11 중력

뉴턴의 중력법칙 중력 퍼텐셜에너지 중력가속도 탈출속력 케플러의 법칙 암흑물질

11.1 뉴턴의 중력법칙 뉴턴의 중력법칙 (Newton’s law of gravity) : Isaac Newton, 1665년

- 질량이 있는 두 물체 사이에는 인력이 작용한다.

중력의 중첩중첩원리 (superposition principle) : 여러 물체가 주는 중력은 각각의 물체가주는 중력의 (벡터) 합으로 주어진다.

중력상수(gravitational constant)

중력의 방향인력, 중심력

역제곱 법칙 ⇔ 3차원 공간

(중력)질량

구의 중력• 구형 대칭인 물체의 중력작용은 중심에 놓인 같은 질량의 점입자와 같다.

• 구각 (spherical shell)- 각너비 dÁ 인 원고리가 질량 M에 작용하는 힘의

x성분을 구한 후 적분해 준다.- 미분 질량

- 미분질량 dm이 주는 힘의 x성분

- 적분 변수를 Á에서 s로 바꾼다.

- 구각은 중심에 놓인 같은 질량의 점입자처럼 질량 M에 중력을 작용한다.- 구는 구각의 집합체이므로 중첩원리에 의해 같은 결론에 이른다.

보기문제 11.1 천체의 영향

천문학(astronomy)은 행성, 별, 은하, 그리고 그 전체인 우주를 연구하는 학문분야이다. 비슷한 명칭인 점성술(astrology)은 전혀 과학적인 기반이 없는 미신에불과하다. 매일 일간지의 별자리운세를 보는 것이 흥미로울지 모르지만 별자리나 행성의 배열 등은 우리 인생에 아무런 영향도 끼치지 않는다. 별과 행성은단지 중력만으로 우리와 상호작용할 뿐이다. 달, 화성, 쌍둥이 자리의 별들이 우리에게 작용하는 중력을 계산해 보자.

미국 중서부에서 2008년 2월 16일 오후 9시의 밤하늘에 그림처럼 달, 화성, 쌍둥이자리가 나타났다. 이들 천체가 질량 85 kg의 사람에게 작용하는 중력은 각각 얼마인가?

11.2 지표면 근처의 중력 지표면 근처의 물체에 지구가 작용하는 중력

• 지구는 구 ⇒ 지구중심에 있는 같은 질량의 점입자와 같다.• 지표면에서의 중력가속도

• 중력가속도의 값에 작은 영향을 미치는 효과들- 고도- 위도에 따른 지구반지름의 차이- 지구밀도의 불균일성- 지구 자전에 의한 원심력

: 지구의 질량: 물체의 질량: 지구의 반지름: 물체의 높이

보기문제 11.2 블랙홀에 의한 중력 찢기

블랙홀은 질량은 매우 크면서 극단적으로 작은 천체로 밀도가 높아서 빛조차표면에서 탈출하지 못한다 (그래서 검게 보인다).

블랙홀의 질량이 태양 질량의 3배인 6.0∙1030 kg이라 하자. 길이 h=85 m인 우주비행선이 앞부분이 블랙홀로부터 거리가 R=13,500 km인 곳까지 접근한다. 우주비행선 앞뒤 사이의 중력가속도 차이는 얼마인가?

중력의 차이에 의해 우주선은 앞뒤를분리시키는 힘(조석력)을 받는다.

11.3 지구 내부의 중력 속이 빈 구각 내부의 중력 : 밀도가 균일한 구각 내부에서 알짜 중력은 0이다.

지구 내부의 중력중심으로부터 거리 r인 곳에서 질량 m에 작용하는 중력 : r 안쪽의 질량만 알짜중력을 작용

P에 대해 마주보며 같은 입체각을가지는 A1과 A2가 주는 중력이 서로상쇄된다.

11.4 중력 퍼텐셜에너지 거리가 r인 두 질량 m1과 m2의 중력 퍼텐셜에너지 :

여러 물체가 있을 때의 중력 퍼텐셜에너지 :

지표면 근처에서의 중력 퍼텐셜에너지

0으로 놓는다.

상수, 운동방정식에 영향을 미치지 않는다.

