11 ระดับ ม สรุปเนื้อหาสถิติ ปลาย...

เอกสารประกอบการบรรยาย

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP ◙ โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด

◙ ภาควชาคณตศาสตร

มหาวทยาลยขอนแกน

อ.วฒนา เถาวทพย

11 ◙ สอบเขา ม. 4

( Statistics )

สถต[1]

◙ สรปเนอหาสถต ◙ ระดบ ม. ปลาย

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 5 หนา 1

เรอง สถต ( Statistics) ดร.วฒนา เถาวทพย ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน

สถต ( Statistics)

◙ สรปเนอหา

1. สถต และ ขอมล ●ความหมายของสถต ม 2 นยดงน สถต หมายถง ตวเลขทแทนจ านวน หรอ ขอเทจจรง ของสงทเราศกษา เชนสถตผลการเรยนของนกเรยน สถตปรมาณขาว สถตการวง 200 เมตร สถต หมายถง ศาสตรทวาดวยระเบยบวธการศกษา ซงประกอบดวย การเกบรวบรวมขอมล การวเคราะหขอมล และ การน าเสนอขอสรป ในปจจบน การวเคราะหขอมลแบงออกเปนสองสวนคอ 1. สถตเชงพรรณนา (Descriptive statistics) เปนการวเคราะหเพออธบายลกษณะกวางๆ ของขอมลชดนน 2. สถตเชงอนมาน (Inferential statistics) เปนการวเคราะหขอมลทเกบรวบรวมมาจากกลมตวอยาง (Sample) เพออางองไปถงขอมลทงหมด (Population)

●ชนดของขอมล อาจจ าแนกไดหลายวธ จ าแนกตามลกษณะขอมล ได 2 ประเภท คอ 1. ขอมลเชงปรมาณ(Quantitative data) เชน คะแนน อาย สวนสง น าหนก เวลา .....

2. ขอมลเชงคณภาพ (Qualitative data) เชน เพศ ความคดเหน หมายเลขโทรศพท .....

จ าแนกตามวธการเกบรวบรวมขอมล ได 2 ประเภท คอ 1. ขอมลปฐมภม(Primary data) คอขอมลทไดจากแหลงขอมลโดยตรง จากการสมภาษณ การสอบถามทางไปรษณย การสงเกต การทดลอง ซงมการเกบรวบรวมขอมล 2 วธ คอ - การส ามะโน (Census) - การส ารวจจากกลมตวอยาง (Sample Survey)

2. ขอมลทตยภม (Secondary data) คอขอมลทไมตองเกบรวบรวม ขอมลจากผใหขอมล หรอทมาของขอมลโดยตรง ซงสวนใหญจะอย ในหนงสอ รายงาน บทความ หรอ เอกสารตางๆ

Note

The word “statistics” comes from the Latin “statisticus” meaning “of the states”. Governments collect and analyze quantity of statistics such as the vast project of gathering data and known as the “census” Information that has been collected but not yet organized or processed is call row data. It is often quantitative (or numerical) data, but can also be qualitative(or nonnumerical) data.

11



2 . การวเคราะหขอมลเบองตน ตวแปร (Variable) หมายถงลกษณะของประชากรทเราสนใจวเคราะห ซงอาจจะเปนขอมลเชงปรมาณ หรอ ขอมลเชงคณภาพ กได และเรยกคาของตวแปรวา คาจากการสงเกต เพอทจะท าใหเราวเคราะหขอมลไดสะดวก เราจะเรมดวยการแจกแจงความถของขอมล ดงน

2.1 การแจกแจงความถของขอมล เปนวธการทางสถตอยางหนงทใชในการจดขอมลทเกบรวบรวมมาไดใหเปนหมวดหมเพอความสะดวกในการน าไปวเคราะหขอมลตอไป Ex.1 จงสรางตารางแจกแจงความถของ การสอบของนกเรยน 20 คน ทมคะแนนปรากฏดงน 6,7,5,8,9,2,3,4,5,7,6,5,6,4,3,9,8,4,5,7

