11 flexão composta e desviada v nov07 cor

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VLúcio Nov07 1 BETÃO ARMADO I BETÃO ARMADO I Mest Mest . . Eng Eng . Civil . Civil fct fct - - UNL UNL 11 11 EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I 11 11 ESTADO LIMITE DE RESISTÊNCIA À ESTADO LIMITE DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA PROGRAMA PROGRAMA 1.Introdução ao betão armado 2.Bases de Projecto e Acções 3.Propriedades dos materiais: betão e aço 4.Durabilidade 5.Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão 6.Estado limite último de resistência à flexão simples 7.Estado limite último de resistência ao esforço transverso 8.Disposições construtivas relativas a vigas 9.Estados limite de fendilhação 10.Estados limite de deformação 11. 11. Estados limite últimos de resistência Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada 12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural 13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes 14.Estado limite último de resistência à torção Ponte sobre o Rio Sabor

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VLúcio Nov07 1

BETÃO ARMADO I BETÃO ARMADO I –– MestMest. . EngEng. Civil. Civil fctfct -- UNLUNL

11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I

11 11 –– ESTADO LIMITE DE RESISTÊNCIA À ESTADO LIMITE DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAFLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

PROGRAMAPROGRAMA1.Introdução ao betão armado2.Bases de Projecto e Acções3.Propriedades dos materiais: betão e aço4.Durabilidade5.Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão6.Estado limite último de resistência à flexão simples7.Estado limite último de resistência ao esforço transverso8.Disposições construtivas relativas a vigas9.Estados limite de fendilhação10.Estados limite de deformação11.11.Estados limite últimos de resistência Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviadaà flexão composta com esforço normal e à flexão desviada12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes14.Estado limite último de resistência à torção

Ponte sobre o Rio Sabor

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BETÃO ARMADO I BETÃO ARMADO I –– MestMest. . EngEng. Civil. Civil fctfct -- UNLUNL

11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

ÍNDICEÍNDICE1. Flexão composta com compressão

A. Hipóteses baseB. ÁbacosC. Método simplificado

2. Flexão desviadaA. ÁbacosB. Método simplificado

3. Paredes resistentes

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BETÃO ARMADO I BETÃO ARMADO I –– MestMest. . EngEng. Civil. Civil fctfct -- UNLUNL

11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

A. HIPÓTESES BASE :i. As secções planas mantêm-se planas após a deformação por flexão, isto é,

desprezam-se as deformações por corte da viga;ii. Existe compatibilidade entre as deformações das armaduras e do betão, ou

seja, a armadura é aderente ao betão, não existindo escorregamento entre a armadura e o betão que a envolve;

iii. Betão• A resistência do betão em tracção é desprezada.• A relação tensão-deformação em compressão é

parabólica até εc2 = 2x10-3 e é constante até à extensão máxima εcu2 = 3.5x10-3

• Quando a secção se encontra totalmente comprimida, a extensão média deve ser limitada a εc2

iv. AçoPara cálculo, pode admitir-se uma das seguintes relações tensão-deformação:1- comportamento elástico até (fyd, εyd), ramo inclinado com extensão limite de εud=0.9εuk;2- comportamento elástico até (fyd, εyd), ramo horizontal sem extensão limite.

1. FLEXÃO COMPOSTA COM COMPRESSÃO1. FLEXÃO COMPOSTA COM COMPRESSÃO

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BETÃO ARMADO I BETÃO ARMADO I –– MestMest. . EngEng. Civil. Civil fctfct -- UNLUNL

11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

2. MODELO - Para a relação tensão-deformação 2 do aço (elásto-plástico).

CASO 1 - Flexão composta com tracção elevada – toda a secção está traccionada

b

d

As

hMA’s

N

a

a σs = fyd

σ

σ’s

EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

Fs = As fyd

NRd = Fs + F’sMRd + NRd (0.5h-a)= Fs · (h-2a)

Seja ωtotal = (As+ A’s)fyd / bhfcd

F’s = A’s σ’s

MRd = 2As fyd · (0.5h-a) - NRd (0.5h-a)

εs≥εyd

ε

ε’s

εc≥ 0

β = A’s/As= 1.0

μ = MRd/ bh2fcd e ν = NRd/ bhfcd λ = (0.5h-a)/h

μ = (ωtotal - ν ) λ ou ωtotal = μ / λ + ν

Considere-se

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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

CASO 2 - Flexão composta com compressão reduzida

EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

Fs = As fyd

NRd = Fc + F’s + Fs

MRd + NRd (0.5h-a) = Fs · (h-2a) -- Fc · (a-0.4x)

com ωtotal = (As+ A’s)fyd / bhfcd

F’s = A’s σ’s

μ = MRd/ bh2fcd e ν = NRd/ bhfcd λ = (0.5h-a)/h

μ = ωtotal λ - ν λ + 0.8 (x/h) (0.5 - λ – 0.4 x/h)

ou ν = -0.8 (x/h) + ω (1 + σ’s/fyd)

b

d

As

hMA’s

N

a

a εs≥εyd

ε

ε’s

−εc ≤ -εcu2 = 3.5x10-3

x

σs = fyd

σ

σ’s

σc = fcd

0.8 xFc = -0.8x b fcd

Fs

F’s

Fc

MRd = 2As fyd · (0.5h-a) - NRd (0.5h-a) + 0.8x b fcd · (a-0.4x) da 1ª eq.:

NRd = -0.8x b fcd + A’s σ’s + As fydda 2ª eq.:

EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADExxdcs ε

=−ε

xax' cs ε

=−

ε

Para o caso particular de σ’s = - fyd: ν = -0.8 (x/h) μ = ωtotal λ - 0.5 ν (1 + ν)ou ωtotal = [μ + 0.5 ν (1 + ν)] / λ

Considere-se como limite: εs = εyd , resultando da 1ª eq. de compatibilidade: x/h ≤ (1-a/h) · 3.5 / (3.5 + εydx103)

Para a/h = 0.1: ν ≤ -0.48 para A400 e ν ≤ -0.44 para A500

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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

CASO 3 - Flexão composta com compressão elevada

EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

F’s = - A’s fyd

NRd = Fc + F’s + Fs

MRd - NRd (0.5h-a) = - F’s · (h-2a) - Fc · (h - 0.4x - a)

Fs = As σs

b

d

As

hMA’s

N

a

a

Fc = - 0.8xb fcd

MRd = 2 A’s fyd · (0.5h-a) + NRd (0.5h-a) + 0.8xb fcd · (h - 0.4x - a)

com ωtotal = (As+ A’s)fyd / bhfcd μ = MRd/ bh2fcd e ν = NRd/ bhfcd λ = (0.5h-a)/h

μ = ωtotal λ + ν λ + 0.8 x/h (0.5 + λ - 0.4x/h)

Para o caso particular de εs = 0:

-ε’s≥ εsd

εs < εsd

-εc = -εcu2 = 3.5x10-3

ε

xσ’s = fyd

σ

σs < fyd

σc = fcd

Fs

F’s

Fc

0.8x

NRd = Fc + F’s NRd = -0.8xb fcd - A’s fyd

ν = - 0.8x/h - 0.5 ωtotal 0.8x/h = - ν - 0.5 ωtotal

logo: μ = 0.5 ωtotal (λ – 0.5 - ν - 0.25 ωtotal) – 0.5 ν (1 + ν)

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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

CASO 4 - Flexão composta com compressão elevada e pequena excentricidade

EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

F’s= - A’s fyd ≥ - A’s· 400MPaNRd = Fc + F’s + Fs

MRd - NRd (0.5h-a) = - F’s · (h-2a) - Fc · (max{h-0.4x;0.5h} – a) Fs = As σs ≥ - As · 400MPa