모든 짝에 대한 합

탈출속력

• 탈출속력 = 지구로부터 무한대 거리로 탈출하는데 필요한 최소한의 속력무한대에서 최소 역학에너지 : 중력 퍼텐셜에너지 = 0, 최소 운동에너지 = 0역학에너지 보존에 의해 … 지표면에서 역학에너지 = 무한대에서 역학에너지

• 지구의 자전과 공전 이용, 중력도움 기술- 탈출속력을 얻기 위해 지구의 자전과

공전(30km/s)을 이용할 수 있다.- 중력도움기술 : 우주선이 공전하는 행성

뒤로 지나가면서 속력을 증가시킬 수 있다.

지구궤도에서 태양계를 벗어나는데 필요한 최소의 속력

지표면에서 지구를 벗어나는데필요한 최소의 속력

지표면에서 태양계를 벗어나는데 필요한 최소의 속력

목성 기준틀 태양 기준틀

뉴턴의 중력법칙과 케플러의 법칙행성의 운동을 원운동으로 가정하여 뉴턴의 중력법칙으로부터케플러 제3법칙을 증명한다.

• 태양에 의한 중력이 행성 원운동의 구심력

• 태양과 행성을 잇는 반지름벡터가 휩쓸고 지나가는 면적

• 행성 원운동의 주기 원운동을 가정했으므로이 증명은 별 의미가 없다.하지만 타원궤도에서도성립!

케플러 제3법칙. 중력이 역제곱법칙을 따름을 의미한다.

주기와 궤도반지름으로부터태양의 질량을 알 수 있다.

11.6 위성궤도 위성의 궤도속력

• 지구 중력이 구심력으로 작용

• 궤도속력과 탈출속력

위성의 에너지

정지위성(위성주기=지구자전주기)의 궤도

정지위성GPS 위성연구용 위성

통신위성HST, ISS

2004년 6월 23일 지구 주위의 궤도를 도는위성의 위치를 북극에서 내려다본 모습

풀이문제 11.2 궤도를 도는 위성

위성은 지구 주위의 원 궤도를 돌고 있다. 궤도 반지름이 지구반지름의 3.75배이면 위성의 선속력은 얼마인가?

• 위성의 원운동에서 지구에 의한 중력이 구심력으로작용한다.

14 진동 단순조화운동 용수철 진자 진자 각속력, 주기 진폭, 위상각 감쇠조화운동 감쇠 강제조화운동 공명

조화진동자를 이용하여 시간을 잰다. (a) 오래된 괘종시계의 다중노출 사진. (b) NIST에서 만든 세계에서 가장 작은 원자시계. 세슘원자가 매초 92억 번 진동한다. 원자시계의 크기는 쌀알만 하고,

100억분의 1, 즉 300년 동안에 1초 이내로 정밀하다.

14.1 단순조화운동 주기운동 (periodic motion)

단순조화운동 (simple harmonic motion)

• 변위에 선형인 힘에 의한 특별한 종류의 주기운동 :

• 운동방정식

• 안정평형점 근처에서의 작은 진동

안정평형점 조건작은 진동일 경우고차항을 무시할 수 있다.

위상각 (phase angle)

각속력 (angular speed)

진폭 (amplitude)

초기조건 (initial conditions)

각 상수의 명칭

• 두 상수 (또는 )는 무엇으로 결정되는가?

운동방정식에서 결정된다.

초기조건으로 결정된다.

위치, 속도, 가속도 (* 교재에서의 sin 함수가 cos 함수로 대체되었음에 유의하자!)

주기와 진동수

• 용수철 진자의 주기 :

보기문제 14.2 달을 관통하는 터널

달 표면에서부터 구멍을 파서 달의 중심을 지나 반대편까지 터널을 뚫었다고하자. 터널의 한쪽 끝에서 질량 5.0 kg의 강철구를 놓아주면 어떤 운동을 하는가?

• 초기조건

단순조화운동

• 달 내부에서의 중력의 크기 :

• 수치

풀이문제 14.1 용수철에 매단 토막

용수철상수 k=2.55 N/m의 수평 용수철에 매단 질량 1.55 kg의 토막이 마찰 없는 수평면에서 미끄러진다. 토막을 오른쪽으로 d=5.75 cm 당겼다가 정지상태에서 놓아준다. 1.5 s 후 토막의 속도는 얼마인가?

