8/2/2019 10.1.1.43.6948

1/8

D e t e r m i n i n g S i n g l e C o n n e c t i v i t y i n D i r e c t e d G r a p h s

A d a m L . B u c h s b a u m

1

M a r t i n C . C a r l i s l e

2

R e s e a r c h R e p o r t C S - T R - 3 9 0 - 9 2

S e p t e m b e r 1 9 9 2

A b s t r a c t

I n t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g w h e t h e r o r n o t a d i r e c t e d

g r a p h c o n t a i n s a p a i r o f v e r t i c e s c o n n e c t e d b y t w o d i s t i n c t s i m p l e p a t h s ; i f i t d o e s n o t ,

w e s a y i t i s s i n g l y c o n n e c t e d . A s t r a i g h t f o r w a r d i m p l e m e n t a t i o n u s i n g n d e p t h r s t

s e a r c h e s r e q u i r e s O ( n m ) t i m e o n a n n - v e r t e x , m - a r c d i g r a p h ; w e o b t a i n a n O ( n

2

) t i m e

a l g o r i t h m b y u s i n g c o n t r a c t i o n w h e r e v e r p o s s i b l e .

1

S u p p o r t e d b y a F a n n i e a n d J o h n H e r t z F o u n d a t i o n f e l l o w s h i p , N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n

G r a n t N o . C C R - 8 9 2 0 5 0 5 , a n d t h e C e n t e r f o r D i s c r e t e M a t h e m a t i c s a n d T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i -

e n c e ( D I M A C S ) u n d e r N S F - S T C 8 8 - 0 9 6 4 8 .

2

S u p p o r t e d b y a N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n G r a d u a t e F e l l o w s h i p a n d t h e F a n n i e a n d J o h n

H e r t z F o u n d a t i o n .

8/2/2019 10.1.1.43.6948

2/8

1 I n t r o d u c t i o n

G r a p h c o n n e c t i v i t y h a s b e c o m e a w i d e l y s t u d i e d c o m p o n e n t o f g r a p h t h e o r y . T o d a t e , m o s t

o f t h e w o r k i n t h i s a r e a h a s d e a l t w i t h d e t e r m i n i n g i f a n u n d i r e c t e d g r a p h c o n t a i n s a t l e a s t

t w o , t h r e e , o r m o r e v e r t e x - o r e d g e - d i s j o i n t p a t h s b e t w e e n e v e r y p a i r o f v e r t i c e s ( s e e , e . g . ,

[ 5 , 7 , 8 , 1 1 , 1 2 , 1 4 , 1 5 , 1 7 , 2 0 , 2 1 ] ) o r i f a d i r e c t e d g r a p h p o s s e s s e s a n a l o g o u s p r o p e r t i e s ( s e e ,

e . g . , [ 5 , 1 6 ] ) . T h i s p a p e r i n v e s t i g a t e s a d i e r e n t s o r t o f c o n n e c t i v i t y p r o b l e m : d e t e r m i n i n g

i f a g r a p h h a s a t m o s t s o m e n u m b e r o f d i s t i n c t p a t h s b e t w e e n e v e r y p a i r o f v e r t i c e s . I n

p a r t i c u l a r , w e s a y a d i r e c t e d g r a p h i s s i n g l y c o n n e c t e d i f f o r a n y p a i r o f v e r t i c e s , t h e r e e x i s t s

a t m o s t o n e s i m p l e ( n o v e r t e x r e p e a t e d ) p a t h c o n n e c t i n g t h e m ; i . e . , i f t h e r e a r e t w o d i s t i n c t

( b u t n o t n e c e s s a r i l y v e r t e x - o r a r c - d i s j o i n t ) s i m p l e p a t h s c o n n e c t i n g a n y t w o v e r t i c e s , t h e

g r a p h i s n o t s i n g l y c o n n e c t e d . M u l t i p l e p a t h s v i a c y c l e s a r e a l l o w e d ( i n p a r t i c u l a r , a g r a p h

w h i c h i s m e r e l y o n e s i m p l e c y c l e i s s i n g l y c o n n e c t e d . ) N o t e t h a t t h e u n d i r e c t e d v e r s i o n o f

t h i s p r o b l e m i s t r i v i a l : A n u n d i r e c t e d g r a p h i s s i n g l y c o n n e c t e d i f a n d o n l y i f i t i s a t r e e .

T h e d i r e c t e d p r o b l e m i n s o m e s e n s e i s e q u i v a l e n t t o c h e c k i n g t h e g r a p h t o s e e i f i t c o n t a i n s

a n y r e d u n d a n t p a t h s . T h i s p r o b l e m o r i g i n a l l y a p p e a r s i n [ 4 ] .

A s i m p l e a l g o r i t h m f o r s o l v i n g t h i s d e c i s i o n p r o b l e m i s t o p e r f o r m a d e p t h r s t s e a r c h

( D F S ) s t a r t i n g f r o m e a c h v e r t e x , t e r m i n a t i n g t h e D F S a f t e r i t v i s i t s a l l v e r t i c e s r e a c h a b l e

f r o m t h e s t a r t v e r t e x . ( W e u s e d e p t h r s t s e a r c h t e r m i n o l o g y f r o m [ 1 , 4 ] i n t h i s p a p e r . ) I f

t h e s a m e v e r t e x i s e n c o u n t e r e d a l o n g t w o d i e r e n t s i m p l e p a t h s f r o m t h e i n i t i a l v e r t e x , w e

m a y c o n c l u d e t h a t t h e g r a p h i s n o t s i n g l y c o n n e c t e d . S i m i l a r l y , i f w e d o n o t n d s u c h a

c a s e f o r a n y i n i t i a l v e r t e x , t h e n t h e g r a p h i s s i n g l y c o n n e c t e d . T h e q u e s t i o n t h u s r e d u c e s

t o d e t e r m i n i n g w h e t h e r o r n o t t h e r e a r e a n y f o r w a r d o r c r o s s a r c s i n a n y o f t h e D F S t r e e s .

