102128916 aacap 8 prueba de hipotesis prueba de una sola muestra

Objetivos

Contenido del captulo

319

c a p t u l o

Aprender cmo usar las mues-tras para decidir si una pobla-cin posee una caractersticadada

Determinar qu tan impro-bable es que una muestra observada provenga de unapoblacin hipottica

Comprender los dos tipos deerrores posibles que se produ-cen al probar las hiptesis

Aprender cundo usar prue-bas de una cola y cundopruebas de dos colas

Aprender el proceso de cincopasos para probar hiptesis

Aprender cmo y cundo usarlas distribuciones t y normalpara probar hiptesis sobremedias y proporciones de poblacin

8.1 Introduccin 3208.2 Conceptos bsicos en el

procedimiento de prueba de hiptesis 321

8.3 Prueba de hiptesis 3248.4 Prueba de hiptesis de medias

cuando se conoce ladesviacin estndar de lapoblacin 331

8.5 Medicin de la potencia deuna prueba de hiptesis 338

8.6 Prueba de hiptesis para proporciones: muestras grandes 341

8.7 Prueba de hiptesis de mediascuando no se conoce ladesviacin estndar de la poblacin 347

Estadstica en el trabajo 351 Ejercicio de base de datos

computacional 351

Del libro de texto al mundoreal 352

Trminos introducidos en elcaptulo 8 353

Ejercicios de repaso 353

88 PRUEBA DE HIPTESIS:PRUEBA DE UNA SOLA MUESTRA

www.

Matem

atica

1.com

8.1 IntroduccinLa prueba de hiptesis comienza con una suposicin, llamada hiptesis, que hacemos acerca de unparmetro de poblacin. Despus recolectamos datos de muestra, producimos estadsticas muestra-les y usamos esta informacin para decidir qu tan probable es que nuestro parmetro de poblacinhipottico sea correcto. Digamos que suponemos un cierto valor para una media de poblacin. Paraprobar la validez de esa suposicin recolectamos datos de muestra y determinamos la diferencia en-tre el valor hipottico y el valor real de la media de la muestra. Despus juzgamos si la diferenciaobtenida es significativa o no. Mientras ms pequea sea la diferencia, mayor ser la probabilidadde que nuestro valor hipottico para la media sea correcto. Mientras mayor sea la diferencia, ms pe-quea ser la probabilidad.

Desafortunadamente, la diferencia entre el parmetro de poblacin hipottico y la estadstica realrara vez es tan grande que rechacemos automticamente nuestra hiptesis o tan pequea que la acep-tamos con la misma rapidez. As, en las pruebas de hiptesis como en la mayora de las decisionesimportantes de la vida real, las soluciones claras o bien definidas son la excepcin, no la regla.

Supongamos que una administradora de un gran centro comercial nos dice que la eficiencia detrabajo promedio de sus empleados es de al menos 90%. Cmo podemos probar la validez de su hi-ptesis? Utilizando los mtodos de muestreo aprendidos en el captulo 6, podramos calcular la efi-ciencia de una muestra de sus empleados. Si hiciramos esto y el estadstico de la muestra resultaraser 95%, aceptaramos sin demora la afirmacin de la administradora. Sin embargo, si el estadsticode la muestra resultara ser el 46%, rechazaramos su afirmacin por falsa. Podemos interpretar estosdos resultados, 95 y 46%, si utilizamos el sentido comn.

Ahora supongamos que nuestro estadstico revela una eficiencia del 88%. Este valor es relativa-mente cercano al 90%. Pero, es suficientemente cercano para que aceptemos como correcta la hi-ptesis de la administradora? Ya sea que aceptemos o rechacemos su hiptesis, no podemos estar ab-

El problema bsicoes manejar la incertidumbre

Cundo aceptar orechazar la hiptesis

Funcin de la pruebade hiptesis

320 Captulo 8 Prueba de hiptesis: prueba de una sola muestra

El contrato para techar un nuevo complejo deportivo de San Francisco fueotorgado a Parkhill Associates, una compaa constructora grande. Lasespecificaciones de construccin indican un techo mvil de aproxima-damente 10,000 lminas de aluminio con un grosor de 0.04 pulgadas (pulg).Las lminas de aluminio no pueden ser considerablemente ms gruesas que0.04 pulg porque la estructura podra no soportar el peso adicional. Y tampocopueden ser ms delgadas porque la fuerza estructural del techo sera inade-cuada. Debido a estas restricciones en el grosor, Parkhill revisa cuidadosa-mente las lminas de aluminio de su proveedor. Es claro que Parkhill no deseamedir cada lmina, as que toma una muestra aleatoria de 100. Las lminas dela muestra tienen un grosor medio de 0.0408 pulg. Por experiencia con esteproveedor, Parkhill cree que esas lminas provienen de una poblacin que tieneuna desviacin estndar de 0.004 pulg de grosor. Con base en estos datos,Parkhill debe decidir si las 10,000 lminas cumplen con las especificaciones. Enel capitulo 7, utilizamos estadsticas muestrales para estimar parmetros depoblacin. Ahora, para resolver problemas como el de Parkhill, aprenderemoscmo utilizar las caractersticas de las muestras para probar una suposicinacerca de la poblacin de la que se tom dicha muestra. Nuestra prueba paraParkhill, ms adelante en este captulo, llevar a que la constructora acepte elcargamento de lminas o que lo rechace por no cumplir con las especificacio-nes arquitectnicas.

www.

Matem

atica

1.com

solutamente seguros de que nuestra decisin es correcta; por consiguiente, tendremos que aprendercmo manejar la incertidumbre en nuestra toma de decisiones. No podemos aceptar o rechazaruna hiptesis sobre un parmetro de poblacin slo por intuicin. Ms bien, necesitamosaprender cmo decidir objetivamente si aceptamos o rechazamos una corazonada, con base enla informacin de la muestra.

Se sacan grandes conclusionesLos estudiantes universitarios a menudo buscan anuncios que ofrecen ayuda para el aprendizaje. Unade las ms populares de estas ayudas es una combinacin de descripciones breves, una gua de estu-dio y un juego de preguntas para varios cursos. Los anuncios de estos artculos, con frecuencia, afir-man que se pueden obtener mejores calificaciones en los exmenes con menos tiempo de estudio.Supongamos que una gua de estudio para un curso de estadstica bsica est disponible a travs deuna organizacin que produce tales guas para 50 cursos diferentes. Si esta gua de estudio para es-tadstica bsica ha sido probada (y supongamos que adecuadamente), la compaa podra anunciar:ha sido probado estadsticamente que nuestras guas de estudio aumentan las calificaciones y dis-minuyen el tiempo de estudio. Desde luego que esta afirmacin es bastante cierta, pero slo en loque se refiere a la experiencia de estadstica bsica. Puede ser que no haya evidencia alguna con sig-nificado estadstico que establezca el mismo tipo de resultados para las otras 49 guas.

Otro producto puede anunciar que elimina la hierba silvestre que crece en el csped y puede afir-mar que el producto ha sido minuciosamente probado en cspedes reales. Aun si suponemos quese utilizaron efectivamente los procedimientos estadsticos adecuados durante las pruebas, tales afir-maciones siguen siendo grandes conclusiones. Supongamos que el terreno de prueba estaba enFlorida, y el csped con problemas se encuentra en Utah. Las diferencias de lluvia, fertilidad del sue-lo, contaminantes del aire, temperatura, horas de inactividad y condiciones de germinacin puedenvariar ampliamente entre estos dos lugares. Afirmar ciertos resultados para una prueba estadstica-mente vlida para un conjunto de condiciones de prueba completamente diferente es algo que no po-see valor alguno. Una prueba de este tipo no puede medir la efectividad en una amplia variedad decondiciones ambientales.

Ejercicios 8.1 8-1 Por qu es necesario que manejemos la incertidumbre en nuestra toma de decisiones, incluso cuando usa-

mos tcnicas estadsticas? 8-2 Tericamente, cmo probara la hiptesis de que una moneda no est alterada? O de que un dado no es-

t cargado? 8-3 Es posible que se acepte una hiptesis falsa? Cmo explicara esto? 8-4 Describa el proceso de prueba de hiptesis. 8-5 Cmo explicara que se tuviera una gran diferencia entre un parmetro de poblacin hipottico y un es-

tadstico si, en efecto, la hiptesis es cierta?

8.2 Conceptos bsicos en el procedimientode prueba de hiptesis

Antes de introducir los trminos y procedimientos estadsticos formales, analizaremos completa-mente nuestro problema del complejo deportivo que abre el captulo. Recordemos que es necesarioque las lminas de aluminio del techo tengan un grosor de 0.04 pulg y que sern insatisfactorias siresultan demasiado gruesas o demasiado delgadas. El contratista toma una muestra de 100 lminasy determina que el grosor medio de la muestra es 0.0408 pulg. Con base en su experiencia, sabe quela desviacin estndar de la poblacin es 0.004 pulg. Esta evidencia de muestra indica que el lotede 10,000 lminas de aluminio es adecuado para construir el techo del nuevo complejo deportivo?

Problema del complejo deportivo

Condiciones deprueba diferentes

Proyeccin excesiva

8.2 Conceptos bsicos en el procedimiento de prueba de hiptesis 321

www.

Matem

atica

1.com

Si suponemos que el grosor medio real es 0.04 pulg y sabemos que la desviacin estndar de lapoblacin es 0.004 pulg, qu tan probable es que obtengamos una media de la muestra de 0.0408 oms a partir de la poblacin? En otras palabras, si la media real es 0.04 pulg y la desviacin estn-dar es 0.004 pulg, cules son las posibilidades de obtener una media de la muestra que difie-ra de 0.04 pulg en 0.0008 pulg (= 0.0408 0.04) o ms?

Estas preguntas muestran que para determinar si la media de la poblacin es realmente 0.04 pulgdebemos calcular la probabilidad de que una muestra aleatoria con una media de 0.0408 pulg seaseleccionada de una poblacin con una de 0.04 pulg y una de 0.004 pulg. Esta probabili-dad indicar si es razonable observar una muestra como sta si la media de poblacin es real-mente 0.04 pulg. Si esta probabilidad es demasiado baja, debemos concluir que la afirmacin de lacompaa de aluminio es falsa y que el grosor medio de las lminas de aluminio no es 0.04 pulg.

Respondamos a la pregunta ilustrada en la figura 8-1: si la media de poblacin hipottica es 0.04pulg y la desviacin estndar de la poblacin es 0.004 pulg, cules son las posibilidades de obteneruna media de la muestra (0.0408 pulg) que difiera de 0.04 pulg en 0.0008 pulg? Primero, calcule-mos el error estndar de la media a partir de la desviacin estndar de la poblacin:

x [6-1]

0.0004 pulgA continuacin usamos la ecuacin 6-2 para descubrir que la media de nuestra muestra (0.0408 pulg)cae dos errores estndar a la derecha de la media hipottica de la poblacin:

z [6-2]

2 Errores estndar de la mediaUsando la tabla 1 del apndice, sabemos que 4.5% es la probabilidad total de que nuestra mediamuestral difiera de la media de poblacin en dos o ms errores estndar, esto es, la probabilidad deque la media de la muestra sea 0.0408 pulg o mayor, o 0.0392 pulg o menor es slo 4.5% (P(z 2o z 2) 2(0.5 0.4772) 0.0456 o alrededor de 4.5%). Con esta posibilidad tan baja,Parkhill podra concluir que no es probable que una poblacin con una media real de 0.04 pulgproduzca una muestra como sta. El supervisor del proyecto rechazara la afirmacin de la com-paa de aluminio respecto al grosor medio de las lminas.