• 토막은 단순조화운동을 한다.

• 초기조건으로부터 와 를 구한다.

• 1.5 s 후의 속력

14.3 조화진동의 일과 에너지 용수철에 매단 질량

• 역학에너지의 보존

적분 미분

• 운동에너지와 퍼텐셜에너지의 진동

• 운동상수를 이용한 운동방정식 풀기

운동상수(에너지)

15 파동

파동 가로파동, 세로파동 진폭, 파수, 각진동수 파장, 주기, 전파속력 파동방정식 파동의 에너지, 일률, 세기 중첩원리, 간섭 정지파, 공명

15.3 파동의 수학적 기술 사인파형

• 진폭(amplitude)• 각진동수 (angular frequency)• 파수(wave number), 파장(wavelength)• 주기(period), 진동수(frequency)

위상

파장 주기

파수 각진동수진폭

• 전파속력

주기파장

파형의 이동

의 값에 따라 보강간섭(constructive interference) 또는 소멸간섭(destructive interference)이 일어난다.

15.7 중첩원리와 간섭 파동방정식의 선형성

• 파동방정식은 선형 편미분방정식이다.⇒ 둘 또는 그 이상의 해를 더해서 또 다른 해를 만들 수 있다.

파동의 간섭

15.8 정지파와 공명

반대 방향으로 진행하는 두 파동의 간섭

마디(node)

배(antinode)

위치에 따라 정해진 진폭으로 진동 ⇒ 정지파

마디 :배 :

(양단이 고정된) 줄에 생긴 정지파

• 고정된 양단에서의 경계조건

좌우로 진행하는 파 중 이경계조건을 만족하는 파들이중첩하여 정지파를 만든다.

• 공명진동수

기본진동수공명진동수

16 소리

소리 소리의 세기 단위 : 데시벨 도플러 효과 공명과 음악

16.3 소리의 간섭

...,3,2,1,0, ±±±==∆ nnr λ

보강 간섭

...,3,2,1,0,)21( ±±±=+=∆ nnr λ

상쇄 간섭

맥놀이 (beats)

)sin(),()sin(),(

202

101

tAtxy

tAtxy

ωω

==

진폭은 같지만 진동수가 약간 다른 두 파동을 고정된 위치에서 관측하는 경우,

두 사인파의 합

),(),(),( 02010 txytxytxy +=

+

−= ttA )(

21sin)(

21cos2 2121 ωωωω

+

−= tfftffA )(

212sin)(

212cos2 2121 ππ

맥놀이 진동수

21 fffb −=

16.4 도플러 효과 전파속력이 인 매질에 대하여 음원과 관

측자가 의 속력으로 움직일 때 음원이 내는 진동수 와 관측자가 관측하는진동수 사이의 관계

관측자가 음원에서멀어질 때/다가갈 때

음원이 관측자에서멀어질 때/다가갈 때

• 유도과정- 음원이 움직이면 파장이 달라진다. - 동안 관측자를 지나는 파고의 수를 센다.

17 온도

열, 열에너지 열평형 열역학 제0법칙 온도, 온도계 절대온도

플레이아데스 성단

온도척도

• Fahrenheit temperature scale

• Celsius temperature scale

• Kelvin (or absolute) temperature scale

Daniel Gabriel Fahrenheit, 1724년, 수은온도계0°F = 얼음, 물, 염화암모늄, 소금 혼합물의 온도32°F = 얼음, 물 혼합물의 온도96°F = 말의 체온 (사람의 체온)

현재32°F = 물의 어는점212°F = 물의 끓는점

Anders Celsius, 1744년0°C = 물의 어는점100°C = 물의 끓는점

현재-273.15°C = 절대영도0.1°C = 물의 삼중점

기체의 (일정부피에서) 온도와 압력과의 관계에서 유추현재0K = 절대영도273.16K = 물의 삼중점

같은 눈금을 쓴다.(기준점만 다르다.)

• 절대0도의 존재

• 절대0도는 도달 가능한가?

