íÜÉå íÜÉ îÉÅíçêë ìr

I îr

I ~åÇ ïr

~êÉ äáåÉ~êäóÇÉéÉåÇÉåí I ëç îìï

rrrµ+λ= Ñçê ëçãÉ ëÅ~ä~êë λ ~åÇ µ K

605. fÑ ( ) Mïîì ≠×⋅rrr

I íÜÉå íÜÉ îÉÅíçêë ìr

I îr

I ~åÇ ïr

~êÉ äáåÉ~êäóáåÇÉéÉåÇÉåíK


CHAPTER 6. VECTORS

129

606. sÉÅíçê qêáéäÉ mêçÇìÅí( ) ( ) ( )ïîìîïìïîì

rrrrrrrrr⋅−⋅=××


130

Chapter 7

Analytic Geometry

7.1 One-Dimensional Coordinate System

mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW Mñ I Nñ I Oñ I Mó I Nó I Oó

oÉ~ä åìãÄÉêW λaáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç

607. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë

ONNO ññññ^_Ç −=−==

Figure 86.

608. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç λ

λ+λ+

=N

ñññ ON

M I`_

^`=λ I N−≠λ K

Figure 87.


CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

131

609. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí

O

ñññ ON

M

+= I N=λ K

7.2 Two-Dimensional Coordinate System

mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW Mñ I Nñ I Oñ I Mó I Nó I Oó

mçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ϕIêoÉ~ä åìãÄÉêW λmçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅIaáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç^êÉ~W p


( ) ( )ONOO

NO óóññ^_Ç −+−==

Figure 88.



132


λ+λ+

=N

ñññ ON

M Iλ+λ+

=N

óóó ON

M I

`_

^`=λ I N−≠λ K

Figure 89.



133

Figure 90.


O

ñññ ON

M

+= I

O

óóó ON

M

+= I N=λ K

613. `ÉåíêçáÇ EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ jÉÇá~åëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ

P

ññññ PON

M

++= I

P

óóóó PON

M

++= I

ïÜÉêÉ ( )NN óIñ^ I ( )OO óIñ_ I ~åÇ ( )PP óIñ` ~êÉ îÉêíáÅÉë çÑ

íÜÉ íêá~åÖäÉ ^_` K



134

Figure 91.

614. fåÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ ^åÖäÉ _áëÉÅíçêëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ

ÅÄ~

ÅñÄñ~ññ PON

M ++++

= IÅÄ~

ÅóÄó~óó PON

M ++++

= I

ïÜÉêÉ _`~ = I `^Ä = I ^_Å = K

Figure 92.



135

615. `áêÅìãÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ íÜÉ páÇÉ mÉêéÉåÇáÅìä~ê_áëÉÅíçêëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ

Nóñ

Nóñ

Nóñ

O

Nóóñ

Nóóñ

Nóóñ

ñ

PP

OO

NN

POP

OP

OOO

OO

NON

ON

M

+++

= I

Nóñ

Nóñ

Nóñ

O

Nóññ

Nóññ

Nóññ

ó

PP

OO

NN

OP

OPP

OO

OOO

ON

ONN

M

+++

=

Figure 93.



136

616. lêíÜçÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ ^äíáíìÇÉëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ

Nóñ

Nóñ

Nóñ

Nóññó

Nóññó

Nóññó

ñ

PP

OO

NN

OPONP

OONPO

ONPON

M

+++

= I

Nóñ

Nóñ

Nóñ

Nñóóñ

Nñóóñ

Nñóóñ

ó

PP

OO

NN

PONOP

ONPOO

NPOON

M

+++

=

Figure 94.

617. ^êÉ~ çÑ ~ qêá~åÖäÉ

( ) ( )NPNP

NONO

PP

OO

NN

óóññ

óóññ

O

N

Nóñ

Nóñ

Nóñ

O

Np

−−−−

±=±=



137

618. ^êÉ~ çÑ ~ nì~Çêáä~íÉê~ä

( ) ( )( ) ( )( )[ ++−++−±= POPOONON óóññóóññO

Np

( )( ) ( )( )]NQNQQPQP óóññóóññ +−++−+

Figure 95.

kçíÉW få Ñçêãìä~ë SNTI SNU ïÉ ÅÜççëÉ íÜÉ ëáÖå EHF çê E¥F ëçíÜ~í íç ÖÉí ~ éçëáíáîÉ ~åëïÉê Ñçê ~êÉ~K

619. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë

( )NOONOO

ON ÅçëêêOêê^_Ç ϕ−ϕ−+==



138

Figure 96.

620. `çåîÉêíáåÖ oÉÅí~åÖìä~ê `ççêÇáå~íÉë íç mçä~ê `ççêÇáå~íÉëϕ= Åçëêñ I ϕ= ëáåêó K

Figure 97.

621. `çåîÉêíáåÖ mçä~ê `ççêÇáå~íÉë íç oÉÅí~åÖìä~ê `ççêÇáå~íÉë

OO óñê += Iñ

óí~å =ϕ K



139

7.3 Straight Line in Plane

mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW uI vI ñI Mñ I Nñ I Mó I Nó I N~ I O~ I £

oÉ~ä åìãÄÉêëW âI ~I ÄI éI íI ^I _I `I N^ I O^ I £^åÖäÉëW α I β^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç äáåÉëW ϕkçêã~ä îÉÅíçêW å

r

mçëáíáçå îÉÅíçêëW êr

I ~r

I Är

622. dÉåÉê~ä bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉM`_ó^ñ =++

623. kçêã~ä sÉÅíçê íç ~ píê~áÖÜí iáåÉqÜÉ îÉÅíçê ( )_I^å

ráë åçêã~ä íç íÜÉ äáåÉ M`_ó^ñ =++ K

Figure 98.

624. bñéäáÅáí bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ EpäçéÉ-fåíÉêÅÉéí cçêãFÄâñó += K



140

qÜÉ Öê~ÇáÉåí çÑ íÜÉ äáåÉ áë α= í~åâ K

Figure 99.

625. dê~ÇáÉåí çÑ ~ iáåÉ

NO

NO

ññ

óóí~åâ

−−

=α=

Figure 100.



141

626. bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ dáîÉå ~ mçáåí ~åÇ íÜÉ dê~ÇáÉåí( )MM ññâóó −+= I

ïÜÉêÉ â áë íÜÉ Öê~ÇáÉåíI ( )MM óIñm áë ~ éçáåí çå íÜÉ äáåÉK

Figure 101.

627. bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ qÜ~í m~ëëÉë qÜêçìÖÜ qïç mçáåíë

NO

N

NO

N

ññ

ññ

óó

óó

−−

=−−

çê

M

Nóñ

Nóñ

Nóñ

OO

NN = K



142

Figure 102.

628. fåíÉêÅÉéí cçêã

NÄ

ó

~

ñ=+

Figure 103.



143

629. kçêã~ä cçêãMéëáåóÅçëñ =−β+β

Figure 104.

630. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã

v

óó

u

ññ NN −=

−I

ïÜÉêÉ ( )vIu áë íÜÉ ÇáêÉÅíáçå çÑ íÜÉ äáåÉ ~åÇ ( )NNN óIñm äáÉëçå íÜÉ äáåÉK



144

Figure 105.

631. sÉêíáÅ~ä iáåÉ~ñ =

632. eçêáòçåí~ä iáåÉÄó =

633. sÉÅíçê bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ

Äí~êrrr

+= IïÜÉêÉl áë íÜÉ çêáÖáå çÑ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉëIu áë ~åó î~êá~ÄäÉ éçáåí çå íÜÉ äáåÉI~r

áë íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê çÑ ~ âåçïå éçáåí ^ çå íÜÉ äáåÉ I

Är

áë ~ âåçïå îÉÅíçê çÑ ÇáêÉÅíáçåI é~ê~ääÉä íç íÜÉ äáåÉIí áë ~ é~ê~ãÉíÉêI

→

=luêr

áë íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê çÑ ~åó éçáåí u çå íÜÉ äáåÉK



145

Figure 106.

634. píê~áÖÜí iáåÉ áå m~ê~ãÉíêáÅ cçêã

+=+=

OO

NN

íÄ~ó

íÄ~ñI

ïÜÉêÉ( )óIñ ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~åó ìåâåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉI( )ON ~I~ ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ âåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉI( )ON ÄIÄ ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ îÉÅíçê é~ê~ääÉä íç íÜÉ äáåÉIí áë ~ é~ê~ãÉíÉêK



146

Figure 107.

635. aáëí~åÅÉ cêçã ~ mçáåí qç ~ iáåÉqÜÉ Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ éçáåí ( )ÄI~m íç íÜÉ äáåÉ

M`_ó^ñ =++ áë

OO _^

`_Ä^~Ç

+

++= K

Figure 108.



147

636. m~ê~ääÉä iáåÉëqïç äáåÉë NN Äñâó += ~åÇ OO Äñâó += ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ

ON ââ = Kqïç äáåÉë M`ó_ñ^ NNN =++ ~åÇ M`ó_ñ^ OOO =++ ~êÉé~ê~ääÉä áÑ

O

N

O

N

_

_

^

^= K

Figure 109.

637. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉëqïç äáåÉë NN Äñâó += ~åÇ OO Äñâó += ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ

NO â

Nâ −= çêI Éèìáî~äÉåíäóI Nââ ON −= K

qïç äáåÉë M`ó_ñ^ NNN =++ ~åÇ M`ó_ñ^ OOO =++ ~êÉéÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ

M__^^ ONON =+ K



148

Figure 110.

638. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç iáåÉë

ON

NO

ââN

ââí~å

+−

=ϕ I

OO

OO

ON

ON

ONON

_^_^

__^^Åçë

+⋅+

+=ϕ K



149

Figure 111.

639. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç iáåÉëfÑ íïç äáåÉë M`ó_ñ^ NNN =++ ~åÇ M`ó_ñ^ OOO =++ áåíÉê-ëÉÅíI íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå éçáåí Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë

NOON

NOONM _^_^

_`_`ñ

−+−

= INOON

NOONM _^_^

`^`^ó

−+−

= K

7.4 Circle

o~ÇáìëW o`ÉåíÉê çÑ ÅáêÅäÉW ( )ÄI~mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI Nñ I Nó I £oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI í



150

640. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í íÜÉ lêáÖáå Epí~åÇ~êÇcçêãF

OOO oóñ =+

Figure 112.

641. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í ^åó mçáåí ( )ÄI~ ( ) ( ) OOO oÄó~ñ =−+−

Figure 113.



151

642. qÜêÉÉ mçáåí cçêã

M

Nóñóñ

Nóñóñ

Nóñóñ

Nóñóñ

PPOP

OP

OOOO

OO

NNON

ON

OO

=

++++

Figure 114.

643. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã

==

íëáåoó

íÅçëoñI π≤≤ OíM K

644. dÉåÉê~ä cçêã Mcbóañ^ó^ñ OO =++++ E^ åçåòÉêçI ^cQba OO >+ FK

qÜÉ ÅÉåíÉê çÑ íÜÉ ÅáêÅäÉ Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë ( )ÄI~ I ïÜÉêÉ

^O

a~ −= I

^O

bÄ −= K

qÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ÅáêÅäÉ áë



152

Ô

^cQbao

OO −+= K

7.5 Ellipse

pÉãáã~àçê ~ñáëW ~pÉãáãáåçê ~ñáëW ÄcçÅáW ( )MIÅcN − I ( )MIÅcO

aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ ÑçÅáW OÅbÅÅÉåíêáÅáíóW ÉoÉ~ä åìãÄÉêëW Î _I Ì aI bI cI ímÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

645. bèì~íáçå çÑ ~å bääáéëÉ Epí~åÇ~êÇ cçêãF

NÄ

ó

~

ñO

O

O

O

=+

Figure 115.


153

646. ~Oêê ON =+ I ïÜÉêÉ Nê I Oê ~êÉ Çáëí~åÅÉë Ñêçã ~åó éçáåí ( )óIñm çåíÜÉ ÉääáéëÉ íç íÜÉ íïç ÑçÅáK

Figure 116.

647. OOO ÅÄ~ +=

648. bÅÅÉåíêáÅáíó

N~

ÅÉ <=

649. bèì~íáçåë çÑ aáêÉÅíêáÅÉë

Å

~

É

~ñ

O

±=±=


==

íëáåÄó

íÅçë~ñI π≤≤ OíM K

154

651. dÉåÉê~ä cçêã Mcbóañ`ó_ñó^ñ OO =+++++ I

ïÜÉêÉ M^`Q_O <− K

652. dÉåÉê~ä cçêã ïáíÜ ^ñÉë m~ê~ääÉä íç íÜÉ `ççêÇáå~íÉ ^ñÉë Mcbóañ`ó^ñ OO =++++ I

ïÜÉêÉ M^` > K

653. `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ ( )É~bQi = I

ïÜÉêÉ íÜÉ ÑìåÅíáçå b áë íÜÉ ÅçãéäÉíÉ ÉääáéíáÅ áåíÉÖê~ä çÑíÜÉ ëÉÅçåÇ âáåÇK

654. ^ééêçñáã~íÉ cçêãìä~ë çÑ íÜÉ `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ ( )( )~ÄÄ~RKNi −+π= I

( )OO Ä~Oi +π= K

655. ~Äp π=

7.6 Hyperbola

qê~åëîÉêëÉ ~ñáëW ~`çåàìÖ~íÉ ~ñáëW ÄcçÅáW ( )MIÅcN − I ( )MIÅcO

aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ ÑçÅáW OÅbÅÅÉåíêáÅáíóW É^ëóãéíçíÉëW ëI íoÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI íI â


155

656. bèì~íáçå çÑ ~ eóéÉêÄçä~ Epí~åÇ~êÇ cçêãF

NÄ

ó

~

ñO

O

O

O

=−

Figure 117.

657. ~Oêê ON =− I ïÜÉêÉ Nê I Oê ~êÉ Çáëí~åÅÉë Ñêçã ~åó éçáåí ( )óIñm çåíÜÉ ÜóéÉêÄçä~ íç íÜÉ íïç ÑçÅáK



156

Figure 118.

658. bèì~íáçåë çÑ ^ëóãéíçíÉë

ñ~

Äó ±=

659. OOO Ä~Å +=

660. bÅÅÉåíêáÅáíó

N~

ÅÉ >=

661. bèì~íáçåë çÑ aáêÉÅíêáÅÉë

Å

~

É

~ñ

O

±=±=


157

662. m~ê~ãÉíêáÅ bèì~íáçåë çÑ íÜÉ oáÖÜí _ê~åÅÜ çÑ ~ eóéÉêÄçä~

==

íëáåÜÄó

íÅçëÜ~ñI π≤≤ OíM K


ïÜÉêÉ M^`Q_O >− K

664. dÉåÉê~ä cçêã ïáíÜ ^ñÉë m~ê~ääÉä íç íÜÉ `ççêÇáå~íÉ ^ñÉë Mcbóañ`ó^ñ OO =++++ I

ïÜÉêÉ M^` < K

665. ^ëóãéíçíáÅ cçêã

Q

Éñó

O

= I

çê

ñ

âó = I ïÜÉêÉ

Q

Éâ

O

= K

få íÜáë Å~ëÉ I íÜÉ ~ëóãéíçíÉë Ü~îÉ Éèì~íáçåë Mñ = ~åÇMó = K


158

Figure 119.

7.7 Parabola

cçÅ~ä é~ê~ãÉíÉêW écçÅìëW csÉêíÉñW ( )MM óIñj

oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI éI ~I ÄI Å

666. bèì~íáçå çÑ ~ m~ê~Äçä~ Epí~åÇ~êÇ cçêãF éñOóO =



159

Figure 120.

bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ

O

éñ −= I

`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë

MIO

éc I

`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ( )MIMj K


ïÜÉêÉ M^`Q_O =− K

668. O~ñó = I~O

Né = K




160

O

éó −= I


O

éIMc I

`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ( )MIMj K

Figure 121.

669. dÉåÉê~ä cçêãI ^ñáë m~ê~ääÉä íç íÜÉ ó-~ñáëMcbóañ^ñ O =+++ E^I b åçåòÉêçFI

ÅÄñ~ñó O ++= I~O

Né = K


O

éóó M −= I




161

+

O

éóIñc MM I

`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ

~O

ÄñM −= I

~Q

Ä~ÅQÅÄñ~ñó

O

MOMM

−=++= K

Figure 122.

7.8 Three-Dimensional Coordinate System

mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW Mñ I Mó I Mò I Nñ I Nó I Nò I £

oÉ~ä åìãÄÉêW λaáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç^êÉ~W psçäìãÉW s



162


( ) ( ) ( )ONOO

NOO

NO òòóóññ^_Ç −+−+−==

Figure 123.


λ+λ+

=N

ñññ ON

M Iλ+λ+

=N

óóó ON

M Iλ+λ+

=N

òòò ON

M I

ïÜÉêÉ

`_

^`=λ I N−≠λ K



163

Figure 124.

Figure 125.



164


O

ñññ ON

M

+= I

O

óóó ON

M

+= I

O

òòò ON

M

+= I N=λ K

673. ^êÉ~ çÑ ~ qêá~åÖäÉqÜÉ ~êÉ~ çÑ ~ íêá~åÖäÉ ïáíÜ îÉêíáÅÉë ( )NNNN òIóIñm I( )OOOO òIóIñm I ~åÇ ( )PPPP òIóIñm áë ÖáîÉå Äó

O

PP

OO

NN

O

PP

OO

NN

O

PP

OO

NN

Nóñ

Nóñ

Nóñ

Nñò

Nñò

Nñò

Nòó

Nòó

Nòó

O

Np ++= K

674. sçäìãÉ çÑ ~ qÉíê~ÜÉÇêçåqÜÉ îçäìãÉ çÑ ~ íÉíê~ÜÉÇêçå ïáíÜ îÉêíáÅÉë ( )NNNN òIóIñm I( )OOOO òIóIñm I ( )PPPP òIóIñm I ~åÇ ( )QQQQ òIóIñm áë ÖáîÉå Äó

Nòóñ

Nòóñ

Nòóñ

Nòóñ

S

Ns

QQQ

PPP

OOO

NNN

±= I

çê

QPQPQP

QOQOQO

QNQNQN

òòóóññ

òòóóññ

òòóóññ

S

Ns

−−−−−−−−−

±= K

kçíÉW tÉ ÅÜççëÉ íÜÉ ëáÖå EHF çê E¥F ëç íÜ~í íç ÖÉí ~ éçëáíáîÉ~åëïÉê Ñçê îçäìãÉK



165

Figure 126.

7.9 Plane

mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI Mñ I Mó I Mò I Nñ I Nó I Nò I £

oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI N^ I O^ I ~I ÄI ÅI N~ I O~ I λ I éI íI £kçêã~ä îÉÅíçêëW å

rI Når

I Oår

aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW αÅçë I βÅçë I γÅçëaáëí~åÅÉ Ñêçã éçáåí íç éä~åÉW Ç

675. dÉåÉê~ä bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉMa`ò_ó^ñ =+++



166

676. kçêã~ä sÉÅíçê íç ~ mä~åÉqÜÉ îÉÅíçê ( )`I_I^å

ráë åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉ

Ma`ò_ó^ñ =+++ K

Figure 127.

677. m~êíáÅìä~ê `~ëÉë çÑ íÜÉ bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉMa`ò_ó^ñ =+++

fÑ M^ = I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñ-~ñáëKfÑ M_ = I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ó-~ñáëKfÑ M` = I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ò-~ñáëKfÑ Ma= I íÜÉ éä~åÉ äáÉë çå íÜÉ çêáÖáåK

fÑ M_^ == I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñó-éä~åÉKfÑ M`_ == I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ óò-éä~åÉKfÑ M`^ == I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñò-éä~åÉK



167

678. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã( ) ( ) ( ) Mòò`óó_ññ^ MMM =−+−+− I

ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí ( )MMM òIóIñm äáÉë áå íÜÉ éä~åÉI ~åÇ íÜÉ îÉÅ-íçê ( )`I_I^ áë åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉK

Figure 128.

679. fåíÉêÅÉéí cçêã

NÅ

ò

Ä

ó

~

ñ=++



168

Figure 129.

680. qÜêÉÉ mçáåí cçêã

M

òòóóññ

òòóóññ

òòóóññ

POPOPO

PNPNPN

PPP

=−−−−−−−−−

I

çê

M

Nòóñ

Nòóñ

Nòóñ

Nòóñ

PPP

OOO

NNN = K



169

Figure 130.

681. kçêã~ä cçêãMéÅçëòÅçëóÅçëñ =−γ+β+α I

ïÜÉêÉ é áë íÜÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ çêáÖáå íçíÜÉ éä~åÉ I ~åÇ αÅçë I βÅçë I γÅçë ~êÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëçÑ ~åó äáåÉ åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉK



170

Figure 131.


++=++=++=

íÅëÅòò

íÄëÄóó

í~ë~ññ

ONN

ONN

ONN

I

ïÜÉêÉ ( )òIóIñ ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~åó ìåâåçïå éçáåí çåíÜÉ äáåÉ I íÜÉ éçáåí ( )NNN òIóIñm äáÉë áå íÜÉ éä~åÉI íÜÉ îÉÅíçêë( )NNN ÅIÄI~ ~åÇ ( )OOO ÅIÄI~ ~êÉ é~ê~ääÉä íç íÜÉ éä~åÉK



171

Figure 132.

683. aáÜÉÇê~ä ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç mä~åÉëfÑ íÜÉ éä~åÉë ~êÉ ÖáîÉå Äó

Maò`ó_ñ^ NNNN =+++ IMaò`ó_ñ^ OOOO =+++ I

íÜÉå íÜÉ ÇáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉã áë

OO

OO

OO

ON

ON

ON

ONONON

ON

ON

`_^`_^

``__^^

åå

ååÅçë

++⋅++

++=

⋅⋅

=ϕ rr

rr

K



172

Figure 133.

684. m~ê~ääÉä mä~åÉëqïç éä~åÉë Maò`ó_ñ^ NNNN =+++ ~åÇ

Maò`ó_ñ^ OOOO =+++ ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ

O

N

O

N

O

N

`

`

_

_

^

^== K

685. mÉêéÉåÇáÅìä~ê mä~åÉëqïç éä~åÉë Maò`ó_ñ^ NNNN =+++ ~åÇ

Maò`ó_ñ^ OOOO =+++ ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑM``__^^ ONONON =++ K

686. bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ qÜêçìÖÜ ( )NNN òIóIñm ~åÇ m~ê~ääÉä qçíÜÉ sÉÅíçêë ( )NNN ÅIÄI~ ~åÇ ( )OOO ÅIÄI~ EcáÖKNPOF



173

M

ÅÄ~

ÅÄ~

òòóóññ

OOO

NNN

NNN

=−−−

687. bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ qÜêçìÖÜ ( )NNNN òIóIñm ~åÇ ( )OOOO òIóIñm I~åÇ m~ê~ääÉä qç íÜÉ sÉÅíçê ( )ÅIÄI~

M

ÅÄ~

òòóóññ

òòóóññ

NONONO

NNN

=−−−−−−

Figure 134.

688. aáëí~åÅÉ cêçã ~ mçáåí qç ~ mä~åÉqÜÉ Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ éçáåí ( )NNNN òIóIñm íç íÜÉ éä~åÉ

Ma`ò_ó^ñ =+++ áë



174

OOO

NNN

`_^

a`ò_ó^ñÇ

++

+++= K

Figure 135.

689. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç mä~åÉëfÑ íïç éä~åÉë Maò`ó_ñ^ NNNN =+++ ~åÇ

Maò`ó_ñ^ OOOO =+++ áåíÉêëÉÅíI íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå ëíê~áÖÜíäáåÉ áë ÖáîÉå Äó

+=+=+=

Åíòò

Äíóó

~íññ

N

N

N

I

çê

Å

òò

Ä

óó

~

ññ NNN −=

−=

−I

ïÜÉêÉ



175

OO

NN

`_

`_~ = I

OO

NN

^`

^`Ä = I

OO

NN

_^

_^Å = I

OOO

OO

NN

OO

NN

N ÅÄ~

_a

_aÅ

à

àÄ

ñ++

−= I

OOO

OO

NN

OO

NN

N ÅÄ~

à

à~

â

âÅ

ó++

−= I

OOO

OO

NN

OO

NN

N ÅÄ~

â

âÄ

_a

_a~

ò++

−= K

7.10 Straight Line in Space

mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI Nñ I Nó I Nò I £aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW αÅçë I βÅçë I γÅçëoÉ~ä åìãÄÉêëW Î _I Ì aI ~I ÄI ÅI N~ I O~ I íI £aáêÉÅíáçå îÉÅíçêë çÑ ~ äáåÉW ë

rI Nër

I Oër

kçêã~ä îÉÅíçê íç ~ éä~åÉW år

^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç äáåÉëW ϕ

690. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã çÑ íÜÉ bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ

Å

òò

Ä

óó

~

ññ NNN −=

−=

−I

ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí ( )NNNN òIóIñm äáÉë çå íÜÉ äáåÉI ~åÇ ( )ÅIÄI~ áëíÜÉ ÇáêÉÅíáçå îÉÅíçê çÑ íÜÉ äáåÉK



176

Figure 136.

691. qïç mçáåí cçêã

NO

N

NO

N

NO

N

òò

òò

óó

óó

ññ

ññ

−−

=−−

=−−

Figure 137.



177


γ+=β+=α+=

Åçëíòò

Åçëíóó

Åçëíññ

N

N

N

I

ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí ( )NNNN òIóIñm äáÉë çå íÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉIαÅçë I βÅçë I γÅçë ~êÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå ÅçëáåÉë çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå

îÉÅíçê çÑ íÜÉ äáåÉI íÜÉ é~ê~ãÉíÉê í áë ~åó êÉ~ä åìãÄÉêK

Figure 138.

693. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç píê~áÖÜí iáåÉë

OO

OO

OO

ON

ON

ON

ONONON

ON

ON

ÅÄ~ÅÄ~

ÅÅÄÄ~~

ëë

ëëÅçë

++⋅++

++=

⋅⋅

=ϕ rr

rr



178

Figure 139.

694. m~ê~ääÉä iáåÉëqïç äáåÉë ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ

ON ëööërr

Içê

O

N

O

N

O

N

Å

Å

Ä

Ä

~

~== K

695. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉëqïç äáåÉë ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ

Mëë ON =⋅rr

Içê

MÅÅÄÄ~~ ONONON =++ K

696. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç iáåÉë

qïç äáåÉëN

N

N

N

N

N

Å

òò

Ä

óó

~

ññ −=

−=

−~åÇ



179

O

O

O

O

O

O

Å

òò

Ä

óó

~

ññ −=

−=

−áåíÉêëÉÅí áÑ

M

ÅÄ~

ÅÄ~

òòóóññ

OOO

NNN

NONONO

=−−−

K

697. m~ê~ääÉä iáåÉ ~åÇ mä~åÉ

qÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉÅ

òò

Ä

óó

~

ññ NNN −=

−=

−~åÇ íÜÉ éä~åÉ

Ma`ò_ó^ñ =+++ ~êÉ é~ê~ääÉä áÑMëå =⋅

rrI

çêM`Å_Ä^~ =++ K

Figure 140.



180

698. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉ ~åÇ mä~åÉ

qÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉÅ

òò

Ä

óó

~

ññ NNN −=

−=

−~åÇ íÜÉ éä~åÉ

Ma`ò_ó^ñ =+++ ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑëööårr

Içê

Å

`

Ä

_

~

^== K

Figure 141.

7.11 Quadric Surfaces

mçáåí ÅççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ èì~ÇêáÅ ëìêÑ~ÅÉëW ñI óI òoÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I ~I ÄI ÅI PON âIâIâ I £


181

699. dÉåÉê~ä nì~Çê~íáÅ bèì~íáçåMaoòOnóOmñOeñóOdòñOcóòO`ò_ó^ñ OOO =+++++++++

700. `ä~ëëáÑáÅ~íáçå çÑ nì~ÇêáÅ pìêÑ~ÅÉë

`~ëÉ o~åâEÉF o~åâEbF ∆ â ëáÖåë qóéÉ çÑ pìêÑ~ÅÉ

N P Q M< p~ãÉ oÉ~ä bääáéëçáÇ

O P Q M> p~ãÉ fã~Öáå~êó bääáéëçáÇ

P P Q M> aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäçáÇ çÑ N pÜÉÉí

Q P Q M< aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäçáÇ çÑ O pÜÉÉíë

R P P aáÑÑÉêÉåí oÉ~ä nì~ÇêáÅ `çåÉS P P p~ãÉ fã~Öáå~êó nì~ÇêáÅ `çåÉT O Q M< p~ãÉ bääáéíáÅ m~ê~ÄçäçáÇ

U O Q M> aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäáÅ m~ê~ÄçäçáÇ

V O P p~ãÉ oÉ~ä bääáéíáÅ `óäáåÇÉêNM O P p~ãÉ fã~Öáå~êó bääáéíáÅ `óäáåÇÉêNN O P aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäáÅ `óäáåÇÉêNO O O aáÑÑÉêÉåí oÉ~ä fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉëNP O O p~ãÉ fã~Öáå~êó fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉëNQ N P m~ê~ÄçäáÅ `óäáåÇÉêNR N O oÉ~ä m~ê~ääÉä mä~åÉëNS N O fã~Öáå~êó m~ê~ääÉä mä~åÉëNT N N `çáåÅáÇÉåí mä~åÉë

eÉêÉ

=

`cd

c_e

de^

É I

=

aonm

o`cd

nc_e

mne^

b I ( )bÇÉí=∆ I

PON âIâIâ ~êÉ íÜÉ êççíë çÑ íÜÉ Éèì~íáçåI

M

ñ`cd

cñ_e

deñ^

=−

−−

K


182

701. oÉ~ä bääáéëçáÇ E`~ëÉ NF

NÅ

ò

Ä

ó

~

ñO

O

O

O

O

O

=++

Figure 142.

702. fã~Öáå~êó bääáéëçáÇ E`~ëÉ OF

NÅ

ò

Ä

ó

~

ñO

O

O

O

O

O

−=++

703. eóéÉêÄçäçáÇ çÑ N pÜÉÉí E`~ëÉ PF

NÅ

ò

Ä

ó

~

ñO

O

O

O

O

O

=−+



183

Figure 143.

704. eóéÉêÄçäçáÇ çÑ O pÜÉÉíë E`~ëÉ QF

NÅ

ò

Ä

ó

~

ñO

O

O

O

O

O

−=−+

Figure 144.



184

705. oÉ~ä nì~ÇêáÅ `çåÉ E`~ëÉ RF

MÅ

ò

Ä

ó

~

ñO

O

O

O

O

O

=−+

Figure 145.

706. fã~Öáå~êó nì~ÇêáÅ `çåÉ E`~ëÉ SF

MÅ

ò

Ä

ó

~

ñO

O

O

O

O

O

=++

707. bääáéíáÅ m~ê~ÄçäçáÇ E`~ëÉ TF

MòÄ

ó

~

ñO

O

O

O

=−+



185

Figure 146.

708. eóéÉêÄçäáÅ m~ê~ÄçäçáÇ E`~ëÉ UF

MòÄ

ó

~

ñO

O

O

O

=−−

Figure 147.



186

709. oÉ~ä bääáéíáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ VF

NÄ

ó

~

ñO

O

O

O

=+

Figure 148.

710. fã~Öáå~êó bääáéíáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NMF

NÄ

ó

~

ñO

O

O

O

−=+

711. eóéÉêÄçäáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NNF

NÄ

ó

~

ñO

O

O

O

=−



187

Figure 149.

712. oÉ~ä fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë E`~ëÉ NOF

MÄ

ó

~

ñO

O

O

O

=−

713. fã~Öáå~êó fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë E`~ëÉ NPF

MÄ

ó

~

ñO

O

O

O

=+

714. m~ê~ÄçäáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NQF

Mó~

ñO

O

=−



188

Figure 150.

715. oÉ~ä m~ê~ääÉä mä~åÉë E`~ëÉ NRF

N~

ñO

O

=

716. fã~Öáå~êó m~ê~ääÉä mä~åÉë E`~ëÉ NSF

N~

ñO

O

−=

717. `çáåÅáÇÉåí mä~åÉë E`~ëÉ NTFMñO =



189

7.12 Sphere

o~Çáìë çÑ ~ ëéÜÉêÉW omçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI Nñ I Nó I Nò I £`ÉåíÉê çÑ ~ ëéÜÉêÉW ( )ÅIÄI~oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I aI bI cI j

718. bèì~íáçå çÑ ~ péÜÉêÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í íÜÉ lêáÖáå Epí~åÇ~êÇcçêãF

OOOO oòóñ =++

Figure 151.

719. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í ^åó mçáåí ( )ÅIÄI~ ( ) ( ) ( ) OOOO oÅòÄó~ñ =−+−+−

720. aá~ãÉíÉê cçêã

( )( ) ( )( ) ( )( ) Mòòòòóóóóññññ ONONON =−−+−−+−− I



190

ïÜÉêÉ( )NNNN òIóIñm I ( )OOOO òIóIñm ~êÉ íÜÉ ÉåÇë çÑ ~ Çá~ãÉíÉêK

721. cçìê mçáåí cçêã

M

Nòóññóñ

Nòóññóñ

Nòóññóñ

Nòóññóñ

Nòóñòóñ

QQQOQ

OQ

OQ

PPPOP

OP

OP

OOOOO

OO

OO

NNNON

ON

ON

OOO

=

++++++++++

722. dÉåÉê~ä cçêã Mjcòbóañ^ò^ó^ñ OOO =++++++ E^ áë åçåòÉêçFK

qÜÉ ÅÉåíÉê çÑ íÜÉ ëéÜÉêÉ Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë ( )ÅIÄI~ I ïÜÉêÉ

Ô

a~ −= I

Ô

bÄ −= I

Ô

cÅ −= K

qÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ëéÜÉêÉ áë

Ô

j^Qcbao

OOOO −++= K


191

Chapter 8

Differential Calculus

cìåÅíáçåëW ÑI ÖI óI ìI î^êÖìãÉåí EáåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉFW ñoÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI Çk~íìê~ä åìãÄÉêW å^åÖäÉW αfåîÉêëÉ ÑìåÅíáçåW NÑ −

8.1 Functions and Their Graphs

723. bîÉå cìåÅíáçå( ) ( )ñÑñÑ =−

724. lÇÇ cìåÅíáçå( ) ( )ñÑñÑ −=−

725. mÉêáçÇáÅ cìåÅíáçå( ) ( )ñÑåqñÑ =+

726. fåîÉêëÉ cìåÅíáçå( )ñÑó = áë ~åó ÑìåÅíáçåI ( )óÖñ = çê ( )ñÑó N−= áë áíë áåîÉêëÉ

ÑìåÅíáçåK


CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

192

Figure 152.

727. `çãéçëáíÉ cìåÅíáçå( )ìÑó = I ( )ñÖì = I ( )( )ñÖÑó = áë ~ ÅçãéçëáíÉ ÑìåÅíáçåK

728. iáåÉ~ê cìåÅíáçåÄ~ñó += I oñ∈ I α= í~å~ áë íÜÉ ëäçéÉ çÑ íÜÉ äáåÉI Ä áë

íÜÉ ó-áåíÉêÅÉéíK



193

Figure 153.

729. nì~Çê~íáÅ cìåÅíáçåOñó = I oñ∈ K

Figure 154.



194

730. ÅÄñ~ñó O ++= I oñ∈ K

Figure 155.

731. `ìÄáÅ cìåÅíáçåPñó = I oñ∈ K



195

Figure 156.

732. ÇÅñÄñ~ñó OP +++= I oñ∈ K



196

Figure 157.

733. mçïÉê cìåÅíáçååñó = I kå∈ K



197

Figure 158.

Figure 159.



198

734. pèì~êÉ oççí cìåÅíáçå

ñó = I [ )∞∈ IMñ K

Figure 160.

735. bñéçåÉåíá~ä cìåÅíáçåëñ~ó = I M~ > I N~ ≠ IñÉó = áÑ É~ = I KSTNUOUNUOUQKOÉ =

Figure 161.



199

736. içÖ~êáíÜãáÅ cìåÅíáçåëñäçÖó ~= I ( )∞∈ IMñ I M~ > I N~ ≠ I

ñäåó = áÑ É~ = I Mñ > K

Figure 162.

737. eóéÉêÄçäáÅ páåÉ cìåÅíáçå

ñëáåÜó = IO

ÉÉñëáåÜ

ññ −−= I oñ∈ K



200

Figure 163.

738. eóéÉêÄçäáÅ `çëáåÉ cìåÅíáçå

ñÜÅçëó = IO

ÉÉñÜÅçë

ññ −+= I oñ∈ K

Figure 164.



201

739. eóéÉêÄçäáÅ q~åÖÉåí cìåÅíáçå

ñí~åÜó = Iññ

ññ

ÉÉ

ÉÉ

ñÅçëÜ

ñëáåÜñí~åÜó −

−

+−

=== I oñ∈ K

Figure 165.

740. eóéÉêÄçäáÅ `çí~åÖÉåí cìåÅíáçå

ñÜÅçíó = Iññ

ññ

ÉÉ

ÉÉ

ñëáåÜ

ñÅçëÜñÜÅçíó −

−

−+

=== I oñ∈ I Mñ ≠ K



202

Figure 166.

741. eóéÉêÄçäáÅ pÉÅ~åí cìåÅíáçå

ñÜëÉÅó = Iññ ÉÉ

O

ñÅçëÜ

NñÜëÉÅó −+

=== I oñ∈ K

Figure 167.



203

742. eóéÉêÄçäáÅ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå

ñÅëÅÜó = Iññ ÉÉ

O

ñëáåÜ

NñÅëÅÜó −−

=== I oñ∈ I Mñ ≠ K

Figure 168.

743. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ páåÉ cìåÅíáçåñ~êÅëáåÜó = I oñ∈ K



204

Figure 169.

744. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çëáåÉ cìåÅíáçåñ~êÅÅçëÜó = I [ )∞∈ INñ K

Figure 170.

745. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ q~åÖÉåí cìåÅíáçåñ~êÅí~åÜó = I ( )NINñ −∈ K



205

Figure 171.

746. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çí~åÖÉåí cìåÅíáçåñ~êÅÅçíÜó = I ( ) ( )∞∪−∞−∈ INNIñ K



206

Figure 172.

747. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ pÉÅ~åí cìåÅíáçåñ~êÅëÉÅÜó = I ( ]NIMñ∈ K



207

Figure 173.

748. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçåñ~êÅÅëÅÜó = I oñ∈ I Mñ ≠ K

Figure 174.



208

8.2 Limits of Functions

cìåÅíáçåëW ( )ñÑ I ( )ñÖ^êÖìãÉåíW ñoÉ~ä Åçåëí~åíëW ~I â

749. ( ) ( )[ ] ( ) ( )ñÖäáãñÑäáãñÖñÑäáã~ñ~ñ~ñ →→→

+=+


−=−


⋅=⋅

752. ( )( )

( )( )ñÖäáã

ñÑäáã

ñÖ

ñÑäáã

~ñ

~ñ

~ñ→

→

→= I áÑ ( ) MñÖäáã

~ñ≠

→K

753. ( )[ ] ( )ñÑäáãâñâÑäáã~ñ~ñ →→

=

754. ( )( ) ( )( )ñÖäáãÑñÖÑäáã~ñ~ñ →→

=

755. ( ) ( )~ÑñÑäáã~ñ

=→

I áÑ íÜÉ ÑìåÅíáçå ( )ñÑ áë Åçåíáåìçìë ~í ~ñ = K

756. Nñ

ñëáåäáã

Mñ=

→

757. Nñ

ñí~åäáã

Mñ=

→

758. Nñ

ñëáåäáã

N

Mñ=

−

→



209

759. Nñ

ñí~åäáã

N

Mñ=

−

→

760. ( )N

ñ

ñNäåäáã

Mñ=

+→

761. Éñ

NNäáã

ñ

ñ=

+

∞→

762. âñ

ñÉ

ñ

âNäáã =

+

∞→

763. N~äáã ñ

Mñ=

→

8.3 Definition and Properties of the Derivative

cìåÅíáçåëW ÑI ÖI óI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñoÉ~ä Åçåëí~åíW â^åÖäÉW α

764. ( ) ( ) ( )Çñ

Çó

ñ

óäáã

ñ

ñÑññÑäáãñó

MñMñ=

∆∆

=∆

−∆+=′

→∆→∆



210

Figure 175.

765. α= í~åÇñ

Çó

766. ( )Çñ

Çî

Çñ

Çì

Çñ

îìÇ+=

+

767. ( )Çñ

Çî

Çñ

Çì

Çñ

îìÇ−=

−

768. ( )Çñ

Çìâ

Çñ

âìÇ=

769. mêçÇìÅí oìäÉ( )

Çñ

Çîìî

Çñ

Çì

Çñ

îìÇ⋅+⋅=

⋅



211

770. nìçíáÉåí oìäÉ

OîÇñ

Çîìî

Çñ

Çì

î

ì

Çñ

Ç ⋅−⋅=

771. `Ü~áå oìäÉ( )( )ñÖÑó = I ( )ñÖì = I

Çñ

Çì

Çì

Çó

Çñ

Çó⋅= K

772. aÉêáî~íáîÉ çÑ fåîÉêëÉ cìåÅíáçå

Çó

ÇñN

Çñ

Çó= I

ïÜÉêÉ ( )óñ áë íÜÉ áåîÉêëÉ ÑìåÅíáçå çÑ ( )ñó K

773. oÉÅáéêçÅ~ä oìäÉ

OóÇñ

Çó

ó

N

Çñ

Ç−=

774. içÖ~êáíÜãáÅ aáÑÑÉêÉåíá~íáçå( )ñÑó = I ( )ñÑäåóäå = I

( ) ( )[ ]ñÑäåÇñ

ÇñÑ

Çñ

Çó⋅= K

8.4 Table of Derivatives

fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñoÉ~ä Åçåëí~åíëW `I ~I ÄI Åk~íìê~ä åìãÄÉêW å



212

775. ( ) M`Çñ

Ç=

776. ( ) NñÇñ

Ç=

777. ( ) ~Ä~ñÇñ

Ç=+

778. ( ) Ä~ñÅÄñ~ñÇñ

Ç O +=++

779. ( ) Nåå åññÇñ

Ç −=

780. ( )Nå

å

ñ

åñ

Çñ

Ç+

− −=

781. Oñ

N

ñ

N

Çñ

Ç−=

782. ( )ñO

Nñ

Çñ

Ç=

783. ( )å Nå

å

ñå

Nñ

Çñ

Ç−

=

784. ( )ñ

Nñäå

Çñ

Ç=

785. ( )~äåñ

NñäçÖ

Çñ

Ç~ = I M~ > I N~ ≠ K



213

786. ( ) ~äå~~Çñ

Ç ññ = I M~ > I N~ ≠ K

787. ( ) ññ ÉÉÇñ

Ç=

788. ( ) ñÅçëñëáåÇñ

Ç=

789. ( ) ñëáåñÅçëÇñ

Ç−=

790. ( ) ñëÉÅñÅçë

Nñí~å

Çñ

Ç O

O==

791. ( ) ñÅëÅñëáå

NñÅçí

Çñ

Ç O

O−=−=

792. ( ) ñëÉÅñí~åñëÉÅÇñ

Ç⋅=

793. ( ) ñÅëÅñÅçíñÅëÅÇñ

Ç⋅−=

794. ( )OñN

Nñ~êÅëáå

Çñ

Ç

−=

795. ( )OñN

Nñ~êÅÅçë

Çñ

Ç

−−=

796. ( )OñN

Nñ~êÅí~å

Çñ

Ç

+=



214

797. ( )OñN

NñÅçí~êÅ

Çñ

Ç

+−=

798. ( )Nññ

NñëÉÅ~êÅ

Çñ

ÇO −

=

799. ( )Nññ

NñÅëÅ~êÅ

Çñ

ÇO −

−=

800. ( ) ñÅçëÜñëáåÜÇñ

Ç=

801. ( ) ñëáåÜñÅçëÜÇñ

Ç=

802. ( ) ñëÉÅÜñÅçëÜ

Nñí~åÜ

Çñ

Ç O

O==

803. ( ) ñÅëÅÜñëáåÜ

NñÅçíÜ

Çñ

Ç O

O−=−=

804. ( ) ñí~åÜñëÉÅÜñëÉÅÜÇñ

Ç⋅−=

805. ( ) ñÅçíÜñÅëÅÜñÅëÅÜÇñ

Ç⋅−=

806. ( )Nñ

Nñ~êÅëáåÜ

Çñ

ÇO +

=

807. ( )Nñ

Nñ~êÅÅçëÜ

Çñ

ÇO −

=


215

808. ( )OñN

Nñ~êÅí~åÜ

Çñ

Ç

−= I Nñ < K

809. ( )Nñ

Nñ~êÅÅçíÜ

Çñ

ÇO −

−= I Nñ > K

810. ( )Çñ

Çîìäåì

Çñ

Çìîìì

Çñ

Ç îNîî ⋅+⋅= −

8.5 Higher Order Derivatives

cìåÅíáçåëW ÑI óI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñk~íìê~ä åìãÄÉêW å

811. pÉÅçåÇ ÇÉêáî~íáîÉ

( )O

O

Çñ

óÇ

Çñ

Çó

Çñ

Ç

Çñ

ÇóÑÑ =

=′

=′′=′′

812. eáÖÜÉê-lêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉ

( ) ( ) ( )( ) ′=== −Nåå

å

åå Ñó

Çñ

óÇÑ

813. ( )( ) ( ) ( )ååå îìîì +=+

814. ( )( ) ( ) ( )ååå îìîì −=−

815. iÉáÄåáíò∞ë cçêãìä~ë

( ) îìîìOîììî ′′+′′+′′=′′


216

( ) îìîìPîìPîììî ′′′+′′′+′′′+′′′=′′′

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )åOåNååå ìîîìON

Nååîåìîììî ++′′

⋅−

+′+= −− K

816. ( )( )

( )åãåã ñ

>åã

>ãñ −

−=

817. ( )( )>åñ

åå =

818. ( )( ) ( ) ( )~äåñ

>NåNñäçÖ

å

Nåå

~

−−=

−

819. ( )( ) ( ) ( )å

Nåå

ñ

>NåNñäå

−−=

−

820. ( )( )~äå~~ åñåñ =

821. ( )( ) ñåñ ÉÉ =

822. ( )( )~äå~ã~ åãñååãñ =

823. ( )( )

π

+=O

åñëáåñëáå å

824. ( )( )

π

+=O

åñÅçëñÅçë å



217

8.6 Applications of Derivative

cìåÅíáçåëW ÑI ÖI ómçëáíáçå çÑ ~å çÄàÉÅíW ësÉäçÅáíóW î^ÅÅÉäÉê~íáçåW ïfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñqáãÉW ík~íìê~ä åìãÄÉêW å

825. sÉäçÅáíó ~åÇ ^ÅÅÉäÉê~íáçå( )íÑë = áë íÜÉ éçëáíáçå çÑ ~å çÄàÉÅí êÉä~íáîÉ íç ~ ÑáñÉÇ

ÅççêÇáå~íÉ ëóëíÉã ~í ~ íáãÉ íI( )íÑëî ′=′= áë íÜÉ áåëí~åí~åÉçìë îÉäçÅáíó çÑ íÜÉ çÄàÉÅíI

( )íÑëîï ′′=′′=′= áë íÜÉ áåëí~åí~åÉçìë ~ÅÅÉäÉê~íáçå çÑíÜÉ çÄàÉÅíK

826. q~åÖÉåí iáåÉ( )( )MMM ñññÑóó −′=−


218

Figure 176.

