11 kalkulus fungsi dinilai vektor

7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor

1/36

AWAL

KALKULUS IIKALKULUS II(TKE 201 / WAJIB)(TKE 201 / WAJIB)

DosenDosen PengajarPengajar::Drs. Ir.Drs. Ir. MochMoch.. DhofirDhofir, MT., MT.


2/36

MATERI

AWAL

RuangRuangDimensiDimensiTigaTigadandanVektorVektor

FungsiFungsiDinilaiDinilaiVektorVektorDerivatifDerivatifParsialParsial

IntegralIntegral LipatLipat

KalkulusKalkulusVektorVektor

1

23

4

5


3/36

AWAL

2.12.1 PendahuluanPendahuluan

2.22.2 KalkulusKalkulusFungsiFungsiDinilaiDinilaiVektorVektor

2.32.3 PerubahanPerubahanParameter;Parameter; PanjangPanjangBusurBusur2.42.4 VektorVektorTangenTangendandanNormalNormal SatuanSatuan

2.52.5 KurvaturKurvatur

2.62.6 PergerakanPergerakanSepanjangSepanjangKurveKurve

Fungsi Dinilai Vektor


4/36

AWAL

DalamDalamseksiseksiiniinikitakitaakanakan

mendefinisikanmendefinisikanlimit,limit, derivatifderivatif,, dandan

integralintegral fungsifungsidini laidinilaivektorvektordandanmendiskusikanmendiskusikansifatsifat--sifatnyasifatnya..

2.2 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor


5/36

AWAL

2.2 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor

A.A. Limit,Limit, DerivatifDerivatif,, dandanIntegralIntegral

B.B. SifatSifatDerivatifDerivatifdandanIntegralIntegral

C.C. InterpretasiInterpretasiGeometrikGeometrikLimitLimit dandanDerivatifDerivatif

D.D. DerivatifDerivatifOperasiOperasiTitikTitikdandanKaliKali


6/36

A. Limit, Derivatif dan Integral

Limit,Limit, derivatifderivatif,, dandan integralintegral

fungsifungsi dinilaidinilai vektorvektordapatdapat

didefinisikandidefinisikan melaluimelalui limit,limit,derivatifderivatif,, dandan integralintegral

komponenkomponen--komponenkomponen fungsifungsi

dinilaidinilai vektorvektor:: x(tx(t),), y(ty(t),), dandan z(tz(t))

AWAL


7/36

AWAL

zat

yat

xatat

atatatt )(zlim)(ylim)(xlim)(rlim

zyx atzatyatxt )(')(')(')(r'

zyx adttzadttyadttxdtt )()()()(r

z

b

ay

b

ax

b

a

b

aadttzadttyadttxdtt )()()()(r



8/36

DariDari definisidefinisi,, dapatdapat dipahamidipahami bahwabahwajikajikalimitlimit sembarangsembarang komponenkomponenrr(t(t)) tidaktidak adaada,,makamaka derivatifderivatifdaridarirr(t(t)) tidaktidak adaada..

FungsiFungsi dinilaidinilai vektorvektordikatakandikatakandiferensiabeldiferensiabel ((integrabelintegrabel))jikajika dandan hanyahanya

jikajika masingmasing--masingmasing komponenkomponendiferensiabeldiferensiabel ((integrabelintegrabel))

AWAL



9/36

DerivatifDerivatifdapatdapatrr(t(t)) dapatdapat dinyatakandinyatakandalamdalam banyakbanyak notasinotasi sbbsbb::

AWAL

'r),('r,r,)(r dantdt

dt

dt

d



10/36

AWAL

0c. dt

da

r(t)r(t).dt

dkk

dt

db

(t)r(t)r(t)r(t)r. 2121dt

d

dt

d

dt

dc

(t))(rr(t))(r(t))(. fdtdt

dtdtftf

dtdd

B. Sifat-Sifat Derivatif dan Integral


11/36

AWAL

dttkdttke )(r)(r.

dttdttdttrtrf )(r)(r)()(. 2121

)(r)(r. tdttdtdg

Ctdtth )(R)(r.

b

aabdtti )(R)(R)(r.



12/36

AWAL

TheoremaTheorema ::

JikaJika r(tr(t)) fungsifungsi dinilaidinilai vektorvektor,, makamaka

derivatifderivatifr(tr(t)) dapatdapat dinyatakandinyatakan sebagaisebagai ::

h

thtt

h

)(r)(rlim)('r

0



13/36

AWAL

BuktiBukti ::

htht

h

atzatyatxahtzahtyahtx

ah

tzhtzah

tyhtyah

txhtx

atzatyatxt

h

zyxyyx

h

zh

yh

xh

zzx

)(r)(rlim

)()()()()()(lim

)()(lim)()(lim)()(lim

)(')(')(')('r

0

0

000



14/36

AWAL

JikaJika r(tr(t)) fungsifungsi dinilaidinilai vektorvektor,, makamaka

limlimrr(t(t) = L) = L

t at a

jikajika dandan hanyahanyajikajika vektorvektorradiusradius rr== rr(t(t))

mendekatimendekati L,L, baikbaik panjangpanjang maupunmaupun

arahnyaarahnya ketikaketika t a.t a.

C. Interpretasi Geometrik Limit dan

Derivatif


15/36

AWAL

JikaJika CC grafikgrafik yangyang dinyatakandinyatakan oleholeh rr(t(t),),

makamaka rr(t(t)) adalahadalah tangentangen padapada CC dandan

dalamdalam araharah peningkatanpeningkatan parameter,parameter,sepertiseperti terlihatterlihat padapada gambargambarberikutberikut..


Derivatif


16/36

AWAL


Derivatif

r(t)

r(t)

C

x

y

InterpretasiInterpretasi geometrigeometrirr(t(t))


17/36

AWAL


Derivatif

r(t) C

x

y

r(t

+h)

r(t+h) -r(t)

UntukUntuk h > 0h > 0


18/36

AWAL


Derivatif

r(t) C

x

y

r(t+h) -r(t)

UntukUntuk h < 0h < 0

r(t+h)


19/36

AWAL


Derivatif

x

y

VektorVektortangentangenrr(t(t)) dandan garisgaris tangentangen

r(to)

r(to)

Garis tangen

P

C


20/36

AWAL

PP sebuahsebuah titiktitik padapada grafikgrafik sebuahsebuah fungsifungsi

dinilaidinilai vektorvektor rr(t(t)) dandan rr(t(too)) vektorvektorradiusradius

daridari originorigin keke PP.. JikaJika rr

(t(too)) adaada dandan rr

(t(too)) 00,, makamaka kitakita sebutsebut rr(t(too)) sebagaisebagaivektorvektortangentangen padapada grafikgrafik r(tr(t)) ..

PersamaanPersamaan garisgaris tangentangen ::

rr(t(t) =) = rr(t(too) + t) + t rr(t(too))


Derivatif


21/36

AWAL

D. Derivatif Operasi dan x

)(r)(r)(r)(r)(r)(r

)(r)(r)(r

)(r)(r)(r

212

121

212

121

tdttd

dttdttt

dtd

tdt

td

dt

tdttt

dt

d


22/36

AWAL


TheoremaTheorema ::

JikaJikarr(t(t)) adalahadalah fungsifungsi dinilaidinilai vektorvektordandan

rr(t(t)) bernilaibernilai konstankonstan untukuntuk semuasemua tt,,makamaka

rr(t(t)) rr(t(t) = 0) = 0

SehinggaSehinggarr(t(t)) dandanrr(t(t)) vektorvektor--vektorvektoryangyang ortogonalortogonal..


23/36

AWAL


BuktiBukti ::

0)(r

)(r

)(r)(r20

,)(r

)(r)(r2)(r

)(r)(r)(r

)(r)(r)(r

2

dt

tdt

atau

dt

tdt

makatsetiapuntuktetaptKarena

dttdtt

dtd

tdt

td

dt

tdttt

dt

d


24/36

1.1. TentukanTentukan

a. Limita. Limit rr(t(t)) untukuntuk tt mendekatimendekati 00

b.b. rr(t(t)) dandanrr(1)(1)

c.c.

untukuntukrr(t(t) = t) = t2 aaxx + e+ ett aayy -- 22 coscostt aazz

2.2. TentukanTentukan persamaanpersamaan parametrikparametrik garisgaris

tangentangen untukuntuk helikhelik lingkaranlingkaran ::x =x = coscos t , y = sin t , z = t,t , y = sin t , z = t, padapada t =t = /6/6