En este caso, la diferencia entre la media de la muestra y la media hipottica de la poblacines demasiado grande, y la probabilidad de que la poblacin produzca una muestra aleatoriasemejante es demasiado baja. Por qu esta probabilidad de 4.5% es demasiado baja, o errnea, esun juicio que deben hacer los tomadores de decisiones. Ciertas situaciones demandan que los toma-dores de decisiones estn muy seguros respecto a las caractersticas de los elementos que se estnprobando, y en ese caso incluso 2% es demasiado alto para ser atribuible al azar. Otros procesos per-miten una libertad o variacin ms amplia, y el tomador de decisiones puede aceptar una hiptesiscon una probabilidad del 4.5% de variacin aleatoria. En cada situacin, es necesario determinar loscostos resultantes de tomar una decisin incorrecta y el nivel preciso de riesgo que estamos dispues-tos a correr.

En nuestro ejemplo, rechazamos el argumento de la compaa de techos de aluminio que dice quela media de la poblacin es 0.04 pulg. Pero, supongamos por un momento que la media de la pobla-

Riesgo de rechazo

El papel del tomadorde decisiones en la formulacin de hiptesis

Interpretacin de la probabilidad asociada con esta diferencia

0.0408 0.04

0.0004

x

x

0.004 pulg

10

0.004 pulg

100

n

Formulacin de la hiptesis


Clculo del error estndar de la media

www.

Matem

atica

1.com

cin fuera realmente 0.04 pulg. Si nos atuviramos a nuestra regla de rechazo de dos o ms erroresestndar (la probabilidad del 4.5% o menos en las colas de la figura 8-1), rechazaramos un lote delminas de aluminio en perfectas condiciones 4.5% de las veces. En consecuencia, nuestro estn-dar mnimo para una probabilidad aceptable, 4.5%, tambin es el riesgo que corremos de re-chazar una hiptesis que es cierta. En sta o cualquier otra toma de decisiones, no puede habertransacciones libres de riesgo.

8.2 Conceptos bsicos en el procedimiento de prueba de hiptesis 323

Aunque realizar pruebas de hiptesis seoye como un trmino estadstico formalsin relacin con la toma de decisiones denegocios, de hecho los administrado-

res proponen y prueban hiptesis todo el tiempo. Si baja-mos $1,500 el precio de este modelo de auto, venderemos50,000 de ellos este ao es una hiptesis. Para probarla,ser necesario esperar al final del ao y contar las ventas.

Las hiptesis administrativas se basan en la intuicin; elmercado decide si esa intuicin era correcta. Sugerencia:una prueba de hiptesis se refiere a hacer inferencias acer-ca de la poblacin a partir de una muestra muy pequea. Loms importante de las pruebas de hiptesis es que nos per-miten preguntarnos (y despus decidir) si es probable queuna poblacin como la que creemos que es sta produci-r una muestra como la que buscamos.

SUGERENCIASY

SUPOSICIONES

FIGURA 8-1

Probabilidad deque x difiera de la hipottica en 2 errores estndar

2.25% de reabajo la curva

2.25% de reabajo la curva

95.5%del rea

0.0392" 0.0396" 0.04" 0.0404" 0.0408"

x = 0.0004 pulg

Media hipotticade la poblacin

Mediade la muestra

2 x +2 x

s

s s

Ejercicios 8.2

Ejercicios de autoevaluacin

EA 8-1 Cuntos errores estndar alrededor del valor hipottico deben usarse para estar 99.44% seguros de quese acepta una hiptesis cuando es cierta?

EA 8-2 Un fabricante de automviles asegura que un modelo especfico rinde 28 millas por galn. La Agencia deProteccin Ambiental us una muestra de 49 autos de este modelo y encontr un media de la muestrade 26.8 millas por galn. De estudios anteriores se sabe que la desviacin estndar de la poblacin es 5millas por galn. Es razonable esperar (dentro de 2 errores estndar) que se puede seleccionar esa mues-tra si en realidad la media verdadera de la poblacin es 28 millas por galn?

Conceptos bsicos

8-6 Qu queremos decir cuando rechazamos una hiptesis con base en una muestra? 8-7 Explique por qu no se usa un solo nivel estndar de probabilidad para rechazar o aceptar en la prueba de

hiptesis. 8-8 Si rechazamos un valor hipottico porque difiere de un estadstico de la muestra en ms de 1.75 errores

estndar, cul es la probabilidad de que hayamos rechazado una hiptesis que de hecho es cierta? 8-9 Cuntos errores estndar alrededor del valor hipottico debemos usar para estar 98% seguros de que

aceptamos la hiptesis cuando es cierta?

www.

Matem

atica

1.com

Aplicaciones 8-10 El magnate deportivo y de los medios Ned Sterner est interesado en comprar el equipo de los Stalwarts

de Atlanta, si puede estar razonablemente seguro de que su manejo no ser demasiado costoso. Piensa quela asistencia promedio aproximada tendra que ser de 28,500 aficionados por juego para que la compra leresultara atractiva. Ned elige al azar 64 juegos en casa entre los realizados durante los cuatro aos ante-riores y encuentra, de las cifras reportadas en Sporting Reviews, que la asistencia promedio a estos juegosfue de 26,100 aficionados. Un estudio que encarg anteriormente al comprar un equipo mostr que la des-viacin estndar de la poblacin de asistentes a eventos similares haba sido bastante estable durante los10 aos anteriores, en alrededor de 6,000 aficionados. Utilizando dos errores estndar como el criterio dedecisin, debera Ned comprar el equipo de los Stalwarts? Puede pensar en alguna(s) razn(es) por lasque su conclusin tal vez no sea vlida?

8-11 La revista Computing World ha declarado que el propietario promedio de una computadora personal pa-sa 23.9 horas a la semana usando su mquina, con una desviacin estndar de 12.6 horas a la semana. Unmuestreo aleatorio de 81 suscriptores revel una media muestral de 27.2 horas por semana. Con base enesta muestra, es razonable concluir (usando dos errores estndar como criterio de decisin) que los sus-criptores de Computing World son distintos de los propietarios promedio de computadoras personales?

8-12 Una tienda de abarrotes ha empacado naranjas en bolsas especiales y asegura que una bolsa rinde 2.5 li-tros de jugo. Despus de seleccionar al azar 42 bolsas, el empacador encontr que la produccin prome-dio de jugo por bolsa era 2.2 litros. Datos histricos establecen que la desviacin estndar de la poblacines de 0.2 litros. Usando esta muestra y un criterio de decisin de 2.5 errores estndar, se puede concluirque la afirmacin de la tienda es correcta?

Soluciones a los ejercicios de autoevaluacinEA 8-1 Para dejar una probabilidad de 1 0.9944 0.0056 en las colas, el valor absoluto de z debe ser mayor o

igual que 2.77, de manera que el intervalo debe ser 2.77 errores estndar alrededor del valor hipottico.EA 8-2 5 n 49 x 26.8 28

2 x 2/n 28 2(5)/49 28 1.429 (26.571, 29.429)Dado que x 26.8 26.57, es razonable obtener esos resultados de la muestra si es realmente 28 mpg.

8.3 Prueba de hiptesisEn una prueba de hiptesis, debemos establecer el valor supuesto o hipottico del parmetro de po-blacin antes de comenzar a tomar la muestra. La suposicin que deseamos probar se conoce comohiptesis nula y se simboliza H0, o H sub-cero.

Supongamos que deseamos probar la hiptesis de que la media de la poblacin es igual a 500. Ensmbolos se escribe como sigue y se lee la hiptesis nula es que la media de poblacin es igual a 500:

H0: 500El trmino hiptesis nula surge de las primeras aplicaciones agrcolas y mdicas de la estadstica.Con el fin de probar la efectividad de un nuevo fertilizante o de una nueva medicina, la hiptesis quese probaba era que no hubo efecto, es decir, no hubo diferencia entre las muestras tratadas y las notratadas.

Si en un problema usramos un valor hipottico de una media de poblacin, en smbolos sera:H0

Esto se lee, valor hipottico de la media de la poblacin.Si los resultados de nuestra muestra no respaldan la hiptesis nula, debemos concluir que se cum-

ple alguna otra cosa. Siempre que rechazamos la hiptesis, la conclusin que s aceptamos se lla-ma hiptesis alternativa cuyo smbolo es H1 (H sub-uno). Para la hiptesis nula:

H0: 200 (Se lee: la hiptesis nula es que la media de poblacin es igual a 200)

Por qu se llamahiptesis nula?

Declaracin formalde la hiptesis nula


www.

Matem

atica

1.com

consideraremos tres hiptesis alternativas posibles:

H1: 200 La hiptesis alternativa es que la media de poblacin no es igual a 200 H1: 200 La hiptesis alternativa es que la media de poblacin es mayor que 200 H1: 200 La hiptesis alternativa es que la media de poblacin es menor que 200

Interpretacin del nivel de significanciaEl propsito de la prueba de hiptesis no es cuestionar el valor calculado del estadstico de lamuestra, sino hacer un juicio respecto a la diferencia entre ese estadstico y un parmetrohipottico de la poblacin. El siguiente paso despus de establecer las hiptesis nula y alternativa,entonces, consiste en decidir qu criterio utilizar para confirmar si se acepta o se rechaza la hipte-sis nula.

En nuestro ejemplo del complejo deportivo, decidimos que una diferencia observada entre la me-dia de la muestra x y la media hipottica de la poblacin H0 tena slo 4.5%, o 0.045, de probabili-dad de ocurrir. Por tanto, rechazamos la hiptesis nula de que la media de la poblacin fuera de 0.04pulg (H0: 0.04 pulg). En trminos estadsticos, el valor 0.045 se conoce como nivel de signifi-cancia.

Qu pasa si probamos una hiptesis con 5% de nivel de significancia? Esto quiere decir que re-chazaremos la hiptesis nula si la diferencia entre el estadstico y el parmetro hipottico de la po-blacin es tan grande que sta u otra diferencia mayor ocurrir, en promedio, slo cinco o menos ve-ces en cada 100 muestras, cuando el parmetro hipottico de la poblacin es correcto. Si suponemosque la hiptesis es correcta, entonces el nivel de significancia indicar el porcentaje de mediasmuestrales que est fuera de ciertos lmites. (Recuerde que en estimacin, el nivel de confianzaindicaba el porcentaje de medias muestrales que caan dentro de los lmites de confianza definidos.)

La figura 8-2 ilustra cmo interpretar un nivel de significancia del 5%. Observe que el 2.5% delrea bajo la curva est localizado en cada cola. De la tabla 1 del apndice, podemos determinar queel 95% de toda el rea bajo la curva est incluido en un intervalo que se extiende 1.96x a cada la-do de la media hipottica. As pues, en el 95% del rea no hay diferencia significativa entre el valorobservado del estadstico de la muestra y el valor hipottico del parmetro de poblacin. En el 5%restante (las regiones sombreadas de la figura 8-2) s existe una diferencia significativa.