827. kçêã~ä iáåÉ

( )( )M

M

M ñññÑ

Nóó −

′−=− EcáÖ NTSF

828. fåÅêÉ~ëáåÖ ~åÇ aÉÅêÉ~ëáåÖ cìåÅíáçåëKfÑ ( ) MñÑ M >′ I íÜÉå ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ K EcáÖ NTTI Nññ < I

ññO < FIfÑ ( ) MñÑ M <′ I íÜÉå ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ K EcáÖ NTTI

ON ñññ << FIfÑ ( )MñÑ ′ ÇçÉë åçí Éñáëí çê áë òÉêçI íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK

219

Figure 177.

829. içÅ~ä ÉñíêÉã~^ ÑìåÅíáçå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í Nñ áÑ ~åÇ çåäó áÑíÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ áåíÉêî~ä Åçåí~áåáåÖ Nñ ëìÅÜ íÜ~í( ) ( )ñÑñÑ N ≥ Ñçê ~ää ñ áå íÜÉ áåíÉêî~ä EcáÖKNTTFK

^ ÑìåÅíáçå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í Oñ áÑ ~åÇ çåäó áÑíÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ áåíÉêî~ä Åçåí~áåáåÖ Oñ ëìÅÜ íÜ~í( ) ( )ñÑñÑ O ≤ Ñçê ~ää ñ áå íÜÉ áåíÉêî~ä EcáÖKNTTFK

830. `êáíáÅ~ä mçáåíë^ ÅêáíáÅ~ä éçáåí çå ÑEñF çÅÅìêë ~í Mñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ ÉáíÜÉê

( )MñÑ ′ áë òÉêç çê íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉ ÇçÉëå∞í ÉñáëíK

831. cáêëí aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê içÅ~ä bñíêÉã~KfÑ ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ E ( ) MñÑ >′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä( ]NñI~ ~åÇ ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ E ( ) MñÑ <′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉáåíÉêî~ä [ )ÄIñN I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í NñEcáÖKNTTFK

220

832. fÑ ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ E ( ) MñÑ <′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä( ]OñI~ ~åÇ ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ E ( ) MñÑ >′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉáåíÉêî~ä [ )ÄIñ O I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í Oñ KEcáÖKNTTFK

833. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê içÅ~ä bñíêÉã~KfÑ ( ) MñÑ N =′ ~åÇ ( ) MñÑ N <′′ I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã~í Nñ KfÑ ( ) MñÑ O =′ ~åÇ ( ) MñÑ O >′′ I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã~í Oñ K EcáÖKNTTF

834. `çåÅ~îáíóKÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ ìéï~êÇ ~í Mñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ ( )ñÑ ′ áë

áåÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ EcáÖKNTTI ññ P < FK

ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ Ççïåï~êÇ ~í Mñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ ( )ñÑ ′ áë

ÇÉÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ K EcáÖKNTTI Pññ < FK

835. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê `çåÅ~îáíóKfÑ ( ) MñÑ M >′′ I íÜÉå ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ ìéï~êÇ ~í Mñ K

fÑ ( ) MñÑ M <′′ I íÜÉå ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ Ççïåï~êÇ ~í Mñ K

fÑ ( )ñÑ ′′ ÇçÉë åçí Éñáëí çê áë òÉêçI íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK

836. fåÑäÉÅíáçå mçáåíëfÑ ( )PñÑ ′ Éñáëíë ~åÇ ( )ñÑ ′′ ÅÜ~åÖÉë ëáÖå ~í Pññ = I íÜÉå

íÜÉ éçáåí ( )( )PP ñÑIñ áë ~å áåÑäÉÅíáçå éçáåí çÑ íÜÉ Öê~éÜ çÑ

( )ñÑ K fÑ ( )PñÑ ′′ Éñáëíë ~í íÜÉ áåÑäÉÅíáçå éçáåíI íÜÉå ( ) MñÑ P =′′EcáÖKNTTFK

837. i∞eçéáí~ä∞ë oìäÉ

( )( )

( )( )ñÖ

ñÑäáã

ñÖ

ñÑäáã

ÅñÅñ ′′

=→→

áÑ ( ) ( )∞

==→→

MñÖäáãñÑäáã

ÅñÅñK


221

8.7 Differential

cìåÅíáçåëW ÑI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñaÉêáî~íáîÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )ñó′ I ( )ñÑ ′oÉ~ä Åçåëí~åíW `aáÑÑÉêÉåíá~ä çÑ ÑìåÅíáçå ( )ñÑó = W ÇóaáÑÑÉêÉåíá~ä çÑ ñW Çñpã~ää ÅÜ~åÖÉ áå ñW ñ∆pã~ää ÅÜ~åÖÉ áå óW ó∆

838. ÇñóÇó ′=

839. ( ) ( ) ( ) ññÑñÑññÑ ∆′+=∆+

Figure 178.



222

840. pã~ää `Ü~åÖÉ áå ó( ) ( )ñÑññÑó −∆+=∆

841. ( ) ÇîÇìîìÇ +=+

842. ( ) ÇîÇìîìÇ −=−

843. ( ) `Çì`ìÇ =

844. ( ) ìÇîîÇììîÇ +=

845. Oî

ìÇîîÇì

î

ìÇ

−=

8.8 Multivariable Functions

cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW ( )óIñò I ( )óIñÑ I ( )óIñÖ I ( )óIñÜ^êÖìãÉåíëW ñI óI ípã~ää ÅÜ~åÖÉë áå ñI óI òI êÉëéÉÅíáîÉäóW ñ∆ I ó∆ I ò∆ K

846. cáêëí lêÇÉê m~êíá~ä aÉêáî~íáîÉëqÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉ ïáíÜ êÉëéÉÅí íç ñ

ñÑñ

Ñ=

∂∂

E~äëç ñòñ

ò=

∂∂

FI

qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉ ïáíÜ êÉëéÉÅí íç ó

óÑó

Ñ=

∂∂

E~äëç óòó

ò=

∂∂

FK



223

847. pÉÅçåÇ lêÇÉê m~êíá~ä aÉêáî~íáîÉë

ññO

O

Ññ

Ñ

ñ

Ñ

ñ=

∂∂

=

∂∂

∂∂

I

óóO

O

Ñó

Ñ

ó

Ñ

ó=

∂∂

=

∂∂

∂∂

I

ñó

O

Ññó

Ñ

ñ

Ñ

ó=

∂∂∂

=

∂∂

∂∂

I

óñ

O

Ñóñ

Ñ

ó

Ñ

ñ=

∂∂∂

=

∂∂

∂∂

K

fÑ íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉë ~êÉ ÅçåíáåìçìëI íÜÉå

óñ

Ñ

ñó

Ñ OO

∂∂∂

=∂∂

∂K

848. `Ü~áå oìäÉëfÑ ( ) ( )( )óIñÜÖóIñÑ = EÖ áë ~ ÑìåÅíáçå çÑ çåÉ î~êá~ÄäÉ ÜFI íÜÉå

( )( )ñ

ÜóIñÜÖ

ñ

Ñ

∂∂′=

∂∂

I ( )( )ó

ÜóIñÜÖ

ó

Ñ

∂∂′=

∂∂

K

fÑ ( ) ( ) ( )( )íóIíñÑíÜ = I íÜÉå ( )Çí

Çó

ó

Ñ

Çí

Çñ

ñ

ÑíÜ

∂∂

+∂∂

=′ K

fÑ ( ) ( )( )îIìóIîIìñÑò = I íÜÉå

ì

ó

ó

Ñ

ì

ñ

ñ

Ñ

ì

ò

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

Iî

ó

ó

Ñ

î

ñ

ñ

Ñ

î

ò

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

K

849. pã~ää `Ü~åÖÉë

óó

Ññ

ñ

Ñò ∆

∂∂

+∆∂∂

≈∆


224

850. içÅ~ä j~ñáã~ ~åÇ jáåáã~( )óIñÑ Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í ( )MM óIñ áÑ ( ) ( )MM óIñÑóIñÑ ≤

Ñçê ~ää ( )óIñ ëìÑÑáÅáÉåíäó ÅäçëÉ íç ( )MM óIñ K

( )óIñÑ Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í ( )MM óIñ áÑ ( ) ( )MM óIñÑóIñÑ ≥Ñçê ~ää ( )óIñ ëìÑÑáÅáÉåíäó ÅäçëÉ íç ( )MM óIñ K

851. pí~íáçå~êó mçáåíë

Mó

Ñ

ñ

Ñ=

∂∂

=∂∂

K

içÅ~ä ã~ñáã~ ~åÇ äçÅ~ä ãáåáã~ çÅÅìê ~í ëí~íáçå~êó éçáåíëK

852. p~ÇÇäÉ mçáåí^ ëí~íáçå~êó éçáåí ïÜáÅÜ áë åÉáíÜÉê ~ äçÅ~ä ã~ñáãìãåçê ~ äçÅ~ä ãáåáãìã

853. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê pí~íáçå~êó mçáåíë

iÉí ( )MM óIñ ÄÉ ~ ëí~íáçå~êó éçáåí E Mó

Ñ

ñ

Ñ=

∂∂

=∂∂

FK

( ) ( )( ) ( )MMóóMMóñ

MMñóMMññ

óIñÑóIñÑ

óIñÑóIñÑa = K

fÑ Ma> I ( ) MóIñÑ MMññ > I ( )MM óIñ áë ~ éçáåí çÑ äçÅ~ä ãáåáã~K

fÑ Ma> I ( ) MóIñÑ MMññ < I ( )MM óIñ áë ~ éçáåí çÑ äçÅ~ä ã~ñáã~K

fÑ Ma< I ( )MM óIñ áë ~ ë~ÇÇäÉ éçáåíK

fÑ Ma= I íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK

854. q~åÖÉåí mä~åÉqÜÉ Éèì~íáçå çÑ íÜÉ í~åÖÉåí éä~åÉ íç íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ( )óIñÑò =~í ( )MMM òIóIñ áë

( )( ) ( )( )MMMóMMMñM óóóIñÑññóIñÑòò −+−=− K


225

855. kçêã~ä íç pìêÑ~ÅÉqÜÉ Éèì~íáçå çÑ íÜÉ åçêã~ä íç íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ( )óIñÑò = ~í( )MMM òIóIñ áë

( ) ( ) N

òò

óIñÑ

óó

óIñÑ

ññ M

MMó

M

MMñ

M

−−

=−

=−

K

8.9 Differential Operators

råáí îÉÅíçêë ~äçåÖ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ ~ñÉëW ár

I àr

I âr

pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåë EëÅ~ä~ê ÑáÉäÇëFW ( )òIóIñÑ I ( )åON ñIIñIñì K

dê~ÇáÉåí çÑ ~ ëÅ~ä~ê ÑáÉäÇW ìÖê~Ç I ì∇

aáêÉÅíáçå~ä ÇÉêáî~íáîÉWä

Ñ

∂∂

sÉÅíçê ÑìåÅíáçå EîÉÅíçê ÑáÉäÇFW ( )oInImcr

aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW cÇáîr

I cr⋅∇

`ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW cÅìêär

I cr

×∇i~éä~Åá~å çéÉê~íçêW O∇

856. dê~ÇáÉåí çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå

∂∂

∂∂

∂∂

=∇=ò

ÑI

ó

ÑI

ñ

ÑÑÑÖê~Ç I

∂∂

∂∂

∂∂

=∇=åON ñ

ìII

ñ

ìI

ñ

ìììÖê~Ç K K

857. aáêÉÅíáçå~ä aÉêáî~íáîÉ

γ∂∂

+β∂∂

+α∂∂

=∂∂

Åçëò

ÑÅçë

ó

ÑÅçë

ñ

Ñ

ä

ÑI



226

ïÜÉêÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå áë ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê

( )γβα ÅçëIÅçëIÅçëär

I NÅçëÅçëÅçë OOO =γ+β+α K

858. aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ sÉÅíçê cáÉäÇ

ò

o

ó

n

ñ

mccÇáî

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇=rr

859. `ìêä çÑ ~ sÉÅíçê cáÉäÇ

onmñññ

âàá

ccÅìêä∂∂

∂∂

∂∂

=×∇=

rrr

rr

âó

m

ñ

nà

ñ

o

ò

má

ò

n

ó

o rrr

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

=

860. i~éä~Åá~å léÉê~íçê

O

O

O

O

O

OO

ò

Ñ

ó

Ñ

ñ

ÑÑ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

861. ( ) ( ) MccÅìêäÇáî ≡×∇⋅∇=rr

862. ( ) ( ) MÑÑÖê~ÇÅìêä ≡∇×∇=

863. ( ) ( ) ÑÑÑÖê~ÇÇáî O∇=∇⋅∇=

864. ( ) ( ) ( ) ccccÇáîÖê~ÇcÅìêäÅìêä OOrrrrr

∇−⋅∇∇=∇−=


227

Chapter 9

Integral Calculus

cìåÅíáçåëW ÑI ÖI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉëW ñI íI ξ

fåÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )∫ ÇññÑ I ( )∫ ÇññÖ I £

aÉêáî~íáîÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )ñó′ I ( )ñÑ ′ I ( )ñc′ I £oÉ~ä Åçåëí~åíëW `I ~I ÄI ÅI ÇI âk~íìê~ä åìãÄÉêëW ãI åI áI à

9.1 Indefinite Integral

865. ( ) ( ) `ñcÇññÑ +=∫ áÑ ( ) ( )ñÑñc =′ K

866. ( )( ) ( )ñÑÇññÑ =′∫

867. ( ) ( )∫∫ = ÇññÑâÇññâÑ

868. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+ ÇññÖÇññÑÇññÖñÑ

869. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ −=− ÇññÖÇññÑÇññÖñÑ

870. ( ) ( ) `~ñc~

NÇñ~ñÑ +=∫


CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

228

871. ( ) ( ) `Ä~ñc~

NÇñÄ~ñÑ ++=+∫

872. ( ) ( ) ( ) `ñÑO

NÇññÑñÑ O +=′∫

873. ( )( ) ( ) `ñÑäåÇññÑ

ñÑ+=

′∫

874. jÉíÜçÇ çÑ pìÄëíáíìíáçå

( ) ( )( ) ( )∫∫ ′= ÇííìíìÑÇññÑ áÑ ( )íìñ = K

875. fåíÉÖê~íáçå Äó m~êíë

∫∫ −= îÇììîìÇî I

ïÜÉêÉ ( )ñì I ( )ñî ~êÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçåëK

9.2 Integrals of Rational Functions

876. `~ñ~Çñ +=∫

877. `O

ññÇñ

O

+=∫

878. `P

ñÇññ

PO +=∫

879. `Né

ñÇññ

Néé +

+=

+

∫ I Né −≠ K



229

880. ( ) ( )( ) `

Nå~

Ä~ñÇñÄ~ñ

Nåå +

++

=++

∫ I Nå −≠ K

881. `ñäåñ

Çñ+=∫

882. `Ä~ñäå~

N

Ä~ñ

Çñ++=

+∫

883. `ÇÅñäåÅ

~ÇÄÅñ

Å

~Çñ

ÇÅñ

Ä~ñO

++−

+=++

∫

884. ( )( ) `~ñ

Äñäå

Ä~

N

Äñ~ñ

Çñ+

++

−=

++∫ I Ä~ ≠ K

885. ( ) `Äñ~äå~Äñ~Ä

N

Äñ~

ñÇñO

++−+=+∫

886. ( ) ( ) `Äñ~äå~Äñ~~OÄñ~O

N

Ä

N

Äñ~

Çññ OO

P

O

+

+++−+=

+∫

887. ( ) `ñ

Äñ~äå

~

N

Äñ~ñ

Çñ+

+=

+∫

888. ( ) `ñ

Äñ~äå

~

Ä

~ñ

N

Äñ~ñ

ÇñOO

++

+−=+∫

889. ( )

`Äñ~

~Äñ~äå

Ä

N

Äñ~

ñÇñOO +

+++=

+∫



230

890. ( )

`Äñ~

~Äñ~äå~OÄñ~

Ä

N

Äñ~

Çññ O

PO

O

+

+

−+−+=+∫

891. ( ) ( ) `

ñ

Äñ~äå

~

N

Äñ~~

N

Äñ~ñ

ÇñOO

++

++

=+∫

892. `Nñ

Nñäå

O

N

Nñ

ÇñO

++−

=−∫

893. `ñN

ñNäå

O

N

ñN

ÇñO

+−+

=−∫

894. `ñ~

ñ~äå

~O

N

ñ~

ÇñOO

+−+

=−∫

895. `~ñ

~ñäå

~O

N

~ñ

ÇñOO

++−

=−∫

896. `ñí~åñN

Çñ N

O+=

+−∫

897. `~

ñí~å

~

N

ñ~

Çñ N

OO+=

+−∫

898. ( ) `~ñäåO

N

~ñ

ñÇñ OO

OO++=

+∫

899. `~

Äñ~êÅí~å

~Ä

N

Äñ~

ÇñO

+

=

+∫ I M~Ä > K


231

900. `Ä

~ñäå

ÄO

N

Äñ~

ñÇñ O

O++=

+∫

901. ( ) `Äñ~

ñäå

~O

N

Äñ~ñ

ÇñO

O

O+

+=

+∫

902. `Äñ~

Äñ~äå

~ÄO

N

ñÄ~

ÇñOOO

+−+

=−∫

903. `~ÅQÄÄ~ñO

~ÅQÄÄ~ñOäå

~ÅQÄ

N

ÅÄñ~ñ

ÇñO

O

OO+

−++

−−+

−=

++∫ I

M~ÅQÄO >− K

904. `Ä~ÅQ

Ä~ñO~êÅí~å

Ä~ÅQ

O

ÅÄñ~ñ

ÇñOOO+

−

+

−=

++∫ I

M~ÅQÄO <− K

9.3 Integrals of Irrational Functions

905. `Ä~ñ~

O

Ä~ñ

Çñ++=

+∫

906. ( ) `Ä~ñ~P

OÇñÄ~ñ O

P++=+∫

907. ( )`Ä~ñ

~P

ÄO~ñO

Ä~ñ

ñÇñO

++−

=+∫

232

908. ( )( ) `Ä~ñ~NR

ÄO~ñPOÇñÄ~ññ O

P

O++

−=+∫

909. ( )

`~ÅÄÄ~ñ

~ÅÄÄ~ñäå

~ÅÄ

N

Ä~ñÅñ

Çñ+

−++−−+

−=

++∫ I

M~ÅÄ >− K

910. ( )

`Ä~Å

Ä~ñ~êÅí~å

Ä~Å

N

Ä~ñÅñ

Çñ+

−+

−=

++∫ I

M~ÅÄ <− K

911. ( )( ) −++=++

∫ ÇÅñÄ~ñÅ

NÇñ

ÇÅñ

Ä~ñ

( ) ( ) `Ä~ñÅÇÅñ~äå~ÅÅ

ÄÅ~Ç++++

−− I M~ > K

912. ( )( ) −++=++

∫ ÇÅñÄ~ñÅ

NÇñ

ÇÅñ

Ä~ñ

( )( ) `

Ä~ñÅ

ÇÅñ~~êÅí~å

~ÅÅ

ÄÅ~Ç+

++−

− I E M~ FK

913. ( ) ( ) `Äñ~ÄNMR

ñÄNR~ÄñNO~UOÇñÄñ~ñ P

P

OOOO ++

+−=+∫

914. ( )`Äñ~

ÄNR

ñÄP~ÄñQ~UO

Äñ~

ÇññP

OOOO

+++−

=+∫

915. `~Äñ~

~Äñ~äå

~

N

Äñ~ñ

Çñ+

++−+

=+∫ I M~ > K

233

916. `~

Äñ~~êÅí~å

~

O

Äñ~ñ

Çñ+

−+

−=

+∫ I M~ < K

917. ( )( ) ( ) `Ä~

Äñ~êÅëáåÄ~ñÄñ~Çñ

ñÄ

ñ~+

++

+++−=+−

∫

918. ( )( ) ( ) `Ä~

ñÄ~êÅëáåÄ~ñÄñ~Çñ

ñÄ

ñ~+

+−

+−−+−=−+

∫

919. `ñ~êÅëáåñNÇññN

ñN O ++−−=−+

∫

920. ( )( )

`~Ä

~ñ~êÅëáåO

~Ä~ñ

Çñ+

−−

=−−∫

921. +−+−

=−+∫ OO ÅñÄñ~ÅQ

ÄÅñOÇñÅñÄñ~

`~ÅQÄ

ÄÅñO~êÅëáå

ÅU

~ÅQÄOP

O

++

−−+

922. ( ) `ÅÄñ~ñ~OÄ~ñOäå~

N

ÅÄñ~ñ

Çñ O

O+++++=

++∫ I

M~ > K

923. `~ÅQÄ~Q

Ä~ñO~êÅëáå

~

N

ÅÄñ~ñ

Çñ O

O+−

+−=

++∫ I M~ < K

924. `~ññäåO

~~ñ

O

ñÇñ~ñ OO

OOOOO +++++=+∫


234

925. ( ) `~ñP

NÇñ~ññ O

POOOO ++=+∫

926. ( ) −++=+∫ OOOOOOO ~ñ~ñOU

ñÇñ~ññ

`~ññäåU

~ OOQ

+++−

927. `~ññäåñ

~ñÇñ

ñ

~ñ OOOO

O

OO

+++++

−=+

∫

928. `~ññäå~ñ

Çñ OO

OO+++=

+∫

929. `~ñ~

ñäå~~ñÇñ

ñ

~ñOO

OOOO

+++

++=+

∫

930. `~ñ~ñ

ñÇñ OO

OO++=

+∫

931. `~ññäåO

~~ñ

O

ñ

~ñ

Çññ OOO

OO

OO

O

+++−+=+∫

932. `~ñ~

ñäå

~

N

~ññ

ÇñOOOO+

++=

+∫

933. `~ññäåO

~~ñ

O

ñÇñ~ñ OO

OOOOO +−+−−=−∫

934. ( ) `~ñP

NÇñ~ññ O

POOOO +−=−∫



235

935. `ñ

~~êÅëáå~~ñÇñ

ñ

~ñ OOOO

++−=−

∫

936. `~ññäåñ

~ñÇñ

ñ

~ñ OOOO

O

OO

+−++−

−=−

∫

937. `~ññäå~ñ

Çñ OO

OO+−+=

−∫

938. `~ñ~ñ

ñÇñ OO

OO+−=

−∫

939. `~ññäåO

~~ñ

O

ñ

~ñ

Çññ OOO

OO

OO

O

+−++−=−∫

940. `ñ

~~êÅëáå

~

N

~ññ

ÇñOO

+−=−∫

941. ( )

