A R I K U S Y A N T I

Vektor

Kalkulus 2

Besaran dan Satuan

Besaran Pokok

Besaran Turunan

Besaran Skalar

Besaran Vektor

Besaran Pokok

Panjang

Waktu

Suhu

Masa

Intensitas Cahaya

Arus

Jumlah Zat

Simbol

o Vektor digambarkan dengan suatu anak panah

o Panjang anak panah menunjukkan besar vektor

o Arah anak panah menunjukkan arah vektor

Notasi

o Vektor sebagai bilangan pasangan dapat dituliskan sebagai :

u = (a,b)

a = komponen mendatar

b = komponen vertikal

o Vektor sebagai kombinasi vektor satuan i dan j

u = ai+bj

b

au

Komponen Vektor

Kesamaan Vektor

o Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama

Misal

u = (a,b) dan v = (c,d)

o Apabila vektor u sama dengan vektor v maka : |u | = |v |

arah u = arah v

a=c dan b=d

a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama

A B A = B

b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika :

1. Besar sama, arah berbeda

A B

A B

2. Besar tidak sama, arah sama

A B

3. Besar dan arahnya berbeda

A A B

A B

B

Penjumlahan

Segitiga Jajaran Genjang

Panjang u+v dapat dihitung :

Penjumlahan

Jika diketahui : maka :

Panjang u+v dapat dihitung :

d

cvdan

b

au

db

ca

d

c

b

avu

22 )()(|| dbcavu

Selisih

Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan sebagai u + (-v)

Selisih

Jika diketahui : maka :

Panjang u-v dapat dihitung :

d

cvdan

b

au

db

ca

d

c

b

avuvu )(

22 )()(|| dbcavu

Selisih

Sifat Operasi

o Apabila terdapat dua buah vektor yaitu vektor a dan vektor b maka berlaku sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan vektor seperti :

a + b = b + a (bersifat komutatif) (a+b)+c = a + (b + c) (bersifat asosiatif)

1 a = a 0 + a = a (0 merupakan vektor nol) a-a = 0 a – b = a + (-b)

Perkalian

1. Perkalian Skalar dengan Vektor 2. Perkalian vektor dengan Vektor

a. Perkalian Titik (Dot Product)

b. Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian Vektor dengan Skalar

Perkalian Skalar dengan Vektor menghasilkan sebuah Vektor

v = k u k : Skalar

u : Vektor

Vektor v merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor u

Jika k positif (k>0) arah v searah dengan u

Jika k negatif (k<0) arah v berlawanan dengan u

k = 3, u v = 3u

Contoh :

k = -3, v = -3u u

Perkalian Vektor dengan Skalar

kb

ka

b

akkumaka

realbilangankdanb

auJika

:

,

Contoh Soal :

Diketahui :

Hitunglah : 3u

Jawab :

3

2u

9

6

3

233u

Latihan

Diketahui :

Hitunglah :

1. -4u

2. 5v

3. 2u + 4v

4. 5u– v

2

10,

1

2vu

Sifat Operasi

Diketahui k dan p merupakan bilangan skalar .

- Jika k = 0 maka ku = 0

- k(p u) = (kp)u = u(kp)

- (k+p)u = ku+pu (bersifat distributif)

- k(u+v) = ku+kv (bersifat distributif)

- u + (-1) v = u - v

Dot Product

Perkalian dot atau titik disebut juga perkalian skalar (scalar product). Hal itu dikarenakan perkalian tersebut akan menghasilkan skalar meskipun kedua pengalinya merupakan vektor.

Perkalian skalar dari dua vektor A dan B dinyatakan dengan A•B, karena notasi ini maka perkalian tersebut dinamakan juga sebagai perkalian titik (dot product).

Dot Product

Perkalian dot product :

A•B = |A||B| cos θ

Dalam bentuk komponen vektor, bila A = [a1,a2,a3] dan B = [b1,b2,b3], maka :

A•B = a1b1 + a2b2+ a3b3

Diketahui :

A = [1,2,3]

B = [4,5,6]

A•B = (1x4) + (2x5)+(3x6) = 4 + 10 + 18 = 32

Perkalian dot product :

A•B = |A||B| cos θ

Diketahui :

|A|= 5

|B| = 4

θ = 30˚

A•B = 5*4 cos 30 = 20 ( ) = 32

1310

Cross Product

o Perkalian silang (cross product) disebut juga sebagai perkalian vektor (vektor product), karena perkalian ini akan menghasilkan vektor lain.

o Perkalian vektor antara A dan B dinyatakan dengan A x B.

Cross Product

Diketahui :

A = [1,2,3]

B = [4,5,6]

AxB = 12i+12j+5k-8k-15i-6j = -3i+6j-3k

AxB = [-3 6 -3]

654

321

kji

Latihan

Diketahui :

A = [3,5,1]

B = [2,-3,1]

Ditanya :

1. A•B

2. B•A

3. A x B

4. B x A