คะแนน รอยขดแสดงจ านวนครง ความถ

●การสรางตารางแจกแจงความถ ขอมลทเปนอนตรภาคชน มขนตอนดงน

1. หาขอมลสงสด (Max) และ ขอมลต าสด (Min) 2. หาพสย (Range) จาก Range Max Min 3. ให I เปนความกวางของ อนตรภาคชน และ n เปนจ านวนอนตรภาคชน

Rangen

I

ถา Range

Iไมเปนจ านวนเตมใหปดเศษทศนยมเปนจ านวนเตม

4. เขยนชวงขอมลจากนอยไปหามาก โดยใหMin และ Max อยชน แรก และ ชนสดทาย ตามล าดบ หรอ จากมากไปหานอยในลกษณะตรงขามกน

5. เขยนรอยขดแสดงจ านวนครงของแตละขอมลในแตละอนตรภาคชน 6. นบรอยขดแตละอนตรภาคชน แลวเขยนในชองความถ

Note



Ex.2 ขอมลจากการสอบคณตศาสตรของนกเรยน 80 คน โดยมคะแนนเตม 100 คะแนน ปรากฏดงน 65 41 72 70 34 66 85 39 41 70 72 65 80 96 59 92 81 40 53 66 90 81 55 49 68 50 48 64 69 58 43 56 48 51 70 60 73 83 75 55 52 49 69 66 51 76 64 77 80 83 46 35 85 70 46 67 50 89 92 46 50 73 57 84 38 58 54 94 69 57 83 78 48 88 76 90 86 37 98 60 จงสรางตารางแจกแจงความถ ใหมความกวางของอนตรภาคชนเทากบ 10

คะแนนสอบ รอยขดแสดงจ านวนครง ความถ

รวม เพอใหตารางแจกแจงความถมประสทธภาพในการวเคราะหขอมลสงขน จงมการก าหนดลกษณะเพมเตมดงน คอ

1. การแจกแจงความถสะสม (Cumulative Frequency) 2. การแจกแจงความถสมพทธ(Relative Frequency) 3. การแจกแจงความถสะสมสมพทธ(Relative Cumulative Frequency)

ดงรายละเอยดในตารางตอไปน คะแนนสอบ ความถ .. สะสม .. สมพทธ .. สะสมสมพทธ

รวม

Note



2.2 การแจกแจงความถโดยใชกราฟและแผนภาพ มหลายวธ แตในระดบนจะกลาวเพยง 2 แบบ คอ ฮสโทแกรม (Histogram) และ แผนภาพตน-ใบ (Stem – and – leaf plot) Ex.3 จากขอมลใน Ex.2 จงสราง ฮสโทแกรม และ แผนภาพตน-ใบ

ฮสโทแกรม

แผนภาพตน –ใบ 4 5 6 7 8 9 หมายเหต แผนภาพตน – ใบ อาจใชแสดงเปรยบเทยบขอมล 2 ชดพรอมกนได และสามารถวเคราะหขอมลไดชดเจน ดงตวอยางตอไปน Ex.4 จงตความหมายของขอมลในการสอบวชาภาษาองกฤษ กบ คณตศาสตร ของนกเรยน 20 คน ทมคะแนนเตม 50 คะแนน จากแผนภาพตน – ใบ คณตฯ ตน องกฤษ 0 0 1 2 5 7 7 8 1 3 7 1 5 7 8 8 9 2 0 2 4 4 0 2 4 4 3 1 5 7 8 8 9 3 7 4 0 0 1 2 5 7 7 8



2.3 การวดต าแหนงทของขอมล เปนการชวยใหการกลาวถงต าแหนงทเปนไปอยางมความหมาย กลาวคอ สามารถบอกไดทนทวาต าแหนงทไดนนด หรอไม เพยงไร ซงมการวดเหลายแบบ เชน ควอรไทล (Quartile) เดไซล (Decile) และ เปอรเซนไทล (Percentile) แตทนยมใชในเบองตนทจะกลาวคอ เปอรเซนไทล ●เปอรเซนไทล ถา N เปนจ านวนขอมลทงหมด

1P อยในต าแหนงท 1( 1)

100

N


100

N

......................................................


