Colegio Santa María del Carmen

Trabajo de Matemáticas para verano. Curso 2º de ESO, año 2007-08

Trabajo de veranopara reforzar y aprender los contenidos

desarrollados durante el curso

Colegio CarmelitasAlicante, 1 de julio de 2008

Profesores de 2º de ESO

Colegio Santa María del Carmen

Trabajo de Matemáticas para verano. Curso 2º de ESO, año 2007-08

Recuerda algunas cosas antes de empezar:

REGLA DE LOS SIGNOS Quitar el signo - delante de un paréntesis

7423)742(3

paréntesis del dentro de los TODOS signo de Cambian

POTENCIAS

Pasar de la base negativa a la base positiva

RAÍCES

Multiplicación y división de radicales

TEMA 1: NÚMEROS ENTEROSResuelve:

Resuelve (quita primero el paréntesis):

Resuelve (primero el corchete, luego el paréntesis, y finalmente operas):

Saca factor común (en donde se pueda) y resuelve. Analiza el ejemplo resuelto para saber como tienes que trabajar.

Resuelve: simplifica primero los paréntesis o corchetes al máximo y luego multiplica o divide por el número que hay delante.

Resuelve. Ve en este orden: 1º) Resuelve los paréntesis que hay dentro de los corchetes2º) Resuelve el corchete3º) Multiplica o divide por el número que hay delante del corchete

Resuelve:

Resuelve

Potencias de bases y exponente enteros:Opera, quitando los exponentes negativos si es que son negativos, y resuelve:

Calcula las siguientes potencias:

Resuelve

Fracciones cuya base es una fracciónAnaliza los ejemplos resueltos. Deberías incluso hacerlos aunque ya tienen la solución:

Escribe como una única potencia.

Escribe como una única potencia.

Fracciones de potencias; pasos a seguir para desarrollar los ejercicios: 1er paso: Convertir todas las números en potencias de 2, 3, 5 ó 7 según

corresponda (si es que no lo están ya) 2º paso: Quitar los paréntesis que haya (utilizando la fórmula correspondiente) 3er paso: Simplificar las potencias con las misma base en el numerador (por un

lado) y en el denominador (por otro lado)

4º paso: Simplificar las potencias con la misma base del numerador con las del denominador (restando exponentes, por ser una división). Dar el resultado final.

Completa:1er paso 2º paso 3er paso 4o paso

Tipo 1

Tipo 2

Tipo 3

Tipo4

Tipo 5

Tipo 6

Tipo 7

Simplifica las siguientes fracciones:

Ejercicios de potencias de varios tipos:

Ejercicios de potencias de varios tipos:

Potencias con exponente fraccionario: las raícesHalla la solución de las siguientes raíces, cuando sea posible

Opera y simplifica:

Opera y simplifica:

¿Cómo introducir factores en un radical?

Analiza estos 6 ejemplos resueltos antes de empezar tú

Resuelve tú, introduce los siguientes factores dentro de cada raíz:

¿Cómo extraer factores de un radical?

Analiza estos 6 ejemplos resueltos antes de empezar tú:

Resuelve tú, extrae los factores que puedas fuera de la raíz:

TEMA 2: DIVISIBILIDAD:

Hallar el mcm y el MCD de (90,72) Hallar el MCD de (240,210)

Hallar el mcm y el MCD de (120,80,200) Hallar el MCD de (72,264)

Hallar el mcm y el MCD de (105,140) Hallar el MCD de (96,84,60)

Hallar el mcm y el MCD de (120,126,45) Hallar el MCD de (175,105,525)

TEMA 3: NÚMEROS FRACCIONARIOS

Pasa a fracción o a porcentaje según corresponda:

Interpreta las siguientes expresiones como multiplicaciones y calcula su valor:

Indica si son equivalentes las siguientes fracciones

Halla la x para que las fracciones sean equivalentes:

Dibuja en la recta real y por el procedimiento visto en clase, los siguientes números: (es

obligatorio utilizar regla o compás)

Señala en la recta racional dos fracciones comprendidas entre :

Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:

Calcula el valor de las siguientes expresiones:

¿Cuántas botellas de de litro necesita un bodeguero para envasar 800 litros de vino?

Luis invita a sus amigos a comer una tarta. Pedro come ; Ana, y Tomás, . Si Luis

se come el resto, ¿cuánto come?

Raúl se gasta de su paga en el cine y en la compra de una revista ¿Qué fracción

de su dinero se ha gastado?