σ’s = fyd

σσs

σc = fcd

Fc = - 0.8x b fcd ≥ - bh fcd

Fs

F’sFc

b

d

As

hMA’s

N

a

a

-ε’s≥ 2x10-3

εs< 0

2x10-3 = -εc2 ≤-εc ≤ -εcu2 = 3.5x10-3

εεc2 = -2x10-3

-ε’s≥ εyd

εs

εc

ε

MRd = 2 A’s fyd · (0.5h-a) + NRd (0.5h-a) + bh fcd · (0.5h-a)com ωtotal = (As+ A’s)fyd / bhfcd μ = MRd/ bh2fcd e ν = NRd/ bhfcd λ = (0.5h-a)/hμ = ωtotal λ + ν λ + λ

A deformação média no betão não pode exceder εc2= 2x10-3

μ = ωtotalλ + (1 + ν) λou seja ou ωtotal = μ/λ - (1 + ν)

Para o caso particular de compressão simples → MEd = 0, i.e., μ = 0 :Para o A400NR ωtotal = - (1 + ν)

ou – ν = 1 + ωtotal

Para o A500NR ωtotal = - (1 + ν) · fyd/(εc2Es) com εc2Es = 400MPaIsto é, ωtotal = - (1 + ν) · fyd/400 ou - ν = 1 + ωtotal· 400 / fyd

Para x ≥ 1.25 h e A400NR:

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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

b

d

As

hMA’s

N

a

a

β = A’s/As= 1.0

FLEXÃO COMPOSTA COM COMPRESSÃO

a = 0.1 h

μ = MRd/ bh2fcd

ν = NRd/ bhfcd

ω = (As+ A’s)fyd / bhfcd

A400NRCOMPRESSÃO

TRACÇÃO

B. ÁBACOS

-2.0

-1.8

-1.5

-1.3

-1.0

-0.8

-0.5

-0.3

0.0

0.3

0.5

0.8

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

μ

ν

CASO 2εs > ε yd

CASO 3εs ≤ ε yd

CASO 4 - secção toda comprimida

εs = ε yd

CASO 1 - secção toda traccionada

ω =

0.0

ω =

0.50.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

ω =

1.0

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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

-2.0

-1.8

-1.5

-1.3

-1.0

-0.8

-0.5

-0.3

0.0

0.3

0.5

0.8

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

μ

ν

ω =

0.0

ω =

0.50.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

ω =

1.0

B. MÉTODO APROXIMADO

a = 0.1 h

A400NR

β = A’s/As= 1.0

μ = MRd/ bh2fcd

ν = NRd/ bhfcd

ω = (As+ A’s)fyd / bhfcd

TRACÇÃO ν ≥ 0

μ = (ωtotal – ν ) λ ωtotal = μ / λ + ν

COMPRESSÃO MODERADA 0 ≥ ν ≥ - 0.45μ = ωtotal λ - 0.5 ν (1 + ν)

ωtotal = [μ + 0.5 ν (1 + ν)] / λ

TRANSIÇÃO - 0.45 ≥ ν ≥ - 0.7μ = β ωtotal λ - 0.5 ν (1 + ν)

ωtotal = [μ + 0.5 ν (1 + ν)] / λβ

β = 1.5 ν2 + 2.4 ν + 1.8

COMPRESSÃO ELEVADA - 0.7 ≥ ν

μ = 0.9 ωtotal λ + 0.35 (1 + ν)ωtotal = [μ - 0.35 (1 + ν)] /0.9 λ

Para A500NR: - ν ≤ 1 + ωtotal· 400 / fyd

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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

μy/μx = 1,0

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

-1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00

ν

μx

ω=0,1ω=0,2ω=0,3ω=0,4ω=0,5ω=0,6ω=0,7ω=0,8ω=0,9ω=1,0

2. FLEXÃO DESVIADA2. FLEXÃO DESVIADA

a = 0.1 h

μx = MRd,x/ bh2fcd

ω = As,total fyd / bhfcd

A500NRb

hMRd,x

x

y

MRd,y

MRd

μy = MRd,y/ b2h fcd

A resultante do vector momento não se encontra segundo uma das direcções principais de inércia da secção.