Contoh

AWAL

1

0)(rdan)(r dttdtt


25/36

No. 1aNo. 1a dandan 1b1b

Penyelesaian

AWAL

yx

zy

t

x

zy

z0

y

t

0x

2

00

aea2)1('r

t)asin(2aeat2)('r

a2a

t)acos(2limaelimatlim)(rlim

t

ttttt


26/36

No. 1cNo. 1c

Penyelesaian

AWAL

yx

zyx

zyt

x

zy

t

x

aea

aaeeadttr

Cataeat

adttadteadttdttr

)1(3

1

)0sin(sin)()01()(

sin23

cos2)(

20133

31

1

0

3

2


27/36

No. 2No. 2

rr(t(t) =) = x(tx(t) a) axx ++ y(ty(t) a) ayy ++ z(tz(t)) aazz

== cos(tcos(t) a) axx ++ sin(tsin(t) a) ayy + t+ t aazz

rr(t(t)=)= --sin(tsin(t) a) axx ++ cos(tcos(t) a) ayy ++ aazzPadaPada t =t = /6,/6,

rr((/6)/6) = cos(= cos(/6/6) a) axx + sin(+ sin(/6/6) a) ayy ++ /6/6 aazz

rr((/6)/6) = (= (33/2) a/2) axx + (1/2) a+ (1/2) ayy ++ /6/6 aazz

rr((/6/6) =) = --sin(sin(/6/6) a) axx + cos(+ cos(/6/6) a) ayy ++ aazz

rr((/6/6) =) = --(1/2) a(1/2) axx + (+ (33/2) a/2) ayy ++ aazz

Penyelesaian

AWAL


28/36

No. 2No. 2

PersamaanPersamaan garisgaris tangentangen ::

rr== rr((/6) + t/6) + t rr((/6)/6)

rr == ((33/2) a/2) axx + (1/2) a+ (1/2) ayy ++ /6/6 aazz + t {+ t {--(1/2) a(1/2) axx ++((33/2) a/2) ayy ++ aazz}}

KarenaKarenarr= x a= x axx + y a+ y ayy + z+ z aazz ,, makamaka

x =x = 33/2/2(1/2) t ; y =(1/2) t ; y = + (+ (33/2) t ; z =/2) t ; z = /6/6 + t+ t

Penyelesaian

AWAL


29/36

1.1. TentukanTentukan ::

Soal mandiri :

AWAL

zyxt

zyxt

atat

ta

tb

at

at

tata

2sin21

ln3lim.

2cos

2tanlim.

221

2

1


30/36

2.2. TentukanTentukan persamaanpersamaan parametrikparametrik

garisgaris tangentangen padapada grafikgrafikrr(t(t)) didi t = tt = toountukuntuk ::

Soal mandiri :

AWAL

2;ln)(r.

31;sin2cos2)(r.

3

ozy

t

x

ozyx

tataeattb

taktatatta


31/36

3.3. TentukanTentukan persamaanpersamaan parametrikparametrik

garisgaris tangentangen padapada grafikgrafikrr(t(t)) didi t = tt = toountukuntuk ::

Soal mandiri :

AWAL

2;ln)(r.

31;sin2cos2)(r.

3

ozy

t

x

ozyx

tataeattb

taktatatta


32/36

4.4. TentukanTentukan ::

Soal mandiri :

AWAL

dtttc

dttteb

dtta

t

2/19

1

2/1

3/23

3

2/3

,.

ln,.

1,t)(3,)3(.


33/36

5.5. TentukanTentukan r(tr(t)) apabilaapabila diketahuidiketahui

rr(t(t) = e) = e--2t2t aaxx + cos+ costt aayyaazz dandan

rr(0) = 3 a(0) = 3 axx + 2+ 2 aazz

6.6. TentukanTentukanrr(t(t)) apabilaapabila diketahuidiketahui

rr (t(t) = 4 sin2) = 4 sin2tt aaxx + 6t a+ 6t ayy ++ ee--tt aazz dandan

rr(0) = 2 a(0) = 2 axx ,, dandan rr(0) =(0) = aazz

Soal mandiri :

AWAL


34/36

7.7. HitunglahHitunglah (d/dt)[(d/dt)[rr11(t)(t)rr22(t)](t)] apabilaapabila ::a.a. rr11(t) = 2t a(t) = 2t axx + 3t+ 3t

22 aayy + t+ t33 aazz ,,

rr22(t) = t(t) = t44 aazz

b.b. rr11(t) = 3 sec(t) = 3 sectt aaxx -- t at ayy ++ lnlntt aazz dandan

rr22(t) = 4t a(t) = 4t axxsinsintt aazz

Soal mandiri :

AWAL


35/36

8.8. ApabilaApabilarr== rr(t(t),), tunjukkantunjukkan bahwabahwa ::

Soal mandiri :

AWAL

''rr'rr.

)w

v(u)wv

(u)wv(u

)wv(udt

dc.

rr

'rr'r

r

1

r

r.

'rrr

1r.

3

dt

dd

dt

d

dt

d

dt

d

dt

db

dt

da


36/36

11 kalkulus fungsi dinilai vektor

Documents