100

N

Ex.5 ถาคะแนนสอบปลายภาคของนกเรยนหองหนงมดงน 60, 65, 65, 67, 71, 70, 73, 75, 76, 76, 79, 81, 83, 84, 85, 85, 88, 89, 90, 92, 95, 96, 99, 100, 100 จงหาคะแนนทอยในต าแหนงเปอรเซนไทลท 68

2.4 การวดคากลางของขอมล การวดคากลางของขอมล ในเบองตน ทนยมใชม 3 ชนด คอ คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic Mean) มธยฐาน (Median) และ ฐานนยม (Mode) 2.4.1คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic Mean) คาเฉลยเลขคณต คอ จ านวนทไดจากการหารผลบวกของขอมลทงหมด ดวยจ านวนขอมล ■ให x เปนคาเฉลยเลขคณตของ 1 2 3, , , ... , Nx x x x จะไดวา

1 1 2 3 ...

N

i

i N

xx x x x

xN N

Ex.6 การสอบของนกเรยน 20 คน ทมคะแนนปรากฏดงน 6,7,5,8,9,2,3,4,5,7,6,5,6,4,3,9,8,4,5,7 จงหาคาเฉลยเลขคณต



● คาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก (Weight Arithmetic Mean) ■ให

1 2 3, , , ... , Nw w w w เปนความส าคญ หรอ น าหนกถวงของ ขอมล

1 2 3, , , ... , Nx x x x ตามล าดบแลว

1 1 1 2 2 3 3 ...i

N

i

i N N

w xw x w x w x w x

xN N

Ex.7 จงค านวณเกรดเฉลย (Grade Point Average -GPA) ของนกเรยนคนหนงทลงทะเบยนเรยน 5 วชาทมหนวยกตเปน 3,2,3,3,1 และไดเกรดเปน A,A,B,B,C ตามล าดบ ● สมบตพนฐานของคาเฉลยเลขคณต 1. min maxx x x

2. 1

N

i

i

x Nx

3. ถามขอมล 2 ชดทมความสมพนธกน โดย i iy ax b เมอ 1,2,...,i N แลว y ax b Ex.8

● คาเฉลยเลขคณตรวม (Combined Arithmetic Mean) ■ให 1 2 3, , , ... , Kx x x x เปนคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1,2,...,k ทมจ านวนขอมลเปน 1 2 3, , , ... , kN N N N ตามล าดบ และให x เปนคาเฉลยเลขคณตรวมทงหมด จะไดวา

1 1 1 2 2

1 2

1

...

...

k

i i

i k k

k

ki

i

N xN x N x N x

xN N N

N

Ex 9



● คาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถแลว ■ให

1 2 3, , , ... , kf f f f เปนความถของคาจากกการสงเกต 1 2 3, , , ... , kx x x x

ตามล าดบ ถามขอมลทงหมด N ตว จะไดวา

1 1 1 2 2 1

1 2

1

...

...

k k

i i i i

i k k i

k

ki

i

f x f xf x f x f x

xf f f N

f

Ex.10 ● คาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถเปนอนตรภาคชน ■ให A เปนจดกงกลางของชนทมความถมากทสด

1 2 3, , , ... , kf f f f เปนความถของอนตรภาคชนท 1,2,...,k ทม

1 2 3, , , ... , kx x x x เปนจดกงกลาง ตามล าดบ และให i id x A หรอ i ix A d จะไดวา

x A d

นนคอ 1

1

k

i i

i

k

i

i

f d

x A

f

Ex.11



2.4.2 มธยฐาน (Median) มธยฐาน คอ คากลางของขอมล เมอเรยงขอมลจากมากไปหานอย หรอ จากนอยไปหามาก ■ให Median เปนมธยฐาน ของ