G i v e n a n n - v e r t e x , m - a r c d i r e c t e d g r a p h , t h i s n a i v e a l g o r i t h m u s e s n o c c u r r e n c e s o f D F S ,

e a c h o f w h i c h i n t h e w o r s t c a s e r e q u i r e s O ( m ) o p e r a t i o n s , y i e l d i n g a t o t a l c o s t o f O ( n m )

t i m e . T h e r u n n i n g t i m e i s t h e r e f o r e O ( n

2

) f o r s p a r s e g r a p h s a n d O ( n

3

) f o r d e n s e g r a p h s .

( W e a s s u m e t h e g r a p h s a r e c o n n e c t e d i n t h e u n d i r e c t e d s e n s e . ) A n a l t e r n a t i v e a p p r o a c h

p e r f o r m s o n e c o m p l e t e D F S s t a r t i n g f r o m a n y v e r t e x , y i e l d i n g a D F S f o r e s t p o s s i b l y w i t h

m u l t i p l e t r e e r o o t s . T h e p r o b l e m i s r e s o l v i n g t h e i n t e r - t r e e c r o s s a r c s t o d e t e r m i n e i f t h e y

p r o d u c e f o r b i d d e n m u l t i p l e s i m p l e p a t h s ; a g a i n t h i s c a n p o t e n t i a l l y r e q u i r e O ( n m ) t i m e .

I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , w e g i v e a n O ( n

2

) a l g o r i t h m f o r t h e s i n g l e c o n n e c t i v i t y d e c i s i o n

p r o b l e m f o r d i r e c t e d g r a p h s . T h i s a l g o r i t h m i s o p t i m a l f o r d e n s e g r a p h s a s i n t h e w o r s t

c a s e w e m u s t c o n s i d e r e v e r y a r c . H o w e v e r , i t y i e l d s n o a s y m p t o t i c i m p r o v e m e n t f o r s p a r s e

g r a p h s .

1 . 1 D e n i t i o n s

W e u s e s t a n d a r d g r a p h t e r m i n o l o g y ; s e e , e . g . , [ 2 2 ] . I n p a r t i c u l a r , g i v e n a d i r e c t e d g r a p h

( d i g r a p h ) G = ( V ; A ) w i t h n = j V j a n d m = j A j , a p a t h c o n n e c t i n g t w o v e r t i c e s u ; v 2 V

i s a s e q u e n c e o f n o d e s ( u = u

0

; u

1

; : : : ; u

l

= v ) s u c h t h a t ( u

i

; u

i + 1

) 2 A ; 0 i < l . A p a t h

i s a s i m p l e p a t h i f u

i

6= u

j

; 8 i 6= j . T w o p a t h s ( u

0

; : : : ; u

k

) a n d ( v

0

; : : : ; v

l

) a r e d i s t i n c t i f

e i t h e r ( 1 ) k 6= l , o r ( 2 ) k = l a n d u

i

6= v

i

f o r s o m e 0 i l . A c y c l e i s a p a t h ( u

0

; : : : ; u

l

)

s u c h t h a t u

0

= u

l

; a s i m p l e c y c l e i s a c y c l e ( u

0

; : : : ; u

l

) s u c h t h a t u

i

6= u

j

; 0 i < j < l .

G i v e n s o m e c y c l e , a c h o r d i s a p a t h o f a r c s , n o n e o f w h i c h i s o n t h e c y c l e , c o n n e c t i n g t w o

d i s t i n c t n o d e s o f t h e c y c l e . N o t e t h a t t h i s d i e r s f r o m t h e s t a n d a r d d e n i t i o n o f a c h o r d

b e i n g a n a r c c o n n e c t i n g t w o n o n a d j a c e n t n o d e s o f a c y c l e ( s e e , e . g . , [ 2 , 1 3 ] ) ; f o r a s i n g l e a r c

t o b e a c h o r d b y o u r d e n i t i o n , h o w e v e r , i t m u s t i n f a c t c o n n e c t t w o n o n a d j a c e n t n o d e s o f

t h e c y c l e .

1

8/2/2019 10.1.1.43.6948

3/8

D e n i t i o n 1 . 1 A d i g r a p h G = ( V ; A ) i s s i n g l y c o n n e c t e d i f a n d o n l y i f f o r a n y t w o v e r t i c e s

u ; v 2 V , t h e r e e x i s t s a t m o s t o n e s i m p l e p a t h c o n n e c t i n g u a n d v .

W e n o t e t h a t c y c l e s a r e p e r m i t t e d i n t h e g r a p h , a n d t h a t t h e r e m a y i n f a c t b e m o r e t h a n

o n e p a t h b e t w e e n s o m e p a i r o f v e r t i c e s i n a s i n g l y c o n n e c t e d d i g r a p h . H o w e v e r , t h e r e c a n n o t

b e t w o o r m o r e d i s t i n c t ( b u t p o s s i b l y n o t v e r t e x - o r a r c - d i s j o i n t ) s i m p l e p a t h s b e t w e e n a n y

p a i r o f v e r t i c e s .

F o r t h e r e m a i n d e r o f t h i s p a p e r , a l l g r a p h s a r e a s s u m e d t o b e d i r e c t e d a n d c o n n e c t e d

i n t h e u n d i r e c t e d s e n s e ; t h e r e f o r e n 0 1 m n ( n 0 1 ) .