이상기체온도계

18 열과 열역학 제1법칙

열의 정의 열의 일 해당량 열과 일 열역학 제1법칙 단열과정, 등적과정, 등압과정,

등온과정, 자유팽창 비열

18.1 열의 정의열의 정의

열 Q는 온도차 때문에 계와 환경 (또는 두 계) 사이에 전달되는 에너지이다. 계로 에너지가 들어올 때는 Q>0, 계에서 에너지가 나갈 때는 Q<0이다.

• 온도와 열의 이동• 계의 온도변화는 계와 환경 사이의 에너지 전달에 기인한다.

18.2 열의 일 해당량 열의 정량화

• 열 ⇒ 온도 변화

• 1 cal = 물 1 g의 온도를 1 ℃ 높이는 데 필요한 열의 양

역학에너지 ⇒ 열에너지 전환

보기문제 18.1 막대사탕의 에너지 함량

막대사탕의 상표에 275 Cal라고 적혀있다. 막대사탕의 에너지 함량을 줄(J)로 나타내면 얼마인가?

열의 일 해당량을 결정하기위한 줄의 실험장치

18.3 열과 일

기체로 채워진 피스톤이 달린 원통형 계

계의 온도를 일정하게유지해준다.

피스톤이 달린 기체로 채워진 원통형 계

• 계의 상태 : 온도 T, 압력 p, 부피 V

• 계의 상태 변화 ⇒ 열역학과정

• 열역학과정에서 계가 하는 일

pV 도표

• 열역학과정에서 압력과 부피의 변화를 그래프로 보여준다.

• 그래프 아래의 면적이 열역학과정에서계가 하거나(W>0) 받은(W<0) 일이다.

• 계가 한 일과 계로 전달되는 열에너지는 초기점에서 최종점으로 가는 경로에 의존한다.

18.4 열역학 제1법칙 열역학 제1법칙

에너지 보존 : 닫힌계의 내부에너지 변화는 계가 얻은 열에서 계가행한 일을 뺀 것이다.

보기문제 18.2 역도선수

역도선수가 질량 m=180.0 kg의 역기를 수직거리 h=1.25 m 위로 들어 올린다. 역도선수를 열역학적 계라고 하면, 내부에너지가 4000.0 J 감소할 때 방출하는 열은 얼마인가?

열역학계로 보자.

• 계가 한 일

• 방출한 열 : 열역학 제1법칙으로부터

Q<0 : 외부로 방출

보기문제 18.3 미끄러지다가 정지한 트럭

수평도로를 달리던 질량 m=3000.0 kg의 트럭이 브레이크가 걸리면서 거리L=83.2 m를 미끄러지다가 정지한다. 트럭의 타이어와 도로면 사이의 운동마찰계수는 ¹k=0.6000이다. 트럭의 내부에너지는 어떻게 되는가?

가정) 미끄러지다가 정지하는 동안 열에너지의 전달은 없다 (현실적으로 타당하지는 않음).

열역학 제1법칙 :트럭트럭내부 WWQE −=−=∆

운동마찰력이 트럭에 한 일 : mgLLFW kf µ==마찰력

0>==−=∆∴ mgLWWE kµ마찰력트럭내부 : 양의 값 트럭(타이어) 가열

18.5 특별한 과정에 대한 제1법칙

등적과정 : 일정한 부피에서 일어나는 과정

닫힌경로 과정 : 계가 시작한 초기상태로 되돌아오는 과정

등압과정 : 압력이 일정한 과정

등온과정 : 온도가 일정한 과정

단열과정 : 계의 상태가 변할 때 열이 이동하지 않는 과정

자유팽창 : 단열된 용기가 갑자기 커진 경우. 계는 일을 하지 않고, 열도 흡수하지 않는다.

18.6 고체와 유체의 비열 열용량, 비열

• 물체의 온도는 전달된 열의 양에 비례하여 올라간다.

여러 물질의 비열

열용량(heat capacity)

비열(specific heat)

풀이문제 18.1 물과 납

금속 세공사가 94.7℃ 납알 3.00 kg을 열량계처럼 쓰이는 단열용기 안의27.5℃ 물 1.00 kg에 붓는다. 혼합물의 최종온도는 몇 도인가?

• 최종온도에 이르는 동안납알이 준 열 = 물이 받은 열

19 이상기체

스쿠버 다이버가 물속에서 압축공기로 숨을 쉬고 있다.