1 2 3, , , ... , nx x x x ซงเรยงจากนอยไปมาก หรอ จากมากไปนอยแลว จะไดวา

1

2

nMedean x เมอ n เปนจ านวนเตมค

1

2 2

2

n nx x

Medean

เมอ n เปนจ านวนเตมค

Ex.12 จงหามธยฐานของขอมลใน Ex.3 2.4.3 ฐานนยม (Mode) ฐานนยม คอ ขอมลทมความถสงสด ในขอมลชดนน

Ex.13 จงหาฐานนยม ของขอมลใน Ex.3

.......เพอใหการแปลความหมายของขอมลสมบรณขน นอกจากเราจะพจารณาคากลางของขอมลแลว เราจะตองพจารณา การกระจายของขอมลดวย.......

2.4 การวดการกระจายของขอมล

2.5 การกระจายของขอมล ในเบองตน นยมใช 2 ชนดดงน 2.5.1 พสย (Range)

พสย ( )Range Max Min เมอ Max เปนขอมลทมคามากทสด และ Min เปนขอมลทมคานอยทสด Ex.14 จงหาพสย ของขอมล 2,5,3,6,4,7,3,4,8,3,9,4



2.5.2 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

สวนเบยงเบน คอ ผลตางของขอมลแตละตว กบ คาเฉลยเลขคณต

Ex.15 จงหาสวนเบยงเบน ของขอมล แตละตวของ 2,5,3,6,4,7,3,4,8,3,9,4

สวนเบยงเบนมาตรฐาน หาไดจากสตรตอไปน ■ให SD เปนสวนเบยงเบนมาตรฐาน ของขอมล 1 2 3, , , ... , Nx x x x ทม x เปนคาเฉลยเลขคณต จะไดวา

2 2 2 2

1 2 3( ) ( ) ( ) ... ( )nx x x x x x x xSD

n

หรอ

2

1

( )N

i

i

x x

SDN

Ex.16 จงหาพสย และ สวนเบยงเบนมาตรฐาน ของขอมล 2,5,3,6,4,7,3,4,8,3,9,4

3. การส ารวจความคดเหน เปนลกษณะบรรยาย สามารถศกษาไดดวยตนเอง

AAAAAAAAAAAAAAAAAAA



ตวอยางขอสอบ (1) จากการวดสวนสงของคนไขเดก 30 คนปรากฏขอมลดงน

จากขอมลในตารางน ขอใดตอไปนถก

1) รอยละ 80.0 ของผปวย มสวนสงเกน 160 เซนตเมตร 2) รอยละ 30.0 ของผปวย มสวนสงระหวาง 145-149 เซนตเมตร 3) รอยละ 46.7 ของผปวย มสวนสงต ากวา150 เซนตเมตร หรอสงกวา 155 เซนตเมตร 4) รอยละ 30.0 ของผปวย มสวนสงต ากวา 150 เซนตเมตร 5) รอยละ 20.0 ของผปวย มสวนระหวาง 160-165 เซนตเมตร

(2) จงพจารณาความถกตองของขอความ ก. ข. และ ค. ตอไปน

ก. ขอมลเชงคณภาพ ไมสามารถหาคาเฉลยเลขคณตได แต มธยฐาน และฐาน

นยม หาไดทงขอมลเชงคณภาพ และ ขอมลเชงปรมาณ

ข. ขอมลเชงปรมาณ จะมคาเฉลยเลขคณตเพยงคาเดยวเทานน แต มธยฐาน และ ฐานนยมอาจไมม หรอ อาจมหลายคากได ค. ถาจ านวนขอมลเปนจ านวนเตมค แลว มธยฐานจะเปนคาทไดจากขอมล สวนคาเฉลยเลขคณตไมจ าเปนตองเปนคาทไดจากขอมล ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง

1) ก. ถก ข. ถก ค. ถก 2) ก. ถก ข. ผด ค. ถก 3) ก. ผด ข. ถก ค. ผด 4) ก. ผด ข. ผด ค. ถก 5) ก. ผด ข. ผด ค. ผด

สวนสง (หนวยวดเปนเซนตเมตร)

จ านวนคนไข สะสม

140 – 144

145 – 149

150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 – 169

3

9

17

24

28

30



(3) จากแผนภาพตน-ใบ แสดงขอมลซงเปนคะแนนในการสอบคณตศาสตรของนกเรยน

จ านวน 20 คน ดงน

0 2 4

1 4 0 1 6 2

2 5 4 2 6 2 8 0 1 2 1

3 0 4 4

จงพจารณาจากขอมลวา ขอใดตอไปนถก 1) มธยฐาน มคามากกวาฐานนยม และ ฐานนยม มคามากกวา คาเฉลยเลขคณต 2) มธยฐาน มคามากกวาฐานนยม และ ฐานนยม มคานอยกวา คาเฉลยเลขคณต 3) มธยฐาน มคานอยกวาฐานนยม และ ฐานนยม มคามากกวา คาเฉลยเลขคณต 4) มธยฐาน มคานอยกวาฐานนยม และ ฐานนยม มคานอยกวา คาเฉลยเลขคณต 5) มธยฐาน มคาเทากบฐานนยม และ ฐานนยม มคามากกวา คาเฉลยเลขคณต

(4) ให 1 2 5, , ... ,x x x เปนขอมลชดหนงซงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 5

ถา 5

2

1

( 3) 70i

i

x

แลว สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน

1) 2 2) 2

3) 6

4) 2 2

5) 2 3

(5) ขอมลชดหนงม 10 รายการ ค านวณคาเฉลยเลขคณตได 7 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 5

แตเมอมาตรวจสอบขอมลดงกลาวใหม พบวามขอมลอย 1 รายการทไดบนทกผดไวเปน 18 ซงคาทแทจรงของขอมล คอ 8 ดงนนคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานท

ถกตองส าหรบขอมลชดน คอขอใดตอไปน

1) 5 และ 2 2

2) 5 และ 2 3

3) 5.5 และ 2 2

4) 6 และ 2 2

5) 6 และ 2 3



(6) ขอมลชดหนงเรยงล าดบจากนอยไปมากไดเปน 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120 ถาฐาน

นยมและมธยฐานของคะแนนชดนเปน 30 และ 40 ตามล าดบ แลวขอมลชดตอไปนคอ 11 , 22 , 33 , 34 , a + 5 , b + 6 , 67 , 68 , 99 , 130 ม คาเฉลยเลขคณตเทากบขอใดตอไปน

1. 50 2. 55.5

3. 60 4. 60.5

(7) เมอสรางตารางแจกแจงความถของคะแนนของนกเรยน 36 คน โดยใชความกวางของแตละ

อนตรภาคชนเปน 10 แลวปรากฏวามธยฐานของคะแนนทงหมดอยในชวง 50 – 59 ถามนก

เรยนสอบไดคะแนนต ากวา 49.5 คะแนนอยจ านวน 12 คน และมนกเรยนไดคะแนนต ากวา 59.5 อยจ านวน 20 คน แลวมธยฐานของคะแนนการสอบครงนมคาเทากบเทาใด

1. 53 2. 54

3. 56 4. 57

(8) ก าหนดให 10 21 x , ... ,x , x มคาเปน 5 , 6 , a , 7 , 10 , 15 , 5 , 10 , 10 , 9 ตามล าดบ