2 A l g o r i t h m f o r D e t e r m i n i n g S i n g l e C o n n e c t i v i t y

I n t h i s s e c t i o n , w e r s t p r o v e c e r t a i n a s p e c t s o f t h e n a i v e a l g o r i t h m . T h e n , b u i l d i n g o n

t h e s e , w e s h o w h o w w e c a n u s e c o n t r a c t i o n t o i m p r o v e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e a l g o r i t h m .

F i r s t , w e n o t e t h a t t h e e x i s t e n c e o f f o r w a r d o r c r o s s a r c s w i t h i n a D F S t r e e i m p l i e s t h a t

t h e g r a p h i s n o t s i n g l y c o n n e c t e d . T h i s c l e a r l y f o l l o w s s i n c e i f t h e r e i s a f o r w a r d a r c ( w ; x )

t h e n t h e r e a r e t w o p a t h s f r o m w t o x , n a m e l y t h e t r e e p a t h a n d t h e f o r w a r d a r c . A l s o , i f

t h e r e i s a c r o s s a r c ( w ; x ) , t h e r e a r e t w o p a t h s f r o m t h e r o o t o f t h e D F S t r e e t o x , n a m e l y

t h e t r e e p a t h t o x , a n d t h e t r e e p a t h t o w c a t e n a t e d w i t h t h e a r c ( w ; x ) . I n t h e f o l l o w i n g

l e m m a , w e s h o w t h i s c o n d i t i o n i s n o t o n l y s u c i e n t b u t a l s o n e c e s s a r y :

L e m m a 2 . 1 I f G i s n o t s i n g l y c o n n e c t e d , t h e n f o r s o m e v 2 V , t h e D F S t r e e r o o t e d a t v

h a s a f o r w a r d o r c r o s s a r c .

P r o o f : S i n c e G i s n o t s i n g l y c o n n e c t e d t h e r e e x i s t v ; x 2 V ( G ) s u c h t h a t t w o d i s t i n c t

s i m p l e p a t h s c o n n e c t v t o x . C o n s i d e r t h e D F S t r e e T r o o t e d a t v . L e t P = ( v =

t

0

; : : : ; t

k

= x ) b e t h e p a t h i n T f r o m v t o x , a n d l e t P

= ( v = u

0

; : : : ; u

l

= x ) b e s o m e

p a t h i n G d i s t i n c t f r o m P . L e t i = m a x

n

j < l j ( u

j

; u

j + 1

) 6= ( t

k 0 ( l 0 j )

; t

k 0 ( l 0 j ) + 1

)

o

. I . e . ,

( u

i + 1

; : : : ; u

l

) = ( t

k 0 ( l 0 i ) + 1

; : : : ; t

k

) , b u t ( u

i

; : : : ; u

l

) 6= ( t

k 0 ( l 0 i )

; : : : ; t

k

) . T h e n ( u

i

; u

i + 1

) i s a

f o r w a r d a r c i f u

i

= t

j

f o r s o m e j a n d a c r o s s a r c o t h e r w i s e .

W e n o w c o n s i d e r t h e e e c t o f c y c l e s o n s i n g l e c o n n e c t i v i t y . I n t u i t i v e l y , a c y c l e w o u l d

a p p e a r t o b e e q u i v a l e n t t o a s i n g l e v e r t e x , s i n c e e a c h v e r t e x i n t h e c y c l e i s r e a c h a b l e f r o m

e v e r y o t h e r v e r t e x b y a s i m p l e p a t h . T h u s , i d e a l l y w e w o u l d l i k e t o c o n t r a c t e a c h c y c l e

( i . e . , a l l t h e a r c s f o r m i n g e a c h c y c l e ) t o a s i n g l e v e r t e x a n d r u n t h e n a i v e a l g o r i t h m o n t h e

r e d u c e d g r a p h , c h e c k i n g o n l y f o r f o r w a r d o r c r o s s a r c s . H o w e v e r , w h e r e a s c o n t r a c t i n g a

c y c l e i n a d i g r a p h p r e s e r v e s c o n n e c t i v i t y , i t d o e s n o t a l w a y s p r e s e r v e s i n g l e c o n n e c t i v i t y .

F o r e x a m p l e , c o n s i d e r t h e d i g r a p h c o n s i s t i n g o n l y o f a c y c l e w i t h a c h o r d a l a r c ; t h e g r a p h

i t s e l f i s n o t s i n g l y c o n n e c t e d , b u t c o n t r a c t i n g t h e c y c l e l e a v e s o n l y a s i n g l e v e r t e x w h i c h b y

d e n i t i o n i s s i n g l y c o n n e c t e d .

I n f a c t , c h o r d s p l a y a d e c i s i v e r o l e i n d e t e r m i n i n g w h e n c y c l e c o n t r a c t i o n i s u s e f u l .

A g a i n , n o t e t h a t i f a g r a p h h a s a c h o r d , i t i s n o t s i n g l y c o n n e c t e d ( t h e c h o r d f r o m x t o y

a n d t h e c y c l e p a t h f r o m x t o y a r e t w o d i s t i n c t s i m p l e p a t h s f r o m x t o y . ) N o w c o n s i d e r

t h e s t r o n g l y c o n n e c t e d c o m p o n e n t s o f G . L e t G

3

b e t h e g r a p h f o r m e d b y c o n t r a c t i n g e a c h

s t r o n g l y c o n n e c t e d c o m p o n e n t o f G i n t o a s i n g l e v e r t e x a n d r e m o v i n g l o o p a r c s , i . e . , a r c s

f r o m a v e r t e x t o i t s e l f i n G

3

, f o r m e d b y c o n t r a c t i n g a r c s j o i n i n g t w o n o d e s i n t h e s a m e

s t r o n g l y c o n n e c t e d c o m p o n e n t o f G . A m u l t i p l e a r c o f G

3

i s a r e p e a t e d a r c b e t w e e n t w o

d i s t i n c t v e r t i c e s i n G

3

, f o r m e d i f m o r e t h a n o n e a r c c o n n e c t e d t w o s t r o n g l y c o n n e c t e d

2

8/2/2019 10.1.1.43.6948

4/8

c o m p o n e n t s i n G . T h e f o l l o w i n g t w o l e m m a s r e l a t e t h e s i n g l e c o n n e c t i v i t y o f G t o t h a t o f

G

3

.