La figura 8-3 examina este mismo ejemplo de otra manera. Aqu, 0.95 del rea bajo la curva caeen la regin donde aceptaramos la hiptesis nula. Las dos partes sombreadas bajo la curva, que re-presentan un total del 5% del rea, son las regiones donde rechazaramos la hiptesis nula.

Resulta conveniente hacer un advertencia en este punto. Aunque el estadstico de la figura 8-3 caeen la regin no sombreada (la regin que comprende 95% del rea bajo la curva), esto no pruebaque nuestra hiptesis nula (H0) sea cierta; simplemente no nos proporciona evidencia estads-

Las hiptesis sonaceptadas, no demostradas

Tambin llamadarea de aceptacinde la hiptesis nula

rea en la que noexiste una diferenciasignificativa

Funcin del nivel designificancia

Objetivo de la pruebade hiptesis

Declaracin formalde la hiptesis alternativa

8.3 Prueba de hiptesis 325

FIGURA 8-2

Regiones dediferenciasignificativa y dediferencia nosignificativa paraun nivel designificancia del 5%

0.025 del rea 0.95 del rea

H0

0.025 del rea

Regin en la que no hay una diferenciasignificativa entre el estadstico de la muestra y el parmetro hipottico de la poblacin

En estas dos regiones, s hay una diferencia significativa entre elestadstico de muestral y el parmetro hipottico de la poblacin

H01.96 x H0

+1.96 xs s

m

m m

www.

Matem

atica

1.com

tica para rechazarla. Por qu? Porque la nica forma en que puede aceptarse la hiptesis con se-guridad es que conozcamos el parmetro de poblacin y, desafortunadamente, esto no es posible. Porconsiguiente, siempre que afirmemos que aceptamos la hiptesis nula, en realidad lo que queremosdecir es que no hay suficiente evidencia estadstica para rechazarla. El empleo del trmino aceptar,en vez de no rechazar, se ha convertido en el estndar. Significa simplemente que cuando losdatos de la muestra no hacen que rechacemos una hiptesis nula, nos comportamos como si esahiptesis fuera cierta.

Seleccin de un nivel de significanciaNo existe un nivel de significancia nico estndar o universal para probar hiptesis. En algunos ca-sos, se utiliza un nivel de significancia del 5%. Ciertos resultados de investigaciones publicadosa menudo prueban hiptesis para un nivel de significancia del 1%. Es posible probar una hiptesis acualquier nivel de significancia. Pero recordemos que nuestra eleccin del estndar mnimo para unaprobabilidad aceptable, o el nivel de significancia, es tambin el riesgo que corremos al rechazaruna hiptesis nula cuando es cierta. Cuanto ms alto sea el nivel de significancia que utilizamospara probar una hiptesis, mayor ser la probabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando escierta.

Al examinar este concepto, nos referiremos a la figura 8-4. sta ilustra una prueba de hiptesispara tres niveles de significancia: 0.01, 0.10 y 0.50. Tambin hemos indicado la ubicacin de la mis-ma media de muestra x en cada distribucin. En las grficas (a) y (b), aceptaramos la hiptesis nulade que la media de poblacin es igual al valor hipotetizado. Pero observe que en la grfica (c), recha-zaramos esta misma hiptesis nula. Por qu? Nuestro nivel de significancia de 0.50 en esta partees tan alto que rara vez aceptaramos la hiptesis nula cuando no es cierta, pero, al mismo tiempo,con frecuencia la rechazaramos aunque lo sea.

Errores de tipo I y tipo IILos especialistas en estadstica usan definiciones y smbolos especficos para el concepto ilustradoen la figura 8-4. Rechazar una hiptesis nula cuando es cierta se denomina error tipo I, y su proba-bilidad (que, como hemos visto, es tambin el nivel de significancia de la prueba) se simboliza con

(alfa). Por otro lado, aceptar una hiptesis nula cuando es falsa se le llama error tipo II, y suprobabilidad se simboliza con (beta). Existe una relacin entre estos dos tipos de errores: la pro-babilidad de cometer un tipo de error puede reducirse slo si estamos dispuestos a aumentar la proba-bilidad de cometer el otro tipo de error. Observe en la grfica (c) de la figura 8-4, que la regin deaceptacin es bastante pequea (0.50 del rea bajo la curva). Con una regin de aceptacin as de pe-quea, rara vez aceptaremos una hiptesis nula cuando no sea cierta, pero como precio de esta segu-

Definicin de loserrores tipo I y tipo II

Trueque al escogerun nivel designificancia


FIGURA 8-3

Un nivel de signifi-cancia del 5%, conregiones designa-das de aceptaciny rechazo


H0

0.025 del rea

Aceptamos la hiptesis nula si el estadsticocae en esta regin (no rechazamos H0)

Rechazamos la hiptesis nula si el estadstico cae en estasdos regiones

H01.96 x H0

+1.96 xs sm m

m

www.

Matem

atica

1.com

ridad, a menudo rechazaremos una hiptesis nula cuando sea cierta. Puesto de otra manera, con elfin de obtener una baja, tendremos que tolerar una alta. Para lidiar con este trueque o intercam-bio en situaciones personales y profesionales, los tomadores de decisiones deciden el nivel de signi-ficancia adecuado examinando los costos o la penalizacin vinculados con ambos tipos de error.

Suponga que cometer el error tipo I (rechazar una hiptesis nula cuando es cierta) implica el tiem-po y los problemas de volver a trabajar un lote de compuestos qumicos que debieran haberse acepta-do. Al mismo tiempo, cometer un error tipo II (aceptar una hiptesis nula cuando es falsa) significaarriesgarse a que todo un grupo de consumidores de este compuesto qumico se envenenen. Evi-dentemente, la administracin de esta compaa preferir el error tipo I sobre el de tipo II y, comoresultado, establecer niveles de significancia muy altos en sus pruebas para obtener betas () bajas.

Suponga, por otra parte, que cometer un error tipo I implica desarmar todo un motor en la fbri-ca, pero cometer un error tipo II implica que los distribuidores de automviles realicen reparacionesde garanta relativamente baratas. Entonces es ms probable que el fabricante prefiera el error tipoII y que establezca menores niveles de significancia en sus pruebas.

Decisin de qu tipo de distribucin usaren la prueba de hiptesisDespus de decidir el nivel de significancia a utilizar, nuestra siguiente tarea en la prueba de hipte-sis consiste en determinar la distribucin de probabilidad adecuada. Tenemos la opcin de escogerentre la distribucin normal, tabla 1 del apndice, y la distribucin t, tabla 2 del apndice. Las reglaspara elegir la distribucin adecuada son similares a las que encontramos en el captulo 7 sobre es-timacin. La tabla 8-1 resume las situaciones en las que es posible usar la distribucin normal y ladistribucin t al hacer pruebas de medias. Ms adelante, en este captulo, examinaremos las distri-buciones apropiadas para probar hiptesis sobre proporciones.

Recuerde otra regla que debe cumplirse al probar el valor hipottico de una media. Al igual queen la estimacin, utilice el multiplicador de poblacin finita siempre que la poblacin sea finita entamao, el muestreo se haga sin reemplazo y la muestra sea de ms del 5% de la poblacin.

Uso del multiplicadorde poblacin finita

Seleccin de ladistribucin correctaantes de la prueba

Preferencia por elerror tipo II

Preferencia por elerror tipo I


FIGURA 8-4

Tres niveles designificanciadistintos


H0

0.005 del rea

(a) Nivel de significancia 0.01

x


H0

0.05 del rea

(b) Nivel de significancia 0.10


H0

0.25 del rea

(c) Nivel de significancia 0.50

x

x

m

m

m

www.

Matem

atica

1.com

Pruebas de hiptesis de dos colas y de una colaEn las pruebas de las siguientes medias hipotticas de poblacin, ilustraremos pruebas de dos colasy de una cola. Estos nuevos trminos requieren explicacin. Una prueba de dos colas rechaza la hi-ptesis nula si la media de muestra es significativamente mayor o menor que la media hipottica dela poblacin. Por tanto, en una prueba de dos colas, existen dos regiones de rechazo. La figura 8-5ilustra esto.

Una prueba de dos colas es apropiada cuando la hiptesis nula es H0 (en donde H0 es al-gn valor especificado) y la hiptesis alternativa es H0. Suponga que un fabricante de focosdesea producirlos con una vida media de H0 1,000 horas. Si el tiempo de vida es ms cor-to, perder clientes en favor de su competencia; si el tiempo de vida es ms largo, tendr un costo deproduccin muy alto porque los filamentos sern excesivamente gruesos. Para verificar que su proce-so de produccin sea adecuado, toma una muestra de la produccin con el fin de probar la hiptesisH0: 1,000. Como no quiere desviarse significativamente de 1,000 horas en ninguna direccin,la hiptesis alternativa adecuada es H1: 1,000, y utiliza una prueba de dos colas. Esto es, recha-za la hiptesis nula si la vida media de los focos de la muestra est muy por arriba de 1,000 horas omuy por abajo de 1,000 horas.

Sin embargo, existen situaciones en las que no es apropiada una prueba de dos colas y debemosusar una prueba de una cola. Consideremos el caso de un mayorista que compra focos al fabricantedel ejemplo anterior. El mayorista los compra en grandes lotes y no desea aceptar un lote de focos amenos que su vida media sea 1,000 horas o ms. Cada vez que llega una remesa, el mayorista prue-ba una muestra para decidir si la acepta o no. La compaa rechazar el envo slo si le parece quesu vida media es menor que las 1,000 horas. Si cree que los focos son mejores que lo esperado (conuna vida media superior a 1,000 horas), es claro que no rechazar la remesa, porque la vida ms lar-ga no tiene un costo adicional. As que las hiptesis del mayorista son H0: 1,000 horas yH1: 1,000 horas. Rechaza H0 slo si la vida media de los focos muestreados es significativa-mente menor que 1,000 horas. La figura 8-6 ilustra esta situacin. En ella podemos ver por qu estaprueba se conoce como prueba de cola izquierda (o prueba de cola inferior).

En general, se utiliza una prueba de cola izquierda (de cola inferior) si las hiptesis son H0: H0 y H1: H0. En este caso, la evidencia muestral con la media de la muestra significativamen-te menor que la media hipottica de la poblacin es la que nos lleva a rechazar la hiptesis nula enfavor de la hiptesis alternativa. Dicho de otro modo, la regin de rechazo est en la cola inferior (co-la izquierdo) de la distribucin de la media muestral, y sa es la razn por la que la llamamos prue-ba de cola inferior.

La prueba de cola izquierda es uno de los dos tipos de pruebas de una cola. Como quiz habradivinado, el otro tipo de prueba de una cola es una prueba de cola derecha (o prueba de cola superior).Una prueba de cola superior se utiliza cuando las hiptesis son H0: H0 y H1: H0. Slo losvalores de la media de la muestra que son significativamente mayores que la media hipottica de lapoblacin harn que rechacemos la hiptesis nula en favor de la hiptesis alternativa. Esta prueba sedenomina prueba de cola superior porque la regin de rechazo est en la cola superior de la distribu-cin de la media muestral.

Pruebas de cola derecha

Pruebas de cola izquierda

En ocasionesdebemos usar unaprueba de una cola

Descripcin de unaprueba de hiptesisde dos colas


Condiciones para usarlas distribucionesnormal y t en la pruebade hiptesis sobremedias

Tabla 8-1 Cuando se conoce la Cuando no se conocedesviacin estndar la desviacin estndar

de la poblacin de la poblacin

El tamao de muestra n es mayor que 30 Distribucin normal, Distribucin normal,tabla z tabla z

El tamao de muestra n es 30 o menos Distribucin normal, Distribucin t,y suponemos que la poblacin es normal tabla z tabla to aproximadamente normal

www.

Matem

atica

1.com


FIGURA 8-5

Prueba dehiptesis de doscolas, que muestralas dos regiones de rechazo

H0

Si la media de la muestra cae en esta regin,aceptamos la hiptesis nula

Rechazamos la hiptesis nula s la media de la muestra caeen cualquiera de estas dos regiones

m

1,000 horas

Si la media de muestra cae en esta regin, aceptamos la hiptesis nula

Si la media de muestra caeen esta regin, rechazamosla hiptesis nula

FIGURA 8-6

Pruebas de colaizquierda (pruebade cola inferior)con la regin derechazo en el ladoizquierdo (ladoinferior)

FIGURA 8-7

Prueba de coladerecha (de cola superior)

$100

Si la media de muestra caeen esta regin, rechazamosla hiptesis nula

Si la media de muestra cae en esta regin,aceptamos la hiptesis nula

La figura 8-7 ilustra la siguiente situacin; requiere el uso de una prueba de cola superior. Un ad-ministrador ha pedido a sus agentes de ventas que observen un lmite en sus gastos de viaje. El admi-nistrador espera mantener los gastos en un promedio de $100 diarios por vendedor. Un mes despusde imponer el lmite, se toma una muestra de gastos diarios entregados para ver si se ha observadoel lmite. La hiptesis nula es H0: $100.00, pero al administrador slo le importan los gastos ex-cesivamente altos. Por tanto, la hiptesis alternativa apropiada en este caso es H1: $100.00, y seutiliza una prueba de cola superior. La hiptesis nula se rechaza (y se toman medidas correctivas)slo si la media de la muestra es significativamente mayor que $100.00.

www.

Matem

atica

1.com

Por ltimo, debemos recordarle de nuevo, que en cada ejemplo de pruebas de hiptesis,cuando aceptamos una hiptesis nula con base en la informacin de la muestra, en realidad es-tamos diciendo que no hay evidencia estadstica para rechazarla. No estamos afirmando quela hiptesis nula sea cierta. La nica forma de probar una hiptesis nula es conocer el parmetro,y eso no es posible cuando se trata de muestreo. As, aceptamos la hiptesis nula y nos comporta-mos como si fuera cierta, simplemente porque no podemos encontrar evidencia para rechazarla.

El aceptar H0 nogarantiza que H0sea cierta


Advertencia: no debe usar los resultadosde la muestra para decidir entre usar unaprueba de dos colas, de cola superior ode cola inferior. Antes de recolectar los

datos, se determina la forma de la prueba a partir de lo quepiensa o desea detectar el tomador de decisiones. Sugeren-cia: si los investigadores de mercados sospechan que las

personas que compran cereal escarchado tambin compranms azcar que quienes compran cereales sin endulzar, in-tentarn verificar su creencia sometiendo los datos a unaprueba de cola superior. En caso de que la media de lamuestra (sorprendentemente) fuera menor que el valor hi-pottico, esto no la convierte en una prueba de cola infe-rior, es slo que los datos no apoyan la creencia original.

SUGERENCIASY

SUPOSICIONES

Ejercicios 8.3


EA 8-3 Para los siguientes casos, especifique qu distribucin de probabilidad usar en una prueba de hiptesis:a) H0: 27, H1: 27, x 33, 4, n 25.b) H0: 98.6, H1: 98.6, x 99.1, 1.5, n 50.c) H0: 3.5, H1: 3.5, x 2.8, 0.6, n 18.d) H0: 382, H1: 382, x 363, 68, n 12.e) H0: 57, H1: 57, x 65, 12, n 42.

EA 8-4 Martha Inman, una ingeniera de seguridad en carreteras, decide probar la capacidad de carga de un puen-te que tiene 20 aos. Dispone de una gran cantidad de datos de pruebas similares en el mismo tipo depuente. Qu es adecuado, una prueba de una o de dos colas? Si la capacidad de carga mnima de es-te puente debe ser 10 toneladas, cules son las hiptesis nula y alternativa?

Conceptos bsicos

8-13 Formule las hiptesis nula y alternativa para probar si la nevada anual promedio en Buffalo, Nueva York,excede 45 pulg.

8-14 Describa qu representan normalmente las hiptesis nula y las alternativa en el proceso de prueba de hi-ptesis.

8-15 Defina el trmino nivel de significancia. 8-16 Defina los errores tipo I y tipo II. 8-17 En un juicio, la hiptesis nula es que un individuo es inocente de cierto crimen. Preferir el sistema le-

gal cometer un error tipo I o un error tipo II con esta hiptesis? 8-18 Cul es la relacin entre el nivel de significancia de una prueba y el error tipo I? 8-19 Si su objetivo es aceptar la hiptesis nula 36.5, con 96% de certeza cuando es cierta, y nuestro tama-

o de muestra es 50, grafique las regiones de aceptacin y rechazo para las siguientes hiptesis alterna-tivas:a) 36.5. b) 36.5.c) 36.5.

8-20 Para los siguientes casos, especifique qu distribucin de probabilidad debe usarse en una prueba de hi-ptesis:a) H0: 15, H1: 15, x 14.8, 30, n 35.b) H0: 9.9, H1: 9.9, x 10.6, 2.3, n 16.

www.

Matem

atica

1.com

c) H0: 42, H1: 42, x 44, 4.0, n 10.d) H0: 148, H1: 148, x 152, 16.4, n 29.e) H0: 8.6, H1: 8.6, x 8.5, 0.15, n 24.

8-21 Su hiptesis nula es que la batera de un marcapasos tiene una vida promedio de 300 das, con una hip-tesis alternativa de que la vida de la batera es ms de 300 das. Usted es ingeniero de control de calidaddel fabricante de bateras.a) Preferira cometer un error tipo I o un error tipo II?b) Basndose en la respuesta al inciso anterior, debera usar un nivel de significancia alto o bajo?

8-22 En qu condiciones es apropiado utilizar una prueba de una cola? Y una de dos? 8-23 Si usted decidi que una prueba de una cola es la apropiada, cmo decide si debe ser una prueba de co-

la inferior o una de cola superior?

Aplicaciones

8-24 El departamento de estadstica instal, el ao pasado, luces, calentadores y aire acondicionado eficientesen el consumo de energa. Ahora desean determinar si el consumo promedio mensual de energa ha dis-minuido. Deben realizar una prueba de una o de dos colas? Si el consumo promedio mensual anterior era3,124 kilowatts hora, cules son la hiptesis nula y alternativa?

8-25 El doctor Ross Darrow opina que la nicotina de los cigarros ocasiona que los fumadores tengan ritmoscardiacos promedio ms acelerados que los no fumadores. Tambin piensa que los fumadores ansan lanicotina de los cigarros ms que slo fumar por la satisfaccin fsica del acto y, en consecuencia, que elfumador promedio fumar ms cigarros al da si cambia de una marca con un alto contenido de nicotinaa otra con un contenido menor.a) Suponga que Ross sabe que los no fumadores tienen un ritmo cardiaco de 78 pulsaciones por minu-

to. Cules son las hiptesis nula y alternativa adecuadas para probar su primera opinin?b) Durante los tres meses anteriores, ha estado observando una muestra de 48 individuos que fuman un

promedio diario de 15 cigarros con alto contenido de nicotina. Les acaba de cambiar la marca de ci-garros por otra con un bajo contenido de nicotina. Establezca las hiptesis nula y alternativa para pro-bar su segunda opinin.

Soluciones a los ejercicios de autoevaluacin

EA 8-3 a) t con 24 gl. b) Normal. c) t con 17 gl. d) Normal. e) t con 41 gl (entonces se usa una tablanormal).

EA 8-4 La ingeniera estar interesada en si un puente de esta edad puede soportar las capacidades mnimas decarga necesarias desde el punto de vista de seguridad. Entonces, quiere que su capacidad sea mayor quecierto nivel mnimo y usar una prueba de una cola (especficamente una prueba de cola superior o dere-cha). Las hiptesis son:

H0: 10 toneladas H1: 10 toneladas

8.4 Pruebas de hiptesis de medias cuando se conoce la desviacin estndar de la poblacin

Pruebas de dos colas de medias: prueba en la escalade la variable originalUn fabricante surte los ejes traseros para los camiones del Servicio Postal de Estados Unidos. Estosejes deben soportar 80,000 libras por pulgada cuadrada en pruebas de carga, pero un eje excesiva-mente fuerte eleva los costos de produccin de manera significativa. La larga experiencia indica quela desviacin estndar de la resistencia de sus ejes es 4,000 libras por pulgada cuadrada. El fabrican-

8.4 Prueba de hiptesis de medias cuando se conoce la desviacin estndar de la poblacin 331

www.

Matem

atica

1.com

te selecciona una muestra de 100 ejes de la produccin, los prueba y encuentra que la capacidad decarga media de la muestra es 79,600 libras por pulgada cuadrada. Escritos en smbolos, los datos eneste caso son

H0 80,000 Valores hipotetizados de la media de poblacin 4,000 Desviacin estndar de la poblacinn 100 Tamao de muestrax 79,600 Media de la muestra

Si el fabricante de ejes utiliza un nivel de significancia () de 0.05 en la prueba, satisfarn losejes sus requerimientos de carga? En smbolos, podemos establecer el problema como:

H0: 80,000 Hiptesis nula: la media real es 80,000 libras por pulgada cuadradaH1: 80,000 Hiptesis alternativa: la media real no es 80,000 libras por pulgada cuadrada

0.05 Nivel de significancia para probar esta hiptesis

Como conocemos la desviacin estndar de la poblacin, y como el tamao de la poblacin essuficientemente grande para considerarlo infinito, podemos utilizar la distribucin normal en nues-tra prueba. Primero, calculamos el error estndar de la media usando la ecuacin 6-1:

x [6-1]

400 libras por pulgada cuadrada Error estndar de la media

La figura 8-8 ilustra este problema, muestra el nivel de significancia de 0.05 como las dos regionessombreadas que contienen, cada una, 0.025 del rea. La regin de aceptacin de 0.95 contiene dosreas iguales de 0.475 cada una. De la tabla de la distribucin normal (tabla 1 del apndice) pode-mos ver que el valor z apropiado para 0.475 del rea bajo la curva es 1.96. Ahora podemos determi-nar los lmites de la regin de aceptacin:

H0 1.96x 80,000 1.96(400) 80,000 784 80,784 libras por pulgada cuadrada Lmite superior

Ilustracin del problema

Determinacin de loslmites de la reginde aceptacin

4,000

10

4,000100

n

Clculo del errorestndar de la media

Cmo plantear el problema ensmbolos


FIGURA 8-8

Prueba de hipte-sis de dos colas alnivel de significan-cia de 0.05


H01.96 x H0

+1.96 x


H0 = 80,000

m

m

ms s

www.

