12 elemente de algebra cls. a xii a
TRANSCRIPT
��
����������������5��
��������� �
(����� ��� �� �!������������
*��� ' ≠ ∅ �� �������������������'���������%���#������!� �ρ�������������������'���'��6� ����������ρ����� ����ρ���*���ρ������#���%��� �������#����'���������� �ρ������
R��2�������� �������'���ρ���R���������� ����������'���ρ��"��ρ���R����������� �������������'���ρ������ρ��"��ρ��
M����#���%��� ��������! ���������� �����������! �����������������������(��������6������������������#�������<�!���# ���������#����'����!�����O������������O�������������(������������������������ � �/� ��������������������(�������������
*��������9� ��� ��� ������� ������� � � ������� � ������� ��� ��� ��� � �� ��� ��������≡��� �������� ����!�����"���
*���'������#������!� ��������� �������#������<�!���# �:�O�E�������������'�
��������� ��(��������� ������ ��������#������[ ? . O @� � ' � �= ∈ �
G��#���� �������� �� ��<�!���# � ��� ����� � �' � ���� � N �' � �� ��� ��� �������
��������2��� ������'���������#��:�O�E��� ���[? . @' � � '= ∈ �
*���O������#�������<�!���# ����'��D����������<�!���# �����������∼����'��������B�������� ��H����� �
*���'������#������!� ��M��������?*@
�)���� �#����!����������'�����������������
����#�����'�� �)������.���)�����.�⇒�*���*.�&����(��������'�������)����������H������*
��
*���?*@�)�����#�������#�����'���� )' *
∈= � �
������������#�������<�!���# ����'�������������<�!���# ��������������� ����#�������� �������#�������#�����'�
/�������� �� ����
*���'������#������!� ��M�����#��ϕ���'���'�→�'���������� �ϕ�������
�������������������� �� ��������������� ���������������������������������'�C���������ϕ���������'������������� ��������������������ϕ��������� ��������6���%���������������ϕ���������� ����&������ � �� ���� � �T ������∆ ������
�0
1������
"���������9��&�����������������#������!� �9�����������������������#���:∗E����9����������������� ���������������#���&������������! ���������������������������������������'��������������%���6� ����������������&�������������! ��������9����������������� �����������������
"���������'��&����������������#������!� �'��������������������#���:&E����'������������� � ��� ������&������������! ������������������������
4��������*�������� ������������� �� ����ϕ�����������'����������%������������������������������� �������������������#�����'��%#����������:�����������#���������������������.����� ���������������
�����
.����������#��ϕ�
M������H���������� ���'��&����%��#�������� �&���������������������#��������� �������#������!� �'�
) (
)
(
��� ���
� � �
. �
.
�
� � � �
��
� � �
�
ϕ
ϕ
��
� �
�
*���'������#������!� ����:&E�����������������#������'��M���%���#������!� �B�����'��������������������������������������������������#���:&E�� �
����������B�⇒����&�����B�
M���������� �� ����:�&�E�������������� ������� �� � � �� � �� � � � � � � � � '∗ ∗ = ∗ ∗ ∀ ∈ �
M� �������� � �� ����'���'�→�'�� � � �� � � �∗� � ��� �������� � �������� � � �� � � � � � '∗ = ∗ ∀ ∈ �
"��������������'�����������������������������������������������#���:&E��� � ' � � � � �∀ ∈ ∗ = ∗ = �*���'������#������!� ��������� ��������������������#���:&E���������������������
�������� ����������������'�����������������������������������������#���:&E�� ������ ��′���'����������H�� � � � � �′ ′∗ = ∗ = ��C����������′�������� �����������������������������������7����������������������������#�����������������������������������������������
����������������#������!������������������������������� �������������������������������������6� ���������������#������������������1����������������������������������������� ����#���� ����� ������������������ ����� ��� ������ ��������� ���������������,��������������������������������������������������������#��������������������������������#���
*��������������(�� �� ��������#����������������<�!���# ����������������#
���������,!��� � �{ }$� )� (� ���� )� �= −� �� �������������������#����������������������
1�������������� ���������� ��� ���������� � �[ [[ [�α + β = α + β αβ = αβ �� [[ � �∀ α β∈� �
�2
5��������������2����1��+��������*��� � � �9 ∗ ����������������������� � �� � � 9∈!���� � � � � � �= ⇒ =& & ���� � � � � � �∗ = ∗ ⇒ =
1������� ���������
( (� � ? � � . �� $@93 � �= ∈ ≠ � � ������������ �����#���������� �������������������� ������� ���� ��� ���� ;�
��%���#������ ( (� � ? � � . )@-3 � 93 �= ∈ = �� ')(�(� ? � � . @�� � 93 � �= ∈ = �
�(� ? �(� . �� )@-� � � �= ∈ = ��������������������#�������������������� ������������������ ������� ��������!������� ������� ���������(��������������� � � ����� ��� (� ��������� � � ���� ��������� ��� (�������������9��������������������������-3
������-3
�������-3
����������������������+
����������������������������������!����6���������������������������������������� ��� -������ ������� ��������!������� � � ���� �� ����� ��� ������ � � ���������� �� �����
� ���������� �������
*������������� � � �9 � ���� � � �9′ ∗ ��*���#��2���9�→�9′������������� 2����������� �� � � � � � � � �2 � � 2 � 2 � � � 9= ∗ ∀ ∈� �
*��� � � �9 � ���� � � �9′ ∗ �� ����������M�����#�� 2���9�→�9′������������� � 2����������� ����)� � � � � � � � �2 � � 2 � 2 � � � 9= ∗ ∀ ∈� ���������(��2������%�B����! ��������� ��������9� ����� � � 2� ����������9′� ��� ������� 9 9′� �� � ������ ���
�����������2���9�→�9′��7��������������������� ��������9���������� � 2�����������9′����������9 9′� �
6� �9������������������������������������������2���9�→�9��������������� � 2�����������!���� � 2���������������9�
1�������������������
*����������#��������� ���������������������9�M�����#���%�B����! �σ�����→�������������������������#��������L����������-�����#������������������ ���������#��������������σ��π� ���-���� ��������������� �σ����π����������#�� � � �σ π →� ����
� �� � � � ��� �σ π = σ π� ���������*���#��σ π� ���������������%�B����! ������ �-σ π∈� �� � ��- � ������������9������������ ����#�����?)��(��������@��������� � � � ��- � �
$�)�������
*��� � � �9 ∗ ������������B����������%�� ������9�� � � �B ∗ �������������������������9� � � � �B ∗ �����������
*����9�� ������������������������������������9���������� ������������������ ��2��������������9�� ������ ���+�$����������H�����&���6� �������������������������������������������������� ����+�$��������������
���&�������������� ����������������� ���� ���&���
�3
1������� ��� ����� ������ �� �������
M�����#���4�����→������������������2 ������ ������������������L���������� 4������� ������ �4�������! �����#��������������������4�����4�����&���������������������
�� �� ��� K����������#���� �������� ������������� �����������6� �4)� ���4
(� ����
�������������������� ) (4 4� ������������������� �K���� �� ��� ��������������������������� ���� �����������
*���8���2�����������8 ⊂ � ����4�����→������������������� �����4�8��&�?4�#��.�#���8@��������� �4������������%������8�� �4�8��&�8�
�� ����� -��8�����#���� �������� ������������� ���� ��!��� � ���8��-��8��� � �� ����� ��� ��%����� �� ��������� � � �� �)� � �� �� ������������ ��� �����
������8�
*�������������� /� ���#�� ��� �������� ������� ����� ������ ��� ���������\������ ���������� �� ����#�� ��� ����� ����&�-���#��� ��� ��� �������������� ������
�����
7�� ����� ��� ����� �� ��� ������ � ����� ��� ������ �������"�����������5��-�� �������5�����������#������!� ����:�-�E����: E�������� �������
�������#������5�������������������1������������������������� ��\���5��-������������%�����G���5��4�������������6�������#��������������%���! ��# ��������
'�����������5��������-����&����-����������-�����&����-����7���������5������������������������������������#���:�4�E���������������������������
�������� �������5���������� �������� ��� �����$������$�⇒������$����������������������� �5���������������� �������� �"������5������������� �������� �������������������G
/�����&�����'��������5�
"��������������!�����������#����� �������������� � ��!����������������������������� ����� ��� ��������� ���� ����� ���������
� ���������� �����
*������������5��-��4������5′��⊕ ��� ���M�����#�� 2���5����→ 5′������������� 2����������� �����������5��)��2����-����&�2����⊕ 2�������(��2��� ���&�2����� 2������/��2��)��&�)′������)����������������������5����)′������������5′�"������������ ������%�B����!������������ � � 2����L���������� � �������5�����
������������������5′������������5�(�5′��� ������ �������#�����������������2���5�� ��→ 5′�
�5
1������������� ���$�)�����
C������������!���%�����������������5������������������������5�� �� �����C�5����#�������� #��������������5�
*���5� ��� ������C�5�� ����� ����� ��� ������ ��� ����#�� ���� � �� �����#���� ����5������������� ������ � ���������5�
*����5��-��4�����������������������������������)����-�⊂�5���-������������������������5�� ��-��-��4���������������)���-�
�������� ��� �����
�������������������$��������������������������1����������9����������������(�-�/��')�-�(��1�&�1�-�$���&�$�-�)�4���������������������\������ �� ���=>�&�?��-���.���������@��������1����� ����9��������=>��-��4�����������������������
*���)������#������!� ����5���������� �� ��5)�&�?�2� .� 2���)�→�5@����#���������������#������2���)�→�5���������2������5)��������)���2���������������������������������������5�������������������
����#�������2�-�����)�→�5�� � �� � � � � �2 � � 2 � � �+ = + ������)���2����)�→�5��� � �� � � � � �2� � 2 � � �= ⋅ ����������������������!�� ������2������2����2��������
*���5� ����� �������!�� �� ��5=6>����#���������������� ��� ���������#��� ���5��5=6>��-�� 4������������
*��� 2� ���5=6>��*���#�� � 2�9��5�→�5������� ������ � 2�9����&� 2�������5��������5����������� � 2������ � �� ����� ����� � ������������ 2��L������� ����#�� � 2� � ���� ��� 2� �]�������������#���������������2�����������������������5�����������������2��,���
�������������5�����������������5���������������2���5=6>�� �2���&�$�
' �������� ����������� �����
"�������G������������� ��� �$���)���������������������������G��������������%�������������������#�����6� ������#����������������! ��G������������� ��� �������
M�����#���2���G�→�G′�������������G�����������G′������������� 2����� � 2�� �� �������� � � ������������� ��������������� ��G� ��G′� ���������� �� ������
"�� ��������������������� 2� ��5�→�5��� �� ������� �5��-�� 4�� ������ ��� ���������������� � 2������������!���� � 2���������������5��,�������������������������������������������������
K�����������-��4������������� ���������� ����������� �������
����������� ��� ��� ������ ���������&���#���� ���� �����!
4� ����1�������������*���G����������������!����2������G=6>������$��C���� ��������������������������/�����G=6>����������H����2�&��/�-�������������8������ ����$�
0$
�����������/������������������ �#�������2�&��/�$��������������<�������������!������ ��� �#����� ������������ 2� ����� ������������
*���G�������������!����2������G=6>���������� �2� ����������������������� ���� .2� ���� 2 �� ��� ������ �(���G=6>���� 2�&�� (�
*���G�������������!����2������G=6>���������� �2�������� ����1�������������������������� 2 �� ��� ��2�.��������.�2�
4� ������������A������ ��� �#����������������� 2���G=6>������6�'�α� ���G=6>� �������� ��� !����� ���α� � ������������ 2�
4� ���� ����E� �������������� 2� ���G=6>� ����!������������������6� '�α� ���G=6>� ���������� � 2� �α��&�$�
*���G�������������!���2���G=6>������G���������������(���������� ������������������������� ������ �6�'�����.�2����� )� � .�6 � 2+− / �
*���G� ������������!���� )) ) $���� �
� �2 � 6 � 6 � 6 �−−= + + + + �����G=6>�����������
) () )� )� ���� �
� �2 �� 6 � � 6 �− −−′ = + − + + � ��� ��������������� 2 ����� ��� ����� )� �
� �� �����2��������2 �������� �����))���� �� ������2����������!������� ����������K�
������������2�′������������� �2�′′��������2 �������� �����&���� �� ������2����������!������� ����������K�
������������ � )�&2 − �
*���G����������������!����2���G=6>�����������������2�%���+�$���������� �� �� ���2��������������������G�� ������ ���������������(���G=6>������������������������������2�&��(��7��������������������� �2��������������������G�
M�������������� 2� ����G=6>����� 2���)�������������������������� ��������������������������%����������G�
$���� !��� ����
*��������G����#������!����M�����#���ψ���G�����→����������������������� �� ���������������������������� ���� �����G�
*�����������������!��G��-�� ������������������������ ���������G���������%���������-�����������������������������#��������� �������������G�������� ������!������ �����������
)����α��β���G������������α�-�β���&�α��-�β�����������������1���������� � ���
������2��������������������� ���(����α���G������������� α���-����&�α��-�α����������������1���������� � ���������2������������������� � ���/����α��β���G���������� α�β���&� �αβ��� ��� ���������� � 1������ ������� �7���� � �