L e m m a 2 . 2 I f G

3

h a s a m u l t i p l e a r c , t h e n G i s n o t s i n g l y c o n n e c t e d .

P r o o f : L e t x a n d y b e t w o v e r t i c e s i n G

3

c o n n e c t e d b y m u l t i p l e a r c s ( f r o m x t o y ) . L e t

X a n d Y b e , r e s p e c t i v e l y , t h e s t r o n g l y c o n n e c t e d c o m p o n e n t s o f G t h a t c o n t r a c t t o x a n d

y i n G

3

. T h e m u l t i p l e a r c s i n G

3

a r i s e f r o m t w o a r c s ( x

; y

) a n d ( x

; y

) i n G s u c h t h a t

x

; x

2 V ( X ) a n d y

; y

2 V ( Y ) . I t m a y b e t h e c a s e t h a t e i t h e r x

= x

o r y

= y

, b u t

b o t h p a i r s c a n n o t b e e q u a l . L e t P

x

b e t h e p a t h i n G f r o m x

t o x

, a n d l e t P

y

b e t h e p a t h

i n G f r o m y

t o y

; a t m o s t o n e o f P

x

a n d P

y

c a n b e t h e n u l l p a t h . N o w t h e p a t h f o r m e d

b y c a t e n a t i n g P

x

w i t h t h e a r c ( x

; y

) a n d t h e p a t h f o r m e d b y c a t e n a t i n g t h e a r c ( x

; y

)

w i t h P

y

d e m o n s t r a t e t w o d i s t i n c t s i m p l e p a t h s j o i n i n g x

t o y

i n G .

L e m m a 2 . 3 I f G h a s n o c h o r d s a n d G

3

h a s n o m u l t i p l e a r c s , t h e n G i s s i n g l y c o n n e c t e d i f

a n d o n l y i f G

3

i s s i n g l y c o n n e c t e d .

P r o o f : S u p p o s e G i s n o t s i n g l y c o n n e c t e d , a n d l e t P

1

= ( x = u

0

; : : : ; u

l

1

= y ) a n d

P

2

= ( x = v

0

; : : : ; v

l

2

= y ) b e t w o d i s t i n c t s i m p l e p a t h s f r o m x t o y i n G . W e c a n a s s u m e

w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t P

1

a n d P

2

a r e v e r t e x - d i s j o i n t . I t m u s t b e t h a t x a n d y a r e

i n d i e r e n t s t r o n g l y c o n n e c t e d c o m p o n e n t s o f G , o r P

2

w o u l d y i e l d a c h o r d o f t h e c y c l e

f o r m e d b y c a t e n a t i n g a p a t h f r o m y t o x w i t h P

1

. L e t X ( r s p . Y ) b e t h e s t r o n g l y c o n n e c t e d

c o m p o n e n t o f G ( a n d i t s r e s p e c t i v e v e r t e x i n G

3

) c o n t a i n i n g x ( r s p . y ) . L e t P

3

1

a n d P

3

2

b e

t h e p a t h s i n G

3

f r o m X t o Y t h a t r e s u l t f r o m t h e c o n t r a c t i o n a p p l i e d t o P

1

a n d P

2

. S i n c e

G

3

c o n t a i n s n o m u l t i p l e a r c s , t h e r s t a r c o f P

1

m u s t d i e r f r o m t h a t o f P

2

, a n d t h u s P

1

a n d P

2

a r e d i s t i n c t s i m p l e p a t h s i n G

3

.

S u p p o s e G

3

i s n o t s i n g l y c o n n e c t e d , a n d l e t P

3

1

a n d P

3

2

b e t w o s i m p l e p a t h s c o n n e c t i n g

t w o v e r t i c e s X a n d Y i n G . B y r e p l a c i n g e a c h v e r t e x i n t h e t w o p a t h s b y a n a p p r o p r i a t e

p a t h i n t h e r e s p e c t i v e s t r o n g l y c o n n e c t e d c o m p o n e n t i n G , t h e s e g i v e r i s e t o t w o s i m p l e

p a t h s c o n n e c t i n g s o m e x a n d y i n G .

W e c a n u s e L e m m a s 2 . 2 a n d 2 . 3 t o r e d u c e t h e g r a p h G t o a n a c y c l i c g r a p h G

3

a n d t h e n

r u n a d e p t h r s t s e a r c h f r o m e a c h v e r t e x o f G

3

t o d e t e r m i n e s i n g l e c o n n e c t i v i t y . A s w e

s h a l l s e e , t h i s r e d u c e s t h e c o m p l e x i t y o f t h e m u l t i p l e D F S a p p r o a c h b y a f a c t o r o f O ( m = n ) .

P o s t p o n i n g f o r n o w d i s c u s s i o n o f h o w t o d e t e r m i n e i f G h a s a c h o r d , o u r a l g o r i t h m f o r

t e s t i n g w h e t h e r G i s s i n g l y c o n n e c t e d i s s i m p l y s t a t e d :

I f G h a s a c h o r d , t h e n G i s n o t s i n g l y c o n n e c t e d .