Efectúa (CONSEJO: simplifica cada vez que hagas una multiplicación o división)

Castillos de fracciones: Se realiza el numerador por una parte, el denominador por otra, y cuando ya sólo quede una fracción tanto arriba como abajo, se dividen.

Observa los tres ejemplos resueltos:

Ahora trabaja tú (CONSEJO: simplifica antes de seguir cada vez que hagas una multiplicación o división)

Más ejercicios de fracciones:

Efectúa las operaciones necesarias y simplifica el resultado al máximo:

Representa y (ordena de mayor a menor) las siguientes fracciones en la recta real:

TEMA 4: NÚMEROS DECIMALES

Pasa a notación científica

Realiza las siguientes operaciones, y deja el resultado en Notación Científica. Indica los pasos, y no operes exclusivamente con la calculadora:

Determina la fracción generatriz de los siguientes decimales (en aquellos casos en que sea posible)

TEMA 5: PROPORCIONALIDAD

Sean dos magnitudes proporcionales X, Y cuya relación viene dada por esta tabla

X 9 27 18 1Y 30 10 6

¿Son magnitudes directamente o inversamente proporcionales? ¿Por qué? Calcula los valores que faltan en la tabla.

Sean dos magnitudes proporcionales X, Y cuya relación viene dada por esta tabla

X 1 2 6 30Y 30 15 5

¿Son magnitudes directamente o inversamente proporcionales? ¿Por qué?Calcula los valores que faltan en la tabla

Sean dos magnitudes proporcionales X, Y cuya relación viene dada por esta tabla

X 6 30 12 30Y 10 50 5

¿Son magnitudes directamente o inversamente proporcionales? ¿Por qué?Calcula los valores que faltan en la tabla

En 2º ESO hay 60 chicas y 36 chicos. ¿Cuál es la razón entre chicas y chicos? Explícalo con tus palabras.

El precio sin IVA de una mini cadena es de 109 € ¿Cuál es el precio con IVA, si el IVA es del 16%?

Hemos pagado 19,6 € por una entrada de teatro que incluye 12,5 % de descuento, que nos han hecho por reservarla con antelación. ¿Cuál era el precio original de la entrada?

Una camiseta cuesta 15 €. Si lleva incluido un IVA del 15%, ¿Cuánto valía antes de aplicarle el IVA?

En un examen he sacado un 4,5 sobre 7 ¿Qué nota supone sobre 10?

Si el examen de Matemáticas lo han aprobado 7 de 12 alumnos, ¿qué porcentaje de aprobados representa?, ¿y de suspendidos?

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

¿Cómo se resuelven los problemas de proporcionalidad compuesta?

1. Lo primero que hay que hacer es relacionar con unas líneas de referencia los datos que tengo, y situar correctamente la incógnita (“x”).

2. Después hay que relacionar la magnitud incógnita, con las otras dos.3. Al relacionarlas, hay que razonar si se trata de una “proporcionalidad directa” o

“proporcionalidad inversa”. Quizás este sea el paso más difícil, pues me puedo equivocar si no razonas adecuadamente.

4. Ahora sólo queda crear una pequeña ecuación mediante fracciones:

a. Coloca la fracción en la que está la incógnita.b. Escribe el signo “igual” (=)c. Ahora coloca las otras dos fracciones, de los datos que conozco,

multiplicándose entre ellas.¡¡¡Cuidado, pues en las relaciones “inversas”, hay que dar la vuelta a la

fracción¡¡¡d. Una vez hecho esto, sólo te queda calcular la incógnita “x”, despejando

adecuadamente.

Para realizar una obra en 15 días se han contratado a 32 obreros. ¿Cuántos se necesitarían para efectuar la misma obra en 24 días?

Dos navegantes piensan vivir en una isla desierta durante 15 días. Sólo tienen naranjas para comer. Han hecho los cálculos y tocan a 5 naranjas por día para cada uno de ellos. Si se añade otro navegante y deciden comer 4 naranjas por día cada uno. ¿Cuántos días estarán en la isla, si se van cuando se acaban las naranjas?

Para fabricar 2 camiones en 30 días se necesitan 40 trabajadores. ¿Cuántos trabajadores igual de eficientes se necesitarán para fabricar 5 camiones en 20 días?

Una familia de 9 miembros puede mantenerse 8 meses con 1500 €. ¿Cuántas personas podrán mantenerse durante 16 meses con 8000 €, con los mismos gastos diarios? (solución=24 personas)

Si un vuelo sin motor necesita una altura de 1000 m. para recorrer un espacio de 55km. y una velocidad de 70km/h. ¿a qué altura debe estar para recorrer 300 km. a una velocidad de 150km/h?