โดยท a 15 ถาพสยของขอมลชดนเทากบ 12

b เปนจ านวนจรงทท าให

10

1i2

i )bx( มคานอยทสด

และ c เปนจ านวนจรงทท าให

10

1i i | cx | มคานอยทสด

แลว a + b + c มคาเทาใด

(9) ถาตารางแจกแจงความถของขอมลชดหนง ซงมความกวางของแตละอนตรภาคชนเทากน เปน ดงตอไปน

ชนท จดกงกลางของอนตรภาคชน ความถสะสม 1 2 3 4 5

… … … 25 30

8 16 36 40 50

ให X เปนคาเฉลยเลขคณต และ med เปนมธยฐานขอมล ขอใดตอไปนถก 1. X = 19 และ med = 19.75 2. X = 19 และ med = 17.5 3. X = 20 และ med = 19.75 4. X = 20 และ med = 17.5



(10) ก าหนดตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบวชาสถตทเปนจ านวนเตมของนกเรยน 40 คน ดงน เมอสมเลอกนกเรยนกลมนมาหนงคน ไดวาความนาจะเปนทนกเรยนคนนไดคะแนนนอยกวา 70 คะแนนมคาเทากบ 0.30 มธยฐานของคะแนนชดนเทากบขอใดตอไปน 1. 71.50 2. 73.50 3. 73.75 4. 74.50 (11) ขอมลหนงประกอบดวย 1321 x, ... ,x ,x โดยท nx = | 5 – n | เมอ n = 1, 2, 3, …, 13

จ านวนจรง a ทท าให

13

1 n n |ax| มคานอยทสด เทากบเทาใด

(12) ก าหนดให iX เปนคะแนนสอบวชาสถตของนกเรยนคนท i เมอ i = 1 , 2 , 3 , . . . , 99 ,

100 ทมคะแนนเตมเทากบ 100 คะแนน คาเฉลยเลขคณต คาฐานนยม และคามธยฐานของ คะแนนเทากบ 70 , 40 และ 60 ตามล าดบ ขอความใดตอไปนเปนจรง

1. |60x| 100

1 i i

มากกวา |70x| 100

1 i i

2. )70x( 100

1 i2

i

มากกวา )40x( 100

1 i2

i

3. การแจกแจงของคะแนนดงกลาวเปนเสนโคงเบไปทางขวา 4. ถาครตองการใหนกเรยนสอบได 60 คนจงตดสนวานกเรยนผใดสอบไดคะแนนตงแต 60

คะแนนขนไปเปนผสอบได

(13) ขอใดตอไปนถกตอง 1. การน าเสนอขอมลแบบแผนภมแทงจะตองท าใหมาตราสวนบนแกนตง และแกนนอนเทา กน เพอใหสามารถเปรยบเทยบความสงได

2. การสรปผลการวเคราะหทางสถตซงไดใชวธการทางสถตมาอยางสมบรณแลวยงไมอาจแก

ปญหาตางๆไดทกกรณ ตองอาศยขอเทจจรงอนๆ ประกอบดวย

3. การใชแผนท แผนภาพ และแผนภมตางๆ ในการน าเสนอขอมล กเพอชวยใหเสนอขอมล

เหลานนถกตองมากขน

4. การศกษาขอมลจากสมดทะเบยนประวตจะเชอถอไดมากกวาการส ารวจ

คะแนน จ านวนนกเรยน

60 – 64

65 – 69

70 – 74

75 – 79

80 – 84

4

a

10

b

7



(14) จากการตรวจปรมาณไขมนในเลอดของผปวย ซงเปนโรคความดนโลหตสงทไมทราบสาเหต

จ านวน 30 คนปรากฏขอมลดงน ปรมาณไขมนในเลอด

(หนวยวด : มลลกรมเปอรเซนตทเปนจ านวนเตม)