O t h e r w i s e , c o m p u t e t h e s t r o n g l y c o n n e c t e d c o m p o n e n t s ( S C C ' s ) o f G .

C o n t r a c t t h e S C C ' s a n d t h r o w a w a y l o o p a r c s ; l e t G

3

b e t h e r e s u l t i n g g r a p h .

I f G

3

h a s a m u l t i p l e a r c , t h e n G i s n o t s t r o n g l y c o n n e c t e d .

O t h e r w i s e

F o r e v e r y v 2 V ( G

3

) d o

C o m p u t e a d e p t h r s t s e a r c h t r e e T r o o t e d a t v .

I f T h a s a f o r w a r d o r c r o s s a r c , G i s n o t s i n g l y c o n n e c t e d .

I f n o T h a d a f o r w a r d o r c r o s s a r c , G i s s i n g l y c o n n e c t e d .

T h e o r e m 2 . 4 T h e a l g o r i t h m a b o v e c o r r e c t l y d e t e r m i n e s w h e t h e r o r n o t a d i g r a p h i s s i n g l y

c o n n e c t e d .

3

8/2/2019 10.1.1.43.6948

5/8

P r o o f : A s n o t e d a b o v e , t e r m i n a t i n g n e g a t i v e l y i f G h a s a c h o r d i s c o r r e c t . S i m i l a r l y ,

L e m m a 2 . 2 d e m o n s t r a t e s t h a t t e r m i n a t i n g n e g a t i v e l y i f G

3

h a s a m u l t i p l e a r c i s c o r r e c t . I f

G h a s n o c h o r d a n d G

3

n o m u l t i p l e a r c , t h e n L e m m a 2 . 3 p r o v e s t h a t G

3

i s s i n g l y c o n n e c t e d

i f a n d o n l y i f G i s . B y t h e d i s c u s s i o n a t t h e b e g i n n i n g o f S e c t i o n 2 w e k n o w t h a t t e r m i n a t i n g

n e g a t i v e l y u p o n d i s c o v e r y o f a f o r w a r d o r c r o s s a r c i n o n e o f t h e T ' s i n t h e a l g o r i t h m i s

c o r r e c t . F i n a l l y , i f n o T h a d a f o r w a r d o r c r o s s a r c , L e m m a 2 . 1 s t a t e s t h a t i t i s c o r r e c t t o

t e r m i n a t e p o s i t i v e l y .

3 C h o r d T e s t i n g a n d A n a l y s i s o f R u n n i n g T i m e

W e n o w s h o w h o w t o t e s t w h e t h e r o r n o t G c o n t a i n s a c h o r d v i a a s i m p l e d e p t h r s t s e a r c h .

W e b e l i e v e t h i s f a c t i s a l r e a d y k n o w n b u t c a n n d n o m e n t i o n o f i t i n t h e l i t e r a t u r e ; r a t h e r

w e s e e w o r k s o n r e l a t e d t o p i c s s u c h a s t e s t i n g g r a p h s t o s e e i f e v e r y c y c l e c o n t a i n s a c h o r d

( s e e , e . g . , [ 1 3 ] ) . W e t h e r e f o r e i n c l u d e i t f o r c o m p l e t e n e s s .

L e t F b e a D F S f o r e s t r o o t e d a t a n y v e r t e x o f G , a n d f o r a n y v 2 V , l e t D F S ( v ) b e v

s

D F S n u m b e r a n d L O W ( v ) i t s l o w v a l u e i n F . T h e c o m p u t a t i o n o f t h e s e v a l u e s i s d e s c r i b e d

i n [ 1 , 4 ] . W e a s s u m e t h e r e a r e n o f o r w a r d o r i n t r a - t r e e c r o s s a r c s i n F ( o r w e i m m e d i a t e l y

d e t e r m i n e t h a t G i s n o t s i n g l y c o n n e c t e d ) .

L e m m a 3 . 1 I f F h a s n o f o r w a r d o r i n t r a - t r e e c r o s s a r c s , t h e n G h a s a c h o r d i f a n d o n l y

i f t h e r e i s s o m e v e r t e x v i n F w i t h

t w o b a c k a r c s i n F ,

a b a c k a r c a n d a c h i l d x w i t h L O W ( x ) < D F S ( v ) i n F ,

o r t w o d i s t i n c t c h i l d r e n x a n d y w i t h L O W ( x ) < D F S ( v ) a n d L O W ( y ) < D F S ( v )

i n F .

P r o o f : ( ( ) G i v e n a n y o f t h e c o n d i t i o n s l i s t e d i n t h e l e m m a , t h e r e e x i s t t w o d i s t i n c t

s i m p l e p a t h s P a n d P

f r o m v t o i t s p a r e n t p ( v ) i n F . P y i e l d s a c h o r d o f t h e c y c l e f o r m e d

b y c a t e n a t i n g P

w i t h t h e a r c ( p ( v ) ; v ) .