Matem

atica

1.com

yH0 1.96x 80,000 1.96(400)

80,000 784 79,216 libras por pulgada cuadrada Lmite inferior

Observe que hemos definido los lmites de la regin de aceptacin (80,784 y 79,216) y la media dela muestra (79,600), y que se ilustran en la figura 8-9 en la escala de la variable original (libras porpulgada cuadrada). En la siguiente seccin veremos otra forma de definir los lmites de la regin deaceptacin y el valor de la media de la muestra. Evidentemente, la media de la muestra cae dentrode la regin de aceptacin; el fabricante debe aceptar la hiptesis nula porque no hay diferencia sig-nificativa entre la media hipottica de 80,000 y la media observada de los ejes de la muestra. Conbase en esta muestra, el fabricante debe aceptar que la corrida de produccin satisface los requeri-mientos de carga.

Prueba de hiptesis usando la escala estandarizadaEn la prueba de hiptesis que acabamos de concluir se requirieron dos nmeros para tomar la deci-sin: un valor observado calculado a partir de la muestra, y un valor crtico que define la fronteraentre las regiones de aceptacin y de rechazo. Veamos con cuidado cmo obtuvimos ese valor critico.Despus de establecer el nivel de significancia de 0.05, buscamos en la tabla 1 del apndice, ladistribucin de probabilidad normal estndar, para encontrar que 1.96 son los valores z que deja-ban 0.025 de probabilidad en cada extremo de la distribucin.

Recordemos nuestro anlisis de las variables normales estandarizadas en el captulo 5. En vez demedir la variable en sus unidades originales, la variable estandarizada z nos dice a cuntas desviacio-nes estndar arriba (z 0) o abajo (z 0) de la media se encuentra nuestra observacin. Entonceshay dos escalas de medicin, la escala original o sin procesar y la escala estandarizada. La figura8-10 es igual a la figura 8-9, pero incluye ambas escalas. Observe que nuestra media muestralde 79,600 libras por pulgada cuadrada est dada en la escala sin procesar, pero los valores crticos z de1.96 estn dados en la escala estandarizada. Como estos dos nmeros se dan en dos escalas dis-tintas, no podemos compararlos directamente cuando probamos nuestras hiptesis. Debemosconvertir uno de ellos a la escala del otro.

Hicimos nuestra prueba de hiptesis en la escala original al convertir los valores z crticos de1.96 a los valores crticos de x en la escala original. Entonces, como el valor observado de x(79,600) cay entre los lmites inferior y superior de la regin de aceptacin (79,216 y 80,784), acep-tamos la hiptesis nula. En lugar de convertir los valores crticos z a la escala original, para ob-

Conversin del valorobservado a la escalaestandarizado

Interpretacin de los resultados


FIGURA 8-9

Prueba dehiptesis de doscolas al nivel designificancia de0.05; muestra la regin deaceptacin y la media de lamuestra

Media de muestra de79,600 libras por pulgada cuadrada

80,784H0 = 80,00079,216

Regin de aceptacinAceptamos H0 si el valor de la muestra

est en esta regin

xm

www.

Matem

atica

1.com

tener nmeros directamente comparables con el valor observado de x, podramos haber con-vertido nuestro valor observado de x a la escala estandarizada, utilizando la ecuacin 6-2 paraobtener un valor z observado, un nmero directamente comparable con los valores crticos z:

z

1.00

La figura 8-10 tambin ilustra este valor observado en la escala estandarizada. Observe que el va-lor cae entre 1.96 de los lmites inferior y superior de la regin de aceptacin de esta escala. Unavez ms concluimos que se debe aceptar H0: el fabricante debe aceptar que la corrida de produccinrene los requisitos de carga.

Cul es la diferencia entre los dos mtodos que acabamos de utilizar para probar nuestras hip-tesis? Slo en que definimos las unidades (o escala de medicin) de manera distinta en cada mto-do. Sin embargo, los dos mtodos siempre llevarn a las mismas conclusiones. Algunas perso-nas se sienten mejor usando la escala de la variable original; otras prefieren la estandarizada, queacabamos de explicar. Los resultados de la mayora de los paquetes estadsticos de cmputo usan laescala estandarizada. En lo que resta del captulo y en el captulo 9, haremos las pruebas usando la es-cala estandarizada. Otra sugerencia: utilice el mtodo que le resulte ms cmodo.

El proceso de cinco pasos para la prueba de hiptesisusando la escala estandarizadaLa tabla 8-2 resume el proceso de cinco pasos que utilizaremos en el resto de este captulo y en to-do el captulo 9 para probar hiptesis.

Prueba de una cola para las mediasPara una prueba de una cola para una media, suponga que un hospital usa grandes cantidades de dosisenvasadas de un medicamento particular. La dosis individual de esta medicina tiene 100 cm3 (100 cc).

En qu difieren losdos mtodos?

79,600 80,000

400

x H0x


FIGURA 8-10

Prueba dehiptesis de doscolas al nivel designificancia de0.05, que muestrala regin deaceptacin y lamedia de lamuestra en lasescalas sinprocesar yestandarizada

Media de muestra de79,600 libras por pulgada cuadrada

80,784H0 = 80,00079,216

Regin de aceptacinAceptamos H0 si el valor de la muestra

est en esta regin

x (Escala sin procesar)

1.9601.001.96Valorcrtico z

Valorcrtico z

Media de lamuestra estandarizada

z = (Escala estandarizada) x

x

m

m

s

El error estndar de lamedia de la ecuacin 6-1 La media de la muestra est

a un error estndar abajo de la media de la poblacin

www.

Matem

atica

1.com

La accin del medicamento es tal que el cuerpo tolera dosis excesivas sin sufrir dao. Por otra par-te, las dosis insuficientes no producen el efecto mdico deseado e interfieren con el tratamiento delpaciente. El hospital ha adquirido la cantidad de medicamento que necesita al mismo fabricante du-rante varios aos y sabe que la desviacin estndar de la poblacin es 2 cc. El hospital inspecciona,aleatoriamente, 50 dosis, tomadas de un envo muy grande y encuentra que la media de estas dosises 99.75 cc.

H0 l00 Valores hipotticos de la media de la poblacin 2 Desviacin estndar de la poblacinn 50 Tamao de la muestrax 99.75 Media de la muestra

Si el hospital establece un nivel de significancia de 0.10 y nos pregunta si las dosis de esta entre-ga son demasiado pequeas, cmo podemos hallar la respuesta?

Para empezar, podemos expresar el problema en smbolos:

H0: 100 Hiptesis nula: la media de las dosis de la remesa es 100 ccH1: 100 Hiptesis alternativa: la media es menor que 100 cc

0.10 Nivel de significancia para probar esta hiptesis

Como conocemos la desviacin estndar de la poblacin y n es mayor que 30, podemos utilizarla distribucin normal. De la tabla 1 del apndice podemos determinar que el valor de z para el 40%del rea bajo la curva es 1.28, de modo que el valor crtico para la prueba de cola inferior es 1.28.

El hospital desea saber si las dosis reales son de 100 cc o si, por el contrario, las dosis son dema-siado pequeas. El hospital debe determinar que las dosis contienen ms de una cierta cantidad, odebe rechazar el envo. sta es una prueba de cola izquierda, que se ilustra en la figura 8-11. Obser-ve que la regin sombreada corresponde al nivel de significancia de 0.10. Tambin note que la re-gin de aceptacin consta del 40% en el lado izquierdo de la distribucin y todo el lado derecho(50%), para un rea total del 90%.

Ahora podemos calcular el error estndar de la media, utilizando la desviacin estndar de la po-blacin que conocemos y la ecuacin 6-1 (debido a que el tamao de poblacin es suficientementegrande para considerarla infinito):

x [6-1]

0.2829 cc Error estndar de la media

27.07

250

n

Paso 3: Calcule el error estndar y estandarice elestadstico muestral

Paso 2: Elija ladistribucinapropiada yencuentre el valorcrtico

Paso 1: Establezcasus hiptesis, tipo deprueba y nivel designificancia


Resumen del proceso decinco pasos

Tabla 8-2 Paso Accin

1. Decida si sta es una prueba de dos colas o de una. Establezca sus hiptesis. Seleccione un nivel designificancia apropiado para esta decisin.

2. Decida qu distribucin (t o z) es la adecuada (vea la tabla 8-1) y encuentre el (los) valor(es) crtico(s) para elnivel de significancia elegido en la tabla adecuada.

3. Calcule el error estndar del estadstico muestral. Use el error estndar para convertir el valor observado delestadstico en un valor estandarizado.

4. Bosqueje la distribucin y marque la posicin del valor de la muestra estandarizado y del valor o valorescrticos para la prueba.

5. Compare el valor del estadstico muestral estandarizado con el (los) valor(es) crtico(s) para esta prueba einterprete el resultado.

www.

Matem

atica

1.com

Ahora usamos la ecuacin 6-2 para estandarizar la media de la muestra, x, restando H0, la mediahipottica, y dividiendo entre x, el error estndar de la media:

z [6-2]

0.88

Al colocar el valor estandarizado en la escala z se observa que esta media muestral cae de llenoen la regin de aceptacin, como se muestra en la figura 8-12,

Por tanto, el hospital debe aceptar la hiptesis nula, porque la media observada de la muestra noes significativamente menor que la media hipottica de 100 cc. Con base en esta muestra de 50 do-sis, el hospital debe concluir que las dosis de la entrega son suficientes.

Paso 4: Bosqueje ladistribucin y sealeel valor de muestra y el valor crtico

Paso 5: Interprete el resultado

99.75 100

0.2829

x H0x


FIGURA 8-11

Prueba dehiptesis de colaizquierda a un nivel designificancia de 0.10

0.10 del rea

0z


Valor crticoz = 1.28

FIGURA 8-12

Prueba dehiptesis de colaizquierda al nivelde significancia de0.10; muestra laregin deaceptacin y lamedia muestralestandarizada 0

Regin de aceptacinSe acepta H0 si el valor de la muestra est en esta regin

Media muestral estandarizada

z0.881.28

Existen muchas situaciones administra-tivas que requieren una prueba de unacola. Por ejemplo, un promotor de con-ciertos se interesa en atraer suficientes

seguidores para salir a mano o ganar. Si llena el estadio ytiene que rechazar clientes, aumenta el prestigio del eventoy no hay costo para l. Pero si no atrae suficientes asisten-tes puede tener problemas financieros. l establecera unaprueba de una cola, en palabras, mayor o igual que 10,000

asistentes (si 10,000 es su punto de equilibrio). Un distri-to acufero que est diseando los lmites de presin en susistema de suministro tiene otra perspectiva. Al ingenierohidrulico le interesa mantener la presin de agua cerca decierto valor y usar una prueba de dos colas. Sugerencia: si lapregunta que debe responder se pone en palabra como me-nor que, mayor que, menor o igual que, o mayor o igual que,una prueba de una cola es apropiada. Si la pregunta se refie-re a diferente a, o cambio de use una prueba de dos colas.

