10 primene izvoda -grafik

Download 10 Primene Izvoda -Grafik

Post on 23-Jan-2016

222 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

10 Primene Izvoda -Grafik

TRANSCRIPT

  • ISPITIVANJE FUNKCIJA POMOU IZVODA

    Monotonost, ekstremne vrednosti,konveksnost, konkavnost, prevojne take

  • MONOTONOST-RAENJE I OPADANJE FUNKCIJE Ako funkcija raste kao na slici, tada

  • MONOTONOSTRAENJE I OPADANJE FUNKCIJE

    Dakle:

    Neka je funkcija f(x) diferencijabilna (ima izvod) na (a,b) i ako je za

    , funkcija je strogo rastua i obrnuto,

    , funkcija je strogo opadajua i obrnuto.

  • Primer 1Ispitati monotonost sledeih funkcija:

  • Primer 1Ispitati monotonost sledeih funkcija:

    Reenje:a) Izvod funkcije je . Kako je za funkcija je stalno rastua. b) Izvod funkcije je . Kako je za funkcija je stalno opadajua.

    c) Izvod funkcije je Kako je za

    a, za zakljuujemo da funkcija raste za , a opada za

  • EKSTREMNE VREDNOSTI FUNKCIJEFunkcija f(x) definisana na (a,b) imae maksimum u taki ako i samo ako je za svako x koje pripada nekoj okolini te take ,

    a imae minimum u taki ako i samo ako je za svako x koje pripada nekoj okolini te take .

    Minimum i maksimum funkcije se nazivaju ekstremima funkcije.

    a

    b

    x

    y

  • ODREIVANJE EKSTREMA FUNKCIJE POMOU IZVODA

    Ako diferencijabilna funkcija y=f(x) ima u taki ekstrem (maksimum ili minimum), tada je u toj taki

    Iz navedenog uslova sledi da, ako je funkcija diferencijabilna, tada ona moe imati ekstremum samo u takama u kojima je njen izvod jednak nuli, obratan zakljuak ne vai.

    Take u kojima je nazivaju se stacionarnim takama.

  • Neka je stacionarna taka funkcije y=f(x) . Ako je:

    Napomena: Predhodna teorema kae da ako izvodna funkcija menja znak pri prolasku kroz taku tada funkcija ima ekstrem u toj taki .

  • Pri ispitivanju ekstrema funkcije y=f(x) pomou prvog izvoda odreujemo:

    2. stacionarne take, tj.

    3. znak izvoda sa obe strane stacionarnih taaka.

  • Primer 2Odrediti ekstreme funkcije

  • Primer 2Odrediti ekstreme funkcije

    Reenje:Prvi izvod funkcije jeStacionarnu taku i mogui ekstrem dobijamo reavanjem jednaine

    Da bi ova vrednost predstavljala ekstrem funkcije mora da u njoj doe do promene znaka prvog izvoda. Zaista za Zakljuujemo da funkcija u taki x=9 ima minimum koji iznosi

  • ODREIVANJE EKSTREMA FUNKCIJE POMOU DRUGOG IZVODA

    Predpostavimo da je i da je neprekidna funkcija u nekoj okolini take .

    Ako je tada funkcija f(x) ima maksimum u taki

    Ako je tada funkcija f(x) ima minimum u taki

  • Primer 3Odrediti ekstreme funkcije

  • Primer 3Odrediti ekstreme funkcije

    Reenje:Prvi izvod funkcije je Nule izvoda su

    Drugi izvod funkcije je

    Kako je funkcija za x=3 ima

    minimum , a za x=-1 ima maksimum

  • ISPITIVANJE TOKA FUNKCIJEIspitivanje funkcija obavljaemo kroz sledee korake:

    Odreivanje domena funkcijeOdreivanje nula i ispitivanje znaka funkcijeIspitivanje parnosti I neparnosti funkcijeIspitivanje ponaanja funkcije na krajevima oblasti definisanosti i odreivanje asimptota funkcijeIspitivanje monotonosti i odreivanje ekstrema funkcije primenom prvog izvoda funkcijeSkiciranje grafika funkcije.

  • Primer 4Ispitati i grafiki prikazati sledeu funkcijuReenje: Domen: Nule funkcije:Presek sa y osom: Funkcija see y - osu u koordinatnom poetku.Znak funkcije:Asimptote: Funkcija nema asimptota. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti:

  • -1

    -3

    x

    y

  • Primer 5Ispitati i grafiki prikazati sledeu funkcijuReenje: Domen: Nule funkcije:

    Presek sa y osom: Funkcija see y - osu u taki (0,-1).Znak funkcije: Asimptote:

    Prava x=1 je vertikalna asimptota funkcije. pa je prava y=1, horizontalna asimptota funkcije.

  • Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti:

    Funkcija stalno opada i nema ekstrema.

  • -1

    -1

    x

    y

  • Primer 6Ispitati i grafiki prikazati sledeu funkcijuReenje: Domen: Nule funkcije: Funkcija nema nule. Presek sa y osom: Funkcija see y - osu u taki (0,-3).Znak funkcije: Asimptote:

    Prave x=1 i x=-1 su vertikalne asimptote funkcije. pa je prava y=0, horizontalna asimptota funkcije.

  • Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti:

  • 1

    -1

    x

    y

    -3

  • Zadaci za vebanje

    Dokazati da funkcija nema ekstremnih vrednosti.

    Odrediti ekstremne take i intervale monotonosti funkcije

    Ispitati i grafiki prikazati sledee funkcije: