Tema 12: Árbol Rojo-Negro

Estructuras de datos (Prof. Edgardo A. Franco)

1M. en C. Edgardo Adrián Franco Martínez http://www.eafranco.comedfrancom@ipn.mx@edfrancom edgardoadrianfrancom

Contenido• Introducción

• Propiedades

• Altura de un nodo

• Operaciones en el árbol

• Inserción• Caso 1

• Caso 2

• Caso 3

• Borrar• Caso 1

• Caso 2

• Caso 3

• Caso 4

• Rotaciones

• Rotación derecha

• Rotación izquierda

Árbol Binario I (Edgardo A. Franco)

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2 Á

rbo

l Ro

jo-N

egro

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

2

Introducción• Los árboles de búsqueda binarios "equilibrados"

garantizan un tiempo de ejecución de O(log n)

• Un árbol rojo-negro es una estructura de datos enla cual cada nodo tiene un atributo adicional: colorque puede ser rojo o negro.

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l Ro

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Pro

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gard

o A

dri

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ran

co M

artí

nez

3

26

17 41

30 47

38 50

NIL

NIL

NIL NIL NIL NIL

NIL

NIL

Propiedades• Es un árbol binario de búsqueda

• Cada nodo tiene estado rojo o negro.

• La raíz es negra (esta condición se impone para simplificar algunas operaciones).

• Toda hoja es negra

• Se cumplen las condiciones: 1. Un nodo rojo tiene dos hijos negros.

2. Todo camino de la raíz a cualquier hoja pasa por el mismo número de nodos negros.

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gard

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artí

nez

Altura de un nodo

▪ Altura de un nodo(h): el número de bordes en el camino máslargo a una hoja

▪ Altura de un nodo negro (bh): es igual a la altura del nodocuando sólo se tienen en cuenta los nodos negros (incluida lahoja)del subárbol cuya raíz es el nodo.

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gard

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nez

5

26

17 41

30 47

38 50

NIL NIL

NIL

NIL NIL NIL NIL

NIL

h = 4

h = 3

h = 2

h = 1

h = 1

h = 2

h = 1

bh = 2

bh = 2

bh = 1

bh = 1

bh = 1

bh = 1

bh = 1

Operaciones en el árbol

• Las operaciones de árbol de búsqueda binaria como MÍNIMO, MÁXIMO, SUCESOR, PREDECESOR y BÚSQUEDA se ejecutan en tiempo O(h) tiempo.

• En el árbol rojo-negro se ejecuta en un tiempo O(log n).

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nez

Inserción• La inserción de un nodo se realiza inicialmente igual que en un

árbol binario de búsqueda.

• Como las hojas deben ser negras, al nuevo nodo “x” se le da el color rojo.

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z

y t

x

• De ésta manera no se viola la segunda condición (altura negra), aunque se puede violar la primera (el padre del nodo insertado puede ser rojo).

Caso 1

• Solución: Si x es rojo y padre y tío son rojo, repintamos a estos últimos de negro y al padre de ambos de rojo. Puede darse el problema de que el padre de z sea rojo y se viole de nuevo la primera condición.

• Iteración siguiente: El nodo que se comprueba ahora es z. 8

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z

y t

xx

z

y t

Caso 2

• Solución: Se efectúa una rotación x-y. Esto no resuelve el problema, pero hace que ahora el nodo que hay que comprobar sea un hijo izquierdo y por lo tanto se aplique el caso siguiente.

• Iteración siguiente: El nodo que se comprueba ahora es y. Se caerá en el Caso 3. 9

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y

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α

β

h

z

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x

α β

Caso 3

• Solución: Se efectúa una rotación(z-y), se cambia de color a z e y. Esto resuelve el problema.

• Iteración siguiente: El árbol cumple las condiciones. Se termina el bucle. 10

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z

x

ty

h

zx

t

y

h

Borrar• La operación se lleva a cabo de la misma manera que en los árboles

binarios de búsqueda:• Se busca el nodo a borrar (como los nodos hojas son nodos nulos, en caso de

existir el nodo a borrar debe tener siempre dos hijos).

• Si es un nodo con dos hijos no nulos, se busca el mayor nodo (el más a la derecha) de su subárbol izquierdo (lo llamamos “x”), se intercambia sus datos con el nodo a borrar y se pasa a borrar el nodo “x”. Como es el nodo más a la derecha, su hijo derecho será nulo.

• Si el nodo suprimido “x” fuese negro, entonces, las ramas que pasen por “x” tienen un nodo negro menos, lo que viola la condición de los árboles rojo-negros. En este caso es necesario ajustar colores.

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Caso 1

• El árbol sigue siendo rojo-negro, por lo que no hay que realizar ningún ajuste.

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rof.

Edga

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A

. Fra

nco

)

12

z

tp

h

z

th

Caso 2

• Nodo “a” negro con hermano rojo(nodo d).

• A hermano se le pinta negro(nodo d), a padre de rojo(nodo b) y rotar a la izquierda.

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b

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c e

d

c

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Caso 3

• Un nodo “a” y hermano negro(nodo d), el hijo derecho de hermano negro(nodo e) y el izquierdo rojo.

• Al hijo izquierdo del hermano (nodo c) se le pinta negro y a hermano de rojo (nodo d).

• Rotar a la derecha para equilibrar

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b

a d

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b

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Caso 4

• Un nodo “a” y hermano negro, el hijo derecho de hermano rojo(nodo e) y el izquierdo negro.• A padre se le pinta negro(nodo b), a hermano se pinta del color que tenía

padre(nodo d) y al hijo derecho de hermano(nodo e) también negro.

• Rotar a la izquierda para equilibrar alturas negras.

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b

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d

eb

c

Rotaciones• Las rotaciones son necesarias para que cumpla las

propiedades un árbol rojo-negro, ya que en los casos como inserción y eliminación al final hay ocasiones que se necesita restructurar el árbol, por lo cual existen la rotación:

• La Rotación izquierda

• La Rotación derecha

• Es la misma rotación que ocupan los arboles binarios de búsqueda.

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Rotación derecha

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x

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BA

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x

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Rotación izquierda

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p

x

CB

A

p

x

CB

A

Animaciones Web

• https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/RedBlack.html

• http://tommikaikkonen.github.io/rbtree/#

• http://www.cs.armstrong.edu/liang/animation/web/RBTree.html

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