SUGERENCIASY

SUPOSICIONES

www.

Matem

atica

1.com

Ejercicios 8.4


EA 8-5 Hinton Press tiene la hiptesis de que la vida promedio de su prensa rotativa ms grande es de 14,500 ho-ras. Saben que la desviacin estndar de la vida de una prensa es 2,100 horas. A partir de una muestrade 25 prensas, la compaa encuentra una media muestral de 13,000 horas. A un nivel de significancia de0.01, deben concluir que la vida promedio de las prensas es menor que las 14,500 horas hipotticas?

EA 8-6 American Theaters sabe que cierta pelcula de xito se exhibi un promedio de 84 das en cada ciudad yque la desviacin estndar correspondiente fue 10 das. El administrador del distrito sureste se interes encomparar la popularidad de la pelcula en su regin con la que tuvo en otros cines de Estados Unidos. Eli-gi 75 salas al azar en su regin y encontr que exhibieron la pelcula un promedio de 81.5 das.a) Establezca las hiptesis adecuadas para probar si hubo una diferencia significativa en la duracin de

la exhibicin entre los teatros del sureste y el resto de Estados Unidos.b) Pruebe estas hiptesis para un nivel de significancia del 1%.

Aplicaciones

8-26 Atlas Sporting Goods ha puesto en marcha una promocin especial para su estufa de propano y siente quela promocin debe provocar un cambio en el precio para el consumidor. Atlas sabe que antes de que co-menzara la promocin, el precio promedio al menudeo de la estufa era $44.95, con una desviacin estn-dar de $5.75. Atlas muestrea a 25 de sus minoristas despus de iniciada la promocin y encuentra que elprecio medio de las estufas es ahora $42.95. A un nivel de significancia de 0.02, tiene Atlas razones pa-ra creer que el precio promedio al menudeo para el consumidor ha disminuido?

8-27 De 1980 a 1985, la tasa promedio de precios/utilidades (P/U) de los aproximadamente 1,800 valores ins-critos en la Bolsa de Valores de Nueva York fue 14.35, con una desviacin estndar de 9.73. En una mues-tra de 30 valores de la Bolsa, seleccionados al azar, la tasa P/U promedio en 1986 fue 11.77. Esta muestrapresenta evidencia suficiente para concluir (a un nivel de significancia de 0.05) que en 1986 la tasa P/Upromedio para los valores de la Bolsa cambi su valor anterior?

8-28 Generally Electric ha desarrollado un nuevo foco cuyas especificaciones de diseo requieren una salidade luz de 960 lmenes comparado con un modelo anterior que produca slo 750 lmenes. Los datos dela compaa indican que la desviacin estndar de la salida de luz para este tipo de foco es 18.4 lmenes.Para una muestra de 20 focos, el comit de pruebas encontr una salida de luz promedio de 954 lme-nes por foco. A un nivel de significancia de 0.05, puede concluir Generally Electric que su nuevo focoproduce la salida especificada de 950 lmenes?

8-29 Maxwells Hot Chocolate est preocupado por el efecto que la campaa de publicidad de caf, de todo elao, pueda tener en las ventas de chocolate caliente. Las ventas semanales promedio de chocolate calien-te hace dos aos eran 984.7 libras y la desviacin estndar era 72.6 libras. Maxwell seleccion una mues-tra aleatoria de 30 semanas del ao pasado y encontr ventas promedio de 912.1 libras.a) Establezca las hiptesis adecuadas para probar si las ventas de chocolate han disminuido.b) A un nivel de significancia del 2%, pruebe estas hiptesis.

8-30 La comisin promedio que cobran las compaas de corretaje de servicio completo en una venta de valo-res comunes es $144, con una desviacin estndar de $52. Joel Freelander tom una muestra aleatoria de121 transacciones de sus clientes y determin que haban pagado una comisin promedio de $151. A unnivel de significancia de 0.10, puede concluir Joel que las comisiones de sus clientes son mayores que elpromedio de la industria?

8-31 Histricamente, cada da, el Servicio de Aduanas de Estados Unidos intercepta alrededor de $28 millonesen bienes de contrabando introducidos a ese pas, con una desviacin estndar de $16 millones al da. En64 das de 1992, elegidos al azar, el Servicio de Aduanas intercept un promedio de $30.3 millones en bie-nes de contrabando. Indica esta muestra (a un nivel de significancia del 5%) que el Comisionado deAduanas debera preocuparse por el incremento del contrabando por encima de su nivel histrico?

8-32 Antes del embargo petrolero de 1973 y los subsecuentes incrementos en el precio del petrleo crudo, elconsumo de gasolina en Estados Unidos haba aumentado a una tasa de ajuste estacional del 0.57% men-sual, con una desviacin estndar del 0.10% mensual. En 15 meses elegidos aleatoriamente entre 1975 y


www.

Matem

atica

1.com

1985, el consumo de gasolina tiene una tasa promedio de aumento de slo 0.33% al mes. Para un nivel designificancia de 0.01, puede concluir que el aumento en el uso de la gasolina se redujo como resultadodel embargo y sus consecuencias?

8-33 Bay City Bigleaguers, un equipo de bisbol semiprofesional, tiene al jugador lder de la liga en promediode bateo durante muchos aos. Durante los ltimos aos, el promedio de bateo de Joe Carver ha sido de.343, con una desviacin estndar de .018. Sin embargo, este ao, el promedio de Joe fue slo .306. Joeest renegociando su contrato para el ao siguiente, y el salario que podr obtener depende en gran me-dida de su habilidad de convencer al dueo del equipo de que su promedio de bateo de este ao no fue sig-nificativamente peor que en aos anteriores. Si el dueo desea usar un nivel de significancia de 0.02, re-ducirn el salario de Joe para el ao prximo?


EA 8-5 2,100 n 25 x 13,000H0: 14,500 H1: 14,500 0.01El lmite inferior de la regin de aceptacin es z 2.33, o

x H0 z/n 14,500 13,521.4 horas

Debido al valor z observado 3.57 2.33

(es decir, x 13,521.4), debe rechazarse H0. La vida promedio es significativamente menor que el valorhipottico.

EA 8-6 10 n 75 x 8.15H0: = 84 H1: 84 0.01

Los lmites de la regin de aceptacin son z 2.58 o

x H0 z/n 84 (81.02, 86.98) das

Debido a que el valor z observado 2.17, este valor y x estn en la regin

de aceptacin, de manera que no se rechaza H0. La duracin de la exhibicin no es significativamente di-ferente de la de otras regiones.

8.5 Medicin de la potencia de una prueba de hiptesis

Ahora que hemos considerado dos ejemplos de pruebas de hiptesis, resulta apropiado retroceder unpoco para analizar lo que una buena prueba de hiptesis debe hacer. Idealmente, tanto como (lasprobabilidades de los errores tipo I y tipo II) deben ser pequeas. Recuerde que un error tipo I se pre-senta cuando rechazamos una hiptesis nula que es cierta, y que (el nivel de significancia de laprueba) es la probabilidad de cometer un error tipo I. En otras palabras, una vez que decidimos el ni-vel de significancia, no hay nada que podamos hacer respecto a . Un error tipo II ocurre cuandoaceptamos una hiptesis nula que es falsa; la probabilidad de un error tipo II es . Qu podemosdecir respecto a ?

Suponga que la hiptesis nula es falsa. Entonces los administradores desearan que la prueba dehiptesis la rechazara siempre. Desafortunadamente, las pruebas de hiptesis no pueden ser infali-bles; algunas veces, cuando la hiptesis nula es falsa, una prueba no la rechaza y, por tanto, se co-mete un error tipo II. Cuando la hiptesis nula es falsa, (la media verdadera de la poblacin) no

Significado de y 1

Qu debe hacer una buena prueba de hiptesis?

81.5 8410/75

x H0/n

2.58(10)

75

13,000 14,500

2,100/25x H0

/n

2.33(2,100)

25


www.

Matem

atica

1.com

es igual a H0 (la media hipottica de la poblacin); es igual a algn otro valor. Por cada valor de para el que la hiptesis alternativa es cierta hay una probabilidad diferente () de aceptar incorrec-tamente la hiptesis nula. Claro que desearamos que esta (la probabilidad de aceptar una hipte-sis nula cuando es falsa) fuera lo ms pequea posible o, de manera equivalente, nos gustara que1 (la probabilidad de rechazar una hiptesis nula cuando es falsa) fuera lo ms grande posible.

Puesto que rechazar una hiptesis nula cuando es falsa es justo lo que debe hacer una bue-na prueba, un valor alto de 1 (algo cerca de 1.0) significa que la prueba trabaja bastantebien (rechaza la hiptesis nula cuando es falsa); un valor bajo de 1 (cerca de 0.0) significaque la prueba trabaja muy mal (no rechaza la hiptesis nula cuando es falsa). Como el valorde 1 es la medida de qu tan bien trabaja la prueba, recibe el nombre de potencia de laprueba. Si graficamos los valores de 1 para cada valor de para el que la hiptesis alternativaes cierta, la curva resultante se conoce como curva de potencia.

La grfica (a) de la figura 8-13 reproduce la prueba de cola izquierda de la figura 8-11, pero conla escala sin procesar. La grfica (b) de la figura 8-13 muestra la curva de potencia asociada con es-ta prueba. No es difcil calcular los valores 1 para graficar la curva de potencia; tres de estospuntos se muestran en la grfica (b) de la figura 8-13. Recuerde que con esta prueba intentbamosdecidir si se aceptar o no una entrega de medicamentos. Nuestra prueba dictaba que debamos recha-zar la hiptesis nula si la media estandarizada de la muestra era menor que 1.28, esto es, si la do-sis media de la muestra era menor que 100.00 1.28 (0.2829), o 99.64 cc.

Considere el punto C de la curva de potencia presentada en la grfica (b) de la figura 8-13. La do-sis media de la poblacin es 99.42 cc; dado este valor, debemos calcular la probabilidad de que lamedia de una muestra aleatoria de 50 dosis de esta poblacin sea menor que 99.64 cc (el punto abajodel cual decidimos rechazar la hiptesis nula). Ahora considere la grfica (c) de la figura 8-13. Antescalculamos el error estndar de la media como 0.2829 cc, as que 99.64 cc est a (99.64 99.42)/0.2829, o 0.78 errores estndar arriba de 99.42 cc. Utilizando la tabla 1 del apndice, podemos verque la probabilidad de observar una media muestral menor que 99.64 cc y, por consiguiente, recha-zar la hiptesis nula, es 0.7823, el rea sombreada de la grfica (c). Entonces, la potencia de la prue-

Interpretacin de unpunto en la curva de potencia

Clculo de los valoresde 1

Interpretacin de losvalores de 1

8.5 Medicin de la potencia de una prueba de hiptesis 339

FIGURA 8-13

Prueba de hipte-sis de cola izquier-da, curva de po-tencia asociada ytres valores de

Regin de aceptacin

= 0.10

99.64 cc

Prob

abili

dad

de re

chaz

ar H

0

Reginde rechazo

(a) (b)

HO= 100.00 cc

Media de muestra (x)

(c) (d) (e)

1.00

0.75

0.50

0.25

99.42 cc 99.61 cc 99.80 cc 100.00 cc

Media de la poblacin (m)

Curva de potencia(grfica de probabilida-des de rechazar lahiptesis nula cuandola hiptesis alternativaes cierta)

C

D

E

F

1b = 0.7823

1b = 0.5438

1b = 0.2843

0.7823del rea

0.78 erroresestndar

99.42 99.64

0.5438del rea

0.11 erroresestndar

99.61 99.64

0.2843del rea

0.57 erroresestndar

99.8099.64

m

m m m

a

www.