`~ñ

~ñ

~

N

~ñ~ñ

ÇñOO

++−

=−+∫

942. ( )

`~ñ

~ñ

~

N

~ñ~ñ

ÇñOO

+−+

−=−−∫

943. `ñ~

~ñ

~ññ

ÇñO

OO

OOO+

−=

−∫

944. ( )

`~ñ~

ñ

~ñ

ÇñOOOO

POO

+−

−=−

∫



236

945. ( ) ( ) +−−−=−∫ OOOOOP

OO ~ñ~RñOU

ñÇñ~ñ

`~ññäåU

~P OOQ

+−++

946. `~

ñ~êÅëáå

O

~ñ~

O

ñÇññ~

OOOOO ++−=−∫

947. ( ) `ñ~P

NÇññ~ñ O

POOOO +−−=−∫

948. ( ) `~

ñ~êÅëáå

U

~ñ~~ñO

U

ñÇññ~ñ

QOOOOOOO ++−−=−∫

949. `ñ~~

ñäå~ñ~Çñ

ñ

ñ~OO

OOOO

+−+

+−=−

∫

950. `~

ñ~êÅëáå

ñ

ñ~Çñ

ñ

ñ~ OO

O

OO

+−−

−=−

∫

951. `ñ~êÅëáåñN

ÇñO

+=−

∫

952. `~

ñëáå

ñ~

ÇñOO

+=−

∫

953. `ñ~ñ~

ñÇñ OO

OO+−−=

−∫

954. `~

ñ~êÅëáå

O

~ñ~

O

ñ

ñ~

Çññ OOO

OO

O

++−−=−∫


237

955. ( )

`ñ~

ñ~

O

N

ñ~~ñ

ÇñOO

++−

−=−+∫

956. ( )

`ñ~

ñ~

O

N

ñ~~ñ

ÇñOO

+−+

−=−−∫

957. ( ) ( ) `

Äñ~

~Äñ~êÅëáå

~Ä

N

ñ~Äñ

Çñ O

OOOO+

++

−=

−+∫ I ~Ä > K

958. ( )

I`Äñ~ñ~Ä~

Äñäå

Ä~

N

ñ~Äñ

ÇñOOOOOOOOO

+++−−

+

−=

−+∫~Ä < K

959. `ñ~

ñ~

ñ~ñ

ÇñO

OO

OOO+

−−=

−∫

960. ( ) ( ) `~

ñ~êÅëáå

U

~Pñ~ñO~R

U

ñÇññ~

QOOOOO

POO ++−−=−∫

961. ( )

`ñ~~

ñ

ñ~

ÇñOOOO

POO

+−

=−

∫

9.4 Integrals of Trigonometric Functions

962. `ñÅçëñÇñëáå +−=∫

963. `ñëáåñÇñÅçë +=∫


238

964. `ñOëáåQ

N

O

ñÇññëáåO +−=∫

965. `ñOëáåQ

N

O

ñÇññÅçëO ++=∫

966. `ñÅçëQ

PñPÅçë

NO

N`ñÅçëñÅçë

P

NÇññëáå PP +−=+−=∫

967. `ñëáåQ

PñPëáå

NO

N`ñëáå

P

NñëáåÇññÅçë PP ++=+−=∫

968. `O

ñí~åäåÇññÅëÅ

ñëáå

Çñ+== ∫∫

969. `QO

ñí~åäåÇññëÉÅ

ñÅçë

Çñ+

π

+== ∫∫

970. `ñÅçíÇññÅëÅñëáå

Çñ O

O+−== ∫∫

971. `ñí~åÇññëÉÅñÅçë

Çñ O

O+== ∫∫

972. `O

ñí~åäå

O

N

ñëáåO

ñÅçëÇññÅëÅ

ñëáå

ÇñO

P

P++−== ∫∫

973. `QO

ñí~åäå

O

N

ñÅçëO

ñëáåÇññëÉÅ

ñÅçë

ÇñO

P

P+

π

++== ∫∫

974. `ñOÅçëQ

NÇññÅçëñëáå +−=∫



239

975. `ñëáåP

NÇññÅçëñëáå PO +=∫

976. `ñÅçëP

NÇññÅçëñëáå PO +−=∫

977. `ñQëáåPO

N

U

ñÇññÅçëñëáå OO +−=∫

978. `ñÅçëäåñÇñí~å +−=∫

979. `ñëÉÅ`ñÅçë

NÇñ

ñÅçë

ñëáåO

+=+=∫

980. `ñëáåQO

ñí~åäåÇñ

ñÅçë

ñëáåO

+−

π

+=∫

981. `ññí~åÇññí~åO +−=∫

982. `ñëáåäåñÇñÅçí +=∫

983. `ñÅëÅ`ñëáå

NÇñ

ñëáå

ñÅçëO

+−=+−=∫

984. `ñÅçëO

ñí~åäåÇñ

ñëáå

ñÅçëO

++=∫

985. `ññÅçíÇññÅçíO +−−=∫

986. `ñí~åäåñëáåñÅçë

Çñ+=∫



240

987. `QO

ñí~åäå

ñëáå

N

ñÅçëñëáå

ÇñO

+

π

++−=∫

988. `O

ñí~åäå

ñÅçë

N

ñÅçëñëáå

ÇñO

++=∫

989. `ñÅçíñí~åñÅçëñëáå

ÇñOO

+−=∫

990. ( )( )

( )( ) `

åãO

ñåãëáå

åãO

ñåãëáåÇñåñëáåãñëáå +

−−

+++

−=∫ I

OO åã ≠ K

991. ( )( )

( )( ) `

åãO

ñåãÅçë

åãO

ñåãÅçëÇñåñÅçëãñëáå +

−−

−++

−=∫ I

OO åã ≠ K

992. ( )( )

( )( ) `

åãO

ñåãëáå

åãO

ñåãëáåÇñåñÅçëãñÅçë +

−−

+++

=∫ I

OO åã ≠ K

993. `ñëÉÅñÇñí~åñëÉÅ +=∫

994. `ñÅëÅñÇñÅçíñÅëÅ +−=∫

995. `Nå

ñÅçëÇññÅçëñëáå

Nåå +

+−=

+

∫

996. `Nå

ñëáåÇññÅçëñëáå

Nåå +

+=

+

∫



241

997. `ñNñ~êÅëáåñÇññ~êÅëáå O +−+=∫

998. `ñNñ~êÅÅçëñÇññ~êÅÅçë O +−−=∫

999. ( ) `NñäåO

Nñ~êÅí~åñÇññ~êÅí~å O ++−=∫

1000. ( ) `NñäåO

NñÅçí~êÅñÇññÅçí~êÅ O +++=∫

9.5 Integrals of Hyperbolic Functions

1001. `ñÅçëÜñÇñëáåÜ +=∫

1002. `ñëáåÜñÇñÅçëÜ +=∫

1003. `ñÅçëÜäåÇññí~åÜ +=∫

1004. `ñëáåÜäåÇññÅçíÜ +=∫

1005. `ñí~åÜñÇñëÉÅÜO +=∫

1006. `ñÅçíÜñÇñÅëÅÜO +−=∫

1007. `ñëÉÅÜñÇñí~åÜñëÉÅÜ +−=∫



242

1008. `ñÅëÅÜñÇñÅçíÜñÅëÅÜ +−=∫

9.6 Integrals of Exponential and Logarithmic Functions

1009. `ÉÇñÉ ññ +=∫

1010. `~äå

~Çñ~

ññ +=∫

1011. `~

ÉÇñÉ

~ñ~ñ +=∫

1012. ( ) `N~ñ~

ÉÇññÉ

O

~ñ~ñ +−=∫

1013. `ññäåñÇññäå +−=∫

1014. `ñäåäåñäåñ

Çñ+=∫

1015. ( )

`Nå

N

Nå

ñäåñÇññäåñ O

Nåå +

+

−+

= +∫

1016. `ÉÄ~

ÄñÅçëÄÄñëáå~ÇñÄñëáåÉ ~ñ

OO

~ñ ++−

=∫



243

1017. `ÉÄ~

ÄñëáåÄÄñÅçë~ÇñÄñÅçëÉ ~ñ

OO

~ñ +++

=∫

9.7 Reduction Formulas

1018. ∫∫ −−= ÇñÉñã

åÉñ

ã

NÇñÉñ ãñNåãñåãñå

1019. ( ) ∫∫ −− −

+−

−= Çññ

É

Nå

ã

ñNå

ÉÇñ

ñ

ÉNå

ãñ

Nå

ãñ

å

ãñ

I Nå ≠ K

1020. ∫∫ −− −−= ñÇñëáåÜ

å

NåñÅçëÜñëáåÜ

å

NñÇñëáåÜ OåNåå

1021. ( ) ∫∫ −− −−

−−

−=ñëáåÜ

Çñ

Nå

Oå

ñëáåÜNå

ñÅçëÜ

ñëáåÜ

ÇñOåNåå

I Nå ≠ K

1022. ∫∫ −− −+= ñÇñÅçëÜ

å

NåñÅçëÜñÅçëÜñëáåÜ

å

NñÇñÅçëÜ OåNåå

1023. ( ) ∫∫ −− −−

+−

−=ñÅçëÜ

Çñ

Nå

Oå

ñÅçëÜNå

ñëáåÜ

ñÅçëÜ

ÇñOåNåå

I Nå ≠ K

1024. ãå

ñÅçëÜñëáåÜñÇñÅçëÜñëáåÜ

NãNåãå

+=

−+

∫

∫ −

+−

+ ñÇñÅçëÜñëáåÜãå

Nã Oãå

1025. ãå

ñÅçëÜñëáåÜñÇñÅçëÜñëáåÜ

NãNåãå

+=

+−

∫



244

∫ −

+−

− ñÇñÅçëÜñëáåÜãå

Nå ãOå

1026. ∫∫ −− +−

−= ñÇñí~åÜñí~åÜNå

NñÇñí~åÜ OåNåå I Nå ≠ K

1027. ∫∫ −− +−

−= ñÇñÅçíÜñÅçíÜNå

NñÇñÅçíÜ OåNåå I Nå ≠ K

1028. ∫∫ −−

−−

+−

= ñÇñëÉÅÜNå

Oå

Nå

ñí~åÜñëÉÅÜñÇñëÉÅÜ Oå

Oåå I Nå ≠ K

1029. ∫∫ −− −+−= ñÇñëáå

å

NåñÅçëñëáå

å

NñÇñëáå OåNåå

1030. ( ) ∫∫ −− −−

+−

−=ñëáå

Çñ

Nå

Oå

ñëáåNå

ñÅçë

ñëáå

ÇñOåNåå

I Nå ≠ K

1031. ∫∫ −− −+= ñÇñÅçë

å

NåñÅçëñëáå

å

NñÇñÅçë OåNåå

1032. ( ) ∫∫ −− −−

+−

=ñÅçë

Çñ

Nå

Oå

ñÅçëNå

ñëáå

ñÅçë

ÇñOåNåå

I Nå ≠ K

1033. ãå

ñÅçëñëáåñÇñÅçëñëáå

NãNåãå

+=

−+

∫

∫ −

+−

+ ñÇñÅçëñëáåãå

Nã Oãå

1034. ãå

ñÅçëñëáåñÇñÅçëñëáå

NãNåãå

+−=

+−

∫



245

∫ −

+−

+ ñÇñÅçëñëáåãå

Nå ãOå

1035. ∫∫ −− −−

= ñÇñí~åñí~åNå

NñÇñí~å OåNåå I Nå ≠ K

1036. ∫∫ −− −−

−= ñÇñÅçíñÅçíNå

NñÇñÅçí OåNåå I Nå ≠ K

1037. ∫∫ −−

−−

+−

= ñÇñëÉÅNå

Oå

Nå

ñí~åñëÉÅñÇñëÉÅ Oå

Oåå I Nå ≠ K

1038. ∫∫ −−

−−

+−

−= ñÇñÅëÅNå

Oå

Nå

ñÅçíñÅëÅñÇñÅëÅ Oå

Oåå I Nå ≠ K

1039. ∫∫ −+

+−

+= ñÇñäåñ

Nå

ã

Nå

ñäåññÇñäåñ Nãå

ãNåãå

1040. ( ) ∫∫

−

− −+

−−= Çñ

ñ

ñäå

Nå

ã

ñNå

ñäåÇñ

ñ

ñäåå

Nã

Nå

ã

å

ã

I Nå ≠ K

1041. ∫∫ −−= ñÇñäååñäåññÇñäå Nååå

1042. ∫∫ −−= ñÇñÅçëÜñåñÅçëÜññÇñëáåÜñ Nååå

1043. ∫∫ −−= ñÇñëáåÜñåñëáåÜññÇñÅçëÜñ Nååå

1044. ∫∫ −+−= ñÇñÅçëñåñÅçëññÇñëáåñ Nååå

1045. ∫∫ −−= ñÇñëáåñåñëáåññÇñÅçëñ Nååå



246

1046. ∫∫ −+−

+=

+−

+− Çñ

ñN

ñ

Nå

Nñëáå

Nå

ññÇñëáåñ

O

NåN

NåNå

1047. ∫∫ −++

+=

+−

+− Çñ

ñN

ñ

Nå

NñÅçë

Nå

ññÇñÅçëñ

O

NåN

NåNå

1048. ∫∫ ++−

+=

+−

+− Çñ

ñN

ñ

Nå

Nñí~å

Nå

ññÇñí~åñ

O

NåN

NåNå

1049. ∫∫ +−=

+ Ä~ñ

Çñ

~

Ä

~

ñ

Ä~ñ

Çññåå

å

1050. ( ) ( )( )( ) NåOOåO ÅÄñ~ñ~ÅQÄNå

Ä~ñO

ÅÄñ~ñ

Çñ−

++−−

−−=

++∫

( )( )( ) ( )∫ −

++−−−

−NåOO

ÅÄñ~ñ

Çñ

~ÅQÄNå

~PåOOI Nå ≠ K

1051. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I~ñ

Çñ

~NåO

PåO

~ñ~NåO

ñ

~ñ

ÇñNåOOONåOOOåOO ∫∫ −−

+−−

++−

=+

Nå ≠ K

1052. ( ) ( ) ( ) NåOOOåOO ~ñ~NåO

ñ

~ñ

Çñ−

−−−=

−∫

( ) ( )∫ −−−

−−

NåOOO~ñ

Çñ

~NåO

PåOI Nå ≠ K



247

9.8 Definite Integral

aÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )∫Ä

~

ÇññÑ I ( )∫Ä

~

ÇññÖ I £

oáÉã~åå ëìãW ( )∑=

∆ξå

Nááá ñÑ

pã~ää ÅÜ~åÖÉëW áñ∆^åíáÇÉêáî~íáîÉëW ( )ñc I ( )ñdiáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåëW ~I ÄI ÅI Ç

1053. ( ) ( )∑∫=→∆

∞→∆ξ=

å

Nááá

Mñã~ñå

Ä

~

ñÑäáãÇññÑá

I

ïÜÉêÉ Nááá ñññ −−=∆ I ááNá ññ ≤ξ≤− K

Figure 179.


248

1054. ~ÄÇñNÄ

~

−=∫

1055. ( ) ( )∫∫ =Ä

~

Ä

~

ÇññÑâÇññâÑ

1056. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+Ä

~

Ä

~

Ä

~

ÇññÖÇññÑÇññÖñÑ

1057. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ −=−Ä

~

Ä

~

Ä

~

ÇññÖÇññÑÇññÖñÑ

1058. ( ) MÇññÑ~

~

=∫

1059. ( ) ( )∫∫ −=~

Ä

Ä

~

ÇññÑÇññÑ

1060. ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=Ä

Å

Å

~

Ä

~

ÇññÑÇññÑÇññÑ Ñçê ÄÅ~ << K

1061. ( ) MÇññÑÄ

~

≥∫ áÑ ( ) MñÑ ≥ çå [ ]ÄI~ K

1062. ( ) MÇññÑÄ

~

≤∫ áÑ ( ) MñÑ ≤ çå [ ]ÄI~ K


249

1063. cìåÇ~ãÉåí~ä qÜÉçêÉã çÑ `~äÅìäìë

( ) ( ) ( ) ( )~cÄcñcÇññÑÄ

~

Ä

~

−==∫ áÑ ( ) ( )ñÑñc =′ K

1064. jÉíÜçÇ çÑ pìÄëíáíìíáçåfÑ ( )íÖñ = I íÜÉå

( ) ( )( ) ( )∫∫ ′=Ç

Å

Ä

~

ÇííÖíÖÑÇññÑ I

ïÜÉêÉ( )~ÖÅ N−= I ( )ÄÖÇ N−= K

1065. fåíÉÖê~íáçå Äó m~êíë

( ) ∫∫ −=Ä

~

Ä

~

Ä

~

îÇììîìÇî

1066. qê~éÉòçáÇ~ä oìäÉ

( ) ( ) ( ) ( )

++

−= ∑∫

−

=

Nå

NááåM

Ä

~

ñÑOñÑñÑåO

~ÄÇññÑ



250

Figure 180.

1067. páãéëçå∞ë oìäÉ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ++++−

=∫ PONM

Ä

~

ñÑQñÑOñÑQñÑåP

~ÄÇññÑ

( ) ( ) ( )]åNåQ ñÑñÑQñÑO ++++ −K IïÜÉêÉ

áå

~Ä~ñ á

−+= I åIIOINIMá K= K



251

Figure 181.

1068. ̂ êÉ~ råÇÉê ~ `ìêîÉ

( ) ( ) ( )~cÄcÇññÑpÄ

~

−== ∫ I

ïÜÉêÉ ( ) ( )ñÑñc =′ K



252

Figure 182.

1069. ̂ êÉ~ _ÉíïÉÉå qïç `ìêîÉë

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )~d~cÄdÄcÇññÖñÑpÄ

~

+−−=−= ∫ I

ïÜÉêÉ ( ) ( )ñÑñc =′ I ( ) ( )ñÖñd =′ K



253

Figure 183.

9.9 Improper Integral

1070. qÜÉ ÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä ( )∫Ä

~

ÇññÑ áë Å~ääÉÇ ~å áãéêçéÉê áåíÉÖê~ä

áÑ• ~ çê Ä áë áåÑáåáíÉI• ( )ñÑ Ü~ë çåÉ çê ãçêÉ éçáåíë çÑ ÇáëÅçåíáåìáíó

áå íÜÉ áåíÉêî~ä [ ]ÄI~ K

1071. fÑ ( )ñÑ áë ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå çå [ )∞I~ I íÜÉå

( ) ( )∫∫ ∞→

∞

=å

~å

~

ÇññÑäáãÇññÑ K



254

Figure 184.

1072. fÑ ( )ñÑ áë ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå çå ( ]ÄI∞− I íÜÉå

( ) ( )∫∫ ∞−→∞−

=Ä

åå

Ä

ÇññÑäáãÇññÑ K

Figure 185.



255

kçíÉ W qÜÉ áãéêçéÉê áåíÉÖê~äë áå NMTNI NMTO ~êÉ ÅçåîÉêÖÉåíáÑ íÜÉ äáãáíë Éñáëí ~åÇ ~êÉ ÑáåáíÉX çíÜÉêïáëÉ íÜÉ áåíÉÖê~äë ~êÉÇáîÉêÖÉåíK

1073. ( ) ( ) ( )∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

+=Å

Å

ÇññÑÇññÑÇññÑ

Figure 186.

fÑ Ñçê ëçãÉ êÉ~ä åìãÄÉê ÅI ÄçíÜ çÑ íÜÉ áåíÉÖê~äë áå íÜÉ êáÖÜí

ëáÇÉ ~êÉ ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå íÜÉ áåíÉÖê~ä ( )∫∞

∞−

ÇññÑ áë ~äëç

ÅçåîÉêÖÉåíX çíÜÉêïáëÉ áí áë ÇáîÉêÖÉåíK

1074. ̀ çãé~êáëçå qÜÉçêÉãëiÉí ( )ñÑ ~åÇ ( )ñÖ ÄÉ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçåë çå íÜÉ ÅäçëÉÇáåíÉêî~ä [ )∞I~ K pìééçëÉ íÜ~í ( ) ( )ñÑñÖM ≤≤ Ñçê ~ää ñ áå[ )∞I~ K



256

• fÑ ( )∫∞

~

ÇññÑ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå ( )∫∞

~

ÇññÖ áë ~äëç

ÅçåîÉêÖÉåíI

• fÑ ( )∫∞

~

ÇññÖ áë ÇáîÉêÖÉåíI íÜÉå ( )∫∞

~

ÇññÑ áë ~äëç ÇáîÉêÖÉåíK

1075. ̂ ÄëçäìíÉ `çåîÉêÖÉåÅÉ

fÑ ( )∫∞

~

ÇññÑ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå íÜÉ áåíÉÖê~ä ( )∫∞

~

ÇññÑ áë ~Äëç-

äìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåíK

1076. aáëÅçåíáåìçìë fåíÉÖê~åÇiÉí ( )ñÑ ÄÉ ~ ÑìåÅíáçå ïÜáÅÜ áë Åçåíáåìçìë çå íÜÉ áåíÉêî~ä[ )ÄI~ Äìí áë ÇáëÅçåíáåìçìë ~í Äñ = K qÜÉå

( ) ( )∫∫ε−

+→ε=

Ä

~M

Ä

~

ÇññÑäáãÇññÑ

Figure 187.



257

1077. iÉí ( )ñÑ ÄÉ ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå Ñçê ~ää êÉ~ä åìãÄÉêë ñ áåíÜÉ áåíÉêî~ä [ ]ÄI~ ÉñÅÉéí Ñçê ëçãÉ éçáåí Å áå ( )ÄI~ K qÜÉå

( ) ( ) ( )∫∫∫δ+

+→δ

ε−

+→ε+=

Ä

ÅM

Å

~M

Ä

~

ÇññÑäáãÇññÑäáãÇññÑ K

Figure 188.

9.10 Double Integral

cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW ( )óIñÑ I ( )îIìÑ I £

açìÄäÉ áåíÉÖê~äëW ( )∫∫o

ÇñÇóóIñÑ I ( )∫∫o

ÇñÇóóIñÖ I £

oáÉã~åå ëìãW ( )∑∑= =

∆∆ã

Ná

å

Nààáàá óñîIìÑ

pã~ää ÅÜ~åÖÉëW áñ∆ I àó∆oÉÖáçåë çÑ áåíÉÖê~íáçåW oI pmçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ



258

^êÉ~W ^pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW sj~ëë çÑ ~ ä~ãáå~W ãaÉåëáíóW ( )óIñρcáêëí ãçãÉåíëW ñj I ój

jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñf I óf I Mf

`Ü~êÖÉ çÑ ~ éä~íÉW n`Ü~êÖÉ ÇÉåëáíóW ( )óIñσ`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó^îÉê~ÖÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW µ

1078. aÉÑáåáíáçå çÑ açìÄäÉ fåíÉÖê~äqÜÉ ÇçìÄäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ êÉÅí~åÖäÉ [ ] [ ]ÇIÅÄI~ × áë ÇÉÑáåÉÇíç ÄÉ

( )[ ] [ ]

( )∑∑∫∫= =→∆

→∆×

∆∆=ã

Ná

å

Nààáàá

Móã~ñMñã~ñ

ÇIÅÄI~

óñîIìÑäáãÇ^óIñÑà

á

I

ïÜÉêÉ ( )àá îIì áë ëçãÉ éçáåí áå íÜÉ êÉÅí~åÖäÉ

( ) ( )àNàáNá óIóñIñ −− × I ~åÇ Nááá ñññ −−=∆ I Nààà óóó −−=∆ K

Figure 189.