B. ÁBACOS ν = NRd/ bhfcd

É necessário decompor o vector momento segundo essas direcções principais para efectuar a análise.

b

As/4

aa

h

As/4

As/4 As/4

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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

μy/μx = 0

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

ν

μx

ω=0,1ω=0,2ω=0,3ω=0,4ω=0,5ω=0,6ω=0,7ω=0,8ω=0,9ω=1,0

μy/μx = 1,0

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

-1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00

ν

μx

ω=0,1ω=0,2ω=0,3ω=0,4ω=0,5ω=0,6ω=0,7ω=0,8ω=0,9ω=1,0

μy/μx = 2,0

-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

ν

μx

ω=0,1ω=0,2ω=0,3ω=0,4ω=0,5ω=0,6ω=0,7ω=0,8ω=0,9ω=1,0

μy/μx = ∞

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

-1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00

ν

μy

ω=0,1ω=0,2ω=0,3ω=0,4ω=0,5ω=0,6ω=0,7ω=0,8ω=0,9ω=1,0

a = 0.1 h

μx = MRd,x/ bh2fcd

ω = As,total fyd / bhfcdA500NR

μy = MRd,y/ b2h fcd

ν = NRd/ bhfcd

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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

B. MÉTODO APROXIMADO

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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

2. PAREDES RESISTENTES2. PAREDES RESISTENTESAs paredes resistentes para as acções horizontais (vento, sismos, etc.) têm, em geral, esforços axiais pequenos (valores baixos de ν) e elevados momentos flectores e esforços transversos.

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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

As paredes resistentes devem ser posicionadas de forma a que o seu centro de rigidez se aproxime do centro de massas do edifício.Geralmente são posicionadas em torno dos núcleos de acesso vertical do edifício ou nas empenas, aproveitando a existência de um número reduzido de vãos nestas zonas.

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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

As paredes caracterizam-se por, ao contrário dos pilares, possuírem uma das dimensões da sua secção transversal superior a 4 vezes a outra dimensão.Por condicionalismos arquitectónicos, podem surgir paredes com formas em U, em C ou ainda mais complexas, o que dificulta o dimensionamento das armaduras em flexão composta com as ferramentas normalmente usadas para os pilares.

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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

SECÇÃO RECTANGULAR

EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

Fs = As fyd

Compressão: NRd ≤ 0MRd - NRd (0.5h-a) = - Fc · z

z = (h-a) - 0.4x 0.5h-a(0.5h-a)-

Fc = NRd - Fs [MRd - NRd (0.5h-a)] / z = Fs - NRd Fs = [MRd - NRd (0.5h-a)] / z + NRd

NRd = Fc + Fs

Seja (0.5 h – a) ≈ z / 2 então: Fs ≈ MRd / z + NRd / 2

Se ν ≤ 0.45 então εs ≥ εyde σs = fyd

EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE εc / x = εs / (d-x)

x = d εc / (εc + εs) para εs ≥ εyd temos x ≤ d 3.5 / (3.5 + 2.17)

donde x ≤ 0.55h logo z ≥ (h - 0.1h) – 0.4x0.55h ≈ 0.7 h

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VLúcio Nov07 17

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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

Secção equivalente a secção rectangular mas com ys ≈ h2/(2h+c) - e/2Fs = (MRd - NRd ys) / z + NRd com z ≈ 0.7 h

Secção equivalente a secção em T com ys ≈ d-h2/(2h+c)Fs = (MRd - NRd ys) / z + NRd com z ≈ d - e/2

Secção em U com banzo traccionado

Secção em U com banzo comprimido

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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

Secção equivalente a secção rectangular (com ys = h/2 - e/2)Fs ≈ MRd / z + NRd/2 com z ≈ h - e

Secção em C

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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I

PROGRAMAPROGRAMA1. Introdução ao betão armado2. Bases de Projecto e Acções3. Propriedades dos materiais: betão e aço4. Durabilidade5. Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão6. Estado limite último de resistência à flexão simples7. Estado limite último de resistência ao esforço transverso8. Disposições construtivas relativas a vigas9. Estados limite de fendilhação10.Estados limite de deformação11.Estados limites últimos de resistência à flexão composta com esforço

normal e à flexão desviada12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes14.Estado limite último de resistência à torção