Matem

atica

1.com

ba (1 ) en 99.42 es 0.7823. Esto slo significa que si 99.42, la probabilidad de que es-ta prueba rechace la hiptesis nula cuando es falsa es 0.7823.

Ahora observe el punto D de la grfica (b) de la figura 8-13. Para esta dosis media de la pobla-cin de 99.61 cc, cul es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 50 dosis deesta poblacin sea menor que 99.64 cc y que esto ocasione que la prueba rechace la hiptesis nula?Vea la grfica (d) de la figura 8-13. En ella 99.64 cc est a (99.64 99.61)/0.2829, o 0.11 erroresestndar arriba de 99.61 cc. Utilizando de nuevo la tabla 1 del apndice, podemos ver que la proba-bilidad de observar una media muestral menor que 99.64 y por consiguiente de rechazar la hiptesisnula es 0.5438, el rea sombreada de la grfica (d) de la figura 8-13. Por tanto, la potencia de la prue-ba (1 ) para 99.61 cc es 0.5438.

Con el mismo procedimiento para el punto E, encontramos que la potencia de la prueba en 99.80 cc es 0.2843; esto se ilustra como el rea sombreada de la grfica (e) de la figura 8-13. Los va-lores de 1 continan disminuyendo a la derecha del punto E. Qu tan abajo llegan? Al acercar-se cada vez ms la media de poblacin a 100.00 cc, la potencia de la prueba (1 ) debe acercarsecada vez ms a la probabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando la media de poblacin es exac-tamente 100.00 cc, y sabemos que esa probabilidad es nada menos que el nivel de significancia dela prueba, en este caso, 0.10. As, la curva termina en el punto F, que est a una altura de 0.10 direc-tamente arriba de la media de la poblacin.

Qu nos dice la curva de potencia de la grfica (b) de la figura 8-13? Slo que cuando la entre-ga es menos satisfactoria (al disminuir las dosis del envo), nuestra prueba es ms poderosa (tieneuna mayor probabilidad de reconocer que la entrega es insatisfactoria). Pero tambin nos muestraque debido al error de muestreo, cuando la dosis es slo ligeramente menor que 100.00 cc, la poten-cia de la prueba para reconocer esta situacin es bastante baja. As, si resultara completamente insa-tisfactorio tener cualquier dosis con menos de 100.00 cc, la prueba analizada no sera apropiada.

Interpretacin de lacurva de potencia

Punto terminal de lacurva de potencia


Por supuesto, siempre es mejor usar laspruebas de hiptesis con la mayor poten-cia. Pero tambin se sabe que cierta pro-porcin del tiempo, todas las pruebas de

hiptesis fallan y no rechazan la hiptesis nula cuando esfalsa o no la aceptan cuando es cierta (ste es el lenguaje es-tadstico para decir que cuando una prueba falla, nos con-vencer de que las cosas no han cambiado cuando de hecho

cambiaron, o nos convencer de que cambiaron cuando enrealidad no lo hicieron). se es el precio que se paga al usarmuestreo en las pruebas de hiptesis. El fracaso de unaprueba para obtener el resultado correcto se debe a erroresde muestreo. La nica manera de evitar tales errores es exa-minar toda la poblacin y eso es fsicamente imposible, obien, demasiado costoso.

SUGERENCIASY

SUPOSICIONES

Ejercicios 8.5

Ejercicios de autoevaluacinEA 8-7 Vea el ejercicio 8-32. Calcule la potencia de la prueba para 0.50, 0.45 y 0.40% por mes.

EA 8-8 En el ejercicio 8-32, qu ocurre con la potencia de la prueba para 0.50, 0.45 y 0.40% por mes si secambia el nivel de significancia a 0.04?

Aplicaciones 8-34 Vea el ejercicio 8-31. Calcule la potencia de la prueba para $28, $29 y $30 millones. 8-35 Vea el ejercicio 8-30. Calcule la potencia de la prueba para $140, $160 y $175. 8-36 En el ejercicio 8-31, qu sucede con la potencia de la prueba para $28, $29 y $30 millones si el ni-

vel de significancia se cambia a 0.02? 8-37 En el ejercicio 8-30, qu le ocurre a la potencia de la prueba para $140, $160 y $175 al mes si el ni-

vel de significancia se cambia a 0.05?

www.

Matem

atica

1.com


EA 8-7 Del ejercicio 8-32, se tiene 0.10, n = 15, H0: 0.57, H1: 0.57.Para 0.01, el lmite inferior de la regin de aceptacin es

H0 2.33/n 0.57 2.33(0.10)/15 0.510a) Para 0.50, la potencia de la prueba es

P(x 0.510) P(z P(z 0.39) 0.5 0.1517 0.6517

b) Para 0.45, la potencia de la prueba es

P(x 0.510) P(z P(z 2.32) 0.5 0.4898 0.9898

c) Para 0.40, la potencia de la prueba es

P(x 0.510) P(z P(z 4.26) 1.0000

EA 8-8 Para 0.04, el lmite inferior de la regin de aceptacin esH0 1.75/ n 0.57 1.75(0.10)/15 0.525

a) Para 0.50, la potencia de la prueba es

P(x 0.525) P(z P(z 0.97) 0.5 0.3340 0.8340

b) Para 0.45, la potencia de la prueba es

P(x 0.525) P(z P(z 2.90) 0.5 0.4981 0.9981

c) Para 0.40, la potencia de la prueba es

P(x 0.525) P(z P(z 4.84) 1.0000

8.6 Prueba de hiptesis para proporciones:muestras grandes

Pruebas de dos colas para proporcionesEn esta seccin, lo aprendido respecto a las pruebas de medias, se aplicar a las pruebas para pro-porciones (esto es, la proporcin de ocurrencias en una poblacin). Pero antes revisaremos las im-portantes conclusiones a las que llegamos en el captulo 7. Primero, recordemos que la binomial esla distribucin tericamente correcta para usarse al trabajar con proporciones, porque los datos sondiscretos, no continuos. Al aumentar el tamao de la muestra, la distribucin binomial se aproximaa la normal en sus caractersticas y podemos utilizar la distribucin normal para aproximar la distri-bucin de muestreo. Especficamente, np y nq cada una debe ser al menos 5 para poder utilizar ladistribucin normal como aproximacin de la binomial.

Imagine, por ejemplo, una compaa que est evaluando a cules de sus empleados ascender, de-terminando la proporcin de aquellos cuya capacidad, capacitacin y experiencia de supervisin loscalifican para pasar al siguiente nivel administrativo. El director de recursos humanos dice al presi-dente que aproximadamente el 80%, o 0.8, de los empleados de la compaa son aptos para un as-

Manejo deproporciones

0.525 0.40)

0.10/15

0.525 0.45)

0.10/15

0.525 0.50)

0.10/15

0.510 0.40)

0.10/15

0.510 0.45)

0.10/15

0.510 0.50)

0.10/15


www.

Matem

atica

1.com

censo. El presidente rene un comit especial para evaluar la capacidad de ascenso de todos los em-pleados. Este comit hace entrevistas a fondo con 150 empleados y encuentra que, a su juicio, sloel 70% de la muestra est calificada para el ascenso.

pH0 0.8 Valor hipottico de la proporcin de xitos de la poblacin (considerados aptos para el ascenso, en este caso)qH0 0.2 Valor hipottico de la proporcin de fracasos de la poblacin (considerados no aptos para el ascenso)

n 150 Tamao de muestrap 0.7 Proporcin apta para el ascenso de la muestraq 0.3 Proporcin no apta para el ascenso de la muestra

El presidente desea probar al nivel de significancia de 0.05 la hiptesis de que 0.8 de los emplea-dos son aptos para el ascenso:

H0: p 0.8 Hiptesis nula: 80% de los empleados es aptoH1: p 0.8 Hiptesis alternativa: la proporcin de empleados aptos no es el 80%

0.05 Nivel de significancia

En este caso, la compaa desea saber si la proporcin verdadera es mayor o menor que la pro-porcin hipottica. Por consiguiente, resulta adecuado efectuar una prueba de dos colas para unaproporcin; la figura 8-14 muestra la grfica. El nivel de significancia corresponde a las dos regio-nes sombreadas, cada una con 0.025 del rea. La regin de aceptacin de 0.95 se ilustra como dosreas de 0.475 cada una. Puesto que np y nq son cada una mayores que 5, podemos utilizar la apro-ximacin normal de la distribucin binomial. De la tabla 1 del apndice, podemos determinar que elvalor crtico de z para 0.475 del rea bajo la curva es 1.96.

Podemos calcular el error estndar de la proporcin, utilizando los valores hipotticos de pH0 yqH0 en la ecuacin 7-4:

p pH0nqH0 [7-4]

(0.81)5(00.2)

0.0010666

0.0327 Error estndar de la proporcin

A continuacin estandarizamos la proporcin de la muestra dividiendo la diferencia entre la propor-cin de la muestra observada p y la proporcin hipottica, pH0, entre el error estndar de la pro-porcin.

Paso 3: Calcule el error estndar y estandarice elestadstico de la muestra


Paso 1: Establezcasus hiptesis, tipo deprueba y nivel designificancia


FIGURA 8-14

Prueba dehiptesis de doscolas para unaproporcin al nivelde significancia de0.05

0.025 del rea

0.475 del rea

0

0.025 del rea

0.475 del rea


Valor crticoz = + 1.96

z

www.

Matem

atica

1.com

z

3.06

Al sealar la proporcin de la muestra estandarizada que se calcul, 3.06, en un bosquejo de la dis-tribucin muestral, es claro que esta muestra cae fuera de la regin de aceptacin, como se ve en lafigura 8-15.

Entonces, en este caso, el presidente debe rechazar la hiptesis nula y concluir que existe una di-ferencia significativa entre la proporcin hipottica de empleados aptos para ascenso (0.8) del direc-tor de recursos humanos y la proporcin observada de empleados aptos en la muestra. De esto, de-be inferir que la proporcin real de empleados aptos en toda la compaa no es el 80%.

Pruebas de una cola para proporcionesUna prueba de una cola para una proporcin es conceptualmente equivalente a una prueba de unacola para una media, como puede ilustrarse con este ejemplo. Un miembro de un grupo de interspblico preocupado por la contaminacin ambiental afirma, en una audiencia pblica, que menosdel 60% de las plantas industriales de esta rea cumple con los estndares de cuidado del ambiente.A la reunin asisti una funcionaria de 1a Agencia de Proteccin Ambiental (APA) quien cree queel 60% de las plantas s cumple con los estndares; decide probar esa hiptesis al nivel de significan-cia de 0.02.