259

qÜÉ ÇçìÄäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ ÖÉåÉê~ä êÉÖáçå o áë

( ) ( )[ ] [ ]∫∫∫∫×

=ÇIÅÄI~o

Ç^óIñÖÇ^óIñÑ I

ïÜÉêÉ êÉÅí~åÖäÉ [ ] [ ]ÇIÅÄI~ × Åçåí~áåë oI( ) ( )óIñÑóIñÖ = áÑ ( )óIñÑ áë áå o ~åÇ ( ) MóIñÖ = çíÜÉêïáëÉK

Figure 190.

1079. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=+ooo

Ç^óIñÖÇ^óIñÑÇ^óIñÖóIñÑ

1080. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ −=−ooo

Ç^óIñÖÇ^óIñÑÇ^óIñÖóIñÑ

1081. ( ) ( )∫∫∫∫ =oo

Ç^óIñÑâÇ^óIñâÑ I

ïÜÉêÉ â áë ~ Åçåëí~åíK

1082. fÑ ( ) ( )óIñÖóIñÑ ≤ çå oI íÜÉå ( ) ( )∫∫∫∫ ≤oo

Ç^óIñÖÇ^óIñÑ K

1083. fÑ ( ) MóIñÑ ≥ çå o ~åÇ op⊂ I íÜÉå



260

( ) ( )∫∫∫∫ ≤op

Ç^óIñÑÇ^óIñÑ K

Figure 191.

1084. fÑ ( ) MóIñÑ ≥ çå o ~åÇ o ~åÇ p ~êÉ åçå-çîÉêä~ééáåÖ

êÉÖáçåëI íÜÉå ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=∪ popo

Ç^óIñÑÇ^óIñÑÇ^óIñÑ K

eÉêÉ po∪ áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ êÉÖáçåë o ~åÇ pK

Figure 192.



261

1085. fíÉê~íÉÇ fåíÉÖê~äë ~åÇ cìÄáåá∞ë qÜÉçêÉã

( ) ( )( )

( )

∫ ∫∫∫ =Ä

~

ñè

ñéo

ÇóÇñóIñÑÇ^óIñÑ

Ñçê ~ êÉÖáçå çÑ íóéÉ fI( ) ( ) ( ){ }ñèóñéIÄñ~öóIño ≤≤≤≤= K

Figure 193.

( ) ( )( )

( )

∫ ∫∫∫ =Ç

Å

óî

óìo

ÇñÇóóIñÑÇ^óIñÑ

Ñçê ~ êÉÖáçå çÑ íóéÉ ffI( ) ( ) ( ){ }ÇóÅIóîñóìöóIño ≤≤≤≤= K



262

Figure 194.

1086. açìÄäÉ fåíÉÖê~äë çîÉê oÉÅí~åÖìä~ê oÉÖáçåë

fÑ o áë íÜÉ êÉÅí~åÖìä~ê êÉÖáçå [ ] [ ]ÇIÅÄI~ × I íÜÉå

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫∫

=

=

Ç

Å

Ä

~

Ä

~

Ç

Åo

ÇóÇñóIñÑÇñÇóóIñÑÇñÇóóIñÑ K

få íÜÉ ëéÉÅá~ä Å~ëÉ ïÜÉêÉ íÜÉ áåíÉÖê~åÇ ( )óIñÑ Å~å ÄÉ ïêáí-íÉå ~ë ( ) ( )óÜñÖ ïÉ Ü~îÉ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

== ∫∫∫∫∫∫

Ç

Å

Ä

~oo

ÇóóÜÇññÖÇñÇóóÜñÖÇñÇóóIñÑ K

1087. ̀ Ü~åÖÉ çÑ s~êá~ÄäÉë

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )ÇìÇî

îIì

óIñîIìóIîIìñÑÇñÇóóIñÑ

po ∂∂

= ∫∫∫∫ I

ïÜÉêÉ( )( ) M

î

ó

ì

óî

ñ

ì

ñ

îIì

óIñ≠

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

áë íÜÉ à~ÅçÄá~å çÑ íÜÉ íê~åë-

Ñçêã~íáçåë ( ) ( )îIìóIñ → I ~åÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ o ïÜáÅÜ



263

Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó ( )îIìññ = I ( )îIìóó = áåíç íÜÉ ÇÉÑáåá-íáçå çÑ oK

1088. mçä~ê `ççêÇáå~íÉëθ= Åçëêñ I θ= ëáåêó K

Figure 195.

1089. açìÄäÉ fåíÉÖê~äë áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë

qÜÉ aáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇó Ñçê mçä~ê `ççêÇáå~íÉë áë

( )( ) θ=θθ∂

∂= êÇêÇÇêÇ

Iê

óIñÇñÇó K

iÉí íÜÉ êÉÖáçå o áë ÇÉíÉêãáåÉÇ ~ë ÑçääçïëW( ) ( )θ≤≤θ≤ ÜêÖM I β≤θ≤α I ïÜÉêÉ π≤α−β O K

qÜÉå

( ) ( )( )

( )

∫ ∫∫∫β

α

θ

θ

θθθ=Ü

Öo

êÇêÇëáåêIÅçëêÑÇñÇóóIñÑ K



264

Figure 196.

fÑ íÜÉ êÉÖáçå o áë íÜÉ éçä~ê êÉÅí~åÖäÉ ÖáîÉå ÄóÄê~M ≤≤≤ I β≤θ≤α I ïÜÉêÉ π≤α−β O I

íÜÉå

( ) ( )∫ ∫∫∫β

α

θθθ=Ä

~o

êÇêÇëáåêIÅçëêÑÇñÇóóIñÑ K

Figure 197.



265

1090. ̂ êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå

( )

( )

∫ ∫=Ä

~

ñÑ

ñÖ

ÇóÇñ^ EÑçê ~ íóéÉ f êÉÖáçåFK

Figure 198.

( )

( )

∫ ∫=Ç

Å

óè

óé

ÇñÇó^ EÑçê ~ íóéÉ ff êÉÖáçåFK

Figure 199.



266

1091. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ

( )∫∫=o

Ç^óIñÑs K

Figure 200.

fÑ o áë ~ íóéÉ f êÉÖáçå ÄçìåÇÉÇ Äó ~ñ = I Äñ = I ( )ñÜó = I( )ñÖó = I íÜÉå

( ) ( )( )

( )

∫ ∫∫∫ ==Ä

~

ñÖ

ñÜo

ÇóÇñóIñÑÇ^óIñÑs K

fÑ o áë ~ íóéÉ ff êÉÖáçå ÄçìåÇÉÇ Äó Åó = I Çó = I ( )óèñ = I( )óéñ = I íÜÉå

( ) ( )( )

( )

∫ ∫∫∫ ==Ç

Å

óè

óéo

ÇñÇóóIñÑÇ^óIñÑs K



267

fÑ ( ) ( )óIñÖóIñÑ ≥ çîÉê ~ êÉÖáçå oI íÜÉå íÜÉ îçäìãÉ çÑíÜÉ ëçäáÇ ÄÉíïÉÉå ( )óIñÑòN = ~åÇ ( )óIñÖòO = çîÉê o áëÖáîÉå Äó

( ) ( )[ ]∫∫ −=o

Ç^óIñÖóIñÑs K

1092. ̂ êÉ~ ~åÇ sçäìãÉ áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉëfÑ p áë ~ êÉÖáçå áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ÄçìåÇÉÇ Äó α=θ I β=θ I

( )θ= Üê I ( )θ= Öê IíÜÉå

( )

( )

∫ ∫∫∫β

α

θ

θ

θ==Ö

Üp

êÇêÇÇ^^ I

( )∫∫ θθ=p

êÇêÇIêÑs K

Figure 201.

1093. pìêÑ~ÅÉ ^êÉ~

ÇñÇóó

ò

ñ

òNp

o

OO

∫∫

∂∂

+

∂∂

+=



268

1094. j~ëë çÑ ~ i~ãáå~

( )∫∫ρ=o

Ç^óIñã I

ïÜÉêÉ íÜÉ ä~ãáå~ çÅÅìéáÉë ~ êÉÖáçå o ~åÇ áíë ÇÉåëáíó ~í~ éçáåí EñIóF áë ( )óIñρ K

1095. jçãÉåíëqÜÉ ãçãÉåí çÑ íÜÉ ä~ãáå~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáë áë ÖáîÉå Äó Ñçê-ãìä~

( )∫∫ ρ=o

ñ Ç^óIñój K

qÜÉ ãçãÉåí çÑ íÜÉ ä~ãáå~ ~Äçìí íÜÉ ó-~ñáë áë

( )∫∫ ρ=o

ó Ç^óIññj K

qÜÉ ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáë áë

( )∫∫ ρ=o

Oñ Ç^óIñóf K

qÜÉ ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ó-~ñáë áë

( )∫∫ ρ=o

Oó Ç^óIññf K

qÜÉ éçä~ê ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ áë

( ) ( )∫∫ ρ+=o

OOM Ç^óIñóñf K

1096. ̀ ÉåíÉê çÑ j~ëë

( )( )

( )∫∫

∫∫∫∫ ρ

ρ=ρ==

o

o

o

ó

Ç^óIñ

Ç^óIññ

Ç^óIññã

N

ã

jñ I



269

( )( )

( )∫∫

∫∫∫∫ ρ

ρ=ρ==

o

o

o

ñ

Ç^óIñ

Ç^óIñó

Ç^óIñóã

N

ã

jó K

1097. ̀ Ü~êÖÉ çÑ ~ mä~íÉ

( )∫∫σ=o

Ç^óIñn I

ïÜÉêÉ ÉäÉÅíêáÅ~ä ÅÜ~êÖÉ áë ÇáëíêáÄìíÉÇ çîÉê ~ êÉÖáçå o ~åÇ áíëÅÜ~êÖÉ ÇÉåëáíó ~í ~ éçáåí EñIóF áë ( )óIñσ K

1098. ̂ îÉê~ÖÉ çÑ ~ cìåÅíáçå

( )∫∫=µo

Ç^óIñÑp

NI

ïÜÉêÉ ∫∫=o

Ç^p K

9.11 Triple Integral

cìåÅíáçåë çÑ íÜêÉÉ î~êá~ÄäÉëW ( )òIóIñÑ I ( )òIóIñÖ I £

qêáéäÉ áåíÉÖê~äëW ( )∫∫∫d

ÇsòIóIñÑ I ( )∫∫∫d

ÇsòIóIñÖ I £

oáÉã~åå ëìãW ( )∑∑∑= = =

∆∆∆ã

Ná

å

Nà

é

Nââàáâàá òóñïIîIìÑ

pã~ää ÅÜ~åÖÉëW áñ∆ I àó∆ I âò∆iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåW ~I ÄI ÅI ÇI êI ëoÉÖáçåë çÑ áåíÉÖê~íáçåW dI qI p`óäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ I òpéÜÉêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ I ϕsçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s



270

j~ëë çÑ ~ ëçäáÇW ãaÉåëáíóW ( )òIóIñµ`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó I òcáêëí ãçãÉåíëW ñój I óòj I ñòj

jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñóf I óòf I ñòf I ñf I óf I òf I Mf

1099. aÉÑáåáíáçå çÑ qêáéäÉ fåíÉÖê~äqÜÉ íêáéäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ [ ] [ ] [ ]ëIêÇIÅÄI~ ××áë ÇÉÑáåÉÇ íç ÄÉ

( )[ ] [ ] [ ]

( ) IòóñïIîIìÑäáãÇsòIóIñÑã

Ná

å

Nà

é

Nââàáâàá

Mòã~ñMóã~ñMñã~ñ

ëIêÇIÅÄI~

â

à

á∑∑∑∫∫∫= = =

→∆→∆→∆

××

∆∆∆=

ïÜÉêÉ ( )âàá ïIîIì áë ëçãÉ éçáåí áå íÜÉ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ

( ) ( ) ( )âNâàNàáNá òIòóIóñIñ −−− ×× I ~åÇ Nááá ñññ −−=∆ I

Nààà óóó −−=∆ I Nâââ òòò −−=∆ K

1100. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=+ddd

ÇsòIóIñÖÇsòIóIñÑÇsòIóIñÖòIóIñÑ

1101. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −=−ddd

ÇsòIóIñÖÇsòIóIñÑÇsòIóIñÖòIóIñÑ

1102. ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ =dd

ÇsòIóIñÑâÇsòIóIñâÑ I

ïÜÉêÉ â áë ~ Åçåëí~åíK

1103. fÑ ( ) MòIóIñÑ ≥ ~åÇ d ~åÇ q ~êÉ åçåçîÉêä~ééáåÖ Ä~ëáÅêÉÖáçåëI íÜÉå

( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=∪ qdqd

ÇsòIóIñÑÇsòIóIñÑÇsòIóIñÑ K

eÉêÉ qd∪ áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ êÉÖáçåë d ~åÇ qK



271

1104. bî~äì~íáçå çÑ qêáéäÉ fåíÉÖê~äë Äó oÉéÉ~íÉÇ fåíÉÖê~äëfÑ íÜÉ ëçäáÇ d áë íÜÉ ëÉí çÑ éçáåíë ( )òIóIñ ëìÅÜ íÜ~í( ) ( ) ( )óIñòóIñIoóIñ ON χ≤≤χ∈ I íÜÉå

( ) ( )( )

( )

ÇñÇóÇòòIóIñÑÇñÇóÇòòIóIñÑo

óIñ

óIñd

O

N

∫∫ ∫∫∫∫

=

χ

χ

I

ïÜÉêÉ o áë éêçàÉÅíáçå çÑ d çåíç íÜÉ ñó-éä~åÉK

fÑ íÜÉ ëçäáÇ d áë íÜÉ ëÉí çÑ éçáåíë ( )òIóIñ ëìÅÜ íÜ~í( ) ( ) ( ) ( )óIñòóIñIñóñIÄñ~ ONON χ≤≤χϕ≤≤ϕ≤≤ I íÜÉå

( ) ( )( )

( )

( )

( )

ÇñÇóÇòòIóIñÑÇñÇóÇòòIóIñÑÄ

~

ñ

ñ

óIñ

óIñd

O

N

O

N

∫ ∫ ∫∫∫∫

=

ϕ

ϕ

χ

χ

1105. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë çîÉê m~ê~ääÉäÉéáéÉÇfÑ d áë ~ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ [ ] [ ] [ ]ëIêÇIÅÄI~ ×× I íÜÉå

( ) ( ) ÇñÇóÇòòIóIñÑÇñÇóÇòòIóIñÑÄ

~

Ç

Å

ë

êd∫ ∫ ∫∫∫∫

= K

få íÜÉ ëéÉÅá~ä Å~ëÉ ïÜÉêÉ íÜÉ áåíÉÖê~åÇ ( )òIóIñÑ Å~å ÄÉïêáííÉå ~ë ( ) ( ) ( )òâóÜñÖ ïÉ Ü~îÉ

( ) ( ) ( ) ( )

= ∫∫∫∫∫∫

ë

ê

Ç

Å

Ä

~d

ÇòòâÇóóÜÇññÖÇñÇóÇòòIóIñÑ K

1106. ̀ Ü~åÖÉ çÑ s~êá~ÄäÉë

( ) =∫∫∫d

ÇñÇóÇòòIóIñÑ

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) IÇñÇóÇò

ïIîIì

òIóIñïIîIìòIïIîIìóIïIîIìñÑ

p∫∫∫ ∂

∂=



272

ïÜÉêÉ( )( ) M

ï

ò

î

ò

ì

òï

ó

î

ó

ì

óï

ñ

î

ñ

ì

ñ

ïIîIì

òIóIñ≠

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

áë íÜÉ à~ÅçÄá~å çÑ

íÜÉ íê~åëÑçêã~íáçåë ( ) ( )ïIîIìòIóIñ → I ~åÇ p áë íÜÉ éìää-Ä~Åâ çÑ d ïÜáÅÜ Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó ( )ïIîIìññ = I

( )ïIîIìóó =( )ïIîIìòò = áåíç íÜÉ ÇÉÑáåáíáçå çÑ dK

1107. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë áå `óäáåÇêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉëqÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇóÇò Ñçê ÅóäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉë áë

( )( ) ÇòêÇêÇÇòÇêÇ

òIIê

òIóIñÇñÇóÇò θ=θ

θ∂∂

= K

iÉí íÜÉ ëçäáÇ d áë ÇÉíÉêãáåÉÇ ~ë ÑçääçïëW( ) ( ) ( )óIñòóIñIoóIñ ON χ≤≤χ∈ I

ïÜÉêÉ o áë éêçàÉÅíáçå çÑ d çåíç íÜÉ ñó-éä~åÉK qÜÉå

( ) ( )∫∫∫∫∫∫ θθθ=pd

ÇòêÇêÇòIëáåêIÅçëêÑÇñÇóÇòòIóIñÑ

( )( )

( )

( )θ

θθ= ∫∫ ∫

θ

θθχ

θθχ

êÇêÇÇòòIëáåêIÅçëêÑIêo

ëáåêIÅçëê

ëáåêIÅçëê

O

N

K

eÉêÉ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d áå ÅóäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëK

1108. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë áå péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉëqÜÉ aáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇóÇò Ñçê péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë áë

( )( ) ϕθθ=ϕθ

ϕθ∂∂

= ÇÇêÇëáåêÇÇêÇIIê

òIóIñÇñÇóÇò O

( ) =∫∫∫d

ÇñÇóÇòòIóIñÑ



273

( )∫∫∫ ϕθθθϕθϕθ=p

O ÇÇêÇëáåêÅçëêIëáåëáåêIÅçëëáåêÑ I

ïÜÉêÉ íÜÉ ëçäáÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d áå ëéÜÉêáÅ~ä ÅççêÇá- å~íÉëK qÜÉ ~åÖäÉ θ ê~åÖÉë Ñêçã M íç πO I íÜÉ ~åÖäÉ ϕê~åÖÉë Ñêçã M íç π K

Figure 202.

1109. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ

∫∫∫=d

ÇñÇóÇòs

1110. sçäìãÉ áå `óäáåÇêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë

( )ÇòêÇêÇs

òIIêp∫∫∫θ

θ=

1111. sçäìãÉ áå péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë

( )ϕθθ= ∫∫∫

ϕθ

ÇÇêÇëáåêsIIêp

O



274

1112. j~ëë çÑ ~ pçäáÇ

( )∫∫∫ µ=d

ÇsòIóIñã I

ïÜÉêÉ íÜÉ ëçäáÇ çÅÅìéáÉë ~ êÉÖáçå d ~åÇ áíë ÇÉåëáíó ~í~ éçáåí ( )òIóIñ áë ( )òIóIñµ K

1113. ̀ ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ pçäáÇ

ã

jñ

óò= Iã

jó ñò= I

ã

jò

ñó= I

ïÜÉêÉ

( )∫∫∫ µ=d

óò ÇsòIóIññj I

( )∫∫∫ µ=d

ñò ÇsòIóIñój I

( )∫∫∫ µ=d

ñó ÇsòIóIñòj

~êÉ íÜÉ Ñáêëí ãçãÉåíë ~Äçìí íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ éä~åÉë Mñ = IMó = I Mò = I êÉëéÉÅíáîÉäóI ( )òIóIñµ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK

1114. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñó-éä~åÉ Eçê Mò = FI óò-éä~åÉE Mñ = FI ~åÇ ñò-éä~åÉ E Mó = F

( )∫∫∫ µ=d

Oñó ÇsòIóIñòf I

( )∫∫∫ µ=d

Oóò ÇsòIóIññf I

( )∫∫∫ µ=d

Oñò ÇsòIóIñóf K

1115. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë

( ) ( )∫∫∫ µ+=+=d

OOñòñóñ ÇsòIóIñóòfff I

( ) ( )∫∫∫ µ+=+=d

OOóòñóó ÇsòIóIññòfff I



275

( ) ( )∫∫∫ µ+=+=d

OOóòñòò ÇsòIóIññófff K

1116. mçä~ê jçãÉåí çÑ fåÉêíá~

( ) ( )∫∫∫ µ++=++=d

OOOñòóòñóM ÇsòIóIñòóñffff

9.12 Line Integral

pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåëW ( )òIóIñc I ( )óIñc I ( )ñÑpÅ~ä~ê éçíÉåíá~äW ( )òIóIñì`ìêîÉëW `I N` I O`iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåëW ~I ÄI α I βm~ê~ãÉíÉêëW íI ëmçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ê I θsÉÅíçê ÑáÉäÇW ( )oInImc

r

mçëáíáçå îÉÅíçêW ( )ëêr


I àr

I âr

I τr

^êÉ~ çÑ êÉÖáçåW piÉåÖíÜ çÑ ~ ÅìêîÉW ij~ëë çÑ ~ ïáêÉW ãaÉåëáíóW ( )òIóIñρ I ( )óIñρ`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó I òcáêëí ãçãÉåíëW ñój I óòj I ñòj

jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñf I óf I òf

sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW stçêâW t

j~ÖåÉíáÅ ÑáÉäÇW _r

`ìêêÉåíW fbäÉÅíêçãçíáîÉ ÑçêÅÉW εj~ÖåÉíáÅ ÑäìñW ψ



276

1117. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçåiÉí ~ ÅìêîÉ ` ÄÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå ( )ëêê

rr= I

pëM ≤≤ I ~åÇ ~ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå c áë ÇÉÑáåÉÇ çîÉê íÜÉ ÅìêîÉ `KqÜÉå

( )( ) ( ) ∫∫∫ ==``

p

M

cÇëÇëòIóIñcÇëëêcr

I

ïÜÉêÉ Çë áë íÜÉ ~êÅ äÉåÖíÜ ÇáÑÑÉêÉåíá~äK

1118. ∫∫∫ +=∪ ONON ````

ÇëcÇëcÇëc

Figure 203.

