10.5 – Momento angular

Unidades S.I.: kg.m2/s

vmrprL

v

O

rL

Direção e sentido: regra da mão direitaMódulo: mvlmrvLL sen

l

m

(momento angular de uma partícula)

Relação entre momento angular e torque:

vmrdtd

dtLd

dtvdmrvm

dtrd

amrvmv

0

Fr

dtLd

(análogo a

) dtpdF

Momento angular de corpo rígido girando em torno de um eixo: Dividimos o CR em fatias: Fatia do CR girando em torno do eixo z

Momento angular da i-ésima partícula

90seniiiii vrmLL

iii rrm 2iirm

Somando por todas as partículas da fatia:

2

ii

irmL I

(análogo a )

mvp

Outra fatia do CR girando em torno de z

Partícula movendo-se para fora do plano

Partícula movendo-se para dentro do plano

Somando por todas as fatias:

Se o eixo de rotação for um eixo de simetria, o momento

angular terá a mesma direção do eixoAssim:

IL

dtLd

De maneira semelhante, partindo da equação para uma partícula:

E somando por todas as partículas do CR, obtemos:

dtLd

(aqui contribuem apenas os torques

externos)

10.6 – Conservação do momento angular

dtLd

Se a resultante dos torques externos for

nula:

0dtLd

constante L

Exemplo: patinadora no gelo

zffziiz IIL ,,

Ao fechar os braços, a patinadora reduz o momento de inércia ( ), de modo que a velocidade angular aumenta ( ).

if II

if

http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=htVsVA2m1_w

Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics II-9” Demonstração: cadeira giratória

Um gato em queda livre conserva o momento angular?

http://www.youtube.com/watch?v=Ua4Gh_4XdwQ

Exemplo: Y&F 10.11

Análise do movimento:

http://www.youtube.com/watch?v=yGusK69XVlk

Exemplo: Y&F 10.14

Problema: Y&F 10.98 (centro de percussão)

Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics II-11”

10.7 – Giroscópios e precessão Demonstração: roda de bicicletaCaso 1: roda parada

Vista de cima

Caso 2: roda girando

Vista de cimaPrecessão do

momento angular

Momento angular

inicial da roda

Outros exemplos: precessão do eixo de rotação da Terra, precessão do pião (demonstração)

Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics VI-5”

Cálculo da velocidade angular de precessão:

Em um intervalo dt, o momento angular e o eixo de rotação da roda precessionam por um ângulo dφ

Velocidade angular de precessão (no caso do eixo de rotação ortogonal ao eixo de precessão):

dtd

dt

LLd

L

Imgr

Exemplo: torque na precessão do eixo de rotação da Terra

rad/s1066,7s108,2

rad 2 anos rev/26.000 1 12-11

N.m1042,2)sen(26,5)sen(26,5

22 L

L

skg.m1007,7

24hrad 2

52 2

332

MRIL

Cinemática de uma partícula Rotação de um CRPosição ÂnguloVelocidade Velocidade angularAceleração Aceleração angularMassa Momento de inércia

Energia cinéticaEnergia cinética

Força Torque2a. Lei 2a. Lei

Trabalho TrabalhoPotência PotênciaMomento linear Momento angular2a. Lei 2a. Lei

dtpdF

vmpvFPdxFdW

maF

F

mv

mavx

xx

x

xextx

x

x

x

x

,

2

21

Completando a analogia cinemática linear e rotação de CR:

dtLd

IL

PddW

I

I

I

zz

z

zextz

z

z

z

z

,

2

21

Próximas aulas:6a. Feira 18/11: Aula de Exercícios (sala A-327)4a. Feira 23/11: Aula de Exercícios (sala A-327)6a. Feira 25/11: Aula de Revisão e Testes dos Caps. 9 e 10 (sala A-327)2a. Feira 28/11: P2