이상기체 이상기체법칙 등분배정리 이상기체의 비열 이상기체의 단열과정 맥스웰 속력, 에너지 분포

19.2 이상기체법칙 이상기체법칙 (Ideal Gas Law)

기체의 몰수

온도압력 부피

보편기체상수

샤를의 법칙

보일의 법칙

아보가드로의 법칙

볼츠만 상수

볼쯔만 상수는온도와 에너지를연결시킨다.

일정한 온도에서 이상기체가 한 일

돌턴의 법칙 - 부분압력

여러 종류의 기체가 섞여 있을 경우 : 기체의 압력 = 각 기체의 부분압력들의 합

부분압력 :

지구대기

몰분율 :

19.3 등분배정리 기체운동론

기체의 구성성분으로부터 기체의 거시적 성질을 설명하려는 시도

등분배정리

• 기체 분자들의 평균운동에너지 :

• 하나의 자유도 당 평균운동에너지는

기체분자 전체가 벽에 작용하는 평균힘 :

속도제곱평균 :

압력 :

V

TNkB=

보기문제 19.4 공기 분자의 평균운동에너지

방 안에 가득한 공기의 온도가 22.0℃라고 하자.

공기 분자의 평균운동에너지는 얼마인가?

평균운동에너지 :

)0.2215.273)(/1038.1(23

23 23 KKJTkK B +⋅== −

평균

eVJ

eVJ 0381.0

10602.111011.6 19

21 =⋅

=⋅= −−

cf) 해수면, 실온에서의 값 : 0.04 eV

19.4 이상기체의 비열단원자 기체 : 헬륨, 네온, 아르곤, 크립톤, 크세논

• 내부에너지

• 등적비열 (일정한 부피, W = 0, CV :등적몰비열)

• 등압비열 (일정한 압력, W = p¢V, Cp :등압몰비열)

이상기체법칙등적비열

19.5 이상기체의 단열과정이상기체의 단열과정(Q=0)에서 압력과 부피의 변화

단열과정에서 이상기체가 한 일

풀이문제 19.1 자전거 타이어 펌프

수동으로 작동하는 펌프를 사용하여 자전거 타이어에 공기를 주입하려고 한다. 타이어펌프는 실린더에 피스톤이 달려 있고, 작은 호스를 통해 타이어와 연결되어 있다. 펌프와 타이어 사이에는 밸브가 있어서 공기가 타이어 쪽으로만 들어가며, 역으로 공기가 빠져나오는 것은 불가능하다. 펌프의 압축행정이 완전히 끝나고 초기위치로 피스톤이 돌아올 때는 공기가 실린더 내로 들어올 수 있도록 하는 밸브가 따로 있다. 그림 b는 압축행정이 시작되기 전의 모습이고 그림 c는 압축행정이 끝난 직후의 모습이다.

실린더의 내부 반지름은 rp=1.00 cm이고, 압축행정이 시작되기 전의 높이는 hi=60.0 cm이며, 압축행정이 끝난 후의 높이는 hf=10.0 cm 이다. 타이어는 내부반지름 r1=66.0 cm, 외부반지름 r2=67.5 cm, 두께 t=1.50 cm인 원통 링이라고 하자. 압축행정을 시작하기 전의 펌프와 타이어 안의 공기온도는 Ti=295 K이다.

압축행정이 끝난 후의 공기온도 Tf는 얼마인가?

풀이연습 : 레포트

20 열역학 제2법칙

가역과정, 비가역과정 열기관, 냉장고 카르노 기관 엔트로피 열역학 제2법칙

20.1 가역과정과 비가역과정

가역과정과 비가역과정

비가역과정

가역과정

비가역성은 계의 무작위성, 무질서와 관련이 있다.

20.3 이상기관 이상기관

카르노 기관

• 모든 과정이 가역과정이다.• 마찰, 점성에 의한 에너지 손실이 없어야 한다.

• 카르노 순환과정등온-단열-등온-단열 과정

• 가장 효율이 좋은 열기관

카르노 기관의 효율

등온과정 :

단열과정 :

등온과정 :

단열과정 :

• 각 과정에서 기관이 한 일

단열과정 :

20.5 열역학 제2법칙

열역학 제2법칙의 켈빈-플랑크 진술계가 고온 열저장고에서 열을 흡수하여 저온 열저장고로 열을 방출하지 않고 완전히역학적 일로 바꾸는 과정은 불가능하다.