( ) ) L e t C = ( c

0

; : : : ; c

l

) b e a c y c l e a n d D = ( c

i

; d

0

; : : : ; d

k

; c

j

) f o r s o m e 0 i < j < l

b e a c h o r d o f C . W e c a n a s s u m e t h a t C i s a s i m p l e c y c l e , o t h e r w i s e w e c a n d e r i v e f r o m

C a n d D a d i e r e n t s i m p l e c y c l e a n d a c h o r d . B y d e n i t i o n e i t h e r ( 1 ) k 0 a n d d

s

6= c

t

f o r a l l 0 s k a n d 0 t < l , o r ( 2 ) k = 0 1 a n d j > i + 1 . T h e r e f o r e , D c a t e n a t e d

w i t h t h e p a t h ( c

j

; : : : ; c

l

; c

1

; : : : ; c

i

) f o r m s a n o t h e r s i m p l e c y c l e C

. L e t T b e t h e t r e e i n F

c o n t a i n i n g t h e v e r t i c e s o f C a n d D . S i n c e C i s s i m p l e a n d T h a s n o f o r w a r d o r c r o s s a r c s ,

C a p p e a r s i n T a s o n l y t r e e a r c s a n d o n e b a c k a r c . T h e s a m e c a n b e s a i d f o r C

. N o w n o t e

t h a t D F S ( c

i

) > D F S ( c

j

) ; i . e . , c

i

i s d e e p e r t h a n c

j

i n T . T h i s f o l l o w s f r o m t h e p r o o f o f

L e m m a 2 . 1 . E i t h e r c

i

i s t h e d e e p e s t v e r t e x o f C i n T , i n w h i c h c a s e t h e r e i s a b a c k a r c f r o m

c

i

t o t h e h i g h e s t v e r t e x o f C i n T , o r c

i

h a s a c h i l d x 2 V ( C ) i n T w i t h L O W ( x ) < D F S ( c

i

) .

B y t h e s a m e r e a s o n i n g , c

i

h a s a b a c k a r c a s s o c i a t e d w i t h C

o r a c h i l d i n T a s s o c i a t e d w i t h

C

w i t h l o w v a l u e l e s s t h a n D F S ( c

i

) . I n a l l c a s e s , s i n c e C a n d C

a r e d i s t i n c t , t h e b a c k

a r c ( s ) a n d c h i l d ( r e n ) r e n d e r e d s a t i s f y t h e l e m m a .

W e n o w t u r n t o t h e a n a l y s i s o f t h e r u n n i n g t i m e o f t h e a l g o r i t h m . T h e k e y t o t h e O ( m = n )

f a c t o r i m p r o v e m e n t o v e r t h e n a i v e a l g o r i t h m i s t h a t c o n t r a c t i n g t h e s t r o n g l y c o n n e c t e d

c o m p o n e n t s i n G r e d u c e s t h e c o s t o f p e r f o r m i n g e a c h o f t h e d e p t h r s t s e a r c h e s i n t h e l a s t

s t a g e o f t h e a l g o r i t h m f r o m O ( m ) t o O ( n ) .

4

8/2/2019 10.1.1.43.6948

6/8

T h e o r e m 3 . 2 T h e a l g o r i t h m o f S e c t i o n 2 t a k e s O ( n

2

) t i m e a n d O ( m ) s p a c e .

P r o o f : L e m m a 3 . 1 d e s c r i b e s h o w t o t e s t t o s e e i f G h a s a c h o r d i n O ( m ) t i m e v i a o n e

c o m p l e t e D F S o f G . N o t e t h a t i f w e d i s c o v e r a f o r w a r d o r i n t r a - t r e e c r o s s a r c d u r i n g t h e

D F S , w e i m m e d i a t e l y t e r m i n a t e n e g a t i v e l y . C o m p u t i n g t h e s t r o n g l y c o n n e c t e d c o m p o n e n t s

o f G a l s o t a k e s O ( m ) t i m e [ 1 , 4 ] . C o n t r a c t i n g t h e s t r o n g l y c o n n e c t e d c o m p o n e n t s c a n b e

a c c o m p l i s h e d i n O ( m ) t i m e a s f o l l o w s . L e t S ( v ) d e n o t e t h e S C C c o n t a i n i n g v e r t e x v i n G .

V ( G

3

) =

S

v 2 V ( G )

f S ( v ) g . F o r e a c h a r c ( x ; y ) i n A ( G ) a d d a n a r c ( S ( x ) ; S ( y ) ) t o A ( G

3

) i f

S ( x ) 6= S ( y ) ( i f S ( x ) = S ( y ) , t h i s i s l o o p a r c a n d c a n b e i g n o r e d . ) T h e t e s t f o r m u l t i p l e

a r c s i s e a s i l y d o n e s i m u l t a n e o u s l y w i t h t h e c o n s t r u c t i o n . S i n c e G

3

i s a c y c l i c , t h e r e c a n b e

n o b a c k a r c s i n a n y o f t h e D F S t r e e s r o o t e d a t v e r t i c e s i n G

3

. T h e r e f o r e , e a c h o f t h e O ( n )

D F S ' s r e q u i r e s O ( n ) t i m e .

E a c h s t e p r e q u i r e s l i n e a r s p a c e . T h e O ( n ) D F S ' s i n t h e l a s t s t a g e o f t h e a l g o r i t h m c a n

r e u s e t h e c o n s t a n t s p a c e f o r D F S m a r k s i n e a c h v e r t e x .

4 C o n c l u s i o n a n d O p e n P r o b l e m s

T h e p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g w h e t h e r o r n o t a d i g r a p h i s s i n g l y c o n n e c t e d a p p e a r s i n [ 4 ] .

T o o u r k n o w l e d g e , t h e a l g o r i t h m p r e s e n t e d h e r e i s t h e r s t t o b e t t e r t h e n a i v e b o u n d . S t i l l ,

t h e O ( n

2

) t i m e b o u n d a c h i e v e d l e a v e s m u c h r o o m f o r i m p r o v e m e n t .