En 20 días, 18 personas realizan una maqueta, empleando 8 horas diarias ¿cuántos días tardarán 6 personas, igual de eficientes, en realizar la maqueta utilizando 10 horas diarias?

Hemos invitado a 10 amigos a una fiesta y hemos calculado que cada uno se beberá 2 vasos de limonada a lo largo de las 3 horas que durará la fiesta. Si solo se presentan 5 amigos y la fiesta se reduce a una hora ¿cuántos vasos de limonada podrá tomar cada invitado?

Más problemas (de todo tipo). Algunos tienen la solución para que te sirva de ayuda.

Hemos calculado que disponemos de comida para 45 personas durante 16 días. Si somos 60, ¿para cuántos días tenemos comida?

Para fabricar 2 camiones en 30 días se necesitan 40 trabajadores. ¿Cuántos trabajadores igual de eficientes se necesitarán para fabricar 5 camiones en 20 días?

En un examen he sacado un 4 sobre 6. ¿Qué nota representa sobre 10?

En un instituto hay 25 profesores para 450 alumnos. ¿Cuál es la razón entre profesores y alumnos? Explícalo con palabras

En un pueblo que el año pasado tenía 1200 habitantes, la población ha disminuido esta año un 15%. ¿Cuál es la población actual?

Por cambiar una pieza de la lavadora me han cobrado 145 €, incluyendo el 16% de IVA. ¿Cuánto me habría costado si no me hubiesen cargado este impuesto?

De las películas que se proyectan en una sala de cine, 5 de cada 8 se ofrecen en versión original. ¿Qué porcentaje del total representan?

Una familia de 9 miembros puede mantenerse 8 meses con 1500 €. ¿Cuántas personas podrán mantenerse durante 16 meses con 8000 €, con los mismos gastos diarios? (solución=24 personas)

Una moto que va a 40km/h tarda 6 horas en recorrer una distancia. ¿Cuánto tarda en realizar este mismo recorrido si va a 48km/h? (solución= 5 h)

De los 89 alumnos que se matricularon en un curso de idiomas, sólo 73 lo han acabado. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que han abandonado el curso? (solución=17,9%)

Hemos pagado 19,6 € por una entrada de teatro. Sabiendo que, por haberla comprado antes de que empezase el espectáculo, nos han hecho el 12,5 % de descuento. ¿Cuál era el precio original de la entrada? (solución=22,4 €)

Han aprobado un examen 20 alumnos y lo han suspendido 12. ¿Cuál es el porcentaje de aprobados?, ¿y el de suspensos? (solución= 62,5% y 37,5%)

Mi padre me ha dado 520 € y me los he gastado en juegos para la play station. En total me he comprado 8. Supongamos que todos los juegos de la play valen iguales. ¿Cuántos juegos me compraría con 195 €? [Solución = 3 juegos]

Si voy de Alicante a Murcia a 100km/h llegó en 1h 10 min. ¿Cuántos minutos tardaré si voy al máximo de la velocidad permitida por autovía, es decir, a 120km/h? [Solución = 58’3]

En el Carrefour están de oferta ahora en navidades. Un portátil que antes valía 1400 € ahora vale 1190 €. a) ¿Qué porcentaje ha bajado?b) Si cuando pase navidades vuelven a rebajarlo en un 10%. ¿En cuánto se queda el precio finalmente? [Solución: a) 15% b) 1071 €]

Veinte tejedores, en cierto nº de días, hicieron 450 m de paño. ¿Cuántos metros del mismo paño tejerán en igual tiempo 35 tejedores? (solución =787’5 m)

Se sabe que 13 albañiles emplearon 120 días en una edificación, ¿Cuántos días hubieran necesitado 9 albañiles? (solución =173’3 días)

La compra de 480kg de arroz costó 13 €, ¿Cuántos kilos del mismo género se comprarán con 24 €? (solución = 886’15kg)

Leyendo 20 hojas cada día necesité 45 días para leer cierto libro. Determinar el nº de hojas que diariamente hubiera debido leer para concluirlo en 32 días. (solución = 28’1 días)

Los 14 hombres que tripulan un buque de vela tienen víveres para 49 días; en el caso de que suban 10 hombres más al buque, ¿Cuántos días le durarían los víveres? (solución = 28’58 días)

TEMA 6: ÁLGEBRA

Indica en estas dos expresiones algebraicas: términos, coeficientes, parte literal y grado:

Reduce los términos semejantes:

Halla el valor numérico de los siguientes polinomios

Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios:

Realiza la siguiente multiplicación de monomios

Realiza la siguiente división de monomios

Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios

Realiza la siguiente división de polinomios

Extrae factor común:

Desarrolla las siguientes identidades notables:

TEMA 7. ECUACIONES

Para resolver las ecuaciones:

1. Quitar denominadores, si los tiene. Para ello se multiplica ambos lados de la igualdad por el mínimo común múltiplo de los denominadores.2. Quitar paréntesis, si los tiene.3. Pasa todos los términos que contenga la incógnita a un lado de la igualdad y los demás al otro lado.

¡Recordad que todo sumando de un lado de la igualdad pasa al otro con el signo opuesto. Y si estuviera dividiendo, pasaría multiplicando, y viceversa!

Nº ECUACIÓN SOLUCIÓN

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Ahora resuelve tú las siguientes ecuaciones de 1er grado:

Resuelve las siguientes ecuaciones de 1er grado con fracciones

Si sumas 15 a un número, resulta lo mismo que si lo multiplicas por 3 y restas 277 al resultado. ¿Qué número es?

Si a un número le sumas su tercera parte y al resultado le sumas 5, obtienes 21. Calcula dicho número.

Halla tres números consecutivos cuya suma sea 39.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 

1. Son ecuaciones del tipo: 2. Si (como las ecuaciones número 1, 2, 3 y 7 de abajo), se tiene la ecuación

, entonces se saca factor común, es decir, se hace: y las

soluciones son: .

3. Si (como las ecuaciones números 4, 5 y 6 de abajo), se tiene la ecuación

, entonces, ; haciendo la raíz cuadrada en ambos lados se obtiene las

soluciones. Fíjate que el valor de c debe ser negativo en la ecuación original para que la raíz se pueda calcular.4. En el caso más general, es decir, , se aplica la siguiente fórmula:

Nº ECUACIÓN SOLUCIONES

1

2

3

4

5 no tiene solución en R

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Resuelve ahora tú las siguientes ecuaciones completas de 2º grado. Usa la fórmula.

Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado incompletas. Utiliza el método particular en cada caso.

Sistemas de ecuacionesResuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, por el método de sustitución:

Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación:

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, por el método de reducción:

Resuelve estos sistemas por uno de los tres métodos estudiados: igualación, sustitución o reducción:

1 y 2

TEMA 8: FUNCIONES

Te ofrecemos esta plantilla para que la fotocopies o la copies en tu libreta; ten en cuenta, que pueden dibujarse varias gráficas en un mismo sistema de coordenadas, utiliza diferentes colores para ello.

Para las rectas

Para las parábolas

Dibuja las siguientes rectas:

Dibuja las siguientes parábolas:

TEMA 9-10: PITÁGORAS, TALES Y GEOMETRÍA

NOTA: Estos temas, como han sido los últimos explicados, podría ser que no los hayas estudiado porque no haya dado tiempo. Si es así, no los hagas pues no saldrán preguntas referidas a estos procedimientos en tu examen final de septiembre.

Calcula el área del triángulo ABC de la figura:

Halla el perímetro de un jardín con la forma y dimensiones marcadas en la figura:

Ángel mide 1’77 m y proyecta una sombra de 3’4 m. Al lado de él hay un pino que da una sombra de 7’7 m. ¿Qué altura tiene el pino?

¿Qué altura ha de tener un almacén para poder colocar en él los toneles de agua de la forma indicada en la figura, si el diámetro de cada tonel es de 2 m?

Calcula la distancia que separa el barco de la costa si las dimensiones del cuadrante que

tiene el navegante son y

.

Dos barcos salen de un mismo punto, uno hacia sur y otro hacia el este. ¿Qué distancia los separará cuando cada uno haya recorrido 80km?

Calcula la profundidad que tiene un pozo cilíndrico de 0’5 m de radio si un chico consigue ver el agua justo a 60cm del borde del pozo (la altura del muchacho hasta los ojos es de 1’60 m).

La altura del castillo de la figura es:

a) 4 mb) 6 mc) 3 m

La carretera que va desde A hasta B tiene 30km y la que va desde B hasta C, 15 km. Entre A y C no hay carretera, pero sí un paseo especial para bicicletas. Calcula la distancia de A hasta C por carretera y por el paseo de bicicletas:

Para que los triángulos siguientes sean semejantes, x debe medir:

a) 100 m c) 101’56 mb) 65 m d) 40’6 m

El valor de x en la figura es:

Averigua si el triángulo ABC de la figura es isósceles:

Si un avión que en realidad mida 10 metros de largo aparece en un dibujo a escala con una longitud de 4cm, calcula dicha escala.