열역학 제2법칙의 클라우지우스 진술아무런 일을 하지 않고 저온 열저장고에서고온 열저장고로 열에너지를 전달하는 과정은 불가능하다.

• 일은 모두 열로 바꿀 수 있다.• 반대로 열은 모두 일로 바꿀 수 없다.

열역학 제1법칙 만으로는 설명할 수 없는열역학 과정에 대한 새로운 법칙이 있다.

20.6 엔트로피 엔트로피(변화)의 (거시적) 정의

이 적분을 할 수 있으려면…• 계가 평형상태를 유지 (온도가

정의되어 있어야 한다.)• 열의 출입에 따른 온도 변화를

알아야 한다. 열역학 제2법칙

닫힌계의 열역학과정에서 엔트로피는 감소하지 않는다.

• 가역과정 :

• 비가역과정 :

보기문제 20.5 물이 얼 때의 엔트로피 변화

0℃, 1.50 kg의 물을 냉동고에 넣고 열을 제거하여 0℃의 얼음으로 만들었다. 물이 어는 동안 물-얼음 계의 엔트로피 변화는 얼마인가?

보기문제 20.6 물이 따뜻해질 때의 엔트로피 변화

20.0℃, 2.00 kg의 물에 열을 가하여 20.0℃까지 온도를 증가시켰다. 물의 엔트로피 변화는 얼마인가?

• 물이 얼음으로 바뀌는 동안 온도는 일정하다. :

• 열을 가했을 때의 온도 변화 :

엔트로피 변화 계산 : 이상기체의 자유팽창

• 자유팽창하는 동안 기체는 평형상태에 있지 않으므로 를직접 사용한 계산은 불가

• 엔트로피(변화)는 상태(온도,부피,압력)의 함수임을 이용같은 처음상태에서 나중상태로 이어주는 가역과정을 통해 계산할 수 있다.

• 자유팽창에서 내부에너지와 온도는 변하지 않는다.⇒ 등온과정을 이용하여 계산

• 일정한 온도에서 부피가 팽창하는 동안 하는 일 :

• 열역학 제1법칙 :

• 엔트로피 변화 :

엔트로피 계산 : 이상기체

• 엔트로피는 상태의 함수이다.

• 이상기체에 적용된 열역학 제1법칙

• 이상기체의 엔트로피

20.7 엔트로피의 미시적 해석 엔트로피의 미시적 정의

거시상태에 해당하는미시상태의 수

• 동전던지기의 예

1 4 6 4 1

거시상태

미시상태의 수

• 거시적인 평형상태의 미시적 이해

계의 미시운동이 미시상태를 균등한확률로 무작위로 옮겨 다니는 것이라면, 미시상태의 수가 가장 많은 거시상태에 있을 확률이 가장 크다.

보기문제 20.7 기체가 자유팽창하는 동안의 엔트로피 증가

그림처럼 기체가 자유팽창하는 경우를 생각해 보자. 처음에 0.500 m3의 공간에0.500 몰의 질소 기체가 들어 있었다. 장벽을 제거하면 기체가 팽창하여 1.00 m3의 부피를 차지한다. 기체의 엔트로피 변화는 얼마인가?

• 거시적 정의

• 미시적 정의

열역학 제2법칙에 대한 미시적 해석

닫힌계에서는 엔트로피가 감소하는 열역학과정은 일어나지 않는다.

미시상태의 수가 작은상태로 가는

일어날 확률이 지극히 작아서실제로는 일어나지 않는다.

엔트로피 죽음

• 우주는 완벽한 닫힌계이다.

• 우주 열역학과정의 대부분은 비가역적이므로 우주의 엔트로피는계속 증가한다.

• 우주가 최대 엔트로피 상태로 점차 접근하면, 우주의 모든 하부 조직들은 열적평형에 이르게 된다.

• 우주의 완전한 열정평형 - 열적 죽음우주의 어느 부분에서도 엔트로피가 감소하는 현상이 일어날 수없다.

질서, 생명• 진짜로 일어날 것인가?