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Università degli Studi di Padova
SCIENZE MM.FF.NN. Laurea in Matematica
Laboratorio di Rilevamento e Geomatica
ANALISI CON FUNZIONI SPLINE DI ACQUISIZIONI LINEARI
CON LASER A SCANSIONE
Relatori: Prof. Giuseppe Salemi
Prof. Francesco Fassò
Laureanda: TINA BABETTO
A. A. 2004 / 2005
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Settore di interesse
Settore ARCHITETTONICOARCHITETTONICO:
Rilievi effettuati con moderne apparecchiature laser scanning :
I dati vengono acquisiti con uno scanner laser, capace di determinare velocemente e con un alto grado di precisione la geometria dell’oggetto.
L’acquisizione avviene su una griglia di campionamento, per definizione discreta
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Esempi di acquisizione
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Problema
Una volta acquisiti i dati vengono elaborati mediante software attualmente il mercato offre strumenti in grado di effettuare elaborazione globaleglobale dei dati
Punto debolePunto debole
Non è possibile effettuare un’analisi del singolo dettaglio
SOLUZIONE: analisi con interpolazione del rilievo linea per linea , punto per punto
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Strumento
• scanner Cyrax 2500
• Software Cyclone
LASER A SCANSIONE
Dimensione: 35,6 x 30,48 x 58,42 cm
Angolo di ripresa: 40° x 40°
Range di utilizzo medio: 1,5 – 50 m
Range di utilizzo massimo: 80 –100 m
Velocità di acquisizione: 1000 punti/secondo
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Acquisizione:
rappresenta un possibile profilo di una struttura architettonica
Linea iniziale dell’acquisizione
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Acquisizione:
In realtà:
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Funzioni di interpolazione polinomiali SPLINE
Strumenti matematici utilizzati:
SPLINE
Cubica
Bézier
Composite Bézier
Ambiente di lavoro: Mathematica 4.1
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Definizione:
Sia a = x0< x1<…. < xn = b una suddivisione dell’intervallo [a,b] e sia m N.
Una funzione sm: [a,b] R è chiamata SPLINE di grado m rispetto a questa
suddivisione se s Cm-1[a,b] e se la restrizione di s ad ogni sottointervallo [xi,xi+1]
è un polinomio di grado al più m.
Utilizzo:
Nella grafica 3D sono utilizzate per l’approssimazione di curve.
Funzioni di interpolazione SPLINE
SPLINE CUBICA (m=3)
s3= a0i + a1ix + a2i x2 + a3ix
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Definizione:
i coefficienti b0,b1…..,bn R 2 nella rappresentazione di un polinomio p Pk nella base di Bernstein
x [a,b],
sono chiamati punti di controllo , o punti di BÉZIER, di p.
COMPOSITE BÉZIER: serie di curve di Bézier di classe C1 che interpola alternativamente nodi e punti di controllo
Funzioni di interpolazione SPLINE
),;()(0
baxBbxp nk
n
kk
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Acquisizione
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Acquisizione
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I morfotipi I modelli campionati sono 5:
Punti allineati
Box
Curva
Triangolo
Picco
Box
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Applicazione
Per ogni tipologia di spline si è eseguita l’interpolazione :
• su ogni singolo morfotipo
• su composizioni di morfotipi diversi
• su composizioni di morfotipi diversi a passi di campionatura diversi
• su ripetizioni dello stesso morfotipo
• su sequenze con morfotipi distanziati (“effetto rilassamento”)
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Muro.jpg
Codice in Mathematica 4.1
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Singolo morfotipo
Interpolazione CompositeBézier a confronto: Box con 2 passi di campionamento diversi
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Esempi di interpolazioni su 2 sequenze di morfotipi
BÉZIER :
Triangolo + 2*Box
COMPOSITE
BÉZIER :Curva + Linea + Box + Picco + Triangolo
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Campionatura diversa
Interpolazione con passo di campionamento diverso per ogni morfotipo
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Sequenza “rilassata”
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Costruzione 3D
Dall’ultima sequenza, ripetendo la funzione n volte…
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21… si ottiene una parete
Muro.jpg
Costruzione 3D
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Conclusioni
• La sperimentazione ha indicato alcune “linee” guida per l’analisi di singoli morfotipi derivanti da acquisizioni con laser a scansione.
• Inoltre, è stata studiata la sequenza di morfotipi elementari, variandone la composizione, la ripetizione e la complessità strutturale.
• E’ stato approntato un metodo alternativo di analisi delle linee di acquisizione applicabile a situazioni diverse.
• I risultati ottenuti in ambito architettonico-strutturale sono facilmente esportabili in altri ambiti (ad es. biostereometria).
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Perturbazioni
errore umano
morfotipo affetto da errore
errore di macchina
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Perturbazioni
gli effetti dell’interpolazione cambiano
In caso di perturbazioni l’interpolazione non approssima esattamente l’andamento cercato è necessario effettuare una depurazione dall’ errore (se possibile)