1119. fÑ íÜÉ ëãççíÜ ÅìêîÉ ` áë é~ê~ãÉíêáòÉÇ Äó ( )íêêrr

= Iβ≤≤α í I íÜÉå

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )∫∫β

α

′+′+′= ÇííòíóíñíòIíóIíñcÇëòIóIñc OOO

`

K

1120. fÑ ` áë ~ ëãççíÜ ÅìêîÉ áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå( )ñÑó = I Äñ~ ≤≤ I íÜÉå

( ) ( )( ) ( )( )∫∫ ′+=Ä

~

O

`

ÇññÑNñÑIñcÇëóIñc K

1121. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë



277

( ) ( )∫∫β

α

θ

θ+θθ= Ç

Ç

ÇêêëáåêIÅçëêcÇëóIñc

OO

`

I

ïÜÉêÉ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ éçä~ê ÑìåÅíáçå FEê θ K

1122. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ sÉÅíçê cáÉäÇiÉí ~ ÅìêîÉ ` ÄÉ ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå ( )ëêê

rr= I

pëM ≤≤ K qÜÉå

( )γβα=τ= ÅçëIÅçëIÅçëÇë

êÇ rr

áë íÜÉ ìåáí îÉÅíçê çÑ íÜÉ í~åÖÉåí äáåÉ íç íÜáë ÅìêîÉK

Figure 204.

iÉí ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ ( )oInImcr

áë ÇÉÑáåÉÇ çîÉê íÜÉ ÅìêîÉ `K

qÜÉå íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇ cr

~äçåÖ íÜÉ ÅìêîÉ` áë

( )∫∫ γ+β+α=++p

M`

ÇëÅçëoÅçënÅçëmoÇònÇómÇñ K



278

1123. mêçéÉêíáÉë çÑ iáåÉ fåíÉÖê~äë çÑ sÉÅíçê cáÉäÇë

( ) ( )∫∫ ⋅−=⋅− ``

êÇcêÇcrrrr

I

ïÜÉêÉ -` ÇÉåçíÉ íÜÉ ÅìêîÉ ïáíÜ íÜÉ çééçëáíÉ çêáÉåí~íáçåK

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅=⋅∪ ONON `````

êÇcêÇcêÇcêÇcrrrrrrrr

I

ïÜÉêÉ ` áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ ÅìêîÉë N` ~åÇ O` K

1124. fÑ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ Äó ( ) ( ) ( ) ( )íòIíóIíñíê =r

I

β≤≤α í I íÜÉå

=++∫̀ oÇònÇómÇñ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )∫β

α

++= Çí

Çí

ÇòíòIíóIíño

Çí

ÇóíòIíóIíñn

Çí

ÇñíòIíóIíñm

1125. fÑ ` äáÉë áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ~åÇ ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ( )ñÑó = IíÜÉå

( )( ) ( )( )∫∫

+=+

Ä

~`

ÇñÇñ

ÇÑñÑIñnñÑIñmnÇómÇñ K

1126. dêÉÉå∞ë qÜÉçêÉã

∫∫∫ +=

∂∂

−∂∂

`o

nÇómÇñÇñÇóó

m

ñ

nI

ïÜÉêÉ ( ) ( ) àóIñnáóIñmcrrr

+= áë ~ Åçåíáåìçìë îÉÅíçê ÑìåÅ-

íáçå ïáíÜ Åçåíáåìçìë Ñáêëí é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëó

m

∂∂

Iñ

n

∂∂

áå ~

ëçãÉ Ççã~áå oI ïÜáÅÜ áë ÄçìåÇÉÇ Äó ~ ÅäçëÉÇI éáÉÅÉïáëÉëãççíÜ ÅìêîÉ `K



279

1127. ̂ êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå o _çìåÇÉÇ Äó íÜÉ `ìêîÉ `

∫∫∫ −==`o

óÇññÇóO

NÇñÇóp

1128. m~íÜ fåÇÉéÉåÇÉåÅÉ çÑ iáåÉ fåíÉÖê~äë

qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå âoànámcrrrr

++= áëë~áÇ íç ÄÉ é~íÜ áåÇÉéÉåÇÉåíI áÑ ~åÇ çåäó áÑ mI nI ~åÇ o ~êÉÅçåíáåìçìë áå ~ Ççã~áå aI ~åÇ áÑ íÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ ëÅ~ä~êÑìåÅíáçå ( )òIóIñìì = E~ ëÅ~ä~ê éçíÉåíá~äF áå a ëìÅÜ íÜ~í

ìÖê~Çc =r

I çê mñ

ì=

∂∂

I nó

ì=

∂∂

I oò

ì=

∂∂

K

qÜÉå

( ) ( ) ( )^ì_ìoÇònÇómÇñêÇêc``

−=++=⋅ ∫∫rrr

K

1129. qÉëí Ñçê ~ `çåëÉêî~íáîÉ cáÉäÇ

^ îÉÅíçê ÑáÉäÇ çÑ íÜÉ Ñçêã ìÖê~Çc =r

áë Å~ääÉÇ ~ ÅçåëÉêî~íáîÉ

ÑáÉäÇK qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå âoànámcrrrr

++=áë é~íÜ áåÇÉéÉåÇÉåí áÑ ~åÇ çåäó áÑ

M

onmòóñ

âàá

cÅìêär

rrr

r=

∂∂

∂∂

∂∂

= K

fÑ íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå áå ñó-éä~åÉ ëç íÜ~í

( ) ( )^ì_ìnÇómÇñ`

−=+∫ I

íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñçê ÇÉíÉêãáåáåÖ áÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ áë ÅçåëÉêî~íáîÉÅ~å ÄÉ ïêáííÉå áå íÜÉ Ñçêã

ñ

n

ó

m

∂∂

=∂∂

K



280

1130. iÉåÖíÜ çÑ ~ `ìêîÉ

( ) ∫∫∫β

α

β

α

+

+

=== Çí

Çí

Çò

Çí

Çó

Çí

ÇñÇíí

Çí

êÇÇëi

OOO

`

r

I

ïÜÉêÉ ` á~ ~ éáÉÅÉïáëÉ ëãççíÜ ÅìêîÉ ÇÉëÅêáÄÉÇ Äó íÜÉ éçëá-íáçå îÉÅíçê ( )íê

rI β≤≤α í K

fÑ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë íïç-ÇáãÉåëáçå~äI íÜÉå

( ) ∫∫∫β

α

β

α

+

=== Çí

Çí

Çó

Çí

ÇñÇíí

Çí

êÇÇëi

OO

`

r

K

fÑ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë íÜÉ Öê~éÜ çÑ ~ ÑìåÅíáçå ( )ñÑó = áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ( )Äñ~ ≤≤ I íÜÉå

∫

+=

Ä

~

O

ÇñÇñ

ÇóNi K

1131. iÉåÖíÜ çÑ ~ `ìêîÉ áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë

∫β

α

θ+

θ

= ÇêÇ

Çêi O

O

I

ïÜÉêÉ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ( )θ= êê Iβ≤θ≤α áå éçä~ê ÅççêÇáå~íÉëK

1132. j~ëë çÑ ~ táêÉ

( )∫ρ=`

ÇëòIóIñã I

ïÜÉêÉ ( )òIóIñρ áë íÜÉ ã~ëë éÉê ìåáí äÉåÖíÜ çÑ íÜÉ ïáêÉK

fÑ ` áë ~ ÅìêîÉ é~ê~ãÉíêáòÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå ( ) ( ) ( ) ( )íòIíóIíñíê =r

I íÜÉå íÜÉ ã~ëë Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó

íÜÉ Ñçêãìä~



281

( ) ( ) ( )( )∫β

α

+

+

ρ= Çí

Çí

Çò

Çí

Çó

Çí

ÇñíòIíóIíñã

OOO

K

fÑ ` áë ~ ÅìêîÉ áå ñó-éä~åÉI íÜÉå íÜÉ ã~ëë çÑ íÜÉ ïáêÉ áë ÖáîÉåÄó

( )∫ρ=`

ÇëóIñã I

çê

( ) ( )( )∫β

α

+

ρ= Çí

Çí

Çó

Çí

ÇñíóIíñã

OO

Eáå é~ê~ãÉíêáÅ ÑçêãFK

1133. ̀ ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ táêÉ

ã

jñ

óò= Iã

jó ñò= I

ã

jò

ñó= I

ïÜÉêÉ

( )∫ ρ=`

óò ÇëòIóIññj I

( )∫ ρ=`

ñò ÇëòIóIñój I

( )∫ ρ=`

ñó ÇëòIóIñòj K

1134. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~qÜÉ ãçãÉåíë çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë~êÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ Ñçêãìä~ë

( ) ( )∫ ρ+=`

OOñ ÇëòIóIñòóf I

( ) ( )∫ ρ+=`

OOó ÇëòIóIñòñf I

( ) ( )∫ ρ+=`

OOò ÇëòIóIñóñf K



282

1135. ̂ êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå _çìåÇÉÇ Äó ~ `äçëÉÇ `ìêîÉ

∫∫∫ −=−==```

óÇññÇóO

NóÇññÇóp K

Figure 205.

fÑ íÜÉ ÅäçëÉÇ ÅìêîÉ ` áë ÖáîÉå áå é~ê~ãÉíêáÅ Ñçêã( ) ( ) ( )íóIíñíê =r

I íÜÉå íÜÉ ~êÉ~ Å~å ÄÉ Å~äÅìä~íÉÇ Äó íÜÉ Ñçê-ãìä~

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫β

α

β

α

β

α

−=−== Çí

Çí

Çñíó

Çí

Çóíñ

O

NÇí

Çí

ÇñíóÇí

Çí

Çóíñp K

1136. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ cçêãÉÇ Äó oçí~íáåÖ ~ `äçëÉÇ `ìêîÉ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáë

∫∫∫ +π

−=π−=π−=`

O

``

O ÇñóñóÇóOO

ñóÇóOÇñós



283

Figure 206.

1137. tçêâ

tçêâ ÇçåÉ Äó ~ ÑçêÅÉ cr

çå ~å çÄàÉÅí ãçîáåÖ ~äçåÖ ~ ÅìêîÉ` áë ÖáîÉå Äó íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä

∫ ⋅=`

êÇctrr

I

ïÜÉêÉ cr

áë íÜÉ îÉÅíçê ÑçêÅÉ ÑáÉäÇ ~ÅíáåÖ çå íÜÉ çÄàÉÅíI êÇr

áëíÜÉ ìåáí í~åÖÉåí îÉÅíçêK

Figure 207.



284

fÑ íÜÉ çÄàÉÅí áë ãçîÉÇ ~äçåÖ ~ ÅìêîÉ ` áå íÜÉ ñó-éä~åÉI íÜÉå

∫∫ +=⋅=``

nÇómÇñêÇctrr

I

fÑ ~ é~íÜ ` áë ëéÉÅáÑáÉÇ Äó ~ é~ê~ãÉíÉê í Eí çÑíÉå ãÉ~åëíáãÉFI íÜÉ Ñçêãìä~ Ñçê Å~äÅìä~íáåÖ ïçêâ ÄÉÅçãÉë

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) IÇíÇí

ÇòíòIíóIíño

Çí

ÇóíòIíóIíñn

Çí

ÇñíòIíóIíñmt ∫

β

α

++=

ïÜÉêÉ í ÖçÉë Ñêçã α íç β K

fÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ cr

áë ÅçåëÉêî~íáîÉ ~åÇ ( )òIóIñì áë ~ ëÅ~ä~êéçíÉåíá~ä çÑ íÜÉ ÑáÉäÇI íÜÉå íÜÉ ïçêâ çå ~å çÄàÉÅí ãçîáåÖÑêçã ^ íç _ Å~å ÄÉ ÑçìåÇ Äó íÜÉ Ñçêãìä~

( ) ( )^ì_ìt −= K

1138. ̂ ãéÉêÉ∞ë i~ï

fêÇ_ M

`

µ=⋅∫rr

K

qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ã~ÖåÉíáÅ ÑáÉäÇ _r

~êçìåÇ ~ ÅäçëÉÇ é~íÜ` áë Éèì~ä íç íÜÉ íçí~ä ÅìêêÉåí f ÑäçïáåÖ íÜêçìÖÜ íÜÉ ~êÉ~ÄçìåÇÉÇ Äó íÜÉ é~íÜK

Figure 208.



285

1139. c~ê~Ç~ó∞ë i~ï

Çí

ÇêÇb

`

ψ−=⋅=ε ∫

rr

qÜÉ ÉäÉÅíêçãçíáîÉ ÑçêÅÉ EÉãÑF ε áåÇìÅÉÇ ~êçìåÇ ~ ÅäçëÉÇäççé ` áë Éèì~ä íç íÜÉ ê~íÉ çÑ íÜÉ ÅÜ~åÖÉ çÑ ã~ÖåÉíáÅ Ñäìñ ψé~ëëáåÖ íÜêçìÖÜ íÜÉ äççéK

Figure 209.

9.13 Surface Integral

pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåëW ( )òIóIñÑ I ( )óIñòmçëáíáçå îÉÅíçêëW ( )îIìê

rI ( )òIóIñêr


I àr

I âr

pìêÑ~ÅÉW p

sÉÅíçê ÑáÉäÇW ( )oInImcr

aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW ccÇáîrr⋅∇=



286

`ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW ccÅìêärr

×∇=

sÉÅíçê ÉäÉãÉåí çÑ ~ ëìêÑ~ÅÉW pÇr

kçêã~ä íç ëìêÑ~ÅÉW år

pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ^j~ëë çÑ ~ ëìêÑ~ÅÉW ãaÉåëáíóW ( )òIóIñµ`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó I òcáêëí ãçãÉåíëW ñój I óòj I ñòj

jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñóf I óòf I ñòf I ñf I óf I òf

sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s

cçêÅÉW cr

dê~îáí~íáçå~ä Åçåëí~åíW dcäìáÇ îÉäçÅáíóW ( )êî

rr

cäìáÇ ÇÉåëáíóW ρmêÉëëìêÉW ( )êé

r

j~ëë ÑäìñI ÉäÉÅíêáÅ ÑäìñW ΦpìêÑ~ÅÉ ÅÜ~êÖÉW n`Ü~êÖÉ ÇÉåëáíóW ( )óIñσ

j~ÖåáíìÇÉ çÑ íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑáÉäÇW br

1140. pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçåiÉí ~ ëìêÑ~ÅÉ p ÄÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê

( ) ( ) ( ) ( )âîIìòàîIìóáîIìñîIìêrrrr

++= I

ïÜÉêÉ ( )îIì ê~åÖÉë çîÉê ëçãÉ Ççã~áå ( )îIìa çÑ íÜÉ ìî-éä~åÉKqÜÉ ëìêÑ~ÅÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå ( )òIóIñÑ çîÉêíÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÇÉÑáåÉÇ ~ë

( ) ( ) ( ) ( )( )( )∫∫∫∫ ∂

∂×

∂∂

=îIìap

ÇìÇîî

ê

ì

êîIìòIîIìóIîIìñÑÇpòIóIñÑ

rr

I

ïÜÉêÉ íÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëì

ê

∂∂r

~åÇî

ê

∂∂r

~êÉ ÖáîÉå Äó



287

( ) ( ) ( )âîIìì

òàîIì

ì

óáîIì

ì

ñ

ì

ê rrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

I

( ) ( ) ( )âîIìî

òàîIì

î

óáîIì

î

ñ

î

ê rrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

~åÇî

ê

ì

ê

∂∂

×∂∂

rr

áë íÜÉ Åêçëë éêçÇìÅíK

1141. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ( )óIñòò = ïÜÉêÉ( )óIñò áë ~ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçå áå íÜÉ Ççã~áå ( )óIña I

íÜÉå

( ) ( )( )( )∫∫∫∫

∂∂

+

∂∂

+=óIña

OO

p

ÇñÇóó

ò

ñ

òNóIñòIóIñÑÇpòIóIñÑ K

1142. pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä çÑ íÜÉ sÉÅíçê cáÉäÇ cr

çîÉê íÜÉ pìêÑ~ÅÉ p• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ çìíï~êÇI íÜÉå

( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅pp

ÇpåòIóIñcpÇòIóIñcrrrr

( ) ( ) ( )( )( )∫∫

∂∂

×∂∂

⋅=îIìa

ÇìÇîî

ê

ì

êîIìòIîIìóIîIìñc

rrrK

• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ áåï~êÇI íÜÉå

( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅pp


( ) ( ) ( )( )( )∫∫

∂∂

×∂∂

⋅=îIìa

ÇìÇîì

ê

î

êîIìòIîIìóIîIìñc

rrrK

ÇpåpÇrr

= áë Å~ääÉÇ íÜÉ îÉÅíçê ÉäÉãÉåí çÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉK açíãÉ~åë íÜÉ ëÅ~ä~ê éêçÇìÅí çÑ íÜÉ ~ééêçéêá~íÉ îÉÅíçêëK

qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëì

ê

∂∂r

~åÇî

ê

∂∂r

~êÉ ÖáîÉå Äó



288

( ) ( ) ( ) âîIìì

òàîIì

ì

óáîIì

ì

ñ

ì

ê rrrr

⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=∂∂

I

( ) ( ) ( ) âîIìî

òàîIì

î

óáîIì

î

ñ

î

ê rrrr

⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=∂∂

K

1143. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ( )óIñòò = I ïÜÉêÉ( )óIñò áë ~ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçå áå íÜÉ Ççã~áå ( )óIña I

íÜÉå• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ ìéï~êÇI áKÉK íÜÉ â-íÜ ÅçãéçåÉåí çÑ íÜÉ

åçêã~ä îÉÅíçê áë éçëáíáîÉI íÜÉå

( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅pp


( )( )∫∫

+

∂∂

−∂∂

−⋅=óIña

ÇñÇóâàó

òá

ñ

òòIóIñc

rrrrI

• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ Ççïåï~êÇI áKÉK íÜÉ â-íÜ ÅçãéçåÉåí çÑ íÜÉåçêã~ä îÉÅíçê áë åÉÖ~íáîÉI íÜÉå

( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅pp


( )( )∫∫

−

∂∂

+∂∂

⋅=óIña

ÇñÇóâàó

òá

ñ

òòIóIñc

rrrrK

1144. ( ) ∫∫∫∫ ++=⋅pp

oÇñÇónÇòÇñmÇóÇòÇpåcrr

( )∫∫ γ+β+α=p

ÇpÅçëoÅçënÅçëm I

ïÜÉêÉ ( )òIóIñm I ( )òIóIñn I ( )òIóIño ~êÉ íÜÉ ÅçãéçåÉåíë çÑ

íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇ cr

KαÅçë I βÅçë I γÅçë ~êÉ íÜÉ ~åÖäÉë ÄÉíïÉÉå íÜÉ çìíÉê ìåáí

åçêã~ä îÉÅíçê år

~åÇ íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáëI êÉëéÉÅí-áîÉäóK



289

1145. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå áå é~ê~ãÉíêáÅ Ñçêã Äó íÜÉ îÉÅíçê( ) ( ) ( )( )îIìòIîIìóIîIìñê

rI íÜÉå íÜÉ ä~ííÉê Ñçêãìä~ Å~å ÄÉ

ïêáííÉå ~ë

( )( )

IÇìÇî

î

ò

î

ó

î

ñì

ò

ì

ó

ì

ñonm

oÇñÇónÇòÇñmÇóÇòÇpåcîIìapp∫∫∫∫∫∫

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=++=⋅rr

ïÜÉêÉ ( )îIì ê~åÖÉë çîÉê ëçãÉ Ççã~áå ( )îIìa çÑ íÜÉ ìî-éä~åÉK

1146. aáîÉêÖÉåÅÉ qÜÉçêÉã

( )∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅dp

ÇscpÇcrrr

I

ïÜÉêÉ

( ) ( ) ( ) ( )òIóIñoIòIóIñnIòIóIñmòIóIñc =r

áë ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ ïÜçëÉ ÅçãéçåÉåíë mI nI ~åÇ o Ü~îÉÅçåíáåìçìë é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëI

ò

o

ó

n

ñ

mc

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇r

áë íÜÉ ÇáîÉêÖÉåÅÉ çÑ cr

I ~äëç ÇÉåçíÉÇ cÇáîr

K qÜÉ ëóãÄçä

∫∫ áåÇáÅ~íÉë íÜ~í íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå çîÉê ~ ÅäçëÉÇ

ëìêÑ~ÅÉK

1147. aáîÉêÖÉåÅÉ qÜÉçêÉã áå `ççêÇáå~íÉ cçêã

∫∫∫∫∫

∂∂

+∂∂

+∂∂

=++dp

ÇñÇóÇòò

o

ó

n

ñ

moÇñÇónÇñÇòmÇóÇò K

1148. píçâÉ∞ë qÜÉçêÉã

( )∫∫∫ ⋅×∇=⋅p`

pÇcêÇcrrrr

I



290

ïÜÉêÉ

( ) ( ) ( ) ( )òIóIñoIòIóIñnIòIóIñmòIóIñc =r

áë ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ ïÜçëÉ ÅçãéçåÉåíë mI nI ~åÇ o Ü~îÉÅçåíáåìçìë é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëI

âó

m

ñ

nà

ñ

o

ò

má

ò

n

ó

o

onmñññ

âàá

crrr

rrr

r

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

=×∇

áë íÜÉ Åìêä çÑ cr

I ~äëç ÇÉåçíÉÇ cÅìêär

K

qÜÉ ëóãÄçä ∫ áåÇáÅ~íÉë íÜ~í íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå çîÉê

~ ÅäçëÉÇ ÅìêîÉK

1149. píçâÉ∞ë qÜÉçêÉã áå `ççêÇáå~íÉ cçêã

∫ ++`

oÇònÇómÇñ

∫∫

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

=p

ÇñÇóó

m

ñ

nÇòÇñ

ñ

o

ò

mÇóÇò

ò

n

ó

o

1150. pìêÑ~ÅÉ ^êÉ~

∫∫=p

Çp^

1151. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê

( ) ( ) ( ) ( )âîIìòàîIìóáîIìñîIìêrrrr

++= IíÜÉå íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~ áë

( )∫∫ ∂

∂×

∂∂

=îIìa

ÇìÇîî

ê

ì

ê^

rr

I

ïÜÉêÉ ( )îIìa áë íÜÉ Ççã~áå ïÜÉêÉ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ( )îIìêr

áëÇÉÑáåÉÇK



291

1152. fÑ p áë ÖáîÉå ÉñéäáÅáíäó Äó íÜÉ ÑìåÅíáçå ( )óIñò I íÜÉå íÜÉ ëìê-Ñ~ÅÉ ~êÉ~ áë

( )∫∫

∂∂

+

∂∂

+=óIña

OO

ÇñÇóó

ò

ñ

òN^ I

ïÜÉêÉ ( )óIña áë íÜÉ éêçàÉÅíáçå çÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p çåíç íÜÉ ñó-éä~åÉK

1153. j~ëë çÑ ~ pìêÑ~ÅÉ

( )∫∫µ=p

ÇpòIóIñã I

ïÜÉêÉ ( )òIóIñµ áë íÜÉ ã~ëë éÉê ìåáí ~êÉ~ EÇÉåëáíó ÑìåÅ-íáçåFK

1154. ̀ ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ pÜÉää

ã

jñ

óò= Iã

jó ñò= I

ã

jò

ñó= I

ïÜÉêÉ

( )∫∫ µ=p

óò ÇpòIóIññj I

( )∫∫ µ=p

ñò ÇpòIóIñój I

( )∫∫ µ=p

ñó ÇpòIóIñòj

~êÉ íÜÉ Ñáêëí ãçãÉåíë ~Äçìí íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ éä~åÉë Mñ = IMó = I Mò = I êÉëéÉÅíáîÉäóK ( )òIóIñµ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK

1155. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñó-éä~åÉ Eçê Mò = FI óò-éä~åÉE Mñ = FI ~åÇ ñò-éä~åÉ E Mó = F

( )∫∫ µ=p

Oñó ÇpòIóIñòf I

( )∫∫ µ=p

Oóò ÇpòIóIññf I



292

( )∫∫ µ=p

Oñò ÇpòIóIñóf K

1156. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë

( ) ( )∫∫ µ+=p

OOñ ÇpòIóIñòóf I

( ) ( )∫∫ µ+=p

OOó ÇpòIóIñòñf I

( ) ( )∫∫ µ+=p

OOò ÇpòIóIñóñf K

1157. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ _çìåÇÉÇ Äó ~ `äçëÉÇ pìêÑ~ÅÉ