W e n o t e o n e a s p e c t o f t h i s p r o b l e m t h a t d i s t i n g u i s h e s i t f r o m m o r e t r a d i t i o n a l c o n n e c -

t i v i t y p r o b l e m s . P r o b l e m s s u c h a s k - v e r t e x - a n d k - e d g e - c o n n e c t i v i t y a r e m o n o t o n i c i n t h a t

o n c e a g r a p h i s s o c o n n e c t e d , a d d i n g a d d i t i o n a l e d g e s d o e s n o t d e s t r o y t h e p r o p e r t y . F o r

s i n g l y c o n n e c t e d d i g r a p h s , t h i s c h a r a c t e r i s t i c i s r e v e r s e d : A d d i n g a r c s c a n d e s t r o y t h e s i n g l e

c o n n e c t i v i t y o f a d i g r a p h , b u t r e m o v i n g a r c s c a n c r e a t e s i n g l e c o n n e c t i v i t y , b o t h a c t i o n s

m o n o t o n i c a l l y s o .

O n e c a n c o n s i d e r a d i g r a p h a s a n e t w o r k s a t i s f y i n g a s e t o f c o m m u n i c a t i o n r e q u i r e m e n t s ,

i . e . p a i r s o f v e r t i c e s t h a t m u s t b e c o n n e c t e d b y s o m e p a t h . V i e w i n g t h e t r a n s i t i v e c l o s u r e

o f a d i g r a p h a s a s i m i l a r s e t o f p a i r s , a d i g r a p h s a t i s e s t h e c o m m u n i c a t i o n s r e q u i r e m e n t s

g i v e n a s a s e t C i f a n d o n l y i f i t s t r a n s i t i v e c l o s u r e T i s s u c h t h a t C T . G i v e n a d i g r a p h

w i t h t r a n s i t i v e c l o s u r e T , i t i s a l w a y s p o s s i b l e t o c r e a t e a n o t h e r d i g r a p h w i t h t r a n s i t i v e

c l o s u r e T

T b u t w i t h t h e p r o p e r t y t h a t i t i s s i n g l y c o n n e c t e d ( i t i s n o t a l w a y s p o s s i b l e

t o d o t h i s a n d h a v e T

= T . ) A n o p e n p r o b l e m , t h e n , i s t o c o n s t r u c t e c i e n t l y a s i n g l y

c o n n e c t e d d i g r a p h s a t i s f y i n g s o m e c o m m u n i c a t i o n s r e q u i r e m e n t s . O n e m i g h t a l s o w i s h t o

m i n i m i z e ( o r m i n i m a l i z e ) T n C . T h i s t y p e o f p r o b l e m i s a k i n t o t r a d i t i o n a l c o n n e c t i v i t y

a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s ; s e e , e . g . , [ 3 , 6 , 9 , 1 0 , 1 8 , 1 9 , 2 3 ] .

F i n a l l y , w e n o t e t h a t t h e p r o b l e m s o f k - c o n n e c t i v i t y i n u n d i r e c t e d g r a p h s h a v e t h e i r

l i m i t e d c o n n e c t i v i t y a n a l o g u e s : G i v e n a d i g r a p h , a r e t h e r e a t m o s t k d i s t i n c t s i m p l e p a t h s

c o n n e c t i n g a n y p a i r o f v e r t i c e s ? F u r t h e r , t h e s e h i g h e r d e g r e e p r o b l e m s a r e n o l o n g e r t r i v i a l

i n t h e u n d i r e c t e d c a s e .

5 A c k n o w l e d g e m e n t

W e t h a n k B o b T a r j a n f o r i n s i g h t f u l c o m m e n t s o n a n e a r l i e r d r a f t o f t h i s p a p e r w h i c h l e d t o

a n i m p r o v e d p r e s e n t a t i o n o f t h e a l g o r i t h m .

5

8/2/2019 10.1.1.43.6948

7/8

R e f e r e n c e s

[ 1 ] A . V . A h o , J . E . H o p c r o f t , a n d J . D . U l l m a n . T h e D e s i g n a n d A n a l y s i s o f C o m p u t e r

A l g o r i t h m s . A d d i s o n - W e s l e y P u b l i s h i n g C o . , R e a d i n g , M A , 1 9 7 6 .

[ 2 ] C . B e r g e . G r a p h s a n d H y p e r g r a p h s . N o r t h - H o l l a n d P u b l i s h i n g C o . , A m s t e r d a m , 1 9 7 3 .

[ 3 ] G . - R . C a i a n d Y . - G . S u r . T h e m i n i m u m a u g m e n t a t i o n o f a n y g r a p h t o a k - e d g e -

c o n n e c t e d g r a p h . N e t w o r k s , 1 9 ( 1 ) : 1 5 1 { 7 2 , 1 9 8 9 .

[ 4 ] T . H . C o r m e n , C . E . L e i s e r s o n , a n d R . L . R i v e s t . I n t r o d u c t i o n t o A l g o r i t h m s . T h e M I T

E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g a n d C o m p u t e r S c i e n c e S e r i e s . M I T P r e s s , C a m b r i d g e , M A , 1 9 9 1 .

[ 5 ] A . H . E s f a h a n i a n a n d S . L . H a k i m i . O n c o m p u t i n g t h e c o n n e c t i v i t i e s o f g r a p h s a n d

d i g r a p h s . N e t w o r k s , 1 4 ( 2 ) : 3 5 5 { 6 6 , 1 9 8 4 .

[ 6 ] K . P . E s w a r a n a n d R . E . T a r j a n . A u g m e n t a t i o n p r o b l e m s . S I A M J o u r n a l o n C o m p u t -

i n g , 5 ( 4 ) : 6 5 3 { 6 5 , 1 9 7 6 .