Una escalera, de 3 metros de largo, está apoyada en una pared. Si el pie de la escalera dista 160cm de la pared, ¿cuánto distará de la pared un escalón situado a 2,25 m. del suelo? Haz un dibujo esquemático, y resuelve adecuadamente el problema.

Divide un segmento de 13cm en 6 partes “exactamente” iguales, utilizando el teorema de Tales.

El mismo problema anterior, vuelve a hacerlo, pero utilizando “otra” línea auxiliar, distinta a la que has usado en el ejercicio 6. Resuelve este problema sobre el mismo ejercicio 6 (usa otros colores).

Halla las medidas de la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 5cm y 7cm, respectivamente. Después calcula su área y perímetro.

Una fotografía cuadrada de de área se encuentra en un marco de 3cm de ancho ¿cuál es el área del marco?

¿Qué cantidad de tela se ha empleado para construir una cometa, de la que conozco el lado (34cm), y la diagonal mayor (60cm)?

Una tarta circular tiene un diámetro de 30 cm. Si se corta en 6 trozos iguales ¿cuál es la superficie de cada trozo?

Calcula el área de la corona circular formada por dos círculos de 6cm de diámetro, y de 4cm de diámetro.

Calcula el área de un pentágono regular de 6,4cm de lado y 4,4cm de apotema.La torre de Pisa tiene una altura aproximada de 30 m. y está inclinada sobre la vertical aproximadamente 4 m. ¿Cuál es su longitud?

a) 21cm c) 28cmb) 63cm d) 20cm

Calcula la diagonal del rectángulo cuyos lados miden 8cm y 4cm.

Halla el perímetro del siguiente triángulo ¿Cómo se llama este triángulo teniendo en cuenta lo que miden sus lados? ¿Y teniendo en cuenta lo que valen sus ángulos?

Calcula el lado que falta:

a) b) c)

Halla el perímetro, la altura y el área del siguiente trapecio

Sabiendo que la diagonal mayor del rombo mide 30cm y que el lado mide 20cm.

Halla la diagonal menor del rombo y el área del rombo

Calcula el perímetro y el área del siguiente hexágono regular de lado 6cm

Calcula el área de la figura coloreada

Halla la diagonal de un cuadrado de 5 m de lado.

Halla la longitud del lado de un rombo cuyas diagonales miden 6 m y 7,6 m.

Halla el área de un triángulo equilátero de lado 8 cm.

Calcula el área y el volumen de los siguientes primas.

6cm 10cm

8cm

10cm

20cm

4cm

12cm6cm

6cm

5cm12cm

9cm

10cm7cm

6cm

6cm

6cm6cm

Calcula el área y el volumen de los siguientes poliedros:

Un cilindro de radio de la base 12cm y altura 20cm

Un cilindro de radio de la base 4cm y altura 9cm

Un cilindro de radio de la base 6cm y altura 10cm

Un cono de radio de la base 42cm, altura 27cm y generatriz 50cm

Un cono de radio de la base 8cm, y generatriz 15cm (la altura se halla por Pitágoras)

Un cono de radio de la base 5cm, y generatriz 12cm (la altura se halla por Pitágoras)

Calcula el área y el volumen de las siguientes pirámides

Pirámide pentagonal, cuyos datos son los siguientes:Apotema de la base = 3cmLado de la base = 4cmApotema lateral = 10cm

NOTA: Recordad que el

Pirámide cuadrangular, cuyos datos son los siguientes:Lado de la base: 6cmApotema lateral: 12cm

NOTA: Recordad que el

Calcula el área total y el volumen (en litros) de una de las siguientes figuras. Di cómo se llama la figura.

a) b)

Dibuja un cilindro de altura 7cm y cuyo radio es de 3cm. Calcula el área total y el volumen (en litros)

Dibuja un cono de generatriz 9cm y radio 4cm. Calcula el área total y el volumen (en litros)

Luís ha comprado un helado de cucurucho cuyas dimensiones son de 5cm de diámetro, y 15cm de altura

Dibuja el cucurucho, indicando en él sus dimensiones ¿Qué cantidad de galleta se comerá Luís? Si suponemos que todo el cucurucho está lleno de helado de fresa, sin

sobresalir nada del borde ¿qué cantidad de helado comerá?

Una fábrica de cristal produce vasos cilíndricos de 6cm de diámetro y 9cm de altura

Dibuja el vaso, indicando en él sus dimensiones ¿Qué cantidad de cristal se necesita para elaborar cada vaso? ¿Cuántos centilitros de líquido caben en cada vaso