∫∫ ++=p

òÇñÇóóÇñÇòñÇóÇòP

Ns

1158. dê~îáí~íáçå~ä cçêÅÉ

( )∫∫µ=p

PÇp

ê

êòIóIñdãcrr

I

ïÜÉêÉ ã áë ~ ã~ëë ~í ~ éçáåí MMM òIóIñ çìíëáÇÉ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉI

MMM òòIóóIññê −−−=r

I

( )òIóIñµ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåI~åÇ d áë Öê~îáí~íáçå~ä Åçåëí~åíK

1159. mêÉëëìêÉ cçêÅÉ

( )∫∫=p

pÇêécrrr

I

ïÜÉêÉ íÜÉ éêÉëëìêÉ ( )êér

~Åíë çå íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p ÖáîÉå ÄóíÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê ê

rK

1160. cäìáÇ cäìñ E~Åêçëë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ pF

( )∫∫ ⋅=Φp

pÇêîrrr

I



293

ïÜÉêÉ ( )êîrr

áë íÜÉ ÑäìáÇ îÉäçÅáíóK

1161. j~ëë cäìñ E~Åêçëë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ pF

( )∫∫ ⋅ρ=Φp

pÇêîrrr

I

ïÜÉêÉ îcrr

ρ= áë íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇI ρ áë íÜÉ ÑäìáÇ ÇÉåëáíóK

1162. pìêÑ~ÅÉ `Ü~êÖÉ

( )∫∫σ=p

ÇpóIñn I

ïÜÉêÉ ( )óIñσ áë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ÅÜ~êÖÉ ÇÉåëáíóK

1163. d~ìëë∞ i~ïqÜÉ ÉäÉÅíêáÅ Ñäìñ íÜêçìÖÜ ~åó ÅäçëÉÇ ëìêÑ~ÅÉ áë éêçéçêíáçå~äíç íÜÉ ÅÜ~êÖÉ n ÉåÅäçëÉÇ Äó íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ

Mp

npÇb

ε=⋅=Φ ∫∫

rrI

ïÜÉêÉΦ áë íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑäìñI

br

áë íÜÉ ã~ÖåáíìÇÉ çÑ íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑáÉäÇ ëíêÉåÖíÜI

ã

cNMURIU NO

M−×=ε áë éÉêãáííáîáíó çÑ ÑêÉÉ ëé~ÅÉK


294

Chapter 10

Differential Equations

cìåÅíáçåë çÑ çåÉ î~êá~ÄäÉW óI éI èI ìI ÖI ÜI dI eI êI ò^êÖìãÉåíë EáåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉëFW ñI ócìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW ( )óIñÑ I ( )óIñj I ( )óIñk

cáêëí çêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉW ó′ I ì′ I ó& IÇí

ÇóI £

pÉÅçåÇ çêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉëW ó ′′ I ó&& IO

O

Çí

fÇI £

m~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëWí

ì

∂∂

IO

O

ñ

ì

∂∂

I £

k~íìê~ä åìãÄÉêW åm~êíáÅìä~ê ëçäìíáçåëW Nó I éó

oÉ~ä åìãÄÉêëW âI íI `I N` I O` I éI èI α I βoççíë çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåëW Nλ I OλqáãÉW íqÉãéÉê~íìêÉW qI pmçéìä~íáçå ÑìåÅíáçåW ( )ímj~ëë çÑ ~å çÄàÉÅíW ãpíáÑÑåÉëë çÑ ~ ëéêáåÖW âaáëéä~ÅÉãÉåí çÑ íÜÉ ã~ëë Ñêçã ÉèìáäáÄêáìãW ó^ãéäáíìÇÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíW ^cêÉèìÉåÅóW ωa~ãéáåÖ ÅçÉÑÑáÅáÉåíW γmÜ~ëÉ ~åÖäÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíW δ^åÖìä~ê Çáëéä~ÅÉãÉåíW θmÉåÇìäìã äÉåÖíÜW i


CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

295

^ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ Öê~îáíóW Ö`ìêêÉåíW foÉëáëí~åÅÉW ofåÇìÅí~åÅÉW i`~é~Åáí~åÅÉW `

10.1 First Order Ordinary Differential Equations

1164. iáåÉ~ê bèì~íáçåë

( ) ( )ñèóñéÇñ

Çó=+ K

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë

( ) ( )( )ñì

`Çññèñìó

+= ∫ I

ïÜÉêÉ

( ) ( )( )∫= ÇññéÉñéñì K

1165. pÉé~ê~ÄäÉ bèì~íáçåë

( ) ( ) ( )óÜñÖóIñÑÇñ

Çó==

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ÖáîÉå Äó

( ) ( ) `ÇññÖóÜ

Çó+= ∫∫ I

çê( ) ( ) `ñdóe += K



296

1166. eçãçÖÉåÉçìë bèì~íáçåë

qÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçå ( )óIñÑÇñ

Çó= áë ÜçãçÖÉåÉçìëI áÑ

íÜÉ ÑìåÅíáçå ( )óIñÑ áë ÜçãçÖÉåÉçìëI íÜ~í áë( ) ( )óIñÑíóIíñÑ = K

qÜÉ ëìÄëíáíìíáçåñ

óò = EíÜÉå òñó = F äÉ~Çë íç íÜÉ ëÉé~ê~ÄäÉ

Éèì~íáçå

( )òINÑòÇñ

Çòñ =+ K

1167. _Éêåçìääá bèì~íáçå

( ) ( ) åóñèóñéÇñ

Çó=+ K

qÜÉ ëìÄëíáíìíáçå åNóò −= äÉ~Çë íç íÜÉ äáåÉ~ê Éèì~íáçå

( ) ( ) ( ) ( )ñèåNòñéåNÇñ

Çò−=−+ K

1168. oáÅÅ~íá bèì~íáçå

( ) ( ) ( ) OóñêóñèñéÇñ

Çó++=

fÑ ~ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå Nó áë âåçïåI íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäì-íáçå Å~å ÄÉ çÄí~áåÉÇ ïáíÜ íÜÉ ÜÉäé çÑ ëìÄëíáíìíáçå

Nóó

Nò

−= I ïÜáÅÜ äÉ~Çë íç íÜÉ Ñáêëí çêÇÉê äáåÉ~ê Éèì~íáçå

( ) ( )[ ] ( )ñêòñêóOñèÇñ

ÇòN −+−= K



297

1169. bñ~Åí ~åÇ kçåÉñ~Åí bèì~íáçåëqÜÉ Éèì~íáçå( ) ( ) MÇóóIñkÇñóIñj =+

áë Å~ääÉÇ Éñ~Åí áÑ

ñ

k

ó

j

∂∂

=∂∂

I

~åÇ åçåÉñ~Åí çíÜÉêïáëÉK

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë

( ) ( ) `ÇóóIñkÇñóIñj =+ ∫∫ K

1170. o~Çáç~ÅíáîÉ aÉÅ~ó

âóÇí

Çó−= I

ïÜÉêÉ ( )íó áë íÜÉ ~ãçìåí çÑ ê~Çáç~ÅíáîÉ ÉäÉãÉåí ~í íáãÉ íI âáë íÜÉ ê~íÉ çÑ ÇÉÅ~óK

qÜÉ ëçäìíáçå áë( ) âí

MÉóíó −= I ïÜÉêÉ ( )MóóM = áë íÜÉ áåáíá~ä ~ãçìåíK

1171. kÉïíçå∞ë i~ï çÑ `ççäáåÖ

( )pqâÇí

Çq−−= I

ïÜÉêÉ ( )íq áë íÜÉ íÉãéÉê~íìêÉ çÑ ~å çÄàÉÅí ~í íáãÉ íI p áë íÜÉ

íÉãéÉê~íìêÉ çÑ íÜÉ ëìêêçìåÇáåÖ ÉåîáêçåãÉåíI â áë ~ éçëá-íáîÉ Åçåëí~åíK

qÜÉ ëçäìíáçå áë( ) ( ) âí

M Épqpíq −−+= I

ïÜÉêÉ ( )MqqM = áë íÜÉ áåáíá~ä íÉãéÉê~íìêÉ çÑ íÜÉ çÄàÉÅí ~í

íáãÉ Mí = K



298

1172. mçéìä~íáçå aóå~ãáÅë EiçÖáëíáÅ jçÇÉäF

−=

j

mNâm

Çí

ÇmI

ïÜÉêÉ ( )ím áë éçéìä~íáçå ~í íáãÉ íI â áë ~ éçëáíáîÉ Åçåëí~åíIj áë ~ äáãáíáåÖ ëáòÉ Ñçê íÜÉ éçéìä~íáçåK

qÜÉ ëçäìíáçå çÑ íÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçå áë

( ) ( ) âíMM

M

Émjm

jmím −−+= I ïÜÉêÉ ( )MmmM = áë íÜÉ áåáíá~ä éçéì-

ä~íáçå ~í íáãÉ Mí = K

10.2 Second Order Ordinary Differential Equations

1173. eçãçÖÉåÉçìë iáåÉ~ê bèì~íáçåë ïáíÜ `çåëí~åí `çÉÑÑáÅáÉåíëMèóóéó =+′+′′ K

qÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçå áëMèéO =+λ+λ K

fÑ Nλ ~åÇ Oλ ~êÉ ÇáëíáåÅí êÉ~ä êççíë çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅÉèì~íáçåI íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë

ñO

ñN

ON É`É`ó λλ += I ïÜÉêÉ

N` ~åÇ O` ~êÉ áåíÉÖê~íáçå Åçåëí~åíëK

fÑO

éON −=λ=λ I íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë

( ) ñO

é

ON Éñ``ó−

+= K

fÑ Nλ ~åÇ Oλ ~êÉ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêëW



299

áN β+α=λ I áO β−α=λ I ïÜÉêÉ

O

é−=α I

O

éèQ O−=β I

íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë( )ñëáå`ñÅçë`Éó ON

ñ β+β= α K

1174. fåÜçãçÖÉåÉçìë iáåÉ~ê bèì~íáçåë ïáíÜ `çåëí~åí`çÉÑÑáÅáÉåíë

( )ñÑèóóéó =+′+′′ K

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ÖáîÉå Äó

Üé óóó += I ïÜÉêÉ

éó áë ~ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå çÑ íÜÉ áåÜçãçÖÉåÉçìë Éèì~íáçå

~åÇ Üó áë íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå çÑ íÜÉ ~ëëçÅá~íÉÇ ÜçãçÖÉåÉ-çìë Éèì~íáçå EëÉÉ íÜÉ éêÉîáçìë íçéáÅ NNTPFK

fÑ íÜÉ êáÖÜí ëáÇÉ Ü~ë íÜÉ Ñçêã( ) ( ) ( )( )ñëáåñmñÅçëñmÉñÑ NN

ñ β+β= α IíÜÉå íÜÉ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå éó áë ÖáîÉå Äó

( ) ( )( )ñëáåñoñÅçëñoÉñó ONñâ

é β+β= α I

ïÜÉêÉ íÜÉ éçäóåçãá~äë ( )ñoN ~åÇ ( )ñoO Ü~îÉ íç ÄÉ ÑçìåÇÄó ìëáåÖ íÜÉ ãÉíÜçÇ çÑ ìåÇÉíÉêãáåÉÇ ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK• fÑ áβ+α áë åçí ~ êççí çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåI íÜÉå

íÜÉ éçïÉê Mâ = I• fÑ áβ+α áë ~ ëáãéäÉ êççíI íÜÉå Nâ = I• fÑ áβ+α áë ~ ÇçìÄäÉ êççíI íÜÉå Oâ = K

1175. aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë ïáíÜ ó jáëëáåÖ( )óIñÑó ′=′′ K

pÉí óì ′= K qÜÉå íÜÉ åÉï Éèì~íáçå ë~íáëÑáÉÇ Äó î áë( )ìIñÑì =′ I

ïÜáÅÜ áë ~ Ñáêëí çêÇÉê ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåK



300

1176. aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë ïáíÜ ñ jáëëáåÖ( )óIóÑó ′=′′ K

pÉí óì ′= K páåÅÉ

Çó

Çìì

Çñ

Çó

Çó

Çì

Çñ

Çìó ===′′ I

ïÉ Ü~îÉ

( )ìIóÑÇó

Çìì = I

ïÜáÅÜ áë ~ Ñáêëí çêÇÉê ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåK

1177. cêÉÉ råÇ~ãéÉÇ sáÄê~íáçåëqÜÉ ãçíáçå çÑ ~ j~ëë çå ~ péêáåÖ áë ÇÉëÅêáÄÉÇ Äó íÜÉ Éèì~-íáçå

Mâóóã =+&& IïÜÉêÉã áë íÜÉ ã~ëë çÑ íÜÉ çÄàÉÅíIâ áë íÜÉ ëíáÑÑåÉëë çÑ íÜÉ ëéêáåÖIó áë Çáëéä~ÅÉãÉåí çÑ íÜÉ ã~ëë Ñêçã ÉèìáäáÄêáìãK

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë( )δ−ω= íÅçë^ó M I

ïÜÉêÉ^ áë íÜÉ ~ãéäáíìÇÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíI

Mω áë íÜÉ ÑìåÇ~ãÉåí~ä ÑêÉèìÉåÅóI íÜÉ éÉêáçÇ áëM

Oq

ωπ

= I

δ áë éÜ~ëÉ ~åÖäÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíKqÜáë áë ~å Éñ~ãéäÉ çÑ ëáãéäÉ Ü~êãçåáÅ ãçíáçåK

1178. cêÉÉ a~ãéÉÇ sáÄê~íáçåëMâóóóã =+γ+ &&& I ïÜÉêÉ

γ áë íÜÉ Ç~ãéáåÖ ÅçÉÑÑáÅáÉåíKqÜÉêÉ ~êÉ P Å~ëÉë Ñçê íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçåW


301

`~ëÉ NK âãQO >γ EçîÉêÇ~ãéÉÇF

( ) íí ON _É^Éíó λλ += IïÜÉêÉ

ãO

âãQO

N

−γ−γ−=λ I

ãO

âãQO

O

−γ+γ−=λ K

`~ëÉ OK âãQO =γ EÅêáíáÅ~ääó Ç~ãéÉÇF

( ) ( ) íÉ_í^íó λ+= IïÜÉêÉ

ãO

γ−=λ K

`~ëÉ PK âãQO <γ EìåÇÉêÇ~ãéÉÇF

( ) ( )δ−ω=γ

−íÅçë^Éíó

íãO I ïÜÉêÉ

OâãQ γ−=ω K

1179. páãéäÉ mÉåÇìäìã

Mi

Ö

Çí

ÇO

O

=θ+θ

I

ïÜÉêÉ θ áë íÜÉ ~åÖìä~ê Çáëéä~ÅÉãÉåíI i áë íÜÉ éÉåÇìäìãäÉåÖíÜI Ö áë íÜÉ ~ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ Öê~îáíóK

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå Ñçê ëã~ää ~åÖäÉë θ áë

( ) íi

Öëáåí ã~ñθ=θ I íÜÉ éÉêáçÇ áë

Ö

iOq π= K

1180. oi` `áêÅìáí

( ) ( )íÅçëbísf`

N

Çí

Çfo

Çí

fÇi MO

O

ωω=′=++ I


302

ïÜÉêÉ f áë íÜÉ ÅìêêÉåí áå ~å oi` ÅáêÅìáí ïáíÜ ~å ~Å îçäí~ÖÉëçìêÅÉ ( ) ( )íëáåbís M ω= K

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë( ) ( )ϕ−ω++= íëáå^É`É`íf íê

Oíê

NON I

ïÜÉêÉ

iO`

iQoo

ê

O

OIN

−±−= I

OOO

O

M

o`

Ni

b^

ω+

−ω

ω= I

ω−

ω=ϕ

o`

N

o

i~êÅí~å I

N` I O` ~êÉ Åçåëí~åíë ÇÉéÉåÇáåÖ çå áåáíá~ä ÅçåÇáíáçåëK

10.3. Some Partial Differential Equations

1181. qÜÉ i~éä~ÅÉ bèì~íáçå

Mó

ì

ñ

ìO

O

O

O

=∂∂

+∂∂

~ééäáÉë íç éçíÉåíá~ä ÉåÉêÖó ÑìåÅíáçå ( )óIñì Ñçê ~ ÅçåëÉê-î~íáîÉ ÑçêÅÉ ÑáÉäÇ áå íÜÉ ñó-éä~åÉK m~êíá~ä ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~-íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉ Å~ääÉÇ ÉääáéíáÅK

1182. qÜÉ eÉ~í bèì~íáçå

í

ì

ó

ì

ñ

ìO

O

O

O

∂∂

=∂∂

+∂∂



303

~ééäáÉë íç íÜÉ íÉãéÉê~íìêÉ ÇáëíêáÄìíáçå ( )óIñì áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ïÜÉå ÜÉ~í áë ~ääçïÉÇ íç Ñäçï Ñêçã ï~êã ~êÉ~ë íç ÅççäçåÉëK qÜÉ Éèì~íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉ Å~ääÉÇ é~ê~ÄçäáÅK

1183. qÜÉ t~îÉ bèì~íáçå

O

O

O

O

O

O

í

ì

ó

ì

ñ

ì

∂∂

=∂∂

+∂∂

~ééäáÉë íç íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåí ( )óIñì çÑ îáÄê~íáåÖ ãÉãÄê~åÉë~åÇ çíÜÉê ï~îÉ ÑìåÅíáçåëK qÜÉ Éèì~íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉÅ~ääÉÇ ÜóéÉêÄçäáÅK


304

Chapter 11

Series

11.1 Arithmetic Series

fåáíá~ä íÉêãW N~kíÜ íÉêãW å~aáÑÑÉêÉåÅÉ ÄÉíïÉÉå ëìÅÅÉëëáîÉ íÉêãëW ÇkìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW åpìã çÑ íÜÉ Ñáêëí å íÉêãëW åp