[ 7 ] S . E v e n . A n a l g o r i t h m f o r d e t e r m i n i n g w h e t h e r t h e c o n n e c t i v i t y o f a g r a p h i s a t l e a s t

k . S I A M J o u r n a l o n C o m p u t i n g , 4 ( 3 ) : 3 9 3 { 6 , 1 9 7 5 .

[ 8 ] S . E v e n a n d R . E . T a r j a n . N e t w o r k o w a n d t e s t i n g g r a p h c o n n e c t i v i t y . S I A M J o u r n a l

o n C o m p u t i n g , 4 ( 4 ) : 5 0 7 { 1 8 , 1 9 7 5 .

[ 9 ] A . F r a n k . A u g m e n t i n g g r a p h s t o m e e t e d g e - c o n n e c t i v i t y r e q u i r e m e n t s . I n P r o c . 3 1 s t

I E E E S y m p . o n F o u n d a t i o n s o f C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 7 0 8 { 1 8 , 1 9 9 0 .

[ 1 0 ] H . N . G a b o w . A p p l i c a t i o n s o f a p o s e t r e p r e s e n t a t i o n t o e d g e c o n n e c t i v i t y a n d g r a p h

r i g i d i t y . I n P r o c . 3 2 n d I E E E S y m p . o n F o u n d a t i o n s o f C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 8 1 2 {

2 1 , 1 9 9 1 .

[ 1 1 ] H . N . G a b o w . A m a t r o i d a p p r o a c h t o n d i n g e d g e c o n n e c t i v i t y a n d p a c k i n g a r b o r e s -

c e n c e s . I n P r o c . 2 3 r d A C M S y m p . o n T h e o r y o f C o m p u t i n g , p a g e s 1 1 2 { 2 2 , 1 9 9 1 .

[ 1 2 ] Z . G a l i l . F i n d i n g t h e v e r t e x c o n n e c t i v i t y o f g r a p h s . S I A M J o u r n a l o n C o m p u t i n g ,

9 ( 1 ) : 1 9 7 { 9 , 1 9 8 0 .

[ 1 3 ] M . C . G o l u m b i c . A l g o r i t h m i c G r a p h T h e o r y a n d P e r f e c t G r a p h s . A c a d e m i c P r e s s , N e w

Y o r k , 1 9 8 0 .

[ 1 4 ] J . H o p c r o f t a n d R . E . T a r j a n . D i v i d i n g a g r a p h i n t o t r i c o n n e c t e d c o m p o n e n t s . S I A M

J o u r n a l o n C o m p u t i n g , 2 ( 3 ) : 1 3 5 { 5 8 , 1 9 7 3 .

[ 1 5 ] A . K a n e v s k y a n d V . R a m a c h a n d r a n . I m p r o v e d a l g o r i t h m s f o r g r a p h f o u r - c o n n e c t i v i t y .

I n P r o c . 2 8 t h I E E E S y m p . o n F o u n d a t i o n s o f C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 2 5 2 { 9 , 1 9 8 7 .

[ 1 6 ] Y . M a n s o u r a n d B . S c h i e b e r . F i n d i n g t h e e d g e c o n n e c t i v i t y o f d i r e c t e d g r a p h s . J o u r n a l

o f A l g o r i t h m s , 1 0 ( 1 ) : 7 6 { 8 5 , 1 9 8 9 .

[ 1 7 ] D . W . M a t u l a . D e t e r m i n i n g e d g e c o n n e c t i v i t y i n O ( n m ) . I n P r o c . 2 8 t h I E E E S y m p .

o n F o u n d a t i o n s o f C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 2 4 9 { 5 1 , 1 9 8 7 .

6

8/2/2019 10.1.1.43.6948

8/8

[ 1 8 ] D . N a o r , D . G u s e l d , a n d C . M a r t e l . A f a s t a l g o r i t h m f o r o p t i m a l l y i n c r e a s i n g t h e

e d g e - c o n n e c t i v i t y . I n P r o c . 3 1 s t I E E E S y m p . o n F o u n d a t i o n s o f C o m p u t e r S c i e n c e ,

p a g e s 6 9 8 { 7 0 7 , 1 9 9 0 .

[ 1 9 ] A . R o s e n t h a l a n d A . G o l d n e r . S m a l l e s t a u g m e n t a t i o n s t o b i c o n n e c t a g r a p h . S I A M

J o u r n a l o n C o m p u t i n g , 6 ( 1 ) : 5 5 { 6 6 , 1 9 7 7 .

[ 2 0 ] C . P . S c h n o r r . B o t t l e n e c k s a n d e d g e c o n n e c t i v i t y i n u n s y m m e t r i c a l n e t w o r k s . S I A M

J o u r n a l o n C o m p u t i n g , 8 ( 2 ) : 2 6 5 { 7 4 , 1 9 7 9 .

[ 2 1 ] R . E . T a r j a n . D e p t h - r s t s e a r c h a n d l i n e a r g r a p h a l g o r i t h m s . S I A M J o u r n a l o n C o m -

p u t i n g , 1 ( 2 ) : 1 4 6 { 5 9 , 1 9 7 2 .

[ 2 2 ] R . E . T a r j a n . D a t a S t r u c t u r e s a n d N e t w o r k A l g o r i t h m s . C B M S - N S F R e g i o n a l C o n f e r -

e n c e S e r i e s i n A p p l i e d M a t h e m a t i c s . S o c i e t y f o r I n d u s t r i a l a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s ,

P h i l a d e l p h i a , P A , 1 9 8 3 .

[ 2 3 ] T . W a t a n b e a n d A . N a k a m u r a . E d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s . J o u r n a l o f

C o m p u t e r a n d S y s t e m S c i e n c e s , 3 5 ( 1 ) : 9 6 { 1 4 4 , 1 9 8 7 .

7