H0: p 0.6 Hiptesis nula: la proporcin de plantas que cumplen con los estndares de contaminacin ambiental es 0.6H1: p 0.6 Hiptesis alternativa: la proporcin que cumple con los estndares de contaminacin ambiental es menor que 0.6

0.02 Nivel de significancia para probar la hiptesis

La funcionaria realiza una investigacin completa de los registros de su oficina. Muestrea 60 plan-tas de una poblacin de ms de 10,000 y encuentra que 33 cumple con los estndares de cuidado delambiente. Es vlida la afirmacin del miembro del grupo de inters pblico?

Comencemos por resumir el caso con smbolos:

pH0 0.6 Valor hipottico de la proporcin de poblacin que cumple con los estndares de contaminacin ambientalqH0 0.4 Valor hipottico de la proporcin de poblacin que no cumple y que, por tanto, est contaminando

n 60 Tamao de la muestrap 33/60 o 0.55 Proporcin de muestra que no contamina q 27/60 o 0.45 Proporcin de muestra que contamina

0.7 0.8

0.0327

p pH0p


FIGURA 8-15

Prueba dehiptesis de doscolas para unaproporcin al nivelde significancia de0.05; indica laregin deaceptacin y laproporcinestandarizada dela muestra 0

z+1.961.963.06

Proporcinestandarizadade la muestra

Regin de aceptacinAcepte Ho si el valor de la muestra

se encuentra en esta regin

Paso 1:Establezca sushiptesis, tipo deprueba y nivel de significancia

Paso 4: Bosqueje ladistribucin y sealeel valor de la muestray los valores crticos

Paso 5: Interprete elresultado

www.

Matem

atica

1.com

sta es una prueba de una cola: la funcionaria de APA se pregunta slo si la proporcin real esmenor que 0.6. Especficamente, sta es una prueba de cola izquierda. Para rechazar la hiptesis nu-la que establece que la proporcin verdadera de plantas que cumplen es el 60%, la representante deAPA debe aceptar la hiptesis alternativa que dice que menos de 0.6 cumplen. La figura 8-16 ilustraesta prueba de hiptesis.

Como np y nq son cada uno mayores que 5, podemos usar la aproximacin normal de la distribu-cin binomial. El valor crtico de z de la tabla 1 del apndice para 0.48 del rea bajo la curva es 2.05.

A continuacin, podemos calcular el error estndar de la proporcin usando la proporcin hipo-ttica de la poblacin de la siguiente manera:

p pH0nqH0 [7-4]

(0.66)(0

0.4) 0.004

0.0632 Error estndar de la proporcin

Y estandarizamos la proporcin de la muestra dividiendo la diferencia entre la poblacin de la mues-tra observada, p, y la proporcin hipottica, pH0, entre el error estndar de la proporcin.

z

10.79

La figura 8-17 ilustra dnde se encuentra la proporcin de la muestra en relacin con el valor cr-tico, 2.05. Al observar esta figura, podemos ver que la proporcin de la muestra cae dentro de laregin de aceptacin. Entonces, la funcionaria de APA debe aceptar la hiptesis nula de que la pro-porcin real de plantas que cumplen es 0.6. Aunque la proporcin observada de la muestra esmenor que 0.6, no es significativamente menor que 0.6, es decir, no est tan abajo de 0.6 paraaceptar la afirmacin del miembro del grupo de inters pblico.

Paso 4: Bosqueje ladistribucin y sealeel valor de la muestray los valores crticos

Paso 5: Interprete elresultado

0.55 0.6

0.0632

p pH0p


Paso 3: Calcule el error estndar y estandarice elestadstico de lamuestra


FIGURA 8-16

Prueba dehiptesis de unacola para unaproporcin al nivelde significancia de0.02

0.02 del rea

0.48 del rea

0

0.50 del rea


z

www.

Matem

atica

1.com

Ejercicios 8.6


EA 8-9 Un fabricante de salsa de tomate est en proceso de decidir si produce o no una versin picante. El depar-tamento de investigacin de mercados de la compaa us un sondeo telefnico nacional de 6,000 casasy encontr que 335 de ellos compraran la salsa con picante. Un estudio ms extenso hecho dos aos an-tes mostr que el 5% de las casas comprara la marca. Con un nivel de significancia del 2%, debe la com-paa concluir que hay un incremento en el inters por el sabor con picante?

EA 8-10 Steve Cutter desea comparar la confiabilidad de las podadoras Big Blade que vende en su ferretera conla de las vendidas por la marca en todo el pas. Steve sabe que slo el 15% de todas las podadoras Big Bla-de necesitan reparaciones durante el primer ao. Una muestra de 120 de los clientes de Steve revel queexactamente 22 de ellos requirieron reparaciones en el primer ao. Con un nivel de significancia de 0.02,existe evidencia de que la confiabilidad de las podadoras Big Blade que vende Steve difiera de las quese venden en el todo el pas?

Aplicaciones

8-38 Grant, Inc., un fabricante de blusas de vestir para mujer, sabe que su marca se vende en 19% de las tien-das de ropa para mujer ubicadas al este del ro Mississippi. Grant muestre recientemente 85 tiendas deropa para mujer en la ribera oeste del ro y encontr que 14.12% de las tiendas venda la marca. A un ni-vel de significancia del 0.04, existe evidencia de que Grant tenga peor distribucin en la ribera oeste queen la este del Mississippi?

8-39 De un total de 10,200 prstamos otorgados por una unin de crdito de empleados del Estado en el lti-mo periodo de cinco aos, se muestrearon 350 para determinar qu proporcin de los prstamos se otor-garon a mujeres. Esta muestra indic que el 39% de los crditos fue dado a empleadas. Un censo comple-to de prstamos de hace cinco aos mostraba que el 41% de los prestatarios eran mujeres. A un nivel designificancia del 0.02, puede concluir que la proporcin de prstamos otorgados a mujeres ha cambia-do significativamente en los ltimos cinco aos?


FIGURA 8-17

Prueba de hiptesisde una cola (cola izquierda) al nivel de significancia de0.02; indica la regin de aceptaciny la proporcin estandarizada de la muestra 0

Regin de aceptacinAcepte H0 si el valor de la muestra est en esta regin

Proporcinestandarizadade la muestra

z0.792.05

Advertencia: cuando se realizan pruebasde hiptesis que involucran proporcio-nes, se usa la distribucin binomial comola distribucin muestral, a menos que np

y nq sean ambos al menos 5. En ese caso se puede usar ladistribucin normal como una aproximacin de la binomial

sin problemas. Por fortuna, en la prctica, las pruebas de hi-ptesis para proporciones casi siempre usan muestras sufi-cientemente grandes, de manera que esta condicin se cum-ple. Aun cuando no sea as, no es tan difcil la aritmtica dela distribucin binomial o el uso de la tabla binomial.

SUGERENCIASY

SUPOSICIONES

www.

Matem

atica

1.com

8-40 Los laboratorios Feronetics se especializan en el uso de tcnicas de reproduccin de genes para lograrnuevos compuestos farmacuticos. Recientemente desarroll un atomizador nasal que contiene interfe-rn, con el que se cree habr de limitarse la transmisin del catarro comn en las familias. En la pobla-cin general, a 15.1% de todos los individuos les dar catarro ocasionado por un rinovirus una vez queotro miembro de la familia lo haya contrado. El atomizador de interfern fue probado en 180 personas,en cuyas familias uno de los miembros contrajo posteriormente un catarro ocasionado por un rinovirus.Slo 17 de los sujetos de la prueba desarrollaron catarros similares.a) A un nivel de significancia de 0.05, debera concluir Feronetics que el nuevo atomizador efectiva-

mente reduce la transmisin de catarros?b) Qu debera concluir en el nivel 0.02?c) Con base en estos resultados, cree que se le debera permitir a Feronetics comercializar el nuevo ato-

mizador? Explique su respuesta. 8-41 Algunos tericos financieros creen que los precios diarios del mercado de valores constituyen una cami-

nata aleatoria con tendencia positiva. Si esto es correcto, entonces el promedio industrial Dow Jones de-bera mostrar una ganancia en ms del 50% de todos los das de actividad financiera. Si el promedio seincrement en 101 de 175 das escogidos aleatoriamente, qu piensa de la teora sugerida? Use un nivelde significancia de 0.01.

8-42 MacroSwift estim el ao pasado que el 35% de los compradores potenciales de software planeaba espe-rar hasta que se liberara una actualizacin de Window Panes para comprar el nuevo sistema operativo.Despus de una campaa publicitaria para dar confianza al pblico, MacroSwift encuest a 3,000 perso-nas y encontr que 950 todava se mostraban renuentes. Con el 5% de nivel de significancia, puede lacompaa concluir que la proporcin de personas renuentes ha disminuido?

8-43 Rick Douglas, el nuevo gerente de Food Barn, est interesado en el porcentaje de clientes totalmente sa-tisfechos con la tienda. El gerente anterior tena el 86% de clientes totalmente satisfechos y Rick aseguraque lo mismo se cumple hoy. Rick obtuvo una muestra de 187 clientes y encontr que 157 estaban satis-fechos por completo. Con un nivel de significancia del 1%, existe evidencia de que la afirmacin de Rickes vlida?


EA 8-9 n 6,000 p 335/6,000 0.05583

H0: p 0.05 H1: p 0.05 0.02

El lmite superior de la regin de aceptacin es z 2.05, o

p pH0 zpH0nqH0 0.05 2.050.065,0(00.095) 0.05577

Debido a que el valor z observado 2.07 2.05 (o p

0.05577), debe rechazarse H0 (pero por poco). El inters actual es significativamente mayor que el inte-rs hace 2 aos.

EA 8-10 n 120 p 22/120 0.1833

H0: p 0.15 H1: p 0.15 0.02

Los lmites de la regin de aceptacin son z 2.33, o

p pH0 zpH0nqH0 0.15 2.330.151

(200.85) (0.0741, 0.2259)

Debido a que el valor z observado 1.02 2.33 (o p 0.1833,

que est entre 0.0741 y 0.2259), no se rechaza H0. Las podadoras de Steve no son significativamente di-ferentes en confiabilidad de las vendidas en todo el pas.

0.1833 0.150.15(0.85)/120

p pH0pH0qH0/n

0.05583 0.050.05(0.95)/6,000

p pH0pH0qH0/n


www.

Matem

atica

1.com

8.7 Pruebas de hiptesis de medias cuando no se conoce la desviacin estndar de la poblacin

Cuando estimamos los intervalos de confianza en el captulo 7, aprendimos que la diferencia detamao entre muestras grandes y pequeas es importante cuando no se conoce la desviacin estn-dar de la poblacin y es necesario estimarla a partir de la desviacin estndar de la muestra. Si eltamao de la muestra n es 30 o menos y se desconoce, debemos utilizar la distribucin t. La dis-tribucin t apropiada tiene n 1 grados de l

102128916 aacap 8 prueba de hipotesis prueba de una sola muestra

Documents