1184. ( )ÇNå~ÇO~Ç~~ NOåNåå −+==+=+= −− K

1185. áNåáNåOåN ~~~~~~ −+− +==+=+ K

1186. O

~~~ NáNá

á+− +

=

1187. ( )å

O

ÇNå~Oå

O

~~p NåN

å ⋅−+

=⋅+

=


CHAPTER 11. SERIES

305

11.2 Geometric Series

fåáíá~ä íÉêãW N~kíÜ íÉêãW å~`çããçå ê~íáçW èkìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW åpìã çÑ íÜÉ Ñáêëí å íÉêãëW åppìã íç áåÑáåáíóW p

1188. NåNNåå è~è~~ −

− ==

1189. áNåáNåOåN ~~~~~~ −+− ⋅==⋅=⋅ K

1190. NáNáá ~~~ +− ⋅=

1191. ( )Nè

Nè~

Nè

~è~p

åNNå

å −−

=−−

=

1192. èN

~päáãp N

åå −

==∞→

cçê Nè < I íÜÉ ëìã p ÅçåîÉêÖÉë ~ë ∞→å K

11.3 Some Finite Series

kìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW å

CHAPTER 11. SERIES

306

1193. ( )O

NåååPON

+=++++ K

1194. ( )NåååOSQO +=++++ K

1195. ( ) OåNåORPN =−++++ K

1196. ( ) ( ) ( ) ( )O

NåâOåNåâOâNââ

−+=−+++++++ K

1197. ( )( )S

NåONåååPON OOOO ++

=++++ K

1198. ( ) OPPPP

O

NåååPON

+

=++++ K

1199. ( ) ( )P

NåQåNåORPN

OOOOO −=−++++ K

1200. ( ) ( )NåOåNåORPN OOPPPP −=−++++ K

1201. OO

N

U

N

Q

N

O

NN

å=++++++ KK

1202. ( ) NNåå

N

QP

N

PO

N

ON

N=+

+++

⋅+

⋅+

⋅KK

1203. ( ) É>Nå

N

>P

N

>O

N

>N

NN =+

−+++++ KK


CHAPTER 11. SERIES

307

11.4 Infinite Series

pÉèìÉåÅÉW { }å~cáêëí íÉêãW N~kíÜ íÉêãW å~

1204. fåÑáåáíÉ pÉêáÉë

KK ++++=∑∞

=åON

Nåå ~~~~

1205. kíÜ m~êíá~ä pìã

åON

å

Nååå ~~~~p +++==∑

=

K

1206. ̀ çåîÉêÖÉåÅÉ çÑ fåÑáåáíÉ pÉêáÉë

i~Nå

å =∑∞

=

I áÑ ipäáã åå

=∞→

1207. kíÜ qÉêã qÉëí

• fÑ íÜÉ ëÉêáÉë ∑∞

=Nåå~ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå M~äáã å

å=

∞→K

• fÑ M~äáã åå

≠∞→

I íÜÉå íÜÉ ëÉêáÉë áë ÇáîÉêÖÉåíK

11.5 Properties of Convergent Series

`çåîÉêÖÉåí pÉêáÉëW ^~Nå

å =∑∞

=

I _ÄNå

å =∑∞

=

oÉ~ä åìãÄÉêW Å


CHAPTER 11. SERIES

308

1208. ( ) _^Ä~Ä~Nå

åNå

åNå

åå +=+=+ ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

1209. Å^~ÅÅ~Nå

åNå

å == ∑∑∞

=

∞

=

K

11.6 Convergence Tests

1210. qÜÉ `çãé~êáëçå qÉëí

iÉí ∑∞

=Nåå~ ~åÇ ∑

∞

=NååÄ ÄÉ ëÉêáÉë ëìÅÜ íÜ~í åå Ä~M ≤< Ñçê ~ää åK

• fÑ ∑∞

=NååÄ áë ÅçåîÉêÖÉåí íÜÉå ∑

∞

=Nåå~ áë ~äëç ÅçåîÉêÖÉåíK

• fÑ ∑∞

=Nåå~ áë ÇáîÉêÖÉåí íÜÉå ∑

∞

=NååÄ áë ~äëç ÇáîÉêÖÉåíK

1211. qÜÉ iáãáí `çãé~êáëçå qÉëí

iÉí ∑∞

=Nåå~ ~åÇ ∑

∞

=NååÄ ÄÉ ëÉêáÉë ëìÅÜ íÜ~í å~ ~åÇ åÄ ~êÉ éçëá-

íáîÉ Ñçê ~ää åK

• fÑ ∞<<∞→

å

å

å Ä

~äáãM íÜÉå ∑

∞

=Nåå~ ~åÇ ∑

∞

=NååÄ ~êÉ ÉáíÜÉê ÄçíÜ

ÅçåîÉêÖÉåí çê ÄçíÜ ÇáîÉêÖÉåíK

• fÑ MÄ

~äáã

å

å

å=

∞→íÜÉå ∑

∞

=NååÄ ÅçåîÉêÖÉåí áãéäáÉë íÜ~í ∑

∞

=Nåå~ áë

~äëç ÅçåîÉêÖÉåíK

CHAPTER 11. SERIES

309

• fÑ ∞=∞→

å

å

å Ä

~äáã íÜÉå ∑

∞

=NååÄ ÇáîÉêÖÉåí áãéäáÉë íÜ~í ∑

∞

=Nåå~ áë

~äëç ÇáîÉêÖÉåíK

1212. é-ëÉêáÉë

é-ëÉêáÉë ∑∞

=Nåéå

NÅçåîÉêÖÉë Ñçê Né > ~åÇ ÇáîÉêÖÉë Ñçê

NéM ≤< K

1213. qÜÉ fåíÉÖê~ä qÉëíiÉí ( )ñÑ ÄÉ ~ ÑìåÅíáçå ïÜáÅÜ áë ÅçåíáåìçìëI éçëáíáîÉI ~åÇÇÉÅêÉ~ëáåÖ Ñçê ~ää Nñ ≥ K qÜÉ ëÉêáÉë

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++++=∑∞

=

åÑPÑOÑNÑåÑNå

ÅçåîÉêÖÉë áÑ ( )∫∞

N

ÇññÑ ÅçåîÉêÖÉëI ~åÇ ÇáîÉêÖÉë áÑ

( ) ∞→∫å

N

ÇññÑ ~ë ∞→å K

1214. qÜÉ o~íáç qÉëí

iÉí ∑∞

=Nåå~ ÄÉ ~ ëÉêáÉë ïáíÜ éçëáíáîÉ íÉêãëK

• fÑ N~

~äáã

å

Nå

å<+

∞→íÜÉå ∑

∞

=Nåå~ áë ÅçåîÉêÖÉåíK

• fÑ N~

~äáã

å

Nå

å>+

∞→íÜÉå ∑

∞

=Nåå~ áë ÇáîÉêÖÉåíK

• fÑ N~

~äáã

å

Nå

å=+

∞→íÜÉå ∑

∞

=Nåå~ ã~ó ÅçåîÉêÖÉ çê ÇáîÉêÖÉ ~åÇ

íÜÉ ê~íáç íÉëí áë áåÅçåÅäìëáîÉX ëçãÉ çíÜÉê íÉëíë ãìëí ÄÉìëÉÇK

CHAPTER 11. SERIES

310

1215. qÜÉ oççí qÉëí

iÉí ∑∞

=Nåå~ ÄÉ ~ ëÉêáÉë ïáíÜ éçëáíáîÉ íÉêãëK

• fÑ N~äáã åå

å<

∞→íÜÉå ∑

∞



å>

∞→íÜÉå ∑

∞

=Nåå~ áë ÇáîÉêÖÉåíK


å=

∞→íÜÉå ∑

∞

=Nåå~ ã~ó ÅçåîÉêÖÉ çê ÇáîÉêÖÉI Äìí

åç ÅçåÅäìëáçå Å~å ÄÉ Çê~ïå Ñêçã íÜáë íÉëíK

11.7 Alternating Series

1216. qÜÉ ^äíÉêå~íáåÖ pÉêáÉë qÉëí EiÉáÄåáò∞ë qÜÉçêÉãF

iÉí { }å~ ÄÉ ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ éçëáíáîÉ åìãÄÉêë ëìÅÜ íÜ~í

åNå ~~ <+ Ñçê ~ää åKM~äáã å

å=

∞→K

qÜÉå íÜÉ ~äíÉêå~íáåÖ ëÉêáÉë ( )∑∞

=

−Nå

åå ~N ~åÇ ( )∑

∞

=

−−Nå

åNå ~N

ÄçíÜ ÅçåîÉêÖÉK

1217. ̂ ÄëçäìíÉ `çåîÉêÖÉåÅÉ

• ^ ëÉêáÉë ∑∞

=Nåå~ áë ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåí áÑ íÜÉ ëÉêáÉë

∑∞

CHAPTER 11. SERIES

311

• fÑ íÜÉ ëÉêáÉë ∑∞

=Nåå~ áë ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåí íÜÉå áí áë Åçå-

îÉêÖÉåíK

1218. ̀ çåÇáíáçå~ä `çåîÉêÖÉåÅÉ

^ ëÉêáÉë ∑∞

=Nåå~ áë ÅçåÇáíáçå~ääó ÅçåîÉêÖÉåí áÑ íÜÉ ëÉêáÉë áë

ÅçåîÉêÖÉåí Äìí áë åçí ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåíK

11.8 Power Series

oÉ~ä åìãÄÉêëW ñI Mñ

mçïÉê ëÉêáÉëW ∑∞

=Må

ååñ~ I ( )∑

∞

=

−Må

åMå ññ~

tÜçäÉ åìãÄÉêW åo~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉW o

1219. mçïÉê pÉêáÉë áå ñ

KK +++++=∑∞

=

åå

OONM

Må

åå ñ~ñ~ñ~~ñ~

1220. mçïÉê pÉêáÉë áå ( )Mññ −

( ) ( ) ( ) ( ) KK +−++−+−+=−∑∞

=

åMå

OMOMNM

Må

åMå ññ~ññ~ññ~~ññ~

1221. fåíÉêî~ä çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉqÜÉ ëÉí çÑ íÜçëÉ î~äìÉë çÑ ñ Ñçê ïÜáÅÜ íÜÉ ÑìåÅíáçå

( ) ( )∑∞

=

−=Må

åMå ññ~ñÑ áë ÅçåîÉêÖÉåí áë Å~ääÉÇ íÜÉ áåíÉêî~ä çÑ

ÅçåîÉêÖÉåÅÉK


CHAPTER 11. SERIES

312

1222. o~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉfÑ íÜÉ áåíÉêî~ä çÑ ÅçåîÉêÖÉåÅÉ áë ( )oñIoñ MM +− Ñçê ëçãÉ

Mo ≥ I íÜÉ o áë Å~ääÉÇ íÜÉ ê~Çáìë çÑ ÅçåîÉêÖÉåÅÉK fí áë ÖáîÉå~ë

åå

å ~

Näáão

∞→= çê

Nå

å

å ~

~äáão

+∞→

= K

11.9 Differentiation and Integration of Power Series

`çåíáåìçìë ÑìåÅíáçåW ( )ñÑ

mçïÉê ëÉêáÉëW ∑∞

=Må

ååñ~

tÜçäÉ åìãÄÉêW åo~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉW o

1223. aáÑÑÉêÉåíá~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë

iÉí ( ) K+++==∑∞

=

OONM

Må

åå ñ~ñ~~ñ~ñÑ Ñçê oñ < K

qÜÉåI Ñçê oñ < I ( )ñÑ áë ÅçåíáåìçìëI íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉ ( )ñÑ ′Éñáëíë ~åÇ

( ) K+++=′ OONM ñ~

Çñ

Çñ~

Çñ

Ç~

Çñ

ÇñÑ

∑∞

=

−=+++=Nå

Nåå

OPON ñå~ñ~Pñ~O~ K K

CHAPTER 11. SERIES

313

1224. fåíÉÖê~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë

iÉí ( ) K+++==∑∞

=

OONM

Må

åå ñ~ñ~~ñ~ñÑ Ñçê oñ < K

qÜÉåI Ñçê oñ < I íÜÉ áåÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä ( )∫ ÇññÑ Éñáëíë ~åÇ

( ) K+++= ∫∫∫∫ Çññ~ñÇñ~Çñ~ÇññÑ OONM

`Nå

ñ~

P

ñ~

O

ñ~ñ~

Må

Nå

å

P

O

O

NM ++

=+++= ∑∞

=

+

K K

11.10 Taylor and Maclaurin Series

tÜçäÉ åìãÄÉêW åaáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçåW ( )ñÑoÉã~áåÇÉê íÉêãW åo

1225. q~óäçê pÉêáÉë

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )K+

−′′+−′+=

−=∑

∞

= >O

~ñ~Ñ~ñ~Ñ~Ñ

>å

~ñ~ÑñÑ

O

Må

åå

( ) ( )( )å

åå

o>å

~ñ~Ñ+

−+ K

1226. qÜÉ oÉã~áåÇÉê ^ÑíÉê åHN qÉêãë áë ÖáîÉå Äó( )( )( )

( )>Nå

~ñÑo

NåNå

å +−ξ

=++

I ñ~ <ξ< K

1227. j~Åä~ìêáå pÉêáÉë

CHAPTER 11. SERIES

314

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )å

ååO

Må

åå o

>å

ñMÑ

>O

ñMÑñMÑMÑ

>å

ñMÑñÑ +++

′′+′+==∑

∞

=

K

11.11 Power Series Expansions for Some Functions

tÜçäÉ åìãÄÉêW åoÉ~ä åìãÄÉêW ñ

1228. KK ++++++=>å

ñ

>P

ñ

>O

ññNÉ

åPOñ

1229. ( ) ( ) ( )KK ++++++=

>å

~äåñ

>P

~äåñ

>O

~äåñ

>N

~äåñN~

åPOñ

1230. ( ) ( )KK ±

+−

++−+−=++

Nå

ñN

Q

ñ

P

ñ

O

ñññNäå

NååQPO

I NñN ≤<− K

1231.

++++=

−+

KT

ñ

R

ñ

P

ññO

ñN

ñNäå

TRP

I Nñ < K

1232.

+−

+

+−

++−

= KRP

Nñ

Nñ

R

N

Nñ

Nñ

P

N

Nñ

NñOñäå I Mñ > K

1233. ( )( ) KK ±−

++−+−=>åO

ñN

>S

ñ

>Q

ñ

>O

ñNñÅçë

åOåSQO

CHAPTER 11. SERIES

315

1234. ( )( ) KK ±

+−

++−+−=+

>NåO

ñN

>T

ñ

>R

ñ

>P

ñññëáå

NåOåTRP

1235. K+++++=OUPR

ñSO

PNR

ñNT

NR

ñO

P

ñññí~å

VTRP

IO

ñπ

< K

1236.

++++−= K

QTOR

ñO

VQR

ñO

QR

ñ

P

ñ

ñ

NñÅçí

TRP

I π<ñ K

1237. ( )( )( ) K

K

KK +

+⋅⋅−⋅⋅

++⋅⋅

⋅+

⋅+=

+

NåOåOSQO

ñNåORPN

RQO

ñPN

PO

ñññ~êÅëáå

NåORP

I

Nñ < K

1238. ( )( )( ) I

NåOåOSQO

ñNåORPN

RQO

ñPN

PO

ññ

Oñ~êÅÅçë

NåORP

+

+⋅⋅−⋅⋅

++⋅⋅

⋅+

⋅+−

π=

+

KK

KK

Nñ < K

1239. ( )KK ±

+−

++−+−=+

NåO

ñN

T

ñ

R

ñ

P

ñññ~êÅí~å

NåOåTRP

I Nñ ≤ K

1240. ( ) KK ++++++=>åO

ñ

>S

ñ

>Q

ñ

>O

ñNñÅçëÜ

åOSQO

1241. ( ) KK ++

+++++=+

>NåO

ñ

>T

ñ

>R

ñ

>P

ñññëáåÜ

NåOTRP

CHAPTER 11. SERIES

316

11.12 Binomial Series

tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI ãoÉ~ä åìãÄÉêW ñ`çãÄáå~íáçåëW ã

å `

1242. ( ) åãå

ãOO

åN

åå ññ`ñ`ñ`NñN ++++++=+ KK

1243. ( ) ( )[ ]>ã

NãåNåå`ã

å −−−=

KI Nñ < K

1244. K+−+−=+

PO ñññNñN

NI Nñ < K

1245. K++++=−

PO ñññNñN

NI Nñ < K

1246. K+⋅⋅⋅

⋅⋅−

⋅⋅⋅

+⋅

−+=+USQO

ñRPN

SQO

ñPN

QO

ñ

O

ñNñN

QPO

I Nñ ≤ K

1247. K+⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅

−+=+NOVSP

ñURON

VSP

ñRON

SP

ñON

P

ñNñN

QPOP I Nñ ≤ K

11.13 Fourier Series

fåíÉÖê~ÄäÉ ÑìåÅíáçåW ( )ñÑcçìêáÉê ÅçÉÑÑáÅáÉåíëW M~ I å~ I åÄ

tÜçäÉ åìãÄÉêW å

CHAPTER 11. SERIES

317

1248. ( ) ( )∑∞

=

++=Nå

ååM åñëáåÄåñÅçë~

O

~ñÑ

1249. ( )∫π

π−π= ÇñåñÅçëñÑ

N~å

1250. ( )∫π

π−π= ÇñåñëáåñÑ

NÄå


318

Chapter 12

Probability

12.1 Permutations and Combinations

mÉêãìí~íáçåëW ãå m

`çãÄáå~íáçåëW ãå `

tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI ã

1251. c~Åíçêá~ä( )( )åNåOåPON>å −−⋅⋅= K

N>M =

1252. >åmåå =

1253. ( )>ãå

>åmã

å

−=

1254. _áåçãá~ä `çÉÑÑáÅáÉåí

( )>ãå>ã

>å

ã

å`ã

å

−=

=

1255. ãåå

ãå `` −=

1256. NãNå

Nãå

ãå ``` +

++ =+


CHAPTER 12. PROBABILITY

319

1257. åå

åO

åN

åM

å O```` =++++ K

1258. m~ëÅ~ä∞ë qêá~åÖäÉ

oçï M Noçï N N Noçï O N O Noçï P N P P Noçï Q N Q S Q Noçï R N R NM NM R Noçï S N S NR OM NR S N

12.2 Probability Formulas

bîÉåíëW ^I _mêçÄ~ÄáäáíóW mo~åÇçã î~êá~ÄäÉëW uI vI ws~äìÉë çÑ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉëW ñI óI òbñéÉÅíÉÇ î~äìÉ çÑ uW µ^åó éçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêW εpí~åÇ~êÇ ÇÉîá~íáçåW σs~êá~åÅÉW OσaÉåëáíó ÑìåÅíáçåëW ( )ñÑ I ( )íÑ

1259. mêçÄ~Äáäáíó çÑ ~å bîÉåí

( )å

ã^m = I

ïÜÉêÉã áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ éçëáíáîÉ çìíÅçãÉëIå áë íÜÉ íçí~ä åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ çìíÅçãÉëK



320

1260. o~åÖÉ çÑ mêçÄ~Äáäáíó s~äìÉë( ) N^mM ≤≤

1261. ̀ Éêí~áå bîÉåí( ) N^m =

1262. fãéçëëáÄäÉ bîÉåí( ) M^m =

1263. ̀ çãéäÉãÉåí( ) ( )^mN^m −=

1264. fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë( ) ( )^m_L^m = I( ) ( )_m^L_m =

1265. ̂ ÇÇáíáçå oìäÉ Ñçê fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë( ) ( ) ( )_m^m_^m +=∪

1266. jìäíáéäáÅ~íáçå oìäÉ Ñçê fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë( ) ( ) ( )_m^m_^m ⋅=∩

1267. dÉåÉê~ä ^ÇÇáíáçå oìäÉ( ) ( ) ( ) ( )_^m_m^m_^m ∩−+=∪ I

ïÜÉêÉ_^∪ áë íÜÉ ìåáçå çÑ ÉîÉåíë ^ ~åÇ _I_^∩ áë íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå çÑ ÉîÉåíë ^ ~åÇ _K

1268. ̀ çåÇáíáçå~ä mêçÄ~Äáäáíó

( ) ( )( )_m

_^m_L^m

∩=

1269. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )^L_m^m_L^m_m_^m ⋅=⋅=∩


321

1270. i~ï çÑ qçí~ä mêçÄ~Äáäáíó

( ) ( ) ( )∑=

=ã

Nááá _L^m_m^m I

ïÜÉêÉ á_ áë ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ ãìíì~ääó ÉñÅäìëáîÉ ÉîÉåíëK

1271. _~óÉë∞ qÜÉçêÉã

( ) ( ) ( )( )^m

_m_L^m^L_m

⋅=

1272. _~óÉë∞ cçêãìä~

( ) ( ) ( )

( ) ( )∑=

⋅

⋅=

ã

Nâáá

ááá

_L^m_m

_L^m_m^L_m I

ïÜÉêÉ

á_ áë ~ ëÉí çÑ ãìíì~ääó ÉñÅäìëáîÉ ÉîÉåíë EÜóéçíÜÉëÉëFI^ áë íÜÉ Ñáå~ä ÉîÉåíI( )á_m ~êÉ íÜÉ éêáçê éêçÄ~ÄáäáíáÉëI( )^L_m á ~êÉ íÜÉ éçëíÉêáçê éêçÄ~ÄáäáíáÉëK

1273. i~ï çÑ i~êÖÉ kìãÄÉêë

Må

pm å →

ε≥µ− ~ë ∞→å I

Nå

pm å →

ε<µ− ~ë ∞→å I

ïÜÉêÉ

åp áë íÜÉ ëìã çÑ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉëIå áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ çìíÅçãÉëK

1274. ̀ ÜÉÄóëÜÉî fåÉèì~äáíó

( ) ( )O

usum

ε≤ε≥µ− I

ïÜÉêÉ ( )us áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ uK


322

1275. kçêã~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå

( )( )

O

O

O

ñ

ÉO

Nñ σ

µ−−

πσ=ϕ I

ïÜÉêÉ ñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉK

1276. pí~åÇ~êÇ kçêã~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå

( ) O

ò O

ÉO

Nò

−

π=ϕ

^îÉê~ÖÉ î~äìÉ M=µ I ÇÉîá~íáçå N=σ K

Figure 210.

1277. pí~åÇ~êÇ w s~äìÉ

σµ−

=u

w

1278. ̀ ìãìä~íáîÉ kçêã~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå

( )( )

∫∞−

σ

µ−−

πσ=

ñ

O

í

ÇíÉO

Nñc

O

O

I


323

ïÜÉêÉñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉIí áë ~ î~êá~ÄäÉ çÑ áåíÉÖê~íáçåK

1279. ( )

σµ−β

−

σµ−α

=β<<α ccum I

ïÜÉêÉu áë åçêã~ääó ÇáëíêáÄìíÉÇ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉIc áë Åìãìä~íáîÉ åçêã~ä ÇáëíêáÄìíáçå ÑìåÅíáçåI( )β<<α um áë áåíÉêî~ä éêçÄ~ÄáäáíóK

1280. ( )

σε

=ε<µ− cOum I

ïÜÉêÉu áë åçêã~ääó ÇáëíêáÄìíÉÇ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉIc áë Åìãìä~íáîÉ åçêã~ä ÇáëíêáÄìíáçå ÑìåÅíáçåK

1281. ̀ ìãìä~íáîÉ aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå

( ) ( ) ( )∫∞−

=<=ñ

ÇííÑñumñc I

ïÜÉêÉ í áë ~ î~êá~ÄäÉ çÑ áåíÉÖê~íáçåK

1282. _Éêåçìääá qêá~äë mêçÅÉëëåé=µ I åéèO =σ I

ïÜÉêÉå áë ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ ÉñéÉêáãÉåíëIé áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ ëìÅÅÉëë çÑ É~ÅÜ ÉñéÉêáãÉåíëIè áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI éNè −= K

1283. _áåçãá~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå

( ) âåâèéâ

åèIéIåÄ −

= I


324

åé=µ I åéèO =σ I

( ) ( )åñéÉèñÑ += IïÜÉêÉå áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ íêá~äë çÑ ëÉäÉÅíáçåëIé áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ ëìÅÅÉëëIè áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI éNè −= K

1284. dÉçãÉíêáÅ aáëíêáÄìíáçå( ) éèàqm Nà−== I

é

N=µ I

OO

é

è=σ I

ïÜÉêÉq áë íÜÉ Ñáêëí ëìÅÅÉëëÑìä ÉîÉåí áë íÜÉ ëÉêáÉëIà áë íÜÉ ÉîÉåí åìãÄÉêIé áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó íÜ~í ~åó çåÉ ÉîÉåí áë ëìÅÅÉëëÑìäIè áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI éNè −= K

1285. mçáëëçå aáëíêáÄìíáçå

( ) λ−λ≈= É

>ââum

â

I åé=λ I

λ=µ I λ=σO IïÜÉêÉλ áë íÜÉ ê~íÉ çÑ çÅÅìêêÉåÅÉIâ áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëáíáîÉ çìíÅçãÉëK

1286. aÉåëáíó cìåÅíáçå

( ) ( )∫=≤≤Ä

~

ÇññÑÄu~m

1287. ̀ çåíáåìçìë råáÑçêã aÉåëáíó

~Ä

NÑ

−= I

O

Ä~ +=µ I



325

ïÜÉêÉ Ñ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK

1288. bñéçåÉåíá~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå( ) íÉíÑ λ−λ= I λ=µ I OO λ=σ

ïÜÉêÉ í áë íáãÉI λ áë íÜÉ Ñ~áäìêÉ ê~íÉK

1289. bñéçåÉåíá~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå( ) íÉNíc λ−−= I

ïÜÉêÉ í áë íáãÉI λ áë íÜÉ Ñ~áäìêÉ ê~íÉK

1290. bñéÉÅíÉÇ s~äìÉ çÑ aáëÅêÉíÉ o~åÇçã s~êá~ÄäÉë

( ) ∑=

==µå

Náááéñub I

ïÜÉêÉ áñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉI áé áë áíë éêçÄ~ÄáäáíóK

1291. bñéÉÅíÉÇ s~äìÉ çÑ `çåíáåìçìë o~åÇçã s~êá~ÄäÉë

( ) ( )∫∞

∞−

==µ ÇñññÑub

1292. mêçéÉêíáÉë çÑ bñéÉÅí~íáçåë( ) ( ) ( )vbubvub +=+ I( ) ( ) ( )vbubvub −=− I( ) ( )uÅbÅub = I( ) ( ) ( )vbubuvb ⋅= I

ïÜÉêÉ Å áë ~ Åçåëí~åíK

1293. ( ) ( ) OO usub µ+= IïÜÉêÉ

( )ub=µ áë íÜÉ ÉñéÉÅíÉÇ î~äìÉI( )us áë íÜÉ î~êá~åÅÉK



326

1294. j~êâçî fåÉèì~äáíó

( ) ( )â

ubâum ≤> I

ïÜÉêÉ â áë ëçãÉ Åçåëí~åíK

1295. s~êá~åÅÉ çÑ aáëÅêÉíÉ o~åÇçã s~êá~ÄäÉë

( ) ( )[ ] ( )∑=

µ−=µ−==σå

Náá

Oá

OO éñubus I

ïÜÉêÉ

áñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉI

áé áë áíë éêçÄ~ÄáäáíóK

1296. s~êá~åÅÉ çÑ `çåíáåìçìë o~åÇçã s~êá~ÄäÉë

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∞

∞−

µ−=µ−==σ ÇññÑñubus OOO

1297. mêçéÉêíáÉë çÑ s~êá~åÅÉ( ) ( ) ( )vsusvus +=+ I( ) ( ) ( )vsusvus +=− I( ) ( )usÅus =+ I

( ) ( )usÅÅus O= IïÜÉêÉ Å áë ~ Åçåëí~åíK

1298. pí~åÇ~êÇ aÉîá~íáçå

( ) ( ) ( )[ ]Oubusua µ−==

1299. ̀ çî~êá~åÅÉ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )vuuvbvvuubvIuÅçî µµ−=µ−µ−= I

ïÜÉêÉu áë ê~åÇçã î~êá~ÄäÉI( )us áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ uI

µ áë íÜÉ ÉñéÉÅíÉÇ î~äìÉ çÑ u çê vK



327

1300. ̀ çêêÉä~íáçå

( ) ( )( ) ( )vsus

vIuÅçîvIu =ρ I

ïÜÉêÉ( )us áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ uI( )vs áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ vK


1300 math formulas by golden art

Documents