จ านวนคนไข

สะสม

143 – 147

148 – 152

153 – 157

158 – 162

163 – 167

168 – 172

3

9

17

24

28

30

จากขอมลน ขอใดตอไปนถก

1. รอยละ 80.0 ของผปวยทมารบการตรวจ มปรมาณไขมนในเลอดมากกวา 163 มลลกรม

เปอรเซนต

2. รอยละ 56.7 ของผปวยทมารบการตรวจ มปรมาณไขมนในเลอดระหวาง 148 – 157

มลลกรมเปอรเซนต 3. รอยละ 46.7 ของผปวยทมารบการตรวจ มปรมาณไขมนในเลอดนอยกวา 153 หรอมาก

กวา 158 มลลกรมเปอรเซนต 4. รอยละ 30.0 ของผปวยทมารบการตรวจ มปรมาณไขมนในเลอดนอยกวา 153 มลลกรม

เปอรเซนต

(15) ก าหนดให X เปนตวแปรตวหนง ถาคาทสงเกตได พรอมทงรอยละของความถสะสมสมพทธ

ของคาเหลานเปนไปตามตารางขางลาง

ถาคาทสงเกตได (X) –4 –3 1 2 3

รอยละของความถสะสมสมพทธ 30 50 60 80 100

คาเฉลยเลขคณตของขอมลขางตน คอ

1. 2.5 2. –0.2

3. –0.7 4. ขอมลทใหไมเพยงพอทจะหาค าตอบ

(16) ในการสอบวชาภาษาไทยของนกเรยน 25 คน สมยเปนนกเรยนคนหนงทเขาสอบครงน พบวา สมยสอบได 62 คะแนน และมนกเรยน 8 คน สอบไดคะแนนสงกวา 69 คะแนน และ คะแนนสอบของสมยเปนคามธยฐานของคะแนนสอบทงหมด ถามการจดกลมคะแนนสอบเปน

ชวงๆ ใหอนตรภาคชนมความกวางเทาๆกน และคะแนนของสมยตกอยในอนตรภาคชน 60 – 69 แลว จ านวนนกเรยนทสอบไดคะแนนตงแต 60 คะแนนถง 69 คะแนน เทากบขอใด

ตอไปน

ก. 5 ข. 6

ค. 7 ง. 8



(17) จากขอมลทก าหนดให

ขอมลชด A 1 , 3 , 2 , 2 , 5 , 3 , 4 , 4 , 3

ขอมลชด B 1 , 2 , 4 , 1 , 2 , 5 , 2 , 5 , 1 , 5 , 5 , 3 ขอใดตอไปนถก

1. คาเฉลยเลขคณตของขอมลทงสองชดเทากน และมธยฐานของขอมลทงสองชดเทากน

2. คาเฉลยเลขคณตของขอมลทงสองชดเทากน แตมธยฐานของขอมลทงสองชดนไมเทากน

3. คามธยฐานของขอมลทงสองชดเทากน แตคาเฉลยเลขคณตของขอมลทงสองชดนไมเทากน

4. คามธยฐานของขอมลทงสองชดไมเทากนและคาเฉลยเลขคณตของขอมลทงสองชดนไมเทากน

(18) อายของเดกกลมหนงมการแจกแจงดงน

อาย (ป) จ านวนเดก

1 – 3 3

4 – 6 a

7 – 9 6

10 – 12 4

ถามธยฐานของอายของเดกกลมนเทากบ 7 ป a มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 3 2. 4

3. 5 4. 6

(19)

การบาน สอบยอย

ปลายภาค ครงท 1 ครงท 2

เกณฑการคดคะแนน 20% 20% 30% 30%

คะแนนทได

(จากคะแนนเตม 100)

92

84

63

ตารางขางบนน เปนเกณฑการคดคะแนนทผสอนก าหนดไว และผลการเรยนของนกเรยนคนหนง ถานกเรยนคนนไดคะแนนเฉลยตลอดภาคเรยน 79 เปอรเซนต แลวคะแนนสอบปลายภาคของเขาเทากบขอใดตอไปน 1. 57.2 2. 74.7 3. 77.0 4. 83.0

======================

11 ระดับ ม สรุปเนื้อหาสถิติ ปลาย...

Documents